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TEORÍA DE JUEGOS (2da. Parte)

M. En C. Eduardo Bustos Farías

TEORIA DE JUEGOS: ANTECEDENTES

1928: Von Newman Desarrolla la Teoría de Juegos.

1944 PUBLICACION DE “Theory and Practiceof Games and Economical Behavior”

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194?:WALD INCORPORA TJ A LA TEORIA DE DECISIONES194?: DATZING Y BELLMAN LA TOMAN EN CUENTA ENPROGRAMACION LINEAL Y DINAMICA

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JUEGOS DE DOS PERSONAS DE SUMA CERO

JUEGO: CARACTERISTICAS

ESTRATEGIA DEL JUGADOR 1.ESTRATEGIA DEL JUGADOR 2.LA MATRIZ DE PAGOS

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¿TEORIA DE JUEGOS DE NEGOCIOS?

SITUACIONES DE CONFLICTOS DE NEGOCIOS EN EL TIEMPO.PARTICIPANTES: DOS COMPETIDORES CON PENSAMIENTO LOGICO O RACIONAL.JUGADORES ELIGEN ESTRATEGIAS SOLO PARA PROMOVER SU BIENESTAR SIN COMPASION POR EL OPONENTE.

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JUEGOS DE SUMA CERO

LOS INTERESES DE LAS DOS PERSONAS SON OPUESTOS.LA SUMA DE LAS GANANCIAS DE UNO ES EXACTAMENTE LA SUMA DE LAS PERDIDAS DEL OTRO.AMBOS COMPETIDORES TIENEN IGUAL CAPACIDAD E INTELIGENCIA. 6

EJEMPLODOS POLITICOS ESTAN DE VISITA A EU Y CONTIENDEN POR LA PRESIDENCIA DE UN PAIS LATINO.LOS DIAS QUE SIGUEN SERAN CRUCIALES PARA EL ÉXITO O LA DERROTA. HAY DOS CIUDADES (MEX Y GUAD) QUE SON CLAVES.PARA EVITAR PERDIDAS DE TIEMPO ESTAN PLANEANDO VIAJAR EN LA NOCHE Y PASAR UN DIA COMPLETO EN CADA CIUDAD O, DOS DIAS EN SOLO UNA DE LAS CIUDADES.NINGUNO DE LOS POLITICOS SABE POR ADELANTADO LO QUE REALIZARA EL OTRO.EL RESULTADO DE LAS POSIBLES ESTATEGIAS SE PROPORCIONA PARA EL POLITICO 1. 7

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ESTRATEGIAS ESTRATEGIA 1: PASAR UN DIA EN MEX Y OTRO EN GUAD.ESTRATEGIA 2: PASAR AMBOS DIAS EN MEX.ESTRATEGIA 3: PASAR AMBOS DIA EN GUAD.

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MATRIZ DE PAGOSCANTIDAD DE VOTOSGANADOS POR EL POLITICO 1(EN UNIDADES DE 1000VOTOS)

POLITICO 2ESTRATEGIA 1 2 3

1 1 2 4POLITICO 1 2 1 0 5

3 0 1 -1

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ESTRATEGIAS DOMINADASJUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3

1 1 2 42 1 0 5JUGADOR 1

3 0 1 -1

JUGADOR 2: NO TIENEJUGADOR 1: ESTRATEGIA 3 ES DOMINADA POR LA 1

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VALOR DEL JUEGO

EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN DE MANERA OPTIMA.JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO ES 0.

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CRITERIO MINIMAXJUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3

1 -3 -2 62 2 0 2JUGADOR 1

3 5 -2 -4¿QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERAQUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA?

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CRITERIO MINIMAXJUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3MÍNIMO

1 -3 -2 6 -32 2 0 2 0JUGADOR 1

3 5 -2 -4 -4MÁXIMO 5 0 6

VALOR MINIMAX

VALOR MAXIMIN

PUNTO SILLA

SE SELECCIONA LA OPCION 2VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO).

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PUNTO SILLA

MINIMAX= MINIMAXPUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU OPONENTE ->SOLUCION ESTABLE

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SOLUCIONES SIN PUNTO SILLA

JUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3MÍNIMO

1 0 -2 2 -22 5 4 -3 -3JUGADOR 1

3 2 3 -4 -4MÁXIMO 5 4 2

minimax

maximin

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El pago esperado

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Solución gráfica de juegos (mx2)

Considere el siguiente juego:B

1 2

1 2 4

2 2 3

3 3 2

4 -2 6

A

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El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B.

Estrategia pura de A

Pagos esperados para B

1 -2y1 + 4

2 -y1 + 3

3 y1 + 2

4 -8y1 + 6

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Graficando se obtiene:v*= 8/3

Minimax

4123

rectas

y1 = 2/3

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POR WINQSB

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Ejemplo 1. Método simplex

B

1 2 3

1 3 -1 -3

A 2 -3 3 -1

3 -4 -3 3

Considere el siguiente juego (3x3):

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Solución para B

El mínimo de renglón es -3 y el máximo de columna es 3Como el valor mínimo es -3 el valor del juego puede ser negativo o cero, se agrega una constante K a todos los elementos de la matriz, por lo menos igual al número más grande de la matriz, por ejemplo k=5. La matriz se convierte en:

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Matriz modificada

B

1 2 3

1 8 4 2

A 2 2 8 4

3 1 2 8

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El problema de programación lineal de B que se deriva de esta matriz es:

Max W = Y1 + Y2 + Y3S.A.8Y1 + 4Y2 + 2Y3 <= 12Y1 + 8Y2 + 4Y3 <= 11Y1 + 2Y2 + 8Y3 <= 1Y1, Y2, Y3 >= 0

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Solución por Winqsb

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Datos importantes

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Estrategias óptimas para B

V*=1/w – k = 1/.229 – 5 = -0.644Y1*=y1/w = .071/.229 = 0.311Y2*=y2/w = .056/.229 = 0.244Y3*=y3/w = .102/.229 = 0.444

(.311, .244, 0.444)Nótese que suman 1.

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Estrategias óptimas para AResolviendo el dual del problema anterior se tiene:

Z = W = .229X1 = 0.102X2 = 0.056X3 = 0.071

En consecuencia:X1* = X1/Z = 0.444X2* = X2/Z = 0.244X3* = X3/Z = 0.311(.444, .244, .311).Nótese que suman 1

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Ejemplo 2.

Sea la matriz de consecuencias para el juego (2x2):

Jugador 2 B1 B2

A1 0 ½

Jugador 1 A2 1 0

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Solución por programación lineal

Como el valor maximin = 0, se procede a resolver:

MAX Z = Y1 + Y2S.A.0Y1 + 0.5Y2 <= 11Y1 + 0Y2 < = 1Y1, Y2 >= 0

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Solución por Winqsb: planteamiento

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Datos importantes

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Estrategias óptimasEstrategias óptimas del jugador 2

V* = 1/3Y1* = 1/3Y2* = 2/3

Para obtener las estrategias óptimas del jugador 1 resolvemos por simplex dual y se tiene:X1* = 2/3X2* = 1/3(0.66, 0.33), véase que suman 1.

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Ejemplo 3. Solución por PL

Considere el juego (4x2)

B 1 2

1 2 4 2 2 3 3 3 2

A

4 -2 6

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Solución: planteamientoComo el valor maximin = 2 >= 0, la estrategia óptima del jugador B se obtiene resolviendo el siguiente problema de programación lineal.

MAX z = Y1 + Y2s.a.

2Y1 + 4Y2 <= 12Y1 + 3Y2 <= 13Y1 + 2Y2 <= 1-2Y1 + 6Y2 <= 1Y1, Y2 >= 0

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Método simplexResolviendo por el método simplex

Z = 0.375Y1 = 0.25Y2 = 0.125Valor de juego V* = 1/Z = 2.66

La estrategia óptima de B es:(Y1/V1* , Y2/V2*) = (0.66, 0.33)

Para el jugador A su estrategia óptima resulta al resolver el problema dual:

(0.33, 0, 0.66, 0)

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DOMINANCIA

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Estrategia dominante

Se dice que una estrategia es “dominante” cuando es la mejor opción del jugador para todas las posibles opciones del contrincante (similarmente para varios contrincantes).

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Dominancia Algunas veces una fila o columna de la matriz de pagos carece de efectividad para influir sobre las estrategias óptimas y el valor del juegoUna estrategia pura P es dominada por una estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del oponente, el pago asociado con P no es mejor que el pago asociado con Q.Ya que una estrategia pura dominada no puede ser nunca parte de una estrategia óptima, el renglón o columna correspondiente en la matriz del juego debe ser eliminada

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Ejemplo 1. Dominancia

II 1 2 3 4 1 4 -8 7 -2 2 3 -9 2 -3

I

3 2 6 8 2

Observe las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel de importancia en la estrategia de P14 > 3-8 > -97 > 2-2 > -3

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Por lo tanto la probabilidad asociada a ella será cero. La solución del juego anterior sería la misma si la matriz de pago fuera

II 1 2 3 4 1 4 -8 7 -2

I

3 2 6 8 2

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Ejemplo 2. Dominancia

Determine si alguna de las estrategias puras del problema de la ubicación de los supermercados en los pueblos A, B y C pueden descartarse por dominación. La matriz del juego era:

II A B C A 65 62.5 80

I

B 67.5 65 80

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Solución

El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que las consecuencias de esta estrategia siempre son menores o iguales a las consecuencias de B67.5 > 6565 > 62.580 = 80

El jugador II puede descartar A y C, ya que son inferiores a B. La matriz es:

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I A B A 35 32.5 B 37.5 35

II

C 20 20

La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas BB. Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar el 65% de los negocios y la cadena II ubicarse en el mismo pueblo y manejar el 35% de los negocios restantes

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Estrategia dominante, ejemplo

Dos compañías de autobuses, A y B tienen la misma ruta entre dos ciudades, por lo que están en una lucha por una mayor parte del mercado.Se supone que las compañías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue: a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado.a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión en las dos ciudades.

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Estrategia dominante, ejemplo (cont)

Se supone que cada compañía no puede emplear mas de una de estas estrategias al mismo tiempo y que las tres estrategias tienen idénticos costosLa tabla abajo indica los puntos porcentuales de mercado que gana a.

b1 b2 b3 a1 0 -2 4 a2 9 0 10 a3 -5 -5 0

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Estrategia dominante, ejemplo (cont)Análisis de casos para ver si A tiene estrategia dominanteSi B elige 1 (columna izq.), la mejor opción de A es 2 (u=2).Si B elige 2 (columna cen.), la mejor opción de A es 2 (u=0).Si B elige 3 (columna der.), la mejor opción de A es 2 (u=10).

La estrategia dominante de A es jugar 2 (aire acondicionado)

b1 b2 b3

a1 0 -2 4 a2 2 0 10a3 -5 -5 0

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Estrategia débilmente dominante

Decimos que una estrategia es “débilmente dominante” cuando no es peor que ninguna otra estrategia.Es lo mismo que decir que es la mejor o al menos igual a otra.Ojo: Una estrategia dominante es también débilmente dominante; lo contrario no es cierto.

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Estrategia dominante, ejemplo (cont)

Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominanteSi A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2).Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0).Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y 2 (u=-5).

B tiene una estrategia débilmente dominante

b1 b2 b3 a1 0 -2 4 a2 2 0 10 a3 -5 -5 0

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Ejercicio, estrategia dominante

Se consideran dos ladrones L1 y L2 se dedican a la compra-venta de productos robados. Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en un lugar determinado, mientras que el otro deja el dinero en otro lugar.Los dos recogerán después su paquete respectivoAmbos pueden tomar cualquiera de las siguientes acciones:a1 o b1 Dejar el paquete con la mercancia ó dineroa2 o b2 Dejar el paquete sin la mercancia ó dinero

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Ejercicio, estrategia dominante

b1 b2

a1 a2

La matriz que se genera es la siguiente:

Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que L1tenga una estrategia débilmente dominante y L2 tenga una estrategia débilmente dominante

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Puntos de equilibrio

En muchos juegos ningún jugador tiene una estrategia dominante.Sin embargo, hay combinaciones de estrategias que son “razonables” para los jugadores, en el sentido de que a ninguno le conviene cambiar su estrategia.A estas celdas de la matriz del juego se les llama “equilibrio de Nash”

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Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont)

Se supone que las compañías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue:

a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado.a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión

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Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont)

Cambiamos los puntos de la tabla de modo que ningún jugador tiene una estrategia dominante:

b1 b2 b3 a1 -10 -11 -1 a2 9 -8 -6 a3 20 -10 -13

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Puntos de equilibrio.- ejemplo

Sin embargo, el punto (a2,b2) es de equilibrio:

Al jugador A no le conviene cambiar de a2 (u=-8) a a3(u=-10) o a a1 (u=-11).

Al jugador B no le conviene cambiar de b2 (u=-8) a b1(9) o a b3 (u=-6)

b1 b2 b3 a1 -10 -11 -1 a2 9 -8 -6 a3 20 -10 -13

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Ejemplo de juego de suma cero con mas de un equilibrio

Considérese la siguiente matriz:

Aquí se tienen dos puntos de equilibrio; uno corresponde a a2 y b1, y el otro corresponde a a2 y b2.

b1 b2 b3 Mínimo de la fila a1 2 -3 7 -3 a2 5 5 6 5 a3 1 4 -4 -4

Máximo de la columna

5 5 7

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Ejercicio, equilibrio

Se consideran dos ladrones L1 y L2 se dedican a la compra-venta de productos robados. Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en un lugar determinado, mientras que el otro deja el dinero en otro lugar.Los dos recogerán después su paquete respectivoAmbos pueden tomar cualquiera de las siguientes acciones:a1 o b1 Dejar el paquete con la mercancía ó dineroa2 o b2 Dejar el paquete sin la mercancía ó dinero a3 o b3 No dejar el paquete

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Ejercicio, equilibrio

La matriz que se genera es la siguiente:

b1 b2 b3 Mínimo de la fila a1 a2 a3

Máximo de la columna

Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que exista un punto de equilibrio de Nash

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JUEGOS DE DOS PERSONAS QUE NO SON DE SUMA CERO

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JUEGOS Y DECISIONES ESTRATÉGICASJuegos que no son de suma ceroPueden ser:

Cooperativos. Si los jugadores pueden negociar contratos obligatorios que les permitan planear estrategias conjuntasNo Cooperativos: Si no son posibles la negociación y la aplicación de un contrato obligatorio.

Equilibrio en juegos que no son de suma ceroTipos de Equilibrio:

De estrategia dominanteDe Nash

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El equilibrio de estrategias Dominantes

“Estoy haciendo lo mejor que puedo sin importar lo que tu hagasTu estas haciendo lo mejor que puedes sin importar lo que yo haga.”

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El equilibrio de Nash

“Yo estoy haciendo lo mejor que puedo dado lo que tu estas haciendoTu estas haciendo lo mejor que puedes dado lo que yo estoy haciendo.”

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Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero

En los juegos de suma no cero las celdas de la matriz tienen dos números, uno para la ganancia del jugador de los renglones y el otro para la ganancia del jugador de las columnas.

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Ejemplo 1. Juegos que no son de suma cero

Dos empresas A y B venden productos competidores están decidiendo si han de emprender campañas de publicidad o no. No negocian entre ellos, pero ambas se verán afectadas por la decisión de su competidora.

Analizar:Si es un juego cooperativo o noEl equilibrio de estrategia dominanteEl o los equilibrios de Nash

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Empresa B Hacer

Publicidad No Hacer Publicidad

Hacer Publicidad

10, 5 15, 0

Empresa A

No Hacer Publicidad

6, 8 10, 2

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SoluciónEs no cooperativo, ya que las empresas no negocianPara la empresa A la estrategia pura dominante es hacer publicidad, (No importa lo que haga B, tiene pagos mayores a lo de B 10 > 5 y 15 > 0). Para la empresa B una estrategia pura dominante es hacer publicidad ya que sus pagos 5 y 8 son mayores a los de no hacer publicidad 0 y 2. Como ambas estrategias coinciden para este juego no cooperativo la estrategia dominante es hacer publicidad.El equilibrio de Nash se obtienen en aquellos puntos donde cada jugador esta haciendo lo mejor que puede dadas las acciones del oponente. También coincide con la estrategia de que ambas empresas hagan publicidad, cada empresa esta satisfecha y no tiene ningún incentivo para cambiarla.

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Ejemplo 2. Juegos que no son de suma cero

Dos jugadores eligen águila o sol en su moneda y la muestran al oponente.

Analizar:Si es un juego cooperativo o noLa estrategia dominanteEl equilibrio de Nash

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Jugador B A S A 1, -1 -1, 1

Jugador A S -1, 1 1, -1

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Solución No es un juego cooperativo ya que cada jugador elige que mostrar y ello le de una ganancia o una perdida. No pueden ponerse de acuerdo los jugadores ya que cada uno busca su beneficioLas estrategias puras dominantes para A son obtener AA ó SS. Las estrategias puras dominantes para B son obtener AS ó SA. No hay equilibrio de estrategias dominantes en este juego.No hay un equilibrio de Nash en estrategias puras ya que ninguna combinación de A ó S dejan satisfechos simultáneamente a ambos jugadores.

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Ejemplo 3. Juegos que no son de suma cero

Dos prisioneros son atrapados “in fraganti”. Son encerrados en celdas separadas, no pueden comunicarse. No saben que hará el otro.

AnalizarSi el juego es cooperativo o noEl equilibrio de estrategias dominantesEl equilibrio de Nash

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Prisionero A Confiesa No

Confiesa Confiesa -5, -5 -5, -10

Prisionero B No

Confiesa -10, -5 -2, -2

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Solución

Es no cooperativo ya que no pueden ponerse de acuerdoLa estrategia dominante para cada prisionero es confesar sin importar lo que haga el otroEl equilibrio de Nash también seria confesar, considerando lo que haga el otro prisionero.

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Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero, ejemplo ‘Dilema del prisionero’

Sean dos jugadores, en este caso son prisioneros A y BTienen dos opciones: confesar el delito o no.Si A y B confiesan ⇒ A y B → 3 años Si A confiesa y B no ⇒ A → libre y B → 5 añosSi B confiesa y A no ⇒ B → libre y A → 5 añosSi A y B niegan ⇒ A y B → 1 año

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Dilema del prisionero

La información anterior se puede representar a través de un arreglo matricial de la siguiente forma:

Jugador B

Coopera (con su

cómplice)

Traiciona (a su

cómplice) Coopera 1 - 1 5 - 0 Jugador

A Traiciona 0 - 5 3 - 3

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Dilema del prisionero (cont)Cada jugador tiene aquí una estrategia dominanteVeamos el caso del jugador B, por supuesto, no sabe qué alternativa va a elegir A. A B le conviene traicionar a A porque esta es una estrategia dominante.

Jugador B

Coopera (con su

cómplice)

Traiciona (a su

cómplice) Coopera 1 - 1 5 - 0 Jugador

A Traiciona 0 - 5 3 - 3

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Dilema del prisionero (cont)

Veamos ahora lo que sucede con A, que de acuerdo con la estrategia dominante le conviene traicionar.

Jugador B

Coopera (con su

cómplice)

Traiciona (a su

cómplice) Coopera 1 - 1 5 - 0 Jugador

A Traiciona 0 - 5 3 - 3

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Dilema del prisionero (cont)

Como vemos la estrategia de traicionar es una estrategia dominante para ambos, aunque terminan peor que si ambos se hubieran puesto de acuerdo para no confesar.Dos individuos que persiguen sus intereses personales, se ven guiados a un resultado adverso para ambos salvo que existan normas que impidan la traición. El resultado es una solución de equilibrio.

80

¿Qué tipo de estrategias garantizan la cooperación entre individuos que persiguen su propio interés?

Las estrategias que priorizaron la cooperación en lugar de tratar de aprovecharse del otro jugador generan mejores resultados, demostrando que aun cuando dos jugadores tienen en cuenta solamente sus intereses, les conviene cooperar entre sí.

81

Teoría de juegos con n personas

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Un juego con n jugadores es un juego con n personas.Un juego de n personas se especifica con la función característica de ese juego.Para cada conjunto de jugadores S, la función V característica de un juego de la cantidad V(S) que pueden estar seguros de recibir los miembros de S sin ayuda alguna de los jugadores que no están en S.

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Ejemplo 1: Juego de n personas.

Juan Torres inventó un fármaco nuevo, pero no lo puede fabricar solo. Puede vender su fórmula a la empresa 2 ó a la 3. La empresa afortunada compartirá un millón de dólares de ganancias con Juan. Determine la función característica para este juego.

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Solución

Sea Juan Torres el jugador 1, la empresa 2 el jugador 2 y la empresa 3 el jugador 3.

Su función característica es:V({}) = V({1}) = V({3}) = V({2,3}) = 0V({1,2}) = V({1,3}) V({1,2,3}) = 1 millón de dólares

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Ejemplo 2. Juego de n personas

Cuatro propietarios tienen muchas bolsas de basura y deben tirarlas en el terreno de la coalición de propietarios, esta coalición recibe una recompensa de –b. Determine la función característica para este juego.

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Solución

Lo mejor que pueden hacer los miembros de la coalición es tirar toda su basura en los terrenos de quienes no están en s.

Así, la función característica para este juego está representada por:V({S}) = -(4-|S|) , si |S| < 4V({1,2,3,4}) = -4, si |S| = 4

Donde |S| es el número de jugadores en S.

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Ejemplo 3. Juego de n personas

El jugador 1 es propietario de un terreno, y lo valúa en $10,000. El jugador 2 es un fraccionador que puede urbanizar el terreno y aumentar su valor a $20,000. El jugador 3 es un fraccionador que puede aumentar el valor a $30,000. No hay otros compradores. Determine la función característica del juego.

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Solución Cualquier coalición que no contenga al jugador 1 tiene

un valor de $0. Cualquier otra coalición tiene un valor igual al máximo

que tiene el miembro de la coalición transmite al terreno.V({1}) = 10,000V({}) = V({2}) = V({3}) = 0V({1,2}) = 20,000V({1,3}) = 30,000V({2, 3}) = 0V({1,2,3}) = 30,000

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Propiedades de los juegos de n personas

Tenemos 2 subconjuntos cualesquiera de los conjuntos A y B tales que A y B no tienen jugadores en común (A^B = 0). Entonces para cualquiera de los ejemplos anteriores, y para cualquier juego de n personas, la función característica debe satisfacer:V(A U B) < V(A) + V(B)A esta propiedad se le llama superaditividad

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Hay muchos conceptos de solución para juegos de n personas. Uno de ellos debería indicar la recompensa que recibirá cada jugador. De modo mas formal, sea

X = {X1,X2,…….Xn}Un vector tal que el jugador i recibe una recompensa Xi. A tal vector le llamamos recompensa.Un vector de recompensa X no es candidato razonable de solución a menos que satisfaga w

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V(N) = X1 + X2 ….. +Xn (Racionalidad de grupo)..(1)Xi > V({i}), Vi …. (Racionalidad Individual) …….. (2)

Si X satisface ambas condiciones decimos que X es una imputación.La ecuación 1 dice que cualquier vector razonable de recompensa debe dar a todos los jugadores una cantidad que sea igual a la cantidad que se puede alcanzar mediante la coalición de todos los jugadores.La ecuación (2) quiere decir que el jugador i debe recibir una recompensa cuando menos tan grande como la que puede obtener solo, que es V{i}

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Ejemplo 1. Imputación

X(Dólares) ¿Es X una imputación?(10 000, 10 000, 10 000) No se viola (2)(5 000, 2 000, 5 000) No, X < V({1}) y se viola (2)

(12 000, 14 000, 1 000) No se viola (2)(11 000, 11 000, 11 000) No se viola (2)

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BIBLIOGRAFÍA

Taha, Investigación de Operaciones. 5a. Ed. Bronson, Investigación de Operaciones. Serie Schaum.Pindyck y Rubenfeld. Microeconomía. México, Limusa – Noriega.Muntaner, Nestor. Apuntes de Investigación Operativa. UTN.