TERCERA SECCIÓN...economía e ingeniería, la tercera sección del texto de Probabilidad,...

RESUMEN: Resolución detallada y completa de los 200 problemas propuestos en la primera sección del texto.

RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

TERCERA SECCIÓN

DANIEL HERRERA ARÁUZ

PRESENTACIÓN.-

En edición separada, el autor pone en consideración de la comunidad académica: docentes y estudiantes de tercer y cuarto nivel de las carreras de administración contabilidad, auditoria economía e ingeniería, la tercera sección del texto de Probabilidad, Combinatoria y Distribuciones de probabilidad que contiene la resolución detallada e íntegra de los 200 problemas propuestos como instrumento de evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje de esta temática.

Los problemas propuestos, al final de cada capítulo, permiten que el docente y el estudiante universitario de nivel de pregrado y posgrado, dispongan de material académico suficiente y necesario para poner en práctica los métodos matemáticos del cálculo de probabilidades en la resolución de dichos problemas, como también el desarrollo de habilidades y destrezas en el uso las herramientas informáticas que alternativamente podrían utilizarse.

La resolución de los problemas propuestos se presenta en el mismo orden de la temática establecida en la primera sección del libro; manteniendo en cada problema la identificación numérica del mismo.

Se ha tratado de establecer un ordenamiento académico tal, que conforme avanza el desarrollo de la temática, el grado de complejidad los problemas va en incremento, tratando también de abarcar la totalidad de detalles y características propias del tema en desarrollo.

Para que el proceso de aprendizaje sea eficaz se recomienda al lector consultar la resolución del problema propuesto una vez que este haya sido resuelto; de manera que se establezcan comparaciones en resultados y metodologías aplicadas, en caso de haber acertado en la resolución, y en caso de no haber acertado, observar la metodología aplicada por el autor y utilizarla como guía didáctica para la correcta resolución del mismo.

Insistiendo en lo dicho en el último párrafo, el uso del solucionario debe ser tomado, por parte del estudiante, como una guía metodológica, mas no como una herramienta que evite o disminuya el esfuerzo académico necesario, que debe realizar el estudiante, para culminar con éxito el estudio pertinente.

Para la resolución de un problema en general se recomienda en primer lugar la búsqueda del experimento aleatorio, organizar la información disponible en una tabla de datos donde se identifique y describa a los eventos como también se registre el valor de la probabilidad de ocurrencia y de no ocurrencia de los mismos.

Una vez identificados los eventos se podrá entonces plantear la ecuación que resuelva el problema, esta es: la definición clásica de probabilidad, o el álgebra de probabilidad de eventos combinados.

Siempre es recomendable el uso de alguna herramienta informática para el cálculo numérico, desde una calculadora hasta los programas de cálculo Excel o SPSS, además, el programa Graphmatica o cualquier otro software graficador traza la curva normal como también calcula, por el método de trapecios, el área bajo la curva.

El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material, solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones a [email protected]

Daniel Herrera Aráuz

mailto:[email protected]

PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

pág. 1

SECCIÓN 3.- RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS .............. 2

2. COMBINACIÓN DE EVENTOS .................................................................................................................. 11

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL ............................................................................................................... 25

4. TABLAS DE PROBABILIDAD .................................................................................................................... 35

5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES .................................................................................. 46

6. COMBINATORIA Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD ................................................... 62

7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD .......................................................................................................... 79

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOULLI ........................................................................................... 98

9. DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS .................................................................................................. 110

10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................. 135


pág. 2

1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 1.16. Un experimento aleatorio consiste en lanzar al aire dos monedas,

a. Construya el espacio muestral para el experimento descrito:

Sean los eventos: C: obtener cara al lanzar al aire una moneda S: obtener sello al lanzar al aire una moneda. El espacio muestral está dado por: * +♦

b. Describa los casos que podrían ocurrir en el evento obtener solamente cara al lanzar al aire

dos monedas.

Sea el evento A: “obtener solamente cara al lanzar al aire dos monedas”, entonces los casos favorables a la ocurrencia del evento son:

Es decir 3 casos favorables a la ocurrencia del evento.♦

1.17. Con el objeto de probar la afirmación de un adivino que asegura que posee una varilla capaz

de detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cinco recipientes, tres vacíos y dos llenos de agua. El adivino usará su varilla para examinar cada uno de los cinco recipientes y decidir cuáles son los dos que contienen agua.

a. Defina el experimento: Seleccionar dos recipientes

b. Cuál es el espacio muestral del experimento:

Sean los eventos

: Recipientes con agua Recipientes sin agua

{ }♦

c. Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cuál es la probabilidad de que

el adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua?

Sea el evento C: seleccionar los dos recipientes con agua, entonces la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:

( )

♦

1.18. Los datos reunidos por el administrador de una tienda indican que 915 de 1500 compras

dominicales exceden de $ 10,00 (diez dólares). ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier cliente dominical gastara más de $ 10,00?

Sea el evento C: cliente hace compras dominicales que exceden de $ 10; entonces, la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:


pág. 3

( )

♦

1.19. En una encuesta acerca del tránsito existente en la autopista del valle de los Chillos, entre las

7:00 y las 8:00 se observó que de 200 automóviles sometidos a una revisión de seguridad al azar, 25 tenían neumáticos en mal estado. Estime la probabilidad de que un auto que se detienen en ese lapso en la misma sección de la autopista no tenga los neumáticos defectuosos.

Sea el evento N: Automóvil con neumáticos en mal estado entonces, la probabilidad de ocurrencia de N está dado por:

( )

♦

Por otro lado, la negación del evento N está dado por N’: automóvil con neumáticos en buen estado; de manera que la probabilidad de que un automóvil tenga sus neumáticos en buen estado está dado por:

( ) ( )

( )

♦

1.20. Un camión cargado con 10000 cajas de pañuelos desechables llegan al almacén. En las cajas

hay un letrero que dice “400 pañuelos”, pero en una revisión de 300 cajas revela que 45 de ellas contienen menos de 400 pañuelos.

a. Calcule la probabilidad de que cualquier otra caja contenga menos de 400 pañuelos.

Sea el evento A: “Caja con menos de 400 pañuelos”, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A está dado por:

( )

♦

b. Utilizando el resultado obtenido, estime la cantidad de cajas del lote de 10000 que podría

tener menos de 400 pañuelos.

♦

1.21. Se lanzan dos dados, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes sucesos:

a. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 6 puntos. b. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 3 o 8 puntos. c. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma un número par de puntos. El Espacio muestral del experimento lanzar dos dados se lo desarrolla en la siguiente tabla:


pág. 4

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

Se puede observar que al lanzar dos dados ocurre un total de 36 eventos. a. Sea el evento A: “Aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 6 puntos”;

entonces, los casos favorables al evento son: 5,1; 4,2; 3,3; 2,4; 1,5. Es decir: 5 eventos.

( )

♦

b. Sea B el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 3 u 8 puntos”;

entonces, los casos favorables al evento son: 2,1; 1,2 2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2. Es decir: 7 eventos.

( )

♦

c. Sea C el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de un número par de

puntos”; entonces, los casos favorables al evento son: 1,1; 3,1; 5,1; 2,2; 4,2; 6,2; 1,3; 3,3; 5,3; 4,4; 4,4; 6,4; 1,5; 3,5;5,5; 2,6; 4,6; 6,6. Es decir: 18 eventos.

( )

♦

1.22. Se lanzan tres monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos dos caras?

* +

Sea el evento A: obtener por lo menos dos caras al lanzar tres monedas juntas; entonces la probabilidad de ocurrencia de A está dado por:

( )

♦

1.23. Durante el año anterior las ventas semanales en un almacén de artículos de turismo han sido

“bajas” durante 16 semanas, “considerables” durante 27 semanas y “altas” el resto de semanas. ¿cuál es la probabilidad de que las ventas de esta semana sean?

a. Considerables. b. Bajas. c. Altas. d. Por los menos considerables.

Ventas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

Bajas 16 0,31 0,31

Considerables 27 0,52 0,83

Altas 9 0,17 1,00

52 1,00


pág. 5

a. Sea el evento A: “ventas bajas”, entonces, asociando con la frecuencia relativa, la probabilidad de ocurrencia de A está dado por: ( ) ♦

b. Sea el evento B: “ventas considerables”, entonces, asociando con la frecuencia relativa, la probabilidad de ocurrencia de B está dado por ( ) ♦

c. Sea el evento C: “ventas altas”, entonces, asociando con la frecuencia relativa, la probabilidad de ocurrencia de C está dado por: ( ) ♦

d. Sea el evento D: “ventas por lo menos considerables”, entonces, asociando con la frecuencia acumulada, la probabilidad de ocurrencia de D está dado por ( ) ♦

1.24. La siguiente tabla muestra el número de computadores vendidos diariamente por una tienda

minorista.

Número de computadores vendidos Número de días

0 12

1 43

2 18

3 20

4 25

Determine la probabilidad de que el número de computadores que se vendan hoy sea: a. Dos computadores. b. Menos de tres computadores.

Computadores vendidos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

0 12 0,10 0,10

1 43 0,36 0,47

2 18 0,15 0,62

3 20 0,17 0,79

4 25 0,21 1,00

118 1,00

a. Sea el evento A: “Dos computadores vendidos”, entonces asociando la frecuencia relativa

con la probabilidad de ocurrencia del evento, la probabilidad de ocurrencia de A está dado por ( ) ♦

b. Sea el evento B: “Menos de tres computadores vendidos”, entonces asociando la frecuencia acumulada con la probabilidad de ocurrencia del evento, la probabilidad de ocurrencia de B está dado por ( ) ♦

1.25. Una empresa tiene 100 empleados. 57 de ellos son trabajadores de la producción, 40 son

supervisores, 2 son secretarias y el empleado que queda es el presidente; suponga que se selecciona un empleado:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de

producción? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de producción

o un supervisor?


pág. 6

c. Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea secretaria. d. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea trabajador de la

producción ni supervisor?

Función Número de casos

Trabajador de producción 57

Supervisor 4

Secretarias 2

Presidente 1

Total 100

a. Sea A el evento: “Empleado seleccionado es trabajador de producción”, entonces, la

probabilidad de que el evento A ocurra está dado por:

( )

♦

b. Sea B el evento: “Empleado seleccionado es trabajador de producción o un supervisor”,

entonces, la probabilidad de que el evento B ocurra está dado por:

( )

♦

c. Sea C el evento: “Empleado seleccionado es secretaria”, entonces, la probabilidad de que

el evento C ocurra está dado por:

( )

♦

Entonces, la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea secretaria está dado por: ( ) ( )

( )

♦

d. Del literal b) se obtuvo que la probabilidad del evento B: “Empleado seleccionado es trabajador de producción o un supervisor” es 0.61; entonces, la probabilidad de que el evento B no ocurra está dado por: ( ) ( ) ♦

1.26. En una caja hay 24 bolas del mismo tamaño pero de 3 colores diferentes. Si al sacar una bola

cualquiera las probabilidades de que salgan: una bola roja es 0.5, una verde 0.375 y una azul es 0.125, ¿en cuánto excede el número de bolas rojas al de azules?

Evento Descripción Probabilidad de ocurrencia Casos favorables

A Bola roja 0.500

B Bola verde 0.375

C Bola azul 0.125 Total: 1.000 24


pág. 7

Bola roja

( )

Bola verde

( )

Bola azul

( )

Exceso de bolas rojas a bolas azules: bolas♦

1.27. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 negras, calcule la

probabilidad de que:

a. No sea negra b. Sea negra o sea roja c. Sea blanca o sea negra.

Contenido Número de casos

Bolas blancas 4

Bolas rojas 5

Bolas negras 3

Total 12

a. Sea el evento N: obtener una bola negra, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento

N está dado por:

( )

♦

La probabilidad de obtener una bola que no sea negra está dada por:

( ) ( )

( )

♦

b. Sea el evento M: obtener una bola negra o una bola roja, entonces la probabilidad de

ocurrencia del evento M está dado por:

( )

♦

c. Sea el evento R: obtener una bola blanca o una bola negra, entonces la probabilidad de

ocurrencia del evento R está dado por:

( )

♦


pág. 8

1.28. Suponga que un gerente de un gran complejo de apartamentos elabora los estimados de probabilidad que se indica sobre la cantidad de apartamentos que estarán vacíos el próximo mes:

Vacantes Probabilidad

0 0.05

1 0.15

2 0.35

3 0.25

4 0.10

5 0.10

Encuentre las siguientes probabilidades: a. No hay apartamentos vacíos.

Sea el evento A: no hay apartamentos vacíos, es decir: 0 vacantes, entonces la probabilidad de ocurrencia de A está dado por ( ) ♦

b. Sea el evento B: “Cuando menos hay cuatro apartamentos vacíos”. ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Sea el evento C: “Hay dos o menos apartamentos vacíos”. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

1.29. Una encuesta de 50 alumnos de una preparatoria, sobre la cantidad de actividades

extracurriculares, dio como resultado los datos de la siguiente tabla:

Cantidad de actividades Frecuencia

0 8

1 20

2 12

3 6

4 3

5 1

a. Sea el evento en que un alumno participe al menos en 1 actividad, determine ( ) b. Sea el evento en que un alumno participa en 3 o más actividades. determine ( ) c. Cuál es la probabilidad de que un alumno participe exactamente en 2 actividades.

Cantidad de actividades Frecuencia Frecuencia relativa

0 8 0.16

1 20 0.40

2 12 0.24

3 6 0.12

4 3 0.06

5 1 0.02

50 1.00


pág. 9

a. Sea el evento en que un alumno participe al menos en 1 actividad, entonces A’: el alumno no participa en ninguna actividad.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Sea el evento en que un alumno participa en 3 o más actividades, entonces: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

c. Cuál es la probabilidad de que un alumno participe exactamente en 2 actividades.

Sea C el evento: alumno participa exactamente en 2 actividades, entonces al asociar la frecuencia relativa con la probabilidad de ocurrencia del evento se tiene ( ) ♦

1.30. Se tiene una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un

estudio de 300 vendedores promedio.

Comisión anual ($) Frecuencia

0 – 4,999 15

5,000 – 9,999 25

10,000 – 14,999 35

15,000 – 19,999 125

20,000 – 24,999 70

25,000 – más 30

Basándose en esta información determine la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a. Entre $ 5,000 y $ 10,000 b. Menor de $ 15,000 c. Más de $ 20,000 d. Entre $ 15,000 y $ 20,000

Comisión anual ($) Frecuencia F Relativa

0 – 4,999 (A) 15 0.05

5,000 – 9,999 (B) 25 0.08

10,000 – 14,999 (C) 35 0.12

15,000 – 19,999 (D) 125 0.42

20,000 – 24,999 (F) 70 0.23

25,000 – más (G) 30 0.10

Total: 300 1.00


pág. 10

a. La probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión entre $ 5,000 y $ 10,000, está dado por: ( ) ♦

b. La probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión menor de $ 15,000, está dado por: ( ) ♦

c. La probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión más de $ 20,000, está dado por: ( ) ♦

d. La probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión entre $15,000 y $ 20,000, está dado por: ( ) ♦


pág. 11

2. COMBINACIÓN DE EVENTOS

2.26. Si la probabilidad de ocurrencia de dos sucesos independientes es 0,2 y la de ocurrencia de uno de ellos es 0,7, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia del otro suceso?

Sean A y B dos sucesos independientes, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Además, ( ) entonces: ( )

( )

♦

2.27. Dos sucesos tienen probabilidades 0.40 y 0.50; sabiendo que son independientes, calcule la

probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.

Evento Probabilidad ocurrencia Probabilidad no ocurrencia

A 0.40 0.60

B 0.50 0.50

A y B son eventos independientes.

La probabilidad que no suceda ninguno de los dos eventos o sucesos está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.28. La Distribuidora vinícola La rioja preguntó a sus clientes si consumían vino entre semana. Los

resultados fueron que el 57% consumen vinos del país, el 33% vinos de importación, y el 63% consumen vinos del país y vinos importados. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de la vinícola consuma vino importado o del país en una semana cualquiera?

Evento Descripción Probabilidad ocurrencia

A Cliente consume vino del país 0.57

B Cliente consume vino importado 0.33

A y B Cliente consume vinos del país y vinos importados 0.63

La probabilidad de que un cliente consuma vino del país o vino importado está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 12

2.29. En una clase hay 16 niños y 24 niñas. La mitad de los niños y la mitad de las niñas tienen pelo negro. Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea niño o tenga el pelo negro.

Número de niños: 16 Número de niñas: 24 Número de alumnos: 40

Número de niños con pelo negro: 8 Número de niñas con pelo negro: 12 Número de alumnos con pelo negro: 20


A Alumno es niño 16/40

B Alumno con pelo negro 20/40

A y B Alumno niño con pelo negro 8/40

( ) ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

2.30. La probabilidad de cara de dos monedas “arregladas” son 0,4 y 0,7 respectivamente. Calcular

la probabilidad de que al lanzar las dos monedas salga sólo una cara.


Probabilidad no ocurrencia

A Obtener cara con la primera moneda 0.40 0.60

B Obtener cara con la segunda moneda 0.70 0.30

Obtener solo una cara en el lanzamiento de las dos monedas registra los siguientes eventos: C: Cara en la primera moneda y sello en la segunda, o D: Sello en la primera moneda y cara en la segunda. Entonces, la probabilidad de obtener solo una cara en el lanzamiento de las dos monedas está dado por: ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.31. Repetir el ejercicio anterior considerando que las monedas están bien construidas.



A Obtener cara con la primera moneda 0.50 0.50

B Obtener cara con la segunda moneda 0.50 0.50

Obtener solo una cara en el lanzamiento de las dos monedas registra los siguientes eventos: C: Cara en la primera moneda y sello en la segunda, o D: Sello en la primera moneda y cara en la segunda.


pág. 13

La probabilidad de obtener solo una cara en el lanzamiento de las dos monedas está dado por: ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.32. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de aprobar el examen de Estadística. La probabilidad de que aprueben el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes apruebe el examen.


A Estudiante A apruebe el examen de Estadística 1/2

B Estudiante B apruebe el examen de Estadística 1/5

A y B A y B aprueben simultáneamente el examen de Estadística 1/10

A, B son independientes La probabilidad de que al menos uno de los estudiantes apruebe el examen de Estadística es: ( ) ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

2.33. Se descubrió que 60% de los turistas que fue a China visitaron la Ciudad Prohibida, el Templo

del Cielo, la Gran Muralla y otros sitios históricos dentro o cerca de Beijing. 40% de ellos visitó Xi’an, con sus magníficos soldados, caballos y carrozas de terracota, que yacen enterrados desde hace 2 000 años. 30% de los turistas fueron tanto a Beijing como a Xi’an. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista haya visitado uno de estos dos lugares?


A Turista visita Beijing 0.60

B Turista visita Xi’an 0.40

A y B Turista visita Beijing y Xi’an 0.30

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.34. Luis compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente de valor es

1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es 1/10. Determine la probabilidad de que:

a. Todas aumenten de valor. b. Ninguna aumente de valor. c. Una aumente de valor. d. Dos aumenten de valor. e. Por lo menos una aumente de valor.


pág. 14



A Acción A aumente de valor 1/3 2/3

B Acción B aumente de valor 3/4 1/4

C Acción C aumente de valor 1/10 9/10

a. La probabilidad de que todas aumenten de valor está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

b. La probabilidad de que ninguna aumente de valor está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

c. Sean los eventos:

D: Aumenta el valor la acción A y disminuyen B y C E: Aumenta el valor la acción B y disminuyen A y C F: Aumente el valor la acción C y disminuyen A y B

La probabilidad de que una acción aumente de valor está dado por:

, - ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, -

, -

♦

d. Sean los eventos:

D: Aumenta el valor la acción A y B y disminuye C E: Aumenta el valor la acción A y C y disminuye B F: Aumente el valor la acción B y C y disminuye A La probabilidad de que dos acciones aumenten de valor está dado por:

, - ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, -

, -

♦

e. Sea D el evento al menos una acción aumenta de valor, entonces la probabilidad de

ocurrencia del evento está dado por:

( ) ( )

( )

♦


pág. 15

2.35. Una encuesta realizada a 867 televidentes sobre si la programación de la televisión nacional en términos de la cantidad de violencia y la calidad general de la programación arrojó los siguientes resultados:

624 televidentes opinaron que se había incrementado la cantidad de violencia en los

programas de TV en los últimos 10 años. 390 opinaron que la calidad de la programación había disminuido durante los mismos diez

años. 234 televidentes respondieron que había aumentado la cantidad de violencia en los

programas y también que la calidad había disminuido.

a. Si es el evento en que la cantidad de violencia ha aumentado y el evento en que la calidad de la programación ha disminuido, calcule las probabilidades ( ), ( ) y ( ).

Evento Descripción Probabilidad de ocurrencia

V Cantidad de violencia ha aumentado 624/867=0.72

Q Calidad de los programas ha disminuido 390/867=0.45

V y Q Cantidad de violencia aumenta y calidad de programas disminuye 234/867=0.27

b. Use los resultados del inciso anterior para determinar la probabilidad que un televidente

haya hecho al menos uno de los comentarios siguientes: La cantidad de programas violentos ha aumentado o la calidad de la programación ha disminuido. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Cuál es la probabilidad de que un televidente no esté de acuerdo con cualquiera de los dos comentarios. ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.36. Un ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus A y B que actúan simultánea e

independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A lo detecta con una probabilidad de 0,9 y el programa B lo detecta con una probabilidad de 0,8.

a. La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado. b. La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa A1 y no por A2.



A Programa antivirus A detecta virus 0.90 0.10

B Programa antivirus B detecta virus 0.80 0.20

a. La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado, está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


pág. 16

( ) ( ) ♦

b. La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa Ay no por B está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.37. Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que sea la

misma?

Solución: Sean C y D los dos niños, la probabilidad que el niño C y el niño D hayan escrito una vocal cualquiera es ; y la probabilidad que hayan escrito la misma vocal es 1/25; tal como se indica en el cuadro siguiente:

Evento Niño C Niño D ( ) A: escribió a E: escribió e

I: escribió i O: escribió o U: escribió u Entonces la probabilidad de que C y D hayan escrito la misma vocal está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

♦

2.38. Una encuesta sobre las prestaciones a 254 ejecutivos de corporaciones indicó que a 155 se les

daba teléfonos celulares, a 52 se le pagaba membrecías a un club y a 10 se le daba teléfonos celulares y membrecías a un club, al mismo tiempo, como una prestación asociada con supuesto.

Sea M el evento tener un teléfono celular y C el evento contar con membrecía de un club. a. Determine ( ), ( ) y ( ). b. Calcule, tomando los resultados del ítem anterior, la probabilidad de que un ejecutivo

corporativo tenga al menos una de las dos concesiones c. Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo no tenga alguna de estas concesiones.


M Ejecutivo tenga celular 155/254 = 0.61

C Ejecutivo tenga membresía a un club 52/254 = 0.20

M y C Tenga celular y membresía 10/254 = 0.04


pág. 17

a. la probabilidad de que un ejecutivo corporativo tenga al menos una de las dos concesiones está dado por:

, ( )- ( ) ( ) ( ) , ( )- ♦

b. Sea D el evento: “No tenga ninguna de las dos concesiones”. Recordando que la negación del

evento D es: “tenga al menos una de las dos concesiones”, entonces, la probabilidad de ocurrencia del evento D está dado por: ( ) , ( )- ( ) ( ) ♦

2.39. Suponga que se sabe que en una compañía particular, la probabilidad de permanecer en la

compañía 10 años o más es 1/6. Un hombre y una mujer empiezan a trabajar en esta compañía el mismo día.

a. Cuál es la probabilidad de que el hombre trabaje menos de 10 años en la compañía. b. Cuál es la probabilidad de que ambos, el hombre y la mujer, trabajen en la compañía

menos de 10 años. Se supone que ellos no están relacionados y que, por lo tanto, sus años de servicio en la compañía son independientes entre sí.

c. Cuál es la probabilidad de que uno, el otro, o ambos trabajen más de 10 años.

Sea el evento A: hombre trabaje 10 años o más en la compañía, entonces ( )

Sea el evento B: mujer trabaje 10 años o más en la compañía, entonces ( )


A Hombre trabaja 10 años o más en la compañía 1/6

B Mujer trabaja 10 años o más en la compañía 1/6

a. la probabilidad de que el hombre trabaje menos de 10 años en la compañía, está dado

por:

( )

♦

b. La probabilidad de que ambos, el hombre y la mujer, trabajen en la compañía menos de

10 años. Está dado por:

( ) ( ) ( )

( )

♦

c. La probabilidad de que uno, el otro, o ambos trabajen más de 10 años.

, ( )- ( ) ( ) ( ) , ( )- ( ) ( ) ( ) ( )

, ( )-

, ( )-

♦


pág. 18

2.40. José espera ansiosamente las calificaciones de dos cursos que recientemente terminó. Considera que hay 0.80 de probabilidad de obtener A en literatura y un 0.40 de probabilidad de obtener un A en filosofía. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

a. Ambas calificaciones sean A. b. Ninguna sea A. c. En literatura obtenga A, pero no en filosofía. d. Ninguna de las anteriores.



L Obtener A en Literatura 0.80 0.20

F Obtener A en Filosofía 0.40 0.60

L, F son eventos independientes

a. La probabilidad de que ambas calificaciones sean A está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. La probabilidad de que ninguna sea A está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. La probabilidad de que en literatura obtenga A, pero no en filosofía está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

d. La probabilidad de que no ocurra ninguna de las anteriores, está dado por:

( ) , ( ) ( ) ( ) - ( ) , ( ) ( ) ( ) - ( ) , - ( ) , - ( ) ♦

Alternativa: El evento: “no ocurra ninguna de las anteriores”, equivale al evento: “Obtenga A en filosofía pero no en literatura”, entonces la probabilidad de ocurrencia de este evento está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 19

2.41. El gerente de unos grandes almacenes ha comprobado que un 38% de las familias que residen en determinada ciudad no son clientes habituales y que un 85% de sus clientes pagan de contado el importe de las compras. Seleccione una familia al azar y determine la probabilidad:

a. Sea cliente y pague de contado. b. Sea cliente o pague de contado. c. No sea cliente y pague de contado. d. Sea cliente y pague con tarjeta de crédito. e. Sea cliente o pague con tarjeta de crédito. f. No sea cliente y pague con tarjeta de crédito.



A Familia cliente habitual 0.62 0.38

B Pago de contado 0.85 0.15

A, B son eventos independientes

a. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar sea cliente y pague de contado, está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar sea cliente o pague de contado,

está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar no sea cliente y pague de contado,

está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

d. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar sea cliente y pague con tarjeta de

crédito, está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

e. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar sea cliente o pague con tarjeta de

crédito, está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 20

f. La probabilidad de que una familia seleccionada al azar no sea cliente y pague con tarjeta de crédito, está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.42. La probabilidad de que una máquina produzca una tuerca hexagonal aceptable es del 90%. Si

las piezas sucesivas son independientes entre sí (un supuesto razonable si el proceso está bajo control) encuentre la probabilidad de obtener lo siguiente:

a. Dos piezas seguidas no sean aceptables. b. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en ese orden. c. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en cualquier orden. d. Tres piezas defectuosas seguidas.

Evento Identificación Probabilidad de ocurrencia

Probabilidad de no ocurrencia

Tuerca aceptable A 0.90 0.10

Tuerca aceptable B 0.90 0.10

Tuerca aceptable C 0.90 0.10

a. Dos piezas seguidas no sean aceptables.

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en ese orden. ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en cualquier orden.

Primera pieza aceptable y segunda pieza defectuosa o, Primera pieza defectuosa y segunda aceptable. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

d. Tres piezas aceptables seguidas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.43. Miguel tiene dos autos viejos. En las mañanas frías hay un 20 % de probabilidad de que uno no funcione y un 30% de que el otro tampoco:

a. Encuentre la probabilidad de que ninguno funcione. b. Halle la probabilidad de que solamente uno funcione.


pág. 21

Identificación Evento Probabilidad ocurrencia


A Auto viejo A funcione 0.80 0.20

B Auto viejo B funcione 0.70 0.30

a. La probabilidad de que ninguno funcione está dada por:

, - ( ) ( ) , - ♦

b. La probabilidad de que solamente uno funcione está dado por:

,( ) ( )- ( ) ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )- ,( ) ( )- ♦

2.44. En un programa de empleados que realizan prácticas de gerencia en Claremont Enterprises,

80% de ellos son mujeres y 20% hombres. Noventa por ciento de las mujeres fue a la universidad, así como 78% de los hombres.

Evento Descripción Probabiidad ocurrencia


M Empleado de sexo femenino 0.80 0.20

H Empleado de sexo masculino 0.20 0.80

U Empleado mujer con estudios universitarios 0.90 0.10

U Empleado hombre con estudios universitarios 0.78 0.22

Al azar se elige a un empleado que realiza prácticas de gerencia. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer que no asistió a la universidad?

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.45. En un grupo de estudiantes de la universidad, el 15% estudia Matemáticas, el 30% estudia

Economía y el 10% ambas materias. Se pide:

a. ¿Son independientes los sucesos Estudiar Matemáticas y Estudiar Economía? b. Si se escoge un estudiante del grupo al azar, calcular la probabilidad de que no estudie ni

Matemáticas ni Economía.


A Grupo de estudiantes estudia matemáticas 0.15

B Grupo de estudiantes estudia economía 0.30

A y B Grupo de estudiantes estudia matemáticas y economía 0.10

a. A y B son independientes si se cumple que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como ( ) ; entonces A y B no son eventos independientes.


pág. 22

b. Sea C el evento: “No estudia ni matemáticas ni economía”, entonces la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:

( ) , ( ) ( ) ( )- ( ) , - ( ) ♦

2.46. Si en cada uno de los tres lotes de marcos para cuadros, un 10% presenta defectos de fabricación, ¿Qué probabilidad existe que el inspector no encuentre alguno de estos defectos si inspecciona cada uno de los tres lotes?



A Primer lote con defectos de fabricación 0.10 0.90

B Segundo lote con defectos de fabricación 0.10 0.90

C Tercer lote con defectos de fabricación 0.10 0.90

La probabilidad de que no encuentre algún defecto de fabricación en cada uno de los tres lotes de cuadros está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.47. Al tirar tres veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cruz las tres veces?

¿Qué probabilidad hay de que esto no suceda?


A Obtener cruz en el primer lanzamiento de una moneda 1/2

B Obtener cruz en el segundo lanzamiento de una moneda 1/2

C Obtener cruz en el tercer lanzamiento de una moneda 1/2

a. La probabilidad de que caiga cruz en los tres lanzamientos está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

b. La probabilidad de que lo anterior no suceda está dado por: ( ) ( )

( )

♦

2.48. Las descomposturas de máquinas son independientes entre sí. Se tienen cuatro máquinas,

cuyas respectivas probabilidades de avería son: 1%, 2%, 5% y 10% en un día particular. Calcule las siguientes probabilidades:

a. Todas se descompongan el mismo día. b. Ninguna se descompone.


pág. 23

Máquina A B C D

Averiado 1% 2% 5% 10%

No averiado 99% 98% 95% 90%

Todas se descompongan el mismo día: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

Ninguna se descompone el mismo día: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.49. El periódico informa que hay el 40% de probabilidades de que hoy llueva. Luis considera que la

probabilidad de que apruebe el examen de estadística es 0.38. Suponiendo que estos eventos son independientes determine lo siguiente:

a. Probabilidad de que llueva y apruebe. b. Probabilidad de que no llueva y no apruebe.

Evento Identificación Probabilidad de

ocurrencia Probabilidad de no ocurrencia

Hoy llueve A 0.40 0.60

Luis apruebe Estadística B 0.38 0.62

a. Probabilidad de que llueva y apruebe.

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que no llueva y no apruebe.

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

2.50. A un nuevo modelo de automóvil deportivo le fallan los frenos 15% del tiempo y 5% un mecanismo de dirección defectuoso. Suponga —y espere— que estos problemas se presenten de manera independiente. Si ocurre uno u otro problema, el automóvil recibe el nombre de limón. Si ambos problemas se presentan, el automóvil se denomina riesgo. Su profesor compró uno de estos automóviles el día de ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que sea:

a. un riesgo b. un limón


A Fallan los frenos 0.15

B Mecanismo dirección defectuosa 0.05

A, B son eventos independientes.


pág. 24

a. La probabilidad de un riesgo, es decir la probabilidad que ocurran los dos eventos está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. La probabilidad de un limón, es decir la probabilidad que ocurra uno u otro problema es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 25

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL

3.16. Un banco local informa que 80% de sus clientes tiene cuenta corriente; 60% tiene cuenta de ahorros y 50% cuenta con ambas. Si se elige un cliente al azar,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta corriente dado que posee una

cuenta de ahorros? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta de ahorros dado que posee una

cuenta corriente?


A Cliente tiene cuenta corriente 0.80

B Cliente tiene cuenta de ahorros 0.60

A y B Cliente tiene ambas cuentas (corriente y ahorros) 0.50

a. La probabilidad de que un cliente tenga una cuenta corriente dado que posee una cuenta de

ahorros está dado por:

( ) ( )

( )

♦

b. La probabilidad de que un cliente tenga una cuenta de ahorros dado que posee una cuenta

corriente está dado por:

( ) ( )

( )

♦

3.17. Entre los estudiantes de un colegio se observa que el 5% de los hombres y el 3% de las

mujeres tienen el pelo rubio. Además, el 30% de los estudiantes son mujeres. Si se elige un estudiante al azar y se observa que tiene el pelo rubio, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Sean los eventos: H: estudiante de sexo masculino M: estudiante de sexo femenino R: estudiante con pelo rubio La probabilidad de un estudiante hombre con pelo rubio es: ( ) La probabilidad de un estudiante mujer con pelo rubio es: ( )


H Estudiante de sexo masculino

M Estudiante de sexo femenino 0.30

R Estudiante de pelo rubio

H y R Estudiante de sexo masculino con pelo rubio 0.05

M y R Estudiante de sexo femenino con pelo rubio 0.03

Al seleccionar un estudiante al azar, la probabilidad de que tenga el pelo rubio está dado por:

( ) ,( ) ( )- ( ) ♦


pág. 26

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea mujer, dado que tiene el pelo rubio está dado por:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

♦

3.18. Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas y se obtiene un rey.

a. Si lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda selección? b. Si no lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda

selección? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un rey en la primera carta que se toma de la

baraja y otro rey en la segunda (suponiendo que el primer rey no fue reemplazado?)

a. Sea el evento A: obtener en rey de la baraja de 52, cartas; la baraja está completa puesto que la carta obtenida en el experimento anterior regresó al mazo, entonces:

( )

♦

b. Sea el evento B: obtener en rey de la baraja de 52, cartas; la baraja está incompleta

puesto que el rey que se obtuvo en el primer experimento no ha regresado al mazo, entonces:

( )

♦

c. Sean los eventos:

C: Obtener un rey de una baraja de 52 cartas.

( )

♦

D: Obtener un rey de la misma baraja, tomando en cuenta que el evento C ha ocurrido y la carta no ha regresado al mazo

( )

♦

La probabilidad de que obtener un rey en la primera extracción y un rey en la segunda extracción, tomando en cuenta que la primara carta no ha regresado al mazo está dado por: ( ) ( ) ( )

( )

♦


pág. 27

3.19. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan, una a una, cuatro piezas al azar y sin remplazo,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor del estado vecino? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor

local?


A Primera pieza proveedor local 100/300

B Segunda pieza proveedor local, dado que A ha ocurrido 99/299

C Tercera pieza proveedor local, dado que B ha ocurrido 98/298

D Cuarta pieza proveedor local, dado que C ha ocurrido 97/297

a. La probabilidad de que las cuatro piezas seleccionadas sean del proveedor local está

dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦


E Primera pieza proveedor estado vecino 200/300

F Segunda pieza proveedor estado vecino, dado que E ha ocurrido 199/299

G Tercera pieza proveedor estado vecino, dado que F ha ocurrido 198/298

H Cuarta pieza proveedor estado vecino, dado que G ha ocurrido 197/297

b. La probabilidad de que las cuatro piezas seleccionadas, sean del proveedor del estado

vecino está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

c. Sea el evento:

: Ninguna pieza de la muestra es de proveedor local; Equivale a: Todas las piezas son del proveedor del estado vecino. La probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local es: ( ) ( ) ♦


pág. 28

3.20. Un proveedor minorista de computadoras compró un lote de 1000 discos CD-R e intentó formatearlos para una aplicación particular. Había 857 discos compactos en perfectas condiciones, 112 se podían utilizar, aunque tenían sectores en malas condiciones y el resto no se podía emplear para nada.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un CD seleccionado no se encuentre en perfecto estado? b. Si el disco no se encuentra en perfectas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de que no

se le pueda utilizar?


A CD-R en perfectas condiciones 857/1000

B CD-R en malas condiciones se puede utilizar 112/1000

C CD-R en malas condiciones, no sirve para nada 31/1000

a. La probabilidad de obtener un CD-R que no esté en perfectas condiciones está dado por:

( ) ( )

( )

♦

b. Si el CD-R seleccionado no está en perfectas condiciones, la probabilidad de que el CD-R

seleccionado no se lo puede utilizar esta dada por: ( ) ( ) ( )

( )

♦

3.21. En una urna hay 3 bolas blancas, 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente,

sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que las tres sean rojas.


A Extraer una bola roja 5/12

B Extraer una bola roja dado que A ha ocurrido 4/11

C Extrae runa bola roja dado que B ha ocurrido 3/10

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

3.22. Una urna contiene 6 bolas rojas y cinco bolas negras. Se extrae una bola y se la esconde sin

observar su color. A continuación se extrae una segunda bola. Cuál es la probabilidad de que esta bola sea roja.

Sean los eventos: A: obtener una bola roja en la primera extracción. B: obtener una bola roja en la segunda extracción puesto que A ha ocurrido. C: Obtener una bola negra en la primera extracción D: Obtener una bola roja en la segunda extracción, dado que C ha ocurrido.


pág. 29

La probabilidad de obtener una bola roja en la segunda extracción está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

♦

3.23. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a

limón y 3 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no se sabe de qué sabor son. Se extraen sucesivamente tres caramelos al azar.

a. Calcular la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja, luego uno con sabor

a limón y, por último, uno con sabor a fresa.

b. Calcular la probabilidad de que sean de tres sabores diferentes.

Espacio muestral Caramelos naranja: 10 Caramelos limón: 5 Caramelos fresa: 3 Total: 18

Experimento: Extraer, caramelos: A, B y C sin remplazo. A: Caramelo con sabor a naranja B: Caramelo con sabor a limón C: Caramelo con sabor a fresa

( ) ( ) ( ) ( )

♦

Sean los eventos: D: seleccionar los tres caramelos en el orden A, B, C, E: Seleccionar los tres caramelos en el orden A, C, B F: Seleccionar los tres caramelos en el orden B, A, C G: Seleccionar los tres caramelos en el orden B, C, A H: Seleccionar los tres caramelos en el orden C, A, B J: Seleccionar los tres caramelos en el orden C, B, A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦


pág. 30

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

♦

La probabilidad de seleccionar tres caramelos con sabores diferentes está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

3.24. Una caja contiene 9 papeletas numeradas del 1 al 9 inclusive, si se extraen sucesivamente

tres papeletas, sin regresar a la caja. Hallar la probabilidad de que sean alternativamente:

a. Impar, par, impar. b. Par, impar, par.

a. La probabilidad de obtener tres papeletas con números impar, par e impar está dado

por:

Evento Descripción Probabilidad Ocurrencia

A Papeleta con número Impar 5/9

B Papeleta con número par 4/8

C Papeleta con número impar 4/7

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

b. La probabilidad de obtener tres papeletas con números impar, par e impar está dado

por:

Evento Descripción Probabilidad Ocurrencia

D Papeleta con número par 4/9

E Papeleta con número impar 4/8

F Papeleta con número par 3/7

( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦

3.25. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey nos

dirigimos a la urna I, y en caso contrario, nos dirigimos a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras, y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Hallar:


pág. 31

a. La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II.

A: Rey de una baraja española ( )

♦

A’: carta distinta de rey de una baraja española ( )

♦

B: Bola blanca de la urna I ( )

♦

C: Bola blanca de la urna II ( )

♦

La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II está dada por:

( ) ( ) ( )

♦

b. La probabilidad de que la bola extraída de la urna sea negra.

Sean los eventos:

D: Bola negra de la urna I; ( )

♦

E: Bola negra de la urna I, dado que se obtuvo un rey

( ) ( ) ( ) ( )

♦

F: Bola negra de la urna II; ( )

♦

G: Bola negra de la urna II, dado que no se obtuvo un rey

( ) ( ) ( ) ( )

♦

La probabilidad de que la bola extraída de la urna sea negra está dado por:

( ) ( ) ( )

♦

3.26. Tres operadores (A, B y C) se turnan en el manejo de cierta máquina. El número de partes

producidas por A, B, y C están en relación 3:4:3 y el 5% de A, el 2% de B y el 5% de C es defectuoso. Si una parte es tomada al azar de la salida de la máquina, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

Evento Descripción Proporción producción Probabilidad pieza defectuosa

A Operador A 0.30 0.05

B Operador B 0.40 0.02

C Operador C 0.30 0.05

A, B, C son eventos independientes Sea el evento D: “Pieza defectuosa”, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento D está dado por:


pág. 32

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

3.27. Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto por cien preguntas, cada una de las cuales va acompañada de cuatro respuestas y sólo una es correcta. Sesenta de las preguntas corresponden a la parte del programa que el alumno ha preparado y en las que tiene una probabilidad del 80 % de contestar adecuadamente. En las restantes, señalará al azar una de las cuatro respuestas. Si se elige al azar una de las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que sea correcta?

Evento Descripción Proporción preguntas Probabilidad respuesta

correcta

A Pregunta grupo preparada 0.60 0.80

B Pregunta grupo no preparada 0.40 0.25

A, B, son eventos independientes

Sea el evento C: “respuesta correcta”, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento C está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

3.28. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industria y el 15% para

consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

Evento Descripción Proporción crédito Probabilidad crédito fallido

A Crédito vivienda 0.35 0.20

B Crédito industria 0.50 0.15

C Crédito consumo 0.15 0.70

A, B, C son eventos independientes Sea el evento D: “crédito fallido”, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento D está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 33

3.29. El 60 % de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran extranjeros. De estos, el 40 % eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran extranjeros, tenían menos de 20 años el 30 %. Calcular la probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años.

Evento Descripción Proporción

visitante Probabilidad

menor de 20 años Probabilidad 20

años o más

A Visitante extranjero 0.60 0.40 0.60

B Visitante nacional 0.40 0.30 0.70

A, B, son eventos independientes Sea el evento C: “visitante menor de 20 años”, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento C está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

3.30. Se tienen dos urnas: A: 4 bolas rojas y 6 blancas. B: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona

una urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean del mismo color.

Urna A Urna B

Bolas rojas: 4 Bolas blancas: 6 Total: 10

Bolas rojas: 7 Bolas blancas: 3 Total: 10

Sean los eventos:

A: Seleccionar la urna A, entonces ( )

♦

B: Seleccionar la urna B, entonces ( )

♦

C: Bola blanca de la urna A y bola blanca de la urna B, dado que se tomó de la urna A.

( ) ( ) ( )

(

)

♦

D: Bola blanca de la urna B y bola blanca de la urna A, dado que se tomó de la urna B.

( ) ( ) ( )

(

)

♦

E: Dos bolas blancas

( ) ( )

♦


pág. 34

F: Bola roja de la urna A y bola roja de la urna B, dado que se tomó de la urna A.

( ) ( ) ( )

(

)

♦

G: Bola roja de la urna B y bola roja de la urna A, dado que se tomó de la urna B.

( ) ( ) ( )

(

)

♦

H: Dos bolas rojas

( ) ( )

♦

K: Bolas del mismo color

( ) ( )

♦


pág. 35

4. TABLAS DE PROBABILIDAD 4.11. En un experimento clásico de genética, se determinó el número de entrecruces genéticos en

tres tipos de mosca Drosophila Melanogaster. A continuación se presentan las probabilidades obtenidas.

Mosca Con entrecruce (C) Sin entrecruce (C’) Total

H1 45 35

H2 80 145

H3 10 85

Total

a. Complete el cuadro.


H1 45 35 80

H2 80 65 145

H3 75 10 85

Total 200 110 310

b. Elabore la tabla de probabilidades.


H1 0,15 0,11 0,26

H2 0,26 0,21 0,47

H3 0,24 0,03 0,27

Total 0,65 0,35 1,00

Tomando una mosca al azar determine la probabilidad de que la mosca seleccionada sea:

c. Tipo H1; ( ) ♦

d. Con entrecruce; ( ) ♦

e. Tipo H3 dado que es una mosca con entrecruce

( ) ( )

( )

♦

f. Sin entrecruce dado que es hembra tipo H2;

( ) ( )

( )

♦


pág. 36

4.12. La siguiente tabla muestra la distribución de grupos hemáticos entre la población general:

Tipo A B AB O Total

Rh+ 34 9 4 38

Rh- 6 11 2 16

Total

a. Complete la tabla de datos

Tipo A B AB O Total

Rh+ 34 9 4 38 85

Rh- 6 11 2 16 35

Total 40 20 6 54 120

b. Construya la tabla de probabilidad

Tipo A B AB O Total

Rh+ 0.28 0.08 0.03 0.32 0.71

Rh- 0.05 0.09 0.02 0.13 0.29

Total 0.33 0.17 0.05 0.45 1.00

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O?; ( ) ♦

d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh-?; ( ) ♦

e. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan Rh-?

Evento C: varón con Rh negativo, ( ) Evento D: mujer con Rh negativo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

f. Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan sangre tipo AB?

Evento E: varón con Rh negativo, ( ) Evento F: mujer con Rh negativo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

g. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh- dado que tiene tipo O?

( ) ( )

( )

♦

h. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B, dado que tiene Rh+?

( ) ( )

( )

♦


pág. 37

4.13. La asamblea legislativa de una localidad está conformada por tres partidos políticos PR, PC y PD. Se efectúa una votación para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados de la votación en función del partido al cual pertenecen y su aprobación o no al proyecto:

Partido PR PC PD TOTAL

SI 25 45 30 100

NO 35 22 38 95

Total 60 67 68 195

a. Construya la tabla de probabilidad.

Partido PR PC PD TOTAL

SI 0.13 0.23 0.15 0.51

NO 0.18 0.11 0.19 0.49

Total 0.31 0.34 0.35 1.00

b. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado negativamente por el

proyecto; ( ) ♦

c. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado afirmativamente por el proyecto dado que pertenece al partido PR.

( ) ( )

( )

♦

d. Calcule la probabilidad de que el legislador elegido al azar haya votado negativamente por el

proyecto dado que pertenece al partido PC.

( ) ( )

( )

♦

e. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado afirmativamente por

el proyecto dado que pertenece al partido PD o PR.

, ( )- ( ) ( ) ( )

, ( )- ( )

( )

( )

( )

, ( )-

♦


pág. 38

4.14. A una conferencia de historia asisten 66 profesionales, los varones que son sociólogos son tantos como las mujeres antropólogas; además, el número de mujeres que son sociólogas es tres veces el número de varones que son antropólogos. si en total hay 45 mujeres.

a. Construya la tabla de contingencia

Profesión Sexo

Total Masculino Femenino

Sociólogos x 3y

Antropólogos y x

Total 21 45 66

Se plantea el siguiente sistema: {

Resolviendo el sistema de ecuaciones planteado se tiene ;

Profesión Sexo

Total Masculino Femenino

Sociólogos 9 36 45

Antropólogos 12 9 21

Total 21 45 66

b. Construya la tabla de probabilidades

Profesión Sexo

Total Masculino (C) Femenino (D)

Sociólogos (A) 0,136 0,545 0,682

Antropólogos (B) 0,182 0,136 0,318

Total 0,318 0,682 1,000

c. Si se elige aleatoriamente a uno de los asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que sea

antropóloga?; ( ) ♦

d. Si se elige aleatoriamente a uno de los asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que sea antropólogo?; ( ) ♦

e. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente de sexo femenino dado que es

socióloga.

( ) ( )

( )

♦

f. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente profesional en antropología dado que

es de sexo masculino.

( ) ( )

( )

♦


pág. 39

g. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente que sea socióloga o antropólogo.

,( ) ( )- ( ) ( ) ♦

h. ¿Cuál evento es más probable: seleccionar un sociólogo o una antropóloga?

( ) ( ) Son equiprobables, es decir: ( ) ( )♦

4.15. Se hizo una encuesta a 500 parejas de trabajadores sobre su salario anual, y se obtuvo la

información siguiente:

ESPOSA ESPOSO

Total

212 198 400

36 54 100

Total 248 252 500

a. Construya la tabla de probabilidades.

ESPOSA ESPOSO

Total (C) (D)

(A) 0,424 0,396 0,800

(B) 0,072 0,108 0,200

Total 0,496 0,504 1,000

b. Cuál es la probabilidad de que el esposo gane más de $ 25,000; ( ) ♦

c. Determine la probabilidad de que el esposo gane más de $ 25,000 ya que la esposa gana más

de esa cantidad.

( ) ( )

( )

♦

d. Determine la probabilidad de que la esposa gane más de $ 25,000 ya que el esposo gana

menos de esa cantidad.

( ) ( )

( )

♦


pág. 40

4.16. En la base de datos de una empresa de ventas de productos de consumo masivo se registran 236 vendedores distribuidos en el sector Norte, Centro y Sur de la ciudad tal como se indica en la siguiente tabla:

VENDEDORES SECTOR

Total Norte Centro Sur

Hombres 18 33 50 101

Mujeres 25 45 65 135

Total 43 78 115 236

a. Encuentre la tabla de probabilidades conjuntas

VENDEDORES SECTOR

Total Norte (C) Centro (D) Sur (E)

Hombres (A) 0,076 0,140 0,212 0,428

Mujeres (B) 0,106 0,191 0,275 0,572

Total 0,182 0,331 0,487 1,000

b. Seleccione un registro al azar y encuentre la probabilidad de que el registro seleccionado

corresponda a un vendedor de sexo masculino; ( ) ♦

c. Seleccione un registro al azar y encuentre la probabilidad de que el registro seleccionado corresponda a un vendedor ubicado en el sector norte de la ciudad; ( ) ♦

d. Determine la probabilidad de que el registro seleccionado corresponde a un vendedor de

sexo femenino y que desarrolle su trabajo en el centro de la ciudad; ( ) ♦

e. ¿Cuál evento es más probable: seleccionar un registro de un vendedor de sexo masculino ubicado en el sur de la ciudad o un vendedor de sexo femenino que desarrolle su trabajo en el centro de la ciudad?

Vendedor de sexo masculino ubicado en el sur de la ciudad: ( ) Vendedor de sexo femenino ubicado en el centro de la ciudad: ( )

Es más probable seleccionar un registro corresponde a un vendedor de sexo masculino ubicado en el sur de la ciudad que seleccionar un registro que corresponde a un vendedor de sexo femenino ubicado en el centro de la ciudad.♦

f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un registro de un vendedor que trabaje en el norte de la

ciudad dado que es de sexo masculino?

( ) ( )

( )

♦

g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un registro de un vendedor de sexo femenino dado que

desarrolla su trabajo en el sur de la ciudad?

( ) ( )

( )

♦


pág. 41

4.17. Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta población, estos muestran la escolaridad de los padres y la de sus hijos.

Padre Hijo

Total Fue a la universidad No fue a la universidad

Fue a la universidad 18 7 25

No fue a la universidad 22 33 55

Total 40 40 80

a. Elabore la tabla de probabilidad conjunta.

Padre Hijo

Total Fue a la universidad (C) No fue a la universidad (D)

Fue a la universidad (A) 0,225 0,088 0,313

No fue a la universidad (B) 0,275 0,413 0,688

Total 0,500 0,500 1,000

b. Use las probabilidades marginales para hacer comparaciones de la escolaridad entre padres

e hijos.

La probabilidad de que un padre haya ido a la universidad ( ) es menor que la probabilidad de que un padre no haya ido a la universidad ( ) , es decir; ( ) ( )♦

El evento C: “Hijo fue a la universidad” es equiprobables con el evento D: “Hijo no fue a la

universidad” es decir; ( ) ( )♦

La probabilidad de que un padre haya ido a la universidad ( ) es menor que la probabilidad de que un hijo haya ido a la universidad ( ) , es decir; ( ) ( )♦

La probabilidad de que un padre haya ido a la universidad ( ) es menor que la

probabilidad de que un hijo no haya ido a la universidad ( ) , es decir: ( ) ( )♦

La probabilidad de que un padre no haya ido a la universidad ( ) es mayor que la

probabilidad de que un hijo haya ido a la universidad ( ) , es decir: ( ) ( )♦

La probabilidad de que un padre no haya ido a la universidad ( ) es mayor que la probabilidad de que un hijo no haya ido a la universidad ( ) , es decir: ( ) ( ♦)

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si su padre asistió?

( ) ( )

( )

♦

d. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si su padre no lo hizo?

( ) ( )

( )

♦


pág. 42

e. ¿Es independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o no a la universidad? Explique la respuesta empleando argumentos probabilísticos.

Evento A: Padre fue a la universidad ( ) Evento B: Padre no fue a la universidad ( ) Evento C: Hijo fue a la universidad ( ) Los eventos A y C son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ Los eventos B y C son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ La asistencia del hijo a la universidad no es independiente de que el padre fuera o no a la universidad. ♦

4.18. Un club social tiene los siguientes datos sobre la edad y el estado civil de 140 socios.

Edad Estado civil

Total Soltero Casado

Menor de 30 años 77 14 91

30 años o mayor 28 21 49

Total 105 35 140

a. Forme la tabla de probabilidad conjunta para estos datos.

Edad Estado civil

Total Soltero (C) Casado (D)

Menor de 30 años (A) 0,550 0,100 0,650

30 años o mayor (B) 0,200 0,150 0,350

Total 0,750 0,250 1,000

b. Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre la edad de los miembros de club.

Es más probable que un miembro del club sea menor de 30 años (evento A) que un miembro del club sea mayor de 30 años (evento B); es decir: ( ) ( )♦

c. Emplee las probabilidades marginales para comentar sobre el estado civil de los socios.

Es más probable que un miembro del club sea soltero (evento C) que un miembro del club sea casado (evento D); es decir: ( ) ( )♦

d. Cuál es la probabilidad de encontrar un socio de estado civil soltero y menor de 30 años;

( ) ♦


pág. 43

e. Si un socio tiene menos de 30 años, ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero?

( ) ( )

♦

f. Verifique aplicando probabilidades si el estado civil de los socios es independiente de la

edad.

Evento A: Socio menor de 30 años ( ) Evento B: Socio mayor de 30 años ( ) Evento C: Socio estado civil soltero ( ) Evento D: Socio estado civil casado ( ) Los eventos A y C son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ Los eventos A y D son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ Los eventos B y C son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ Los eventos B y D son independientes si se cumple con: ( ) ( ) ( ) No cumple. ♦ La edad de los socios del club no es independiente del estado civil. ♦

4.19. Una encuesta realizada dio los siguientes resultados acerca de un bono de compensación

anual a 105 directores ejecutivos de empresas de tecnología y financieras. Las percepciones totales se dan en miles de dólares.

Corporación Percepción total anual (miles USD)

Total

De tecnología 17 21 7 45

Financiera 12 31 17 60

Total 29 52 24 105


pág. 44

a. Formar la tabla de probabilidades conjuntas para estos datos.

Corporación Percepción total anual (miles USD)

Total (C) (D) (E)

De tecnología (A) 0,162 0,200 0,067 0,429

Financiera (B) 0,114 0,295 0,162 0,571

Total 0,276 0,495 0,229 1,000

b. Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre el más probable de los tres

intervalos de percepciones.

Evento C: Percepción total anual menos de $ 1,000; ( ) Evento D: Percepción total anual entre $ 1,000 y $ 2,000; ( ) Evento E: Percepción total anual más de $ 2,000; ( ) El evento más probable es el evento D: es decir una percepción total anual entre $ 1,000 y $ 2,000. ♦

c. Calcule la probabilidad de seleccionar un directivo al azar que tenga una percepción total

anual entre $ 1,000 y $ 2,000 dólares dado que pertenece a una corporación de tecnología.

( ) ( )

( )

♦

d. ¿Qué conclusión se puede obtener la probabilidad marginal de corporaciones de tecnología y

corporaciones financieras?

Evento A: Corporación de tecnología; ( ) Evento B: Corporación financiera; ( ) La probabilidad del evento B: Corporación financiera ( ) es mayor que el evento A: Corporación de tecnología ( ) , es decir: ( ) ( )♦

4.20. La siguiente tabla registra el número de cajas de plátanos procedentes de Ecuador y Honduras que han sido rechazadas debido a que se han echado a perder o se encuentran muy maduras:

Procedencia Causas de rechazo

Total Fruta echada a perder Fruta muy madura

Ecuatoriana 200 340 540

Hondureña 320 480 800

Total 520 820 1340

a. Construya la tabla de probabilidades.

Procedencia Causas de rechazo

Total Fruta echada a perder (C) Fruta muy madura (D)

Ecuatoriana (A) 0,149 0,254 0,403

Hondureña (B) 0,239 0,358 0,597

Total 0,388 0,612 1,000


pág. 45

b. Compare las probabilidades marginales de las causas de rechazo.

Evento C: Fruta rechazada por que se ha echado a perder, ( ) Evento D: Fruta rechazada por estar muy madura, ( ) Es más probable que una caja de plátano sea rechazada por estar muy madura a que se porque se ha echado a perder, es decir: ( ) ( )♦

c. Compare las probabilidades marginales de la procedencia del plátano.

Evento A: Procedencia ecuatoriana, ( ) Evento B: Procedencia hondureña, ( ) Es más probable que una caja de plátano sea de procedencia hondureña a que sea de procedencia ecuatoriana, es decir: ( ) ( )♦

d. Al seleccionar al azar una caja rechazada determine la probabilidad de que sea ecuatoriana

dado que el plátano se encuentra muy maduro.

( ) ( )

( )

♦

e. Determine la probabilidad de seleccionar una caja de procedencia hondureña y que se ha

sido rechazada porque el producto se ha echado a perder; ( ) ♦

f. Determine la probabilidad de que la caja seleccionada ha sido rechazada porque se ha echado a perder dado que es de procedencia ecuatoriana.

( ) ( )

( )

♦

g. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar sucesivamente dos cajas de procedencia ecuatoriana

si la primera caja seleccionada no regresa al lote?

Evento F: seleccionar una caja ecuatoriana

( )

Evento G: seleccionar una caja ecuatoriana dado que la anterior es de procedencia ecuatoriana y la caja anterior no regresa al lote,

( )

La probabilidad de seleccionar sucesivamente dos cajas de procedencia ecuatoriana si la primera caja no regresa al lote está dado por:

( ) ( ) ( )

♦


pág. 46

5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES

5.16. Se ha realizado una encuesta a un grupo de estudiantes de informática, entre sus conclusiones está que un 40 % ha recibido algún curso de LINUX. Además, el 20% de aquellos que recibieron algún curso de LINUX tiene ordenador en su casa. Si un 10 % de estudiantes de informática tiene ordenador en casa y no han recibido ningún curso de LINUX, calcular:

a. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa y haya

recibido un curso de LINUX. b. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa. c. Si un estudiante de informática tiene ordenador en casa, la probabilidad de que haya

recibido un curso de LINUX.

Eventos a priori

Evento Descripción Probabilidad

A Estudiante recibió algún curso de LINUX 0.40

B Estudiante no recibió algún curso de LINUX 0.60

Eventos a posteriori



C|A Estudiante tiene computador en casa dado que recibió algún curso de LINUX

0.20 0.80

C|B Estudiante tiene computador en casa dado que no recibió algún curso de LINUX

0.10 0.90

a. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa y haya

recibido un curso de LINUX. ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 47

b. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa. ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Si un estudiante de informática tiene ordenador en casa, la probabilidad de que haya recibido un curso de LINUX.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.17. Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón

y la segunda 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo; calcular:

a. La probabilidad de que el caramelo sea de naranja. b. Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de

la segunda bolsa?

Eventos a priori


A Bolsa de caramelos N° 1 0.50

B Bolsa de caramelos N° 2 0.50


Evento Descripción Probabilidad ocurrencia (naranja)


(limón)

C|A Caramelo de sabor naranja dado bolsa N° 1 15/25 = 3/5 10/25 = 2/5

C|B Caramelo de sabor naranja dado bolsa N° 2 20/45= 4/9 25/45 = 5/9


pág. 48

a. La probabilidad de que el caramelo sea de naranja. ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de la

segunda bolsa?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.18. En un colegio secundario se sabe que el 45% de los estudiantes son varones, de estos el 25%

utiliza lentes y de las mujeres solo lleva lentes el 15%. Se selecciona un estudiante al azar:

a. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea varón y no use lentes. b. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea mujer dado que usa lentes.

Eventos a priori


A Estudiante varón 0.45

B Estudiante mujer 0.55




C|A Estudiante utiliza lentes dado que es varón 0.25 0.75

C|B Estudiante utiliza lentes dado o que es mujer 0.15 0.85

c. Probabilidad de que sea varón y no use lentes:

( ) ( ) ( ) ♦


pág. 49

d. Probabilidad que sea mujer, dado que usa lentes.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.19. Dos máquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce

un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:

a. Probabilidad de que sea defectuosa. b. Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

Eventos a priori


A Pieza producida en la máquina A 100/300 = 1/3

B Pieza producida en la máquina B 200/300 = 2/3




C|A Pieza defectuosa dado que es de la máquina A 0.05 0.95

C|B Pieza defectuosa dado que es de la máquina B 0.06 0.94

a. Probabilidad de que sea defectuosa:

( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

8


pág. 50

5.20. Un hombre toma un autobús o un subterráneo para ir a su trabajo, con probabilidades de 0,3 y 0,7 respectivamente. 30% de las veces que toma el autobús llega tarde a su trabajo, mientras que 20% de las veces que toma el subterráneo llega tarde a su trabajo. Si el hombre llega tarde a su trabajo un día particular, cuál es la probabilidad de que haya tomado el autobús.

Eventos a priori


A Hombre toma un autobús 0.30

B Hombre toma el subterráneo 0.70




C|A Hombre llega tarde al trabajo dado que toma un autobús

0.30 0.70

C|B Hombre llega tarde al trabajo dado que toma el subterráneo

0.20 0.80

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.21. 70% de todo el ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1/20 si no ha habido tratamiento y 1/5 si hubo tratamiento.

a. Si una res enferma se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna

preventiva? b. Si una res enferma no se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que no haya recibido la

vacuna preventiva?


pág. 51

Eventos a priori


A Res vacunada 0.70

A’ Res no vacunada 0.30




C|A Res se recupera de una enfermedad grave dado que ha sido vacunada

1/5 4/5

C|A’ Res se recupera de una enfermedad grave dado que no ha sido vacunada

1/20 19/20

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.22. El 60 % de los alumnos de bachillerato de un Instituto son chicas y el 40 % chicos. La mitad de

los chicos lee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las chicas la lee.

a. Obtener a la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista. b. Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener la probabilidad de que

sea chica.

Eventos a priori


A Estudiante de sexo masculino 0.60

B Estudiante de sexo femenino 0.40


pág. 52




C|A Estudiante lee la revista COMIC dado que es chico 0.50 0.50

C|B Estudiante lee la revista COMIC dado que es chica 0.30 0.70

a. Probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista: ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que sea chica dado que no lee la revista:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.23. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25% de las mujeres son rubias y

el 10 % de los hombres también son rubios. Calcular:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio? b. Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia, ¿cuál es la probabilidad de que sea

mujer?

Eventos a priori


A Miembro de la población de sexo femenino 2/3

B Miembro de la población de sexo masculino 1/3


pág. 53




C|A Persona de pelo rubio dado que es mujer 0.25 0.75

C|B Persona de pelo rubio dado que es hombre 0.10 0.90

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio? ( ) ( ) ( ) ♦

b. Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.24. Hay cuatro candidatos para el cargo de director ejecutivo de Dalton Enterprises. Tres de los

solicitantes tiene más de 60 años de edad. Dos son mujeres, de las cuales sólo una rebasa los 60 años. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato tenga más de 60 años y sea mujer? b. Si el candidato es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años? c. Si el individuo tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Eventos a priori


A Candidato de sexo masculino 0.50

B Candidato de sexo femenino 0.50


pág. 54




C|A Candidato con más de 60 años dado que es hombre 1 0

C|B Candidato con más de 60 años dado que es mujer 0.50 0.50

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato tenga más de 60 años y sea mujer? ( ) ( ) ( ) ♦

b. Si el candidato es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años?)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

c. Si el individuo tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦

5.25. En una ciudad se sabe que el 55% de las personas son mujeres y el 40% son mujeres y mayores

de edad. Asimismo, el 35% de las personas de esa ciudad son hombres mayores de edad. Se elige al azar una persona y resulta ser mayor de edad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea, además, mujer?

Eventos a priori


A Persona seleccionada es mujer 0.55

B Persona seleccionada es hombre 0.45


pág. 55




C|A Persona seleccionada es mayor de edad dado que es mujer

0.40 0.60

C|B Persona seleccionada es mayor de edad dado que es hombre

0.35 0.65

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦


pág. 56

5.26. En un supermercado, el 70% de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80 % supera los $ 20, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad.

Eventos a priori


A Compras realizadas por mujeres 0.70

B Compras realizadas por hombres 030


Evento Descripción Probabilidad ocurrencia Probabilidad no ocurrencia

C|A Compras que superan los $ 20 0.80 0.20

C|B Compras que superan los $ 20 0.30 0.70

a. Elabore el árbol de probabilidad.

b. Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los $20?

( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Si se sabe que un ticket de compra no supera los $ 20, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦


pág. 57

5.27. En una oficina el 70% de los empleados son quiteños. Entre los quiteños hay un 50% de hombres, mientras que de los no quiteños son hombres el 20%.

Eventos a priori


A Empleados quiteños 0.70

A’ Empleados no quiteños 0.30




B|A Empleados hombres que son quiteños 0.50 0.50

B|A’ Empleados hombres que no son quiteños 0.20 0.80

a. ¿Qué porcentaje de empleados no quiteños son mujeres? ( ) ( ) ( ) ♦

b. Calcule la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Fernando trabaja en dicha oficina, ¿cuál es la probabilidad de que sea quiteño?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

♦


pág. 58

5.28. Flashner Marketing Research, Inc., se especializa en la evaluación de las posibles tiendas de ropa para dama en centros comerciales. Al Flashner, el presidente, informa que evalúa las posibles tiendas como buenas, regulares y malas. Los registros de anteriores evaluaciones muestran que 60% de las veces las tiendas fueron evaluadas como buenas; 30% de las veces regulares y 10% de las ocasiones, malas. De las tiendas que fueron calificadas como buenas, 80% hicieron mejoras el primer año; las que fueron calificadas como regulares, 60% hicieron mejoras el primer año y de los que fueron mal evaluadas, 20% hicieron mejoras el primer año. Connie’s Apparel fue uno de los clientes de Flashner. Connie’s Apparel hizo mejoras el año pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que se le haya dado originalmente una mala calificación?

Eventos a priori


A Tienda calificada como buena 0.60

B Tienda calificada como regular 0.30

C Tienda calificada como mala 0.10




D|A Tienda hizo mejoras dado que fue calificada como buena. 0.80 0.20

D|B Tienda hizo mejoras dado que fue calificada como regular. 0.60 0.40

D|C Tienda hizo mejoras dado que fue calificada como mala. 0.20 0.80

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦


pág. 59

5.29. El departamento de crédito de un gran almacén, informó que 30% de las ventas se paga con efectivo; 30% con tarjeta de crédito, y 40% con dinero electrónico; además el 20% de las compras con efectivo, 90% de las compras con tarjeta de crédito y el 60% de las compras con dinero electrónico son por más de $50. Una señora acaba de comprar un vestido nuevo que le costó $120. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?

Eventos a priori


A Pago con efectivo 0.30

B Pago con tarjeta de crédito 0.30

C Pago con dinero electrónico 0.40




D|A Compra por más de $ 50 pagada con efectivo 0.20 0.80

D|B Compra por más de $ 50 pagada con tarjeta de crédito 0.90 0.10

D|C Compra por más de $ 50 pagada con dinero electrónico 0.60 0.40

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦


pág. 60

5.30. Horwege Electronics, Inc., compra partes (repuestos) de televisión a cuatro proveedores. Tyson Wholesale proporciona 20% de las partes; Fuji Importers 30%, Kirkpatricks 25%, y Parts, Inc., 25%. Tyson Wholesale normalmente tiene la mejor calidad, ya que sólo 3% de sus repuestos llegan defectuosos. 4% de los repuestos de Fuji Importers están defectuosos; 7% de los tubos de Kirkpatricks y 8% de los repuestos de Parts, Inc., tienen defectos.

a. Al tomar un repuesto al azar ¿cuál es el la probabilidad de que sea defectuoso? b. Al tomar un repuesto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? c. Un tubo de televisión defectuoso fue descubierto en el último envío. ¿Cuál es la

probabilidad de que proviniera de Tyson Wholesale?

Eventos a priori


A Proveedor Tyson Wholesale 0.20

B Proveedor Fuji Importers 0.30

C Proveedor Kirkpatricks 0.25

D Parts, Inc. 0.25




F|A Repuesto defectuoso dado que es de Tyson Wholesale 0.03 0.97

F|B Repuesto defectuoso dado que es de Fuji Importers 0.04 0.96

F|C Repuesto defectuoso dado que es de Kirkpatricks 0.07 0.93

F|D Repuesto defectuosos dado que es de Parts, Inc. 0.08 0.92


pág. 61

a. Al tomar un repuesto al azar ¿cuál es el la probabilidad de que sea defectuoso?

( ) ,( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Al tomar un repuesto al azar ¿cuál es el la probabilidad de que no sea defectuoso?

( ) ,( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Un tubo de televisión defectuoso fue descubierto en el último envío. ¿Cuál es la probabilidad

de que proviniera de Tyson Wholesale?

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

♦


pág. 62

6. COMBINATORIA Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD 6.46. Hallar el valor de:

(

)

(

)

(

)

(

)

♦

6.47. Calcule el valor de si:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ♦

6.48. Hallar en la ecuación:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ♦ ; ♦


pág. 63

6.49. Hallar en la ecuación: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

♦ ; ♦

6.50. Dada la expresión, encuentre el valor de que satisfaga la ecuación:

( ) ( )

( )

( ) ,( ) ( )-

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ♦ ; ♦

6.51. Dada la expresión:

( )

( )

( )

( )

Además, se sabe que ; hallar el valor de ( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

;

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

♦


pág. 64

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANALISIS COMBINATORIO 6.52. Un joven tiene 2 pares de zapatos, 5 pantalones, 3 camisas y 2 chaquetas. De cuántas maneras

diferentes se puede vestir el joven si cada vez debe vestirse con zapatos, camisa, pantalón y chaqueta.

Evento Descripción Número de maneras

A Zapatos seleccionados 2

B Pantalones seleccionados 5

C Camisas seleccionadas 3

D Chaquetas seleccionadas 2

♦

6.53. Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde haría la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de cocina, De cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez.


A Radio seleccionada 4

B Cocina seleccionada 2

♦

6.54. Una compañía de construcciones ofrece cinco diseños de exterior a los posibles compradores.

La constructora ha uniformado tres planos de interior que pueden incorporarse a cualquiera de los cinco modelos de exteriores. ¿Cuántos planos de exterior e interior se pueden ofrecer a los posibles compradores?

Evento Número de maneras posibles

A: Planos exteriores 5

B: Planos interiores 3

♦

6.55. Se va a conformar un comité de 3 miembros compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración, y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores, 2 de la administración y 4 del gobierno. Determinar cuántos comités diferentes se pueden conformarse.

Evento Número de maneras posibles

A: Elegir un representante de los trabajadores 3

B: Elegir un representante de la administración 2

C: Elegir un representante del gobierno 4

♦


pág. 65

6.56. Como ingeniero constructor de Base Electronics, usted debe determinar ¿cuántos reproductores de CD puede ensamblar de tal forma que tengan un sistema de parlantes, un tocadiscos y un mecanismo de sintonización si usted puede escoger entre 3 sistemas distintos de parlantes, 4 de tocadiscos y 2 de sintonización?

Opciones Número de maneras posibles

A: Sistemas de parlantes 3

B: Tocadiscos 4

C: Mecanismos de sintonización 2

♦ 6.57. Un ingeniero químico está diseñando un experimento para determinar el efecto de

temperatura, la razón de activación y el tipo de catalizador en la producción de reacción dada. Quiere estudiar cinco temperaturas diferentes de reacción, dos razones de activación distintas y cuatro catalizadores diferentes. Si cada operación del experimento implica la elección de una temperatura, una razón de activación y un catalizador, ¿cuántas operaciones diferentes son posibles?

Opciones Número de maneras posibles

A: Efecto de temperatura 5

B: Razón de activación 2

C: Tipo de catalizador 4

♦

6.58. Sus dos compañeros de cuarto están enfermos y a usted lo envían a un centro estudiantil para

llevar comida a cada uno de ellos. Si usted debe escoger entre cinco selecciones de menú, en cuántas formas puede alimentar a sus compañeros considerando:

a. El menú debe ser diferente para cada uno de los enfermos. b. El menú puede ser el mismo.

a. El menú debe ser diferente para cada uno de los enfermos.

EVENTO DESCRIPCIÓN NÚMERO DE MANERAS

A Alimentar al primer enfermo 5

B Alimentar al segundo enfermo 4

♦

b. El menú debe ser diferente para cada uno de los enfermos.

EVENTO DESCRIPCIÓN NÚMERO DE MANERAS

A Alimentar al primer enfermo 5

B Alimentar al segundo enfermo 5

♦


pág. 66

6.59. Una prueba consta de 15 preguntas. Diez son preguntas verdadero- falso y cinco son de elección múltiple que tienen cuatro opciones cada una. Un estudiante debe seleccionar una respuesta para cada pregunta. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta prueba?


A Preguntas verdadero-falso (2 respuestas en 10 preguntas) B Preguntas selección múltiple (4 respuestas en 5 preguntas)

♦ 6.60. Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1,. . . ,9?

a. Permitiendo repeticiones. b. Sin repeticiones. c. Si el último dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones.

a. Permitiendo repeticiones.

Si el número tiene 4 dígitos entonces de izquierda a derecha se tiene: unidad de mil, centenas, decenas y unidades; de esta manera en la primera cifra - unidades de mil - podrá ir cualquiera de los 10 dígitos, excepto el cero; en las demás cifras podrá ir cualquiera de los 10 dígitos.


A Ocupar el puesto de las unidades de mil. 9

B Ocupar el puesto de las centenas. 10

C Ocupar el puesto de las decenas. 10

D Ocupar el puesto de las unidades. 10

♦

b. Sin repeticiones.

Si el número tiene 4 dígitos entonces de izquierda a derecha se tiene: unidad de mil, centenas, decenas y unidades; de esta manera en la primera cifra - unidades de mil - podrá ir cualquiera de los 10 dígitos, excepto el cero; en las demás cifras podrá ir cualquiera de los 10 dígitos excepto el dígito utilizado en la cifra de la izquierda.






♦

c. Si el último dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones.






♦


pág. 67

6.61. Seis matrimonios posan en fila para una fotografía, ¿de cuántas maneras pueden colocarse si los miembros de cada pareja deben aparecer juntos?


A Ordenar los 2 miembros de cada matrimonio ( ) ( ) B Ordenar los 6 matrimonios ( ) ( )

♦

6.62. La puerta de un centro de cómputo tiene una contraseña que consta de 5 botones numerados

del 1 al 5. La clave que abre la puerta es una secuencia de 5 números.

a. ¿Cuantas claves de acceso son factibles si cada número debe ser utilizado una sola vez? b. ¿Cuántas clases son posibles si no hay restricciones en las veces que se utilice el mismo

número?

a. ¿Cuantas claves de acceso son factibles si cada número debe ser utilizado una sola vez? Se trata de ordenar o realizar arreglos de los 5 números en grupos de 5 elementos sin repetirlos, entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por: ( ) ( )

( ) ( ) ♦ Alternativa:


A Primer número de la contraseña 5

B Segundo número de la contraseña 4

C Tercer número de la contraseña 3

D Cuarto número de la contraseña 2

E Quinto número de la contraseña 1

♦ b. ¿Cuántas clases son posibles si no hay restricciones en las veces que se utilice el mismo

número?


A Primer número de la contraseña 5

B Segundo número de la contraseña 5

C Tercer número de la contraseña 5

D Cuarto número de la contraseña 5

E Quinto número de la contraseña 5

♦


pág. 68

6.63. De los 10 ejecutivos, 3 van a ser seleccionados para que sirvan como presidente, vicepresidente y tesorero. ¿Cuántas selecciones distintas son posibles?

Solución.- Se trata de ordenar o realizar arreglos de los 10 ejecutivos en grupos de 3 elementos (presidente vicepresidente y secretario), entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por:

( )

( )

♦

6.64. Existen tres rutas diferentes que conectan a la ciudad A con la ciudad B

a. En cuántas maneras diferentes puede hacerse un viaje de ida y vuelta desde la ciudad A a

la B y viceversa; detalle los eventos. Sean las rutas R1; R2 y R3; El número de maneras diferentes que se puede hacer un viaje de ida y vuelta, desde la ciudad A hasta la cuidad B y viceversa está dado por: ( ) ( ) Maneras♦ Sentido ABA (Desde la ciudad A hasta la ciudad B y viceversa)

1. AB por la ruta R1 y BA por la ruta R1 2. AB por la ruta R2 y BA por la ruta R2 3. AB por la ruta R3 y BA por la ruta R3 4. AB por la ruta R1 y BA por la ruta R2 5. AB por la ruta R1 y BA por la ruta R3 6. AB por la ruta R2 y BA por la ruta R3

b. Cuántas formas si se desea tomar una carretera diferente de regreso; describa los

eventos:

Sean las rutas R1; R2 y R3; El número de maneras diferentes que se puede hacer un viaje de ida y vuelta, desde la ciudad A hasta la cuidad B y viceversa si se desea tomar una carretera diferente de regreso, está dado por:

( )

( )

Maneras♦.

1. AB por la ruta R1 y BA por la ruta R2 2. AB por la ruta R1 y BA por la ruta R3 3. AB por la ruta R2 y BA por la ruta R3

6.65. Hallar cuántos números de tres cifras, iguales o distintas se pueden formar con los dígitos 3, 4,

5, 6, 7.


A Primera cifra 5

B Segunda cifra, se puede repetir la primera 5

C Tercera cifra, se pueden repetir las dos anteriores 5

maneras♦


pág. 69

6.66. En torno a una mesa se han sentado 6 personas para jugar póquer, De cuántas maneras diferentes se pueden sentar alrededor de la mesa.

Se trata de hacer arreglos u ordenaciones circulares con 6 objetos interviniendo todos a la vez entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

6.67. En una pared están clavadas 4 perchas. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colgar de

ellas 3 chaquetas, una en cada percha?

Solución.- El número de arreglos u ordenaciones distintas hacer con elementos (4 perchas) de un conjunto en grupos de elementos (3 chaquetas) es una de elementos en grupos de elementos, es decir:

( )

( )

( )

( )

♦

Alternativa PFAC:


A Colgar la primera chaqueta 4

B Colgar la segunda chaqueta 3

C Colgar la tercera chaqueta 2

maneras♦

6.68. Hallar cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos 0, 3, 5, 7.

Solución.- El número de dos cifras a formar deberá ser mayor o igual a 10 y menor que 99, entonces:


A La primera cifra debe ser formada por los dígitos 3, 5 o 7, excepto el dígito cero.

3

B

La segunda cifra puede ser formada por cualquiera de los tres dígitos, ya que el número a formar debe tener cifras distintas y una de ellas ya ha sido utilizada.

3

maneras♦

6.69. Halle el número de maneras en que 8 personas pueden conducir un coche de madera si uno

debe manejar y otro va de pasajero.

Solución.- Se trata de ordenar o realizar arreglos de las 8 personas en grupos de 2 elementos (conductor y pasajero), entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por:


pág. 70

( )

( )

( )

( )

Alternativa:


A Ocupar el puesto de conductor 8

B Ocupar el puesto de pasajero 7

♦

6.70. Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de vicepresidente de ventas, de manufactura y de finanzas. Halle el número de formas distintas de efectuar los ascensos.

Solución.- Se trata de ordenar o realizar arreglos de los 10 gerentes en grupos de 3 vicepresidencias (ventas, manufactura y finanzas), entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por:

( )

( )

( )

( )

♦

Alternativa:


A Ocupar el puesto de vicepresidente de ventas 10

B Ocupar el puesto de vicepresidente de manufactura 9

C Ocupar el puesto de vicepresidente de finanzas 8

♦

COMBINACIONES 6.71. El club botánico tiene 25 miembros. Van a elegir presidente, vicepresidente, secretario y

tesorero. ¿Cuántos grupos diferentes de cargos se pueden formar?

Solución.- Se debe encontrar el número de directorios de 4 miembros (presidente, vicepresidente, secretario y tesorero) se pueden seleccionar de un total de 25 miembros del club botánico, entonces se tiene una combinación ( ) es decir:

( )

( )

( )

( )

♦


pág. 71

6.72. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño tomada de una población de tamaño para obtener datos para hacer inferencias acerca de las características de la población. Suponga que de una población de 50 cuentas bancarias, desea tomar una muestra de cuatro cuentas con objeto de tener información acerca de la población. ¿Cuantas muestras diferentes de cuatro cuentas pueden obtener?

( )

( )

( )

( )

♦

6.73. Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4 delanteros para componer su equipo de

fútbol. El entrenador duda entre utilizar la táctica 4-3-3 o 5-3-2, en referencia al número de defensas, centro campistas y delanteros a utilizar. ¿Cuántos equipos diferentes podría formar dependiendo de la táctica a utilizar?

a. Táctica 4-3-3: 4 defensas, 3 centrales y 3 delanteros.


A Seleccionar 4 defensas de los 7 existentes ( )

B Seleccionar 3 centrales de los 4 existentes ( ) C Seleccionar 3 delanteros de los 4 existentes ( )

equipos♦

b. Táctica 5-3-2: 5 defensas, 3 centrales y 2 delanteros.


D Seleccionar 5defensas de los 7 existentes ( ) E Seleccionar 3 centrales de los 4 existentes ( )

F Seleccionar 2 delanteros de los 4 existentes ( ) equipos♦

6.74. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras

diferentes puede escoger las preguntas?

a. Sin ninguna restricción b. Si las dos primeras son obligatorias c. Si debe contestar 3 de las 4 primeras?

a. Sin ninguna restricción, entonces el número de maneras diferentes que el estudiante puede

escoger las preguntas está dado por:

( )

( ) ♦

b. Si las dos primeras son obligatorias, entonces debe escoger 3 preguntas de las 5 restantes,

es decir:

( )

( ) ♦


pág. 72

c. Si debe contestar 3 de las 4 primeras, el estudiante podrá escoger de las preguntas de la siguiente manera:


A Seleccionar 3 de las 4 primeras preguntas ( ) B Seleccionar 2 de las ultimas 3 preguntas ( )

maneras♦

6.75. Se desea formar un comité de 7 científicos, seleccionando 4 biólogos, y 3 matemáticos de un grupo de 8 biólogos y 6 matemáticos. ¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?


A Seleccionar 4 biólogos de 8 existentes ( ) B Seleccionar 3 matemáticos de 6 existentes ( )

maneras♦

6.76. Se va a seleccionar una muestra de 3 productos en un lote de 15 productos, ¿cuántas formas

diferentes de hacerlo existen si: a. Importa el orden b. No importa el orden.

a. Si importa el orden, se trata de una combinación de los 15 productos en grupos de 3

productos, entonces:

( )

( ) ♦

b. Si no importa el orden, se trata de una variación de los 15 productos en grupos de 3

productos, entonces:

( )

( ) ♦

6.77. ¿Cuántos comités de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse a partir de un grupo de 8

hombres y 6 mujeres?


A Selección hombres (3 hombres de un total de 8) ( ) B Selección mujeres (4 mujeres de un total de 6) ( )

♦ 6.78. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas de un

grupo de 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas si: a) no hay ninguna restricción y b) hay un hombre y una mujer que tienen que seleccionarse?


pág. 73

a. No hay ninguna restricción


A Selección de dos hombres (2 hombres de 6) ( )

B Selección de 4 mujeres (4 mujeres de 8) ( )

C Selección de 3 niños (3 niños de 4) ( ) D Selección de 3 niñas (3 niños de 5) ( )

selecciones♦

b. Hay un hombre y una mujer que tienen que seleccionarse


A Selección de un hombre de 5 existentes, puesto que uno de ellos ya está seleccionado

( )

B Selección de tres mujeres de 7 existentes, puesto que una de ellas ya está seleccionada

( )

C Selección de 3 niños (3 niños de 4) ( ) D Selección de 3 niñas (3 niños de 5) ( )

selecciones♦

6.79. Camilo’s Burger ofrece sus hamburguesas con una selección de 5 condimentos diferentes:

mostaza, pepinillos, salsa de tomate, cebolla y tomate. ¿Cuántas hamburguesas diferentes pueden comprar?


A Hamburguesa sin condimentos ( ) B Hamburguesa con 1 condimento de los 5 existentes ( )

C Hamburguesa con 2 condimentos de los 5 existentes ( ) D Hamburguesa con 3 condimentos de los 5 existentes ( ) E Hamburguesa con 4 condimentos de los 5 existentes ( )

F Hamburguesa con 5 condimentos de los 5 existentes ( ) Número de hamburguesas que se pueden comprar: 1+5+10+10+5+1=26 hamburguesas♦

6.80. Un hotel dispone de diez habitaciones dobles y seis habitaciones triples. Cierto día recibe a tres

matrimonios sin hijos que ocuparán cuartos dobles y a dos matrimonios con un hijo cada uno, que se alojarán en habitaciones triples. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse las familias en el hotel?


A Habitaciones dobles ( ) B Habitaciones triples ( )

distribuciones♦

APLICACIONES DE LA COMBINATORIA EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

6.81. El acertijo de un periódico presenta un problema de comparación. Los nombres de las 10 provincias de la sierra ecuatoriana aparecen en una columna y las ciudades capitales de provincia se colocan en la segunda columna en lista aleatoria. En el acertijo se pide al lector que ponga en correspondencia a cada provincia con su capital. Si usted realiza las correspondencias al azar:


pág. 74

a. ¿Cuántas correspondencias son posibles? b. ¿Cuál es la probabilidad de que las 10 correspondencias sean correctas?

Eventos Descripción Número de maneras

A Elegir una provincia de la columna izquierda 10

B Elegir una ciudad de la columna derecha 10

selecciones♦

Sea el evento A: “selección de las diez provincias en forma correcta.”, entonces, la probabilidad de ocurrencia de A está dado por:

( )

6.82. En cierto estado, las placas constan de tres letras seguidas de tres números.

a. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer? b. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer de tal forma que ninguna letra o número

aparezca más de una vez? c. Una placa se elige aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna letra o número

aparezca más de una vez? a. El número de placas diferentes, sin restricción en las letras o en los números está dado por:


A Primera letra de la placa 26

B Segunda letra de la placa 26

C Tercera letra de la placa 26

D Primer número de la placa 10

E Segundo número de la placa 10

F Tercer número de la placa 10

Placas diferentes♦.

b. El número de placas diferentes, que se pueden hacer de tal forma que ninguna letra o

número aparezca más de una vez está dada por:


G Primera letra de la placa 26

H Segunda letra de la placa, sin que se repita 25

J Tercera letra de la placa, sin que se repita 24

K Primer número de la placa 10

L Segundo número de la placa, sin que se repita 9

M Tercer número de la placa, sin que se repita 8

Placas ♦

c. Sea el evento N: placa seleccionada que no tenga letras ni números repetidos, entonces, la

probabilidad de ocurrencia de N está dado por:

( )

♦


pág. 75

6.83. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas?

Sea el evento A “De un grupo de 10 piezas se han seleccionado 5 piezas: 2 de las cuales son piezas defectuosas y 3 piezas sin defecto.”, entonces, la probabilidad de ocurrencia de A está dado por:

( )

( ) ( )

( )

♦

6.84. Un director de personal tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De éstos cinco son hombres y tres mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene las mismas probabilidades de ser elegido, Cuál es la probabilidad de ninguna mujer sea contratada.

Sea el evento A: “Ninguna mujer sea contratada”, este evento equivale a: “Elegir 4 hombres para los 4 puestos”; entonces, la probabilidad de ocurrencia del evento equivalente está dado por:

( )

( )

( )

♦

6.85. En un torneo de ajedrez participan 10 grandes maestros, 6 maestros internacionales y 4 maestros nacionales. Los rivales se determina por sorteo, Halle la probabilidad de los siguientes sucesos:

a. En la mesa 1 se encontrarán ajedrecistas que tienen el mismo título. b. En la mesa 2 se enfrentarán ajedrecistas que tienen título diferente.


A Elegir dos grandes maestros de 10 existentes ( ) B Elegir dos maestros internacionales de 6 existentes ( ) C Elegir dos maestros nacionales de 4 existentes ( )

a. La probabilidad de que en la mesa 1 se encontrarán ajedrecistas que tienen el mismo título

está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

♦

b. La probabilidad de que en la mesa 2 se enfrentarán ajedrecistas que tienen título diferente

está dado por:


pág. 76


A Elegir un gran maestro de 10 existentes ( ) B Elegir un maestro internacional de 6 existentes ( ) C Elegir un maestro nacional de 4 existentes ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

♦

6.86. En un concurso de matemáticas participan 8 alumnos y 9 alumnas. Si debe haber dos

ganadores, ¿Cuál es la probabilidad de que los ganadores sean una pareja mixta?

Sea el evento A: seleccionar una pareja mixta, es decir: 1 alumno de los 8 existentes y 1 alumna de las 9 existentes, la probabilidad de ocurrencia del evento A está dado por:

( )

( ) ( )

( )

♦

6.87. Un cajón contiene seis calcetines rojos, cuatro verdes y dos negros. Se elige dos calcetines

aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que combinen?


A Seleccionar dos calcetines de color rojo ( ) 15

B Seleccionar dos calcetines de color verde ( ) 6

C Seleccionar dos calcetines de color negro ( ) 1

Seleccionar dos calcetines ( ) 190

( ) ( ) ( ) ( )

♦

6.88. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 bolas negras. Si se sacan dos bolas al azar cuál es la

probabilidad que sea del mismo color.


A Extraer dos bolas blancas ( )

( )

B Extraer dos bolas negras ( )

( )

La probabilidad de obtener dos bolas del mismo color (blancas o negras) está dado por:

( ) ( ) ( )

♦


pág. 77

6.89. Veinte familias viven en Quito. De ellas, 10 elaboraron sus propias declaraciones de impuestos del año pasado, 7 la encargaron a un profesional de la localidad y los restantes 3 las encargaron a H&R Asociados.

a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a dos familias que hayan preparado sus propias

declaraciones? b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a tres familias que hayan encargado su declaración

a un profesional de la localidad? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a dos familias, a ninguna de las cuales le elaboró

sus declaraciones H&R Block? Sea el evento A: seleccionar dos familias, de las 20 que viven en Quito, que hayan preparado sus propias declaraciones, entonces:

( )

( )

( )

♦

Sea el evento B: seleccionar tres familias, de las 20 que viven en Quito, que hayan encargado sus declaraciones a un profesional de la localidad, entonces:

( )

( )

( )

♦

Sea el evento C: seleccionar dos familias, de las 20 que viven en Quito, cuyas declaraciones las haya realizado H&R Asociados s, entonces:

( )

( )

( )

♦

6.90. Edgar Pazmiño es propietario de una compañía de bienes y raíces, la compañía recientemente

compró cuatro terrenos en Ambato y seis terrenos en Manta. Los terrenos eran igual de atractivos y se venden en el mismo precio aproximadamente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos terrenos que se vendan sean de

Ambato?

Sea el evento A: Venta de dos terrenos en Ambato, La probabilidad de ocurrencia del evento A está dado por:

( )

( )

( )

♦

b. La probabilidad de que por lo menos uno de los siguientes cuatro que se vendan sean de

Manta Sean los eventos: A: Venta de un terreno en Manta y tres terrenos en Ambato. B: Venta de dos terrenos en Manta y dos terrenos en Ambato. C: Venta de tres terrenos en Manta y un terreno en Ambato. D: Venta de cuatro terrenos en Manta.


pág. 78

La probabilidad de que se venda al menos un terreno de Manta en las cuatro siguientes ventas está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

♦

Alternativa.- Sea F el evento: “ninguna de las cuatro ventas de terrenos es de Manta”, entonces la probabilidad de ocurrencia de F está dado por:

( )

( )

( )

♦

La probabilidad de que al menos uno de los cuatro terrenos vendidos sea de Manta es:

( ) ( )

♦


pág. 79

7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 7.21. Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operación en

uso en un hospital durante 20 días: 3 días sólo se usó 1 sala de operaciones, en 5 se usaron 2, en 8 se usaron 3 y en 4 días se usaron 4 salas de operaciones del hospital.

F. Relativa :

1 3 3/20

2 5 1/4

3 8 2/5

4 4 1/5

20 1.00

a. Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas.

;

;

;

b. Construir el histograma

c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

( ) ( ) , ( )- ( )

1 3 0,15 0,45 1,09 1,35

2 5 0,25 1,25 0,12 6,25

3 8 0,40 3,2 2,12 25,60

4 4 0,20 0,8 0,58 3,20

∑ = 20 1,00 5,70 3,91 36,40


pág. 80

Esperanza matemática:

( )

( ) ♦

Desviación estándar:

√ ( )

√ ♦

Varianza: ( ) ( ) ( ) ♦ Comprobación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Coeficiente de variación

♦

7.22. La distribución de probabilidad del número de automóviles nuevos vendidos por día por un

concesionario aparece en la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 5 6 7

( ) 0,20 0,40 0,15 0,03 0,01 0,01

a. Considerando que se trata de una distribución de variable aleatoria discreta, encuentre los

valores que faltan tomando en cuenta que la probabilidad de no vender automóviles es la misma que la de vender 4 automóviles. ♦

b. Construir el histograma


pág. 81

c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

( )

0 0.10 0.00 0.45

1 0.20 0.20 0.26

2 0.40 0.80 0.01

3 0.15 0.45 0.11

4 0.10 0.40 0.35

5 0.03 0.15 0.25

6 0.01 0.06 0.15

7 0.01 0.07 0.24

1.00 2.13 1.81

Esperanza matemática

( )

( ) ♦

Varianza

( ) ( )

( ) ♦

Desviación estándar

√ ( )

√ ♦

Coeficiente de variación

♦

7.23. Una variable aleatoria solo puede tomar 2 valores, el uno el doble del otro. La probabilidad con

la que toma el menor de los valores es el doble de la probabilidad con la que toma el valor mayor y su esperanza es 14/3. Halle la ley de probabilidad de esta variable aleatoria.

(1)

( )

(2)

(1) en (2)

(

)

Entonces la ley de probabilidad de la variable aleatoria es:

7/2 7

( ) 2/3 1/3


pág. 82

7.24. La variable aleatoria discreta tiene solamente dos valores posibles y , además . La probabilidad de que tome el valor es igual a 0.3. Halle la ley de distribución de , conociendo la esperanza ( ) y la varianza ( ) .

( ) ( ) ( )

0.30

( ) (1) ( ) (2)

(1) (1) en (2) (3)

( ) ( ) ( )

( )

Reemplazando (1)

(4)

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (3) y (4) se tiene , Por tratarse de una variable discreta se toma . Reemplazando en (2) se tiene: Finalmente la ley de distribución de probabilidades es:

4 6

( ) 0.30 0.70

7.25. Una variable aleatoria toma los valores 0, 1 y 2 con probabilidades , y

respectivamente. Si se sabe que la esperanza es 4/3 y la varianza 5/9 encuentre los valores de , y .

2

(1) ( )

(2)

( ) ( ) , ( )-

(3)

Resolviendo el sistema se tiene:


pág. 83

7.26. Una variable aleatoria toma 3 valores que forman una progresión geométrica creciente cuyo primer término es igual a 2. Sus respectivas probabilidades forman una progresión aritmética creciente cuyo último término es . Forme la ley de probabilidad de la variable aleatoria si su esperanza es igual a .

De acuerdo con el enunciado, la distribución de probabilidad está dada de la siguiente manera:

2 ( ) 3/5

La suma de términos en una progresión aritmética está dado por:

( )

Entonces:

(

)

Despejando se tiene:

( )

Reemplazando el valor de se tiene:

(

)

Entonces:

2 1/15 2/15

1/3 2 /3

3/5 6 /5

Por otro lado, con el valor de la esperanza se tiene:

( )

Resolviendo la ecuación se tiene

√ ( )( )

( )

Finalmente, la ley de distribución de probabilidad es:

2

( ) 3/5


pág. 84

7.27. Un técnico da servicio a máquinas registradoras asistencia de en cierta ciudad. Dependiendo de la avería el servicio puede durar 1,2, 3 o 4 horas. Las distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia.

a. Defina una distribución de probabilidad de duración del servicio.

Tiempo de servicio ( ) 1 2 3 4

Probabilidad de ocurrencia 0.25 0.25 0.25 0.25

b. Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

c. Verifique que la distribución de probabilidad cumpla con las propiedades que la definen como

tal.

; ; ;

d. Encuentre el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución de

probabilidad

, ( )-

1 0,25 0,25 0,56 0,25

2 0,25 0,50 0,06 1,00

3 0,25 0,75 0,06 2,25

4 0,25 1,00 0,56 4,00

∑= 2,50 1,25 7,50


pág. 85

Esperanza matemática o valor esperado: ( ) ♦

Varianza: ( ) , ( )- ♦

Alternativa de la varianza:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Desviación estándar: ( ) √ ( ) √ ♦

7.28. Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos del gobierno local:

Nivel ejecutivo Cantidad de funcionarios

1 15

2 32

3 84

4 30

5 31

Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados de nivel ejecutivo para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo. Sea la variable aleatoria que indica el nivel de un empleado seleccionado. a. Con los datos anteriores forme una distribución de probabilidad de . Especifique los valores de

la variable aleatoria y los valores correspondientes de la función de probabilidad.

Nivel ejecutivo Cantidad de funcionarios Frecuencia relativa

1 15 0,078

2 32 0,167

3 84 0,438

4 30 0,156

5 31 0,161

∑= 162 1,000

1 2 3 4 5

( ) 0.078 0.167 0.438 0.156 0.161


pág. 86

b. Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

c. Demuestre que la distribución de probabilidad satisface las condiciones para ser calificada como tal.

; ; ; ;

d. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución probabilidad.

, ( )-

1 0.078 0,078 0,363 0,078

2 0.167 0,333 0,223 0,667

3 0.438 1,313 0,011 3,938

4 0.156 0,625 0,111 2,500

5 0.161 0,807 0,549 4,036

∑= 1,00 3,156 1,257 11,219


Varianza: ( ) , ( )- ♦

Alternativa de la varianza:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ♦



pág. 87

7.29. Una investigación reciente muestra que la cantidad promedio de televisores por familia es 2.3. Suponga que la distribución de probabilidad de la cantidad de televisores por familia es que se muestra en la tabla siguiente:

televisores por familia 0 1 2 3 4 5

Probabilidad ( ) 0.01 0.23 0.41 0.20 0.10 0.05

a. Calcule el valor esperado de la cantidad de televisores por familia y compare con el promedio

que menciona la investigación reciente.

, ( )-

0 0,01 0,00 0,05 0,00

1 0,23 0,23 0,39 0,23

2 0,41 0,82 0,04 1,64

3 0,20 0,60 0,10 1,80

4 0,10 0,40 0,29 1,60

5 0,05 0,25 0,36 1,25

∑= 1,00 2,30 1,23 6,52

Esperanza matemática o valor esperado: ( ) ♦ El valor esperado de televisores obtenido de la distribución de probabilidad es el mismo que el valor promedio que muestra la investigación.

b. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar de la cantidad de televisores por familia? Varianza: ( ) , ( )- ♦

Alternativa de la varianza: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ♦

Desviación estándar: ( ) √ ( ) √ ♦ 7.30. Se selecciona al azar un individuo que tiene asegurado su automóvil con una compañía. Sea

el número de infracciones de tránsito por las que el individuo fue citado durante los últimos 3 años. La función masa de probabilidad de es:

0 1 2 3

( ) 0.60 0.25 0.10 0.05


pág. 88

a. Calcule ( ) y ( )

, ( )-

0 0.60 0.00 0.22 0.00

1 0.25 0.25 0.04 0.25

2 0.10 0.20 0.20 0.40

3 0.05 0.15 0.29 0.45

∑= 1.00 0.60 0.74 1.10

Esperanza matemática o valor esperado: ( ) ♦ Varianza: ( ) , ( )- ♦

b. Suponga que un individuo con infracciones incurre en un recargo de $ . Calcule la cantidad esperada del recargo. Valor esperado de

( ) ( ) ( ) ♦


pág. 89

7.31. Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar uno o dos clientes por día, con probabilidad 1/3 y 2/3 respectivamente. Cada entrevista produce una venta de $ 50,000 o ninguna venta con probabilidades 1/10 y 9/10 respectivamente. Encuentre la distribución de probabilidad y determine la esperanza matemática de la distribución.


A Entrevista al cliente A 1/3

D Venta de $ 50,000 1/10

D’ Ninguna venta 9/10

F Entrevista a dos clientes B y C 2/3

H Entrevista a los clientes B y C y no realiza ninguna venta.

( )

I Entrevista a los clientes B y C y realiza una venta.

,( ) ( )-

J Entrevista a los clientes B y c y realiza dos ventas. ,( ) -

Distribución de probabilidad.

Variable aleatoria Valor Probabilidad de ocurrencia

Ninguna venta 0 ( ) ( ) Una venta 50,000 ( ) ( )

Dos ventas 100,000 ( )


pág. 90

0 0.840 -

50,000 0.153 7,666.67

100,000 0.007 66.67

∑= 1,000 7,733.33


7.32. Los registros de una compañía de seguros de automóviles dan la siguiente información sobre

accidentes: la probabilidad de que un conductor asegurado tenga un accidente automovilístico es 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al vehículo es el 20% de su valor en el mercado con probabilidad de 0.80, es el 60% de su valor con probabilidad 0.12 y es una pérdida total con probabilidad 0.08. ¿Qué prima debe cobrar la compañía por un auto de $ 40,000 para que la ganancia esperada de la compañía sea cero.


A Asegurado sufre accidente 0.15

A’ Asegurado no sufre accidente 0.85

B Accidente con reposición del 20% 0.80

C Accidente con reposición del 60% 0.12

D Accidente con reposición total 100% 0.08

Evento F: no hay accidentes, ( ) ( ) ♦

Evento G: Accidente con reposición del 20% ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento H: Accidente con reposición del 80% ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento J: Accidente con reposición total del 100% ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

Utilidad ( ) Probabilidad ( ) 0.850 0.120 0.018 0.012

Valor de la Prima C para que el Valor esperado de la utilidad sea = 0 ( ) , - , - , - ♦


pág. 91

7.33. Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de $ 17,000, una ganancia

de $ 14,000 o una pérdida de $ 10,000, con probabilidades de 0.25, 0.40 y 0.35 respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista.

Eventos Ganancia $ 17,000 10.000,00 0,25 2.500,00

Ganancia $ 14,000 14.000,00 0,40 5.600,00

Pérdida $ 10,000 -10.000,00 0,35 -3.500,00

∑= 1,00 4,600.00♦

7.34. Un dispositivo para la detección de incendios utiliza tres células sensitivas a la temperatura,

que actúan independientemente, de manera que una o varias de ellas pueden accionar la alarma. Cada célula tiene una probabilidad de accionar la alarma cuando la temperatura llega a 60 grados o más. Sea x igual al número de células que accionan la alarma cuando la temperatura llega a 60 grados.

a. Encuentre la distribución aleatoria.


A Alarma 1 funciona 0.80 0.20

B Alarma 2 funciona 0.80 0.20

C Alarma 3 funciona 0.80 0.20

Evento D: ninguna alarma funciona, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento F: funciona 1 alarma, ( ) ,( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento G: funcionan 2 alarmas, ( ) ,( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento H: funcionan 3 alarmas, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Número de alarmas que funcionan ( ) 0 1 2 3

Probabilidad ( ) 0.008 0.096 0.384 0.512


pág. 92

b. Determine la esperanza matemática la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad encontrada.

, ( )-

0 0.008 0,000 0,046 0,000

1 0.096 0,096 0,188 0,096

2 0.384 0,768 0,061 1,536

3 0.512 1,536 0,184 4,608

∑= 1,000 2,400 0,480 6,240

Esperanza matemática o valor esperado: ( ) ♦ Varianza: ( ) , ( )- ♦ Alternativa de la varianza: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ♦


7.35. Un estudio realizado en el año 2015 por dos empresas consultoras indicó la probabilidad de la cantidad de vehículos por familia en una ciudad:

Número de vehículos ( ) Consultora A Consultora B

0 0.045 0.028

1 0.230 0.165

2 0.449 0.489

3 0.169 0.185

4 0.107 0.133

a. ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la cantidad de vehículos por familia para cada

Empresa consultora? Variable aleatoria : Consultora A:

, ( )-

0 0.045 0.000 0.192

1 0.230 0.230 0.260

2 0.449 0.898 0.002

3 0.169 0.507 0.148

4 0.107 0.428 0.401

∑= 1.000 2.063 1.003



pág. 93

Variable aleatoria : Consultora B:

, ( )-

0 0.028 0.000 0.119

1 0.165 0.165 0.186

2 0.489 0.978 0.002

3 0.185 0.555 0.162

4 0.133 0.532 0.499

∑= 1.000 2.230 0.969


b. En forma conjunta ¿Cuál es el valor esperado y la varianza para el número de vehículos por familia, para las dos empresas consultoras? ( ) ( ) ( ) ♦ ( ) ( ) ( ) ♦

7.36. Una empresa de fabricación de computadores planea la expansión de su fábrica que le permita iniciar la manufactura de un nuevo producto informático. El presidente de esta empresa debe determinar si la expansión será un proyecto a escala mediana o grande. Una incertidumbre es la demanda del nuevo producto que para fines de planeación puede ser baja mediana o alta. Los estimados de probabilidad de la demanda son 0.20, 0.50 y 0.30 respectivamente. Si x indica la utilidad anual, en miles de dólares, los planificadores de la empresa han elaborado los siguientes pronósticos de utilidades para los proyectos de expansión en mediana y gran escala.

Demanda Utilidades expansión a escala mediana Utilidades expansión a gran escala

Baja 50 0.20 0 0.20

Mediana 150 0.50 100 0.50

Alta 200 0.30 300 0.30

a. Calcule el valor esperado de la utilidad asociado con las dos alternativas de ampliación. ¿Qué

decisión se prefiere si se trata de maximizar la utilidad esperada? Utilidades (miles USD) en expansión a escala mediana:

, ( )-

50 0.20 10.00 1805.00

100 0.50 75.00 12.50

150 0.30 60.00 907.50

∑= 1.00 145.00 2,725.00


pág. 94

Utilidades (miles USD) en expansión a gran escala:

, ( )-

0 0.20 0.00 3,920.00

100 0.50 50.00 800.00

300 0.30 90.00 7,680.00

∑= 1.00 140.00 12,400.00

Para maximizar la utilidad es preferible una expansión a escala mediana puesto que el valor esperado de la utilidad ($145,000) es mayor que si se trata de una expansión a gran escala ($140,000) ♦.

b. Calcule la varianza de la utilidad asociada con las dos alternativas de ampliación. ¿Qué decisión se prefiere si se trata de minimizar el riesgo o incertidumbre?

Varianza expansión a mediana escala: ( ) , ( )- Varianza expansión a gran escala: ( ) , ( )-

Para minimizar el riesgo o incertidumbre es preferible una expansión a escala mediana puesto que la variabilidad de la utilidad (2,795) es menor que si se trata de una expansión a gran escala (12,400) ♦.

7.37. Una compañía de productos químicos en la actualidad tienen existencia 100 lb de un producto

químico, el cual se vende a sus clientes en lotes de 5 lb. Sea el número de lotes solicitados por un cliente seleccionado al azar y suponga que X tiene la función masa de probabilidad

1 2 3 4

( ) 0.20 0.40 0.30 0.10

a. Calcule ( ) ( ).

, ( )-

1 0,20 0,20 0,34

2 0,40 0,80 0,04

3 0,30 0,90 0,15

4 0,10 0,40 0,29

∑= 1,00 2,30 0,81


b. Calcule el número esperado de libras que quedan una vez que se envía el pedido del siguiente cliente y la varianza del número de libras sobrantes. [Sugerencia: El número de libras que quedan es una función lineal de X].

Sea el número de libras que queda en bodega una vez que se envía el pedido, entonces ; por lo tanto:


pág. 95

El valor esperado de una función lineal está dado por:

( ) ( ) Valor esperado de las libras sobrantes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Libras♦. La varianza de una función lineal está dado por:

( ) ( ) La Varianza del número de libras sobrantes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

7.38. Una compañía de seguros expide una póliza de un año por $1000 dólares contra el suceso A que históricamente le ocurre a 2 de cada 100 propietarios de la póliza. Las tarifas administrativas son de $15 por póliza y no son parte de la “utilidad” de la compañía. ¿Cuánto debe cobrar la compañía por la póliza si requiere que la utilidad esperada por póliza sea de $50? [Sugerencia: si C es la prima por la póliza, la “utilidad” de la compañía es C – 15 si A no ocurre y C – 15 – 1000 si A ocurre.]

Evento Descripción Probabilidad de ocurrencia Probabilidad de no ocurrencia

A Pago de $ 1,000 0.02 0.98

Distribución de probabilidad

Utilidad ( ) Probabilidad ( ) 0.98 0.02

Valor de la Prima C para que el Valor esperado de la utilidad sea = $ 50 ( ) , - , - ♦


pág. 96

7.39. Aproximadamente 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción presentan defectos serios en el vidrio. Si dos botellas se seleccionan al azar, encuentre la media y la varianza del número de botellas que presentan defectos serios.


A Botella con defectos 0.10 0.90

B Botella con defectos 0.10 0.90

Evento C: ninguna de las dos botellas presenta defectos, ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento D: Una de las dos botellas presenta defectos ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦ Evento F: Las dos botellas presentan defectos, ( ) ( ) ( ) ( )

Número de botellas con defectos ( ) 0 1 2

Probabilidad ( ) 0.81 0.18 0.01

c. Determine la esperanza matemática la varianza y la desviación estándar de la distribución de

probabilidad encontrada.

, ( )-

0 0.81 0.00 0.03 0.00

1 0.18 0.18 0.12 0.18

2 0.01 0.02 0.03 0.04

∑= 1.00 0.20 0.18 0.22

Esperanza matemática o valor esperado: ( ) ♦ Varianza: ( ) , ( )- ♦ Alternativa de la varianza: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ♦



pág. 97

7.40. Dos contratos de construcción se van a asignar al azar a una o más de tres empresas: I, II y III. Cualquier empresa puede recibir ambos contratos. Si cada contrato dará una utilidad de $90,000 para la empresa, encuentre la utilidad esperada para la empresa I. Si las empresas I y II son propiedad de la misma persona, ¿cuál es la utilidad esperada total del propietario?



A Se asigna el primer contrato a una de las 3 empresas.

1/3 2/3

B Se asigna el segundo contrato a una de las 3 empresas.

1/3 2/3

Para cualquiera de las 3 empresas se presentan los siguientes eventos: Evento C: ninguno de los dos contratos ha sido asignado.

( ) ( ) ( ) ( )

Evento F: Uno de los dos contratos ha sido asignado. ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Evento H: Los dos contratos han sido asignados.

( ) ( )

Distribución de probabilidad

Utilidad ( ) 0 90,000 180,000

Probabilidad ( ) 4/9 4/9 1/9

Valor esperado:

0 4/9 0.00

90,000 4/9 40,000.00

180,000 1/9 20,000.00

∑= 1.00 60,000.00


Para las dos Empresas, del mismo propietario, por ser eventos independientes se tiene que:

( ) ♦


pág. 98

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOULLI

8.21. Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar:

a. Un cerrojo sea defectuoso, b. Dos cerrojos sean defectuosos c. más de dos cerrojos sean defectuosos.

Variable Aleatoria ; ( ) ( ) ( ) a. Exactamente 1 cerrojo defectuoso;

( ) ( ) ( ) ( ) ♦ b. Exactamente 2 cerrojos defectuosos;

( ) ( ) ( ) ( ) ♦ c. Más de 2 cerrojos defectuosos;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

8.22. Gonzalo Rivera, un abogado que trabaja en la oficina de defensa del inquilino estima que, en

promedio, siete de los que acuden a la oficina son personas que (en su opinión) fueron desalojadas de su casa injustamente. Además, estima que, en promedio, cinco de los que acuden a la oficina son personas cuyos dueños de casa les han aumentado la renta ilegalmente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que seis de los que acuden diariamente informen de un desalojo

injustificado? b. Cuál es la probabilidad de que ocho de los que acuden diariamente a la oficina hayan sufrido

un aumento ilegal de su alquiler.

Variable Aleatoria .

/ ( ) ( )

Variable Aleatoria .

/ ( ) ( )

a. 6 casos informen desalojo injustificado;

( ) ( ) (

)

(

)

♦

b. 8 casos informen aumento de alquiler;

( ) ( ) .

/ .

/

♦


pág. 99

8.23. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga:

a. 2 elementos defectuosos. b. Menos de 3 elementos defectuosos. c. Entre 3 y 5 elementos defectuosos (ambos incluidos).

Variable Aleatoria ; Pañuelo defectuoso ( ) ( ) ( )

a. Exactamente 2 pañuelos defectuosos;

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Menos de 3 elementos defectuosos;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

c. Entre 3 y 5 elementos defectuosos (incluidos)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

8.24. Las investigaciones médicas señalan que el 20% de la población general sufre efectos negativos

colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Si un médico receta dicho fármaco a cuatro pacientes, cuál es la probabilidad de que:

a. Ninguno sufra efectos colaterales. b. Todos los tengan. c. Al menos uno presente efectos colaterales.

Evento aleatorio : efectos negativos colaterales al ingerir el nuevo fármaco ( ) ( ) ( )

a. Probabilidad que ninguno sufra efectos colaterales.

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que todos los tengan.

( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 100

c. Probabilidad de que al menos uno presente efectos colaterales.

( ) ( ) ( ) ♦

8.25. Los registros de una pequeña compañía de servicios indican que el 40% de las facturas que

envían son pagadas después de la fecha de vencimiento. Si se envían 14 facturas, encuentre la probabilidad de que:

a. Tres facturas se paguen con retraso. b. Cuando menos dos se paguen con retraso. c. Menos de la mitad se paguen con retraso.

Evento aleatorio : facturas pagadas después de la fecha de vencimiento ( ) ( ) ( ) a. Probabilidad que tres se paguen con retraso

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que al menos dos se paguen con retraso.

( ) ( )

( ) , ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , - ( ) ♦

c. Menos de la mitad se paguen con retraso,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦


pág. 101

8.26. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Evento aleatorio x: unidad defectuosa en una línea de ensamblaje ( ) ( ) ( ) a. Probabilidad que dos se encuentren defectuosas

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

c. Por lo menos una se encuentre defectuosa, ,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦ 8.27. Si las probabilidades de ganar y perder en una partida son iguales y vale 0.5. determine cual

evento es más probable:

a. Ganar 3 partidas de 4 o ganar 5 partidas de 8 b. Ganar no menos de 3 partidas de 4 o ganar no menos 5 de 8

Evento aleatorio : ganar una partida, ( ) ( ) ( )

Probabilidad de ganar tres partidas de cuatro,

( ) ( ) ( ) ( )

Probabilidad de ganar cinco partidas de ocho,

( ) ( ) ( ) ( )

; es más probable ganar 3 partidas de 4 que cinco partidas de ocho. ♦


pág. 102

Probabilidad de ganar no menos tres partidas de cuatro, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Probabilidad de ganar no menos cinco partidas de ocho,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ; es más probable ganar no menos 5 partidas de 8 que no menos tres partidas de cuatro♦

8.28. En la transmisión de un mensaje compuesto por signos, la probabilidad de que ocurra un error

en un signo es 0.1. Calcule la probabilidad de que en un mensaje de 4 signos:

a. No haya errores. b. Ocurra un error. c. Ocurra no menos de un error.

Evento aleatorio : errores en mensaje de signos, ( ) ( ) ( ) a. Probabilidad que no haya errores,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad ocurra un error,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Probabilidad ocurra no menos de un error,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦


pág. 103

8.29. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 lleguen vivas al final del experimento?

Evento aleatorio : rata viva después de usar el fármaco, .

/

Probabilidad que al menos 8 ratas lleguen vivas al final del experimento,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ♦

8.30. Con base en encuestas al consumidor se sabe que la preferencia de este con respecto a dos

marcas A y B de un producto dado se encuentra muy pareja. Si la opción de compra entre estas marcas es independiente, cuál es la probabilidad de que entre 25 personas seleccionadas al azar, no más de diez tengan preferencia con la marca A.

Evento aleatorio x: consumidores prefieren la marca A, ( )

Probabilidad que no más de 10 consumidores prefieran la marca A,

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 1,00000000 0,00000003 0,00000003

1 25 0,50000000 0,00000006 0,00000075

2 300 0,25000000 0,00000012 0,00000894

3 2300 0,12500000 0,00000024 0,00006855

4 12650 0,06250000 0,00000048 0,00037700

5 53130 0,03125000 0,00000095 0,00158340

6 177100 0,01562500 0,00000191 0,00527799

7 480700 0,00781250 0,00000381 0,01432598

8 1081575 0,00390625 0,00000763 0,03223345

9 2042975 0,00195313 0,00001526 0,06088540

10 3268760 0,00097656 0,00003052 0,09741664

0,21217811

( ) ♦


pág. 104

8.31. Dos vendedores tienen el 20% de posibilidades de cerrar una venta con un cliente cualquiera. Si el primero llama a cinco clientes y el segundo a ocho:

a. Cuál es la probabilidad de que el primer vendedor haga menos de 3 ventas. b. Cuál es la probabilidad de que el segundo vendedor haga más de 5 y menos de 8 ventas. c. Cuál es la probabilidad de que entre los dos vendedores no se haga ninguna venta.

Evento aleatorio : vendedor A cierra una venta, ( ) Evento aleatorio : vendedor A cierra una venta, ( )

a. Probabilidad de que el primer vendedor haga menos de 3 ventas,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que el segundo vendedor haga más de 5 y menos de 8 ventas ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ♦

c. Probabilidad de que de que entre los dos vendedores no se haga ninguna venta,

Probabilidad de que Vendedor A no haga ninguna venta,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Probabilidad de que Vendedor B no haga ninguna venta,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ,( ) ( )-

,( ) ( )- ♦


pág. 105

8.32. Repetidas estadísticas realizadas en todo el mundo han dado origen a la distribución de probabilidad del sexo del recién nacido ( ) ( ) . Si un matrimonio tiene 4 hijos calcule la probabilidad:

a. De que todos sean varones. b. De que al menos haya una chica. c. Encuentre el número esperado de hijos varones y la varianza.

Evento aleatorio : hijo varón, ( ) ( ) ( )

a. Probabilidad de que el matrimonio tenga 4 hijos varones,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

Evento aleatorio : hija mujer, ( )

b. Probabilidad de que al menos haya una chica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

c. Encuentre el número esperado de hijos varones y la varianza.

( ) ( ) ♦

8.33. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a una cierta distancia

es 0.3. Si lo intenta 6 veces determine:

a. La probabilidad de que no acierte ninguna. b. La probabilidad de que acierte algún lanzamiento. c. La probabilidad de que acierte dos lanzamientos.

Evento aleatorio : hacer hoyo en un lanzamiento, ( ) ( ) ( )

a. Probabilidad de que no acierte ningún hoyo,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que acierte algún lanzamiento,

( ) ( )

( ) ♦


pág. 106

c. Probabilidad de que no acierte ningún hoyo,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

8.34. Una empleada de un cibercafé controla 5 computadoras del mismo tipo. La probabilidad de

que una máquina requiera la atención empleada en el lapso de una hora es

. Calcule la

probabilidad de que, en el curso de una hora, la empleada será requerida para atender a:

a. Tres máquinas. b. No menos de dos máquinas.

Evento aleatorio : máquina requiere atención, .

/ ( ) ( )

a. Probabilidad de que tres máquinas requieren atención,

( ) ( ) (

)

(

)

♦

b. Probabilidad de que no menos de dos máquina requieren atención,

( ) ( )

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) ( ) , ( ) ( )- ( ) , -

( ) ♦

8.35. La probabilidad de que un jugador de tenis gane un partido es 0.25. Si juega cuatro partidos,

calcule la probabilidad de que gane más de la mitad. Evento aleatorio : ganar una partida de tenis, ( )

Probabilidad de ganar más de la mitad,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ♦


pág. 107

8.36. Una prueba tiene 10 preguntas de selección múltiple, cada una de las cuales tiene cuatro opciones. Un estudiante se propone adivinar en el examen y se pregunta cuál será la probabilidad de éxito en la prueba; cuál es la probabilidad de aprobar si cada pregunta vale un punto, y si el examen se aprueba con a) 4 puntos, b) 6 puntos, c) 7 puntos.

Variable aleatoria x: respuesta correcta, ( ) ( ) ( ) a. Probabilidad de que conteste 4 preguntas correctamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

b. Probabilidad de que conteste 4 preguntas correctamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦ c. Probabilidad de que conteste 7 preguntas correctamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

8.37. En una fábrica de circuitos electrónicos se afirma que la proporción de unidades defectuosas

de cierto componente que ésta produce es del 5%. Un buen comprador de estos componentes revisa 15 unidades seleccionadas al azar y encuentra cuatro defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?

Variable aleatoria x: componente defectuoso, ( ) ( ) ( )

Probabilidad de que 4 componentes estén defectuosos,

( ) ( ) ( ) ( ) ♦

8.38. La probabilidad de presentar cierta característica genética es de

.

a. Tomando una muestra de 8 individuos, calcule la probabilidad de que 3 individuos presenten la

característica. b. Tomando una muestra de 80 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan más de 5

individuos con la característica?

a. Variable aleatoria x: individuo presenta cierta característica genética, .

/

Probabilidad de que 3 individuos presenten cierta característica genética,

( ) ( ) (

)

(

)

♦

b. Variable aleatoria x: individuo presenta cierta característica genética, .

/

Probabilidad de que más de 5 individuos presenten cierta característica genética,

( ) ( )


pág. 108

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( ) , - ♦

8.39. Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de 16 artículos,

y se acepta un pedido si menos de dos resultan defectuosos. Determinar la probabilidad de aceptar un envío que contenga:

a. un 5% de artículos defectuosos. b. Un 15% de artículos defectuosos. c. Un 25% de artículos defectuosos.

a. Variable aleatoria x: artículo defectuoso, ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

b. Variable aleatoria x: artículo defectuoso, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦

c. Variable aleatoria x: artículo defectuoso, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ♦


pág. 109

8.40. Un concesionario de automóviles monta una nueva campaña de promoción, en la que se promete que los compradores de automóviles nuevos pueden, si están descontentos por algún motivo, devolver el auto antes de dos días y recibir el importe íntegro. Se ha estimado que el costo que debe soportar el concesionario por cada devolución es de $ 2500. El concesionario estima que el 15% de los compradores devolverán los automóviles. Suponiendo que durante el período de campaña se venden 50 automóviles.

a. Halle la Media y la desviación estándar del número de automóviles que se devolverán. ( ) ♦

√ √ √ ♦

b. Halle la Media y la desviación estándar del costo total que se derivará a estas 50 ventas.

( ) ♦

√ ♦


pág. 110

9. DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS AREA BAJO LA CURVA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.21. Para cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas)

siguientes: a.

( ) ♦

b.

( ) ♦

c.

( ) ♦


pág. 111

d.

( ) ♦

e.

( ) ♦

f.

( ) ♦ g.

( ) ♦


pág. 112

h.

( ) ♦ i.

( ) ♦

j.

( ) ♦


pág. 113

k. ( )

( ) ♦ l.

( ) ♦

CALCULAR DADO EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL

9.22. Para la distribución normal tipificada, determinar el valor de z que corresponde a: a. 3º Decil.


pág. 114

♦

b. Percentil 65.

♦ c. Valores centrales para el 80% de las observaciones.


pág. 115

♦

d. Valores de z que comprenden entre el percentil 32 y el percentil 78


pág. 116

♦

9.23. La vida útil de una batería de auto tiene una media de 900 días y desviación estándar de 35 días. ¿Qué porcentaje de baterías se espera que sobreviva más de 950 días?

Variable aleatoria: vida útil de la batería de un auto (días) ( ) ( )

( ) ♦


pág. 117

9.24. El voltaje promedio de una fuente de poder es de 12 V con = 0.05V. Si las especificaciones son 11.90 y 12.10 V, ¿Cuál es la probabilidad de que una fuente de poder seleccionada al azar cumpla con las especificaciones?

Variable aleatoria: Voltaje de una fuente de poder (voltios) ( ) ( )

( ) .9545♦

9.25. En las especificaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm con desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de una moneda supere los 0.21 cm?

Variable aleatoria: espesor de las monedas conmemorativas (cm)

( ) ( )

( ) ♦


pág. 118

9.26. La resistencia promedio de una pieza es de 40 lb y desviación estándar de 8 lb. Si se producen 50000 piezas ¿Cuántas tienen menos de 34 lb y cuántas tienen más de 48 lb?

Variable aleatoria: Resistencia de una pieza (lb)

a. ( ) ( )

( ) ♦

Número de piezas que pesa menos de 34 libras:

b. ( ) ( )

( ) ♦ Número de piezas que pesa más de 48 libras:

9.27. Un complejo industrial produce pernos con un diámetro promedio de 0.51 mm y una desviación estándar de 0.01 mm si la distribución de los diámetros es aproximadamente normal, ¿Qué porcentaje de la producción total tiene diámetros dentro del intervalo de 0.49 a 0.53 mm?

Variable aleatoria: Diámetro de un perno (mm)

( ) ( )


pág. 119

( ) ♦ 9.28. Con referencia al ejercicio anterior, suponga que las especificaciones de los pernos requieren

un diámetro igual a 0.5 ± 0.02 mm, los pernos que no satisfacen este requerimiento se consideran defectuosos. Si el proceso funciona en la forma descrita en el problema anterior, ¿qué porcentaje de la producción total resultará defectuosa?

Variable aleatoria: Diámetro de un perno (mm)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ♦

9.29. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.

a. Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b. Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c. ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5 puntos?


pág. 120

Variable aleatoria: calificación examen para contratación laboral (puntos).

a. ( ) ( )

( ) ♦

b. ( ) ( )

( ) ♦ c. ( ) ( )

( )

♦


pág. 121

9.30. Los pesos de un grupo de trabajadores presentan una distribución normal con promedio 65 kg y desviación típica 8 kg. Determine las probabilidades que se indican:

Variable aleatoria: Peso corporal de un trabajador (Kg)

a. Probabilidad que un trabajador pese más de 61 kg.

( ) ( )

( ) ♦

b. Probabilidad de que un trabajador pese entre 63 y 69 kg.

( ) ( )

( ) ♦

c. Probabilidad que un trabajador pese menos de 70 kg.

( ) ( )


pág. 122

( ) ♦

d. Probabilidad que un trabajador pese más de 75 kg.

( ) ( )

( ) ♦ 9.31. Se sabe que el gasto anual que realizan los estudiantes de una universidad en libros de texto,

sigue una distribución normal de media $ 280 y desviación estándar $ 50. Determine es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste:

a. Menos de $ 300 en libros de texto al año b. Más de $ 260 dólares en libros de texto al año c. Entre $ 200 y $ 300 dólares en libros de texto al año

Variable aleatoria: Gasto anual en libros

( ) ( )

( ) ♦


pág. 123

( ) ( )

( ) ♦

( ) ( )

( ) ♦

9.32. Una compañía produce un compuesto químico para fotografía y está preocupada por su contenido de impurezas. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una ley normal con media 12.2 gramos y desviación estándar 2.8 gramos. Se elige un lote al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?

Variable aleatoria: Peso de las impurezas ( ) ( )


pág. 124

( ) ♦

b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?

( ) ( )

( ) ♦

c. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?

( ) ( )

( ) ♦


pág. 125

9.33. La temperatura en el mes de junio en la ciudad de Guayaquil sigue una distribución normal con media 24.3 °C y desviación estándar 2.4°C; determine la probabilidad de que en el mes de junio, en la ciudad de Guayaquil, se presenten temperaturas:

a. Mayores a 26 grados. b. Menores a 20 grados. c. Entre 22 y 28 grados. d. Entre 18 y 22 grados. e. Entre 28 y 30 grados.

Variable aleatoria: Temperatura en el mes de junio en la ciudad de Guayaquil (°C) a. ( ) ( )

( ) ♦

b. ( ) ( )

( ) ♦ c. ( ) ( )

( ) ♦


pág. 126

d. ( ) ( )

( ) ♦

e. ( ) ( )

( ) ♦ 9.34. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con

media de 7000 horas y desviación típica de 600 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5750 horas? b. ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres? c. Si se hace el uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera

independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que tres sigan funcionando después de 7000 horas?

Variable aleatoria: Duración de un láser semiconductor (horas)

a. ( ) ( )


pág. 127

( ) ♦

¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?.- Para el 95% de probabilidad, el valor tipificado está dado por:

b. Como se trata de acumular más del 95% el valor tipificado debe estar a la izquierda, por lo tanto

es negativo; es decir:

Tomando , el gráfico de la distribución normal es:

Reemplazando en la expresión tipificada se tiene:

c. ( ) ( )


pág. 128


A Láser sigue funcionando después de 7000 horas 0.50

B Láser sigue funcionando después de 7000 horas 0.50

C Láser sigue funcionando después de 7000 horas 0.50

A, B, C eventos independientes Evento D: los trés láseres seleccionados siguen funcionando después de 7000 horas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

9.35. En una bodega, la demanda mensual de azúcar negra tiene una distribución normal con media 200 y desviación estándar 40; por otro lado, la demanda de la azúcar blanca también tiene una distribución normal con media 500 y desviación estándar 80. Al comienzo del mes, hay almacenadas 280 fundas de azúcar negra y 650 fundas de azúcar blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos?

Variable aleatoria: Demanda de azúcar negra

( ) ( )

( ) ♦ Variable aleatoria: Demanda de azúcar blanca

( ) ( )


pág. 129

( ) ♦



A Venta hasta 280 fundas de azúcar negra 0.9772 0.0228

B Venta hasta 650 fundas azúcar blanca 0.9696 0.0304

A, B eventos independientes. Evento C: Se venden todas las fundas de azúcar blanca y azúcar negra, ( ) ( ) ( ) ( ) ♦

PARAMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

9.36. La desviación típica de la distribución de estaturas de los 200 alumnos de un centro es igual a 4 cm. Si 10 miden más de 175 cm., determine el promedio de la distribución.

Sea la variable aleatoria estatura, entonces se tiene: ( )

La probabilidad de que un alumno mida más de 175 cm es: ( )

Considerando el valor de la probabilidad como el área bajo la curva, se puede encontrar el valor de utilizando la función DISTR.NORM.ESTAND.INV obteniéndose los siguientes resultados:


pág. 130

Con el valor de se puede determinar la media poblacional de la siguiente manera:

( )

♦

9.37. Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centro miden menos de 150 cm. Si la estatura media de dichos alumnos es de 164 cm., ¿cuál es su varianza?

Sea la variable aleatoria estatura, entonces se tiene: ( )

La probabilidad de que un alumno mida menos de 150 cm es: ( )

Entonces con el valor de encontrado se puede ahora encontrar el valor de la varianza poblacional:

( ) cm²

cm²♦


pág. 131

9.38. El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica.

Variable aleatoria Edad ( ) ( )

Reemplazando el valor obtenido se tiene:

♦

9.39. 312 de los 1200 tornillos producidos durante una hora en una factoría miden más de 11.28 cm.

Sabiendo que el primer decil de la distribución es igual a 7.44 cm, calcule su media y su desviación típica.

Sea la variable aleatoria .

La probabilidad de que un tornillo mida más de 11.28 cm: ( )


pág. 132

El primer decil es igual a 7.44 cm ( )

Entonces con el valor de para cada una de las probabilidades dadas se tiene:


pág. 133

( )

( )

Resultando el siguiente sistema de ecuaciones:

{ ( )

( )

Resolviendo este sistema se tiene: ♦

9.40. Determine la media y la desviación típica de las puntuaciones de un test de agresividad que se aplicó a 120 individuos, sabiendo que 30 alcanzaron menos de 40 puntos y que el 60% obtuvieron puntuaciones comprendidas entre 40 y 90 puntos.

Probabilidad de haber obtenido menos de 40 puntos: ( )

Probabilidad de haber obtenido entre 40 y 90 puntos: ( )


pág. 134

Entonces con el valor de para cada una de las probabilidades dadas se tiene:

( )

( )

{ ( )

( )

Resolviendo este sistema se tiene: ♦


pág. 135

10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

10.11. El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si se tiene un lote de 2000 tornillos cuál es la probabilidad de que haya más de 50 defectuosos.

Variable aleatoria : Tornillo defectuoso, ( )

Requisitos Estadísticos

a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( ) ( )

( )

( ) ♦ 10.12. Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competencia

y tira 150 veces ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 100 tiros?

Variable aleatoria : Tornillo defectuoso, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )


pág. 136

( ) ( ) ( )

( ) ♦

10.13. Se lanza una moneda 200 veces. Calcula la probabilidad de que salgan a lo sumo 109 caras;

además la probabilidad de que caigan entre 90 y 105 caras.

Variable aleatoria : Sale cara al lanzar al aire una moneda, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ♦


pág. 137

( )

( ) ♦

10.14. En la convención de un partido político se plantea llevar a cabo una encuesta para detectar la preferencia de los votantes con respecto a los candidatos A y B que ocuparán un puesto en la administración pública. Si se toma una muestra de 1000 ciudadanos, ¿cuál es la probabilidad de que 510 o más de los votantes indiquen una preferencia por el candidato A, si la población, con respecto a los candidatos se encuentra igualmente dividida?

Variable aleatoria : Preferencia por el candidato A, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( ) ( )

( )

( ) ♦


pág. 138

10.15. En una ciudad una de cada tres familias posee conexión de televisión por cable. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya entre 40 y 50 familias que tengan conexión de televisión por cable.

Variable aleatoria : Familia posee conexión de televisión por cable, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( ) ( )

( )

( ) ♦

10.16. Una prueba consta de 300 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar, encuentre la probabilidad de que acertase: a. 139 preguntas o menos. b. Más de 140 y menos de 160. c. Al menos 160 preguntas.

Variable aleatoria : sujeto responde correctamente, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )


pág. 139

( ) ( )

( )

( ) ♦

( )

( ) ♦ ( )

( ) ♦


pág. 140

10.17. El 5% de los libros prestados en una biblioteca de un centro escolar son técnicos. Si se toman los últimos 500 préstamos, calcula la probabilidad de que se hayan prestado entre 25 y 30 libros técnicos.



a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( ) ( )

( )

( ) ♦

10.18. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?



a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )


pág. 141

( ) ( )

( )

( ) ♦

10.19. El porcentaje de vacas que enferman después de suministrarles una determinada vacuna es del 2% .En una granja se vacuna a 600 vacas. Determine:

a. La probabilidad de que se enfermen como máximo 10 vacas vacunadas. b. La probabilidad de que enfermen como mínimo 15 vacas vacunadas.

Variable aleatoria : vaca vacunada ha enfermado, ( )


a.

(OK)

b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( )

( ) ♦


pág. 142

( )

( ) ♦

10.20. Un control de calidad es superado por cuatro de cada cinco artículos de pesca. Se someten a dicho control un total de 225 artículos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 170 artículos superen el control de calidad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que superen el control de calidad entre 170 y 187 (incluidos)

artículos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que mínimo 187 artículos superen el control de calidad? Variable aleatoria : artículo supera el control de calidad, ( )


a.

(OK) b. ( )

( ) (OK)

√ ( )

√ ( )

( )

( ) ♦


pág. 143

( )

( ) ♦

( )

( ) ♦

www.cedicaped.com

CEDICAPED.- CENTRO DE ESTUDIOS DIDÁCTICA Y CAPACITACIÓN

AREA BAJO LA CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL de 0 a 𝒛

𝒛 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0,1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0,2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0,3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0,4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0,5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0,6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0,7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0,8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0,9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1,0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1,1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1,2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1,3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1,4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1,5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1,6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1,7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1,8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1,9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2,0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2,1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2,2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2,3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2,4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2,5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2,6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2,7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2,8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2,9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3,0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3,1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3,2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3,3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3,4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3,5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3,6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

B I B L I O G R A F I A

1. ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas, “Estadística para Administración y Economía”, Editorial Thomson Learning México 1999.

2. GALINDO Edwin, “Probabilidad y Estadística para ingeniería y administración”, Editorial Centro de Matemática Universidad Central del Ecuador, Quito, 1996.

3. GALINDO Edwin, “Problemas y Ejercicios de Probabilidad y Estadística”, Prociencia Editores, Quito, 2014.

4. LEVIN Richard I., “Estadística para Administradores”, Editorial Prentice/Hall Internacional, México, 1982.

5. LIND Douglas, Marchal Williams, Wathen Samuel, “Estadística aplicada a los Negocios y la Economía”, Editorial McGraw Hill, Colombia 2008.

6. LIPSCHUTZ Seymour, “Teoría y Problemas de Probabilidad”, Editorial Mc Graw-Hill Schaum, Colombia, 1990.

7. MENDENHALL William, “Introducción a la Probabilidad y Estadística”, Grupo editorial Iberoamérica, México, 1987.

8. SHELDON M. Ross “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”, Editorial Mc Graw-Hill México 2001.

9. SPIEGEL Murray R. “Estadística”, Editorial Mc-Hill Schaum, Colombia, 1980.

10. SPIEGEL Murray R. “Probabilidad y Estadística”, Editorial Mc Graw-Hill Schaum, Colombia, 1985.

11. STEVENSON William J. “Estadística para Administración y Economía”, Editorial Harla, México, 1988.

12. WEBSTER Allen L. “Estadística aplicada a los Negocios y la Economía”, Editorial McGraw Hill, Colombia 2000.

13. YAMANE Taro, “Estadística”, Editorial Harla, México, 1992.

Acerca del autor: Daniel Herrera Aráuz (Quito, 1960) es Ingeniero Civil y Magister en Docencia Matemática, títulos otorgados por la Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática de la Universidad Central del Ecuador; además tiene el título de Diplomado Superior en Gestión de Proyectos, otorgado por la Facultad de Ciencias Económicas de la misma universidad. Desde marzo de 1990 hasta diciembre de 2014, ejerció las funciones de Fiscalizador de Obras de Agua Potable y Saneamiento en la Empresa Pública Metropolitana de Agua potable y Saneamiento de Quito, EPMAPS. Desde noviembre de 1993 hasta la presente fecha es profesor de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador. A nivel de posgrado, Profesor de Matemática Aplicada, Matemática Financiera y Estadística en la Facultad de Ingeniería en la Universidad Central del Ecuador, En el Instituto de Altos Estudios Nacionales IAEN, en la Dirección General de Posgrados de la Universidad Tecnológica Equinoccial UTE y de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica Particular de Loja, UTPL. Instructor de Excel, SSPS y Ms Project en el Centro de Educación Continua de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, en el Centro de Educación Continua de la Escuela Politécnica Nacional, en el Centro de Educación Continua de la Universidad Tecnológica Equinoccial y en el Centro de Actualización de Conocimientos del Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha. Publicaciones Académicas: Matemática Financiera, Editorial Alfaomega, Colombia, 2017. Probabilidad, Combinatoria y Distribuciones de Probabilidad, formato digital, 2017. Solucionario de Problemas propuestos del Texto de Probabilidad, Combinatoria y

Distribuciones de Probabilidad, formato digital, 2017. Estadística con SPSS, formato digital, 2017. Prácticas de Laboratorio de Estadística con SPSS, formato digital, 2017.

Comentarios: [email protected] www.cedicaped.com

Pedidos a: 0992745563; 022801667; 023444480

TERCERA SECCIÓN...economía e ingeniería, la tercera sección del texto de Probabilidad,...

Documents

Transcript of TERCERA SECCIÓN...economía e ingeniería, la tercera sección del texto de Probabilidad,...