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MODELO DE ASIGNACIN

El problema de asignacin es un tipo especial de problema de programacin lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realizacin de tareas. Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignacin de personas a trabajos es una aplicacin comn del problema de asignacin.10 Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. Tambin pueden ser mquinas, vehculos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. El primero de los siguientes ejemplos se refiere a mquinas asignadas a lugares, de manera que la tarea en este caso se trata slo de tener una mquina. Un ejemplo posterior se refiere a plantas a las que se asignan productos que deben fabricar.

Para que se ajuste a la definicin de un problema de asignacin, es necesario que este tipo de aplicaciones se formule de manera tal que se cumplan los siguientes supuestos.

1. El nmero de asignados es igual al nmero de tareas. (Este nmero se denota por n.) 2. A cada asignado se le asigna slo una tarea. 3. Cada tarea debe realizarla slo un asignado. 4. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i = 1, 2,, n) que realiza la tarea j ( j = 1, 2,, n). 5. El objetivo es determinar cmo deben hacerse las n asignaciones para minimizar los costos

totales.

Cualquier problema que satisface todos estos supuestos se puede resolver en forma muy eficiente mediante los algoritmos diseados de manera especial para los problemas de asignacin.

Los primeros tres supuestos son bastante restrictivos. Muchas aplicaciones potenciales no las satisfacen por completo. Con frecuencia es posible reformular el problema para hacerlo que se ajuste. Por ejemplo, muchas veces se pueden usar asignados ficticios o tareas ficticias con este fin. En los ejemplos se ilustran estas tcnicas de formulacin

Ejemplo:

Se tienen tres personas (recurso) para asignarlos a tres labores diferentes. Cada uno de ellos puede efectuar cualquiera de las tareas existentes, pero con diferente nivel de especialidad. Sus respectivos jefes los han calificado de 1 a 10, para cada tarea en particular. Por supuesto el objetivo es el de asignar a las personas de manera tal que la calificacin en conjunto sea la mxima. Ver tabla de calificaciones abajo.

Calificacin de Operario por Tarea

Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3

Operario 1 8 6 4

Operario 2 9 7 3

Operario 3 6 5 7

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Nota: Tambin funciona para minimizar. Por ejemplo, en vez de calificacin podran ser tiempos de manufactura de cualquier tipo de productos, y el objetivo sera el de minimizar el tiempo total de manufactura.

Modelo Lineal: Max Z = 8X11 + 6 X12 + 4 X13 + 9X21 +7 X22 +3X23 +6X31 +5X32 +7X33

1.- Cada operario slo puede tener una tarea asignada X11 +X12 +X13 = 1 X21 +X22 +X23 = 1 X31 +X32 +X33 = 1 2. Cada tarea puede tener un slo operario asignado X11 + X21 + X31 = 1 X12 + X22 + X32 = 1 X13 + X23 + X33 = 1 Resolucin en Lingo:

Las Variables asignadas con 1 son las variables escogidas para realizar la tarea.

La funcin @bin(variable) obliga a la variable a ser binaria es decir adoptar los valores de 0 y 1 solamente.

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Mtodo hngaro

Utilizaremos dos ejemplos para presentar la mecnica del nuevo algoritmo. La siguiente seccin proporciona una explicacin del procedimiento basada en simplex.

Ejemplo 6.1

Los tres hijos de Joe Klyne, John, Karen y Terri, desean ganar algn dinero para sus gastos personales. El seor Klyne eligi tres tareas para sus hijos: podar el csped, pintar la puerta de la cochera y lavar los automviles de la familia. Para evitar la competencia anticipada entre los hermanos, les pide que presenten licitaciones individuales (secretas) por lo que consideren un pago justo por cada una de las tres tareas. La tabla 5.32 resume las licitaciones recibidas. Los nios respetarn la decisin de su padre con respecto a la asignacin de las tareas. El problema de asignacin se resolver por el mtodo hngaro

.Paso 1. Determine pi, el elemento de costo mnimo en la fila i de la matriz de costos original, y rstelo de todos los elementos de la fila i, i 5 1, 2, 3.

Paso 2. Para la matriz creada en el paso 1, determine qj, el elemento de costo mnimo de la columna j, y rstelo de todos los elementos de la columna j, j 5 1, 2, 3.

Paso 3. A partir de la matriz del paso 2, intente determinar una asignacin factible entre todas las entradas cero resultantes.

3a. Si puede hallarse esa asignacin, es ptima.

3b. De lo contrario, se requieren ms clculos (como se explicar en el ejemplo 6.2).

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La tabla 5.33 demuestra la aplicacin de los dos pasos al problema actual.

Las celdas con entradas cero subrayadas en el paso 3 dan la solucin ptima (factible): John obtiene el trabajo de pintar, Karen el de podar el csped, y Terri obtiene el de lavar los automviles de la familia. El costo total para el seor Klyne es 9 + 8 + 8 = $27. Esta cantidad siempre ser igual (p1 + p2 + p3) + (q1 + q2 + q3) = (9 + 9 + 8) + (0 + 1 + 0) = $27. Como se indica en el paso 3 del mtodo hngaro, los ceros creados por los pasos 1 y 2 pueden no dar una solucin factible de forma directa. En este caso, se necesitan ms pasos para determinar la asignacin ptima (factible). El siguiente ejemplo demuestra esta situacin.

Ejemplo 6.2

Suponga que la situacin analizada en el ejemplo 6.2 se ampla a cuatro nios y cuatro tareas. La tabla 5.34 resume los elementos de costo del problema.

La aplicacin de los pasos 1 y 2 a la matriz de la tabla 5.34 (con p1 = 1, p2 = 7, p3 = 4, p4 = 5, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 3 y q4 = 0) da por resultado la matriz reducida de la tabla 5.35 (comprubelo!). Las ubicaciones de las entradas cero no permiten asignar tareas nicas a todos los nios. Por ejemplo, si asignamos al nio 1 la tarea 1, entonces se eliminar la columna 1, y el nio tres no tendr una entrada cero en las tres columnas restantes. Este obstculo puede superarse agregando el siguiente paso al procedimiento dado en el ejemplo 6.2:

Paso 3b. Si no pueden encontrarse asignaciones de elemento cero factibles,

(i) Trace el mnimo de lneas horizontales y verticales en la ltima matriz reducida para cubrir todas las entradas cero.

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(ii) Seleccione la entrada mnima no cubierta y rstela de cada entrada no cubierta, y luego smela a cada entrada en la interseccin de dos lneas.

(iii) Si no puede determinar una asignacin factible entre las entradas cero resultantes, repita el paso 3a.

La aplicacin del paso 3b a la ltima matriz produce las celdas sombreadas en la tabla 5.36.

La entrada mnima no sombreada (que se muestra subrayada) es igual a 1. Esta entrada se suma a la celda de interseccin y se resta de las celdas sombreadas restantes para producir la matriz de la tabla 5.37, y la solucin ptima indicada por los ceros subrayados.

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Resolucin con Solver de Excel

Los operarios asignados son aquellos que tienen 1 en la resolucin del solver y la maxima calificacin de 22

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Problemas Propuestos:

Ejericicio 1. Resuelva los modelos de asignacin de la tabla 5.38. Resulvalos por el mtodo hngaro.

Ejericicio 2. JoShop necesita asignar 4 trabajos a 4 trabajadores. El costo de realizar un trabajo es una funcin de las habilidades de los trabajadores. La tabla 5.39 resume el costo de las asignaciones. El trabajador 1 no puede realizar el trabajo 3, y el trabajador 3 no puede realizar el trabajo 4. Determine la asignacin ptima siguiendo el mtodo hngaro.

Ejercicio 3: Se deben utilizar cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre las naves y las cargas, el costo total de carga, transporte y descarga de bienes de las distintas combinaciones de barcos y puertos vara de manera considerable. Estos costos se muestran en la siguiente tabla:

El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno de manera que se minimice el costo total de los cuatro envos.