Teoría de Ginzburg-Landau y Superconductividad
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Teorıa de Ginzburg-Landau y
Superconductividad
Yohana Bonilla Gutierrez
Departamento de Fısica, Universidad del Valle
Ciudad Universitaria Melendez, Santiago de Cali, Colombia
Teorıa de Ginzburg-Landau y
Superconductividad
Yohana Bonilla Gutierrez
Dr. Ruben A. Vargas
Trabajo presentado como Monografıa para el curso electivo de
Transiciones de Fase
17 de Junio de 2011
Indice
1 Introduccion 1
2 Objetivos 2
2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 3
3.1 Superconductividad: el fenomeno basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Algunos hallazgos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Modelo Teorico 5
4.1 La Teorıa de London como punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 La Teorıa Ψ (Teorıa de Ginzburg-Landau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.1 Las ecuaciones de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.2 Consideraciones sobre la funcion Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.3 Las dos longitudes caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras
volumetricas 12
6 Conclusiones 14
Referencias 15
Introduccion 1
1
Introduccion
Hasta el momento de la publicacion del trabajo de V.L. Ginzburg y L.D. Landau, On
the Theory of Superconductivity, Zh. Eksp. Teor. Fiz. (ZhETF) 20, 1064 (1950); la teorıa
fenomenologica existente para describir el estado superconductor era insatisfactoria [1].
Los modelos previos no permitıan determinar la tension superficial (energıa superficial) en
la frontera entre las fases normal y superconductora, y tampoco describıan correctamente
la destruccion de la superconductividad por un campo magnetico o corriente externos. La
teorıa Ψ, conocida mas recientemente como la Teorıa de Ginzburg-Landau de la supercon-
ductividad, fue propuesta por Ginzburg y Landau en su trabajo de 1950, y resulto estar
exenta de las limitaciones anteriormente descritas.
La teorıa Ψ es una teorıa fenomenologica, construida sobre la base de la teorıa gene-
ral de Landau para describir la transicion entre dos fases en un sistema termodinamico.
Es notable observar que esta teorıa fue desarrollada completamente usando argumentos
heurısticos y solo despues, cuando se establecio la teorıa BCS (microscopica), se entendio el
verdadero valor de la aproximacion de Ginzburg y Landau.
La teorıa permite expresar la tension superficial en funcion del campo magnetico crıtico
para el cual se destruye la superconductividad y la longitud de penetracion del campo
magnetico en los superconductores. La teorıa llevo a un gran numero de conclusiones
cualitativas nuevas, que han sido corroboradas experimentalmente y su descripcion sera el
tema central de esta monografıa.
Objetivos 2
2
Objetivos
2.1 Objetivo General
Presentar una introduccion a la teorıa fenomenologica de Ginzburg-Landau predictiva de
muchas propiedades de los materiales superconductores.
2.2 Objetivos Especıficos
1. Exponer algunos de los aspectos historicos que motivaron el desarrollo de la teorıa.
2. Describir el modelo teorico basico que sustenta la aproximacion de Ginzburg y Lan-
dau.
Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 3
3
Breve resena sobre el descubrimiento de la
superconductividad
3.1 Superconductividad: el fenomeno basico
Un superconductor perfecto es un material que exhibe dos propiedades caracterısticas:
? Resistencia electrica cero.
? Diamagnetismo perfecto
ambas, cuando se enfrıa el material por debajo de una temperatura particular Tc, llamada
la temperatura crıtica [2].
Para temperaturas altas, un superconductor es un metal normal, que ordinariamente
no es muy buen conductor. Por ejemplo, el plomo (Pb), el tantalio (Ta), y el estano
(Sn) llegan a ser superconductores a las temperaturas adecuadas, mientras que materiales
como el cobre, la plata y el oro, no son superconductores. En el estado normal, algunos
metales superconductores son debilmente diamagneticos, y algunos son paramagneticos.
Por debajo de Tc estos materiales exhiben conductividad electrica perfecta y tambien
diamagnetismo perfecto o muy pronunciado [2].
Diamagnetismo perfecto, la segunda propiedad caracterıstica, significa que un material
superconductor impide que un campo magnetico externo aplicado penetre en su interior.
Los superconductores que excluyen totalmente un flujo magnetico aplicado, son conocidos
como superconductores Tipo I. Otros superconductores denominados superconductores de
Tipo II, son tambien conductores electricos perfectos, pero sus propiedades magneticas
son mas complejas [2]. Estos excluyen el flujo magnetico totalmente cuando el campo
magnetico aplicado es bajo, pero solo lo excluyen parcialmente, cuando la intensidad del
campo aplicado es mas alta. Para tales campos, su diamagnetismo es mas bien de tipo
mixto, dando lugar al denominado estado de vortice [2].
3.2 Algunos hallazgos relevantes
En 1908 H. Kamerlingh Onnes, inicio el campo de la fısica de bajas temperaturas
logrando la licuefaccion del helio en su laboratorio de Leiden. Tres anos despues (1911),
encontro que por debajo de 4.15K la resistencia DC del mercurio desciende a cero (Fig. 1).
Este hallazgo fue el punto de partida del campo de la superconductividad [2].
En 1933, Meissner y Ochsenfeld encontraron que cuando una esfera metalica normal, se
enfrıa hasta su temperatura de transicion Tc en presencia de un campo magnetico, repele
la entrada del flujo magnetico (Fig. 2). Tal efecto, conocido como efecto Meissner, implica
que la superconductividad, se debe destruir por un campo magnetico crıtico Hc (Fig. 3),
relacionado termodinamicamente con la diferencia de energıa libre entre los estados normal
y superconductor a campo cero [3].
Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 4
Figura 1: Curva historica de Resistencia (Ω) vs. Temperatura (K) del 26 de octubre de 1911.
El experimento mostro la transicion superconductora en 4.20K.
Figura 2: Curvatura de las lıneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededor de
una esfera superconductora.
El campo crıtico termodinamico se determina igualando la energıa magnetica por unidad
de volumen H2c /8π con la diferencia de las energıas libres de Helmholtz por unidad de
volumen en las fases normal Fn0 y superconductora Fs0 en ausencia de campo [3]:
H2c (T )
8π= Fn0(T )− Fs0(T ), (1)
Se encontro empıricamente que el campo Hc(T )se puede aproximar muy bien, por una ley
parabolica
Hc(T ) ≈ Hc(0)[1− (T/Tc)2] (2)
ilustrada en la Fig. 4.
Mientras la transicion a campo cero en Tc es de segundo orden, la transicion en presencia
de un campo, es de primer orden debido a que hay un cambio discontinuo en el estado
termodinamico del sistema y un calor latente asociado [3].
Modelo Teorico 5
Figura 3: Esquema del fenomeno de diamagnetismo perfecto a temperaturas inferiores a Tc y
para un campo externo aplicado inferior al crıtico (Hc).
Figura 4: Dependencia de la temperatura del campo crıtico termodinamico.
4
Modelo Teorico
4.1 La Teorıa de London como punto de partida
El reporte del efecto Meissner llevo a los hermanos London, Fritz y Heinz, a proponer
ecuaciones que explicaran este efecto y predijeran hasta que punto un campo magnetico
externo puede penetrar en un superconductor [3].
Un metal que exhibe los estados normal y superconductor, puede ser tratado como
una sustancia de dos fases, en un sentido termodinamico. Como un resultado, en 1934
surgio la ası llamada aproximacion de dos-fluidos (two-fluid), que postula un fluido de
electrones normales mezclado con un fluido de electrones superconductores. Los dos fluidos
se interpenetran pero no interactuan [2]. De acuerdo al modelo de dos-fluidos, la densidad
de corriente electrica total en un superconductor es:
j = js + jn, (3)
donde js y jn son las densidades de corriente superconductora y normal respectivamente.
La corriente normal en un superconductor no difiere de la corriente en un metal normal,
Modelo Teorico 6
en la aproximacion local:
jn = σn(T )E, (4)
donde E es el campo electrico y σn es la conductividad de la “parte normal” del lıquido
electronico; por simplicidad, se tomara aquı jn=0 a menos que se especifique lo contrario.
En 1935, F. London y H. London propusieron [4] para js las ecuaciones de London:
rot (Λjs) = −1
cH (5)
∂ (Λjs)
∂t= E (6)
Donde Λ es una constante y la intensidad de campo magnetico H no difiere en este caso
de la induccion magnetica B.
A tales ecuaciones se llega, por ejemplo, partiendo de las ecuaciones hidrodinamicas
para un “lıquido” conductor constituido por partıculas con carga e, masa m y velocidad
υs (r, t):∂υs∂t
= − (υs∇)υs +e
mE +
e
mcυsH (7)
=e
mE +∇υ
2s
2+ υs
(rotυs +
e
mcH). (8)
Tal ecuacion representa a un fluido de conductividad (ideal) infinita y no predice la
oposicion en un superconductor a la presencia de un campo magnetico constante externo,
lo cual contradice la existencia del efecto Meissner. De esta forma, en la teorıa de London
se impuso la condicion adicional rotυs + emcH = 0, interpretada como la condicion para
el movimiento libre de vortices en un lıquido cargado [1]. Si js se escribe en la forma
js = ensυs, donde ns es la concentracion de carga, la asuncion adicional ns =const implica:
Λ =m
e2ns. (9)
Las ecuaciones de London (5), junto con la ecuacion de Maxwell
rotH =4π
cjs (10)
con Λ =const (en el estado estacionario), lleva a las ecuaciones:
∇2H − 1
δ2H = 0, ∇2js −
1
δ2js = 0, donde δ2 =
Λc2
4π=
mc2
4πe2ns. (11)
Para una frontera plana entre el estado superconductor y el vacıo, las soluciones de la Ec.
(11) son:
H = H0exp(−zδ
)y js =
c
4πδH, (12)
donde el campo externo H0 se toma paralelo a la frontera, que es normal al eje z. Las
soluciones de la Ec. (11) implican que el campo magnetico H y la densidad de corriente
Modelo Teorico 7
js decaen exponencialmente a traves del superconductor, donde z es la distancia a la
frontera), lo que da cuenta de la aparicion del efecto Meissner.
Las ecuaciones de London permanecen validas solamente en el caso de un campo debil:
H Hc, (13)
donde Hc es el campo magnetico crıtico para el cual se destruye la superconductividad.
Particularmente, se hara enfasis en los superconductores de Tipo I. Para los superconduc-
tores Tipo II, la teorıa de London tiene un rango de aplicacion mas amplio, incluyendo
la fase de vortice para H Hc2 (Hc2 el campo crıtico termodinamico para esta fase) a
cualquier temperatura [1]. Pero si el campo es fuerte, esto es, comparable con Hc, la teorıa
de London puede llegar a ser invalida o insuficiente.
Como una aplicacion particular de la teorıa de London, y la revision de algunos pro-
blemas que presenta, se puede ver el siguiente caso:
Del tratamiento termodinamico de la transicion de una placa plana de ancho 2d, se
encuentra que el campo crıtico Hc, para el cual su superconductividad se rompe es:(Hc
Hcb
)2
=
(1− δ
dtanh
d
δ
)−1, (14)
donde Hbc es el campo crıtico para un especimen masivo [5–7]. Esta expresion para Hc
sin embargo contradice la evidencia experimental, ya que se ha encontrado que δ que
deberıa ser “constante”, segun la teorıa de London, no lo es: para un valor de(Hc
Hcb
)2a una temperatura determinada δ depende fuertemente de d. Por ejemplo si T = 4K
entonces para d = 0,3× 10−5cm, δ = 3,4× 10−5cm, mientras que para d = 1,2× 10−5cm,
δ = 2× 10−5cm
Otro aspecto contradictorio de la teorıa de London, surge en la frontera que separa las
fases normal y superconductora del metal; la energıa superficial relacionada con el campo
y la supercorriente obtenidas de Ec. (14) es negativa [1], −δH2bc/8π.
Consecuentemente para obtener una tension superficial positiva σns = σ(0)ns + σ
(′)ns , ob-
servada para una frontera estable, es necesario introducir una cierta energıa superficial
σ(′)ns > δH2
cm/8π de origen no magnetico. Sin embargo, la introduccion de tal energıa com-
parativamente alta carece de fundamento fısico.
4.2 La Teorıa Ψ (Teorıa de Ginzburg-Landau)
La teorıa que generalizo la teorıa de London eliminando las dificultades anteriormente
indicadas y sugirio nuevas conclusiones fue la teorıa Ψ. Esta teorıa fue formulada en 1950
[8] por Ginzburg y Landau, y es mas comunmente conocida como la Teorıa de Ginzburg-
Landau.
En la ausencia de un campo magnetico, la transicion a la fase superconductora, es una
transicion de segundo orden. La teorıa general de transiciones de Fase, ya incluye un cierto
Modelo Teorico 8
parametro de orden η [9], el cual en el equilibrio es nulo en la fase ordenada, y no nulo
en la fase desordenada. Por ejemplo, en el caso de los materiales ferroelectricos el papel
de η es desempenado por la polarizacion espontanea P s y en el caso de magnetos, por la
magnetizacion espontanea M s.
En los superconductores, donde la fase ordenada es la fase superconductora, para el
parametro de orden se escoge una funcion compleja Ψ la cual desempena el papel de
una “funcion de onda efectiva para los electrones superconductores”, en un sentido es-
tricto Ψ serıa una pseudo funcion de onda. En consencuencia, Ψ puede ser determinada
precisamente salvo una constante de fase.
Dado que no hay una conexion mecano-cuantica entre Ψ y las cantidades observables,
en esta teorıa, Ψ puede ser normalizada en una forma arbitraria de modo que |Ψs|2 repre-
sente la concentracion ns de los “electrones superconductores” [1].
4.2.1. Las ecuaciones de Ginzburg-Landau
Se considerara primero un superconductor uniforme en ausencia de un campo magnetico,
y se asumira que Ψ es independiente de la posicion. La energıa libre del superconductor,
de acuerdo con la teorıa general para las transiciones de fase de segundo orden, depende
solamente de |Ψ|2 y se puede expandir en series entorno a Tc. Utilizaremos la expansion
para la energıa libre en ausencia de campo [1]:
Fs0 = Fn0 + α |Ψ|2 +β
2|Ψ|4 , (15)
Cerca a Tc obtenemos para la energıa libre Fs0:
Fs0 = Fn0 + α |Ψ|2 =β
2|Ψ|4 . (16)
En equilibrio termodinamico (mınimo de energıa) ∂Fs0/∂ |Ψ|2 = 0, ∂2Fs0/∂2 |Ψ|2 > 0 y
debemos tener |Ψ|2=0 para T > Tc y |Ψ|2 > 0 para T < Tc.
Como se ilustra en la Fig. (5), como se ha encontrado que β > 0 para estabilidad de la
teorıa, si α > 0 el mınimo se presenta en |Ψ|2 = 0, el estado normal. Si α < 0 el mınimo
ocurre cuando
|Ψ|2 ≡ |Ψ∞|2 = −αβ
(17)
donde la notacion Ψ∞ indica que Ψ se aproxima a este valor muy adentro en el supercon-
ductor, donde es apantallado de cualquier campo superficial o corriente [3].
Sustitutyendo este valor de Ψ en la definicion de campo crıtico termodinamico:
Fs0(T )− Fn0(T ) = −α2
2β= −H
2c (T )
8π, (18)
Como evidentemente α(T ) debe cambiar de signo en Tc, se puede considerar una expansion
de α(T ) en serie de Taylor: α = α′c(T − Tc) =(dαdT
)c(T − Tc).
Modelo Teorico 9
Figura 5: Funciones de energıa libre de Ginzburg-Landau para T > Tc (α > 0) y para T < Tc(α < 0). Puntos fuertes indican posiciones de equilibrio. Por simplicidad se tomo Ψ real [3].
En presencia de un campo magnetico independiente del tiempo, para obtener la densi-
dad de energıa libre FsH , es necesario adicionar a la expansion de Fs0 la energıa asociada
al campo H2/8π y la energıa asociada a la posible aparicion de un gradiente de Ψ en pre-
sencia del campo. Esta ultima energıa para valores pequenos de |∇Ψ|2 se puede expresar
como una densidad de energıa cinetica en mecanica cuantica:(~
2m
)2
|∇Ψ|2 =1
2m|−i~∇Ψ|2 (19)
en la cual m es un coeficiente determinado.
Considerando la interaccion entre el campo magnetico y la corriente que resulta debido
al termino ∇Ψ, se debe hacer el cambio −i~∇ → −i~∇ − e∗
cA, donde A es el potencial
vectorial del campo H = rotA y e∗ es una carga. Despues en el contexto de la teorıa BCS
microscopica, e∗ corresponderıa a la carga de un par de Cooper, por lo que suele asignarse-
le el valor de dos veces la carga del electron, tema que no se discutira en el presente trabajo.
Ası la densidad de energıa, relacionada con la presencia de ∇Ψ y el campo H toma la
forma:H2
8π+
1
2m
∣∣∣∣−i~∇Ψ− e∗
cAΨ
∣∣∣∣2 , (20)
consecuentemente,
FsH = Fs0 +H2
8π+
1
2m
∣∣∣∣−i~∇Ψ− e∗
cAΨ
∣∣∣∣2 . (21)
En presencia de campo, la ecuacion para Ψ se encuentra partiendo del requerimiento que
la energıa libre total de la muestra∫FsHdV debe ser lo mas pequena posible. Ası variando
la energıa total con respecto a Ψ∗, encontramos:
1
2m
(−i~∇− e∗
cA
)2
Ψ +∂Fs0∂Ψ∗
= 0 (22)
Modelo Teorico 10
1
2m
(−i~∇− e∗
cA
)2
Ψ + αΨ + β |Ψ|2 Ψ = 0 (23)
Si en la frontera del superconductor la variacion δΨ∗ es arbitraria, por ejemplo, si no
hay condiciones adicionales impuestas sobre Ψ y si no hay terminos asociados a la energıa
superficial en (21), (15), entonces la condicion de mınima energıa libre es ası llamada la
condicion de frontera natural en la frontera superconductora:
n ·(−i~∇Ψ− e∗
cAΨ
)= 0, (24)
donde n es el vector normal a la frontera. La condicion (24) se refiere al caso de la frontera
entre un superconductor y el vacıo o un dielectrico [1]. Aunque en principio parezca natural
exigir que la funcion de onda en la frontera sea nula, la validez de (24) radica en que la
funcion Ψ, ası introducida, no es propiamente una funcion de onda de los electrones en el
metal, pero debe ser cierto tipo de cantidad promedio [1].
Expresion para la supercorriente j:
En lo que concierne a la ecuacion para A, si asumimos que divA=0 y variamos la energıa
libre total asociadad la densidad FsH , con respecto a A, se obtiene la expresion usual
∇2A = −4π
cj =
2πie∗2~mc
(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) +4πe∗2
mc2|Ψ|2A, (25)
en la cual el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente
j = −ie∗2~
2m(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)− e∗2
mcΨ∗ΨA. (26)
Agrupando los resultados obtenidos, la solucion del problema de la distribucion de
campo y corriente en un superconductor, se reduce a una integracion apropiada de (23) y
(26).
4.2.2. Consideraciones sobre la funcion Ψ
Suponiendo que la funcion Ψ(r) esta directamente relacionada con la matriz densidad:
ρ (r, r′) =
∫Ψ∗ (r, r′i) Ψ (r, r′i) dr
′i (27)
donde Ψ (r, r′i) es la funcion de onda real de los electrones en el metal, que depende de
las coordenadas de todos los electrones, ri(i = 1, 2, ..., N). Las r′i son las coordenadas de
todos los electrones excepto el electron considerado, cuyas coordenadas en dos puntos se
toman como r y r′. Para un sistema no superconductor (normal) teniendo orden de corto
Modelo Teorico 11
alcance, se puede pensar que cuando |r − r′| → ∞, ρ0 = 0, mientras que en el estado
superconductor ρ(|r − r′|)→∞⇒ ρ0 6= 0. De esta forma suele relacionarse la funcion Ψ,
propuesta inicialmente arbitrariamente, con la matriz densidad del sistema, mediante la
relacion:
ρ(r, r′) = Ψ∗(r)Ψ(r′). (28)
4.2.3. Las dos longitudes caracterısticas
Las ecuaciones de Ginzburg-Landau (23) y (26) introducen dos longitudes caracterısti-
cas que discutiremos ahora:
a) Una longitud caracterıstica toma lugar si introducimos efectos electromagneticos, por
ejemplo, la longitud de penetracion de campos debiles δ0, mencionada tambien en el
contexto de la teorıa de London.
Para esta longitud caracterıstica en la teorıa Ψ tenemos [1]:
δ20 =mc2βc
4πe∗2 |α|=
mc2
4πe∗2 |Ψ∞|2. (29)
Dado que la teorıa Ψ, para campos debiles debe transformar a la teorıa de London,
la longitud de penetracion δ0 es frecuentemente llamada la longitud de penetracion de
London y se denota por δL o λL.
b) Para la otra longitud caracterıstica, empezaremos considerando una situacion donde
no hay corrientes o campos magneticos. Eligiendo el gauge para el cual Ψ es real, en
una dimension Ec. (23) llega a ser [10]:
− ~2
2m
dΨ2
dx2+ αΨ + βΨ3 = 0, (30)
Hay dos soluciones obvias: (1) Ψ=0 la cual describe el estado normal, (2) Ψ = Ψ0 tal
que
Ψ20 = −α
β> 0, (31)
la cual describe el estado superconductor usual. Esta segunda existe y es mas baja en
energıa cuando α < 0, esto es T < Tc. Sin embargo se deben considerar soluciones mas
generales. Con el fin de fijar la escala de longitud, es util escribir (30) en terminos de
las variables reducidas Ψ = Ψ0f y
ξ2(T ) =~2
2m |α|(32)
donde ξ(T ) tiene las dimensiones de longitud. La Ec. (30) se reexpresa [10]:
−ξ2(T )df 2
dx2− f + f 3 = 0 (33)
Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 12
El significado de ξ(T ) es el de una longitud caracterıstica para las variaciones de Ψ
(o f), la cual llamaremos la longitud de coherencia a la temperatura T o el radio de
correlacion [1].
ξ =~√
2m |α|=
~√2mα′c (Tc − T )
=~τ−1/2√2mα′cTc
= ξ(0)τ−1/2, (34)
donde τ = (Tc − T ) /Tc y ξ(0) = ~/√
2mα′cTc es un radio de correlacion condicional
para T = 0; condicional puesto que la teorıa Ψ, es estrictamente aplicable solamente
en la vecindad de Tc.
ξ(T ) = ξ(0)
(Tc
Tc − T
)1/2
(35)
de modo que las variaciones de Ψ que tienen lugar dentro de la longitud ξ(T ) son suaves
respecto a ξ(0) si T es cercana a Tc
Hasta el momento se han definido las dos longitudes caracterısticas ξ(T ) y λL(T )
(o δ0(T )), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca al punto de
transicion. Ambas divergen cuando T → Tc. Se define la razon
κ =λ(T )
ξ(T )(36)
como el parametro de Ginzburg-Landau de la sustancia. Usando las definiciones de
ξ(T ) y λL(T )
κ =mc
e∗2~
(βc2π
)1/2
. (37)
Cuando κ . 1, (λ < ξ) el superconductor es de tipo I, cuando κ & 1, (λ > ξ) el
material es del segundo tipo. Se encontro que la separacion exacta entre los dos tipos de
superconductores, ocurre para κ = 1/√
2.
5
Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad
en muestras volumetricas
Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad en una mues-
tra volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direccion z [3]. Un gauge
conveniente es:
Ay = Hx (38)
Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion de Ginzburg-Landau,
bajo el supuesto de que |Ψ|2 Ψ2∞, para un campo externo determinado [3]. En la
aproximacion lineal (−i~∇− e∗
cA
)2
Ψ = −αΨ, (39)
Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 13
Utilizando el resultado conocido, que establece que el flujo magnetico debe estar cuantizado
[3], se representa el cuanto de flujo por Φ0 = hc/e con h, la constante de Planck, ası:(1
i∇− 2π
Φ0
A
)2
Ψ = −2m
~2αΨ ≡ Ψ
ξ2(T )(40)
sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (40), encontramos:[−∇2 +
4πi
Φ0
Hx∂
∂y+
(2πH
Φ0
)2
x2
]Ψ =
Ψ
ξ2(T )(41)
ası es razonable buscar soluciones del tipo
Ψ = eikyyeikzzf(x) (42)
sustituyendo en (41) y reagrupando terminos, encontramos:
−f ′′(x) +
(2πH
Φ0
)2
(x− x0)2f =
(1
ξ2− k2z
)f (43)
x0 =kyΦ0
2πH. (44)
Se pueden obtener soluciones de (43) inmediatamente, notando que esta corresponde
a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula de masa m en un potencial armonico con
fuerza constante (2πH/Φ0)2 /m. Este problema es formalmente el mismo correspondiente
a encontrar los estados cuantizados de una partıcula en presencia de un campo magnetico,
lo cual lleva a los niveles de Landau, separados por la frecuencia ciclotronica ~ω [3].
Los autovalores resultantes son:
εn =
(n+
1
2
)~ω =
(n+
1
2
)~(
2eH
mc
)(45)
igualando con ~2/2m(
1ξ2− k2z
),
H =Φ0
2n(2n+ 1)
(1
ξ2− k2z
), (46)
Conclusiones 14
6
Conclusiones
Se mostro que la teorıa fenomenologica de Ginzburg-Landau se fundamenta en un
metodo variacional que asume una expansion de la energıa libre en terminos del
parametro de orden, de acuerdo con la teorıa general de Landau para las transiciones
de Fase.
La teorıa de Ginzburg-Landau, permite encontrar bajo argumentos netamente intui-
tivos, los parametros que caracterizan el estado superconductor de un sistema.
Referencias 15
Referencias
[1] V. L. Ginzburg, On Superconductivity and Superfluidity: A Scientific Autobiography
(Springer, 2008).
[2] C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic
Press. Inc, 2007 2nd ed).
[3] M. Thinkam, Introduction to Superconductivity (Mc Graw-Hill, New York, 1996 2nd
ed).
[4] F. London and H. London, Proc. R. Soc. London 149A, 71, 1935; Physica 2, 341,
1935.
[5] V.L. Ginzburg, Superconductivity. Izd. Akad. Nauk SSSR, Moscow−Leningrad, 1946.
[6] V.L. Ginzburg, On the Surface Energy and the Behaviour of Small-Sized Supercon-
ductors. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 16, 87, 1946; J. Phys. USSR 9, 305, 1945.
[7] V.L. Ginzburg, The Present State of the Theory of Superconductivity. Pt. 1, Macro-
scopic theory, Usp. Fiz. Nauk 42, 169, 1950.
[8] V.L. Ginzburg and L.D. Landau, To the Theory of Superconductivity. Zh. Eksp. Teor.
Fiz. 20, 1064, 1950.
[9] L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Statisticheskaya Fizika (Statistical Physics) Pt. 1,
Fizmatlit, Moscow, 1995, Chap. XIV.
[10] P. G. de Gennes, Superconductivity in Metals and Alloys (Addison-Wesley, 1989).