Teoría de primer orden

De�niciones y ejemplos

Desde ahora "cálculos de predicados" signi�ca cálculo de predicados con igualdad,y ` indica una deducción en el cálculo de predicados. Los axiomas lógicos son losaxiomas en el cálculo de predicados, o sea las instancias de A1 a la A6, E1 y lasinstancias E2 y E3, junto con los axiomas adicionales dados por el Ax Gen. Lossímbolos propios del cálculo de predicados son todos los predicados, operaciones ysimbolos de constantes.

Una teoría de primer órden T está de�nida por un conjunto P de símbolos propiosque contiene = y un conjunto X de proposiciones.P se llama el conjunto de símbolospropios de T y X se llama axiomas propios de T. Las fórmulas de T, son todas lasfórmulas construibles de T. O sea P es una fórmula de T si y solo si cualquier símbolopropio que ocurra en P, está en el conjunto P . X puede ser cualquier conjunto deproposiciones de T.

Sea ∆ un conjunto �nito de fórmulas de T, y sea Q una fórmula de T. Entonces∆ `T Q signi�ca que hay una sucesión S1, S2, . . . , Sn de fórmulas de T tales que Sn

es Q, y cada Si (1 ≤ i ≤ n) es un axioma lógico, o un axioma propio o se in�ere pormodus ponens de Sj y Sk para algún j y k menores que i, o está en ∆.

Si ∆ es el conjunto vacío, escribimos `T Q y decimos que Q es un teorema de T.La única diferencia entre una deducción en el cálculo de predicados y una deduc-

ción en T es que ciertas proposiciones que tienen que ser nombradas como suposi-ciones en el cálculo de predicados, se nombran como axiomas propios en T.

Teorema 1 Sea T una teoría de primer orden. `T Q si y solo si hay un conjunto

�nito {P1, . . . , Pk} de axiomas propios de T tal que P1, . . . , Pk ` Q y cada paso de la

deducción es una fórmula de TPrueba. Supongamos que `T Q. Sea S1, . . . , Sn una una prueba de Q en T. SeanP1, . . . , Pk los pasos que son nombrados como axiomas propios. Renombremos cada Pi

como una suposición. Entonces S1, . . . , Sn es una deducción de Q de {P1, . . . , Pk} ,en el cálculo de predicados, o sea P1, . . . , Pk ` Q. Supongamos ahora que hay un

conjunto �nito {P1, . . . , Pk} de axiomas de T, tal que P1, . . . , Pk ` Q. Sea S1, . . . , Sn

una deducción de Q de {P1, . . . , Pk} en el cálculo de predicados. Renombremos cada

Pi como un axioma propio. Entonces S1, . . . , Sn es una prueba de Q en T. o sea

`T Q

Damos algunos ejemplos de teorías de primer orden. Con una excepción, todoslos ejemplos son de álgebra moderna.

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Ejemplo 2 El conjunto de los símbolos propios de la teoría L de los conjuntos lin-

ealmente ordenados es {=, <} . Los axiomas propios de L son

L1 ∀x ∼ (x < x)L2 ∀x∀y∀z (x < y ∧ y < z −→ x < z)L3 ∀x∀y (x < y ∨ x = y ∨ y < x)Recuerde que = es primer símbolo de predicado de 2 lugares, o sea, r = s es una

abreviatura para α## (r, s) . P es una fórmula de L si y solo si cualquier símbolo

propio que ocurra en P está en {=, <}. Los axiomas de igualdad son

E1. ∀x (x = x)E2=. ∀x1∀x2∀y1∀y2 (x1 = y1 ∧ x2 = y2. −→ .x1 = x2 ←→ y1 = y2)E3<. ∀x1∀x2∀y1∀y2 (x1 = y1 ∧ x2 = y2. −→ .x1 < x2 ←→ y1 < y2)

Ejemplo 3 El conjunto de símbolos propios de la teoría AG de grupos abelianos es

{=,+, 0} . Los axiomas propios de AG son

AG1. ∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z))AG2. ∀x (x+ 0 = x)AG3. ∀x∃y (x+ y = 0)AG4. ∀x∀y (x+ y = y + x)+ es el primer símbolo de predicado de 2 lugares, o sea, r + s es una abreviatura

para β## (r, s) . 0 es una abreviatura para el primer símbolo de constante γ. P es

una fórmula de AG si y solo si cualquier símbolo propio que ocurra en P está en

{=,+, 0}. Los axiomas de igualdad son

E1. ∀x (x = x)E2=. ∀x1∀x2∀y1∀y2 (x1 = y1 ∧ x2 = y2. −→ .x1 = x2 ←→ y1 = y2)E3+. ∀x1∀x2∀y1∀y2 (x1 = y1 ∧ x2 = y2. −→ .x1 + x2 ←→ y1 + y2)

Ejemplo 4 El conjunto de símbolos propios de la teoría R de anilos {=,+, ·, 0} .donde+ es el primer símbolo de operaciones de 2 lugares, · es el segundo símbolo de opera-

ciones de 2 lugares y 0 es el primer símbolo de constante. Los axiomas propios de Rson

R1. ∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z))R2. ∀x (x+ 0 = x)R3. ∀x∃y (x+ y = 0)R4. ∀x∀y (x+ y = y + x)R5. ∀x∀y∀z ((xy) z = x (yz))R6. ∀x∀y∀z (x (y + z) = xy + xz)R7. ∀x∀y∀z ((y + z)x = yx+ zx)

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rs es una abreviatura para r · s, y rs + rt es una abreviatura para (rs) + (rt) . Losenteros y los reales son anillos con el signi�cado usual de =,+, ·, y 0. Note que

R1 a R4 son los mismos que AG1 a AG4. Por esto, cualquier anillo es un grupo

abeliano.La teoría de anillos conmutativos es el resultado de adjuntar a R le axioma

propio ∀x∀y (xy = yx) . Los axiomas de igualdad de R son E1, E2=, E3+, y E3·.

Ejemplo 5 El conjunto de símbolos propios de la teoría LA de reticulados es {=, <,∪,∩} ,donde < es el segundo de los símbolos de predicados de dos lugares y ∪ y ∩ son los

primeros dos símbolos de operaciones de dos lugares. Los axiomas propios de LAson

LA1 ∀x ∼ (x < x)LA2 ∀x∀y∀z (x < y ∧ y < z −→ x < z)LA3 ∀x∀y (x ≤ x ∪ y ∧ y ≤ x ∪ y)LA4 ∀x∀y (x ∩ y ≤ x ∧ y ∩ x ≤ y)LA5. ∀x∀y∀z (x ≤ z ∧ y ≤ z −→ x ∪ y ≤ z)LA6. ∀x∀y∀z (z ≤ x ∧ z ≤ y −→ z ≤ x ∩ y)r ≤ s es una abreviatura para r < s ∨ r = s. r ∪ s se llama la menor cota superior

de r y s. r ∩ s se llama la mayor cota inferior de r y s. Los enteros y los reales son

reticulados con el signi�cado usual de = y <, con a ∪ b el mayor de a y b y a ∩ b elmenor de a y b.

Ejemplo 6 El conjunto de los simbolos propios de la teoría de grupos G es {=, ·, 1}donde · es el primer simbolo de operación de dos lugares y 1 es el primer simbolo de

constante. Los axiomas propios de G son

G1. ∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z))G2. ∀x (x1 = x)G3. ∀x∃y (xy = 1)rs es una abreviatura de r · s. Note que G1 a G3 son exactamente los mismos que

AG1 a AG3 cuando en ambos se los escribe sin abreviaturas. De aquí se deduce

que los grupos abelianos son grupos. Un grupo abeliano es un grupo en el que la

operación conmuta. La práctica matemática es reservar la notación aditiva + y 0para los grupos abelianos y la notación multiplicativa · y 1 para todos los grupos,

abelianos o no.

Ejemplo 7 El conjunto de los símbolos propios de la teoría de cuerpos F es {=,+, ·, 0, 1} ,donde + y · son los primeros símbolos de operaciones de 2 lugares, y 0 y 1 son los

primero símbolos de constante. Es usual escribir rs en vez de r · s. y rs+ rt en vez

de (rs) + (rt) . Los axiomas propios de F son

F1. ∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z))

3

F2. ∀x (x+ 0 = x)F3. ∀x∃y (x+ y = 0)F4. ∀x∀y (x+ y = y + x)F5. ∀x∀y∀z ((xy) z = x (yz))F6. ∀x (x1 = x)F7. ∀x (x 6= 0→ ∃z (xz = 1))F8. ∀x∀y (xy = yx)F9. ∀x∀y∀z (x (y + z) = xy + xz)F10. 0 6= 1Los números racionales, los reales y los complejos son cuerpos con el signi�cado usual

de =,+, ·, 0, y 1. Los enteros no forman un curepo porque F7 falla. F1 a F4 aseguran

que los cuerpos son grupos abelianos con + y 0. F5 a F8 establecen que los elementos

distintos de cero de un cuerpo forman un grupo abeliano con · y 1. La teoría de anillo

de división es el resultado de reemplazar F8 por ∀x∀y∀z ((y + z)x = yx+ zx)

Ejemplo 8 En la teoría F de cuerpos, sea n una abreviatura para el término 1 + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸n veces

.

En los cuerpos familiares, n 6= 0 para cualquier entero positivo n. Tales cuerpos se

llaman de característica 0. En álgebra se prueba que si un campo no es de caracterís-

tica 0, entonces hay un primo p tal que n 6= 0 si y solo si n es múltiplo de p. Talcuerpo se dice de característica p. Existen cuerpos de característica p para cualquier

primo p. La teoría F p de cuerpos es el resultado de adjuntar a F el axioma propio

p = 0. La teoría F 0 de cuerpos de característica cero es el resultado de adjuntar a Fcomo axioma propio todos los enunciados p 6= 0 :

1 + 1 6= 0, 1 + 1 + 1 6= 0, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 6= 0,

Ejemplo 9 La teoría ACF de cuerpos algebraicamente cerrados es el resultado de

agregar a la teoría de cuerpos un axioma propio para cada entero positivo n que dice

que cada polinomio de grado n tiene una raiz. Para n = 3, el axioma es

∀y∀y1∀y2∀y3

(y3 6= 0→ ∃x

(y + y1x+ y2x

2 + y3x3 = 0

))donde xk es una abreviatura para x · x · · ·x︸ ︷︷ ︸

k veces

El cuerpo de números complejos es algebraicamente cerrado. El cuerpo de los racionales

y de los reales no es algebraicamente cerrado. El cuerpo de números algebraicos es

algebraicamente cerrado. Un número algebraico es es un número complejo que es

raiz de un polinomio con coe�cientes racionales. Por ejemplo√

2 e i son números

algebraicos pues√

2 es raiz de x2−2 y i es raiz de x2 +1. El conjunto de los números

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reales es no numerable mientras que el conjunto de los algebraicos es numerable. La

idea de la prueba es que el conjunto de todos los polinomios con coe�cientes racionales

es numerable, y todo polinomio tiene solo una cantidad �nita de raices

Ejemplo 10 La teoría OF de cuerpos ordenados es el resultado de adjuntar a la

teoría de cuerpos el símbolo de predicado de dos lugares <, los axiomas L1 a L3 de

la teoría de conjuntos ordenados y los axiomas propios siguientes

OF1. ∀x∀y∀z (x < y → x+ z < y + z)OF2. ∀x∀y∀z (x < y ∧ 0 < z → xz < yz)Los números racionales y los reales son cuerpos ordenados con el signi�cado usual

de < . El cuerpo de los números complejos no está ordenado porque no hay forma de

de�nir < tal que los axiomas de OF se mantengan. Bosquejaremos una prueba. xes positivo en el sentido de 0 < x. En un cuerpo ordenado, el cuadrado de cualquier

número no nulo, es positivo y la suma de dos positivos es positiva. Supongamos

por contradicción que el cuerpo de los complejos es ordenado. Entonces 1 y −1 son

positivos por porque 1 es el cuadrado de 1 y −1 es el cuadrado de i. Entonces 1+(−1)es positivo. O sea que 0 < 0. Pero por L1 ∼ (0 < 0)

Ejemplo 11 La teoría RCF de los cuerpos cerrados reales, es el resultado de ad-

juntar a la teoría de cuerpos ordenados el axioma propio

RCF1. ∀x (0 < x→ ∃y (y2 = x))que dice que todo elemento positivo tiene una raiz cuadrada, y adjunta para cada

entero positivo impar n, el axioma propio que dice que el polinomio de grado n tiene

una raiz. El cuerpo de los reales es un cuerpo de cerradura real. Los complejos no

son de cerradura real pues no son ordenados y para los racionales falla RCF1. Por

ejenplo el dos no tiene raiz cuadrada en los racionales.

Ejemplo 12 La teoría DL de los conjuntos linealmente ordenados densos sin

primer ni último elemento es el resultado de adjuntar a los axiomas propios de

L :L4. ∀x∀y (x < y → ∃z (x < z ∧ z < y))L5. ∀x∃y (y < x)L6. ∀x∃y (x < y)Los racionales y los reales con el signi�cado usual de = y < son conjuntos densos

sin primer ni último elemento.

Ejemplo 13 El cálculo de predicados es une teoría de primer orden. sus símbolos

propios son todos los símbolos propios y no tiene axiomas propios.

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Ejemplo 14 El conjunto de símbolos propios de la teoría BA de las algebras booleanas

es {=,∪,∩,′ , 0, 1} , donde ∪ y ∩ son los dos primeros simbolos de operaciones de dos

lugares, ′ es el primer símbolo de operación de un lugar, y 0 y 1 son los primeros dos

símbolos de constante. Los axiomas propios de BA son:

BA1. ∀x∀y∀z ((x ∪ y) ∪ z = x ∪ (y ∪ z))BA2. ∀x∀y∀z ((x ∩ y) ∩ z = x ∩ (y ∩ z))BA3. ∀x∀y (x ∪ y = y ∪ x)BA4. ∀x∀y (x ∩ y = y ∩ x)BA5. ∀x∀y∀z (x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪ z))BA6. ∀x∀y∀z (x ∩ (y ∪ z) = (x ∩ y) ∪ (x ∩ z))BA7. ∀x (x ∪ 0 = x)BA8. ∀x (x ∩ 1 = x)BA9. ∀x (x ∪ x′ = 1)BA10. ∀x (x ∩ x′ = 0)BA11. 0 6= 1Sea A cualquier conjunto, y sea D el conjunto de todos los subcionjuntos de A.EntoncesD es un álgebra booleana con la siguiente interpretación de =, ∪, ∩, 0, 1. = es

la igualdad de conjuntos, ∪ y ∩ es la union y la intersección de conjuntos, B′ ={x ∈ A | x /∈ B} , 0 es el conjunto vacío y 1 es A.

Una teoría de primer orden está �nitamente axiomatizada si y solo si su conjuntode axiomas propios es �nita

Un conjunto X de proposiciones es decidible si y solo si hay in procedimientoefectivo para decidir si un enunciado está o no, en X.

Cualquier conjunto �nito es decidible y algunos conjuntos in�nitos son decidibles.Por ejemplo, el conjunto de axiomas propios de la teoría de cuerpos de clausuraalgebraicas es es decidible.

Una teoría de primer orden es formal si y solo si, su conjunto de axiomas propios esdecidible. Todos los ejemplos dados arriba son teorías formales. Estamos interesadossolamente en teorías formales, porque la noción de prueba es efectiva para teoríasde primer orden si y solo si la teoría es formal. Necesitamos considerar teorías noformales porque ellas entran en la prueba de los principales teoremas acerca de lasteorías de primer orden.

Lo que distingue a una teoría de primer orden de una teoria de orden superior esque en la interpretación, todas las variables recorren un dado dominio. Un ejemplo deuna fórmula de segundo orden es el siguiente enunciado de la inducción matemática:

∀M.0 ∈M ∧ ∀x (x ∈M → x+ 1 ∈M)→ ∀x (x ∈M)

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Aquí la variableM recorre conjuntos de números. En la práctica, la teoría de grupospor ejemplo no trata solamente con elementos de un grupo, sino con conjuntos deelementos y conjuntos de conjuntos de elementos. La contraparte formal es unateoría de tercer orden.

Restringiremos nuestra atención a las teorías de primer orden por tres razones.Primero, se conoce mas sobre las teorías de primer orden que sobre las teorías deorden superior. Segundo, la lógica de orden superior es esencialmente la misma quela de primer orden. O sea, los procedimientos fundamentales mantienen la remocióne inserción de cuanti�cadores y el uso de enunciados de cálculo. Tercero, todo loque puede hacerse con cualquier teoría matemática puede hacerse con la teoría deconjuntos, y la teoría de conjuntos puede enunciarse como una teoría de primer orden.Cualquier entidad matemática (función espacio secuencia, número, etc.) puede serconstruida de una forma u otra como un conjunto. Luego, solamente una clase devariable es necesaria, porque un conjunto de conjuntos es en si mismo un conjunto.No solo se puede formular la teoría de conjuntos como una teoría de primer orden,sino tambien como una teoría �nitamente aximatizada. No daremos detalles para noalejarnos del tema.

Cualquier símbolo de operación de n lugares de una teoría de primer orden puedeser reemplazado por un predicado de n+ 1 lugares, y cualquier simbolo de constantepor un símbolo de predicado de un lugar. Ilustraremos el procedimiento con AG.Sea G el primer símbolo de predicados de tres lugares y H el primer símbolo depredicado de un lugar. Reemplacemos + por G y 0 por H. G (r, s, t) se interpretacomo r + s = t y H (r) se interpreta como r = 0. Necesitamos axiomas adicionales

∀x∀y∃!zG (x, y, z)

∃!xH (x)

los axiomas AG2 y AG1 se traqducen aAG2'. ∀x∀y (H (y)→ G (x, y, x))AG3'. ∀x∀z (H (z)→ ∃yG (x, y, x))La traducción de AG1 y AG4 se deja como ejercicio. La estructura del cálculo de

predicados y las teorías de primer orden pueden ser simpli�cadas descartando todoslos simbolos de operaciones y de constantes. Sin embargo, la formulación resultantede las teorías de primer orden se separarían mucho de de la formulación familiar.

Ejercicios

1. Dar los axiomas de igualdad para las teorías R, F, LA, BA.

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2. Dar axiomas AG1' y AG4' correspondientes a AG1 y AG4, usando los símbolosde predicados G en lugar de +

3. Dar la formulación de R usando los símbolos de predicados G, H, y K en lugarde +, ·, y 0

4. Damos abajo tres de�niciones de �grupo� que aparece en la literatura. Dos soncorrectas, y una no tiene sentido. Establezca cual no tiene sentido y por qué,y formule las otras dos como teoría de primer orden.

(a) Un grupo es un conjunto no vacío D junto con una operación binaria enD (para el cual usamos el lenguaje multiplicativo) tal que

i. Para todo x, y, z en D, (xy) z = x (yz)

ii. Hay un elemento z de D tal que

A. xz = x para cualquier x en D

B. Para cualquier x en D hay un y en D tal que xy = z

(b) Lo mismo que en (a) excepto que ii. se reemplaza por2'. Hay un elemento z de D tal que xz = x para cualquier x en D.2�. Para cualquier x en D hay un y en D tal que xy = z

(c) Lo mismo que en (a) excepto que ii. se reemplaza por2*. Para cualquier x y y en D hay un z en D tal que xz = y2**. Para cualquier x y y en D hay un z en D tal que zx = y.

5. Probar que si un cuerpo no es de característica cero, entonces es de caracterís-tica p para algún primo p.

6. Sea la teoría de primer orden T �nitamente axiomatizada, y sea P1, . . . , Pk losaxiomas propios de T . Probar que `T Q si y solo si ` P1 ∧ · · · ∧ Pk → Q, concada paso una fórmula de T.

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