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Teora de Schrdinger Es uno de los pilares de la mecnica cuntica que se aplica para resolver problemas fsicos relativos a tomos, molculas, ncleos, etc. Los problemas de Mecnica Cuntica se suelen resolver mediante dos tipos de representaciones:

1. Representacin de Schrdinger. 2. Representacin de Heisemberg.

En nuestro curso de fsica estudiaremos el formalismo de la primera, aunque debemos saber que ambas descripciones son equivalentes. Ecuacin de Schrdinger

Se parte del postulado de de Broglie, el cual no hace una descripcin completa del comportamiento de la partcula, omitiendo principalmente lo referido a la representacin de las ondas materiales. Si bien de Broglie propuso representar el movimiento de una partcula mediante la propagacin de ondas piloto, no dijo como eran y como se propagaban estas.

Ya hemos visto que para una partcula libre la velocidad de grupo de las ondas piloto es igual a la velocidad de propagacin de la partcula.

Ahora qu suceder con una partcula bajo la accin de una fuerza F?

En 1925 Schrdinger propone una ecuacin de ondas y su solucin para partculas que se comportaban segn lo postulado por de Broglie.

Los pasos que sigui Schrdinger para estudiar la ecuacin de propagacin para ondas piloto fueron los siguientes:

1. Utiliz la denominacin FUNCION DE ONDA para definir la funcin matemtica que representa a las ondas piloto.

2. Restringi su estudio de funciones de onda al caso No Relativista.

3. Adopt las ecuaciones postuladas por de Broglie para definir los parmetros de las

ondas: ph= y

hEf =

4. Propuso que para una partcula bajo un potencial V para el caso no relativista la energa

de la partcula sera: VmpE +=2

2

5. Demostr que a partir de la energa definida en el tem 4, la velocidad de grupo de la funcin de onda para una partcula libre sera igual a la velocidad de la partcula.

Dem) Si VmpE +=2

2

para calcular la velocidad de grupo debemos hacer

dkd

g =

h====

22hhhfE entonces h

E=

khhp h===

2

2 entonces

hpk =

ph= y

2=k entonces khhhp /===

2

2

2

hh mpdpdEd

22== y h

dpdk = entonces ====mp

dpmpdp

dkd

g hh

Para desarrollar su ecuacin Schrdinger pidi tres requisitos a priori: a. Debe ser consistente con 1, 2, 3 y 4. b. Debe ser lineal en ),( tx . Entonces se puede aplicar el principio de superposicin

de las ),( tx . Es decir si 1 y 2 son solucin de la ecuacin de ondas entonces 21 + ba (con a y b complejos) tambin ser solucin

c. En general la energa potencial puede ser funcin de la posicin y el tiempo ),( txVV =

Schrdinger estudi en principio el problema de una partcula libre, es decir sin fuerza

neta aplicada sobre la partcula. Entonces la energa potencial V0 y la cantidad de movimiento p sern constantes.

0),( 0 =

===

xV

xtxV

Fdtdp

Entonces reemplazando una funcin de onda de partcula libre de la forma [ ])()cos(),( )( tkxisentkxAAetx tkxif +== en la ecuacin de ondas:

tiV

xmf

fof

=+

hh 222

2 Ecuacin de Schrdinger para partcula libre

Se recupera la ecuacin de la energa total de la partcula:

),(2

22

txVmkE +== hh

Manteniendo una concordancia con los requisitos pedidos previamente (a, b y c). El paso siguiente de Schrdinger fue postular que as como esa ecuacin era vlida

para un potencial constante tambin poda serlo para un potencial dependiente de la posicin y el tiempo, ),( txV .

ttxitxtxV

xtx

m =+

),(),(),(),(2 2

22

hh Ecuacin de Schrdinger para un potencial ),( txV . Ecuacin de segundo orden en derivadas parciales para ),( tx . Las soluciones de esta ecuacin son funciones necesariamente complejas (se ve en la ec.

que depende explcitamente del numero complejo i ). Esa es una importante diferencia con las ecuaciones de ondas clsicas que representaban una variable y(x,t) que tena un significado fsico (como posicin, presin o campo elctrico).

La funcin de onda Ctx ),( no tiene sentido fsico en si misma, ya que no se pueden medir cantidades complejas con instrumentos reales. Pero su caracterstica compleja no es una falla en la teora cuntica. Segn Eisberg tal vez sea ms bien una ventaja ya que impide la bsqueda de un significado que podra conducir a errores (como el ter en electromagnetismo clsico). Que es lo que ondula no tiene un significado fsico propio ms all que las ),( tx son solo instrumentos de clculo (que solo existen en la teora de

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Schrdinger ya que en la de Heisemberg no aparecen estas funciones y se llega a los mismos resultados fsicos finales).

Pero aunque las ),( tx no tienen sentido fsico, si tienen inters fsico ya que

contienen toda la informacin necesaria compatible con el principio de incertidumbre sobre la partcula asociada.

La pregunta es cmo extraemos la informacin? Y la respuesta es: a travs de la utilizacin del postulado de Born (1926) que dice: Si a un tiempo t se efecta una medida para ubicar una partcula asociada con una

funcin de onda ),( tx , entonces la probabilidad dxtxP ),( de que el valor de la coordenada posicin se encuentre entre x y x+dx es:

dxtxtxdxtxP ),(),(),( * = El postulado de Born nos lleva a una condicin que se debe imponer a las funciones de

onda que es la CONDICIN DE NORMALIZACIN:

1),(),(* = dxtxtx Probabilidad total de que la partcula se encuentre a tiempo t entre y + .

FLUJO DE PROBABILIDAD Podemos definir tambin un flujo de probabilidad (S) como:

=

xtx

xtxtx

mitxS ),(),(),(2

),(*

*h

Entonces podemos calcular la variacin del flujo de probabilidad entre dos puntos x1 y x2 con la siguiente ecuacin:

=

= ==

2

1

2

1

21

**

* ),(),(),(2

),(),(x

x

x

xxxxx dxtx

txxtxtx

mitxStxS h

y pensarlo como un teorema de la conservacin de la probabilidad. Nota: se puede hacer la analoga a la conservacin de la masa en un fluido que se mueve

a travs de un tubo, y de all extrapolar a la idea de flujo de probabilidad. Para el caso de una onda armnica del tipo )(),( tkxiAetx =

== ====2

1

2121

*** )()(x

xxxxxxxxx dxt

SS Para partcula libre la conservacin de la probabilidad carece de inters ya que:

)(),( tkxiAetx = con =constante Entonces AAAeeAtxtx tkxitkxi *)()(** ),(),( == Quedando 0=0 en la ec. Para una energa potencial que vara lentamente: A, k y varan lento entonces constante

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Nota: Se puede deducir la ecuacin de conservacin de la probabilidad a partir de la ecuacin de Schrdinger de la ecuacin de Schrdinger: Se escribe dos veces la ecuacin de Schrdinger, haciendo el complejo conjugado de la segunda ecuacin. Luego se multiplica a ambos lados la primera ecuacin por la funcin de onda conjugada, y la segunda ecuacin por la funcin de onda sin conjugar. Despus se resta la primera menos la segunda, y se integra de ambos lados la suma entre los lmites x1 y x2, obteniendo la ecuacin de conservacin de la probabilidad.

MTODO DE SEPARACIN DE VARIABLES

Sea la ecuacin de ondas para representar una partcula material de masa m movindose con velocidad v postulada por Schrdinger:

ttxitxtxV

xtx

m =+

),(),(),(),(2 2

22

hh

cuya solucin es la funcin de onda ),( tx . Si la energa potencial es solo funcin de la posicin V=V(x) se puede encontrar una funcin de onda solucin de la ecuacin de Schrdinger que sea el producto de una funcin dependiente de t multiplicada por otra dependiente de x.

)()(),( txtx = De esta forma se utiliza un mtodo de separacin de variables.

Reemplazando la funcin de onda por el producto de nuevas funciones queda la ecuacin:

ttxitxtxV

xtx

m =+

))()(()()(),())()((2 2

22 hh

ttxitxtxV

xxt

m =+

)()()()(),()()(2 2

22 hh dividiendo por )()( tx

dttd

titxV

dxxd

xm)(

)(1),()(

)(1

2 222

hh =+

Cada uno de los lados de la ecuacin depende de solo una variable independiente por tal motivo ambos deben ser iguales a una constante de separacin que llamaremos E (de la parte del anlisis temporal veremos que esa constante es la energa de la partcula).

Edttd

titxV

dxxd

xm==+ )(

)(1),()(

)(1

2 222

hh

Quedando dos ecuaciones:

i) Edttd

ti =)(

)(1

h

ii) EtxVdxxd

xm=+ ),()(

)(1

2 222

h

de las cuales despejamos:

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PARA i), LA PARTE TEMPORAL

)()( tEdttdi =h Cuya solucin ser: h

iEt

et=)(

Demostracin) Solucin de la parte temporal

Supongamos que no sabamos que la constante de separacin era la energa entonces la denominamos con una letra genrica C.

)()( tCdttdi = h

La solucin general de esa ecuacin diferencial de primer orden en el tiempo sale de:

dtCittd

h=)()(

Integrando de ambos lados llegamos a:

hiCt

et=)(

Vemos que la funcin )(t que describe la variacin en el tiempo de es una funcin oscilatoria con frecuencia h/C= , pero de acuerdo a de Broglie llegamos a que h/E= , por lo tanto podemos concluir que EC = , la energa total de la partcula.

Entonces hiEt

et=)(

PARA ii), LA PARTE ESPACIAL

)()()()(2 2

22

xExxVdxxd

m =+ h

ECUACION DE SCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO.

La solucin de esta ecuacin depender del tipo de energa potencial (debe depender solo de x). Para cada potencial en el que se mueva la partcula cuntica la funcin solucin ser distinta.

Para este problema separable podemos plantear la condicin normalizacin:

)()()()()()()()(),(),( ***** xxexexxxxxtxtxEtiEti === + hh

Entonces la condicin de normalizacin ser:

1)()(* = xdxx

Luego la resolucin del problema pasar por encontrar la funcin )(x para ese potencial y con ella la funcin de onda h

iEt

extxtx== )()()(),(

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CONDICIONES PARA LA ACEPTABILIDAD DE LA FUNCION DE ONDA La forma de la funcin de onda depende de cmo sea la funcin que describe la Energa potencial de la partcula. Entonces se representan los problemas fsicos a travs de aproximaciones matemticas. (Por ejemplo: una energa potencial que vare rpidamente entre dos regiones podr ser representada por una funcin de tipo escaln). En esos casos se podr separar el problema en regiones de potencial constante, y estudiarlas por separado, teniendo en cuanta que las funciones deben cumplir ciertos requisitos en los contornos que separan ambas regiones (condiciones de contorno). Esos requisitos estarn basados en que la probabilidad de encontrar una partcula no puede variar discontinuamente de un punto a otro, entonces la funcin de onda debe ser continua. Como la ecuacin de Schrdinger hace derivada segunda de la funcin de onda respecto de la posicin, la derivada primera de la funcin de onda debe ser continua para ser derivable. En general debe variar suavemente con x (excepto en el caso del problema de una partcula en un pozo infinito).

Si y dxxd )(

no cumplen los requisitos (de ser funciones finitas) tampoco lo harn

),( tx y dxtxd ),(

.

Adems la mecnica cuntica pide que las cantidades fsicas sean finitas, o con valores definidos. Otra restriccin viene de la normalizacin, y es que la funcin debe aproximarse a cero lo suficiente mente rpido para evitar que la normalizacin diverja si x va a infinito. RESUMIENDO LAS CONDICIONES de )(x : 1. )(x debe existir y satisfacer la ecuacin de Schrdinger independiente de t. 2. )(x y

dxxd )(

deben ser continuas.

3. )(x y dxxd )(

deben ser finitas.

4. 0)( x suficientemente rpido cuando x para que la integral de normalizacin no diverja.