Teoría de transitorios hidráulicos

7/27/2019 Teora de transitorios hidrulicos

1/74

ANEXO NMERO 1

Teora de transitorios hidrulicos


2/74

NDICE:

1. INTRODUCCIN..................................................................................................................................1

1.1.TIPOS DE TRANSITORIOS HIDRULICOS ..............................................................................................1 1.2.DESCRIPCIN CONCEPTUAL DE LOS MODELOS DE RESOLUCIN .........................................................1

2. MODELO FSICO: ECUACIONES CONSTITUTIVAS Y METODOLOGA..............................3

2.1.ECUACIONES CONSTITUTIVAS ............................................................................................................3

2.1.1. Balance diferencial de masa.....................................................................................................3

2.1.2. Balance diferencial de fuerzas..................................................................................................6

2.1.3. Obtencin de los modelos simplificados...................................................................................9

2.1.4. Introduccin a las condiciones de contorno ....................................................... ....................10

2.1.4.1. Punto de presin constante ................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...... 112.1.4.2. Vlvula de retencin........ ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...... 11

2.1.4.3. Vlvula motorizada ................... ...................... ..................... ..................... ...................... ................ 12

2.1.4.4. Cambio de seccin recta en una tubera simple .................... ..................... ...................... ................ 12

2.1.4.5. Confluencia de tuberas en un nodo.................... ...................... ..................... ..................... ............. 13

2.2.MODELOS DE ESTUDIO DE UN TRANSITORIO HIDRULICO ................................................................13

2.2.1. Modelo esttico.......................................................................................................................13

2.2.1.1. Principio de clculo del modelo esttico ................... ...................... ..................... ..................... ...... 14

2.2.1.2. Base matemtica del modelo esttico ..................... ..................... ..................... ...................... ......... 14

2.2.1.3. Modelo esttico en sistemas complejos ..................... ...................... ..................... ..................... ...... 152.2.1.4. Tcnicas de resolucin numricas ................... ..................... ..................... ...................... ................ 15

2.2.2. Modelo rgido .................................................... ........................................................... ..........17

2.2.2.1. Base matemtica del modelo rgido............. ...................... ..................... ..................... .................... 17

2.2.2.2. Modelo rgido en sistemas complejos.............. ..................... ..................... ...................... ................ 18

2.2.2.3. Tcnicas de resolucin numricas ................... ..................... ..................... ...................... ................ 18

2.2.2.4. Modelo esttico o modelo rgido ..................... ..................... ..................... ...................... ................ 19

2.2.3. Modelo elstico.......................................................................................................................19

2.2.3.1. Base matemtica del modelo elstico .................... ..................... ..................... ...................... ......... 20

2.2.3.2. Tcnicas de resolucin numrica... ..................... ...................... ..................... ..................... ............. 20

3. MODELO MATEMTICO: TRATAMIENTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES .................21

3.1.FORMA MATRICIAL DEL SISTEMA DE ECUACIONES ...........................................................................21

3.2.CLASIFICACIN DEL SISTEMA DE ECUACIONES ................................................................................21

3.2.1. Valores propios del sistema ................................................... ................................................. 21

3.2.2. Clasificacin ...................................................... ........................................................... ..........22

3.3.FORMA NORMAL DEL PROBLEMA .....................................................................................................22

4. MTODOS DE RESOLUCIN NUMRICA..................................................................................24

4.1.MTODO DE LAS CARACTERSTICAS: RESOLUCIN NUMRICA DEL MODELO ELSTICO ...................24


3/74

4.1.1. Obtencin de soluciones sobre el sistema simplificado .......................................................... 24

4.1.1.1. Caractersticas del sistema simplificado .................... ...................... ..................... ..................... ...... 27

4.1.1.2. Condiciones de contorno .................. ...................... ..................... ..................... ...................... ......... 28

4.1.2. Mtodo de las caractersticas: integracin numrica del sistema..........................................29

4.1.2.1. Forma en caractersticas del sistema................... ...................... ..................... ..................... ............. 294.1.2.2. Discretizacin del sistema .................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...... 30

4.1.2.3. Convergencia y estabilidad del mtodo de las caractersticas................ ...................... .................... 33

4.2.MTODO DE RESOLUCIN DE LA ONDA CARACTERSTICA ................................................................34

4.2.1. Bases del mtodo de la onda caracterstica............................................................................35

4.2.1.1. Relaciones bsicas del mtodo .................... ...................... ..................... ..................... .................... 35

4.2.2. El mtodo de la onda caracterstica .......................................................... .............................36

4.2.2.1. Transmisin de las ondas de presin ...................... ..................... ..................... ...................... ......... 36

4.2.2.2. Coeficientes de las ecuaciones caractersticas de los elementos.. ..................... ...................... ......... 38

4.2.2.2.a. Elementos resistivos ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...... 384.2.2.2.b. Elementos activos..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ......... 39

4.3.COMPARATIVA ENTRE EL MTODO DE LAS CARACTERSTICAS Y EL MTODO DE LA ONDA

CARACTERSTICA....................................................................................................................................39

4.3.1. Utilizacin en el mbito europeo............................................................................................40

4.4.OTROS MTODOS DE RESOLUCIN ...................................................................................................41

4.4.1. Frmula de Michaud...............................................................................................................41

4.4.2. Pulso de Jukowski...................................................................................................................42

4.4.3. Procedimiento de Allievi.........................................................................................................43

4.4.4. Mtodo grfico de Schnyder-Bergeron...................................................................................45

4.4.4.1. Fundamentos bsicos.......... ...................... ..................... ..................... ...................... ..................... .. 46

4.4.4.2. Obtencin de la solucin grfica ..................... ..................... ..................... ...................... ................ 46

4.4.4.3. Ejemplo grfico ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... .................... 47

5. CONDICIONES DE CONTORNO CON EL M.C............................................................................49

5.1.CONDICIONES DE CONTORNO BSICAS.............................................................................................49

5.1.1. Nodo normal ...................................................... ........................................................... ..........49

5.1.2. Vlvula....................................................................................................................................49

5.1.3. Depsito aguas arriba ........................................................... ................................................. 50

5.1.4. Depsito aguas abajo ............................................................ ................................................. 51

5.1.5. Depsito en lnea ......................................................... ........................................................... 52

5.1.6. Nivel constante aguas abajo ............................................................ ....................................... 53

5.2.CONDICIONES DE CONTORNO DE ELEMENTOS QUE INTRODUCEN TRANSITORIOS POR OSCILACIONES

NO PERIDICAS .......................................................................................................................................53

5.2.1. Caractersticas hidrulicas de las vlvulas........................................................ ....................54

5.2.1.1. Coeficientes para la caracterizacin hidrulica................................ ..................... ..................... ...... 54

5.2.1.2. Caracterizacin hidrulica de una vlvula ..................... ..................... ...................... ..................... .. 555.2.1.3. Sistema de ecuaciones para la aplicacin del mtodo de las caractersticas .................... ................ 57


4/74

5.2.2. Caractersticas hidrulicas de las bombas.............................................................................58

5.2.2.1. Caracterizacin hidrulica de una bomba...................... ..................... ...................... ..................... .. 58

5.2.2.1.a. Modelizacin del comportamiento de una bomba en el primer cuadrante.................. ............. 58

5.2.2.1.b. Inercia de un grupo impulsor...................... ...................... ..................... ..................... ............. 59

5.2.2.1.c. Comportamiento generalizado de una bomba................... ..................... ..................... ............. 615.2.2.1.d. Curvas universales de Marchal, Flesch y Suter ................... ..................... ...................... ......... 62

5.2.2.2. Ecuacin de una estacin de bombeo ..................... ..................... ..................... ...................... ......... 66

5.2.2.3. Sistema de ecuaciones para la aplicacin del mtodo de las caractersticas .................... ................ 66


5/74

NDICE DE ILUSTRACIONES:

Figura A1.1. Volumen de control sobre el que se efecta el balance diferencial de masa (fuente:

referencia [3] bibliografa). ............................................................ ........................................................... ..3

Figura A1.2.Relacin entre alturas piezomtricas y presiones (fuente: referencia [3] bibliografa). .......6Figura A1.3. Volumen de control sobre el que se efecta el balance de fuerzas (fuente: referencia [3]

bibliografa). ..................................................... ............................................................ ...............................7

Figura A1.4. Condicin de contorno en un nudo de tuberas (fuente: referencia [3] bibliografa)..........13

Figura A1.5. Dominio de dependencia de las soluciones u(x,t) (fuente: referencia [3] bibliografa)......26

Figura A1.6. Dominio de influencia de la condicin inicial en un punto (fuente: referencia [3]

bibliografa). ..................................................... ............................................................ .............................27

Figura A1.7.Dominios de dependencia de las caractersticas sobre un punto cualquiera P (fuente:

referencia [3] bibliografa). ............................................................ ........................................................... 28

Figura A1.8.Discretizacin del nodo ij mediante el mtodo de las caractersticas con el esquema endiferencias finitas explcito de primer orden (fuente: Joan Soler). ............................................................ 31

Figura A1.9.Propagacin de una onda de presin en una tubera (fuente: referencia [5] bibliografa).35

Figura A1.10.Accin de una onda de presin ante una discontinuidad o elemento (fuente: referencia [5]

bibliografa). ..................................................... ........................................................... ..............................36

Figura A1.11. Diagrama para obtener la mxima presin de golpe de ariete cuando se cierra la

admisin a cualquier velocidad (fuente: referencia [1] bibliografa)........................................................44

Figura A1.12. Diagrama para obtener la mnima presin de golpe de ariete cuando se abre la admisin

(fuente: referencia [1] bibliografa)...........................................................................................................45

Figura A1.13.Aplicacin del mtodo de Schnyder-Bergeron (fuente: referencia [1] bibliografa). ........48Figura A1.14. Curvas de sobrepresiones en funcin de los tiempos (fuente: referencia [1] bibliografa).

....................................................................................................................................................................48

Figura A1.15.Esquema de un depsito situado aguas arriba de una conduccin (fuente: Joan Soler)...50

Figura A1.16.Esquema de un depsito situado aguas abajo de una conduccin (fuente: Joan Soler). ...51

Figura A1.17.Esquema de un depsito situado en lnea con la tubera (fuente: Joan Soler)...................52

Figura A1.18. Grfico () para tres tipos tpicos de vlvulas (fuente: referencia [3] bibliografa). 57

Figura A1.19. Campos de trabajo de una bomba en el diagrama q ....................................................62

Figura A1.20. Curvas de Marchal et al. para la altura de bombeo. ......................................................... 65

Figura A1.21. Curvas de Marchal et al. para el par de la bomba.............................................................66


6/74

NDICE DE TABLAS:

Tabla A1.1.Definicin de las distintas zonas de trabajo de un grupo impulsor. ...................................... 61

Tabla A1.2. Curvas de Marchal, Flesch y Suter........................................................... .............................65


7/74

NOMENCLATURA GENERAL:

La nomenclatura que se presenta a continuacin es la empleada tanto en el anexo de teora de

transitorios hidrulicos presente como en el conjunto de todo el documento.

a Celeridad de la onda

A rea de la seccin

D Dimetro

e Espesor

E Mdulo de Young

f Factor de friccin

F Fuerza

g Gravedad

H Altura piezomtrica

Hv Prdida de carga

I Momento de inercia

K Elasticidad del medio

L Longitud

M Par motor

N Velocidad de giro de una bomba

p Presin

P Potencia de un motor

t Tiempo

TC Tiempo de cierre de una vlvula

v Velocidad

V Volumen

W Peso

x Direccin espacial

Densidad

ngulo respecto de la horizontal

Rendimientio

Velocidad de giro


8/74

Estudio de flujo a presin en rgimen variable en grandes impulsiones

Anexo 1 a la memoria. Teora de transitorios hidrulicos Pgina 1

1.IntroduccinEl fenmeno de los transitorios hidrulicos se puede definir como la anomala que se

produce en un flujo de agua cuando las condiciones que definen el movimiento del

fluido (velocidad, presin y seccin de la corriente) varan en el tiempo. Como veremosms adelante, las anomalas se pueden clasificar en funcin de la rapidez en que se

producen estos cambios.

1.1.Tipos de transitorios hidrulicosExisten tres tipos de transitorios hidrulicos en funcin de la rapidez en que se producen

los cambios en las condiciones que definen el transitorio hidrulico:

1. Transitorio lento o casi-esttico, en el que las variables significativas del flujo,caudales y presiones, varan de manera muy lenta en el tiempo. Para realizar su

anlisis ser necesario realizar la aplicacin sucesiva del modelo esttico.

2. Transitorio rpido denominado oscilacin en masa, en el que los cambiostemporales de las variables significativas son importantes. El modelo que ser

necesario usar para realizar su anlisis es el modelo rgido.

3. Transitorio muy rpido o golpe de ariete en el que, debido a la violencia de lasperturbaciones introducidas en el sistema, los cambios de presin son muyimportantes, variando de manera significativa la energa elstica almacenada en

fluido y tubera. El modelo necesario para realizar su anlisis es el modelo elstico,

en el que se considera la compresibilidad del fluido y la elasticidad de las paredes de

la conduccin.

Como se puede suponer de esta clasificacin, el transitorio hidrulico que provocar

unos incrementos de presin ms elevados es el golpe de ariete, razn por la cual se le

dar un mayor nfasis.

1.2.Descripcin conceptual de los modelos de resolucinVeamos una descripcin conceptual de los diferentes modelos de resolucin que existen

y que se utilizan:

Inercial. Se tiene en cuenta la inercia del agua. En funcin de si se tiene encuenta la elasticidad de la tubera o no el modelo ser elstico o rgido,

respectivamente.


9/74


Pgina 2 Anexo 1 a la memoria. Teora de transitorios hidrulicos

No inercial. Cuando no se tiene en cuenta la inercia del agua, es decir, cuandolas condiciones de contorno cambian lentamente. Son los llamados modelos

estticos o cuasi-esttico.

Vista esta breve clasificacin, podemos pasar a ver las distintas teoras de los modeloscomentados.


10/74



2.Modelo fsico: ecuaciones constitutivas y metodologaLas ecuaciones constitutivas que gobiernan el fenmeno de un transitorio hidrulico se

basan en los balances diferenciales de masa y de fuerzas. Como bien es sabido, si

tenemos unas ecuaciones diferenciales, sern necesarias unas condiciones iniciales y decontorno que tambin intervendrn en la solucin buscada.

2.1.Ecuaciones constitutivas2.1.1.Balance diferencial de masaEl balance diferencial de masa es la conocida ecuacin de continuidad aplicada al

volumen de control diferencial de la Figura A1.1.

Figura A1.1. Volumen de control sobre el que se efecta el balance diferencial de masa (fuente:referencia [3] bibliografa).

Dicha ecuacin de continuidad aplicada en este volumen de control nos proporciona

la siguiente ecuacin:

0VC SC

V vdAt

+ =

(A1-2.1)

La integral del primer sumando es la masa que en un determinado momento seencuentra encerrada en el volumen de control que es igual a:

2 2VCx A x

V A x A xx x

= + +

(A1-2.2)

Dicha expresin se ha calculado a partir de los valores medios de densidad y seccin

en el interior del volumen de control y se ha obtenido operando y despreciando

infinitsimos de orden superior.


11/74



La expresin completa de (A1-2.1) es la variacin temporal de la masa interna

encerrada en el volumen de control que, a partir de (A1-2.2), quedar como:

VC

AV A x x

t t t

= +

(A1-2.3)

Donde no habr alargamiento longitudinal en la conduccin.

El segundo sumando de (A1-2.1) es el flujo msico neto que es equivalente a la

cantidad de masa saliente menos la cantidad de masa entrante, es decir, la cantidad

de masa acumulada en el volumen de control. Se puede expresar de la siguiente

forma:

SC

A vvdA x A x v x Av

x x x

= + + +

(A1-2.4)

Si despreciamos infinitsimos de orden superior como se ha realizado en (A1-2.2),

entonces:

SC

A vvdA Av x v x A x

x x

= + +

(A1-2.5)

Si sustituimos (A1-2.3) y (A1-2.5) en (A1-2.1) obtenemos la siguiente ecuacin

diferencial:

0A A v

A x x Av x v x A xt t x x x

+ + + + =

(A1-2.6)

Donde si dividimos la igualdad por la masa A x del volumen de control

obtenemos:

1 10

A v v A v

t A t x A x x

+ + + + =

(A1-2.7)

Si tenemos en cuenta que la derivada total de una funcin es igual a la suma de laderivada local ms la convectiva, la expresin (A1-2.7) queda de la siguiente forma:

1 10

d dA v

dt A dt x

+ + =

(A1-2.8)

En esta ltima expresin nos aparecen como incgnitas la densidad,, la seccin,A,

y la velocidad, v. Nuestras variables significativas son la presin,p, y la velocidad, v,

por lo que ser mejor expresar todos los trminos en funcin de estas variables; esto

supone ligar los efectos elsticos con la causa que los genera, las variaciones de

presin.


12/74



El primero de los dos cambios a realizar se basa en el mdulo elstico de la siguiente

forma:

1 1d dp

dt K dt

= (A1-2.9)

Y el segundo se basa en los conceptos de elasticidad:

2 2 2u

e e eE dDdp d d E

D D D D = = = (A1-2.10)

Si adems, suponemos una seccin circular cuya variacin de la seccin en funcin

del dimetro es:

2

D dD

dA

= (A1-2.11)

Al combinar (A1-2.10) y (A1-2.11) tenemos:

2 1

2 2

D D dA D dpdA dp

e E A dt e E dt

= = (A1-2.12)

Sustituyendo en (A1-2.8) obtenemos:

10

dp D dp v

K dt e E dt x

+ + =

(A1-2.13)

Dicha expresin (A1-2.13) se puede simplificar an ms si se tiene en consideracin

la expresin de la celeridad:

11

K

aK D

cE e

=

+

(A1-2.14)

Obtenida a partir del equilibrio de fuerzas soportadas por parte de la tubera y donde

c1 es un valor que depende de cmo este anclada la tubera:

1

21

1: cuando la tubera no esta anclada en los extremos

1 : cuando la tubera esta anclada en los extremos

c

c

=

= (A1-2.15)

Donde es la tensin axial unitaria dividida por la tensin axial lateral (ver

referencia [9] de bibliografa para otros casos).


13/74



Si suponemos que la tubera no esta anclada en los extremos, al simplificar

obtenemos:

2

10

dp v

a dt x

+ =

(A1-2.16)

Si por comodidad se prefiere expresar la presin en funcin de la altura piezomtrica,

la expresin (A1-2.15) queda:

2 20

g dH v gv sen

a dt x a

+ + =

(A1-2.17)

Donde se ha tenido en consideracin que H z p = + y que z x sen = . Siendo

el peso especfico del fluido.

Si adems se recuerda la definicin de la derivada totaldH H H

vdt t x

= +

, se tiene:

2

0H H a v

v v sent x g x

+ + + =

(A1-2.18)

Figura A1.2. Relacin entre alturas piezomtricas y presiones (fuente: referencia [3] bibliografa).

2.1.2.Balance diferencial de fuerzasDel balance diferencial de fuerzas se obtendr la conocida ecuacin de momentum.

Para realizar el balance diferencial de fuerzas se utilizar el volumen de control de la

Figura A1.3 junto con las siguientes hiptesis:

El flujo es unidimensional.El rozamiento se calcula como si de un rgimen estacionario se tratara. Esto no

es as ya que el coeficiente de friccinfvara a lo largo de todo el transitorio,

sobretodo en los perfiles de velocidades en secciones rectas. Esto no importa


14/74



desde el punto de vista ingenieril ya que no afecta al primer pico de presin,

que es el de mayor inters.

De las fuerzas exteriores que intervienen en el transitorio, las de presin, queactan sobre la totalidad de la superficie de control, y las de rozamiento a travsde las paredes laterales de la tubera tienen carcter superficial y la fuerza

gravitatoria tiene carcter volumtrico, aunque esta ltima fuerza tiene una

contribucin muy poco significativa por lo que generalmente es despreciada.

Figura A1.3. Volumen de control sobre el que se efecta el balance de fuerzas (fuente: referencia [3]bibliografa).

Veamos las expresiones debidas a cada una de las tres fuerzas exteriores comentadas

en la tercera hiptesis:

Las fuerzas de presin se expresaran en funcin del balance de fuerzas de presin

que acta sobre el volumen de control:

2

p A p x ApA p x A x p x

x x x x

+ + + +

(A1-2.19)

Donde los dos primeros sumandos son las fuerzas de presin en las secciones

anterior y posterior y el tercero es la fuerza de presin debida al aumento gradual de

rea en la tubera. Simplificando se llega a la siguiente expresin:

pA x

(A1-2.20)

La fuerza gravitatoria volumtrica ser, sencillamente, el peso del elemento de

volumen:

2 2xx A x

W g A x g A xx x

= + +

(A1-2.21)


15/74



Actuando en direccin vertical por lo que, al proyectar en la direccin del flujo

queda:

xW g A x sen = (A1-2.22)

Y la fuerza de rozamiento se calcula aplicando la expresin de Darcy-Weisbach

(2

2VL v

H fD g

= ), por lo que:

2

2r f

x vF A h g f A

D g

= = (A1-2.23)

Adems, sabemos que tiene un sentido contrario al movimiento, por lo que se tomar

la siguiente expresin:

2rv v

F f AD

= (A1-2.24)

Donde el trmino de friccinfser constante.

Entonces, el balance de fuerzas se realizar utilizando las expresiones (A1-2.19),

(A1-2.21) y (A1-2.23):

2

A x v vp dvF A x f g A x sen A x

D dt

= +

(A1-2.25)

Dividiendo dicha expresin por A x , resulta:

10

2

v vdv pf g sen

t D x

+ + =

(A1-2.26)

Como en el apartado anterior, se puede expresar en funcin de las variables Hy v.

Basta considerar que sen z x = y realizar algunas transformaciones,

obteniendo:

02

v vdv Hf g

dt D x

+ + =

(A1-2.27)

Si como en el caso anterior, se emplea la definicin de la derivada total con la

velocidad, se tiene:

02

v vv v Hv f g

t x D x

+ + + =

(A1-2.28)


16/74



2.1.3.Obtencin de los modelos simplificadosSi combinamos las expresiones (A1-2.18) y (A1-2.28) obtenemos el siguiente

sistema de ecuaciones en derivadas parciales:

2

0

0

2

H H a vv v sen

t x g x

v vv v Hv g f

t x x D

+ + + =

+ + + =

(A1-2.29)

Dicho sistema permite seguir la evolucin del transitorio ya que tiene en cuenta todas

las variables que intervienen en los diferentes pulsos de presin que se generan, se

reflejan, transmiten y modifican a lo largo de la conduccin.

Adems, constituye el sistema de ecuaciones indefinidas completas del rgimentransitorio. En determinados casos, con el simple objetivo de simplificar la

integracin de dichas ecuaciones y permitir la resolucin de casos reales, se

desprecian algunos trminos de dichas ecuaciones, obteniendo los llamados modelos

simplificados de clculo de transitorios.

El primer paso para la obtencin de cualquier modelo simplificado es la

adimensionalizacin del sistema que describe el fenmeno pudiendo as determinar

la importancia relativa de los distintos trminos. Para ello ser necesario fijar unos

valores de referencia, que en este caso sern los valores representativos del rgimenpermanente inicial (o final) de un transitorio hidrulico en un conducto de longitud

L0, cuya altura piezomtrica serH0 y la velocidad de circulacin v0. El tiempo de

referencia se definir como 0 0t L a= , ya que el perodo del transitorio es

proporcional a 0L a .

Con esto ya podemos definir los valores adimensionales:

* * * *

0 0 0 0

v H x t v H x t

v H L L a

= = = =; ; ; (A1-2.30)

Las derivadas de estos valores, que nos aparecen en las ecuaciones del sistema, son:

* *0 0

* *0 0

* *0 0

* *0 0

H a HH H H H

x L x t L t

v a vv v v v

x L x t L t

= =

= =

;

;

(A1-2.31)

Sustituyendo en el sistema de ecuaciones (A1-2.29) se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones adimensional:


17/74



* * ** *0

* * *0

* ** * **

0* * *

2 0

10

2 2 2

L senH H vv v

t x x H

v vv H vL f v

t D x x

+ + =

+ + + =

(A1-2.32)

Donde se han definido los parmetros adimensionales: 0 02 av gH = (parmetro

adimensional de Allievi) y 0v a = .

Llegados a este punto podemos realizar las simplificaciones comentadas

anteriormente:

En los casos habituales de flujo a presin la velocidad del fluido es despreciablecomparada con el valor de la celeridad y, por tanto, el parmetro es muy

inferior a la unidad.

Adems, como 0 0L sen H es menor a la unidad, su producto con es muchomenor a la unidad.

Con estas dos consideraciones se llega a la conclusin de que siempre que se puedan

considerar despreciables los trminos convectivos (los que contienen ) y el trmino

en v sen , el sistema de ecuaciones adimensional (A1-2.32) se simplifica como:

* *

* *

* ** *

0* *

2 0

10

2 2 2

H v

t x

v vv HL f

t D x

+ =

+ + =

(A1-2.33)

Y, en variables dimensionales, las expresiones contenidas en (A1-2.33) nos

proporcionan las ecuaciones del modelo elstico simplificado:

20

0

2

H g v

t a x

v vv Hf g

t D x

+ =

+ + =

(A1-2.34)

Esta simplificacin es equivalente a la no consideracin de las variaciones de energa

cintica a lo largo del conducto durante los regmenes transitorios.

2.1.4.Introduccin a las condiciones de contornoLas expresiones obtenidas en (A1-2.34) solo se verifican de forma completa en

tramos uniformes de tubera, por lo que en elementos singulares del sistemahidrulico sern necesarias un conjunto de expresiones que relacionen las variables


18/74



bsicas del problema,Hy Q, proporcionando informacin adicional pudindose as

obtener la solucin en dichos elementos.

En este apartado se analizarn las condiciones de contorno que podemos hallar en un

sistema hidrulico.

2.1.4.1.Punto de presin constanteUn punto de presin constante nos lo encontraremos en un depsito o en una

descarga atmosfrica.

Cuando la conduccin es alimentada por o alimenta a un depsito de gran

capacidad con relacin al caudal circulante por dicha conduccin, las oscilaciones

en el depsito son despreciables en el perodo de tiempo caracterstico del

transitorio y, por tanto, se puede admitir que la presin en dicho punto esconstante. Entonces la condicin de contorno ser:

( )0 0B B BH z h cte p cte h= + = = = (A1-2.35)

Cuando una tubera descarga libremente en la atmsfera sucede lo mismo.

Entonces la condicin de contorno ser:

( )0 0B BH z cte p= = = (A1-2.36)

2.1.4.2.Vlvula de retencinLas vlvulas de retencin son elementos utilizados como sistemas de proteccin

ante fenmenos transitorios (vase captulo 4 del presente anexo a la memoria) y

su condicin de contorno depende del sentido del flujo.

Si realizamos la hiptesis simplificativa de que la vlvula se comporta idealmente

y, por tanto, se cierra en el mismo instante en que se invierte el flujo en la

conduccin y, adems, no provoca prdida de carga alguna. Entonces las

condiciones de contorno que describen el comportamiento de la vlvula son:

si 0A B

A B

v vv

H H

= >

= (A1-2.37)

0si 0

0A

B

vv

v

=

= (A1-2.38)

Pudiendo ser en (A1-2.37) las presiones y, por tanto, las alturas piezomtricas

distintas.


19/74



En el caso de suponer unas ciertas prdidas de carga, la condicin de contorno

(A1-2.37) variara en el trmino de altura piezomtrica de la siguiente forma:

B A VH H H= (A1-2.39)

Siendo VH las prdidas de carga que se vern en el siguiente caso.

Es necesario destacar que las vlvulas de retencin tienen una cierta inercia en su

cierre y, por tanto, presentan una caracterstica dinmica muy distinta a la ideal.

Debido a esta inercia una vlvula de retencin real cierra con posterioridad a la

inversin del flujo y este fenmeno puede dar lugar a importantes pulsos de

presin.

2.1.4.3.Vlvula motorizadaLa apertura o el cierre programados de una vlvula se lleva a cabo siguiendo una

determinada ley de maniobra que se desarrolla en un perodo de tiempo Tc. El

comportamiento de una vlvula viene descrito en cada instante por las prdidas

que, de acuerdo a sus caractersticas, origina en funcin del caudal que la

atraviesa. Entonces, la condicin de contorno de una vlvula en general ser:

B A VH H H= (A1-2.40)

SiendoV

H las prdidas de carga que se evalan con la siguiente formulacin:

2VH K Q = (A1-2.41)

El coeficiente de prdidas, K, no depende slo del tiempo sino que tambin

depende de las caractersticas intrnsecas de la vlvula.

Si la vlvula permite circulacin de flujos en ambos sentidos y el propio

transitorio hidrulico lo comporta, la expresin (A1-2.40) debe escribirse:

VH K Q Q =

(A1-2.42)

En el caso de una vlvula motorizada la ley de cierre es controlada mediante la

debida programacin del motor.

2.1.4.4.Cambio de seccin recta en una tubera simpleSupongamos una conduccin que presenta un cambio de seccin en un

determinado punto y en dicha conduccin se ha generado un transitorio. Si no se

consideran las prdidas de energa en dicho punto, las condiciones de contorno

son las siguientes:


20/74



A B

A B

Q Q

H H

=

= (A1-2.43)

Como se puede observar, estas condiciones son realmente sencillas y no son del

todo reales, ya que existirn unas prdidas de energa en el sentido del flujo CH ,que sern semejantes a las comentadas en el apartado 2.1.4.3, pero con

coeficientes de prdidas distintos.

2.1.4.5.Confluencia de tuberas en un nodoVeamos ahora el caso de una conduccin que tiene una confluencia de dos

tuberas a la que llega un pulso de presin segn la Figura A1.4. En este caso las

condiciones de contorno a aplicar irn en funcin de los puntos A, B y C de la

siguiente forma:

A B C

A B C

Q Q Q

H H H

= +

= = (A1-2.44)

Dichas condiciones se corresponden respectivamente con la ecuacin de

continuidad y la de la energa (suponiendo la ausencia de prdidas) aplicadas al

nudo. Como en el apartado anterior, es necesario comentar la simplicidad de la

hiptesis planteada al no considerar prdidas de carga.

Figura A1.4. Condicin de contorno en un nudo de tuberas (fuente: referencia [3] bibliografa).

2.2.Modelos de estudio de un transitorio hidrulicoEn el siguiente apartado se proceder al estudio de un transitorio en funcin de la

rapidez de los pulsos de presin, es decir, se realizar un estudio terico de los

diferentes modelos comentados en la introduccin del presente anexo a la memoria:

modelo esttico, modelo rgido y modelo elstico.

2.2.1.Modelo estticoEl modelo esttico o casi-esttico tambin recibe el nombre de simulacin en perodo

extendido, ya que es un mtodo utilizado en anlisis en los cules las condiciones de

carga de la red varan muy lentamente. Entonces, no ser posible estudiar lostransitorios elsticos con ste modelo.


21/74



Veamos algunas de las simulaciones ms significativas en las que este modelo NO es

operativo:

Respuestas de una red ante cierres o aperturas de vlvulas.Anlisis de la evolucin del flujo en una red ante una rotura instantnea.Anlisis de la respuesta de una red ante un brusco incremento del consumo.El arranque o parada de las bombas en un bombeo, as como una brusca variacin

en las velocidades de giro.

El anlisis de las inestabilidades que puede introducir en la red una vlvulareguladora de presin.

Vistas las simulaciones en las que este modelo de clculo no es aplicable, veamos en

que casos es aconsejable su aplicacin:

Es un instrumento efectivo en la gestin de los sistemas de distribucin de agua,ya que permiten una comprensin eficaz del comportamiento de los sistemas en

relacin a los diferentes condicionantes que les pueden ser impuestos.

Dimensionamiento hidrulico de los depsitos de distribucin, donde ser posibledeterminar las cotas de solera, volmenes de regularizacin y altura de agua.

2.2.1.1.Principio de clculo del modelo estticoEn la prctica nos encontramos con que no existe un sistema hidrulico totalmente

esttico en el tiempo, ya que el funcionamiento real de un sistema esta asociado a

la variable tiempo. Dicha variable debe ser explcitamente considerada para poder

proceder a un anlisis adecuado de cierto tipo de problemas, lo que trae como

consecuencia que el flujo deba ser considerado como un transitorio hidrulico.

Cuando las condiciones de contorno varan gradualmente en el tiempo se pueden

despreciar los efectos elsticos e inerciales en las ecuaciones fundamentales, lo

que equivale a efectuar la hiptesis de que los equilibrios hidrulicos se

establezcan de un modo casi instantneo, obteniendo resultados ms exactos

cuando la escala de tiempos de nuestro anlisis es ms larga.

2.2.1.2.Base matemtica del modelo estticoEl modelo esttico se basa en la no consideracin de la elasticidad de los

elementos ni la inercia de los fluidos en el sistema de ecuaciones (A1-2.34). Si

dicho sistema lo expresamos en funcin del caudal en vez de la velocidadobtenemos:


22/74



2

0

Q0

2 A

dH a Q

dt g A x

QdQ Hf g A

dt D x

+ =

+ + =

(A1-2.45)

Si, como hemos dicho, no se considera la elasticidad en dichas ecuaciones

tendremos la no variacin del caudal a lo largo de la tubera y el caudal ser

nicamente funcin del tiempo por lo que tendremos que:

0Q

x

=

(A1-2.46)

Entonces el sistema (A1-2.45) quedar reducido nicamente a la segunda

ecuacin, en donde si dejamos de considerar la inercia del fluido, quedar en:

02 A

Q Q Hf g A

D x

+ =

(A1-2.47)

Tambin conocida como ecuacin de Darcy-Weisbach que caracteriza la friccin

del agua con las paredes de la tubera en flujos estacionarios. Dicha ecuacin ser

la base del modelo esttico.

2.2.1.3.Modelo esttico en sistemas complejosComo hemos comentado, el modelo esttico es aplicable, sobretodo, a sistemas

complejos de redes de distribucin de agua que podemos simplificar como un

conjunto de depsitos con tuberas como nexo de unin.

La dinmica en los depsitos se rige por ecuaciones diferenciales ordinarias,

resultantes de la aplicacin de la ecuacin de continuidad a cada depsito en el

sistema de distribucin. Estas ecuaciones, de modo genrico, se pueden escribir

como:

1

0mrr ii

dZA Qdt =

= (A1-2.48)

Donde Ar es el rea de la seccin transversal en el depsito, Zr es la cota de la

superficie libre en el depsito r, m el nmero de tuberas que convergen al

depsito r y Q el caudal afluente o efluente.

2.2.1.4.Tcnicas de resolucin numricasLas tcnicas de resolucin numrica que nos permiten obtener una solucin a la

ecuacin (A1-2.47) son, de forma esquemtica, dos: la tcnica explcita y la


23/74



tcnica implcita. Dentro de estas dos tcnicas existen una gran variedad de

mtodos entre las cules veremos, de forma muy resumida, los dos mtodos ms

significativos:

El primero de ellos es el mtodo de Eulerque utiliza una tcnica explcita. Dichomtodo permite obtener la cota de agua en el depsito en un instante t t+

mediante la expresin:

( ) ( )( )r

r rr

Q tZ t t Z t t

S+ = + (A1-2.49)

Como se puede observar, dicho mtodo es un mtodo paso a paso que permite

obtener la cota de agua en el depsito en el tiempo t t+ a partir de la cota de

agua y el caudal entrante en el tiempo t. Esto nos viene a decir que en el intervalo

de tiempo t el balance de caudales en el depsito es constante y, por tanto, la

variacin de volumen en cada depsito viene dada por:

( ) ( ),r rV t t t Q t t + = (A1-2.50)

Esto nos conduce al siguiente error: cuando el balance de caudales es positivo el

llenado del depsito es ms rpido que en la realidad y cuando el balance de

caudales es negativo el vaciado del depsito es ms lento que en la realidad.

El segundo y ltimo mtodo es el mtodo predictor-corrector que utiliza unatcnica implcita. Dicho mtodo se basa en la siguiente expresin:

( ) ( ) ( ) ( )( )2r r r r r

tZ t t Z t Q t Q t t

S

+ = + + +

(A1-2.51)

Como se puede observar, se trata de una ecuacin implcita ya que en el instante

t t+ no es posible conocer el valor del caudal. El mtodo se basa en realizar,

mediante el mtodo de Euler, una prediccin del caudal ( )rQ t t+ y utilizarlo en

el siguiente intervalo de tiempo.

En este caso el volumen en el interior de cada depsito se determina con:

( ) ( ) ( )( )1

,2r r r

V t t t Q t Q t t + = + + (A1-2.52)

Donde se puede observar como en este caso la aproximacin es mejor, ya que se

consideran los caudales en los dos intervalos de tiempo.


24/74



2.2.2.Modelo rgidoEl modelo rgido es, como se observar, una mejora en cuanto a la aproximacin al

problema real que nos encontraremos ya que se tiene en cuenta la inercia del fluido.

Algunas de las aplicaciones ms habituales de dicho modelo son:

Tiempo de vaciado de un depsito.Oscilaciones que nos aparecen entre dos depsitos interconectados.Transitorio aparecido en un tubera de impulsin de escasa pendiente que estaprotegida.

Cierres de vlvulas lentos en sistemas formados por un depsito y una tubera porla que se extrae o introduce un cierto caudal.

Tiempo de establecimiento de una corriente.Como se comprender ms adelante, las simulaciones en las que NO es posible

utilizar dicho mtodo son en las que los pulsos de presin son elevados y en los

cules es necesario tener en cuenta la elasticidad de las tuberas.

2.2.2.1.Base matemtica del modelo rgidoEl modelo rgido o modelo inercial rgido se basa en la no consideracin de la

elasticidad en el sistema de ecuaciones simplificado (A1-2.34). Si dicho sistema

lo expresamos en funcin del caudal en vez de la velocidad obtenemos:

2

0

Q0

2 A

dH a Q

dt g A x

QdQ Hf g A

dt D x

+ =

+ + =

(A1-2.53)

Si, como hemos dicho, no se considera la elasticidad en dichas ecuaciones

tendremos la no variacin del caudal a lo largo de la tubera y el caudal ser

nicamente funcin del tiempo por lo que tendremos que:

0Q

x

=

(A1-2.54)

Entonces el sistema (A1-2.53) quedar reducido nicamente a la segunda

ecuacin:


25/74



Q0

2 A

QdQ Hf g A

dt D x

+ + =

(A1-2.55)

Como se puede observar, las diferencias entre el modelo rgido y el modelo

esttico se basan en la consideracin o no de la variable tiempo en la ecuacin quegobierna los flujos.

Integrando la ecuacin (A1-2.55) para un valor genrico de tiempo a lo largo de

un conducto de seccin recta constante entre dos puntos, separados una distancia

L se tiene la denominada ecuacin de Euler:

( ) ( ) 21 2 2

Q QL L dQH H f

D g A g A dt= + +

(A1-2.56)

Dicha ecuacin nos caracteriza la oscilacin de masa entre dos puntos unidos poruna conduccin recta de seccin constante. Es ms, dicha ecuacin representa,

fsicamente, que la energa piezomtrica que almacena el fluido en el punto 1 se

conserva por una parte como altura piezomtrica en 2, por otra como disipacin

por rozamiento al recorrer el camino desde 1 hasta 2 y el resto es energa invertida

en acelerar el fluido o recuperada si el fluido se frena.

2.2.2.2.Modelo rgido en sistemas complejosDebido a que en el caso anterior se ha realizado un breve comentario sobre laaplicacin del modelo esttico a los sistemas complejos de redes, veamos la

extensin del modelo rgido a este tipo de sistemas.

Holloway en 1985 realiz dicha extensin debido a que en la prctica la no

consideracin de la inercia del fluido en las tuberas no es despreciable en muchas

ocasiones. La ecuacin que rige el movimiento del fluido entre dos nudos de la

red es:

i j

L dQ

H H K Q Qg A dt=

(A1-2.57)

Donde iH son las distintas alturas piezomtricas en los nudos.

2.2.2.3.Tcnicas de resolucin numricasComo se coment en el modelo esttico existen una gran cantidad de tcnicas

numricas de resolucin. Entre stas podemos destacar los mtodos de Runge-

Kutta, los mtodos predictor-correctorcomo por ejemplo el mtodo de Adams o

el mtodo utilizado porHolloway en los sistemas complejos.


26/74



La utilizacin de uno u otro mtodo depender siempre del problema a resolver ya

que por ejemplo el mtodo de Runge-Kutta se adapta muy bien a problemas como

los de una chimenea de equilibrio pero no es tan eficiente para redes de tuberas

donde sera aconsejable utilizar el mtodo de Holloway.

2.2.2.4.Modelo esttico o modelo rgidoLa frontera entre la utilizacin de un modelo elstico o cualquiera de los otros dos

es muy clara ya que el modelo elstico es necesario para casos concretos donde

nos encontramos con pulsos de presin importantes y variaciones de caudal

elevadas.

En cambio, la frontera en la utilizacin del modelo esttico o el rgido no esta

nada clara. Este tema ha sido estudiado por una gran cantidad de autores como

Chaundry et al. (1985), Wood et al. (1989), Rogalla et al. (1993) o Abreu el al.

(1994).

Dichos autores han considerado, principalmente, dos opciones:

Variaciones entre el tiempo caracterstico de la maniobra que introduce eltransitorio y el perodo caracterstico ms significativo del sistema complejo.

Introduccin de ciertos parmetros a partir de los cules determinar la fronterareal entre la utilizacin de uno u otro modelo.

Podramos referirnos de forma mucho ms extensa en este tema pero se ha

considerado que no pertenece al documento en cuestin y que, en todo caso, la

utilizacin de un modelo rgido en todos los casos proporcionara mejores valores.

Con esto se viene a decir que depende del punto de vista personal escoger uno u

otro mtodo.

2.2.3.Modelo elsticoEl modelo elstico es el modelo en el que no se realiza simplificacin alguna de las

ecuaciones, es decir, se considera la elasticidad de las tuberas y la inercia del fluido.

La aplicacin de un modelo tan completo queda reservada a casos en los que es la

consideracin de todas las variables. Entre sus aplicaciones tenemos una gran

cantidad aunque las podramos definir todas con: transitorios en los cules el tiempo

de maniobra que produce el transitorio es muy corto provocando unos pulsos de

presin elevados o muy elevados.


27/74



2.2.3.1.Base matemtica del modelo elsticoLa base matemtica del modelo elstico la componen las ecuaciones del sistema(A1-2.29).

2.2.3.2.Tcnicas de resolucin numricaExiste una gran variedad de mtodos numricos, de los cules los ms utilizados

son:

El mtodo de las caractersticas o Method of Characterisitcs.El mtodo de la onda caracterstica o Wave Characteristic Method.Los mtodos en diferencias finitas.Los mtodos de elementos finitos.Los mtodos de elementos de contorno.Los mtodos pseudoespectrales.

Los dos primeros son las dos metodologas ms usadas, concretamente el primero

de ellos. Los dos se basan en el mismo concepto pero con la diferencia de que el

primero hace un estudio del sistema desde un punto de vista Euleriano y el

segundo desde un punto de vistaLagrangiano. La bondad entre la utilizacin deuno u otro mtodo ha sido largamente discutida, sobretodo en Estados Unidos

pero en los ambientes europeos se utiliza, por norma general, el mtodo de las

caractersticas.

Los otros cuatro mtodos comentados no se utilizan en este tipo de estudios ya

que nos encontramos con problemas de eficiencia computacional (sobretodo en el

mtodo en diferencias finitas) o con problemas en la captura de los frentes de

onda ms abruptos (sobretodo en los mtodos de elementos finitos).

Por las razones dadas, se realizar la explicacin del mtodo de las caractersticas de

forma extendida y ms adelante una breve explicacin del mtodo de la onda

caracterstica y una comparativa entre ambos.


28/74



3.Modelo matemtico: tratamiento del sistema de ecuacionesLas ecuaciones que integran el modelo elstico ser con las que se trabaje para realizar

un estudio de los transitorios hidrulicos como el del caso que se estudia (un bombeo de

gran altura).

Dicho sistema de ecuaciones debe tratarse para de la forma que se ver a continuacin

para obtener la solucin.

3.1.Forma matricial del sistema de ecuacionesEl sistema de ecuaciones a tratar, como ya se comento en el apartado 2.2.3.1 es el

siguiente:

2

0

0

2

H H a vv v sen

t x g x

v vv v Hv g f

t x x D

+ + + =

+ + + =

(A1-3.1)

Si dicho sistema se escribe en forma matricial obtenemos:

( ) ( )H H

A v B vv vt x

+ =

(A1-3.2)

Donde:

( ) ( )

2

,

2

v senav

A v B vg v vf

g v D

= =

3.2.Clasificacin del sistema de ecuaciones3.2.1.Valores propios del sistemaSi realizamos el polinomio caracterstico de la matriz convectiva del sistema

(A1-3.2), ( )A v , obtenemos los polinomios caractersticos del sistema:

1

2

v a

v a

= +

= (A1-3.3)

Como podemos observar, los dos valores caractersticos sern siempre distintos yaque el valor de a es muy superior al valor de v.


29/74



3.2.2.ClasificacinComo se puede obtener del apartado anterior, el sistema de ecuaciones que rige el

transitorio hidrulico es un sistema casi-lineal de tipo hiperblico, ya que la matriz

( )A v tiene valores propios reales distintos para cada v .

No existe ninguna expresin que proporcione la solucin de este sistema hiperblico,

casi-lineal y no homogneo en forma cerrada. Realizando la omisin de ciertos

trminos, el sistema puede ser simplificado y reducido a expresiones que pueden ser

integradas de forma cerrada y mediante mecanismos grficos obteniendo

aproximaciones ms lejanas a la realidad como menos justificables sean la omisin o

la linealizacin. Por esta razn, ser necesario recurrir a los mtodos numricos para

la resolucin del sistema completo.

3.3.Forma normal del problemaCon la informacin obtenida en los apartados anteriores, podemos obtener la forma

normal del problema hiperblico.

Se puede demostrar que todo sistema hiperblico del tipo:

[ ] [ ] [ ]H H

A B Cv vt x

+ =

(A1-3.4)

Con dos valores caractersticos diferentes que constituyen la matriz [D]:

[ ]0

0

v aD

v a

+ =

(A1-3.5)

Tiene una nica matriz transformadora que cumple:

[ ][ ] [ ][ ][ ]T A D T B= (A1-3.6)

En este caso en particular, la matriz transformadora vale:

[ ]

1

1

a

Ta

=

(A1-3.7)

Utilizando esta propiedad, si premultiplicamos el sistema (A1-3.2) por la matriz

transformadora (A1-3.7) obtenemos:


30/74



( )

( )

1 sin2

1 sin2

v va a av a v a v f

H Hg g g D

a v a vt x v vav a v a v fg g D

+ + + = +

(A1-3.8)

Que al reordenar, nos proporciona la forma normal del sistema hiperblico de

ecuaciones diferenciales siguiente:

( ) ( )

( ) ( )

sin2

sin2

v vH H a v v av a v a v f

t x g t x g D

v vH H a v v av a v a v f

t x g t x g D

+ + + + + = +

+ + =

(A1-3.9)


31/74



4.Mtodos de resolucin numricaEn este captulo terico se realizar una explicacin de los distintos mtodos de

resolucin numrica que existen y que se usan, o se han usado, para resolver el sistema

de ecuaciones tratado en el apartado anterior.

4.1.Mtodo de las caractersticas: resolucin numrica del modeloelstico

Para una mejor comprensin del mtodo de las caractersticas, este apartado se

estructura de la siguiente forma: en un primer punto se vern las posibles

simplificaciones que se pueden realizar al sistema de ecuaciones (A1-2.29) y las

soluciones exactas de este sistema simplificado donde, gracias a dichas

simplificaciones, no ser necesario realizar mtodos numricos para hallar lassoluciones al sistema. En un segundo apartado se realizar el tratamiento numrico

necesario para realizar la integracin numrica del sistema (A1-2.29) con integracin

numrica.

4.1.1.Obtencin de soluciones sobre el sistema simplificadoComo se ha visto en el apartados anteriores, en la mayora de los casos reales la

velocidad es muy inferior a la velocidad, por lo que los trminos convectivos de la

aceleracin, v H x y v v x , son muy inferiores al resto de trminos ypueden ser despreciados. Con el trmino que incluye la pendiente ocurre lo

mismo. Entonces el sistema (A1-2.34) se reescribe como:

2

0

0

2

H a V

t g x

V VV Hf g

t D x

+ =

+ + =

(A1-4.1)

Si adicionalmente se asume que las prdidas son despreciables, el sistemaanterior, tras derivar la primera ecuacin respecto al tiempo y la segunda respecto a

la variable espacial x y restarlas, se transforma en la conocida ecuacin de

ondas unidimensional:

2 22

2 20

H Ha

t x

=

(A1-4.2)

Dicha ecuacin tiene una expresin anloga para la velocidad:


32/74



2 22

2 20

v va

t x

=

(A1-4.3)

Dichas suposiciones son aplicables en nfimos casos, pero la solucin de los

problemas ms generales tiene un comportamiento semejante al de la ecuacin deondas.

De dicha ecuacin si que se tiene la solucin analtica, ya que fue obtenida por von

Riemann en 1869. Para obtenerla se realiza la superposicin de las soluciones de los

factores en que se descompone:

0v v v v

a at x t x

+ =

(A1-4.4)

Rienman observ que una solucin ( ),v x t de la ecuacin:

0v v

at x

+ =

(A1-4.5)

Verifica que:

0dv v v dx v v

adt t x dt t x

= + = + =

(A1-4.6)

Si se cumple que dx dt a=

, o lo que es lo mismo, si cte.x at = Esto nos viene adecir que ( ),v x t es constante a lo largo de cada una de las rectas de la familia

x at = , siendo una constante arbitraria.

Entonces, la solucin de (A1-4.5) es de la forma ( ) ( ) ( ),v x t f f x at = = , que

representa la solucin en trminos nicamente de los valores iniciales

( ) ( ),0v x f x= . Se puede ver como el valor de u en cada punto ( ),x t depende solo

del valor inicial de f en el punto de abscisa 0x a = , de corte de la recta

x at = con el eje de abscisas, de ecuacin 0t= .

Dichas rectas x at = son llamadas rectas caractersticas de la ecuacin

diferencial. La influencia que ejerce el valor inicial en un punto determinado sobre

la solucin ( ),v x t se deja sentir justamente en los puntos de la caracterstica

x at = . Y de se dice que representa el dominio de dependencia de ( ),v x t

respecto de los valores iniciales.

De forma anloga podemos obtener la otra solucin que nos falta:

0v v

a

t x

=

(A1-4.7)


33/74



Dicha ecuacin tendr solucin ( ),u x t constante sobre cualquier recta de la familia

cte.x at + = = , por lo que su solucin queda representada por

( ) ( ) ( ),v x t g g x at = = + , que depende nicamente del valor inicial degen el punto

0x a = + de corte de la recta at + = con el eje de abscisas.

Como en el caso anterior, las rectas at + = son las caractersticas de la ecuacin

diferencial y cada una de ellas representa el dominio de influencia del valor inicial.

Si superponemos ambas soluciones obtenemos la solucin general de la ecuacin de

ondas:

( ) ( ) ( ),v x t g x at f x at = + + (A1-4.8)

Fsicamente, las soluciones ( ),v x t obtenidas representan:

x at = : una onda que viaja de izquierda a derecha sin cambiar de forma. at + = : una onda que viaja de derecha a izquierda sin cambiar de forma.

Recurdese que no se han considerado las prdidas ni los trminos de la aceleracin,

por lo que es normal que las ondas viajen sin cambiar de forma.

Entonces, cuando en un punto cualquierax tiene lugar una perturbacin, la grfica de

esta ecuacin en el plano x-tmuestra cmo evoluciona, ya que esta formada por dos

ondas que se propagan, sin cambiar de forma, con velocidad constante a, condirecciones opuestas sobre el eje de abscisas.

Figura A1.5. Dominio de dependencia de las soluciones u(x,t) (fuente: referencia [3] bibliografa).

Llegados a este punto podemos definir el dominio de dependencia de la solucin en

el punto ( ), t como el intervalo ( ),at x at + y el dominio de influencia de ( ),0

sobre ( ),v x t al rea que queda entre las rectas caractersticas y las rectas at x =

y at x + = (rea sombreada de la Figura A1.6).


34/74



Figura A1.6. Dominio de influencia de la condicin inicial en un punto (fuente: referencia [3]bibliografa).

En dicha figura tambin se pueden observar los dominios de indeterminacin del

punto ( ),x t , que las zonas del plano x-ten las que cualquier perturbacin que ocurra

en el dominio de dependencia del punto en cuestin no tienen ningn efecto (en la

figura son las zonas exteriores).

Tambin podemos discernir entre las rectas caractersticas ya que a la recta

x at = se la llama caracterstica positiva y a la recta x at + = se la llama

caracterstica negativa.

4.1.1.1.Caractersticas del sistema simplificadoComo se realiz en apartados anteriores, expresaremos las ecuaciones en funcin

de las variablesHy Q, en vez de las variablesHy v. Al realizar dicho cambio de

variable, donde se ha considerado que la tubera tiene seccin constante,obtenemos:

2

0

0

H a Q

t gA x

Q HgA

t x

+ =

+ =

(A1-4.9)

Si en dicho sistema de ecuaciones se realizan los cambios de variables definidos

por las rectas caractersticas comentadas se obtiene:

0

0

H H Q QgA a

H H Q QgA a

+ + =

+ + =

(A1-4.10)

Si se trabaja con las dos ecuaciones que conforman el sistema obtenemos las

siguientes ecuaciones:


35/74



0

0

gAH Q

a

gAH Q

a

+ =

=

(A1-4.11)

Como se puede observar, la relacingA

H Qa

+ no depende de , por lo que es

constante sobre cada caracterstica positiva; y la relacingA

H Qa

no depende

de , por lo que es constante sobre cada caracterstica negativa. Entonces, lasrectas caractersticas se pueden entender como lneas que permiten transmitirinformacin en el tiempo y el espacio simultneamente.

Entonces, si suponemos un punto Psobre el que se conocen todas las variables

necesarias, distribuciones iniciales de presin y velocidad, podemos definir losdistintos dominios comentados anteriormente en la siguiente figura:

Figura A1.7. Dominios de dependencia de las caractersticas sobre un punto cualquieraP (fuente:referencia [3] bibliografa).

Se pueden observar los dominios de influencia, de dependencia y de

indeterminacin comentados anteriormente.

4.1.1.2.Condiciones de contornoLa solucin de un sistema en las zonas de indeterminacin depender en todo

momento del dominio en el que nos encontremos, ya que si nos encontramos en el

dominio de dependencia la solucin viene totalmente determinada por la

condicin inicial, ya que a cualquier punto de dichas zonas llega una caracterstica

positiva y una negativa.

Sin embargo, si tenemos un punto que se encuentra en el dominio de

indeterminacin de las caractersticas iniciales del sistema necesitaremos de

ciertas relaciones que nos definen el caudal o la altura piezomtrica o una relacin

entre ambas para que, juntamente con una caracterstica positiva para el extremo


36/74



aguas abajo y una negativa para el extremo aguas arriba, se pueda obtener la

solucin en dichos puntos. Estas relaciones son las condiciones de contorno que

en posteriores captulos veremos con mayor detalle.

4.1.2.Mtodo de las caractersticas: integracin numrica delsistema

El sistema (A1-2.29) en su forma normal, sistema (A1-3.9), es sobre el que ser

necesario trabajar para poder obtener una solucin no simplificada al problema.

El primer paso a realizar ser la obtencin del sistema (A1-3.9) en su forma en

caractersticas y el segundo ser el de la discretizacin de dicho sistema, ya que

como ya se ha comentado, ste sistema no puede ser resuelto analticamente.

4.1.2.1.Forma en caractersticas del sistemaSi observamos el sistema (A1-3.9), se puede ver que si se tuviera una curva que

cumpliera la ecuacin diferencial:

dv a

dt

= + (A1-4.12)

El primer sumando, por ejemplo, pasara de ser una derivada parcial a ser una

derivada total a lo largo de la curva (A1-4.12):

( )H H H H d dH

v at x t x dt dt

+ + = + =

(A1-4.13)

Si realizamos los cambios de forma anloga en todo el sistema de ecuaciones

diferenciales se obtiene la buscada forma en caractersticas del sistema:

sin en2

sin en2

v vdH a dv a d v f v a

dt g dt g D dt

v vdH a dv a d v f v adt g dt g D dt

+ = + = +

= =

(A1-4.14)

Como se puede observar, el mtodo de las caractersticas se basa en que se pasa

de tener un sistema de dos ecuaciones en derivadas parciales a uno de cuatro

ecuaciones en derivadas totales. La dificultad del mtodo radica en el hecho de

que las ecuaciones se han de resolver a lo largo de las curvas caractersticas,

solucin del mismo sistema, con la obligatoriedad de que las cuatro ecuaciones se

resuelvan simultneamente.


37/74



Adems, los ejes de integracin no son los clsicos (x,t), sino que son las curvas

caractersticas (,), las cuales son tambin incgnita del problema. Pero como ya

se aplic el cambio de coordenadas pertinente, matriz transformadora (A1-3.7),

para resolver el sistema (A1-4.14) en los ejes (x,t) se tienen que resolver las

ecuaciones diferenciales a lo largo de las curvas caractersticas.

Como en casos anteriores, se realizar el cambio de variables de v yHa Q yH,

ya que se trata de una prctica habitual en problemas de ingeniera hidrulica.

en2

en2

Q QdQ gA dH d Qf a

dt a dt DA dt A

Q QdQ gA dH d Qf a

dt a dt DA dt A

+ = = +

= =

(A1-4.15)

4.1.2.2.Discretizacin del sistemaEl sistema (A1-4.15) no tiene solucin analtica, por lo que ser necesario

resolverlo con metodologa de integracin numrica. Para resolverlo se puede

optar por utilizar varios esquemas numricos, aunque el ms simple y utilizado es

el esquema en diferencias finitas explcito de primer orden, obteniendo:

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

2

en

2

en

k ki UP UP i UP UP

UP UP k k k k

UP UP UP

i UPUP UP k k

k kj DW j DWDW DW

DW DWk k k k DW DW DW

j DWDW DWk k

Q Q gA H H f Q Q

t t a t t D A

x xV a

t t

Q Q H H gA fQ Q

t t a t t D A

x xV a

t t

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+

+ =

= +

=

=

(A1-4.16)

Donde UPes el subndice que denota el tramo el tramo de aguas arriba del nodo ij

yDWes el subndice que denota el tramo de aguas abajo del nodo ij.

En la siguiente figura se puede observar la nomenclatura que siguen las variables:


38/74



Figura A1.8. Discretizacin del nodo ij mediante el mtodo de las caractersticas con el esquema endiferencias finitas explcito de primer orden (fuente: Joan Soler).

Dicho esquema proporciona buenos resultados si la friccin no es muy elevada

y/o el dimetro no muy pequeo, siempre que se integre entre puntos

correspondientes a instantes de tiempo no muy alejados. Para valores de f muyelevados o de D muy pequeos, este esquema puede producir resultados

inestables.

Faltan por definir las variables interpoladas en el instante ken los puntos xUP y

xDW, que con la ayuda de la Figura A1.8 son:

Para el tramo aguas arriba del nodo ij se tiene:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1

1

1

UP i UP UP

k kUP UP i i UP i i

UP

k kUP UP i i UP i i

UP

k kUP UP i i UP i i

UP

x x v a t

v x x v x x vx

H x x H x x Hx

Q x x Q x x Qx

= +

=

=

=

(A1-4.17)

Y para el tramo aguas abajo del nodo ij se tiene:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1

1

1

DW j DW DW

k kDW DW j j DW j j

DW

k kDW DW j j DW j j

DW

k kDW DW j j DW j j

DW

x x v a t

v x x v x x vx

H x x H x x Hx

Q x x Q x x Qx

+ +

+ +

+ +

=

=

=

=

(A1-4.18)

Donde se han usado las igualdades:


39/74



1

1

1

k k

UP i i

DW j j

t t t

x x x

x x x

+

+

=

=

=

Si sustituimos las dos primeras ecuaciones en las segundas en (A1-4.17) y(A1-4.18) se obtiene:

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

k k k k k k k k UP UP i i i UP i UP i i i i i UP i UP i i

k k k k k k k k DW DW j j j DW j DW j j j j j DW j DW j j

v x v x v v t v a t v x v x v v t v a t v x

v x v x v v t v a t v x v x v v t v a t v x

+ + + + +

= + + +

= + + +

(A1-4.19)

Que al reordenar:

( ) ( )( ) ( )

1 1

1 1

k k k k k

UP i i UP i UP i i UP

k k k k k DW j j DW j DW j j DW

v v t v v x v v a t

x v v t v v x v v a t

+ +

+ = +

+ = +

(A1-4.20)

Aislando las velocidades interpoladas, se obtienen las siguientes expresiones:

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

k k ki UP i i UP

UP k kUP i i

k k kj DW j j DW

DW k k

DW j j

v x v v a t v

x v v t

v x v v a t v

x v v t

+

+

+ =

+

+ =

+

(A1-4.21)

Que resultan ser unas expresiones explcitas que dependen exclusivamente de los

valores en el instante k. Con dichos valores se pueden obtener los puntos exactos

de interpolacin:

( )

( )UP i UP UP

DW j DW DW

x x v a t

x v a t

= +

= (A1-4.22)

Con esto ya pueden ser hallados los dems valores interpolados de formaexplcita:

111 1

1 1 1 1

111

1 1 1

DW j DW jk k k k UP i UP iUP i i DW j j

i i i i j j j j

DW j DW jk k kUP i UP iUP i i DW j

i i i i j j

x x x xx x x xH H H H H H

x x x x x x x x

x x x xx x x xQ Q Q Q Q

x x x x x x

+

+

+ +

+

+

= + = +

= + = +

11

kj

j j

Qx x +

+

(A1-4.23)

Y, ya por ltimo, operando en el sistema (A1-4.16) se puede obtener el esquemade clculo del mtodo de las caractersticas a utilizar:


40/74



( )

( )

1 1 1 1

1 1 1 1

, 02

, 02

k k k k UP UP UP UP i i i i UP UP UP UP

UP UP UP UP

k k k k DW DW DWDW j j j j DW DW DW DW

DW DW DW DW

gA gA fC Q H Q H Q H Q Q t

a a D A

gA gA fC Q H Q H Q H Q Q t

a a D A

+ + + + +

+ + + +

+ + =

+ + =

(A1-4.24)

Si se observa el sistema de dos ecuaciones (A1-4.24) del nodo ij, se observa como

los tres ltimos sumandos de ambas ecuaciones son funciones variables de Q yH

en el instante ky, en cambio, los dos primeros sumandos son funciones variables

de Q yHen el instante k+1 y, por tanto, son las cuatro incgnitas a resolver:

( )1 1 1 1, , ,k k k k i i j jQ H Q H + + + +

Entonces se tienen 4 incgnitas a resolver y nicamente se tienen dos ecuaciones,por lo que faltan dos ecuaciones, que sern las ecuaciones internas del nodo ij.

Dichas ecuaciones dependern de las condiciones de contorno del nodo en

cuestin.

4.1.2.3.Convergencia y estabilidad del mtodo de las caractersticasEl esquema del anterior apartado solo proporcionar una aproximacin a la

solucin exacta, por lo que es necesario saber si el esquema descrito proporciona,

para los puntos de la malla del problema discretizado unos valores prximos a losexactos, aun que sea a costa de utilizar valores dex ytmuy pequeos.

Lo primero que es necesario es poder asegurar la estabilidad del esquema, ya sta

es una condicin bsica para la convergencia de un esquema numrico de clculo.

Diremos que un sistema es inestable si el error crece al progresar el clculo y que

el sistema es estable si el error se mantiene acotado.

Para asegurar la estabilidad de un esquema como el utilizado se puede utilizar la

condicin de Courant-Friedrics-Lewy que cualitativamente establece que el

dominio de dependencia de un punto en el esquema de clculo debe contener al

dominio de dependencia de dicho punto en el problema diferencial.

En el caso de no considerar los trminos convectivos de la aceleracin (caso

simplificado), la condicin de Courant-Friedrics-Lewy es:

xt

a

(A1-4.25)


41/74



En cambio, si consideramos que la celeridad y la velocidad pueden ser variables a

lo largo de la tubera, y se consideran los trminos convectivos de la aceleracin

(caso real), la condicin de Courant-Friedrics-Lewy se reescribe como:

( )

xt mx v mx a

+ (A1-4.26)

Esta condicin puede llegar a ser imposible de controlar, por lo que en la mayora

de casos se asume que la celeridad es constante y la velocidad tiene una magnitud

despreciable frente a sta, pudiendo obtener la condicin de Courant-Friedrics-

Lewy como:

N

aC

x t=

(A1-4.27)

Quedando la condicin como 1NC , para que el esquema sea estable.

Todo esto es vlido solo para sistemas lineales, que son en los que no se tienen en

cuenta las prdidas. En caso contrario, el sistema se vuelve no lineal y la

aplicacin de la condicin de Courant no asegura la estabilidad del sistema.

Cuando es el caso de que las prdidas son pequeas, puede considerarse vlida la

condicin. Pero cuando las prdidas son elevadas, el sistema se puede convertir en

inestable aunque se cumpla la condicin de Courant.

4.2.Mtodo de resolucin de la onda caractersticaEl mtodo de la onda caracterstica se puede plantear como una alternativa al mtodo de

las caractersticas, ya que nos proporciona una solucin aproximada al mismo problema

en cuestin.

Como ya se ha comentado, este mtodo utiliza un punto de vista Lagrangiano para

obtener la solucin, en otras palabras, en vez de calcular las propiedades del fluido enuno o varios puntos concretos (malla descrita en el mtodo de las caractersticas), se

sigue el comportamiento de las ondas de presin a lo largo de su recorrido por el

sistema de tuberas.

Veamos en que se fundamenta este mtodo y el porque de su no utilizacin en Europa

en los siguientes apartados.


42/74



4.2.1.Bases del mtodo de la onda caractersticaEn este apartado se ver en que se basa el mtodo de la onda caracterstica y, por

tanto, se empezar a distinguir las principales diferencias entre ste y el mtodo de

las caractersticas.

El mtodo de la onda caracterstica se basa en el concepto fsico de que el flujo en un

transitorio hidrulico viene provocado por la generacin y propagacin de las ondas

de presin que se producen en la alteracin de un sistema hidrulico, como puede ser

el cierre de una vlvula. Una onda de presin, que podemos representar como un

cambio rpido de presin y su cambio de flujo asociado, viaja a una velocidad igual a

la celeridad de la onda, y la onda es parcialmente transmitida y reflejada en todas las

discontinuidades en el sistema; la onda de presin tambin quedar modificada por la

friccin con las paredes de las conducciones.

4.2.1.1.Relaciones bsicas del mtodoLas relaciones bsicas del mtodo son las mismas que las utilizadas en otros,

principalmente se basan en elpulso de Jukowski (vase el apartado 2.6).

La relacin entre un cambio de presin y un cambio de caudal que va asociado

con el paso de una onda de presin define la respuesta de un sistema hidrulico

ante un transitorio hidrulico. En la siguiente figura podemos observar la

transmisin de una onda de presin durante un ciertot, la cual avanzar un ciertox.

Figura A1.9. Propagacin de una onda de presin en una tubera (fuente: referencia [5] bibliografa).

Haciendo balance y aplicando el principio de momentum obtenemos que el

incremento de presin ser:

L

P Q

A t

=

(A1-4.28)


43/74



El trmino x t es la velocidad de propagacin de la onda de presin. Como la

velocidad media del fluido es, en la mayora de casos, varios rdenes de magnitud

inferior a la velocidad del sonido, es aceptable tomar como valor de la velocidad

de la onda de presin la celeridad de la onda, por lo que el incremento de presin

quedar:

L

QP a

A

= (A1-4.29)

O, en trminos de altura:

L

QH a

A

= (A1-4.30)

Pudiendo obtener la celeridad de la onda a partir de la expresin (A1-2.14).

4.2.2.El mtodo de la onda caractersticaComo se ha visto, el mtodo de la onda caracterstica se basa en ver como se

propagan las ondas de presin en el transcurso de un transitorio hidrulico. As pues,

ser necesario determinar como se propagan stas ondas de presin a lo largo de los

distintos elementos que se pueden hallar en un sistema hidrulico.

4.2.2.1.Transmisin de las ondas de presinEl mtodo se basa en determinar como se transmiten las ondas de presin ante

cualquier elemento, es decir, en hallar las distintas ondas de presin que se pueden

ver en la siguiente figura.

Figura A1.10. Accin de una onda de presin ante una discontinuidad o elemento (fuente: referencia [5]bibliografa).

Estas ondas de presin dependern en todo momento del caudal circulante y

satisfacen la siguiente ecuacin:

( ) ( ) ( )H A t B t Q C t Q Q = + + (A1-4.31)


44/74



Donde A, B y C representan los coeficientes de la ecuacin caracterstica del

elemento. Estos coeficientes pueden variar a lo largo del tiempo, por lo que ser

necesario determinarlos para cada elemento en cada instante de tiempo.

En la Figura A1.13 se pueden observar los valores de caudal antes y despus delpaso de las ondas de presin. Dichos trminos representan tasas volumtricas de

flujo que entran y salen del elemento; en cualquier caso, la aparicin de

fenmenos de cavitacin puede afectar a las relaciones de continuidad, lo que

provoca que sea necesario considerar los trminos de flujo de forma separada.

Entonces, si se aplican las relaciones bsicas del transitorio para los cambios de

presin, se obtienen las siguientes expresiones:

( )

( )

1

3 1 3 11

24 2 4 2

2

c

H H Q Qg Ac

H H Q Qg A

= +

= +

(A1-4.32)

Y los picos de presin posteriores al paso de la onda de presin son:

3 1 1 3

4 2 2 4

H H H H

H H H H

= + +

= + + (A1-4.33)

Entonces, la ecuacin caracterstica que proporciona el pico de presin y el flujo alo largo de la discontinuidad despus de la onda caracterstica es:

( ) ( ) ( )4 3 0 0 0H H A t B t Q C t Q Q = + + (A1-4.34)

Las ecuaciones (A1-4.32), (A1-4.33) y (A1-4.34) pueden ser resueltas para

obtener la relacin cuadrtica para Q0:

( ) ( ) 1 20 0 0 01 2

0

c cC t Q Q B t Q Q b

g A g A

+ + + =

(A1-4.35)

Donde, ( ) 1 21 1 2 21 2

2 2 ic c

b A t H H H H Qg A g A

= + + + +

.

La ecuacin (A1-4.35) puede ser resuelta utilizando la ecuacin cuadrtica outilizando el mtodo iterativo de ceros de funciones Newton-Raphson con laaproximacin inicial Q0 = Qi.

En caso de que no exista cavitacin en el proceso, los flujos en las tuberas sonnumricamente iguales al flujo a travs del elemento, por lo que se obtiene que

3 0Q Q= y 4 0Q Q= .


45/74



4.2.2.2.Coeficientes de las ecuaciones caractersticas de los elementosLos coeficientes de la ecuacin caracterstica de cada elemento se determinan

utilizando los datos de caudal y/o altura para ste.

Dependiendo del tipo elemento ser necesario utilizar uno u otro coeficiente. Por

ejemplo para el caso de las bombas ser necesario utilizar los tres coeficientes

para representar las variaciones del flujo y altura y, en cambio, las vlvulas

precisan nicamente del coeficiente C, que se refiere a la resistencia que ofrece el

elemento al flujo.

El coeficiente de mayor relevancia es C, ya que ir incluido en la ecuacin

caracterstica de cualquier elemento. Su forma ser siempre semejante a: 2H Q .

Teoría de transitorios hidráulicos

Documents

Transcript of Teoría de transitorios hidráulicos