1

Capítulo 11. La teoría del campo eléctrico describe los fenómenos eléctricos.

Durante el segundo viaje de Cristóbal Colón a América, sus naves fueron envueltas en una tormenta, y las

puntas de los mástiles comenzaron a resplandecer con una fantasmal flama azulada. Los navegantes de ese

tiempo interpretaron ese resplandor azul como un signo de que las naves estaban bajo la protección de San

Elmo, el patrón de los navegantes, así que ellos llamaron a las

"flamas" azules fuego de San Elmo (Figura 11.1).

Figura 11.1 El espeluznante resplandor del fuego de San Elmo en los mástiles de una nave.

A través de la historia la gente ha escrito acerca de ese extraño

resplandor. Julio César reportó que "en el mes de febrero, cerca

de la segunda guardia nocturna, súbitamente surgió una densa

nube seguida por una lluvia de granizo, y la misma noche las

puntas de las lanzas de la Quinta Legión parecieron

encenderse". Los astronautas han visto resplandores similares

sobre las naves espaciales.

¿Cuál es la causa de este escalofriante fenómeno? ¿Por

qué se presenta más frecuentemente durante las

tormentas?

Descubrirás las respuestas a estas preguntas conforme

continúes estudiando el fenómeno asociado con las cargas

eléctricas. En este capítulo, comenzarás por aprender

cómo el conocimiento de las fuerzas relacionadas con las

cargas eléctricas conduce a la idea de campos, y

compararás diferentes tipos de campos eléctricos. Luego

aprenderás cómo la fuerza es utilizada para definir la

intensidad de campos eléctricos. Finalmente, estudiarás el movimiento de cargas en el campo

eléctrico y explicarás las interacciones eléctricas utilizando la ley de conservación de la energía.

11.1 Fuerzas y campos

Los antiguos filósofos griegos explicaron la mayoría de los tipos de movimiento como el resultado

de fuerzas "naturales" o "violentas". Ellos pensaban que las fuerzas violentas causan movimiento

como resultado de una fuerza ejercida por un cuerpo en contacto con otro (Figura 11.2). Pensaron

además que las fuerzas naturales causan el movimiento de objetos hacia su "elemento natural"

(Figura 11.3). Sin embargo, los griegos encontraron otro tipo de movimiento más difícil de explicar.

Observarás este tipo de movimiento en la siguiente actividad.

Figura 11.2 Las fuerzas ejercidas por los caballos atados al carro causan el movimiento “violento” del carro.

2

La barra de goma parece ser capaz de ejercer un tipo de fuerza violenta sobre los vellos de tu brazo,

sin que haya contacto visible. Este tipo de fuerza, en el que un objeto puede ejercer una fuerza sobre

otro objeto sin que estén en contacto, fue clasificada como "acción a distancia". Para explicar la

"acción a distancia," los griegos propusieron la teoría del efluvio.

De acuerdo con esta teoría, todos los objetos están rodeados por efluvio. Esta sustancia invisible está

hecha de minúsculos átomos semejantes a cuerdas que son emitidos por el objeto y que pulsan atrás

y adelante. Conforme el efluvio se extiende hacia otros cuerpos, los átomos de los diferentes objetos

se entrelazan. Su efluvio eventualmente los arrastra uno hacia otro. La teoría del efluvio ayudó a

explicar lo que parecía ser una "acción a distancia". Aunque el efluvio era invisible, continuaba

siendo una forma de contacto entre los objetos.

Campos

En el siglo XVIII, los científicos, incluyendo a Newton, trataron de determinar por qué un objeto

puede ejercer una fuerza sobre otro objeto

sin tocarlo. Estos científicos intentaron

explicar la "acción a distancia", tales como

las trayectorias curvas de una pelota

lanzada o el efecto de una pieza de ámbar

cargada sobre el pelo del brazo de una

persona. Al darse cuenta que ni las

fuerzas "naturales" o "violentas" ni el

"efluvio" podían explicar la gravedad o las

fuerzas eléctricas, los científicos

desarrollaron el concepto de campo para

describir estas fuerzas.

Un campo es definido como la región de

influencia que rodea a un objeto. El

concepto de campo ayuda a explicar la ley

de gravitación universal, la cual se estudió

en el Capítulo 4.

Considera un módulo espacial viajando

Carga una barra de goma o de plástico

frotándola con piel o con tu pelo y

acércala lentamente a los vellos de tu

brazo. No toques los vellos de tu brazo.

Observa lo que ocurre.

1.- ¿Cuál es la evidencia de que la barra

cargada afecta los vellos de tu brazo aunque no

haya contacto entre ellos?

2.- ¿Es la fuerza ejercida por la barra sobre los

vellos de tu brazo atractiva o repulsiva?

3

hacia la Luna (Figura 11.4). Acercándose a su destino lunar, el módulo comienza a experimentar el

incremento de la influencia de la Luna. Como resultado, el movimiento del módulo comienza a

seguir una trayectoria curva, similar al movimiento de un proyectil de un objeto lanzado

horizontalmente a través del aire cerca de la superficie terrestre.

Como establece la ley de Newton, el movimiento de cualquier objeto puede seguir una trayectoria

curvada solamente cuando es afectado por una fuerza distinta de cero que tiene una componente

perpendicular. En el espacio, esto le ocurre al módulo espacial cuando este está cerca de la Luna, de

manera que el espacio próximo a la Luna debe ser distinto al espacio en el que no están presentes

grandes objetos como la Luna. A partir de esto, podemos inferir que existe un campo alrededor de

un gran objeto, tal como la Luna. Cuando otros objetos entran a este campo, interactúan con la Luna.

Similarmente, la Tierra tiene un campo. La fuerza gravitacional actúa sobre otros objetos que entran

a este campo. Recuerda del capítulo 4 que este campo alrededor de los objetos es llamado campo

gravitacional.

Michael Faraday (1791-1867) desarrolló el concepto de campos para explicar los fenómenos

eléctricos. Él determinó que el espacio alrededor de una barra de goma debe ser distinto cuando la

barra está cargada que cuando no lo está. Las cargas que están sobre la barra crean un campo

eléctrico alrededor de ella. Una fuerza electrostática actúa sobre otro objeto cargado cuando es

colocado en dicho campo. Existe un campo eléctrico rodeando toda carga u objeto eléctricamente

cargado. El campo puede estar en el espacio vacío, independientemente de que en él se encuentre

una carga u objeto cargado.

Aunque la teoría del campo es una poderosa herramienta para describir fenómenos y predecir

fuerzas, los físicos aún debaten cómo los objetos realmente ejercer fuerzas a distancia. En el capítulo

17 se describe cómo la teoría cuántica proporciona un modelo extremadamente preciso para

describir tales fuerzas.

Magnitud y dirección de un campo eléctrico.

El campo eléctrico que rodea a un objeto cargado, tiene tanto magnitud como dirección. Por tanto, un campo

eléctrico es clasificado como un campo vectorial. En todo punto que rodea a una carga, el campo puede ser

representado mediante una flecha vectorial. La longitud del vector representa la magnitud del campo eléctrico

y la punta de la

flecha indica la

dirección en tal

punto.

Por definición, la

dirección del campo

eléctrico alrededor

de una carga es la

dirección de la

fuerza

experimentada por

una pequeña carga

de prueba positiva

colocada en el

campo eléctrico

(Figura 11.5). Una

4 carga de prueba es una carga con una magnitud suficientemente pequeña de manera que no perturbe la carga

de la carga fuente y por tanto su campo

eléctrico.

Podemos determinar la magnitud del

campo eléctrico que rodea a una carga

puntual, a partir del efecto sobre otra

carga colocada en el campo eléctrico. Si

una pequeña carga de prueba positiva es

colocada en el campo, esta carga

experimentará una fuerza mayor cuando

está próxima a la carga que produce el

campo, que cuando esta está alejada de

ella.

Por definición, el campo eléctrico E en un punto dado es la razón de la fuerza eléctrica ejercida

sobre la carga colocada en tal punto, a la magnitud de tal carga. El campo eléctrico puede ser

calculado utilizando la ecuación

𝐸 =𝐹𝑒

𝑞 ...donde 𝑞 es la magnitud de la carga de prueba en coulomb (C); 𝐹𝑒 es la

fuerza eléctrica sobre la carga en newton (N); y 𝐸 es la intensidad del campo eléctrico en

dicho punto, expresada en newton por coulomb (N/C), en la dirección que se definió

previamente.

Ejemplo 11.1

Una esfera con una carga negativa de 2.10 x 10-6

C experimenta una fuerza electrostática de

repulsión de 5.60 x 10-2

N cuando está colocada en el campo eléctrico producido por una

fuente de carga (Figura 11.7). Determinar la magnitud del campo eléctrico producido por la

fuente de carga en el punto donde se localiza la esfera.

Paráfrasis: La magnitud del campo eléctrico es 2.67 x 104 N/C en el punto dado.

5 La ecuación para determinar la magnitud del campo eléctrico que rodea a una carga puntual, tal como la

mostrada en la Figura 11.8, puede ser deducida matemáticamente como sigue:

… donde es la magnitud de la carga fuente que produce el campo eléctrico, en coulomb (se ignora el signo

de la carga); es la distancia desde el centro de la carga fuente a un punto específico en el espacio, en

metros; es la constante de Coulomb (8.99 x 10 9 N m

2 /C

2) y | | es la magnitud del campo eléctrico, en

newton por coulomb.

Frecuentemente, más de una carga crea un campo eléctrico en un punto particular en el espacio. En tales

casos puede aplicarse el principio de superposición para vectores. De acuerdo con este principio, los campos

constituidos por varias fuentes se superponen para formar un único campo total. El vector que especifica el

campo total en cualquier punto es simplemente la suma vectorial de los campos de las fuentes individuales,

como se muestra en los siguientes ejemplos. El ejemplo 11.3 muestra cómo calcular el campo eléctrico total

en un punto en una situación unidimensional.

|𝐸 | =𝑘 𝑞

𝑟2=

9 × 109 𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 1.70 × 10−6 𝐶

2.20 × 10−2 𝑚 2= 3.16 × 107

𝑁

𝐶

Ejemplo 11.2

Determinar el campo eléctrico en la posición P que está a 2.20 x 10-2

m desde el centro

de una carga puntual negativa de 1.70 x 10-6

C.

Análisis y solución:

La carga fuente que genera el campo eléctrico es 𝑞. Por tanto,

Puesto que la carga fuente es negativa y la dirección del campo se define como la

dirección de la fuerza electrostática que actúa en una carga de prueba positiva, el campo

eléctrico se dirige hacia la carga fuente.

Paráfrasis: El campo eléctrico en el punto P es 3.16 x 107 N/C [hacia la carga fuente].

Ejemplo 11.3

Dos esferas positivamente cargadas, A y B, con cargas de 1.50 x 10-6

C y 2.00 x 10-6

C,

respectivamente, están separadas una distancia de 3.30 x 10-2

m. Determinar el campo eléctrico total en

el punto P localizado a la mitad de la distancia entre los centros de las dos esferas (Figura 11.9).

6

En el ejemplo 11.4 se muestra cómo determinar el campo eléctrico total en un punto, originado por dos

cargas en una configuración bidimensional.

𝑟𝑞𝐴 𝑎 P = 3.30 × 10−2 𝑚

2= 1.65 × 10−2 𝑚

|𝐸 𝑞𝐴| =𝑞𝐴

𝑟𝑞𝐴 𝑎 P 2 =

9 × 109 𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 1.50 × 10−6 𝐶

1.65 × 10−2 𝑚 2= 4.96 × 107

𝑁

𝐶

|𝐸 𝑞𝐵| =𝑞𝐵

𝑟𝑞𝐵 𝑎 P 2 =

9 × 109 𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 2.00 × 10−6 𝐶

1.65 × 10−2 𝑚 2= 6.61 × 107

𝑁

𝐶

𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸 𝑞𝐴 + 𝐸 𝑞𝐵

Análisis y solución

Cómo se muestra en la Figura 11.10, el campo eléctrico creado por 𝑞𝐴 en el punto P está

dirigido hacia la derecha, mientras que el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞𝐵 está

dirigido hacia la izquierda. Consideremos positiva la dirección hacia la derecha.

La distancia entre 𝑞𝐴 y el punto P es:

Para calcular el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞𝐴, usamos:

Para calcular el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞𝐵, usamos:

Sumando los vectores podemos determinar el campo eléctrico total en el punto P:

= 4.96 × 107 𝑁

𝐶 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 + 6.61 × 107 𝑁

𝐶 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 = 1.65 × 107 𝑁

𝐶 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎

Paráfrasis: El campo eléctrico total en el punto P es 1.65 x 107 N/C hacia la izquierda.

Ejemplo 11.4

Calcular el campo eléctrico total en un P que está a 4.00 x 10-2

m de una pequeña esfera

metálica A que tiene una carga negativa de 2.10 x 10-6

C y a 3.00 x 10-2

m de otra esfera similar

B que tiene una carga positiva de 1.50 x 10-6

C (Figura 11.11).

7

|𝐸 𝑞𝐴| =𝑞𝐴

𝑟𝑞𝐴 𝑎 P 2 =

9 × 109 𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 2.10 × 10−6 𝐶

4.00 × 10−2 𝑚 2= 1.18 × 107

𝑁

𝐶

|𝐸 𝑞𝐵| =𝑞𝐵

𝑟𝑞𝐵 𝑎 P 2 =

9 × 109 𝑁 ∙𝑚2

𝐶2 1.50 × 10−6 𝐶

3.00 × 10−2 𝑚 2= 1.50 × 107

𝑁

𝐶

Análisis y solución:

Puesto que 𝑞𝐴 es una carga negativa, el campo eléctrico creado por dicha carga en el punto P, está

dirigido desde tal punto hacia 𝑞𝐴.

Puesto que 𝑞𝐵 es una carga positiva, el campo eléctrico creado por 𝑞𝐵 en el punto P está

dirigido desde 𝑞𝐵 hacia el punto P.

Determinar el campo eléctrico creado por 𝑞𝐴 en el punto P:

Determinar el campo eléctrico creado por 𝑞𝐵 en el punto P:

Las direcciones de 𝐸 𝐴 y 𝐸 𝐵 se muestran en la Figura 11.12

Descomponer cada campo eléctrico en componentes x y y (ver Figuras 11.13 y 11.14).

Utilizar adición vectorial para determinar el campo eléctrico resultante.

8

En el capítulo 10, aprendiste que hay dos tipos de cargas eléctricas que interactúan y son afectadas por

fuerzas eléctricas. En esta sección has aprendido que esas cargas están rodeadas por campos eléctricos -

regiones de influencia eléctrica alrededor de cada carga. Las fuerzas electrostáticas afectan las cargas

colocadas en esos campos. Los campos explican cómo dos cargas pueden interactuar, aunque no haya

contacto entre ellas. Puesto que los campos eléctricos son campos vectoriales, puede utilizarse la adición

vectorial para determinar el campo eléctrico total en un punto en la presencia de más de una carga en

situaciones unidimensionales y bidimensionales.

11.2 Líneas de campo eléctrico y potencial eléctrico.

En la sección 11.1, aprendiste que el campo eléctrico de una carga en un punto P puede ser representado

mediante una flecha vectorial, cómo se muestra en la figura 11.16. La longitud y dirección de la flecha

vectorial representa la magnitud y dirección del campo eléctrico en ese punto. Midiendo la fuerza eléctrica

ejercida sobre una carga de prueba en un número infinito de puntos alrededor de una carga fuente, puede ser

asignado a cada punto en el espacio un valor vectorial del campo eléctrico alrededor de la carga

fuente. Esto crea un mapa tridimensional del campo eléctrico alrededor de la carga fuente (Figura

11.16).

9

Líneas de campo eléctrico.

Para muchas aplicaciones, sin embargo, se utiliza un método mucho más

simple para representar campos eléctricos. En lugar de trazar un número

infinito de flechas, se pueden trazar líneas, llamadas líneas de campo

eléctrico, para representar el campo eléctrico. Las líneas de campo

eléctrico son trazadas de manera tal que exactamente una línea pase por

cualquier punto dado dentro del campo, y la tangente a dicha línea de

campo en tal punto, esté en la dirección del campo eléctrico vectorial en

dicho punto. Puede asignarse a las líneas de campo una dirección tal, que

la dirección de la línea tangente en un punto dado, concuerde con la

dirección del campo eléctrico en tal punto, la cual, como se ha visto

previamente, coincide con la dirección de la fuerza ejercida por el campo

sobre una carga de prueba. Esto se ilustra en la figura 11.16 b,

correspondiente a una imagen tridimensional de las líneas de campo de

dos cargas de igual magnitud, pero de distinto tipo, configuración llamada dipolo eléctrico.

Lo anterior puede conseguirse siguiendo las siguientes reglas al trazar líneas de campo eléctrico alrededor de

una carga puntual:

a) Las líneas de campo eléctrico debidas a una fuente de

carga positiva, inician en la carga y se extienden

radialmente desde la carga hacia infinito.

b) Las líneas de campo eléctrico debidas a una fuente de

carga negativa, vienen desde infinito e inciden radialmente

y terminan en la fuente de carga negativa.

c) La densidad de líneas representa la magnitud del campo

eléctrico. En otras palabras, entre más cercanas y mayor

sea el número de líneas, más intenso es el campo eléctrico.

La Figura 11.17 muestra cómo trazar líneas de campo eléctrico alrededor

de una y de dos cargas puntuales negativas. Las figuras fueron trazadas

siguiendo las reglas anteriores.

10

Conductores y líneas de campo eléctrico

En un conductor, los electrones se mueven libremente hasta que alcanzan un estado de equilibrio estático. En

tal estado de equilibrio estático, todas las cargas deben estar en reposo, experimentando una fuerza total nula.

Al conseguir el equilibrio estático, se crean distribuciones de carga interesantes, que ocurren en objetos

conductores, pero no en objetos no conductores. A continuación se describen cinco diferentes situaciones que

involucran distribución de carga en conductores y sus líneas de campo eléctrico correspondientes.

Esfera sólida conductora

Cuándo una esfera metálica sólida se carga, ya sea negativa o positivamente, ¿se distribuye la carga

uniformemente en toda la esfera?

Para alcanzar el equilibrio estático, las cargas se apartan todo lo posible unas de otras, debido a las

fuerzas electrostáticas de repulsión. Una carga dentro de la esfera en la posición A en la Figura

11.19(a), por ejemplo, experimenta una fuerza de repulsión electrostática total por parte de las otras

cargas. Por consiguiente, las cargas que se depositan en una parte de la esfera sólida, se repelen

Raramente el campo eléctrico en un punto del espacio es influenciado por una sola carga. A

menudo, se requiere determinar el campo eléctrico para un arreglo complicado de cargas.

Pueden usarse líneas de campo eléctrico para desplegar estos campos eléctricos.

En la Figura 11.18, se han esparcido semillas de césped en la superficie de un recipiente con

aceite comestible. En cada caso, se ha puesto un objeto diferente cargado en el aceite.

• En una hoja de papel, esboza las líneas de campo eléctrico en cada situación, usa las reglas

para dibujar líneas de campo eléctrico dadas anteriormente.

• Utiliza declaraciones concisas para justificar el modelo esbozado en cada uno de los

bocetos.

11

entre sí. Estas cargas se distribuyen uniformemente en la superficie de la esfera metálica

conductora.

La Figura 11.19 (b) muestra las líneas de campo eléctrico creadas por la distribución de carga en la

superficie de una esfera conductora sólida. Debido a que las líneas del campo eléctrico no pueden

tener una componente tangencial a esta superficie, en la parte exterior de la superficie las líneas

deben ser siempre perpendiculares a la superficie.

Placa conductora sólida y plana

¿Cómo se distribuirá la carga

en exceso, positiva o negativa,

en una placa conductora sólida

y plana, cómo la de la Figura

11.20(a)?

En una superficie plana, las

fuerzas de repulsión entre las

cargas en exceso son a la vez

paralelas y tangentes a la

superficie. Así, las fuerzas

electrostáticas de repulsión que

actúan sobre las cargas causan

que estas se dispersen y

distribuyan uniformemente a

largo de la superficie exterior

de una placa cargada, como se muestra en Figura 11.20 (b).

Las líneas de campo eléctrico se extienden perpendicularmente hacia una placa negativamente

cargada. Las líneas de campo eléctrico son uniformes y paralelas, como se muestra en la Figura

11.20(c).

Objeto sólido conductor de forma irregular

En un conductor sólido de forma irregular, las cargas se rechazan y se acumulan en la superficie

exterior. Pero, ¿se distribuyen las cargas uniformemente en la superficie exterior? La Figura

11.21(a) es un ejemplo de objeto de forma irregular, cargado eléctricamente.

En la parte más plana de la superficie, las fuerzas de repulsión son casi paralelas o tangenciales a la

superficie y causan que las cargas se aparten, como se muestra en la Figura 11.21 (b). En la parte

12

puntiaguda de una superficie convexa, las fuerzas entre las cargas forman un ángulo con respecto a

la superficie, que da lugar a una menor componente de fuerza paralela o tangencial a la superficie.

Por tanto, la fuerza total de repulsión sobre las cargas de la parte puntiaguda es menor, lo cual

permite que estén más cerca unas de otras. Esto trae como consecuencia que las cargas se acumulen

en las puntas (partes convexas) de los objetos conductores de forma irregular. Recíprocamente, las

cargas se apartarán en la concavidad (parte cóncava) de un objeto de forma irregular.

En conductores de forma irregular, la densidad de carga es mayor donde la superficie se curva más

(Figura 11.21(c)). También la densidad de líneas de campo eléctrico es mayor en estas regiones.

Objeto conductor hueco

Cuándo un objeto hueco conductor se carga, ya sea negativa o positivamente, ¿se distribuye la carga

uniformemente a lo largo de las superficies interior y exterior del objeto?

Como se vio en las Figuras 11.19, 11.20, y 11.21, el exceso de carga se mueve para alcanzar el

equilibrio estático, apartándose todo lo posible debido a las fuerzas electrostáticas de repulsión. En

un objeto conductor hueco, todas las cargas en exceso son repelidas hacía afuera, como se muestra

en la Figura 11.22(a).

Sin embargo, estas sólo se distribuyen uniformemente en la superficie exterior del objeto conductor.

No hay carga en exceso en la superficie interna del objeto hueco, independientemente de la forma

del objeto. Las correspondientes líneas de campo eléctrico, creadas por la distribución de carga de la

superficie exterior de un objeto hueco, se muestran en la Figura 11.22 (b). Las líneas de campo

eléctrico en la superficie exterior, son siempre perpendiculares a dicha superficie.

Informativo: La acumulación de carga en una superficie puntiaguda, es la explicación para el fuego de San Elmo, sobre el cual leíste al principio de este capítulo. St. El fuego de San Elmo es un plasma (un gas caliente, ionizado) causado por el intenso campo eléctrico producido por la acumulación de carga en las puntas conductoras de los mástiles durante las tormentas. El fuego de San Elmo es conocido como descarga en forma de corona o descarga puntual.

13

Sorprendentemente, el campo eléctrico es cero en todo punto dentro del conductor, de manera que

ninguna línea de campo eléctrico alcanza el interior de un conductor hueco. Como previamente se

describió, este efecto puede explicarse utilizando el principio de superposición. Los campos

originados por muchas fuentes se sobreponen en un solo campo total. El vector que especifica la

magnitud del campo total en cualquier punto, es simplemente la suma vectorial de los campos de

cada fuente individual. En cualquier parte dentro del interior de un objeto hueco conductor, la suma

vectorial de todos los campos eléctricos individuales es cero. Por esta razón, la persona dentro de la

jaula de Faraday, mostrada en la fotografía de la página 508, no es afectada por la inmensa cantidad

de carga depositada sobre la superficie externa de la jaula.

Placas paralelas

Si dos placas paralelas de metal, tal como las mostradas en la Figura 11.23(a), son cargadas con

cargas de tipo opuesto, ¿cómo se distribuyen las cargas? Las fuerzas electrostáticas de repulsión

entre cargas del mismo tipo, dentro de cada placa, causan que las cargas se distribuyan

uniformemente en cada placa,

y las fuerzas de atracción entre

las cargas opuestas de las

placas causan que las cargas se

acumulen en las superficies

internas de las placas. Así, las

cargas se distribuyen

uniformemente en las

superficies internas de las

placas cargadas.

Debido a que la magnitud del campo eléctrico resultante, es la suma vectorial de cada campo

individual, el campo eléctrico en cualquier parte entre las placas es uniforme, lo cual no ocurre en

los extremos de las placas. Así, prácticamente entre dos placas paralelas muy cercanas y

opuestamente cargadas, sólo existen líneas de campo eléctrico entre las placas. Estas líneas se

extienden perpendicularmente a las placas, comenzando en la placa positivamente cargada y

Para transmitir señales a las casas, tales como las de televisión por cable, se utilizan cables coaxiales de alambre. Para prevenir interferencia eléctrica y magnética desde fuera del cable, los alambres coaxiales se recubren con una delgada lámina de material conductor. Cualquier carga que se depositara sobre la capa conductora, se acumula sobre su superficie externa. El campo creado por estas cargas en el interior del conductor es cero, de modo que no influye en las señales transmitidas en los alambres.

14

terminan en la placa negativamente cargada. Las líneas de campo eléctrico son uniformes tanto en

dirección como en densidad entre las dos placas opuestamente cargadas, excepto cerca de los bordes

de las placas. Este sistema se llama condensador o capacitor de placas paralelas. Este tipo de

condensador se encuentra en muchos diferentes tipos de equipo eléctrico, incluyendo las copiadoras

y televisores. También se usa en aceleradores de partículas, tales como tubos de rayos catódicos y

espectrómetros de masa.

Energía potencial eléctrica y potencial eléctrico.

Un generador Van de Graaff puede generar más de 250 kV. Tocar el domo produce los resultados

espectaculares mostrados en la Figura 11.26, y también puede causar un susto debido a un toque no

dañino. Por otro lado, tocar las terminales de un enchufe de pared, que tiene un voltaje de 120 V,

puede ser fatal.

Comprender esta diferencia dramática entre la magnitud del voltaje y su correspondiente efecto,

requiere un estudio de los conceptos de energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Estos

conceptos son importantes en el estudio de campos eléctricos. Aunque los términos parecen

similares, son muy diferentes. Para entender la diferencia, es necesario estudiar estos conceptos en

Al inicio del siglo XIX, Michael Faraday realizó un experimento para investigar los campos eléctricos dentro de un recipiente de metal hueco. Utilizó cubetas para hielos, por lo que este experimento se llama a menudo “el experimento de la cubeta de hielo de Faraday.” Esta actividad se llama “experimento conceptual”, debido a que no realizarás el experimento. En cambio, predecirás y justificarás los resultados de un procedimiento experimental que reproduce la investigación de Faraday. El propósito del experimento es determinar qué tipo de campo eléctrico existe en el interior y en el exterior de un recipiente de metal hueco. Una barra positivamente cargada se coloca dentro del recipiente de metal, cerca del centro, como se muestra en la Figura 11.25. La barra se mueve entonces a una nueva posición dentro del recipiente de metal, cerca de una de las superficies internas.

¿Cuál de los electroscopios mostraría una desviación cuándo la barra está cerca del centro del recipiente de metal?

• Explica claramente tu razonamiento y los principios físicos que utilizaste para determinar tus respuestas a estas preguntas.

15

dos tipos de campos eléctricos: los campos eléctricos no-

uniformes alrededor de cargas puntuales, y los campos

eléctricos uniformes entre dos placas paralelas cargadas.

Energía Potencial eléctrica

En estudios anteriores aprendiste acerca de la relación entre

el trabajo y la energía potencial. Se realiza trabajo cuando

al aplicar una fuerza, el objeto es movido en la dirección

de la fuerza. El trabajo realizado es igual a

= | |

…donde es el trabajo, y | | y son las magnitudes

de la fuerza y del desplazamiento del objeto,

respectivamente.

En un sistema gravitatorio, como el mostrado en la Figura 11.27(a), para alzar una masa una

distancia vertical contra el campo gravitatorio de la Tierra, se requiere trabajo para estirar un

“resorte gravitatorio” imaginario conectando entre la masa y la Tierra. Puesto que la fuerza

requerida para realizar el trabajo es una fuerza conservativa, el trabajo realizado contra el campo

gravitatorio aumenta la energía potencial gravitatoria del sistema en una cantidad igual al trabajo

realizado. Por consiguiente:

=

=

De manera semejante, en un sistema electrostático como el mostrado en Figura 11.27 (b), al mover

una pequeña carga a través de una cierta distancia en un campo eléctrico no-uniforme producido por

otra carga puntual, requiere trabajo para comprimir o estirar un imaginario “resorte electrostático”

conectado entre las dos cargas. Puesto que la fuerza requerida para realizar este trabajo es también

una fuerza conservativa, el trabajo realizado en el campo eléctrico debe incrementar la energía

potencial eléctrica del sistema.

La energía potencial eléctrica es la energía almacenada en el sistema de dos cargas separadas

una cierta distancia (Figura 11.28). El cambio en la energía potencial eléctrica es igual al trabajo

realizado para mover una pequeña carga eléctrica: =

16

Eligiendo un punto de referencia

En el Capítulo 7, aprendiste que normalmente los puntos de referencia tomados para el cero de la

energía potencial gravitatoria, son la superficie de Tierra o el infinito. Elegir un punto de referencia

cero es necesario para poder analizar la relación entre el trabajo y la energía potencial gravitatoria.

Consideremos un punto de la referencia cero en la superficie de la Tierra. Un objeto en reposo en la

superficie de la Tierra, tendría cero energía potencial gravitatoria en relación a la superficie de la

Tierra. Si el objeto se alza hacia arriba, en dirección opuesta a la experimentada por la fuerza

gravitatoria, entonces se está realizando trabajo sobre el objeto. En este caso estará aumentando la

energía potencial gravitatoria del objeto (se dice que el objeto gana energía potencial). Si el objeto

se mueve hacia la superficie, en la misma

dirección que la fuerza gravitatoria, disminuye

su energía potencial gravitatoria (se dice que

el objeto pierde energía potencial).

Al igual que ocurre con la energía potencial

gravitatoria, el valor de la energía potencial

eléctrica en una cierta posición carece de

sentido, a menos que se le compare con un

punto de referencia en el cual a la energía

potencial eléctrica le sea asignado un valor

igual a cero. La elección de un punto de

referencia igual a cero para la energía

potencial eléctrica es arbitrario. Por ejemplo,

suponga un campo eléctrico producido por

una carga negativa grande. Una carga positiva

pequeña sería atraída y quedaría en reposo sobre la superficie de la carga negativa, donde tendría

Ejemplo 11.5

Al mover una pequeña carga desde una posición en un campo eléctrico hasta otra posición,

se requiere realizar un trabajo de 3.2 x10–19

J.

¿Cuál será el aumento en la energía potencial eléctrica de la carga?

Análisis y solución El trabajo realizado contra las fuerzas electrostáticas es .

El aumento de energía potencial eléctrica es

En un sistema conservativo: = .

Por tanto; = = 3.2 × 10−19 𝐽

El aumento de energía potencial eléctrica de la carga es 3.2 × 10−19 𝐽

17

cero energía potencial eléctrica. Esta posición podría definirse como punto de referencia cero de

energía potencial eléctrica (Figura 11.29(a)). Entonces, la carga de prueba tendría energía potencial

eléctrica positiva en todas las demás posiciones.

Alternativamente, la pequeña carga de prueba positiva puede ser movida tan lejos de la gran carga

negativa hasta un punto en el que no haya ninguna atracción electrostática entre ellas. La distancia

entre ellas sería infinita. Este punto, correspondiente a una posición en infinito de la carga de

prueba, es a menudo escogido como el punto de referencia cero para la energía potencial

eléctrica. Por tanto, la carga de prueba tiene energía potencial eléctrica negativa en todas las demás

posiciones. Este texto utiliza el infinito como el punto de referencia igual a cero para la energía

potencial eléctrica, al realizar cálculos (Figura 11.29 (b)).

Trabajo y energía potencial eléctrica

Siempre que el trabajo se realice para mover una carga contra la fuerza eléctrica causada por un campo

eléctrico, la carga gana energía potencial eléctrica. Los ejemplos siguientes ilustran la relación entre el trabajo

y la energía potencial eléctrica.

Energía potencial eléctrica entre placas paralelas cargadas

Excepto en los bordes, el campo eléctrico entre dos placas opuestamente cargadas es uniforme en magnitud y

dirección. Supongamos que una carga positiva pequeña se mueve en el campo entre las placas, desde la placa

negativa hasta la placa positiva, con una velocidad constante. Este movimiento requiere la aplicación de una

fuerza externa que contrarreste las fuerzas electrostáticas que las placas cargadas ejercen sobre la carga

positiva. El trabajo realizado sobre la carga incrementa la energía potencial eléctrica del sistema:

= = | |

Potencial eléctrico

Supongamos que dos cargas positivas son empujadas hacia una placa positiva. En este caso, es realizado el

doble de trabajo y en el sistema se almacena el doble de energía potencial eléctrica, en relación a cuando se

empuja solamente una carga positiva. Sin embargo, la energía potencial eléctrica almacenada por carga, es la

misma. Almacenar 20 J de energía en dos cargas, es igual que almacenar 10 J de energía en cada carga.

En ocasiones, es necesario determinar la energía potencial eléctrica total en una cierta situación en un campo

eléctrico. En otras ocasiones, es conveniente considerar solamente la energía potencial eléctrica por unidad de

carga en una posición. La energía potencial eléctrica almacenada por unidad de carga en un punto dado, es

la cantidad de trabajo requerido para mover una carga unitaria hasta dicho punto desde un punto de

referencia cero (en infinito).

Esta cantidad tiene un nombre especial: potencial eléctrico. Para determinar el potencial eléctrico

en una posición determinada, se usa esta ecuación:

Ejemplo 11.6

Cuándo una pequeña carga positiva se mueve desde una placa negativa hasta una placa negativa, se

realiza un trabajo 2.3 x 10–19

J. ¿Cuánta energía potencial eléctrica ganará la carga?

Análisis y solución

En un sistema conservativo, =

= = 2.3 × 10−19 J

Paráfrasis: La energía potencial eléctrica ganada por la carga es 2.3 × 10−19 J

18

P =

=

…donde V está en volt, está en joule, y q está en coulomb.

Puesto que la energía potencial eléctrica es medida en joule y la carga es medida en coulomb,

1 =1

1

Así, si el potencial eléctrico en un cierto punto es 10 V, una carga de 1 C poseerá 10 J de energía

potencial eléctrica, una carga de 2 C poseerá 20 J de energía potencial eléctrica, y así sucesivamente.

Aun cuando la energía potencial eléctrica total depende de la cantidad de carga colocada en

determinada posición del campo eléctrico, el potencial eléctrico (V) en tal posición permanecerá

constante.

Puede utilizarse un globo como ejemplo para ayudar a explicar la diferencia entre los conceptos de

energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Supongamos que frotamos un globo con pelo

animal. El globo adquiere un potencial eléctrico de unos pocos miles de voltios. En otras palabras, la

energía eléctrica guardada por coulomb de carga en el globo, es de unos pocos miles de voltios.

Escrito en forma de ecuación, =

Ahora supongamos que el globo adquiere una carga grande de 1 C durante el frotamiento. Para que

el potencial eléctrico quede con el mismo valor, se necesitarían unos pocos miles de joule de trabajo

para producir la energía eléctrica que permitiría al globo mantener ese potencial eléctrico. Sin

embargo, la cantidad de carga que un globo adquiere durante el frotamiento normalmente es

solamente del orden de unos pocos microcoulombios. Así, adquirir este potencial requiere una

pequeña cantidad de trabajo para producir la energía necesaria. Aunque el potencial eléctrico es alto,

la energía potencial eléctrica es baja, debido a que la carga es sumamente pequeña.

Diferencia de potencial eléctrico

Cuando una carga se mueve de un punto a otro en un campo eléctrico, experimenta un cambio en el

potencial eléctrico. Este cambio en potencial eléctrico se llama la diferencia de potencial eléctrico,

, entre los dos puntos, la cual es igual a: =

Puesto que =

, =

…donde es la cantidad de trabajo requerido para mover la carga desde una posición hasta otra.

La diferencia de potencial sólo depende del potencial en las dos posiciones. No depende de la carga

o del camino o trayectoria seguido por la carga, cuando se mueve de una posición a otra. La

diferencia de potencial eléctrica es comúnmente referida como justamente diferencia de potencial o

voltaje.

19

Un electrón volt (eV) es la cantidad de energía que un electrón gana o pierde al pasar por una región

entre cuyos extremos hay una diferencia de potencial de exactamente 1 V. Un electrón volt es

inmensamente menor que un joule: 1 = 1.60 × 10−19 J

Aunque el electrón volt no sea una unidad del SI, a veces es conveniente utilizarlo para expresar

cantidades diminutas de energía, sobre todo en situaciones que involucran una sola partícula

cargada, como un electrón o un protón. La diferencia de energía en el caso del Ejemplo 11.6 podría

expresarse como; 2.3 × 10−19 J (1

1.6 × 1 ) = 1.4

=

𝑞=

3.2 × 10–16 J

1.6 × 10–19 C= 2.0 × 103 𝑉

Ejemplo 11.7

Al mover una pequeña carga de 1.6 x 10–19

C entre dos placas paralelas, su energía potencial

eléctrica se incrementa en 3.2 x 10–16

J. Determinar la diferencia de potencial eléctrico entre las dos

placas paralelas.

Análisis y solución Para determinar la diferencia potencial eléctrico entre las placas, usamos la ecuación

La diferencia de potencial eléctric0 entre las placas es 2.0 × 103 𝑉

Ejemplo 11.8

Una pequeña carga de 3.2 x 10-19

C es movida entre dos placas paralelas desde una posición dónde

el potencial eléctrico es de 2.0 x 103 V, a otra posición dónde el potencial eléctrico es de 4.0 x 10

3

V (Figura 11.30). Determine:

(a) La diferencia de potencial entre las dos posiciones.

(b) La energía potencial eléctrica ganada por la carga, en joules (J) y en electrón volt (eV).

Paráfrasis:

(a) La diferencia potencial entre las dos posiciones es 2.0 x 103 V.

(b) La energía ganada al mover la carga entre las dos posiciones es 6.4 x 10–16

J ó

4.0 x 103 eV = 4.0 keV.

20

Información

La anotación es ampliamente utilizada en lugar de para representar la

diferencia de potencial en un punto A en relación al punto B. Cuando los puntos en

cuestión son claros en el contexto, los subíndices generalmente se omiten. Por

ejemplo, la ecuación para la ley de Ohm normalmente se escribe como = , donde

se entiende que V representa la diferencia potencial entre los extremos de la

resistencia R.

El campo eléctrico entre placas cargadas

Anteriormente, en esta sección, determinamos la intensidad del campo eléctrico que rodea a una carga

puntual, usando las ecuaciones siguientes:

| | =

2 | | =

| |

También vimos que el campo eléctrico alrededor de una carga puntual es un campo eléctrico no uniforme. Su

magnitud depende de la distancia a la carga. Después, vimos un tipo especial de campo eléctrico existente

entre dos placas paralelas cargadas. La magnitud del campo eléctrico entre las placas es uniforme entre las

placas, y puede determinarse usando la ecuación general para el campo eléctrico, | | = | |

No podemos usar la ecuación | | =

porque sólo es apropiada para cargas puntuales.

Ahora, después de estudiar la diferencia de potencial eléctrica, podemos ver cómo otra ecuación para

determinar la fuerza del campo eléctrico entre las placas, se origina de una relación importante entre el campo

eléctrico uniforme y la diferencia de potencial eléctrica entre dos placas paralelas cargadas (Figura 11.31).

Para que una pequeña partícula positivamente cargada se mueva a

través del campo eléctrico uniforme se requiere una fuerza, tal que

= . Esta fuerza es ejercida sobre la partícula debido a la presencia

del campo eléctrico. Si esta fuerza mueve a la partícula cargada una

distancia entre las placas, entonces el trabajo realizado es:

= | | ó = | |

Puesto que este sistema es conservativo, el trabajo realizado se almacena

en el sistema como energía potencial eléctrica:

= = | |

La diferencia de potencial eléctrica entre las placas es: =

=

| |

= | |

Para calcular la magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas cargadas, usamos la ecuación:

| | =

, dónde es la diferencia potencial eléctrica entre las placas cargadas, en voltios; es la

distancia, en metros, entre las placas; y | | es la magnitud del campo eléctrico, en voltios por metro.

Nótese que 1

= 1

, puesto que 1

=

1

⁄

1 =

1 = 1

21

11.3 Interacciones eléctricas y la ley de conservación de la energía

Una carga en un campo eléctrico experimenta una fuerza electrostática. Si la carga es libre para moverse,

acelerará en la dirección de la fuerza electrostática, como lo describe la segunda ley de Newton. La

aceleración de la carga en el campo eléctrico no uniforme alrededor de una carga puntual, es diferente del

movimiento uniformemente acelerado que corresponde al de una carga en un campo eléctrico uniforme entre

las placas cargadas. La Figura 11.33 muestra una carga en el campo no uniforme de un carga puntual. La

fuerza electrostática sobre una carga puesta en el campo varía inversamente con el cuadrado de la distancia

entre las cargas. Una fuerza variante causa un movimiento con aceleración no uniforme. Describir el

movimiento de la carga en este tipo de situación, requiere aplicar el cálculo diferencial e integral a las leyes

del movimiento de Newton, lo cual está más allá del alcance de este texto. Sin embargo, para determinar la

rapidez de la partícula en un punto dado, se puede usar la ley de conservación de la energía.

Si las fuerzas que actúan sobre un objeto son fuerzas conservativas, entonces el trabajo realizado

sobre el sistema cambia la energía potencial del sistema. La energía potencial eléctrica puede

convertirse, al igual que la energía potencial gravitatoria, en energía cinética. Una partícula cargada,

puesta en un campo eléctrico, acelerará desde una región de mayor energía potencial hasta una

región de menor energía potencial. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, la carga en

movimiento gana energía cinética a expensas de la energía potencial. Si se asume que ninguna

energía se pierde por fricción y las fuerzas son conservativas, la energía cinética ganada iguala a la

energía potencial perdida, de modo que las sumas de las dos energías siempre son iguales:

+

= +

Ejemplo 11.9

El tubo de rayos catódicos (CRT) de un monitor de computadora acelera electrones entre

placas paralelas cargadas (Figura 11.32). Estos electrones son después dirigidos hacia

una pantalla para crear una imagen. Si las placas están separadas 1.2 x 10–2

m y entre

ellas hay una diferencia potencial de 2.5 x 104 V, determina la magnitud del campo

eléctrico entre las placas.

Paráfrasis: La magnitud del campo eléctrico entre las placas es 2.1 x 106 V/m.

22

Es más fácil describir el

movimiento de una carga en un

campo eléctrico uniforme entre dos

placas paralelas, como se muestra

en la Figura 11.35. En este caso, la

aceleración es constante debido a

la fuerza constante, por lo que

pueden utilizarse tanto el teorema

del trabajo y la energía como las

Ejemplo 11.10

Una pelotita muy ligera de masa 2.4 x 10-4

kg con una carga positiva de 1.2 x 10-8

C está

inicialmente en reposo en la posición A en el campo eléctrico de un carga más grande (Figura

11.34). En esta posición, la pelotita cargada tiene 3.0 x 10-7

J de energía potencial eléctrica.

Cuando se libera, la pelotita acelera hacia la carga mayor. En la posición B, la pelotita tiene

1.5 x 10-8

J de energía potencial eléctrica. Encontrar la rapidez de la pelotita cuando alcanza la

posición B.

Análisis y solución:

La pelotita está en reposo en A, de modo que su energía cinética inicial es cero. Su energía

potencial eléctrica en B es menor que en A. Puesto que este sistema es conservativo, la pérdida de

energía potencial eléctrica cuando la pelota se mueve de A a B es igual a la ganancia en energía

cinética, de acuerdo con la ley de conservación de la energía:

Paráfrasis: La rapidez de la pelotita en la posición B es 4.9 x 10

-2 m/s.

23

leyes de la dinámica. (Puesto que el campo eléctrico es constante (uniforme), la fuerza que actúa

sobre una carga, también es constante, puesto que = .)

Ejemplo 11.11

Se conectan dos placas paralelas verticales a una fuente de suministro de DC (corriente directa), como

se muestra en la Figura 11.36. El potencial eléctrico entre las placas es 2.0 x 103 V. Una esfera

de masa 3.0 x 10-15

kg con una carga positiva de 2.6 x 10-12

C se coloca en la placa positiva y se

suelta. La carga acelera hacia la placa negativa. Determinar la rapidez de la esfera justo antes de que

golpee la placa negativa. Ignore cualquier efecto gravitatorio.

Paráfrasis: La rapidez de la esfera al llegar a la placa negativa es 1.9 x 10

3 m/s.

24

(a)

Ejemplo 11.12

Un electrón entra en el campo eléctrico entre dos placas paralelas cargadas, como se

muestra en la Figura 11.37.

(a) Esboza el movimiento del electrón entre las placas.

(b) Si el electrón experimenta una aceleración hacia abajo de 2.00 x 1017

m/s2 debido

al campo eléctrico entre las placas, determinar el tiempo requerido para que el

electrón viaje 0.0100 m hacia la placa positiva.

Análisis y Solución

La aceleración del electrón es hacia abajo, por lo que el electrón se moverá siguiendo un

camino parabólico hacia la placa positiva (Figura 11.38), similar al movimiento de un

proyectil que inicialmente viaja paralelamente a la superficie de la Tierra y luego

experimenta la aceleración hacia el suelo debida a la gravedad.

Paráfrasis

(a) La trayectoria del electrón entre las placas paralelas es una parábola.

(b) El tiempo tomado para el electrón caiga hacia la placa positiva es 3.16 x10-10

s.