Universidad técnica de Cotopaxi

TEORÍAS DE FALLA

Jorge Leonardo Alomia Paredesleoalo1988@hotmail.comLuis Israel Molina Vaca

israelmolina2013@gmail.comJorge Luis Prado Sandoval

jlprado1988@gmail.com

RESUMEN: El presente trabajo se ha investigado sobre el tema relacionado con la teoría de fallas sus principales principios, teoremas, comportamientos, conceptos, formulas empleadas para realizar los cálculos adecuados a los materiales existentes en la ingeniería de la construcción. Mediante la investigación para un entendimiento adecuado de los comportamientos que presentan los materiales al realizar el estudio de las teoría de fallas y poseer las seguridades al momento de utilizar un material dentro de la construcción, analizando las diversas teorías mediantes los esfuerzos principales y cortantes así como la utilización del circulo de Mohr que ya se dio un estudio en el primer parcial, mediante este método de teoría de fallas se puede determinar de una mejor manera el factor de seguridad adecuado de los materiales empleados en las industrias, construcción, diseño de los materiales dúctiles y frágiles mediante el estudio por teoría de fallas.

PALABRAS CLAVES: Esfuerzos, teoría, seguridad, dúctil, frágil.

1 INTRODUCCIÓN

Cuando se trata del diseño de estructuras o componentes, las propiedades físicas de los materiales constituyentes suelen encontrarse a partir de los resultados de experimentos de laboratorios en los que únicamente se ha sometido a los materiales a las condiciones de esfuerzo más simple.

La prueba más usual es la prueba de tensión simple, en la que se determina fácilmente el valor de fluencia o el de fractura, excepto en unos cuantos casos particulares, generalmente no se conoce la resistencia de los materiales sometidos a sistemas complejos de esfuerzos. En la práctica estos sistemas complejos de esfuerzos son los que se encuentran más a menudo, pero resulta necesario contar con alguna base para determinar los esfuerzos de trabajo permisibles de modo que se evite una falla.

De este modo la función de teoría de fallas elástica consiste en predecir, con base el comportamiento de los materiales en una prueba de tensión simple, cuando se presentara la falla elástica bajo cualquier condición de esfuerzo aplicado. Se han propuesto varios criterios teóricos con el objeto de obtener una correlación adecuada entre la vida o duración estimada del componente y la que realmente se logra en las condiciones de carga de servicio para aplicaciones en los materiales tanto frágiles como dúctiles.

El valor de la propiedad elástica critica que se elija implica en el título de la teoría se calcula tanto para las pruebas de tensión simples como para un sistema de esfuerzos complejos tridimensionales. Estos valores se igualan entonces para obtener el llamado criterio

de falla, σy es el esfuerzo de fluencia en una

prueba de tensión simple, y σ 1 , σ 2 yσ 3 son

los tres esfuerzos principales en el sistema tridimensional complejo de esfuerzos, en el orden de la magnitud. Así, en el caso de la

teoría del esfuerzo cortante máximo, σ 1−σ 3

es la mayor diferencia numérica entre los esfuerzos principales, tomando en consideración los signos y en el hecho de que cada uno de los esfuerzos principales puede ser cero.

2 TEORÍA DE FALLA

2.1 TEORÍA DEL ESFUERZO PRINCIPAL MÁXIMO

En esta teoría se supone que en el sistema complejo de esfuerzos la falla se presenta cuando el esfuerzo principal máximo alcanza el esfuerzo de fluencia en tensión simple. De este modo, el criterio de fractura es

σ1 =  σy

Sin embargo, debe observarse que también se presentaría la falla a la comprensión

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si el menor esfuerzo principal σ3 fuera de comprensión y su valor alcanzara el valor del esfuerzo de fluencia a la comprensión para el material que se estudia entes de alcanzar el valor de σyt a la tensión.Por lo tanto, un criterio adicional es

σ3 = σy

Si bien demostrarse que la teoría se cumple muy satisfactoriamente en el caso de los materiales frágiles, existe considerable evidencia experimental de que la teoría no debe aplicarse a los materiales dúctiles. Por ejemplo, aun en el caso de la misma prueba de tensión pura, la falla en materiales dúctiles no ocurre debió un esfuerzos directos aplicados, sino debido a un esfuerzo cortante en planos que se encuentran a 45° con respecto al eje de la nuestra. Además, los materiales realmente homogéneos pueden resistir presiones hidrostáticas muy elevadas sin fallar, lo que indica que los esfuerzos directos máximos solo no constituyen un criterio valido de fractura para todas las condiciones de carga.

2.2 TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO.

En esta teoría se establece que la falla puede presentarse cuando el esfuerzo cortante máximo en un sistema complejo de esfuerzos resulta igual al de fluencia en una prueba de tensión simple.Puesto que el esfuerzo cortante máximo es la mitad de la mayor diferencia entre los esfuerzos principales, el criterio de falla se hace

12

(σ 1−σ3 )=12(σ y−0)

σ1 – σ3 = σy

El valor de σ3 es, en forma algebraica, el valor más pequeño, es decir, considerando el signo y el hecho de que un esfuerzo pueda resultar cero. Esto proporciona una correlación bastante exacta en resultados experimentales, en particular para materiales dúctiles. Con frecuencia, este criterio se conoce como teoría “Tresca” y constituye una de las leyes de la plasticidad que se emplea ampliamente.

2.3 TEORÍA DE LA DEFORMACIÓN PRINCIPAL MÁXIMA

En esta teoría se supone que la falla se presenta cuando la deformación máxima en un sistema complejo de esfuerzo es igual a la deformación en la fluencia en la prueba de tensión

σ1E

−vσ2E

−vσ3E

=σ yE

σ1 – vσ2 – vσ3 = σy

Los resultados obtenidos en la prueba de placas sometidas a dos tensiones perpendiculares entre si contradicen esta teoría. El efecto de la relación de Poisson en cada tensión reduce la deformación en la dirección directa perpendicular, de modo que, según esta teoría, la falla se presentaría con una carga mayor. Este no siempre es el caso. La teoría resulta razonablemente válida para el hierro colado pero en la actualidad generalmente no se emplea en procedimientos de diseño.

2.4 TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN MÁXIMA POR VOLUMEN UNITARIO.

En esta teoría se supone que la falla se presenta cuando la energía total de deformaciones en el sistema de esfuerzo complejo iguala a la asociada con el esfuerzo de fluencia en la prueba de tensión.

12E

(σ12+σ22+σ 32−2v (σ1σ2+σ 2σ 3+σ3σ1 ))= σ y2

2E

σ 12+σ2

2+σ32−2v (σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 )=σ y2

La teoría proporciona resultados bastante satisfactorios en materiales dúctiles pero generalmente prefiere utilizarse la teoría que a continuación se menciona

2.5 TEORÍA DE LA ENERGÍA MÁXIMA DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO (O ENERGÍA DE DISTORSIÓN) POR UNIDAD DE VOLUMEN.

Una vez más se señala el modo en que la energía de deformación de un elemento estructural sometido a esfuerzos puede dividirse en componentes de energía de deformación volumétrica y de energía de deformación por esfuerzo cortante, en donde la primera lleva consigo un cambio de volumen y ninguna distorsión, mientras que con la última se produce la distorsión de elementos esforzados. Esta teoría afirma que la falla se presenta cuando la componente de energía máxima de deformación por esfuerzo cortante en el sistema de esfuerzos complejos es igual a la asociada al esfuerzo de fluencia en una prueba de tensión.

112G

¿

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16G

¿

(σ 1−σ2 )2+(σ ¿¿2−σ3)2+(σ ¿¿3−σ1)

2=2σ y2 ¿¿

Esta teoría se verifica de modo considerable en la práctica y se recomienda ampliamente como la base más confiable para el diseño, en particular cuando se trata de materiales dúctiles. Con frecuencia se conoce como el criterio de “Von Mises” o “Maxwell” y probablemente es la mejor de las cinco. También, algunas veces se conoce como teoría del esfuerzo cortante octaédrico máximo.

2.6 TEORÍA MODIFICADA DE MOHR DEL ESFUERZO CORTANTE PARA MATERIALES FRÁGILES (ALGUNAS VECES CONOCIDA COMO TEORÍA DE LA FRICCIÓN INTERNA).

En general, los materiales frágiles muestran poca capacidad de deformarse plásticamente, por lo que suelen fracturarse en o muy cerca del límite del elástico. Por lo tanto, cualquiera de los así llamados “Criterios de Fluencia” que se introdujeron arriba normalmente entrañan la fractura de un material frágil. Anteriormente se dijo, sin embargo, que los materiales frágiles suelen resultar más resistente a la comprensión que la tensión.

Y para tomar en cuenta esto, Mohr ha propuesto una construcción, que se basa en su círculo de esfuerzos, en la aplicación de la teoría del esfuerzo cortante máximo. En la figura 1, el circulo con diámetro OA es el que representa tensión pura, el circulo de diámetro OB es para comprensión pura y el circulo cuyo centro es O y cuyo diámetro es CD es el esfuerzo cortante puro. Cada uno de estos tipos de prueba puede realizarse en el laboratorio con relativa facilidad para alcanzar la falla. Entonces una envolvente de estas curvas, que se muestra por las líneas punteadas, representa la envolvente de falla según la teoría de Mohr.

Mohr sugiere, como una mejor aproximación para este procedimiento, que solo se dibujen los círculos de falla por compresión y tensión puras, considerando OA y OB iguales a los esfuerzos de fluencia, o de fractura del material frágil. Así, las tangentes comunes a estos círculos pueden emplearse como la envolvente de falla, como se muestra en la figura 2. Los círculos dibujados tangentes a esta envolvente representan la condición de falla en el punto de tangencia.

Con el objeto de desarrollar una expresión teórica para el criterio de falla, considere un círculo de esfuerzo general con los esfuerzos principales σ1 y σ2. De esta forma es posible deducir una expresión que relacione σ1,

σ2, los esfuerzos principales, y σyt, σyc, los esfuerzos de fluencia del material frágil en tensión y comprensión, respectivamente.

Con base en la geometri de la figura 3.

KLKM

= JLMH

Ahora, en términos de los esfuerzos,

KL=12σ yt−σ1+

12¿

KM=12σ yt+

12σ yc

JL=12¿

MH=12σ yt−

12σ yc

Sustituyendo

σ yt−σ1+σ2σ yt+σ yc

=σ1+σ2+σ ytσ yt−σ yc

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Efectuando la multiplicación cruzada y simplificando, esto se reduce a

σ1σ yt

+σ2σ yc

=1

Que entonces constituye el criterio de esfuerzo cortante modificado de Mohr para materiales frágiles.

3 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS TEORÍAS DE FALLA PARA SISTEMAS DE ESFUERZOS BIDIMENSIONALES (EN DONDE UNO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES ES IGUAL A CERO).

Habiendo obtenido la ecuación para el criterio arriba mencionado, de falla elástica en el estado de esfuerzo generalmente tridimensional, resulta relativamente sencillo obtener las ecuaciones correspondientes cuando uno de los esfuerzos principales es cero.

Cada teoría puede representarse gráficamente como se describe a continuación, en donde los diagramas se denominan con frecuencia como lugares geométricos de fluencia.

3.1 TEORÍA DEL ESFUERZO PRINCIPAL MÁXIMO.

Para simplificar el análisis, por el momento se ignora la convención usual para los esfuerzos principales, es decir, σ1 > σ2 > σ3 y se considera el estado de esfuerzo bidimensional que se muestra en la figura 4 en donde σ3 es cero y σ2 puede tener un valor menor que σ3

para el objeto de este desarrollo

Entonces, la teoría del esfuerzo principal máximo enuncia que la falla se

presentara cuando σ1 o σ2 sea igual a σ yt o σ yc. Suponiendo que σ yt=σ yc=σ y, estas

condiciones se representan gráficamente en las coordenadas (σ1, σ2) que representa cualquier sistema complejo de esfuerzo bidimensional se encuentra fuera del cuadrado, entonces, según esta teoría, se representara la falla.

3.2 TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO.

Para los esfuerzos iguales, es decir, σ1

y σ2, de tensión o de comprensión ambos (primero y tercer cuadrante), el criterio de esfuerzo cortante máximo es

12¿ o

12¿

σ 1=σ y o σ 2=σ y

De este modo, se obtiene el mismo resultado que con la teoría anterior en el primer y tercer cuadrante.

Para esfuerzos diferentes, el criterio será:

12

(σ 1−σ2 )=12σ y

Ya q al considerar el tercer esfuerzo como cero no se obtendrá un esfuerzo cortante

tan grande como cuando σ 2 es negativo. De

este modo, para el segundo y cuarto cuadrante.

σ1σ y

+σ2σ y '

=1oσ2σ y

+σ1σ y

=1'

Estos constituyen líneas rectas y producen la envoltura de falla que se nuestra en la figura 6. Una vez más, cualquier punto fuera de la envolvente de falla representa la condición de falla potencial.

3.3 TEORÍA DE LA DEFORMACIÓN PRINCIPAL MÁXIMA.

Para la fluencia en tensión, la teoría enuncia que:

σ 1−v σ2=σ y

Y para la fluencia de comprensión, en

donde σ 2 es de comprensión

σ 2−v σ1=σ y

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Como esta teoría no tiene una aceptación en ningún campo de ingeniería, resulta suficiente con observar aquí que, sin demostrarlo, las ecuaciones anteriores producen la envolvente de falla romboédrica que se nuestra en la figura 7

3.4 TEORÍA DE LA ENERGÍA MÁXIMA DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN.

Cuando σ 3 = 0, este criterio de falla se

reduce a

σ 12+σ2

2−2v σ1σ2=σ y2

( σ1σ y )2

+( σ2σ y )2

−2v ( σ 1σ y )(σ2σ y )=1

Esta es la ecuación de una elipse con los semiejes mayor y menor:

σ y√(1−v )

∧σ y

√(1+v)

Respectivamente, cada uno a 45° con respecto a los ejes coordenados, como se nuestra en la figura 8.

3.5 TEORÍA DE LA ENERGÍA MÁXIMA DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN.

Con σ 3=0, el criterio de falla para esta

teoría se reduce a

12((σ1−σ2 )¿¿2+σ2

2+σ12)=σ y

2 ¿

σ 12+σ2

2−σ 1σ 2=σ y2

( σ1σ y )2

+( σ2σ y )2

−( σ1σ y )(σ 2σ y )=1

Una vez masa se tiene una elipse con los semiejes a 45° con respecto a los ejes de coordenadas, como se muestra en la figura 9. La elipse contendrá al hexágono de esfuerzo cortante máximo.

G

4 MAQUETA DE DEMOSTRACIÓN DE ESTADO DE CARGA DE FLEXIÓN PURA.

4.1 MATERIALES

Madera Tornillos Pesos Pintura Clavos Triplex

4.2 PROCEDIMIENTO

La maqueta respectiva de las cargas de flexión pura empezamos tomando la idea de un trampolín de clavados para ello nos basamos en demostrar el principio de flexión pura primero procedemos armar la parte donde se realiza el clavado que llamaremos altillo esto lo realizamos de madera.

Figura. 14 esquemas del trampolín de clavados

Una tomada la formada del trampolín procedemos a pintarla para luego tomar una tabla triplex para realizar el esquema de tabla del salto y así poder demostrar el principio de flexión.

Par después tener terminado nuestro proyecto y proceder a explicar su funcionamiento

4 CONCLUSIONES

Una conclusión que llegamos es que en la flexión pura las tensiones en la sección transversal varían linealmente.

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Nos dimos cuenta que en la parte central de la barra todas las formulas deducidas anteriormente serán válidas y podrán considerarse exactas por se realiza o se trabajó con varias secciones geométricas.

En conclusión también llegamos que se quiere decir que la relación entre las tensiones tangenciales máximas en la sección transversal y las tensiones normales máximas es aproximadamente igual a la relación entre la altura de la sección y la longitud de la barra.

Para determinar con la flexión transversal, es necesario analizar con varios ejemplos que nos ilustren las ideas para aplicar las formulas y teoremas encontrados en el estudio de la flexión pura.

5 BIBLIOGRAFÍA

[1] Hibbeler, R.C., “Mecánica de Materiales”, Prentice Hall. 3ra Edición, México, 1995.[2] Beer, F.P., Johnston, E.R., “Mecánica de Materiales”, Mc Graw Hill. 2da Edición,México,1998.[3] Mott, R.L. “Resistencia de Materiales Aplicada”, Prentice Hall. 3ra Edición, México,1998. [4] Nashif, A.D. “Vibration Damping”, Wiley Interscience, U.S.A., 1985.TA355/N3.8/1985.[5] Alejandro M. Mayori M. “Resistencia de materiales aplicada” Primera Edición, Universidad San Andrés, La Paz Bolivia.

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