Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados

TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

Prácticas de Física IProf. Jesús Cuevas MaraverDepartamento de Física Aplicada IEscuela Politécnica Superior

Medida e Incertidumbre• Toda ciencia experimental se basa en observaciones

cuantitativas que llamamos medidas• A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que

se traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la calidad del mismo

Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades

¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!

Errores en las medidas físicas• Nos podemos hacer un par de preguntas respecto a nuestras

medidas:1) ¿Cómo de cerca está el valor real?

2) ¿Cómo de fiable es el resultado? Si volvemos a medir, ¿obtendremos el mismo resultado o parecido?

Exactitud (Proximidad)

Precisión (reproducibilidad)

Tipos de errores• Errores sistemáticos:

• Siempre tienen lugar en el mismo sentido.• Se deben a errores de calibración (error de cero), condiciones

experimentales no apropiadas, tendencias erróneas en el observador, etc.• Afectan a la exactitud de la medida.

• Errores accidentales:• Se dan en diferente cuantía y sentido cada vez.• Se deben a causas difíciles de controlar: fluctuaciones ambientales, fallos

de apreciación, etc.• Afectan a la precisión de la medida.

Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente

MEDIDAS DIRECTAS

Evaluación de la incertidumbre típica de una medida directa• Conlleva dos valoraciones diferentes:

• Incertidumbre tipo A• Tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones.

Requiere de un análisis estadístico del conjunto de observaciones:

• Incertidumbre tipo B• Tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del

instrumento de medida, especificaciones del fabricante, certificados de calibración…

• En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará

• Finalmente, la incertidumbre típica (combinada) será igual a

𝑢𝑐 (𝑥 )=√𝑢𝐴2 (𝑥 )+𝑢𝐵

2 (𝑥 )

Análisis estadístico• A partir de N observaciones independientes (x1,x2,x3,…xN), se

toma• El valor medio como resultado de la medida

• La desviación típica del valor medio como incertidumbre tipo A

• Si el número de medidas es menor que 10, podemos hacer la aproximación

Resolución de los aparatos de medida• Aparatos analógicos

• Se toma como resolución del instrumento la menor unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones)

• Aparatos digitales• Se toma como resolución una unidad del último dígito de lectura

δV=1 V

δT=0.1 ºC

Incertidumbre expandida• Define un intervalo en torno al resultado de la medición x en el

que se espera encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando

• Se define como

• k: Factor de cobertura. Nos proporciona el nivel de confianza del intervalo

• En general, tomaremos k=1

k=1 68.3 %k=2 95.4 %k=3 99.7 %

Incertidumbre relativa• Es el cociente entre la incertidumbre (típica, combinada o

expandida) y el resultado de la medida

• Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100 el resultado:• Por ejemplo si x=12 cm y u(x)=4 cm: ur(x)= 4/12=0,33=33%.

• No tiene unidades• Da información sobre la bondad de la medida

Ejemplos• Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya

resolución es δT=1ºC

• Resultado de la medida (valor medio)

• Incertidumbre

• Resultado final

T1 T2 T3 T4 T5

64ºC 61ºC 65ºC 68ºC 65ºC

𝑢𝐴 (𝑇 )=𝑇𝑚𝑎𝑥−𝑇𝑚𝑖𝑛

6=68−61

6=1.2 ºC 𝑢𝐵 (𝑇 )=𝛿𝑇=1 ºC

𝑈 (𝑇 )=𝑢𝑐 (𝑇 )=√𝑢𝐴2 (𝑇 )+𝑢𝐵

2 (𝑇 )=1.56 ºC

𝑇=(64.6 ±1.6 ) ºC ;𝑢𝑟 (𝑇 )=2.5%

𝑇=∑𝑖=1

5

𝑇 𝑖

5=64.6 ºC

Ejemplos• Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada

en milímetros (δL=1 mm)

• Resultado de la medida

• Incertidumbre

• Resultado final

L1 L2 L3

6.5 cm 6.5 cm 6.5 cm

𝑢𝐴 (𝐿 )=0cm 𝑢𝐵 (𝑇 )=𝛿𝐿=0.1cm 𝑈 (𝐿)=𝑢𝐵 (𝐿)=0.1 cm

𝐿=(6. 5±0 .1 ) cm ;𝑢𝑟 (𝐿 )=1.5%

𝐿=6. 5 cm

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

Presentación de resultados• ¿Qué tienen de extraño estas frases?

• La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente 65 millones de años y 3 días

• Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27 segundos• El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12 días, 3

horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas• El resultado de una medida debe expresarse con un número de

cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre• Por ejemplo, es absurdo dar como resultado

x=(1.2732345678534±0.035) m• Y tampoco tiene sentido:

L=(2.1389639±0.18653617) m

Redondeo• Norma

• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden inferior a la

incertidumbre

• La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:• Aumentándola en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que 5• Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5• Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes es mayor que 0, la

última cifra conservada se aumenta en una unidad• Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la última cifra conservada no

cambia si es par o se aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par más próximo)

x=(1.2732345678534±0.035) m x=(1.273±0.035) m

L=(2.1389639±0.18653617) m L=(2.14±0.19) m

Observaciones• Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la

notación científica, esto es, en potencias de 10:

• En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir:

Ejemplos

4.81343 ± 0.04661

132.2894 ± 2.8754

5127 ± 234

0.53781 ± 0.00996

30353 ± 2550

2.3486 ± 0.345

± 0.047

± 2.9

± 230

± 0.0100

± 2600

± 0.34

4.813

132.3

5130

0.5378

30400

2.35

MEDIDAS INDIRECTAS

Incertidumbre combinada de medidas indirectas

• Las medidas indirectas son magnitudes A que se calculan a partir de otras magnitudes (x,y,z) a partir de una fórmula A=f(x,y,z)

• En este caso, la incertidumbre típica combinada viene dada por

𝑢𝑐 ( 𝐴 )=√(𝜕 𝑓𝜕𝑥 )2

𝑢2 (𝑥 )+(𝜕 𝑓𝜕 𝑦 )2

𝑢2 ( 𝑦 )+( 𝜕 𝑓𝜕 𝑧 )2

𝑢2 (𝑧 )

Ejemplo sencillo• Calculamos el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores obtenido de

las medidas de sus aristas

• Incertidumbre combinada

• Resultado

b

a c

a = 10,00 0,10 cmb = 25,0 2,0 cmc = 15,0 1,5 cm

V = a·b·c = 3750 cm3

𝑢𝑐 (𝑉 )=√(𝜕𝑉𝜕𝑎 )2

𝑢2 (𝑎 )+(𝜕𝑉𝜕𝑏 )2

𝑢2 (𝑏)+( 𝜕𝑉𝜕𝑐 )2

𝑢2 (𝑐 )

𝜕𝑉𝜕𝑎=𝑏·𝑐 𝜕𝑉

𝜕𝑏=𝑎 ·𝑐 𝜕𝑉𝜕𝑐 =𝑎 ·𝑏

uc(V)=481,69622 cm3

V = (3750 480) cm3

Observaciones• Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u

ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.

• Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Ejemplo: densidad de una bola de acero

• Cálculo de la densidad:

Dm

El diámetro D se mide con un calibre cuya resolución es δD=0.01 cm

La masa m se mide con una balanza cuya resolución es δm=0.1 g

𝜌=6𝑚𝜋 𝐷3


• Se mide el diámetro 7 veces

• Valor medio del diámetro

• Incertidumbre

• Resultado

D1 (cm) D2 (cm) D3 (cm) D4 (cm) D5 (cm) D6 (cm) D7 (cm)

2.38 2.45 2.39 2.44 2.40 2.43 2.42

𝐷=∑𝑖=1

7

𝐷𝑖

7=2.4157cm

𝑢𝐴 (𝐷 )=𝐷𝑚𝑎𝑥−𝐷𝑚𝑖𝑛

6=2.45−2.38

6=0.011667 cm

𝑢𝐵 (𝐷 )=𝛿 𝐷=0.01cm 𝑢𝑐 (𝐷 )=√𝑢𝐴2 (𝐷 )+𝑢𝐵

2 (𝐷 )=0.01536 6cm

𝐷=(2 .416±0.015 ) cm


• Se realiza una única medida de la masa, obteniéndose

• En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, la incertidumbre típica será igual a la resolución del instrumento

• Resultado

𝑚=57.7g

𝑢 (𝑚 )=𝑢𝐵 (𝑚 )=𝛿𝑚=0.1g

𝑚=(57.7±0.1 )g


• Calculamos la densidad

• Incertidumbre combinada

• Resultado final

𝜌=6𝑚𝜋 𝐷3=7.8170 g / cm

3

𝑢𝑐 (𝜌 )=√( 𝜕 𝜌𝜕𝑚 )2

𝑢2 (𝑚 )+( 𝜕 𝜌𝜕𝐷 )2

𝑢2 (𝐷 )

𝜕𝜌𝜕𝑚=

6𝜋 𝐷3

𝜕 𝜌𝜕𝐷=− 18𝑚

𝜋𝐷4

𝑢𝑐 (𝜌 )=0.1462g / cm3

𝜌=(7.82±0.15 ) g / cm 3

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica

• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L=(100±1)m

• Para calcular v, 8 personas miden el tiempo que tarda en recorrer el coche la distancia L

• Los tiempos medidos por cada reloj son los siguientes:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.8±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.9±0.1) s

L


• Calculamos el valor medio del tiempo:

• Calculamos la incertidumbre del tiempo:

• Resultado:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.7±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.8±0.1) s

𝑡=∑𝑖=1

8

𝑡𝑖8

=4. 075s

𝑢𝐴 (𝑡)=𝑡7−𝑡 56

≈0.0667 s 𝑢𝐵(𝑡)=𝛿𝑡=0.1 s

𝑈 (𝑡 )=𝑢𝑐 (𝑡 )=√𝑢𝐴2 (𝑡)+𝑢𝐵

2 (𝑡)=0.12s

𝑡=(4.08±0.12 ) s ;𝑢𝑟 (𝑡 )=2.9%


• Calculamos la velocidad a partir de la fórmula:

• Incertidumbre combinada de la velocidad:

• Resultado final:

𝑣=𝐿𝑡 ≈24.5098 𝑠

𝑈 (𝑣 )=𝑢𝑐 (𝑣 )=√( 𝜕𝑣𝜕𝐿 )2

𝑢2(𝐿)+( 𝜕𝑣𝜕𝑡 )2

𝑢2(𝑡 )=√𝑢2(𝐿)𝑡2

+𝐿2𝑢2(𝑡)𝑡 4

=0.0017 𝑠

Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica

• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L

• Para calcular v, 8 personas se sitúan en 8 puntos diferentes del recorrido situados a una distancia al origen Li y midiendo cada una (una sola vez) un tiempo ti

L=0 L1 L2 L3 L7 L8

t1 t2 t3 t7 t8


• Resultados de las medidas:

L=0 L1 L2 L3 L7 L8

t1 t2 t3 t7 t8

t (± 0.01 s) L (± 1 m)

0.51 12.5

1.01 25.0

1.57 37.5

2.10 50.0

2.47 62.5

3.06 75.0

3.55 87.5

4.14 100.0


• Sabemos que la distancia y el tiempo están relacionados a través de la relación lineal:

• Si se representan gráficamente los valores obtenidos, de modo que la distancia esté en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abcisas, los puntos deben estar alineados

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

t(s)

L (m)

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

t(s)

L (m)


• Debido a los errores experimentales, los puntos no están perfectamente alineados

• Por ello, hay que encontrar la recta de mejor ajuste a esos puntos

• Se puede hacer manualmente o de forma matemática

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

t(s)

L (m)

Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal)

• Permite obtener la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta de mejor ajuste a partir de los datos experimentales {(x1, x2, … xn), (y1, y2, … yn)}

𝑚=𝑛∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖 𝑦 𝑖−∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖

𝑛∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖2−(∑

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖)2

𝑏=∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖−𝑚∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖

𝑛

𝑢𝑐 (𝑚)=√ ∑𝑖=1

𝑛

( 𝑦 𝑖−𝑚𝑥𝑖−𝑏 )2

(𝑛−2)∑𝑖=1

𝑛

(𝑥¿¿ 𝑖❑−(∑𝑖=1𝑛

𝑥 𝑖)/𝑛)2¿

𝑢𝑐 (𝑏)=𝑢𝑐(𝑚)√∑𝑖=1𝑛

𝑥𝑖2

Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal)

• El coeficiente de correlación (r) e una medida cuantitativa de la cercanía de los puntos experimentales a la recta de regresión

• |r|<1 y su signo coincide con el de m• Cuanto más cerca esté |r| de 1, mejor es el ajuste. Si |r|<0.9, los

puntos no se suelen ajustar a una recta. Por otro lado, |r|=1 es una indicación de la baja precisión de los aparatos de medida.

• Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997

𝑟=𝑛∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖 𝑦 𝑖−∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖

√[𝑛∑𝑖=1𝑛

𝑥𝑖2−(∑𝑖=1𝑛

𝑥 𝑖)2][𝑛∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖2−(∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖)2]

• Debe identificarse la fórmula matemática de nuestro problema con la recta de regresión

• Por tanto, la velocidad coincidirá con la pendiente, y la ordenada en el origen debe ser cero

• Aplicando las fórmulas de mínimos cuadrados se obtiene

¿Cómo se resuelve un problema usando la recta de mejor ajuste?

+0

Cómo debe hacerse una representación gráfica

Eje de ordenadas

(v. dependiente)

Puntos distribuidos por toda la gráfica

Barras de error

Eje de abcisas(v. independiente) Identificación

de los ejes

Escalasencilla

I (mA)1 2 3 4 5 6 7 8

V (102 mV)

12

13

14

15

16

17

El origen no tiene porqué ser el (0,0)

¡Nunca!(La gráfica debe

estar limpia)

Línea deajuste

Cómo no debe hacerse una representación gráfica

5.00000000 5.50000000 6.00000000 6.50000000 7.00000000 7.50000000 8.00000000 8.50000000 9.00000000 9.500000000

12.27

24.54

36.81

49.08

61.35

73.62

85.89

98.16

110.43

L

t

Espaciado absurdo en el eje

La leyenda sobra

Líneas o cuadrículas no necesarias

El espacio en blanco hace que los puntos estén en una región pequeña

Los puntos no deben unirse

No deben incluirse decimales salvo que sea necesario. Y menos en un número tan grande

Otra utilidad de la regresión lineal• Supongamos que estamos tomando las medidas de tiempos del

coche anterior, pero no sabemos si se está moviendo con velocidad constante () o aceleración constante ()

• Podemos hacer dos representaciones: una de L frente a t y otra de L frente a t2 y ver en cuál de ellas los puntos están más cercanos a una recta

• Esto se puede comprobar a ojo o de forma cuantitativa mediante el coeficiente de correlación

Otra utilidad de la regresión linealt (s) L (m)

2.47 12.5

3.49 25.0

4.22 37.5

4.92 50.0

5.47 62.5

6.09 75.0

6.50 87.5

6.99 100.0

t2 (s2) L (m)

6.1009 12.5

12.1801 25.0

17.8084 37.5

24.2064 50.0

29.9209 62.5

37.0881 75.0

42.2500 87.5

48.8601 100.0

2 3 4 5 6 70

102030405060708090

100

t (s)

L (m)

6 11 16 21 26 31 36 41 4610

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t2 (s2)

L (m)

𝑟=0.992

𝑟=0.9997Movimiento acelerado

𝑚=(2.046±0.020 )m / s2

𝑎= (4.092±0.040 )m / s2

𝒎=𝒂𝟐

Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados

Documents

Transcript of Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados