Teoría Matemáticas Aplicadas
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Transcript of Teoría Matemáticas Aplicadas
Matematicas de la especialidad
y
Metodos Matematicos
Eusebio Corbacho Rosas
September 7, 2015
2
Contenido
Presentacion 7
1 Preliminares 9
1.1 Teoremas de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Medida e integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.10 La integral respecto a una medida . . . . . . . . . . . 28
1.2.13 Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.18 Los espacios Lp(X, µ) (1 ≤ p <∞) . . . . . . . . . . 37
1.2.23 Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.25 Teoremas de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.31 Teoremas de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2.38 Teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . 54
1.2.42 La medida de Lebesgue en Rn y sus variedades . . . . 57
1.3 Campos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.1 Circulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3.3 Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.3.5 Generalizaciones de la regla de Barrow . . . . . . . . . 70
1.3.6 El Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.13 El Teorema del Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Problemas inversos 83
2.1 El caso lineal finito dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Casos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.3 Funciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.7 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2.8 Ajuste de una nube de puntos . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3
4 CONTENIDO
3 Metodos numericos para Ecuaciones Diferenciales 99
3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.2 Oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Ecuaciones autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.1 Lobos y corderos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4 Metodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.6 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.7 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.1 Calentamiento-Enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.3 Reacciones quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.4 Lanzamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.7 Curvas de persecucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.8 Curvas de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.9 Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Variable compleja 117
4.1 El cuerpo A-cerrado de los numeros complejos . . . . . . . . . 117
4.2 Derivacion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Integracion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.1 Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.9 Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6 Funciones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.1 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.4 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6.7 Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.6.12 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6.16 Usos del Teorema de los Residuos . . . . . . . . . . . . 152
4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Transformadas integrales 165
5.1 Transformadas de Fourier y de Laplace . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 La F -transformada de medidas finitas en R . . . . . . . . . . 168
5.3 La L-transformada de medidas finitas en R+ . . . . . . . . . 173
5.4 La F -transformada en el espacio L1(R) . . . . . . . . . . . . . 175
5.5 La F -transformada en el algebra (L1(R), ?). . . . . . . . . . . 184
5.6 La L-transformada en el espacio L1(R+). . . . . . . . . . . . 189
5.7 Aplicaciones de las F -transformadas . . . . . . . . . . . . . . 198
CONTENIDO 5
5.8 Aplicaciones de las L-transformadas . . . . . . . . . . . . . . 203
6 Problemas de Sturm Liouville 209
6.1 Espacios con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2 Aproximacion hilbertiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.3 Bases hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.4 Teorıa espectral en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 2206.5 El problema regular de Sturm-Liouville. . . . . . . . . . . . . 231
6.6 Ecuaciones de la fısica-matematica . . . . . . . . . . . . . . . 247
7 TRABAJOS 253
Bibliografıa 257
Presentacion
Estas notas recogen la informacion teorica y practica que la Universidad deVigo ofrece durante el curso 2015-2016 a los alumnos de las asignaturas:
- Matematicas de la Especialidad del curso 3o del Grado en Tecnologıas
Industriales
- Metodos Matematicos del Master de Ingenierıa Industrial
El texto se completa con una coleccion de worksheets de Sage correspon-
dientes a las distintas sesiones practicas que se realizan en el aula informaticay que estaran disponibles en el espacio faitic de las asignaturas. Nos parece
que una atenta lectura de estos programas, hasta su entendimiento, no solopuede servir de repaso de las cuestiones teoricas esenciales sino que puede
proporcionar un buen metodo de consolidacion de ideas y ser un acicatepara adquirir y programar nuevos conocimientos. Dichas worksheets, debenser personalizadas, complementadas y almacenadas por el alumno en una
carpeta que podra usar libremente en el examen final. La elaboracion deesa carpeta nos parece un modo de acercarse a la posibilidad de valoracion
de la labor continua que realice el alumno y, sobre todo, le proporcionarauna herramienta util en otras asignaturas e incluso durante el ejercicio pro-
fesional cuando haya completado su formacion. Desde luego, la tendra siem-pre disponible y a coste cero por la condicion de libre de su software soporte.
Pretendemos, ante todo, convencer al lector de que es mas practico enten-
der bien las grandes ideas, las definiciones y los enunciados de los teoremas,y programar su uso para obtener las soluciones de problemas concretos,que repetir ejercicios de examen hasta adquirir la habilidad de resolverlos,
descuidando la perspectiva general que da el conocimiento abstracto de lascosas. Programar, nos parece un buen entrenamiento para ese ir y venir de
lo concreto a lo abstracto que constituira la esencia del ejercicio profesionaldel tecnico superior. Cuando tengamos situado un problema en el marco
teorico que determina la existencia y tipologıa de sus soluciones, podremosdar las ordenes oportunas para organizar los calculos y obtener la solucion
particular adecuada en los terminos que mas interesen: numericos o graficos,con mayor o menor precision, con menor o mayor economıa.
7
Capıtulo 1
Preliminares
1.1 Teoremas de Stone-Weierstrass
Sea X un conjunto. Para el cuerpo de numeros K = R o C, el conjunto de
funcionesB(X,K) = f : X → K | f acotada
dotado de la suma y el producto puntuales, y de la operacion externa habi-tual, es un algebra vectorial unitaria. La aplicacion
d∞ : B(X,K)× B(X,K) → R+
(f, g) 7→ supx∈X
|f(x)− g(x)|
cumple las propiedades esenciales de distancia
1. d∞(f, g) = 0 ⇔ f = g
2. d∞(f, g) = d∞(g, f) ∀f, g ∈ B(X,K)
3. d∞(f, g) ≤ d∞(f, h) + d∞(h, g) ∀f, g, h ∈ B(X,K)
y las otras propiedades importantes
4. d∞(f + h, g + h) = d∞(f, g) ∀f, g, h ∈ B(X,K)
5. d∞(λf, λg) = |λ|d∞(f, g) ∀λ ∈ K, ∀f, g ∈ B(X,K)
6. d∞(f · g, 0) ≤ d∞(f, 0) · d∞(g, 0), ∀f, g ∈ B(X,K)
Teorema 1.1.1
El espacio metrico (B(X,K), d∞) es completo.
Demostracion:
Sea (fn) una sucesion de Cauchy en (B(X,K), d∞). Para cada x ∈ X lasucesion (fn(x)) es de Cauchy en en el espacio euclıdeo (K, ρ) y, por tanto,
es convergente en el. Ası definimos la funcion
9
10 CAPITULO 1. PRELIMINARES
f : X → K
x 7→ lim fn(x)
que es el d∞-lımite de la sucesion (fn). Solo resta probar que f es acotada:
∃n0 ∈ N tal que |fn0(x) − f(x)| < 1 ∀x ∈ X . Como fn0 es acotada ex-iste un M tal que |fn0(x)| < M ∀x ∈ X . Ası, |f(x)| < 1+M ∀x ∈ X . ♦
Supongamos, ahora, que (X, τ) es un espacio topologico de Hausdorff. Elconjunto
C(X,K) = f : X → K | f continuadotado de la suma y el producto puntuales, y de la operacion externa ha-
bitual, tambien es un algebra vectorial unitaria.
Para cada ε > 0 y cada K ⊂ X compacto, definimos la relacion en C(X,K)
BKε = (f, g) | |f(x)− g(x)| < ε ∀x ∈ K.
Si BKε [f ] = g ∈ C(X,K) | (f, g) ∈ BKε es facil ver que la familia
B[f ] = BKε [f ] | ε > 0, K compacto en (X, τ) es base de entornos de f para una topologıa en C(X,K) que se designa τUk
y se llama topologıa de la convergencia uniforme sobre compactos.
Si (X, τ) es compacto, como BXε ⊂ BKε ∀K compacto en (X, τ), la topolgıaτUk
esta generada por la metrica
d∞ : C(X,K)× C(X,K) → R+
(f, g) 7→ supx∈X
|f(x)− g(x)|
Los teoremas de Stone y Weierstrass establecen propiedades muy sencillas de
un conjunto W ⊂ C(X,K) que aseguran que la subalgebra [Π(W )] generadapor el es densa en (C(X,K), τUk
). En [Π(W )] estan, no solo las combinaciones
lineales de los elementos de W , sino tambien, las combinaciones lineales delos productos de elementos de W y, por tanto, podemos partir de subcon-
juntos W de cardinal pequeno y conseguir la densidad [Π(W )] = C(X,K).Esta informacion siempre interesa en la teorıa de aproximacion y es impres-cindible en la teorıa de bases de Schauder.
Las sencillas propiedades exigidas a W son que contenga una funcion con-stante no nula y que separe los puntos de X , es decir, que para todo par
de puntos distintos (x, y) ∈ X ×X exista una f ∈W tal que f(x) 6= f(y).
1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 11
Teorema 1.1.2 (Stone-Weierstrass I)
Sea (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y sea W ⊂ C(X,R) un sub-
conjunto que separa los puntos de X y contiene una funcion constante nonula. Entonces, la subalgebra [Π(W )] es densa en (C(X,R), τUk
).
La demostracion de este teorema necesita varios lemas previos:
Lema 1.1.3
Existe una sucesion de polinomios (pn) que satisfacen ∀n ∈ N y ∀x ∈ [0, 1]:
1. pn(0) = 0
2. 0 ≤ pn(x) ≤√x
3.√x− pn(x) ≤
2√x
2 + n√x.
En particular,
(A)√x− pn(x) ≤
2
n
(B) limn
supx∈[0,1]
|√x− pn(x)| = 0
Demostracion:
Veamos que la sucesion de polinomios, definida por iteracion en la forma:
p1(x) =x
2, pn+1(x) = pn(x) +
1
2(x− p2
n(x))
cumple las propiedades exigidas. Es claro que p1 las cumple. Procediendo
por induccion, asumimos que pn las cumple y las probamos para pn+1:
1. Evidente
2. Restando las igualdades √
x =√x
pn+1(x) = pn(x) + 12(√x− pn(x))(
√x+ pn(x))
obtenemos
(?)√x− pn+1(x) =
(√x− pn(x)
)(
1 −√x+ pn(x)
2
)
y como 1 ≥ √x y
√x ≥ pn(x) resulta que 2 ≥ 2
√x ≥ √
x+pn(x).Luego el segundo miembro de (?) es positivo y, por tanto,
√x − pn(x) ≥ 0 ⇒ √
x − pn+1(x) ≥ 0
Como pn+1(x) = pn(x)+1
2(x−p2
n(x)) y, x−p2n(x) ≥ 0, tenemos
que pn(x) ≥ 0 ⇒ pn+1(x) ≥ 0.
12 CAPITULO 1. PRELIMINARES
3. Segun 2. es inmediato que
√x+ pn(x)
2≥
√x
2≥
√x
2 + (n+ 1)√x
luego
(??) 1 −√x+ pn(x)
2≤ 1 −
√x
2≤ 1 −
√x
2 + (n+ 1)√x.
Por la hipotesis de induccion, de (?) obtenemos
√x−pn+1(x) =
(√x− pn(x)
)(
1−√x+ pn(x)
2
)
≤ 2√x
2 + n√x
(
1−√x+ pn(x)
2
)
y de (??) obtenemos que
2√x
2 + n√x
(
1 −√x+ pn(x)
2
)
≤ 2√x
2 + n√x
(
1−√x
2 + (n+ 1)√x
)
=2√x
2 + (n+ 1)√x.
En consecuencia,√x− pn+1(x) ≤
2√x
2 + (n+ 1)√x. ♦
Corolario 1.1.4
Dado 0 < a < ∞ existe una sucesion de polinomios (qn) que satisfacen∀n ∈ N y ∀x ∈ [−a, a]:
1. qn(0) = 0
2. ||x| − qn(x)| ≤2a
n
En particular,
(C) limn
supx∈[−a,a]
| |x| − qn(x)| = 0
Demostracion:
Si qn(x) = a pn
(x2
a2
)
es claro que qn(0) = 0. Por el lema 1.1.3 tenemos
∣∣∣∣
∣∣∣x
a
∣∣∣− pn
(x2
a2
)∣∣∣∣≤ 2
nluego
∣∣∣∣|x| − apn
(x2
a2
)∣∣∣∣= ||x| − qn(x)| ≤
2a
n. ♦
Lema 1.1.5
Sea (B(X,R), d∞) el algebra de las funciones reales acotadas definidas enX . Si W ⊂ B(X,R) es no vacıo y cerrado para el producto puntual, [W ]
tiene las siguientes propiedades reticulares:
1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 13
1. f ∈ [W ] ⇒ |f | ∈ [W ]
2. f1, f2 ∈ [W ] ⇒ max(f1, f2) ∈ [W ], min(f1, f2) ∈ [W ].
Demostracion:
1. Por ser W cerrado para el producto, tambien lo es su envoltura lineal:
f1, f2 ∈ [W ] ⇒ f1 · f2 ∈ [W ]
Para una f ∈ [W ], denotamos a = d∞(f, 0) y probamos que |f | ∈ [W ] :Cuando f = 0 el resultado es trivial, por lo que suponemos a > 0.Si (qn) es la sucesion de polinomios que el corolario 1.1.4 asegura para
el intervalo [−a, a], como f(x) ∈ [−a, a] ∀x ∈ X , tenemos
d∞(|f |−qnf, 0) ≤ 2a
n∀n ∈ N y, por tanto, lim
nd∞(|f |−qnf, 0) = 0.
Por ser qn un polinomio sin termino independiente y ser [W ] cerrado
para el producto y ser f ∈ [W ], es claro que qn f ∈ [W ] ∀n ∈ N.Entonces, lim
nqn f = |f | ∈ [W ].
Para cualquier f ∈ [W ], existira una sucesion (fn) ⊂ [W ] tal que
limnd∞(fn, f) = 0.
Entonces, evidentemente,
limnd∞(|fn|, |f|) = 0
y, como |fn| ∈ [W ] ∀n ∈ N , limn
|fn| = |f | ∈ [W ].
2. Para funciones acotadas arbitrarias f1, f2 es claro que
max(f1, f2) =f1 + f2 + |f1 − f2|
2, min(f1, f2) =
f1 + f2 − |f1 − f2|2
.
Como [W ] es un espacio vectorial, el resultado se deduce directamente
del punto anterior. ♦
Lema 1.1.6
Sean (X, τ) compacto Hausdorff, f ∈ C(X,R) y ux | x ∈ X ⊂ C(X,R).Entonces:
1. Si ux(x) > f(x) ∀x ∈ X ⇒ ∃ n ∈ N y ∃x1, . . . , xn ⊂ X talque la funcion M = maxux1, . . . , uxn tambien cumple que
M(x) > f(x) ∀x ∈ X.
14 CAPITULO 1. PRELIMINARES
2. Si ux(x) < f(x) ∀x ∈ X ⇒ ∃ n ∈ N y ∃x1, . . . , xn ⊂ X tal
que la funcion m = minux1, . . . , uxn tambien cumple que
m(x) < f(x) ∀x ∈ X.
Demostracion:
1. Sea Gx = y ∈ X | ux(y) > f(y). Por ser f y ux continuas, Gxes abierto y, claramente, x ∈ Gx. Por tanto, Gx | x ∈ X es uncubrimiento abierto de X . Como (X, d) es compacto, existe un n ∈ N
y existe x1, · · · , xn ⊂ X tales que Gx1 ∪ · · · ∪ Gxn = X . Es facilcomprobar que la funcion M = maxux1, . . . , uxn tiene la propiedad
deseada.
2. Se prueba de modo similar. ♦
Lema 1.1.7
Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) con la propiedad reticular:
f1, f2 ∈W ⇒ max(f1, f2) ∈W y min(f1, f2) ∈W
Entonces, dada f ∈ C(X,R) y dado ε > 0, son equivalentes:
1. ∃ g ∈W tal que |f(x) − g(x)| < ε ∀x ∈ X
2. ∃ ux,y | x, y ∈ X ⊂W tal que
|f(x)− ux,y(x)| < ε
|f(y)− ux,y(y)| < ε∀x, y ∈ X
Demostracion:
1 ⇒ 2 Si g ∈W satisface 1, la familia ux,y = g, ∀x, y ∈ X satisface 2.
2 ⇒ 1 Fijado un x ∈ X observamos que
ux,y(x) < f(x) + ε
ux,y(y) > f(y)− ε∀y ∈ X
El lema 1.1.6 aplicado a la funcion f − ε y a la familia ux,y | y ∈ Xasegura un y1, · · · , yn ⊂ X tal que Mx = maxux,y1, · · · , ux,yntambien cumple que Mx(y) > f(y) − ε ∀y ∈ X . Ademas, por lo
exigido a W , Mx ∈ W , y como ux,yi(x) < f(x) + ε ∀i = 1, . . . , n,
resulta que Mx(x) < f(x) + ε.
El lema 1.1.6 aplicado a la funcion f+ε y la familia Mx | x ∈ X ⊂W ,asegura un x1, . . . , xm ⊂ X tal que g = minMx1, . . . ,Mxm cumple
que g(x) < f(x) + ε ∀x ∈ X . Ademas g ∈ W y como Mxj(y) >
f(y) − ε ∀j = 1, . . . , m, tambien g(y) > f(y) − ε ∀y ∈ X .
Luego esta g ∈W cumple que |f(x)− g(x)|< ε ∀x ∈ X ♦
1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 15
Estudiamos, a continuacion, como influye la capacidad de separar puntos.
En primer lugar suponemos una capacidad para separar fuertemente:
Lema 1.1.8
Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) con la propiedad reticular
y cumpliendo que
∀
(x, y) ∈ X ×X \∆X
(λ, µ) ∈ R × R⇒ ∃ g ∈W tal que
g(x) = λ
g(y) = µ
(propiedad reticular fuerte). Entonces W es denso en (C(X,R), d∞).
Demostracion:
Fijados f ∈ C(X,R) y ε > 0 hallaremos una g ∈W tal que d∞(f, g) < ε:
Para cualesquiera x 6= y en X , la condicion 1.1 aplicada a las parejas (x, y)
y (f(x), f(y)) asegura la existencia de una ux,y ∈W tal que ux,y(x) = f(x)y ux,y(y) = f(y). Ası, obtenemos una familia ux,y | x, y ∈ X ⊂ W quecumple la condicion 2 del lema 1.1.7 para f y ε. Ello equivale a asegurar la
existencia de una g ∈W tal que |f(x)− g(x)|< ε ∀x ∈ X. ♦
Lema 1.1.9
Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) un subespacio vectorial tal
que
1. f1, f2 ∈W ⇒ max(f1, f2) ∈W y min(f1, f2) ∈W
2. W separa puntos de X
3. 1 ∈W
Entonces W es denso en (C(X,R), d∞).
Demostracion:
Solo necesitamos probar que W cumple la condicion 1.1 del lema 1.1.8:
Fijemos x 6= y en X y cualesquiera λ, µ en R. Por tener W la capacidad deseparar los puntos de X sabemos que existe f ∈W tal que f(x) 6= f(y). La
funcion
g : X → R
z 7→ λ+ (µ− λ)f(z)− f(x)
f(y)− f(x)
cumple que g(x) = λ y g(y) = µ. Ademas, g es una combinacion lineal de f
y 1, ambas en el espacio vectorial W , luego g ∈W . ♦
16 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Lema 1.1.10
Sean (X, τ) compacto Hausdorff yW ⊂ C(X,R) un subconjunto que cumple:
1. W separa los puntos de T
2. 1 ∈W
Entonces, [Π(W )] es denso en (C(T,R), d∞).
Demostracion:
El conjunto Π(W ) es, trivialmente, cerrado para la formacion de productos
y el lema 1.1.5 asegura que la clausura [Π(W )] formada en (B(X,R), d∞)tiene la propiedad reticular
f1, f2 ∈ [Π(W )] ⇒ max(f1, f2) ∈ [Π(W )], min(f1, f2) ∈ [Π(W )]
Como [Π(W )] ⊂ C(X,R) y C(X,R) es cerrado en (B(X,R), d∞), [Π(W )]
coincide con la clausura de [Π(W )] formada en (C(X,R), d∞).Finalmente, como [Π(W )] es un subespacio vectorial de C(X,R) que cumple
la propiedad reticular, separa los puntos de X y contiene a la funcion 1, ellema 1.1.9 asegura que [Π(W )] es denso en (C(X,R), d∞) y, en consecuencia,
tambien [Π(W )] es denso en (C(X,R), d∞) ♦
Demostracion (Stone-Weierstrass I):
Fijamos f ∈ C(X,R), ε > 0 y un compacto K no vacıo de (X, d). Necesi-
tamos encontrar una funcion g ∈ [Π(W )] tal que supx∈K
|f(x)− g(x)| < ε:
En primer lugar, constatamos que
[Π(w|K |w ∈W)] = u|K | u ∈ [Π(W )].
El sunconjunto w|K |w ∈ W ⊂ C(K,R) separa puntos de K y contiene
una funcion constante no nula. El lema 1.1.10 asegura que
[Π(w|K |w ∈W)] es denso en (C(K,R), d∞)
y , como f |K ∈ C(K,R), existe una g0 ∈ [Π(w|K |w ∈W)] tal que
supx∈K
|f(x) − g0(x)| < ε
y, por tanto, existe una g ∈ [Π(W )] tal que g|K = g0. Evidentemente, estag satisface nuestras espectativas. ♦
1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 17
Observacion 1.1.11
El teorema 1.1.2 no funciona en el caso de funciones con valores complejos.Las condiciones de separar los puntos de X y contener funciones constantes
no nulas, no son suficientes para que se cumpla el lema 1.1.10 en el caso deun W ⊂ C(X,C).
Por ejemplo, X = z ∈ C | |z| ≤ 1 con la metrica canonica, es un espaciometrico compacto y el conjunto W = 1, z separa puntos de X y contiene
una funcion constante no nula. Sin embargo, [Π(W )] no es denso en C(X,C)porque la funcion z → z que es contiua, no es derivable en sentido complejo
y, por tanto, no es desarrollable en serie de potencias (ver capıtulo 7, pagina123 y teorema 4.5.7).
Teorema 1.1.12 (Stone-Weierstrass II)
Sea (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y sea W ⊂ C(X,C) unsubconjunto que separa los puntos de X , contiene una funcion constante
no nula y admite conjugados. Entonces, la subalgebra [Π(W )] es densa en(C(X,C), τUk
).
18 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Demostracion:
Bastara probar que si (X, τ) es compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,C) separalos puntos de X , contiene a la funcion 1 y admite conjugados, se verifica que
[Π(W )] es denso en (C(T,C), d∞):Sea AR = Re(f) | f ∈ [Π(W )]. Es claro que AR ⊂ [Π(W )] pues
f ∈ [Π(W )] ⇒
12f ∈ [Π(W )]12 f ∈ [Π(W )]
⇒ Re(f) =1
2f +
1
2f ∈ [Π(W )]
Ademas, AR es una subalgebra de C(X,R) que, obviamente, contiene a la
funcion 1, y separa puntos de X puesto que, si x, y son dos puntos distintosde X , existe una f ∈ W tal que f(x) 6= f(y) y, por tanto, o son separados
por Re(f) ∈ AR o por Im(f) = Re(−if) ∈ AR.El lema 1.1.10 asegura que AR es densa en (C(X,R), d∞) y, en consecuencia,
[Π(W )] = AR + iAR es denso en C(X,C) = C(X,R) + iC(X,R). ♦
Corolario 1.1.13 (Stone-Weierstrass III)
Sea (X, τ) compacto Hausdorff, sea x0 un punto dado en X y sea
C0(X,C) = f ∈ C(X,C) | f(x0) = 0.Entonces, cualquier algebra A0 ⊂ C0(X,C) que separa los puntos de X ytiene conjugados, es densa en (C0(X,C), d∞).
Demostracion:
Sea c ∈ C una constante no nula. Del teorema 1.1.12 se deduce que elconjunto W = A0 ∪ c genera un algebra densa en (C(X,C), d∞), luego
∀f ∈ C0(T,C) y ∀ε > 0 ∃g ∈ A0 y ∃a ∈ C tal que
d∞(f, g + a) <ε
2
Pero |a| = |f(t0) − g(t0) − a| ≤ d∞(f, g + a) <ε
2luego
d∞(f, g) = d∞(f + a, g + a) ≤ d∞(f, g + a) + |a| < ε. ♦La sencillez de comprobacion de las hipotesis de los teoremas 1.1.2 y 1.1.12hacen de ellos herramientas de gran aplicabilidad, como podemos ver en los
siguientes:
Comentarios 1.1.14
1. Si X = [a, b] y τ es la topologıa habitual, basta tomar
W = 1, P donde
1(x) = 1
P (x) = x∀x ∈ [a, b]
para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. Entonces, la
familia de todos los productos de elementos de W es
1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 19
Π(W ) = 1, P, P2, ..., Pn, ... donde Pn: [a, b] → R,
x 7→ xn
y [Π(W )] es el algebra de los polinomios en una variable. El lema1.1.10 nos asegura que es densa en C([a, b],R), d∞). Ası:Dada f : [a, b] → R continua y dado ε > 0
∃ Φ(x) =
k∑
n=0
anxn tal que ‖f − Φ‖∞ < ε .
2. Si X = [a, b]× [c, d] y τ es la la topologıa habitual, basta tomar
W = 1, P1, P2 donde
1(x) = 1
P1(x) = x
P2(x) = y
∀x = (x, y) ∈ [a, b]× [c, d]
para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. Entonces, lafamilia de todos los productos de elementos de W es
Π(W ) = 1, ..., Pnm, ... donde Pnm: [a, b]× [c, d] → R,
x 7→ xnym
y [Π(W )] es el algebra de los polinomios en dos variables. El lema1.1.10 nos asegura que dada f : [a, b] × [c, d] → R continua y dado
ε > 0
∃ Φ(x) =k∑
n+m=0
an+mxnym tal que ‖f − Φ‖∞ < ε .
3. Si X = R+ y τ es la la topologıa habitual, basta tomar
W = 1, L donde
1(x) = 1
L(x) = e−x∀x ∈ R
+
para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. La familia detodos los productos de elementos de W es
Π(W ) = 1, L, L2, ..., Ln, ... donde Ln: R+ → R,x 7→ e−nx
y dada f : R+ → R continua, ε > 0 y un compacto no vacıo K ⊂ R+,
∃ Φ(x) =
n∑
k=0
ake−kx tal que |f(x)− Φ(x)| < ε ∀x ∈ K.
En particular, C(R+,R) = [Lx | x ∈ R+], y esta igualdad es de
interes en la transformada de Laplace.
20 CAPITULO 1. PRELIMINARES
4. Si Y = C y (X, τ) = (R, e) basta tomar
W = 1, F, F−1 donde
1(x) = 1
F (x) = e−ix
F−1(x) = eix∀x ∈ R
para estar en las condiciones del teorema 1.1.2,1.1.12. La familia detodos los productos de elementos de W es
Π(W ) = . . . , F−n, . . . , F−2, F−1, 1, F, F2, . . . , Fn, . . . donde
Fk: R → C, ∀k ∈ Z
x 7→ e−ikx
y, ası, dada f : R → C continua, ε > 0 y un compacto no vacıo K ⊂ R,
∃ Φ(x) =
n∑
k=−nzke
ikx tal que |f(x)− Φ(x)| < ε ∀x ∈ K.
En particular, C(R,C) = clk([Fx | x ∈ R]) con Fx: R → C,t 7→ e−ixt
Igualmente, C(Rn,C) = clk([Fx | x ∈ Rn]) con Fx: R
n → C,
y 7→ e−i(x|y)
siendo esta igualdad de gran interes en la transformada de Fourier.
5. Si f : [−π, π] → R es una funcion continua que cumple f(−π) = f(π)
y en T = z ∈ C | |z| = 1 consideramos la traza de la topologıaeuclıdea, tambien es continua la funcion compuesta
g = f Arg: T → [−π, π] → R
z 7→ Arg(z) = t 7→ f(t)
Pensando esta g como una funcion G con llegada en C, G : T → C
tambien es continua y, ası, dado ε > 0, el teorema 1.1.12 asegura que
∃Φ(z) =
n∑
k=−nckz
k tal que ‖G− Φ‖∞ < ε
Por tanto,
|Re(G(z)− Φ(z))| = |g(z)− Re(Φ(z))| < ε ∀z ∈ T
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 21
y, en consecuencia,∣∣∣∣∣f(t) − Re
(n∑
k=−ncke
ikt
)∣∣∣∣∣< ε ∀t ∈ [−π, π]
Ahora bien, si designamos ck = ak + ibk, tenemos
Re(ckeikt) =Re ((ak + ibk)(coskt+ i sen kt)) = ak cos kt− bk sen kt
Re(c−ke−ikt) =Re ((a−k + ib−k)(coskt− i sen kt)) = a−k cos kt+ b−k sen kt
y, por tanto,
Re(
n∑
k=−ncke
ikt) = a0 +
n∑
k=1
(ak + a−k) coskt+ (b−k − bk) sen kt
Del teorema 1.1.12 tambien se deduce, pues, la posibilidad de aprox-imar uniformemente toda funcion f : R → R continua y periodica de
periodo 2π, por polinomios trigonometricos
1.2 Medida e integracion
Una familia M de subconjuntos de un conjunto X 6= ∅ se llama σ-algebraen X cuando cumple:
1. ∅ ∈ M.
2. Si A ∈ M ⇒ Ac ∈ M (en particular X ∈ M).
3. Si An | n ∈ N ⊂ M ⇒∞⋃
n=1
An ∈ M.
Evidentemente la familia ∅, X es σ-algebra en X y la familia P(X) detodos los subconjuntos de X tambien es σ-algebra en X . Cuando se consi-
dera una σ-algebra M en un conjunto X se establece una estructura (X,M)llamada espacio medible.
Si Mi | i ∈ I es una familia de σ-algebras en X es claro que⋂
i∈IMi tambien
es σ-algebra en X . Ası, dada cualquier familia F de subconjuntos de X , lainterseccion de todas las σ-algebras en X que contienen a F es una σ-algebraen X . Por ser la mınima σ-algebra que contiene a F, se llama σ-algebra gene-
rada por F y se designa MF.Si (X, τ) es un espacio topologico, la σ-algebra Mτ generada por τ , se de-
nomina σ-algebra de Borel del espacio (X, τ).Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, en X × Y se puede considerar la
familia de rectangulos medibles
R = A× B |A ∈ M , B ∈ N
22 CAPITULO 1. PRELIMINARES
La σ-algebra de X × Y generada por R se llama σ-algebra producto y se
designa M⊗ N. El espacio (X × Y,M⊗N) es el espacio medible producto.
Una medida en (X,M) es una aplicacion µ : M → [0,∞] que cumple lasdos propiedades siguientes:
1. µ(∅) = 0
2. Si (An) es una sucesion disjunta (An ∩ Am = ∅ ∀n 6= m) en M,
µ(∞⋃
n=1
An) =∞∑
n=1
µ(An)
La estructura (X,M, µ) se llama espacio de medida. Si A ∈ M decimos queA es un subconjunto medible de X con medida µ(A).
En el espacio mebible (X,P(X)) se puede definir la medida de contar
c : P(X) → [0,∞]
E → c(E) =
card(E) si card(E)< ℵ0
∞ si card(E) ≥ ℵ0
y ası obtenemos un primer ejemplo de espacio de medida (X,P(X), c).
Si el espacio de medida (X,M, µ) cumple que µ(X) = 1, se llama espa-
cio de probabilidad. A los miembros de M se les llama sucesos y en lugarde hablar de la medida de un conjunto se habla de la probabilidad de unsuceso. Cuando la probabilidad de un suceso es 0 se dice que ese suceso es
imposible y cuando es 1 se dice que es un suceso seguro.
Cualquier espacio de medida (X,M, µ) en el que µ(X) < ∞, puede serconsiderado, basicamente, como un espacio de probabilidad sin mas que
definir sobre la σ-algebra M la probabilidad
µ : M → [0,∞]
E → µ(E)
µ(X)
Algunas buenas propiedades de los espacios de medida finita son poseıdas
tambien por los espacios σ-finitos que son aquellos (X,M, µ) en los queexiste una sucesion (Xn) ⊂ M cumpliendo que
X =
∞⋃
n=1
Xn y µ(Xn) <∞ ∀n ∈ N
.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 23
Comentarios 1.2.1
1. La aditividad numerable implica la aditividad finita de la medida puessi en la sucesion disjunta (An) ⊂ M tenemos Am = ∅ ∀m > k,
µ(A1 ∪ · · · ∪ Ak) = µ(A1) + · · ·+ µ(Ak)
2. Si A ⊂ B son medibles,
µ(A) ≤ µ(B) y µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
3. Si (An) es cualquier sucesion en M,
µ(
∞⋃
n=1
An) ≤∞∑
n=1
µ(An).
4. Si una sucesion (En) ⊂ M es expansiva, E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ . . . ,
y E =∞⋃
n=1
En, se cumple que µ(E) = limn→∞
µ(En).
5. Si una sucesion (Cn) ⊂ M con µ(C1) < ∞ es contractiva, C1 ⊃ C2 ⊃
· · · ⊃ Cn ⊃ . . . , y C =
∞⋂
n=1
Cn, se cumple que µ(C) = limn→∞
µ(Cn).
6. Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, y P ∈ M⊗N, sus seccionesson medibles:
Px = y : (x, y) ∈ P ∈ N ∀x ∈ X
P y = x : (x, y) ∈ P ∈ M ∀ y ∈ Y .
En efecto:
Ambas se demuestran igual. Hagamos la primera:Sea Ω = P ⊂ X × Y | Px ∈ N la familia de subconjuntos que
cumplen lo deseado. Es facil probar:
(a) X × Y ∈ Ω
(b) Si P ∈ Ω ⇒ P c ∈ Ω
(c) Si P1, P2 ∈ Ω ⇒ P1 ∪ P2 ∈ Ω
(d) Si (Pi) ⊂ Ω es una sucesion expansiva ⇒∞⋃
i=1
Pi ∈ Ω
Por tanto, Ω es σ-algebra y, como cualquier rectangulo esta en Ω,M ⊗ N ⊂ Ω. Es decir, si P ∈ M ⊗ N resulta que Px ∈ N.
24 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Ejemplos 1.2.2 Espacios de probabilidad
En (X,P(X)) podemos definir las siguientes probabilidades:
1. Para cada x ∈ X , la probabilidad de Dirac:
δx : P(X) → [0,∞]
E → δx(E) =
1 six ∈ E0 six /∈ E
2. Combinaciones convexas de probabilidades de Dirac:Si x0, · · · , xn son puntos distintos de X y α0, · · · , αn son reales posi-
tivos tales que∑n
i=0 αi = 1, la aplicacion
n∑
i=0
αiδxi: P(X) → [0,∞]
E 7→∑
xj∈Eαj
es claramente una probabilidad. En particular,
(a) Si X = R, x0 = 0, x1 = 1, α0 = p, α1 = 1 − p tenemos laprobabilidad de Bernouilli de parametro p
(b) Si X = R, x0 = 0,· · · , xn = n y αi = 1n+1 ∀i = 0, · · · , n tenemos
la probabilidad uniforme.
(c) Si X = R, x0 = 0,· · · , xn = n y αi =(ni
)piqn−i ∀i = 0, . . . , n
con p ∈ (0, 1) y q = 1 − p tenemos la probabilidad binomial deparametros (n, p) que esta basada en la formula del binomio de
Newton
(p+ q)n =
n∑
i=0
(n
i
)
piqn−i = 1
3. Series convexas de probabilidades de Dirac:
Si x0, · · · , xn, · · · es un subconjunto numerable de X y
∞∑
i=0
αi = 1
es una serie de reales positivos, la aplicacion
∞∑
i=0
αiδxi: P(X) → [0,∞]
E 7→∑
xj∈Eαj
es, tambien, una probabilidad. En particular,
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 25
(a) Si X = R, xn = n, αn = (1−p)pn ∀n ∈ N y p ∈ (0, 1), tenemos
la probabilidad geometrica de parametro p que esta basada en
la propiedad de la serie geometrica∞∑
n=0
(1 − p)pn = 1.
(b) Si X = R, xn = n, αn =e−λλn
n!∀n ∈ N y λ > 0, tenemos La
probabilidad de Poisson de parametro λ que esta basada en la
propiedad de la serie exponencial∞∑
n=0
e−λλn
n!= 1.
1.2.3 Funciones medibles.
Sea (X,M, µ) un espacio de medida, Y un conjunto cualquiera y f : X → Y
una funcion cualquiera. Es inmediato comprobar que
Mf = B ⊂ Y | f−1(B) ∈ M
es una σ-algebra en Y y en ella se puede definir la medida
µf : Mf → [0,∞]
B → µ[f−1(B)]
El espacio de medida (Y,Mf , µf) es el adecuado para estudiar los datos f(x)de los elementos de X . Si µ es una probabilidad, µf es tambien una proba-
bilidad que se llama ”ley de f”.
Si el conjunto Y esta dotado de una topologıa τ son de gran interes lasfunciones f : X → Y para las que τ ⊂ Mf porque ello significa que van
a ser µf -medibles todos los subconjuntos importantes de (Y, τ), como losabiertos, los cerrados, los compactos, los Fσ o los Gδ. Tales funciones se
llaman medibles.
Teorema 1.2.4
Si (X,M) es un espacio medible y en R se considera la topologıa habitual,una f : X → R es medible si y solo si se cumple una cualquiera de las
siguientes condiciones equivalentes:
i) x : f(x) ≥ a ∈ M ∀ a ∈ R
ii) x : f(x) > a ∈ M ∀ a ∈ R
iii) x : f(x) < a ∈ M ∀ a ∈ R
iv) x : f(x) ≤ a ∈ M ∀ a ∈ R
v) f−1(I) ∈ M ∀ intervalo I ⊂ R.
26 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Demostracion:
Es consecuencia directa de que la topologıa habitual de R esta generada porla familia (a,+∞) | a ∈ R ∪ (−∞, b) | b ∈ R. ♦
Consecuencias 1.2.5
1. Cualquier f : X → R constante es medible.
2. Cualquier f : X → R que tome solo los valores 0, 1 es mediblesi y solo si E = x ∈ X | f(x) = 1 ∈ M. Tal funcion se llamacaracterıstica del conjunto E y se denota 1E .
3. Cualquier f : X → R que tome solo un numero finito de valoresdistintos α1, . . . , αn ⊂ R+ es medible si y solo si
Ei = x ∈ X | f(x) = αi = f−1(αi) ∈ M ∀i = 1, · · · , n.
Tal funcion se llama simple y es claro que f =
n∑
i=1
αi 1Ei.
4. Si f : X → R y g : X → R son medibles, f + g y f · g son medibles.
5. Llamamos soporte de f : X → R al conjunto Sf = y ∈ X | f(x) 6= 0.En el podemos definir la σ-algebra y la funcion:
M|Sf= A∩ Sf |A ∈ M y 1
f : Sf → R.
x 7→ 1f(x)
Entonces, si f : X → R es medible, 1f : Sf → R tambien es medible.
En efecto, el conjunto x ∈ Sf | 1f(x)
> α resulta ser:
Si α > 0,
x ∈ X | f(x) <1
α ∩ Sf ∈ M|Sf
.
Si α < 0,
(
x ∈ X | f(x) > 0 ∪ x ∈ X | f(x) <1
α)
∩ Sf ∈ M|Sf.
Si α = 0,
x ∈ X | f(x) > 0 ∩ Sf ∈ M|Sf.
Teorema 1.2.6
Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, (Z, τ) es un espacio topologico yF : X × Y → Z es M ⊗ N-medible, las funciones parciales F (x, ·) : Y → Z
y F (·, y) : X → Z son medibles, respecto de N y M.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 27
Demostracion:
Ambas se demuestran igual. Probemos que F (x, ·) : Y → Z es N-medible:
[F (x, ·)]−1(V ) = y | F (x, y) ∈ V = y | (x, y) ∈ F−1(V ) = [F−1(V )]x
y sabemos que F−1(V ) ∈ M ⊗ N ∀V ∈ τ y que cualquier x-seccion de un
M ⊗ N-medible es N-medible. ♦
Teorema 1.2.7
Sea (X,M) un espacio medible y supongamos en R la topologıa habitual 1 Si
(fn : X → R) es una sucesion de funciones medibles, tambien son medibles:
1) sup fn. 2) inf fn, 3) lim inf fn, 4) lim sup fn
Demostracion:
1. x ∈ X | sup(fn(x)) > a =
∞⋃
n=1
x ∈ X | fn(x) > a.
2. inf fn = − sup(−fn).
3. lim inf(fn(x)) = supn∈N
[ infk≥n
(fk(x))]
4. lim sup(fn(x)) = infn∈N
[supk≥n
(fk(x))]. ♦
Consecuencias 1.2.8
1. Si (fn) → f puntualmente, f es medible.
2. Si f, g son medibles, tambien lo son maxf, g y minf, g.
3. Si f es medible, f+ = maxf, 0 y f− = −minf, 0 son medibles.
Ası, |f | = f+ + f− es medible y f = f+ − f− puede expresarse comodiferencia de dos funciones medibles positivas.
Para finalizar la presentacion de estas importantes funciones, damos un teo-
rema acerca de su estructura.
Teorema 1.2.9
Sea (X,M, µ) un espacio de medida y sea [0,∞] con su topologıa habitual.
Si f : X → [0,∞] es medible, existe una sucesion de funciones simplesmedibles (sn) tal que
1Los entornos de +∞ son de la forma x ∈ R |x > k ∪ +∞ y los de −∞ son de laforma x ∈ R |x < k ∪ −∞
28 CAPITULO 1. PRELIMINARES
1. 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ f
2. (sn) → f puntualmente.
Expresaremos conjuntamente los dos puntos escribiendo (sn) f .
Demostracion:
Para la identidad I : [0,∞] → [0,∞] construimos la sucesion (ϕn) de fun-
ciones simples medibles Borel donde
ϕn(x) =
k
2n, si
k
2n≤ x <
k + 1
2n, k = 0, 1, . . . , n2n − 1
n , si x ≥ n
que cumple
- 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ · · · ≤ ϕn ≤ · · · ≤ I
- (ϕn) → I puntualmente
Entonces, definiendo sn = ϕn f ∀n ∈ N, obtenemos (sn) que cumple lasdos exigencias porque
1. 0 ≤ ϕ1 f ≤ · · · ≤ ϕn f ≤ · · · ≤ I f
2. (ϕn f) → I f puntualmente ♦
1.2.10 La integral respecto a una medida
Sea (X,M, µ) un espacio de medida y f : X → K una funcion medible
donde K es [0,∞], R, R, C o Rn, con sus respectivas topologıas habituales.
Queremos definir una integral de f en X respecto de µ,
∫
Xf dµ,
de modo que se verifiquen, en el maximo grado posible, las exigencias de
linealidad, las intuiciones geometricas y las mejores propiedades de paso allımite. Naturalmente, una vez definido este concepto, sera natural ampliarlo
en el siguiente sentido:
∫
Ef dµ =
∫
Xf · 1E dµ ∀E ∈ M
En todo lo que sigue convenimos que 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0.
Definicion 1.2.11
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 29
1. Si 1E : X → [0,∞] es la caracterıstica del conjunto E ∈ M,∫
X1E dµ = µ(E)
La grafica de la funcion caracterıstica 1E , pide a gritos esta forma dedefinir para conservar la regla ”medida del rectangulo = medida de la
base × medida de la altura”.
2. Si s : X → [0,∞] es la funcion simple medible con representacion
disjunta s =
n∑
i=1
αi1Ei,
∫
Xs dµ =
n∑
i=1
αiµ(Ei).
Esta forma de definir viene obligada por la pretendida linealidad dela integral. Ademas, el convenio 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0 lo adoptamos
para que αiµ(Ei) sea nulo tanto si αi = 0 y µ(Ei) = ∞ como siαi = ∞ y µ(Ei) = 0. Queremos que la integral de una funcion nula
en un conjunto de medida infinita sea nula y que la integral de unafuncion infinita en un conjunto de medida nula sea, tambien, nula.
3. Si f : X → [0,∞] es medible,∫
Xf dµ = sup
∫
Xs dµ | s es simple medible y 0 ≤ s ≤ f
.
4. Si f : X → R es medible,∫
X
f dµ =
∫
X
f+ dµ−∫
X
f− dµ.
Esta forma de definir viene obligada por la descomposicion f = f+−f−y la pretendida linealidad de la integral. Sin embargo, puede sucederque
∫
X f+ dµ =
∫
X f− dµ = ∞ y, entonces,
∫
X f dµ = ∞ − ∞ no
estarıa definida. Esto no sucede si∫
Xf+ dµ <∞ y
∫
Xf− dµ <∞
en cuyo caso diremos que f : X → R es integrable.
5. Si f : X → C es medible, tambien lo son Ref e Imf . Entonces,∫
Xf dµ =
∫
XRe f dµ+ i
∫
XIm f dµ.
Tambien aquı es necesario exigir que Ref e Imf sean integrables.
30 CAPITULO 1. PRELIMINARES
6. Si f : X → Rn es medible, tambien lo es Pif : X → R ∀i = 1 . . .n.
Entonces,∫
Xf dµ =
(∫
XP1 f dµ, . . . ,
∫
XPn f dµ
)
Tambien aquı sera necesario exigir que todas las Pif sean integrables.
Comentarios 1.2.12
1. Si s : X → [0,∞] es una funcion simple medible, es claro que c · stambien lo es ∀c ≥ 0. Ademas,
∫
X
c · s dµ = c
∫
X
s dµ
Sin embargo la linealidad en otros casos hay que probarla:La suma de las funciones simples medibles s, r : X → [0,∞] con
representaciones
s =
n∑
i=1
αi1Eiy r =
m∑
j=1
βj1Fj
donde Ei es disjunta y Fj es disjunta, es otra funcion simple quetoma el valor αi + βj en cada conjunto de la particion de X
Ei ∩ Fj | ∀ i = 1, . . . , n, ∀ j = 1, . . . , mAsı,
∫
X(s+ r) dµ =
n,m∑
i,j=1
(αi + βj)µ(Ei ∩ Fj) =
=
n∑
i=1
(
m∑
j=1
αiµ(Ei ∩ Fj)) +
m∑
j=1
(
n∑
i=1
βjµ(Ei ∩ Fj)) =
=n∑
i=1
αiµ(Ei) +m∑
j=1
βjµ(Fj) =
∫
X
s dµ+
∫
X
r dµ
Este resultado prueba, de paso, que la definicion de integral para una
funcion simple, no depende de que en su representacion s =
n∑
i=1
αi1Ei
la familia Ei sea disjunta o no lo sea.
2. Si s : X → [0,∞] es una funcion simple medible, la aplicacion
ν : M → [0,∞]
E →∫
E
s dµ
es una medida en M. En efecto:
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 31
(a) ν(∅) =∫
X s · 1∅ dµ = 0 · µ(X) = 0.
(b) Si (Aj) es una sucesion disjunta en M, se tiene:
ν(∞⋃
j=1
Aj) =
∫
X
s · 1∪Ajdµ =
n∑
i=1
αiµ(Ei ∩ [∞⋃
j=1
Aj]) =
=
n∑
i=1
αiµ(
∞⋃
j=1
(Ei ∩Aj)) =
n∑
i=1
αi(
∞∑
j=1
µ(Ei ∩Aj)) =
=
∞∑
j=1
(
n∑
i=1
αiµ(Ei ∩ Aj)) =
∞∑
j=1
∫
Xs · 1Aj
dµ =
∞∑
j=1
ν(Aj)
De paso, queda probado que si s : X → [0,∞] es simple medible y(Aj) es una sucesion disjunta de conjuntos medibles,
∫
∪Aj
s dµ =∞∑
j=1
∫
Aj
s dµ.
3. La monotonıa es trivial para funciones simples medibles:
s1 ≤ s2 ⇒∫
Xs1 dµ ≤
∫
Xs2 dµ.
Por ello, el punto 3 de la definicion, aplicado a cualquier funcion simple
medible s, es consistente con el punto 2.
4. Por el punto 3 de la definicion 1.2.11, la monotonıa tambien es trivial
para funciones positivas
f1 ≤ f2 ⇒∫
Xf1 dµ ≤
∫
Xf2 dµ
Como consecuencia, A ⊂ B ⇒∫
A f dµ ≤∫
B f dµ puesto que
∫
Xf · 1A dµ ≤
∫
Xf · 1B dµ
5. La monotonıa de la integral nos asegura que la condicion necesaria ysuficiente para que una f : X → K medible sea integrable es que
∫
X
|f | dµ <∞
en cualquiera de los casos K = R, K = R o K = C. Ademas∣∣∣∣
∫
Xf dµ
∣∣∣∣≤∫
X|f | dµ
32 CAPITULO 1. PRELIMINARES
6. El teorema 1.2.9 y el punto 3 de la definicion 1.2.11 aseguran que para
toda f : X → [0,∞] medible
∫
Xf dµ = lim
n→∞
∫
Xsn dµ si (sn) f
La definicion 1.2.11 se la debemos a Lebesgue. Si la comparamos con ladefinicion de integral dada previamente por Riemann, observaremos que el
aleman hace particiones en X y suma los productos de la medida de cadaparte por un valor cualquiera de los que toma la funcion en esa parte mien-tras el frances trata, ante todo, de saber como es la funcion y realiza las
particiones que convienen a su grafica. Ası, cuando la funcion es simple,
toma la particion X =
n⋃
i=1
Ei siendo Ei = f−1(αi).
El contraste entre los dos procedimientos se pone claramente de manifiesto
en el clasico ejemplo del comerciante ordenado: Para contar el dinero quehay sobre una mesa, Riemann dividirıa la mesa segun una cuadrıcula, con-
tarıa el valor de las monedas de cada casilla y sumarıa para todas las casillas.Sin embargo, Lebesgue se preocuparıa de saber que valores tienen las mon-
edas que hay sobre la mesa (α1 = 0.02, α2 = 0.05, α3 = 0.10, α4 = 0.2,α5 = 0.5, α6 = 1 y α7 = 2) y cuantas hay de cada valor (Ei = v−1(αi) y
c(Ei) numero de monedas de αi euros). Luego harıa simplemente
7∑
i=1
αi · c(Ei)
1.2.13 Teoremas de convergencia
Esta seccion esta dedicada al estudio del comportamiento de la integral de
Lebesgue en los procesos de paso al lımite. Veremos que en condicionesmuy generales los lımites puntuales de funciones integrables Lebesgue son
funciones integrables Lebesgue, lo cual supone una mejora respecto al com-portamiento de la integral de Riemann. Ademas, en general, el lımite de las
integrales va a coincidir con la integral del lımite.
Teorema 1.2.14 Teorema de la convergencia monotona
Sea (fn : X → [0,∞]) una sucesion de funciones medibles tales que
0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ · · · ≤ fn(x) ≤ · · · ≤ ∞ ∀x ∈ X
El lımite puntual de (fn), que lo llamamos f , es medible y
∫
X
f dµ = limn→∞
∫
X
fn dµ.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 33
Demostracion:
Ya sabemos que f es medible y( ∫
X fn dµ)
es creciente. Por tanto, existe
limn→∞
∫
Xfn dµ = α ∈ [0,∞]
Como fn ≤ f , la monotonıa asegura que∫
X
fn dµ ≤∫
X
f dµ ∀n ∈ N,
luego α ≤∫
X f dµ. Para probar la desigualdad contraria, tomamos cualquiers simple medible, 0 ≤ s ≤ f , consideramos cualquier c ∈ (0, 1) y fabricamos
la sucesion de conjuntos medibles En = x | fn(x) ≥ cs(x) que, evidente-
mente, es expansiva y, ademas,
∞⋃
n=1
En = X . En efecto:
Dado cualquier x ∈ X , o bien f(x) = 0 y, entonces, x ∈ E1, o bienf(x) > 0 y, entonces, f(x) > cs(x). En este caso ha de existir un n0
tal que fn0(x) ≥ cs(x) y, ası, x ∈ En0.Ası tenemos,
∫
X fn dµ ≥∫
Enfn dµ ≥
∫
Encs dµ = c
∫
Ens dµ y utilizando la
medida ν inducida por s (comentario 1.2.12.2) resulta que∫
X
fn dµ ≥ cν(En) ∀n ∈ N.
Tomando lımites, α ≥ c · limn→∞
ν(En) = c · ν(X) = c ·∫
Xs dµ y, como esto
es cierto ∀ c ∈ (0, 1), tambien lo es para c = 1. Luego, α ≥∫
X
s dµ y, como
esto vale ∀ s ≤ f , resulta que α ≥∫
Xf dµ. ♦
Consecuencias 1.2.15
1. Si (fn : X → [0,∞]) es una sucesion de funciones medibles y
f(x) =∞∑
n=1
fn(x) ∀x ∈ X
es claro que (gk) f siendo gk =
k∑
n=1
fn. Por tanto,
limk→∞
∫
Xgk dµ =
∫
Xf dµ
Es decir,
∫
X
f dµ = limk→∞
k∑
n=1
∫
X
fn dµ =∞∑
n=1
∫
X
fn dµ.
34 CAPITULO 1. PRELIMINARES
2. Dada cualquier f : X → [0,∞] medible, si (Xn) es una particion de
X , podemos definir fn = f · 1Xn . Puesto que f =∞∑
n=1
fn, se cumple
∫
Xf dµ =
∞∑
n=1
∫
Xfn dµ =
∞∑
n=1
∫
Xn
f dµ
que es la generalizacion de la propiedad aditiva del intervalo.
3. Sea (Y, τ) un espacio topologico, f : X → Y una funcion medible yg : Y → K una funcion medible Borel. Entonces, si µf es la ley de f ,
∫
X
g f dµ =
∫
Y
g dµf
En efecto:Por linealidad basta probarlo en el caso K = [0,∞] para cualquier
g : Y → [0,∞] medible Borel.
(a) Si g = 1B el resultado es obvio pues 1B f = 1f−1(B) y
∫
X1f−1(B) dµ = µ[f−1(B)] = µf (B) =
∫
Y1B dµf
(b) Si g es simple medible el resultado se deduce de (a) por linealidad.
(c) Si g : Y → [0,∞] es cualquier funcion medible Borel, el teorema1.2.9 asegura la existencia de una sucesion de funciones simples
medibles Borel, (sn) g. Entonces,
∫
Xg f dµ = lim
n→∞
∫
Xsn f dµ =
= limn→∞
∫
Y
sn dµf =
∫
Y
g dµf .
En particular, si f : X → [0,∞] es medible e I es la identidad,
∫
Xf dµ =
∫
[0,∞]I dµf
4. Si (X,M, µ) es un espacio de medida y f : X → [0,∞] una funcionmedible, podemos definir la nueva medida
ν : M → [0,∞]
E →∫
Ef dµ
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 35
Ademas, si g : X → [0,∞] es cualquier funcion medible, se cumple
∫
Xg dν =
∫
Xg · f dµ
cuestion que se suele expresar abreviadamente escribiendo dν = fdµ.
En efecto:
(a) ν(∅) =∫
∅ f dµ =∫
X f · 1∅ dµ = 0 · µ(X) = 0
(b) Sea (Ei) una sucesion disjunta de conjuntos medibles y sea E =∞⋃
i=1
Ei. Evidentemente, 1E =
∞∑
i=1
1Ei. Entonces,
ν(E) =
∫
Ef dµ =
∫
Xf · 1E dµ =
∫
X(
∞∑
i=1
f · 1Ei) dµ =
=∞∑
i=1
∫
X
f · 1Eidµ =
∞∑
i=1
∫
Ei
f dµ =∞∑
i=1
ν(Ei).
Para probar que dν = fdµ procedemos como ya es habitual:
(a) Si g = 1E, la igualdad∫
X g dν =∫
X g · f dµ se reduce a
∫
X1E dν = ν(E) =
∫
X1E · f dµ =
∫
Ef dµ
que es la propia definicion de ν.
(b) Si g es simple, el resultado se sigue de la linealidad de la integral.
(c) Si g es cualquiera, tomamos (sn) g y aplicamos 1.2.14:
∫
Xg dν = lim
n→∞
∫
Xsn dν = lim
n→∞
∫
Xsn · f dµ =
∫
Xg · f dµ.
Lema 1.2.16 Lema de Fatou
Si (fn : X → [0,∞]) es una sucesion de funciones medibles, se cumple que
∫
Xlim inf fn dµ ≤ lim inf
∫
Xfn dµ.
Demostracion:
Como lim inf(fn(x)) = supn∈N
[ infk≥n
(fk(x))], designando gn(x) = infk≥n
(fk(x))
obtenemos una sucesion de funciones medibles (gn) lim inf fn.El teorema 1.2.14 asegura que
∫
X
lim inf fn dµ = limn→∞
∫
X
gn dµ.
36 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Ademas, como gn ≤ fn, resulta que∫
X gn dµ ≤∫
X fn dµ y, por tanto,
lim inf
∫
X
gn dµ ≤ lim inf
∫
X
fn dµ.
Ahora bien,
lim inf
∫
Xgn dµ = lim
n→∞
∫
Xgn dµ
y en consecuencia,∫
X
lim inf fn dµ = limn→∞
∫
X
gn dµ ≤ lim inf
∫
X
fn dµ.
Teorema 1.2.17 Teorema de la convergencia dominada
Sea (fn : X → K) una sucesion de funciones medibles que converge pun-tualmente a una funcion f . Si (|fn|) esta dominada por una g : X → K
integrable, es decir, si |fn(x)| ≤ g(x) ∀ (n, x) ∈ N ×X , se cumple:
1. f : X → K tambien es integrable.
2. limn→∞
∫
X
|fn − f | dµ = 0.
3. limn→∞
∫
X
fn dµ =
∫
X
f dµ.
Demostracion:
1. Sabemos que f es medible. Como |f | ≤ g, la monotonıa de la integralasegura que
∫
X |f | dµ ≤∫
X g dµ <∞. Luego f es integrable.
2. Como |fn − f | ≤ 2g, (2g − |fn − f |) es una sucesion de funciones
medibles positivas. El lema de Fatou dice que∫
Xlim inf(2g − |fn − f |) dµ ≤ lim inf
∫
X(2g − |fn − f |) dµ.
Por tanto,∫
X2g dµ ≤
∫
X2g dµ+ lim inf
(
−∫
X|fn − f | dµ
)
.
Cancelando∫
X 2g dµ, que es finita, tenemos
0 ≤ lim inf(
−∫
X|fn − f | dµ
)
= − lim sup
∫
X|fn − f | dµ.
Por tanto, lim sup∫
X |fn − f | dµ ≤ 0 y, como estas integrales son po-
sitivas, resulta que
0 ≤ lim inf
∫
X
|fn − f | dµ ≤ lim sup
∫
X
|fn − f | dµ ≤ 0.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 37
Es decir,
limn→∞
∫
X|fn − f | dµ = 0.
3. Sabemos que |∫
X(fn − f) dµ| ≤∫
X |fn − f | dµ. Entonces,
(∣∣∣∣
∫
X(fn − f) dµ
∣∣∣∣
)
→ 0
y, por tanto,
limn→∞
∫
Xfn dµ =
∫
Xf dµ. ♦
1.2.18 Los espacios Lp(X, µ) (1 ≤ p < ∞)
Sea (X,M, µ) un espacio de medida. El conjunto de funciones
L1(X, µ) = f : X → R | f medible y
∫
X|f |dµ <∞
es un espacio vectorial real y la aplicacion
σ1 : L1(X, µ) → R+
f →∫
X|f | dµ
es, claramente, homogenea en valor absoluto y subaditiva:
1. σ1(λf) = |λ|σ1(f), ∀λ ∈ K y ∀ f ∈ L1(X, µ).
2. σ1(f + g) ≤ σ1(f) + σ1(g), ∀ f, g ∈ L1(X, µ).
Sin embargo, de la condicion σ1(f) = 0 no podemos deducir la nulidad def y, ası, σ1 es solo una seminorma.
Por ejemplo, si µ es la medida de Dirac δx0 y X 6= x0, es evidente que
∫
X
|f | dµ =
∫
x0|f | dµ+
∫
X\x0|f | dµ = |f(x0)|
En este caso, σ1(f) = 0 ⇔ f(x0) = 0 y no importa que f no sea nula enX \ x0. Este ejemplo no es una peculiaridad de δx0 , sino una ley general:
Teorema 1.2.19
Sea (X,M, µ) un espacio de medida y f ∈ L1(X, µ). Entonces,
σ1(f) = 0 ⇔ ∃E ∈ M con µ(X \ E) = 0 tal que f se anula en E.
38 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Demostracion:
⇒) Designemos An = x ∈ X | |f(x)| > 1n. La monotonıa de la integral
asegura que 1nµ(An) ≤
∫
An|f | dµ ≤
∫
X |f | dµ = 0 y, ası, µ(An) = 0 ∀n ∈ N.
Entonces, A = x ∈ X | |f(x)| > 0 =
∞⋃
n=1
An tiene medida nula y f se
anula en X \ A. Evidentemente, E = X \ A es el conjunto buscado.
⇐) Si existe E ∈ M cumpliendo las condiciones tendremos
σ1(f) =
∫
X|f | dµ =
∫
E|f | dµ+
∫
X\E|f | dµ = 0. ♦
Cuando una propiedad se cumple en un E ⊂ X tal que µ(X \ E) = 0,
se dice que dicha propiedad se cumple casi por doquier (presque partout,almost everywhere) y se escribe µ · ae. Ası, el resultado anterior se suele
enunciar:
σ1(f) = 0 ⇔ f = 0 µ · ae
Teorema 1.2.20
Sea S el subespacio vectorial f ∈ L1(X, µ) | σ1(f) = 0 y sea L1(X, µ) el
espacio cociente L1(X, µ)/S. Entonces se cumple:
1. La aplicacion
‖ ‖1 : L1(X, µ) → R
+
f + S →∫
X|f | dµ
esta bien definida y es una norma en L1(X, µ).
2. El espacio (L1(X, µ), ‖ ‖1) es un espacio de Banach.
Demostracion:
1. Si f1 +S = f2 +S es claro que f1−f2 ∈ S. Por tanto, σ1(f1−f2) = 0.Pero |σ1(f1) − σ1(f2)| ≤ σ1(f1 − f2) y, ası, σ1(f1) = σ1(f2). Luego
‖ · ‖1 esta bien definida. Trivialmente es norma.
2. Probaremos que toda sucesion (fn + S) ⊂ L1(X, µ) absolutamente
sumable, es sumable. Es decir, probaremos que
∞∑
1
∫
X|fn|dµ = M <∞ ⇒
∞∑
1
fn ∈ L1(X, µ)
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 39
Sea ϕn(x) =
n∑
1
|fi(x)|. Entonces, ‖ϕn + S‖1 ≤n∑
1
‖fi + S‖1 ≤ M y,
en consecuencia∫
X ϕn dµ ≤M ∀n ∈ N.
Para cada x ∈ X , (ϕn(x)) es creciente y converge a algun punto ϕ(x)
de [0,∞]. Ası, definimos ϕ : X → [0,∞] que es medible y segun Fatou,∫
X ϕ dµ ≤ M . Luego existe un E ⊂ X tal que µ(X \ E) = 0 dondeϕ(x) < ∞ ∀x ∈ E. Es decir
∑∞1 |fn(x)| < ∞ ∀x ∈ E. Como R es
completo, tambien ocurre que∑∞
1 fn(x) ∈ R ∀x ∈ E y, ası, definimos
f : E → R
x→∞∑
1
fn(x).
En el espacio heredado (E,ME, µE), designando gn = f1|E+· · ·+fn|E,tenemos una sucesion (gn : E → R) de funciones ME-medibles que
converge puntualmente a f y esta dominada por ϕ. El teorema 1.2.17asegura que
f ∈ L1(E, µE) y limn→∞
∫
E|f − gn| dµE = 0
Ahora, extendiendo la f , definimos la f : X → R
f(x) =
f(x) six ∈ E
0 six /∈ E
Es claro que f ∈ L1(X, µ) y por cumplir,
limn→∞
∫
X|f −
n∑
i=1
fi| dµ = limn→∞
∫
E|f − gn| dµE = 0
resulta que f =
∞∑
n=1
fn. ♦
Las funciones que coinciden en un conjunto E tal que µ(X \ E) = 0 y son
medibles e integrables en el, quedan identificadas, y pasan a constituir unelemento del espacio normado (L1(X, µ), ‖ ‖1).
Si p es un numero real que cumple 1 < p <∞, designamos
Lp(X, µ) = f : X → R | f medible y
∫
X
|f |p dµ <∞
40 CAPITULO 1. PRELIMINARES
y
σp : Lp(X, µ) → R+
f →(∫
X|f |p dµ
) 1p
De modo no tan sencillo como en el caso p = 1, tambien podemos probar:
Teorema 1.2.21
Sea Sp el subespacio vectorial f ∈ Lp(X, µ) | σp(f) = 0 y sea Lp(X, µ) el
espacio cociente Lp(X, µ)/Sp. Entonces se cumple:
1. La aplicacion
‖ ‖p : Lp(X, µ) → R
+
f + Sp →(∫
X|f |p dµ
) 1p
esta bien definida y es una norma en Lp(X, µ).
2. El espacio (Lp(X, µ), ‖ ‖p) es un espacio de Banach.
Comentarios 1.2.22
1. Si X = 1, 2, . . . , n, M = P(X) y µ = c (medida de contar), una
f ∈ Lp(X, c) es una n-tupla de numeros reales (f(1), . . . , f(n)) y
‖f‖p =
(∫
X
|f | dµ)1
p
=
(n∑
i=1
∫
i|f |p dc
) 1p
=
(n∑
i=1
|f(i)|p) 1
p
En este caso,
(Lp(X, c), ‖ ‖p) = (Rn, ‖ ‖p)
2. El espacio (L2(X, µ), ‖ ‖2) es un espacio de Hilbert porque es un Ba-nach cuya norma procede del producto escalar:
(f | g) =
∫
Xf · g dµ
3. Dado un espacio de medida (X,M, µ) σ-finito, siempre existe una
funcion ω ∈ L1(X, µ) tal que 0 < ω(x) < 1 ∀x ∈ X . En efecto:
Sea X =
∞⋃
n=1
Xn disjunta con µ(Xn) <∞ ∀n ∈ N. Definimos:
ωn : X → R
x 7→
2−n
1 + µ(Xn)six ∈ Xn
0 six /∈ Xn.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 41
La funcion ω =
∞∑
n=1
ωn, que es medible y verifica 0 < ω < 1, es
integrable pues
∫
X|ω|dµ ≤
∞∑
n=1
2−n · µ(Xn)
1 + µ(Xn)<
∞∑
n=1
2−n <∞.
1.2.23 Modos de convergencia
Si X es un conjunto no vacıo, (fn : X → R) es una sucesion de funciones y
f : X → R es otra funcion, ya conocemos las siguientes definiciones:
1. (fn) → f puntualmente si ∀ε > 0 y ∀x ∈ X , ∃n(ε, x) ∈ N tal que
|fn(x) − f(x)| < ε ∀n > n(ε, x)
2. (fn) → f uniformemente si ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N tal que
|fn(x)− f(x)| < ε ∀n > n(ε) ∀x ∈ X
Evidentemente, ambas definiciones son equivalentes cuando X es un con-
junto finito. Si X es un conjunto infinito la convergencia uniforme implicala puntual pero no podemos asegurar la implicacion contraria.
Cuando en X tenemos una estructura de medida (X,M, µ) y las funcionesfn y f son medibles, ademas de las ya conocidas definiciones:
3. (fn) → f puntualmente µ-a.e.
4. (fn) → f en Lp(X, µ) con 1 ≤ p <∞
podemos dar las siguientes definiciones, tal vez desconocidas para el lector:
5. (fn) → f en L∞(X, µ) si ∃E ∈ M con µ(E) = 0 tal que
(fn) → f uniformemente en X \E
6. (fn) → f µ-a.e. uniformemente si ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N y ∃E(ε) ∈ M
tal que
µ(E(ε)) ≤ ε y |fn(x)− f(x)| < ε ∀n > n(ε) y ∀x ∈ X \ E(ε)
7. (fn) → f en medida si ∀ε > 0 se tiene que
(µx ∈ X | |fn(x)− f(x)| ≥ ε) → 0
42 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Teorema 1.2.24
Sea (X,M, µ) un espacio de medida, (fn : X → R) una sucesion de funcionesmedibles y f : X → R una funcion medible. Se cumple:
1. (fn) → f uniformemente ⇒ (fn) → f in L∞(X, µ)
2. (fn) → f in L∞(X, µ)⇒ (fn) → f µ-a.e. uniformemente.
3. (fn) → f µ-a.e. uniformemente ⇒ (fn) → f puntualmente µ-a.e.
4. (fn) → f µ-a.e. uniformemente ⇒ (fn) → f en medida
5. (fn) → f in L1(X, µ)⇒ (fn) → f en medida
Demostracion:
1. Se cumple que (fn) → f en L∞(X, µ) con E = ∅.
2. Se cumple que (fn) → f µ-a.e uniformemente con E(ε) = E ∀ε > 0y µ(E) = 0.
3. Inmediato.
4. Inmediato.
5.
1.2.25 Teoremas de Fubini
Teorema 1.2.26
Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida, dado Q ∈ M⊗N se puedendefinir las funciones:
ϕQ : X → [0,∞] y ψQ : Y → [0,∞]x 7→ ν(Qx) y 7→ µ(Qy)
Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son σ-finitos, ϕQ y ψQ son medibles.
Demostracion:
Ambas se demuestran igual. Probaremos que ϕQ es medible mediante la
siguiente tecnica de W.Rudin. Definimos la familia
Ω = Q ∈ M⊗ N | ϕQ es medible
y comprobamos que Ω cumple las siguientes propiedades:
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 43
1. Ω contiene a los rectangulos medibles:
(A×B)x =
B six ∈ A
∅ six /∈ A⇒ ν[(A×B)x] =
ν(B) six ∈ A
0 six /∈ A
⇒ ϕA×B(x) = ν(B)1A(x).
Ası ϕA×B = ν(B)1A y es medible porque A ∈ M.
2. La union numerable disjunta de elementos de Ω esta en Ω:
ϕ∪∞i=1Qi
(x) = ν[(∞⋃
i=1
Qi)x] = ν[∞⋃
i=1
(Qi)x] =∞∑
i=1
ϕQi(x) = lim
i→∞
n∑
i=1
ϕQi(x)
luego medible. En particular, las uniones finitas disjuntas de rectangulosmedibles, estan en Ω.
3. Ω es clase expansiva:
Si (Qi) es expansiva y Q =∞⋃
i=1
Qi se tiene:
ϕQ(x) = ϕ∪∞
i=1Qi(x) = ν[(
∞⋃
i=1
Qi)x] = ν[
∞⋃
i=1
(Qi)x] = limi→∞
n∑
i=1
ϕQi(x),
por tanto, medible.
4. Ω es clase ”dominadamente” contractiva:
Si (Qi) es contractiva y Qi ⊂ A × B con µ(A) < ∞ y ν(B) < ∞,
entonces Q =
∞⋂
i=1
Qi ∈ Ω. Pero esto es claro pues
ϕQ(x) = ν[(
∞⋂
i=1
Qi)x] = ν[
∞⋂
i=1
(Qi)x] = limi→∞
ν[(Qi)x] = limi→∞
ϕQi(x)
porque ν[(Q1)x] ≤ ν(B) <∞.
Ahora bien, como (X,M, µ) y (Y,N, ν) son σ-finitos, existen familias disjun-
tas Xn∞1 y Ym∞1 tales que X =∞⋃
n=1
Xn e Y =∞⋃
m=1
Ym con µ(Xn) < ∞
y ν(Ym) <∞ y podemos definir
Ω = Q ∈ M ⊗ N | Q ∩ (Xn× Ym) ∈ Ω ∀n,m.
Es claro que Ω contiene a R, al algebra generada por R y es clase monotona,
luego Ω = M⊗N. Ello indica que todo Q ∈ M⊗N se parte en una familiadisjunta de elementos de Ω. Pero, segun 2, esto significa que Q ∈ Ω. Es
decir, Ω = M⊗ N y, ası, ϕQ es medible ∀Q ∈ M ⊗ N. ♦
44 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Teorema 1.2.27
Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida σ-finitos, las funciones
ϕQ : X → [0,∞] y ψQ : Y → [0,∞]x 7→ ν(Qx) y 7→ µ(Qy)
cumplen que ∫
XϕQ dµ =
∫
YψQ dν ∀Q ∈ M⊗ N
Demostracion;
Utilizando la misma tecnica del teorema 1.2.26, definimos la familia
Ω = Q ∈ M ⊗ N |∫
X
ϕQ dµ =
∫
Y
ψQ dν.
y comprobamos que Ω cumple las siguientes propiedades:
1. Ω contiene a los rectangulos medibles:Dado A×B ∈ M × N, sabemos que
ϕA×B = ν(B)1A y ψA×B = µ(A)1B
Entonces, ∫
XϕA×B dµ = ν(B)µ(A) =
∫
YψA×B dν.
2. La union numerable disjunta de elemntos de Ω esta en Ω:
∫
X
ϕ∪Qidµ =
∫
X
∞∑
i=1
ϕQidµ =
∞∑
i=1
∫
X
ϕQidµ =
∞∑
i=1
∫
Y
ψQidν =
∫
Y
ψ∪Qidν
3. Ω es clase expansiva:
Sea (Qi) una sucesion expansiva en Ω y sea Q =
∞⋃
i=1
Qi. Es claro que
(ϕQi) ϕQ y (ψQi
) ψQ. El teorema 1.2.14 asegura que
∫
XϕQ dµ = lim
i→∞
∫
XϕQi
dµ = limi→∞
∫
YψQi
dν =
∫
YψQ dν.
4. Ω es clase ”dominadamente” contractiva:
Sea (Qi) una sucesion contractiva tal que Q1 ⊂ A×B, con µ(A) <∞
y ν(B) <∞. Probemos que Q =
∞⋂
i=1
Qi esta en Ω:
(ϕQi) → ϕQ y |ϕQi
(x)| ≤ ϕA×B(x) ∀ i y ∀x ∈ X
(ψQi) → ψQ y |ψQi
(y)| ≤ ψA×B(y) ∀ i y ∀ y ∈ Y.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 45
Como∫
X ϕA×B dµ =∫
Y ψA×B dν = µ(A) · ν(B) <∞, el terema 1.2.17
asegura que
∫
XϕQ dµ = lim
i→∞
∫
XϕQi
dµ = limi→∞
∫
YψQi
dν =
∫
YψQ dν.
Si consideramos Ω = Q ∈ M ⊗ N | Qnm ∈ Ω ∀n,m como en el teorema
1.2.26, podemos concluir que Ω = Ω = M ⊗ N ♦
Definicion 1.2.28
Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida σ-finitos, el valor comun
∫
XϕQ dµ =
∫
YψQ dν se denota µ⊗ ν(Q) ∀Q ∈ M ⊗ N
La funcion µ ⊗ ν : M ⊗ N → [0,∞] es una medida que en los rectanguloscumple la formula base por altura:
µ⊗ ν(A×B) = µ(A) · ν(B)
El espacio de medida (X×Y,M⊗N, µ⊗ν) es el espacio de medida producto.
Si existe en (X,M, µ) algun conjunto A no vacıo con medida nula y existeen (Y,N, ν) algun conjunto no medible B, resultara que A × B ⊂ A × Y
siendo A × B no medible y A × Y de medida nula . Los espacios productoson proclives a poseer la anomalıa de que hayan subconjuntos de conjuntos
de medida nula que no sean medible. Los espacios de medida que no poseenesta anomalıa se llaman completos.
Teorema 1.2.29 El Fubinito
Sean (X,M, µ), (Y,N, ν) espacios de medida σ-finitos y F : X ×Y → [0,∞]
una funcion medible. Entonces,
ϕ : X → [0,∞] y ψ : Y → [0,∞]
x 7→∫
Y F (x, ·) dν y 7→∫
X F (·, y) dµ
son medibles y se cumple que
∫
Xϕ dµ =
∫
X×YF d(µ⊗ ν) =
∫
Yψ dν.
Demostracion:
Como las funciones F (x, ·) y F (·, y) son medibles, las ϕ y ψ estan bien
definidas. Procedamos como siempre:
46 CAPITULO 1. PRELIMINARES
1. Si F : X × Y → [0,∞] es la funcion caracterıstica de un Q ∈ M ⊗ N,
es evidente que F (x, ·) = 1Qx y F (·, y) = 1Qy . Entonces,
ϕ(x) = ν(Qx) = ϕQ(x) y ψ(y) = µ(Qy) = ψQ(y)
y el resultado lo asegura el teorema 1.2.27.
2. Si F : X × Y → [0,∞] es la funcion simple
n∑
i=1
αi1Qies evidente que
F (x, ·) =
n∑
i=1
αi1(Qi)xy F (·, y) =
n∑
i=1
αi1Qyi
Entonces,
ϕ =
n∑
i=1
αiϕQiy ψ =
n∑
i=1
αiψQi
y el resultado se deduce de la linealidad de la integral.
3. En el caso general, el teorema 1.2.9 asegura una sucesion (sn) F .
Si
ϕn : X → [0,∞] y ψn : Y → [0,∞]
x 7→∫
Y sn(x, ·) dν y 7→∫
X sn(·, y) dµ
la monotonıa de la integral y el teorema 1.2.14 aseguran el resto. ♦
Es conveniente, a veces, introducir las variables para identificar con mas
facilidad las funciones que estamos manejando. Ası solemos enunciar elFubinito como sigue:
∫
X
[∫
YF (x, y) dν(y)
]
dµ(x) =
∫
X×YF (x, y) d(µ⊗ ν)(x, y) =
=
∫
Y
[∫
X
F (x, y) dµ(x)
]
dν(y).
Teorema 1.2.30 Teorema de Fubini
Sean (X,M, µ), (Y,N, ν) espacios σ-finitos. Sea F : X×Y → R una funcionM⊗ N-medible. Consideremos las funciones
ϕ∗ : X → [0,∞] y ψ∗ : Y → [0,∞]x 7→
∫
Y |F (x, ·)| dν y 7→∫
X |F (·, y)| dµ
Entonces se cumple:
1. ϕ∗ ∈ L1(X, µ) ⇒ F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν).
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 47
2. ψ∗ ∈ L1(Y, ν) ⇒ F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν).
Si F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν) se cumple:
3. Existe E ⊂ X con µ(X \ E) = 0 tal que F (x, ·) ∈ L1(Y, ν) ∀x ∈ E y
ϕ : E → R
x→∫
Y
F (x, ·) dν.
esta en L1(E, µE).
4. Existe G ⊂ Y con ν(Y \G) = 0 tal que F (·, y) ∈ L1(X, µ) ∀y ∈ G y
ψ : G → R
y →∫
XF (·, y) dµ
esta en L1(G, νG).
5. Ademas,
∫
Eϕ dµE =
∫
X×YF d(µ⊗ ν) =
∫
Gψ dνG.
Demostracion:
1. y 2. Se deducen aplicando el Fubinito a |F |.
3. y 4. Si F = F+ − F− es la descomposicion canonica, tenemos
F (x, ·) = F+(x, ·)− F−(x, ·) ∀x ∈ X
F (·, y) = F+(·, y)− F−(·, y) ∀ y ∈ Y
y definiendo
ϕ+ : X → [0,∞] ϕ− : X → [0,∞]x 7→
∫
Y F+(x, ·) dν x 7→
∫
Y F−(x, ·) dν
y
ψ+ : Y → [0,∞] ψ− : Y → [0,∞]y 7→
∫
X F+(·, y) dµ y 7→
∫
X F−(·, y) dµ
podemos deducir del Fubinito que
∫
X ϕ+ dµ =
∫
X×Y F+ d(µ⊗ ν) =
∫
Y ψ+ dν
∫
X ϕ− dµ =
∫
X×Y F− d(µ⊗ ν) =
∫
Y ψ− dν
(1.1)
48 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Como F+ ≤ |F | y F− ≤ |F | y F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν), resulta que
ϕ+, ϕ− ∈ L1(X, µ) y ψ+, ψ− ∈ L1(Y, ν)
En consecuencia:
∃E ⊂ X con µ(X \E) = 0 tal que ϕ+(x) <∞ y ϕ−(x) <∞ ∀x ∈ E
∃G ⊂ Y con ν(Y \G) = 0 tal que ψ+(y) <∞ y ψ−(y) <∞ ∀ y ∈ G
Podemos, por tanto, definir las funciones
ϕ : E → R
x→ ϕ+(x)− ϕ−(x) =
∫
YF (x, ·) dν
y
ψ : G → R
y → ψ+(y)− ψ−(y) =
∫
XF (·, y) dµ
y observar que
∫
Y |F (x, ·)| dν = ϕ+(x) + ϕ−(x) <∞ ∀x ∈ E∫
X |F (·, y)| dµ = ψ+(y) + ψ−(y) <∞ ∀ y ∈ G.
Ası F (x, ·) ∈ L1(Y, ν) ∀x ∈ E y F (·, y) ∈ L1(X, µ) ∀ y ∈ G.
5. Es suficiente restar en (1.1). ♦
1.2.31 Teoremas de Radon-Nikodym
Dado un espacio de medida (X,M, µ), sabemos que cada f : X → [0,∞]medible define una nueva medida ν(E) =
∫
E f dµ y ya hemos explicadopor que es natural escribir, en ese caso, dν = f dµ. Los estadısticos lla-
man a f densidad de ν respecto de µ y los analistas, abusando del lenguaje
escriben f =dν
dµy la llaman derivada de Radon-Nikodym de ν respecto de µ.
En esta seccion nos ocuparemos del problema inverso, es decir, estudiare-
mos las condiciones para que dadas dos medidas ν y µ en (X,M) exista unah : X → [0,∞] medible tal que ν(E) =
∫
E h dµ ∀E ∈ M.
Evidentemente, es necesario que ν(E) se anule cuando µ(E) = 0. Paraencontrar la condicion suficiente, necesitamos el siguiente lema tecnico
Lema 1.2.32
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 49
Sea (X,M, µ) un espacio de medida finita, C ⊂ R un cerrado y f ∈ L1(X, µ):
∫
E fdµ
µ(E)
∣∣∣E ∈ M y µ(E) > 0
⊂ C ⇒ f(x) ∈ C µ.ae
Demostracion:
Sea A = R \ C y sea [a− r, a+ r] ⊂ A. Si Ar = f−1([a− r, a+ r]) no tienemedida nula llegamos al absurdo de encontrar un promedio fuera de C:
∣∣∣∣∣
∫
Arfdµ
µ(Ar)− a
∣∣∣∣∣≤∫
Ar|f − a|dµµ(Ar)
≤ rµ(Ar)
µ(Ar)= r
Ahora bien, A es union numerable de conjuntos del tipo [ai − ri, ai + ri] y,en consecuencia, 0 = µ(f−1(A)) = µx | f(x) /∈ C. ♦
Teorema 1.2.33 Teorema de Radon-Nikodym
Sea (X,M, µ) σ-finito y sea ν : M → [0,∞) una medida finita. Existe unA ∈ M para el que se cumple:
1. µ(E) = µ(E ∩A) ∀E ∈ M
2. Existe h ∈ L1(X, µ) tal que
ν(E ∩A) =
∫
Eh dµ ∀E ∈ M
Demostracion:
Por ser (X,M, µ) σ-finito, el comentario 1.2.22,3 asegura la existencia de
una ω ∈ L1(X, µ) con 0 < ω(x) < 1 ∀x ∈ X . Con ella, construimos lamedida finita µ(E) =
∫
E ω dµ.Consideremos la medida ξ = ν + µ, tambien finita, y comprobemos que
∫
X
f dξ =
∫
X
f dν +
∫
X
fω dµ
En efecto:
1. Para funciones caracterısticas:∫
X1E dξ = ξ(E) = ν(E) + µ(E) =
∫
X1E dν +
∫
X1E · ω dµ
2. Para funciones simples por linealidad.
3. Para funciones positivas f : X → [0,∞] medibles, por los teoremas
1.2.9 y 1.2.14.
50 CAPITULO 1. PRELIMINARES
4. Para cualquier f : X → R integrable, por linealidad.
Por otra parte, el funcional lineal
φ : L2(X, ξ) → R
f 7→∫
Xf dν
es continuo porque
∣∣∣∣
∫
Xf dν
∣∣∣∣≤∫
X|f | dν ≤
∫
X|f | dξ ≤
[∫
X|f |2 dξ
]12[∫
X12 dξ
]12
= ‖f‖2[ξ(X)]12
El teorema 6.2.7 asegura la existencia de una g ∈ L2(X, ξ) tal que
φ(f) =
∫
Xf dν =
∫
Xf · g dξ ∀ f ∈ L2(X, ξ).
Esta g no puede ser muy grande pues los promedios
∫
E g dξ
ξ(E)estan en [0, 1]
cuando ξ(E) > 0: Tomando f = 1E , vemos que ν(E) =∫
E g dξ y, ası,
0 ≤∫
E g dξ
ξ(E)≤∫
E g dξ
ν(E)= 1.
Concretamente, podemos probar que g(x) ∈ [0, 1] ξ.ae y, aun, suponer que
g(x) ∈ [0, 1] ∀x ∈ X sin que esto afecte a la identidad
∫
Xf dν =
∫
Xfg dξ =
∫
Xfg dν +
∫
Xfgω dµ.
Escribamosla en la forma∫
Xf(1 − g) dν =
∫
Xfgω dµ,
y consideremos
A = x ∈ X | 0 ≤ g(x) < 1 y B = x ∈ X | g(x) = 1.
Entonces,
1. Tomando f = 1B, vemos que∫
B ω dµ = 0 y, como ω(x) > 0 ∀x ∈ X ,deducimos que µ(B) = 0. Ası,
µ(E) = µ(E ∩A) + µ(E ∩ B) = µ(E ∩A) ∀E ∈ M
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 51
2. Tomando f = (1 + g + · · ·+ gn)1E, vemos que
∫
E
(1 − gn+1) dν =
∫
E
(g + · · ·+ gn+1)ω dµ ∀n ∈ N.
y como
limn→∞
gn+1(x) =
0 si x ∈ A1 si x ∈ B,
designando h =
∞∑
n=1
gnω resulta que ν(E ∩A) =∫
E h dµ. ♦
Para sacarle el maximo partido al teorema 1.2.33 conviene considerar medi-
das con signo o s-medidas y establecer algunas notaciones previas.
Definicion 1.2.34
1. Sea (X,M) un espacio medible. Una s-medida es una λ : M → R que
verifica λ(E) =
∞∑
i=1
λ(Ei) ∀(Ei) ∈ P(E) que es el conjunto de todas
las particiones medibles y numerables de E.
2. S(X,M) es el conjunto de todas las s-medidas en (X,M).
3. Sea λ ∈ S(X,M) y µ una medida en (X,M). Decimos que λ es abso-
lutamente continua respecto de µ, y lo denotamos λ µ, si λ(E) = 0cuando µ(E) = 0.
4. Decimos que λ ∈ S(X,M) se concentra en A ∈ M cuando
λ(E) = λ(E ∩A) ∀E ∈ M
5. Si λ1, λ2 ∈ S(X,M) se concentran en conjuntos disjuntos A1 y A2, sedice que son mutuamente singulares y se escribe λ1 ⊥ λ2.
Comentarios 1.2.35
1. En la definicion de s-medida exigimos la convergencia de las series∞∑
i=1
λ(Ei) sin admitir la posibilidad de que diverjan a +∞, como per-
mitiamos en el caso de una medida. Ademas, por ser conmutativa la
union de conjuntos, la convergencia de las series
∞∑
i=1
λ(Ei) debe ser
incondicional y, por tanto, absoluta. De ello se deduce que λ(∅) = 0.
52 CAPITULO 1. PRELIMINARES
2. A cada λ ∈ S(X,M) le asociamos la medida finita |λ|, llamada ”variacion
total de λ” y definida como sigue:
|λ| : M → [0,∞]
E → sup(Ei)∈P(E)
∞∑
i=1
|λ(Ei)|.
Es inmediato comprobar que
(a) λ |λ|(b) Si λ µ⇒ |λ| µ
(c) Si λ se concentra en A⇒ |λ| se concentra en A.
(d) Si λ1 ⊥ λ2 ⇒ |λ1| ⊥ |λ2|
3. A cada λ ∈ S(X,M) tambien le asociamos las medidas finitas
λ+ =1
2(|λ|+ λ) y λ− =
1
2(|λ| − λ)
llamadas ”variacion positiva de λ” y ”variacion negativa de λ”. Esclaro que
λ = λ+ − λ− y |λ| = λ+ + λ−
4. S(X,M) con la suma y el producto por escalares
(λ1 + λ2)(E) = λ1(E) + λ2(E) ∀E ∈ M.
(cλ1)(E) = c · λ1(E) ∀E ∈ M.
tiene estructura de espacio vectorial real. Ademas, la aplicacion
‖ ‖ : S(X,M) → R+
λ 7→ |λ|(X)
es una norma en S(X,M).
5. Con esta nueva terminologıa el teorema 1.2.33 asegura que si (X,M, µ)es σ-finito, cualquier medida finita definida en (X,M) se descompone
en suma de dos medidas finitas, una mutuamente singular con µ y otraderivable respecto de µ y, por tanto, absolutamente continua respecto
de µ. En efecto:Dada ν : M → [0,∞), si A y B son los conjuntos que aparecen el la
demostracion del teorema 1.2.33 y designamos νA y νB a las trazasde ν en A y en B, lo que ya probamos en dicho teorema puede ser
expresado del siguiente modo:
(a) ν = νA + νB
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 53
(b) νB ⊥ µ
(c) ∃h : X → [0,∞] integrable tal que νA(E) =∫
E hdµ ∀E ∈ M
(d) νA µ
6. Ademas, la anterior descomposicion es unica. Mejor aun:Si (X,M, µ) es σ-finito, λ ∈ S(X,M) y se cumple que λ = λa + λscon λa µ y λs ⊥ µ, tal descomposicion es unica.En efecto:
Supongamos que haya dos: λ = λa+λs = λ′a+λ′s. Entonces, λa−λ′a =
λ′s − λs. Como λa − λ′a µ y λ′s − λs ⊥ µ, resulta que λa − λ′a =
λ′s − λs = 0 y, por tanto, λa = λ′a y λs = λ′s.
Teorema 1.2.36 Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym
Sea (X,M, µ) σ-finito y sea λ ∈ S(X,M). Entonces:
1. Existe un unico par (λa, λs) de elementos de S(X,M) tal que
λ = λa + λs, λa µ y λs⊥µ.
2. Existe una unica h ∈ L1(X, µ) tal que
λa(E) =
∫
Eh dµ ∀E ∈ M.
Demostracion:
1. Cuando λ es una medida finita las existencias estan probadas en elteorema 1.2.33 y las unicidades se deducen del comentario 1.2.35,6.
2. En el caso general, recordamos que λ = λ+ − λ− y consideramos los
pares de medidas finitas (λ+a , λ
+s ) y (λ−a , λ
−s ) asociados respectivamente
a λ+ y λ−. Entonces (λ+a − λ−a , λ
+s − λ−s ) es un par de s-medidas
asociado a λ. Ademas, si h+ y h− son las densidades de λ+a y λ−a ,
h+ − h− es densidad de λ+a − λ−a .
La unicidad del par de s-medidas asociado a λ y de la densidad de λarespecto de µ se deduce del comentario 1.2.35,6. ♦
Corolario 1.2.37
Sea (X,M, µ) σ-finito y sea λ ∈ S(X,M) tal que λ µ. Existe una unica
h ∈ L1(X, µ) tal que λ(E) =∫
E h dµ ∀E ∈ M.
Demostracion:
λ = λ+ 0 es una descomposicion que cumple λ µ y 0 ⊥ µ.
En particular, existe una unica g ∈ L1(X, |λ|) tal que dλ = g d|λ|, ♦
54 CAPITULO 1. PRELIMINARES
1.2.38 Teorema de representacion de Riesz
Un espacio topologico de Hausdorff (X, τ) se dice localmente compacto
cuando cada punto tiene un entorno con clausura compacta. Una funcionf : X → R se dice de soporte compacto cuando
sop f = x ∈ X | f(x) 6= 0
tiene clausura compacta. El conjunto de todas las funciones continuas de
soporte compacto es un espacio vectorial que designamos Cc(X).Los espacios localmente compactos gozan de la siguiente propiedad:
Lema 1.2.39 (Urysohn)
En un espacio localmente compacto (X, τ) dado un compactoK y un abierto
U tales que K ⊂ U , siempre existe una f ∈ Cc(X) tal que 1K ≤ f ≤ 1U .
Teorema 1.2.40
Sea (X, τ) localmente compacto y sea Λ : Cc(X) → R un funcional linealpositivo 2. Existe en X una σ-algebra M mas fina que la de Borel y unaunica medida µ : M → [0,∞] cumpliendo:
1. Λ(f) =∫
X f dµ ∀ f ∈ Cc(X).
2. µ(K) <∞ ∀K compacto de (X, τ).
3. Regularidad exterior:
µ(E) = infµ(V ) | E ⊂ V y V ∈ τ ∀E ∈ M
4. Regularidad interior:
µ(E) = supµ(K) | Kcompacto ⊂ E cuando E ∈ τ o µ(E) <∞
5. (X,M, µ) es un espacio de medida completo.
Demostracion:
• Unicidad
Si µ1 y µ2 satisfacen todas las propiedades, coinciden en los compactos.En efecto:
Dado un K y ε > 0 ∃U ∈ τ tal que K ⊂ U y µ2(U) < µ2(K) + ε.Por Urysohn, ∃ f ∈ Cc(X) con sop f ⊂ U y 1K ≤ f ≤ 1U . Entonces,
µ1(K) =
∫
X
1K dµ1 ≤∫
X
f dµ1 = Λ(f) =
=
∫
Xf dµ2 ≤
∫
X1U dµ2 = µ2(U) < µ2(K) + ε
2Transforma funciones positivas en reales positivos
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 55
y, cambiando los papeles, µ2(K) < µ1(K)+ ε. Luego µ1(K) = µ2(K).
Por 4, µ1(V ) = µ2(V ) ∀V ∈ τ . Por 3, µ1(E) = µ2(E) ∀E ∈ M.
• Definicion de µ y M
Empezamos definiendo la medida en los abiertos:
µ(V ) = supΛ(f) | f ∈ Cc(X), sop f ⊂ V, 0 ≤ f ≤ 1V
y, como V1 ⊂ V2 ⇒ µ(V1) ≤ µ(V2), la extendemos a cualquier conjunto:
µ(E) = infµ(V ) | E ⊂ V, V ∈ τ.
Sin embargo, solo se puede demostrar la aditividad numerable en
M = E ⊂ X | E ∩K ∈ Ω ∀K compacto
donde
Ω = E ⊂ X | µ(E) = supµ(K) | Kcompacto ⊂ E .
No nos detendremos en ver que M es σ-algebra ni que µ es una medidaen ella, pero sı probaremos que en los compactos se cumple
µ(K) = infΛ(f) | f ∈ Cc(X) y 1K ≤ f ≤ 1
En efecto:
Sea f ∈ Cc(X) con 1K ≤ f ≤ 1. Entonces, si α ∈ (0, 1),
K ⊂ f−1(α,∞) = Vα y
µ(K) ≤ µ(Vα) = supΛ(g) | g ∈ Cc(X), sop g ⊂ Vα, 0 ≤ g ≤ 1Vα
Cualquier de estas g cumple que g ≤ f
αy, por tanto, Λ(g) ≤ 1
αΛ(f).
Luego µ(K) ≤ 1
αΛ(f) ∀α ∈ (0, 1) y µ(K) ≤ Λ(f). Por tanto,
µ(K) es cota inferior. Para ver que es la maxima, observamos que dadoε > 0 existe un abierto V ⊃ K tal que µ(V ) < µ(K) + ε. El lema de
Uryshon asegura una f ∈ Cc(X) con sopf ⊂ V y con 1K ≤ f ≤ 1Vy, ası, Λ(f) ≤ µ(V ) < µ(K) + ε.
• Representacion
Para probar Λ(f) =∫
X f dµ ∀ f ∈ Cc(X), basta Λ(f) ≤∫
X f dµ pues
Λ(−f) ≤∫
X
−f dµ = −∫
X
f dµ ⇒ Λ(f) ≥∫
X
f dµ
Como sop f es un compacto K, f(X) esta contenido en un cierto [a, b].
Sea y0 < a < y1 < · · · < yn−1 < yn = b y Ei = f−1(yi−1, yi] ∩K
56 CAPITULO 1. PRELIMINARES
∀i = 1, · · · , n. Dada la particion Ei de K y un ε > 0 podemos
encontrar un cubrimiento abierto Vi de K tal que
Ei ⊂ Vi y µ(Vi) < µ(Ei) + εn
f(x) < yi + ε ∀x ∈ Vi
Sea hini=1 una particion de la unidad subordinada a Vi:
hi ∈ Cc(X), sop hi ⊂ Vi, 0 ≤ hi ≤ 1Viy∑
hi(x) = 1 ∀x ∈ K
Como 1K ≤∑ hi, resulta que µ(K) ≤ Λ(∑hi) =
∑Λ(hi) y, ası:
Λ(f) = Λ(∑
hif) =∑
Λ(hif) ≤∑
Λ(hi[yi + ε]) =
=
n∑
i=1
(yi + ε)Λ(hi) =∑
(|a|+ yi + ε)Λ(hi) − |a|∑
Λ(hi) ≤
≤∑
(|a|+ yi + ε)[
µ(Ei) +ε
n
]
− |a|µ(K) =
=
n∑
i=1
(yi − ε)µ(Ei) + 2εµ(K) +ε
n
n∑
i=1
(|a|+ yi + ε) ≤
≤∫
Xf dµ+ ε[2µ(K) + |a|+ |b|+ ε] ∀ ε. ♦
Comentarios 1.2.41
1. Sea (X, τ) un espacio localmente compacto. Al espacio de medida(X,M, µ) obtenido por el teorema 1.2.40 para un funcional positivo
Λ : Cc(X) → R, se le llama espacio de Radon.
2. Si (X, τ) es localmente compacto y cualquier funcional lineal acotado
Φ : Cc(X) → R fuese diferencia de dos funcionales positivos,
Φ+ : Cc(X) → R y Φ− : Cc(X) → R
el teorema de Riesz nos asegurarıa la existencia de sendos espacios
de medida (X,M+, µ+) y (X,M−, µ−) donde los funcionales tendrıanrepresentacion integral. Entonces, la s-medida λ = µ+ − µ− definida
en la σ-algebra M+ ∩M− representarıa al funcional Φ si definieramos
Φ(f) =
∫
Xfdµ+ −
∫
Xfdµ− =
∫
Xfdλ ∀f ∈ Cc(X)
Ello nos permitirıa conocer el dual de (Cc(X), ‖ ‖∞). Todo ello es
verdad pero queda fuera de los objetivos del curso.
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 57
3. Un espacio localmente compacto (X, τ) que puede expresarse como
union numerable de compactos, se llama σ-compacto. Podemos suponer
que X =∞⋃
i=1
Ki siendo (Ki) una sucesion expansiva de compactos.
4. Si (X, τ) es σ-compacto, cualquier espacio de Radon (X,M, µ) es,
claramente, σ-finito y cumple ∀E ∈ M y ∀ ε > 0 las siguientes pro-piedades de regularidad:
(a) ∃V abierto y ∃Fcerrado tal que F ⊂ E ⊂ V y µ(V \ F ) < ε.
(b) ∃A ∈ Fσ y ∃B ∈ Gδ tal que A ⊂ E ⊂ B y µ(B \ A) = 0.
En efecto:
(a) Sea (Ki) una sucesion expansiva de compactos cuya union es X .
Como µ(E ∩Ki) <∞ ⇒ ∃Vi ∈ τ tal que µ(Vi \ (E∩Ki)) <ε
2i+2 .
Si V =
∞⋃
i=1
Vi tenemos V ∈ τ y V \ E =
∞⋃
i=1
(Vi \ (E ∩Ki)).
Por tanto, µ(V \ E) ≤∞∑
i=1
ε
2i+2=ε
2y, de igual modo,
∃W ∈ τ tal que Ec ⊂W y µ(W \ Ec) <ε
2
Designando F = W c, tenemos F ⊂ E ⊂ V y, como V \ F =(V \ E) ∪ (E \ F ), µ(V \ F ) ≤ µ(V \E) + µ(E \ F ) ≤ ε.
(b) ∀n ∈ N ∃Vn ∈ τ y ∃Fn cerrado tales que Fn ⊂ E ⊂ Vn yµ(Vn \ Fn) < 1
n . Designando A = ∪Fn y B = ∩Vn, tenemos los
borelianos buscados.
1.2.42 La medida de Lebesgue en Rn y sus variedades
Rn dotado de la topologıa euclıdea en es σ-compacto. El teorema 1.2.40
nos permite definir en el, y en sus subespacios topologicos mas notables,medidas de Radon con las buenas propiedades de regularidad que acabamos
de destacar. Por ejemplo:
1. Un intervalo compacto [a, b] ⊂ R queda convertido en el espacio demedida de Lebesgue ([a, b],M,m) a traves del funcional positivo in-
tegral Riemann
Λ : C[a, b] → R
f 7→∫ ba f(x)dx
58 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Ademas, como
∫ b
af(x)dx =
∫
[a,b]f dm ∀ f ∈ C[a, b]
todas las tenicas habituales de integracion conocidas para funcionesreales continuas de una varable real, son utilizables en ([a, b],M,m).
2. Como (R, e) es σ-compacto, para el funcional positivo integral Riemann
Λ : Cc(R) → R
f 7→∫ dc f(x)dx
donde [c, d] es cualquier intervalo cerrado y acotado que contiene asop f , el teorema 1.2.40 nos proporciona el espacio de medida de
Lebesgue (R,M, m) que sera σ-finito y, en el,
∫
R
f dm =
∫ d
cf(x)dx ∀ f ∈ Cc(R) con sopf ⊂ [c, d]
La medida m de cualquier intervalo es su longitud. En efecto:
Si I = (a, b), existe (εn) → 0 tal que [a+ εn, b− εn] ⊂ (a, b) y existe(fn) ⊂ Cc(R)
1[a+εn,b−εn] ≤ fn ≤ 1(a,b) ∀n ∈ N.
Por Riemann sabemos que b− a− 2εn ≤∫ ba fn(x)dx ≤ b− a y, ası,
limn→∞
∫
R
fndm = limn→∞
∫ b
afn(x)dx = b− a
Definiendo gn = maxi≤n
fi es claro que (gn) 1(a,b) y por 1.2.14
m(a, b) =
∫
R
1(a,b) dm = limn→∞
∫
R
gn dm.
Como limn→∞
∫
R
gn dm = limn→∞
∫
R
fn dm, deducimos que m(a, b) = b− a.
Si I = [a, b], por compacidad m(I) <∞ y como I =∞⋂
n=1
(a− 1
n, b+
1
n)
resulta que m(I) = limn→∞
b− a+2
n= b− a.
3. Como (Rn, en) es σ-compacto para el funcional positivo
Λ : Cc(Rn) → R
f 7→∫
Q f(x1, · · · , xn)dx1 · · ·dxn
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 59
es la integracion reiterada de Riemann en una caja Q que contiene a
sop f , el teorema de Riesz nos proporciona el espacio de medida deLebesgue (Rn,Mn, mn) y, en el,
∫
Rn
f dmn =
∫
Qf(x1, · · · , xn)dx1 · · ·dxn ∀ f ∈ Cc(Rn) con sopf ⊂ Q
Mediante un razonamiento analogo al realizado en R, podemos com-
probar que la medida de cualquier caja abierta
Q = (a1, b1) × · · · × (an, bn)
es mn(Q) = Πni=1(bi − ai) y lo mismo sucede para las cajas cerradas.
4. La σ-algebra de Lebesgue Mn es mas fina que la de Borel Bn pero paranosotros es suficiente considerar el espacio de medida (Rn,Bn, mn). En
el probaremos la invariancia por traslaciones de mn. En efecto:Sea x ∈ Rn y consideremos la medida
µ : Bn → [0,∞]
E → mn(E + x)
Esta medida coincide con mn en cualquier caja Q:
mn(Q) = mn(Q+ x) = µ(Q)
En Rn todo abierto se puede expresar como union numerable de ca-
jas abiertas disjuntas y, por tanto, la medida µ coincide con mn encualquier V ∈ en:
mn(V ) =∞∑
i=1
mn(Qi) =∞∑
i=1
µ(Qi) = µ(V )
Por ser µ y mn exteriormente regulares, coinciden en todo E ∈ Bn:
µ(E) = infµ(V ) |E ⊂ V, V ∈ en = infmn(V ) |E ⊂ V, V ∈ en = mn(E)
Por tanto,
mn(E) = mn(E + x) ∀E ∈ Bn,
lo cual significa que mn es invariante por traslaciones en Bn
5. Toda µ : Bn → [0,∞] finita en los compactos, invariante por trasla-
ciones y exteriormente regular coincide con mn, salvo una constantemultiplicativa o, si se prefiere, salvo un cambio de escala. En efecto:
Sea Q0 el cubo unidad compacto. Es claro que µ(Q0) = c = cmn(Q0).
60 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Ahora bien, Q0 es union disjunta de 2kn cajas cubicas de arista 2−k.Siendo Q una de ellas, por la invariancia por traslaciones
2knµ(Q) = µ(Q0) = cmn(Q0) = 2kncmn(Q)
luego µ(Q) = cmn(Q) ∀Q cubica de lado 2−k. En consecuencia,tambien µ(V ) = cmn(V ) ∀V ∈ en y, por ser µ exteriormente re-
gular,µ(E) = cmn(E) ∀E ∈ Bn.
6. Si n = r + s es facil ver que
Bn ⊂ Mr ⊗Ms ⊂ Mn
Ademas, como mr ⊗ ms es finita en los compactos, invariante por
traslaciones y exteriormente regular,
mr ⊗ms = mn en Bn
Ahora bien, ∀C ∈ Mr ⊗ Ms, por estar en Mn, existen P1, P2 ∈ Bn
tales que P1 ⊂ C ⊂ P2 y mn(P2 \ P1) = 0 y, por tanto,
mr ⊗ms(C \ P1) ≤ mr ⊗ms(P2 \ P1) = mn(P2 \ P1) = 0.
En consecuencia, mr ⊗ms = mn en Mr ⊗Ms pues
mr ⊗ms(C) = mr ⊗ms(P1) = mn(P1) = mn(C) ∀C ∈ Mr ⊗Ms
La unica diferencia entre (Rn,Mn, mn) y (Rn,Mr⊗Ms, mr⊗ms) es
que el primero es un espacio de medida completo (ver teorema 1.2.40)y el segundo no lo es (ver pagina 45).
Por ello, si F : Rn → R es integrable∫
Rn Fdmn se puede calcular
indistintamente∫
Rr
[∫
Rs
F (x, y) dms(y)
]
dmr(x) =
∫
Rs
[∫
Rr
F (x, y) dmr(x)
]
dms(y)
7. Un caso interesante de medida finita en los compactos, invariante portraslaciones y exteriormente regular en (Rn,Bn) es
µ : Bn → [0,∞]
E → mn(T (E))
siendo T : Rn → Rn lineal. Si dim T (Rn) < n, es claro que µ ≡ 0 pero
si dim T (Rn) = n, T es biyectiva y T (E) ∈ Bn si y solo si E ∈ Bn.Ası, µ esta bien definida y es invariante por traslaciones pues
µ(E + x) = mn(T (E) + Tx) = mn(T (E)) = µ(E)
1.2. MEDIDA E INTEGRACION 61
y es finita en los compactos pues la imagen continua de un com-
pacto es compacta. Ası, ∃ c = mn(T (Q0)) donde Q0 es la caja cubicade arista 1, es decir, el n-paralelepıpedo subtendido por los vectores
e1, . . . , en, de modo que µ(E) = mn(T (E)) = cmn(E) ∀E ∈ Bn.Ya vimos en el comentario 6.2.5,?? que
mn(T (Q0)) = G12 (Te1, . . . , Ten) = | detT |
y, por tanto, los casos anteriores (c = 0 y c 6= 0) se pueden agrupar
diciendo que toda aplicacion lineal T : Rn → R
n produce un cambiode medida de Lebesgue dado por
mn(T (E)) = | detT |mn(E) ∀E ∈ Bn.
8. Dada una T : Rn → Rn lineal y biyectiva, podemos preguntarnos cual
es la medida µ en Bn tal que la ley µT coincide con mn:Si queremos que µT (E) = µ(T−1(E)) = mn(E) ∀E ∈ Bn debe ocurrir
que µ(A) = mn(T (A)) ∀A ∈ Bn. Por tanto, µ = | detT |mn y
∫
Rn
f dmn =
∫
Rn
f T dµ =
∫
Rn
f T | detT | dmn.
En particular, si f = 1E · g, tenemos
f T = (1E · g) T = (1E T ) · (g T ) = 1T−1(E) · (g T )
y, en consecuencia,
∫
E
g dmn =
∫
Rn
1T−1(E) · g T | detT | dmn =
=
∫
T−1(E)g T | detT | dmn.
que es la formula del cambio lineal de variable. Esta formula puede
extenderse a situaciones mas generales, como vemos en el siguiente
Teorema 1.2.43 (Teorema del cambio de variable)
Sean V y W abiertos de Rn y sea F : V → W una aplicacion biyectiva,
diferenciable y con inversa continua. Entonces:
1. F (E) ∈ Bn(W ) ∀E ∈ Bn(V ).
2. La medida µ en V tal que la ley µF en W es mn, viene dada por
µ(E) = mn(F (E)) =
∫
E|JF (x)| dmn(x) ∀E ∈ Bn(V )
62 CAPITULO 1. PRELIMINARES
3. Si f ∈ L1(W,mn) se cumple que
∫
Wf dmn =
∫
Vf F dµ =
∫
Vf(F (x)) |JF (x)| dmn(x)
Demostracion:
1. Es inmediato.
2. Es razonable pensar que una funcion suave como F , transforma con-juntos de medida nula en conjuntos de medida nula y, por tanto,µ mn. En tal caso, el corolario 1.2.37 asegura la existencia de
h ∈ L1(V,mn) tal que
mn(F (E)) =
∫
Eh dmn ∀E ∈ Bn(V )
Por otra parte, por la formula del cambio lineal sabemos que
mn(DF (x)(E)) =
∫
E|JF (x)| dmn(x) ∀E ∈ Bn(V )
Cuando E sea una pequena bola de centro x y radio ε contenida en V ,F y DF (x) estaran tan proximos como queramos y, en consecuencia,h(x) = |JF (x)| mn-ae. Por tanto,
µ(E) = mn(F (E)) =
∫
E|JF (x)| dmn(x) ∀E ∈ Bn(V )
3. Acabamos de verlo en las funciones caracterısticas. Por linealidad lo
tenemos para las funciones simples. Por el teorema 1.2.14 lo tenemospara cualquier funcion medible positiva y, nuevamente, por linealidad
lo obtenemos para toda funcion integrable. ♦
Sea M ∈ Rn una variedad diferenciable q-dimensional de clase C1. Si (U, α)
es una carta local tal que α(U) = M , diremos que M es una variedad de una
sola carta. La aplicacion α transfiere la estructura de medida de Lebesgueque posee U como abierto de Rq a la variedad M del siguiente modo:
En M consideramos la σ-algebra Aα = E ⊂ M |α−1(E) ∈ Mq siendo
Mq la σ-algebra de Lebesgue en U , y en ella definimos la medida
µα: Aα → [0,∞]
E 7→∫
α−1(E)G
12 (t1, · · · , tq)(u) dmq(u)
1.3. CAMPOS EN R3 63
Con ello medimos, localmente, en el espacio tangente, pues G12 (t1, · · · , tq)(u)
es el cambio de medida producido por la aplicacion Dα(u) : Rq → Tx(M).
El espacio de medida (M,Aα, µα) es independiente de la carta (U, α) pues,si (V, β) es otra carta local de M tal que β(V ) = M , debe existir un difeo-morfismo φ : U → V tal que α = β φ y, por tanto,
E ∈ Aα ⇔ α−1(E) = φ−1(β−1(E)
)∈ Mq ⇔ β−1(E) ∈ Mq ⇔ E ∈ Aβ
Ademas,
G12 (Dα(u)e1, · · · , Dα(u)eq) = G
12 (Dβ(v)e1, · · · , Dβ(v)eq) · |Jφ(u)|
y, por el teorema 1.2.43,
µα(E) =
∫
φ−1[β−1(E)]
G12 (Dβ(v)e1, · · · , Dβ(v)eq) · |Jφ(u)| dmq(u) = µβ(E)
Ası pues, en toda variedad M ∈ V1q (R
n) de una carta existe un espaciode medida canonico, independiente de la representacion parametrica, que
llamaremos espacio de medida de Lebesgue (M,A, µ).
1.3 Campos en R3
Muchas situaciones tecnicas interesantes vienen modeladas por una funcionF : V → R3 siendo V un subconjunto de R3. Por ”plantar” un vector encada punto de V , es llamada campo de vectores.. Solo estudiaremos cam-
pos vectoriales definidos en subconjuntos abiertos. Para sacar el maximopartido al calculo y la geometrıa diferencial que conocemos, exigiremos que
los campos sean de clase C2(V ). El teorema de Schwartz nos asegurara,entonces, la simetrıa de las derivadas parciales segundas.
La traza de la diferencial de un campo F : V → R3 es una funcion real
que contiene informacion muy importante. Es la divergencia del campo
divF : V → R
x 7→3∑
i=1
∂F i
∂xi(x) =
3∑
i=1
F ii (x)
Cuando divF = 0 decimos que el campo F es solenoidal.
Tambien es importante el rotacional de F que es el nuevo campo
rotF : V → R3
x 7→(F 3
2 (x)− F 23 (x), F 1
3 (x)− F 31 (x), F 2
1 (x)− F 12 (x)
)
64 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Cuando rotF = θ decimos que el campo F es irrotacional.
El campo rotF es solenoidal pues
div(rotF ) = F 321(x)− F 2
31(x) + F 132(x)− F 3
12(x) + F 213(x)− F 1
23(x) = 0
Para el manejo de estos conceptos es util introducir un lenguaje operacionalque, ademas, nos permite realizar un comodo calculo simbolico. Empezamos
definiendo el operador nabla
∇ =
(∂
∂x1,∂
∂x2,∂
∂x3
)
que al actuar sobre una funcion Φ : V ⊂ R3 → R nos da su campo gradiente
∇Φ: V → R3
x 7→(∂Φ
∂x1,∂Φ
∂x2,∂Φ
∂x3
)
(x) = (Φ1,Φ2,Φ3)(x)
Tambien consideraremos el laplaciano ∆ = div∇ que al actuar sobreuna funcion Φ : V ⊂ R3 → R nos da la funcion
∆Φ: V → R
x 7→3∑
i=1
Φii(x)
Cuando ∆Φ = 0 decimos que la funcion Φ es armonica.
El producto escalar simbolico de ∇ y un campo F nos da su divergencia
(∇|F ) =
((∂
∂x1,∂
∂x2,∂
∂x3
)
| (F 1, F 2, F 3)
)
=
3∑
i=1
F ii = divF
y el producto vectorial simbolico de ∇ y F nos expresa el rotacional
∇∧ F =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣∣∣
= rotF
Esta notacion simbolica es muy adecuada pues nos permite recordar facilmente
que todo campo de rotores es solenoidal [(∇|∇ ∧ F ) = 0] o intuir quetodo campo de gradientes es irrotacional [∇∧∇Φ = (∇∧∇)Φ = o].
Pero, sin duda, la notacion que mas facilita los calculos es la notacion deEinstein. Cualquier vector x = (x1, x2, x3) se escribe en la forma simple xidando por supuesto que i ha de tomar los valores 1,2,3 y se conviene que
1.3. CAMPOS EN R3 65
cuando en una expresion un ındice o multiındice se repite, se debe sumar
sobre el. Ası, por ejemplo,
∇Φ se escribe Φi → (Φ1,Φ2,Φ3)
∆Φ se escribe Φii → Φ11 + Φ22 + Φ33
divF se escribe F ii → F 11 + F 2
2 + F 33
Ademas, si εijk
es el signo de la permutacion (i, j, k), es decir, si
ε123 = ε231 = ε312 = 1
ε213 = ε132 = ε321 = −1
rotF se escribe εijkF kj → (ε1jk
F kj , ε2jkF kj , ε3jk
F kj )
pues sumando en los multi-ındices repetidos tenemos que
ε1jkF kj → ε123F
32 + ε132F
23 = (F 3
2 − F 23 )
ε2jkF kj → ε213F
31 + ε231F
13 = (F 1
3 − F 31 )
ε3jkF kj → ε312F
21 + ε321F
12 = (F 2
1 − F 12 )
Usando esta notacion, no queda ninguna duda sobre el caracter irrotacional
de un campo de gradientes:
rot∇Φ = εijkΦkj = o
1.3.1 Circulaciones
Dado un campo F : V → R3 y una curva regular Λ ⊂ V , podemos definir
(F |t): Λ → R
x 7→ (F (x)|t(x))
siendo t(x) el vector tangente unitario a la curva Λ en el punto x. Si (Λ,A, λ)
es la estructura de medida canonica, podemos considerar la integral
L(F,Λ) =
∫
Λ(F | t) dλ
Si Λ viene dada por la carta local α : (a, b) → R3, la integral vale
∫ b
a
(
F α(t) | α′(t)‖α′(t)‖
)
‖α′(t)‖dt =
∫ b
a
(F α |α′)dm1
pero si Λ viene dada por la carta α? : (a, b) → R3, t 7→ α(a+ b− t),
∫ b
a
(F α?(t) |α?′(t)
)dt = −
∫ b
a
(F α(a+ b− t) |α′(a+ b− t)
)dt
66 CAPITULO 1. PRELIMINARES
y, haciendo el cambio de variable t = a + b− τ ,
∫ b
a
(F α? |α?′
)dm1 = −
∫ b
a
(F α |α′)dm1
La integral L(F,Λ) es la circulacion del campo F a lo largo de la curva Λ
y su signo depende de la orientacion elegida. Si F es un campo de fuerzas,L(F,Λ) se interpreta fısicamente como el trabajo que realiza F para llevar
a la masa unidad por la curva Λ.
Campos conservativos
Un campo F : V → R3 de dice conservativo si existe una funcion
Φ: V → R
x 7→ Φ(x)
llamada potencial de F , tal que F = −∇Φ. Entonces, divF = −∆Φ y, ası,
F es solenoidal ⇔ Φ es armonica
Comentarios 1.3.2
1. Si F : V → R3 es conservativo con potencial Φ y Λ ⊂ V viene dada
en funcion de su arco por la carta local γ : (0, L) → R3 el teorema de
derivacion de la funcion compuesta asegura que
(F (x)|t(x)) = −(∇Φ(γ(s))|γ ′(s)) = (Φ γ)′(s) ,
y, por tanto,
L(F,Λ) = −∫ L
0
(Φ γ)′(s)ds = Φ(x(0))− Φ(x(L))
En este caso L(F,Λ) no depende del camino en sı pues viene dadapor la diferencia de potencial entre el punto inicial xi y el punto fi-
nal xf y, en consecuencia, L(F,∆) = 0 en toda curva cerrada ∆ ⊂ V .
En particular, si F es un campo de fuerzas conservativo y Λ viene
dada en funcion del tiempo por la carta local α : (0, T ) → R3, el tra-
bajo realizado por el campo para llevar una partıcula de masa m a lo
largo de Λ seram (Φ(xi)− Φ(xf ))
y, tambien,
∫ T
0
m (α′′(t) |α′(t))dt =1
2m
∫ T
0
(α′(t) |α′(t))′dt =1
2m (‖vf‖2−‖vi‖2)
1.3. CAMPOS EN R3 67
Ası, obtenemos que
mΦ(xi) +1
2m‖vi‖2 = mΦ(xf) +
1
2m‖vf‖2 = constante
Es habitual designar
V(x) = mΦ(x) energıa potencial
T (x, v) =1
2m‖v‖2 energıa cinetica
y, por tanto, la igualdad anterior es el principio de conservacion
T + V = E (energıa total constante)
que gobierna la mecanica en los campos de fuerzas conservativos.
2. Tambien es cierto el siguiente recıproco de 1: Si F : V → R3 es uncampo tal que L(F,∆) = 0 ∀∆ ⊂ V cerrada, F es conservativo.
En efecto:La circulacion en cualquier Λ ⊂ V depende solo de su punto inicial y
su punto final, pues, si Λ1 y Λ2 tienen los mismos extremos, Λ1 ∪ Λ2
es cerrada y, ası,
L(F,Λ1 ∪ Λ2) = L(F ; Λ1) + L(F, Λ2) = 0 ⇒ L(F,Λ1) = L(F,Λ2).
Fijado x0 ∈ V y siendo Λ cualquier curva de origen x0 y final x, quedabien definida la funcion
Φ : V → R
x 7→ L(F,Λ)
Es claro que el numerador de
Φi(x) = limt→0
Φ(x + tei) − Φ(x)
t
es la circulacion de F en el segmento [x + tei, x]. Por tanto,
Φi(x) = limt→0
L(F, [x + tei, x])
t= lim
t→0
∫ 0t F
i(x)dt
t= −F i(x)
luego
∇Φ(x) = −F (x) ♦
68 CAPITULO 1. PRELIMINARES
1.3.3 Flujos
Dado un campo F : V → R3 y una superficie orientable Σ ⊂ V , definimos
(F |n): Σ → R
x 7→ (F (x)|n(x))
siendo n(x) el vector normal unitario a la superficie Σ en el punto x. Si(Σ,A, σ) es la estructura de medida canonica en la superficie, podemos con-
siderar la integral
S(F,Σ) =
∫
Σ(F |n) dσ
Si Σ viene dada por la carta (U, α) la integral se calcula
∫
U
(
F α | t1 ∧ t2
‖t1 ∧ t2‖
)
‖t1 ∧ t2‖dm2 =
∫
U
[F α, t1, t2] dm2
donde el corchete expresa el producto mixto. Evidentemente, si en Σ con-sideramos la orientacion opuesta tendremos
∫
U[F α, t2, t1] dm2 = −
∫
U[F α, t1, t2] dm2
La integral S(F,Σ) es el flujo del campo F a traves de la superficie Σ y su
signo depende de la orientacion elegida en la superficie.
Comentarios 1.3.4
1. Si F : V → R3 es un campo de clase C2(V ) y Q es una caja tal que
Q ⊂ V , el flujo de F a traves de su superficie lateral ∂Q es:
∫
∂Q(F |n)dσ =
∫
QdivFdm3
En efecto:
Si las caras de Q son
Π1 de normal exterior e1
Π2 de normal exterior e2
Π3 de normal exterior e3
y
Π4 de normal exterior − e1
Π5 de normal exterior − e2
Π6 de normal exterior − e3
tendremos
∫
∂Q(F |n)dσ =
6∑
i=1
∫
Πi
(F |n)dσi =
3∑
i=1
(∫
Πi
F idσi −∫
Πi+3
F idσi+3
)
1.3. CAMPOS EN R3 69
Si las dimensiones de la cajaQ son `1×`2×`3, la cara Πi es la traslacion
de Πi+3 segun el vector `iei y, por tanto,
∫
Πi
F idσi −∫
Πi+3
F idσi+3 =
∫
Πi+3
(F i(x + `iei) − F i(x)
)dm2(x) =
=
∫
Πi+3
[∫ `i
0
∂F i
∂xi(x)dm1(xi)
]
dm2(x)(Fubini)
=
∫
Q
∂F i
∂xidm3
Como esto es cierto para i = 1, 2, 3, sumando obtenemos el resultado.
2. Evidentemente, el flujo de un campo solenoidal F : V → R3 a traves
de las paredes de cualquier caja Q ⊂ V es nulo. Esta condicion Q ⊂ Ves esencial y no basta con exigir que ∂Q ⊂ V como vemos en el caso
del campo solenoidal
F : R3 \ 0 → R3
x 7→ Kx
‖x‖3
a traves de la esfera de centro o y radio r, no es nulo:
∫
∂Br
(F |n)dσ = K
∫
∂Br
(x
‖x‖3
∣∣∣
x
‖x‖
)
dσ =K
r2
∫
∂Br
dσ = 4Kπ
Recıprocamente, si F : V → R3 es un campo cuyo flujo a traves de las
paredes de toda caja cerrada Q ⊂ V es nulo, debe cumplir que
∫
QdivFdm3 = 0 ∀Q ⊂ V luego divF = 0 m3 · ae
3. Dado un campo F : V → R3 de clase C2(V ) y un punto x0 ∈ V ,
podemos definir el flujo medio del campo como la funcion
Ψx0 (`) =
∫
∂Q`
(F |n)dσ
m3(Q`)si ` > 0
donde Q` es el cubo de centro x0 y arista ` tal que Q` ⊂ V . Lo vistoen el comentario 1 asegura que
divF (x0) = lim`→0
∫
∂Q`
(F |n)dσ
m3(Q`)= lim
`→0Ψx0(`)
y, ası, la divergencia de un campo en un punto puede ser interpretadacomo el flujo medio en dicho punto.
70 CAPITULO 1. PRELIMINARES
1.3.5 Generalizaciones de la regla de Barrow
La regla de Barrow que conocemos hasta ahora, afirma que
∫ b
af ′(x)dx = f(b)− f(a)
Es decir, relaciona el valor de la integral de una ”derivacion” de f en un
intervalo, con el valor de f en la frontera de ese intervalo y ha sido clavepara obtener el principio de conservacion de la energıa en Mecanica.
Ahora, para un campo F : V → R3 aparecen como derivaciones, su diver-
gencia y su rotacional. Hemos visto en el comentario 1.3.4.1 que, al menos
para una caja Q ⊂ V , tambien existe una relacion entre la integral de la”derivacion” divF en el interior de Q y el valor de F en la frontera ∂Q
∫
QdivFdm3 =
∫
∂Q(F |n)dσ
cuando n es el vector unitario normal exterior a ∂Q.Veremos que esta nueva regla de Barrow es cierta no solo para las cajas,
sino tambien para cualquier dominio regular D ⊂ V . Veremos, ademas,otra generalizacion de la regla de Barrow para la ”derivacion” rotF :
∫
Σ(rotF |n)dσ =
∫
∂Σ(F |t)dλ
siempre que Σ sea orientable y ∂Σ tenga su orientacion inducida.
Cuando dispongamos de estos poderosos instrumentos de medida, estaremosen condiciones de justificar otros principios fundamentales de la Electricidad,
el Magnetismo y de los Medios Continuos, como la ley de Gauss, la deAmpere, la de Faraday o la ley de Bernouilli, que son los pilares de la Fısica.
1.3.6 El Teorema de la Divergencia
Teorema 1.3.7
Sea F : V → R3 un campo de clase C2(V ) y sea D un dominio regular tal
que D ⊂ V . Si n es el vector normal unitario exterior en cada punto de ∂D,
∫
DdivF dm3 =
∫
∂D(F |n) dσ
Demostracion :
1. Si g : V ⊂ R3 → R es de clase C1(V ) y sop g es compacto,
∫
V
∂g
∂xidm3 = 0 ∀i = 1, 2, 3
1.3. CAMPOS EN R3 71
Si definimos g = 0 fuera de sop g, tenemos una funcion de clase C1(R3).
Fubini y Barrow aseguran que∫
V
∂g
∂xidm3 =
∫
R3
∂g
∂xidm3 =
∫
R2
dm2
∫ ∞
−∞
∂g
∂xidxi = 0
porque g(x) = 0 para |xi| grande.
2. Si g : R3 → R es de clase C1(R3), sop g es un compacto contenido en
un abierto U × R y φ : U → R es de clase C1(U), se cumplen
(i)
∫
x3<φ
∂g
∂x3dm3 =
∫
U
g (I, φ) dm2
(ii)
∫
x3<φ
∂g
∂xidm3 = −
∫
Ug (I, φ) · ∂g
∂xidm2 para i = 1, 2
En efecto:
(i) Aplicando Fubini tenemos:∫
x3<φ
∂g
∂x3dm3 =
∫
R3
1U(x1, x2)·1[−∞,φ(x1,x2)](x3)·∂g
∂x3(x)dm3(x) =
=
∫
U
[∫ φ(x1,x2)
−∞
∂g
∂x3dx3
]
dm2(x1, x2) =
∫
Ug (I, φ) dm2
(ii) La funcion
G : U → R
(x1, x2) 7→∫ φ(x1,x2)
−∞g(x1, x2, z) dm1(z)
es la funcion compuesta
G = H (I, φ) donde H(x1, x2, x3) =
∫ x3
−∞g(x1, x2, z)dm1(z)
y, claramente, es de clase C1(U) y sopG es un compacto
contenido en U . Por tanto,∫
U
∂G
∂xidm2 = 0 para i = 1, 2
Ahora bien, los teoremas de diferenciacion de la funcion com-
puesta y de derivacion bajo el signo integral nos aseguran que
∂G
∂xi=
∫ φ
−∞
∂g
∂xidx3 + g (I, φ) · ∂φ
∂xipara i = 1, 2
y, en consecuencia,∫
x3<φ
∂g
∂xidm3 =
∫
U
[∫ φ
−∞
∂g
∂xidx3
]
dm2 = −∫
U
g(I, φ)· ∂φ∂xi
dm2
72 CAPITULO 1. PRELIMINARES
3. Tras estos dos apartados o lemas previos ya podemos abordar la prueba
del teorema. Consideremos ∂D dada por una carta local de la forma
(I, φ) : U → R3 con φ : U → R de clase C1(U)
y tomemos un abierto V ⊂ U × R de modo que D ⊂ V y
x3 < φ en V ∩Dx3 > φ en V \D
Es facil comprobar que la integral de la divergencia es
3∑
i=1
∫
V ∩D
∂F i
∂xidm3 =
3∑
i=1
∫
x3<φ
∂F i
∂xidm3 = lema 2 =
=
∫
U(F (x1, x2, φ(x1, x2))|(−
∂φ
∂x1,− ∂φ
∂x2, 1))dm2(x1, x2).
Pero, en estas condiciones, (− ∂φ
∂x1,− ∂φ
∂x2, 1) tiene la direccion de la
normal exterior a ∂D y
dσ(x1, x2) =
√
1 +
(∂φ
∂x1
)2
+
(∂φ
∂x2
)2
dm2(x1, x2)
luego
∫
U(F (x1, x2, φ(x1, x2))|(−
∂φ
∂x1,− ∂φ
∂x2, 1))dm2(x1, x2) =
∫
∂D(F |n)dσ ♦
Consecuencias 1.3.8
1. Aplicando el teorema 1.3.7 a los campos constantes ei en un dominio
regular D, tenemos
∫
∂D
n1dσ =
∫
∂D
n2dσ =
∫
∂D
n3dσ = 0. Ası,
∫
∂Dn dσ = o
La anulacion de esta integral vectorial significa que la media del vectornormal en una superficie cerrada es nula o que no existen direcciones
privilegiadas en una superficie cerrada.
2. Si aplicamos el teorema 1.3.7 al campo identidad I : D → R3 (divI=3)en la bola euclıdea Br de centro o y radio r tenemos:
3m3(Br) =
∫
∂Br
(
x
∣∣∣
x
‖x‖
)
dσ(x) = rσ(∂Br)
1.3. CAMPOS EN R3 73
que esta perfectamente de acuerdo con los conocidos resultados
m3(Br) =4
3πr3
σ(∂Br) = 4πr2
3. Si aplicamos el teorema 1.3.7 al campo identidad en un dominio regular
D encerrado por un cono Σ de vertice o y un plano Π de ecuacion(x|n0) = h, tenemos
3vol(C) =
∫
Σ(I |n)dσ +
∫
ΠΣ
(I |n0)dm2
donde ΠΣ es el trozo de Π encerrado por la curva Π ∩ Σ, tendremos
(I |n) = 0 en Σ
(I |n0) = h en ΠΣ
luego m3(C) =1
3σ(ΠΣ) · h
4. Sea Σ un trozo del plano XY con orientacion e3 y sea su borde ∂Σuna curva cerrada con la orientacion inducida. Sea U un abierto de
R2 que contiene a Σ y sea F : U → R
2 un campo bidimensional declase C2(U). Entonces, se cumple la formula de Riemann-Green:
∫
∂Σ
(F |t)dλ =
∫
Σ
(∂F 2
∂x1− ∂F 1
∂x2
)
dσ
Demostracion:
Sea D un dominio regular cilındrico de altura h levantado sobre Σ y
sea ∂D su borde orientado al exterior. Puesto que
(F |t) = ((F 2,−F 1, 0)|t∧ e3) = ((F 2,−F 1, 0)|n),
aplicando los teoremas de Fubini y de la divergencia, obtenemos
∫
∂Σ(F |t) dλ =
1
h
∫ h
0
(∫
∂Σ((F 2,−F 1, 0)|n) dλ
)
dz =
=1
h
∫
∂D
((F2,−F1, 0)|n) dσ =1
h
∫
D
div(F2,−F1, 0)dm3 =
=1
h
∫ h
0
(∫
Σ
(∂F 2
∂x1− ∂F 1
∂x2
)
dσ
)
dm1 =
∫
Σ
(∂F 2
∂x1− ∂F 1
∂x2
)
dσ
La formula de Riemann-Green se puede entender como un teorema de
la divergencia bidimensional para el campo F ? = (F 2,−F 1) pues∫
∂Σ
(F ?|n)dλ =
∫
Σ
divF ?dσ
Ademas, considerando el campo tridimensional
74 CAPITULO 1. PRELIMINARES
F : U × R → R3
(x1, x2, x3) 7→ (F 1(x1, x2), F2(x1, x2), 0)
extension natural de F : U → R2, tambien se puede entender como
una version reducida del teorema del rotacional, para recintos planos:∫
∂Σ(F |t) dλ =
∫
Σ(rotF |n) dσ
5. El teorema 1.3.7 tambien es la clave de las formulas de Green . Si D es
un dominio regular, V es un abierto que contiene a D y f, g : V → R
son funciones reales de clase C2(V ), se cumplen las formulas
G1
∫
∂D(∇f |n) dσ =
∫
D∆f dm3
G2
∫
∂D
(
g(∇f |n)− f(∇g|n))
dσ =
∫
D
(g∆f − f∆g) dm3
En efecto:
G1 Se obtiene por aplicacion del teorema 1.3.7 al campo ∇f .
G2 Se obtiene aplicando el teorema 1.3.7 al campo g∇f − f ∇gteniendo en cuenta que
div(g∇f − f ∇g) = g∆f − f∆g
En particular:
(a) Si f armonica, G1 ⇒∫
∂D
∂f
∂ndσ = 0
(b) Si f, g armonicas y homogeneas de distinto grado, α 6= β,
G2 ⇒ α − β
r
∫
‖x‖=rg f dσ = 0 (f ⊥ g en L2(∂Br, σ))
Funciones armonicas
De las formulas de Green se deducen muchas de las buenas propiedades delas funciones armonicas.
Teorema 1.3.9 Propiedad del valor medio
f : V ⊂ R3 → R de clase C2(V ) es armonica si y solo si
f(p) =
∫
∂Br(p)f dσ
4 π r2∀Br(p) ⊂ V
Demostracion:
El isomorfismo entre el borde de la bola unidad euclıdea B y el borde de la
bola euclıdea Br(p)
1.3. CAMPOS EN R3 75
c: ∂B → ∂Br(p)
u 7→ p + ru
es restriccion de la aplicacion
C: R3 → R3
x 7→ p + rx
cuya diferencial es rI . Asi, |J (c)(x)| = r2 y, por el teorema 1.2.43,
M(r) =
∫
∂Br(p)f dσ
4 π r2=
1
4 π
∫
∂B
f(p + ru)dσ(u).
La nueva expresion nos permite calcular facilmente
M ′(r) =1
4 π
∫
∂B
Df(p + ru)(u)dσ(u) =1
4 π
∫
∂B
∂f
∂n(p + r u)dσ(u)
o, volviendo a la bola primitiva,
M ′(r) =1
4 π r2
∫
∂Br(p)
∂f
∂ndσ =
1
4 π r2
∫
Br(p)∆fdm3
Si f es armonica, M(r) es constante, luego M(r) = M(0) = f(p).
Si M(r) es constante, M ′(r) =
∫
Br(p)∆fdm3 = 0 ∀ Br(p) ⊂ V . Luego
∆f = 0 m3 · ae en V
y, por continuidad, f armonica en todo V . ♦
Teorema 1.3.10 Principio del maximo
Si V es un abierto conexo y f : V → R es armonica y alcanza su maximoabsoluto M , entonces f es constante.
Demostracion:
Es claro que f−1(M) = x ∈ V | f(x) = M es cerrado no vacıo en V .Veamos que tambien es abierto: Si p ∈ f−1(M) y Br(p) ⊂ V ,
1
4 π r2
∫
∂Br(p)|M − f |dσ =
1
4 π r2
∫
∂Br(p)(M − f)dσ = M − f(p) = 0
Por tanto, f(x) = M ∀x ∈ ∂Br(p) y, tambien, ∀x ∈ ∂Bρ(p) con ρ < r.Luego Br(p) ⊂ f−1(M). Ası, f−1(M) = V y f(x) = M ∀x ∈ V . ♦
76 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Podemos razonar lo mismo con el mınimo absoluto. Este principio asegura
que un problema de Dirichlet en un dominio regular conexo V
∆Φ = 0 en V
Φ = f en ∂V
si tiene solucion, es unica, pues, si Φ1 y Φ2 son dos soluciones, Φ1 − Φ2 esarmonica en V y nula en ∂V donde, ademas, alcanza sus valores extremos.
Por tanto, 0 ≤ Φ1 − Φ2 ≤ 0 en todo V .
Es facil ver que las unicas armonicas radiales son H : Rn \ o → R
donde H(x) =
A log ‖x‖+B si n = 2A
‖x‖ +B si n = 3
Ademas, si p ∈ Br(o) y p′ =r2
‖p‖2p es su transformado por la in-
version que deja invariante a ∂Br(o), tambien es facil comprobar que
Hp: Rn \ p → R
x 7→ H(x− p)
y
Kp: Rn \ p′ → R
x 7→ r
‖p‖H(x− p′)
son funciones armonicas que coinciden en ∂Br(o).
Teorema 1.3.11 Formula integral de Poisson
Si Br(o) ⊂ V y f : V ⊂ R3 → R es armonica, se tiene:
f(p) =r2 − ‖p‖2
4π r
∫
∂Br(o)
f(x)
‖p− x‖3dσ(x) ∀p ∈ Br(o)
donde σ es la medida canonica en ∂Br(o).
Demostracion:
Si p ∈ Br y Bε(p) ⊂ Br(o) y aplicamos G2 en el dominio Br(o) \Bε(p) a
las funciones f y Hp, por ser armonicas en el, tenemos
(?)
∫
∂Br(o)
(
f∂Hp
∂n−Hp
∂f
∂n
)
dσ =
∫
∂Bε(p)
(
f∂Hp
∂n−Hp
∂f
∂n
)
dσ
Como Hp = Kp en ∂Br(o) podemos sustituir∫
∂Br(o)Hp
∂f
∂ndσ =
∫
∂Br(o)Kp
∂f
∂ndσ
1.3. CAMPOS EN R3 77
y al ser Kp armonica en un entorno de Br(o), de nuevo por G2
∫
∂Br(o)
Kp
∂f
∂ndσ =
∫
∂Br(o)
f∂Kp
∂ndσ
Luego, el primer termino de (?) puede ser escrito en la forma
∫
∂Br(o)
f
(∂Hp
∂n− ∂Kp
∂n
)
dσ
Del segundo termino de (?) podemos calcular sus dos sumandos:
∂Hp
∂n(x) = DHp(x)
(x − p
‖x− p‖
)
= − 1
‖x − p‖2
luego ∫
∂Bε(p)f∂Hp
∂ndσ = − 1
ε2
∫
∂Bε(p)f dσ = − 4 πf(p)
siendo la ultima igualdad debida al teorema 1.3.9. Ademas, por G1:
∫
∂Bε(p)Hp
∂f
∂ndσ =
1
ε
∫
∂Bε(p)
∂f
∂ndσ = 0
En resumen,
f(p) =1
4 π
∫
∂Br(o)f
(∂Kp
∂n− ∂Hp
∂n
)
dσ ∀p ∈ Br(o)
Cuando ‖x‖ = r se tiene que ‖x − p′‖ =r
‖p‖‖x − p‖ y, entonces, es facil
obtener la expresion anunciada del nucleo de Poisson
P(p, x) :=∂Kp
∂n(x)− ∂Hp
∂n(x) =
(p′|x)− r2
‖p‖ ‖x− p′‖3− (p|x)− r2
r ‖x− p‖3=
=(‖p‖2/r2)((p′|x)− r2) − ((p|x)− r2)
r ‖x− p‖3=
r2 − ‖p‖2
r ‖x − p‖3
con lo cual,
f(p) =r2 − ‖p‖2
4 π r
∫
∂Br(o)
f(x)
‖x− p‖3dσ ∀p ∈ Br(o) ♦
Comentarios 1.3.12
1. La formula integral de Poisson da la solucion del problema de Dirichleten una bola centrada en el origen pero, evidentemente, por traslacion,
la podemos adaptar a cualquier otra bola euclıdea.
78 CAPITULO 1. PRELIMINARES
2. El nucleo P(p, x) es diferenciable indefinidamente respecto de p y, por
tanto, toda funcion armonica es de clase C∞.
3. Para funciones armonicas f : V ⊂ R2 → R, tomando H(x) = log ‖x‖,la formula integral de Poisson queda como sigue
f(p) =r2 − ‖p‖2
2π r
∫
∂Br(o)
f(x)
‖p− x‖2dλ(x) ∀p ∈ Br(o)
donde λ es la medida canonica en ∂Br(o)
1.3.13 El Teorema del Rotacional
Teorema 1.3.14
Si Σ es una superficie orientada segun n, ∂Σ es la curva cerrada de su borde
con la orientacion inducida y F : V → R3 es un campo de vectores de clase
C2(V ) con Σ ⊂ V , se cumple que
∫
Σ(rotF |n) dσ =
∫
∂Σ(F | t)dλ
Demostracion:
Suponemos que Σ esta descrita por la carta local
(I, f): D → R3
(x, y) 7→ (x, y, f(x, y))
Suponemos en D la orientacion e3 y su borde ∂D descrito por una carta
local α : (a, b) → R2 que le confiere la orientacion inducida. Entonces, ∂Σ
estara descrito por la carta local
(I, f) α: (a, b) → R3
t 7→ (α(t), f α(t))
que le confiere la orientacion inducida por la orientacion (−f1,−f2, 1) de Σ.Ası, tenemos
∫
∂Σ(F |t)dλ =
∫ b
a
(F (α, f α)|(α′, (f α)′)
)dm1 =
=
∫ b
a
(F (α, f α)|(α′, Df(α)α′)
)dm1 =
∫
∂D(F ?|t)dλ
donde F ? es el campo bidimensional
F ?: D → R2
x 7→(F 1(x, f(x))+ F 3(x, f(x)) · f1(x)
F 2(x, f(x))+ F 3(x, f(x)) · f2(x)
)
1.3. CAMPOS EN R3 79
Aplicandole la formula de Riemann-Green tenemos∫
∂D
(F ?|t)dλ =
∫
D
(
F ?21 − F ?12
)
dm2
y, comoF ?2
1 = F 21 + F 2
3 · f1 + (F 31 + F 3
3 · f1) · f2 + F 3 · f21
F ?12 = F 1
2 + F 13 · f2 + (F 3
2 + F 33 · f2) · f1 + F 3 · f12
resulta que
F ?21 − F ?12 = (F 21 − F 1
2 ) + (F 23 − F 3
2 ) · f1 + (F 31 − F 1
3 ) · f2.
Ahora bien, directamente podemos calcular∫
Σ(rotF |n)dσ =
∫
D
((F 3
2 − F 23 )(−f1) + (F 1
3 − F 31 )(−f2) + (F 2
1 − F 12 ))dm2.
luego∫
Σ(rotF |n)dσ =
∫
D
(
F ?21 − F ?12
)
dm2 =
∫
∂D(F ?|t)dλ =
∫
∂Σ(F |t)dλ ♦
Consecuencias 1.3.15
1. Hemos visto en los comentarios 1.3.1,1 y 2 que un campo F : V → R3
es conservativo si y solo si la circulacion L(F,∆) en toda curva cerrada
∆ ⊂ V es nula.Tambien sabemos que un campo conservativo es siempre irrotacional.El teorema 1.3.14 nos asegura el recıproco cuando toda curva cerrada
∆ ⊂ V es el borde de una superficie totalmente contenida en V .Los abiertos V que cumplen esta condicion se llaman simplemente
conexos y, en tal caso, todo campo F : V → R3 cumple que
F es conservativo ⇔ F es irrotacional
Un V ⊂ R2 es simplemente conexo si y solo si no tiene agujeros. Sin
embargo, un V ⊂ R3 con agujeros, puede ser simplemente conexo ya
que cualquier curva que los rodee podrıa ser el borde de una superficie
que lograra evitarlos sin salirse de V .
2. Si F : V → R3 es irrotacional y V es simplemente conexo podemos
calcular su funcion potencial directamente a partir de su definicion3.Ahora bien, si la quebrada
Λ = [o, (x, 0, 0)]∪ [(x, 0, 0), (x, y, 0)]∪ [(x, y, 0),x] ⊂ V
3Debemos recordar los metodos de integracion de las ecuaciones diferenciales exactasy asociar las ecuaciones cerradas con los campos irrotacionales
80 CAPITULO 1. PRELIMINARES
podremos calcular el potencial a partir de L(F,Λ) = Φ(o) − Φ(x):
Φ(x) = −∫ x
0F 1(x, 0, 0)dx−
∫ y
0F 2(x, y, 0)dy−
∫ z
0F 3(x, y, z)dz+ Φ(o)
Alternativamente, si la quebrada
Λ = [x∞, (x, 0, 0)]∪ [(x, 0, 0), (x, y, 0)]∪ [(x, y, 0), x]⊂ V
podremos calcular el potencial a partir de L(F,Λ) = Φ(x∞) − Φ(x):
Φ(x) = −∫ x
∞F 1(x, 0, 0)dx−
∫ y
0F 2(x, y, 0)dy−
∫ z
0F 3(x, y, z)dz+ Φ(x∞)
3. Hemos visto en la pagina 64 que todo campo de rotores es solenoidal.Ahora nos planteamos la cuestion inversa:Si un campo F : V → R3 de clase C2(V ) es solenoidal ¿existe un
P : V → R3 tal que F =rotP?. La respuesta la damos proponiendo
una solucion en V para el sistema de ecuaciones en derivadas parciales
εijkPkj = F i con F ii = 0
Eligiendo, de salida, P 1 = 0 el sistema se reduce a
P 32 − P 2
3 = F 1
−P 31 = F 2
P 21 = F 3
con F 11 + F 2
2 + F 33 = 0
y podemos proponer la solucion
P 1 = 0
P 2 =∫ xx0F 3dx+ g2(y, z)
P 3 = −∫ xx0F 2dx+ g3(y, z)
con g2 y g3 arbitrarias puesto que, por ser F solenoidal, se cumple que
P 32 − P 2
3 = −∫ x
x0
F 22 dx + g3
2(y, z)−∫ x
x0
F 33 dx− g2
3(y, z) = F 1
Eligiendo g2 = 0 debe cumplirse que g32(y, z) = F 1(x0, y, z) y, ası,
podemos proponer la solucion
(?)
P 1 = 0
P 2 =∫ xx0F 3dx
P 3 = −∫ xx0F 2dx+
∫ yy0F 1(x0, y, z)dy
1.4. EJERCICIOS 81
siempre que dados dos puntos arbitrarios x0, x ∈ V haya una caja
que los contenga y este totalmente contenida en V . Esta condiciondel dominio se puede debilitar y se puede probar (no lo haremos) que
basta que V no tenga agujeros para poder asegurar la existencia de lasolucion particular P dada en (?).
Es evidente que si existe esta solucion particular, tambien G = P+∇Φes solucion, cualquiera que sea la funcion Φ : V → R puesto que
rotG = rotP = F
Recıprocamente, si G fuese una solucion cualquiera, tendrıamos
rotG = F
rotP = F⇒ rot(G− P ) = o
y, al carecer V de agujeros, serıa simplemente conexo y estarıa asegu-
rada la existencia de un potencial Φ : V → R tal que G = P + ∇Φ.Por tanto, P + ∇Φ es la solucion general del sistema
εijkGkj = F i con F ii = 0
que se llama potencial vector del campo solenoidal F .
1.4 Ejercicios
1. Practica1. Operar con listas y diccionarios. sws
Capıtulo 2
Problemas inversos
Dada una funcion f : X → Y y un b ∈ Y , resolver el problema inversoo la ecuacion f(x) = b, es estudiar si existe algun x0 ∈ X tal que f(x0) = b
y calcularlo.
2.1 El caso lineal finito dimensional
Si X e Y son espacios vectoriales de dimension finita y f es lineal, este
problema ya ha sido tratado en la asignatura de Algebra Lineal.Recordemos que una aplicacion f : X → Y es lineal cuando
1. f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ∀x1, x2 ∈ X
2. f(λ · x) = λ · f(x) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R
Son importantes los subespacios vectoriales
ker f = x ∈ X | f(x) = 0 ⊂ X y imf = f(x) | x ∈ X ⊂ Y
y, si dimX <∞, se cumple la ecuacion de dimensiones
(ED) dimker f + dim im f = dimX .
Las aplicaciones lineales son las mas importantes de las definidas entre espa-
cios vectoriales. Si X e Y tienen bases de Hamel u1, · · · ,un y v1, · · ·vm,la aplicacion lineal f : X → Y queda determinada por los vectores
f(uj) = aj =
m∑
i=1
aijvi ∀j = 1, · · · , n
o por la matriz
A = (aij) =
a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
83
84 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
pues si x =
n∑
j=1
xjuj, se tiene que
f(x) =
n∑
j=1
xjaj =(a1 · · · an
)
xi...xn
=
a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
xi...xn
= Ax
El problema inverso f(x) = b o, si se prefiere, el sistema lineal Ax = b,tiene solucion si y solo si
b ∈ im f = [a1, · · · , an].
Ademas, si x0 es una solucion, cualquier otra estara en x0 + ker f y, ası, la
solucion es unica si ker f = 0 o, por (ED), si a1, · · · , an son lineal-mente independientes.
El teorema de Rouche-Frobenius expresa esto en terminos de la matriz A:
1. f(x) = b tiene solucion si y solo si rang(A) = rang([A,b])
2. f(x) = b tiene solucion unica si y solo si rang(A) = rang([A,b]) = n
Cuando b /∈ im f , el sistema Ax = b no tiene solucion, pero si en Y
consideramos un producto escalar | : Y × Y → R y su correspondientenorma euclıdea
‖ ‖: Y → R
y 7→ +√
(y|y)
es claro que el vector b tiene una unica mejor aproximacion euclıdea en el
subespacio cerrado im f . Ası, existira un unico y0 ∈ im f tal que
‖y0 − b‖ = min‖Ax− b‖ | x ∈ X
Por tanto, la funcion
F : X → R
x 7→ ‖Ax − b‖
o, equivalentemente, la funcion
G: X → R
x 7→ (Ax− b|Ax− b)
alcanza un mınimo en un x0 ∈ X que debe cumplir que DG(x0) = 0. Como
G(x) = (Ax|Ax)− 2(Ax|b) + (b|b) = (A?Ax|x)− 2(A?b|x) + (b|b)
2.2. CASOS NO LINEALES 85
es claro que
DG(x) = 2A?Ax − 2A?b
y, por tanto, x0 es solucion del sistema lineal A?Ax = A?b.
Ası, aunque el sistema lineal Ax = b no tenga solucion, el sistema lin-
eal A?Ax = A?b si la tiene. Este es el sistema que resolvemos con la ordenRASL(A,b) en Sage y, por eso, siempre nos ofrece una solucion generalizada
o mejor aproximacion de la solucion aunque Rouche-Frobenius nos asegureque no existe solucion propiamente dicha.
2.2 Casos no lineales
Si f : X → Y no es lineal, el problema inverso f(x) = b es mucho mas difıcil,
aunque, designando F = f − b, podamos reducirlo al problema equivalenteF (x) = 0.
2.2.1 Polinomios
Ni cuando X = Y = R y F es un polinomio de grado mayor que uno, resultafacil el problema.
Al-Khwarizmi nos enseno a resolverlo cuando F (x) = ax2 + bx+ c pues,
mediante el cambio x = X − b
2a, llegamos a
X 2 =b2 − 4ac
4a2y, por tanto, x =
−b±√b2 − 4ac
2a
Tartaglia nos enseno a resolverlo cuando F (x) = ax3 +bx2+cx+d pues,
mediante el cambio x = X − b
3a, podemos reducirlo a uno del tipo
X 3 +AX = B con
A =27ca2 − 9ab2
27a3
B =9cab− 27da2 − 2b3
27a3
.
y resolverlo siguiendo las instrucciones de su verso:
86 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
Cuando esta el cubo con las cosas preso
y se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso
Despues haras esto que te espetoque su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto
Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restados
te dara a ti la cosa principal
Es decir, debemos buscar dos numeros p y q tales que
p− q = B y pq =
(A
3
)3
y tomar X = 3√p− 3
√q
En efecto,X 3 = ( 3
√p− 3
√q)3 = p− 3 3
√
p2q + 3 3√
pq2 − q
y se cumple que
X 3 +
A︷ ︸︸ ︷
3 3√pq
X︷ ︸︸ ︷
( 3√p− 3
√q) =
B︷ ︸︸ ︷
p− q .
Euler nos enseno a resolver el caso F (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e pues,
mediante el cambio x = X − b
4a, se reduce a una ecuacion del tipo
X 4 = AX 2 + BX +C con
A =96a2b2 − 256ca3
256a4
B =128ca2b− 32ab3 − 256da3
256a4
C =64da2b− 256ea3 − 16cab2 + 3b4
256a4
.
Esta ecuacion admite la solucion
X =√p+
√q+
√r si p, q, r cumplen
p+ q + r =A
2
p q r =B2
64
pq + pr + qr =A2 + 4C
16
es decir, si p, q, r son las raices de la ecuacion cubica
x3 − A
2x2 +
A2 + 4C
16x− B2
64= 0.
Y no es posible llegar mas lejos, pues Abel probo en 1824 que para un poli-
nomio cualquiera de grado mayor que cuatro no puede haber una solucionformal conseguida mediante operaciones algebraicas sobre los coeficientes
del polinomio.
2.2. CASOS NO LINEALES 87
2.2.2 Funciones continuas
Sin embargo, si F : [a, b] → R es continua y F (a) · F (b) < 0, el teo-
rema de Bolzano asegura una solucion s ∈ (a, b) a la que podemos aproxi-marnos mediante la funcion biseccio.sage definida en la worksheet MATES-
PRACTICA-PINV.
2.2.3 Funciones contractivas
Si X ⊂ Y y encontramos una G : X → Y tal que G = F + I , resolverF (x) = 0 equivale a resolver G(x) = x.
Teorema 2.2.4 Aplicacion contractiva de Banach
Si (Y, ‖ ‖) es un espacio normado completo, X ⊂ Y es un subconjuntocerrado y G : X → Y es una funcion que cumple
G(X) ⊂ X
∃L ∈ (0, 1) tal que ‖G(x)−G(y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀x, y ∈ X
se tiene que
1. Existe un unico p ∈ X tal que G(p) = p.
2. El algoritmo iterativo
x0 ∈ X
xk+1 = G(xk) ∀k ≥ 0
es convergente a p cualquiera que sea el punto de inicio x0
3. ‖xk − p‖ ≤ Lk
1− L‖x1 − x0‖ ∀k ≥ 1
Demostracion:
Para k ≥ 1 se verifica
‖xk+1 − xk‖ = ‖G(xk) −G(xk−1)‖ ≤ L‖xk − xk−1‖ ≤ · · · ≤ Lk‖x1 − x0‖
y, en consecuencia, para n > k ≥ 1 tenemos
‖xn − xk‖ ≤ ‖xn − xn−1‖ + · · · ‖xk+1 − xk‖ ≤ (Ln−1 + · · ·+ Lk)‖x1 − x0‖
luego
‖xn − xk‖ ≤ Lk
1 − L‖x1 − x0‖
88 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
Esto prueba que (xk) es una sucesion de Cauchy en el espacio metrico com-
pleto (X, d‖‖). Ası, existe p ∈ X tal que (xk) → p y G(p) = p. Siexistiera otro q ∈ Ω cumpliendo G(q) = q, llegarıamos al absurdo:
‖p− q‖ = ‖G(p)−G(q)‖ ≤ L‖p− q‖ < ‖p− q‖.La estimacion del error se obtiene tomando el lımite en la desigualdad
‖p− xk‖ = limn→∞
‖xn − xk‖ ≤ Lk
1− L‖x1 − x0‖ ♦
Ejemplo 2.2.5
Hallar una solucion de la ecuacion F (x) = 0 siendo F la funcion
F : R → R
x 7→ x3 + 3x− 5
Solucion:
Buscamos una solucion de la ecuacion G(x) = x siendo G la funcion
G: R → R
x 7→ 5−x3
3
Como G es derivable, ∀x1, x2 ∈ R se cumple que
|G(x1) −G(x2)| < |G′(x)| · |x1 − x2| para algun x ∈ [x1, x2].
Ası, la restriccion de G al intervalo cerrado C = [− 910 ,
910 ] sera contractiva.
Sin embargo, su grafica
nos demuestra que G : C → R no cumple la condicion G(C) ⊂ C exigida enel teorema 2.2.4.
Planteamos, alternativamente, la ecuacion H(x) = x siendo H la funcion
H : R → R
x 7→ 5x2+3
2.2. CASOS NO LINEALES 89
La grafica de |H ′| : R → R+
nos dice que H : R → R es contractiva de constante L < 0.7 y la grafica de
la restriccion de H al cerrado C = [−2, 2]
nos muestra que H(C) ⊂ C. Entonces, el teorema 2.2.4 nos asegura que∀p ∈ [−2, 2] las iteraciones
for k in range(40):
p=H(p).n()
nos llevan a una aproximacion a de la solucion exacta s de H(x) = x tal que
|a− s| < 0.740
.3· 4 = 8.48907434787868 · 10−6.
Para una tolerancia TOL prefijada, podemos hallar el numero k de itera-ciones necesarias resolviendo la ecuacion
0.7k
.3· 4 = TOL.
90 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
Ejemplo 2.2.6
Hallar una solucion de la ecuacion F (x) = 0 siendo F la funcion
F : R2 → R
2(x
y
)
7→(x2 − 10x+ y2 + 8
xy2 + x− 10y + 8
)
Solucion:
Buscamos una solucion de G(x) = x siendo G la funcion
G: R2 → R2
(x
y
)
7→(x2+y2+8
10xy2+x+8
10
)
Como G es diferenciable, el teorema de los incrementos finitos asegura que
‖G(x1) −G(x2)‖ ≤ ‖DG(x)‖‖x1 − x2‖ para algun x ∈ [x1, x2].
Como la diferencial DG(x) : R2 → R
2 viene matriz jacobiana(
x5
y5
1+y2
10xy5
)
tendremos que ‖DG(0)‖ = 110 y, en consecuencia, existira un entorno de 0
donde la restriccion de la funcion G sera contractiva.
Por ejemplo, en el disco cerrado C, de centro 0 y radio 2, la restriccionG : C → R2 es contractiva de constante L < 7
10 .
Ademas, podemos comprobar que G(C) ⊂ C. En efecto:En la siguiente figura, la circunferencia representa el borde ∂C y el segmentorepresenta el transformado de ese borde G(∂C). Vemos que G(∂C) esta
rodeado por ∂C y, por continuidad, concluimos que G(C) ⊂ C.
Por tanto, la funcion G : C → R2 cumple todas las condiciones del teorema
2.2.4 y las iteraciones
for k in range(40):
P=EV(G,P).n()
iniciadas en cualquier P ∈ C nos dan la solucion x =
(1
1
)
♦.
2.2. CASOS NO LINEALES 91
2.2.7 Metodo de Newton
Sean X e Y espacios normados completos, Ω ⊂ X un abierto y f : Ω → Yuna funcion diferenciable. Dado b ∈ Y se busca un x ∈ Ω tal que f(x) = b.
Si en x0 ∈ Ω conocemos el valor f(x0), sabemos que
f(x) ≈ f(x0) +Df(x0)(x− x0)
y podemos sustituir el problema f(x) = b por el problema lineal
A0x = b0 donde
A0 = Df(x0)
b0 = b− f(x0) +Df(x0)(x0).
La solucion x1 = RASL(A0,b0) puede no ser aceptable porque x1 /∈ Ω o
porque ‖f(x1)−b‖ sea mayor que el error que estemos dispuestos a tolerar.Sin embargo, si x1 ∈ Ω, puede servirnos para plantear un nuevo problema
lineal
A1(x) = b1 donde
A1 = Df(x1)
b1 = b− f(x1) +Df(x1)(x1)
cuya solucion x2 = RASL(A1,b1) sea mejor que x1 porque cumpla que
‖f(x2) − b‖ < ‖f(x1) − b‖.
Esto nos sugiere iterar el procedimiento hasta un xn tal que ‖f(xn) − b‖sea menor que un cierto numero fijado segun las necesidades de precision,
al que llamaremos tolerancia. En el caso particular X = Rn e Y = R
m,este proceso iterativo se recoge en la funcion newton.sage de la worksheetPractica2. Problemas Inversos.
El punto inicial x0 debe ser elegido con tino, segun el arte de cada cual.
2.2.8 Ajuste de una nube de puntos
Sea Ω un abierto de Rn, I ⊂ R un intervalo y Ψ : Ω → C(I) una carta local
de la variedad diferenciable de funciones reales
Ψ(w) : I → R | w ∈ Ω
Ası, el conjunto de derivadas parciales
∂Ψ
∂wi(w) : I → R | i = 1, · · · , n
constituye una base del espacio tangente a la variedad en el punto Ψ(w).
Pretendemos hallar la funcion de la variedad que mejor aproxime en norma
92 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
euclıdea los datos X = [x1, · · · , xk] e Y = [y1, · · · , yk]. Es decir, queremos
hallar el w0 ∈ Ω tal que
∥∥∥∥∥∥∥
y1...yk
−
Ψ(w0)(x1)...
Ψ(w0)(xk)
∥∥∥∥∥∥∥
= minw∈Ω
∥∥∥∥∥∥∥
y1...yk
−
Ψ(w)(x1)...
Ψ(w)(xk)
∥∥∥∥∥∥∥
y, por ello, buscamos el w0 ∈ Ω que minimice la funcion
(y|y)− 2(Ψ(w)(x)|y)+ (Ψ(w)(x)|Ψ(w)(x)).
En w0 ∈ Ω deben anularse todas las derivadas parciales y, por tanto,
−2(∂Ψ
∂wi(w0)(x)|y)+ 2(
∂Ψ
∂wi(w0)(x)|Ψ(w0)(x)) = 0 ∀i = 1, · · · , n
Ello quiere decir que w0 es un punto de Ω que cumple:
∂Ψ∂wi
(w0)(x1)...
∂Ψ∂wi
(w0)(xk)
⊥
Ψ(w0)(x1)− y1...
Ψ(w0)(xk)− yk
∀i = 1, · · · , n
y, por tanto, el vector Ψ(w0)(x)− y debe ser ortogonal al espacio tangentea la variedad en Ψ(w0).
Un caso particular sencillo, es el de una variedad lineal generada por las
funciones independientes f1, f2, · · · , fn en el que Ω = Rn y la variedad es
Ψ(w) |w ∈ Rn = w1f1 + · · ·+ wnfn |w ∈ R
n
En este caso, ∀w ∈ Rn el espacio tangente es la propia variedad lineal
[f1, · · · , fn] y podemos obtener w0 resolviendo el problema inverso lineal
f1(x1) · · · fn(x1)...
. . ....
f1(xk) · · · fn(xk)
w1...
wn
=
y1...
yk
mediante nuestra funcion de Sage nube(X,Y,F).
Otro caso particular es el llamado ajuste por mınimos cuadrados de un mode-lo a unos datos, en el que la variedad de funciones es de la forma
Φ(w): I → R
x 7→ w1f1(x)+···+wkfk(x)wk+1fk+1(x)+···+wnfn(x)
2.3. EJEMPLOS 93
y gira, ciertamente en torno a un modelo de funcion en el que solo cambian
los parametros w1, · · · , wn y se puede tratar con nuestra funcion ortotan-gente(X,Y,f) que construye el sistema de n ecuaciones no lineales con n
incognitas
∂Ψ
∂wi
(w0)(x1) · (Ψ(w0)(x1) − y1) + · · · +∂Ψ
∂wi
(w0)(xk) · (Ψ(w0)(xk) − yk) = 0 ∀i = 1, · · · , n
y nuestra funcion newton(f, P, T) que lo resuelve mediante la solucioniterada de aproximaciones lineales con tolerancia T y punto inicial P . Para
elegir el punto inicial, podemos servirnos de la funcion importada de NumPyfind-fit que hemos usado en el programa ajustaunmodelo(X,Y,model).
2.3 Ejemplos
La mayor dificultad que suele encontrar el alumno para resolver un problema
inverso de la vida corriente, es determinar los conjuntos X e Y y la funcionf : X → Y subyacente
Ejemplo 2.3.1
Sea A : Rn → R
m una aplicacion lineal y sea b ∈ imA. Hallar el vector denorma euclıdea mınima en la variedad Mb = x ∈ Rn |Ax = b.Solucion:Veamos dos maneras diferentes de calcular este vector:
1. Como b ∈ imA, existe un x0 ∈Mb. Si Mb = x0 el vector de normaeuclıdea mınima en Mb es x0. En otro caso, cualquier otro x ∈ Mb
cumplira que x ∈ x0 + kerA y, por tanto, Mb = x0 + kerA. Ası, elvector de norma euclıdea mınima xm ∈Mb sera ortogonal a kerA.
Sea u1, · · · ,un es una base ortonormal de Rn tal que [u1, · · · ,ur] =
[kerA]⊥, y [ur+1, · · · ,un] = kerA, tendremos
xm = x0+λr+1ur+1+· · ·+λnun, con λi = −(x0|ui) ∀i = r+1 · · · , n
y, en consecuencia,
xm = x0 − (x0|ur+1)ur+1 − · · · − (x0|un)un.
2. Otra manera de proceder es usar el teorema de los multiplicadores de
Lagrange para obtener el mınimo. La lagrangiana de este problema es
Φ : Rn × Rm → R
(x, y) 7→ (x|x)− (Aty|x) + (y|b)
94 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
y la anulacion de su gradiente nos produce las dos ecuaciones
2xm −Aty = 0 y Axm = b
Eliminando la xm obtenemos la ecuacion lineal eny
2
A · Aty2
= b cuya solucion esy
2= A · At\b
y sustituyendo tenemos xm = At(A ·At\b).
Ejemplo 2.3.2
¿A que altura llega el lıquido en un deposito esferico de 5m de radio si estaal 80% de su capacidad?
Solucion:Se busca la funcion V : [0, 10] → R que de el volumen en terminos de la
altura H del lıquido y se resuelve la ecuacion V (H) =400
3π.
Si integramos por discos vemos que
V (H) =
∫ H
0
π(2rh− h2)dh = πrH2 − πH3
Debemos encontrar un Ho ∈ (5, 10) que sea raiz de la ecuacion polinomica
H3 − 15H2 + 400 = 0.
Usando la orden find root de Sage,
var(’H’)
V=(H^3-15*H^2+400==0)
V.find_root(5,10)
obtenemos
Ho = 7.128592745832596
Usando biseccion.sage con TOL = 10−12 obtenemos
Ho = 7.1285927458328046668611932545900 en 43 iteraciones
Usando banach.sage con G(H) =400
15H −H2, TOL = 10−12 e inicio 7,
obtenemos
Ho = 7.1285927458325204497668892145157 en 13 iteraciones
Ejemplo 2.3.3
2.3. EJEMPLOS 95
Un cono recto de radio 3 y altura 4, apoyado sobre su base, contiene agua
hasta la mitad de su altura. ¿A que altura llegara el agua si lo tumbamossobre una de sus generatrices?
Solucion:
Ejemplo 2.3.4
Nieva de forma regular y los quitanieves retiran una cantidad constantede nieve por unidad de tiempo. Sale un quitanieves a las 12 horas y en la
primera hora recorre doble distancia que en la segunda. ¿A que hora empezoa nevar? A las 12:30 horas sale otro quitanieves desde el mismo punto y por
la misma ruta que el primero. ¿A que hora lo alcanza?Solucion:
Sabemos que la cantidad de nieve quitada por unidad de tiempo es una
constante C y que la altura que alcanza la nieve en el instante t es k(t-t0)siendo k otra constante y t0 el instante en que empezo a nevar. Entonces,
si L es la anchura del quitanieves y v(t) es su velocidad tendremos:
C = Lk(t− t0)v(t)
La primera pregunta la contestamos resolviendo la ecuacion en t0:
∫ 13
12
dt
t− t0= 2
∫ 14
13
dt
t− t0
y la segunda resolviendo la ecuacion en T :
∫ T
12
dt
t− t0=
∫ T
12.5
dt
t− 12
Ejemplo 2.3.5
Desde un punto de una circunferencia C1 se traza otra circunferencia C2 de
modo que la interseccion de sus cırculos ocupe la mitad del area del cırculode C1. ¿Es el radio de C2 igual al radio del hexagno circunscrito a C1?
Solucion:
Tomando como sistema de referencia polar el centro de C2 y la tangente porel a C1, la ecuacion de C1 es ρ = 2r sen θ. Como vemos en la figura
debemos encontrar un angulo Θ tal que
1
2
∫ Θ
04r2 sen 2θdθ +
1
24r2 sen 2Θ
(π
2− Θ
)
=πr2
4
es decir, debemos resolver la ecuacion
Θ(1 − 2 sen 2Θ) − sen Θ cos Θ + π sen 2Θ =π
4.
96 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS
Usando biseccion.sage en [0, π2 ] con TOL = 10−12 obtenemos
Θ = .61794846213990661798476367039257 en 41 iteraciones
Usando newton.sage con TOL = 10−12 y punto inicial π4 obtenemos
Θ = .61794846213995480166403240218642 en 5 iteraciones
Tomando como buenas las trece primeras cifras decimales (coincidentes en
ambos metodos) deducimos que la razon entre los radios de C2 y C1 es
2 sen (.6179484621399) = 1.1587284730180322789294677932048
mientras que la razon entre el radio del hexagono circunscrito y el de C1 es
2√3
= 1.1547005383792515290182975610039
Estas razones difieren en mas de una milesima y, por tanto, podemos ase-
gurar que el radio de C2 no es el radio del hexagono circunscrito a C1.
2.4 Ejercicios
1. Practica2. Problemas Inversos. sws
2. Una pulga situada en un alambre [0, n] da saltos de longitud unidad
hacia el 0 con probabilidad α y hacia el n con probabilidad 1 − α.Designamos Pk la probabilidad de que la pulga, partiendo del punto
k, llegue al 0 antes que al n. Ası, P0 = 1 y Pn = 0.Teniendo en cuenta que Pk = αPk+1 + (1 − α)Pk−1, determinar Pkpara k = 1, · · · , n− 1 cuando α = 0.3 y n = 10
3. Una partıcula M situada en (4,0) inicia un movimiento circular uni-forme levogiro de radio 3 y velocidad angular 3 en torno a un punto C,
al tiempo que este punto C inicia desde (1,0) otro movimiento circularuniforme levogiro de radio 1 y velocidad angular 1 en torno al origen
de coordenadas.
2.4. EJERCICIOS 97
(a) Determinar y representar la trayectoria de la partıcula en el in-
tervalo de tiempo [0, 2π).
(b) Hallar los puntos del plano por los que la partıcula pasa dos vecesen ese periodo.
Capıtulo 3
Metodos numericos para
Ecuaciones Diferenciales
3.1 Introduccion
A partir de la revolucion cientıfica protagonizada por Newton y Leibnitzen el siglo XVII, muchos de los fenomenos de la naturaleza han podido
modelarse en terminos de un sistema de ecuaciones diferenciales (EEDD):
dxidt
= fi(t, x1(t), · · · , xn(t)); i = 1, · · · , n; t ∈ [t0, t0 + T ]
o, si se prefiere, en terminos de una ecuacion diferencial vectorial (EDV):
x′(t) = f(t, x(t)); t ∈ [t0, t0 + T ]
Su solucion general es una familia de curvas SG = sp |p ∈ Rn donde
sp: [t0, t0 + T ] → Rn
t 7→ sp(t)
que substutuıdas en la expresion (EDV), la verifican identicamente:
sp′(t) ≡ f(t, sp(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ], ∀p ∈ R
n .
En condiciones muy generales para la funcion
f : [t0, t0 + T ] × Rn → R
n
(t, x) 7→ f(t, x)
sabemos que, fijado p0 ∈ Rn, existe una curva sp0 ∈ SG tal que
sp0′(t) ≡ f(t, sp0(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ]
sp0(t0) = p0
llamada solucion particular con condicion inicial p0.
99
100CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
Recopilamos dichas condiciones en el siguiente
Teorema 3.1.1
Sea f : [t0, t0 + T ]× Rn → R
n una funcion cualquiera y sea p0 ∈ Rn.
1. Si f es continua en un entorno de (t0,p0), existe un T ′ ≤ T y unas : [t0, t0 + T ′] → Rn tal que
s′(t) = f(t, s(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ‘]
s(t0) = p0
2. Si f es continua y existe un numero real λ verificando que
‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ λ‖x− y‖ ∀(t, x, y) ∈ [t0, t0 + T ] × Rn × R
n
existe una y solo una s : [t0, t0 + T ] → Rn tal que
s′(t) = f(t, s(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ]
s(t0) = p0
♦
Sin embargo no siempre es posible expresar la solucion sp0 : [t0, t0+T ] → Rn
de forma analıtica, en terminos de funciones elementales.
3.2 Ecuaciones lineales
Uno de los casos en que es posible expresar la solucion en terminos de fun-
ciones elementales, es el de las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientesconstantes
f(t, x) = Ax + u(t)
donde A ∈ Mn(R) y u : [t0, t0+T ] → Rn es una funcion continua. Entonces,
la solucion particular de condicion inicial p0 se puede escribir en la forma
(?) sp0(t) = eA(t−t0)p0 +
∫ t
t0
eA(t−s)u(s) ds
y esta implementada en la funcion lineal.sage del worksheet CFMAT-PRACTICA-EDOS.
Las ecuaciones lineales aparecen, por ejemplo, en los siguientes casos:
3.2. ECUACIONES LINEALES 101
3.2.1 Circuitos RLC
Un alternador bipolar de velocidad angular ω genera una diferencia de po-
tencial instantanea V senωt. Si alimenta a un circuito en serie con unaresistencia de R ohmios, un condensador de C faradios y una bobina deL henrios, la carga q(t) y la intensidad i(t) cumplen el sistema lineal
dq(t)dt = i(t)di(t)dt = − 1
CLq(t) − RL i(t) + V
L senωt
que podemos escribir en la forma
(qi
)′=
(0 1
− 1LC −R
L
)(qi
)
+
(0
VL senωt
)
Ası aparece la ecuacion lineal x′ = Ax + u(t) donde
x =
(qi
)
, A =
(0 1
− 1LC −R
L
)
, u(t) =
(0
VL senωt
)
Su solucion esta programada en RLC Circuits del worksheet CFMAT-PRACTICA-EDOS.
3.2.2 Oscilador lineal
Sea F : R3 → R3 un campo de fuerzas lineal. Fijada una base en R3 existe
una matriz K ∈ M3(R) tal que F (x) = −Kx ∀x ∈ R3.
Como toda matriz 3× 3, K esta sometida a la siguiente disyuntiva:
1. o tiene sus tres autovalores en R
2. o tiene un autovalor en R y dos conjugados en C,
siempre podemos encontrar tres numeros reales k1, k2, k3 y una base en R3
respecto de la que el campo F se escriba en una de las dos formas siguientes:
1.
F (x) = −
k1 0 00 k2 0
0 0 k3
·
x1
x2
x3
2.
F (x) = −
k1 0 00 k2 −k3
0 k3 k2
·
x1
x2
x3
102CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
En el ultimo caso debe ser k3 6= 0 y, por tanto, F no puede ser conservativo
ya que
rotF (x) = −
2k3
00
6= 0.
Ası, un campo de fuerzas lineal y conservativo se podra representar en una
base adecuada en la forma
F (x) = −
k1 0 0
0 k2 00 0 k3
·
x1
x2
x3
Un oscilador lineal es un campo de fuerzas lineal y conservativo que im-pone a toda partıcula con masa trayectorias acotadas.
La segunda ley de Newton asegura que la trayectoria x(t) de una partıculade masa 1 bajo la accion de cualquier campo F debe cumplir
x′′ = F (x).
En el caso de cualquier campo lineal conservativo tendremos
x′′1 = −k1x1
x′′2 = −k2x2
x′′3 = −k3x3
y sera un oscilador si y solo si ki ≥ 0 para i = 1, 2, 3.La trayectoria x(t) de una partıcula de masam bajo la accion de un osciladorF (x) = −Kx, en un medio con coeficiente de viscosidad b y una fuerza
externa φ(t) debe cumplir que
mx′′ = −Kx − bx′ + φ(t)
Haciendo x′ = v podemos presentarla en la forma:
(x′
v′
)
=
(0 I
− 1mK − b
mI
)
·(x
v
)
+
(o
φ
)
y designando
X =
(x
v
)
, A =
(0 I
− 1mK − b
mI
)
y Φ =
(o
φ
)
entenderla como una ecuacion diferencial lineal en R6:
X ′ = AX + Φ.
3.3. ECUACIONES AUTONOMAS 103
3.3 Ecuaciones autonomas
Cuando la funcion f(t, x) no depende explıcitamente del tiempo, la ecuaciondiferencial x′ = f(x) se llama autonoma. Si f : Ω ⊂ Rn → Rn es diferen-
ciable en el abierto Ω y si xe es un cero de la funcion f , la curva constantex(t) = xe es, trivialmente, una solucion particular de x′ = f(x) y, por eso,
diremos que xe es un punto estacionario de la ecuacion.En el entorno de xe, podemos aproximar la ecuacion x′ = f(x) por laecuacion lineal
x′ = f(xe) +Df(xe)(x− xe) = Df(xe)x −Df(xe)xe .
El estudio de esta aproximacion lineal nos da informacion sobre el compor-
tamiento de la ecuacion original1 en el entorno del punto estacionario xe.Veamos algunos ejemplos:
3.3.1 Lobos y corderos
Sea un prado ideal, con posibilidad ilimitada de produccion de hierba, en el
que coexisten en cada instante t, x(t) corderos e y(t) lobos. Este ecosistemafue modelado por Lotka y Volterra segun las EEDD
x′ = αx − β x y
y′ = −γ y + δ x y
y los parametros α = 0.25, β = 0.01, γ = 1, δ = 0.01.Esta ecuacion autonoma tiene dos puntos estacionarios
xe0 = (0, 0) y xe1 =
(γ
δ,α
β
)
= (100, 25).
En el entorno de (0, 0) la ecuacion lineal que la aproxima es
(x′
y′
)
=
(0.25 00 −1
)(xy
)
y, para las condiciones iniciales CI = (k, k) con k = 1, ..., 10, la funcionlineal.sage nos da las soluciones
Ası pues, en el entorno del punto estacionario (0, 0) podemos decir que loslobos se extinguiran y los corderos aumentaran sin lımite.
En el entorno del punto estacionario (100, 25) la aproximacion lineal es
(x′
y′
)
=
(0 −1
0.25 0
)(xy
)
+
(25
−25
)
1Ver [Ra], 3.5, por ejemplo.
104CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
y para las condiciones iniciales CI = (100 + k, 25 + k) con k = 1, ...10 lafuncion lineal.sage nos da las soluciones
Ası pues, si partimos de una condicion inicial proxima a (100, 25), el ecosis-tema evolucionara en el tiempo sin que se extinga ni crezca indefinidamente
ninguna de las dos especies.
3.4 Metodos de un paso
Cuando la EDV no sea lineal, la discretizaremos para obtener aproxima-ciones numericas de la misma. Esta tecnica consiste en hacer una particion
equidistante del intervalo [t0, t0 + T ]
t0 < t1 < · · · < tk < tk+1 < · · ·< tN = t0 + T
y calcular una N + 1-tupla (xk) que aproxime a la N + 1-tupla (x(tk)),
mediante un proceso recursivo de la forma
x0 = p0
xk+1 = xk + hφ(tk, xk; h)
que se llaman metodo de un paso cuando la funcion φ utilizada para hallar
xk+1 solo depende de tk, xk y el paso h = TN .
3.4. METODOS DE UN PASO 105
El desarrollo de Taylor
x(tk+1) ≈ x(tk) + h
(
x′(tk) +h
2!x′′(tk) + · · ·
)
o la regla de Barrow
x(tk+1) − x(tk) =
∫ tk+1
tk
f(t, x(t))dt
nos sugieren dos maneras de obtener diferentes funciones φ segun los terminos
del desarrollo del Taylor que tomemos o los diferentes metodos de integracionaproximada que consideremos.
Definiciones 3.4.1
Un metodo de un paso de funcion φ se dice:
1. Consistente si
limh→0
(N−1∑
k=0
‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖)
= 0
2. De orden p si existe una constante K ≥ 0 tal que
N−1∑
k=0
‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖ ≤ Khp
3. Estable si existe una constante M independiente de h tal que paratodas las N -tuplas (yk) y (εk) que verifiquen
yk+1 = yk + hφ(tk, yk; h) + εk
se cumple que
max‖yk − xk‖ | k = 0, · · · , N ≤M
(
‖y0 − x0‖ +
N−1∑
k=0
‖εk‖)
4. Convergente si el error de discretizacion
E(h) = max‖xk−x(tk)‖ | k = 0, · · · , N cumple que limh→0
E(h) = 0
Consecuencia inmediata de estas definiciones es el siguiente
Lema 3.4.2
106CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
Si un metodo es consistente y estable, es convergente.
Demostracion:
Sea
εk = x(tk+1) − x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)
Por ser el metodo estable existe una constante M tal que
E(h) ≤M
(N−1∑
k=0
‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖)
y, por ser consistente, limh→0
E(h) = 0. ♦
No son tan inmediatos los tres lemas siguientes cuyas demostraciones puedenverse en [Cr-Mi].
Lema 3.4.3
Una condicion necesaria y suficiente para que un metodo de un paso seaconsistente es que
φ(t, x; 0) = f(t, x) ∀(t, x) ∈ [to, to + T ] × Rn. ♦
Lema 3.4.4
Una condicion necesaria y suficiente para que un metodo de un paso seaestable es que exista un H > 0 y una constante L tales que
‖φ(t, x; h)−φ(t, y; h)‖ ≤ L‖x−y‖ ∀t ∈ [to, to+T ], ∀x, y ∈ Rn, ∀h ∈ [0, H ]. ♦
Lema 3.4.5
Si f : [to, to+T ]×Rn → Rn es p veces continuamente diferenciable y existen
y son continuas en [to, to + T ] × Rn × [0, H ] las funciones
φ,∂φ
∂h, · · · , ∂
pφ
∂hp,
la condicion necesaria y suficiente para que el metodo de un paso de funcion
φ sea de orden p es que se cumplan las condiciones
φ(t, x; 0) = f(t, x)∂φ
∂h(t, x; 0) =
1
2f (1)(t, x)
...
∂p−1φ
∂hp−1(t, x; 0) =
1
pf (p−1)(t, x)
∀(t, x) ∈ [t0, t0 + T ]× Rn ♦
3.4. METODOS DE UN PASO 107
3.4.6 Metodo de Euler
El mas sencillo de los metodos de un paso para resolver el PCI
x′(t) = f(t, x(t)) ∀t ∈ [to, to + T ]
x(to) = po
es el correspondiente a φ(t, x; h) = f(t, x). Su esquema iterativo es
x0 = p0
xk+1 = xk + hf(tk, xk), k = 0, · · · , N − 1
y, de acuerdo con el lema 3.4.3, siempre sera un metodo consistente. Cuandof : [t0, t0 +T ]×R
n → Rn sea lipshitziana, de acuerdo con el lema 3.4.4, sera
un metodo estable y, por tanto, convergente. Cuando f sea derivable con
continuidad, de acuerdo con el lema 3.4.5, sera un metodo de orden 1.
Este metodo esta implementado como la funcion euler.sage en la work-sheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.
3.4.7 Metodos de Runge-Kutta
Para cualquier p ∈ N se eligen vectores c y b y una matriz subdiagonal A
c =
c1c2c3...cp
, b =
b1b2b3...bp
, A =
0 0 · · · 0 0a21 0 · · · 0 0
a31 a32 · · · 0 0...
.... . . 0 0
ap1 ap2 · · · app−1 0
,
se definen las magnitudes
Fk1 = f(tk + c1h, xk)
Fk2 = f(tk + c2h, xk + a21Fk1h)
Fk3 = f(tk + c3h, xk + a31Fk1h+ a32Fk2h)
· · ·Fkp = f(tk + cph, xk + ap1Fk1h+ ap2Fk2h+ · · ·+ app−1Fkp−1h)
y se obtiene la funcion
φ(tk, xk, h) = b1Fk1 + · · ·+ bpFkp
Para p = 1, tomando
c = 0, b = 1, A = 0
108CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
obtenemos la φ(tk, xk; h) = f(tk, xk) del mismısimo metodo de Euler.
Para p = 4, tomando
c =
0
12
12
1
, b =
16
26
26
16
, A =
0 0 0 012 0 0 00 1
2 0 0
0 0 1 0
,
definimos las magnitudes
Fk1 = f(tk, xk)
Fk2 = f(tk +h
2, xk +
h
2Fk1)
Fk3 = f(tk +h
2, xk +
h
2Fk2)
Fk4 = f(tk+1, xk + hFk3)
y obtenemos la funcion
φ(tk, xk; h) =Fk1 + 2Fk2 + 2Fk3 + Fk4
6
Este es el mas clasico de los metodos de Runge-Kutta y lo hemos implemen-
tado en la funcion rungekutta.sage de la worksheet Practica3. Ecuacionesdiferenciales. En [Cr-Mi] podemos hallar el siguiente
Lema 3.4.8
Si 1p es el vector de unos de Rp y C es la matriz diagonal de vector c,
la condicion necesaria y suficiente para que un metodo de Runge-Kutta(p,c,b,A) sea
1. De orden 1 es que (b|1p) = 1.
2. De orden 2 es que (b|1p) = 1 y (b|C1p) = (b|A1p) =1
2
3. De orden 3 es que A1p = C1p y
(b|1p) = 1, (b|C1p) =1
2, (b|C21p) =
1
3, (b|AC1p) =
1
6
4. De orden 4 es que A1p = C1p y
(b|C31p) =1
4, (b|AC21p) =
1
12, (b|A2C1p) =
1
24, (b|CAC1p) =
1
8♦
De el podemos deducir inmediatamente que nuestro rungekutta.sage es
un metodo de orden 4.
3.5. EJEMPLOS 109
3.5 Ejemplos
La mayor dificultad que suele encontrar el alumno ante un problema de
ecuaciones diferenciales planteado retoricamente es detectar la funcion f :[t0, t0 +T ]×Rn → Rn subyacente en la ecuacion diferencial x′ = f(t, x) que
gobierne el fenomeno a tratar. En la mayorıa de los casos la f expresa unaley experimental descubierta en los laboratorios y se aplicara de forma mas o
menos estricta segun la precision que necesitemos en el problema. Resolver-emos algunos problemas concretos para que sirvan de modelo. Todos ellos
estan programados en la worksheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.
3.5.1 Calentamiento-Enfriamiento
En problemas de equilibrio termico pueden presentarse dos situaciones desta-cables: Una instantanea, como obtener la temperatura T de la mezcla de
dos substancias que estan a temperaturas diferentes, y otra temporal, comoobtener la temperatura T (t) de un objeto que en el instante t = 0 se aban-dona en una habitacion climatizada a temperatura Ta(t).
En el primer caso, el calor cedido por la substancia a mayor temperaturaT1, con masa m1 y calor especıfico c1 tendra que ser igual al calor absorbido
por la substancia a menor temperatura T2, con masa m2 y calor especıficoc2. Es decir, m1c1(T1 − T ) = m2c2(T − T2) y, por tanto, la temperatura de
la mezcla sera
T =m1c1
m1c1 +m2c2T1 +
m2c2m1c1 +m2c2
T2
El segundo caso esta regido por la ley de Newton que dice que la razon de
cambio de la temperatura del objeto es proporcional a la diferencia entre latemperatura ambiente y la del objeto:
T ′(t) = k(Ta(t) − T (t))
donde k es una constante, obviamente positiva, que depende del objeto.
Ejercicio 3.5.2
En un local a 20o de temperatura sirven el cafe a 80o en una taza al 75% de
su capacidad y lo acompanan de una jarrita con leche a 5o.Un cliente completa su taza y espera tres minutos y, otro, espera tres mintosy completa su taza. Si el calor especıfico de la leche es 0.93 y suponemos
que las constantes de calentamiento-enfriamiento de Newton en la taza y enla jarra son, respectivamente, 0.35 y 0.23 por minuto, ¿a que temperatura
se toma cada uno de los dos clientes su cafe con leche?
110CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
3.5.3 Reacciones quımicas
En una reaccion quımica elemental donde los productos X1 y X2 reaccionan
dando lugar al producto X3, si xi(t) es la concentracion de Xi en el instantet, se cumple la ley de conservacion de la materia:
xi(t) + x3(t) = Ci odxidt
+dx3
dt= 0 para i = 1, 2.
La funciondx3
dtse llama velocidad de la reaccion y la ley de accion de masas
asegura que existe una constante k tal que
dx3
dt= kx1x2.
Si x = (x1, x2, x3) y u = (−1,−1, 1), una reaccion quımica de constante kestara gobernada por la ecuacion diferencial x′ = f(t, x) donde
f : [0,∞)× R3 → R
3
(t, x) 7→ kx1x2u
Las condiciones iniciales fijaran las concentraciones xi(0) para i = 1, 2, 3.
3.5.4 Lanzamientos
Ejemplo 3.5.5 Obuses
Figure 3.1: Gran Bertha en Verdun 1916
La trayectoria x de un obus se deduce de la ley de Newton:
La derivada temporal de la cantidad de movimiento en un sistema de refen-cia inercial es igual a la suma de las fuerzas actuantes.
F =d(mv)
dtsiendo v =
dx
dt.
3.5. EJEMPLOS 111
Como la masa m del obus es constante, si suponemos que la fuerza actuante
es la gravitatoria, tendremos
F = mg = mdv
dt⇒ x′′ = g
Si consideraremos el sistema equivalente
x′ = v
v′ = g − β
mv
y, designamos X =(xv
), tenemos la buscada ecuacion vectorial X ′ = f(t, X)
donde
f : [0,∞)× R4 → R
4
t,
x1
x2
x3
x4
7→
x3
x4
− β
mx3
−9.8− β
mx4
Las condiciones iniciales fijaran el punto (x0, y0) donde esta emplazado elcanon y la velocidad (vx0, vy0) de salida del proyectil.
Ejemplo 3.5.6 Cohetes
Figure 3.2: V2 en Peenemunde 1942
Si en lugar de un obus lanzamos un cohete de K kg de carga y P kg depropulsante que se consume uniformemente en Tseg produciendo gases que
salen del cohete a vgm/seg, tendremos que si la cantidad de movimiento del
112CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
cohete en un instante t es mv y en el instante t+∆t es (m−∆m)(v+∆v)+
∆m(v− vgv
‖v‖), su derivada es
lim∆t→0
(m− ∆m)(v + ∆v) + ∆m(v − vgv
‖v‖) −mv
∆t= mv′ −m′vg
v
‖v‖
Ası llegamos a la ecuacion de Tsiolkovski que, cuando las fuerzas actuantes
son la gravedad y el rozamiento del aire, queda en la forma:
mv′ −m′vgv
‖v‖ = mg − βv
o mejor,
x′ = v
v′ =(m′vg−β‖v‖
m‖v‖
)
v + g
En nuestro caso, es claro que
m′ = lim∆t→0
∆m
∆t=P
Ty m = K +
P (T − t)
T
3.5.7 Curvas de persecucion
Imaginemos que un movil, de trayectoria conocida c : [t0, t0 + T ] → R3, es
perseguido por otro movil. La trayectoria x(t) del perseguidor cumplira
x′(t) = k(t)c(t) − x(t)
‖c(t)− x(t)‖ donde |k(t)| = ‖x′(t)‖.
Si suponemos conocida la relacion r(t) = ‖x′(t)‖‖c′(t)‖ podremos concluir que
x′(t) = f(t, x(t)) con f(t, x(t)) = r(t)‖c′(t)‖ c(t) − x(t)
‖c(t)− x(t)‖
y, para cada posicion inicial del perseguidor x(t0) = x0, tendremos una unicacurva solucion. Este problema esta tratado en los ejercicios 14) y 15) de laworksheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.
3.5.8 Curvas de arrastre
Imaginemos que un movil, de trayectoria conocida c : [t0, t0+T ] → R3, llevaligada, mediante una articulacion esferica, una varilla de longitud ` en cuyo
extremo hay una bola. Si sobre la bola actua, ademas, una fuerza exteriorφ : [t0, t0 + T ] → R3 y una friccion viscosa proporcional a la velocidad, la
trayectoria x(t) de la bola cumplira
x(t) = c(t) + `u(t) con ‖u(t)‖ = 1 ,
3.5. EJEMPLOS 113
su velocidad cumplira
x′(t) = c′(t) + `u′(t) con (u(t)|u′(t)) = 0
y, segun las leyes de Newton, su aceleracion cumplira
x′′(t) = c′′(t) + `u′′(t) = k(t)u(t) − β(c′(t) + `u′(t)) + φ(t)
con (u(t)|u′(t)) = 0 y (u(t)|u′′(t)) = −(u′(t)|u′(t))
donde k(t) es una funcion escalar y β es el coeficiente de viscosidad.Multiplicando por u(t) tendremos
k(t) = (c′′(t)|u(t))− `(u′(t)|u′(t)) + β(c′(t)|u(t))− (φ(t)|u(t))
y, en consecuencia,
u′′ =−c′′ + ((c′′|u)− `(u′|u′) + β(c′|u) − (φ|u))u− βc′ − β`u′ + φ
`
Esta ecuacion de segundo orden es equivalente al sistema
u′ = v
v′ =−c′′ + ((c′′|u)− `(v|v) + β(c′|u)− (Φ|u))u− βc′ − β`v + φ
`
y designando U =
(u
v
)
podemos escribirlo como una ecuacion vectorial
U ′ = f(t, U). Para cada condicion inicial U(t0) = U0 tendremos una unica
solucion U(t) cuyas tres primeras componentes constituiran un u(t) que nospermitira escribir la trayectoria de la bola
x(t) = c(t) + `u(t).
En el caso particular de que la funcion c : [t0, t0+T ] → R3 sea identicamente
nula, la bola se movera en una esfera de centro 0 y radio ` describiendo una
trayectoria `u donde
u′ = v
v′ =(−`(v|v)− (φ|u))u− β`v + φ
`
En el caso particular de que el coeficiente de viscosidad sea muy grandepodemos suponer que la trayectoria de la bola sera
x(t) = c(t) + `u(t) con ‖u(t)‖ = 1 y x′(t) ‖ u(t).
Entonces, el problema queda de primer orden e independiente de cualquier
fuerza externa φ pues tendra que existir una cierta funcion escalar h(t) talque
c′(t) + `u′(t) = h(t)u(t) con (u(t)|u′(t)) = 0.
114CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
Multiplicando por u(t) tenemos que h(t) = (c′(t)|u(t)) y, por tanto,
u′(t) = f(t,u(t)) con f(t,u(t)) =(c′(t)|u(t))u(t)− c′(t)
`.
Ası, para cada vector unitario inicial u(t0) = u0, tendremos una unica
solucion u(t) y una unica trayectoria x(t) = c(t) + `u(t).A este problema se dedican varios ejercicios de la worksheet Practica 3.
Ecuaciones Diferenciales.
3.5.9 Mecanica Hamiltoniana
Veremos aquı como ha sido magistralmente generalizada por Hamilton latecnica de pasar al espacio de fases para plantear problemas mecanicos bajola forma de una ecuacion diferencial x′ = f(t, x) :
Si la energıa cinetica de un sistema es T (t, x, x′) y la potencial es V(t, x),
su diferencia es la lagrangiana del sistema
L(t, x, x′) = T (t, x, x′) − V(t, x).
La trayectoria debe venir dada por una funcion xo : [t1, t2] → Rn que sea
punto extremal del funcional
J(x) =
∫ t2
t1
L(t, x(t), x′(t))dt
y, ası, debe cumplir la ecuacion de Lagrange
∂L
∂x− d
dt
(∂L
∂x′
)
= o
Esta ecuacion vectorial equivale al sistema de n ecuaciones segundo orden
∂L
∂xi− d
dt
(∂L
∂x′i
)
= 0 ∀i = 1, . . . , n
que debe ser resuelto para encontrar las n componentes de xo(t) = (xo1(t), . . .xon(t)).
Haciendo el cambio de variables
yi =∂L
∂x′i
∀i = 1, . . . , n
pasamos al sistema de 2n ecuaciones de primer orden:
(?)
yi =∂L
∂x′i
y′i =
∂L
∂xi
3.5. EJEMPLOS 115
Hamilton tuvo la idea de considerar la funcion
H = (x′| y)− L(t, x, x′)
y no es difıcil probar que se puede expresar en terminos de las coordenadas
generalizadas (t, x, y). Ası, suponiendo
H = H(t, x, y) ,
la derivada total de H respecto de t se puede calcular de dos maneras:
dH
dt=∂H
∂xx′ +
∂H
∂yy′ +
∂H
∂t
dH
dt= (x′′| y) + (x′| y′) − ∂L
∂xx′ − ∂L
∂x′x′′ − ∂L
∂t= −∂L
∂xx′ + (x′| y′) − ∂L
∂t
y de su igualdad deducimos que
∂H
∂x= −∂L
∂x,
∂H
∂y= x′,
∂H
∂t= −∂L
∂t
En consecuencia, el sistema (?) se puede escribir en la forma hamiltoniana
x′ =∂H
∂y
y′ = −∂H∂x
y considerando el vector X =
(x
y
)
escribirlo en forma de ecuacion vectorial
X ′ = f(t, X).
La expresion mas general de la energıa cinetica es
T = (Ax′| x′) + (b| x′) + c
donde A ∈ Mn(R), b ∈ Rn y c ∈ R. Entonces,
y =∂L
∂x′ =∂T∂x′ = 2Ax′ + b
y, por tanto,
H = 2(Ax′| x′) + (b| x′)− T + V = (Ax′| x′) − c+ V .
Es frecuente que b = o y c = 0 y, en tal caso,
H = T + V = E = energıa total del sistema.
La funcion de Hamilton para partıculas de masa 1 bajo la accion de algunos
campos de fuerzas conocidos, es la siguiente:
116CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Para un campo constante k : R3 → R3 tenemos
T =1
2(v|v)
V = −(x|k)y, por tanto, H =
1
2(v|v)− (x|k)
2. Para el campo identidad I : R3 → R
3 tenemos
T =1
2(v|v)
V = − 1
2(x|x)
y, por tanto, H =1
2((v|v)− (x|x))
3. Para un campo newtoniano de constante K
N : R3 \ 0 → R3
x 7→ Kx
‖x‖3
tenemos
T =1
2(v|v)
V =−K‖x‖
y, por tanto, H =1
2(v|v)− K
‖x‖
Ejemplos muy importantes de campos newtonianos son
• El campo gravitatorio creado por una masa puntual m. En este
caso K = −Kgm donde Kg = 6, 67 × 10−11 new · m2
kg2 es la
constante de gravitacion universal.
• El campo electrico creado por una carga puntual q. En este caso
K =q
4 π εdonde ε es la permitividad electrica del medio. Por
ejemplo, en el vacıo ε = 8, 85× 10−12 coul2
new · m2.
3.6 Ejercicios
1. Practica3. Ecuaciones Diferenciales.sws
Capıtulo 4
Variable compleja
4.1 El cuerpo A-cerrado de los numeros complejos
Una ecuacion algebraica tan sencilla como
x2 = −1
no puede tener solucion en R ni en ningun otro cuerpo totalmente ordenadoporque en ellos siempre se cumple que x2 = x · x = (−x) · (−x) ≥ 0 > −1.
Si pretendemos encontrar un cuerpo numerico en el que exista solucion para
esta ecuacion EI que, por razones historicas, se llama ecuacion imaginaria,debemos renunciar al orden total.
Consideramos el subconjunto de M2×2(R) constituido por los elementos de
la forma
(x −yy x
)
. Este conjunto, que designamos C, es cerrado para la
suma y el producto de matrices:(x1 −y1y1 x1
)
+
(x2 −y2y2 x2
)
=
(x1 + x2 −(y1 + y2)
y1 + y2 x1 + x2
)
(x1 −y1y1 x1
)
·(x2 −y2y2 x2
)
=
(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)
x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2
)
.
Es rutinario comprobar que (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo con elementos
neutros
(0 00 0
)
y
(1 00 1
)
. Tambien es claro que
(0 −11 0
)
·(
0 −11 0
)
= −(
1 00 1
)
y, por tanto, (C,+, ·) es un cuerpo en el que EI tiene la solucion bien visible(
0 −1
1 0
)
. Sin embargo, es costumbre designarla i (inicial de imaginaria).
117
118 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Con el producto externo
• : R × C → C(
r,(x −yy x
))
7→(rx −ryry rx
)
(C,+, ·, •) es un espacio vectorial real de dimension 2 y, por tanto, todoz =
(x −yy x
)∈ C se puede expresar respecto de la la base
(1 0
0 1
)
,
(0 −1
1 0
)
de manera unica
z = x
(1 00 1
)
+ y
(0 −11 0
)
Es costumbre abreviar esta expresion en la forma
z = x+ yi
y hablar de la parte real de z, x = <(z), y de la parte imaginaria de z,
y = =(z).
Como cada(x −yy x
)∈ C queda determinada unıvocamente por su primera
columna, tambien podemos establecer la identificacion C ≡ R2. Ademas, si
entendemos(x −yy x
)como la matriz de una aplicacion lineal M : R2 → R2, es
inmediato comprobar que(x − y
y x
)
·(a − b
b a
)
≡M
(a
b
)
Puesto que zt =( x y−y x
)tambien esta en C, lo designamos z y lo llamamos
conjugado de z. La conjugacion en C es una involucion distinta de la iden-
tidad de la que destacamos las siguienes propiedades:
1. <(z · z) = x2 + y2 y =(z · z) = 0.
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 · z2 = z1 · z2En M2×2(R) es muy importante el subgrupo multiplicativo O2×2(R) de las
matrices que cumplen M t = M−1, llamadas ortogonales, y que, como apli-caciones lineales M : R2 → R2, son giros.
Como la inversa de
(x −yy x
)
6=(
0 0
0 0
)
es de la forma
(x −yy x
)−1
=
(x
x2+y2y
x2+y2−y
x2+y2x
x2+y2
)
4.1. EL CUERPO A-CERRADO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 119
un elemento de C estara en O2×2(R) si y solo si es de la forma
x√x2+y2
−y√x2+y2
y√x2+y2
x√x2+y2
y, en consecuencia, todo elemento no nulo de C puede escribirse de manera
unica como el producto de un numero real por un elemento ortogonal de C:
z =
(x −yy x
)
=√
x2 + y2 ·
x√x2+y2
−y√x2+y2
y√x2+y2
x√x2+y2
Esto nos permite interpretar cada complejo z como el producto de unadilatacion por un giro y definir:
1. El modulo
| | : C → R+
z 7→√
x2 + y2
que cumple
(a) |z| = 0 ⇔ z = 0
(b) |z1 · z2| = |z1| · |z2| ∀z1, z2 ∈ C
(c) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| ∀z1, z2 ∈ C
y, a partir de el, la distancia euclıdea
ρ : C × C → R+
(z1, z2) 7→ ρ(z1, z2) = |z1 − z2|
con las siguientes propiedades:
(a) ρ(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2
(b) ρ(z1, z2) = ρ(z2, z1) ∀z1, z2 ∈ C
(c) ρ(z1, z2) ≤ ρ(z1.z) + ρ(z, z2) ∀z1, z2, z ∈ C
(d) ρ(z1 + z, z2 + z) = ρ(z1, z2) ∀z1, z2, z ∈ C
(e) ρ(z1z, z2z) = |z|ρ(z1, z2) ∀z1, z2, z ∈ C
(f)∣∣|z1| − |z2|
∣∣ ≤ ρ(z1, z2) ∀z1, z2 ∈ C.
120 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
2. El argumento:
Como tenemos bien difinida la aplicacion
O : C \ 0 → O2×2(R)
z 7→(
x|z|
−y|z|
y|z|
x|z|
)
y para cada α ∈ R existe un unico t ∈ (α, α+ 2π] tal que
cos(t) =x
|z| y sen (t) =y
|z| ,
podemos definir la funcion
Argumento(α, ) : C \ 0 → (α, α+ 2π]z 7→ t
que se llama α-determinacion del argumento. La 0-determinacion se
escribe, simplemente, argumento y se llama determinacion principal.
Si z ∈ C \ 0 y argumento(z) = t tenemos
z = x+ i y = |z|(x
|z| + iy
|z|
)
= |z|(cos t+ i sen t)
y como Euler sabıa que
et = 1 + t+t2
2!+t3
3!+t4
4!+ · · ·
cos t = 1− t2
2!+t4
4!− t6
6!+ · · ·
sen t = t− t3
3!+t5
5!− t7
7!+ · · ·
se atrevio a escribir
eit = 1 +it
1!+i2t2
2!+i3t3
3!+i5t5
5!+ · · · = cos t+ i sen t
y obtuvo la famosa expresion
z = |z|ei·argumento(z)
Esta expresion nos permite interpretar el producto de dos complejos comootro complejo cuyo modulo es el producto de los modulos y cuyo argumento
es suma de los argumentos. En efecto:
z · z′ = |z||z′|ei·(argumento(z)+argumento(z′ ))
e, iterando el razonamiento, deducir que
zn = |z|nei·n·argumento(z) ∀n ∈ N
4.2. DERIVACION COMPLEJA 121
Teorema 4.1.1
En C tienen n soluciones distintas todas las ecuaciones
zn = ω con (n, ω) ∈ N × C
Demostracion:
Si ω = |ω|eiθ los n complejos siguientes
n√
|ω|ei( θn
+ 2kπn
) con k = 0, 1, · · · , n− 1
son, claramente, soluciones distintas de la ecuacion dada. Ademas, es in-mediato observar que, cualquier solucion de la ecuacion dada esta entre las
n anteriores. ♦
En C no solo tiene solucion la ecuacion zn = ω sino cualquier ecuacionpolinomica a0z
n + a1zn−1 + · · ·+ an−1z + an = 0. Este resultado es el
llamado teorema fundamental del algebra y por cumplirse, se dice que C esun cuerpo algebraicamente cerrado.
No es facil probar este teorema con metodos algebraicos. Hemos llegadoa una de esas situaciones en la que los metodos matematicos que se mues-
tran solventes para resolver ciertos problemas de la realidad, acaban cons-truyendo un universo conceptual en el que se plantean cuestiones irresolubles
por dichos metodos. Este fue el caso de los problemas delicos para la geo-metrıa de la regla y el compas y, tal vez, sea el sino de cualquier metodo
matematico de alcance, que el hombre pueda disenar. Sin embargo, talessituaciones siempre se han resuelto con la creacion de nuevos metodos mas
sofisticados, nuevas herramientas mas versatiles, que han mantenido a lasmatematicas en la cima de los inventos utiles (ver 4.4.5,4).
4.2 Derivacion compleja
Una funcion compleja de variable compleja f : V ⊂ C → C, gracias a laidentificacion C ≡ R2, puede ser tratada como un campo F : V ⊂ R2 → R2.Estos campos son caso particular de los tridimensionales y podemos adap-
tarles facilmente los resultados conocidos que se recuerdan en el capıtulopreliminar de estos apuntes.
Si z = x+ iy, x =
(xy
)
, F (x) =
(u(x, y)v(x, y)
)
tenemos f(z) = u(x, y)+ iv(x, y)
y las funciones u : V ⊂ R2 → R y v : V ⊂ R
2 → R son, respectivamente, laparte real y la parte imaginaria de la f o la primera y segunda componente
del campo F .
122 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Al disponer de la division compleja, cabe estudiar la existencia de la derivada
limz→o
f(z0 + z) − f(z0)
z= f ′(z0), z0 = x0 + iy0
en conexion con la existencia de la diferencial
DF (x0) : R2 → R
2, x0 =
(x0
y0
)
1. Si existe el complejo f ′(z0) =
(a −bb a
)
, tenemos
limx→o
F (x0 + x)− F (x0) −(a −bb a
)
x
‖x‖ = o
y, por tanto, F es diferenciable en x0
DF (x0) =
(ux(x0) uy(x0)vx(x0) vy(x0)
)
=
(a −bb a
)
y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann:
ux(x0) = vy(x0), vx(x0) = −uy(x0)
2. Si F es diferenciable en x0 existe una matriz
(a c
b d
)
tal que
limx→o
F (x0 + x)− F (x0) −(a cb d
)
x
‖x‖ = o
Para que exista
limz→o
f(z0 + z) − f(z0)
z
es necesario y suficiente que exista
limz→o
(a cb d
)
z
z
y esto acontece si y solo si
(a cb d
)
es un numero complejo, es decir,
si a = d y c = −b
4.2. DERIVACION COMPLEJA 123
Ası pues, f : V ⊂ C → C es derivable en z0 si y solo si F : V ⊂ R2 → R2 es
diferenciable en x0 y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann:
CR
ux(x0) = vy(x0)
uy(x0) = − vx(x0)
en cuyo caso,
f ′(z0) = ux(x0) + i vx(x0) = vy(x0)− i uy(x0)
Ejemplos 4.2.1
1. f(z) = z = x+ i y:
DF (x) =
(1 00 1
)
CR y f ′(z) = 1
2. f(z) = z = x− i y:
DF (x) =
(1 0
0 −1
)
No CR y f nunca es derivable
3. f(z) = |z| =√
x2 + y2:
DF (x) =
x√
x2 + y2
y√
x2 + y2
0 0
No CR y f nunca es derivable
4. f(z) = |z|2 = x2 + y2:
DF (x) =
(2x 2y
0 0
)
Solo CR en o y f solo es derivable en o
5. f(z) =1
z(z 6= o). Como u(x, y) =
x
x2 + y2y v(x, y) = − y
x2 + y2:
DF (x) = −
x2 − y2
(x2 + y2)22xy
(x2 + y2)2
−2xy
(x2 + y2)2x2 − y2
(x2 + y2)2
CR y f ′(z) = − 1
z2
6. f(z) = ez = ex(cos y + i sen y):
DF (x) =
(ex cos y −ex sen y
ex sen y ex cos y
)
CR y f ′(z) = ez
124 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
7. f(z) = sen z =eiz − e−iz
2i:
Como u(x, y) = senx cosh y y v(x, y) = cosx senh y, tenemos
DF (x) =
(cos x cosh y senx senh y
− senx senh y cosx cosh y
)
CR
y f ′(z) = cosx cosh y − i senx senh y.
8. f(z) = cos z =eiz + e−iz
2:
Como u(x, y) = cosx cosh y y v(x, y) = − senx senh y, tenemos
DF (x) =
(− senx cosh y cos x senh y− cosx senh y − senx cosh y
)
CR
y f ′(z) = − senx cosh y − i cosx senh y.
De 7 y 8 deducimos que, como en el caso real, la derivada del seno es elcoseno y la derivada del coseno es menos el seno.
Teorema 4.2.2 Reglas de derivacion
1. f , g derivables en z0 ⇒ (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)
2. f derivable en z0 ⇒ (c f)′(z0) = c f ′(z0) con c ∈ C
3. f , g derivables en z0 ⇒ (f g)′(z0) = f ′(z0) g(z0) + f(z0) g′(z0)
4. f , g derivables en z0 y g(z0) 6= o ⇒(f
g
)′(z0) =
f ′(z0) g(z0)− f(z0) g′(z0)
g(z0)2
5. f derivable en z0 y g derivable en f(z0) ⇒ (gf)′(z0) = g′(f(z0)) f′(z0)
Demostracion:
Todas son inmediatas. En 5 se sigue el metodo habitual. Es claro que 4resulta de 3 y 5 si tenemos en cuenta 4.2.1,5. ♦
El hecho de que para un z ∈ C \ o tengamos infinitas determinaciones delargumento
Argumento(α, z) ∈ (α, α+ 2π] ∀α ∈ R
obliga a considerar como multivaluadas ciertas funciones complejas.
Ejemplos 4.2.3
1. Si z 6= 0 tenemos z = |z|ei Argumento(α,z) y al intentar definir la funcionlogaritmo en el campo complejo resulta ser multivaluada:
ln(|z|eiArgumento(α,z)) = ln |z| + iArgumento(α, z)
Para cada α ∈ R sı tenemos una funcion univaluada o rama logarıtmica
4.3. FUNCIONES HOLOMORFAS 125
lnα: C \ o → C
z 7→ ln |z| + i Argumento(α, z)
que, evidentemente, no es continua. En particular, si α = 0 la lla-mamos rama principal. La restriccion de lnα al conjunto abierto
C[α] = C \ (o ∪ z |Argumento(α, z) = α + 2π)
que seguimos denotando de la misma manera,
lnα: C[α] → C
z 7→ ln |z| + i Argumento(α, z)
no solo es continua sino tambien derivable con derivada 1z .
Por ello diremos que o∪z |Argumento(α, z) = α+2π es un cortede ramificacion. El punto z = o, por pertenecer a todos los cortes de
ramificacion, se le llama punto de ramificacion.
2. Si z 6= 0 es claro que para cualquier w ∈ C podemos escribir
zw = ew lnα z
Ası, la potencia de exponente complejo tambien es multivaluada.
Para cada α ∈ R tenemos una funcion univaluada no continua
zwα : C \ 0 → C
z 7→ ew lnα z
cuya restriccion, que seguimos denotando de la misma manera,
zwα : C[α] → C
z 7→ ew lnα z
es derivable por el teorema 4.2.2, 5 y el punto anterior:
(zwα )′ =w
zew lnα z = w
ew lnα z
elnα z= we(w−1) lnα z = wzw−1
α
4.3 Funciones holomorfas
Una funcion f : V ⊂ C → C se llama holomorfa, f ∈ H(V ), si V es abierto
y f tiene derivada compleja ∀z ∈ V y se llama entera si f ∈ H(C).
126 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Las CR aseguran que los campos
F =( u−v)
F ? =(vu
) son irrotacionales
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u −v 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= o
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
v u 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= o
y si V es simplemente conexo, F y F ? seran conservativos. En todo caso,∀x0 ∈ V ∃Br(x0) ⊂ V donde los campos F y F ? son conservativos y, por
tanto, existen funciones ψ, φ : Br(x0) → R que cumplen
ψx = u
ψy = − vy
φx = v
φy = uy CR ⇒ ∆ψ = ∆φ = 0
Ası, ψ, φ ∈ C∞(x0) y, por tanto, u, v ∈ C∞(V ).
La holomorfıa de una funcion compleja exige tanta regularidad que acabaimponiendo la armonıa a sus componentes:
Teorema 4.3.1
Una funcion f = u+ iv ∈ H(V ) cumple las siguientes propiedades:
1. Sus componentes u y v son armonicas en V .
2. Todas sus derivadas sucesivas fn) : V → C tambien son holomorfas.
3. f admite, localmente, una primitiva holomorfa. Es decir, ∀z0 ∈ V∃Br(z0) ⊂ V y ∃F : Br(z0) → C holomorfa tal que F ′ = f |Br(z0).
Ademas, si V es simplemente conexo existe una primitiva global.
Demostracion:
1. Como u, v ∈ C∞(V ) podemos derivar las ecuaciones CR y obtener
uxx = vxy
uyy = − vyxy
uyx = vyy
uxy = − vxx
Sumando las dos primeras probamos que u es armonica y restando las
dos segundas probamos que v es armonica.
2. Ya hemos dicho que f ′ = ux + ivx. La regularidad de sus compo-nentes asegura que el campo Fx =
(ux
vx
)es diferenciable en todo punto.
Ademas, la primera y la cuarta ecuacion del punto anterior
uxx = vyx
uyx = − vxx
son, precisamente, las condiciones CR para Fx.
4.3. FUNCIONES HOLOMORFAS 127
3. Si ψ y φ son las funciones del preambulo del teorema, es claro que
el campo Φ =(ψφ
): Br(z0) → R
2 es diferenciable y cumple lasCR. Por tanto, la funcion F = φ + iψ es derivable y su derivada es
F ′ = u + i v = f . Ademas, si V es simplemente conexo las funcionesψ y φ estan definidas en todo V , luego F tambien. ♦
Ejercicio 4.3.2
Probar que en un abierto V ⊂ C simplemente conexo que no contiene al o,existe una determinacion holomorfa del logaritmo, es decir,
∃g ∈ H(V ) tal que eg(z) = z ∀z ∈ V
Ademas, si g1 ∈ H(V ) fuese otra determinacion holomorfa del logaritmo
∃k ∈ Z tal que g(z)− g1(z) = 2kπi ∀z ∈ V
Solucion:
La funcion1
z, por ser holomorfa en V , tiene una primitiva global que desig-
namos g : V → C. Entonces, g′(z) =1
z∀z ∈ V y, por tanto,
(ze−g(z))′ = e−g(z) − z g′(z)e−g(z) = o ∀z ∈ V
En consecuencia, existira una constante C tal que
eg(z) = C z ∀z ∈ V
y puede tomarse C = 1 modificando g en una constante aditiva.
Si g1 fuese otra determinacion del logaritmo
exp(g(z)) = exp(g1(z)) ⇒ exp(g(z)− g1(z)) = o ⇒
⇒ g(z)− g1(z) = 2kπi con k ∈ Z ♦
Si f ∈ H(V ) y existe un z0 ∈ V con f ′(z0) 6= 0 resulta que det(DF (x0)) 6= 0
y F : V ⊂ R2 → R
2 es un difeomorfismo local en x0, lo cual significaque existe un entorno abierto de x0, A ⊂ V , y otro entorno abierto B de
F (x0) tal que F : A→ B es biyectiva y su inversa tambien es diferenciable:
DF−1(F (x0)) = [DF (x0)]−1 =
vyuxvy − uyvx
− uyuxvy − uyvx
− vxuxvy − uyvx
uxuxvy − uyvx
y se cumplen las condiciones CR. Por tanto, la correspondiente funcion
compleja f : A→ B tambien tiene buenas propiedades:
128 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
1. Es inversible y su inversa f−1 : B → A es derivable en f(z0):
(f−1
)′(f(z0)) =
f ′(z0)|f ′(z0)|2
=1
f ′(z0)
2. Una curva Λ ⊂ A de ecuacion α : (a, b) → A tal que α(t0) = z0 se
transforma en la curva f(Λ) ⊂ B de ecuacion β = f α : (a, b) → B.En z0 el factor de longitud de Λ es |α′(t0)| y en f(z0) el factor de longi-
tud de f(Λ) es |β′(t0)| = |f ′(z0)||α′(t0)|. Por tanto, la transformacionf produce en el punto z0 una dilatacion
δ(z0) =|β′(t0)||α′(t0)|
= |f ′(z0)|
3. Otra curva Λ1 ⊂ A de ecuacion α1 : (a1, b1) → A con α1(s0) = z0 se
transforma en f(Λ1) ⊂ B dada por β1 = f α1 : (a1, b1) → B.El angulo de las tangentes a Λ y Λ1 en z0 es el mismo que el de lastangentes a f(Λ) y f(Λ1) en f(z0) puesto que
β′(t0) = f ′(z0)α′(t0)
β′1(s0) = f ′(z0)α′1(s0)
⇒
argβ′(t0) = arg f ′(z0) + argα′(t0)
argβ′1(s0) = arg f ′(z0) + argα′1(s0)
⇒ arg β′(t0)− arg(β′1(s0)) = argα′(t0)− arg(α′1(s0))
y por ello la transformacion f : A→ B se llama conforme
4. Si φ : B → R es armonica, Φ = φ F : A→ R tambien lo es.
En efecto, la regla de la cadena nos dice que
DΦ(x) = Dφ(F (x)) DF (x) y
D2Φ(x)(y1 ,y2) = D2φ(F (x))(
DF (x)(y1), DF (x)(y2))
+Dφ(F (x))(
D2F (x)(y1,y2))
y, en consecuencia,
∆Φ(x) = D2Φ(x)(1, 1)+D2Φ(x)(i, i) =
= D2φ(f(z))(
f ′(z), f ′(z))
+Dφ(f(z))(
D2f(z)(1, 1))
+
+D2φ(f(z))(
f ′(z)i, f ′(z)i)
+Dφ(f(z))(
D2f(z)(i, i))
=
= |f ′(z)|2(D2φ(f(z))(1, 1)+D2φ(f(z))(i, i)
)+
+φ′(f(z))(D2f(z)(1, 1)+D2f(z)(i, i)
)
El caracter armonico de φ y de las componentes de f asegura que
D2φ(f(z))(1, 1) +D2φ(f(z))(i, i) = 0
D2f(z)(1, 1) +D2f(z)(i, i) = 0luego ∆Φ(x) = 0 ∀z ∈ A
4.4. INTEGRACION COMPLEJA 129
Teorema 4.3.3 Principio del modulo maximo
Si V es un abierto conexo, f ∈ H(V ) y no es constante, y f : V → C escontinua, |f | alcanza sus extremos absolutos en ∂V .
Demostracion:
Si f es holomorfa y no constante en un abierto conexo V y es continua enV , sabemos por 1.3.10 que sus componentes u y v alcanzan sus extremos
absolutos en ∂V . Eso mismo le sucede a |f | pues si u2 + v2 tuviera unmaximo en V , en ese punto ocurrirıa que
u2 + v2 > 0 y
u · ux + v · vx = 0
u · uy + v · vy = 0
Multiplicando la 1a por u, la 2a por v y sumando y, multiplicando la 1a porv, la 2a por u y restando, en dicho punto tendrıamos que
ux = 0
uy = 0y
vx = 0
vy = 0
y, por tanto, u y v tambien tendrıan extremos en V . ♦
4.4 Integracion compleja
En la teorıa de funciones complejas es importante el concepto de integral
compleja de una funcion f : V → C a lo largo de una curva Λ ⊂ V que sedenota y define como sigue
∫
Λf(z)dz =
∫
Λf · t dλ
siendo λ la medida canonica en Λ y t el vector tangente unitario. Ahora
interesa integrar el producto complejo f · t pero como
f · t = (F | t) + i (F ? | t)
la nueva integral puede expresarse en terminos de circulaciones que ya han
sido estudiadas en 1.3.1:∫
Λf(z)dz = L(F ,Λ) + i L(F ?,Λ)
Si la curva Λ admite la ecuacion c : [a, b] → C es claro que
∫
Λf(z)dz =
∫ b
af(c(t)) · c′(t)dt
130 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Ejemplos 4.4.1
Si C es la circunferencia de centro w y radio r tenemos:
1. ∫
C
dz
z −w=
∫ 2π
0
ieiθ
r eiθrdθ = 2πi
2.∫
C
dz
(z −w)n+1=
∫ 2π
0
ieiθ
rn+1 ei (n+1) θrdθ =
i
rn
∫ 2π
0e−niθdθ
pero
∫ 2π
0e−niθdθ =
∫ 2π
0cos nθdθ − i
∫ 2π
0sen nθdθ = o ∀n ∈ N
?
Teorema 4.4.2 Teorema de Cauchy
Si V es simplemente conexo y f ∈ H(V ), la integral compleja de f en una
curva Λ ⊂ V no depende del camino sino solo de sus extremos:
∫
Λf(z) dz = Φ(z1) − Φ(z0) con Φ primitiva global
En particular, si Λ es cerrada, la integral es nula.
Demostracion.
Las CR hacen que los campos F y F ? sean irrotacionales y el caractersimplemente conexo de V asegura que son conservativos. Si F = −∇ψ yF ? = −∇φ tendremos:
L(F ,Λ) = ψ(z1) − ψ(z0)
L(F ?,Λ) = φ(z1) − φ(z0)
y, por tanto, si Φ = ψ + iφ es una primitiva global de f , tendremos
∫
Λ
f(z)dz = L(F ,Λ) + i L(F ?,Λ) = Φ(z1) − Φ(z0) ♦
Tambien se cumple el siguiente recıproco:
Teorema 4.4.3 Teorema de Morera
Si f : V → C es continua y
∫
∆f(z) dz = o para toda curva cerrada ∆ ⊂ V ,
f es holomorfa y admite una primitiva global en V .
Demostracion:
4.4. INTEGRACION COMPLEJA 131
Nos aseguran que
L(F ,∆) = 0
L(F ?,∆) = 0∀ curva cerrada ∆ ⊂ V
Segun el comentario 1.3.2,2 sabemos que F y F ? son conservativos y, portanto, existen ψ, φ : V → R tales que F = −∇ψ y F ? = ∇φ. El campo
G =(ψφ
)tiene sus derivadas parciales continuas y, por tanto, es diferenciable.
Ademas, cumple la condiciones CR, luego g = ψ + iφ es holomorfa. Como
g′ = f , f tambien es holomorfa y g es su primitiva global. ♦
Teorema 4.4.4 Formula integral de Cauchy elemental
Si f ∈ H(V ) y Br(o) ⊂ V se cumple que
f(w) =1
2π i
∫
∂Br(o)
f(z)
z − wdz ∀w ∈ Br(o)
cuando recorremos ∂Br(o) en sentido contrario a las agujas del reloj.
Demostracion:
Si f = u+iv, por ser u y v funciones armonicas cumpliran la formula integralde Poisson del comentario 1.3.12, 3. Ası, por ejemplo,
u(w) =r2 − |w|2
2π r
∫
∂Br(o)
u(z)
|z − w|2dλ(z) ∀w ∈ Br(o)
Ahora bien, si |z| = r es claro que
r2 − |w |2|z − w |2 =
z
z −w+
w
z − w
luego
u(w) =1
2 π r
∫
∂Br(o)
(z
z −w+
w
z − w
)
· u(z) dλ(z).
De igual modo
v(w) =1
2 π r
∫
∂Br(o)
(z
z −w+
w
z − w
)
· v(z) dλ(z).
y, en consecuencia,
f(w) =1
2 π r
∫
∂Br(o)
(z
z −w+
w
z − w
)
· f(z) dλ(z)
Podemos poner la integral en forma compleja dividiendo por el complejo
unitario t =iz
r, de acuerdo con la orientacion indicada, luego
f(w) =1
2 π i
∫
∂Br(o)
1
z
(z
z − w+
w
z − w
)
· f(z) dz ∀w ∈ Br(o).
132 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Pero el teorema 4.4.2 asegura que
∫
∂Br(o)
f(z)
z(z − w)dz = o ∀w ∈ Br(o)
y, en consecuencia,
f(w) =1
2 π i
∫
∂Br(o)
f(z)
z − wdz ∀w ∈ Br(o) ♦
Comentarios 4.4.5
1. La formula integral de Cauchy elemental se cumple en cualquier discocerrado D ⊂ V no siendo esencial que este centrado en o. Si C es el
borde de D, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj,
f(w) =1
2 π i
∫
C
f(z)
z − wdz ∀w ∈ D
2. Derivando bajo el signo integral obtenemos:
fk)(w) =k!
2 π i
∫
C
f(z)
(z −w)k+1dz ∀w ∈ D
La existencia y holomorfıa de f ′, f”, . . .fk), cuando f es holomorfa,
que ya nos era conocida, se obtiene aquı, de nuevo, a la vez que unaexpresion de las derivadas en terminos de f
3. Si f ∈ H(C) y es acotada, debe ser constante. Esta es una interesante
observacion de Liouville:
|f ′(w)| ≤ 1
2 π
∫
C
|f(z)|r2
dz ≤ sup |f |r
∀r > 0 luego f ′ = 0
4. Del anterior resultado se deduce que todo polinomio P : C → C de
grado mayor que 0 tiene al menos una raiz compleja pues, de lo con-trario, P−1 : C → C serıa holomorfa acotada y P serıa constante:
Absurdo.
Ahora vamos a extender el teorema 4.4.4 a cualquier curva cerrada ∆ en
lugar de restringirnos a circunferencias. Utilizaramos una estrategia similara la que hemos seguido en los comentarios 1.3.15, basada en el teorema del
rotacional.
Lema 4.4.6
4.4. INTEGRACION COMPLEJA 133
Sea ∆ ⊂ C una curva cerrada que no pasa por un punto w. Entonces,
1
2π i
∫
∆
dz
z − w∈ Z
A este numero entero se le llama ındice de la curva ∆ respecto al punto w
y se denota ind∆(w).
Demostracion:
La funcion jw : C \ w → C tal que z 7→ 1
z − wes holomorfa y los campos
jw y j?w son irrotacionales. Designemos Ω a la porcion del plano complejolimitada por ∆ y estudiemos los casos posibles:
1. w /∈ Ω:∫
∆
dz
z − w= L(jw,∆)+ iL(j?w,∆) = S(rot(jw),Ω)+ iS(rot(j?w),Ω) = o
2. w ∈ Ω y ∆ da una vuelta en torno a w:
∃Bε(w) ⊂ Ω y podemos aplicar 1.3.14 en Ω′ = Ω \Bε(w), obteniendo
S(rot(jw),Ω′) + iS(rot(j?w),Ω′) = o
Como el borde de Ω′ es ∆ ∪ ∂Bε(w), segun la orientacion de ∆ y el
ejemplo 4.4.1, 1, tendremos
±∫
∆
dz
z −w=
∫
∂Bε(w)
dz
z −w= 2π i
3. w ∈ Ω y ∆ da n vueltas en torno a w:
En este caso podemos descomponer ∆ en n curvas cerradas de modoque cada una de ellas de solo una vuelta en torno a w y, ası,:
±∫
∆
dz
z − w= 2 nπ i ♦
La funcion ind∆ : C \ ∆ → Z es constante en cada componente conexa de
C \ ∆ por ser continua y tomar valores enteros y es nula en la componenteno acotada porque si B es una bola grande que contiene a ∆ y w /∈ B,
resulta que jw es holomorfa en B y, por tanto,
∫
∆jw(z)d z = 0. En la
siguiente grafica representamos los valores de la funcion ind∆ suponiendo laorientacion positiva contraria a las agujas del reloj.
134 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Teorema 4.4.7 Formula integral de Cauchy general
Sea V un abierto simplemente conexo y f ∈ H(V ). Si ∆ ⊂ V es una curvacerrada que no pasa por un punto w ∈ V , se cumple que
ind∆(w)f(w) =1
2π i
∫
∆
f(z)
z −wdz
Demostracion:Sea Ω la region encerrada por la curva ∆. Si w /∈ Ω es claro que ind∆(w) = 0.
Ademas, f · jw ∈ H(Ω) y el teorema 1.3.14 asegura que el segundo miembrode la formula integral tambien es nulo.
Si w ∈ Ω existe un ε > 0 tal que Bε(w) ⊂ Ω. Entonces f · jw ∈ H(Ω′)siendo Ω′ = Ω \Bε(w) y el teorema 1.3.14 asegura que
∫
∆∪∂Bε(w)
f(z)
z − wdz = o
luego∫
∆
f(z)
z − wdz = ind∆(w)
∫
∂Bε(w)
f(z)
z −wdz
y, de acuerdo con 4.4.4,
1
2π i
∫
∆
f(z)
z −wdz = ind∆(w) f(w) ♦
4.5. FUNCIONES ANALITICAS 135
4.5 Funciones analıticas
4.5.1 Sucesiones y series de funciones
Cada sucesion zn ⊂ C tiene asociada de forma natural la sucesion de sus
sumas parciales Sn ⊂ C donde Sn = z1 + · · ·+ zn. Sabemos bien lo quesignifica que zn sea convergente a z:
zn → z ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |zn − z| ≤ ε ∀n > n0
Cuando Sn → S preferimos escribir∑
zn = S. Sea cualquier abierto
A ⊂ C, una sucesion de funciones fn : A → C | n ∈ N y otra funcionf : A→ C. Si E ⊂ A es no vacıo, decimos:
1. fn converge puntualmente a f en E o fn p→ f en E si
limn
|fn(z) − f(z)| = 0, ∀z ∈ E.
2. fn converge uniformemente a f en E o fn u→ f en E si
∀ε > 0 ∃no tal que |fn(z) − f(z)| < ε ∀n > no y ∀z ∈ E.
Observaciones 4.5.2
1. fn u→ f en E ⇒ fnp→ f en E.
2. fn u→ f en A y toda fn : A→ C continua ⇒ f : A→ C continua:
Fijemos z0 ∈ A y ε > 0. Necesitamos un entorno E de z0 tal que
|f(z)− f(z0)| < ε, ∀z ∈ E
Fijemos un n tal que
|fn(z) − f(z)) <ε
3∀z ∈ A.
Como fn es continua en z0 hay un entorno E de z0 tal que
|fn(z)− fn(z0)| <ε
3, ∀z ∈ E .
Para un arbitrario z ∈ E tenemos
|f(x)− f(z0)| ≤ |f(z) − fn(z)|+ |fn(z), f(z0)| ≤
|f(z)−fn(z)|+ |fn(z), fn(z0)|+ |fn(x0)−f(x0)| <ε
3+ε
3+ε
3= ε.
136 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
4.5.3 Series de potencias
Una serie de potencias
S =
∞∑
n=0
an(z − z0)n = a0 +
∞∑
n=1
an(z − z0)n
define, en su campo de convergencia C(S), la funcion
fS : C(S) → C
z 7→∞∑
n=0
an(z − z0)n
Una parte importante de la teorıa elemental de funciones de variable com-
pleja se ocupa del estudio de dichos campos de convergencia y de las propie-dades de las funciones desarrollables en serie de potencias o analıticas. El
resultado mas interesante de esta seccion es la equivalencia entre analiticidady holomorfıa (teorema 4.5.7) que probaremos haciendo uso de las tecnicas
de integracion compleja. Es la colaboracion entre los tres poderosos ins-trumentos, derivacion, integracion y desarrollo en serie, la que proporciona
su mayor belleza a esta teorıa.
Teorema 4.5.4
Dada la serie S =
∞∑
n=0
an(z − z0)n definimos su radio de convergencia
R =1
lim sup n√
|an|conviniendo que
1
0= ∞ y
1
∞ = 0
Entonces se cumple:
1. S converge absolutamente en cada punto de BR(z0) y converge uni-formemente en cada compacto K ⊂ BR(z0)
2. S diverge en cada punto de C \BR(z0)
3. BR(z0) ⊂ C(S) ⊂ BR(z0) y nada puede asegurarse en ∂BR(z0).
4. Si R > 0, fS ∈ H(BR(z0)), f ′S(z) =
∞∑
n=1
n an(z − z0)n−1 y
fk)S (z) =
∞∑
n=k
n!
(n− k)!an(z − z0)
n−k ∀k > 1
y, en particular, an =fn)S (z0)
n!∀n ∈ N.
4.5. FUNCIONES ANALITICAS 137
Demostracion:
1. Si |z − z0| < r < R, lim sup |an(z − z0)n| < |z − z0|n
rnluego
∃n0 tal que |an(z − z0)n| < |z − z0|n
rn∀n ≥ n0
y, por tanto
∞∑
n=0
|an(z − z0)n|
∞∑
n=0
( |z − z0|r
)n
Como la serie mayorante es una geometrica de razon|z − z0|
r< 1, es
convergente y, ası, S converge absolutamente en BR(z0).
Dado un compacto K ⊂ BR(z0) tenemos k = supz∈K
|z − z0| < R y
tomando s ∈ (k, R) podemos asegurar que
∃n0 tal que |an| <1
sn∀n ≥ n0 y, por tanto,
∣∣∣∣∣
∞∑
n=n0
an(z − z0)n
∣∣∣∣∣≤
∞∑
n=n0
|an|kn <∞∑
n=n0
(k
s
)n
=s
s − k
(k
s
)n0
∀z ∈ K
Luego la convergencia es uniforme en K.
2. Si |z − z0| > R para un conjunto infinito de ındices n tendremos
n√
|an| >1
|z − z0|, es decir, |an(z − z0)
n| > 1
y la serie S sera divergente porque an(z − z0)n 6→ o
3. De 1. y 2. obtenemos BR(z0) ⊂ C(S) ⊂ BR(z0). En los puntos de lafrontera ∂BR(z0) cualquier cosa puede ocurrir como se muestra en los
siguientes ejemplos
(a) S1 =
∞∑
n=0
zn ⇒ R1 = 1 y C(S1) = B1(o)
(b) S2 =
∞∑
n=0
1
n2zn ⇒ R2 = 1 y C(S2) = B1(o)
(c) S3 =∞∑
n=0
1
nzn ⇒ R3 = 1 y
z = −1 ∈ C(S3)
z = 1 /∈ C(S3)
138 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
4. Si R = 0 la serie S solo converge en z0 y no tiene sentido hablar de la
funcion fS. Pero cuando R > 0, fS : BR(z0) → C esta bien definida.
Ademas, la serie
∞∑
n=1
n an(z − z0)n−1 tiene el mismo radio de conver-
gencia que S y, por tanto, tambien esta bien definida la funcion
g: BR(z0) → C
z 7→∞∑
n=1
n an(z − z0)n−1
que, como lımite uniforme de funciones continuas, es continua en cadacompacto de BR(z0) y, por tanto, continua en BR(z0).
Si ∆ ⊂ BR(z0) es una curva cerrada, ∆ sera un compacto de BR(z0)y, por haber convergencia uniforme en los compactos tendremos
∫
∆g(z) dz =
∞∑
n=1
n an
∫
∆(z − z0)
n−1 dz = o
Ası, el teorema 4.4.3 asegura que g ∈ H(BR(z0)) y admite una primi-
tiva global en BR(z0). Pero esa primitiva es fS puesto que
∫ z
z0
g(w) dw =
∞∑
n=1
an
∫ z
z0
n(w−z0)n−1 dz =
∞∑
n=1
an(z−z0)n = fS(z)−fS(z0)
Por tanto, fS ∈ H(BR(z0)) y f ′S(z) = g(z) =
∞∑
n=1
n an(z−z0)n−1.
El resto se obtiene por reiteracion de estos razonamientos. ♦.
Definicion 4.5.5
Una funcion f : V → C se dice analıtica en el abierto V si
∀z0 ∈ V ∃Br(z0) ⊂ V tal que f = fS en Br(z0)
Comentarios 4.5.6
1. Si fS(z) =
∞∑
n=0
an(z − z0)n debemos sobreentender que r < R siendo
R el radio de convergencia de la serie S.
2. Escibiremos f ∈ A(V ) para indicar que f : V → C es analitica en el
abierto V . Por el teorema 4.5.4, 4, sabemos que A(V ) ⊂ H(V ) y quela representacion en serie de potencias centrada en z0 de una f ∈ A(V )
tiene que ser unica:
f(z) =∞∑
n=0
fn)(z0)
n!(z − z0)
n
4.5. FUNCIONES ANALITICAS 139
Teorema 4.5.7
A(V ) = H(V )
Demostracion:
Ya sabemos que A(V ) ⊂ H(V ). Probemos que H(V ) ⊂ A(V ):Sea f ∈ H(V ) y sea z0 ∈ V . Existe r > 0 tal que Br(z0) ⊂ V y por 4.4.4
tenemos que
f(w) =1
2 π i
∫
∂Br(z0)
f(z)
z −wdz ∀w ∈ Br(z0)
Si f fuera analıtica ocurrirıa que
f(w) =∞∑
n=0
fn)(z0)
n!(w− z0)
n
y, puesto quefn)(z0)
n!=
1
2 π i
∫
∂Br(z0)
f(z)
(z − z0)n+1dz ,
parece razonable ensayar con la serie de potencias
S =∞∑
n=0
1
2 π i
∫
∂Br(z0)
f(z)
(z − z0)n+1dz · (w − z0)
n
Pero,
w ∈ Br(z0)z ∈ ∂Br(z0)
⇒ |w − z0||z − z0|
< 1 ⇒
⇒∞∑
n=0
(w− z0)n
(z − z0)n+1=
primero
1− razon=
1
z − z0· 1
1− w − z0z − z0
=1
z −w
siendo la convergencia uniforme en el compacto ∂Br(z0). Por tanto,
1
2 π i
∞∑
n=0
(∫
∂Br(z0)
f(z)
(z − z0)n+1dz
)
(w− z0)n =
=1
2 π i
∫
∂Br(z0)f(z)
( ∞∑
n=0
(w− z0)n
(z − z0)n+1
)
dz =1
2 π i
∫
∂Br(z0)
f(z)
z − wdz = f(w)
Luego f = fS en Br(z0) y, en consecuencia, f ∈ A(V ). ♦
140 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Comentarios 4.5.8
1. Si f ∈ H(V ) y Br(z0) ⊂ V , el metodo de prueba del teorema 4.5.7 nos
asegura que el radio de convergencia R de la serie
∞∑
n=0
fn)(z0)
n!(z−z0)n
es mayor o igual que r. Por tanto, f no solo sera representable en serie
de potencias en un pequeno entorno de z0 sino tambien en el mayordisco abierto centrado en z0 que este contenido en V .
2. Si f ∈ H(V ), V es conexo y ∃z0 ∈ V tal que fn)(z0) = o ∀n ≥ 1, secumple que f es constante. En efecto:
El conjunto A = z ∈ V | fn)(z) = o ∀n ≥ 1 es un cerrado no vacıode V . Pero ademas, es abierto pues si z0 ∈ A y Br(z0) ⊂ V tendremos
f(z) =
∞∑
n=0
fn)(z0)
n!(z−z0)n = f(z0) ∀z ∈ Br(z0) luego Br(z0) ⊂ A.
Ası, A = V y, por tanto, f es constante.
4.5.9 Ceros
Teorema 4.5.10
Si f ∈ H(V ), el abierto V es conexo y f no es constante, el conjunto
N (f) = z ∈ V | f(z) = 0 no tiene puntos de acumulacion en V .
Demostracion:
Basta ver que si z0 ∈ N (f), ∃Br(z0) tal que Br(z0) ∩N (f) = z0. Sabe-
mos que existe un Br1(z0) tal que f(z) =
∞∑
n=0
an(z− z0)n ∀z ∈ Br1(z0). Es
claro que a0 = 0 pues f(z0) = 0, pero existe un mınimo k ≥ 1, llamado orden
del cero z0, tal que ak 6= 0, pues si todos fueran nulos, segun el comentario4.5.8,2, la funcion f serıa constante, contra la hipotesis. Entonces
f(z) = (z − z0)k
∞∑
n=k
an(z − z0)n−k
La funcion g(z) =
∞∑
n=k
an(z − z0)n−k es no nula en z0 y, por continuidad, es
no nula en un cierto entorno Br(z0). Luego Br(z0) ∩N (f) = z0. ♦
Corolario 4.5.11
Sean f1, f2 ∈ H(V ) y sea el abierto V conexo. Si f1 = f2 en un subconjunto
de V con puntos de acumulacion, f1 = f2 en V .
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 141
Demostracion:
La funcion f1 − f2 tiene un conjunto de ”ceros” con punto de acumulaciony, segun el teorema 4.5.10 debe ser constante en V . Luego f1 = f2 en V .
♦
4.6 Funciones meromorfas
4.6.1 Series de Laurent
Una serie del tipo L =
∞∑
n=−∞an(z − z0)
n se llama serie de Laurent y es
convergente si y solo si son convergentes las dos series de potencias
S+ =
∞∑
n=0
an(z − z0)n y S− =
∞∑
n=1
a−n
(1
z − z0
)n
.
El teorema 4.5.4 asegura la convergencia si
lim sup n√
|a−n| = Ri < |z − z0| < Re =1
lim sup n√
|an|
y la divergencia si
|z − z0| > Re o |z − z0| < Ri
es decir, asegura la convergencia en la corona A = z |Ri < |z − z0| < Rey la divergencia en el exterior de ella sin que nada pueda asegurarse de loque pasa en el borde ∂A de la corona.
El teorema 4.5.4 tambien asegura la convergencia uniforme en los compactos
K ⊂ A y, por tanto, la continuidad de la funcion
fL: A → C
z 7→∞∑
n=−∞an(z − z0)
n
Ademas fL = fS+ +fS− jzo donde jz0(z) =1
z − z0y, por tanto, fL ∈ H(A).
Cuestion 4.6.2
Surge aquı la siguiente pregunta: ¿El conocimiento de la funcion fL deter-
mina unıvocamente los coeficientes an de la serie de Laurent L?. La res-puesta es afirmativa pero, ası como en el caso de las series de potencias, los
coeficientes quedan determinados por derivacion termino a termino, ahora
142 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
se determinan por integracion termino a termino, a lo largo de cualquier
circunferencia de radio ρ ∈ (Ri, Re) . En efecto:
fL(z) =
∞∑
−∞an(z − z0)
n ⇒
⇒∫
∂Bρ(z0)
fL(z)
(z − z0)m+1dz =
∞∑
−∞an
∫
∂Bρ(z0)(z − z0)
n−m−1 dz
pero∫
∂Bρ(z0)(z − z0)
n−m−1 dz = i
∫ 2π
0exp(iθ(n−m))dθ = 2π iδnm
luego
am =1
2πi
∫
∂Bρ(z0)
fL(z)
(z − z0)m+1dz ∀m ∈ Z
Teorema 4.6.3 Teorema de Laurent
Sea A = z | r < |z − z0| < R una corona con 0 ≤ r < R ≤ ∞ y seaf ∈ H(A). Existe una unica serie de Laurent L tal que f = fL en A.
Demostracion:
Dado un z ∈ A existen ε, δ > 0 tales que la corona de centro z0 y radiosr+ ε y R− ε menos Bδ(z) es como la zona sombreada de la figura siguiente
En esa zona, la funcion g(ς) =f(ς)
ς − zes holomorfa y los campos g y g?
son irrotacionales y aplicandoles el teorema 1.3.14 obtenemos∫
∂BR−ε(z0)
g(ς)dς −∫
∂Bδ(z)
g(ς)dς −∫
∂Br+ε(z0)
g(ς)dς = 0
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 143
donde los signos negativos se deben a que las circunferencias respectivas se
recorren en sentido de las agujas del reloj. Pero, segun 4.4.4,∫
∂Bδ(z)
g(ς)dς =
∫
∂Bδ(z)
f(ς)
ς − zdς = 2π i f(z)
y, por tanto,
f(z) =1
2π i
(∫
∂BR−ε(z0)
f(ς)
ς − zdς −
∫
∂Br+ε(z0)
f(ς)
ς − zdς
)
En la primera integral∫
∂BR−ε(z0)
f(ς)
ς − zdς
tenemos que |z−z0| < |ς−z0| = R−ε, luego|z − z0||ς − z0|
< 1, y podemos des-
arrollar1
ς − zen serie geometrica convergente uniformemente en ∂BR−ε(z0):
1
ς − z=
1
(ς − z0) − (z − z0)=
1
ς − z0· 1
1 − ς − z0z − z0
=∞∑
n=0
(z − z0)n
(ς − z0)n+1
En la segunda integral
−∫
∂Br+ε(z0)
f(ς)
ς − zdς =
∫
∂Br+ε(z0)
f(ς)
z − ςdς
tenemos que |z−z0| > |ς−z0| = r+ε, luego|ς − z0||z − z0|
< 1, y podemos des-
arrollar1
z − ςen serie geometrica convergente uniformemente en ∂Br+ε(z0):
1
z − ς=
1
(z − z0) − (ς − z0)=
1
z − z0· 1
1 − z − z0ς − z0
=∞∑
n=0
(ς − z0)n
(z − z0)n+1
Ahora bien,
∞∑
n=0
(ς − z0)n
(z − z0)n+1=
−∞∑
n=−1
(z − z0)n
(ς − z0)n+1y, ası
f(z) =
∞∑
n=0
(
1
2π i
∫
∂BR−ε(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς
)
(z − z0)n+
+
−∞∑
n=−1
(
1
2π i
∫
∂Br+ε(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς
)
(z − z0)n
144 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Para finalizar, observamos que las funcionesf(ς
(ς − z0)n+1son holomorfas en
la corona abierta de centro z0 y radios r y R por lo que
∫
∂BR−ε(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς =
∫
∂Br+ε(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς =
=
∫
∂Bρ(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς ∀ρ ∈ (r, R)
Si Aε = z | r+ ε < |z − z0| < R− ε, eligiendo un ρ ∈ (r, R), se cumple
f(z) =
∞∑
n=−∞
(
1
2π i
∫
∂Bρ(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς
)
(z − z0)n ∀z ∈ Aε
pero siendo ε > 0 arbitrario, se cumple ∀z ∈ A. Ası, f = fL en A donde
L =
∞∑
n=−∞an(z − z0)
n y an =1
2π i
∫
∂Bρ(z0)
f(ς)
(ς − z0)n+1dς ∀n ∈ Z.
La unicidad de la serie ya ha sido probada en 4.6.2 ♦
4.6.4 La transformada z
Sabemos por 4.5.4 que a una aplicacion L : Z → C le corresponde unafuncion holomorfa
fL: A → C
z 7→∞∑
n=1
L(n)zn +
∞∑
n=0
L(−n)
zn
siendo A la corona z |Ri < |z| < Re donde
Ri = lim sup n√
|L(−n)| y Re =1
lim sup n√
|L(n)|
Tambien sabemos por 4.6.2 que dada una f holomorfa en una corona abierta
de centro 0 y radios Ri y Re, y fijado un ρ ∈ (Ri, Re) podemos definir laaplicacion
L: Z → C
m 7→ 1
2πi
∫
∂Bρ(0)f(z)zm+1 dz
y se cumple que f = fL.
Diremos que la funcion fL es la transformada z de la aplicacion L : Z → C
o que la aplicacion L es la transformada z inversa de la funcion f .
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 145
Si nos restringimos a aplicaciones L : Z → C con L(n) = 0 ∀n ∈ N
podemos hablar de la transformada z de una sucesion s : N → C o, si se
prefiere, de una sucesion (xn) ⊂ C. Su transformada z sera la funcion
Z [xn](z) =
∞∑
n=0
xnzn
que resultara holomorfa en la corona
D[xn] = z ∈ C |Ri < |z| donde Ri = lim sup n√
|xn|.
Naturalmente, si Ri = ∞ es claro que D[xn] = ∅ y la sucesion (xn) no tendratransformada z.
Teorema 4.6.5 Propiedades basicas de la transformada z
1. Z [αxn + βyn](z) = αZ [xn](z) + βZ [yn](z) ∀z ∈ D[xn] ∩ D[yn]
2. Si yn = xn+1 ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y
Z [yn](z) = zZ [xn](z)− zx0
3. Si yn = xn+k ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y
Z [yn](z) = zkZ [xn](z) −k−1∑
n=0
xnzk−n
4. Si a 6= 0 y yn = anxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = |a|D[xn] y
Z [yn](z) = Z [xn](z
a)
5. Si yn = nxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y
Z [yn](z) = −z ddz
Z [xn](z)
6. Si k > 1 e yn = nkxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y
Z [yn](z) =
[
−z ddz
]k
Z [xn](z)
queriendo decir que debemos aplicar k veces a la funcion Z [xn](z) el
operador −z ddz
que deriva respecto de z y multiplica por −z.
146 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Demostracion:
1.
∞∑
n=0
αxn + βynzn
= α
∞∑
n=0
xnzn
+ β
∞∑
n=0
ynzn
en D[xn] ∩ D[yn]
2.∞∑
n=0
ynzn
= z∞∑
n=1
xnzn
= z(Z [xn](z)− x0)
Los restantes apartados se prueban de manera similar y se proponen como
Trabajo 21.
Ejemplo 4.6.6
Hallar la transformada z de la sucesion (xn) sabiendo que x0 = 0, x1 = 1 y
cumple la siguiente ley de recurrencia a tres terminos:
xn+2 + xn+1 − 2xn = 1
Solucion:
Es claro queZ [xn+2 + xn+1 − 2xn](z) = Z [1](z)
Por 4.6.5,1 tenemos
Z [xn+2](z) + Z [xn+1](z) − 2Z [xn](z) = Z [1](z)
Por 4.6.5,2,3 y las condicones iniciales asegramos que
Z [xn+2](z) = z2Z [xn](z) − z
Z [xn+1](z) = zZ [xn](z)
y, como
Z [1](z) =
∞∑
n=0
1
zn=
z
z − 1,
despejando, obtenemos
Z [xn](z) =z2
(z + 2)(z − 1)2
que es una funcion holomorfa en la corona 2 < |z| <∞
4.6.7 Polos
Es de interes especial el caso en que la corona A es un disco sin su centro,BR[z0] := z | 0 < |z−z0| < R. Si V es un abierto, z0 ∈ V y f ∈ H(V \z0),f sera holomorfa en BR[z0] para algun R > 0 y tendra en el un desarrollode Laurent unico
f(z) =
∞∑
n=−∞an(z − z0)
n con lim sup n√
|a−n| = o
Tres casos pueden ocurrir:
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 147
1. a−n = 0 ∀n > 0: z0 es una singularidad evitable.
2. a− k 6= 0 y a−n = 0 ∀n > k: z0 es un polo de orden k
3. a−n 6= 0 para infinitos n > 0: z0 es singularidad esencial.
Comentarios 4.6.8
1. Si z0 es singularidad evitable de f tendremos
f(z) =∞∑
n=0
an(z − z0)n en BR[z0]
y f sera analıtica en BR(z0) y, por tanto, en V si definimos f(z0) = a0.
2. Si z0 es un polo de orden k de f tendremos
f(z) =∞∑
n=0
an(z − z0)n +
k∑
n=1
a−n(z − z0)n
en BR[z0]
y la funcion
φ(z) = f(z)−k∑
n=1
a−n(z − z0)n
sera analıtica en BR(z0) y, por tanto, en V si definimos φ(z0) = a0.
3. Si z0 es una singularidad esencial de f la parte no analıtica de f en z0es, por ası decirlo, completa.
Teorema 4.6.9
Si z0 ∈ V y f ∈ H(V \ z0) se cumplen las siguientes equivalencias:
1. z0 es singularidad evitable de f ⇔ ∃ limz→z0
f(z) ⇔ f es acotada
en un entorno de z0
2. z0 es un polo de orden k de f ⇔ ∃ limz→z0
(z−z0)kf(z) 6= o ⇔ z0 es un
cero de orden k de la funcion1
fsi admitimos a priori que
1
f(z0) = o.
3. z0 es singularidad esencial de f ⇔ f(Br[z0]) es denso en C ∀r > 0
Demostracion:
1. Si f(z) =
∞∑
n=0
an(z− z0)n en BR[z0] es claro que lim
z→z0f(z) = a0 y,
por tanto, f es acotada en un entorno de z0.
Inversamente, si f es acotada en un entorno de z0, h(z) = (z−z0)2f(z)
148 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
sera holomorfa en V y tal que h(z0) = o y h′(z0) = o. Por tanto,
h(z) =∞∑
n=2
an(z − z0)n y, en consecuencia, f(z) =
∞∑
n=0
an+2(z − z0)n
con lo que z0 es singularidad evitable de f .
2. Si f(z) =
∞∑
n=0
an(z−z0)n +
k∑
n=1
a−n(z − z0)n
con a−k 6= o en BR[z0],
es claro que limz→z0
(z − z0)kf(z) = a−k 6= o. En tal caso, f(z) 6= o en
un entorno perforado Br [z0] y admitiendo a priori que1
f(z0) = o,
tenemos bien definida la funcion:
1
f: Br(Z0) → C Ademas,
z 7→
1
f(z)si z 6= z0
o si z = z0
1
f(z) =
(z − z0)k
(z − z0)kf(z)= (z − z0)
kg(z) con g(z) =1
(z − z0)kf(z)
y como g ∈ H(Br [z0]) y ∃ limz→z0
g(z) =1
a−k6= o, por 1, g ∈ A(Br(z0)).
Luego z0 es un cero de orden k de1
f.
Inversamente, si z0 es un cero de orden k de1
f, por definicion tenemos
1
f(z) = (z−z0)kh(z), con h analıtica en cierto Br(z0) y lim
z→z0h(z) 6= o.
Podemos, por tanto, suponer que h(z) 6= o en Br(z0) y que1
hes
analıtica en Br(z0) con desarrollo en serie de potencias:
1
h(z) =
∞∑
n=0
bn(z − z0)n (b0 6= 0). Luego f(z) =
∞∑
n=0
bn(z − z0)n−k
y, por tanto, z0 es polo de orden k de la funcion f .
3. ⇒) Si f(Br[z0]) no es denso en C ∃Bρ(w) ⊂ C \ f(Br[z0]) luego
f(Br[z0]) ⊂ C \Bρ(w) y |f(z) −w| ≥ ρ ∀z ∈ Br[z0]. La funcion
g: Br[z0] → C
z 7→ 1
f(z) − w
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 149
es analıtica y acotada en Br[z0] y, por 1, tambien es analıtica en Br(z0)
si definimos g(z0) = limz→z0
g(z). Suponiendo
g(z) = (z − z0)kh(z) con k ≥ 0 y h(z0) 6= o
tendremos en un cierto Br′(z0)
f(z) = w + (z − z0)−k 1
h(z)con
1
h∈ A(Br′(z0))
y, por tanto, z0 no sera singularidad esencial de f .
⇐) Si z0 es singularidad evitable de f , f debe ser acotada en ciertoBr(z0), luego f(Br(z0)) no puede ser denso en C.
Si z0 es un polo de orden k de f , la funcion1
fsera acotada en cierto
Br′(z0), luego f(Br′(z0)) no puede ser denso en C. ♦
Definicion 4.6.10
Una funcion f : V → C se dice meromorfa en el abierto V , f ∈ M(V ),si existe un conjunto discreto P (f) ⊂ V tal que f ∈ H(V \ P (f)), y cada
p ∈ P (f) es un polo de f .
Comentarios 4.6.11
1. Si f, g ∈ M(V ) tambien f + g ∈ M(V ) y f · g ∈ M(V ) pues
P (f + g) ⊂ P (f) ∪ P (g) y P (f · g) ⊂ P (f) ∪ P (g)
2. Si f ∈ H(V ), el abierto V es conexo y f no es constante, es claro que1f ∈ M(V ) pues P ( 1
f ) = N (f) y, segun el comentario 4.5.8,2, N (f) es
un conjunto de puntos aislados.
3. En realidad, si f ∈ M(V ) y p ∈ P (f) tendremos
f(z) =
∞∑
n=−kan(z − p)n =
∞∑
n=0
an−k(z − p)n
(z − p)k
y, por tanto, una funcion es meromorfa si y solo si es localmente co-
ciente de dos funciones analıticas.
4. Si f ∈ M(V ), esta definida y es holomorfa en V \P (f). En este mismo
conjunto esta definida la funcion derivada f ′. Ademas, si p es un polode orden k de f , p sera un polo de orden k+1 de f ′ y, en consecuencia,f ′ ∈ M(V ).
150 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
4.6.12 Residuos
Definicion 4.6.13
Si f ∈ M(V ) y p ∈ P (f) es un polo de orden k > 0 tendremos
f(z) =
∞∑
n=0
an(z − p)n +
(a−1
z − p+
a−2
(z − p)2+ · · ·+ a−k
(z − p)k
)
︸ ︷︷ ︸
fa(z)
︸ ︷︷ ︸
Q(z)
donde fa(z) es analıtica en cierto entorno de p y Q(z) no lo es.El coeficiente a−1 de (z−p)−1 juega un papel muy importante en el estudio
local de f y se llama residuo de f en p, Res(f, p).
Comentarios 4.6.14
1. Si p es un polo simple de f , f(z) =a−1
z − p+
∞∑
n=0
an(z − p)n, luego
Res(f, p) = a−1 = limz→p
(z − p)f(z)
2. Si f =g
hen cierto Br[p] con g analıtica, g(p) 6= o y p cero simple de h
Res(f, p) = limz→p
(z − p)f(z) = limz→p
g(z)
h(z)− h(p)
z − p
=g(p)
h′(p)
3. Si f(z) =g(z)
(z − p)ken cierto Br[p] con g analıtica y g(p) 6= o:
f(z) =
∞∑
n=0
gn)(p)
n!(z − p)n−k luego Res(f, p) =
gk−1)(p)
(k − 1)!
En general, si p es un polo de orden k de f :
Res(f, p) =1
(k − 1)!limz→p
dk−1
dzk−1
(
f(z)(z − p)k)
4. Por ultimo, tambien puede calcularse el desarrollo de Laurent de f en p
y tomar directamente el coeficiente a−1. Como ejemplo, calcularemosRes(f, 1) siendo
f(z) =3z2 − 5z + 4
(z − 1)2
[
3 sen
(1
z − 1
)
+ 2 cos
(1
z − 1
)]
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 151
Con Taylor expresamos N (z) = 3z2−5z+4 en potencias de z−1:
N (z) = 3z2 − 5z + 4 ⇒ N (1) = 2
N ′(z) = 6z − 5 ⇒ N ′(1) = 1
N ′′(z) = 6 ⇒ N ′′(1) = 6
Por tanto
N (z) = N (1)+N ′(1)(z− 1)+N ′′(1)
2!(z− 1)2 = 2 + (z− 1)+ 3(z− 1)2
y, en consecuencia
N (z)
(z − 1)2=
2
(z − 1)2+
1
z − 1+ 3
Vayamos ahora con el factor. Sabemos que
senx = x − x3
3!+x5
5!+ · · ·
cos x = 1 − x2
2!+x4
4!+ · · ·
⇒
3 senx = 3x− x3
2+x5
40+ · · ·
2 cosx = 2 − x2 +x4
12+ · · ·
luego
3 sen
(1
z − 1
)
+2 cos
(1
z − 1
)
= 2+3
z − 1− 1
(z − 1)2− 1
2(z − 1)3+· · ·
Ası,
f(z) =
[2
(z − 1)2+
1
z − 1+ 3
][
2 +3
z − 1− 1
(z − 1)2− 1
2(z − 1)3+ · · ·
]
=
= 6 +11
z − 1+
4
(z − 1)2+ · · · y, por tanto, Res(f, 1) = 11
Teorema 4.6.15 Teorema de los residuos
Si V es simplemente conexo, f ∈ M(V ) y ∆ ⊂ V es una curva cerrada queno pasa por ningun polo de f
∫
∆
f(z)dz = 2πi∑
p∈P (f)
Res(f, p) ind∆(p)
Demostracion:
En principio la suma puede ser numerable, pero si ∆ ⊂ K ⊂ V siendo Kcompacto, solo habra un numero finito de polos de f rodeados por ∆ y, para
los demas, el ındice es 0.
152 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Sean p1, . . . , pm los polos rodeados por ∆. Existe un r > 0 tal que todos
los discos Br(pj) estan tambien rodeados por ∆. Por ser f holomorfa enla region cuyo borde es ∆ ∪ ∂Br(p1) ∪ · · · ∪ ∂Br(pm) el teorema 1.3.14 nos
asegura que∫
∆
f(z)dz =
m∑
j=1
ind∆(pj)
∫
∂Br(pj)
f(z)dz
Para calcular cada una de estas integrales, hallamos el desarrollo de Lau-
rent de f en el correspondiente polo pj e integramos termino a termino,lıcitamente, por la convergencia uniforme en el compacto ∂Br(pj). Las in-
tegrales de todos los terminos son nulas, salvo la correspondiente al terminoresidual, cuyo valor es 2π iRes(f, pj), como vimos en el ejemplo 4.4.1,1.
Luego
∫
∆f(z)dz = 2π i
m∑
j=1
ind∆(pj)Res(f, pj) = 2π i∑
p∈P (f)
ind∆(p)Res(f, p) ♦
4.6.16 Usos del Teorema de los Residuos
El teorema 4.6.15 puede usarse para calcular integrales
∫ 2π
0
R(cos, sen )dm1
donde R es una funcion racional de cosenos y senos. Teniendo en cuenta
que en la circunferencia unidad se cumple
z = eiθ = cos θ + i sen θ1
z= e−iθ = cos θ − i sen θ
dz = ieiθdθ
⇒
cos θ =z +
1
z2
=z2 + 1
2z
sen θ =z − 1
z2i
=z2 − 1
2z i
dθ =dz
iz∫ 2π
0R(cos θ, sen θ)dm1(θ) se escribe
1
i
∫
∂B1(o)
1
zR
(z2 + 1
2z,z2 − 1
2z i
)
dz
y si f(z) =1
zR
(z2 + 1
2z,z2 − 1
2z i
)
es meromorfa y no tiene polos en ∂B1(o)
∫ 2π
0R(cos θ, sen θ)dθ =
1
i
∫
∂B1(o)f(z)dz = 2π
∑
p∈B1(o)
Res(f, p)
Ejemplo 4.6.17
Si a > b > 0 probar que
∫ 2π
0
dθ
a+ b cos θ=
2π√a2 − b2
Solucion:
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 153
Haciendo los cambios indicados a+ b cosθ = a+ bz2 + 1
2z=bz2 + 2az + b
2z,
∫ 2π
0
dθ
a+ b cos θ= −2i
∫
|z|=1
dz
bz2 + 2az + b
Los polos de f(z) =1
bz2 + 2az + b=
1
b(z − z1)(z − z2)son
z1 = −ab
+
√
a2
b2− 1 y z2 = −a
b−√
a2
b2− 1 y cumplen
|z2| =
∣∣∣∣∣−ab−√
a2
b2− 1
∣∣∣∣∣=a
b+
√
a2
b2− 1 >
a
b> 1 ⇒ z2 /∈ B1(o)
z1z2 =b
b= 1 ⇒ |z1| < 1 ⇒ z1 ∈ B1(o)
. Como
Res(f, z1) = limz→z1
(z − z1)f(z) = limz→z1
1
b(z − z2)=
1
b(z1 − z2)=
1
2√a2 − b2
,
∫ 2π
0
dθ
a+ b cos θ= −2i
∫
|z|=1
dz
bz2 + 2az + b= −2i·2π iRes(f, z1) =
2π√a2 − b2
♦
El teorema de los residuos puede usarse, junto con la transformada z, para
resolver ecuaciones en diferencias.
Ejemplo 4.6.18
Resolver la ecuacion en diferencias
xn+2 + xn+1 − 2xn = 1 con x0 = 0 e x1 = 1
Solucion:
Suponiendo que la solucion (xn) tiene transformada z:
Z [xn+2 + xn+1 − 2xn](z) = Z [1](z)
Por ??,1 tenemos
Z [xn+2](z) + Z [xn+1](z)− 2Z [xn](z) = Z [1](z)
Por ??,2,3 y las condicones iniciales asegramos que
Z [xn+2](z) = z2Z [xn](z)− z
Z [xn+1](z) = zZ [xn](z)
y, como
Z [1](z) =
∞∑
n=0
1
zn=
z
z − 1,
154 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
despejando, podemos asegurar que
f(z) := Z [xn](z) =z2
(z + 2)(z − 1)2.
Esta f(z) es holomorfa en A = z | 2 < |z| y, tomando cualquier ρ > 2,podemos esribir su correspondiente aplicacion
L: Z → C
m 7→ 1
2πi
∫
∂Bρ(0)
1
zm−1(z + 2)(z − 1)2dz
Como, limz→∞
f(z) = 0, podemos asegurar que L(n) = 0 ∀n ∈ N sin necesi-
dad de calcular las integrales. Para n = 0, 1, 2, .. tenemos
xn = L(−n) =1
2πi
∫
∂Bρ(0)
zn+1
(z + 2)(z − 1)2dz
y, designando Fn(z) = zn−1f(z), el teorema 4.6.15 nos permite escribir
xn = Res(Fn,−2) + Res(Fn, 1).
Segun el comentario 4.6.14,3
Res(Fn,−2) = limz→−2
Fn(z)(z + 2) = limz→−2
zn+1
(z − 1)2=
(−2)n+1
32
Res(Fn, 1) = limz→1
d
dz
(Fn(z)(z − 1)2
)= lim
z→1
(n+ 1)zn(z + 2) − zn+1
(z + 2)2=
3n+ 2
32
y, en consecuencia,
(xn) =
((−2)n+1 + 3n+ 2
9
)
♦
Finalmente, el teorema de los residuos tambien puede usarse para la valo-
racion principal de integrales:
Una funcion medible f : R → C es integrable si∫
R|f | dm1 < ∞. Cuando
esto sucede tambien son integrables sus restricciones
f l : (−∞, 0] → C y fr : [0,∞) → C
y considerando las sucesiones de funciones
fn = f · 1[−n,n]f ln = f l · 1[−n,0]frm = fr · 1[0,m]
resulta que
fn → f y |fn| ≤ |f |f ln → f l y |f ln| ≤ |f l|frm → fr y |frm| ≤ |fr|
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 155
El teorema 1.2.17 nos asegura, entonces, que
limn→∞
∫ n
−nf dm1 =
∫
R
f dm1 y
limn→∞
∫ 0
−nfdm1 + lim
m→∞
∫ m
0fdm1 = lim
n,m→∞
∫ m
−nfdm1 =
∫
R
fdm1
Sin embargo, conviene tener presente que existen funciones f : R → C
localmente integrables 1 y, por tanto, para las que existen todas las integrales∫ 0
−nf(x)dm1(x) ∀n ∈ N y
∫ m
0f(x)dm1(x) ∀m ∈ N
y verifican que
existe limn→∞
∫ n
−nf(x)dm1(x) y no existe lim
n,m→∞
∫ m
−nfdm1.
Tambien existen otras funciones localmente integrables para las que existen
limn,m→∞
∫ m
−nfdm1 y f /∈ L
1(R, m1)
Por ello conviene dar nombres particulares a estos lımites:
1. valor principal V P
∫ ∞
−∞f(x)dx := lim
n→∞
∫ n
−nf(x)dm1(x)
2. integral impropia
∫ ∞
−∞f(x)dx := lim
n,m→∞
∫ m
−nfdm1
Incluso puede interesarnos considerar una f : R → C que no sea localmente
integrable pero que sı lo sea su restriccion f : R \ s → C. Al punto s lollamaremos punto singular de f y es claro que existen todas las integrales
∫ s− 1n
af(x)dm1(x) ∀n ∈ N y
∫ b
s+ 1m
f(x)dm1(x) ∀m ∈ N.
Aunque, por hipotesis, no existe
∫ b
afdm1, puede existir el
limn,m→∞
(∫ s− 1
n
a
f(x)dm1(x) +
∫ b
s+ 1m
f(x)dm1(x)
)
y, en tal caso, para calcularlo bastara hallar el lımite
limn→∞
(∫ s− 1
n
af(x)dm1(x) +
∫ b
s+ 1n
f(x)dm1(x)
)
Tambien puede suceder que exista este ultimo lımite sin que exista el ante-
rior. Por ello conviene dar nombres particulares a estos lımites:
1Cada punto tiene un entorno donde la funcion es integrable.
156 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
1. valor principal V P (s)
∫ b
a
f(x)dx :=
limn→∞
(∫ s− 1n
af(x)dm1(x) +
∫ b
s+ 1n
f(x)dm1(x)
)
2. integral impropia (s)
∮ b
af(x)dx :=
limn,m→∞
(∫ s− 1
n
af(x)dm1(x) +
∫ b
s+ 1m
f(x)dm1(x)
)
Podemos usar el teorema de los residuos para determinar el valor principal
de integrales de algunas funciones reales. En cada caso deberemos estudiarsi la funcion es integrable o no, si es localmente integrable o no y si tiene
integral impropia o no.
Si f : R → C es localmente integrable y su extension compleja f(z) esmeromorfa, con un numero finito de polos, ninguno de ellos sera real. En lacurva ∆n = [−n, n] ∪Cn que encierra al semicırculo Dn, tendremos
-
i
O
y
x
Cn
n−n
Dn
∫ n
−nf(x) dm1(x) =
∫
∆n
f(z)dz −∫
Cn
f(z)dz
y el teorema 4.6.15 nos asegura que∫ n
−nf(x) dm1(x) = 2π i
∑
p∈Dn
Res(f, p)−∫
Cn
f(z)dz
Por tanto, si existe el limn→∞
∫
Cn
f(z) dz = C, tendremos que
V P
∫ ∞
−∞f(x) dx = 2π i
∑
Im(p)>0
Res(f, p)−C
donde el sumatorio se extiende a todos los polos de f(z) situados en el
semiplano Im(z) > 0.
4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 157
Lema 4.6.19
lim|z|→∞
zf(z) = o ⇒ limn→∞
∫
Cn
f(z) dz = o
Demostracion:∣∣∣∣
∫
Cn
f(z)dz
∣∣∣∣≤∫
Cn
|f(z)|dz ≤ supz∈Cn
|f(z)|∫
Cn
dz = π supz∈Cn
|z f(z)|
y si lim|z|→∞
zf(z) = o es claro que limn→∞
∫
Cn
f(z)dz = o ♦.
Ası pues, en las condiciones del lema 4.6.19
V P
∫ ∞
−∞f(x) dx = 2π i
∑
Im(p)>0
Res(f, p)
Ejemplo 4.6.20
Si f(x) =x
(x2 + 1)(x2 + 2x+ 2), probar que
∫
R
f dm1 = −π5
.
Solucion:
El denominador de f es un polinomio que puede escribirse en la forma
q(x) = x4r(x) con lim|x|→∞
r(x) = 1
Ası, ∃K > 0 tal que r(x) >1
2en [−K,K]c y, en consecuencia,
|f | < 2
|x3| en [−K,K]c
Como f es continua en R, es integrable en [−K,K]. Ademas, por estardominada por una funcion integrable, tambien es integrable en [−K,K]c.
Por tanto, f es integrable en todo R y su integral coincide con su valorprincipal. Para calcularlo tenemos en cuenta que
f(z) =z
(z2 + 1)(z2 + 2z + 2)
es una funcion meromorfa que no tiene polos reales y verifica
lim|z|→∞
zf(z) = lim|z|→∞
z2
(z2 + 1)(z2 + 2z + 2)= 0 ,
Entonces, el lema 4.6.19 nos asegura que
V P
∫ ∞
−∞f(x)dx = 2π i
∑
Im(p)≥0
Res(f, p)
158 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
Como
z2 + 1 = 0 ⇒ z = ±iz2 + 2z + 2 = 0 ⇒ z = −1 ± i
los unicos polos del semiplano superior son z1 = i y z2 = −1 + i, y losresiduos en ellos se calculan facilmente:
Res(f, i) = limz→i
(z − i)f(z) = limz→i
z
(z + i)(z2 + 2z + 2)=
2 + i
10 i
Res(f,−1 + i) = limz→−1+i
z
(z2 + 1)(z + i+ 1)= −3 + i
10 i
Luego∫
R
f dm1 = V P
∫ ∞
−∞f(x)dx = 2π i
(2 + i
10 i− 3 + i
10 i
)
= −π5
♦
4.7 Ejercicios
1. Practica4. Variable Compleja I.sws
2. Practica5. Variable Compleja II.sws
3. Probar que:
(a) Log (1 + i)2 = 2 Log (1 + i)
(b) Log (−1 + i)2 6= 2 Log(−1 + i)
4. Considerando la rama principal de zi , hallar u(r, θ) , v(r, θ) cuando
zi = u+ iv .
5. Las funcionesRe z
z,
z
|z| ,Re z2
|z|2 ,z Re z
|z|estan definidas para z 6= 0 . ¿Cuales pueden ser definidas en z = 0 demanera que sean continuas en ese punto?.
6. ¿Es f(z) = x3 + i(y − 3)3 derivable en algun punto?. ¿Es holomorfa
en algun abierto?.
7. Demostrar que:
(a) | exp(z2)| ≤ exp(|z|2) .
4.7. EJERCICIOS 159
(b) exp(z) no es derivable en ningun punto.
(c) |eiz| = e−y .
8. Hallar las regiones donde son holomorfas las siguientes funciones:
a) f(z) = z2z , b) f(z) = ez2, c) f(z) = tg z , d) f(z) = x2−y2+2i|xy|
9. La parte imaginaria de una funcion holomorfa f(z) es 2x(1−y). Siendof(i) = 0, obtener f(z) en terminos de z.
10. Se dan los pares de funciones armonicas:
a)
u = 3(x2 − y2)
v = 3x2y − y3b)
u =x
x2 + y2
v =−y
x2 + y2
c)
u = x
v = −y d)
u = 1 + ex cos y
v = 1 + exsen y
¿Es f(z) = u + iv una funcion holomorfa en algun dominio?. ¿En
cual?. Escribir f(z) en terminos de z.
11. Calcular
∫
C(x2 − iy2) dz en los siguientes casos:
(a) a lo largo de la parabola y = 2x2 desde (1, 2) a (2, 8) .
(b) a lo largo de la poligonal de vertices (1, 2) , (1, 8) , (2, 8) .
(c) a lo largo de la recta que une (1, 2) con (2, 8) .
12. Calcular
∫
C(z + iz) dz , siendo C la frotera del recinto determinado
por la curva y2 = x3 y la recta x = 1 , recorrida en sentido positivo.
13. Hallar el valor numerico de
∫
C|z|2 dz alrededor del cuadrado de vertices
(0, 0) , (1, 0) , (1, 1) , (0, 1).
160 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
14. Hallar el valor numerico de
∫ 2−i
i
(3xy + iy2) dz
(a) a lo largo del segmento que une z = 1 con z = 2 − i .
(b) a lo largo de la curva x = 2t− 2 , y = 1 + t− t2 .
15. Hallar el valor numerico de
∫
Cz2 dz alrededor de los cırculos:
a) |z| = 1 ; b) |z − 1| = 1
16. Sea C el arco de la curva |z| = 2 que va de z = 2 a z = 2i en el primer
cuadrante. Sin calcular la integral, probar que
∣∣∣∣
∫
C
dz
z2 − 1
∣∣∣∣≤ π
3 .
17. Probar que si C es el triangulo de vertices 0 , 3i , −4 , entonces
∣∣∣∣
∫
C
(ez − z) dz
∣∣∣∣≤ 60
18. Sea CR ≡ |z| = R , R > 1 . Probar que:
∣∣∣∣
∫
CR
Log z
z2dz
∣∣∣∣≤ 2π
(π + lnR
R
)
19. Calcular la integral
∫
C
dz
z:
(a) cuando C es la mitad izquierda de la circunferencia |z| = 2.
(b) cuando C es la mitad derecha de la circunferencia |z| = 2.
(c) cuando C la circunferencia completa |z| = 2.
20. Probar que si zi denota la rama principal (|z| > 0 , −π < Arg z ≤ π) ,
∫ 1
−1
zi dz =1 + e−π
2(1 − i)
4.7. EJERCICIOS 161
21. Siendo C cada una de las circunferencias∣∣z − 1
4
∣∣ = R , R = 1
2 , 1 , 2,
calcular todos los valores posibles de la integral
∫
C
dz
z(z2 − 1)
22. Calcular la integral
∫
C
ez dz
z(1− z)3, donde C es un contorno simple
cerrado, en los siguientes casos:
(a) z = 0 cae dentro de C y z = 1 cae fuera de C .
(b) z = 1 cae dentro de C y z = 0 cae fuera de C .
(c) z = 0 y z = 1 caen dentro de C .
23. Calcular la integral
∫
C
z sen z
(z − 1)5dz , C ≡ x2
3+y2
9= 1
24. Calcular la integral
∫
C
ez dz
z4 + 2z2 + 1, siendo C ≡ |z − i| = R , R = 1 , 3
25. Calcular la integral
∫
C
senπz dz
(z2 − 1)2, siendo C ≡ |z − 1| = 1
26. Sea C el cırculo |z| = 3 descrito en sentido positivo. Probar que si
g(ω) =
∫
C
2z2 − z − 2
z − ωdz , |ω| 6= 3
entonces g(2) = 8πi . ¿Cual es el valor de g(ω) cuando |ω| > 3?. ¿Ex-
isten valores de ω dentro de C para los cuales g(ω) = 0 ?. Calcularlos.
162 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
27. Encontrar todas las funciones enteras f(z) que satisfacen las condi-
ciones: f(2 − i) = 4i , |f(z)| < e2 , ∀z ∈ C.
28. Hallar todas las funciones f(z) holomorfas en |z| < 1 y tales que
f(0) = 3 , |f(z)| ≤ 3 , ∀z ∈ B1(o)
29. Hallar todas las funciones f(z) holomorfas en |z| < 1 y que satisfacen
f(0) = 1 , |f(z)| ≥ 1 , ∀z ∈ B1(o)
30. Sea la funcion f(z) = (z + 1)2 y la region triangular cerrada R , devertices z = 0 , z = 2 , z = i . Hallar los puntos de R en los que |f(z)|alcanza sus valores maximo y mınimo.
31. Hallar el desarrollo en serie de Taylor de f(z) = sen z2 en el punto
z = 0 y deducir los valores de f4n)(0) , f2n+1)(0) , fvı)(0).
32. Desarrollar cos z en serie de Taylor centrada en z =π
2.
33. Hallar el desarrollo de Taylor de f(z) =1
z + 2en el punto z = 3i y
su radio de convergencia.
34. Hallar el desarrollo de Taylor de f(z) =z
(z2 + 1)2en z = 0 y su radio
de convergencia.
35. Calcular
∫
Ce−z
4dz , siendo C la curva z(t) = (3 − t4) + i
6
t+ 20 ≤ t ≤ 1 , orientada en el sentido en que decrece el parametro.
4.7. EJERCICIOS 163
36. Hallar todos los posibles desarrollos de f(z) =z
(z − 1)(z − 3)en serie
de potencias de z − 1 . Calcular, en cada caso, el campo de conver-
gencia.
37. Dar todas las posibles representaciones en serie de potencias de z, y el
campo de validez de cada una, para la funcion
f(z) =2z − i
(z2 + z)(z − 2i)
38. Desarrollar la funcion f(z) =z2
z − 1en serie de potencias en z = 0.
Dar el radio de convergencia y clasificar el punto.
39. Desarrollar en serie
f(z) =1
z − 2Log
z − i
z + i
en un entorno del origen y en la corona 1 < |z| < 2.
40. Dar una representacion en serie de potencias de z de la funcion f(z) =1
z2 senh zvalida en 0 < |z| < R y calcular R.
41. Hallar los puntos singulares y estudiar su naturaleza en las funciones:
a)1
z − z3; b)
z3
z − z3; c)
1
ez − 1− 1
z; d)
ez
z + z2; e)
1 + z2
ez
f) ez
1−z ; g) tanh z ; h)1
z3(2 − cos z); i) sen 1
1−z ; j) ez−(1/z)
42. Calcular los residuos de cada una de las ramas uniformes de las si-guientes funciones en el punto que se indica:
a)
√z
z − 1, z = 1 b)
za
1−√z, 0 < a < 1 , z = 1
164 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA
43. Hallar los residuos de la funcion
f(z) =sen z2
z2(z − π4 )
en los puntos singulares.
44. Calcular
∫
C
z3(1− 3z)
(1 + z)(1 + 2z4)dz , siendo C ≡ |z| = 3
45. Verificar las siguientes igualdades:
(a)
∫ 2π
0
dθ
(5 − 3 sen θ)2=
5π
32
(b)
∫ π
−π
dθ
1 + sen2 θ= π
√2
(c)
∫ π
0
cos 2θ dθ
1 − 2a cos θ + a2=
π a2
1 − a2, |a| < 1
(d)
∫ ∞
−∞
dx
(x2 + 2x+ 2)2=π
2
(e)
∫ ∞
0
dx
(x2 + 1)2=π
4
(f) V P
∫ ∞
0
x4
x6 − 1dx =
π√
3
6
Capıtulo 5
Transformadas integrales
5.1 Transformadas de Fourier y de Laplace
El teorema 1.1.2 identifica los subconjuntos W ⊂ C(R+,R) que cumplen
[Π(W )] = C(R+,R)
cuando la clausura se toma respecto de la topologıa de la convergencia uni-
forme sobre los compactos y, en particular, nos asegura que goza de esapropiedad el conjunto de funciones Lx | x ∈ R+ donde
Lx : R+ → R .
y 7→ e−xy
El teorema 1.1.12 identifica los subconjuntos W ⊂ C(R,C) que cumplen
[Π(W )] = C(R,C)
cuando la clausura se toma respecto de la topologıa de la convergencia uni-forme sobre los compactos y, en particular, nos asegura que goza de esa
propiedad el conjunto de funciones Fx | x ∈ R donde
Fx : R → C .y 7→ e−ixy
Esta propiedad de los conjuntos Lx | x ∈ R+ y Fx | x ∈ R en los respec-
tivos espacios C(R+,R) y C(R,C) nos permiten demostrar los dos teoremassiguientes de manera analoga. Presentaremos solo la prueba del segundo.
Teorema 5.1.1 Tranformada de Laplace
Sea F(R+) el conjunto de todas las medidas finitas definidas en la σ-algebra
de Borel de R+. Esta bien definida y es inyectiva la aplicacion
L : F(R+) → C(R+,R) donde L(µ) : R+ → R
µ 7→ L(µ) x 7→∫
R+ Lx dµ
165
166 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Teorema 5.1.2 Tranformada de Fourier
Sea F(R) el conjunto de todas las medidas finitas definidas en la σ-algebrade Borel de R. Esta bien definida y es inyectiva la aplicacion
F : F(R) → C(R,C) donde µ : R → C
µ 7→ µ x 7→∫
RFx dµ
Demostracion:
Para probar que µ ∈ C(R,C), tomamos (xi) → x. Entonces (Fxi) → Fx
puntualmente, |Fxi| ≤ 1 ∀ i ∈ N y 1 ∈ L1(R, µ) ya que µ(R) <∞.
El teorema de la convergencia dominada concluye que
(∫
R
Fxidµ
)
→∫
R
Fx dµ ⇔ (µ(xi)) → µ(x) ⇒ µ ∈ C(R,C).
Para demostrar la inyectividad fijamos µ1, µ2 ∈ F(R) tales que µ1 = µ2.
Necesitamos probar que µ1 = µ2. Para ello es suficiente probar la igualdad
∫
R
fdµ1 =
∫
R
fdµ2 ∀f ∈ Cb(R,R). (5.1)
Lo hacemos en 3 pasos.
Paso 1:
Sea A0(R,C) el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes
complejos del conjunto Fx | x ∈ R. De la igualdad µ1 = µ2 y de la aditivi-dad de la integral se sigue que
∫
R
a0dµ1 =
∫
R
a0dµ2 ∀a0 ∈ A0(R,C). (5.2)
Sea A(R,C) la clausura of A0(R,C) en Cb(R,C) respecto de la norma ‖ ‖∞.De (5.2), como µ1 y µ2 son medidas finitas, obtenemos facilmente
∫
R
adµ1 =
∫
R
adµ2 ∀a ∈ A(R,C). (5.3)
Sea A(R,R) := A(R,C) ∩Cb(R,R). De (5.3) obtenemos
∫
R
adµ1 =
∫
R
adµ2 ∀a ∈ A(R,R). (5.4)
Paso 2.
Sea K ⊂ R un compacto no vacıo, f ∈ Cb(R,R) una funcion no identica-mente nula en K y ε ∈]0, 1[ un numero real. Existe a ∈ A(R,R) tal que
sup|f(x)− a(x)| : x ∈ K < ε y ‖a‖ ≤ ‖f‖ . (5.5)
5.1. TRANSFORMADAS DE FOURIER Y DE LAPLACE 167
En efecto:
Usaremos el siguiente hecho establecido en el lema 1.1.5:A(R,R) es un algebra que contiene las constantes reales, separa los puntos
de R y es cerrada en la toma de maximos y mınimos:
a1, a2 ∈ A(R,R) ⇒
a1 ∨ a2 = max(a1, a2) ∈ A(R,R)
a1 ∧ a2 = min(a1, a2) ∈ A(R,R)
Sea AK(R,R) = a|K : a ∈ A(R,R) y sea ‖g‖K = sup|g(x)| : x ∈ Ksi g ∈ Cb(R,R). Por el teorema 1.1.2 existe g1 ∈ A(R,R) tal que
‖f − g1‖K <ε
2. (5.6)
Como f |K 6= 0, de (5.6) deducimos que ‖g1‖K > 0 y, ası, podemos considerar
g := g1‖f‖K‖g1‖K
∈ A(R,R).
Es claro que ‖g‖K ≤ ‖f‖K y ademas se cumple que
‖f − g‖K < ε (5.7)
puesto que
‖f − g‖K ≤ ‖f − g1‖K + ‖g1 − g‖K = ‖f − g1‖K +
∥∥∥∥g1 − g1
‖f‖K‖g1‖K
∥∥∥∥K
=
= ‖f − g1‖K + ‖g1‖K∣∣∣∣1 − ‖f‖K
‖g1‖K
∣∣∣∣ =
= ‖f − g1‖K + |‖g1‖K − ‖f‖K | ≤ 2‖f − g1‖K < ε.
Ahora, si consideramos la funcion
a := (−‖g‖K ∨ g) ∧ ‖g‖Ktenemos que a ∈ A(R,R) y −‖g‖K ≤ a(x) ≤ ‖g‖K ∀x ∈ R. Por
tanto, ‖a‖ ≤ ‖g‖K ≤ ‖f‖K ≤ ‖f‖ y tambien tenemos que a|K = g|K.Entonces, por (5.7), vemos que (5.5) se satisface para a.
Paso 3.
Fijemos una f ∈ Cb(R,R) no identicamente nula y un ε ∈]0, 1[. Existe uncompacto K ⊂ R tal que
µ1(R \K) < ε, µ2(R \K) < ε y f |K 6= 0.
De acuerdo con el Paso 2 existe un a ∈ A(R,R) para el que se satisface (5.5).
De (5.3) obtenemos:∫
R
fdµ1 −∫
R
fdµ2 =
∫
R
(f − a)dµ1 −∫
R
(f − a)dµ2
168 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
y, tambien,
∫
R
(f − a)dµ1 =
∫
K(f − a)dµ1 +
∫
R\K(f − a)dµ1.
De acuerdo con 5.5 se cumple que ‖f − a‖ ≤ ‖f‖ + ‖a‖ ≤ 2‖f‖ y, ası,
∣∣∣∣
∫
R
(f − a)dµ1
∣∣∣∣≤∣∣∣∣
∫
K(f − a)dµ1
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∫
R\K(f − a)dµ1
∣∣∣∣∣≤
≤ ‖f − a‖Kµ1(K) + ‖f − a‖µ1(R \K) ≤ εµ1(K) + 2ε‖f‖ .
Similarmente,∣∣∣∣
∫
R
(f − a)dµ2
∣∣∣∣≤ εµ2(K) + 2ε‖f‖
y, en consecuencia,
∣∣∣∣
∫
R
fdµ1 −∫
R
fdµ2
∣∣∣∣≤ ε(µ1(K) + µ2(K) + 4‖f‖)
y, como ε > 0 es arbitrario, obtenemos (5.1). ♦
Esta prueba esta inspirada en la que podemos encontrar en la pag 69 de[4] y contiene las correcciones propuestas en [24] para evitar el error que
aquella contiene.
5.2 La F-transformada de medidas finitas en R
1. Para identificar una medida µ ∈ F(R) no es necesario hacer la integral∫
R1B dµ para todo boreliano B ⊂ R sino que es suficiente conocer
las integrales∫
RFx dµ con x ∈ R. Es decir, es suficiente conocer la
funcion F (µ) : R → C. Por eso los estadısticos suelen llamarla funcioncaracterıstica de la medida µ.
2. Si µ es una medida discreta, combinacion de deltas de Dirac, tenemos
µ =
n∑
p=1
hpδp−1 y F (µ)(x) =
n∑
p=1
hpe−i(p−1)x.
En los puntos xq = 2π q−1n con q = 1, · · · , n se cumple que
F (µ)(xq) =
n∑
p=1
hpe−2πi
(p−1)(q−1)n =
n∑
p=1
hpwqp
5.2. LA F -TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R 169
La matriz compleja
W =
w11 · · · w1n...
. . ....
wn1 · · · wnn
con wqp = e−2πi (p−1)(q−1)
n
tiene una inversa especialmente sencilla:
W−1 =1
nW donde W = (wqp)
pues es facil1 comprobar que
1
n
n∑
k=1
wpkwkq =1
n
n∑
k=1
e2πi(k−1)(q−p)
n =
1 si p = q
0 si p 6= q
Por tanto, es facil resolver el sistema lineal
w11 w12 · · · w1n
w21 w22 · · · w2n...
.... . .
...wn1 wn2 · · · wnn
h1
h2...hn
=
F (µ)(0)F (µ)
(2πn
)
...
F (µ)(
2π(n−1)n
)
Su solucion es
h1
h2...
hn
=1
n
w11 w12 · · · w1n
w21 w22 · · · w2n...
.... . .
...
wn1 wn2 · · · wnn
F (µ)(0)
F (µ)(
2πn
)
...
F (µ)(
2π(n−1)n
)
Por tanto, si conocemos laF (µ) de una combinacion de deltas podemosrecuperar la medida µ tomando una muestra adecuada de F (µ) en
[0, 2π].
3. Si µ ∈ F(R) es absolutamente continua respecto de la medida deLebesgue m, µ m, el teorema 1.2.33 asegura la existencia de unafuncion de densidad h ∈ L1(R, m) tal que dµ = hdm. En tal caso se
suele escribir
F (h)(x) = F (µ)(x) =
∫
R
Fx · h dm
y se habla de la transformada de Fourier de la funcion h.
1Cuando p 6= q tenemos la suma de las raices del polinomio zn − 1 = 0 que es nulacomo el coeficiente del termino de grado n − 1.
170 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
4. Si µ m con densidad h : [a, a+ T ] → R:
F (h)(x) =
∫
R
e−ixt dµ(t) =
∫ a+T
ah(t)e−ixtdt
Si dividimos [a,a+T] segun la particion
tp = a+T (p− 1)
ncon p = 1, · · · , n+ 1
tenemos
F (h)(x) =n∑
p=1
∫ tp+1
tp
h(t)e−ixtdt ≈
≈ T
ne−iax
n∑
p=1
h(tp)e−ixT (p−1)
n
En los puntos xq = 2π q−1T con q = 1, · · · , n
n
TeiaxqF (h)(xq) ≈
n∑
p=1
h(tp)wqp
El sistema lineal
w11 w12 · · · w1n
w21 w22 · · · w2n
......
. . ....
wn1 wn2 · · · wnn
h(t1)h(t2)
...h(tn)
=n
T
F(h)(0)
ei2πa
T F(h)(
2πn
)
...
ei2πa(n−1)
T F(h)(
2π(n−1)n
)
se resuelve automaticamente:
h(t1)h(t2)
...h(tn)
=1
T
w11 w12 · · · w1n
w21 w22 · · · w2n
......
. . ....
wn1 wn2 · · · wnn
F(h)(0)
ei2πa
T F(h)(
2πn
)
...
ei2πa(n−1)
T F(h)(
2π(n−1)n
)
Ello nos permite obtener una muestra discreta de la densidad h a
partir del conocimiento de F (h).
5. Una de las funciones mas importantes que se puede definir en R es la
campana de Gauss
gbv : R → R
x 7→ 1√2πv
e−(x−b)2
2v
5.2. LA F -TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R 171
donde b ∈ R y v ∈ (0,∞). Un estudio elemental nos dice que su grafica
es simetrica respecto al eje x = b y sobre el alcanza el maximo1√2πv
.
Sobre las rectas x = b − √v y x = b +
√v estan sus dos unicos
puntos de inflexion.
Por otra parte, el teorema del cambio de variable asegura que la medidadel hipografo H(gbv) =
∫
Rgbvdm, no depende de los parametros b y v.
Ası,∫
R
gbvdm =
∫
R
g01dm =
√
2
π
∫ +∞
0e−
x2
2 dm(x) = 1
Vemos que el parametro b no hace mas que trasladar adecuadamentelas campanas a lo largo del eje OX . La familia de medidas gaussianas
γbv : B1 → [0,∞]
E →∫
Egbvdm
se llaman normales(b,√v) y estan especialmente bien adaptadas a la
transformacion de Fourier. En efecto:
F (γ0v)(y) =1√2πv
∫
R
e−ixye−x2
2v dx
y derivando respecto de y bajo el signo integral e integrando por partes,
F (γ0v)′(y) =
1√2πv
∫
R
−ixe−ixye−x2
2v dx = −vyF (γ0v)(y).
Resolviendo la ecuacion diferencial con condicion inicial F (γ0v)(0) = 1,
obtenemos que F (γ0v)(y) = e−vy2
2 .Por otra parte, haciendo el cambio x− b = t y dx = dt obtenemos que
F (γbv)(y) = e−iby · F (γ0v)(y) = e−iby · e−vy2
2
172 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
6. Dadas dos medidas µ1, µ2 ∈ F(R) tenemos en R2 su producto µ1 ⊗µ2.
La suma + : R2 → R induce en R su ley (µ1 ⊗ µ2)+. Esta nueva
medida, tan natural, es la convolucion de µ1 y µ2 y se denota µ1 ?µ2.
Apoyados en el esquema
R2 +−→ R
Fs−→ R
es inmediato ver que∫
RFsdµ1 ? µ2 =
∫
R2e−is(t1+t2)dµ1 ⊗ µ2(t1, t2)
y, por tanto,
F (µ1 ? µ2) = F (µ1) · F (µ2)
e interesa recordar este hecho en los siguientes terminos:
Si en C(R,C) consideramos la operacion interna producto puntual ·y en F(R) la operacion interna ?, la aplicacion F : F(R) → C(R,C)
es un homomorfismo.
7. Si µ1 y µ2 son medidas discretas, su convolucion tambien es discreta ypodremos utilizar el metodo explicado en 2 para calcular explıcitamenteµ1 ? µ2.
8. Si µ1, µ2 son absolutamente continuas respecto de m, con densidades
h1, h2 : R → R+, es natural preguntarse cual es la densidad de µ1 ?µ2.Apoyados en el esquema
R2 +−→ R
1B−→ R
vemos que ∀B ∈ B se tiene:
µ1 ? µ2(B) =
∫
R2
1B(t+ s)h1(t)h2(s) dm2(t, s) =
=
∫
R
(∫
R
1B(t+ s)h1(t) dt
)
h2(s)ds =
∫
R
(∫
R
1B Ts · h1 dm
)
h2dm =
=
∫
R
(∫
R
1B · h1 T−s dm)
h2dm =
∫
R
(∫
R
1B(t) · h1(t− s) dt
)
h2(s)ds =
=
∫
R
1B(t)
(∫
R
h1(t− s)h2(s) ds
)
dt
lo cual significa que µ1?µ2 << m y su densidad es∫
Rh1(t−s)h2(s) ds.
Ello justifica que hablemos de la convolucion de h1 y h2:
h1 ? h2(t) =
∫
R
h1(t− s)h2(s) ds
9. Si µ1 y µ2 son medidas absolutamente continuas con densidades h1
y h2, podremos utilizar el metodo explicado en 4 para obtener unadiscretizacion de h1 ? h2.
5.3. LA L-TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R+ 173
5.3 La L-transformada de medidas finitas en R+
1. Para identificar una medida µ ∈ F(R+) no es necesario hacer la integral∫
R+ 1B dµ de todo boreliano B ⊂ R+ sino que es suficiente conocer
las integrales∫
R+ Lx dµ con x ∈ R+. Es decir, es suficiente conocer
la funcion L(µ) : R+ → R. Por eso los estadısticos suelen llamarla
funcion caracterıstica de la medida µ.
2. Como ejemplo, identificaremos la ley de la suma de dos vv.aa. inde-pendientes Ber(p) sabiendo que
L(Ber(p))(x) = p+ qe−x
L(Bin(2, p))(x) = p2 + 2pqe−x + q2e−2x
Para hallar la ley de la suma calculamos sobre el siguiente esquema
Xv→ R
+ × R+ s→ R
+ Lx−→ R
L(µsv)(x) =
∫
R+
Lx dµsv =
∫
R+×R+
Lx s dµv =
=
∫
R+×R+
Lx s dµf1 ⊗ µf2 =
=
∫
R+
[∫
R+
e−x(x1+x2) dµf1(x1)
]
dµf2(x2) =
=
(∫
R+
e−xx1dµf1(x1)
)(∫
R+
e−xx2dµf2(x2)
)
=
=
(∫
R+
Lxdµf1
)(∫
R+
Lxdµf2
)
= (p+ qe−x)(p+ qe−x) =
= p2 + 2pqe−x + q2e−2x
Vemos que L(µsv) = L(Bin(2, p)) y, por tanto, µsv = Bin(2, p).
3. Si µ ∈ F(R+) es absolutamente continua respecto de la medida deLebesgue m1, µ m1, el teorema 1.2.33 asegura la existencia de una
h ∈ L1(R+, m1) tal que dµ = hdm1. En tal caso se suele escribir
L(h)(y) = L(µ)(y) =
∫
R+
Ly · h dm1
y se habla de la transformada de Laplace de la funcion h.
4. Una de las funciones mas importantes que se puede definir en (0,∞)
es la funcion gamma de Euler
174 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Γ : (0,∞) → R
p 7→∫
R+ xp−1e−xdm1(x)
que tiene las siguientes propiedades:
(a) Γ( 12 ) =
∫ ∞
0e−xx−
12 dx = 2
∫ ∞
0e−t
2dt =
√π.
(b) Γ(1) = 1
(c) Γ(p+ 1) = pΓ(p) y, por tanto, Γ(n+ 1) = n!
De la definicion de la funcion Γ deducimos que∫
R+
xp−1e−x
Γ(p)dm(x) = 1 ∀p ∈ (0,∞)
to significa que para cada p > 0, las funciones Ep(x) =xp−1e−x
Γ(p),
algunas de ellas representadas en la siguiente figura,
son la densidad de una medida de probabilidad en (R+,B1) llamadaprobabilidad de Euler de parametro p:
ηp : B1 → [0,∞]
E →∫
E
xp−1e−x
Γ(p)dm1(x)
que estan bien adaptadas a la transformacion de Lapalace:
L(ηp)(y) =
∫ ∞
0
xp−1e−x(y+1)
Γ(p)dx
5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 175
y haciendo el cambio de variable x =t
y + 1, dx =
dt
y + 1tenemos
L(ηp)(y) =
∫ ∞
0
tp−1e−t
(y + 1)pΓ(p)dt = (y + 1)−p
5. Dadas dos medidas µ1, µ2 ∈ F(R+) tenemos en R+ × R+ su producto
µ1 ⊗µ2. La suma + : R+ ×R
+ → R+ induce en R
+ su ley (µ1 ⊗µ2)+.Esta nueva medida, tan natural, es la convolucion de µ1 y µ2 y se
denota µ1 ? µ2. Apoyados en el esquema
R+ × R
+ +−→ R+ Ly−→ R
es inmediato ver que L(µ1 ? µ2) = L(µ1)L(µ2) pues∫
R+
Lydµ1 ? µ2 =
∫
R+×R+
e−y(x1+x2)dµ1 ⊗ µ2(x1, x2) = L(µ1) · L(µ2)
6. Si µ1 y µ2 tienen densidades h1 y h2 respecto de la medida de Lebesgue
en R+, es natural preguntarse cual es la densidad h1 ? h2 de la con-
volucion µ1 ? µ2. Razonando como en 5.2,8 obtenemos
h1 ? h2(t) =
∫
R
h1(t− s)h2(s) ds
siendo h1 y h2 las extensiones a R de las funciones causales h1 y h2.
En consecuencia,
h1 ? h2(t) =
∫ t
0
h1(t− s)h2(s) ds
5.4 La F-transformada en el espacio L1(R)
Sea (R,M, m) el espacio de medida de Lebesgue en R y sea (R2,M2, m2)
el completado del espacio producto (R2,M⊗M, m⊗m).
L1(R) es el espacio vectorial complejo de todas las funciones f : R → C
medibles que cumplen
‖f‖1 :=
∫
R
|f |dm <∞
(L1(R), ‖ ‖1) es un espacio seminormado puesto que
N := f ∈ L1(R) | ‖f‖1 = 0 6= oEs aconsejable, por tanto, considerar el espacio normado cociente canonico
(L1(R), ‖ ‖1) donde L1(R) = L1(R)/N(ver Th.1.2.21) cuyo elemento f es la clase de funciones iguales a f a.e.(m).
En este espacio de Banach necesitamos recordar:
176 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Lema 5.4.1
Si (fn) → f en (L1(R), ‖ ‖1), existe una subsucesion (fnk) y representantes
fnk∈ fnk
, f ∈ f tales que (fnk) → f a.e.(m).
Demostracion:
Como limn→∞
‖fn− f‖1 = 0, ∀k ∈ N ∃nk ∈ N tal que ‖fnk− f‖1 <
1
2k. Por
tanto,
∞∑
k=1
‖fnk− f‖1 =
∞∑
k=1
∫
R
|fnk(t)− f(t)| dt =
∫
R
( ∞∑
k=1
|fnk(t) − f(t)|
)
dt < 1
Esto solo es posible si existe E ∈ M con m(Ec) = 0, tal que
∞∑
k=1
|fnk(t)−f(t)| <∞ ∀t ∈ E . Luego lim
n→∞|fnk
(t)−f(t)| = 0 ∀t ∈ E ♦
Dada una f ∈ L1(R) definimos su transformada de Fourier
f : R → C
s 7→∫
RFs · f dm
aunque es mas frecuente verla expresada en los terminos clasicos
f(s) =
∫ ∞
−∞e−istf(t) dt
Esta definicion es consistente porque
1. Fs · f es medible y |Fs · f | = |f |, luego Fs · f ∈ L1(R)
2. Si f1, f2 ∈ f , f1 = f2 a.e.(m) y, por tanto,
∫
R
Fs · f1 dm =
∫
R
Fs · f2 dm
Algunas familias de funciones juegan un papel fundamental en lo que sigue:
• Traslaciones: ∀a ∈ R denotamos
Ta: R → R
t 7→ t+ a
Como la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones, MTa = My mTa = m. Ası, ∀f ∈ L1(R) tenemos:
∫
R
f Ta dm =
∫
R
fdm y
∫
R
|f Ta| dm =
∫
R
|f |dm
5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 177
• Dilataciones: ∀a ∈ R \ 0 denotamos
Da: R → R
t 7→ t a
Es claro que MDa = M y mDa = |a−1|m y, ası, ∀f ∈ L1(R) ten-
emos: ∫
R
f Dadm = |a−1|∫
R
fdm
En particular, si para a = −1 designamos T := D−1, se cumple que
∫
R
f T dm =
∫
R
fdm y
∫
R
|f T | dm =
∫
R
|f |dm
Propiedades 5.4.2
1. Si f1 + f2 ∈ g ⇒ g = f1 + f2
2. Si c f ∈ g ⇒ g = cf
3. Si f ′ ∈ g ⇒ g(s) = isf(s) y, por iteracion, para cualquier n ∈ N:Si f (n) ∈ g ⇒ g(s) = (is)nf(s).
4. Si f Ta ∈ g ⇒ g = F−a f
5. Si Faf ∈ g ⇒ g = f Ta6. Si f Da ∈ g ⇒ g = |a−1| f Da−1
7. Si f T ∈ g ⇒ g = f T
8. ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1
9. f : R → C es uniformemente continua.
10. Riemann-Lebesgue: lim|s|→∞
f(s) = 0
Demostracion:
1. Evidente.
2. Evidente.
3. Integrando por partes:∫
Re−isxf ′(x)dm(x) = −
∫
R−ise−isxf(x)dm(x) = is
∫
Re−isxf(x)dm(x)
4. g(s) =∫
RFs · f Tadm =
∫
RFs T−a · fdm = F−a(s)
∫
RFs · fdm =
F−a(s) · f(s).
178 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
5. g(s) =∫
RFs+a · fdm = f(s+ a).
6. g(s) =∫
RFs ·fDadm =
∫
R(Fs a−1 ·f)Dadm = |a−1|
∫
RFs a−1 ·f dm =
|a−1|f(s a−1)
7. Es caso particular del punto anterior para a = −1.
8. |f(s)| =∣∣∫
RFs · f dm
∣∣ ≤
∫
R|f | dm = ‖f‖1 ∀s ∈ R. Luego
‖f‖∞ := sups∈R
|f(s)| ≤ ‖f‖1.
9. Primero probaremos que dados r ∈ (0,∞) y s1, s2 ∈ R, se cumple que
|f(s1) − f(s2)| ≤ r|s1 − s2| ‖f‖1 + 2
∫
[−r,r]c|f | dm
En efecto:
|f(s1)−f(s2)| ≤∫
R
|e−1s1t−e−is2t| |f(t)| dt≤∫
R
|e−1(s1−s2)t−1| |f(t)| dt =
=
∫ r
−r|e−1(s1−s2)t − 1| |f(t)| dt+ 2
∫
[−r,r]c|f | dm.
Pero
|eiα − 1|2 = (cosα− 1)2 + sen 2α = 2(1− cosα) = 4 sen 2(α
2
)
≤ α2
y, por tanto, |eiα − 1| ≤ |α|, luego
∫ r
−r|e−1(s1−s2)t − 1| |f(t)| dt ≤ r|s1 − s2|
∫ r
−r|f(t)| dt.
Ahora ya podemos comprobar la continuidad uniforme:
Como limr→∞
|f | · 1[−r,r]c = 0 tambien limr→∞
∫
[−r,r]c|f | dm = 0.
Por tanto, dado ε > 0
∃rε tal que
∫
[−rε,rε]c|f | dm <
ε
4y ∃δ =
ε
2rε‖f‖1tal que
|f(s1)−f(s2)| ≤ rε|s1−s2| ‖f‖1+2
∫
[−rε,rε]c|f | dm < ε si |s1−s2| < δ
5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 179
10. Lo probamos, en primer lugar, para la clase de cualquier indicador
f = 1[a,b]:
f(s) =
∫ b
ae−istdt =
b− a si s = 0
e−isb − e−isa
−is si s 6= 0
por tanto,
lim|s|→∞
|f(s)| ≤ lim|s|→∞
2
|s| = 0
Por linealidad, tambien es cierto para la clase de cualquier funcion depaso
p =
n∑
k=1
ck 1[ak,bk].
Como las funciones de paso son densas en L1(R), dada una f ∈ L1(R)y un ε > 0, existe una funcion de paso pε tal que ‖f −pε‖1 < ε. Luego
|f(s)| ≤ |pε(s)|+ |f(s)− pε(s)| ≤ |pε(s)|+ε y lim|s|→∞
|f(s)| ≤ ε ♦
Consecuencias 5.4.3
1. Si f ∈ L1(R) es una funcion (im)par, f tambien es una funcion (im)par:
±f = f T ⇒ ±f = f T
2. ∀f ∈ L1(R) se cumple que ˆf = f T :
ˆf(s) =
∫
R
Fsf dm =
∫
R
Fs · fdm =
∫
R
F−s · fdm = f(−s)
3. Si f ∈ L1(R) es real, f es hermıtica:
f = f ⇒ f(s) = f(−s)
4. Si f ∈ L1(R) es real y par, =(f) = 0:
f = f
f = f T⇒
f = f Tf = f T
⇒ f − ¯f = 0 ⇒ =(f) = 0
5. Si f ∈ L1(R) es real e impar, <(f) = 0:
f = f
−f = f T⇒
f = f T−f = f T
⇒ f+¯f = 0 ⇒ <(f) = 0
180 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Lema 5.4.4
Existe una constante K ∈ R+ tal que
sup0<a<b
∣∣∣∣
∫ b
a
sen (s)
sds
∣∣∣∣< K
Demostracion:
∫ b
a
sen (s)
sds =
∫ b
0
sen (s)
sds −
∫ a
0
sen (s)
sds
luego si probamos que existe k ∈ R+ cumpliendo
supb>0
∣∣∣∣
∫ b
0
sen (s)
sds
∣∣∣∣< k
sera claro que la constante K = 2k cumple la condicion exigida. Basta
observar la grafica de la funcionsen (s)
spara concluir que
supb>0
∣∣∣∣
∫ b
0
sen (s)
sds
∣∣∣∣<
∫ π
0
sen (s)
sds < 1.852
Por tanto, K = 4 cumple la condicion del lema. ♦
Lema 5.4.5
Si f ∈ L1(R) es tal que <(f) = 0, se cumple que
sup0<a<b
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(s)
sds
∣∣∣∣∣<∞
Demostracion:
Nos dicen que
f(s)
s= −i
∫
R
sen (st)
sf(t) dt.
El teorema de Fubini asegura que
∫ b
a
f(s)
s= −i
∫
R
(∫ b
a
sen (st)
sds
)
f(t) dt
y, por tanto,
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(s)
s
∣∣∣∣∣≤∫
R
∣∣∣∣
∫ b
a
sen (st)
sds
∣∣∣∣|f(t)| dt =
∫
R
∣∣∣∣
∫ bt
at
sen (x)
xdx
∣∣∣∣|f(t)| dt
5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 181
El lema 5.4.4 nos permite concluir que
sup0<a<b
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(s)
sds
∣∣∣∣∣≤ 4‖f‖1 <∞ ♦
Una funcion f : R → C que cumple lim|s|→∞
f(s) = 0, se dice nula en el
infinito. Denotaremos C0(R) al espacio vectorial complejo de todas lasfunciones f : R → C continuas y nulas en el infinito. Toda funcion de C0(R)es, automaticamente, uniformemente continua y, por tanto, las propiedades
5.4.2 tienen el mismo alcance si en el apartado 9 probamos solo la con-tinuidad en vez de la continuidad uniforme. Si consideramos (C0(R), ‖ ‖∞),
podemos resumir lo mas importante de lo dicho hasta ahora, en el siguiente
Teorema 5.4.6
La transformacion de Fourier es un operador lineal y continuo de norma
unidad del espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) en el espacio de Banach (C0(R), ‖ ‖∞).
Demostracion:
En las propiedades 5.4.2 esta probado que el operador
F : L1(R) → C0(R)
f 7→ f
esta bien definido, es lineal, es continuo y ‖F‖ ≤ 1. Ademas, en 5.4.2.10vemos que si f = 1[0,1], se tiene ‖f‖1 = 1 y ‖f‖∞ = 1. Luego, ‖F‖ = 1. ♦
Teorema 5.4.7
La transformacion de Fourier F : L1(R) → C0(R) es un operador inyectivopero no es suprayectivo.
Demostracion:
Para la inyectividad basta probar que
f ∈ L1(R)
f = o⇒ f = o.
Si f ∈ f es una funcion positiva, la medida
µ: B → R+
B 7→∫
B f dm
esta en F(B) y cumple
µ(s) =
∫
R
Fs · f dm = f(s) = o ∀s ∈ R
182 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Esto asegura que µ = 0. Por tanto, f = 0 a.e.(m) y f = o.
Si f es una funcion real, descomponiendola en la forma habitual f = f+−f−deducimos que
F (f+) = F (f−)
Razonando como antes deducimos que f+ = f− a.e.(m). Luego f = o.
Si f es compleja, razonando como antes deducimos que
<(f) = 0 a.e(m)
=(f) = 0 a.e(m)luego f = o.
Para ver que no es suprayectivo consideramos la funcion
h: R → C
s 7→
i s si |s| ≤ e
ie
log(s)si s ≥ e
−i e
log(−s) si s ≤ −e
que es continua, nula en el infinito y su parte real es nula. Si fuera latransformada de Fourier de alguna f ∈ L1(R), segun el lema 5.4.5 deberıa
cumplir que
sup0<e<b
∣∣∣∣
∫ b
e
h(s)
sds
∣∣∣∣<∞
Sin embargo, es claro que no lo cumple:
∣∣∣∣
∫ b
e
h(s)
sds
∣∣∣∣= e
∫ b
e
ds
s log(s)= e log(log(b)) y lim
b→∞e log(log(b)) = ∞ ♦
Observaciones 5.4.8
1. En la seccion 5.2 hemos visto que las campanas de Gauss gbv se com-portan bien en la transformacion F :
gbv(s) = e−ibs · e−vs2
2
En particular, para b = 0, v = 1:
g01(s) = e−s2
2 =√
2πg01
De aquı se deduce:
(a) El subespacio [g] es invariante por F , es decir, F ([g]) = [g].
(b) g es ejemplo de vector con ‖g‖1 = 1 tal que ‖F (g)‖∞ = 1.
(c) g es un ejemplo de vector de L1(R) con F (g) ∈ L1(R).
5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 183
2. Presentaremos una f ∈ L1(R) tal que F (f) /∈ L1(R):
En 5.4.2.10 hemos visto que si f = 1[−1,1],
f(s) = 2sen (s)
s∀s ∈ R
Probemos que f /∈ L1(R): Observando la grafica de la funcion seno es
inmediato ver que
sen (s)
s≥ 2
π∀s ∈
[
0,π
2
]
y, por tanto,
sen (s)
s≥ 2
π− 4k
s∀s ∈
[
2kπ, 2kπ+π
2
]
:= Ik, ∀k = 0, 1, 2, · · ·
Evidentemente,
∫
Ik
∣∣∣∣
sen (s)
s
∣∣∣∣ds ≥
∫
Ik
(2
π− 4k
s
)
ds = 1 − 4k
∫
Ik
ds
s≥
≥ 1− 4k|Ik|1
2kπ + π2
=1
4k + 1
y, en consecuencia,
∫
R
∣∣∣f(s)
∣∣∣ds =
∫
R
∣∣∣∣
sen (s)
s
∣∣∣∣ds ≥
∞∑
k=0
1
4k + 1= ∞
por lo que f /∈ L1(R).
3. Para las gaussianas g0v tenemos:
g0v(s) = e−vs2
2 =
√
2π
vg0v−1
y, por tanto, dos cosas se pueden comprobar facilmente:
(a) La funcion hv = 1√2πv
g0v−1 cumple que hv = g0v
(b) Las gaussianas g0v cumplen la formula de inversion:
g0v(t) =1
2π
∫
R
eitsg0v(s) ds
184 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
5.5 La F-transformada en el algebra (L1(R), ?).
El espacio de Banach (C0(R), ‖ ‖∞) dotado del producto puntual de fun-
ciones es un algebra de Banach conmutativa sin unidad. Intentaremos definiruna operacion interna en L1(R) de modo que con ella, el espacio de Banach
(L1(R), ‖ ‖1) sea, tambien, un algebra de Banach conmutativa sin unidadpara poder ver al operador F : L1(R) → C0(R) como un homomorfismo de
algebras. Las pautas se han dado al estudiar la F -transformada de medidasfinitas y la herramienta esencial para conseguirlo es el teorema de Fubini delque ahora nos interesan dos corolarios.
Corolario 5.5.1
Si f, g ∈ L1(R) y definimos
h: R2 → C
(t, s) 7→ f T−s(t) · g(s)
resulta que h ∈ L1(R2).
Demostracion:
Consideramos la funcion
ϕ(t) =
∫
R
|h(t, s)|ds =
∫
R
|f | T−s(t)|g(s)|ds.
Comprobamos que ϕ ∈ L1(R):
∫
R
|ϕ(t)|dt =
∫
R
(∫
R
|f | T−s(t)|g(s)|ds)
dt =
=
∫
R
|g(s)|(∫
R
|f | T−s(t)dt)
ds =
∫
R
|g(s)|‖f‖1ds = ‖f‖1 ‖g‖1 <∞.
El apartado 3 del teorema 1.2.30 concluye que h ∈ L1(R2). ♦
Corolario 5.5.2
Si f, g ∈ L1(R) existe un E ⊂ R, con m(Ec) = 0, tal que la funcion
f ? g: E → C
t 7→∫
R
f T−s(t) · g(s)ds
esta bien definida y cumple que f ? g ∈ L1(E).
Demostracion:
Como en el corolario 5.5.1, consideramos la funcion
5.5. LA F -TRANSFORMADA EN EL ALGEBRA (L1(R), ?). 185
h: R2 → C
(t, s) 7→ f T−s(t) · g(s)
Por ser h ∈ L1(R2), el apartado 3(a) del teorema 1.2.30 asegura la existencia
de un E ⊂ R, con m(Ec) = 0, tal que h(t, ·) ∈ L1(R) ∀t ∈ E. Nuestra f ?ges, precisamente, la aplicacion Φ considerada allı, por lo que f ? g esta bien
definida y cumple que f ? g ∈ L1(E). ♦
Definicion 5.5.3
En el espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) definimos la operacion interna con-
volucion
?: L1(R)× L1(R) → L1(R)
(f , g) 7→ f ? g
de la siguiente manera: Si f1 y g1 son representantes de f y g, en cierto
E1 ⊂ R, con m(Ec1) = 0, esta bien definida la funcion f1 ? g1 : E1 → C. Por
ser un elemento de L1(E1), f1 ? g1 es representante de una clase en L1(R)
que es a la que denotamos f ? g.
Esta definicion es consistente pues, si f2 y g2 son otros representantes de f
y g, en cierto E2 ⊂ R, con m(Ec2) = 0, tendremos bien definida la funcion
f2 ?g2 : E2 → C. Si F ⊂ R, con m(F c) = 0, es un conjunto donde f1 = f2, y
si G ⊂ R, con m(Gc) = 0, es un conjunto donde g1 = g2, es claro que E :=E1∩E2∩F ∩G, que cumple m(Ec) ≤ m(Ec
1)+m(Ec2)+m(F c)+m(Gc) = 0,
es un conjunto en el que f1 ? g1 = f2 ? g2. Por tanto, f ?g esta bien definida.
Teorema 5.5.4
El espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) dotado de la convolucion ? es un algebrade Banach conmutativa. Recordando la definicion de algebra de Banachconmutativa debemos probar:
1. f ? g = g ? f
2. (f ? g) ? h = f ? (g ? h)
3. f ? (g + h) = f ? g + f ? h
4. c · (f ? g) = c · f ? g
5. ‖f ? g‖1 ≤ ‖f‖1 · ‖g‖1
Demostracion:
1. f ? g(t) =
∫
R
f Tt T · g dm =
∫
R
(f Tt T · g) T T−t dm =
=
∫
R
f · g T T−t dm =
∫
R
g Tt T · f dm = g ? f(t)
186 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
2. f?(g?h)(t) =
∫
R
f(t−s)·(g?h)(s) ds =
∫
R
(∫
R
f(t− s)g(s− r)h(r) dr
)
ds =
=
∫
R
(∫
R
f(t− s)g(s− r) ds
)
h(r) dr =
∫
R
(∫
R
(f Tt T ) · (g T−r) dm)
h(r) dr =
=
∫
R
(∫
R
(f Tt T Tr) · g dm)
h(r) dr =
∫
R
(∫
R
f(t− r − s) · g(s) ds)
h(r) dr =
=
∫
R
(f ? g)(t− r)h(r) dr = (f ? g) ? h(t)
3. Inmediato.
4. Inmediato.
5. ‖f?g‖1 =
∫
R
|f?g(t)|dt =
∫
R
∣∣∣∣
∫
R
f(t− s) · g(s)ds∣∣∣∣dt ≤
∫
R
(∫
R
|f(t− s)| · |g(s)|ds)
dt =
=
∫
R
(∫
R
|f(t− s)| dt)
|g(s)|ds =
∫
R
(∫
R
|f T−s|dm)
|g(s)|ds = ‖f‖1‖g‖1.
♦
Teorema 5.5.5
La transformacion de Fourier
F : L1(R) → C0(R)
f 7→ f
es un homomorfismo entre algebras de Banach.
Demostracion:
En las propiedades 5.4.2 hemos probado el caracter de operador lineal ycontinuo entre espacios de Banach de F . Solo resta comprobar, por tanto,que F (f ? g) = f · g :
F (f ?g)(s) =
∫
R
e−ist(f ?g)(t) dt =
∫
R
e−is(t−r+r)(∫
R
f(t− r)g(r) dr
)
dt =
=
∫
R
(∫
R
e−is(t−r)f(t− r) dt
)
e−isrg(r) dr =
∫
R
(∫
R
(Fs · f) T−r dm)
e−isrg(r) dr =
= f(s)
∫
R
e−isrg(r) dr = f(s) · g(s). ♦
Observaciones 5.5.6
1. Claramente, el algebra de Banach (C0(R), ·) no es unitaria porque la
unica unidad posible serıa la funcion constante 1 y esta no se anula enel infinito.
2. El algebra (L1(R), ?) tampoco es unitaria porque, si lo fuera, existirıau ∈ L1(R) tal que
f ? u = f ∀f ∈ L1(R) y, por tanto, f · u = f ∀f ∈ L1(R)
5.5. LA F -TRANSFORMADA EN EL ALGEBRA (L1(R), ?). 187
En, particular, si g es la gaussiana standart, g · u = g y, como g(s) 6=0 ∀s ∈ R, deberıa suceder que u(s) = 1 ∀s ∈ R. Pero esto esimposible de acuerdo con la propiedad 5.4.2.10
3. Sin embargo, las gaussianas gv cumplen que
limv→0
‖gv ? f − f‖1 = 0 ∀f ∈ L1(R)
y por eso decimos que el algebra (L1(R), ?) tiene aproximaciones de launidad.
Explotaremos el teorema 5.5.5 para obtener nuevas propiedades del operador
F : L1(R) → C0(R)
Teorema 5.5.7
F (L1(R)) es denso en (C0(R), ‖ ‖∞)
Demostracion
Aplicando el corolario 1.1.13 al caso en que K es la compactificacion de
Alexandroff de R y x0 = ∞, deducimos que un algebra contenida en C0(R)que separa los puntos de R y tiene conjugados, es densa en (C0(R), ‖ ‖∞).
Por ser F un homomorfismo, F (L1(R)) es un algebra contenida en C0(R).Tambien es claro que F (L1(R)) tiene conjugados. Si probamos que F (L1(R))
separa los puntos de R, habremos concluido:En L1(R) esta la gaussiana g11 y en F (L1(R)) su transformada de Fourier
g11(s) = e−is−s2
2 . Es facil ver que s1 6= s2 ⇒ e−is1−s212 6= e−is2−
s222 . Luego
F (L1(R)) separa los puntos de R. ♦
Lema 5.5.8
Sean gv y hv las funciones consideradas en 5.4.8.3. Si f ∈ L1(R),
gv ? f(t) =
∫
R
hv(r)eitrf(r) dr ∀v ∈ R+
Demostracion:
gv?f(t) =
∫
R
f(t−s)gv(s) ds =
∫
R
f(t−s)hv(s) ds =
∫
R
f(t−s)(∫
R
e−isr · hv(r) dr)
ds =
=
∫
R
hv(r)
(∫
R
e−isr · f(t− s) ds
)
dr =
∫
R
hv(r)
(∫
R
ei(t−s)r · e−itr · f(t− s) ds
)
dr =
=
∫
R
hv(r)e−itr
(∫
R
ei(t−s)r · f(t− s) ds
)
dr =
∫
R
hv(r)e−itrf(−r) dr =
∫
R
hv(r)eitrf(r) dr ♦
188 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Teorema 5.5.9 Formula de inversion
Si f ∈ L1(R) y f ∈ L1(R), existe E ∈ M con m(Ec) = 0 y existe f ∈ f talesque
f(t) =1
2π
∫
R
eits f(s) ds, ∀t ∈ E
Demostracion:
Consideremos la funcion
f0(t) =1
2π
∫
R
eits f(s) ds, ∀t ∈ R
Por el lema 5.5.8 sabemos que
g 1n? f(t) =
∫
R
h 1n(r)eitrf(r) dr ∀n ∈ N
La sucesion de funciones medibles (h 1n· F−t · f) converge puntualmente a la
funcion1
2πF−t · f y esta dominada por esta misma funcion integrable. El
teorema de la convergencia dominada asegura que
limn→∞
g 1n? f(t) = f0(t) ∀t ∈ R
y, por la observacion 5.5.6.3
limn→∞
‖g 1n? f − f‖1 = 0.
Por 5.4.1 existe E ∈ M con m(Ec) = 0 y existe f ∈ f tales que
f(t) = f0(t) ∀t ∈ E ♦
Comentarios 5.5.10
1. Esta formula de inversion es la misma que la que hemos obtenido paralas gaussianas gv en la observacion 5.4.8.3.
2. La inyectividad de F : L1(R) → C0(R) puede obtenerse como corolario
del teorema 5.5.9:Si f = 0 es claro que f ∈ L1(R). Por tanto, f tiene un representante
f = 0 a.e.(m).
3. Si f , f1 y f2 estan en L1(R) tenemos: f = f1 ? f2 ⇔ f = f1 · f2.En efecto:
⇒ Esta probado en el teorema 5.5.5.
⇐ Consideramos h = f1 ? f2. Nos dicen que h = f1 · f2 = f , luego
f = h.
5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 189
En particular, tenemos la siguiente formula para las gaussianas
gb1,v1 ? gb2,v2 = gb1+b2,v1+v2 ,
pues sus transformadas cumplen
(
e−isb1−s2v1
2
)(
e−isb2−s2v2
2
)
= e−is(b1+b2)− s2(v1+v2)2
4. Si f, g son sendos representantes de f , g ∈ L1(R), podemos resolver la
ecuacion integral
u(x) = f(x) +
∫
R
u(λ)g(x− λ)dλ
transformando cada miembro de la ecuacion, despejando y aplicando
el teorema de inversion:
F (u) = F (f) + F (u) · F (g) ⇒ F (u) =F (f)
1− F (g),
u(x) =1
2π
∫
R
F (f)(y)
1 −F (g)(y)eixydy ♦
5.6 La L-transformada en el espacio L1(R+).
Dada una f : R+ → C medible , definimos su transformada de Laplace como
la funcion de la variable compleja z = x+ iy, dada por la integral
L(f)(z) =
∫
R+
f(t)e−ztdt.
Estara bien definida cuando∫
R+
|f(t)e−zt|dt =
∫
R+
|f(t)|e−xtdt <∞.
El numero real x0 = infx ∈ R | f(t)e−xt ∈ L1(R+) se llama abcisa de
sumabilidad de f y se cumple el siguiente
Teorema 5.6.1
Si f : R+ → C es medible y tiene abcisa de sumabilidad x0 la transformada
de Laplace esta bien definida y es holomorfa en el semiplano
L(f) : <(z) > x0 → C
190 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Demostracion:
Si z = x+ iy tenemos que
|L(f)(z)| ≤∫
R+
|f(t)|e−xtdt ≤∫
R+
|f(t)|e−x0tdt < +∞ en <(z) > x0
Ademas, ∀m ∈ N, la abcisa de sumabilidad de la funcion
Pmf : R+ → C
t 7→ tmf(t)
tambien es x0 y, como
|tmf(t)e−xt| ≤ tm|f(t)|e−x0t
y la mayorante es integrable, podemos derivar bajo el signo integral
dL(f)m
dzm(z) = (−1)m
∫
R+
tmf(t)e−ztdt = (−1)mL(Pmf)(z) ♦
Ejemplos 5.6.2
1. La funcion de HeavesideH = 1[0,∞) tiene abcisa de sumabilidad x0 = 0y su L-transformada es
L(H): <(z) > 0 → C
z 7→ 1z
2. La funcion P− 12
que lleva t 7→ t−12 tiene abcisa de sumabilidad x0 = 0
y su L-transformada es
L(P− 12): <(z) > 0 → C
z 7→√
πz
En efecto, L(P− 12)(z) =
∫∞0 t−
12 e−ztdt y con el cambio
√t = u y
dt = 2udu tenemos
L(P− 12)(z) =
∫ ∞
0
2e−zu2du =
∫
R
e−zu2du =
√π
z.
3. Para p ≥ 0 y a ≥ 0 la funcion PpL−a que lleva t 7→ tpeat tiene abcisa
de sumabilidad x0 = a y su L-transformada es
L(PpL−a): <(z) > a → C
z 7→ Γ(p+ 1)
(z − a)p+1
5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 191
Observacion 5.6.3
Si f : R+ → C es medible con abcisa de sumabilidad x0 y f es su extension
f : R → C
t 7→
0 si t < 0
f(t) si t ≥ 0
para <(z) = x > x0 existen las integrales
∫
R+
f(t)e−ztdt =
∫
R
f (t)e−xte−iyt
La primera es la transformada de Laplace L(f) : <(z) > x0 → C, la segundaes la transformada de Fourier F (f ·Lx) : R → C siendo Lx nuestra conocida
funcion t 7→ e−xt.La transformada de Laplace aparece, ası, como una transformada de Fourier
y, por tanto, podemos deducir algunas de sus propiedades a partir de las yaconocidas de la transformada de Fourier.
Propiedades 5.6.4
Sean f, g : R+ → C medibles con abcisas de sumabilidad xf y xg.
1. Linealidad:
∀λ, µ ∈ C tenemos que λf +µg es medible y su abcisa de sumabilidades x0 = maxxf , xg. En <(z) > x0 se cumple que
L(λf + µg) = λL(f) + µL(g)
2. Inyectividad:
Si L(f) = L(g) en <(z) > x0, se cumple que f = g a.e.(m) en R+
3. Conjugacion:La conjugada f : R+ → C tambien tiene abcisa de sumabilidad xf .De acuerdo con 5.4.3,2 y la observacion 5.6.3. se deduce que
L(f)(z) = L(f)(z)
4. Comportamiento en ∞:
De acuerdo con el lema 5.4.2,10 y la observacion 5.6.3 se cumple que
lim|z|→+∞
L(f)(z) = 0
5. Dilatacion:
Dado a > 0 podemos componer f con la dilatacion Da : R+ → R
+,
192 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
f Da: R+ → C
t 7→ f(at)
y, como ∫ ∞
0f(at)e−ztdt =
1
a
∫ ∞
0f(s)e−
zasds
es claro que la abcisa de sumabilidad de f Da esxf
a y
L(f Da) =1
aL(f) D 1
a
6. Traslacion:Dado a > 0 podemos componer f con la traslacion Ta : R+ → R+,
f Ta: R+ → C
t 7→ f(t+ a)
y, mediante el cambio t+ a = s vemos que
∫ ∞
0
f(t+ a)e−ztdt = eaz∫ ∞
a
f(s)e−zsds
Por tanto,
L(f Ta)(z) = eaz(
L(f)(z) −∫ a
0f(s)e−zsds
)
7. Retardo:
Dado a > 0 podemos componer la extension
f : R → C
t 7→
0 si t < 0
f(t) si t ≥ 0
con la traslacion T−a y obtener la funcion:
f T−a: R → C
t 7→
0 si t < a
f(t− a) si t ≥ a.
A la restriccion de f T−a en R+ la designamos
f • T−a: R+ → C
t 7→
0 si t < a
f(t− a) si t ≥ a
5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 193
y, como
∫ ∞
0f • T−a(t)e−ztdt =
∫ ∞
af(t− a)e−ztdt =
∫ ∞
0f(s)e−(z+a)sds,
la abcisa de sumabilidad de f • T−a es xf + a y
L(f • T−a) = La · L(f)
8. Derivacion:Si existe L(f ′), integrando por partes tenemos
∫ ∞
0
f ′(t)e−ztdt = f(t)e−zt∣∣∣
∞
0+ z
∫ ∞
0
f(t)e−ztdt
luego,
L(f ′)(z) = −f(0) + zL(f)(z)
Para las sucesivas derivadas, iterando el razonamiento obtenemos
L(f (n)(z) = −f (n−1(0)− · · · − zn−1f(0) + znL(f)(z).
9. Valor inicial:
Si existe L(f ′), por 4. tenemos que lim|z|→+∞
L(f ′)(z) = 0 y, por 7.
lim|z|→+∞
zL(f)(z) = f(0)
10. Valor final:Si existe L(f ′) en <(z) > 0, el teorema 1.2.17 asegura que
lim|z|→0
(∫ ∞
0e−ztf ′(t)dt
)
=
∫ ∞
0f ′(t)dt = lim
t→+∞f(f)− f(0).
Ası,
lim|z|→0
L(f ′)(z) = lim|z|→0
zL(f)(z)− f(0) = limt→+∞
f(f) − f(0)
y, por tanto,
lim|z|→0
zL(f)(z) = limt→+∞
f(t)
11. Integracion:
La primitiva de f ,
F : R+ → C
t 7→∫ t0 f(s)ds
194 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
es medible, tiene abcisa de sumabilidad xf y cumple que F ′ = f y
F (0) = 0. Por 6., L(F ′)(z) = zL(F )(z), luego
L(F )(z) =L(f)(z)
z
12. Convolucion:
La funcion
f ? g : R+ → C
t 7→∫ t0 f(s)g(t− s)ds
es medible y tiene abcisa de sumabilidad x0 = maxxf , xg. Ademas,
L(f ? g) = L(f) · L(g).
En efecto:Para funciones f, g : R+ → R+ estamos en el caso de la L-transformada
de la convolucion de medidas finitas ya visto en 5.3,5.Para funciones f, g : R+ → R, se deduce de la linealidad de L y del
parrafo anterior:
L(f ? g) = L(f+ ? g+ − f+ ? g− − f− ? g+ + f− ? g−) =
= L(f+) · L(g+) −L(f+) · L(g−) −L(f−) · L(g+) + L(f−) · L(g−) =
= (L(f+) −L(f−)) · (L(g+)− L(g−)) = L(f) · L(g)
Para funciones f, g : R+ → C, se procede de forma analoga, descom-
poniendo las funciones f y g en sus partes real e imaginaria.
Recogemos en la siguiente tabla algunas de las reglas vistas hasta ahora:
5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 195
Tabla de L-transformadas
f L(f)
11
z
t1
z2
tnn!
zn+1
eat1
z − a
tkeatk!
(z − a)k+1
teit1
(z − i)2
te−it1
(z + i)2
tsin(t)2z
(1 + z2)2
ebt sen ata
(z − b)2 + a2
ebt cos atz
(z − b)2 + a2
f ′ −f(0) + zL(f)(z)
f ′′ −f ′(0)− zf(0) + z2L(f)(z)
∫ t0 f(s)ds
L(f)(z)
z
f ? g L(f) · L(g)
Ejercicio 5.6.5
Determinar la funcion f(x) que satisface la ecuacion:
f(x) = e−x +
∫ x
0e−(x−t) sen (x− t)f(t)dt
Solucion:
Si designamos g(x) = e−x senx podemos escribir la ecuacion en la forma
f(x) = e−x + f ? g(x)
196 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
y transformandola usando el teorema de convolucion, resulta
L(f)(z) =1
z + 1+ L(f)(z) · L(g)(z) luego L(f)(z) =
1
z + 11 −L(g)(z)
Por tanto,
L(f)(z) =(z + 1)2 + 1
(z + 1)3=
1
z + 1+
1
(z + 1)3
Por la linealidad y la inyectividad de la L-transformada, la tabla tambiennos sirve para hallar las antitransformadas de combinaciones lineales defunciones de la ultima columna. Ası,
f(x) = e−x +x2e−x
2
Tambien nos da esta respuesta la orden de Sage L(f)(z).inverse laplace(z, x)
Para finalizar, veremos que el teorema 5.5.9 y la observacion 5.6.3 nos danun metodo directo de hallar L-antitransformadas:
Teorema 5.6.6
Sea V el semiplano abierto <(z) > x0 y sea G : V → C una funcion holo-
morfa tal que lim|z|→∞
G(z) = 0. Fijado cualquier x > x0 se tiene que
g : R → C
t 7→ G(x+ it)
esta en L1(R) y, si B es la recta paralela al eje imaginario con abcisa x,
h : R+ → C
t 7→ 12πi
∫
B G(z)eztdz
es tal que L(h) = G.
Demostracion:
La primera afirmacion es inmediata. Para la segunda, parametrizando la
recta B en la forma
B : R → C ,
s 7→ x+ is
tenemos
Lx(t) ·1
2πi
∫
B
G(z)eztdz =1
2π
∫
R
g(s)eistds
y, por 5.5.8
F(
Lx(t) ·1
2πi
∫
BG(z)eztdz
)
= g(t)
y, por 5.6.3L(h)(z) = g(t) = G(z)
5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 197
Ejemplo 5.6.7
Para n > 1 la funcion
G C \ 0 → C ,z 7→ 1
zn
es holomorfa y lim|z|→∞
G(z) = 0. Ademas, fijado x > 0, la funcion
g : R → C
t 7→ 1(x+it)n
esta en L1(R) porque∫
R
|g(t)|dt ≤ 2
∫ ∞
0
dt
tn<∞.
Segun 5.6.6 para hallar la L-antitransformada de G(z) debemos evaluar
1
2πi
∫
B
ezt
zndz para t > 0
siendo B la recta paralela al eje imaginario de abcisa x. Siendo R > x, si
recorremos el contorno BR ∪CR en sentido contrario a las agujas del reloj ,
O x
√R2 − x2
−√R2 − x2
CR
BR
encerramos a z = 0, unico polo de la funcion ezt
zn y, usando 4.6.15,
1
2πi
∫
BR
ezt
zndz +
1
2πi
∫
CR
ezt
zndz = Res(
ezt
zn; 0)
Si R→ ∞ la primera integral tiende a la que debemos evaluar mientras quela seguda tiende a 0 y, ası,
1
2πi
∫
B
ezt
zndz = Res(
ezt
zn; 0) =
tn−1
(n− 1)!
puesto que
ezt = 1 +zt
1!+ · · ·+ zn−1tn−1
(n− 1)!+ · · ·
198 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
5.7 Aplicaciones de las F-transformadas
Por 5.5.9, si f y F (f) ∈ L1(R), ∃E ⊂ R con m(Ec) = 0 tal que
f(x) =1
2π
∫
R
eiyx(∫
R
f(t)e−iytdt)
dy =1
2π
∫
R2
f(t)eiy(x−t)dtdy =
=1
2π
∫
R2
f(t)[cos y(x− t) + i sen y(x− t)]dtdy =
=1
2π
∫
R2
f(t) cos y(x− t)dtdy ∀x ∈ E
porque sen y(x− t) es una funcion impar en y. Entonces,
f(x) =1
π
∫
R+
(∫
R
f(t) cos y(x− t)dt
)
dy =
=
∫
R+
[(1
π
∫
R
f(t) cos ytdt
)
cos yx+
(1
π
∫
R
f(t) sen ytdt
)
sen yx
]
dy ∀x ∈ E.
Es decir,
f(x) =
∫
R+
[A(y) cosyx+ B(y) sen yx] dy ∀x ∈ E
siendo
A(y) =
(1
π
∫
Rf(t) cosytdt
)
B(y) =
(1
π
∫
Rf(t) sen ytdt
)
Con esta nueva formulacion, el teorema 5.5.9 se puede utilizar para resolver
ecuaciones de la fısica matematica como se indica en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 5.7.1
Una barra delgada semi-infinita [0,∞), cuya superficie esta aislada tieneuna temperatura inicial dada por f : [0,∞) → R. En un instante t = 0
se somete su extremo a una temperatura de 0 grados y se mantiene asıindefinidamente. Hallar la temperatura u(x, t) del punto x en el instante t.
Solucion:
Si κ es la conductividad termica de la barra, la fısica nos dice que
∂u
∂t= κ
∂2u
∂x2∀x > 0, t > 0.
En este caso, ademas, se debe cumplir que u(x, 0) = f(x) y u(0, t) = 0.Una solucion en variables separadas u(x, t) = T (t)X(x) de la ecuacion delcalor debe cumplir que
1
κ
T ′(t)T (t)
=X ′′(x)X(x)
5.7. APLICACIONES DE LAS F -TRANSFORMADAS 199
y, en consecuencia, ambos miembros deben ser iguales a una constante nega-
tiva, digamos −λ2. Ası, una candidata a solucion sera
uλ(x, t) = Tλ(t)Xλ(x) = e−κλ2t (A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx))
con A(λ) y B(λ) constantes arbitrarias. Pero si uλ(0, t) = 0 ∀t > 0 esnecesario que A(λ) = 0 y nuestra candidata sera
uλ(x, t) = e−κλ2tB(λ) sen (λx).
Pero, evidentemente, la suma de soluciones
n∑
i=1
uλitambien sera solucion y,
por extension, tambien sera solucion
u(x, t) =
∫
R+
e−κλ2tB(λ) sen (λx))dλ
Imponiendo que u(x, 0) = f(x), resulta que
f(x) =
∫
R+
B(λ) sen (λx))dλ
y, segun la formulacion del teorema 5.5.9 dada en la pag. 198 deducimos
que f debe ser una funcion impar y cumplirse que
B(λ) =1
π
∫
R
f(v) sen (λv)dv =2
π
∫
R+
f(v) sen (λv)dv
Ası, podemos proponer como solucion de la ecuacion en derivadas y lascondiciones en los bordes:
u(x, t) =2
π
∫
R+×R+
f(v)e−κλ2t sen (λv) sen (λx)dvdλ ♦
Ejemplo 5.7.2
Una placa aislada semi-infinita R × R+ tiene su borde (x, 0) a temperatura
f(x). Calcular su temperatura u(x, y) en condiciones estacionarias.
Solucion:
Si κ es la conductividad termica de la placa, la fısica nos dice que
∂u
∂t= κ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
y, por tanto, cuando la temperatura no varie con el tiempo, u(x, y) debesatisfacer la ecuacion de Laplace
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0 ∀(x, y) ∈ R × R
+.
200 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
Ademas, debe satisfacer la condicion de frontera, u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ R.
Una solucion en variables separadas u(x, y) = X(x)Y (y) debe cumplir que
X ′′(x)X(x)
= −Y′′(y)Y (y)
y, en consecuencia, ambos miembros deben ser iguales a una constante nega-
tiva, digamos −λ2. Ası, una candidata a solucion sera
uλ(x, y) = Xλ(x)Yλ(y) = (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))(
C(λ)eλy +D(λ)e−λy)
con A(λ), B(λ), C(λ) y D(λ) constantes, en principio, arbitrarias. Pero,
como uλ(x, y) debe ser acotada cuando y → ∞ debemos exigir que C(λ) = 0.Ası, nos sirven las soluciones
uλ(x, y) = e−λy (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))
o, como en 5.7.1, la suma de todas ellas
(?) u(x, y) =
∫
R+
e−λy (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))dλ.
De la condicion de frontera u(x, 0) = f(x) y de la nueva formulacion delteorema 5.5.9 deducimos que
f(x) =
∫
R+
(A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))dλ
y
A(λ) =
(1
π
∫
Rf(u) cosλudu
)
B(λ) =
(1
π
∫
Rf(u) senλudu
)
Sustituyendo en (?) proponemos la solucion
u(x, y) =1
π
∫
R+×R
e−λyf(u) cosλ(u− x)dudλ. ♦
Ejemplo 5.7.3
A una cuerda infinita que coincide con el eje x se le da una forma inicialf(x) y se suelta sin velocidad inicial en un instante t = 0. Determinar el
desplazamiento y(x, t) ∀(x, t) ∈ R × R+.
Solucion:
Si τ es la tension de la cuerda y µ es su masa por unidad de longitud, la
fısica nos dice que el desplazamiento debe cumplir la ecuacion
∂2y
∂t2=τ
µ
∂2y
∂x2∀(x, t) ∈ R × R
+
5.7. APLICACIONES DE LAS F -TRANSFORMADAS 201
y, en nuestro caso, se deben cumplir las condiciones iniciales
y(x, 0) = f(x) y∂y
∂t(x, 0) = 0 ∀x ∈ R.
Designando a2 = τµ , una solucion en variables separadas y(x, t) = T (t)X(x)
debe cumplirT ′′(t)T (t)
= a2X′′(x)
X(x)
y, en consecuencia, ambos miembros deben ser iguales a una constante nega-
tiva, digamos −λ2. Ası, una candidata a solucion sera
yλ(x, t) = Tλ(t)Xλ(x) = (A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx)) (C(λ)cos(λt) +D(λ) sen (λt))
con A(λ), B(λ), C(λ) y D(λ) constantes, en principio, arbitrarias. Pero,como ∂yλ
∂t (x, 0) = 0, debemos exigir que D(λ) = 0. Ası, nos sirven las
soluciones
yλ(x, t) = (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx)) cos(λat)
y, tambien, su suma generalizada
(??) y(x, t) =
∫
R+
(A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx)) cos(λat)dλ
De la condicion inicial y(x, 0) = f(x) y de la reformulacion de 5.5.9 obten-
emos
f(x) =
∫
R+
(A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx))dλ
con
A(λ) =
(1
π
∫
Rf(u) cosλudu
)
B(λ) =
(1
π
∫
Rf(u) senλudu
)
Substituyendo en (??) tenemos
y(x, t) =1
π
∫
R+×R
f(u) cos(λat) cosλ(x− u)dudλ
y utilizando la identidad trigonometrica
cosα cosβ =1
2(cos(α+ β) + cos(α− β)) ,
y(x, t) =1
2π
∫
R+×R
f(u) cosλ(x+at−u)dudλ+1
2π
∫
R+×R
f(u) cosλ(x−at−u)dudλ
que es la famosa solucion de d’Alembert para la cuerda vibrante:
y(x, t) =f(x+ at) − f(x− at)
2♦
202 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
En las aplicaciones de la F -transformada tambien es habitual transformar
termino a termino una ecuacion en derivadas parciales, resolver la ecuaciondiferencial que aparece y obtener el resultado final calculando su antitrans-
formada mediante los teoremas 5.5.5 o 5.5.9.
Ejemplo 5.7.4
Determinar la temperatura de una barra delgada infinita y aislada, situadaen el eje x, sabiendo que su temperatura inicial es f(x).
Solucion:
La fısica y las condiciones iniciales nos dicen que debemos hallar una u(x, t)que cumpla
∂u
∂t= κ
∂2u
∂x2∀(x, t) ∈ R × R
+ y y(x, 0) = f(x) ∀x ∈ R.
Haciendo las transformadas de cada miembro de la ecuacion como funcionesde x tenemos:
F(∂u
∂t
)
(y) =
∫
R
∂u
∂te−iyxdx =
∂
∂t
∫
Rue−iyxdx =
∂
∂tF (u)(y)
y, por 5.4.2,3,
F(∂u
∂x
)
(y) = iyF (u)(y) y F(∂2u
∂x2
)
(y) = −y2F (u)(y).
La ecuacion transformada
∂
∂tF (u)(y) = −κy2F (u)(y)
puede ser interpretada como una ecuacion diferencial en t y,ası,
F (u)(y) = Ce−κy2 t.
En particular, para t = 0,
F (u(x, 0))(y) = F (f(x))(y) = C
y, por tanto,
F (u)(y) = F (f)(y)e−κy2t.
Ahora bien, en la pag. 172 obtuvimos que
F (γ0v)(y) = e−vy2
2
y, ası,F (u)(y) = F (f)(y) · F (γ0,2κt)(y).
El teorema de convolucion concluye que
u(x, t) =
∫
R
γ0,2κt(λ)f(x− λ)dλ =1√
4πκt
∫
R
e−λ2
4κt f(x− λ)dλ. ♦.
5.8. APLICACIONES DE LAS L-TRANSFORMADAS 203
5.8 Aplicaciones de las L-transformadas
Las L-transformadas se suelen usar para para transformar ecuaciones difer-enciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas, ecua-
ciones diferenciales lineales con coeficientes variables en otras ecuacionesdiferenciales mas sencillas o ecuaciones en derivadas parciales en ecuaciones
diferenciales, resolver estas y obtener el resultado final calculando la anti-transformada, o resolver ecuaciones integrales haciendo uso del teorema deconvolucion. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 5.8.1
Resolver el problema de condicion inicial
y′′(t) + y(t) = cos(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.
Solucion:
La ecuacion transformada es:
−1 + z2L(y)(z) + L(y)(z) =z
1 + z2y, por tanto, L(y)(z) =
1 + z + z2
(1 + z2)2
Descomponiendo en fracciones simples tenemos
L(y)(z) =1
1 + z2+
z
(1 + z2)2
Aplicando la tabla de la pag. 194 obtenemos la solucion
y(t) = sen (t) +1
2t sen (t) ♦
Ejemplo 5.8.2
Resolver el problema de condicion inicial:
y′′(t) + 2ty′(t) − 4y(t) = 1 con y(0) = y′(0) = 0
Solucion:
Por la linealidad y el teorema 3.13.1, la L-transformada de la ecuacion difer-encial,
y′′(t) + 2ty′(t)− 4y(t) = 1
es
L(y′′)(z)− 2dL(y′)dz
(z)− 4L(y)(z) = L(1)(z)
Al transformar 1 y las derivadas con y(0) = y′(0) = 0, obtenemos
z(z2 − 6)L(y)(z)− 2z2dL(y)
dz(z) = 1
que es una ecuacion diferencial lineal de primer orden cuya solucion, como
debemos saber o podemos ver mediante el siguiente programita de Sage,
204 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
var(’z’)
Ly = function (’Ly’, z)
ec = diff (Ly, z) == (z*(z^2-6)*Ly-1)/(2*z^2)
desolve(ec,Ly)
es
L(y)(z) = z−3
Su antitransformada la hallamos usando la tabla de la pag. 194 o la ordende Sage:
var(’C t’)
f(z)=C+z^(-3)
show(f(z).inverse_laplace(z,t))
y resulta ser
y(t) =t2
2.
Ejemplo 5.8.3
Resolver la ecuacion en derivadas parciales
∂u
∂t=∂2u
∂2xen 0 < x < π, t > 0
con las condiciones iniciales y de contorno
u(x, 0) = sen 2x∂u
∂x(0, t) =
∂u
∂x(π, t) = 0
Solucion:
Consideramos u(x, t) como una funcion de t donde x es un parametro. Sutransformada de Laplace L(u)(x, z) sera una funcion de z donde x es un
parametro.
La transformada de∂u
∂tsera la transformada de una derivada, luego
L(∂u
∂t
)
= zL(x, z)− u(x, 0) = zL(x, z)− sen 2x
Sin embargo, la transformada de∂u
∂xsera
∫ ∞
0
e−zt∂u
∂x(x, t)dt =
∂
∂x
∫ ∞
0
e−ztu(x, t)dt =∂L(u)
∂x(x, z)
5.8. APLICACIONES DE LAS L-TRANSFORMADAS 205
e, igualmente, la de∂2u
∂2xsera
∂2L(u)
∂2x. Ası, la ecuacion transformada es
zL(u)(x, z)− sen 2x =∂2L(u)
∂2x(x, z)
Considerando la z como un parametro, hemos transformado el problemainicial en el siguiente problema de contorno:
L(u)′′(x, z)− zL(u)(x, z) = − sen 2x
L(u)′(0, z) = 0
L(u)′(π, z) = 0
La solucion general de la ecuacion homogenea es de la forma
Ae√zx +Be−
√zx
Como
sen 2x =
(eix − e−ix
2i
)2
=1
2− e2xi
4− e−2xi
4
buscamos una solucion particular de la ecuacion completa, de la forma
C +De2xi + Ee−2xi
Sustituyendo tenemos
−4De2xi − 4Ee−2xi − z(C +De2xi + Ee−2xi) = −1
2+e2xi
4+e−2xi
4
con lo que determinamos las constantes
C =1
2sD = −1
4
1
4 + sE = −1
4
1
4 + s
y la solucion particular1
2s− cos 2x
2(4 + s)
Ası, la solucion general de la ecuacion completa es
Ae√zx +Be−
√zx +
1
2z− cos 2x
2(4 + z)
Las condiciones de contorno imponen que A = B = 0 luego
L(u)(x, z) =1
2z− cos 2x
2(4 + z)
Solo queda hallar su antitransformada y para ello usamos la tabla de la pag.
194 o o la orden de Sage
206 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES
var(’x t’)
f(z)=(1/(2*z))-(cos(2*x)/(2*(4+z)))
show(f(z).inverse_laplace(z,t))
resultando ser
u(x, t) =1
2− cos 2x
2e−4t =
1 − e−4t cos 2x
2
Ejemplo 5.8.4
Resolver la ecuacion en derivadas parciales
∂2u
∂2x− 2
∂2u
∂x∂t+∂2u
∂2t= 0 en x ≥ 0, t ≥ 0
con las condiciones iniciales
u(x, 0) = 2x2
∂u
∂t(x, 0) = ex
Solucion:
Consideramos u(x, t) como funcion de t, con parametro x. Entonces, L(u)(x, z)
sera funcion de z con parametro x. Por tanto,
L(∂2u
∂2x
)
=∂2L(u)
∂2x
L(∂
∂t
(∂u
∂x
))
= z∂L(u)
∂x− 4x
L(∂2u
∂2t
)
= −ex − 2zx2 + z2L(u)
y la ecuacion transformada es
∂2L(u)
∂2x− 2
(
z∂L(u)
∂x− 4x
)
− ex − 2zx2 + z2L(u) = 0
Podems considerarla como una ecuacion diferencial lineal de segundo orden
de una funcion L(u) de x con parametro z:
L(u)′′(x)− 2zL(u)′(x) + z2L(u)(x) = −8x+ 2zx2 + ex
Como la solucion general de la ecuacion homogenea es nula basta con hallaruna solucion particular. Probamos una del tipo
A +Bx +Cx2 +Dex
5.8. APLICACIONES DE LAS L-TRANSFORMADAS 207
Sustituyendo obtenemos las constantes y la solucion
A = − 4
z3, B = 0, C =
2
z, D =
1
(z − 1)2
L(u)(x, z) = − 4
z3+ 2x2 1
z+ ex
1
(z − 1)2
Solo queda hallar la antitransformada usando la tabla de la pag. 194 o laorden de Sage
var(’x t’)
f(z)=(1/(2*z))-(cos(2*x)/(2*(4+z)))
show(f(z).inverse_laplace(z,t))
resultando ser
u(x, t) = −2t2 + 2x2 + ex t et = 2(x2 − t2) + tex+t
Capıtulo 6
Problemas de Sturm
Liouville
6.1 Espacios con producto escalar
En un espacio vectorial real X llamamos producto escalar a toda formabilineal, simetrica y definida positiva ( | ) : X × X → R. Todo producto
escalar satisface la desigualdad de Cauchy-Schwartz
(x|y)2 ≤ (x|x) · (y|y) ∀x, y ∈ X ya que
(λx + y|λx + y) = λ2(x|x) + 2λ(x|y)+ (y|y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.
La aplicacion
‖ ‖ : X → R
x 7→ (x|x)12
cumple trivialmente las propiedades de una norma y la desigualdad de
Cauchy-Schwartz asegura que tambien cumple la ley del paralelogramo:
‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x, y ∈ X
La desigualdad de Cauchy-Schwartz tambien asegura ∀x ∈ X , que el fun-
cional lineal
fx : X → R
y 7→ (x|y)
es acotado y cumple que ‖|fx‖| = sup |(x|y)|‖y‖ | y 6= 0 ≤ ‖x‖.
Teorema 6.1.1
Si en un espacio normado (X, ‖ ‖) se cumple la ley del paralelogramo, la
norma procede del producto escalar
209
210 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
( | ) : X ×X → R
(x, y) 7→ ‖x + y‖2 − ‖x − y‖2
4
Demostracion:
Esta aplicacion ( | ) es, claramente, simetrica y definida positiva. Ademas,es rutinario comprobar que
(u + v|z) + (u− v|z) = 2(u|z)
Tomando u =x + y
2y v =
x − y
2vemos que (x|z) + (y|z) = (x + y|z),
luego (·|z) cumple la condicion de linealidad para la suma. Directamente dela definicion, vemos que tambien cumple la condicion de linealidad para el
producto por 1, 0 y -1. Tomando u = v, lo probamos para el producto por2 y, por induccion, para el producto por cualquier entero. De ahı, se prueba
inmediatamente para el producto por cualquier racional y, por continuidad,para el producto por cualquier real. Por tanto, ( | ) es bilineal. ♦
Si un espacio normado (X, ‖ ‖) cumple la ley del paralelogramo pero no
es completo, el teorema 6.1.1 permite definir en su completado la extensiondel producto escalar. Por ello, centramos nuestra atencion en los espaciosnormados completos cuya norma procede de un producto escalar, los espa-
cios de Hilbert.
Comentarios 6.1.2
1. El espacio `2 de las sucesiones reales 2-sumables
( ∞∑
n=1
x2n <∞
)
es
un espacio de Hilbert. Su norma ‖ ‖2 procede del producto escalar
((xn)|(yn)) =
∞∑
n=1
xnyn
2. En C[a,b] la norma ‖f‖2 =
(∫ b
a
|f(t)|2dt)1/2
procede del producto
escalar (f |g) =
∫ b
a
f(t) · g(t)dt pero (C[a,b],‖ ‖2) no es completo.
Su completado es el Hilbert (L2([a, b], m), ‖ ‖2) introducido en elcomentario 1.2.22,2.
3. En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), para todo par de vectores no nulosx, y se cumple que
−1 ≤ (x|y)
‖x‖ · ‖y‖ ≤ 1.
6.1. ESPACIOS CON PRODUCTO ESCALAR 211
Por tanto, podemos definir el angulo α(x, y) determinado por dichos
vectores como el angulo menor o igual que el llano que cumple
α(x, y) = arccos(x|y)
‖x‖ · ‖y‖y, a partir de ahı, recuperar conceptos geometricos importantes que, en
otros espacios normados son menos contundentes o carecen de sentido.Por ejemplo, la ortogonalidad de dos vectores x, y:
x ⊥ y ⇔ (x|y) = 0 ⇔ ‖x + y‖ = ‖x − y‖
que, si son no nulos, se corresponde con α(x, y) = π2 o con ser
rectangulo el paralelogramo subtendido por dichos vectores
q(x, y) = λx + µy | (λ, µ) ∈ [0, 1]× [0, 1]
y nos presenta la ley del paralelogramo en forma de teorema de
Pitagoras:
‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ⇔ x ⊥ y.
El concepto de ortogonalidad se traslada facilmente a cualquier subconjunto
de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖). Decimos que A ⊂ X es ortogonal si∀x, y ∈ A, con x 6= y, se tiene que x ⊥ y. Si, ademas, todos sus vectores
son unitarios, A se llama ortonormal.
Si A es ortogonal y finito, tambien se verifica el teorema de Pitagoras
A ortogonal ⇒∥∥∥∥∥
∑
x∈Ax
∥∥∥∥∥
2
=∑
x∈A‖x‖2
aunque, para car(A) > 2, ya no se verifica la implicacion contraria.
Si A es ortogonal y 0 /∈ A, A es libre pues si x1, ..., xn ⊂ A yn∑
i=1
λixi = 0,
multiplicando escalarmente tenemos(
n∑
i=1
λixi|xj)
= λj(xj|xj) = 0 ⇒ λj = 0 ∀j = 1, ..., n
Tambien interesa definir el conjunto ortogonal de un subconjunto A ⊂ X :
A⊥ = x ∈ X | (x|a) = 0 ∀a ∈ A
Evidentemente, siempre A ⊂ A⊥⊥ y si A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥.
212 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
6.2 Aproximacion hilbertiana
En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), todo conjunto C convexo, cerrado y no
vacıo tiene la siguiente propiedad:
∀x ∈ X ∃1AC(x) ∈ C tal que ‖x− AC(x)‖ = inf‖x− c‖ | c ∈ C
Este ınfimo existe siempre y se denota d(x, C) por ser la distancia de x al
conjunto C. La existencia y unicidad del punto AC(x) llamado la mejoraproximacion de x en C, es uno de los motivos por los que los espacios de
Hilbert son un lugar de trabajo optimo para cientıficos y tecnicos.
Lema 6.2.1 (Vector minimizante)
Si C es un convexo cerrado no vacıo de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), Ctiene un unico vector de norma mınima.
Demostracion:
Sea k = infx∈C
‖x‖ y sea (xn) ⊂ C tal que (‖xn‖) → k. La ley del paralelo-
gramo y la convexidad de C aseguran que (xn) es de Cauchy:
‖xn−xm‖2 = 2(‖xn‖2 + ‖xm‖2
)−4
∥∥∥∥
xn + xm
2
∥∥∥∥
2
≤ 2(‖xn‖2 + ‖xm‖2
)−4k2
La completitud del espacio de Hilbert y el hecho de ser C cerrado aseguran
que (xn) → x0 ∈ C. Ası, k = ‖x0‖ = minx∈C
‖x‖. Si existiese otro y0 ∈ C
cumpliendo esta condicion, la ley del paralelogramo le obligarıa a coincidir
con x0:
‖x0 − y0‖2 ≤ 2(‖x0‖2 + ‖y0‖2
)− 4k2 = 0. ♦
Teorema 6.2.2 (Aproximacion a convexos)
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y C ⊂ X un convexo cerrado no vacıo.
Entonces:
1. ∀x ∈ X ∃1AC(x) ∈ C tal que ‖x− AC(x)‖ = d(x, C)
2. (x −AC(x)|y−AC(x)) ≤ 0 ∀(x, y) ∈ X ×C
3. Si (x, y0) ∈ X ×C y (x − y0|y − y0) ≤ 0 ∀y ∈ C, y0 = AC(x)
Demostracion:
1. −x + C es convexo cerrado y no vacıo ∀x ∈ X . Por el lema 6.2.1,∃1y0 ∈ C tal que ‖x− y0‖ = min
y∈C‖x− y‖. Luego y0 = AC(x).
6.2. APROXIMACION HILBERTIANA 213
2. Por ser C convexo
(1− λ)AC(x) + λy ∈ C ∀(λ, y) ∈ [0, 1]×C
luego
‖x− AC(x)‖2 ≤ ‖x − (1 − λ)AC(x)− λy‖2 =
= ‖x− AC(x)‖2 − 2λ(x−AC(x)|y−AC(x)) + λ2‖y −AC(x)‖2
y, por tanto,
0 ≤ −2λ(x−AC(x)|y−AC(x))+λ2‖y−AC(x)‖2 ∀(λ, y) ∈ [0, 1]×C.
En consecuencia,
2(x−AC(x)|y−AC(x)) ≤ λ‖y −AC(x)‖2 ∀(λ, y) ∈ (0, 1]×C
y, por continuidad, tambien debe ser cierto para λ = 0. Ası,
(x −AC(x)|y−AC(x)) ≤ 0 ∀y ∈ C
3. Es evidente que
(x−y0|y−y0) = (x−y0|x−y0−(x−y)) = ‖x−y0‖2−(x−y0|x−y).
Por la hipotesis y la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
‖x− y0‖2 ≤ (x − y0|x − y) ≤ ‖x− y0‖ · ‖x − y‖ ∀y ∈ C.
Luego, ‖x− y0‖ ≤ ‖x− y‖ ∀y ∈ C y, por tanto, y0 = AC(x). ♦
Teorema 6.2.3 (Aproximacion a subespacios cerrados)
Sea Y un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖). En-tonces:
1. ∀x ∈ X ∃1AY (x) ∈ Y tal que ‖x− AY (x)‖ = d(x, Y )
2. x −AY (x) ∈ Y ⊥ ∀x ∈ X .
3. X = Y ⊕ Y ⊥
4. La aplicacion de aproximacion AY : X → X es lineal, idempotente y
que cumple im AY = Y y kerAY = Y ⊥. Ademas, ‖AY ‖ = 1.
Demostracion:
1. Todo subespacio es convexo y no vacıo. Si Y es cerrado, ya esta
probado en 6.2.2,1.
214 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
2. Por 6.2.2,2, (x − AY (x)|y) ≤ 0 ∀y ∈ Y . Al ser Y un subespacio y
tenerse que cumplir la desigualdad para cada vector y su opuesto, soloes posible la igualdad . Por tanto, x −AY (x) ∈ Y ⊥ ∀x ∈ X .
3. Es una consecuencia inmediata de 2.
4. El punto 2 nos asegura, tambien, que la aplicacion de aproximacionAY : X → X es la proyeccion con im AY = Y y kerAY = Y ⊥ ligada a
la suma directa topologica X = Y ⊕ Y ⊥. Por el teorema de Pitagoras‖x‖2 = ‖AY (x)‖2 + ‖x − AY (x)‖2 y, ası, ‖AY (x)‖ ≤ ‖x‖. Por tanto,
AY es acotada con ‖AY ‖ ≤ 1. Ademas, como AY = AY AY es claroque ‖AY ‖ ≤ ‖AY ‖2 y, por tanto, 1 ≤ ‖AY ‖. Luego ‖AY ‖ = 1. ♦
Teorema 6.2.4 (Aproximacion a subespacios finitodimensionales)
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y sea Y un subespacio lineal finitodimen-sional de base x1, · · · , xn. Entonces, ∀x ∈ X se tiene que
1. AY (x) =
n∑
i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(x1|x1) · · · (x1|x) · · · (x1|xn)(x2|x1) · · · (x2|x) · · · (x2|xn)
.... . .
.... . .
...
(xn|x1) · · · (xn|x) · · · (xn|xn)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
G(x1, x2, · · · , xn)xi
2. d2(x, Y ) =G(x1, x2, · · · , xn, x)
G(x1, x2, · · · , xn)
Demostracion:
El teorema 6.2.3 asegura, para cada x ∈ X , una unica mejor aproximacionn∑
i=1
αixi que cumple x −n∑
i=1
αixi ∈ Y ⊥. Como Y ⊥ = x1, · · · , xn⊥, el
vector a = (αi) ∈ Rn es la unica solucion del sistema de ecuaciones lineales
(SL)
n∑
i=1
αi(xj|xi) = (xj|x) ∀j = 1, · · · , n.
El determinante, necesariamente no nulo, de la matriz de este sistema esel grammiano G(x1, · · · , xn). La expresion de AY (x) anunciada en 1. se
obtiene resolviendo el sistema (SL) mediante la regla de Cramer.Por otra parte, d(x, Y ) = ‖x −AY (x)‖ y, por tanto,
d2(x, Y ) = (x− AY (x)|x− AY (x)) = (x|x)− (x|AY (x))
6.2. APROXIMACION HILBERTIANA 215
Anadiendo esta ecuacion al sistema (SL) obtenemos el nuevo sistema lineal
α1(x1|x1) + α2(x1|x2) + . . . + αn(x1|xn) + 0 = (x1|x)α1(x2|x1) + α2(x2|x2) + . . . + αn(x2|xn) + 0 = (x2|x)
...α1(xn|x1) + α2(xn|x2) + . . . + αn(xn|xn) + 0 = (xn|x)
α1(x|x1) + α2(x|x2) + . . . + αn(x|xn) + d2(x, Y ) = (x|x)
De nuevo Cramer nos da la expresion de d2(x, Y ) anunciada en 2. ♦
Comentarios 6.2.5
En las condiciones del teorema 6.2.4 si x1, ..., xn es ortogonal
AY (x) =
n∑
i=1
(xi|x)
(xi|xi)xi
y, si x1, ..., xn es ortonormal, aun se simplifica su expresion
AY (x) =
n∑
i=1
(xi|x)xi
Teorema 6.2.6 (Desigualdad de Bessel)
Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert y A ⊂ X es ortonormal, se cumple:
∑
y∈F|(x|y)|2 ≤ ‖x‖2 ∀x ∈ X y ∀F ⊂ A finito
Demostracion:
Si F = x1, · · · , xn e Y = [F ], Pitagoras y 6.2.5 aseguran que
‖x‖2 = ‖AY (x)‖2 + ‖x− AY (x)‖2 ≥ ‖AY (x)‖2 =
n∑
i=1
|(x|xi)|2. ♦
Teorema 6.2.7 (Riesz-Fisher)
Un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) es isometricamente isomorfo a su dual (X?, ‖ ‖).Demostracion:
Hemos visto (pag 209) que fx : X → R es lineal, acotado y ‖|fx‖| ≤ ‖x‖.Ademas, ‖|fx‖| = sup
‖y‖=1
(x|y) ≥(
x| x
‖x‖
)
= ‖x‖, luego ‖|fx‖| = ‖x‖.
Ası, la aplicacion lineal
J : X → X?
x 7→ fx
216 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
es isometrica y, por tanto, inyectiva. Veamos que tambien es suprayectiva:
Dado cualquier f ∈ X? no nulo, por el teorema ?? y el teorema 6.2.3,3, existeun vector unitario u ∈ ker f⊥ tal que X = [u]⊕kerf . El vector v, candidato
a satisfacer f = fv, sera un λu que cumpla fλu(x) = f(x) ∀x ∈ X , esdecir, (λu|µu + y) = f(µu + y) ∀y ∈ ker f . Para ello es necesario y
suficiente que λ · µ = µ · f(u) ∀µ ∈ R y, por tanto, λ = f(u). Con laeleccion v = f(u)u aseguramos que f = ff(u)u. ♦
Comentarios 6.2.8
1. El teorema de Riesz-Fisher identifica cada espacio de Hilbert (X, ‖ ‖)con su dual (X?, ‖| ‖|) y, por ende, con su bidual (X??, ‖ ‖).
2. Para cualquier A ⊂ X tenemos que A⊥ =⋂
a∈A ker fa y, como
interseccion de subespacios cerrados, es un subespacio cerrado.
3. Para cualquier A ⊂ X se cumple que A⊥ = [A]⊥. En efecto:
Como A ⊂ [A] es claro que [A]⊥ ⊂ A⊥. Para el contenido contrario
tomamos v ∈ A⊥. Para cualquier x ∈ [A] tenemos una sucesion
(xn) ∈ [A] tal que (xn) → x. Entonces (v|x) = lim(v|xn) = 0 y, por
tanto, v ∈ [A]⊥.
4. Si (X, ‖ ‖) es un Hilbert e Y es un subespacio vectorial cerrado, del
contenido evidente Y ⊆ Y ⊥⊥ y de X = Y ⊕ Y ⊥ = Y ⊥⊥ ⊕ Y ⊥, sededuce que Y = Y ⊥⊥.
6.3 Bases hilbertianas
Definicion 6.3.1
En un espacio normado (X, ‖ ‖), una sucesion (xn) ⊂ X tal que para cadaelemento x ∈ X existe una unica sucesion (λn) ⊂ R tal que
x =∞∑
n=1
λnxn
se llama base de Schauder del espacio normado (X, ‖ ‖).
La existencia de base de Schauder en un espacio (X, ‖ ‖) es una cuestion
delicada. Si (xn) es base de Schauder, la envoltura lineal racional del con-junto numerable xn es un conjunto numerable con clausura X . Ası, elespacio (X, ‖ ‖) tiene un conjunto denso y numerable. Los espacios norma-
dos con conjuntos densos numerables se llaman separables. La separabilidades una condicion necesaria para la existencia de base de Schauder pero no
es suficiente como probo Enflo en 1972.
6.3. BASES HILBERTIANAS 217
En cualquier espacio de Banach (X, ‖ ‖) un subconjunto T tal que [T ] = Xse llama conjunto total. Es claro que una base de Schauder siempre es un
conjunto total pero, para asegurar que de un conjunto total se puede extraeruna base de Schauder se deben cumplir ciertas condiciones:
Teorema 6.3.2 Prop 1.a.3 de [?]
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Banach. Una sucesion (xn) ⊂ X es base de
Shauder si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. xn | n ∈ N es total.
2. xn 6= 0 ∀n ∈ N
3. Existe una constante K tal que para toda (λn) ⊂ R y enteros p < q setiene que ∥
∥∥∥∥
p∑
n=1
λnxn
∥∥∥∥∥≤ K
∥∥∥∥∥
q∑
n=1
λnxn
∥∥∥∥∥
Teorema 6.3.3
En un Hilbert (X, ‖ ‖) un subconjunto A es total si y solo si A⊥ = 0.Demostracion:
Si [A] = X , por 6.2.8,3, A⊥ = [A]⊥
= X⊥ = 0.Si A⊥ = 0, por 6.2.8,4, [A] = [A]
⊥⊥= A⊥⊥ = 0⊥ = X . ♦
Teorema 6.3.4
Un espacio de Hilbert separable (X, ‖ ‖) siempre tiene una base de Schauder.
Demostracion:
Por ser (X, ‖ ‖) separable, existe un subconjunto A numerable y denso que,sin restriccion, podemos suponer libre. Sometemos a A = (xn) al siguiente
proceso iterativo de Gramm-Schmidt:
Con x1 generamos u1 =x1
‖x1‖y es claro que [x1] = [u1].
Con x2 generamos v2 = x2 − (x2|u1)u1 y u2 =v2
‖v2‖y es claro que
u2 ⊥ u1 y [x1, x2] = [u1,u2].
Con x3, v3 = x3 − (x3|u1)u1 − (x3|u2)u2 y u3 =v3
‖v3‖y es claro que
u3 ⊥ u1, u3 ⊥ u2 y [x1, x2, x3] = [u1,u2,u3]...
Ası, construimos el conjunto ortonormal U = (un) tal que [A] = [U ]. ComoX = A ⊂ [U ] ⊂ X , U es total. Ademas, Pitagoras le asegura la condicion 3
de 6.3.2. Luego (un) es base de Schauder. ♦
218 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Las bases de Schauder ortonormales de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) sellaman bases hilbertianas.
Teorema 6.3.5
El conjunto
Wπ = 1√π
sennt | n ≥ 1 ∪ 1√π
cosnt | n ≥ 0
es una base hilbertiana del espacio (L2[−π, π], ‖ ‖2).
Demostracion:
Ya hemos visto en 1.1.14,5 que la envoltura lineal del conjunto
W = sennt | n ≥ 1 ∪ cosnt | n ≥ 0
es densa en (C[−π, π], ‖ ‖∞). Ademas, hemos dicho en 6.1.2,2 que C[−π, π] esdenso en (L2[−π, π], ‖ ‖2). En consecuencia, W es total en (L2[−π, π], ‖ ‖2).
Ademas, las identidades trigonometricas:
senα sen β = 12 (cos(α− β) − cos(α+ β))
cosα cosβ = 12 (cos(α+ β) + cos(α− β))
senα cosβ = 12 ( sen (α+ β) + sen (α− β))
nos aseguran que
∫ π
−πsennt senmtdt =
1
2
(∫ π
−πcos(n−m)tdt−
∫ π
−πcos(n+m)tdt
)
= πδnm
∫ π
−πcosnt cosmtdt =
1
2
(∫ π
−πcos(n +m)tdt+
∫ π
−πcos(n−m)tdt
)
= πδnm
∫ π
−πsennt cosmtdt =
1
2
(∫ π
−πsen (n+m)tdt+
∫ π
−πsen (n−m)tdt
)
= 0
siendo δnm la delta de Kronecker. Ası, Wπ es total y ortonormal. ♦
Corolario 6.3.6
Para todo T > 0 el conjunto
WT = 1√T
sennπx
T| n ≥ 1 ∪ 1√
Tcos
nπx
T| n ≥ 0
es una base hilbertiana del espacio (L2[−T, T ], ‖ ‖2).
Demostracion:
Mediante la biyeccion
6.3. BASES HILBERTIANAS 219
c : [−T, T ] → [−π, π]
x 7→ πxT
definimos la aplicacion lineal, biyectiva y ‖ ‖∞-isometrica
C : C[−π, π] → C[−T, T ] .
f 7→ f cSu extension
C : L2[−π, π] → L
2[−T, T ]f 7→ f c
tambien es lineal, biyectiva y conserva la ortogonalidad:
f ⊥ g ⇔ 0 =
∫ π
−πf(x)·g(x)dx=
π
T
∫ T
−Tfc(t)·gc(t)dt= 0 ⇔ C(f) ⊥ C(g)
y, aunque no es ‖ ‖2-isometrica, cumple que 1√π‖f‖2 = 1√
T‖C(f)‖2
Teorema 6.3.7 (Parseval)
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable y sea (en) una base hilbertiana.
La transformacion
Φ: X → `2x 7→ ((x|en))
es lineal, continua, isometrica y biyectiva.
Demostracion:
La linealidad es evidente y la continuidad se deduce de
‖Φ(x)‖2 =
∞∑
n=1
|(x|en)|2 ≤ ‖x‖2
Si definimos xk =
k∑
n=1
(x|en)en, vemos que ‖xk‖ = ‖Φ(xk)‖ ∀k ∈ N y que
(Φ(xk)) → Φ(x). Ası ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X y Φ es isometrıa. Estaigualdad se suele presentar al cuadrado, como la identidad de Parseval:
‖x‖2 =∞∑
n=1
|(x|en)|2
Finalmente, dada una (λn) ∈ `2, es claro que la sucesion
(k∑
n=1
λnen
)
es
de Cauchy en (X, ‖ ‖) y, por tanto, ∃x0 =
∞∑
n=1
λnen ∈ X . Evidentemente,
220 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Φ(x0) = (λn) y Φ es suprayectiva. ♦
El teorema 6.3.7 nos presenta a `2 como modelo de todos los espacios
de Hilbert separables. Mediante la transformacion Φ : X → `2 podemostrasladar un problema de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) al espacio canonico
`2, resolverlo, y retornar1 la solucion al espacio original.
6.4 Teorıa espectral en espacios de Hilbert
Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert designamos B(X) al conjunto de todaslas aplicaciones L : X → X lineales y continuas. Con la suma habitual y
el producto por escalares, B(X) es un espacio vectorial sobre R. Ademas,con la composicion, es un algebra vectorial unitaria sobre R. Con la norma
‖L‖ = sup‖L(x)‖ | ‖x‖ = 1 es un algebra de Banach con unidad:
1. (B(X), ‖ ‖) es un espacio de Banach
2. ‖L M‖ ≤ ‖L‖ · ‖M‖ ∀(L,M) ∈ B(X)× B(X)
3. ‖I‖ = 1 siendo I : X → X la identidad
En B(X) podemos definir la involucion
?: B(X) → B(X)
L 7→ L?
tal que (L?(x)|y) = (x|L(y)) ∀(x, y) ∈ X ×X y cumple:
1. L?? = L
2. ‖L‖ = ‖L?‖
3. (L M)? = M? L?.
Los puntos fijos en esta involucion ?, es decir, los operadores que cumplenL = L? se llaman autoadjuntos y juegan un interesante papel en la teorıa.
Propiedades 6.4.1
1. L? L y L L? son autoadjuntos.
2. ‖L? L‖ = ‖L‖2
3. kerL = (im L?)⊥ y kerL? = (im L)⊥ (relaciones de Lorch)
Demostracion:
1El retorno Φ−1 : `2 → X tambien es continuo por al teorema de la aplicacion abierta.
6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 221
1. Inmediata
2. ‖L(x)‖2 = (L(x)|L(x)) = (L? L(x)|x) ≤ ‖L? L‖ · ‖x‖2 luego‖L‖2 ≤ ‖L? L‖. La desigualdad contraria es evidente.
3. y ∈ (im L?)⊥ ⇔ (L?(x)|y) = 0 ∀x ∈ X ⇔ (x|L(y)) = 0 ∀x ∈ X . Laotra relacion se demuestra de forma similar.
Teorema 6.4.2
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert, B su bola unidad y L ∈ B(X) un opera-
dor autoadjunto. Entonces, ‖L‖ = supx∈B
|(L(x)|x)|
Demostracion:
Designemos QL(x) := (L(x)|x) y RL := supx∈B
|QL(x)|.Es claro que |QL(x)| ≤ ‖L‖ · ‖x‖2 luego RL ≤ ‖L‖. Para probar la desigual-
dad contraria tenemos en cuenta que
‖L‖ = supx∈B
‖L(x)‖ = supx∈B
supy∈B
(L(x)|y) = supx,y∈B
(L(x)|y)
y la siguiente cadena de desigualdades
(L(x)|y) =QL(x + y)−QL(x− y)
4≤ |QL(x + y)|+ |QL(x − y)|
4≤
≤ RL‖x + y‖2 + ‖x− y‖2
4= RL
‖x‖2 + ‖y‖2
2≤ RL ∀x, y ∈ B ♦
Observacion 6.4.3
La bola unidad cerrada B de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) no es compactapues toda base ortonormal (en) ⊂ B carece de subsucesiones de Cauchy ya
que ‖ei − ej‖ =√
2.Por ello conviene definir una convergencia mas debil que la de la norma para
lograr, al menos, la ”compacidad debil” de su bola unidad cerrada.
Definicion 6.4.4
En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) decimos que la sucesion (xn) convergedebilmente a x y lo escribimos (xn) x si ((xn|y)) → (x|y) ∀y ∈ X .
Teorema 6.4.5
222 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y B su bola unidad. Toda (xn) ⊂ B tiene
una subsucesion debilmente convergente a un punto de B.
Demostracion:
Como Y = [(xn)] es un espacio de Hilbert separable, tiene un subconjunto
denso y numerable D = (an). Por ser ((a1|xn)) una sucesion real acotada,
∃(x1n) subsucesion de (xn) tal que ((a1|x1n)) → y1
y, de igual modo,
∃(x2n) subsucesion de (x1n) tal que ((a2|x2n)) → y2
∃(x3n) subsucesion de (x2n) tal que ((a3|x3n)) → y3
· · · · · ·Ası, la subsucesion diagonal (xnn) cumple que ((ai|xnn)) → yi ∀ai ∈ D.Probaremos que, tambien, ((y|xnn)) es convergente ∀y ∈ Y . En efecto:
Dados y ∈ Y , ε > 0 ∃aiy ∈ D tal que ‖y − aiy‖ ≤ ε
4. Ademas,
|(y|xnn)− (y|xmm)| ≤ |(y − aiy |xnn − xmm)| + |(aiy |xnn − xmm)|,
|(y − aiy |xnn − xmm)| ≤ ε
4‖xnn − xmm‖ ≤ ε
2por ser (xnn) ⊂ B,
|(aiy |xnn − xmm)| ≤ ε
2∀n,m > n0 por ser ((ai|xnn)) de Cauchy,
luego ((y|xnn)) es de Cauchy y, por tanto, convergente.
Entonces, podemos definir la aplicacion lineal
ϕ: Y → R
y 7→ limn→∞
((y|xnn))
y, como |ϕ(y)| ≤ limn→∞ ‖xnn‖ ‖y‖ ≤ ‖y‖ ∀y ∈ Y , es acotada y ‖ϕ‖ ≤ 1.Si P : X → Y es la proyeccion normal y tomamos f = ϕ P , es claro
que f ∈ X? y ‖f‖ ≤ 1. Segun el teorema 6.2.7 podemos identificar f conun x0 ∈ B. Este x0 cumple que ((x|xnn)) → (x|x0) ∀x ∈ X y, enconsecuencia, (xnn) x0 ♦
Definiciones 6.4.6
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y B su bola unidad. Decimos que
1. C ∈ B(X) es compacto si C(B) es compacto (⇔ C(B) totalmente acotado)
2. F ∈ B(X) es de rango finito si dim im F <∞.
Observaciones 6.4.7
6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 223
1. Todo operador de rango finito es compacto. En efecto:
Si F es de rango finito F (B) es cerrado y acotado en F (X), luegocompacto en F (X) y, a fortriori, compacto en X .
2. Todo operador tranforma sucesiones (debilmente) convergentes en suce-siones (debilmente) convergentes.
Teorema 6.4.8
Sea L ∈ B(X) compacto y sea (xn) x. Entonces, (L(xn)) → L(x).
Demostracion:
Si (L(xn)) 6→ L(x) existe ρ > 0 y una subsucesion (zn) de (xn) tal que‖L(zn) − L(x)‖ > ρ. Como zn es acotada y L es compacto, existe una
subsucesion (wn) de (zn) tal que (L(wn)) → y0 ∈ X siendo y0 6= L(x).Como el lımite debil de una sucesion es unico, llegamos al siguiente absurdo:
(wn) x ⇒ (L(wn)) L(x)
(L(wn)) → y0 ⇒ (L(wn)) y0
♦
Comentarios 6.4.9
1. Los operadores compactos, por transformar las sucesiones debilmente
convergentes en convergentes, se llaman completamente continuos.
2. Designamos F(X) al subconjunto de B(X) constituido por todos los
operadores de rango finito. F(X) es un subespacio del espacio vecto-rial B(X) pero, en general, no es cerrado: Si (X, ‖ ‖) es separable y
dimX = ∞, es claro que la sucesion de proyectores basicos respectode cualquier base hilbertiana esta en F(X) pero su lımite, que es la
identidad, no lo esta.
3. F(X) es un ideal del algebra B(X) porque, claramente,
F L ∈ F(X)
L F ∈ F(X)∀(F, L) ∈ F(X)× B(X)
4. Designamos K(X) al subconjunto de B(X) constituido por todos losoperadores compactos. Es facil ver que K(X) es un subespacio del
espacio vectorial de B(X). Probaremos que es un ideal cerrado:
Teorema 6.4.10
K(X) es un ideal cerrado de B(X)
Demostracion:
Sean cualesquiera L ∈ B(X) y C ∈ K(X).
224 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
1. L C(B) es totalmente acotado porque es el transformado por la
funcion continua L del conjunto totalmente acotado C(B). Por tanto,L C ∈ K(X).
2. C L(B) es totalmente acotado porque esta contenido en ‖L‖ · C(B)
que es totalmente acotado. Por tanto, C L ∈ K(X).
Sea (Cn) ⊂ K(X) con (Cn) → L ∈ B(X).
Dado ε > 0 existe n0 tal que ‖Cn0 − L‖ < ε2 y existe
x1, ..., xp ⊂ X tal que Cn0(B) ⊂p⋃
i=1
xi +ε
2B.
Dado cualquier x ∈ B tenemos ‖L(x) − Cn0(x)‖ < ε2 y un xi0 tal que
‖Cn0(x)−xi0‖ < ε2 . Ası, L(B) ⊂
p⋃
i=1
xi+εB y, por tanto, L ∈ K(X). ♦
Teorema 6.4.11
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y sea L ∈ B(X) compacto y autoadjunto.
Existe un vector unitario u que cumple L(u) = ±‖L‖u.
Demostracion:
Por ser L autoadjunto, el teorema 6.4.2 asegura que existe una (xn) ⊂ B
tal que ‖L‖ = limn→∞
|(L(xn)|xn)| y el teorema 6.4.5 permite suponer que
(xn) u ∈ B. Como L es completamente continuo,
‖L‖ = supx∈B
|(L(x)|x)|= |(L(u)|u)| y, a fortriori, ‖u‖ = 1
Ası, existe un signo θ ∈ −1, 1 tal que ‖L‖ = θ(L(u)|u) y, entonces2
∥∥∥L(u) − θ‖L‖u
∥∥∥
2= ‖L(u)‖2 − 2θ‖L‖(L(u)|u) + ‖L‖2
luego∥∥∥L(u)− θ‖L‖u
∥∥∥
2≤ ‖L‖2 − 2‖L‖2 + ‖L‖2 = 0 ♦
Teorema 6.4.12 (Representacion espectral I)
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Todo L ∈ K(X) autoadjuntoe inyectivo admite una representacion espectral
L =
∞∑
n=1
λnun ⊗ un
2Notese que si L es no nulo, tambien lo es u
6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 225
donde (un) es una base hilbertiana de vectores propios y (λn) es la correspon-
diente sucesion de valores propios. Ademas, (λn) → 0 y λn 6= 0 ∀n ∈ N.
Demostracion:
Sea u1 el vector unitario asegurado para L en 6.4.11 y sea X1 = [u1]⊥.
Es claro que (X1, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X1) ⊂ X1.Entonces, L1 = L |X1∈ K(X1) y es autoadjunto e inyectivo.
Sea u2 el vector unitario asegurado para L1 en 6.4.11 y sea X2 = [u1,u2]⊥.
Es claro que (X2, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X2) ⊂ X2.Entonces, L2 = L |X2∈ K(X2) y es autoadjunto e inyectivo.
Sea u3 el vector unitario asegurado para L2 en 6.4.11 y seaX3 = [u1,u2,u3]⊥.
Es claro que (X3, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X3) ⊂ X3.Entonces, L3 = L |X3∈ K(X3) y es autoadjunto e inyectivo....
De esta forma iterativa construimos una sucesion ortonormal (un) de vec-tores propios de L y la sucesion de valores propios (λn), que cumple
|λ1| = ‖L‖ ≥ ‖L1‖ = |λ2| ≥ ‖L2‖ = |λ3| ≥ · · ·Como (un) 0 y L es compacto, (L(un)) → 0 y, por tanto, (λn) → 0.
Ademas, Y := [(un)]⊥ = kerL pues, si ası no fuera, el operador L|Y serıa
no nulo y tendrıamos 0 < ‖L|Y ‖ ≤ ‖L(un)‖ ∀n ∈ N, lo cual esta en contra
de que (L(un)) → 0. ♦
Corolario 6.4.13 (Representacion espectral II)
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Todo L ∈ K(X) inyectivo
admite una representacion
L =
∞∑
n=1
λnun ⊗ vn
donde (un) es una base hilbertiana, (vn) es un conjunto ortonormal y (λn)
es una sucesion escalar convergente a 0.
Demostracion:
Como (X, ‖ ‖) es separable tiene una base hilbertiana (un). Claramente
L(x) =
∞∑
n=1
(x|un)L(un) =
∞∑
n=1
‖L(un)‖(x|un)L(un)
‖L(un)‖
Si (un) pudiera ser elegida de modo que
(L(un)
‖L(un)‖
)
fuese ortonormal, el
teorema estarıa probado tomando (vn) =
(L(un)
‖L(un)‖
)
y (λn) = (‖L(un)‖)
226 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
pues, por ser (un) 0 y ser L compacto, tendrıamos que (λn) → 0.
Basta elegir (un) como la que asegura 6.4.12 para el operador compacto,autoadjunto e inyectivo L? L. ♦
Corolario 6.4.14
Si (X, ‖ ‖) es un Hilbert separable, F(X) = K(X).
Demostracion:
Por 6.4.7,1 sabemos que F(X) ⊂ K(X), luego F(X) ⊂ K(X). Por 6.4.10
sabemos que K(X) = K(X), luego F(X) ⊂ K(X).Para el contenido contrario basta partir de un L ∈ K(X) inyectivo. El
corolario 6.4.13 asegura, entonces, que
L = limk→∞
k∑
n=1
λnun ⊗ vn con
(k∑
n=1
λnun ⊗ vn
)
⊂ F(X) ♦
Teorema 6.4.15 (Alternativa de Fredholm )
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable, sea L ∈ B(X) un operador
compacto y autoadjunto y sea λ un numero real. Solo dos cosas puedensuceder:
1. El problema (L− λI)(x) = y tiene solucion para todo y ∈ X
2. El problema (L− λI)(x) = 0 tiene alguna solucion no nula.
En el primer caso la solucion de (L−λI)(x) = y es unica y depende continua-mente del dato y.
En el segundo caso, el problema (L− λI)(x) = y tiene solucion si y solo siy es ortogonal a todas las soluciones del problema (L− λI)(x) = 0
Demostracion
La alternativa es clara:
1. O bien λ no es autovalor de L.
2. O bien λ es autovalor de L.
Es decir,
1. O bien (L− λI)(x) = 0 tiene solo la solucion nula.
2. O bien (L− λI)(x) = 0 tiene alguna solucion no nula.
Por ser L autoadjunto, tambien lo es L− λI y, por 6.4.1 es claro que
1. ⇔ ker(L− λI) = 0 ⇔ im(L− λI) = X
6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 227
Luego, en el primer caso, L−λI es una aplicacion lineal, continua y biyectiva
y (L− λI)−1 que es lineal, por el teorema de la aplicacion abierta tambienes continua. Ası, la solucion x = (L− λI)−1(y) es unica y depende contin-
uamente de y.En el segundo caso, (L−λI)(x) = y tiene solucion si y solo si y ∈ im(L−λI)y, nuevamente 6.4.1 asegura que im(L− λI) = [ker(L− λI)]⊥. ♦
Observaciones 6.4.16
1. Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable, L ∈ B(X) es un opera-
dor compacto y autoadjunto y λ 6= 0 no es autovalor de L podemosexpresar la unica solucion del problema (L− λI)x = y de la forma
∞∑
n=1
(y|un)λn − λ
un
siendo (un) la base ortonormal de vectores propios de L y (λn) lacorrespondiente sucesion de valores propios.
2. Si λ 6= 0 es autovalor, sabemos que el problema (L − λI)x = y tiene
solucion si y solo si y ∈ [ker(L− λI)]⊥.Suponiendo que y cumple esta condicion y que ker(L−λI) = [u1, · · · ,uk]tenemos una variedad de soluciones que se pueden expresar en la forma
[u1, · · · ,uk] +∞∑
n=k+1
(y|un)λn − λ
un
En efecto, siempre existe un µ ∈ R tal que λ+µ no es autovalor de L.
Entonces, nuestro problema (L−λI)x = y es equivalente al problema(L− (λ+ µ)I)x = y− µx que esta en el caso primero. Su solucion es,
por tanto, de la forma
∞∑
n=1
(y − µx|un)λn − λ− µ
un =
k∑
n=1
(x|un)un +
∞∑
n=k+1
(y − µx|un)λn − λ− µ
un
Entonces debe cumplirse que
(x|un) =(y − µx|un)λn − λ− µ
∀n > k
y, despejando,
(x|un) =(y|un)λn − λ
un ∀n > k ♦
228 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
3. El teorema 6.4.15 tambien se cumple cuando λ = 0 pero, en tal caso,
no podemos asegurar la convergencia de las series que nos aparecenen los dos puntos anteriores. Para que dichas series representen las
soluciones debemos exigir respectivamente que
∞∑
n=1
(y|un)2λ2n
<∞ y
∞∑
n=k+1
(y|un)2λ2n
<∞.
Un tipo especial de operadores compactos muy importantes en la tecnica
son los que introducimos a continuacion
Definicion 6.4.17
Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Un operador H ∈ B(X) se dicede Hilbert-Schmidt si existe una base hilbertiana (un) tal que
∞∑
n=1
‖H(un)‖2 <∞
Observaciones 6.4.18
1. La identidad de Parseval (ver 6.3.7) asegura, para cualquier otra basehilbertiana (vm), que
∞∑
n=1
‖H(un)‖2 =
∞∑
n=1
( ∞∑
m=1
|(H(un) | vm)|2)
=
=∞∑
m=1
( ∞∑
n=1
|(un |H?(vm))|2)
=∞∑
m=1
‖H?(vm)‖2
Esto prueba que
∞∑
n=1
‖H(un)‖2 no depende de la base inicial (un) y,
ademas, si designamos HS(X) al conjunto de todos los operadores deHilbert-Schmidt del espacio de Hilbert separable (X, ‖ ‖), resulta que
H ∈ HS(X) si y solo si H? ∈ HS(X)
2. La funcion
N: HS(X) → R
H 7→( ∞∑
n=1
‖H(un)‖2
)12
esta bien definida porque no depende de la base (un) y nos permite
probar que HS(X) es subespacio vectorial de B(X). En efecto:
6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 229
(a) Si H ∈ HS(X) y λ ∈ R es claro que λH ∈ HS(X)
(b) Si H,G ∈ HS(X) tenemos ∀m ∈ N que
(m∑
n=1
‖H(un) +G(un)‖2
) 12
≤(
m∑
n=1
(‖H(un)‖ + ‖G(un)‖)2) 1
2
≤ N(H)+N(G)
Luego, N(H +G) ≤ N(H) + N(G) <∞ y H +G ∈ HS(X).
A fortriori, tenemos que N : HS(X) → R es una norma pues, N1, N2y N3 son claras y N4 acaba de ser probada. Esta norma procede del
siguiente producto escalar, que tampoco depende de (un),
( | ): HS(X)× HS(X) → R
(H,G) 7→∞∑
n=1
(H(un)|G(un))
3. HS(X) es un ideal en B(X) pues ∀(H,L) ∈ HS(X)×B(X) tenemos:
(a) ‖L H(un)‖2 ≤ ‖L‖2 · ‖H(un)‖2 luego N(L H) ≤ ‖L‖ · N(H)y, por tanto, L H ∈ HS(X).
(b) (H L)? = L? H? ∈ HS(X) luego H L ∈ HS(X).
4. HS(X) ⊂ K(X). En efecto:Todo H ∈ HS(X) es lımite de los operadores de rango finito
Hk : X → X
x 7→k∑
n=1
(x|un)H(un)
que son acotados porque, por Holder, tenemos
‖Hk(x)‖ ≤k∑
n=1
|(x|un)| ‖H(un)‖≤N(H)‖x‖
y, nuevamente, por Holder,
‖H(x)−Hk(x)‖ =
∥∥∥∥∥
∞∑
n=k+1
(x|un)(H −Hk)(un)
∥∥∥∥∥≤N(H −Hk)‖x‖.
Como (N(H −Hk)) → 0, (‖H −Hk‖) → 0 y (Hk) → H .
El espacio de Hilbert mas util para el tecnico es L2[a, b] y ha sido introducido
en 6.1.2,2 como el completado de (C[a, b], ‖ ‖2). Este espacio es separablepues, por el teorema 1.1.2, la sucesion de polinomios en una variable (tn−1)es densa en C∞[a, b] y, a su vez, C([a, b],R) es denso en L2[a, b].
Es interesante observar que si (en) es una base ortonormal de L2[a, b],
(enm) es una base ortonormal de L2([a, b]× [a, b]) donde
230 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
enm : [a, b]× [a, b] → R
(t, s) 7→ en(t) · em(s)
Teorema 6.4.19
Una aplicacion lineal H : L2[a, b] → L2[a, b] esta en HS(L2[a, b]) si y solo si
existe una funcion G ∈ L2([a, b] × [a, b]), llamada funcion de Green
tal que ∀φ ∈ L2[a, b]
H(φ) : [a, b] → R
s 7→∫ b
aG(t, s)φ(t)dt
Ademas, H es autoadjunto si y solo si G es simetrica.
Demostracion:
Si H admite la representacion integral mencionada, es acotado porque
‖H(φ)‖2 =
∫ b
a
(∫ b
aG(t, s)φ(t)dt
)2
ds ≤ (Holder)
≤∫ b
a
(∫ b
a|G(t, s)|2dt
)
·(∫ b
a|φ(t)|2dt
)
ds = ‖G‖2 ‖φ‖2
Usando la igualdad de Parseval al principio y al final, tenemos
∞∑
n=1
‖H(en)‖2 =
∞∑
n=1
( ∞∑
m=1
|(H(en) | em)|2)
=
=
∞∑
n,m=1
∣∣∣∣
∫ b
aH(en)(s) · em(s)ds
∣∣∣∣
2
=
=
∞∑
n,m=1
∣∣∣∣
∫ b
a
[∫ b
aG(t, s)(en)(t)d(t)
]
· em(s)ds
∣∣∣∣
2
=
∞∑
n,m=1
|(G | enm)|2 = ‖G‖2
y, por tanto, H ∈ HS(L2[a, b]). Ademas, siG es simetrica,H es autoadjunto:
(H(φ) |ψ) =
∫ b
aH(φ)(s)ψ(s)ds =
∫ b
a
[∫ b
aG(t, s)φ(t)dt
]
ψ(s)ds =
∫ b
a
[∫ b
aG(s, t)ψ(s)ds
]
φ(t)dt =
∫ b
aH(ψ)(t)φ(t)dt = (φ |H(ψ))
Si partimos de que H ∈ HS(L2[a, b]), la observacion 6.4.17,4 y el teorema
6.4.13 nos aseguran la existencia de una base ortonormal (en), una sucesionortonormal (vn) y una sucesion real (λn) de cuadrado sumable, tales que
H =
∞∑
n=1
λnen ⊗ vn y, por tanto H(φ) =
∞∑
n=1
λn(en | φ)vn luego
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 231
H(φ)(s) =
∞∑
n=1
λn
(∫ b
aen(t)φ(t)dt
)
vn(s) =
∫ b
a
( ∞∑
n=1
λnen(t)vn(s)
)
φ(t)dt
Probemos que G(t, s) =
∞∑
n=1
λnen(t)vn(s) esta en L2([a, b]× [a, b]):
∫ b
a
∫ b
aG2(t, s)dtds =
∫ b
a
∫ b
a
( ∞∑
n=1
λnen(t)vn(s)
)( ∞∑
n=1
λmem(t)vm(s)
)
dtds =
∞∑
n,m=1
λnλm
(∫ b
aen(t)em(t)dt
)(∫ b
avn(s)vm(s)ds
)
=
∞∑
n=1
λ2n = N2(H) <∞
Ademas, si H es autoadjunto, podemos elegir (en) = (vn) y, ası, la
funcion G(t, s) =
∞∑
n=1
λnen(t)en(s) es claramente simetrica. ♦
6.5 El problema regular de Sturm-Liouville.
Los operadores de Hilbert-Schmidt son de gran utilidad para tratar el proble-ma inverso que se conoce con este nombre y cuyo enunciado es:
(SL) Dadas las funciones c ∈ C[a, b] y f ∈ L2[a, b], hallar u : [a, b] → R
tal que
−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α|+ |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0
En este problema inverso, el espacio de datos es L2[a, b] y el espacio X donde
hay que buscar la incognita u es el subespacio de L2[a, b] constituido por lasfunciones de C1[a, b] que cumplen las condiciones de contorno
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α|+ |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0
y cuya derivada segunda generalizada3 esta en L2[a, b]. La transformacion
L : X → L2[a, b] esta dada por L(u) = −u′′ + cu, que es lineal y cumple(L(x)|y) = (x|L(y)) ∀x, y ∈ X . En efecto:
(L(x)|y) =∫ ba (−x′′y + cxy)dt = −[x′y]ba +
∫ ba x
′y′dt+∫ ba cxydt
(x|L(y)) =∫ ba (−y′′x+ cxy)dt = −[xy′]ba +
∫ ba x
′y′dt+∫ ba cxydt
3Ver la seccion ?? dedicada a las distribuciones
232 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
y, por las condiciones de contorno, es claro que [x′y]ba = [xy′]ba. Como X es
denso L2[a, b], podemos considerar que L es autoadjunto aunque no sea unendomorfismo en L2[a, b].
Veamos, en primer lugar, que el problema homogeneo con la primera de
las condiciones
PHC(a)
−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α| + |α′| > 0
tiene, unicamente, un rayo de soluciones. En efecto:Es claro que el problema de condicion inicial
PHI(a)
−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t < b
u(a) = α′
u′(a) = −α con |α|+ |α′| > 0
tiene una unica solucion u1 que, necesariamente, es no nula. Tambien esclaro que todo elemento del rayo [u1] es solucion del PHC(a).
Por otra parte, si v es una solucion no nula del PCC(a), por la condicionde contorno αv(a) + α′v′(a) = 0 con α 6= 0 o α′ 6= 0 resulta que v′(a) 6= 0 o
v(a) 6= 0. Entonces − αv′(a)v o α′
v(a)v deben coincidir con la unica solucion u1
del PCI(a) y, ası, en cualquiera de los dos casos, v ∈ [u1].De igual modo, el problema homogeneo con la segunda condicion
PHC(b)
−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t < b
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0
tiene otro rayo de soluciones [u2].
Si el problema homogeneo asociado a nuestro (SL) inicial
−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α| + |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0
solo tiene la solucion nula, los rayos [u1] y [u2] tienen que ser distintos pues,
de lo contrario, habrıa una solucion no nula para el problema homogeneo.Por tanto, u1u
′2 − u2u
′1 6= 0 pues,
u1u′2 − u2u
′1 = 0 ⇒ u′1
u1=u′2u2
⇒ logu1 = logu2 + log k ⇒ u1 = ku2.
Por ser u1 y u2 soluciones de la ecuacion homogenea −u′′ + cu = 0 se tiene
que u1u′′2 − u2u
′′1 = 0 y como u1u
′′2 − u2u
′′1 = (u1u
′2 − u2u
′1)
′ resulta que
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 233
u1u′2 − u2u
′1 es una constante no nula que designamos W .
Consideramos, ∀t ∈ [a, b], el sistema
ρ2u2(t) + ρ1u1(t) = 0
ρ2u′2(t) + ρ1u
′1(t) = 1
que tiene solucion unica ρ1 = −u2(t)
Wy ρ2 =
u1(t)
W. La funcion
Gt : [a, b] → R
s 7→
ρ1u1(s) = − u2(t)u1(s)
Wsi s ∈ [a, t]
−ρ2u2(s) = − u1(t)u2(s)
Wsi s ∈ [t, b]
es continua pero no es derivable. Definiendo G(t, s) = Gt(s) tenemos
G : [a, b]× [a, b] → R
(t, s) 7→
− u1(t)u2(s)
Wsi a ≤ t ≤ s ≤ b
− u2(t)u1(s)
Wsi a ≤ s ≤ t ≤ b
que es simetrica, esta en C([a, b] × [a, b]) ⊂ L2([a, b] × [a, b]) y, por tanto,
genera un operador de Hilbert-Schmidt autoadjuntoHG : L2[a, b] → L
2[a, b].
Veamos que HG(f) puede considerarse solucion del problema (SL):
u(t) := HG(f)(t) = − u2(t)
W
∫ t
au1(s)f(s)ds − u1(t)
W
∫ b
tu2(s)f(s)ds
Si f fuese continua, u serıa derivable en sentido clasico pero como es cualquierelemento de L2[a, b], solo podemos asegurar que u es derivable como dis-
tribucion. Su derivada es
u′(t) = − u′2(t)W
∫ t
au1(s)f(s)ds − u′1(t)
W
∫ b
tu2(s)f(s)ds
que es una funcion continua como se puede comprobar secuencialmente. Alderivar u′ como distribucion obtenemos
u′′(t) = − u′′2(t)
W
∫ t
au1(s)f(s)ds − u′′1(t)
W
∫ b
tu2(s)f(s)ds−
− u′2(t)u1(t) − u′1(t)u2(t)
Wf(t)
234 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Como u′′i (t) = c(t)ui(t) tenemos que u′′(t) = c(t)u(t) − f(t). Ademas, u
satisface las condiciones de contorno pues
αu(a) + α′u′(a) = − αu1(a) + α′u′1(a)W
∫ b
au2(s)f(s)ds = 0
βu(b) + β′u′(b) = − βu2(b) + β′u′2(b)W
∫ b
au1(s)f(s)ds = 0
Por tanto, HG(f) es solucion generalizada de (SL) y es la unica solucion
posible pues si v fuese otra solucion, v − HG(f) lo serıa del problema ho-mogeneo asociado y hemos supuesto que este solo admite la solucion nula.
Ası, HG : L2[a, b] → L2[a, b] es un operador compacto, autoadjunto e in-yectivo y el teorema 6.4.12 nos asegura la existencia de una sucesion de
valores propios reales no nulos (λn) → 0 y una base hilbertiana de L2[a, b]constituida por los vectores propios (en) que dan la representacion espectral
HG =
∞∑
n=1
λnen ⊗ en y la solucion del (SL) u =
∞∑
n=1
λn(f | en)en
Ademas, ∀g ∈ L2[a, b] es claro que HG(g) ∈ X y podemos considerar que
HG : L2[a, b] → X . En particular, la base de vectores propios (en) esta en elsubespacio X y, a fortiori,X es un subespacio no cerrado y denso de L2[a, b].
La transformacion lineal
L: X → L2[a, b]u 7→ −u′′ + cu
ligada al problema (SL) tiene una inversa HG : L2[a, b] → X con las buenaspropiedades espectrales que hemos visto. Pero L tiene el mismo conjunto
de vectores propios que HG y los valores propios de L son los inversos de losvalores propios de HG. La aplicacion lineal L no es acotada porque tiene
una sucesion de valores propios que tiende a ∞ pero, tiene una sucesion devectores propios que constituyen una base ortonormal de L2[a, b]. Este es el
famoso teorema de oscilacion que aquı es un corolario del teorema 6.4.12.
En la practica suele ser sencillo determinar los valores y vectores propiosde L y, a traves de ellos, determinar la representacion espectral de HG yobtener la solucion del problema (SL).
Ejemplo 6.5.1
Dada una funcion f ∈ L2[0, l] hallar u : [0, l] → R tal que
−u′′(t) = f(t) en 0 < x < l
u(0) = 0
u(l) = 0
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 235
Solucion:
Este problema de Sturm-Liouville esta ligado al operador
L: X → L2[0, l]u 7→ −u′′
Como el problema homogeneo asociado
u′′(t) = 0 en 0 < t < l
u(0) = 0
u(l) = 0
solo tiene la solucion nula, podemos construir la funcion de Green:La solucion general de la ecuacion homogenea u′′ = 0 es u = At + B. Im-
poniendo la primera condicion de contorno, u(0) = 0, obtenemos que B = 0y que el rayo de soluciones es [u1] con u1(t) = t.
Analogamente, imponiendo la segunda condicion de contorno, u(l) = 0,obtenemos que 0 = Al + B ⇒ B = −Al, y el correspondiente rayo de solu-ciones es [u2] con u2(t) = t− l.
Puesto que W =
∣∣∣∣
u1(t) u2(t)
u′1(t) u′2(t)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣
t t− l
1 1
∣∣∣∣
= l, la funcion de Green viene
dada por
G(t, s) =
−u1(t) u2(s)
W= −t(s − l)
l, 0 ≤ t ≤ s ≤ l
−u2(t) u1(s)
W= −(t− l)s
l, 0 ≤ s ≤ t ≤ l
y la solucion del problema inicial es:
u(t) =
∫ l
0G(t, s)f(s) ds = −t− l
l
∫ t
0sf(s) ds − t
l
∫ l
t(s− l)f(s) ds
Otra vıa para resolver el problema es hallar la representacion espectral del
operador HG, es decir, buscar los autovalores y autofunciones de L:
1. Como el problema homogeneo asociado solo tiene la solucion nula, 0no es valor propio de L.
2. No hay autovalores negativos pues la ecuacion diferencial −u′′ = −k2u
tiene la solucion general A senh (kt) +B cosh(kt) y las condiciones decontorno imponen
A · 0 +B = 0
A senh (kl) = 0⇒ A = B = 0.
236 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
3. Buscamos los autovalores positivos. La ecuacion diferencial −u′′ = k2u
tiene la solucion general A sen (kt) + B cos(kt) y las condiciones decontorno imponen
A · 0 + B = 0
A sen (kl) = 0⇒ B = 0
pero A puede ser no nula si k =nπ
l∀n = 1, 2, · · · .
Ası,
(n2π2
l2
)
son los autovalores de L y (en) =
(√
2
lsen
(nπt
l
))
es la
correspondiente base ortonormal de vectores propios. Por tanto,
HG(f) =l2
π2
∞∑
n=1
1
n2(f |en) en
y la solucion puede darse en la forma:
u(t) =2l
π2
∞∑
n=1
1
n2
(∫ l
0f(t) sen
(nπt
l
)
dt
)
sen
(nπt
l
)
♦
Ejemplo 6.5.2
Resolver el problema de Sturm-Liouville
u′′(t) = t en 0 ≤ t ≤ 1
u(0) = 0
u′(1) = 0
Solucion:
La solucion general de la ecuacion diferencial homogenea es u = At + B.Imponiendo las condiciones iniciales se tiene
u(0) = 0 = B
u′(1) = 0 = A
, y el problema homogeneo solo tiene la solucion 0. Por tanto, existe funcionde Green y es unica.Resolviendo el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y la
primera condicion de contorno,
u′′(t) = 0
u(0) = 0
, se obtiene la solucion u1(t) = t.
Analogamente,u′′(t) = 0
u′(1) = 0
⇒ u2(t) = 1 y W =
∣∣∣∣
u1(t) u2(t)u′1(t) u′2(t)
∣∣∣∣= −1
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 237
Escribiendo la ecuacion diferencial en la forma −u′′(t) = −t, la funcion de
Green es:
G(t, s) =
−u1(t) u2(s)
W= t, 0 ≤ t ≤ s ≤ 1
−u2(t) u1(s)
W= s, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1
La solucion del problema (SL) es entonces:
u(t) =
∫ 1
0
G(t, s)(−s) ds = −∫ t
0
s2 ds− t
∫ 1
t
s ds =t3
6− t
2
Otra manera de resolverlo, es hallar la representacion espectral. Como elproblema homogeneo solo tiene la solucion trivial, 0 no es autovalor del
problema
−u′′ = λu
u(0) = 0
u′(1) = 0Veamos si hay autovalores negativos:
Haciendo λ = −k2, la solucion general de la ecuacion −u′′ = −k2u es u(t) =Aekt +Be−kt y u′(t) = Akekt + Bke−kt
Imponiendo las condiciones de contorno:
u(0) = 0 = A+B
u′(1) = 0 = Akek + Bke−k
⇒ A = B = 0, pues el determinante del
sistema vale −2k cosh k 6= 0 . Por tanto, no hay autovalores negativos.
Calculemos, por ultimo, los autovalores positivos:Haciendo λ = k2, la solucion general de la ecuacion −u′′ = k2u es u(t) =
A cos kt+B sen kt , y u′(t) = −Ak sen kt+ Bk cos ktImponiendo las condiciones de contorno:
u(0) = 0 = A
u′(1) = 0 = −Ak sen k +Bk cos k
⇒ cos k = 0 ⇒ k =(2n− 1)π
2
Los autovalores son λn =(2n− 1)2π2
4, n = 1, 2, · · ·
y los vectores propios correspondientes un = sen(2n− 1)πt
2.
Podemos normalizarlos para obtener la base hilbertiana de vectores propios:
‖un‖2 =
∫ 1
0
sen2 (2n− 1)πt
2dt =
1
2⇒ ‖un‖ =
1√2
(en) =
(un
‖un‖
)
=(√
2 sen(2n− 1)πt
2
)
El operador HG, inverso de L, tiene la representacion espectral
HG =
∞∑
n=1
1
λnen ⊗ en , es decir, HG(f) =
∞∑
n=1
1
λn(f |en)en
Para f(t) = −t se tiene:
238 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
(f |en) =
∫ 1
0−√
2 t sen(2n− 1)πt
2dt =
(−1)n4√
2
(2n− 1)2π2
Con lo cual, la solucion del problema (SL) es:
HG(f)(t) = u(t) =32
π4
∞∑
n=1
(−1)n
(2n− 1)4sen
(2n− 1)πt
2.
Ejemplo 6.5.3
Resolver el problema de Sturm-Liouville
u′′(t) + u(t) = t en t ∈ [0, π]
u(0) + u′(0) = 0
u(π) = 0
Solucion:
El problema homogeneo asociado tiene unicamente la solucion 0. En efecto,
la solucion general de la ecuacion diferencial homogenea es u(t) = A cos t+B sen t. Imponiendo las condiciones de contorno,
u(0) + u′(0) = 0 = A +B
u(π) = 0 = −A
⇒ A = B = 0
Por tanto, el problema (SL)tiene solucion unica.En este caso los autovalores de la aplicacion lineal L no se pueden calcular de
manera exacta. Sin embargo es muy sencillo construir la funcion de Green.Resolviendo el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y la
primera condicion de contorno:
u′′(t) + u(t) = 0
u(0) + u′(0) = 0
se obtiene la solucion u1(t) = cos t− sen t
Analogamente,u′′(t) + u(t) = 0
u(π) = 0
⇒ u2(t) = sen t
W =
∣∣∣∣
u1(t) u2(t)
u′1(t) u′2(t)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
cos t− sen t sen t
− sen t− cos t cos t
∣∣∣∣= 1
y, si queremos utilizar la expresion de la funcion de Green dada en la pagina
233, (obtenida con el coeficiente de u′′ igual a −1) debemos escribir laecuacion diferencial en la forma −u′′(t) − u(t) = −t.
G(t, s) =
−u1(t) u2(s)
W= −(cos t− sen t) sen s, 0 ≤ t ≤ s ≤ π
−u2(t) u1(s)
W= − sen t(cos s− sen s), 0 ≤ s ≤ t ≤ π
La solucion del problema (SL) es entonces:
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 239
u(t) =
∫ π
0G(t, s)(−s) ds = sen t
∫ t
0s(cos s − sen s) ds+
+(cos t− sen t)
∫ π
ts sen s ds = t+ π cos t− (π + 1) sen t. ♦
Hasta ahora hemos visto ejemplos de problemas de Sturm-Liouville talesque su asociado homogeneo tiene unicamente la solucion nula. Ahora vere-
mos que siempre existe un µ ∈ R tal que el problema homogeneo
−u′′(t) + (c(t) + µ)u(t) = 0 en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α|+ |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0
tiene unicamente la solucion nula. Para ello necesitamos el siguiente
Lema 6.5.4
∀φ ∈ C1[a, b] y ∀ε > 0 ∃C(ε) > 0 tal que
‖φ‖2∞
≤∫ b
a(ε φ′2(t) + C(ε)φ2(t))dt
Demostracion:Si ası no fuera existirıa un ε > 0 y una sucesion (ϕn) ⊂ C1[a, b] tal que
‖ϕn‖2∞>
∫ b
a(ε ϕ′2
n(t) + nϕ2n(t))dt y, tomando φn =
ϕn‖ϕn‖∞
,
∃(φn) tal que 1 = ‖φn‖2∞>
∫ b
a(ε φ′2n(t) + nφ2
n(t))dt
Entonces,1
n>
∫ b
aφ2n(t)dt ≥
1
4m
(
t | φn(t) >1
2
)
y, por tanto,
m
(
t | φn(t) >1
2
)
≤ 4
n
Sea tn ∈ [a, b] tal que |φn(tn)| = 1. Como m
([
tn −4
n, tn +
4
n
])
=8
n
existira sn ∈[
tn −4
n, tn +
4
n
]
tal que φn(sn) ≤ 1
2y el teorema de los
incrementos finitos en [tn, sn] asegura que
1
2≤∫ sn
tn
|φ′(t)|dtHolder≤
√
|tn − sn|(∫ b
a
|φ′n(t)|2dt) 1
2
.
240 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Luego
1
2≤ 2√
n
(∫ b
a
|φ′n(t)|2dt) 1
2
yn ε
16≤ ε
∫ b
a
|φ′n(t)|2dt < 1
con lo que llegamos al absurdo de acotar N. ♦.
Este lema nos dice que siempre existe un K > 0 tal que si c(t) ≥ K, elproblema homogeneo asociado al (SL) inicial solo tiene la solucion trivial.
Veamoslo:Si v es solucion del problema homogeneo asociado es claro que
0 =
∫ b
a
[−v′′(t) + c(t)v(t)
]v(t) dt luego
∫ b
a(v′2(t) + c(t)v2(t))dt = v′(b)v(b)− v′(a)v(a) =
α
α′ v2(a) − β
β′v2(b) ≤ 4
≤(∣∣∣α
α′
∣∣∣ +
∣∣∣∣
β
β′
∣∣∣∣
)
‖v‖2∞
≤(∣∣∣α
α′
∣∣∣+
∣∣∣∣
β
β′
∣∣∣∣
) ∫ b
a(v′2(t) +C(1)v2(t))dt
Por tanto, si c(t) es suficientemente grande, la desigualdad solo es posible si
v(t) = 0.
Sea un problema de Sturm-Liouville
(SL)
−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α|+ |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0
cuyo problema homogeneo asociado tiene una solucion u1 no nula. Eso
quiere decir que el operador L : X → L2[a, b] tal que L(u) = −u′′ + cuadmite el autovalor 0 y su subespacio propio es kerL = [u1].
Sin embargo, como c : [a, b] → R es continua y, por tanto, acotada, siemprehay un µ suficientemente grande para asegurar que el problema de Sturm-Liouville
(SLµ)
−u′′(t) + (c(t) + µ)u(t) = f(t) + µu(t) en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α| + |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0
equivalente al inicial, tiene un problema homogeneo asociado que solo ad-mite la solucion trivial y, por tanto, a esta formulacion le podemos aplicar
los metodos conocidos que ya han sido expuestos (ver pag 234). La solucion
4Si α′ o β′ fuesen nulos, no aparecerıa el termino correspondiente
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 241
de SLµ es de la forma u = HGµ(f + µu) donde HGµ : L2[a, b] → X es un
operador de Hilbert-Schmidt autoadjunto e inyectivo.
Podemos calcular la funcion de Green Gµ y escribir
u = HGµ(f + µu) =
∫ b
a
Gµ(t, s)f(s)ds+ µ
∫ b
a
Gµ(t, s)u(s)ds
pero de aquı no podemos obtener una expresion explıcita de la solucion upuesto que aparece en ambos miembros de la ecuacion y no podemos de-
spejarla. Sin embargo, la informacion de que el operador HGµ es compacto,autoadjunto e inyectivo nos situa en la alternativa de Fredholm y nos permite
obtener una expresion de la solucion u del problema SL cuando f ∈ [u1]⊥.
Es claro que HGµ es el inverso de L + µI y, por tanto, su sucesion de
autovalores convergente a 0 es
(1
λn + µ
)
donde (λn) son los autovalores de
L y su correspondiente base hilbertiana de autovectores (un) son tambienlos autovectores de L. Podemos suponer sin restriccion que λ1 = 0 y su
autovector correspondiente es u1. Entonces,
u = HGµ(f + µu) =
∞∑
n=1
(f + µu|un)λn + µ
un = (u|u1)u1 +
∞∑
n=2
(f + µu|un)λn + µ
un
y, por tanto,
(u|un) =(f + µu|un)λn + µ
∀n ≥ 2
y despejando,
(u|un) =(f |un)λn
∀n ≥ 2.
El unico producto (u|un) que queda sin determinar y que, por tanto, es una
constante arbitraria k, es (u|u1) y, ası, la solucion se expresa en la forma
u = ku1 +
∞∑
n=2
(f |un)λn
un
Ejemplo 6.5.5
Resolver el problema
−u′′(t) − u(t) = cos t+ sen t , t ∈ [0, π]
u(0) + u′(0) = 0
u(π) + u′(π) = 0
Solucion:
242 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
La ecuacion homogenea u′′ + u = 0 tiene como solucion general u(t) =
C1 cos t+ C2 sen t e imponiendo las condiciones de contorno obtenemos
C1 +C2 = 0
−C1 −C2 = 0
⇒ C2 = −C1
Luego u1(t) = cos t − sen t es solucion no nula del problema homogeneo
asociado, el operador L : X → L2[0, π], tal que L(u) = −u′′ − u tiene elautovalor λ1 = 0 y kerL = [u1].
Segun la alternativa de Fredholm el problema tiene solucion si f ∈ [u1]⊥ y
este es el caso ya que
(f |u1) =
∫ π
0(cos t+ sen t)(cos t− sen t) dt =
∫ π
0cos 2t dt = 0
Como hemos dicho, la solucion viene dada por:
u(t) = cu1(t) +
∞∑
n=2
1
λn(un|f)un
donde c es una constante arbitraria, (λn) la sucesion de autovalores no nulosde L y (un) la correspondiente sucesion ortonormal de vectores propios.
Calculemos en primer lugar los autovalores de L, es decir, los valores de λtales que −u′′(t) − u(t) = λu(t), o bien −u′′(t) = (1 + λ)u(t).
La solucion general de esta ecuacion diferencial homogenea es distinta segunsea 1 + λ < 0, 1 + λ = 0 o 1 + λ > 0.
Si 1 + λ < 0, hacemos 1 + λ = −k2 y la ecuacion u′′(t) = k2u(t) tiene comosolucion u(t) = Aekt + Be−kt , con k = +
√k2, que derivada y sustituida en
las condiciones de contorno nos proporciona el sistema:
(1 + k)A+ (1 − k)B =0
(1 + k)ekπA + (1 − k)e−kπB =0
El determinante de este sistema lineal es∣∣∣∣
1 + k 1 − k(1 + k)ekπ (1 − k)e−kπ
∣∣∣∣= −2(1− k2) senh kπ
que, por ser k 6= 0, se anula unicamente para k2 = 1 ⇒ k = 1.
Ası pues, 1+λ = −k2 = −1 nos da el autovalor λ = −2 y el correspondiente
vector propio se obtiene resolviendo el sistema anterior para k = 1:
2A =0
2eπA =0
⇒ A = 0 ⇒ u−2(t) = e−t
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 243
Si 1 + λ = 0, la solucion general de la ecuacion diferencial u′′(t) = 0 es
u(t) = At+B. Derivada y sustituida en las condiciones de contorno nos da:
B + A = 0
Aπ +B + A = 0
⇒ A = B = 0
de modo que λ = −1 no es autovalor de L.
Si 1 + λ > 0, hacemos 1 + λ = k2 y la ecuacion −u′′(t) = k2u(t) tienecomo solucion general u(t) = A cos kt+B sen kt que, derivada y sustituidaen las condiciones de contorno, nos proporciona el sistema:
A+ kB = 0
(A+ kB) cos kπ + (B − kA) sen kπ = 0
Si A+kB = 0 y B−kA = 0 , la unica solucion es la trivial, A = 0 , B = 0,pero tambien puede ser B − kA 6= 0 y sen kπ = 0, es decir, kπ = nπ , n =
1, 2, · · · , con lo cual 1+λ = n2 y λn = n2−1 , n = 1, 2, · · · son autovalores deL. Los correspondientes vectores propios se obtienen resolviendo el sistema
anterior para k = n y sustituyendo en la solucion general:
A = −nB , un(t) = cosnt− 1
nsennt , n = 1, 2, · · ·
Para n = 1 se obtiene λ1 = 0 que, como ya sabıamos, es el autovalor aso-ciado a u1(t) = cos t− sen t .
Para expresar la solucion como se ha indicado falta normalizar la base devectores propios y calcular los productos escalares. Por simplicidad procede-
mos a la inversa, calculamos primero los productos escalares (u−2|f), (un|f)y despues dividimos por la norma:
(u−2|f) =
∫ π
0e−t(cos t+ sen t) dt = 1 + e−π
(un|f) =
∫ π
0
(
cosnt− 1
nsennt
)
(cos t+ sen t) dt =
−4
n2 − 1, n par
0 , n impar
o bien, sustituyendo n por 2n:
(u2n|f) =−4
4n2 − 1, n = 1, 2, · · ·
Como, ademas,
‖u−2‖2 =
∫ π
0e−2t dt =
1 − e−2π
2
‖u2n‖2 =
∫ π
0
(
cos 2nt− 1
2nsen 2nt
)2
dt =4n2 + 1
8n2π
244 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
la solucion del problema inicial es:
u(t) = cu1(t) +1
λ−2
(u−2|f)u−2
‖u−2‖2+
∞∑
n=1
1
λ2n
(u2n|f)u2n
‖u2n‖2=
= c(cos t− sen t) − e−t
1 − e−π+
∞∑
n=1
−32n2
π(4n2 − 1)2(4n2 + 1)(cos 2nt− 1
2nsen 2nt)
donde c es una constante arbitraria. ♦
Para finalizar tratamos los problemas de Sturm-Liouville en que las condi-
ciones de contorno no son homogeneas,
(SLNH)
−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = A con |α| + |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = B con |β| + |β′| > 0
Si podemos descomponer el problema en los dos subproblemas siguientes
SL
−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α| + |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0
y
P
−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t < b
αu(a) + α′u′(a) = A con |α|+ |α′| > 0
βu(b) + β′u′(b) = B con |β|+ |β′| > 0
y resulta que
1. SL es un problema de Sturm-Liouville cuya solucion sabemos calcularpor alguno de los metodos expuestos anteriormente,
2. en el problema P , es compatible el sistema lineal que resulta de im-
poner las condiciones de contorno no homogeneas a la solucion generalde la ecuacion diferencial,
entonces, la solucion del problema SLNH sera la suma de las soluciones de
SL y P .
Ejemplo 6.5.6
Resolver el siguiente problema de contorno:
u′′(t) + 4 u(t) = et en t ∈[
0,π
4
]
u(0) = 1
u(π
4
)
= −1
6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 245
Solucion:
Descomponemos el problema en los dos subproblemas
SL
−u′′(t) − 4u(t) = −et , t ∈[
0,π
4
]
u(0) = 0
u(π
4
)
= 0
y
P
−u′′(t) − 4u(t) = 0 , t ∈[
0,π
4
]
u(0) = 1
u(π
4
)
= −1
SL es un problema de Sturm-Liouville regular que vamos a resolver en primer
lugar. La solucion general de la ecuacion diferencial u′′ + 4u = 0 es u =A cos 2t+B sen 2t que, sustituida en las condiciones de contorno homogeneas,nos da
u(0) = 0 = A , u(π
4
)
= 0 = B
Ası, el problema homogeneo asociado a SL solo tiene la solucion 0 y, por
ello, SL tiene una unica solucion que podemos hallar a traves de la funcionde Green o mediante la representacion espectral del operador HG. Con-
struyamos en primer lugar la funcion de Green:Resolvemos el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y laprimera condicion de contorno para obtener el rayo [u1]:
u′′ + 4u =0 ⇒ u = A cos 2t+B sen 2t
u(0) = 0 =A
⇒ u1(t) = sen 2t
Procediendo de igual manera con la segunda condicion de contorno,
u′′ + 4u =0 ⇒ u = A cos 2t+B sen 2t
u(π
4
)
= 0 = B
⇒ u2(t) = cos 2t
W es, W =
∣∣∣∣
sen 2t cos 2t2 cos 2t −2 sen 2t
∣∣∣∣= −2, y la funcion de Green:
G(t, s) =
−u1(t) u2(s)
W=
sen 2t cos 2s
2, 0 ≤ t ≤ s ≤ π
4
−u2(t) u1(s)
W=
cos 2t sen 2s
2, 0 ≤ s ≤ t ≤ π
4
La solucion del problema (SL), teniendo en cuenta que debemos escribir la
ecuacion diferencial en la forma −u′′ − 4u = −et, es:
u(t) =
∫ π4
0
G(t, s)(−es) ds = −1
2cos 2t
∫ t
0
es sen 2s ds−
246 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
− 1
2sen 2t
∫ π4
tes cos 2s ds =
et
5− cos 2t
5− e
π4 sen 2t
5
Hallemos ahora la solucion de SL mediante la representacion espectral deloperador HG. Debemos calcular los autovalores de su inversa L, tal queL(u) = −u′′ − 4u, es decir, los valores de λ para los cuales existe un u, no
nulo, verificando −u′′ − 4u = λu, o bien, u′′ + (4 + λ)u = 0.La solucion general de esta ecuacion diferencial homogenea es distinta segun
sea 4 + λ < 0 , 4 + λ = 0 o 4 + λ > 0 .
Para 4 + λ < 0 , hacemos 4 + λ = −k2 y la solucion general de la ecuacion
diferencial u′′ − k2u = 0 es u(t) = Ae kt + Be− kt
Sustituyendo en las condiciones de contorno,
u(0) = 0 = A+ B
u(π
4
)
= 0 = Aekπ4 +Be−k
π4
⇒ A = B = 0, pues
el determinante del sistema vale −2 senhkπ
4, distinto de cero salvo para
k = 0, que no es el caso. Por tanto, los λ < −4 no son autovalores.
Para λ = −4 , u(t) = At+B
Sustituyendo en las condiciones de contorno,
u(0) = 0 = B
u(π
4
)
= 0 = Aπ
4+B
⇒ A = B = 0, y λ = −4 no es autovalor.
Para 4 + λ > 0 , hacemos 4 + λ = k2 y la solucion general de la ecuaciones u(t) = A cos kt + B sen kt
Sustituyendo en las condiciones de contorno,
u(0) = 0 = A
u(π
4
)
= 0 = A coskπ
4+B sen
kπ
4
Este sistema admite la solucion A = 0 , B 6= 0 si senkπ
4= 0.
Es decir, sikπ
4= nπ ⇒ k = 4n⇒ λ = 16n2 − 4 , n = 1, 2, · · ·
La sucesion de autovalores es (λn) = (16n2 − 4) y la correspondiente base
de vectores propios (un) = ( sen 4nt), que podemos normalizar para obtenerla base hilbertiana:
‖un‖2 =
∫ π4
0sen 24nt dt =
π
8, (en) =
(un
‖un‖
)
=
(√
8
πsen 4nt
)
La representacion espectral de HG es,
6.6. ECUACIONES DE LA FISICA-MATEMATICA 247
u = HG(f) =
∞∑
n=1
1
λn(f |en)en
Para f(t) = −et, se tiene:
u(t) =
∞∑
n=1
1
16n2 − 4
(√
8
π
∫ π4
0−et sen 4nt dt
)√
8
πsen 4nt =
= −2eπ4 + 4
5π
∞∑
n=1
sen 4nt
4n2 − 1
Resolvemos, por ultimo, el problema P
u′′(t) + 4 u(t) = 0 , t ∈[
0,π
4
]
u(0) = 1
u(π
4
)
= −1
La solucion general de la ecuacion diferencial esv(t) = A cos 2t + B sen 2t , que sustituida en las condiciones de contorno
permite calcular A y B:
v(0) = 1 = A , v(π
4
)
= −1 = B , v(t) = cos 2t− sen 2t
La solucion del problema propuesto, calculada a traves de la funcion deGreen, es:
u(t) =et
5− cos 2t
5− e
π4 sen 2t
5+ v(t) =
et
5+
4 cos 2t
5−
(
1 + eπ4
)
sen 2t
5
y calculada a traves de la representacion espectral del operador HG, es:
u(t) = cos 2t− sen 2t− 2eπ4 + 4
5π
∞∑
n=1
sen 4nt
4n2 − 1♦
6.6 Ecuaciones de la fısica-matematica
La teorıa de Sturm-Liouville combinada con el metodo de separacion de
variables permite resolver muchos problemas de la fısica gobernados por
ecuaciones en derivadas parciales que cumplen determinadas condicionesiniciales y de contorno. Ejemplos clasicos son el tratamiento de la ecuacion
de ondas y la ecuacion del calor.
Ejemplo 6.6.1 (Cuerda vibrante)
La funcion
U : (0, l)× (0,∞) → R ,
(x, t) 7→ U(x, t)
248 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
nos describe, en un instante t, la pequena ordenada y = U(x, t) de un punto
de abcisa x de una cuerda flexible de extremos 0 y l que tiene una masa µpor unidad de longitud y esta sometida a vibracion en el plano xy bajo una
tension constante τ , cuando satisface la ecuacion de ondas
Utt =τ
µ· Uxx en (0, l)× (0,∞)
Se quiere determinar la funcion U(x, t) con las condiciones
CC
U(0, t) = 0
U(l, t) = 0∀t ∈ (0,∞) y CI
U(x, 0) = f(x)
Ut(x, 0) = 0∀x ∈ (0, l)
Solucion:
Buscamos una solucion U(x, t) = X(x) ·T (t) en variables separadas pues,
en tal caso,T ′′
T=τ
µ
X ′′
X
y esta igualdad entre funciones de variables que se suponen independientes,
obliga a que ambas sean iguales a una constante k. Ası, aparecen los prob-lemas separados
X”− kµ
τX = 0
X(0) = 0, X(l) = 0
X(x) · T (0) = f(x)
y
T ′′ − kT = 0
T ′(0) = 0
o, si se prefiere,
(I)
X ′′ − kµ
τX = 0
X(0) = 0, X(l) = 0
X(x) = f(x)
y (II)
T ′′ − kT = 0
T ′(0) = 0
T (0) = 1
Para que (I) tenga solucion no nula, segun 6.5.1, se precisa que
k = −n2π2τ
l2µcon n ∈ N
y, en tal caso, la solucion es de la forma
Xn = An sen(nπx
l
)
El correspondiente problema (II) tiene, entonces, solucion general
A′n sen
(√τ
µ
nπt
l
)
+B′n cos
(√τ
µ
nπt
l
)
6.6. ECUACIONES DE LA FISICA-MATEMATICA 249
e imponiendo que T ′(0) = 0 y T (0) = 1 obtenemos la solucion
Tn = cos
(√τ
µ
nπt
l
)
Conseguimos, ası, una familia numerable de funciones
Un(x, t) = An cos
(√τ
µ
nπt
l
)
sen(nπx
l
)
que, por el principio de superposicion, nos da la solucion general
U(x, t) =
∞∑
n=1
An cos
(√τ
µ
nπt
l
)
sen(nπx
l
)
del problema
Utt =τ
µ· Uxx en (0, l)× (0,∞)
U(0, t) = 0 ∀t ∈ (0,∞)
U(l, t) = 0 ∀t ∈ (0,∞)
Ut(x, 0) = 0 ∀x ∈ (0, l)
Solo nos falta determinar los coeficientes An para imponer la ultima condicion
U(x, 0) = f(x) ∀x ∈ (0, l)
Esto se consigue obteniendo el desarrollo de Fourier de f respecto de lamisma base ortogonal en que tenemos desarrollada
U(x, 0) =∞∑
n=1
An sen(nπx
l
)
Ası,
f(x) =2
l
∞∑
n=1
(∫ l
0f(x) sen
(nπx
l
)
dx
)
sen(nπx
l
)
y, como el desarrollo es unico, deducimos que
An =2
l
∫ l
0f(x) sen
(nπx
l
)
dx ∀n ∈ N
Por tanto, la funcion
U(x, t) =2
l
∞∑
n=1
(∫ l
0f(x) sen
(nπx
l
)
dx
)
cos
(√τ
µ
nπt
l
)
sen(nπx
l
)
cumple la ecuacion de ondas y el resto de las condiciones exigidas. ♦
250 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Ejemplo 6.6.2 (Ecuacion del calor)
La funcion
U : (0, l)× (0,∞) → R ,(x, t) 7→ U(x, t)
nos describe, en un instante t, la temperatura de un punto de abcisa x de unabarra cilındrica, isotropa y homogenea de extremos 0 y l cuando la superficie
lateral de la barra esta aislada termicamente si satisface la ecuacion del
calor
Ut(x, t) =ν
cρUxx(x, t) 0 < x < l 0 < t <∞
donde ν, c, ρ son respectivamente el coeficiente de conductividad termica,
el calor especıfico y la densidad del material que constituye la barra. Enestas condiciones, las superficies isotermicas son las secciones transversales
y, en cada instante t, la temperatura de los puntos de la barra depende deuna unica variable espacial, la abscisa x.
Se quiere determinar la funcion U(x, t) cuando los extremos de la barra semantienen constantemente a temperatura cero y la temperatura de la barra
en el instante inicial viene dada por una funcion conocida f(x). Es decir, sequiere resolver el problema
Ut(x, t) = a2 Uxx(x, t) 0 < x < l 0 < t <∞U(0, t) = 0 , U(l, t) = 0
U(x, 0) = f(x)
donde a2 =ν
cρes el llamado coeficiente de termodifusion.
La aplicacion del metodo de separacion de variables
U(x, t) = X(x) T (t)
nos conduce, como en el ejemplo anterior, al problema de Sturm-Liouvillehomogeneo
(I)
X ′′(x)− k
a2X(x) = 0 , 0 < x < l
X(0) = 0 , X(l) = 0
al problema de condicion inicial
(II)
T ′(t)− kT (t) = 0
T (0) = 1, 0 < t <∞
y a la ecuacion
(III) X(x) = f(x)
6.6. ECUACIONES DE LA FISICA-MATEMATICA 251
Segun 6.5.1, el problema (I) tiene soluciones no nulas para los valores de k
tales quek
a2= −n
2π2
l2y, en ese caso, la solucion correspondiente es
Xn(x) = An sennπx
l
Para estos valores de k resolvemos el correspondiente problema (II):
T ′(t) = −n2π2a2
l2T (t)
T (0) = 1
y obtenemos la solucion
Tn(t) = e−n2π2a2 t
l2
Ası tenemos la sucesion de soluciones del problema inicial
Un(x, t) = An e−n2π2a2 t
l2 sennπx
l, n ∈ N
y, por el principio de superposicion, la solucion
U(x, t) =
∞∑
n=1
An e−n2π2a2 t
l2 sennπx
l
La condicion (III) nos permite escribir
U(x, 0) =∞∑
n=1
An sennπx
l= f(x)
y desarrollando f(x) en serie de Fourier respecto de la base de vectorespropios obtenida podremos identificar los coeficientes correspondientes. Por
tanto, la funcion
U(x, t) =2
l
∞∑
n=1
(∫ l
0f(x) sen
(nπx
l
)
dx
)
e−n2π2a2 t
l2 sen(nπx
l
)
♦
El metodo de separacion de variables tambien nos permite abordar proble-mas con las condiciones de contorno no homogeneas pero, en este caso,
debemos buscar la separacion en la forma
U(x, t) = X(x) · T (t) + ϕ(x)
252 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE
Si en el Ejemplo 6.6.1 las condiciones de controno fuesen
CC
U(0, t) = A
U(l, t) = B∀t ∈ (0,∞)
deberıamos resolver, en primer lugar, el problema
ϕ′′(x) = 0
ϕ(0) = A
ϕ(l) = B
cuya solucion es ϕ(x) =B −A
lx +A, y a continuacion, los problemas
(I)
X ′′ − kµ
τX = 0
X(0) = 0, X(l) = 0
X(x) = f(x) − ϕ(x)
y (II)
T ′′ − kT = 0
T ′(0) = 0
T (0) = 1
La solucion sera,
U(x, t) = ϕ(x) +2
l
∞∑
n=1
(∫ l
0
(f − ϕ)(x) sen(nπx
l
)
dx
)
cos
(√τ
µ
nπt
l
)
sen(nπx
l
)
Si en el Ejemplo 6.6.2 suponemos que los extremos de la barra se mantienena temperaturas fijas A y B, el problema a resolver es
Ut(x, t) = a2 Uxx(x, t) , 0 < x < l , 0 < t <∞U(0, t) = A , U(l, t) = B
U(x, 0) = f(x)
y, como antes, la solucion sera
U(x, t) = ϕ(x) +2
l
∞∑
n=1
(∫ l
0
(f − ϕ)(x) sen(nπx
l
)
dx
)
e−
n2π2a2 t
l2 sen(nπx
l
)
donde ϕ(x) =B − A
lx+A.
Capıtulo 7
TRABAJOS
1. Historial de una empresa de 110 trabajadores de los que 100 siguen enactivo.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
2. Condicionamiento de sistemas lineales.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
3. Inversa generalizada de Moore-Penrose
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
4. Alturas que alcanza el agua que ocupa el 80% del volumen de una vasijade cristal cerrada de forma dada (cilındrica, conica, troncoconica,prismatica, piramidal, piramidal truncada,...), cuando esta en las dife-
rentes posiciones de equilibrio.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
253
254 CAPITULO 7. TRABAJOS
i.
5. Estudio del periodo del movimiento de un pendulo simple en el vacıoy en el aire.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
6. A partir de una lista de complejos L con len(L) ≥ 10, genera la lista Qde todos sus cuadrivertices distintos y halla el q0 ∈ Q cuyo Steiner4(q0)
consiga la maxima reduccion relativa de longitud. ¿Cuantas capastiene cebolla(q0)?
De la lista Q extrae la sublista C de todos los cuadrilateros convexosy halla los de mayor y menor perımetro y los de mayor y menor area.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
7. Programacion de una funcion Steiner6(L) realizada por iteracion
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
8. Dada una lista L de puntos en el plano complejo, designamos H(L) ala longitud de su menor conexion hamiltoniana y S(L) a la longitud
de su conexion de Steiner.Designamos C(L) al porcentaje de ganancia relativa que obtenemos al
cambiar H(L) por S(L), es decir,
C(L) = 100H(L)− S(L)
H(L).
Si para cada natural n ≥ 3 llamamos L(n) = L ||L| = n y definimos
Cn = maxL∈L(n)
C(L), aparecen dos problemas:
1) La determinacion de listas optimas LOn ∈ L(n)
2) El calculo de las constantes Cn = C(LOn).Siempre podemos desdoblar un punto de una lista L ∈ L(n) para
obtener otra lista L′ ∈ L(n + 1) con la misma conexion de Steiner e
255
igual o mayor conexion hamiltoniana. Por tanto, la sucesion Cn es
monotona creciente y, como es acotada superiormente, (Cn) es conver-gente. Aparece ası un nuevo problema
3) El calculo de C∞ = limn→∞
Cn.
Sabemos que LO3 es el triangulo equilatero, que C3 = 50(2 −√
3) y
que C∞ > 501+√
32+
√3
pero, todo lo demas, esta sin resolver para n ≥ 4.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
9. ¿Cual es la conexion por cable de mınima longitud, entre las 20 ciu-dades mas pobladas de Galicia ?
(a) Grado
i.
(b) Master()
i.
10. Programar la evaluacion continua mediante una lista con etiquetas.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
11. Curvas de interes en ingenierıa
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
12. Problemas de Maxima y Mınima a elegir (al menos 2)
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
13. Algoritmo de Kruscal sobre arboles generadores mınimos
256 CAPITULO 7. TRABAJOS
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
14. Escoger una prueba de la formula de Stirling.
(a) Grado()
i.
(b) Master()
i.
15. Ejercicios propuestos por los propios alumnos
(a)
Bibliografıa
[1] Ciarlet, P.G. Introduction a l’analyse numerique matricielle et al’optimisation. Paris, Masson, 1990.
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