Tercer Caso de Factoreo

TERCER CASO DE FACTOREOTRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOSEJEMPLO 1: (Trminos positivos)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 32.3.x 6x

Busco dos trminos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Di igual que el otro trmino. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorizacin es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1

EXPLICACIN:

1) ENCONTRAR DOS TRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":

Los trminos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 (qu es un "cuadrado"?). Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9). (por qu?)

El trmino "6x" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raz cuadrada, y x no es una potencia par. (ms explicacin sobre esto)

2) "BAJAR" LAS BASES: (a qu se llama las "bases"?)

Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotacin, ms que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sera obligacin ponerlo en caso de que no nos estn evaluando (servira como "justificacin" en ese caso).

3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3 ("Dos por x por 3")

so es "el doble producto de las bases" ("doble producto"?). Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x (por qu?).

Ahora miro el polinomio y veo que en l "est 6x". (x2 + 6x + 9). Es decir, que el trmino que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser as para que se pueda factorizar con este Caso.Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la frmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte slo trato de explicar "cmo se hace" y no "de dnde viene". (Si les interesa saber ms acerca de esto, pueden consultar en los CONCEPTOS)

4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIN:

(x + 3)2

El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre parntesis, y elevado a la potencia 2. El fundamento de esto lo pueden consultar en: por qu se factoriza de esta manera?

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Cmo puedo saber si un nmero es "cuadrado" de algn otro?

Deca ms arriba que "9 es el cuadrado de 3". Y es porque 32 d 9. O sea "3 al cuadrado es 9", entonces "9 es el cuadrado de 3".Si no pueden darse cuenta a simple vista si un nmero es cuadrado de otro, ni de qu nmero es cuadrado, lo que pueden hacer es sacarle la raz cuadrada al nmero con la calculadora. Si d un nmero exacto (natural, sin coma), entonces s es cuadrado, y es cuadrado del nmero que di al sacar la raz. En nuestro ejemplo = 3.Otro ejemplo:

Supongamos que quiero saber si 144 es un cuadrado. Entonces pongo en la calculadora y veo que d 12. Concluyo que 144 es un cuadrado, es el cuadrado de 12. En cambio, si pongo , obtengo 9,1104..., un nmero "con coma". El 83 no tiene raz cuadrada exacta, no es un cuadrado.

Por qu puedo asegurar que 6x no es uno de los cuadrados?

6x representa a la multiplicacin "6 por x". Para que una multiplicacin sea "cuadrado", ambos factores deben ser cuadrados (por qu?). Por ejemplo: 25x2, 9a4, 16b6.

25x2 es "cuadrado", porque 25 es cuadrado y x2 es "cuadrado".9a4 es "cuadrado", porque 9 es cuadrado y a4 es cuadrado (de a2). (por qu?)16b6 es "cuadrado", porque 16 es cuadrado y b6 es cuadrado (de b3).

En cambio 6x no puede ser "cuadrado", porque 6 no es cuadrado, y x no es cuadrado.Pueden tomar esto como regla, pero si quieren saber el por qu de sto, lean en la pregunta siguiente.

Por qu para que una multiplicacin sea cuadrado, los 2 factores tienen que ser cuadrados?

Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicacin y la potencia, que dice que:

(a.b)n = an.bn

Por ejemplo:

(5.x)2 = 52. x2 = 25x2(3.a2)2 = 32. (a2)2 = 9x4(4.b3)2 = 42 . (b3)2 = 16b6

Como cuando elevamos al cuadrado una multiplicacin, tenemos que elevar cada factor, los dos factores del resultado son cuadrados.

Verificacin de la factorizacin:

Comprobemos ahora si es verdad que x2 + 6x + 9 es igual a (x + 3)2

(x + 3)2 se puede resolver con la frmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, que es para elevar a la potencia 2 a las sumas o las restas (lo que se llama "Cuadrado de un binomio"). Entonces lo voy a hacer:

(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9 (cmo se aplica esta frmula?)

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (x + 3)2, obtuve el polinomio original (x2 + 6x + 9).

Pero si no nos acordamos cmo se usa la frmula sa del binomio, tambin podemos hacerlo sin ella, pensando que (x + 3)2 significa multiplicar dos veces por s mismo a(x + 3), es decir, hacer: (x + 3).(x + 3). Entonces, ahora lo voy a hacer as:

(x + 3).(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

En esta otra manera de verificar, estamos usando la Propiedad Distributiva de la multiplicacin con la suma. Es necesaria para verificar cualquier caso de factoreo, as que ms vale que la sepan usar. (aprender la Propiedad Distributiva)

Multiplicaciones en el "trmino del medio":

Ejemplos:

2.x.3 es igual a 2.3.x, porque en la multiplicacin se puede cambiar el orden, y eso lo permite la Propiedad Conmutativa de la multiplicacin. Y 2.3.x es igual (2.3).x por la Propiedad asociativa de la multiplicacin. Y (2.3).x es igual a 6.x, lo que es igual a 6x (cuando no hay nada entre una letra y un nmero, o entre dos letras, significa que hay un signo "por", es decir, que se estn multiplicando).

2.x.(-5) es igual a 2.(-5).x, por la misma razn que en el ejemplo anterior. Y 2.(-5).x es igual a -10x.

2.7x.3y es igual a 2.7.3.x.y, por la misma razn de siempre: se puede cambiar el orden. Y eso es igual a 5xy.

2.x.(-4y) es igual a 2.(-4).x.y. Podemos separar el "-4" de la "y", porque -4y es lo mismo que -4.y. As puedo ver al -4 como algo independiente, y ponerlo en cualquier lado al cambiar el orden. Finalmente, 2.(-4).x.y es igual a -8xy.

2.(-3x).(-5y) es igual a 2.(-3).(-5).x.y, por lo mismo que en el ejemplo anterior. Y eso es igual a 30xy.

2.x3.x2 es igual a 2.x5 por la propiedad de la multiplicacin de las potencias de igual base (se suman los exponentes) (ver la propiedad)

2.(-3x2).5x3z es igual a 2.(-3).5.x2.x3.z por lo mismo que en los ejemplos anteriores. Eso es igual a -30x5z.

2.x.4/3 es igual a 2. 4/3 . x. Por la misma propiedad que en los ejemplos anteriores. Y eso d como resultado 8/3 x.

Cmo se aplica la Propiedad Distributiva entre dos "binomios"?

Se trata de "multiplicar todo con todo". El resultado es un polinomio de 4 trminos. Es decir que tendremos 4 trminos "sumando o restando". Para determinar el signo con el que queda cada trmino, tenemos que mirar el signo de cada cosa que multiplicamos, para poder aplicar la regla de los signos (+.+ = +, etc. Ver Regla de los signos). Hay que recordar que cada trmino tiene su signo adelante, y que si no hay signo adelante del trmino, hay que pensar que hay un ms (+).

Por ejemplo:

(x + 3).(y - 5) = xy - 5x + 3y - 15

Empiezo con la "x":

Primer trmino: Multipliqu la "x" por la "y". Como ambos trminos son positivos, ms por ms es ms. El resultado es xy positivo, pero no le pongo el ms adelante porque es el primer trmino.Segundo trmino: Multipliqu la "x" por el (-5). Ms por menos es menos, el resultado es "5x negativo", o sea -5x. Es decir que este segundo trmino queda restando.

Ya termin con la "x", ahora lo hago con el "3":

Tercer trmino: Multipliqu el "3" por la "y". Ms por ms es ms. El resultado es 3y positivo. O sea que ese trmino queda sumando.Cuarto trmino: Multipliqu el "3" por el (-5). Ms por menos es menos. El resultado es 15 negativo, o sea -15. Ese trmino queda entonces restando.

Para nuestro tema (verificar que factoric bien un trinomio), solamente voy a tener estas dos situaciones

1) Suma por suma: Es lo ms fcil, ya que todos los trminos del resultado son positivos.Ejemplo:

(x + 4).(x + 4) = x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x + 16

Pero como los dos trminos del medio (4x y 4x) tienen igual parte literal (la x)(parte literal?), se pueden "juntar" ("juntar"?). 4x + 4x es igual a 8x, porque se suman los nmeros que las letras tienen delante, o sea: se suman los coeficientes (4 + 4)(qu es un coeficiente?). Esto se aprende en el tema Operaciones con Polinomios.

2) Resta por resta. Les pongo un ejemplo para que vean cmo quedan los signos:

(x - 3).(x - 3) = x2 - 3x - 3x + 9 = x2 - 6x + 9

Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno slo?

S. Ya lo expliqu en los Conceptos del caso, y ahora lo hago para este ejemplo en particular. Miren esta otra forma de resolver nuestro EJEMPLO 1:

x2 + 6x + 9 = (-x - 3)2-x -32.(-x).(-3) 6x

Si los cuadrados son: x2 y 9, la bases pueden ser tambin -x (en vez de x) y -3 en vez de 3. Ya que (-x)2 tambin es igual a x2. Y (-3)2 tambin es igual a 9. Quiere decir que las bases de los cuadrados pueden ser o positivas o negativas indistintamente. Entonces yo podra elegir: la primera negativa y la segunda positiva, la primera positiva y la segunda negativa, las dos negativas, las dos positivas... Son 4 combinaciones posibles. Pero cul es la correcta? Y... la que verifique el "doble producto", es decir que al multiplicar me d con el signo correcto. Y en realidad siempre son dos las combinaciones que dan con el signo correcto. En nuestro ejemplo:

2.(-x).(-3) = 6x (y antes vimos que 2.x.3 = 6x)

Eligiendo las dos bases negativas, el resultado es 6x positivo. Y tambin lo era cuando antes elegimos las dos bases positivas. Y eso es por la regla de los signos: "ms por ms, es ms", pero "menos por menos, tambin es ms". Por eso son dos las posibilidades y dos las soluciones para este caso.

Es decir que x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x - 3)2, usando este caso de factoreo.

Qu es la "parte literal"?

En un trmino de un polinomio (por ejemplo 5xy2) se le llama "parte literal" a la letras (en nuestro ejemplo xy2). Para diferenciarla del nmero (el 5 en nuestro ejemplo), al que se lo llama "coeficiente".Ejemplos:

En "-4x" la parte literal es "x", y el coeficiente es "-4"En 7x2a5, la parte literal es x2a5, y el coeficiente es 7.

A qu le llaman "juntar" (yo no)?

Es una palabra que usan muchos alumnos, y por eso lo digo as para que quienes usan esa palabra sepan reconocer lo que tienen que hacer. Ellos le dicen "juntar" a sumar o restar los trminos con igual "parte literal". Es decir, juntar las cosas que son "iguales": "las equis con las equis", "las equis cuadradas con las equis cuadradas", "los nmeros solos con los nmeros solos", etc. En realidad son situaciones donde hay varios trminos con la misma letra o parte literal, y hay que sumar sus coeficientes. En el ejemplo que estbamos viendo:

x2 + 4x + 4x + 16

Se puede sumar 4x con 4x, y se obtiene 8x: Los "juntamos". En otro ejemplo:

3x2 + 5x - 2x + 1 - 7x2 + 6=

"Juntamos 3x2 con - 7x2, y nos d -4x2 (3 - 7 = -4)""Juntamos 5x con -2x, y nos d 3x (5 - 2 = 3)""Juntamos el 1 con 6, y nos d 7 (1 + 6 = 7)"

El resultado es entonces -4x2 + 3x + 7

Ms ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

x 22.x.24x

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

x 52.x.5 10x

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

x 7 2.x.7 14x

EJEMPLO 2: (Con el "1")

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x 12.1.x2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.La verificacin de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.El resultado es (x + 1)2


EXPLICACIN:

Nota: Este ejemplo es casi igual al Ejemplo 1. As que para una explicacin ms detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar all: EJEMPLO 1.

1) Los cuadrados son: la x2 y el 1. Es 1 es un cuadrado, ya que es el cuadrado de 1. Porque 12 d 1. O porque la raz cuadrada de 1 es 1. Y la x2 es el cuadrado de x.El "2x" no podra ser cuadrado, porque 2 no es cuadrado de ningn nmero (racional), y la x no est a ninguna potencia par.

2) "Bajo las bases", que son la "x" y el "1".

3) Verifico que 2.1.x es igual a 2x. Y 2x est en el polinomio que quiero factorizar. Entonces as confirmo que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, cuyas bases son "x" y "1".

4) Por lo tanto, se puede factorizar de esta manera: (x + 1)2



Comprobemos ahora si es verdad que x2 + 2x + 1 es igual a (x + 1)2

(x + 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2 + 2x + 1 (Con la frmula para el Cuadrado de un Binomio)

(x + 1).(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1 (O aplicando la Propiedad Distributiva)

(Ms detalle sobre la verificacin en EJEMPLO 1 - VERIFICACION)

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2

x 4/3 2. 4/3 . x8/3 x

La fraccin 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 3 EXPLICACIN:

Nota: Para una explicacin ms detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el Caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x2 y el 16/9 (qu es un "cuadrado"?). Porque x2 "es el cuadrado" de x. Y 16/9 "es el cuadrado" de 4/3.

En el caso de una fraccin, para que sta sea cuadrado de algo, el nmero de arriba (numerador) y el de abajo (denominador) deben ser cuadrados (4, 9, 16, etc.) (por qu?). En este caso, tenemos a 16 (que es 42) y 9 (que es 32).

El trmino "8/3 x" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que el 8/3 no tiene raz cuadrada "exacta", y x no es una potencia par. (ms explicacin sobre esto)

2) "Bajo" entonces las bases, que son "x" y "4/3".

3) Una vez que tengo las bases (x y 4/3), multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (doble producto?):

2.x. 4/3 ("Dos por x por 4/3")

El resultado es "8/3 x" (por qu?).

2.x. 4/3 = 8/3 x

Ahora miro el polinomio y veo que est el trmino 8/3 x. (x2 + 8/3 x + 16/9).

Es decir, que en ese polinomio, el trmino que no es cuadrado, es 8/3 x. Coincide con el "doble producto" de las bases. Esto tiene que ser as para que se pueda factorizar con este Caso.Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases".

4) El resultado de la factorizacin es entonces:

(x + 4/3)2

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".


Cmo reconozco que una fraccin es un "cuadrado"? (qu es un "cuadrado"?)

Para que una fraccin sea cuadrado de algo, el nmero de arriba (numerador) y el de abajo (denominador) deben ser cuadrados (4, 9, 16, 25, 36, etc.), o lo que es lo mismo: tener raz cuadrada exacta (en racionales). Veamos en un ejemplo cmo se eleva una fraccin a cierta potencia:

(5/3)2 es igual a 52/32, o sea 25/9 (por qu?)

Para elevar a una fraccin "hay que elevar el de arriba y el de abajo". El resultado est formado por dos cuadrados: el de arriba es cuadrado y el de abajo es cuadrado. Porque vinieron de elevar al cuadrado a cada nmero. Otros ejemplos:

(2/7)2 es igual a 4/49(1/4)2 es igual a 1/16(3/4)2 es igual a 9/16etc.

Se puede ver que en todos los resultados, numeradores y denominadores son cuadrados. Entonces, reconozco que una fraccin es "cuadrado" de otra, cuando sus dos nmeros son "cuadrados". Y eso viene de la forma en que se calculan las potencias de una fraccin:

(a/b)n = an / bn

Cmo se calculan las potencias de una fraccin?

Usemos el concepto de potencia para calcular (concepto de potencia):

(2/5)3 = 2/5 . 2/5 . 2/5 = 2.2.2 / 5.5.5 = 23 / 53 = 8/5

Vemos cmo, al efectuar la multiplicacin de fracciones (cmo se multiplican las fracciones?), terminamos multiplicando al numerador 2, tres veces por si mismo. Y al denominador 5, tres veces por s mismo. Pero eso equivale a elevar al 2 a la tercera, y al 5 tambin. De esa manera se deduce la Propiedad Distributiva entre un cociente y la potencia, que esa que ya enunci en el punto anterior:

(a/b)n = an / bn

Usando esta propiedad, ya no es necesario hacer las multiplicaciones, que no seran prcticas en el caso de una potencia grande. Por ejemplo:

(2/3)6 = 26 / 36 = 64 / 729

Cmo se multiplican las fracciones?

"El de arriba con el de arriba y el de abajo con el de abajo". Es decir, se multiplican los numeradores, y el resultado es el numerador de la fraccin; y se multiplican los denominadores, y el resultado es el denominador de la fraccin. Por ejemplo:

5/3 . 2/7 = 5.2 / 3.7 = 10 / 21

3/4 . 1/2 . 5/2 = 15 / 16


Comprobemos ahora si es verdad que x2 + 8/3 x + 16/9 es igual a (x + 4/3)2

Usando la frmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un binomio)

(x + 4/3)2 = x2 + 2. x. 4/3 + (4/3)2 = x2 + 8/3 x + 16/9

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (x + 4/3)2, obtuve el polinomio original (x2 + 8/3 x + 16/9).

O usando el concepto de potencia:

(x + 4/3)2 = (x + 4/3).(x + 4/3) = x2 + 4/3 x + 4/3 x + 16/9 = x2 + 8/3 x + 16/9

(Para ms detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIN)


x2 + 4/5 x + 4/25 = (x + 2/5)2

x 2/5 2. x. 2/5 4/5 x

x2 + 5/2 x + 25/16 = (x + 5/4)2

x 5/42. x. 5/4 5/2 x

x2 + 2/7 x + 1/49 = (x + 1/7)2

x 1/7 2. x. 1/7 2/7 x

EJEMPLO 4: (Con un trmino negativo)

x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

x (-5)2.(-5).x -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 tambin es 25. Y con (-5), la verificacin del doble producto d bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.


EXPLICACIN:

Nota: Para una explicacin ms detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el Caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x2 y el 25 (qu es un "cuadrado"?). Porque x2 "es cuadrado" de x. Y 25 "es el cuadrado" de 5... Pero tambin de (-5)...

El trmino "-10x" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que 10 no tiene raz cuadrada "exacta", x no es una potencia par, y el trmino es negativo.(ms explicacin sobre esto)

2) En un primer intento, bajo como bases a "x" y "5". Pero cuando calculo el doble producto 2.x.5, me doy cuenta que d 10x positivo. Y en el polinomio que yo tengo que factorizar, el trmino es -10x, es decir, es un trmino negativo. "No d". Entonces cambio el 5 por -5. Las bases son x y -5.

3) Una vez que decid cules son las bases (x y -5), multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (doble producto?):

2.x.(-5) ("Dos por x por -5")

El resultado es "-10 x" (por qu?).

2.x.(-5) = -10x

Ahora s que "Di bien". El doble producto de las bases est en el polinomio que quiero factorizar (x2 - 10x + 25). Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) El resultado de la factorizacin es entonces: (x + (-5))2. Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Y eso es igual a:

(x - 5)2 (por qu?)


Otra forma de factorizarlo:

Como ya coment en los conceptos de este Caso (la otra frmula), existe otra frmula para hallar el Cuadrado de un Binomio, cuando se trata de una resta:

(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2

Por eso hay gente que encara este ejemplo de otra forma (me incluyo). Para quienes estn acostumbrados a trabajar con ambas frmulas: una para la suma y una para la resta, pueden factorizar este ejemplo vindolo como que viene de una resta, al tener el trinomio un trmino negativo:

x2 - 10x + 25 =

Desde este punto de vista diramos:

1) "Bajo las bases", que seran x y 5 (ya no -5).

2) Verifico que 2.x.5 es igual a 10x. Pero el "trmino del medio" del polinomio que quiero factorizar es negativo (-10x), entonces ha de venir de una resta al cuadrado, como dice la frmula.

3) Por lo tanto, es resultado es "la resta de las bases, elevada al cuadrado": (x - 5)2.

Esta manera es ms directa y prctica cuando se la entiende. Y por qu entonces lo expliqu primero de la otra forma? Porque he visto que la mayora de los alumnos que recin empiezan con el tema, y tienen poco tiempo para prepararse, prefieren hacerlo de esa manera. Y aprender una sola frmula que les sirva para las dos situaciones: la frmula con todos los trminos positivos.

Verificacin:

Comprobemos ahora si es verdad que x2 -10x + 25 es igual a (x - 5)2

Usando la frmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un binomio)

(x - 5)2 = x2 + 2. x. (-5) + (-5)2 = x2 -10x + 25

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (x - 5)2, obtuve el polinomio original (x2 - 10x + 25).

O usando el concepto de potencia:

(x - 5)2 = (x - 5).(x - 5) = x2 - 5x - 5x + 25 = x2 - 10x + 25


Por qu (x + (-5))2 es igual a (x - 5)2?

(x + (-5)) es igual a (x - 5). Y paso a explicar por qu: Cuando tenemos dos signos seguidos (el + y - en este caso), podemos sacar el parntesis y dejar un slo signo. La cuestin es qu signo dejo, el ms o el menos?. En estos casos la mayora de los alumnos dicen: "ms por menos, menos", y ponen el menos. Es decir que usan la regla de los signos de la multiplicacin (regla de los signos), para decidir que signo queda como resultado. Est bien hacerlo as.

Otros, en cambio, prefieren usar "la regla para sacar parntesis". Esa regla dice que, cuando saco un parntesis que tiene un signo "ms" (+) delante, todos los trminos que estaban dentro quedan con el signo que ya traan. + (-5) es igual a -5, si saco el parntesis utilizando es esa regla. Y si el parntesis tiene delante ("est precedido por") un signo menos (-), todos los trminos que estaban dentro del parntesis quedan con los signos cambiados. Por ejemplo: Si sacamos el parntesis en:

- (-8 + x - y)

quedara: 8 - x + y

Es decir, todos los trminos quedan con el signo opuesto al que tenan cuando estaban dentro del prentesis.

Las dos formas de pensarlo llevan al resultado correcto.

Ahora, si alguien tiene curiosidad de saber por qu, y de dnde salen esas reglas mgicas que me dicen que tengo que hacer, les comento: Esto es en realidad una propiedad que se puede demostrar, y dice algo as como que "restar un nmero es igual que sumar su opuesto". Quizs lo hayan odo alguna vez. En nuestro ejemplo sera: restar 5 es igual que sumar (-5). Por eso, en vez de x + (-5) ("sumar -5"), podemos poner x - 5 ("restar 5"). "Sumar el opuesto de 5 es igual a restar 5". Y cmo se demuestra esta propiedad? Usando otras propiedades ya demostradas, o axiomas (propiedades que no hace falta demostrar porque se toman como vlidas y son los cimientos para demostrar a todas las dems). Pero ya nos salimos del objetivo de esta pgina si presentamos este tipo de demostraciones.


S. Ya lo expliqu en los Conceptos del caso, y ahora lo hago para este ejemplo en particular:

x2- 10x + 25 = (x - 5)2-x 52.(-x).5 -10x

Si los cuadrados son: x2 y 25, la bases pueden ser tambin -x (en vez de x) y 5. Ya que(-x)2 tambin es igual a x2. Entonces, en vez de elegir la primera base positiva y la segunda negativa, puedo hacer al revs. Y el doble producto se verifica tambin, ya que 2.(-x).5 es tambin igual a -10x, como lo era 2.x.(-5). Con que una de las bases sea negativa y la otra positiva, ya estoy logrando que el doble producto sea negativo, que es lo que busco. Es decir que puedo elegir a cualquiera de las dos como la "negativa", y por eso tengo dos posibilidades, dos resultados posibles para este caso de factoreo.O sea que x2 - 10x + 25 se puede factorizar como (x - 5)2, o como (-x + 5)2, usando este caso de factoreo.Y no podra ser (5 - x)2 el resultado? S, porque (-x + 5) es igual que (5 - x). (por qu?) Del mismo modo, podramos dar como resultado (-5 + x)2 como resultado, porque (-5 + x) es igual a (x - 5). Sin embargo, no podemos decir que el caso tiene 4 resultados posibles, porque estos dos ltimos que encontramos son iguales a los dos anteriores, solamente que cambiamos el orden de los trminos.

Por qu (-x + 5) es igual a (5 - x)?

Primero mirmoslos bien, trmino a trmino. En (-x + 5) tengo la x negativa y el 5 positivo. Y en (5 - x) tengo el 5 positivo y la x negativa. Son los mismos trminos, pero en distinto orden. En ese caso puedo decir seguro que los dos binomios son iguales. Y pueden usarlo de aqu en adelante con tranquilidad.Veamos ms ejemplos para afirmar esto:

(x - 3) es igual a (-3 + x), ya que en los dos binomios tenemos: x positiva y 3 negativo.(7 - x) es igual a (-x + 7), ya que en los dos binomios tenemos: 7 positivo y x negativa.(-x - 2) es igual a (-2 - x), ya que en los dos binomios tenemos: x negativa y 2 negativo.

Pero qu es lo que me habilita a decir que si dos binomios tienen los trminos iguales pero en distinto orden, son dos binomios equivalentes? Como siempre, se trata de que esa afirmacin es algo demostrable mediante propiedades ya demostradas y/o axiomas. Y como siempre, no lo demostraremos, ya que no es ese el objetivo de esta pgina; sino que lo aprenderemos como un regla para usarlo cuando se presente la ocasin (que es como casi todos hacen las cosas en el Nivel Medio).


x2 - 12x + 36 = (x - 6)2

x -6 2.x.(-6) -12x

a2 - 8a + 16 = (x - 4)2

a -4 2. a.(-4) -8a

x2 - 2/3 x + 1/9 = (x - 1/3)2

x -1/3 2.x.(-1/3) - 2/3 x

EJEMPLO 5: (Desordenado)

x +x2 + 1/4 = (x + 1/2)2

x 1/22.x.1/2x

No siempre estn los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto est en el primer trmino.


EXPLICACIN:

Nota: Para una explicacin ms detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x2 y el 1/4 (qu es un "cuadrado"?). Porque x2 "es cuadrado" de x. Y 1/4 "es el cuadrado" de 1/2. (potencia de fracciones)

El trmino "x" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que el exponente de "x" no es un nmero par. (x es x1, y el 1 es un nmero impar)(ms explicacin sobre esto)

Este ejemplo se distingue de los anteriores, porque "no viene en el mismo orden". Ya que los dos trminos que son cuadrados no estn en los extremos, y el que no es cuadrado no est en el medio.

2) Las bases son entonces x y 1/2

3) Una vez que decid cules son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (doble producto?):

2. x. 1/2 ("Dos por x por 1/2")

El resultado es "x". Ya que 2. x. 1/2 es igual a 2.1/2.x, lo que es igual a 1.x, o sea x. (por qu?)

2. x. 1/2 = x

"Di bien". El doble producto de las bases est en el polinomio que quiero factorizar (x +x2 + 1/4). Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) El resultado de la factorizacin es entonces: (x + 1/2)2. Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".


Cmo reconocer a los "cuadrados" y a los que no lo son?

Al estar desordenado el trinomio, cobra revelancia esto de saber reconocer cada trmino. Se recomienda la lectura de las siguientes secciones:qu es un cuadrado? y Los que no son cuadrados seguro

Verificacin:

Comprobemos ahora si es verdad que (x + 1/2)2 es igual a x +x2 +1/4:

- Usando la frmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un binomio)

(x + 1/2)2 = x2 + 2. x. 1/2 + (1/2)2 = x2 + x + 1/4 . Luego, si cambio el orden de los trminos, me queda x + x2 + 1/4.

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (x + 1/2)2, obtuve el polinomio original (x +x2 +1/4).

- O usando el concepto de potencia:

(x + 1/2)2 = (x + 1/ 2).(x + 1/2) = x2 + 1/2 x + 1/2 x + 1/4 = x2 + x + 1/4 . Luego, si cambio el orden de los trminos, me queda x + x2 + 1/4.



-12x + x2 + 36= (x - 6)2

x-62.x.(-6)-12x

8a + a2+ 16 = (a + 4)2

a 42.a.48a

-2/3 x + x2 + 1/9 = (x - 1/3)2

x -1/32.x.(-1/3)-2/3 x

EJEMPLO 6: (Con un nmero multiplicando a la x2)

9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2

3x 52.5.3x 30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 d 9x2. En este caso hay un nmero acompaando a la letra que est al cuadrado. Para que el trmino sea uno de los cuadrados que buscamos, ese nmero tambin tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son 9x2 y el 25 (qu es un "cuadrado"?). Porque:

25 es el cuadrado de 5, y

9x2 "es cuadrado" de 3x, ya que (3x)2 es igual a 9x2 (por qu?).

Podra pensarlo de la siguiente manera: Por el 9, "bajo el 3". Y por la x2, "bajo la x". En total "bajo 3x".

Por otro lado, el trmino "30x" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que 30 no es cuadrado de ningn nmero racional (no tiene raz cuadrada "exacta") (por qu digo "racional"?), y el exponente de "x" no es un nmero par (x es x1, y el 1 es un nmero impar). (ms explicacin sobre esto) (los que no son cuadrado)

2) Las bases son entonces 3x y 5


2. 3x. 5 ("Dos por 3x por 5")

El resultado es "30x". Ya que 2.3x.5 es igual a 2.3.5.x., lo que es igual a 30x. (por qu?)

2.3x.5 = 30x

"Di bien". Ya que 30x est en el polinomio que quiero factorizar (9x2 + 30x + 25). Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


(3x + 5)2



En qu se diferencia este ejemplo de los anteriores?

En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una multiplicacin de dos o ms "cosas" (por ejemplo: 4x2, 25x2, a2b2, 16x2a2). Mientras que en los anteriores ejemplos, los cuadrados eran simplemente una letra o un nmero (por ejemplo: x2, 9, 4, a2, 25, etc.).Para reconocerlos, hay que fijarse en que cada una de las dos o tres cosas que estn multiplicndose (factores) sean "cuadrados". Por ejemplo:

4x2 puedo decir que es un "cuadrado", porque 4 es "cuadrado" (de 2) y x2 tambin, por supuesto.

25x2 es "cuadrado", porque 25 es un "cuadrado" (de 5), y x2 tambin , por supuesto.

a2b2 es un "cuadrado", porque a2 es cuadrado, y b2 tambin.

En cambio:

2a2 no lo tomo como "cuadrado", porque el 2 no es un "cuadrado" (de un nmero racional) (por qu est aclaracin?)

16x no puede ser un "cuadrado", porque la x no est elevada al cuadrado (ni a ninguna otra potencia par) (por qu tiene que ser una potencia par?)

Por qu (3x)2 es igual a 9x2?

(3x)2 es igual a 3x.3x, por lo que significa elevar a una potencia (qu significa?). Y 3x.3x es igual a 9x2 (por qu?).

Tambin podramos haberlo hecho usando la Propiedad Distributiva entre la potencia y la multiplicacin. As: (3x)2 es igual a 32.x2, lo que es igual a 9x2.

Por qu para que una multiplicacin sea cuadrado, los dos factores tienen que ser cuadrados?

Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicacin y la potencia, que dice que:(a.b)n = an.bn . Por ejemplo:

(5.x)2 = 52. x2 = 25x2(3.a2)2 = 32. (a2)2 = 9x4 (Potencia de Potencia) (4.b3)2 = 42 . (b3)2 = 16b6

Cuando elevamos al cuadrado una multiplicacin, tenemos que elevar al cuadrado a cada factor. Entonces, los dos factores del resultado terminan siendo cuadrados tambin.

Otra forma de verlo sera usando el concepto de potencia (cmo es eso?):

(5.x)2 es igual a 5x.5x, lo que es igual a 5.5.x.x (por qu?). Como estamos multiplicando al 5 dos veces por s mismo, lo estamos elevando al cuadrado. Lo mismo con la x. Entonces, estamos obteniendo dos cuadrados en el resultado, que provienen que multiplicar a cada factor por s mismo.

Multiplicaciones

Decamos que 5x.5x es igual a 5.5.x.x. Pero y eso por qu?. Primero, 5x.5x es lo mismo que 5.x.5.x, porque aunque no pongamos el signo "por" entre el nmero y la letra, hay que recordar que ambos estn multiplicndose. 5x significa "5 veces x", es decir "5 multiplicado por x", "5 por x", o "5.x" .Luego, la multiplicacin cumple con la Propiedad Conmutativa, ya que "si en una multiplicacin cambiamos el orden, el resultado es el mismo". Entonces, puedo decir que 5.x.5.x es igual a 5.5.x.x. Cambi el orden, con permiso de la Propiedad Conmutativa.Tambin decamos que 3x.3x es igual a 9x2. Y la razn es la misma: 3x.3x es lo mismo que 3.x.3.x, lo que es igual que 3.3.x.x (por la Propiedad Conmutativa), y eso es igual a 9x2.

Verificacin:

Comprobemos ahora si es verdad que (3x + 5)2 es igual a 9x2+30x+ 25:


(3x + 5)2 = (3x)2 + 2.3x.5 + 52 = 9x2 + 30x + 25

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (3x + 5)2, obtuve el polinomio original 9x2 + 30x + 25.


(3x + 5)2 = (3x + 5).(3x + 5) = 9x2 + 15x + 15x + 25 = 9x2 + 30x + 25.



25x2 + 10x + 1= (5x + 1)2

5x 12.5x.1 10x

16+ 4a2+ 16a = (4 + 2a)2

4 2a2.4.2a 16a

-42x + 49x2 +9 = (7x - 3)2

7x -32.7x.(-3)-42x

EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")

x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2

x3 5 2.x3.5 10x3

Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) tambin son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son x6 y el 25 (qu es un "cuadrado"?). Porque x6 "es cuadrado" de x3, ya que (x3)2 es igual a x6 (por qu?). Y 25 "es el cuadrado" de 5.

Por otro lado, el trmino "10x3" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que 10 no es cuadrado de ningn nmero racional (racional?) (no tiene raz cuadrada "exacta" ), y el exponente de "x" es 3, que no es un nmero par.(ms explicacin sobre esto) (los que no son cuadrado seguro)

2) Las bases son entonces x3 y 5


2. x3. 5 ("Dos por x3 por 5")

El resultado es "10x3". Ya que 2.x3.5 es igual a 2.5.x3., lo que es igual a 10x. (cmo se hacen estas multiplicaciones?)

2.3x.5 = 10x

"Di bien". Ya que 10x est en el polinomio que quiero factorizar (x6 + 10x3 + 25). Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) El resultado de la factorizacin es entonces: (x3 + 5)2. Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".


En qu se diferencia este ejemplo de los anteriores?

En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una potencia distinta de 2. Es una potencia 6. Pero 6 es un nmero par. Es igual a "2 por 3". Entonces x6 se puede escribir como (x3)2. Ya que, por la propiedad llamada Potencia de Potencia, (x3)2 es igual a x3.2=6 (se multiplican los exponentes). De esta manera, pudimos escribir a x6 como "algo al cuadrado", como x3 al cuadrado. Entonces, podemos decir que x6 "es un cuadrado". Es el cuadrado de x3.

Lo mismo puedo hacer con cualquier potencia par. Ya que cualquier nmero par es igual a "2 por algo". Y entonces puedo escribirlo como una potencia de potencia, con el 2 afuera, por lo termina siendo un cuadrado (otra manera de pensarlo?). Por ejemplo:

4 es igual a 2 por 2. Entonces, a x4 lo puedo escribir como (x2)2, ya que es igual a x2.2=4 , por la mencionada propiedad Potencia de Potencia. Entonces, x4 es el cuadrado de x2.

10 es igual a 2 por 5. Entonces, a x10 lo puedo escribir como (x5)2, ya que es igual a x5.2=10. Entonces, x10 es el cuadrado de x5.

8 es igual a 2 por 4. Entonces, a x8 lo puedo escribir como (x4)2, ya que es igual a x4.2=8. Entonces, x8 es el cuadrado de x4.

Y lo mismo podemos hacer con cualquier potencia par. Es decir que cualquier potencia par es un cuadrado. Y por la misma razn, para que una potencia sea cuadrado, debe ser una potencia par. Estas dos afirmaciones son recprocas (una dice lo inverso de la otra), y se pueden demostrar. Pero como siempre: eso no es tema de esta pgina. Lo que quiero decir es que la explicacin anterior responde tambin a la pregunta por qu para que una potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?, que se hizo ya en varios lugares de esta pgina.

Nota: Aclaro que las afirmaciones anteriores valen dentro el contexto del tema que estoy explicando: polinomios. Las potencias a las que me refiero son siempre potencias con exponente natural.

Por qu para que una potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?

Porque si es una potencia par, puedo hacer lo que hice en la pregunta anterior (leer). Pero si es una potencia impar (1, 3, 5, 7, 9, etc.), eso no puede hacerse, ya que no se puede escribir a un nmero par como "2 por algo" (estamos hablando de nmero enteros). Entonces no podr expresarla como cuadrado de algo.

Otra manera de pensarlo

En vez de usar la propiedad "Potencia de potencia", podemos entender esto mismo usando el concepto de Potencia (qu es una potencia?). Por ejemplo, hagmoslo con x6:

Por el concepto de potencia, x6 es igual a x.x.x.x.x.x. Es decir, la x multiplicndose 6 veces.

xxx.xxx

Ahora, en esas 6, puedo separar dos grupos de 3: xxx por un lado y xxx por el otro. O sea x3 por un lado y x3 por el otro. Con lo que llego a que x6 es lo mismo que a "x3 por x3". Y eso es algo multiplicndose por s mismo dos veces, entonces es "algo al cuadrado". Es x3 al cuadrado. Llegamos entonces a que x6 es cuadrado de algo, es cuadrado de x3.Con cualquier potencia par voy a poder hacer lo mismo, porque me quedan dos grupos iguales, ya que un nmero par se puede dividir en dos partes iguales. En cambio, si lo hiciera con una potencia impar, los grupos quedan diferentes, y por eso no voy a poder decir que es cuadrado de algo, porque no son dos cosas iguales multiplicndose. Por ejemplo x5:

x.x.x.x.x

No puedo dividirlo en dos grupos iguales sin que sobre nada.


Comprobemos ahora si es verdad que (x3 + 5)2 es igual a x6+10x3+25:


(x3 + 5)2 = (x3)2 + 2.x3.5 + 52 = (x3)2 + 10x3 + 25.

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (x3 + 5)2, obtuve el polinomio original: x6+10x3 + 25


(x3 + 5)2 = (x3 + 5).(x3 + 5) = x6 + 5x3 + 5x3 + 25 = x6 + 10x3 + 25.



x4 + 2x2 + 1= (x2 + 1)2

x2 2.x2.1 1 2x2

16+ 4a10+ 16a5 = (4 + 2a5)2

4 2a5 2.4.2a5 16a5

a2 + 2ab2 +b4 = (a + b2)2

a 2.a.b2 b2

EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)

4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2

2x a3 2.2x.a3 4xa3

En los dos trminos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El trmino del medio tambin tendr las 2 letras.


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son 4x2 y el a6 (qu es un "cuadrado"?). Porque 4x2 es cuadrado de 2x, ya que (2x)2 es igual a 4x2 (por qu?). Y a6 es el cuadrado de a3 (por qu?).

Por otro lado, el trmino "4xa3" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que estn "x" y "a3", las cuales no son potencias pares. (tienen que ser pares?)(los que no son cuadrado seguro)

2) Las bases son entonces 2x y a3


2.2x.a3 ("Dos por 2x por a3")

El resultado es "4xa3". Ya que 2.2x.a3 es igual a 2.2.x.a3, lo que es igual a 4xa3. (cmo se hacen estas multiplicaciones?)

2.2x.a3 = 4xa3

"Di bien". Ya que 4xa3 est en el polinomio que quiero factorizar (4x2 +4xa3+ a6). Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


(2x + a3)2



Verificacin:

Comprobemos ahora si es verdad que(2x + a3)2 es igual a 4x2+ 4xa3 + a6:


(2x + a3)2 = (2x)2 + 2.2x.a3 + (a3)2 = 4x2 + 4xa3 + a6

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado (2x + a3)2, obtuve el polinomio original: 4x2+4xa3 + a3


(2x + a3)2 = (2x + a3).(2x + a3) = 4x2 + 2xa3 + 2xa3 + a6 = 4x2 + 4xa3 + a6


Una variacin sobre este Ejemplo:

Las 2 letras diferentes pueden estar tambin en el mismo "cuadrado". Por ejemplo:

a2x4 + 2ax2 + 16 =

Aqu tenemos que el primer "cuadrado" es a2x4, y en l hay 2 letras, que tienen que ser potencias pares ambas, de otro modo no seran "cuadrados" (por qu?). La solucin es sta:

a2x4 + 8ax2 + 16 =

ax2 4 2.ax2.4 8ax2


x4 + 2x2y + y2= (x2 + y)2

x2 y2.x2.y 2x2y

9b2+ 4a10+ 12ba5= (3b + 2a5)2

3b2a52.3b.2a5 12ba5

x4 + 10x2b3 +25b6 = (x2 + 5b3)2

x2 5b32.x2.5b3 10.x2.b3

9a2x6 + b2 + 6ax3b = (3ax3 + b)23ax3 b 2.3ax3b 6ax3b

EJEMPLO 9: (Con nmeros decimales)

0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2

0,3a3 (-1)2.0,3a3.1 0,6a3

A los nmeros decimales puedo pasarlos a fraccin. O sino, sacarle la raz cuadrada para saber de qu nmero son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.


EXPLICACIN:


Lo voy a hacer de dos maneras: A) Trabajando con los nmeros decimales, y B) Pasando los nmeros decimales a fraccin.

TRABAJANDO CON NMEROS DECIMALES:

1) Los cuadrados son 0,09a6 y el 1 (qu es un "cuadrado"?). Porque:

0,09a6 "es cuadrado" de 0,3a3 (cmo me doy cuenta?), ya que (0,3a3)2 es igual a 0,09x6 (Potencia de un producto y Potencia de potencia)

Y a6 "es el cuadrado" de a3 (por qu?).

Por otro lado, el trmino "-0,6a3" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que: es negativo. (los que no son cuadrado seguro)

2) Las bases son entonces 0,3a3 y -1


2.0,3a3.(-1) ("Dos por 0,3a3 por -1")

El resultado es "-0,6a3" (por qu?)

2.0,3a3.(-1) = -0,6a3

"Di bien". Ya que -0,6a3 est en el polinomio que quiero factorizar: 0,09a6+1-0,6a3. Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) El resultado de la factorizacin es entonces (0,3a3 + (-1))2. Lo que es igual a:

(0,3a3 -1)2


PASANDO LOS NMEROS DECIMALES A FRACCIN:

0,09 = 9/100 (por qu?)0,6 = 6/10, que simplificado es igual a 3/5 (por qu?)

Entonces, reemplazo en el polinomio y este Ejemplo resuelto queda as:

9/100 a6 + 1 - 3/5 a3 = (3/10 a3 - 1)2

3/10 a3 (-1) 2. 3/10 a3.(-1) -3/5a3

1) Los cuadrados son 9/100 a6 y 1. Porque:

9/100 a6 es cuadrado de 3/10 a3, ya que (3/10 a3)2 es igual a 9/100 a6 (cmo reconozco que una fraccin es "cuadrado"?) (cuadrado de un producto)(cmo reconozco que una multiplicacin es "cuadrado"?)

Y 1 es cuadrado de 1, y de (-1) tambin. Ya que (-1)2 tambin es igual a 1. Si en este ejemplo tomara como base a 1, el doble producto no dara negativo. Entonces, debo tomar como base al -1 (Esta situacin ya fue explicada en el Ejemplo 4)

2) Las bases son entonces: 3/10 a3 y -1

3) Calculo el doble producto de las bases:

2. 3/10 a3.(-1) (Dos, por 3/10 a3, por -1)

El resultado es -3/5 a3 (por qu?). "Di bien", ya que -3/5 a3 est en el polinomio que tena que factorizar: 9/100 a6+ 1-3/5a3

4) El resultado de la factorizacin es entonces (3/10 a3 + (-1))2, lo que es igual a (3/10 a3 - 1)2


Cmo me doy cuenta de que 0,09 es el cuadrado de 0,3?

Hay algunas reglas para calcular las potencias de un nmero decimal, relacionndolas con las potencias de nmeros naturales. Pero si no conocen esas reglas, pueden usar la calculadora. En el caso de un nmero decimal, el resultado de la raz dar con coma, pero ser un decimal exacto, es decir con un nmero de cifras decimales limitado. Si d un nmero con tantas cifras decimales que llena toda la calculadora, ese nmero no nos sirve como cuadrado, porque no tiene raz cuadrada exacta. Por ejemplo, usemos la calculadora para averiguar las siguientes races cuadradas, y comparemos:

= 0,3 Entonces, 0,09 es el cuadrado de 0,3

= 0,632455532... El 0,4 no nos sirve como cuadrado

Multiplicaciones en el doble producto:

2.0,3a3.(-1) es igual a 2.0,3.(-1).a3, porque en la multiplicacin se puede cambiar el orden. Y 2.0,3.(-1) es igual a -0,6 (calculadora...). Es decir que este doble producto nos d -0,6a3.

2. 3/10 a3.(-1) es igual a 2. 3/10 . (-1).a3, porque en la multiplicacin se puede cambiar el orden. Y 2. 3/10 . (-1) es igual a -3/5 (la calculadora lo calcula y simplifica). Es decir que este doble producto nos d -3/5 a3.

Cmo se hacen los pasajes de decimal exacto a fraccin?

Por ejemplo:

0,09 es igual a 9/100

Se pone el 9 en el numerador de la fraccin ("arriba"), porque 9 es el nico nmero que tenemos en este caso (los ceros delante no cuentan). Y se pone el 100 en el denominador ("abajo"), porque el nmero decimal tiene 2 cifras decimales (2 lugares detrs de la coma). El 100 hay que verlo como "un 1 seguido de dos ceros". Esos 2 ceros son por los dos lugares decimales.

0,6 es igual a 6/10

Se pone el 6 en el numerador, y 10 en el denominador. Porque 0,6 tiene una sola cifra detrs de la coma, y el 10 tiene un solo "0".

La regla para pasar de decimal exacto a fraccin sera entonces as:

"En el numerador ("arriba") poner todo el nmero quitndole la coma. En el denominador ("abajo") poner el 1 seguido de tantos ceros como lugares decimales tenga el nmero".

En 0,09, "todo el nmero" sera 009, pero los ceros delante no tienen valor, por eso ponemos solamente el 9.En 0,6 sucede algo parecido: "todo el nmero" sera 06, pero el 0 delante no tiene valor. Solamente ponemos el 6.

Otros ejemplos para que se vea mejor el uso de la regla:

1,2 es igual a 12/10

"Todo el nmero (12) en el numerador". Un solo "lugar decimal", entonces en el denominador va 10, que tiene un solo cero.

4,31 es igual a 431/100

"Todo el nmero" es 431. Y ponemos 100 en el denominador, porque hay dos "lugares decimales" (ocupados por el 3 y el 1)

2,057 es igual a 2057/1000

2057 es "todo el nmero". Y como tiene 3 "lugares decimales", en el denominador va 1000, que tiene 3 ceros.

0,00002 es igual a 2/100000

0,049 es igual a 49/1000

etc.

Cmo se simplifican las fracciones?

6/10 es igual a 3/5

Para simplificar una fraccin, primero hay que encontrar un nmero que divida tanto al numerador como al denominador (al "de arriba" y al "de abajo"). En este ejemplo, el 6 y el 10 son nmeros que se pueden dividir por 2.Luego, hay que dividir "arriba y abajo" por ese nmero. En nuestro ejemplo: 6 dividido 2 d 3, y 10 dividido 2 d 5. Por eso 6/10 nos d 3/5. Son ambas fracciones "equivalentes", porque representan al mismo nmero. Es un nmero decimal, y se puede averiguar con la calculadora, dividiendo "6 dividido 10"; o "3 dividido 5". En ambos casos el resultado es el mismo: 0,6.

Pero a veces, luego de simplificar una vez, encontramos que otra vez se puede simplificar, por el mismo o por otro nmero. En ese caso, tenemos que seguir hacindolo hasta que no se pueda ms. Se dice que "tenemos que llegar a una fraccin irreducible", es decir, simplificar hasta llegar a una fraccin que ya no se pueda simplificar ms.En realidad, nos sucede eso porque en un principio no usamos el nmero ms grande que divide a los dos. Usamos un nmero ms chico, y resulta que despus hay otro. Por ejemplo:

20/28

En un principio se nos puede ocurrir dividir por 2, y entonces nos queda 10/14. Y resulta que otra vez se puede dividir por 2, y as llegamos a 5/7. Pero si desde un principio nos hubiramos dado cuenta de que 20 y 28 se pueden dividir por 4, no nos hubiera pasado esto. Podramos haber dividido por 4, y llegbamos en un solo paso a 5/7.Eso es porque el 4 es el mayor nmero que divide a 20 y 28. Al dividir de entrada por el mayor nmero, nos aseguramos que ya no se podr volver a dividir por ningn otro. Ese mayor nmero que divide a ambos, es el conocido Mximo Comn Divisor (MCD) o Divisor Comn Mximo (DCM), que para algo nos lo ensean, y sta es una de sus aplicaciones. Si descubrimos o nos tomamos el trabajo de calcular el Mximo Comn Divisor, podemos simplificar totalmente a la fraccin en un solo paso. (cmo se calcula el MCD?)

Verificacin:

Comprobemos ahora si es verdad que (0,3a3 -1)2 es igual a 0,09a6+1-0,6a3:


(0,3a3 -1)2 = (0,3a3)2 + 2.0,3a3.(-1) + (-1)2 = 0,09a6 - 0,6a3 + 1. Que es lo mismo que 0,09a6+1-0,6a3, con los trminos cambiados de orden.

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado(0,3a3 -1)2, obtuve el polinomio original:0,09a6+1-0,6a3


(0,3a3 -1)2 = (0,3a3 -1).(0,3a3 -1) = 0,09a6 - 0,3a3 - 0,3a3 + 1 = 0,09a6 - 0,6a3 + 1



x2 + 1,2x + 0,36 = (x + 0,6)2

x 0,6 2.0,6.x 1,2x

1,44 + a2 + 2,4a = (a + 1,2)2

1,2 a 2.1,2.a 2,4a

0,02b + 0,01 + b2 = (0,1 + b)2

0,1 b2.0,01.b

EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)

25x6+10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2

5x3 x22.5x3.x2 10x5

En un caso como ste, queda una multiplicacin de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son 25x6 y el x4 (qu es un "cuadrado"?). Porque:

25x6 "es cuadrado" de 5x3, ya que (5x3)2 es igual a 25x6 (Potencia de un producto y Potencia de potencia)

Y x4 "es el cuadrado" de x2 (por qu?).

Por otro lado, el trmino "10x5" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que el 10 no tiene raz cuadrada exacta, y la x no est elevada a una potencia par. (por qu tiene que ser una potencia par?) (los que no son cuadrado seguro)

2) Las bases son entonces 5x3 y x2


2.5x3.x2 ("Dos por 5x3 por x2") (Cmo se hace esta Multiplicacin?)

El resultado es "10x5", ya que x3.x2 es igual a x5. Porque cuando se multiplican dos potencias de igual base (la x), hay que "sumar los exponentes". (Propiedades de las Potencias de igual base)

2.5x3.x2 = 10x5

"Di bien". Ya que 10x3 est en el polinomio que quiero factorizar:25x6+10 x5 + x4.

Verifiqu as que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


(5x3 + x2)2



Qu tiene de diferente este Ejemplo, respecto de los anteriores?

Simplemente que la letra x est en los dos trminos que son cuadrados: 25x6 y x2. En un caso as, se d que en la multiplicacin del doble producto hay dos letras iguales, entonces se trata de una multiplicacin entre potencias de la misma base (x3.x2 en este ejemplo), y hay que aplicar la propiedad correspondiente (Propiedades).

Pero en este ejemplo no habra que sacar primero factor comn "x4"?

Es verdad. Este ejemplo en realidad es un ejercicio combinado, donde hay dos Casos de Factoreo. Y habra que sacar primero factor comn x4. Si ya han visto todos los casos, y estn combinando casos, saquen primero factor comn x4, y ya no quedar la misma letra en los dos cuadrados (queda x4.(25x2 + 10x3 + 1)).Sin embargo, si no han visto an combinacin de Casos, les pueden pedir que factoricen ese polinomio con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Por eso me v en la necesidad de presentar un ejemplo como ste, ms all de que en realidad este ejemplo tenga una solucin ms completa cuando se est ms avanzado en el tema y se sabe aplicar varios Casos en el mismo ejercicio.

La Multiplicacin del doble producto:

2.5x3.x2 es igual a 2.5.x3.x2 , que es igual a 10x5. Ya que:

2 por 5 es igual a 10, y

x3 por x2 es igual a x5, por la Propiedad de la Multiplicacin de Potencias de igual base, que dice que hay que sumar los exponentes (3 + 2 = 5) (Propiedades de las Potencias de igual base)


Comprobemos ahora si es verdad que (5x3 + x2)2 es igual a 25x6+10 x5+x4:


(5x3 + x2)2 = (5x3)2 + 2.5x3.x2 + x2 =25x6 + 10x5 + x4

- O usando el concepto de potencia y la Propiedad Distributiva:

(5x3 + x2)2 = (5x3 + x2).(5x3 + x2) = 25x6 + 5x5 + 5x5 + x4 = 25x6 + 10x5 + x4


EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")

1/4 b6 + x4a2 - x2ab3= (1/2 b3 - x2a)2

1/2 b3 -x2a

2. 1/2 b3.(-x2a) -x2ab3

Desordenado, con varias letras, con trmino negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son 1/4 b6 y x4a2 (qu es un "cuadrado"?). Porque:

1/4 b6 "es cuadrado" de 1/2 b3, ya que (1/2 b3)2 es igual a 1/4 b6 (Potencia de un producto y Potencia de potencia)

Y x4a2 "es el cuadrado" de -x2a, ya que (-x2a)2 es igual a x4a2. Tengo que tomar esta base como negativa, para que el doble producto d negativo, sino dar positivo.

Por otro lado, el trmino "-x2ab3" nunca podra ser cuadrado de algo, ya que es negativo. (los que no son cuadrado seguro)

2) Las bases son entonces 1/2 b3 y -x2a


2. 1/2 b3.(-x2a) ("Dos por 1/2 b3 por (-x2a)")

El resultado es -x2ab3. "Di bien", ya que -x2ab3 est en el polinomio que quiero factorizar: 1/4 b6+x4a2-x2ab3


4) El resultado de la factorizacin es entonces: (1/2 b3 + (-x2a))2, lo que es igual a:

(1/2 b3 - x2a)2




Comprobemos ahora si es verdad que (1/2 b3 - x2a)2 es igual a 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3:


(1/2 b3 - x2a)2 = (1/2 b3)2 + 2. 1/2 b3.(-x2a) + (-x2a)2 = 1/4 b6 - x2ab3 + x4a2, y eso es igual a 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 cambiado de orden.


(1/2 b3 - x2a)2 = (1/2 b3 - x2a). (1/2 b3 - x2a) = 1/4 b6 - 1/2 b3x2a - 1/2 b3x2a + x4a2 =1/4 b6-x2ab3 + x4a2, y eso es igual a 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 cambiado de orden.



0,04x2 + 25/9 y4 - 1/15 xy2 = (1/5 x - 5/3 y2)2 = (0,2 x - 5/3 y2)2

1/25 x2 + 25/9 y4 - 1/15 xy2 = (Primero pas el decimal a fraccin)

1/5 x-5/3 y2 2.(1/5 x).(-5/3 y2)

-ab2 + 1 + 0,25 a2b4 = (1 - 0,5ab2)2

1 -0,5ab22.(-0,5a.b2).1-ab2

9/49 x8y2 + b6 - 6/7 x4yb3 = (3/7 x4y - b3)2

3/7 x4y -b3 2.(3/7 x4y).(-b3) -6/7 x4yb3

AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)

EJEMPLO 12: (Con nmeros que no tienen raz cuadrada "exacta")

x2 + 2 x + 3 = (x + )2

x 2.x. 2 x

El 3 no es cuadrado de ningn nmero entero. Pero... es cuadrado de . Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.


EXPLICACIN:


1) Los cuadrados son x2 y 3 (qu es un "cuadrado"?). Porque x2 es el cuadrado de x; y 3 es el cuadrado de , ya que ()2 es igual a 3 (por qu?)

Por otro lado, el trmino 2x nunca podra ser cuadrado por muchas razones, que a esta altura ya no describir (es un ejemplo para "avanzados").(por qu tiene que ser una potencia par?) (los que no son cuadrado seguro)

Para que el Caso se pueda aplicar, en este ejemplo hay que tomar al nmero 3 como "cuadrado". Si bien no hay nmero entero ni racional que elevado al cuadrado de 3, podemos tomar al nmero irracional , que elevado al cuadrado s que d 3 (por qu?). Esto nos d la posibilidad de tratar de aplicar el caso en un polinomio como ste, donde en un principio no parece haber dos cuadrados.

2) Las bases son entonces x y


2.x. ("Dos por x por ")

El resultado es 2x. "Di bien", ya que 2x est en el polinomio que quiero factorizar: x2 + 2 x + 3



(x + )2



Por qu ()2 es igual a 3?

Siendo el 3 un nmero positivo, se puede simplicar la raz cuadrada con exponente cuadrado. Ya que ()m = n , para todo nmero n mayor o igual que cero (positivo).

Tambin lo podemos pensar as:

()2 es igual a . ; lo que es igual a = = 3 (Ya que . = )


Comprobemos ahora si es verdad que (x + )2 es igual a x2 + 2 x + 3:


(x + )2 = x2 + 2.x. + ()2 = x2 + 2 x + 3


(x + )2 = (x + ).(x + ) = x2 + x + x + = x2 + 2x + 3


EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")

-x2 + 6x - 9 = - (x2 - 6x + 9) = - (x - 3)2

x(-3) 2.x.(-3) -6x

ste sera ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor comn" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaramos aplicando dos casos de factoreo. El factor comn que hay que sacar es -1. Aunque tambin podemos pensar simplemente as: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los trminos".

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 13 EXPLICACIN:


1) Antes que nada hay que "sacar el menos afuera". Es decir, poner un signo menos adelante de un parntesis, y dentro de l poner los tres trminos del polinomio pero con el signo opuesto al que traan. Tambin se puede pensar as: "Saco como Factor Comn al nmero -1", es decir, dividido todos los trminos por -1. Al hacer esto, todos los trminos quedan "con el signo cambiado". Si no hago esto, no se puede aplicar el caso Trinomio Cuadrado Perfecto. (por qu?) (cmo se saca factor comn -1?) (por qu -x2 + 6x - 9 es igual a - (x2 - 6x + 9)?)

2) Luego, el polinomio que tenemos que factorizar con el Tercer Caso es:

x2 - 6x + 9

ste, es un ejercicio muy simple, con un trmino negativo, que ya fue explicado en el EJEMPLO 4.

Los cuadrados son x2 y 9. Las bases son x y (-3). El doble producto es 2.x.(-3), es decir que d -6x. Entonces estamos ante un Trinomio Cuadrado Perfecto. La solucin es: (x - 3)2

3) Pero como el polinomio original era igual a -(x2 - 6x + 9), el resultado de la factorizacin completa es:

-(x - 3)2


Qu tiene de particular este ejemplo: -x2 + 6x - 9

En este ejemplo, los trminos que parecen cuadrados son negativos (-x2 y -9). As como est, no se aplicara el Tercer Caso de Factoreo. Porque para este caso, tenemos que buscar trminos que sean cuadrado de algo. Y -x2 o -9 no son cuadrado de nada, ya que nunca se puede obtener un resultado negativo de elevar algo al cuadrado.Recordemos que si a cualquier nmero, sea positivo o negativo, lo elevamos a la potencia 2, d positivo. Porque estamos multiplicando dos veces por s mismo a ese nmero. Y si el nmero es positivo estamos multiplicando "ms por ms", que d "ms" por supuesto, o sea positivo. Y si el nmero es negativo, estamos multiplicando "menos por menos", que d "ms" tambin. Entonces, no hay manera de elevar al cuadrado y que d negativo.

Pero para que desaparezcan esos signos menos de adelante de los cuadrados, podemos dividir a todo el polinomio por -1, o que es lo mismo "sacar factor comn -1", o "sacar el menos afuera". Y entonces, quedara as: -(x2 - 6x + 9). El polinomio que qued ahora entre parntesis, tiene los cuadrados positivos, y se le puede aplicar con facilidad el Caso. Pero no hay que olvidar luego de ponerle el signo menos delante al resultado de la factorizacin: -(x - 3)2.

Cmo se saca factor comn "-1"?

En uno de los ejemplos del Caso Factor Comn (EJEMPLO 9), mostr cmo en realidad se puede sacar multiplicando a cualquier nmero que uno quiera , aunque no est como factor en todos los trminos. Se trata de seguir el mismo procedimiento que cuando sacamos factor comn: Dividir todos los trminos por ese nmero.

Para sacar factor comn "-1", simplemente hay que dividir todos los trminos por -1:

-x2 dividido -1 d como resultado x2 (ya que "menos por menos = ms")

6x dividido -1 d como resultado -6x

-9 dividido -1 d como resultado 9

Dividir por -1, no hace ms que cambiar el signo del trmino. As obtenemos:

-1.(x2 - 6x + 9); o lo que es lo mismo: -(x2 - 6x + 9)

Por qu -x2 + 6x - 9 es igual a -(x2 - 6x + 9)?

Empecemos al revs. Voy a mostrar que -(x2 - 6x + 9) es igual a -x2 + 6x - 9, porque es ms fcil hacerlo as:

Si queremos sacar el parntesis en -(x2 - 6x + 9), tenemos que aplicar la "regla para sacar parntesis", sa que ensean en los primeros aos. Dice algo as: "cuando sacamos un parntesis precedido (o sea "que tiene adelante") de un signo menos, se ponen todos los trminos con el signo contrario". Es decir, que a cada trmino hay que cambiarle el signo. Si un trmino es positivo, va a queda negativo. Y viceversa. Entonces:

Dentro del parntesis, la x2 es positiva, porque si no tiene nada adelante hay que considerar que tiene un signo "ms". Cuando saco el parntesis me queda -x2, porque hay que cambiar el signo.

Dentro del parntesis, tenemos - 6x. Cuando saco parntesis me queda + 6x.

Dentro del parntesis, tenemos + 9. Cuando saco el parntesis, me queda - 9.

Es decir que, si saco el parntesis, me queda -x2 + 6x - 9.

Entonces, partiendo de -(x2 - 6x + 9), y usando una regla vlida, llego a -x2 + 6x - 9. Lo que quiere decir que -(x2 - 6x + 9) es igual a -x2 + 6x - 9. Pero si una cosa es igual a otra, la otra es igual a una cosa. Quiero decir, si A = B entonces B = A (Propiedad Simtrica de la Igualdad). Por lo tanto, puedo expresar la igualdad al revs:

-x2 + 6x - 9 es igual a -(x2 - 6x + 9)


Comprobemos ahora si es verdad que - (x - 3)2 es igual a -x2 + 6x- 9:


- (x - 3)2 = - (x2 + 2.(-3)x + 9) = - (x2 - 6x + 9) = -x2 + 6x - 9


- (x - 3)2 = - (x - 3).(x - 3) = - (x2 - 3x - 3x + 9) = - (x2 - 6x + 9) = -x2 + 6x - 9



SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Por qu se llama as el caso?

"Trinomio" significa "polinomio de tres trminos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 trminos los que factorizamos con este Caso.Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), di como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (qu es un "cuadrado"?)Ms precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos trminos). Como (x + 5) por ejemplo.

Por qu se factoriza de esa manera?

Como en toda factorizacin, estamos buscando una expresin que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicacin (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la frmula (qu es un "binomio"?):

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

"El cuadrado del primero, ms el doble producto del primero por el segundo, ms el segundo al cuadrado". (doble producto?)

Por ejemplo:

(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 trminos. Elevamos un polinomio de 2 trminos, y obtenemos uno de 3.Ahora, si tenemos un polinomio de 3 trminos, podemos pensar al revs: "Este polinomio, se podr obtener elevando al cuadrado a algn binomio (polinomio de dos trminos)?".Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos estn dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algn "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x2 + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorizacin sera (x + 5)2.Ahora, si no sabemos "de dnde vino" cmo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la frmula:

a2 + 2.a.b + b2

Cmo son los trminos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos trminos que son cuadrados: a2 y b2. Y el que est en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que estn al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos trminos que sean "cuadrados", y luego un trmino que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.(qu son las "bases"?) (qu es "doble producto"?)

Por ejemplo, en:

x2 + 10x + 25

Los trminos "cuadrados" son x2 y 25. Las "bases" son x y 5. Y el trmino 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)2.

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 trminos en un "producto", ya que (x + 5)2 es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (qu significa "factorizar"?)

Cmo puedo verificar si factoric bien?

Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicacin". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicacin, hago la multiplicacin y tengo que obtener el polinomio original.En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:

1) Aplicando la frmula de cuadrado de un binomio ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2) al resultado que nos di:

(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25

2) Multiplicando dos veces por s mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):

(x + 5).(x + 5) = x2 + 5x + 5x + 25 = x2 + 10x + 25

Cmo me doy cuenta que podra aplicar este Caso a un polinomio?

Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:

- El polinomio tiene que tener 3 trminos.- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son nmeros, tienen que ser nmeros que tengan raz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x2, a4, x6, etc.)- Los trminos que estn al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x2 - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x2 no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado d positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)2 me va a dar un trinomio con algn cuadrado negativo (ya que a2 y b2 van a dar positivos). El nico trmino que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).

Cundo desisto de usar el Caso?

Cuando luego de identificar a las bases, pruebo el "doble producto", y no d ni igual ni el opuesto del trmino que no es cuadrado en el trinomio. Porque no verifica la frmula de un binomio al cuadrado.Aclaremos que es cada cosa, con un ejemplo:

a2 + 14a + 49 =

a 7 2.a.7

En este ejemplo, los "cuadrados" son a2 y 49. Las bases son "a" y "7". El doble producto es 2.a.7 ("multiplicar por 2 a la multiplicacin entre las bases"). Y "el trmino que no es cuadrado en el trinomio" es 14a. Desisto de usar el caso si 2.a.7 no diera 14a, ni -14a. Porque no verifica la frmula de un binomio al cuadrado ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2)

Qu son las "bases"?

En una potencia (como x2, 25, etc.), se le llama "base" al nmero o letra que est elevado, es decir "el nmero o letra que est debajo del otro". Por ejemplo: En x2 la base es la "x". La "x" est "debajo" del "2". La "x" est elevada a la "2".En 25, la base es el "2". El "2" est "debajo" del "5". El "2" est elevado a la "5".

Por qu se habla de "doble producto"?

"Producto" se le llama a la multiplicacin. "Doble" es "multiplicado por dos". "Doble producto" es "una multiplicacin, multiplicada por dos". En este tema, al calcular el Cuadrado de un Binomio, aparece un "doble producto":

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

El "doble producto" del que me hablan es "2.a.b". Es decir: "el doble de la multiplicacin de a con b", que son las "bases", o "el primero" (la "a") y "el segundo" (la "b") en el binomio.

Los que "no son cuadrado" seguro:

En los siguientes ejemplos se puede ver cmo reconocer trminos que no pueden ser uno de los cuadrados que buscamos:

-4x Este trmino es negativo. Nunca el cuadrado de algo d negativo. Cualquier cosa elevada a la potencia 2, d positiva. Cuando aplico la frmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 , nunca el resultado de a2 o b2 me va a dar negativo. Entonces, queda claro que -4x podra ser "el trmino del medio" (2.a.b), y no puede ser uno de los "cuadrados" que tengo que encontrar.

4x ste no es negativo, y el 4 es "cuadrado" (22 = 4). Podramos confundirnos... Pero est esa "x". La "x" no es "cuadrado". Para que una letra sea "cuadrado", tiene que estar elevada a la potencia 2 (x2), a la potencia 4 (x4), a la potencia 6 (x6), o a cualquier otro nmero "par" (por qu?).

3x2 ste tiene la x al cuadrado... Pero el 3 es cuadrado de algn nmero? No, ningn nmero (entero o racional), elevado a la potencia 2, d 3.("entero o racional"?). Es lo mismo que decir "el 3 no tiene raz cuadrada exacta". Si en la calculadora sacamos la raz cuadrada de 3, veremos que d un nmero con coma: 1,73205.... Ese nmero no nos sirve para usarlo como base en este tema de factoreo, tienen que usarse nmero enteros, fracciones o decimales exactos.

9x2b Ojo con ste. 9 es cuadrado. x2 tambin. Pero la b no es cuadrado de nada, por no ser potencia par. Este trmino entonces no puede ser uno de los cuadrados.

Podra ser que los tres trminos sean "cuadrado" de algo?

Y... s. Pero en ese caso, elegimos 2 de ellos, sacamos las bases, y verificamos el doble producto. Si no d, probamos con otros dos y hacemos lo mismo. En cuanto el doble producto nos d bien, es porque elegimos los cuadrados correctos. Por ejemplo:

x4 + 16x2y4 + 64y8 =

Los 3 pueden ser "cuadrados":

x4 es cuadrado de x2 16x2y4 es cuadrado de 4xy264y8 es cuadrado de 8y4

Pero en la mayora de los ejercicios, esto no va a pasar. Y en este ejemplo, tambin nos podramos dar cuenta que 16x2y4 tiene las dos letras (x e y), y los otros trminos no. Eso nos sugiere que 16x2y4 es el "doble producto", porque las dos letras de los otros trminos estn multiplicndose.Aunque tambin hay otros ejemplos donde ni por eso nos podramos dar cuenta:

a4x4 + a8x4 + 4a6x6 =

Pero, en general, este tipo de ejercicios nos lo pueden dar cuando ya vimos todos los Casos de Factoreo. Se trata de un ejercicio combinado, donde se pueden ir aplicando varios Casos. Y en este ejemplo en particular, se aplicara primero el Caso "Factor Comn", y luego el "Trinomio Cuadrado Perfecto".

A qu le llamamos un "cuadrado"?

Se le llama cuadrado a la potencia "2". Si algo est elevado a la 2, se dice que est elevado "al cuadrado". Por ejemplo, x2 es "x al cuadrado".Tambin en este tema le llamamos "cuadrados" a los nmeros, letras o trminos que estn elevados a la 2, o que sean resultado de elevar a la 2 a algo. Decimos directamente que "x2 es un cuadrado", "25 es un cuadrado", etc. Por ejemplo:

25 es un cuadrado, porque es resultado de 52 (o sea, resultado de elevar algo a la 2)

9 es un cuadrado, porque es resultado de 32

1 es un cuadrado, porque es resultado de 12

a2 es un cuadrado, porque es resultado de elevar a la "a" a la potencia 2

x6 es un cuadrado, porque viene de elevar a x3 a la potencia 2, ya que (x3)2 = x6 (potencia de potencia)

b4 es un cuadrado, porque viene de elevar a b2 a la potencia 2, ya que (b2)2 = b4 (potencia de potencia)

Para este tema, conviene recordar cules los son primeros nmeros naturales que son cuadrados, para poderlos reconocer rpidamente:

1 es cuadrado de 14 es cuadrado de 29 es cuadrado de 316 es cuadrado de 425 es cuadrado de 536 es cuadrado de 649 es cuadrado de 764 es cuadrado de 881 es cuadrado de 9100 es cuadrado de 10121 es cuadrado de 11144 es cuadrado de 12169 es cuadrado de 13196 es cuadrado de 14225 es cuadrado de 15256 es cuadrado de 16

En cuanto a las letras, tienen que ser "potencias pares" para ser cuadrados (por qu?). Entonces, son cuadrados:

x2 es cuadrado de xx4 es cuadrado de x2 (por qu?)x6 es cuadrado de x3x8 es cuadrado de x4x10 es cuadrado de x5etc.

Qu es el exponente?

Con un ejemplo se entiende mejor que definiendo:

En 25, el exponente es el 5. Es decir que se le llama "exponente" a "ese nmerito que est arriba" en las potencias, mientras que al nmero de abajo se lo llama "base". En una potencia, el exponente es quien indica cuntas veces hay que multiplicar por s misma a la base. Es decir que 25 significa 2.2.2.2.2

Potencia de Potencia

Decamos por ejemplo, que " x6 es cuadrado de x3 ", y que era porque (x3)2 es igual a x6. Esto es porque (x3)2 se puede resolver usando una propiedad a la que le dicen "potencia de potencia", ya que se trata de calcular la potencia de algo que ya tiene exponente(qu es "exponente"?). Esta propiedad dice que hay que "multiplicar los exponentes":

(x3)2 = x6, porque multipliqu "3 por 2", que d 6(x7)2 = x14, porque multipliqu "7 por 2", que d 14

En general, la propiedad dice que:

(an)m = an.m

Veamos con algunos ejemplos cmo esta propiedad se cumple, usando el concepto de lo que es "elevar a una cierta potencia":

(x3)2 es igual a " x3 por x3 ", si usamos el concepto de potencia, ya que elevar a la 2 significa "multiplicar por s mismo dos veces" (qu es una potencia?). O sea que:

(x3)2 = x3.x3 = x3 +3 = x6(Sumo los exponentes por la propiedad de las potencias de igual base)

(x5)3 = x5.x5.x5 = x5 + 5 + 5 = x15 (y 3 por 5 es 15)

(x2)4 = x2.x2.x2.x2 = x2 + 2 + 2 + 2 = x8(y 2 por 4 es 8)

Y si quieren entender an ms por qu, recuerden que "sumar varias veces lo mismo" es "multiplicar por el nmero de veces". Entonces, en (x5)3 = x5.x5.x5 , sumar 5 + 5 + 5 es lo mismo que multiplicar 5 por 3. Por esa razn, la propiedad dice que "se deben multiplicar los exponentes".En (x2)4 = x2.x2.x2.x2 tendramos que sumar 4 veces al 2, as: 2 + 2 + 2 + 2. Y eso es lo mismo que multiplicar 2 por 4.

Qu es un "binomio"?

Se le llama "binomio" a un polinomio de 2 trminos. Por ejemplo:

x + 4x3 + xa + b25 - aetc.

Y un "binomio al cuadrado" es entonces "un polinomio de dos trminos, elevado a la potencia 2". Por ejemplo:

(x + 5)2(x2 + 3)2(1 - a)2etc.

Y se puede resolver de varias maneras:

1) Aplicando la frmula: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, donde "a" es el primer trmino y "b" el segundo trmino (ejemplos de aplicacin de esta frmula). A la aplicacin de esta frmulas se le llama "Cuadrado de un binomio".

2) Multiplicando por s mismo al binomio, basndonos en el concepto de potencia, es decir, en lo que significa elevar algo a la potencia 2: "multiplicar a algo dos veces por s mismo". Ejemplo:

(x + 3)2 lo puedo resolver multiplicando (x + 3) por (x + 3)

Ejemplos de aplicacin de la frmula del "Cuadrado de un binomio":

Recordemos que la frmula es: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Donde "a" es el primer trmino y "b" el segundo.

- Con dos trminos positivos:

(x + 7)2 = x2 + 2.x.7 + 72 = x2 + 14x + 49

- Con trminos negativos:

(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El "segundo" es (-3)

(-x + 5)2 = (-x)2 + 2.(-x).5 + 52 = x2 - 10x + 25 El "primero" es (-x)

(-x - 1)2 = (-x)2 + 2.(-x).(-1) + (-1)2 = x2 + 2x + 1El "primero" es (-x) y el "segundo" (-1)

- Con trminos elevados:

(x5 + 2)2 = (x5)2 + 2.x5.2 + 22 = x10 + 4x5 + 4

(x - y2)2 = x2 + 2.x.(-y2) + (-y)2 = x2 - 2.x.y2 + y2

No existe una frmula especfica para cuando se trata de una resta al cuadrado?

S. De la conocida frmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, se puede deducir una frmula para resolver (a - b)2. La frmula es:

(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2

Esta frmula sirve solamente para "restas al cuadrado", lo que antes interpretbamos como: "el primer trmino es positivo y el segundo trmino es negativo".Veamos cmo se aplicara:

(x - 3)2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9 El primero es x, y el segundo es 3

Cuando reemplazamos en esta frmula, ya no tenemos que pensar al segundo trmino (b) como "-3", sino como 3. Porque el "menos" lo tomamos como que es el signo de la operacin resta. Son dos maneras distintas de pensar lo mismo.Esta frmula es prctica para hacer "directamente" lo que antes hacamos reemplazando con (-3). Porque nos ahorramos el reemplazar con trminos negativos. Para comparar, veamos como lo hacamos con la otra frmula:

(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9El "segundo" es (-3)

Se puede ver que reemplazar con un nmero negativo "retrasa" la visin de lo que va a ser el resultado final. En cambio con la nueva frmula, ya sabemos de antemano que el "doble producto" va a dar negativo, en cambio el tercer trmino va a dar positivo por ser un cuadrado. De todas maneras, hay que tener en cuenta que esta frmula no sirve para aplicarla en polinomios como (-x + 4), o (-x - 3), donde ya no se puede ver al binomio como un "resta" de trminos sin signo.Es completamente decisin nuestra aprender las dos frmulas (que no es difcil, porque son muy parecidas), o hacer todo con la frmula de la suma.Por ltimo, veamos las dos frmulas juntas para compararlas:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2

Y no podra deducir una frmula especfica tambin para (-a + b)2 y para (-a - b)2?

Por supuesto que se puede, pero quin quiere aprenderse 4 frmulas, cuando puede hacerse todo con una sola?Y adems... daran las mismas dos frmulas que ya conocemos... Pero habra que acordarse para cul caso va cada una, lo cual no creo que sea prctico.Anotemos de todos modos las 4 posibilidades. No porque las vayamos a usar para resolver cuadrados de binomios, sino para ver el fundamento de lo que plantea la siguiente pregunta. Estas son las 4 frmulas posibles:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2(-a + b)2 = a2 - 2.a.b + b2(-a - b)2 = a2 + 2.a.b + b2 (Cmo se deducen todas estas frmulas?)

Y esto me lleva a a:


Efectivamente. Si miramos las 4 frmulas de arriba, veremos que los resultados son en realidad solamente dos:

a2 + 2.a.b + b2; que viene de (a + b)2, pero tambin de (-a - b)2

a2 - 2.a.b + b2 ; que viene de (a - b)2, pero tambin de (-a + b)2

Entonces, si tengo un trinomio, viene de dos posibles cuadrados de binomios. Eso quiere decir, que si factorizo un trinomio, tiene dos resultados posibles. Ejemplos:

1) En general hacemos as:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2x 2.x.3 3 6x

Pero tambin lo podramos haber pensado as:

x2 + 6x + 9 = (-x - 3)2-x2.(-x).(-3) -3 6x

Ya que elegiendo como bases a -x y a -3, tambin se verifica el doble producto (2.a.b)

Es decir que x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x - 3)2. Ya que si resuelvo tanto uno como otro cuadrado de binomio, el resultado es el trinomio que quera factorizar. En definitiva, tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso (Trinomio cuadrado perfecto)

2) En general hacemos as:

x2 - 6x + 9 = (x - 3)2x 2.x.(-3) (-3) -6x

Pero tambin lo podramos haber pensado as:

x2 - 6x +9 = (-x + 3)2(-x)2.(-x).3 3 -6x

Ya que elegiendo como bases a -x y a 3, tambin se verifica el doble producto (2.a.b). Es decir que x2 - 6x + 9 tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso. (otra explicacin)

Cmo se deducen esas frmulas de "Cuadrado de un binomio"?

Podemos aplicar el concepto de potencia y aplicar la distributiva.

(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2(-a + b)2 = (-a + b).(-a + b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2(-a - b)2 = (-a - b).(-a - b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2

O tambin, aplicando la primera frmula a los otros binomios, podemos deducir las otras tres. Pero no es objetivo de esta pgina presentar este tipo de demostraciones que van ms all de lo que suele ver en el Nivel Medio.

Por qu cuando digo que "3 no es cuadrado de ningn nmero", aclaro: "entero o racional"?

Porque me refiero slo a nmero enteros o nmero racionales, que son los que usamos en este tema. Ya que 3 s puede ser cuadrado, pero lo es de un nmero irracional: , porque()2 es igual a 3. (qu es un nmero entero?)

Qu es un nmero racional?

Como definicin se suele decir que es todo nmero que puede escribirse como una fraccin (con numerador y denominador "entero"). En el conjunto de los Racionales estaran incluidos entonces:

- Todos los nmeros naturales y los enteros. Porque "ponindoles un 1 abajo" (como denominador), los podemos escribir como fraccin (3 = 3/1 ; -2 = -2/1 ; 0 = 0/1 ; etc.)

- Los decimales exactos y los decimales peridicos, porque se pueden "pasar a fraccin" siguiendo ciertas reglas. (0,07 = 7/100 ; 0,44444... = 4/9 ; etc.)

- Y las fracciones, por supuesto (2/3 ; 5/2 ; etc.)

En cambio no son nmeros racionales:

- Los decimales con infinitas cifras decimales no peridicas (no hay algo que se repite). Lo que incluye a las races que no dan resultado exacto: = 1,7325... ; = 2,2360679... ; y otros nmeros conocidos, como PI = 3,1415926... y e= 2,71828... A todos estos se los llama nmeros irracionales.

- Los nmeros complejos: 2 + 3i ; -5i ; etc.

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/

Tercer Caso de Factoreo

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