ISTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS

DESORBITACION DE UN SATELITE

GEOESTACIONARIO USANDO LA FUERZA DE RADIACION SOLAR

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE M A E S T R O E N C I E N C I A S

CON ESPECIALIDAD EN FISICA P R E S E N T A JOSE ANGEL BORJA JIMENEZ

DIRECTORES DE TESIS:

DR. DIONISIO MANUEL TUN MOLINA DR. ALFONSO QUEIJEIRO FONTANA

MEXICO, D. F. DICIEMBRE 2008

DESORBITACION DE UN SATELITE

GEOESTACIONARIO USANDO LA

FUERZA DE RADIACION SOLAR

Dedicatoria

A mi familia

Agradecimientos

Quiero dar las gracias en primer lugar a mi familia, por su apoyo incondicional.

Agradezco también, el apoyo de los maestros de esta honorable escuela, por haberme transmitido sus conocimientos. Asimismo, le doy las gracias al CONACyT, por apoyarme económicamente durante mis estudios.

Le agradezco también a SATMEX, por haberme dado la oportunidad de aprender. Y finalmente a todos aquellos quienes de una u otra manera me han apoyado para realizar este trabajo.

Indice Introducción 2 Capítulo 1: Descripción del movimiento del satélite 4

1.1. Problema de dos cuerpos. 1.2. Movimiento en un campo central. 1.3. El problema de Kepler. 1.4. Descripción cualitativa de las principales perturbaciones naturales en la órbita de los

satélites geoestacionarios. 1.5. Descripción de los elementos que caracterizan una órbita. Capítulo 2: Presión de la radiación solar 17 2.1. Radiación solar y viento solar. 2.2. Interacción de una onda electromagnética con los electrones de un material. 2.3. Fuerza de radiación solar sobre una superficie. 2.4. Modelo de la fuerza de radiación solar sobre el satélite. Capítulo 3: Desorbitación 24 3.1. Sistemas de referencia y posición de los cuerpos. 3.2. Efecto diario de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor. 3.3. Efecto anual de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor. 3.4. Evaluación numérica del incremento en el semieje mayor. 3.5. Efecto diario de la fuerza de radiación solar sobre la excentricidad. 3.6. Evaluación numérica del incremento diario en la excentricidad. 3.7. Efecto anual de la fuerza de radiación solar en la excentricidad. 3.8. Ventajas y restricciones. Conclusiones 39 Referencias 40

2

Introducción

El aumento de la población de satélites en órbita geoestacionaria hace necesario desorbitar los satélites al final de su vida a mayores altitudes,1-3 ya que ellos representan un riesgo de colisión creciente para las misiones actuales y futuras. El propósito de este trabajo, es demostrar la factibilidad de usar la fuerza de radiación solar como una fuente de propulsión para asistir al proceso de desorbitación de satélites geoestacionarios estabilizados por tres ejes.

El efecto de la fuerza de radiación solar sobre el semieje mayor para un satélite,

moviéndose en una órbita geoestacionaria con sus paneles rastreando al sol, es una oscilación diaria del semieje mayor. Cuando el satélite se mueve a lo largo de su órbita alejándose del sol, el semieje mayor aumenta, y cuando el satélite se mueve acercándose al sol, el semieje mayor disminuye, resultando en un cambio neto igual a cero durante una órbita completa.

Por consiguiente, mediante una rotación de los paneles solares en los tiempos

apropiados, es posible obtener un cambio neto en el semieje mayor y un efecto en la excentricidad, tal que la altitud del perigeo aumente secularmente, ayudando a reducir el riesgo de colisión con otros satélites en órbita geoestacionaria.

Este método de aumentar el tamaño de la órbita puede ser muy útil cuando el

subsistema de propulsión falla pero todavía es posible controlar sus paneles solares. Este método también se aplica cuando el satélite no tiene suficiente propelente para completar el proceso de desorbitación o cuando se desea aumentar aún más la altitud de desorbitación proporcionada por el proceso estándar.4, 5 En este proceso, el subsistema de propulsión se usa para aumentar alternadamente los ápsides opuestos de la órbita, tomando en cuenta la incertidumbre del propelente remanente para evitar una excentricidad grande en caso de un agotamiento temprano del propelente.

Aunque se ha hecho mucho trabajo respecto a las perturbaciones debidas a la fuerza

de radiación solar sobre satélites geoestacionarios,6 éste análisis se basa en un modelo simple para la fuerza de radiación solar que depende de la declinación del sol pero no de la hora del día. Esto es, se promedia la fuerza de radiación solar durante un día, pero este promedio cambia de día a día debido al movimiento anual del sol.

Se consideran solo los efectos de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor y

el vector de excentricidad debido a que las perturbaciones en los otros elementos orbitales son muy pequeñas comparadas con aquellas producidas por las fuerzas gravitacionales.7

Para implementar este método de asistir el proceso de desorbitación, se necesita

mantener control continuo del satélite desde la tierra. Alternativamente, la computadora a bordo puede programarse para comandar los paneles de manera autónoma en los tiempos apropiados. El subsistema de control de orientación deberá ser capaz de manejar la nueva configuración, y las baterías deberán proveer la energía necesaria cuando los paneles estén

3

rotados. Durante la primera parte de la órbita, las celdas solares serán iluminadas por el sol y generarán la potencia requerida para la operación del satélite, incluyendo la recarga de las baterías. En la segunda mitad de la órbita, las celdas solares no serán iluminadas por el sol, por consiguiente, la potencia requerida deberá ser provista por las baterías.

Se inicia el análisis con la descripción de la órbita geoestacionaria y posteriormente

se describe cómo llevarlo a la órbita de desecho, a continuación mencionamos el contenido de cada capítulo:

En el capítulo 1 se hace una breve revisión del problema de dos cuerpos. La idea en

este capítulo, es obtener algunas relaciones útiles y establecer la terminología usada para describir los elementos que caracterizan una órbita.

En el capítulo 2 se revisa la interacción de una onda electromagnética con una

superficie12 y los factores que influyen en la fuerza de radiación solar que actúa sobre el satélite10. Estos factores explican el alcance del modelo de fuerza de radiación solar que se usará en el proceso de desorbitación.

En el capítulo 3, el cual constituye la parte central del análisis, se demuestra la

factibilidad de usar la fuerza de radiación solar para asistir al proceso de desorbitación. Se propone rotar alternadamente los paneles del satélite respecto a la línea de vista al sol para aprovechar la fuerza de radiación solar e incrementar el tamaño de la órbita. Se aplican las ecuaciones obtenidas a un satélite con características típicas y se mencionan las ventajas y restricciones de la aplicación este método de desorbitación.

4

Capítulo 1 Descripción del movimiento del satélite

La primera aproximación a la solución del problema de la descripción del movimiento de un satélite alrededor de la Tierra, cae dentro de uno de los problemas fundamentales de la Mecánica llamado el problema de dos cuerpos.

En este capítulo, haremos una breve revisión del problema de dos cuerpos11. La idea

en este capítulo, será obtener algunas relaciones útiles y establecer la terminología usada para describir los elementos que caracterizan una órbita.

La solución aproximada dada por el problema de dos cuerpos, se complementará

cualitativamente con la descripción de los efectos de las principales perturbaciones naturales, ya que una descripción más completa cae fuera de los propósitos de este trabajo. 1.1. Problema de dos cuerpos.

El problema de dos cuerpos A y B, consiste en caracterizar el movimiento relativo del cuerpo A con respecto al cuerpo B o viceversa, cuando únicamente interactúan entre ellos.

La posición de una partícula en el espacio está determinada por su vector de

posición en algún sistema de referencia. Y como es usual, elegiremos un sistema de referencia inercial debido a que en este sistema las leyes de la Mecánica toman su forma más sencilla. En un sistema de este tipo, el espacio es homogéneo e isotrópico y el tiempo también es homogéneo. Que el espacio sea homogéneo e isotrópico significa que todas las posiciones y orientaciones de un cuerpo en el espacio son equivalentes y no dependen de la elección del origen de coordenadas. Que el tiempo sea homogéneo significa que no depende del instante en particular en que ocurre un evento.

En el problema de dos cuerpos la energía potencial de interacción U entre las

partículas depende únicamente de la distancia entre ellas, es decir, de la magnitud del vector diferencia entre sus vectores de posición; así, la Lagrangiana del sistema es:

)||(U2

m

2

mL 21

222

211 rr

rr −−+=&&

(1.1)

donde 1m , 2m , son las masas de los cuerpos A y B, 1r , 2r sus vectores de posición y 1r& , 2r& sus velocidades correspondientes.

Si aplicáramos las ecuaciones de Lagrange directamente a la Ec. (1.1) tendríamos

seis ecuaciones diferenciales de segundo grado y su solución general requeriría doce constantes arbitrarias. Este problema se simplifica considerablemente descomponiendo el

5

movimiento del sistema en dos movimientos: el del centro de masa y el de las partículas respecto al centro de masa.

Si elegimos el sistema de referencia situado en el centro de masa tenemos

0mm 2211 =+ rr (1.2)

y si denotamos como 21 rrr −= al vector diferencia entre los vectores de posición, obtenemos que

21

12

21

21

mm

m

mm

m

+−=

+=

rr

rr

(1.3)

Sustituyendo las Ecs. (1.3) en la Ec. (1.1) se tiene que:

)r(U2

mL

2

−= r& (1.4)

en la que

21

21

mm

mmm

+= (1.5)

se llama masa reducida.

Al elegir el sistema de referencia en el centro de masa y considerarlo inercial estamos haciendo uso de que el momento lineal del sistema formado por los cuerpos A y B se conserva. Esto es, se considera que el sistema de referencia anclado al centro de masa está en reposo o se mueve con velocidad constante respecto al sistema de referencia original.

La Ec. (1.4) coincide formalmente con la función de Lagrange de una partícula de

masa m que se mueve en un campo exterior U(r) simétrico con relación a un origen de coordenadas fijo.

De esta forma, el problema de dos partículas interactuando entre si se reduce a

resolver un problema de movimiento de una partícula en un campo exterior )(rU dado. El número de ecuaciones de movimiento se reduce a tres y el número de constantes a determinar a seis. Sin embargo, al intercambiar el problema original de un sistema aislado por el de una partícula en un campo exterior )(rU y volvernos a preguntar por la constancia del momento lineal éste ya no se conserva.

6

Cuando la energía potencial no depende de alguna de las coordenadas, por ejemplo la coordenada “z”, las componentes “x” y “ y” del momento lineal se conservan, pues una translación en la dirección “z” no puede hacer que las propiedades mecánicas del sistema varíen. En el caso de una partícula en un campo exterior )(rU , la energía potencial sí depende de las tres coordenadas y el vector de momento lineal p de la única partícula ya no se conserva.

Hacemos notar también, que a partir de las Ecs. (1.3) se obtienen las trayectorias de

cada partícula respecto al centro de masa de las dos partículas. 1.2. Movimiento en un campo central.

Como hemos visto, el problema de dos cuerpos se puede intercambiar formalmente por el de determinar el movimiento de una partícula en un campo exterior cuya energía potencial depende únicamente de la distancia r a un punto fijo dado, a este campo se le llama central.

El enfoque para resolver este problema será recurrir a las integrales de movimiento

o teoremas de conservación. Aunque la ley de conservación de momento angular solamente se cumple cuando el

sistema es cerrado, de una manera más limitada también se puede cumplir cuando se trata de sistemas en un campo exterior. Al deducir la ley a partir del principio de mínima acción y la isotropía del espacio, se evidencia que la proyección del momento angular respecto a un punto sobre un eje de simetría de un campo se conserva siempre, y que las propiedades mecánicas del sistema no varían cuando el sistema experimenta un giro respecto a dicho eje. Así, para un campo central es evidente que la proyección del momento angular respecto al centro del campo se conserva para cualquier eje que pase por el centro del campo, es decir, el vector de momento angular M respecto al centro del campo se conserva, esto es:

cteprM =×= (1.6)

donde p es el momento lineal de la partícula. Como M es perpendicular a r y p , que M sea constante significa que el movimiento de la partícula ocurre en un plano perpendicular a M . Usando coordenadas polares r y φ podemos volver a escribir la Ec. (1.4) como:

)r(U)rr(2

mL 222 −+= φ&& (1.7)

Al escribir la Lagrangiana en la forma de la Ec. (1.7), se está eligiendo un sistema de referencia orientado con su eje “z” en la misma dirección que el momento angular, reduciendo con ello el número de ecuaciones de movimiento a dos y el de constantes a determinar a cuatro.

La relación que expresa la constancia del momento angular M queda

7

.ctemrM 2 == φ& (1.8)

Nótese que la parte central de la Ec. (1.8) puede interpretarse como el doble de

dt/d)2/1( φrr ⋅ , es decir, como el doble del área del sector formado por dos radio vectores infinitamente próximos y el elemento de arco de la trayectoria recorrido en el intervalo dt, llamada velocidad areolar. Al ser M constante la Ec. (1.8) nos dice que la velocidad areolar es constante y puede interpretarse como el hecho de que en tiempos iguales el radio vector de la partícula barre áreas iguales (segunda Ley de Kepler).

Del principio de mínima acción y de la homogeneidad del tiempo puede deducirse que la energía se conserva para un sistema cerrado. De manera más limitada también se cumple para sistemas que no son cerrados, el hecho relevante a tomar en cuenta es que la Lagrangiana no dependa explícitamente del tiempo. En nuestro caso la expresión de la Lagrangiana, Ec. (1.7) no depende explícitamente del tiempo, por tanto se tiene que la energía E se conserva

)r(U)rr(2

mE 222 ++= φ&& (1.9)

Las Ecs.(1.8) y (1.9) constituyen dos integrales de movimiento y también dos de las constantes a determinar, por ello, sólo falta por determinar dos constantes. Ahora se

procede a resolver el sistema de Ecs. (1.8) y (1.9), para ello, si se expresa φ& en función de M de la Ec. (1.8) y se sustituye en la Ec. (1.9) se tiene que

)r(Umr2

M

2

rmE

2

22

++=&

(1.10)

por lo tanto,

22

2

rm

M)]r(UE[

m

2

dt

drr −−=≡& (1.11)

integrando la ecuación diferencial (1.11) obtenemos que

∫ +−−

= .cte

rm

M)]r(UE[

m

2

drt 1

22

2 (1.12)

la cual nos proporciona r como función implícita del tiempo. Nótese que la constante en la Ec. (1.12) sólo depende de la elección del origen en el tiempo. Por otro lado, si escribimos la Ec.(1.8) en la forma

dtmr

Md

2=φ (1.13)

8

y sustituimos dt de la Ec. (1.11) en la Ec. (1.13) e integramos, resulta:

2

2

2

2

cte

r

M)]r(UE[m2

drr

M

+−−

= ∫φ (1.14)

La constante en la Ec. (1.14) sólo depende de la elección de la posición inicial. La Ec. (1.14) relaciona a r con φ dándonos la ecuación de la trayectoria.

Las Ecs. (1.12) y (1.14) nos proporcionan la solución completa al problema de dos

cuerpos. La Ec. (1.10) para la energía indica que la parte radial del movimiento puede

considerarse como un movimiento lineal en un campo cuya "energía potencial efectiva" es:

)r(Umr2

MU

2

2

ef += (1.15)

1.3. El problema de Kepler.

Como nos interesa describir el movimiento de un satélite alrededor de la tierra, el campo que está involucrado es el gravitacional y a primer orden la energía potencial está dada por:

r

Uµ−= (1.16)

donde 16.398601=µ 23 / skm , e igual a la constante de gravitación universal multiplicada por la masa de la tierra. Siguiendo la costumbre de expresar las cantidades físicas como cantidades por unidad de masa, hemos retirado la misma de la Ec. (1.16), y en adelante continuaremos haciéndolo para las demás cantidades físicas pertinentes. Asimismo, de aquí en adelante r será la distancia al centro de la tierra ya que la masa del satélite es despreciable comparada con la de la tierra, la masa reducida prácticamente coincide con la masa del satélite, y obviamente se puede considerar que el centro de masa se encuentra en el centro de la misma.

En el problema de Kepler, la expresión para la energía, Ec. (1.10) se escribe como

rr2

M

2

rE

2

22 µ−+=&

(1.17)

y la "energía potencial efectiva" Ec. (1.15) es

9

rr2

MU

2

2

ef

µ−= (1.18)

la cual se representa en la Figura 1-1. Cuando 0r → , efU tiende a ∞+ , y cuando ∞→r ,

efU tiende a cero desde valores negativos; para µ2Mr = , efU pasa por un mínimo, igual a 22

min,ef M2U µ−=

Fig. 1-1 Energía potencial efectiva vs. r

De la representación gráfica resulta evidente que para 0E ≥ el movimiento será

infinito y para 0E < será finito. La forma de la trayectoria está dada por la relación general (1.14). Sustituyendo en

ella rU µ−= y efectuando la integral, se obtiene

cte

ME2

Mr

M

cos

2

2

1 ++

−= −

µ

µ

φ (1.19)

tomando el origen de φ tal que la cte en la Ec. (1.19) sea cero y haciendo

µ

2Mf = y

2

2EM21e

µ+= (1.20)

se puede escribir la ecuación de la trayectoria (1.19) en la forma

φcose1r

f += (1.21)

La Ec. (1.21) es la ecuación de una sección cónica con uno de sus focos en el origen de coordenadas; f y e se llaman respectivamente parámetro y excentricidad de la órbita. Hacemos notar, que f y e no son nuevas constantes pues son funciones de M y E.

r

Uef

10

De la parte derecha de las Ecs. (1.20) resulta que cuando 0E < , la excentricidad

1e < , es decir, la órbita es una elipse. Cuando la energía toma el valor mínimo 22

min,ef M2U µ−= , la excentricidad 0e= y la elipse se convierte en una circunferencia.

Asimismo, cuando 0E ≥ el movimiento es infinito. Si 0E > , la excentricidad 1e > y la trayectoria es una hipérbola y si 0E = , la excentricidad 1e = y la trayectoria es una parábola.

Considerando el caso de la elipse Figura 1-2, de la Ec. (1.21) se tiene que cuando

0=φ grados r es mínimo y cuando 180=φ grados r es máximo, para el caso de un satélite moviéndose alrededor de la tierra a r mínimo se le llama perigeo rp y a r máximo se le llama apogeo ra.

e1

fr

e1

fr

a

p

−=

+=

(1.22)

Fig. 1-2 Geometría de la elipse

De las propiedades geométricas de la elipse Figura 1-2, el semieje mayor a está

dado por

)e1(

M

2

rra

2

2ap

−=

+=

µ (1.23)

φ

x

y

a

ae

b

2ara rp

frφ

x

y

a

ae

b

2ara rp

fr

11

donde hemos usado la Ecs. (1.22) y la parte izquierda de las Ecs. (1.20) para obtener la segunda igualdad en la Ec. (1.23). Si ahora substituimos la parte derecha de la Ecs. (1.20) en la Ec. (1.23) obtenemos

E2

aµ−= (1.24)

es decir, el semieje mayor únicamente depende de la energía E. También se tiene de las propiedades geométricas de la elipse Figura 1-2, que el

semieje menor está dado por

2

22

e1

Me1ab

−=−=

µ (1.25)

donde hemos usado el valor del semieje mayor de la Ec. (1.23). El tiempo que tarda la partícula en recorrer la órbita elíptica, es decir el período P se

puede determinar a partir de la Ec. (1.8), que expresa la constancia del momento angular para un campo central. Para ello, usamos su interpretación en la forma de la segunda ley de Kepler, de esta forma tenemos que la integral de la Ec. (1.8) está dada por

∫∫ =⋅P

0

2

0

dtMd2

12 φ

π

rr (1.26)

como el lado izquierdo de la Ec. (1.26) es dos veces el área de la elipse πab, se tiene que

MPab2 =π (1.27)

y substituyendo las Ecs. (1.25) y (1.23) en la Ec. (1.27) se obtiene

P)e1(ae1a2 222 −=− µπ (1.28)

finalmente, la Ec. (1.28) se puede rescribir como

µ

π3a

2P = (1.29)

que nos dice que el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor (tercera ley de Kepler).

En el caso de una órbita circular de radio rc y rapidez uniforme vc se tiene de la Ec. (1.29) que

12

c2c

32

rvaP

2 =

= πµ (1.30)

recuperando el hecho de que en el movimiento circular uniforme la magnitud de la aceleración 2

cc2c r/r/v µ= .

Aunque en este momento se puede considerar el problema de Kepler resuelto, dedicaremos, lo que resta de esta sección a obtener una expresión vectorial para la excentricidad que es uno de los elementos que debemos tomar en cuenta al estudiar el efecto de la fuerza de radiación solar.

La ecuación de movimiento está dada por

rr ∂

∂=∂∂ LL

dt

d&

(1.31)

y recordando la expresión para la fuerza tenemos que,

rFp ˆr 2

µ−==& (1.32)

tomando el producto cruz de la ecuación (1.32) con M tenemos

MrMp ×−=× ˆ2r

µ& o bien, )ˆ

2p(rrMp ××−=×

r

µ& (1.33)

debido a queM es constante y desarrollando el triple producto vectorial se tiene que

])ˆ()ˆ[()(2

prrrprMp ⋅−⋅−=×rdt

d µ (1.34)

o bien

rrrMp ˆdt

d)rr(

r)(

dt

d2

µµ =−−=× && (1.35)

por tanto

0)ˆ( =−× rMv µdt

d y cte. vector ) =−× rMv ˆ( µ (1.36)

siendov la velocidad, así la relación anterior puede expresarse como

c rMv =−× ˆ

µ (1.37)

13

donde c es un vector constante. Si se realiza el producto punto del vector M con c vemos que es igual a cero,

debido a que en el lado izquierdo de la Ec. (1.37) el triple producto es cero y a que M es perpendicular a r . Por tanto c es un vector que está contenido en el plano de movimiento. Por otro lado, si hacemos el producto punto de r con c tenemos

cr rMv

r ⋅=

−×⋅ ˆ

µ (1.38)

o bien, debido a que en el primer término de la Ec. (1.38) se puede intercambiar el punto con la cruz, tenemos

βµ

coscrrM 2

=− (1.39)

donde β es el ángulo entre r y c , rescribiendo la Ec. (1.39) tenemos

β

µcosc1

M

r

2

+= (1.40)

al comparar la Ec. (1.40) con las ecuación de la trayectoria (1.21) podemos identificar que la magnitud del vector c es igual a la excentricidad e y que β es igual a φ . Por otro lado, cuando φ es cero r y c son paralelos, así la dirección de c es aquella para la que r es mínimo. Por lo anterior podemos llamar de aquí en adelante al vector c el vector de excentricidad e, pues es un vector de magnitud e y que apunta en la dirección donde r es mínimo, es decir

rMv

e ˆ−×=µ

(1.41)

Nótese que e es una constante del movimiento. Sin embargo, la existencia de esta constante de movimiento es debida a la forma de la expresión para la fuerza central y no está ligada a propiedades generales del espacio y el tiempo, es decir, a su homogeneidad e isotropía.

1.4. Descripción cualitativa de las principales perturbaciones naturales

en la órbita de los satélites geoestacionarios.

La solución del problema de la descripción del movimiento de un satélite alrededor de la Tierra dada por la aproximación del problema de Kepler, se complementará cualitativamente con la descripción de los efectos de las principales perturbaciones naturales, ya que una descripción más completa está fuera de los propósitos de este trabajo.

14

Un satélite geoestacionario tiene una órbita circular contenida en el plano del

ecuador y un período de revolución igual al período de rotación de la Tierra. Los satélites de este tipo, se observan desde la tierra como puntos prácticamente

fijos. Se dice prácticamente fijos, porque estrictamente hablando, una órbita geoestacionaria no puede permanecer como tal, ya que la existencia de perturbaciones naturales debidas al Sol, la Luna, la Tierra y demás cuerpos celestes, hacen que una órbita inicialmente geoestacionaria acumule gradualmente ciertas alteraciones, desviándose lentamente de la órbita circular.

Así, los satélites del tipo geoestacionario tienen órbitas muy cercanas a las

geoestacionarias pero realmente están localizados dentro de una caja imaginaria centrada respecto a la posición de un satélite perfectamente geoestacionario.

Las perturbaciones producidas por el achatamiento de la tierra y las atracciones

gravitacionales debidas a luna y al sol son las de mayor magnitud. Los planos orbitales de la luna alrededor de la tierra, y el de la tierra alrededor del sol, no son coplanares con el plano del ecuador terrestre, debido a esto, las componentes de las fuerzas de atracción gravitacional perpendiculares al plano del ecuador tienden a inclinar el plano de la órbita de los satélites geoestacionarios, resultando en una excursión diaria en la dirección norte-sur.

El hecho de que la tierra no es esférica hace necesario usar una serie para modelar el

potencial gravitacional. Si a partir del potencial se calcula la componente de aceleración sobre el plano del ecuador, se obtiene una función dependiente de la longitud, la cual da origen a dos puntos de equilibrio estables y dos inestables. Un satélite geoestacionario ubicado en una longitud distinta a la de los puntos de equilibrio, experimenta una aceleración tangencial que tiende a moverlo en la dirección de los puntos de equilibro estable. De hecho, los satélites geoestacionarios que por alguna razón pierden el control, experimentarán una oscilación cuando son atrapados por las zonas de equilibrio estable.

La fuerza de radiación solar cambia el momento lineal del satélite, de tal manera

que su componente sobre el plano del ecuador modifica el semieje mayor y la excentricidad. Cabe mencionar, que la componente de la fuerza de radiación solar perpendicular al plano del ecuador es despreciable comparada con las perturbaciones gravitacionales de la luna y el sol.

Aunque las perturbaciones gravitacionales de la luna y el sol también tienen

componentes en el plano del ecuador, solamente la luna tiene un efecto observable, sin embargo, este último también es despreciable comparado con el de la fuerza de radiación solar.

1.5. Descripción de los elementos que caracterizan una órbita.

Una órbita para uso real, requiere una solución numérica que incluya las perturbaciones mencionadas, la mejor estimación de la órbita se obtiene a través de un

15

proceso de mínimos cuadrados, haciendo correcciones a una órbita de referencia y haciendo uso de los observables disponibles. La solución resultante para un instante de tiempo es una órbita elíptica que requiere de seis elementos orbitales para describir su forma, ubicación y orientación en el espacio.

Elegimos como sistema de referencia el conocido como “ascensión recta–

declinación”. Este sistema es considerado inercial y se acostumbra usar para referir los movimientos aparentes de la Luna, el Sol y de cualquier otro cuerpo en la bóveda celeste.

El sistema se muestra en la Figura 1-3, su origen está en el centro de la Tierra, su

plano “XY” es una extensión del plano ecuatorial terrestre y su eje “Z” apunta hacia el polo norte. En este sistema, el eje “X” está determinado por la intersección del plano ecuatorial con el plano trazado por el movimiento aparente del Sol (eclíptica). La dirección positiva del mismo queda determinada cuando el Sol cruza el plano ecuatorial de Sur a Norte. En algún tiempo esta dirección coincidió con la constelación de Aries cuyo símbolo es (γ ) y en lo que sigue se asumirá como inercialmente fija. El eje “Y” se elige de tal manera que forme un sistema derecho.

Para un vector en este sistema, al ángulo α formado por Aries y la proyección del

vector sobre el plano del ecuador se le llama ascensión recta. Al ángulo δ formado por la proyección del vector sobre el plano del ecuador y el propio vector se le llama declinación.

Fig. 1-3 Sistema ascensión recta-declinación

Existen varios conjuntos de elementos para describir una órbita, en la Figura 1-4 se

muestra el conjunto denominado elementos clásicos

δ

X, Aries

Y

Z

α

δ

X, Aries

Y

Z

α

16

Fig. 1-4 Elementos clásicos

donde a: semieje mayor e: excentricidad i : inclinación M: anomalía media

:ω argumento del perigeo Ω : ascensión recta del nodo ascendente

Es usual denotar con la letra M a la anomalía media y no debe confundirse con el momento angular orbital.

Al usar estos elementos orbitales, la forma y el tamaño de la órbita quedan

especificadas por completo con el semieje mayor y la excentricidad. La inclinación y la ascensión del nodo ascendente definen la orientación del plano orbital respecto al plano del ecuador. La orientación de la órbita dentro del plano orbital queda definida con el argumento del perigeo y finalmente, la posición del satélite queda especificada por la anomalía media.

i

X, Aries

Y

Z

Ω

perigeo

Nodo ascendente

satélite

ω

M

i

X, Aries

Y

Z

Ω

perigeo

Nodo ascendente

satélite

ω

M

17

Capítulo 2 Presión de la radiación solar

En este capítulo se revisa la interacción de una onda electromagnética con una superficie12 y los factores que influyen en la fuerza de radiación solar que actúa sobre el satélite10. Estos factores explican el alcance del modelo de fuerza de radiación solar que se usará en el proceso de desorbitación. 2.1. Radiación solar y viento solar.

Es difícil darse cuenta hasta que punto estamos inmersos en la radiación y partículas emitidas por los objetos del universo. Los rayos cósmicos son partículas energéticas que se encuentran en el espacio, ellos vienen de todas direcciones y el origen de muchos de estos rayos es desconocido, pero se ha determinado que la mayoría de los que nos llegan provienen del sol.

Para los satélites geoestacionarios se considera que el sol es el principal

contribuyente de ondas electromagnéticas y partículas. Para describir a las ondas electromagnéticas emitidas por el sol, desde rayos X hasta ondas de radio, se utiliza el término radiación solar y para describir a las partículas emitidas se utiliza el término viento solar.

Tanto la radiación solar como el viento solar, usualmente representan una

perturbación para las naves espaciales, ya que modifican su posición y su orientación. Las partículas emitidas también producen un efecto electrostático llamado ESD generando diferencias de potencial que pueden dañar los satélites.

Para medir la radiación solar se usa la irradiancia o flujo solar medio, que se define

como la energía solar medio que cae sobre un área unitaria por unidad de tiempo integrado sobre todas las longitudes de onda, siendo sus unidades W/m2.

El viento solar interactúa principalmente con el campo geomagnético modificando

la forma de las líneas de campo del dipolo. Esta interacción se produce a una altura aproximada de 8 a 10 radios terrestres, es decir, por encima de los satélites geoestacionarios, ya que éstos se encuentra aproximadamente a 6.6 radios terrestres. Sin embargo, durante las tormentas solares la interacción puede producirse a menores alturas.

La fuerza promedio debida a la radiación solar, es de dos o tres órdenes de magnitud

mayor que la del viento solar, por tanto, concentraremos nuestra atención en la fuerza de radiación solar.

18

El “National Geophysical Data Center” (NGDC) puede proveer de datos pertenecientes a la actividad solar, a la ionósfera y variaciones geomagnéticas. Datos de los medidores en Tierra en varios satélites están disponibles a través de internet. 2.2. Interacción de una onda electromagnética con los electrones de un

material.

Entre las propiedades más significativas de las ondas electromagnéticas están el transporte de energía y la impartición de momento lineal a los electrones del material sobre el que inciden.

Debido a la magnitud de la distancia tierra-sol, el sol puede considerarse como una

fuente puntual que emite en todas direcciones. En este caso, la irradiancia o flujo de energía solar medio es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia tierra-sol y es esencialmente independiente de la altitud para una nave orbitando al tierra.

La irradiancia en la posición de la tierra está dada por

2t m/W

Dcos0334.00004.1

1358I

+= (2.1)

donde 1358 W / m2 es la irradiancia a una unidad astronómica y el denominador es una corrección por la verdadera distancia a la tierra. D es la “fase” del año, medida a partir del 4 de Julio que es el día del afelio de la tierra o punto en el que la tierra está más lejos del sol.

La Figura 2-1 muestra la interacción de una onda electromagnética pasando cerca de un electrón en cierto instante de tiempo t

Fig. 2-1 Onda electromagnética interactuando con electrón.

czB

E

x

y

vE

FM

FE

czB

E

x

y

vE

FM

FE

19

Si consideramos que la onda es armónica y viaja en el espacio libre en la dirección k podemos expresarla como

)tcos(

)tcos(

o

o

ω

ω

−⋅=

−⋅=

rkBB

rkEE (2.2)

donde E es el campo eléctrico, B el campo magnético y ω la frecuencia de la radiación.

Cuando la onda incide sobre el electrón, éste se encuentra sujeto a la fuerza

BvEF ×+= eee qq (2.3)

donde qe es la carga del electrón y ve su velocidad.

El campo eléctrico ejerce una fuerza FE = qeE que impulsa al electrón con una velocidad ve, FE cambia su dirección cuando E varía pero permanece todo el tiempo antiparalela a E. El campo magnético B ejerce una fuerza FM = qe ve × B cuya dirección está siempre en la dirección de propagación ya que B y ve cambian direcciones simultáneamente. Por tanto, el electrón sufre al mismo tiempo una oscilación transversal rápida, a la frecuencia de la onda y un pequeño aumento en la rapidez en la dirección en la cual la onda se propaga.

Si promediamos en el tiempo la fuerza F que actúa sobre el electrón, Ec.(2.3)

tendremos

iBvF ˆBvqq eeee =×= (2.4)

donde hemos usado el hecho de que la fuerza debido al campo eléctrico es oscilatoria y su promedio es cero. Las magnitudes de E y B están relacionadas mediante B = E / c luego

iF ˆEvc

qe

e= (2.5)

Por otro lado, si la onda hace un trabajo W sobre el electrón, entonces el ritmo al que la onda hace ese trabajo es

Evq)qq(dt

dWeeeeee eBvEvFv =×+⋅=⋅= (2.6)

donde hemos usado el hecho de que el triple producto se anula. El promedio en el tiempo de la Ec. (2.6) es

20

Evqdt

dWee= (2.7)

Comparando la Ec.(2.5) con la Ec. (2.6) y usando el hecho de que F = dp / dt , tenemos que

ip ˆ

dt

dW

c

1

dt

d = (2.8)

Así, durante un intervalo finito de tiempo en el cual el electrón extrae una cantidad de energía ξ también toma una cantidad de momento lineal igual a ξ/c en la dirección de propagación de la onda.

En el caso especial de incidencia normal sobre un área A y absorción completa, la

presión de radiación solar es

dt

dW

Ac

1

dt

dp

A

1P == (2.9)

identificando a dt

dW

A

1 como la irradiancia, la presión de la radiación es

c

IP = (2.10)

Usando el valor de la irradiancia a una unidad astronómica 1358 W / m2 dado por la ecuación (2.1) y sustituyéndolo en la Ec. (2.10), la presión de radiación solar es equivalente a 6106.4 −× N / m2. 2.3. Fuerza de radiación solar sobre una superficie.

El efecto de la fuerza de radiación solar se manifiesta en dos aspectos principales. El primero es en la evolución de la órbita ya que como hemos visto la fuerza de radiación solar le imprime un momento lineal a los electrones del material sobre el que incide. El otro aspecto se manifiesta en la orientación del satélite ya que hace que el satélite gire respecto a su centro de masa. Esto último se debe a que el centro de presión usualmente no coincide con el centro de masa, generando una torca externa sobre el satélite y forzándolo a girar respecto su centro de masa.

Los principales factores que determinan la fuerza de radiación solar sobre los

satélites son: (1) la intensidad y distribución espectral de la radiación incidente, (2) la geometría de su superficie y sus propiedades ópticas y (3) la orientación de la nave respecto a la línea de vista al sol.

21

Sin embargo, la Ec. (2.10) no se puede aplicar directamente a cualquier superficie porque la incidencia de la radiación no siempre es normal y tampoco hay una absorción total. Las superficies están sujetas a una fuerza de radiación solar que es igual a la diferencia vectorial entre la fuerza asociada a la radiación solar incidente y a la fuerza de radiación reflejada.

En la práctica puede considerarse que cuando un haz incide sobre una superficie una

parte de la radiación es absorbida, otra reflejada especularmente y otra reflejada difusamente como se muestra en la Figura 2-2.

Fig. 2-2 Radiación incidiendo sobre una superficie.

Sea P la presión de radiación solar debido a la radiación solar incidente dada por la

ecuación (2.1), es decir

c

IP t= (2.11)

y considérese que incide sobre un área elemental dA, donde N es un vector unitario

normal a la superficie. Sea también S , un vector unitario que apunta en la dirección opuesta a la radiación incidente.

El diferencial de fuerza de radiación, debido a la porción de radiación que es completamente absorbida está dada por

dAˆcosPCd aa Sf θ−= (2.12)

donde θ, es el ángulo entre S y N , ( 900 ≤≤ θ grados) y Ca es el coeficiente de absorción.

El diferencial de fuerza de radiación debido a la porción de radiación que es reflejada especularmente está dada por

θHaz inicidente

N

S

dfa

θHaz inicidente

N

S

dfe

θHaz inicidente

N

S

Absorción Reflexión difusa

Reflexión especular

θHaz inicidente

N

S

dfa

θHaz inicidente

N

S

dfa

θHaz inicidente

N

S

dfe

θHaz inicidente

N

S

Absorción Reflexión difusa

Reflexión especular

22

dAˆcosPC2d 2ee Nf θ−= (2.13)

donde la radiación reflejada está en la dirección )cosˆ2ˆ( θNS +− . El coeficiente de reflexión especular Ce, es la fracción de la radiación incidente que es especularmente reflejada. Para una superficie difusora, la radiación reflejada está distribuida sobre todas las direcciones con una distribución proporcional al cosϕ, donde ϕ es el ángulo entre la

radiación reflejada y N . El diferencial de fuerza de radiación se determinará integrando la contribución de la radiación reflejada sobre todos los ángulos ϕ, para obtener

dA)ˆcosˆcos3

2(PCd dd SNf θθ −−= (2.14)

donde el coeficiente de reflexión difusa Cd, es la fracción de radiación incidente que es difusamente reflejada.

Por tanto, cuando un haz incide sobre una superficie opaca, la fuerza total ejercida sobre la superficie está dada por

dAcosˆ)C3

1cosC(2ˆ)C1(P deetotal_i θθ∫

++−−= NSf (2.15)

donde 1CCC dea =++ . El índice i es usado para indicar, que se está considerando la

fuerza sobre la i-ésima superficie y que en la estimación de la fuerza de radiación total sobre un objeto es necesario sumar sobre todas las superficies que lo constituyen. 2.4. Modelo de la fuerza de radiación solar sobre el satélite.

Aunque hemos revisado cómo se realiza la estimación de la fuerza de radiación solar sobre una superficie, en el caso de los satélites sería muy complicado implementar muchas de estas consideraciones. En lugar de ello, el software de control de los satélites incluye en el estimador de órbita una solución numérica que estima la fuerza de radiación solar con base en los residuos de rango (distancia de la estación al satélite).

La posibilidad de hacer esta estimación, se debe a que el patrón de residuos de rango

depende de la fuerza de radiación solar a través de la excentricidad. Y ya que, como veremos en el Capítulo 3, la fuerza de radiación solar afecta el vector de excentricidad. La estimación numérica hace uso de este hecho para estimar la fuerza de radiación solar.

Cabe mencionar, que aunque se ha hecho mucho trabajo respecto a las

perturbaciones debidas a la fuerza de radiación solar sobre satélites geoestacionarios,6 en el análisis que haremos para desorbitar el satélite, se usará un modelo simple de la fuerza de radiación solar que depende únicamente del ángulo que presentan los paneles solares respecto de la línea de vista al sol.

23

Se considera que la intensidad y distribución espectral de la radiación incidente, es

constante. Asimismo, se considera que la fuerza de radiación solar por unidad de masa se descompone en dos partes, una viniendo de la iluminación de los paneles solares ( F’ ) y la otra viniendo de la iluminación del resto del satélite ( F – F’ ). Esto nos permitirá considerar la rotación de dos de sus superficies planas (paneles solares) para incrementar el tamaño de la órbita y separar este hecho de las propiedades geométricas y ópticas del resto del satélite.

La estimación de la fuerza de radiación solar sobre el satélite se realizó por medios

indirectos, es decir, a través de los residuos de rango. En la evaluación, se consideró que la fuerza de radiación solar que actúa sobre el satélite completo es de 0.00026 N (paneles solares más cuerpo del satélite más antenas). Esta es la fuerza de radiación solar estimada mediante observables, usando los residuos de rango en el equinoccio de primavera. La fuerza se estimó considerando que el satélite tiene un masa de 1280 kg.

24

Capítulo 3 Desorbitación

En este capítulo se demuestra la factibilidad de usar la fuerza de radiación solar para asistir al proceso de desorbitación. Se propone cómo modificar la estructura geométrica que presenta el satélite respecto al sol para aprovechar la fuerza de radiación solar e incrementar el tamaño de la órbita.

En el análisis se usa un modelo simple de la fuerza de radiación solar que se ejerce

sobre el satélite, esta fuerza depende únicamente del ángulo que presentan los paneles solares respecto de la línea de vista al sol. Se considerará, que la fuerza se divide en dos partes, la fuerza sobre los paneles y la fuerza sobre el resto del satélite.

Asimismo, en este análisis, la fuerza de radiación solar dependerá de la declinación

del sol pero no de la hora del día. Esto es, se promedia la fuerza de radiación solar durante un día, pero este promedio cambia de día a día debido al movimiento anual del sol.

Se consideran sólo los efectos de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor y

el vector de excentricidad debido a que las perturbaciones en los otros elementos orbitales son muy pequeñas comparadas con aquellas producidas por las fuerzas gravitacionales.7

Se aplican las ecuaciones obtenidas a un satélite con características típicas y se

mencionan las ventajas y restricciones de la aplicación este método de desorbitación. 3.1. Sistemas de referencia y posición de los cuerpos.

La Figura 3-1 muestra la posiciones del sol, la tierra y el satélite en dos sistemas de referencia. El primer sistema es el ascensión recta – declinación con su origen en el centro de la tierra. El plano “XY” es una extensión del plano ecuatorial. El eje “X” apunta hacia Aries y el eje “Z” apunta hacia el polo norte. El segundo sistema de referencia está superpuesto sobre el primero pero está rotado respecto al eje “Z” un ángulo α , tal que el eje “x” apunta hacia la proyección de la línea de vista del sol sobre el plano “XY” . El ángulo α es la ascensión recta del sol y δ es su declinación. El ángulo ε (23.4 grados) entre el plano de la eclíptica y el ecuador de la tierra también se indica.

La línea de vista del sol puede ser modelada por 7

)sinsen,cossen,(cosˆ ελελλ=s (3.1)

donde λ es el ángulo entre el eje “X” y la línea de vista a sol. La órbita del satélite se representa por el círculo sobre el plano del ecuador y la posición del mismo en un instante de tiempo queda determinada por el radio geoestacionario rgeo y el ángulo θ.

25

Fig. 3-1 Sistemas de referencia y posición de los cuerpos.

3.2. Efecto diario de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor.

Primero se considerará el movimiento del satélite durante un intervalo de tiempo menor o igual que un período orbital y para este intervalo también se considerará al sol fijo. Supondremos que los paneles solares son perpendiculares al plano del ecuador, y que el control de orientación del satélite es capaz de mantener esta configuración.

La Figura 3-2 es una vista desde el polo norte de la Figura 3-1, muestra el

movimiento de un satélite geoestacionario en el sistema “xyz” , también muestra la componente sobre el plano “xy” del dv aplicado al satélite debido a la fuerza de radiación solar dvxy. Esta componente siempre va en dirección opuesta al eje “x” debido a la distancia tierra-sol y su magnitud dependerá de la orientación que presenten las superficies del satélite respecto a la línea de vista al sol y de las propiedades ópticas de su superficie. Sin embargo, este análisis se basará en un modelo simple para la fuerza de radiación solar que depende de la declinación del sol pero no de la hora del día.

δ

X, Aries

Y

z, Z

α x

y

rgeo

vgeo

λi

jk s

θ

ε

δ

X, Aries

Y

z, Z

α x

y

rgeo

vgeo

λi

jk s

θ

ε

26

Fig. 3-2 Movimiento de un satélite geoestacionario.

De la Ec. (1.24) del Capítulo 1, se tiene que en el problema de dos cuerpos, el

semieje mayor únicamente depende de la energía

E2

aµ−= (3.2)

y diferenciando la Ec. (3.2), se obtiene que el cambio en el semieje mayor cuando la energía cambia es

dE2

a

da2 µ

= (3.3)

Por otro lado, el cambio en la energía está dado por

)( UTddE += (3.4)

donde T es la energía cinética y U la energía potencial. Debido a que la posición del satélite no cambia instantáneamente cuando el diferencial de velocidad dv es aplicado, el cambio en la energía potencial es cero. Así, el cambio en la energía proviene únicamente de la energía cinética

vv d)T(ddE ⋅== (3.5)

donde v es la velocidad. Sustituyendo la Ec. (3.5) en la Ec. (3.3), se tiene

θ

rgeo

x

y

vgeo

ij dvxy

θ

rgeo

x

y

vgeo

ij dvxy

27

vv d2

a

da2

⋅=µ

(3.6)

De las Figuras 3.1 y 3.2, se tiene

xygeo dvsenvd θ=⋅ vv (3.7)

donde, dvxy es la magnitud de la componente sobre el plano xy del diferencial dv, y está dada por

dtcosFdvxy δ= (3.8)

en la Ec. (3.8), F es la magnitud de la fuerza por unidad de masa. La componente z del diferencial dv no realiza trabajo por ser perpendicular a la dirección de movimiento, su efecto es modificar la inclinación de la órbita.

Para una órbita geoestacionaria, también se tiene que

θπ

d2

Pdt = (3.9)

donde P es el periodo. Así, la Ec. (3.3) se puede rescribir como

θθπµ

δdsen

cosPFv

a

ad geo

2= (3.10)

Integrando la Ec. (3.10) sobre un intervalo menor o igual a un día y empezando con una órbita geoestacionaria, es decir, desde geora = hasta faa = y desde 0=θ hasta

fθθ = , se tiene

)1(coscosPFv

ar

arf

geo

fgeo

fgeo −=−

θπµ

δ (3.11)

Al integrar, hemos despreciado los cambios en la declinación del sol y la fuerza de radiación solar durante el intervalo de integración.

El numerador en el lado izquierdo de la Ec. (3.11) es el negativo del cambio en el

semieje mayor y el denominador puede aproximarse por el cuadrado del radio geoestacionario. Considerando que la Ec. (3.11) es válida para cualquier θ con

3600 ≤≤ θ grados, podemos eliminar el subíndice f y rescribir la Ec. (3.11) como

)cos1(cosPFvr

a geo2geo θ

µπδ

∆ −= (3.12)

28

Recordando del Capítulo 1 Ec. (1.30) que para una órbita circular

2geogeovr=µ (3.13)

y sustituyendo la Ec. (3.13) en la Ec. (3.12), esta última se puede rescribir como

)cos1(v

cosPFra

geo

geo θπ

δ∆ −= (3.14)

La Ec. (3.14) proporciona el cambio en el semieje mayor para una fuerza de radiación solar constante. La Figura 3-3 muestra el cambio en el semieje mayor como función de θ para un intervalo menor o igual a un día.

Nótese que el incremento del semieje mayor a∆ para 1800 ≤≤ θ grados, alcanza

su valor máximo en 180=θ grados, y disminuye para 360180 ≤≤ θ grados, tal como se esperaba. Esto es debido a que el incremento de velocidad aplicado dvxy va en la misma dirección que el vector v para 1800 ≤≤ θ grados y en la dirección opuesta para

360180 ≤≤ θ grados.

Fig. 3-3 Incremento diario en el semieje mayor

En la Figura 3-4, se considera la forma típica de un satélite estabilizado por tres

ejes, moviéndose en la órbita con sus paneles solares siempre rastreando el sol y sus antenas de comunicación apuntadas hacia la tierra, en este caso, se tiene que el cambio neto en el semieje mayor es aproximadamente cero. Se dice aproximadamente cero porque la Ec. (3.14) solamente es válida para una fuerza de radiación solar constante, y en este caso las variaciones de la fuerza de radiación solar provienen de la asimetría de la forma del cuerpo del satélite y de las propiedades ópticas de su superficie. Las antenas no tienen el mismo tamaño, y no están igualmente orientadas con respecto al sol. Sin embargo, si suponemos una simetría aproximada respecto al eje “z” , para un ángulo 1θ tal que

0 90 180 270 360

Posición angular respecto al eje x, grados

Incr

emen

to e

n el

sem

ieje

may

or, k

m πδ

∆geo

geomáx v

cosPFr2a =

0 90 180 270 360

Posición angular respecto al eje x, grados

Incr

emen

to e

n el

sem

ieje

may

or, k

m πδ

∆geo

geomáx v

cosPFr2a =

29

1800 1 ≤≤ θ grados hay un ángulo correspondiente 2θ tal que 360180 2 ≤≤ θ grados con aproximadamente la misma fuerza de radiación solar.

Fig. 3-4 Movimiento nominal del satélite con sus paneles rastreando al sol.

La Figura 3-3 sugiere, que si se pudiera apagar la fuerza de radiación solar justo

después de que el máximo semieje mayor es alcanzado, se tendría un cambio neto en el semieje mayor. Esto se cumplirá parcialmente si los paneles solares son rotados 90 grados alrededor del eje z, como se muestra en la Figura 3-5.

θ

x

yi

j

panel

antena

θ

x

yi

j

panel

antena

30

Fig. 3-5 Posición sugerida de los paneles solares.

Para evaluar el cambio neto en el semieje mayor, se descompone la fuerza de

radiación solar por unidad de masa en dos partes, una viniendo de la iluminación de los paneles solares ( F’ ) y la otra viniendo de la iluminación del resto del satélite ( F – F’ ). Debido a que se ha supuesto simetría alrededor del eje z, el cambio neto en un órbita completa de ( F – F’ ) es cero. Cuando los paneles solares se mueven como se muestra en la Figura 3-5 el cambio neto en el semieje mayor por órbita será

π

δ∆

geo

geoórbita v

cos'PFr2a = (3.15)

3.3. Efecto anual de la fuerza de radiación solar en el semieje mayor.

Una vez que se ha obtenido la ecuación para el cambio en el semieje mayor por órbita, se debe analizar qué sucede durante un año. En este caso, se tiene que integrar la Ec. (3.15) otra vez para incluir el movimiento anual del sol.

La Figura 3-6 es una vista desde el polo norte, que muestra la posición del sol

respecto al sistema ascensión recta-declinación, e indica que el eje “x” apunta hacia su ascensión recta α.

Nótese que cuando el satélite completa una órbita, la ascensión recta del sol, cambia

en un día aproximadamente por

θ

x

yi

j

panel

θ

x

yi

j

panel

31

25.365

2día

πα∆ = (3.16)

Para integrar la Ec. (3.15) durante un año completo, necesitamos modelar δ como función del tiempo, pero si consideramos que α se mueve al ritmo expresado en la Ec. (3.16) y hacemos un cambio de variable tenemos que, cuando t varía de 0 a 365.25 días, α varía de 0 a 2π, por consiguiente basta integrar respecto a α .

Fig. 3-6 Movimiento del sol respecto al sistema ascensión recta-declinación.

Usando trigonometría esférica10, se puede expresar δ en términos de α, pero si no se

hace ninguna aproximación, la integral de la Ec. (3.15) nos lleva a una integral elíptica. Un camino alterno, es considerar la aproximación de que λ(t) varía igual que α(t), ya que λ también varía de 0 a 2π cuando α varía de 0 a 2π . Siguiendo este camino y usando trigonometría esférica10, tenemos de la Figura 3-1 que

εαλαλδ cossensencoscoscos += (3.17)

y considerado la aproximación mencionada, la Ec. (3.17) se puede rescribir como

λεδ 2sen)cos1(1cos −−= (3.18)

así, usando la Ec. (3.18)

θrgeo

x

y vgeodvxy

α Aries

Y

θrgeo

x

y vgeodvxy

α Aries

Y

32

)cos1(d]sen)cos1(1[4dcos 22

0

2

0

επλλεδδ

ππ

+=−−= ∫∫ (3.19)

Finalmente, usando la Ec. (3.19) e integrando la Ec. (3.15) para un año completo, se obtiene que el incremento anual del semieje mayor es

+=

πε

∆2

25.365

v

)cos1('PFr2a

geo

geoanual (3.20)

3.4. Evaluación numérica del incremento en el semieje mayor.

No obstante haber mencionado que la fuerza de radiación solar sobre el satélite depende entre otras cosas de la orientación que presentan las superficies del satélite respecto a la línea de vista al sol y de las propiedades ópticas de su superficie, la estimación de la fuerza de radiación solar se realizó por medios indirectos. En la evaluación, se consideró que la fuerza de radiación solar que actúa sobre el satélite completo es de 0.00026 newtons (paneles solares más cuerpo del satélite más antenas). Esta es la fuerza de radiación solar estimada mediante observables, usando los residuos de rango en el equinoccio de primavera (α = 0 y δ = 0 ). La fuerza se estimó considerando que el satélite tiene un masa de 1280 kg. De lo anterior, podemos proceder a estimar que la fuerza de radiación solar promedio anual cuyo valor está dado por

)cos1(2

FdcosF

2

1 2

0

εδδπ

π

+=∫ (3.21)

y al evaluarla nos da un valor de 0.000249 newtons, donde hemos usado la Ec. (3.19) para efectuar la integración.

Si se supone también, que 75% de la fuerza de radiación solar está concentrada en los paneles solares, y el restante 25% en las antenas de comunicación y el cuerpo del satélite, se pueden aplicar las Ecs. (3.15) y (3.20) a un satélite típico al final de su vida, para obtener 0.110 km como el incremento promedio en el semieje mayor por día y 40.23 km como el incremento anual.

La Figura 3-7 muestra el comportamiento del incremento en el semieje mayor sobre

tres períodos orbitales para los casos que hemos venido analizando, es decir, para un satélite con los paneles siempre rastreando al sol y para un satélite con los paneles orientados alternadamente. Las dos curvas en la Figura 3-7 empiezan en el equinoccio de primavera cuando la fuerza de radiación solar sobre el satélite tiene su máximo valor (0.00026 N). En ambas curvas, cuando el satélite se mueve a lo largo de la órbita entre perigeo y apogeo, el incremento en el semieje mayor aumenta al mismo ritmo y alcanza un valor de 0.153 km. Sin embargo, en el caso en el que la orientación de los paneles se alterna y el satélite se mueve a lo largo de la órbita entre apogeo y perigeo, el incremento total en

33

el semieje mayor disminuye a 0.114 km después de una órbita completa. Este valor puede ser comparado con el incremento promedio en el semieje mayor (0.110 km).

Fig. 3-7 Incremento del semieje mayor.

3.5. Efecto diario de la fuerza de radiación solar sobre la excentricidad.

En el problema de dos cuerpos, el vector de Runge-Lenz o Laplace8 provee de una ecuación para el vector de excentricidad en términos de la velocidad instantánea

rMv

e ˆ−×=µ

(3.22)

Debido a que la posición del satélite no cambia instantáneamente por el ∆v aplicado, la ecuación para el cambio en el vector de excentricidad cuando se empieza con una órbita circular es

rM)Mv)(v

0-ee ˆ( −+×+==µ

∆∆∆ (3.23)

Por otro lado, de las Figuras 3.1 y 3.2

θθ senrˆcosrˆ geogeo jir += (3.24)

zgeoxygeo vˆ)cosv(ˆ)vsenv(ˆ ∆θ∆θ∆ kjivv ++−−=+ (3.25)

también se tiene que

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 180 360 540 720 900 1080Posición agular respecto al eje x, grados

Incr

emen

to e

n el

sem

ieje

may

or, k

m

paneles rastreando al sol

paneles alternando orientación

34

)senθ∆v(vrˆθcos∆vrˆsenθvrˆ( xygeogeozgeozgeo +++=+×=+ kjiv)vrMM ∆∆∆ (3.26)

sustituyendo las Ec. (3.13), (3.24), (3.25) y (3.26) en la Ec. (3.23) obtenemos

+

++++

+=

θ∆∆

θ∆θ∆∆

θ∆

θ∆θθ∆

∆

cosv

vvˆ

senv

vsen

v

v

v

vsen

v

vˆ

cosv

vcossen

v

vˆe

2geo

zxy

2geo

2z

2geo

2xy

geo

xy2

geo

xy

2geo

2z

geo

xy

k

j

i

(3.27)

eliminando términos de segundo orden, la Ec. (3.27) puede ser rescrita como

++

≅

geo

xy2

geo

xy

geo

xy

v

vsen

v

vˆcossenv

vˆ ∆θ

∆θθ

∆∆ jie (3.28)

Integrando la Ec. (3.28) sobre la variable θ , se tiene

++=4

)2(sen)2(

4

3

v

vˆ2

sen

v

vˆ)(geo

xy2

geo

xy θθ∆θ∆

θ∆ jie (3.29)

Sustituyendo las Ec. (3.8), (3.9) y (3.13) en la Ec. (3.29) las integrales para los intervalos πθ <<0 y para πθπ 2<< son

=−=

=−=

∫

∫

geo

2

geo0

v

cosF

4

P3ˆ)()2(

v

cosF

4

P3ˆ)0()(

δπ∆π∆∆

δ∆π∆∆

π

π

π

jeee

jeee

(3.30)

Así, para un satélite moviéndose en una órbita geoestacionaria con los paneles rastreando al sol, el cambio en el vector de excentricidad por día debido a la fuerza de radiación solar es 7, 9

=

geodía v

cosF

2

P3ˆ δ∆ je (3.31)

esto es, el cambio del vector de excentricidad va 90 grados adelante de la ascensión recta del sol.

Por otro lado, alternando la orientación de los paneles solares, el cambio en el vector de excentricidad por día será

35

−+= δδ∆ cos)'FF(

v4

P3cosF

v4

P3ˆ

geogeo

jedía (3.32)

el cual es más pequeño que el obtenido con los paneles rastreando el sol. Sin embargo, en ambos casos, el efecto de la fuerza de radiación solar será una rotación del vector de excentricidad, pero con magnitud diferente. 3.6. Evaluación numérica del incremento diario en la excentricidad.

Tomando en cuenta las consideraciones que se hicieron en la evaluación numérica del incremento en el semieje mayor y usando las Ecs. (3.31) y (3.32), se obtiene el incremento promedio de excentricidad por órbita como 61021.8 −× para un satélite con sus paneles rastreando al sol y 61013.5 −× para un satélite con sus paneles orientados alternadamente. Estos números son obtenidos usando la fuerza de radiación promedio anual, 0.000249 N estimada mediante la Ec. (3.21).

Fig. 3-8 Incremento diario en el vector de excentricidad.

La Figura 3-8 bosqueja el comportamiento de las proyecciones del incremento del

vector de excentricidad a través de un periodo orbital con los paneles rastreando al sol y con los paneles alternando la orientación. Ambos gráficos empiezan en el equinoccio de primavera cuando la fuerza de radiación solar sobre el satélite tiene su valor máximo (0.00026 N). Ambas proyecciones-x oscilan con la mitad del periodo orbital mientras que las proyecciones-y crecen monótonamente. Durante la primera mitad de la órbita, (parte baja de la Figura 3-8), los incrementos de excentricidad son los mismos para ambos casos, y durante la segunda mitad de la órbita el efecto con los paneles rastreando al sol es más grande que el efecto con los paneles orientados alternadamente, desde luego, esto se debe a

0.E+00

2.E-06

4.E-06

6.E-06

8.E-06

1.E-05

0.E+00 1.E-07 2.E-07 3.E-07 4.E-07 5.E-07

Delta Exc - x

Del

ta E

xc -

y

paneles rastreando al solpaneles alternando orientación

36

la reducción de la fuerza de radiación solar generada por la rotación de los paneles solares. El efecto neto durante una órbita completa es un incremento del vector de excentricidad ∆e que apunta 90 grados delante de la ascensión recta del sol. El incremento de excentricidad para esta órbita es 61056.8 −× para el satélite con sus paneles rastreando al sol y

61035.5 −× para el satélite con los paneles orientados alternadamente. Estos valores pueden ser comparados respectivamente con los incrementos de excentricidad promedio arriba indicados, 61021.8 −× y 61013.5 −× . 3.7. Efecto anual de la fuerza de radiación solar en la excentricidad.

A diferencia de la integración que se llevó a cabo para el incremento en el semieje mayor el cual es un escalar, en el caso de la excentricidad se tiene un vector. Así, la trayectoria que describe el vector de excentricidad a través del tiempo depende en gran medida del vector de excentricidad inicial. Por otro lado, recordado que estamos interesados en desorbitar un satélite, debemos considerar para este análisis un vector de excentricidad inicial típico de un satélite al final de su vida útil. Una de las técnicas para controlar el vector de excentricidad de un satélite moviéndose nominalmente es mantener el vector de excentricidad apuntando aproximadamente hacia el sol, así considerando un vector de excentricidad inicial ei de este tipo se tiene que de acuerdo a las Ec. (3.31) y (3.32), el efecto en el vector de excentricidad es como el mostrado en la Figura 3-9, donde ef es el vector al final de cierto intervalo de tiempo.

Fig. 3-9 Incremento en el vector de excentricidad.

x

y

∆e

α Aries

Y

ei

efx

y

∆e

α Aries

Y

ei

ef

37

Al observar la Figura 3-9, se tiene que ∆e rota al vector de excentricidad, pero también debe notarse que para el siguiente día el sol se habrá movido incrementando su ascensión recta α de acuerdo a la Eq. (3.16), por lo anterior, intuitivamente tenemos que si la magnitud del vector de excentricidad inicial se elige adecuadamente puede esperarse que la rotación inducida por el ∆e sea igual al cambio en la ascensión recta del sol. De la Figura 3-9 y usando la Ec. (3.16) se tiene que

s

dïa

e

∆e

25.365

2 ≈π (3.33)

donde es, es la magnitud del vector excentricidad que debería elegirse para que el vector de excentricidad rote al mismo ritmo que el sol.

Así, si escogemos la magnitud del vector de excentricidad inicial ei = es tal que

dïas e2

25.365e ∆

π= (3.34)

el vector de excentricidad seguirá al sol y permanecerá con aproximadamente la misma magnitud. Es decir, la trayectoria seguida por el extremo del vector de excentricidad será aproximadamente un círculo de radio es moviéndose al mismo ritmo que el sol (360 grados /año). Se dice aproximadamente porque se han despreciado las perturbaciones gravitacionales de la luna y el sol, y se ha supuesto una fuerza de radiación solar constante.7, 9

En este caso, el incremento en el radio del apogeo y el perigeo serán

0)e1(ar sp >−= ∆∆ (3.35)

0)e1(ar sa >+= ∆∆ (3.36)

Las ecuaciones (3.35) y (3.36) indican que el perigeo y el apogeo aumentan monótonamente. Sin embargo, el apogeo aumentará un poco más rápido que el perigeo.

Cuando la magnitud del vector de excentricidad es diferente de es, la trayectoria

seguida por el vector de excentricidad será un círculo pero no estará centrado en el origen. La magnitud del vector de excentricidad oscilará entre ei y 2es- ei, dependiendo de la época del año. 7, 9

En este caso, los radios del apogeo y el perigeo continuarán aumentando, pero el

ritmo dependerá de la época del año.

38

3.8. Ventajas y restricciones.

Por consiguiente, mediante una rotación de los paneles solares en los tiempos apropiados, es posible obtener un cambio neto en el semieje mayor y un efecto en la excentricidad, tal que la altitud del perigeo aumente secularmente, ayudando a reducir el riesgo de colisión con otros satélites en órbita geoestacionaria.

Este método de aumentar el tamaño de la órbita puede ser muy útil cuando el

subsistema de propulsión falla pero todavía es posible controlar sus paneles solares. Este método también se aplica cuando el satélite no tiene suficiente propelente para completar el proceso de desorbitación o cuando se desea aumentar aún más la altitud de desorbitación proporcionada por el proceso estándar.4, 5 En este proceso, el subsistema de propulsión se usa para aumentar alternadamente los ápsides opuestos de la órbita, tomando en cuenta la incertidumbre del propelente remanente para evitar una excentricidad grande en caso de un agotamiento temprano del propelente.

Para implementar este método de asistir el proceso de desorbitación, se necesita

mantener control continuo del satélite desde la tierra. Alternativamente, la computadora a bordo puede programarse para comandar los paneles de manera autónoma en los tiempos apropiados. El subsistema de control de orientación deberá ser capaz de manejar la nueva configuración, y las baterías deberán proveer la energía necesaria cuando los paneles estén rotados. Durante la primera parte de la órbita, las celdas solares serán iluminadas por el sol y generarán la potencia requerida para la operación del satélite, incluyendo la recarga de las baterías. En la segunda mitad de la órbita, las celdas solares no serán iluminadas por el sol, por consiguiente, la potencia requerida deberá ser provista por las baterías.

39

Conclusiones

La fuerza de radiación solar puede ser usada como una fuente de propulsión para asistir el proceso de desorbitación en satélites estabilizados por tres ejes con la capacidad de mover sus paneles solares. Esto se obtiene mediante la rotación de los paneles solares en los tiempos apropiados para obtener un incremento efectivo en el semieje mayor durante una órbita completa.

Para un satélite con una fuerza de radiación solar total de 0.00026 N, un peso de

1280 kg, y suponiendo que 75% de la fuerza de radiación solar está concentrada en los paneles solares, un incremento en el semieje mayor por día de 0.110 km y un incremento anual de 40.23 km pueden ser obtenidos. El ritmo de crecimiento de la altitud de perigeo de la órbita será constante y casi la misma que el ritmo de crecimiento del semieje mayor cuando el vector de excentricidad inicial se escoge apropiadamente.

El “Inter-Agency Debris Coordination Committee” recomienda una órbita de

cementerio con una altitud del perigeo mayor que 235 km por arriba del radio geoestacionario ideal de 42,164 km. Al ritmo de crecimiento de la altitud del perigeo de 40.23 km por año, le tomará al satélite más de 5.8 años alcanzar la órbita recomendada.

Por consiguiente, este método deberá se usado como una alternativa para asistir el

proceso de desorbitación de satélites estabilizados por tres ejes cuando el subsistema de propulsión falla, a condición de que los satélites puedan todavía ser comandados y de que ellos todavía tengan capacidad de controlar los paneles solares, o cuando no haya suficiente propelente para completar el proceso de desorbitación. Debido a que muchos satélites al final de su vida útil han sido incapaces de llevar a cabo el proceso de desorbitación por dificultades en el sistema de propulsión, este método puede mejorar el éxito de llevar a cabo el proceso de desorbitación.

40

Referencias

1Hechler, M., and van der Ha, J.C., “Probability of Collisions in the Geostationary Ring,” Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 18, No. 4, 1981, pp. 361-366.

2“Steps Taken by Space Agencies for Reducing the Growth or Damage Potential of

Space Debris,” Committee on the Peaceful Uses of Outer Space, A/AC.105/681, December 17, 1997, pp. 1-9.

3“Disposal of Satellites in Geosynchronous Orbit,” Committee on the Peaceful Uses

of Outer Space, A/AC.105/734, December 17, 1999, pp. 1-15. 4Beech, P., Soop, M., and van der Ha, J., “The De-Orbiting of GEOS-2,” European

Space Agency Bulletin, No. 38, May 1984, pp. 86-89. 5van der Ha, J. C.,”Operational Implementation of De-Orbiting Manoeuvres,”

Proceedings of the International Conference on Space Dynamics for Geostationary Satellites, Centre National D’etudes Spatiales, Toulouse, France, October 28-31, 1985, pp. 553-562.

6Anselmo L., Bertotti, B., Farinela, P., Milani, A., and Nobili, A. M., “Orbital

Perturbations due to Radiation Pressure for a Spacecraft of Complex Shape,” Celestial Mechanics, Vol. 29, 1983 pp. 27-43.

7Carrou, Jean-Pierre, Mécanique Spatiale, Tome II, CÉPADUÈS-ÉDITIONS,

Centre National D’etudes Spatiales, Toulouse, France, 1995, Chapter 15. 8Battin, R. H., An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics,

Education Series, AIAA, New York, 1987 p 115. 9Soop, E. M., Introduction to Geostationary Orbits, SP-1053, European Space

Agency, Paris, France, 1983, pp. 46-48. 10James R. Wertz, Spacecraft Attitude Determination and Control, Computer

Sciences Corporation, Springer 1978, pp. 62-65, 129-132, 570-573, 727-736. 11L. Landau, E. Lifshitz, E. M., Curso Abreviado de Física Teórica, Libro 1, Mir,

Moscu 1987, pp. 11-46. 12Eugene Hecht y Alfred Zajac, Versión española de Optics, Fondo Educativo

Interamericano, S. A., 1977, pp. 47-51.