Teoría de Juego: Juegos estáticos con

información completaCapítulo 1: Equilibrio de Nash

Referencia: H. Scott Bierman & Luis Fernández, Game Theory with Economic Applications

I. Introducción: ¿Qué es teoría de juego?

La teoría de juego le concierne en como los individuos llegan a sus decisiones, cuando están consientes que sus decisiones y las que toman otros participantes las toman en cuenta. Esta interacción entre los participantes hace que las decisiones estratégicas sean diferentes a las otras decisiones.

Ejemplos de teoría de juegoEl gobierno anuncia la subasta de un contrato para servicios para servir a una comunidad. Solicita propuestas confidenciales, con la intención de seleccionar la de mejor precio, que cumpla con todos los requisitos. Ante el anuncio, dos empresas interesan competir. Por un lado, cada empresa quiere maximizar las ganancias, por lo que desean un precio alto por su oferta. Pero, por otro lado, mientras más alto sea el precio de la empresa, menos es la probabilidad de que su oferta sea seleccionada. La ecuación se complica cuando cada empresa forma una expectativa de la propuesta de cada empresa.

Ejemplo de teoría de juego continuación

• Cada empresa tiene un dilema, ¿Cómo ofrecer una propuesta ganadora, que maximiza la ganancia y que sea aceptada por el gobierno?

La propuesta de cada empresa dependerá de lo que cree que la otra

empresa va a ofrecer, y viceversa.

Otros ejemplos: La extracción de petróleo

Asuma que existen unos yacimientos de petróleo en las profundidades de unos terrenos. La empresa Boricua Oil Co. ha arrendado los terrenos, donde puede extraer petróleo.

Otros ejemplos: La extracción de petróleo

Supuestos adicionales:Debajo de los terrenos arrendados por ambas

empresas hay 4 millones de barriles de petróleo.

Un tubo ancho puede extraer todo el petróleo en el yacimiento de petróleo en un año. Su construcción cuesta $29 millones

Un tubo estrecho puede extraer todo el petróleo en el yacimiento de petróleo en dos años. Su construcción cuesta $16 millones.

La empresa Boricua Oil Co. Solo tiene recursos para construir un solo pozo de petróleo.

El precio del barril de petróleo se espera que permanezca estable en $20.

La Compañía Boricua Oil Co. tiene los siguientes estimados.

El tubo estrecho extrae 2 millones de barriles de petróleo por año. El tubo ancho extrae 6 millones de barriles de petróleo por año.

tubotubo

Costos estrecho ancho

Extracción $16 millones $29 millones

Pompeo $20 millones $20 millones

Costo total $36 millones $49 millones

Ingreso total $80 millones $80 millones

Ganancias $44 millones $31 millones

La extracción de petróleo

Al parecer la decisión para obvia, la empresa debe emplear el tubo estrecho para así maximizar las ganancias ( $44 millones> $31 millones). Pero nuestra conclusión sería prematura, ya que ignora los efectos de la entrada de otra empresa petrolera en terrenos adyacentes.

Otros ejemplos: La extracción de petróleo

Asuma ahora que existen unos yacimientos de petróleo en las profundidades de unos terrenos. Dos compañía petroleras han arrendado terrenos adyacentes.

La extracción de petróleo

Dado que ambas empresas estarían extrayendo petróleo del mismo lugar, el ancho del tubo es relevante. Ya que si una empresa opta por un tubo ancho y la otra, por el tubo estrecho, aquella con el tubo ancho podría extraer una mayor cantidad de petróleo. De tal forma, que de los 4 millones de barriles de petróleo, una (la del tubo ancho) extraería 3 millones, y la otra (la del tubo estrecho), solamente 1 millón de barriles de petróleo.

La extracción de petróleo

Existen cuatro posibles escenarios:

Ambas empresas optan por emplear tubos estrechos.

Ambas empresas optan por emplear tubos anchos.

La empresa Boricua Oil Co emplea tubo ancho, mientras que la empresa Coqui Oil Co. Emplea el tubo estrecho.

La empresa Boricua Oil Co emplea tubo estrecho, mientras que la empresa Coqui Oil Co. Emplea el tubo ancho.

El margen de ganancias varía dependiendo de la combinación de

estrategias,

¿Cuál será la estrategia seleccionada por cada empresa?

Observen que si opta por un tubo ancho se asegura un margen de ganancia positivo, independientemente de

lo que haga la otra empresa.

Si opta por un tubo estrecho, hay la posibilidad de que la otra empresa opte

por un tubo ancho, y termine con pérdidas.

Estrategia dominante

Una estrategia es dominante para un jugador, si resulta en un pago neto superior a cualquier otra estrategia. Observar en el ejemplo anterior.

Si Coqui Oil Co. Opta por utilizar un tubo estrecho, tiene dos posibles escenarios:

ganar 14 millones, dado que la otra empresa optó por usar un tubo estrecho.

Perder 1 millón, dado que la otra empresa optó por usar un tubo ancho.

Estrategia dominante continuación

Si Coqui Oil Co. Opta por utilizar un tubo ancho, tiene dos posibles escenarios:

ganar 16 millones, dado que la otra empresa optó por usar un tubo estrecho.

ganar 1 millón, dado que la otra empresa optó por usar un tubo ancho.

Es decir, si opta por un tubo ancho, en ambos escenarios, tiene asegurado una ganancia (16 millones o 1 millón).

Es decir, si opta por un tubo estrecho, en un escenario, tiene una ganancia de14 millones. Mientras, que en el otro escenario, tiene una pérdida de 1 millón.

El equilibrio estratégico estrictamente dominante

Dado que ambas empresas le conviene utilizar un tubo ancho, ambas terminan utilizando el tubo ancho. Tenemos un equilibrio estratégico estrictamente dominante. El perfil de estrategias (S1, S2…Sn) es una estrategia estrictamente dominante si para cada jugador i, Si representa su estrategia estrictamente dominante.

Observen que ambas empresas pueden alcanzar un mejor resultado si las dos

optan por un tubo estrecho.

Juegos cooperativos versus juegos no-cooperativos

Dentro de la teoría de juego, existe un área de estudio que corresponde a los juegos cooperativos. En estos juegos, los jugadores optan por una estrategia de resulta provechoso para ambos jugadores. Pero, esto presupone la ausencia de una competencia real entre las partes. En este curso nos vamos a limitar a juegos no-cooperativos, donde hay la ausencia de los arreglos entre jugadores.

El dilema del prisionero Suponga los siguientes datos:La policía atrapa a dos ladrones con evidencia

limitada. Necesitan el testimonio de uno de los cómplices.

La policía coge a cada presunto ladrón y lo interroga por separado

La policía le hace el siguiente ofrecimiento:Si confiesas el crimen y tu cómplice no lo

hace, testificarás en contra de tu cómplice. Por tu cooperación saldrás libre. El cómplice recibiría 20 años de carcel.

Si te niegas a confesar el crimen y tu cómplice lo hace, tu cómplice testificarás en contra de ti. Por su cooperación saldrá libre. Por no confesar el crimen, recibirías 20 años de carcel.

El dilema del prisionero continuación de los supuestos

Si ambos ladrones confiesan, entonces no hace falta la cooperación de uno de los cómplices, por lo que ambos ladrones reciben 10 años de carcel.

Si ambos ladrones se niegan a confesar, entonces la evidencia limitada solo los logra acusar de conspiración para cometer un delito, una pena de cárcel que lleva a ambos ladrones a recibir 1 año de carcel.

Ambos ladrones reciben la misma oferta, y ambos conocen que su cómplice recibió la misma oferta

El dilema del prisionero

El dilema del prisionero

El dilema del prisionero

La estrategia de confesar es estrictamente dominante para cada jugador es confesar el crimen, ya que si confiesa tiene dos posibles escenarios:

libertad (si su cómplice no confiesa) o

10 años de cárcel (si su cómplice confiesa)

Mientras que si no confiesa, tiene dos posibles escenarios:

1 año de cárcel (si su cómplice no confiesa) o

20 años de cárcel (si su cómplice confiesa)

El dilema del prisionero

• ¿Cómo cambiaría la respuesta si los prisioneros se pudieran comunicar?

El dilema del prisioneroObservar que si ambos se ponen de acuerdo para no confesar, ambos terminan con 1 año de cárcel. Por lo que la estrategia de un juego cooperativo sería la de no confesar el crimen. El problema es uno de credibilidad. Ya que si un ladrón sabe que su cómplice no va a confesar, puede salir libre si confiesa y testifica en contra de su cómplice. ¿Cómo tu puedes asegurar la credibilidad de la palabra de un cómplice? Usualmente con amenazas subsiguientes, se logra callar al posible informante.

Equilibrio NashNo siempre tenemos una estrategia estrictamente dominante. En ocasiones puede haber más de una posible estrategia ganadora. La respuesta depende de lo que haga el otro jugador. Como se desconoce a priori cual será la acción tomada por el otro jugador competidor, el jugador tiene que basarse en lo que entiende que sería una acción racional.

El equilibrio NashEl equilibrio Nash se define como:

Suponga que hay N número de jugadores en un juego. Xi es el número de posibles estrategias para cada jugador, y vi es el pago correspondiente a cada estrategia. Un equilibrio Nash es cuando la estrategia seleccionada por cada jugador es la mejor respuesta, dado la creencia de que cada jugador querra maximizar su función f(xi) = vi(si, Si-1, Si+1, …SN).

Ejemplo de un equilibrio Nash

Ejemplo de un equilibrio Nash

Podemos eliminar las estrategias no dominantes

Ejemplo de un equilibrio Nash

Eliminamos la estrategia de no extraer, ya que si extrae genera una ganancia positiva

Ejemplo de un equilibrio Nash

La estrategia óptima depende de lo que haga el competidor

Ejemplo de un equilibrio Nash

Asuma que Coqui Oil Co, piensa que Boricua seleccionará un tubo ancho. ¿Qué estrategia le conviene?

Ejemplo de un equilibrio Nash

Si Coqui Oil Co, piensa que Boricua seleccionará un tubo ancho, le conviene un tubo estrecho ($2m > $1m)

Ejemplo de un equilibrio Nash

Si Boricua piensa que Coqui seleccionará un tubo estrecho, le conviene un tubo ancho ($16m > $14m)