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Titular Ctedra: Ing. Pedro P. Oelsner.J.T.P.: Ing. Enrique Rivas.A l u mn o : R i ca r d o E . Na c i f f .Cu r so : 2 1 9 Fe ch a : 1 1 - 1 2 - 1 . 9 9 6

ESTABILIDAD 1

EVALUACIN ESPECIAL

TEORAS DE ROTURA

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ESTABILIDAD 1- Teoras de Rotura -

- Evaluac in Especial - 2

NDICE:

INTRODUCCIN: ________________________________________________3

GENERALIDADES: _______________________________________________________3

CONCEPTO DE ROTURA: __________________________________________________3CONCEPTO DE COEFICIENTE DE SEGURIDAD: ___________________________________4

EJERCICIO: ___________________________________________________5

TEMA: _______________________________________________________________5PROBLEMA: ___________________________________________________________5

RESOLUCIN: _________________________________________________6

1.TEORA DE LA MXIMA TENSIN PRINCIPAL: ___________________________________62.TEORA DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECIFICA PRINCIPAL: _____________________73.HIPTESIS DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL: _______________________________94.TEORA DE LA ENERGA TOTAL DE DEFORMACIN POR UNIDAD DE VOLUMEN: __________105.TEORA DEL MXIMO TRABAJO DE DISTORSIN POR UNIDAD DE VOLUMEN:____________116.TEORA DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICA: ______________________127.TEORA DE MOHR: ____________________________________________________13

COMPARACIN ENTRE TEORAS: __________________________________15

COMPARACINANALTICA:________________________________________________15COMPARACIN GRFICA:_________________________________________________17

OTRASAPLICACIONES: _________________________________________18

APLICACIN A UN PUNTO DE UNA VIGA: _______________________________________18APLICACIN DE LA TEORA DE MOHR: ________________________________________22

BIBLIOGRAFA: _______________________________________________23

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INTRODUCCIN:

GENERALIDADES:Cuales son las causas que condicionan el comienzo de la fluencia y la

rotura en un material?1

. sta es la pregunta a responder, que fue formulada porOttoMohren una de sus conocidas obras donde desarrolla su teora de rotura delos cuerpos, que ser vista ms adelante.

Las teoras con que se pretende justificar la rotura de los cuerpos se basanen distintos conceptos, stos pueden agruparse en:

teoras basadas en tensiones, teoras basadas en deformaciones especficas, teoras basadas en tensiones tangenciales, teoras cuyos fundamento es la energa de deformacin,

teoras empricas varias, teoras que se apoyan en la estructura de la materia.

No existe una nica teora que justifique cmo y por qu rompen todos losmateriales; en rigor, para cada material existe una teora de rotura propia. Noobstante, siempre refirindose a materiales istropos, pueden agruparse en dosgrupos: materiales dctiles y materiales frgiles.

CONCEPTO DE ROTURA: Si consideramos para un material dado la curva tensin-deformacin, algunos

autores consideran que se ha alcanzado la rotura cuando se ha llegado a: el lmite de proporcionalidad, el lmite de elasticidad, el lmite de fluencia, el lmite convencional de fluencia, el lmite de rotura.

Creemos como ms correcto decir que un material ha alcanzado la roturacuando llega a un lmite de solicitacin tal que las tensiones alcanzan un valor para

el cual el material ya no es ms utilizable para el fin que se lo destina.En el caso de un material dctil, la rotura corresponde al lmite de fluencia, yaque a partir de este punto comienzan las grandes deformaciones sin aumento de lasolicitacin (el material fluye). En cambio, para un material frgil prcticamentepuede considerarse que la rotura coincide con la rotura fsica.

Englobando ambos conceptos, diremos que un material ha alcanzado elestado de rotura cuando se produce lo que denominamos la rotura estructural, esdecir, la estructura del material ya no cumple las condiciones para las que fueproyectado.

1Welche Umstnde bedingen die Elastizittsgrenzen und den Bruch eines Materials?- Pregunta que da titulo alcapitulo Vde la obra magistral de Otto Mohr.

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CONCEPTO DE COEFICIENTE DE SEGURIDAD:Dimensionar una pieza o una estructura significa determinar las dimensiones

transversales y longitudinales necesarias para que la pieza o estructura resista lascondiciones tensionales a las que se la va a someter.

Ya que la pieza va a ser sometida a un estado tensional cualquiera, y para

cada material existen valores mximos de tensiones (fluenciao rotura,determinadas en laboratorio por medio de probetas), que al sobrepasarlos seexpone a la pieza a una deformacin o rotura tal que no cumpla las condicionespara las que fue construida.

Estas dos tensiones, la de trabajo y la de fluencia o rotura, se relacionanmediante un coeficiente de seguridad. En cuanto ms se aproxime la tensin detrabajo a la de fluencia o rotura (depende si el material es dctil o frgil) es mayor elriesgo que la pieza corre de romperse, o deformarse lo suficiente como para nocumplir el fin con el que se la construy.

Este coeficiente considera dos factores; uno de ignorancia y el otro de

incertidumbre.El primero es debido a fallas o imperfecciones de nuestro conocimiento: faltade exactitud en los procedimientos de clculo, conocimiento imperfecto de larespuesta de una estructura a un determinado tipo de solicitacin, erroresnumricos en el clculo, etc. Este factor se ha reducido considerablemente en losltimos aos debido a la aparicin de las computadoras y elementos de medicinms precisos.

Mientras que el factor de incertidumbrese refiere a las variables imposible dedeterminar con precisin, tales como la evaluacin de las cargas actuales, elconocimiento exacto de los materiales utilizados, etc.

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EJERCICIO:

TEMA:Aplicacin de las Teoras de Rotura, incluyendo la Teora de la Mxima

Tensin Tangencial Octadrica o Teora de Mohr.

PROBLEMA:El estado tensional plano de la figura se produce en un punto crtico de una

mquina. Como resultado de varios ensayos, se ha determinado que el lmite defluencia a traccin es fl= 2.500 kg/cm para el tipo de acero utilizado.

Se pide: Hallar el factor de seguridad con respecto a la fluencia usando ycomparando todas las teoras de rotura.

x= 800 kg/cm

y= 400 kg/cm

fl= 2.500 kg/cm

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RESOLUCIN:A continuacin se determinar el factor de seguridad de la pieza aplicando

las principales teoras de rotura, stas son:

1. TEORA DE LA MXIMA TENSIN PRINCIPAL.2. TEORA DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECFICA.3. TEORA DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL.4. TEORA DE LA ENERGA TOTAL DE DEFORMACIN POR UNIDAD DE VOLUMEN.5. TEORA DE LA MXIMA ENERGA DE DISTORSIN.6. TEORA DE LA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICA.7. TEORA DE MOHR.

1.TEORA DE LA MXIMA TENSIN PRINCIPAL:Esta teora fue enunciada por Rankine - Lamy su enunciado es el siguiente:

La deformacin anelstica de un punto cualquiera de un slido solicitado porun estado cualquiera de tensin, comienza slo cuando la mxima tensin principalen el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensin en el lmite defluencia (en traccin o compresin simples) con total prescindencia de lastensiones, normales o tangenciales, que puedan existir en otros planos.

Es decir; la rotura se produce cuando la mayor de las tensionesprincipales alcanza un valor lmite, que puede ser el de fluencia o rotura,

obtenido en un ensayo de laboratorio.Esta teora es satisfactoria para aceros frgiles pero no para aceros dctiles

ya que no tiene en cuenta el efecto de tensiones aplicadas en direcciones

transversales a la que se estudia, ni tampoco tiene en cuenta el valor que puedealcanzar en los otros planos.

fl 2500 Kg/cmn = = = 3,125 x 800 Kg/cm

n = 3,125

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2.TEORA DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECIFICA PRINCIPAL:Fue enunciada por Saint - Venanty dice:La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado estado de tensin ocurre

cuando la deformacin especfica en la direccin de la mxima tensin principal

alcanza el valor de la mxima deformacin especifica que corresponde a la roturapor traccin simple.Es decir; la accin anelstica en un punto de un cuerpo donde existe un

estado tensional cualquiera, comienza SOLAMENTE cuando la mximadeformacin unitaria en dicho punto alcanza un valor igual al que existe al

iniciarse la accin anelstica en el material sometido a un estado tensionalsimple, como ocurre en la probeta de ensayo a traccin.

Primero debemos determinar el coeficiente de Poisson:

E E 2,1 .106

Kg/cmG= = 1 = 1 0,32 . (1+) 2 .G 2 .0,81 .106Kg/cm

0,3

E = mdulo de elasticidad longitudinal para el acero2.G= mdulo de elasticidad transversal para el acero3.

1 1x= (x- y) = [800 Kg/cm - 0,3 .(-400 Kg/cm)]

E 2,1 .106Kg/cm

x= 0,438.10-3

1 1y= (y- x) = [(-400 Kg/cm) - 0,3 .800 Kg/cm]

E 2,1 .106Kg/cm

y= - 0,3.10-3

2Valor en promedio obtenido de Cuadro Idel Libro Propiedades de los Materiales, Autor: Fliess, Capitulo:7,pag.: 147.-3Valor obtenido del Cuadro IILibro Propiedades de los Materiales, Autor: Fliess, Capitulo: 7, pag.: 147.-

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x,e= E.x= 2,1 .106Kg/cm .0,438 .10-3

x,e= 919,8 Kg/cm

y,e= E.y= 2,1 .106Kg/cm . 0,3 .10-3

y,e= 630 Kg/cm

fl 2500 Kg/cmnx= = = 2,71

x,e 919,8 Kg/cm

fl 2500 Kg/cmny= = = 3,96

y,e 630 Kg/cm

n = 2,71

Tomaremos el coeficiente de seguridad menor, ya que es en

este sentido en el que la pieza rompera primero.

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3.HIPTESIS DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL:Denominada teora de Guest, Mohro Coulomby dice:La rotura de un material comienza cuando; en un punto cualquiera de un

material sujeto a un estado mltiple de tensiones, la mxima tensin de corte

alcanza el valor de la mxima tensin de corte producida en un ensayo de traccinsimple.

Esto nos dice que la rotura aparece cuando toma el valor de la mximatensin tangencial que se produce en el lmite de fluencia producido en elensayo de traccin s imple.

Para determinar la tensin tangencial mxima que se produce segn el estadotensional de la pieza recurrimos al crculo de Mohr:

= 600 kg/cm

1 fl 1 2500 Kg/cmn = . = . = 2,08

2 2 600 Kg/cm

n = 2,08

Este valor fue tomadode la grfica:

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4.TEORA DE LA ENERGA TOTAL DE DEFORMACIN POR UNIDAD DE VOLUMEN:Se denomina tambin Teora de Beltramiy fue desarrollada por los cientficos

Haigh - Hubery dice:En un punto cualquiera de un slido sujeto a un estado dado de tensin el

comienzo de la plastificacin ocurre cuando la energa total de deformacin porunidad de volumen, correspondiente al estado de tensiones dado, es igual a laenerga total de deformacin unitaria que corresponde a la solicitacin por traccinsimple, para el lmite de fluencia.

Esta teora se aplica a materiales dctiles.

fl[(x + y) - 2 ..y.x] =

n

2500 Kg/cmn =

[(800 Kg/cm4+ 400 Kg/cm4) - 2 .0,3 .(- 400 Kg/cm) .800 Kg/cm]

n = 2,51

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5.TEORA DEL MXIMO TRABAJO DE DISTORSIN POR UNIDAD DE VOLUMEN:Surgi de los estudios de Huber, von Mises y Hencky. Esta teora dice:En un cuerpo sujeto a un estado cualquiera de tensiones, el comienzo de

fluencia en un punto del cuerpo se produce solamente cuando la energa de

distorsin por unidad de volumen para dicho estado de tensin, alcanza el valor dela energa de distorsin absorbida por unidad de volumen en un punto cualquierade la pieza solicitada hasta el lmite elstico bajo un estado tensional simpleproducido por un ensayo de traccin (o compresin) simple.

1 fl[(x- y) + x

2+ y2 =

2 n

2500 Kg/cmn =

0,5 .[(800 Kg/cm + 400 Kg/cm) + 800 Kg/cm4+ 400 Kg/cm4]

n = 2,36

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6.TEORA DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICA:Esta es una forma distinta de interpretar la teora del mximo trabajo de

distorsin por unidad de volumen. A diferencia de sta, que basa la rotura enfuncin de la energa de distorsin, la teora que nos ocupa lo hace por medio de

las tensiones tangenciales octadricas.La expresin de la tensin tangencial octadrica es:

1oct= .... [(x- y) + y2+ x2]

3

1oct= {[800 Kg/cm - (-400 Kg/cm)]+ (-400) Kg/cm4+ 800 kg/cm4}

3

oct= 498,59 Kg/cm

1

oct,fl= 2.fl2

3

1oct,fl= 2 . 2500 Kg/cm4

3

oct,fl= 1178,51Kg/cm

oct,fl 1178,51 Kg/cmn = = = 2,36

oct 498,88 Kg/cm

n = 2,36

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7.TEORA DE MOHR:Mohrenuncia su teora de la siguiente manera: Los lmites de fluencia y de

rotura de un material quedan definidos por las tensiones que se desarrollan en losplanos de deslizamiento y fractura.Esta teora es ms general que las otras, ya

que se puede aplicar en materiales dctiles y frgiles, aunque responde mejor a losltimos.4

Supongamos que en el punto de la pieza del ejercicio donde se produce elestado tensional lmite, tanto de fluencia como de rotura, y sean y lascomponentes de tensin en el plano en que se producen, inmediatamenteantes deque stas ocurran. Si permanece constante, es evidente que para sobrepasar elestado lmite, es necesario aumentar.

Teniendo esto ltimo en cuenta, Mohr ampli su teora: La tensintangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado lmite unvalor mximo, que es funcin de la correspondiente tensin normal y las

caracteristicas del material.La fractura o escurrimiento se produce para una serie de valores (,) , sigraficamos los crculos de Mohrde cada uno de estos valores (,) obtendremosuna familia de circunferencias; la envolvente de sta se llama curva de resistenciaintrnseca oenvolvente de Mohr.

La teora de Mohrpuede resumirse como sigue: Conocida la envolvente deMohr para un material, un estado dado de tensiones ser determinante de lafluencia o rotura si la correspondiente circunferencia de Mohr corta o es tangente ala primera. Si es interior a la envolvente de Mohr no existe peligro de colapso delmaterial y el coeficiente de seguridad ser tanto mayor cuanto ms alejada de sta

se encuentre.

4Tambin se utiliza en Mecnica de Suelos para el estudio de la capacidad portante de los mismos.- Vase OTRASAPLICACIONES, pag.: 22.-

Envolvente de

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En el caso de un material dctil, como el acero, donde:

fl,t= fl,c

de acuerdo con lo visto, la envolvente de Mohr resulta ser un par de rectasparalelas al eje de las .

fl= Tensin tangencial correspondiente alfl.

fl

fl=2

fl 2500 Kg/cmn = = = 2,08

2 . 2 . 600 Kg/cm

n = 2,08

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COMPARACIN ENTRE TEORAS:La tabla muestra los resultados obtenidos para el ejercicio mediante las

distintas teoras, en qu materiales se aplican dichas teoras y en qu basan sudefinicin de rotura.

Teora Se basa en: Materiales nDE LA MXIMA TENSIN PRINCIPALLame-Rankine max Frgiles 3,125DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECFICASaint-Venant max Frgiles 2,71DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIALCoulomb-Mohr-Guest max Dctiles 2,08DE LA MXIMA ENERGA DE DEFORMACINBeltrami-Haighy Huber Udef Dctiles 2,51DEL MXIMO TRABAJO DE DISTORSINHuber-von Mises y Hencky Udist Dctiles 2,36

DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICAHuber-Hencky-von Mises max,oct Dctiles 2,36DE MOHRMohr Todos

52,08

Para establecer cul es el coeficiente de seguridad determinante paranuestro ejercicio necesitaramos saber si el acero utilizado es del tipo frgil o dctil.Suponiendo que es dctil, como para la mayora de los aceros, el coeficiente deseguridad decisivo para el punto crtico de la mquina, es el menor de losobtenidos con las teoras aplicables a materiales dctiles; es decir 2,08.

COMPARACINANALTICA:Como veremos ms adelante, la relacin entre x/fly y/flvaran para cada

teora. Partiendo de la base de que el material tiene el mismo punto de fluencia atraccin y a compresin, las condiciones de fluencia que establecen las distintas

teoras son:

=fl

5La Teora de Mohrpuede ser aplicada tanto a materiales dctiles como frgiles, comportndose mejor para estosltimos.

TEORA DE MXIMA TENSIN PRINCIPAL

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1 = fl 1 +

1

= fl2

fl=

2 . (1 + )

E 1 + = fl

2

1 + 3 .E

La TEORA DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICA conduce almismo resultado que sta ltima, por ese motivo no la veremos en detalle.

1 = .... fl

2

Para el caso del ejercicio, tenemos un coeficiente de Poissonde = 0,3, larelacin entre las tensiones tangenciales y las normales ser:

Teora Relacion entre fly flDE LA MXIMA TENSIN PRINCIPALLame-Rankine

fl= fl

DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECIFICASaint-Venant

fl= 0,77 fl

DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIALCoulomb-Mohr-Guest fl= 0,50 fl

DE LA MXIMA ENERGA DE DEFORMACINBeltrami-Haighy Huber

fl= 0,62 fl

DEL MXIMO TRABAJO DE DISTORCINHuber-von Mises y Hencky

fl= 0,577 fl

DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL OCTADRICAHuber-Hencky-von Mises

fl= 0,577 fl

DE MOHRMohr

fl= 0,50 fl

HIPTESIS DE LA MXIMA TENSIN TANGENCIAL

TEORA DE LA MXIMA DEFORMACIN ESPECIFICA PRINCIPAL

TEORA DE LA ENERGA DE DEFORMACIN

TEORA DEL MXIMO TRABAJO DE DISTORSIN

TEORA DE MOHR

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COMPARACIN GRFICA:Para visualizar mejor la diferencia entre teoras se ha realizado la siguiente

grfica6de la relacin entre x/fl y y/fl, con excepcin de la teoradeMohr.En la misma grfica se han agregado los valores de los ensayos efectuados

por Ros y Eichinger, Lode, Cook y Robertson, y Taylor y Quinney, con distintos

materiales.

6Segn trabajos de Westergaard.

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OTRASAPLICACIONES:

APLICACIN A UN PUNTO DE UNA VIGA :Determinacin de las tensiones principales en un punto de una viga.

Efectuaremos la determinacin indicada para el caso de la viga de la figurasiguiente, en el punto x = 120 cm, y = 5 cm, para un acero St 37 (fl= 2400 kg/cm).

CARACTERSTICAS GEOMTRICAS:

9,8 cm .1,22 cm 19,56 cm .0,81cmIx= 2 . + 9,8 cm .1,22 cm .10,39 cm +

12 12

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Ix= 3089 cm4

Sx= 9,8 cm .1,22 cm .10,39 cm + 0,81 cm .4,78 cm .7,39 cm

Sx= 152,83 cm

CLCULO DE TENSIONES:

M 2,88 tm 1000 kg . 100 cm= .y = .(- 5 cm) . Ix 3089 cm

4 1 t . 1 m

= - 467 Kg/cm - 470 Kg/cm

Q . Sx 1,8 t . 152,83 cm . 1000 Kg= = Ix . b 3089 cm

4. 0,81 cm . 1 t

= 109,94 Kg/cm 110 Kg/cm

CONSTRUCCIN DEL CIRCULO DE MOHR:

x x2

max,min= + x 2 4

- 470 Kg/cm (-470 Kg/cm4)max,min= + 110 Kg/cm

4

2 4

El signo negativo se debe a que la viga, enese punto, est comprimida.

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max= 24,47 Kg/cm 25 Kg/cm

min= - 494,47 Kg/cm - 495 Kg/cm

2 . 110 Kg/cmtng 20= - = 0,472

- 470 Kg/cm

0= 12 38`

0

+ 9 0

x

x

m x

m in

C irculo de M ohr

Esc.: 75 Kg/cm

cm

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VERIFICACIN POR TEORA DEL TRABAJO DE DISTORSIN POR UNIDAD DE VOLUMEN:

1 fl[(min- max)

2+ max2+ min

2 =

2 n2400 Kg/cm

n = 0.5 .[(- 495 Kg/cm - 25 Kg/cm) + 25 Kg/cm4+ 495 Kg/cm4]

n = 4,72

VERIFICACIN POR LA TEORA DE DEFORMACIN POR UNIDAD DE VOLUMEN:

Adoptamos para el caso del acero St 37 un coeficiente de Poissonde= 0,3.

fl[(min + max) - 2 ..max.min] =

n

2400 Kg/cmn =

[(- 495 Kg/cm4+ 25 Kg/cm4) - 2 .0,3 .25 Kg/cm .(- 495Kg/cm)]

n = 4,77

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APLICACIN DE LA TEORA DE MOHR:

La siguiente es una aplicacin de la teora de Mohra los suelos sometidos aesfuerzos cortantes producidos por distintos esfuerzos principales. Se han utilizado

resultados obtenidos en prcticas de la Ctedra Mecnica de Suelos yFundaciones, curso 1.992 de la Facultad de Ingeniera de la U.N.C.Mediante el ensayo de compresin triaxial de tres probetas cilndricas de

suelo, se obtuvieron los tres crculos de Mohr para las tensiones de rotura dedichas probetas y con ello, la curva de resistencia intrnseca de ese suelo.Recordamos que los ensayos se realizan con las probetas sumergidas en agua apresin (aislados por ltex), lo que nos da una presin radial constante durante elensayo, que hemos llamado 3; la otra presin, segn el eje del cilindro, se aplicacon el mbolo de la prensa hasta la rotura, denominada 1.

3 1Probeta 1 0,0056 Kg/mm 0,0247 Kg/mmProbeta 2 0,0106 Kg/mm 0,0337 Kg/mmProbeta 3 0,0239 Kg/mm 0,0586 Kg/mm

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BIBLIOGRAFA:

Curso Medio de Resistencia de Materiales - VIIEdicin - 1.969 -Autor: Ing. Enrique Panseri.

Estabilidad Segundo Curso - IEdicin - 1.971 -Autor: Ing. Enrique Fliess.

Resistencia de Materiales Segundo Curso - IIEdicin - 1.967 -Autor: S. Timoshenko.

Teoras de Rotura - Ctedra de Estabilidad II-Resistencia de Materiales -Facultad de Ingeniera Electromecnica - F.R.M.-U.T.N.- 1.989 -

Profesor Titular: Ing. Pedro P. Oelsner.

Apuntes de clase de la Ctedra de EstabilidadI- Facultad de IngenieraElectromecnica - F.R.M.-U.T.N.- 1.996 -Profesor Titular: Ing. Pedro P. Oelsner.

Recopilacin de Tablas - Ctedra Estabilidad II-Resistencia de Materiales- Facultad de Ingeniera U.N.C. - 1.990Profesor Titular: Ing.ngel Videla.

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