(Teoría) Pruebas de Hipótesis - Dos Muestras

Pruebas de Hipótesis

Pruebas de hipótesis de muestras grandes para la diferencia entre dos medias poblacionales

En numerosas situaciones, la pregunta estadística a ser contestada involucra una comparación de dos medias poblacionales.

El estadístico que resume la información muestral respecto a la diferencia en medias

poblacionales es la diferencia en medias muestrales . Por tanto al profesor si la

diferencia en medias muestrales indica que la diferencia verdadera en medias poblacionales

difiere de un valor especificado, , se puede usar el error estándar de .

En la forma de un estadístico Z para medir a cuantas desviaciones estándar se encuentra la diferencia desde la diferencia hipotética D0. A continuación se escribe el procedimiento

de la prueba.

Prueba de hipótesis muestras grandes

1.- Formulación de hipótesis

1.1.- Hipótesis Nula

1 Lic. Est. Sandra Loaiza Chumacero

Cuando se conoce

Cuando se desconoce

Cuando se conoce

Cuando se desconoce


Donde D0 es alguna diferencia especificada que se desea probar. Para muchas pruebas, el

experimentador hará hipótesis de que no hay diferencia entre y , esto es D0.

1.2.- Hipótesis Alternativa

Prueba de una cola Prueba de dos colas

2.- Nivel de significancia :

3.- Estadístico de Prueba

4.- Región Crítica


Cuando se conoce

Cuando se desconoce

Cuando se conoce

Cuando se desconoce


Se llama PRUEBA DE UNA COLA; si la región crítica se ubica en la derecha o izquierda del punto critico, son sugeridas por las hipótesis de la investigación, MAYOR QUE o MENOR QUE respectivamente.

MENOR QUE MAYOR QUE

Si la región de rechazo en dos de las direcciones se tiene una prueba de dos colas es también por la por la hipótesis de la modalidad; DIFERENTE QUE.

Suposiciones: Las muestras seleccionadas al azar y de manera independiente de las dos

poblaciones n1≥ 30 y n2≥ 30.

Ejemplo 01:

Ruido y estrés. Se comparo el efecto del estrés en la forma de ruido sobre la capacidad de realizar

una tarea sencilla. Setenta persona se dividieron en dos grupos; el primer grupo de 30 personas

actuo como control, en tanto que el segundo grupo de 40 fue el grupo experimental. Aun cuando

cada persona realizo la tarea en el mismo cuarto de control, cada una de las del grupo

experimental tuvo que realizar la tarea al tiempo que se escuchaba música rock muy fuerte. Se

registro el tiempo para terminar la tarea para cada persona y se obtuvo el siguiente resumen:



Control Experimentaln: 30 40Promedio: 15 min. 23 min.S: 4 min. 10 min.

a) Hay evidencia suficiente para indicar que el tiempo promedio para terminar la tarea fue

mas largo para el grupo experimental “música rock”. Pruebe al nivel de significancia del

1%.

b) Construya un intervalo superior de 99% de una cola para la diferencia (control –

experimental) en tiempos promedio para los dos grupos. Este intervalo confirma sus

conclusiones del inciso a).

Ejemplo 02: Los estudiantes universitarios hombres ¿se aburren más fácilmente que sus

compañeras mujeres? La psicóloga de la clínica USAT aplico una escala llamada Proneness de

Aburrimiento a 120 estudiantes hombres y 150 mujeres de la universidad.

GeneroTamaño muestral

Media muestral

Desviación estándar muestral

Hombres 120 12.4 5.34Mujeres 150 11.26 4.69

a) Al nivel de confianza de 99%, ¿cuál es el margen de error?

b) ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza de 99% de la media poblacional?

c) La siguiente información apoya la hipótesis de investigación de que la tasa de

aburrimiento Proneness es más alta para hombres que para mujeres?. Pruebe la hipótesis

apropiada para un nivel de significancia 0.01.



Comparación de dos varianzas poblacionales

Así como una sola varianza poblacionales a veces es importante para un experimentador, usted

también necesita comparar dos varianzas poblacionales. Puede tener que comparar la precisión

de un aparto de medición con el otro, la estabilidad del proceso de manufactura con la del otro, o

incluso la variabilidad en el procedimiento de calificaciones de un profesor universitario.



Una forma de comparar dos varianzas poblacionales, y , es usar la razón entre las varianzas

muéstrales, .

Si es casi igual a 1, se encuentra poca evidencia para indicar que y son iguales. Por

otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para da evidencia de una diferencia en las

varianzas poblacionales.

¿Qué tan grande debe ser para que haya evidencia suficiente para rechazar las siguiente

hipótesis:

La respuesta a esta puede hallarse al estudiar la distribución de en un muestreo repetido.

Cuando muestras aleatorias se sacan de entre dos poblaciones normales con varianzas iguales , es

decir , entonces tienen una distribución de probabilidad en un muestreo

repetido que los estadísticos conocen como distribución F, que se ilustra



Suposiciones para que tenga una distribución F

Muestras aleatoria e independientes se sacan de cada una de dos poblaciones normales.

La variabilidad de las mediciones en las dos poblaciones es igual y puede ser medida por una

varianza común, ; esto es ,

Prueba de la homogeneidad de varianzas

1. Formulación de hipótesis

Hipótesis nula:

Hipótesis Alternativa:

2. Nivel de significancia: valor de α


Prueba de una cola

Prueba de dos colas

Prueba de una cola

Prueba de dos colas


3. Estadístico de Prueba

donde S12 es la varianza muestral más grande

4. Región Critica

Ejemplo:

Una forma exportadora debe decidir exportar café de A: Chanchamayo o B: San Martín realizo. Para tomar la decisión escogió dos muestras independientes, una de 11 sacos de A y otra de B encontrando los siguientes porcentajes en granos de impurezas y por saco de café de 50 kgrs.

A: 2 4 6 7 7 7 8 8 9 9 10B: 2 2 3 3 3 4 4 5 6 8

Al nivel de significancia de 0.05, y realizando los supuestos necesarios:

a) ¿Cuál sería la decisión de la firma si el criterio de la selección es la menor variabilidad del porcentaje de impurezas por saco?

b) ¿Cuál sería la decisión de la firma si el criterio de la selección es el mejor promedio de porcentajes de impurezas por saco?. Realice una prueba de hipótesis unilateral.



F>Fα F>Fα/2


F>Fα F>Fα/2


Pruebas de hipótesis de muestras pequeñas para la diferencia entre dos medias poblacionales

Muestreo a partir de Poblaciones que siguen una distribución normal con varianza

desconocida

Cuando las varianzas poblacionales no se conocen, existen dos posibilidades. Las varianzas de dos

poblaciones pueden ser iguales o diferentes. Se considera primero el caso donde se sabe, o es

razonable suponer que son iguales.

Caso 1: Poblaciones con varianzas iguales

Cuando se desconocen las varianzas de las poblaciones, pero se supone que son iguales, se

considera, que es adecuado ponderar las varianzas de las muestras por medio de la siguiente

formula.

Cuando cada una de las dos muestras aleatorias simples e independiente se extrae de una

población que sigue una distribución normal y las dos poblaciones tienen varianzas desconocidas

pero iguales, la estadística de prueba para H0:µ1-µ2 se obtiene mediante la siguiente formulas:



La cual, cuando H0 es verdadera, sigue una distribución t de Student con n1 + n2 – 2 grados de

libertad.

Caso 2: Poblaciones con varianzas diferentes

Cuando dos muestras aleatorias simples independientes han sido extraídas de poblaciones que

siguen una distribución normal con varianzas desconocidas y diferentes, la estadística de prueba

para H0:µ1-µ2.

Donde r:



Ejemplo:

Una planta industrial utiliza el procedimiento tradicional (T) de producción. Se propone un

procedimiento de producción moderno (M). La planta cambiara el procedimiento T por el

procedimiento M solo si este ultimo resulta más rápido. A fin de tomar la decisión se escogieron

dos muestras aleatorias independientes, una de 9 tiempos del proceso T y otra de 190 tiempos del

proceso M resultando los siguientes tiempos en segundos:

Muestra T: 6 14 8 11 10 18 15 20 13 Muestra M: 12 11 12 10 14 15 10 13 14 12

A nivel de significación 0.05, ¿Cuál sería la decisión a tomar?

Asuma los requerimientos del método.

Prueba de hipótesis de muestras grandes para la diferencia

entre dos proporciones

Cuando se seleccionan muestras aleatorias e independientes de dos poblaciones binomiales, el

punto central del experimento puede ser la diferencia (p1-p2) en las proporciones de individuos u

objetos que poseen una característica especificada en las dos poblaciones. En esta situación,



usted puede usar la diferencia en las proporciones muéstrales junto con su error

estándar:

En la forma de un estadístico Z para probar la diferencia significativa en las dos proporciones

poblacionales. La hipótesis nula a probarse suele ser de la forma:

1.- Formulación de hipótesis

Hipótesis Nula:

Hipótesis Alternativa:


2.- Nivel de significancia: el valor de α.

3.- Estadístico de Prueba

4.- Región critica

PRUEBA DE UNA COLA; si la región crítica se ubica en la derecha o izquierda del punto critico, son sugeridas por las hipótesis de la investigación, MAYOR QUE o MENOR QUE respectivamente.



MENOR QUE MAYOR QUE

Z > Zα o Z< -Zα

Si la región de rechazo en dos de las direcciones se tiene una prueba de dos colas es también por la por la hipótesis de la modalidad; DIFERENTE QUE.

Z > Zα/2 o Z< -Zα/2

Suposiciones: Las muestras seleccionadas al azar y de manera independiente de las dos

poblaciones n1≥ 30 y n2≥ 30.

Ejemplo:

El dueño de un café realizado un estudio estadístico por cuenta propia y otro usando los servicios

de dos practicantes universitarios que cursan la materia de estadística aplicada. Según los datos de

muestreo del dueño para 30 personas el 60% de los clientes son mujeres; en cambio en el

muestreo realizado por los estudiantes para 40 personas encontraron que el 70% de los clientes

son mujeres. La pregunta del dueño es si se requiere invertir en un nuevo estudio dado que alguno

de los dos realizados hasta ahora está mal hecho. Si ambos estudios analizaron una muestra

representativa de la misma población las medias poblacionales son iguales y no se requiere un

estudio adicional.

Determine:



a) Intervalo de confianza para la diferencia de las proporciones a un nivel de confianza del 99%.

b) Redacte Hipótesis nula y la alternativa

c) Concluya si se requiere un estudio estadístico adicional basándose en la prueba de hipótesis

para proporciones, use un nivel de significancia de alfa 1%.


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