Universidad Nacional de Formosa Profesorado de Matemtica Olmedo Francisco Javier

Facultad de Humanidades ALGEBRA III Unidad 4 Homomorfismo de Grupo

Homomorfismo de GrupoDefinicin: Sea

( G, ) y ( G, )

dos grupos y f una aplicacin de G en G , la

aplicacin f se dice que es un HOMOMORFISMO DE GRUPO si para todo x, y que pertenecen a G se verifica: f ( x y ) = f ( x) f ( y ) Clasificacin de Homomorfismo: Si f es un homomorfismo de un grupo en si mismo diremos que f es ENDOMORFISMO. Si f es un homomorfismo y adems f es inyectiva, diremos que f es MONOMORFISMO. Si f es un homomorfismo y adems f es sobreyectiva, diremos que f es EPIMORFISMO. Si f es un homomorfismo y adems f es biyectiva, diremos que f es ISOMORFISMO. Los isomorfismo de en si mismo reciben el nombre de AUTOMORFISMO.

un un un un

Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos G1 y G2 , diremos que ambos grupos son isomorfos y escribiremos G1 G2 .

Teorema de Automorfismo Sea G un grupo y g un elemento de G , definimos f g : G G de manera que

f g ( x) = g x g 1 para todo elemento x de G ; f g es un automorfismo de grupo. Demostracin: 1. demostracin de que f g es un homomorfismo:

f g ( x y ) = g ( x y ) g 1 (Por definicin de f g ).g x e y g 1 = g x ( g 1 g ) y g 1 (Por definicin de neutro en G ). g x g 1 g y g 1 = ( g x g 1 ) ( g y g 1 ) (Asociativa en G ). g x ( g 1 g ) y g 1 = g x g 1 g y g 1 (Disociativa en G ).g ( x y ) g 1 = g x e y g 1 (Por ser (G , ) un grupo).

( g x g )(g y g ) = f1 1

g

( x) f g ( y ) (Por definicin de f g ).

2. demostracin de que f g es un isomorfismo, para ello demostraremos que es biyectiva.

INYECTIVA:

f g ( x) = f g ( y ) g x g 1 = g y g 1 (Por definicin de f g )g x g 1 = g y g 1 x = y (Por cancelativa a derecha e izquierda en G) / / / / f g ( x) = f g ( y ) x = y

Universidad Nacional de Formosa Profesorado de Matemtica Olmedo Francisco Javier

Facultad de Humanidades ALGEBRA III Unidad 4 Homomorfismo de Grupo

SOBREYECTIVA g x g 1 G, x G / g x g 1 = f ( x) Por definicin de grupo y por ser f g un endomorfismo, todo elemento tiene su pre-imagen. f g es inyectiva y sobreyectiva f g es un isomorfismo y como es de G en si mismo lleva el nombre de Automorfismo. Propiedades de los Homomorfismos. Lema 1: si f es un homomorfismo de G en G , entonces: a) f (e) = e , el elemento unidad en G .b)

f (a 1 ) = ( f (a ) ) a G1

Demostracin: Puesto que x = xe , f ( x) = f ( xe) = f ( x) f (e) ; por la cancelacin en G se obtienef (e) = e .Adems, f (aa 1 ) = f (e) = e , por consiguiente e= f (aa 1 ) = f (a ) f (a 1 ) , f (a 1 ) = ( f (a )) 1 .

Ncleo de un Homomorfismo Definicin: Si f es un homomorfismo de G en G , entonces el ncleo de f , N ( f ) , sedefine por N ( f ) : {a G / f (a) = e} . Donde el elemento e es el elemento neutro en G