Filtros Activos: Conceptos Básicos

J.I.HuircanUniversidad de La Frontera

January 25, 2012

Abstract

Se revisan los conceptos básicos de ltros activos, presentando pro-cedimientos básicos de implementación mediante Amplicadores Opera-cionales, diseño simple y basado en los ltros clásicos Butterworth yChebyshev.

1 Introduction

Los ltros juegan un importante rol en la electrónica actual, principalmente enel área de comunicaciones y procesamiento de señal. Estos se pueden clasicaren ltros análogos, digitales y de capacitor conmutado (híbrido, el cual contieneelementos análogos y digitales).Un ltro es un dispositivo de dos puertas capaz de transmitir una banda

de frecuencias limitada. Estos pueden ser pasivos, construidos en base a re-sistencias, bobinas y condensadores o activos, construidos con resistores, con-densadores y Amplicadores Operacionales. Sus principales características son:

Pequeño tamaño y peso.

Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz)

Valores de resistencias y condensadores razonables a frecuencias muy ba-jas.

Tiene elevadas características de aislamiento.

Puede proveer ganancia si se requiere.

A continuación se dará un marco teórico para los ltros activos, sus especi-caciones y diseño.

1

2 Tipos de Filtros y Especicaciones de Respuestaen Frecuencia

Los ltros se representa mediante la función de transferencia H(s), la cual seexpresa en términos de su ganancia o atenuación, así se tiene

H(s) =Vo(s)

Vi(s)(1)

+H(s) V (s)oV (s)i

_

+

_

Figure 1: Red de dos puertas, ltro activo.

Donde Vi(s) es la entrada de ltro y Vo(s), la salida.La transmisión del ltro se encuentra evaluando H(s)js=j!, así en términos

de magnitud y fase se tiene

H(j!) = jH(j!)j ej(!) (2)

El espectro de la señal de salida será obtenido por

jVo(j!)j = jH(j!)j jVi(j!)j (3)

De acuerdo al criterio de selección de frecuencia de paso o de rechazo, existencuatro tipos de ltros.

2.1 Pasa Bajos (BandPass Filter)

Tienen ganancia a frecuencias menores que la frecuencia de corte !C , la cual

es expresada enhradseg

io [Herz] y corresponde a la frecuencia en la cual la

ganancia es dividida porp2 (cae en 3dB): La banda de paso estará dada para

0 < ! < !C . La ganancia disminuira a medida que se supere !C , de acuerdo ala Fig. 2, esta zona se llama banda de rechazo.

G2

[rad/seg]

H(j )Gω

ωC

Figure 2: Respuesta en frecuencia de un ltro pasabajos.

La función de transferencia para un ltro de orden n y ganancia G será

2

H(s) =Gb0

sn + bn1sn1 + ::+ b0(4)

2.2 Pasa Altos (HighPass Filter)

Permite el paso de frecuencias superiores a !C . Su función de transferencia seobtiene a partir de (4) reemplazando s = 1

s , su respuesta en frecuencia se indicaen la Fig. 3.

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ::+ b0js= 1

s(5)

Luego se tiene

H(s) =Gsn

sn + an1sn1 + ::+ a0(6)

Donde bn = 1, ani= bib0; i = 1; 2; :::; n:

G2

[rad /seg ]

H(j )Gω

ωC

Figure 3: Respuesta en frecuencia de un ltro pasaaltos.

Para n = 2, se tiene

H(s) =Gb0

s2 + b1s+ b0js= 1

s=

Gb01s

2+ b1

1s

+ bo

=

=s2G

1b0+ b1

b0s+ s2

=Gs2

s2 + a1s+ ao

2.3 Pasa Banda (BandPass Filter)

Este ltro deja pasar las frecuencias que se encuentran dentro una de banda B(expresado en [rad=seg] o en Herz), centrado en !o, atenuando todas las otrasfrecuencias. La Fig. 4 muestra la respuesta en frecuencia del ltro centrado en!o cuyo ancho de banda está denido por (7).

B = !2 !1 (7)

La función de transferencia se obtiene de (4) como

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ::+ bojs=

s2+!2oBs

(8)

3

[rad/seg]

H(j )ω

o 21

GG

2

ω ω ω

B

Figure 4: Respuesta en frecuencia de un ltro pasabandas.

Así, el orden del ltro pasabanda se incrementará al doble. Se dene el factorde calidad Q de acuerdo (9) el cual mide la selectividad del ltro. Un Q muyalto indica que el ltro es muy selectivo con banda de paso muy pequeña.

Q =!oB=foB

(9)

La ganancia será la amplitud de la función de transferencia a la frecuencia!o =

p!2 !1. Note que !o corresponde a la media geométrica, pues está en

escala logarítmica.Usando (8), para un pasabajos de n = 1 , se obtiene el pasa banda de n = 2.

H (s) =1

s+ b0js=

s2+!2oBs

= 1s2+!2oBs

+ b0

=Bs

s2 +Bb0s+ !2o

2.4 Rechaza Banda (BandReject Filter)

Llamado elimina banda o ltro Notch, deja pasar todas las frecuencias exceptouna única banda, la cual está denida por B, como se indica en la Fig. 5.

[ra d /seg ]o1 2

GG2

H (j )ω

ω ωω

B

Figure 5: Respuesta en frecuencia de un ltro rechaza banda.

La función de transferencia se obtiene haciendo la sustitución indicada en(10) donde las características de banda son iguales al ltro pasabanda.

H(s) =Gbo

sn + bn1sn1 + ::+ bojs=

Bs

s2+!2o

(10)

4

Usando (10), para un ltro pasabajos de n = 1 de (10), se obtiene el ltrorechaza banda.

H (s) =1

s+ b0js=

Bs

s2+!2o

= 1Bs

s2+!2o

+ b0

=1b0

s2 + !2o

s2 + B

b0s+ !2o

3 Especicaciones de un Filtro

3.1 Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia se expresa a través de su curva de ganancia o aten-uación versus frecuencia, ya sea con escala lineal o logaritmica. En escala loga-ritmica la ganancia esta expresada en dB y la frecuencia e décadas u octavas.

1

21

H(j )

ω radseg[ ]

ω

ωCω rad

seg

0 dB

-3 dB

ωC

H(j ) ω dB

[ ] ω radseg

0 dB

-3 dB

1

H(j )ω dB

[ ]

(a) (b) (c)

Figure 6: (a) Respuesta lineal G = 1. (b) Respuesta a ganancia normalizada.(c) Respuesta Normalizada en ganancia y frecuencia.

Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia máxima, se tiene unacurva de ganancia 1 ó 0 [dB]. La frecuencia de corte !C , se puede normalizar ohacer igual 1 [rad=seg].

3.2 Polos y Respuesta En La Región De Transición

En la práctica, la respuesta ideal del ltro no es factible ya que aparece unazona llamada región de transición (o banda de transición). Para lograr unaaproximación que represente un ltro ideal, debe incrementarse el número depolos, pero esta cantidad no puede ser innita dado que no puede implementarseprácticamente. Cada polo de H (s) introduce una pendiente de 20 dB/Década ó6 dB/Octava. Si la H (s) tiene dos polos tendrá una pendiente de -40dB/Décadaen la región de transición, lo que determina el orden del ltro (Fig. 7).

5

[rad/seg]

H (j )

Gω

c

n=2

n=4n=8

ω1 cω

2

G2

Banda de Paso

Banda de Rechazo

Banda de Transición

Figure 7: Polos en la región de transición.

3.3 Especicación básica de un ltro

En los ltros análogos, las especicaciones están dadas por rangos de valores. Setienen cinco parámetros basados en las características de atenuación los cualesse indican en la Fig. 8.

ω

G(j )

PB

APB

ASB

ωSBω

RW (Ancho de ripple)ω

Banda de paso Banda de rechazo

Banda de transición

0 dBAtenuación

Figure 8: Ventana de diseño para un ltro pasabajos.

Máxima atenuación en la banda de paso (APB)

Ripple de la banda de paso o Ancho de ripple (RW )

Mínima atenuación de la banda de rechazo (ASB)

Frecuencia de esquina de la banda de paso (!PB)

Frecuencia de esquina de la banda de rechazo (!SB)

Las respuestas indican una variación G(!) G(!), dado que los compo-nentes siempre varían, lo que obliga a hablar de una ventana de especicación oventana de diseño. Cuando el diseño cae fuera de esta ventana, éste es descar-tado. Existe una gran cantidad de herramientas computacionales que permitentrasladar las especicaciones de la Fig. 8 a una función de transferencia H. Paradistintas especicaciones existen numerosas funciones que satisfacen las respues-tas de ganancia o fase, luego se debe considerar los objetivos de prestación ycosto para reducir este número de funciones a una.

6

Un método para obtenerH es usar funciones prototipos o funciones de aprox-imación. Estas funciones permiten determinarH(s)mediante una aproximaciónen el dominio de la frecuencia, para esto jH(j!)j se aproxima a la característicade un ltro pasabajos ideal de acuerdo a un criterio de error predeterminado.

3.4 Funciones de Aproximación

Las funciones de aproximación en el dominio de la frecuencia de acuerdo a (11),donde Sn(!) representa un polinomio de orden n, Butterworth o Chebyshev.

jH (j!)j = 1p1 + 2S2n (!)

(11)

3.5 Escalamiento

Permite plantear el diseño en torno una frecuencia de referencia, para luegotrasladar el ltro y los componentes a otros diseños. Esto se consigue haciendos = p; donde p es la variable compleja de la función original y s es la variablede la nueva función. Sea Ho(p) la función de transferencia original, entonces lanueva función de transferencia será

H (s) = Ho (p) jp= s= Ho

s

(12)

Sea la red RC de la Fig. 9a, su función de transferencia está dada por (13) :

1

H(j )ω

1ω [ ]rad

seg

2

1 1RC 1

H(j )ω

10ω [ ]rad

seg

2

1V (s)i

R

sC

V (s)o

1

(a) (b) (c)

ω =C = 110RC

ω =C = 10radseg

radseg

Figure 9: (a) Filtro RC. (b) !C = 1hradseg

i: (c) !C = 10

hradseg

i.

H (s) =1

1 + sRC(13)

Si R = 1 [] y C = 1 [F ], se tiene que !C = 1 [r=s] ; escalando para unanueva frecuencia !C = 10 [r=s] ;se tiene que s = !Cp = 10p

H (s) =1

1 + pRCjp= s

!C=

1

1 + s!CRC

=1

1 + sRC!C=

1

1 + s R10C=

1

1 + sR C10

7

Lo que implica dividir R o C por 10, lo cual asegura un desplazamiento dela frecuencia de acuerdo a la Fig. 9c.

4 Funciones Prototipos

4.1 Butterworth

Este ltro tiene una respuesta plana en la banda de paso (llamada máxima-mente plana), a expensas de la respuesta en la región transición, la cual esde 20 dB/Década por polo. El módulo de la respuesta en frecuencia del ltropasabajos, para ganancia G, y frecuencia de corte !C esta dado en (14).

jH (j!)j = Gr1 +

!!C

2n (14)

Donde n = 1; 2; ::: es el orden. La Fig. 10 muestra jH (j!)j para distintos n.

G

H(j )ω

ωCω [ ]rad

seg

2

G

n=2

n=4n=6

Figure 10: Respuesta del Filtro Butterworth.

4.1.1 Propiedades del Filtro

Una respuesta máximamente plana tiene muchas derivadas que son cero en elorigen, ! = 0. Para ganancia unitaria y una frecuencia ! = !C , se tiene que

jH (j!)j h 1p2

(15)

También llamada 3[dB]. Para ! >> !C , se tiene que

jH (j!)j h 1

!n(16)

o

jH (j!)jdB h 20 log1

!n

= 20n log(!) (17)

Así, la variación será de 20n [dB] por década, donde n es el orden del ltro.

8

4.1.2 H(s) basada en polinomios de Butterworth

Los polinomios de Butterworth se indican en la Tabla 1. Estos corresponde aldenominador de H(s).

Table 1: Polinomios de Butterworth en forma factorizada.

n Polinomios de Butterworth2 s2 +

p2s+ 1

4s2 + 0:7653s+ 1

s2 + 1:8477s+ 1

6

s2 + 0:5176s+ 1

s2 +

p2s+ 1

s2 + 1:9318s+ 1

4.2 Chebyshev

Este ltro tiene una ondulación (ripple) en la banda de paso. Mientras mayor esel orden, mayor es la pendiente en la región de transición, pero mayor es el rippley el número de ondulaciones en la banda de paso. El módulo de la función detransferencia está dado por (18), donde K1 y , son valores constantes y Cn(x)es el polinomio Chebyshev de grado n. La Fig. 11 muestra la respuesta enfrecuencia para diferentes n y la tabla 2, los polinomios correspondientes.

ω radsegω

K

H(j )ω

2

K1

1

C[ ]

RW =

n=2

n=4

n=6

211 -

Figure 11: Respuesta del ltro Chebyshev Pasabajos ( = 1).

jH(j!)j = K1q1 + 2C2n(

!!c)

(18)

Cn (!) está dados por

Cn (!) = cosn cos1 (!)

0 ! 1 (19)

Cn (!) = coshn cosh1 (!)

! > 1 (20)

9

De (19) se determina una ecuación de recurrencia para encontrar los poli-nomios, los que se indican en la Tabla 2.

Cn+1 (!) 2!Cn (!) + Cn1 (!) = 0 (21)

Con C1 (!) = ! y C2 (!) = 2!2 1:

Table 2: Polinomios de Chebyshev.

n Polinomios de Chebyshev1 !2 2!2 14 8!4 8!2 + 16 32!6 48!4 + 18!2 1

RW será la distancia 1 1p1+2

, tomando la diferencia respecto de 0 [dB],

RW jdB = 20 logp1 + 2 (22)

RW queda determinado por la elección de , el cual uctúa entre 0 y 1. Si = 1, entonces RW = 1 1p

2; es decir, 3 [dB] : En la Fig. 11, cuando ! = !C

la ganancia cae en 3 [dB] respecto del máximo.

4.2.1 Propiedades del ltro

Sea K1 = 1, para ! = !C ; como C2n(1) = 1 de acuerdo a la tabla 2, la magnitudes igual al ancho del ripple

jH(j!)j = 1p1 + 2C2n(1)

=1p1 + 2

(23)

Para ! >> !C se tiene que 2C2n(!) >> 1, luego

jH(j!)j w 1

Cn(!)(24)

en dB,

jH(j!)jdB = 20 log 20 logCn(!) (25)

Para ! >> !C ; Cn(!) se puede aproximar a 2n1!n; así

jH(j!)jdB = 20 log 20 log2n1!n

= 20 log 6 (n 1) 20 log! (26)

De acuerdo a (26), la atenuación para un mismo orden en la región de tran-sición es mayor que 20 [dB=Dec] ; esto debido al término 20 log 6 (n 1).Como es menor que 1, el valor obtenido resulta ser negativo luego para com-pensarlo, se puede escoger un valor de n más grande.

10

4.3 H(s) basada en polinomios de Chebyshev

Los polinomios de H(s) se obtienen combinando (11) con la Tabla 2. Para unaondulación RW = 0:5 [dB], = 0:349; se obtienen los polinomios de la Tabla 3.

Table 3: Polinomios de Chebyshev 0.5 dB.

n Polinomios de Chebyshev (0.5 [dB])2 0:6593s2 + 0:9405s+ 14

0:940s2 + 0:3298s+ 1

2:806s2 + 2:376s+ 1

6

0:9774s2 + 0:1518s+ 1

1:6949s2 + 0:7191s+ 1

6:369 s2 + 3: 6916s+ 1

4.4 Comparando la respuesta Butterworth y Chebyshev

Para un mismo orden la respuesta de Chebyshev cae con mayor pendiente queel Butterworth, la Fig. 12 muestra la situación tanto en escala lineal comologaritmica para un ltro de n = 4 y RW = 3 [dB] ( = 1): Sin embargo, amedida que aumenta la frecuencia ambos ltros caen con 80 [dB=dec].

1

2

1

H(j )

ω radseg[ ]

ω

ωC

H(j )ω

ω radseg[ ]

dB

0-3

Caida con -80 dB/Dec

(a) (b)

ωC

Chebyshev con mayor caidaChebyshev con mayor caida

Figure 12: Comparación de Butterworth y Chebyshev (a) Escala lineal. (b)Logaritmica.

5 Implementación de Filtros

La implementación de los ltros requiere de un circuito activo que permite laconstrucción en forma práctica de una función de transferencia. A partir de (4),(5), (6) y (7), se obtienen las funciones de 2o orden pasabajo (27), pasaalto (28),

11

pasabanda (29) y rechazabanda (30).

H(s) =G!2C

s2 + !CQ s+ !

2C

(27)

H(s) =Gs2

s2 + !CQ s+ !

2C

(28)

H(s) =G!o

Q s

s2 + !oQ s+ !

2o

(29)

H(s) =Gs2 + !2o

s2 + !o

Q s+ !2o

(30)

Donde G es la ganancia del ltro, Q el factor de calidad y !C la frecuencia decorte inferior o superior y !o representa la frecuencia central.

5.1 Implementación con Amplicadores Operacionales

Las funciones de transferencia de 2o orden se implementan con AmplicadoresOperacionales, resistores y capacitores. Existen dos circuitos clásicos, el VCVSo Sallen-Key (SK) y el de Múltiple Realimentación (MFB) o Rauch .

5.1.1 Circuitos Pasabajos

La Fig. 13 muestra los circuitos SK y MFB, donde (31) y (32) representan lasfunciones de transferencia.

_

+

R1 R

C

C

1

2

R

2

vivo

vo_

+R R

C

RBRA

C

vi1 2

1

2

(a ) (b)

Figure 13: (a) Pasabajos SK. (b) Pasabajos MFB.

Para el ltro SK se tiene

H (s) =

RB

RA+ 1

1R1R2C1C2

s2 +n

1C1

1R1+ 1

R2

1

R2C2RB

RA

os+ 1

R1R2C1C2

(31)

Donde G = RB

RA+ 1, !2c =

1R1R2C1C2

: Para el ltro MFB, la función detransferencia será

12

H (s) =

RR1

1

RR2C1C2

s2 +n

1C1

1R +

1R1+ 1

R2

os+ 1

RR2C1C2

(32)

Donde G = RR1y !2c =

1RR2C1C2

: Note que la célula MFB tiene un desfasede 180o.

5.1.2 Circuitos Pasaaltos

Las estructuras SK y MFB se muestran en la Fig. 14, donde las funciones serán(33) y (34) respetivamente.

(a) (b)

_+

R

R

CC

RB

RA

vivo

1

1

2

2 _

+R

C C

1

R

C 3

2

1 2vi

vo

Figure 14: (a) Pasa alto SK. (b) Pasa alto MFB.

H (s) =

RB

RA+ 1s2

s2 +n

1R1

1C1+ 1

C2

1

R2C2RB

RA

os+ 1

R1R2C1C2

(33)

Donde G = RB

RA+ 1, !2c =

1R1R2C1C2

:

H (s) =C1C3s2

s2 + C1+C2+C3C2C3R2

s+ 1R1R2C2C3

(34)

Donde G = C1C3, !2c =

1R1R2C2C3

:

5.1.3 Circuitos Pasabandas

Las versiones SK y MFB se muestran en la Fig. 15 y la función de transferenciaSK está dada por (35) y la MFB por (36).

H (s) =

RB

RA+ 1

1R1C

1C

1R1+ 2

R2 1

R3

RB

RA

s

s2 + 1C

1R1+ 2

R2 1

R3

RB

RA

s+ 1

R2C2

1R1+ 1

R3

(35)

13

(a) (b)

_

+R

R

C

RBRA

Cvo

vi

1

2

R3

_

+

R1

RC

C

3

Rvo

vi

2

Figure 15: (a) Pasabanda SK. (b) Pasabanda MFB.

DondeG =RB

RA+ 1; B = 1

C

1R1+ 2

R2 1

R3

RB

RA

y !2o =

1R2C2

1R1+ 1

R3

:

Para el ltro MFB se tiene

H (s) =

R3

2R1

2

R3Cs

s2 + 2R3C

s+ 1R3C2

1R1+ 1

R2

(36)

Donde G =R3

2R1

, B = 2

R3Cy !2o =

1R3C2

1R1+ 1

R2

:

5.1.4 Circuitos Rechaza Banda

La Fig. 16a corresponde a un VCVS rechaza banda con ganancia unitaria,donde R3 = R1jjR2:

_

+

R

R

CCvi

vo

3

2R1

2C

_

+vovi

R R

2C

C CR 2

(a) (b)

Figure 16: Filtro Rechaza Banda.

Luego su función de transferencia será

H (s) =

s2 + 1

R1R2C2

s2 + 2

R2Cs+ 1

R1R2C2

(37)

Donde, G = 1 y !2o =1

R1R2C2 :

14

El circuito de la Fig. 16b se conoce como ltro Notch, el cual también esrechaza banda. Su función de transferencia se indica en (38).

H (s) =VoVi=

s2 + 1R2C2

s2 + s 4RC +

1R2C2

(38)

Donde G = 1 y !2o =1

R2C2 :

6 Diseño Simple de Filtros Activos

Para requerimientos básicos es posible implementar los ltros de 2o orden usandocircuitos SK y MFB.

6.1 Pasabajo y Pasaalto

El ltro equal component pasabajo o pasaalto, es un un circuito SK con R1 =R2 = R y C1 = C2 = C, así la función dada en (31) queda

H (s) =

RB

RA+ 1

1R2C2

s2 +

2RC

1RC

RB

RA

s+ 1

R2C2

(39)

Luego se desprende que !C = 1RC y G =

RB

RA+ 1: Finalmente, para !C , G;

C; RB dados se determina R y RA. Esta situación es válida para el tro pasaaltoSK, considerando la igualación de componentes.

6.2 Filtros Pasabanda

Usando el ltro pasabanda MFB de la Fig.15b; considerando un Q bajo quesatisfaga los requerimientos de ganancia, ancho de banda y frecuencia central,

determinando de (36) las expresiones !o = 1C

r1R3

1R1+ 1

R2

; G = R3

2R1y

!oQ = 2

R3C; se tiene que

R1 =R32G

=Q

!oGC(40)

R3 =2Q

!oC(41)

Finalmente

R2 =Q

!oC(2Q2 G)(42)

Considerando que se debe cumplir

Q >

G

2

12

(43)

Dados G, C, Q y !o el diseño queda concluido.

15

6.3 Filtro Rechaza Banda

Para el diseño de ltros rechaza banda puede utilizarse la conguración Notch,con la red doble-T de frecuencia central !o = 1

RC y ganancia unitaria.

7 Método de Diseño Basado en polinomios

Este método consiste en usar una respuesta de ltro basada en un polinomio.Se selecciona un circuito donde implementarlo. Dado que los polinomios estándesarrollados para !C = 1

rs

, y los coecientes de los polinomios son diciles

de memorizar, se proponen ecuaciones de diseño. Pero para ello deben adaptarlos polinomios para que el diseño se pueda realizar para cualquier frecuencia.A partir de los polinomios originales el método genera tablas más sencillas yecuaciones simples.Un método propuesto W. Smith (1997), propone una tabla con los coecientes deButterworth y Chebyshev junto con circuitos SK equal component, de gananciadistinta de uno. Se diseñan los módulos de segundo orden por separado y seconectan en cascada para obtener ltros de orden superior.

7.1 Obteniendo las ecuaciones de diseño

Modicando la función pasabajos equal component dada en (31), se tiene (44).

H(s) =

RB

RA+ 1

R2C2s2 +RC2 RB

RA

s+ 1

(44)

Como está normalizada para !C = 1 [r=s], haciendo el escalamiento s = !Cp

H(p) =

RB

RA+ 1

R2C2!2Cp2 +RC

2 RB

RA

!Cp+ 1

(45)

Igualando los coecientes del denominador de (45) con los coecientes b2, b1y b0 de un polinomio de segundo orden

b2 = R2C2!2C (46)

b1 = RC

2 RB

RA

!C =

2 RB

RA

pb2 (47)

Esto permite generar una tabla simplicada y ecuaciones de diseño del ltro.

16

7.2 Tabla para Filtros Butterworth

Sea el polinomio de n = 2,s2 +

p2s+ 1

; de acuerdo a (46) y (47) se tiene.

1 = R2C2!2C (48)p2 =

2 RB

RA

p1 (49)

Así se despeja

R =1

C!C=0:1592

fCC=

k1fCC

(50)

RBRA

= 0:586 = k2 (51)

Para n = 4 se tiene

Etapa 1 Etapa 2

s2 + 1:8477s+ 1 s2 + 0:7653s+ 1

1 = R2C2!2C 1 = R2C2!2C1:8477 =

2 RB

RA

0:7653 =

2 RB

RA

R = 0:159

fCC= k1

fCCR = 0:159

fCC= k1

fCCRB

RA= 0:1523 = k2

RB

RA= 1:235 = k2

Los cálculos pueden ser repetidos para n = 6. Note que la relación entre Ry C se mantiene, la relación entre RB

RAcambiará.

7.3 Tabla para ltros de Chebyshev

Sea el polinomio de n = 2,0:6593s2 + 0:94046s+ 1

; igualando los coecientes

0:6593 = R2C2!2C (52)

0:94046 =

2 RB

RA

p0:6593 (53)

Luego

R =1

C!C=0:129

fCC=

k1fCC

(54)

RBRA

= 0:842 = k2 (55)

Para n = 4 se tiene

17

Etapa 1 Etapa 2

2:806s2 + 2:376s+ 1 0:940s2 + 0:3298s+ 1

2:806 = R2C2!2C 0:940 = R2C2!2C2:376 =

2 RB

RA

p2:806 0:3298 =

2 RB

RA

p0:940

R = 0:2666fCC

= k1fCC

R = 0:1544fCC

= k1fCC

RB

RA= 0:582 = k2

RB

RA= 1:660 = k2

Se repiten los cálculos para n = 6.Finalmente con los coecientes k1 y k2 se construye la Tabla 4.

Table 4: Coecientes para Filtros de Butterworth y Chebyshev (6% ripple).

Butterworth Chebyshev 0.5dB# polos k1 k2 k1 k22 etapa 1 0.159 0.586 0.1293 0.842

4 etapa 1 0.159 0.152 0.2666 0.582etapa 2 0.159 1.235 0.1544 1.660

6 etapa 1 0.159 0.068 0.4019 0.537etapa 2 0.159 0.586 0.2072 1.448etapa 3 0.159 1.483 0.1574 1.846

7.4 Procedimiento de Diseño

Dados RA, C y fc:

Se determina el orden del ltro n

Se escogen de la tabla 4 los coecientes k1 y k2

Con cada ki se calculan los RB y R usando (56) y (57)

RB = k2RA (56)

R =k1fCC

(57)

18

8 Ejemplos de diseño

8.1 Diseño simple

Diseñar un ltro pasabajos de n = 2, G = 1, con fC = 5 [KHz] usando SKequal-component.

C = 0:1 [F ]

R =1

2CfC=

1

2 (0:1 [F ]) 5 [KHz]= 318 []

RB = 0

RA = 1

Luego estandarizando R = 330 [], así

H (s) =1

R2C2

s2 + 2RC s+

1R2C2

=9:183 108

s2 + 60606s+ 9:183 108

Donde se desprende que fC = 123:141593300:1106 = 4:9 [KHZ ]

H(j )

-6dB

0 dB4.9 49K

(a) (b)

ω

vo_

+

330 330v

i

0.1

0.1

Ω Ω

µ

µ

-40dB

ω

2π 2πradseg[ ]

Figure 17: Filtro Equal-component Pasabajos.

Diseñe un ltro Notch de G=1 y fo=2KHz.

Diseñe un ltro Pasa Banda G=2, fo=5KHz, Q=5

8.2 Diseño usando polinomios

Diseñe un ltro Butterworth de n = 2,G = 1:5, fC = 2:5 [KHz]

19

R =1

C!C=

k1fCC

=0:1592

2500 (0:1 106) = 637 []

RBRA

= k2 = 0:586

Dado RA = 1 [K], RB = 0:586(1 [K]) = 586 []

H(s) =

RB

RA+ 1

R2C2s2 +RC2 RB

RA

s+ 1

=(0:586 + 1)

4:06 109s2 + 9:007 105 (2 0:586) s+ 1

(a)

0 dB

4 dB

1 dBω rad

seg[ ]2.5K2π

-16 dB

H(j )ω

vo_

+

5861K

vi637 637

0 .1

Ω

µ

Ω

0 .1µ

ΩΩ

(b)

Figure 18: (a) Filtro Butterworth pasabajos. (b) Respuesta en frecuencia.

El ltro tendrá una ganancia G = 1:586 (4 [dB]):

Diseñe un ltro Chebyshev pasa alto con fC = 3 [KHz] ; n = 4:El ltro requiere 2 circuitos. Calculando los valores de R de acuerdo alos coecientes para n = 4, dado C = 0:01 [F ] y RA = 1 [K]se tiene

Etapa 1

R = k1fCC

= 0:26663000(0:01106) = 8:9 [K] RB = k2RA = 0:582 (1 [K]) = 0:582 [K]

Etapa 2

R = k1fCC

= 0:15443000(0:01106) = 5:15 [K] RB = k2RA = 1:660 (1 [K]) = 1:66 [K]

De esta forma se tiene el ltro de la Fig. 19.

20

(a)

0 dB ω radseg[ ]3K2π

H(j )ω

_

+

1 .6 6 K1 K

vi

5.15K

0.01

Ω

µ

Ω

0.01µ

ΩΩ

(b)

0.3K2π

12.5 dB12 dB

-80 dB

5.15K

vo_

+

5 8 61 K

8.8K

0.01

Ω

µ

Ω

0.01µ

ΩΩ

8.8K

Figure 19: (a) Filtro Chebyshev de cuarto orden pasa alto. (b) Respuesta.

9 Conclusiones

El diseño de ltros activos consiste en especicar adecuadamente la respuestadeseada, elegir la función aproximación que satisface los requerimientos y nal-mente denir el circuito activo que permita en la forma más simple la imple-mentación denitiva. Si los requerimientos no son tan exigentes, se usa el diseñosimple. La elección del método dependerá de la precisión del ltro.

References

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[2] Smith, S.W. 1997. The Scientist and Engineers Guide to Digital SignalProcessing.California Technical Publishing

[3] Malik, R.1996. Circuitos Electrónicos. Análisis, Diseño y Simulación.Prentice-Hall

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