Teoria de inventarios

5/7/2018 Teoria de inventarios - slidepdf.com

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Universidad Diego Portales. Escuela Ingeniería

Profesor Felipe Murcia Mesa. MSc, Dr.c. Ing.Logistica II-2008

October 30, 2008

1 Teoría de gestión de Inventarios

1.1 IntroducciónTerminología (candidato a ponerse en la introduccion del caso de-terministico) La teoría de inventarios tiene que ver con la administraciónde niveles de inventarios o stock de productos , con el proposito de conocer lademanda de esos productos. Se dice que la demanda de bienes son hechas porlos compradores y son atendidas por los vendedores , independientemente decualquier intercambio económico que se produzca. El inventario de un productoque se encuentra …sicamente disponible es inventario a mano. La demanda parauna cantidad de un producto es considerada como conocida cuando una canti-dad determinada es transferida -aparte de las unidades a mano- al comprador.La escasez o quiebres de inventario son demandas no atendidas inmediatamente.Los quiebres de inventario son ordenes pendientes o backorders si el comprador

esta dispuesto a esperar y ventas perdidas si no. Las ordenes pendientes sonconocidas como demanda acumulada o backlogs . De un momento de tiempo aotro posterior, el administrador del inventario podria decidir si debe poner unaorden de producto adicional de un producto para reponer el stock a mano. Unaorden, con la cantidad ordenada, puede ser puesta en un proveedor externo osobre sus instalaciones internas de producción, en cuyo caso la catidad ordenadaes una corrida , batch y/o lote de producto. El tiempo de reposición o leadtime

es el tiempo ocurrido desde el momento en el que una orden fue puesta hastael momento que la cantidad ordenada es recibida (sumada al stock a mano).Esa de…nición puede ser vaga, porque existe la posibilidad de que partes de unaorden puedan ser despachadas a diferentes puntos en varias etapas. Las canti-dades del producto que han sido ordenada (por el administrador del inventario),pero aun no recibidas son una orden. El stock del sistema, tambien conocido

como posición de inventario, es la suma del stock a mano mas las ordenes menoslas ordenes pendientes. Esto representa la cantidad que se encuentra disponiblepara atender demandas futuras sin poner ordenes adicionales.

Dimensiones de los modelos de inventario (candidato a ponerse en laintroduccion del caso deterministico) Pueden haber uno o mas produc-

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tos y estos pueden ser consumibles o parcialmente reusables. Los inventarios deproductos individuales pueden ser reabastecidos en unidades discretas o contin-

uas. Los productos podrian estar sujetos a deterioro, como aquellos que tienenun tiempo de vida …nito o estar sujetos a deterioros o decrementos (mermas).El deterioro podría ser determinístico o estocástico.

En cuanto a las variables de decisión, el conjunto de variables de decisiónen un modelo de inventario siempre incluye la cantidad a ordenar o a producir,de cada producto, como una función de la información disponible sobre losniveles de inventario en todo instante de tiempo. Podrían existir otras variablesde decisión que incluyan otras cosas tales como precio, secuenciamiento de laproducción, fechas de programación de entregas, inspecciones, expansión decapacidad, reducción de tiempos de alistamiento, mejoramiento de la calidad yotros mas.

Respecto a la estructura de toma de decisiones, se podría decir que existeun tomador de decisiones o varios. Un tomador de decisiones, tal como lo esel dueño de la empresa, podría …jar las reglas, y un tomador de decisionescomo el administrador del inventario podría operar sobre dichas reglas. Elcomportamiento de los compradores, proveedores y competidores podría ser ono modelado explícitamente.

El tiempo puede ser continuo o discreto. El horizonte de tiempo es el in-tervalo de tiempo sobre el cual las consecuencias de la política del inventariopodrían ser medidas. Los horizontes de tiempo pueden ser …nitos o in…nitos ytambien determinísticos o estocásticos.

La demanda puede ser determinística o estocástica. Cuando la demanda seconsidera como un proceso estocástico, el proceso de demanda podría tener o

no incrementos independientes, como podría ser estacionario o no estacionario ypodría estar sujeta a in‡uencia endógena, como lo son los quiebres de inventario,los tiempos de servicio al cliente, los precios, entre otros.

La función objetivo de un modelo de inventario casi siempre tiene en cuentacostos de ordenar o producir, costos de mantener inventario y costos de escasez.Los ingresos algunas veces tambien se incluyen. Los modelos de inventariopueden diferir considerablemente debido a la diferencia en la forma (convexa oconcava) de las funciones de costo. Existen tambien otras consecuencias med-ibles en la función objetivo, tales como ingresos, niveles de servicio, etc. Porejemplo, el servicio puede incluir aspectos como la probabilidad de la demandaque esta siendo satisfecha o el tiempo esperado para servir a una orden de uncliente.

El costo de producción o de ordenar (uno de los dos casos) se produce enfunción de la cantidad ordenada. Este costo, puede ser proporcional a la can-tidad de la orden o puede ser mas general. Podría incorporar un costo de set

up mas un término lineal o podría ser cóncavo o convexo o mas general. Elcosto de set up incluye los costos de oportunidad del tiempo de set up. Ese

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costo de oportunidad podría especi…carse exógenamente o determinarse dentrodel modelo mismo. El costo de ordenamiento o de producción pueden explicarse

como el costo de cambiar el nivel de producción, mas que ser una función de lacantidad ordenada.

Los costos de mantener inventario incluyen los costos …sicos y …nancieros,como el costo de oportunidad del capital. Algunas veces las mermas se consid-eran como costos de mantener inventario. Similarmente el valor promocionalde los superavit de inventarios se pueden considerar como costos de mantenerinventario.

Los costos de quiebres de inventario, escasez o de…cit se relacionan con losde…cits de inventario, los cuales pueden ser acumulados, total o parcialmente osimplemente no acumularse.

En cuanto al abastecimiento el tiempo de la orden de abastecimiento puedeser determinístico o estocástico. Tambien podria ser predecible a traves del

tiempo. Esto habitualmente depende de aspectos como cuanto inventario amano se tenga en el momento de emisión de la orden en un punto de abastec-imiento aguas arriba. Esto generalmente depende de las políticas de las orden deotros productos cuando la demanda se asigna a una instalación productiva: laspolíticas de ordenamiento afectan la variabilidad de los trabajos a ser procesa-dos en la instalación, lo cual afecta la variabilidad del tiempo líder. La cantidadrecibida podría diferir de la cantidad ordenada debidos a variaciones en la pro-ducción o defectos. La orden podria ser despachada en partes en un período detiempo.

Respecto al sistema …sico, generalmente existen una o varias instalaciones.Cuando existe mas de una instalación existen diferentes distintas topologíasposibles, como oeración en serie, en paralelo o en forma de arbol. La formafísica de los productos podría preservarse a través de todas las instalaciones o

no. En cuanto a la estructura de la información, los niveles de inventario puedenser revisados continuamente (sobre el tiempo) o periódicamente, por ejemplouan vez por dia, o una vez por año. Los niveles de stock pueden conocerseexacta o inexactamente. Otra información como la distribución de la demanday costos pueden conocerse solo inexactamente.

Por ultimo, existen recursos que son usados mientras se ordena, almacenay/o entrega un producto. Existen restricciones sobre el uso de recursos quepodrian ser satisfechas.

Razones para mantener inventarios Las economías de escala en la canti-dad de la orden (tamaño de lote) ocurre en cualquier caso existen costos …josincurridos para cada orden no dependiente del tamaño de lote. Dichos costos

ocurren por el tiempo changeover, el tiempo de setup, etc. Los costos promediosincurridos por semana decrecen cuando el tamaño de lote crece. De cualquierforma, los costos de mantener inventario se elevan entre mas altos sean los nivelesde inventario. Las economías de escala tambien crecen cuando hay descuentospor cantidad, aprendizaje y cambio de tecnología. Los stocks que se mantienen

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en respuesta a las economías de escala son stocks cíclicos.La variabilidad es otra razón para mantener inventarios. El entorno de la

demanda puede ser predecible o impredecible. La variabilidad impredecible esaquella que es muy costosa de predecir. Los stocks de producción surgen enrespuesta de los periodos de demanda con peaks predecibles. Estos incrementanlos costos de mantener inventario pero reduce tanto los costos de escasez y loscostos adicionales de ordenar. En general los stocks se mantienen en respuesta ala variabilidad y los tocks mantenidos ante las variabilidades predichas se conocecomo stock estacional.

Cuando se almacena mas como una medida de respuesta a la variabilidadimpredecible signi…ca mayores costos de mantener pero menores costos de es-casez. Los stocks que se mantienen en respuesta a la variabilidad impredecibleson los stocks tipo bu¤er o inventarios de amortiguación.

Los con…ctos de intereses crecen cuando dos tomadores de decisiones tienendistintos objetivos. Esto ocurre explícitamente cuando los vendedores compitensobre la base del inventario disponible para servir a potenciales compradores.Decisiones que conlleven a tener bajos niveles de inventarios podrian resultaren quiebres de inventario frecuentes, lo cual conlleva necesariamente a que losclientes en el fututo tomen sus pedidos y se vayan a la competencia. Incluso,podrian comunicar una experiencia de pobre servicio a otros potenciales com-pradores y causar un deterioro en la demanda futura. Por lo tanto, las empresasque siempre tienen inventarios a mano causan crecimiento en su demanda fu-tura. Los stocks cuyo proposito es el de crear demanda futura adicional seconocen como stocks promocionales.

1.2 Modelos de inventario determinísticos

1.2.1 Supuestos básicos

Generalmente en los modelos de inventario determinísticos se supone un pro-ducto, el cual es restituido continuamente en unidades y es consumible o agotable.Este producto no se deteriora y tiene un tiempo de vida in…nito. Estamos anteun modelo en tiempo continuo con un horizonte in…nito de tiempo. En estemodelo, el nivle de stock es cero en el instante inicial (tiempo inicial cero) ylos niveles de inventario no requieren ser monitoreados, por lo que todas lasconsecuencias pueden ser determinadas deterministicamente.

Aquí tambien los costos son conocidos exactamente. La demanda ocurre auna tasa estacionaria y deterministica m por unidad de tiempo, y no es in‡uen-ciable en el modelo. Los quiebres de inventario no son permitidos. Los costosson estacionarios y consisten de un costo …jo de alistamiento (setup) denomi-nado cT mas un costo proporcional de ordenar o producir el producto, llamadoc. Existe un costo porporcional de tener inventario cH por unidad de tiempoque se carga a cada unidad del inventario que se tenga a mano. Existe una in-stalacion productiva o una sola fuente de abastecimiento. El tiempo de la orden

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(leadtime) es cero. No existe alguna restriccion sobre alguno de los recursosutilizados. La producción de la orden se hace en un 100% y no hay defectos.

Existe un solo tomador de decisiones.

1.2.2 Resultados

Este modelo es el modelo clasico de cantidad economica de pedido (EOQ porsus siglas en ingles), introducido por Harris (1913) y popularizado por Wilson(1934). Se asume que Q es el tamaño de cada orden puesta; sea entonces Q eltamaño de lote. La suma de los costos de setup y los costos de tener inventariopor unidad de tiempo estan dados por mcT

Q+ QcH

2;

la cual es convexa en Q (sobre su dominio [0; 1)) y es minimizada por laexpresión

Q =

r 2mcT

cH

La suma optima inducida de costos de setup y costos de tener inventario porunidad de tiempo esta dada por cH Q =

p 2mcT cH . Alguna variabilidad en el

tamaño de lote de Q en el tiempo incrementa los costos, de esta forma se tieneque la politica optima es estacionaria.

1.2.3 Extensiones y variaciones con resultados similares

Existen numerosas extensiones y variaciones del modelo EOQ, el cual preservael supuesto que la demanda es deterministica y ocurre continuamente a unatasa …ja. Por ejemplo, si el producto es medido en unidades discretas, entonces,a traves de un procedimiento de redondeo se produce la solución optima. Siexisten varios productos con una restriccion de capacidad productiva, entonces,

el analisis lagrangeano puede aplicarse obteniendo de nuevo un tamaño de loteoptimo explícito. Algunas soluciones explícitas para varios casos pueden en-contrarse en Parsons (1965). Si existe un leadtime deterministico distinto decero, entonces, cada ordenpuede colocarse de manera que esta es recibida exac-tamente cuando el inventario a mano decrece a cero. Hadley y Within (1963)realizan un compendio de extensiones del modelo EOQ.

1.2.4 El modelo del vendedor de diarios a un solo período.

En un modelo de un solo período, el nivel de inventario antes de ordenar esuna cantidad …ja dada. Son embargo, este no es el caso en los modelos multi-periodos. Por tanto, será conveniente examinar como las decisiones optimas dealmacenamiento dependen del nivel de inventario inicial. Una de las ideas basi-

cas de la teoria de inventarios estocastica es que uno podria pensar la decisionoptima de inventario como el nivel de inventario despues de ordenar, mas que lacantidad ordenada, de hecho, se de…ne una política como una prescripción delnivel de inventario depues de ordenar como una función del nivel de inventarioantes de ordenar.

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Supuestos Se verá que elementos son distintos respecto al modelo EOQ. Ex-iste un período discreto simple en el cual la demanda denotada por D ocurre.

Sea la distribucion de probabilidad de D y su media. El costo de ordenaro producir c se carga por cada unidad a comprar o producir; el costo unitarioefectivo de tener inventario cH se calcula contra algun inventario remanente al…nal de un período y un costo de de…cit cP se calcula sobre algun periodo conquiebres de inventario. Si cada unidad de inventario remanente tiene un valor decL, entonces el costo efectivo de tener inventario es el actual costo cH menos cL.Por tanto es posible que cH pueda ser negativo. Se asume que cP > c > cH y que es continua. Se asume tambien que la demanda es no negativa, asi que (x) = 0 para x < 0.

Resultados Sea y denota el nivel de stock despues de ordenar. La función decostos para un periodo de tener inventarios y de de…cit de los mismos es

L (y) :=

Z y

0

cH (y ) d ( ) +

Z 1

y

( y) d ( )

La función objetivo es por lo tanto la suma de los costos de ordenamiento yde mantener inventarios:

g (y) : = cy + L (y) = c + (c + cH )

Z y0

(y ) d ( )

+ (cP c)

Z 1

y

( y) d ( ) ; (1)

= c + (c + cH ) (y

) + (cP + cH )Z

1

y

(

y) d ( ) ; (2)

la cual es convexa y es minimizada cuando y = S , donde S es de…nido atraves de la siguiente expresión:

(S ) =cP c

cP + cH (3)

esto es,

S = 1

cP c

cP + cH

donde 1 es la inversa de la función de distribución. La cantidad :=(cP

c) = (cP + cH ) es llamada fractil critico y es la probabilidad optima de no

tener quiebres de inventario. Entonces, S se ajusta de manera que la probabil-idad de que no hayan quiebres de inventario sea . Por lo tanto, 1 es laprobabilidad optima de que hayan agotamiento de inventario. EL nivel optimode stock S puede encontrarse como se mostró anteriormente bajo el supuestoque cP > c > cH y sea continuo. La razón optima de la demanda no satis-fecha esperada esta dada por

R 1

y( y) d ( ) = la cual es sustancialmente mas

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pequeña que 1 . Por ejemplo, si la demanda esta distribuida normalmente,con una desviación estandar igual a un 20% de la media y = 0:67, entonces

la probabilidad optima de incurrir en de…cits es 0:33. No obstante la razónoptima de demanda no satisfecha para la demanda esperada es de 0:04. Estosigni…ca que hay un 33% de chance de quiebres de inventario durante el periodopero solo un 4% de chance de que un comprador aleatorio pueda enfrentar unagotamiento.

La expresión (1) algunas veces se formula directamente, usualmente sin eltérmino c. La razón de ello es que este ultimo termino no depende del nivelde stock. El término c + cH se podría lograr si unas pocas unidades fuesen or-denadas al inicio del período. El costo unitario c podría ser ahorrado y el costode mantener adicional podria ser ahorrado al …nal del período. Similarmente,el término cP c podría lograr el costo unitario de underage: dado que allí hayun de…cit al …nal del período, un ahorro de cP c podria lograrse si una unidad

adicional fuese ordenada al inicio del período. El costo de escasez directo decP podría ser salvado, pero habría que incurrir en un costo c para obtener unaunidad adicional. El fractil crítico es la razón del costo unitario de underage al…nal del período respecto a la suma de los costos unitarios de underage y deoverage. La probabilidad optima de de…cit es la razón del costo de overage uni-tario respecto a la suma de los costos unitarios de underage y de overage. Otraforma de expresar el mismo resultado es que la razón optima de la probabilidadde escasez (de…cit) respecto a la probabilidad de superavit (teniendo restos oremanentes de inventario) es igual a la razón del costo de superavit respecto alcosto de de…cit.

El primer termino de (2), -c-, representa el costo esperado bajo informaciónperfecta (estar habilitado para seleccionar y despues de determinar que nivel dedemanda se presentará) y los otros dos terminos representan el valor esperado de

información perfecta, debido a que este costo podría ser eliminado enteramentesi el valor de la variable aleatoria demanda fue conocida antes de la decision dealmacenar tenga que ser tomada. El valor esperado de la información perfectaen este caso es tambien llamada el costo de amortiguación o bu¤ers, porque estees el costo debido a bu¤ers de mantener inventario, lo cual es debido solamente ala existencia de variabilidad impredecible. El primer termino del costo de bu¤eres proporcional al stock de amortiguación, el cual es y . El segundo terminoes una funcion de perdida la cual representa costos adicionales incurridos si lademanda excede el nivel del stock.

La cantidad S es el inventario bu¤er optimo, el cual es stock mantenidoen exceso de la media, debido a la estocacidad en la demanda. Claramente,cuando el nivel fractil es bajo, el nivel de stock optimo podria ser menos que lamedia y el inventario bu¤er optimo podria ser negativo.

Otra manera para representar el nivel de stock optimo es reescribir (3) como

cP (1 (S )) = c + cH (S )

el cual puede interpretarse como el establecimiento de bene…cios marginalesigual a los costos marginales: si una unidad adicional es guardada, entonces el

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bene…cio marginal es que un costo unitario de escasez puede ser ahorrado si noshubieran surtido de producto. El costo marginal es el costo de producir/ordenar

c mas el costo de mantener unitario si se tuviera un stock remanente positivo.

Demanda distribuída normalmente Suponga que la demanda es aproxi-madamente normalmente distribuída. Por ejemplo, la demand podría represen-tar la suma de demandas de un gran numero de clientes. Como las demandasde los clientes pueden ser variables aleatorias independientes e identicamentedistribuídas. Entonces, el teorema de limite central justi…ca el supuesto quela demanda total es aproximadamente normal. Tecnicamente, una distribuciónnormal muestra al menos una pequeña probabilidad de demanda negativa la cualse puede descartar. Sin embargo cuando las condiciones del teorema del límitecentral se aplican, el uso de la distribución normal podría producir resultadospracticos con una exactitud su…ciente.

Sea la desviación estandar, sea P N denota la función de distribución normalunitaria y sea z que satisface P N (z) = . Esto es z = P 1N ( ). Entonces, elnivel de stock optimo esta dado por S = + z, el stock de bu¤er optimo es porlo tanto z y el valor de la función objetivo óptima inducida puede ser escritacomo

c + [(c + cH ) z + (cP + cH ) I N (z)]

donde I N es la función de perdida normal unitaria, la cual es frecuente-mente presentada. En este caso,ambos, -el inventario bu¤er y el costo bu¤erson proporcionales a la desviación estandar de la demanda.

La razón optima de la demanda esperada no satisfecha respecto a la demandaesperada esta dado por (=) I N (z). Existen aproximaciones analíticas tanto deP 1N como de I N . Abramowitz y Stegun (1972) presentan una lista de diversasaproximaciones, muchas de ellas vienen de Hastings (1955). Nahmias y Schmidt(1984) usan aproximaciones mas gruesas relativas a P 1N .

Producto discontinuo o función de distribución discontinua Si el pro-ducto es discreto o la distribución de la demanda es discontinua, entonces S es el y mas pequeño posible que satisface

(y) cP c

cP + cH

si se asume que cP c cH , entonces S puede ser operacionalmenteobtenido como sigue:

dibuje la función de distribución, empiece en el origen, muevase verticalmenteal nivel de fractil , muevase horizontalmente para intersectar la función de

distribución, muevase verticalmente para intersectar el eje x y moverse a laderecha horizontalmente a el primer nivel de stock admisible. Si sin embargo,c cP cH , entonces S = 1 es una solución optima. Si cP < cH . entoncesla función ob jetivo es estrictamente concava y tambien y = 0 o y = 1 es optimo.

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Distribución de demanda desconocido Suponga que la distribución dedemanda es no conocida con certidumbre. Asuma que la forma funcional de la

demanda es conocida, pero que los parametros de la distribución son no conoci-dos. Asuma que tenemos de entrada una distribución previa o apriori, sobre esosparámetros. El analisis previo se lleva a traves de, como ahora la distribuciónde la demanda tiene ahora dos niveles de incertidumbre: incertidumbre sobrelos parámetros de la distribución y dados los parámetros de la distribución,incertidumbre acerca de la demanda.

Stock Inicial Suponga que hay un nivel inicial x de inventario, antes deordenar. La función objetivo ahora se convierte en

G (y; x) = c (y x) + L (y) = g (y) cx

Si vamos a ordenar hasra el nivel y, entonces incurrimos en el costo G (y; x).

Si no vamos a ordenar, el costo será G (x; x). Por tanto, para que valga lapena ordenar hasta y, los ahorros de costo, los cuales ascienden a G (x; x) G (y; x) = g (x) g (y), debería ser positivo. La ventaja crítica de tener uncosto de ordenar/producir marginal es que solo necesitamos ver las diferenciasen la función g para determinar que es optimo.

Si g es cuasiconvexo, entonces, la política óptima es ordenar su…ciente paraque el nivel de existencias llegue hasta S , como de…nimos en las subseccionesprevias, si x S y no ordenar nada en caso contrario. Una política de este tipoes llamada "base stock policy " y tambien se le llama "single critical number

policy ". Esto es optimo de acercarse lo mas posible al nivel de existencia base.Si g es no cuasi convexo, lo cual puede pasar si la funci{on de costos de escasezy de mantener es una funci{on no lineal, entonces g puede poseer un minimolocal a la derecha de S (en puntos mas largos que S ). En ese caso, la política

óptima podra mantenerse hasta S si x S , pero posiblemente a seguir unapolitica mas complicada cuando x > S .

Maximización de utilidades con almacenamiento parcial Suponga quecada unidad de demanda conocida (satisfecha) produce un ingreso de p y cadaescasez se convierte en una venta perdida con probabilidad LS y es acumuladacon una probabilidad 1 LS . CAda venta perdida resulta en la perdida deingreso unitario p y un costo unitario adicional de cLS debido a perdidas deimagen o "good will ". Cada demada acumulada signi…ca que la demanda estaeventualmente satisfecha, así que el ingreso unitario de p es recibido, pero seincurre en un costo adicional de cBL, debido al ordenamiento especial, expedi-cion extra y costo de oportunidad de la recepcion retrasada del ingreso y porsupuesto las perdidas de imagen. Por tanto, el ingreso esperado de un nivel de

existencias de y esZ y0

pd ( ) +

Z 1

y

pyd ( ) + p (1 LS ) +

Z 1

y

( y) d ( )

= p p LS

Z 1

y

( y) d ( )

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El costo esperado se convierte en

c + (c + cH )Z y0

(y ) d ( )

+ (cBL c + LS [cLS cBL])

Z 1

y

( y) d ( )

Sustrayendo el costo esperado de los ingresos esperados se produce una nuevafunción objetivo:

( p c) (c + cH )

Z y0

(y ) d ( )

(cBL c + LS [ p + cLS cBL])

Z 1

y

( y) d ( )

= ( p

c)

(c + cH ) (y

)

(cBL + cH + LS [ p + cLS cBL])

Z 1

y

( y) d ( )

El termino ( p c) representa ka utilidad esperada bajo información per-fecta y los otros dos terminos son los costos bu¤er . En este caso, el costo unitariooverage en el modelo de vendedor de diarios se mantiene c + cH , entre tanto elcosto unitario underage se convierte en cBL c + LS [ p + cLS cBL]. El nivelde stock optimo se encuentra de manera usual.

Considere el caso cuando LS = 1, así que cada escasez se convierte en unaventa perdida. Si existe una condición underage y una unidad adicional puedeordenarse, entonces, podriamos recibir los ingresos perdidos de p, ahorrando lasperdidas de good will de cLS , pero incurriendo en un costo unitario adicional de

c para ordenar la unidad, para un costo neto underage de p + cLS c. En estecaso, el fractil critico es (c + cH ) = ( p + cLS + cH ). El costo de escasez efectivounitario se ha convertido en p+ cLS . Uno podría no ser cuidadosi y contar doble

p c: si ahí no existe costo por una venta perdida que por ingresos perdidos,entonces, cLS = 0 y p c solo juega un rol de los costos underage.

Suponga que una elección puede hacerse entre las ventas perdidas sufridas ylas acumulaciones (ofreciendo llevar a cabo procedimientos de emergencia parasatisfacer alguna escasez) en el contexto de un sólo período. Esto es, LS es unavariable de decisión. La decisión se viene abajo con una simple comparación delos costos underage en los dos casos: elegir las ventas perdidas si p + cLS < cBL,y elegir acumulación en otro caso.

Fijación de precios (pricing ) bajo ventas perdidas Construyendo sobre

el modelo de las secciones previas, suponga que el precio del producto tambienes una variable de decisión. La demanda que sigue siendo una variable aleatoriaes in‡uenciada por el precio. Por conveniencia, asumimos que todos los quiebresde inventario se convierten en ventas perdidas. (Los resultados se extienden alcaso mas general de acumulación parcial pero la exposición es mas clara connotación mas simple). Sea ( p) denota la demanda media y p la distribución

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de probabilidad de la demanda, ambas como funciones del precio p. La funciónobjetivo es por tanto la genaralización obvia de lo visto en las secciones previas:

( p c) ( p) (c + cH ) (y ( p))

( p + cLS + cH )

Z y

( y) d p ( ) :

El primer termino, es la función de retorno de riesgo (el retorno esperadobajo certidumbre) y el precio que maximiza eso retorno es el precio de riesgo,el cual el precio óptimo …jado por un monopolista en una forma de …jacióndeterministica. Los ultimos dos terminos entregan el costo de bu¤er .

Las soluciones analíticas explícitas tanto para el nivel de existencias optimoy el precio optimo no se encuentran disponibles en general. Sin embargo, lasolución de fractil crítico es aun válida, así que dado algun precio p, el nivel destock optimo podrá satisfacer

p (S ) =p + cLS c

p + cLS + cH :

Por ejemplo, si cLS = cH = 0, entonces la condición puede ser escrita como p

1 p (S )

= c, lo cual puede interpretarse como el ingreso marginal …jadoigual a el costo marginal. En este caso, el ingreso marginal es el ingreso marginalesperado, debido a guardar otra unidad, lo cual iguala el unit price times laprobabilidad de vender esa unidad marginal, lo cual es la probabilidad de queno haya existencias.

Si en general, tentativamente …jamos el precio y encontramos el nivel de stockoptimo como una función del precio, y entonces substituimos ese nivel de exis-tencias optimo atras en la función objetivo, la función objetivo inducida podra

ser una función solo del precio. Cuando la demanda se encuentra normalmentedistribuída, esa función puede escribirse como

( p c) ( p) [(c + cH ) z ( p) + ( p + cLS + cH ) I N (z ( p))] ( p)

donde se continua usando la notación de seciones anteriores.Young (1978) introducjo un modo conveniente para modelar la demanda

incierta: asuma que ( p) puede ser descompuesto en la suma de 1

( p) + 2

( p)y que existe una variable aleatoria no negativa X la cual es independiente de ptal que la demanda durante el período equivale a

1( p) X +

2( p). Asumimos

que sin perdida de generalidad que X tiene una media de uno. Existen doscasos prominentes de esta representación, los cuales son el caos aditivo y elmultiplicativo. En el caso multiplicativo,

2( p) = 0, asi la demanda es el

producto 1 ( p) X . En el caso aditivo 1 ( p) es una constante, asi al reescalar,la demanda puede ser representada por ( p) + Y , donde Y es una variablealeatoria la cual es dependiente de p y sin perdida de generalidad, se asume quetiene una media de cero.

Asumiendo que la función de retorno de riesgo tiene un maximo local unico,Karlin y Carr (1962) mostraron que el precio optimo es mas grande que el

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precio de riesgo en el caso multiplicativo y es menos que el precio de riesgo enel caso aditivo. Mills (1962) y Zabel (1970) examinan el modelo mas general

en el cual la función de costo de producir/ordenar es convexa y creciente. Bajoalgunos supuestos mas restrictivos adicionales, ellos obtienen el mismo resultado:Mills (1962) mostró que el precio optimo es menos que el precio de riesgo en elcaso aditivo y Zabel (1970) mostró que el precio optimo es mas grande que elprecio de riskless en el caso multiplicativo. Young (1978) entrega condiciones,incluyendo convexidad de la funcion de costos de ordenar/producir, bajo lascuales si la varianza de la demanda es una función creciente del precio, lo cual esuna generalizacion del caso aditivo, entonces el precio optimo es estrictamentemenos que el precio de riesgo. El tambien mostró que si la función de costode producción/ordenar es concava y las otras condiciones se mantienen y elcoe…ciente de variación de la demanda es una función decreciente del precio, locual es una generalización del caso multiplicativo, entonces el precio optimo es

estrictamente mas grande que el precio de riesgo. Esos resultados muestran quela introducción de incertidumbre en el modelo monopolico clasico de …jaciónde precio afecta el precio optimo en el sentido que depende de la naturalezade la incertidumbre: la incertidumbre aditiva tiende a reducir el precio y laincertidumbre multiplicativa tiende a incrementarlo.

Thowsen (1975) mostro que si la demanda incierta es aditiva, si la funciónde densidad de probabilidad de la incertidumbre aditiva es P F 2, y la función dedemanda esperada ( p) es lineal, entonces la política óptima es una politica delista de precios para el stock base: si el nivel de inventario inicial es mas bajoque el nivel de existencias base, entonces ese nivel de existencias es repuesto y secarga el precio de lista. Si el inventario inicial es superior al nivel de stock base,entonces no se ordena nada y se ofrece un precio de descuento. Adicionalmente,mientras mas alto sea el exceso del nivel de inventario inicial, mayor será el

descuento optimo ofrecido. Esto es, el precio optimo es una función no crecientedel nivel de inventario inicial y ningun desdecuento es ofrecido a menos qe elnivel de producto este por sobre el nivel de stock base.

Costo no lineales, convexos de escasez y de mantener inventariosSuponga que las funciones de costo de mantener inventario y de escasez delmismo son posiblemente no lineales y convexas. Sea cH () denota el costo demantener cargado sobre algun nivel …nal de inventario y c p () denota el costo deescasez cargado sobre el …nal del periodo de escasez. es conveniente combinaresas dos funciones en una sola función como sígue. Sea cHP () de…nida por

cHP (x) = f cH (x) si x 0c p (

x) otro caso

se puede pensar en x como el nivel de existencias despues de ordenar menosla demanda. Si x es positivo, entonces calculamos el costo de mantener sobrecada unidad remanente. Si x es negativo, entonces x entrega el numero deescaseces (demanda no satisfecha) y calculamos el costo de escasez sobre esos.Entonces, el costo de mantener esperado y el costo de escasez (perdida) en la

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función L se puede escribir como

L (y) =Z 10

cHP (y ) d ( ) :

La expresión para L puede ser escrita de la misma forma en como se escribióen la sección 3.2., excepto que cHP () y c p () podrían ser funciones no lineales.

Suponga que cHP () es convexa, lo cual sera cierto si tanto cH () y c p () sonconvexas sobre [0; 1) ; cH (0) = c p (0) = 0, y si las condiciones analogas paranuestro supuesto inicial de que c p > c > cH se mantienen. En este caso, Lcontinua siendo convexo, la función objetivo es nuevamente convexa y por lotanto el nivel de existencias optimo puede encontrarse usando las condicionesde primer orden: el nivel de existencias optimo satisface

L0 (S ) = c

Esto es, L0 es una función creciente y el nivel de existencias optimo ocurreen algun punto donde L0 sea igual a c.

Costo cuadraticos de escasez y de mantener inventarios Considere elcaso especial en el cual la función de costos de escasez y mantener cHP es nosolo convexa, pero cuadratica. Una formula simple, explícita para el nivel deexistencias resulta. Indeed, el nivel de existencia optimo puede determinarseencontrando el punto donde cHP se minimiza, y añadiendo la demanda media.Por ejemplo, si cHP es minimizado a cero, lo cual es ordinariamente asumidopara ser el caso, como no hay escasez o remanentes en ese punto, entonces elnivel de existencia optimo es la demanda media. Es optimo tener un stockbu¤er de cero en este caso. Esencialmente, los costos de underage y overage son

los mismos, de esta forma es optima almacenar la demanda media. En el casolineal, guardamos la demanda media cuando los costos de overage y underageson los mismos.

Una consecuencia importante de el uso de funciones cuadraticas aqui es quela solución optima puede obtenerse resolviendo el problema determinístico elcual simplemente asume que la demanda siempre es igual a sus medias. Estaobservación es el centro de la base de los resultados del problema de controlestocastico lineal/cuadratico (Bertsekas (1987) presenta una introducción deestos resultados).

Costo no lineales, no convexos de escasez y de mantener inventariosSuponga que las funciones de costo de mantener inventario y de escasez del

mismo son posiblemente no lineales y no convexos. En particular, asumimosque la función cHP () no es convexa. En este caso, es util de…nir la siguientenueva funcion de costos "…nales":

cE (x) := cx + cHP (x)

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así que la función objetivo puede ser escrita como

g (y) = c +Z 10

cE (y ) d ( )

la cual es la suma de una constante y una convolución de la funcion decostos de …nalización, cE () y la distribución de la demanda. La ventaja de estarepresentación es que si cE () es cuasi convexa y es P F 2, entonces g es cuasiconvexa, así que si g0 atraviesa cero, por ejemplo a S , entonces S es un minimoglobal de g y por lo tanto el nivel de existencia optimo. Ver Karlin (1958a,1968) y Barlow y Proschan (1965) para de…niciones, ejemplos, resultados, yaplicaciones de distribuciones P F 2. El resultado esta basado sobre el hecho quesi una función real valorada de una variable real sola cambia "de signo" a lo mascomo su argumento incrementa de 1 a 1, entonces su convolución con unadistribución P F 2 podrá tambien "inherit" esa propiedad. Cuando cada cosa es

diferenciable, el resultado entonces continua por la examinación de la derivadade g: la derivada de cE () cambia de "signo" a lo mas una vez, asi la derivada deg podrá cambiar de signo a lo mas una vez (las diferencias se examinan cuandola diferenciabilidad no puede ser asumida).

Costos de Set-Up Suponga que, en adición a la existencia de stock inicial,exíste un costo de setup cT en que se incurre si una orden tiene lugar. De…niendola función g como en la sección 3.2., se puede ver que se vale del pedido, losahorros de costo, los cuales siguen ascendiendo a g (x) g (y) podrían excederel costo …jo, cT , de poner una orden.

Como se indicó antes, g es convexa y es minimizada en S . Por tanto, si seva a hacer una orden, quisieramos que terminara en S . Por tanto si x S ,claramente no queremos poner una orden, debido a que g es creciente sobre[S; 1), asi que incrementar el nivel de existencias solo incrementaría los costos.Si x S nosotros podriamos aun no querer una orden, porque poner una ordenincurre en costos …jo de cT , Independiente del tamaño de la orden, asi mas quecT podría ahorrarse por poner una orden: si g (x) > g (S )+ cT , entonces ordenarsu…ciente para traer el nivel de existencias a S . Si g (x) < g (S ) + cT entoncesno se ordena. Una política (s; S ) ordena lo su…ciente como para traer el nivel destock hasta S siel nivel de existencias inicial esta por debajo de s y no se ordenaen otro caso. El parámetro s es llamado el punto de ordenamiento y S es llamadoel nivel de ordenamiento. Debido a que g es convexa, una política (s; S ) esoptima (para el problema de un solo período). Para encontrar el punto de ordenoptimo s operacionalmente, dibuje g, encuentre S donde g se minimiza, muevaverticalmente al punto cT + g (S ), muevase horizontalmente hacia la izquierda

hasta que g sea intersectado: el punto de ordenamiento satisface g (s) = cT +g (S ) y s S . (Si g es discontinuo, habrá que hacer un ligero ajuste).Si g es cuasi K convexo para algun K cT , entonces una política (s; S )

podria seguir siendo optima. Bajo regularmente razonables, si cE () como sede…nió en la seccion 3.11, es cuasi K convexo y es una convolución …nita dedistribuciones uniforme y Polya (Dirichet), entonces g podria tambien ser cuasi

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K convexa. Si cHP () como se de…nió en la sección 3.9, es K convexo y porlo tanto cuasi K

convexo.

Cantidad de ordenes mínima y máxima Suponga que hay un tamañomínimo de orden a y un tamaño maximo de orden b, donde 0 a b 1.Si a = b, entonces un sólo tamaño de orden es posible. Suponga tambien queexiste un inventario inicial x. Para encontrar el nivel de existencias optimo S ,dado que una orden va a ser hecha, podemos ignorar temporalmente los límitesy encontrar la solución de fractil crítico S . Desde que la función objetivo seaconvexa, el nivel de existencia optimo se encuentra haciendo el minimo ajuste ala solución de fractil crítico para hacer esto factible. Esto es, si a S x b,entonces trae el nivel hasta S = S . Si S x < a, entonces ordenese a paratraer el nivel hasta S (x) = x + b.

Para determinar si hacer si no una orden, la compraración podría hecerse

entre g (x), el costo si ninguna orden es hecha, y g (S

), el costo si una orden eshecha. Sea s denota un número real que satisface g (s) = g (s + a). considerandog a de…nirse sobre la linea real entera y asumiendo g (x) ! 1 como jxj ! 1, tals puede siempre encontrarse porque g es convexa. Entonces s tambien satisfece:s S; g (x) g (x + a) para x s y g (x) g (x + a) para x s. Si S a s,entonces el nivel de stock optimo como una función de x esta dado por:

S (x) = fx + b

S x + a

x

sisisien

x S bS b x S a

S a x sotro caso

Si S a > s, entonces el ajuste obvio se podria realizar. Si existe un costode setup, entonces la de…nición de s cambia y ajustes futuros obvios se podrianrealizar.

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Teoria de inventarios

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