Índice

Unidad 5 Decibilidad.

5.1 Lenguajes Decidibles…………………….35.2 Los problemas de Halting……………….55.3 Decidibilidad de Teorías Lógicas………7

Unidad 6 Reducibilidad.

6.1 Problemas insolubles para la teoría de lenguajes……………………………………….106.2 Un problema simple insoluble……….136.3 Funciones computables……………….146.4 Reducibilidad de Turing……………….16Referencia bibliográfica…………………….18

1

Unidad 5 Decibilidad.

En lógica, el término decidible se refiere a la existencia de un método efectivo para determinar si un objeto es miembro de un conjunto de fórmulas.

Un sistema lógico o teoría es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.

Por otra parte, una teoría decidible semánticamente, es un sistema axiomático donde existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.

Ejemplo: La Lógica proposicional es decidible, porque existe para ella un algoritmo; la tabla de verdad tal que para cada fórmula que combina M formulas atómicas, hay un número máximo N = 2M de pasos tal que tras completar estos N pasos el algoritmo siempre decidirá si la fórmula es válida o no. Cada "paso" del algoritmo ha sido definido como una línea de la tabla de verdad.

La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento. Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.

Toda teoría completa recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica es no decidible sintácticamente.

5.1 Lenguajes Decidibles

2

Un lenguaje decidible es aquel lenguaje L para el cual existe una maquina de Turing que le puede aceptar cualquier cadena wÎL.

Hay lenguajes formados por cadenas tales que una maquina de Turing logra un estado final con las cadenas que reconoce y acepta, solamente. En este caso se dice que la máquina de Turing semidecide al lenguaje. Los lenguajes semidecididos por una MT se llaman recursivos numerables. Las gramáticas sin restricciones son las que generan los lenguajes recursivos numerables. De aquí en adelante será suficiente referirse a los lenguajes recursivos numerables, pues estos generalizan a los lenguajes recursivos, los cuales generalizan a los lenguajes libres de contexto, y estos a los lenguajes regulares. Lo anterior tiene relación directa con que los autómatas de Turing generalizan a los de la pila y estos a su vez a los autómatas finitos. Por otro lado, pese a que lenguajes formales más generales que los recursivos numerables no son reconocidos por un autómata de Turing, no existe hasta el momento ningún autómata más poderoso capaz de reconocerlos.

En términos de procedimientos, las cadenas de un lenguaje decidible corresponden a procedimientos que terminan, ya sea realizando lo que indica la palabra ó señalando que no tienen la capacidad de realizarlo. Para un lenguaje semidecidible, las cadenas decididas por la MT son instrucciones realizadas por la MT. De manera complementaria, las cadenas no decidibles por la MT corresponden a procedimientos que no terminan utilizando una maquina de Turing. A partir de lo dicho aquí tenemos la definición de algoritmo:

Un algoritmo es una implementación de una maquina de Turing tal que el conjunto de sus entradas es el lenguaje decidible.

Es decir, si un dado un conjunto de entradas bajo las cuales una MT logra un estado de parada para cada entrada, la maquina corresponde a la implementación de un algoritmo. Esta es la Tesis de Church – Turing. No es un teorema pues no se puede demostrar matemáticamente, de manera general y categórica. Es solo la afirmación de que el concepto informal del algoritmo corresponde a un objeto matemático. Al ser solo una afirmación no demostrable, puede suceder que luego fuera refudada. Para que esto ocurra, se necesitaría encontrar un autómata más potente que uno de Turing tal que fuese la implementación de un algoritmo. Si bien hay algunas propuestas interesantes que pretende generalizar a la MT, hasta la fecha ninguna de ellas ha sido aceptada para sustituir nuestro actual concepto de procedimiento comprable.

Por otro lado, mientras que los lenguajes computables son una infinidad numerable, los lenguajes no computables son una infinidad no numerable. Por ello, son más los lenguajes no computables o indecidibles. Una teoría lógica (TL) se define a partir de un conjunto de enunciados dados llamados axiomas, unas reglas de inferencia y

3

un esquema de derivación. A partir de los axiomas y aplicando la regla de inferencia y el esquema de derivación se infieren los teoremas de la teoría. El conjunto de teoremas de la teoría forma un lenguaje formal.

Si es posible definir una maquina de Turing tal que reconozca al lenguaje de los teoremas, este lenguaje es decidible y la teoría también lo es en consecuencia. Dicho en otras palabras, si el conjunto de teoremas visto como un lenguaje es reconocido por una maquina de Turing, entonces la TL es decidible. Y viceversa. Puede hablarse entonces de manera indistinta de teorías lógicas o de lenguajes decididles, como aquellos para los que existe una maquina de Turing capaz de reconocerlos. Luego la correspondencia entre la sintaxis de una teoría lógica (lenguaje formal) y reconocimiento simbólico del mismo por parte de un autómata queda establecida.

Ejemplo: Muestre que la colección de lenguajes decidibles por maquina de Turing para un alfabeto cualquiera es infinita, pero contable.

Solución:{Lenguajes independientes de contexto} es infinito

{Lenguajes independientes de contexto} {Lenguajes decidibles por Turing}

{Lenguajes decidibles por Turing}

{Lenguajes estructurados por frases} es contable

{Lenguajes decidibles por Turing} {Lenguajes estructurados por frases}

{Lenguajes decidibles por Turing} es contable

La colección de lenguajes decidibles es contable por ser un subconjunto de los lenguajes estructurados por frases (que son contables). Es infinita por que contiene a los lenguajes independientes de contexto, que son infinitos.

Los lenguajes decidibles en tiempo polinómico son aquellos lenguajes para los que una maquina de Turing puede determinar si una cadena pertenece al lenguaje. Implica reconocer el complemento del lenguaje.

5.2 Los problemas de Halting

4

El problema de “Halting” es el primer problema indecidible mediante maquinas de Turing. Equivale a construir un programa que te diga si un problema de ordenador finaliza alguna vez o no (entrando a un bucle infinito, por ejemplo)

Básicamente, Turing definió las bases de las computadoras modernas y planteo un problema sobre ellas, llegando a la conclusión de que no hay ningún algoritmo que lo resuelva. Es el problema de la detención (Halting problem); el problema de saber si un problema se cuelga cuando corre en la computadora. Turing demostró que el problema de la detención es indicidible, es decir, demostró que había problemas que una maquina no podía resolver.

Es meritorio el hecho que gracias a la equivalencias de maquinas de Turing y computadoras, se haya determinado que existen cálculos que no pueden ser detenidos en un tiempo razonable en ninguna computadora imaginable, o incluso, que no puede resolverse en lo absoluto, por ejemplo el problema de correspondencia de Post o el problema de predecir si una maquina de Turing cualquiera va a llegar a un estado final (conocido como el problema de Halting en ingles, o problema de la parada). Por todo esto el problema de Halting es un diagnostico que indica que un problema de decisión no es decidible.

El problema de la parada o problema de la detención para máquinas de Turing es el ejemplo de problema irresoluble más conocido. Consiste en determinar si una máquina de Turing se detendrá con cierta entrada, o bien quedará en un ciclo infinito. Este fue el primer problema que se demostró formalmente que no tenía solución.

El concepto de problema indecidible o irresoluble se aplica a problemas de decisión, es decir, problemas a los que podemos decir si tienen solución o no. Dentro de estos problemas, existe un conjunto al que no le podemos asignar una respuesta, ni afirmativa ni negativa: no existe un algoritmo que nos permita determinar si el problema tiene solución.

Una de las razones por la que es importante conocer que el problema de la parada no tiene solución, es que nos permite decidir si otros problemas son resolubles o no. El razonamiento a seguir sería: si suponiendo que un problema es decidible, podemos demostrar que el problema de la parada tiene solución, entonces podemos llegar a la conclusión de que el problema en cuestión no la tiene, por reducción al absurdo.

Ejemplo:

Definición

5

Sea M una máquina de Turing arbitraria con un alfabeto de entrada Σ. Sea. ¿Puede decidirse si la máquina M se detendrá con la entrada w?

Solución

La respuesta a esta pregunta es negativa. No se puede determinar si una máquina de Turing se detiene con una entrada arbitraria.

Demostración

Para demostrarlo, supongamos que el problema de la parada tiene solución, es decir, supondremos que existe una máquina de Turing que es capaz de determinar si otra máquina de Turing para con una entrada determinada.

Consideremos una máquina de Turing P, que recibe como entrada una máquina de Turing M y una cadena w codificada en la cinta y una a continuación de la otra (Mw), y que se encarga de ejecutar M sobre la cadena w. La máquina P parará y aceptará la entrada si M para con w, y parará y rechazará la entrada si M no para con w.

Modificamos la máquina P, creando una máquina P’ equivalente. Esta máquina no parará si M para con w, y parará si M no para con w.

Ahora crearemos una máquina D, cuya función es la siguiente. Recibe una máquina M, la pasa por una máquina que se encarga de copiar la máquina M a continuación. Por lo tanto, a la salida de la máquina copia, la cinta contendrá MM (la codificación de la máquina repetida). A continuación, D coge este resultado y lo pasa a través de P’. Con esto intentamos decidir si la máquina M para con la entrada M. Es decir, si M para con la entrada M, entonces D no para, y si M no para con la entrada M, entonces D para.

Por último, tomaremos una máquina D (denominaremos SD), y le aplicaremos como entrada una máquina D. SD aplica como entrada a la máquina que recibe, la misma máquina. Por lo tanto, esta máquina en principio parará si D no para con entrada D, y no parará si D para con entrada D. Pero si SD no para y si D para con entrada D, sabiendo que D=SD, llegamos a una contradicción, por que aplicar D a SD debería dar como resultado lo mismo que aplicar D sobre D. Del mismo modo para el otro caso. Por lo tanto, el problema de la parada no tiene solución.

5.3 Decidibilidad de Teorías Lógicas

6

• Definición

• Si una teoría es decidible, siempre podemos construir una máquina que verifique la pertenencia de cualquier oración a la teoría.

• Pero, ¿qué pasa con otras teorías? ¿Son todas las teorías de primer orden indecidibles? Respuesta: Hay algunas indecidibles y otras no.

Por ejemplo, la teoría de grupos es indecidible, pero la teoría de grupos conmutativos es decidible.

Decibilidad de las teorías lógicas. El desarrollo de la teoría de la compatibilidad ha ido íntimamente ligado al desarrollo de la lógica matemática. Esto ha sido así porque la cesibilidad de los distintos sistemas lógicos es una cuestión fundamental. Es bastante fácil ver que el cálculo proposicional es decidible. Church y Turing demostraron en 1936 que el cálculo de predicados no era decidible. Por otro lado, para cada una de las distintas teorías se ha ido estudiando su posible Decibilidad. Como ejemplo más ilustrativo, Tarski demostró que la teoría de los números reales era decidible.

Por otro lado, son muchos los problemas interesantes que se han demostrado computables. Todas las funciones construidas por recursividad primitiva o mineralización a partir de funciones calculables resultan ser calculables como consecuencia de los trabajos de Church y Turing. Pero además, otras funciones más complejamente definidas también son computables, siendo el resultado más significativo en relación con esta cuestión el dado por el siguiente teorema:

Primer teorema de Recursión. Todo operador entre funciones calculables que sea recursivo (esto es que se defina la imagen de f mediante una función calculable en términos de una parte finita de f), tiene una función parcial computable que es el menor punto fijo, es decir, esta función es un punto fijo y cualquier otro punto fijo del operador es una extensión de esa función.

Este teorema recibe su nombre porque podemos definir una función mediante una ecuación recursiva más general que la permitida por la recursividad primitiva, a saber dónde es un operador recursivo. El primer teorema de recursión nos dice que esta definición es posible; hay una función recursiva que satisface esta ecuación. Como en matemáticas se requiere que la definición sea unívoca, se dice que dicha ecuación define el menor punto fijo del operador. Así, y de acuerdo al primer teorema de recursión, la clase de las funciones calculables es cerrada bajo una muy general forma de definición por recursión.

7

A menudo se utiliza la técnica de reducir un problema a otro para comprobar si tiene o no solución efectiva. La estrategia en el caso de la respuesta negativa es la siguiente, si se reduce de forma efectiva un problema sin solución efectiva a otro problema (mediante una función calculable), entonces este nuevo problema tampoco tendrá solución efectiva. La razón es muy simple, si tuviese solución efectiva, componiendo el algoritmo solución con el algoritmo de transformación obtendríamos una solución para el problema efectivamente irresoluble. En sentido inverso, si se reduce un problema a otro para el que se conoce una solución efectiva, entonces componiendo se obtiene una solución para el primer problema. Esta técnica es muy útil y se utiliza a menudo. Por otro lado, esta misma técnica es muy empleada en el campo de la complejidad algorítmica. Para asegurarse de que un problema está en una clase de complejidad, basta reducir el problema a otro de dicha clase sin más que asegurarse que la reducción se realiza en la correspondiente clase de complejidad.

En resumen tenemos que:

La palabra decidible se refiere a la existencia de un método efectivo para determinar si un objeto es miembro de un conjunto de fórmulas. Un sistema lógico o teoría es decidible si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible.

Un sistema lógico o teoría es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidibleEl problema de la parada o “Halting”” es el primer problema indecidible mediante maquinas de Turing.

El problema de la parada o problema de la detención para máquinas de Turing es el ejemplo de problema irresoluble más conocido. Consiste en determinar si una máquina de Turing se detendrá con cierta entrada, o bien quedará en un ciclo infinito.Turing definió las bases de las computadoras modernas y planteo un problema sobre ellas, llegando a la conclusión de que no hay ningún algoritmo que lo resuelva.

El desarrollo de la teoría de la computabililidad esta relacionada al desarrollo de la lógica matemática. Esto se debe a que la decibilidad de los sistemas lógicos es fundamental.

Todas las funciones construidas por recursividad primitiva o minimalización a partir de funciones calculables resultan ser calculables como consecuencia de los trabajos de Church y Turing.

8

Unidad 6 Reducibilidad.

• Se dice que un problema L1 se reduce en tiempo polinomial determinístico a otro problema L2, si asumiendo que existe un algoritmo A2 en P que resuelve L2 es posible construir un algoritmo A1 en P que resuelva L1.

• Escribiremos L1 W L2 para significar que L1 se reduce a L2. Intuitiva: Una problema P1 se reduce polinomialmente a otro problema P2, si existe un algoritmo que transforme una instancia del problema P1 en una instancia del problema P2 en tiempo polinomial determinístico.

Ejemplo

• Ordenar se reduce a encontrar el menor

• Sabemos que existe Menor (i; j), que devuelve el elemento menor del segmento del arreglo A [i, j].

PROCEDIMIENTO Ordena (A; n)

COMIENZA

PARA i =1 A n HAZ

j = Menor (i; n)

Intercambia (i; j)

9

FINPARA

TERMINA

6.1 Problemas insolubles para la teoría de lenguajes.

Problemas de decisión.

Un problema de decisión (PD) es aquel formulado por una pregunta (referida a alguna propiedad) que requiere una respuesta de tipo “si/no”.

Un problema de decisión es:

Soluble si existe un algoritmo total para determinar si la propiedad es verdadera (Existe una MT que siempre para al resolver el problema).

Parcialmente soluble si existe un algoritmo parcial para determinar si la propiedad es verdadera (existe una MT que resuelve el problema, pero puede no parar).

Insoluble si no existe un procedimiento efectivo para determinar si la propiedad es verdadera (no existe una MT). Ejemplos de problemas de decisión:¿Existe un algoritmo para decidir si un número natural cualquiera es par?

Si es soluble.

 ¿Existe un algoritmo para decidir si dos autómatas finitos cualesquiera son equivalentes?

Si es un problema soluble.

10

 ¿Existe un algoritmo para determinar si una gramática es ambigua o no?

No es insoluble.

Muchos problemas insolubles son paradójicos en su naturaleza. Ejemplo: la paradoja de Russell.

Ejemplo

1.- Sea el problema Pacept el siguiente problema:

Pacept: ¿Existe un procedimiento efectivo capaz de determinar si una máquina de Turing acepta una determinada cadena α? Otra manera de formular el problema sería:

Pacept: ¿Existe un procedimiento efectivo capaz de determinar si una determinada cadena, α, pertenece al lenguaje que reconoce la máquina de Turing T?

Para demostrar que Pacept no es soluble, comenzaremos suponiendo que lo es, llegando de esta manera a un absurdo. Este absurdo tendrá lugar debido a que la solubilidad de Pacept implica la solubilidad de Pdet. Expresado de otra manera, demostramos que Pdet se reduce a Pacept. Demostración: Supongamos que Pacept es un problema de decisión soluble. Al ser un problema soluble, entonces existe un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing), X, que resuelve Pacept. X toma como datos de entrada la descripción de una máquina de Turing T y una cadena α y determina en un tiempo finito si T acepta o no a la cadena α. Es decir X recibe como entrada al par (T,α) y retorna un 1 si T acepta α, mientras que devuelve la salida 0 si T no acepta α.

Construyamos a partir de X, un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing) Y

La máquina Y recibe como entrada un par (T’, α), la cadena de ambos problemas es la misma, lo que necesitamos es un proceso adicional que modifique T’ de manera que las respuestas de X, respondan el problema de la detención. Este proceso adicional se lleva a cabo en la máquina universal ΔX que realiza lo siguiente:

a. Recibe como dato de entrada la máquina de Turing T’.

b. Modifica T’ manteniendo su definición de quíntuplas pero indicando que todos los estados son aceptadores.

c. Retorna la máquina modificada con el nombre T.

11

Combinando las máquinas X y ΔX, tenemos la máquina universal Y que tiene el siguiente comportamiento:

1. Y recibe como entrada el par (T’, α).

2. La máquina universal Y utiliza ΔX, la cual a partir de T’ construye T.

3. El par (T, α) es ingresado a la máquina universal X.

4. Si la respuesta de X es 1 entonces T acepta α pero entonces T’ se detiene sobre α.

Dado que T se comporta como T’ solo que siempre que se detiene acepta, podemos afirmar que T’ se detiene sobre α y que por lo tanto Y emite un 1

5. Si la respuesta de X es 0 entonces T no acepta α pero entonces T’ no se detiene sobre α.

Dado que T tiene a todos sus estados como aceptadores, significa que para no aceptar la cadena, la única posibilidad es que T no se haya detenido. Como T se comporta como T’, podemos afirmar que esta tampoco se detiene y por lo tanto Y emite un 0, ya que T’ no se detiene sobre α.

6.2 Un problema simple insoluble.

Recordemos el Lema de Bombeo para GLC's: Sea L un LLC. Existe

una constante tal que si es una palabra de longitud al menos

n entonces la palabra se puede descomponer como de manera

que

Ahora bien todo maquina de Turing es equivalente, mediante la adición de estados redundantes, a una máquina de Turing tal que toda computación terminal involucra al menos tres DI's. De aquí se tiene el Lema 3.1   Sea M una máquina de Turing. Sea CM el conjunto de computaciones terminales en M. Entonces

Demostración:

12

Si L (M) fuera infinito y CM libre de contexto se contra diría al Lema de

Bombeo. Es evidente, pues todo lenguaje finito es libre de contexto.

6.3 Funciones computables.

Las funciones computables son el objeto básico de estudio de la teoría de la computabilidad y consisten en las funciones que pueden ser calculadas por una máquina de Turing.

Introducción

Las funciones computables son una formalización de la noción intuitiva de algoritmo y según la Tesis de Church-Turing son exactamente las funciones que pueden ser calculadas con una máquina de cálculo. La noción de la computabilidad de una función puede ser relativizada a un conjunto arbitrario de números naturales A, o equivalentemente a una función arbitraria f de los naturales a los naturales, por medio de máquinas de Turing extendidas con un oráculo por A o f. Tales funciones puede ser llamados A-computable o f-computable respectivamente. Antes la definición precisa de una función computable los matemáticos usaban el término informal efectivamente computable.Las funciones computables son usadas para discutir computabilidad sin referirse a ningún modelo de computación concreto, como el de la máquina de Turing o el de la máquina de registros. Los axiomas de Blum pueden ser usados para definir una teoría de complejidad computacional abstracta sobre el conjunto de funciones computables.Según la Tesis de Church-Turing, la clase de funciones computables es equivalente a la clase de funciones definidas por funciones recursivas, cálculo lambda, o algoritmos de Markov.

13

Alternativamente se pueden definir como los algoritmos que pueden ser calculados por una máquina de Turing, una máquina de Post, o una máquina de registros.En teoría de la complejidad computacional, el problema de determinar la complejidad de una función computable esta conocido como un problema de funciones.

Una función parcial

Se llama parcialmente computable si el gráfico de f es un conjunto recursivamente enumerable. El conjunto de funciones parcialmente computables con un parámetro es normalmente

escrito   o   si el número de parámetros puede deducirse del contexto.

Una función total

Se llama computable si el gráfico de f es un conjunto recursivo. El conjunto de funciones totalmente computables

con un parámetro normalmente se escribe   o  .

Una función computable f se llama predicado computable si es una función con valor booleano, es decir

A veces, por razones de claridad, se escribe una función computable

como

Podemos fácilmente codificar g en una nueva función

Usando una función de pares.

Propiedades:

El conjunto de las funciones computables es numerable.

Si f y g son funciones computables entonces f + g, fg y fog son

funciones computables.

Las funciones computables son definibles aritméticamente.

14

Una función con valor booleano f es un predicado computable si

y sólo si el lenguaje   es recursivo.

Ejemplo de la vida real:

A: Por ejemplo suponiendo que quieres hacer un nuevo platillo. Esto podría ser fácil si se tuviera una receta.

B: Así tú puedes reducir el problema encontrando los ingredientes correctos, al problema de obtener la receta exacta.

6.4 Reducibilidad de Turing.

Post propuso un camino para obtener un conjunto no completo para la reductibidad de Turing, definiendo y estudiando reducibilidades intermedias.

Así, las diferencias importantes entre la reducción M y la de Turing son obviamente el poder efectuar más de una pregunta, y en segundo lugar el poder “hacer lo contrario” de lo que indica la respuesta; pero la propiedad realmente relevante resulta ser un poder que cada pregunta dependa esencialmente de las respuestas obtenidas a preguntas anteriores (“adaptabilidad” de la reducción).

Es posible definir reducibilidades intermedias, entre ellas las reducciones por la tabla de variedad, que no son adaptativas.

Y, en efecto, una versión reforzada de los conjuntos simples, los hipersimples, proporciona conjuntos que no son completos respecto de la reductibilidad por tablas de verdad. Post demostró este hecho, y construyo un conjunto hipersimple; nosotros lo tenemos fácil por que, de hecho, ya lo tenemos: el propio conjunto SK no solo es simple si no hipersimple.

15

Así mismo, propuso un concepto de hiper-hipersimple, y demostró que existen, en la esperanza de que no fueran completos respecto reducciones de Turing.

La idea era procurar que los complementarios fueran “lo más delgados posible” en cierto sentido intuitivo: en un inmune “no cabe” un recursivamente enumerable y en un hiperinmune (complementario de un hipersimple) “el siguiente elemento esta siempre demasiado lejos” para lo que puede lograr enumerar una función recursiva.

Sin embargo más adelante se estableció que existen hiper-hipersimples que son T-completos e incluso que existen recursivamente numerables maxi males respecto a la inclusión, y por tanto con complementario “lo más delgado posible” en este sentido intuitivo, y que son T-completos.

La solución finalmente requirió un concepto técnico nuevo, las construcciones por métodos de prioridad, que extendieron otra de las varias contribuciones de Post. Merece la pena comentar que actualmente existen varias demostraciones diferentes, algunas de las cuales pueden considerarse la culminación del programa estructural de Post; pese a lo cual, los métodos de prioridad han de verse como el camino apropiado de solución.

En resumen tenemos:

La Reducibilidad es una forma de probar que los problemas son indecidibles (no se pueden resolver).

Un problema de decisión (PD) es aquel formulado por una pregunta (referida a alguna propiedad) que requiere una respuesta de tipo “si/no”.

Las funciones computables son las funciones que pueden ser calculadas con una máquina de cálculo, tales funciones puede ser llamados A-computable o f-computable.

Dichas funciones son usadas para discutir computabilidad sin referirse a ningún modelo de computación concreto, como máquina de Turing o máquina de registros.

16

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Decidibilidadhttp://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/teoriadelacomputacion/t51.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_paradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_computablehttp://www.buenastareas.com/ensayos/Teoria-De-La-Computacion/1571352.html

Teoría de autómatas y lenguajes formalesDeán kelleyPearson educación

Teoría de la computaciónJ. Gleen Bookshear

17