TEORA DE REDES. CIRCUITOS LINEALESSentido convencional de la corriente: Supondremos que la corriente elctrica en los circuitos lineales que vamos a estudiar est formada por un flujo de cargas positivas que se origina en el polo positivo de las fuentes y se mueven a travs de los elementos conductores del circuito hasta alcanzar el polo negativo de las fuentes.Smbolo de resistencia

Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula la misma corriente.Nudo / nodo: punto de conexin de dos o ms ramas.Red: Sistema de conductores que forman un circuito cerrado.Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red.Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su interiorTERMINOLOGA BSICA DE LA TEORA DE REDESResistenciaFuente de voltajeFuente de corriente

LEYES DE KIRCHHOFFLey de Kirchhoff de la corriente. LKC: En cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero.Ley basada en la conservacin de la carga (ecuacin de continuidad): cuando el circuito funciona en rgimen estacionario, la carga no se acumula en ningn punto del mismo. Para su aplicacin damos un signo a las corrientes entrantes y el signo opuesto a las corrientes salientes.Ley de Kirchhoff del voltaje.LKV: La suma de las cadas de tensin a lo largo de cualquier trayectoria cerrada debe ser igual a cero en cualquier instante.Definicin de cada de tensin.La cada de tensin V12 entre dos puntos de un circuito (potencial del punto 1 respecto al punto 2) se define como la energa (en julios) disipada cuando una carga de +1 C circula entre el punto 1 y el punto 2.Ley basada en la conservacin de la energa: la energa disipada en las resistencias debe ser suministrada por las fuentes para mantener constante el flujo de cargas.Ejemplo:Si V12 = +5V, la tensin V2 es menor que V1 se disipan 5 J cuando + 1C circula desde 1 2Si V12 = -5V, la tensin V2 es mayor que V1 la energa de +1 C de carga se incrementa en 5 J cuando circula desde 1 2.Esto implica que debe haber fuentes que suministren tal energa.

LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.)Reglas de aplicacin1. En una resistencia hay una cada de tensin positiva en el sentido de la corriente cuyo valor es iR (ley de Ohm). 2. En una batera (o fuente de c.c.) hay una cada de tensin positiva (igual a su valor V0) en el sentido del terminal + al con independencia del sentido de la corriente. +9 V-9 VEjemplo: medidas con polmetrosLectura? Lectura?Ejemplo2-4.5 V-9 V

FRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIN Y DE CORRIENTEDivisor de tensinFormado por un conjunto de resistencias en serie (circula la misma corriente por todas ellas, la resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias).Datos conocidosaplicamos LKV para calcular iClculo de cadas de tensin a travs de las resistencias (ley de Ohm)Cada de tensin a travs de fuente:Intensidad calculada a partir de LKVFrmula del divisor de tensin: sirve para calcular la cada de tensin (voltaje) en cada resistencia.En general: para la resistencia Rk Forma alternativa de representar el circuito: cortado a tierra.Smbolo de tierra. Representa el potencial ms bajo, convencionalmente igual a cero.Resistencia en serie:

Divisor de corrienteFormado por un conjunto de resistencias en paralelo (todas las resistencias estn sometidas a la misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente por cada una de ellas). Resistencia equivalente: el inverso de la resistencia de la asociacin en paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias que lo forman. FRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIN Y DE CORRIENTEDatos conocidosResistencia paralelo Obtenemos RPLa d.d.p. entre los extremos de cada resistencia paralelo es V0. Ley de Ohm:Circuito equivalenteLKV:Frmula del divisor de corriente para la resistencia RkObsrvese que se verifica LKCEl mismo circuito cortado a tierra

FRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIN Y DE CORRIENTE. EJEMPLODeterminar la corriente y la cada de tensin en cada una de las resistencias del circuito siguiente.LKV:Las resistencias de 2 k y 3 k forman un divisor de corriente en el que la corriente entrante es i = 3 mA.Clculo de cadas de tensinEsta es la cada de tensin en las resistencias de 2 k y 3 k Dibujar el mismo circuito cortado a tierraEsta es la corriente en la resistencia de 2.8 k

FUENTES DE TENSIN o VOLTAJEFuente ideal de tensin o voltaje (independiente)Es aquella que mantiene siempre la misma diferencia de potencial entre sus terminales, igual a la fuerza electromotriz de la fuente, independientemente de la corriente que circula por ella y de las tensiones en otras partes del circuito.Fuente real de tensin o voltaje Excepto cuando se encuentra en circuito abierto, toda fuente real de tensin sufre una prdida de voltaje entre sus terminales debido a que dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y por lo tanto una parte de la energa que la fuente puede suministrar por unidad de carga se invierte en que la corriente circule a travs de la propia fuente. Una fuente real puede considerarse como una fuente ideal de tensin conectada en serie con una resistencia interna r. LKV:Cada tensinFuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuenteSe define como el trabajo que la fuente es capaz de realizar sobre la unidad de carga positiva para transportarla del polo negativo hasta el positivo a travs de su interior. En el S.I. se expresa en J/C, es decir, en voltios.Fuente de tensin o voltaje dependienteAquella cuyo valor de tensin depende de las tensiones o corrientes de otras partes del circuito,(No sern consideradas en este tema). Una fuente de voltaje es de mayor calidad cuanto menor sea su resistencia interna r.Potencia suministrada por una fuente

Fuente ideal de corriente (independiente)Es un elemento que suministra a la rama en la que se encuentra conectado una corriente constante independientemente de la diferencia de potencial entre sus terminales..Fuente real de corrienteUna fuente real de corriente puede considerarse como la combinacin de una fuente ideal con una resistencia r en paralelo, de modo que una fraccin de la corriente suministrada por la fuente de corriente ideal no llega a salir al circuito exterior. La calidad de una fuente de corriente es tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la resistencia r.FUENTES DE CORRIENTECircuito exteriorEjemploEquivalente: 4R

CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITOCircuito abierto: puede considerarse como una conexin con resistencia infinita. Por l no circula corriente. Cortocircuito: es una unin carente de resistencia. Por lo tanto entre sus terminales no hay cada de tensin. APARATOS DE MEDIDA: VOLTMETROS Y AMPERMETROSVoltmetro: destinado a medir las cadas de tensin entre dos puntos de un circuito. Se conecta en paralelo y lo ideal es que el aparato se comporte como un circuito abierto (es decir, su resistencia interna RV sea muy grande), para que por l no circule ninguna corriente que pueda alterar la medida de tensin entre los dos puntos conectados a, b. CircuitoVoltmetroAmpermetro: destinado a medir la corriente que circula por una rama de un circuito. Se conecta en serie y lo ideal es que el aparato se comporte como un cortocircuito (es decir, su resistencia interna RA sea lo menor posible), para que pueda medirse la corriente circulante sin alterarla (sin introducir una cada de tensin extra que afecte a su valor). CircuitoRamaAmpermetro

SUPERPOSICINEn un circuito lineal donde existen diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades circulantes y las cadas de tensin en los distintos elementos del circuito pueden calcularse por adicin de las contribuciones de cada una de las fuentes en el elemento considerado.+Para llevar a cabo el clculo de la contribucin una fuente en particular, se considerar que el resto de fuentes de voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales, su resistencia interna es cero), y el resto de fuentes de corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas ideales, su resistencia interna es infinita).Ejemplo. Calcular la corriente que circula por la resistencia de 200 y la cada de tensin entre los terminales de la fuente de corriente. La contribucin a la corriente en cada rama y a la cada de tensin en cada elemento del circuito es la suma de las contribuciones de los siguientes circuitos simples, constando cada uno de una sola fuente:Clculo i1: divisor de corrienteClculo i2: LKV y luego divisor corrienteClculo i3: LKVCada de tensin entre los terminales de la fuente de corriente: la misma que en la rama situada ms a la derecha.

TEOREMA DE THEVENINEn cualquier circuito lineal, toda combinacin de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:* Una fuente de voltaje VTh igual al voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b.* Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.Red linealResto circuitoImportante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Thvenin, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteracin.Resistencia equivalente Rab: para su clculo se determina la resistencia equivalente desde los terminales a, b, despus de sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos.Ejemplo: determinar el equivalente Thvenin entre los terminales a, b del circuito(vase resultado ejemplo anterior)

TEOREMA DE NORTONEn cualquier circuito lineal, toda combinacin de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:* Una fuente de corriente ideal igual a la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b.* Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.Red linealResto circuitoImportante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Norton, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteracin.La corriente de cortocircuito es la corriente que circulara a travs de una conexin de resistencia cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor est dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia equivalente Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de equivalente Thvenin. Ejemplo: determinar el equivalente Norton entre los terminales a, b del circuitoThvenin

CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDADConversin de fuente de corriente y resistencia en paraleloAplicando el teorema de Thvenin, para el resto del circuito esto es equivalente aResto circuitoSi se cumpleResto circuitoSi se cumpleAplicando el teorema de Norton, para el resto del circuito esto es equivalente aConversin de fuente de voltaje y resistencia en serie

MTODO DE MALLASEs un algoritmo basado en la LKV que, ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos:1. Se numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario o antihorario, y se asigna a cada malla del circuito a resolver una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del circuito a resolver). 2. Siendo n el nmero de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y siendo los elementos fuera de la diagonal principal los opuestos de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas mallas).Obsrvese que la matriz de resistencias as construida es simtrica porque las resistencias compartidas por la malla i y la malla j aparecen tanto en la columna j de la fila i como en la fila i de la columna j.

MTODO DE MALLAS (CONTINUACIN)3. Se construye un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por cada malla. Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de los valores todas las fuentes que existan en el contorno de dicha malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al recorrer la malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra en ella por el polo negativo, y signo cuando se entra en ella por el polo positivo.4. Las corrientes de malla se calculan resolviendo la siguiente ecuacin matricial:donde las incgnitas son las componentes del vector de las corrientes de malla (iM), dado porPara resolver el sistema calculamos los siguientes determinantes:Solucin:

MTODO DE MALLAS (CONTINUACIN)Pregunta 2. Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de malla para resolver el circuito, en lugar de calcular la corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de Kirchhoff?.Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por aplicacin directa de las leyes de Kirchhoff, que el algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las corrientes de malla.Ejemplo numrico. Resolver el circuito siguiente. Calcular qu corriente circula por cada fuente y determinar la cada de tensin entre A y B.Matriz de resistenciasDeterminantesVector f.e.mEcuacin matricial del sistema(Sentido de la corriente de malla opuesto al que supusimos)Sentido opuesto a iM1Sentido opuesto a iM1

Una red lineal est formada por la fuente de corriente, fuentes de voltaje y resistencias que aparecen en el siguiente diagrama de circuito. Utilizando la conversin entre fuentes de intensidad y fuentes de voltaje para aplicar despus el mtodo de mallas, se pide:(a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k. Merece algn comentario el resultado?(b) Calcular el equivalente Thvenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k.EJEMPLO(c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k, dejando invariable todos los dems elementos del circuito, cmo se vera afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? Qu corriente circula por la resistencia de 5.05 k? Qu d.d.p. hay en la fuente de corriente?

Mallas:La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al ser su resistencia en paralelo tan pequea, casi toda la corriente (1183 mA) se desva a travs de sta y no est disponible para el resto del circuito.EJEMPLO. SOLUCIN.Corrientes mallaResistencia 2.2 k:(a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k.

(b) Calcular el equivalente Thvenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k.EJEMPLO. SOLUCIN.Resistencia entre C y DCortocircuitamos las fuentes de voltaje y abrimos la fuente de corrienteTres resistencias en paraleloVoltaje Thvenin: es la d.d.p. medida por un voltmetro ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya calculamos antes la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k, podemos determinar inmediatamente dicho voltaje.

(c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k, dejando invariable todos los dems elementos del circuito, cmo se vera afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? Qu corriente circula por la resistencia de 5.05 k? Qu d.d.p. hay en la fuente de corriente?EJEMPLO. SOLUCIN.La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es ahora mayor, la fraccin de la corriente de la fuente que circula por ella es bastante menor que en el apartado a). En consecuencia, crece la corriente que circula por las ramas del circuito, en particular por la de 2.2 k. Corrientes mallaResistencia 2.2 k:Mallas:1779 V