TEORIA DE VECTORES

Colegio Internacional

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Vector Es un elemento matemático indicado por un segmento de recta orientado, permite representar gráficamente magnitudes vectoriales, presenta fundamentalmente tres características: módulo (3 unidades), dirección (recta OP) y sentido (segmento dirigido de O a P).

Elementos de un Vector

Modulo: Es el valor o medida del vector, valor absoluto del segmento de recta que representa al vector, se le llama también intensidad. La magnitud

de un vector →r es representada

por r o |r| que resulta siempre positivo. Dirección: Esta dada por la recta que contiene al vector (llamada línea de acción), se da a conocer por el ángulo θ que forma la recta con una recta o sistema de referencia. Sentido: Es la orientación del vector, nos indica hacia donde se dirige. Notación:

Para denotar un vector se puede utilizar cualquier letra del alfabeto

con una flecha en su parte superior. Ejm: →r , r

Mediante dos letras siendo la primera el origen del vector y la

segunda el extremo. Ejm. →

OP .

Clasificación

Vectores Iguales : Dos o más vectores son iguales si las tres características; módulo, dirección y sentido son las mismas. Vectores Paralelos: Es cuando las líneas de acción que contienen a los vectores son paralelas entre sí. Vectores Opuestos: Dos vectores son opuestos si poseen la misma dirección, pero sentidos contrarios.

θ Recta de

Referencia

Línea de acción Módulo

Dirección

Sentido O

PO

Ar

Br

Ar

= Br

Ar

Br

Ar

// Br

Ar

es opuesto de Br

Ar

= − Br

Ar

Br

VVVVVVVVeeeeeeeeccccccccttttttttoooooooorrrrrrrreeeeeeeessssssss



Vectores Colineales: Llamamos así a aquellos vectores que se encuentran contenidos en la misma línea de acción. Vectores Coplanares: Son aquellos que se encuentran en un mismo plano. Vectores Concurrentes: Se caracterizan porque sus líneas de acción se cortan en un mismo punto.

Operaciones con Vectores:

Suma de Vectores.- Consiste en encontrar un único vector llamado vector suma o vector resultante capaz de sustituir a un grupo de vectores que representan a una misma magnitud física. El vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Debemos tener en cuenta que la suma vectorial no es igual a una suma aritmética.

Suma de vectores colineales: En este caso la resultante se obtiene realizando la suma algebraica de los módulos de los vectores y cuando ellos son de sentidos opuestos la resultante viene a ser la diferencia.

Dados los vectores A y B:

Observación:

De las figuras podemos notar que dos vectores colineales presentan una resultante máxima cuando se suman y resultante mínima cuando se restan.

Rmax = A + B Rmin = A − B

Ar

Br

Ar

y Br

son colinelaes

Ar

Br

Cr

Ar

, Br

y Cr

son coplanares A

r

Br

Cr

Ar

, Br

y Cr

son concurrentes

Ar

Br

BARrrr

+=

Ar

Br

BARrrr

−=



22 BAR +=

Suma de vectores concurrentes.

Es necesario que para sumar dos vectores ambos representen la misma magnitud física. Existen métodos gráficos y analíticos para adición de vectores.

Método del paralelogramo

Se emplea para sumar dos vectores, donde los orígenes de ambos vectores deben coincidir. De acuerdo con este método se construye un paralelogramo

a partir de los vectores Ar

y Br

quienes forman un ángulo θ, donde la

resultante Rr

viene dada por una de las diagonales. Su módulo se determina la relación matemática llamada Ley de los Cosenos.

Donde la resultante de la suma BARrrr

+= tiene como módulo:

θ++== cosAB2BARR 22r

La dirección de la resultante (ángulo α) con respecto al vector B

rse puede

determinar mediante.

θ+θ=α

cosABAsen

arctg

O también por Ley de Senos

β=

α=

γ senB

senA

senR

Siendo: sen γ = sen (180- θ) = sen θ

Casos Particulares:

1. Cuando el ángulo entre los vectores es θ = 90º, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. La suma es la diagonal

θ

Br

Ar

BARrrr

+=

Br

Ar

θ αγ

β

Br

BARrrr

+=

Ar



2. Para dos vectores de igual módulo el vector resultante biseca el ángulo entre los vectores.

3. Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 60º.



6. Para dos vectores cuyos módulos tienen un divisor común “n” y un ángulo “α” cualquiera.

7. Para tres vectores de igual módulo que forman ángulos de 120º entre sí.

a

a R

α

α

a

a R

30º 30º

a

a R

45º

a

a R

60º 60º

a

a

120º

120º

120º

a

α⋅⋅= cosa2R

3aR =

2aR =

aR =

n⋅b

n⋅a R

θθ++= cosab2banR 22

0R =



Método del triángulo

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en unir los vectores uno a continuación de otro, para luego formar un triángulo. La resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo. Sean los vectores: Aplicando el método tenemos:

ABBAR +=+=

El módulo de la resultante se puede hallar por Ley de Senos:

β=

α=

γ sen

B

sen

A

sen

R

Método del polígono Es válido para dos o más vectores, el método consiste en dibujar los vectores dados uno a continuación del otro y el vector resultante se obtiene trazando un vector a partir del origen del primero y se dirige al extremo del último. La suma es el segmento que completa el polígono

CBAR ++=

En el caso de que el origen del primer vector coincide con el extremo del último, el vector resultante es nulo, y al sistema se le llama “polígono cerrado”

0EDCBAR =++++=

Br A

r

αγ

β

Br

Ar

θ

Rr

αγ

β

Br

Ar

θ

Rr =

BrA

r

Cr

Ar

Br

Cr

Rr

Br

Ar

Er C

r

Dr

Ar

Br

Er

Cr

Dr



Sustracción de vectores.

Dados dos vectores →→ByA que representan la misma entidad física, la

diferencia →→

− BA se define como la suma de →A con el negativo del vector

)B(;B→→

− . Así tenemos:

)B(ABAD→→→→→

−+=−=

La magnitud del vector diferencia, D, puede ser calculado mediante

θ−+= cosAB2BAD 22

Y su dirección por la ley de senos, calculando γ

θ=

γ senD

senA

Multiplicación de un vector por un escalar. Dado un escalar m, real y un

vector →A , se puede obtener

otro vector →→

= AmP , de la misma

entidad física de →A .

Si 0 < m < 1 →P lleva la

misma dirección y es una

contracción de →A .

Si m > 1 →P lleva la misma dirección y es una dilatación de

→A .

Si m < −1 →P lleva dirección opuesta y es una dilatación de

→A .

Si –1 < m < 0 →P lleva dirección opuesta y es una contracción de

→A .

Componentes de un vector.

Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados dan como resultado un determinado vector. Debe tomarse en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.

D,C,B,A son los vectores

componentes del vector R .

A

θ

→A

mA

θ

→P

Recta de referencia

θγθ

→A

→B

→− B

→D

→A

→C→

B

→R

→D

→→→→→+++= DCBAR



Componentes rectangulares de un vector en dos dimen siones.

Dado un vector →A en el plano, es factible, su

descomposición en dos componentes rectangulares una sobre el eje x y la otra sobre el eje y. De la siguiente forma:

yx AAA→→→

+= Siendo los módulos de las componentes vectoriales θ⋅= cosAA x θ⋅= senAA y

Cómo puede deducirse inmediatamente de la Fig.

La magnitud del vector →A está dada por: 2

y2x AAA +=

La dirección de A con respecto al eje “x” está dada por:

=θ −

x

y1

A

Atg

Vector unitario.

Es aquel cuyo módulo es la unidad, representa a la unidad de medida de cualquier vector; nos indica la dirección y sentido de un vector.

Dado un vector →A , su vector unitario está

dado por:

AA

uA

→→

=

Propiedades:

- El módulo del vector unitario siempre es igual a la unidad.

1uA = - Si multiplicamos convenientemente un escalar por un vector unitario,

obtendremos un nuevo vector colineal y de la misma dirección que el vector unitario

- Todo vector es igual al producto su módulo por su vector unitario.

AuAA→→

⋅=

- Los vectores unitarios correspondientes a los ejes x, y, z son →→→k,j,i

respectivamente. - Los vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados

rectangulares del plano cartesiano son:

→A

θx

y

xA→

yA→

→Au

→A

x

y

→j

→i

→k x

y

z



→i : Vector unitario del eje x positivo;

→− i : Vector unitario del eje x

negativo

→j : Vector unitario del eje y positivo;

→− j : Vector unitario del eje y

negativo

Así el vector A puede escribirse como: →→→

+= jAiAA yx

Expresión cartesiana de un vector

Si “x” e “y” son las componentes rectangulares de un vector →A , entonces su

expresión cartesiana se denotará como ( )y;xA =→

que es llamado par

ordenado. Asimismo se establece la siguiente identidad: ( )→→→

+== jyixy;xA De la figura podemos afirmar que:

( )4;3j4i3A =+=→→→

( )3;5j3i5B −=+−=→→→

( )3;6j3i6C −=−=→→→

Métodos de componentes rectangulares para la suma v ectorial.

Para sumar vectores mediante este método: - Se descompone cada uno de los vectores en sus componentes

rectangulares x e y - Luego se realiza la suma de las componentes “Rx” y las componentes

“Ry”. independientemente una de otra por el método de vectores colineales.

xejeelenscomponentedeSumaRx =

yejeelenscomponentedeSumaRy =

- El vector resultante, el módulo del vector resultante y su dirección con respecto al eje “x” son dados respectivamente por:

→→→

+= jRiRR yx ( ) ( )2y2

x RRR +=

=θ −

x

y1

R

Rtg

x

y

→i

→j

→A

x

y

→jyA

→ixA

-5 3

4 3

→+ i6

→− j3

x

y

→A

→B

→C

(-5; 3) (3; 4)

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