Análisis Estructural I

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil-D.A.E.

ANALISIS ESTRUCTURAL 1 Edgar Valcárcel Pollard

SLOPE-DEFLECTION

Este método fue presentado por George A. Maney en 1915. Consiste en plantear ecuaciones de barras

que relacionen las fuerzas internas (momentos flectores) con las rotaciones y desplazamientos en los

extremos (nudos). Posteriormente, aplicando ecuaciones de equilibrio se calculan dichos grados de

libertad. Finalmente con estos valores se pueden obtener los momentos en cada barra.

Se puede considerar que éste método es el precursor del análisis matricial.

Consideremos el caso de una viga continua, aunque éste método también es aplicable a pórticos.

Tomemos el tramo ij de longitud “L”. Debido a las cargas aplicadas se producen rotaciones en cada

extremo (𝜽𝒊 , 𝜽𝒋) y un asentamiento en el nudo “j” de valor ∆ . Considerando estos grados de libertad

positivos y aplicando el principio de superposición (asumiendo comportamiento lineal) se procede de la

siguiente manera.

1) Se eliminan todos los grados de libertad. Vale decir, 𝜽𝒊 = 𝜽𝒋 = ∆= 𝟎

2) Se libera el grado de libertad 𝜽𝒊

3) Posteriormente se libera el grado de libertad 𝜽𝒋

4) Por último se libera el grado de libertad ∆

Finalmente, los efectos que se producen en cada caso serán sumados para obtener los momentos

flectores 𝑴𝒊𝒋 𝒚 𝑴𝒋𝒊.

i j

Pω

M

L EI=cte. EA ,f=0

Δθi

θj

i j

L

Mʼij

Vʼji

Mʼji

Vʼij

ji

L

FEMij

P

FEMjiFigura N°1

Figura N°2

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𝑳𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝑵º𝟏 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂. 𝑳𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝑭𝑬𝑴 (𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒓𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐) 𝒚 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒚𝒐𝒔 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏

𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒖𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔.

𝑳𝒂𝒔 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂𝒔 𝑵º𝟐, 𝟑 𝒚 𝟒 𝒚𝒂 𝒉𝒂𝒏 𝒔𝒊𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 (𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂𝒔 𝟑 𝒚 𝟒 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒂)

𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒆 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓á:

{𝑴𝒊𝒋 = 𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋 +𝑴ʼ𝒊𝒋 +𝑴ʼʼ𝒊𝒋 +𝑴ʼʼʼ𝒊𝒋𝑴𝒋𝒊 = 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 +𝑴ʼ𝒋𝒊 +𝑴ʼʼ𝒋𝒊 +𝑴ʼʼʼ𝒋𝒊

, 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂:{𝑴𝒊𝒋 = 𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋 +

𝟐𝑬𝑰

𝑳(𝟐𝜽𝒊 + 𝜽𝒋 − 𝟑𝑹)

𝑴𝒋𝒊 = 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 +𝟐𝑬𝑰

𝑳(𝟐𝜽𝒋 + 𝜽𝒊 − 𝟑𝑹)

, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝑹 =∆

𝑳

(𝑬𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒏 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔)

𝑼𝒏𝒂 𝒗𝒆𝒛 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔, 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 ( 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝚺𝑴𝒊 = 𝟎 , 𝚺𝑴𝒋 = 𝟎 , 𝚺𝑴𝒌 = 𝟎,…………… . ) 𝒚 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝜽𝒊, 𝜽𝒋, 𝚫, 𝜽𝒌, ……

𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝒚 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏

𝒍𝒐𝒔 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒇𝒍𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔.

𝑼𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒏𝒖𝒅𝒐, 𝒅𝒊𝒈𝒂𝒎𝒐𝒔

𝑴𝒊𝒋 = 𝟎 . 𝑺𝒊 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝜽𝒊 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂

𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝒚 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓𝒍𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐:

𝑴𝒋𝒊 =𝟑𝑬𝑰

𝑳(𝜽𝒋 −𝑹) + 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 −

𝟏

𝟐𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋

𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒅𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒕𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒆𝒏𝒔𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂.

i j

L

Δ

ji

L

Mʼʼij Mʼʼji

VʼʼjiVʼʼij

Mʼʼʼij

MʼʼʼjiVʼʼʼji

Vʼʼʼij

Figura N°3

Figura N°4

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𝑹𝒆𝒔𝒖𝒎𝒆𝒏:

A. 𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆 − 𝒅𝒆𝒇𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍:

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂:

𝑴𝒊𝒋 = 𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋 +𝟐𝑬𝑰

𝑳(𝟐𝜽𝒊 + 𝜽𝒋 − 𝟑𝑹 )

𝑴𝒋𝒊 = 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 +𝟐𝑬𝑰

𝑳(𝟐𝜽𝒋 + 𝜽𝒊 − 𝟑𝑹)

}

, 𝑹 =∆

𝑳

B. 𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆 − 𝒅𝒆𝒇𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒐𝒅𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐:

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂:

𝑴𝒋𝒊 =𝟑𝑬𝑰

𝑳(𝜽𝒋 − 𝑹 ) + 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 −

𝟏

𝟐𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋

𝑴𝒊𝒋 = 𝟎 } , 𝑹 =

∆

𝑳

Una vez definidas las ecuaciones de barra en todo el sistema, se deberá plantear las

ecuaciones de equilibrio correspondiente y esto nos permitirá encontrar los valores de los

giros y/o desplazamientos que finalmente nos conducirá a los valores de los momentos en

los extremos de las barras .

Comentarios adicionales:

El uso de Slope-deflection modificado reduce el número de incógnitas del sistema.

El valor de “Δ” corresponde al asentamiento y/o desplazamiento.

Este valor siempre se mide en dirección perpendicular al eje de la barra.

Cuando ambas situaciones se produzcan, conviene hacer una superposición.

En algunas ocasiones es más fácil trabajar con cantidades relativas en vez de los factores 2EI/L y 3EI/L.

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𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂𝒔 (𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆)

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂:

𝑴𝒊𝒋 = 𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋 +𝑬𝑰

𝑳(�̅�𝒊𝒋𝜽𝒊 + �̅�𝒊𝒋𝜽𝒋 − �̅�𝒊𝒋

∆

𝑳)

𝑴𝒋𝒊 = 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊 +𝑬𝑰

𝑳(�̅�𝒋𝒊𝜽𝒋 + �̅�𝒊𝒋𝜽𝒊 − �̅�𝒋𝒊

∆

𝑳)

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: �̅�𝒊𝒋 + �̅�𝒊𝒋 = �̅�𝒊𝒋

�̅�𝒋𝒊 + �̅�𝒊𝒋 = �̅�𝒋𝒊

𝑰 = 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒐 𝒂𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂

𝑳𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 �̅�, �̅�, �̅� 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒔í 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒓𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐 𝑭𝑬𝑴𝒊𝒋 𝒚 𝑭𝑬𝑴𝒋𝒊

𝑬𝒍 𝒂𝒏á𝒍𝒊𝒔𝒊𝒔 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂. 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝑺𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

{

�̅�𝒊𝒋 = �̅�𝒋𝒊 = 𝟒

�̅�𝒊𝒋 = 𝟐

�̅�𝒊𝒋 = �̅�𝒋𝒊 = 𝟔

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒎𝒐:𝑭𝑬𝑴 = ±𝟏

𝟏𝟐𝒘𝑳𝟐

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒎𝒐:𝑭𝑬𝑴 = ±𝟏

𝟖𝑷𝑳

i j

E,L

i j

Δ

θi

θj

Convención positivaSección transversal variable Mij Mji

j'