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TEMA 3

DINMICA INTEGRAL DE LOS FLUIDOS (Parte I)

3.1 Introduccin

3.2. Teorema de Arrastre de Reynolds

3.3. La Ecuacin de Continuidad

3.4 La Ecuacin de Cantidad de Movimiento

3.5 La Ecuacin de Conservacin de la Energa

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3.1 Introduccin3.1.1 Hidrodinmica: El fluido se mueve

Cuando el que se mueve es un slido rgido, determinar los parmetros del movimiento, y su comportamiento dinmico es relativamente sencillo. Su movimiento siempre lo podemos dividir en un movimiento de traslacin de su CDG ms un movimiento de rotacin. As, con un vector que nos de la posicin velocidad y aceleracin del CDG y un vector que determine la rotacin nos bastara para determinar el movimiento de cualquier punto del slido.

El movimiento del slido rgido se puede caracterizar de forma relativamente sencilla

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En cambio, en el caso de los fluidos esto es muchsimo ms complicado, ya que las molculas del fluido, aunque mantengan cierta fuerza de cohesin, esta es muy dbil, y existe un considerable movimiento relativo entre ellas. As, es complicado saber cual ser el movimiento preciso de cada una de ellas, es decir su velocidad y posicin.

Inyeccin de un fluido en la vena de otro conducto a diferente velocidad y temperatura

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Inyeccin de un fluido a alta velocidad en un medio en reposo a temperatura distinta

Vrtices creados al pasar un caudal de fluido a travs de un cilindro transversal

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Estos son algunos ejemplos de cmo determinar la velocidad o cualquiera de los parmetros de un fluido puede ser muy complicado. De hecho, salvo en contadas ocasiones, en las que la configuracin es muy sencilla, es prcticamente imposible determinarlos de forma analtica, es decir de forma terica. Incluso en configuraciones sencillas, como en el interior de una tubera,los regmenes de flujo pueden ser muy variados, y por tanto las velocidades en los distintos puntos del fluido.

Efecto de entrada de un depsito en una tubera. Como el perfil de velocidad evoluciona hasta volverse parablico, tpico de regmenes laminares

Perfil de velocidades en el interior de una tubera cuando cuando el rgimen es turbulento

Perfil de velocidades en el interior de una tubera cuando cuando el rgimen es laminar

En ambos casos, la velocidad promedio es idntica, es decir, transportan el mismo caudal

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La pregunta que salta a la mente es obvia, si tan complicado es, que podemos hacer ?. La respuesta no es muy clara:

Si queremos determinar el campo de velocidades, presiones, o temperaturas, no tendremos ms remedio que acudir a la teora, lo que implica un profundo conocimiento de mecnica de fluidos, transferencia de calor, matemticas, programacin, entre otras disciplinas, y an as, en muchos casos deberemos acudir a la experimentacin para ajustar las predicciones tericas. Existen configuraciones sencillas que tienen una solucin analtica mas o menos simples, pero son escasas. Este tipo de enfoque suele ser tpico de la DINMICA DIFERENCIAL

Si por el contrario slo necesitamos conocer las propiedades promedio, el efecto o comportamiento global, las cosas se pueden simplificar bastante. Este es el caso de la inmensa mayora de los casos a los que nos enfrontaremos en ingeniera. Es decir, en la mayora de los casos, no prestaremos demasiado inters a lo que le ocurre internamente al fluido, sino el efecto que este causa. Este tipo de enfoque suele ser tpico de la DINMICA INTEGRAL

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Hasta ahora hemos hablado de dinmica, pero no hemos dicho nada de la cinemtica. Tradicionalmente en los cursos de mecnica primero se aborda la cinemtica, y luego la dinmica, pero en mecnica de fluidos, no suele ser as, por lo menos cuando se habla de aplicaciones a la ingeniera. En este campo, la cinemtica tiene poca utilidad, ya que no suele ser usual disponer de informacin del campo de velocidades. No significa que no sea til, ya que de ella podemos derivar un sin fin de relaciones y consecuencias, simplemente que en este curso de fundamentos no nos vamos a ocupar de ella en profundidad, y slo haremos referencia a ella cuando nos sea necesario.

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Existen una serie de leyes fundamentales que rigen el movimiento de los fluidos, y que nos ayudan en el anlisis de la dinmica de los mismos. Estas leyes son:

1.- Ley de Conservacin de la masa

2.- Ley de conservacin del momento cintico y angular

3.- Ley de conservacin de la energa

4.- Los postulados de estado

Estas leyes se cumplen siempre, independientemente de la geometra, la naturaleza del fluido o su rgimen. Estas leyes son la base de la comprensin de la dinmica de los fluidos

3.1.2 Dinmica Integral frente a Dinmica Diferencial

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Estas ecuaciones se suelen aplicar a volmenes enteros, cuya forma, geometra y dimensin son arbitrarias. Por ejemplo, en el caso de un estrechamiento de una tubera.

El fluido entra a la tubera con una velocidad V0 y sale a mayor velocidad, V. El caudal msico se conserva, principio de conservacin de la masa, es decir, la masa que entra es la misma que la que sale. Por el principio de conservacin del momento, la variacin del momento es igual a la suma de las fuerzas aplicadas sobre el sistema. Por tanto, si sabemos la velocidad de entra y salida y la masa, podemos calcular el momento, y con ello las fuerzas F que debemos ejercer contra la reduccin para que esta se mantenga quieta y no sea arrastrada por el fluido. En este caso, si suponemos que no hay variacin de la temperatura, y la reduccin est bien aislada, por el principio de conservacin de la energa, esta no variar.

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Hemos aplicado estos principios bsicos a toda la reduccin como un volumen unitario. Estos principios nos ayudan a predecir lo que ocurrir en ese volumen de forma global. No nos dice nada de lo que ocurre dentro de este volumen, slo explica los efectos en funcin de la entradas y salidas, haciendo una suposicin de lo que ocurre en el interior. Si se trata de un volumen grande, como en este caso, es de suponer que los resultados sern ms o menos aproximados en funcin de lo complicado que sea el flujo en el interior, y de que su comportamiento

Desde el exterior ambos casos se ven igual

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Esta claro que esta formulacin es bastante sencilla, en cuanto al punto de vista conceptual, por lo que valdra la pena mantenerla, en cuando a la aplicacin de los principios bsicos a volmenes unitarios. Una forma de obtener valores ms precisos, y que nos proporcione informacin detallada sera, en vez de considerar la tubera reductora como un nico volumen, dividirla en pequeos volmenes, y aplicarle a cada uno de ellos los principios bsicos de conservacin.

Que se consigue con esto ?, pues que aplicamos el volumen de control a una zona muy restringida, tan pequea como queramos. Estudiarlo a nivel de las molculas sera excesivo e innecesario, pero si podemos dividir el fluido en volmenes tan pequeos que en ellos el fluido se comporta de la misma forma en todos los puntos, es decir, la misma presin, temperatura, presin, propiedades, etc... y por tanto, en ella podemos suponer que el fluido se comporta de una forma sencilla y regular, en este caso los resultados sern mucho ms parecidos a la realidad

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Ahora cabe preguntarse, cmo de pequeos he de hacer los volmenes para representar de forma adecuada el comportamiento del fluido? Cuanto ms pequeo, mejor. De ah el hacer los volmenes diferenciales.

Para representar flujos complicados ser necesario acudir a dividir el espacio en volmenes muy pequeos, para que puedan tener en cuenta todos los efectos de la configuracin.

A la accin de dividir el espacio en pequeos volmenes se le llama, discretizar.

Pero, si el flujo no es excesivamente complicado, podemos nos bastarn unos cuantos volmenes.

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La siguiente pregunta que viene a la mente es, si cuanto ms pequeo mejor, porque poner lmites, y no resolver todos los casos con un gran nmero de volmenes, si con eso se consigue un mayor grado de exactitud en la solucin ?. Bien, analicemos ahora que tipo de ecuaciones representan los principios bsicos de conservacin en un volumen diferencial:

1.- Ley de Conservacin de la masa

2.- Ley de conservacin del momento cintico y angular

3.- Ley de conservacin de la energa

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Es decir, tenemos que aplicar estas 5 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, no lineales a cada uno de los volmenes. Como comparten fronteras los volmenes, estas ecuaciones estn ligadas, y por tanto, se debern resolver todas a la vez. Es decir, si dividimos el espacio en 1000 volmenes, deberemos resolver un sistema de unas 5000 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y parcialmente acopladas. Un trabajo un tanto costoso.

As, nos encontramos ante dos caminos:

DINMICA INTEGRAL: Tomar la tubera como un nico volumen, lo cual nos proporciona valores globales razonablemente buenos, y rapidez y facilidad de clculo, es decir, economa.

DINMICA DIFERENCIAL: Dividirla en en pequeos volumenes diferenciales, lo que nos proporciona resultados muy fiables y exactos, pero a un coste computacional muy elevado, es decir, bastante caro.

Cual elegir ? Depende de la aplicacin. Si se trata de un clculo de ingeniera del que se puede saber el orden de magnitud del resultado, y se posee un conocimiento razonable del comportamiento del fluido, el primer mtodo se puede tomar como el ms aceptable y razonable. En caso de investigacin, desarrollo optimizacin o no poseer ninguna informacin sobre el flujo, ser mejor el segundo mtodo.

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Existe un nuevo problema. Si tomamos la aproximacin integral. Consideramos las entradas y salidas como puntos, en los que entra y sale masa a una velocidad dada. Qu ocurre cuando esa masa no entra con una velocidad homognea? Deberemos utilizar entonces velocidades promedio, o lo que es lo mismo hacer una integral de la distribucin de velocidades. Pero que ocurre cuando no conocemos esa distribucin, sobre todo la de salida que viene determinada por la configuracin del volumen en s? Pues ser necesario presuponer un perfil, y utilizarlo para obtener la medida. Es decir, para que el resultado sea bueno, se ha de tener un conocimiento aceptable del comportamiento del fluido.

En el caso de optar por la dinmica diferencial, no tenemos ese problema, ya que ser parte de la solucin. Podemos dividir la salida en tantos volmenes como queramos. Al ser muy pequeos, podemos decir que en ellos la velocidad de salida es constante.

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Dependiendo del objetivo que se pretenda, se elige un enfoque u otro. De forma general la forma de operar segn se elija el enfoque sera la siguiente:

Anlisis Diferencial Anlisis Integral

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Existen tambin una serie de ventajas e inconvenientes, segn se elija el tipo de enfoque En la siguiente tabla se detallan algunos de ellos:

Anlisis Diferencial

Anlisis Integral

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El anlisis diferencial es una herramienta muy potente, mucho ms que el anlisis integral, pero con una complicacin matemtica muy considerable, y necesita un consumo de tiempo bastante ms elevado que en el enfoque integral para su ejecucin.

Para un estudio global de los fenmenos es mucho ms til el enfoque integral, as como ms intuitivo tanto es su mtodo de resolucin como en la solucin que proporciona. En este tema nos vamos a centrar en el anlisis integral, ya que nos proporcionar un primer acercamiento al anlisis de los fenmenos de los fluidos sin complicar en exceso la formulacin matemtica, y sin perder precisin en los resultados que se obtienen. En muchas aplicaciones de ingeniera basta con este tipo de anlisis para obtener soluciones satisfactorias, sin tener que acudir al enfoque diferencial.

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3.1.3 Concepto de Caudal Volumtrico

Conceptos preliminares:

Caracterizacin de un vector rea. Los vectores reas son herramientas tiles que nos proporcionan informacin tanto acerca del tamao del rea, , como de su orientacin . El vector unitario es un vector perpendicular a la superficie y tiene de mdulo la unidad

A nn

ndAAdnAA .. ==rr

Ejemplo:

Producto vectorial de dos vectores: El producto vectorial de dos vectores es un escalar.

cos... vAvA rrrr =

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Caudal Volumtrico ( Q ): Volumen de fluido que atraviesan la superficie A por unidad de tiempo ( m3 / s )

Imaginemos una tubera de seccin dA por la que circula un fludio con una velocidad V. Desde el instante t hasta el t+t el volumen de fluido que ha pasado a travs de la seccin dA lo podemos calcular como:

dtVdAd ..=

Por la definicin de caudal:

VdAdt

dtVdAdtddQ ... ===

Par un rea genrica, tendramos que:

=A

dAVQ .Si la velocidad es constante en toda el rea,la podemos sacar de la integral

AVdAVdAVQAA

... === AVQ .=

VELOCIDAD CONSTANTE EN TODA EL REA

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AVrVrdrVdAVQdArVQRAA

.....2..).( 02

000 =====

Vamos a aplicar la definicin de caudal a dos casos distintos:

=

21.)(

RrVrV o

oVrV =)(

0V

0V

=

==

Ro

Ao

Ardr

RrVdA

RrVQdArVQ ..2.1..1.).(

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Velocidad constante en toda el rea

Velocidad variable en el

rea

Hay que tener cuidado con la distribucin de velocidades que tiene el flujo en un seccin de paso, no siempre se puede considerar que la velocidad es constante en toda la seccin, y por tanto no siempre se puede calcular el flujo como rea por velocidad

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Vamos a ver que ocurre cuando la seccin de paso que hemos elegido tiene una inclinacin arbitraria. Supongamos que en ambos casos la velocidad del fluido y el radio del tubo es la misma, por tanto el caudal que circular ser el mismo:

Es evidente que A1

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'.cos... dAVdAVAdVdQ === rr

rea con una inclinacin cualquiera

rea proyectada sobre un plano perpendicular a la velocidad del fluido

As, de esta forma, obtenemos una expresin que ya tiene en cuenta la orientacin de la seccin de paso en el clculo del caudal.

Par un rea genrica, tendramos que:

=A

AdVQrr

.Si la velocidad es constante en toda el rea,la podemos sacar de la integral

cos...cos.cos.. AVdAVdAVAdVQAAA

====rr

VELOCIDAD CONSTANTE EN TODA EL REA

cos..AVQ =

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Concepto de Caudal o Gasto Msico

AdVdQdGrr

.... ==

Caudal o Gasto Msico ( G ): masa de las partcula que atraviesan la superficie A por unidad de tiempo ( kg / s )

Integrando a toda la superficie:==AA

AdVdQGrr

....

SI ahora asumimos que la densidad es constante:

QAdVGA

... ==rr

Caudal o Gasto Msico ( kg / s )

Concepto de Velocidad Media

A

AdV

AQV Amedia

==

rr

Valor promedio de la velocidad del fluido proyectada sobre el vector normal a la superficie que atraviesa la superficie ( m / s )