Teoria de Exponentes Cepu Apumgal

ACADEMIA PRE UNIVERSITARIO DE LA MUNICIPALIDAD DISTRITAL GREGORIO ALBARRACÍN LANCHIPA

TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO

TEORÍA DE EXPONENTES

La teoría de exponentes tiene por finalidad estu-diar todas las clases de exponentes que existen entre ellos, mediante leyes.

LEYES DE EXPONENTES

1. Producto de Bases Iguales

2. Cocientes de Bases iguales

3. Potencia de un Producto

4. Potencia de cociente

5. Potencia negativa de un cociente

6. Exponente cero

donde a 0

7. Exponente negativo

8. Potencia de potencia

OBS:

9. Raíz de una potencia

10. Raíz de un producto

11. Raíz de un cociente

12. Potencia de radical

13. Radical de radical

OBS:

14. Introducción de un factor a un radical

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obte-ner la solución se debe tener cuenta:

Por igualdad de bases:

Si x 0, x 1

Igualdad en el exponente: Si x 0

Nota: no se tomará en cuente aquellas so-luciones (raíces) que se obtengan fuera

~ 53 ~


del conjunto de los números reales.

Igualdad Base y Exponente

=> Si a 0, a 1

PROBLEMAS:

1. REDUCIR:

A) 2 B) -2 C) 1 D) –1

E) 0

Sol:

Rpta ( a )

Nota: También se puede darle un valor ade-cuado a “a” para luego simplificar por Ejemplo:

Si: a = 1

2. RESOLVER:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Sol:Transformando

=> =

= x – 1 = – 2x + 2

x = 3 Rpta. ( c )

3. SIMPLIFICAR:

A) 2n B) 2n+1 C) 3n-1 D) 7/8 E) N.A.

Sol:

Rpta. ( d )

4. RESOLVER:

Sol:

~ 54 ~


=> Rpta ( c )

5. Calcular a qué exponente se debe ele-var 18 para obtener:

A) 2/3 B) 3/4 C) 1/2 D) 4/3 E) 2/5

Sol:

Sea el exponente: x

18x =

6. Hallar el valor de:

A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1

Sol:

=

= = =

Rpta ( d )

7. Calcular el valor numérico de:

para ab = 2 y ba = 0,5

A) 16 B) 14 C) 8 D) 12 E) 10

Sol:

sabemos que 0,5 =2-1

~ 55 ~


E = 8 Rpta. ( c )

8. SIMPLIFICAR:

n factores.

Sabiendo que:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

Sol:

Sabemos que:1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1)

(n+2) =

Además por dato del problema

Reemplazando el valor de x:

Rpta ( c )

9. Calcular el valor de “n” en la ecuación:

A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3

Sol.:

Rpta. E

10. Indicar el valor no entero que toma x, de manera que se cumpla la igualdad:

A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3

Sol.

Reduciendo ambos miembros tenemos:

Resolviendo:

v

Por dato del problema

Entonces

Rpta.: C

~ 56 ~


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el valor de “x” en: es:A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2. SIMPLIFICAR:

A) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8

3. RESOLVER:

A) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2

4. HALLAR , si:

A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8

5. Resolver:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Efectuar

A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.

7. Resolver

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

8. Hallar: 5x + 10, si:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. Hallar el valor de ;

Si ; =27.

A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 36

10. Calcular “n” si:

Si:

A) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83

11. Hallar:

Si:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

12. Calcular: ; si se cumple que:

A) 5 B) C) 1/5 D) 55 E) 5-5

13. Si: P(x) = 3x + 5; Q(x) = 2x – 1 y R(x) = 3x + 2Calcular: A = P (Q (R (0) ) )

Rpta.: …………………..

14. Si: P(x) = 2x + 1; Q(x) = 2x – 1Calcular: P (Q (x) )

Rpta.: …………………..

15. Si: M(x, y) = 2xy2

Calcular:

Rpta.: …………………..

16. Calcular: Q(Q(x)), si Q(x) = 3x – 2Rpta.: …………………..

17. Calcular: P (P (P (P (2) ) ) )Si: P(x) = 2x – 1

Rpta.: …………………..

18. Si: P(x) = x + 2Calcular: A = P (P (P (P (3) ) ) )

Rpta.: …………………..

~ 57 ~


19. Si: P(x) = x + 3; R(x) = 2x – 1Calcular: A = P(R(2))

Rpta.: …………………..

20. Si: P(x) = 5x + 3; R(x) = 3x + 2Calcular: A = P(R(x))

Rpta.: …………………..

21. Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x))Rpta.: …………………..

22. Si: P(x) = 3x + 4Calcular: M = P(P(x))

Rpta.: …………………..

23. Si: P(x) = 3x – 1Calcular: A = P (P (P (2) ) )

Rpta.: …………………..

24. Si: P(x) = 2x + 8Calcular: A = P(a) + P(a - 1)

Rpta.: …………………..

25. Si: P(x) = 2x + 5

Calcular:

Rpta.: …………………..

26. Si: P(x; y) = 5xy + x – yCalcular: P(1; 2) + P(2; 0)

Rpta.: …………………..

27. Si: P(x) = 2x – 4Calcular: A = P(1) + P(2)

Rpta.: …………………..

28. Si: P(x, y) = 2xy – x + 3yCalcular: A = P(2; 3) + P(0; 1)

Rpta.: …………………..

29. Si: P(x) = 3x + 5

Calcular: M = P(a + 2) – P(a - 2)Rpta.: …………………..

30. Si: P(x) = 5x + 3; R(x) = 3x + 2Calcular: A = P(R(x))Rpta.: …………………..

31. Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x))Rpta.: …………………..

32. Si: P(x) = 3x + 4Calcular: M = P(P(x))

Rpta.: …………………..

~ 58 ~


POLINOMIO: GRADO, POLI-NOMIOS ESPECIALES, OPERA-CIONES, PRODUCTOS NOTA-BLES.

1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: Es la mínima expresión alge-braica que tiene un solo término:

Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos algebraicos. Reci-be el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomio cuando tiene 3 térmi-nos.

a) Grado de un monomio :

Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de todas sus variables.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida a dicho monomio.

Ejm:M (x,y,z) = 3x5y7z3

GA = 5 + 7 + 3 = 15

GR(x) = 5 GR(y) = 7 GR(z) = 3

b) Grado de un Polinomio :

Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor grado ab-soluto.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponente de la variable referida en dicho polinomio.

Ejm: P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7

+ 2x5

P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5

grado=10 grado=11 grado= 9 gra

do=5

G.A. = 11

GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 4

Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus va-riables.

Ejm: sea P(x) = x2 + 2x – 1

Hallar P(2)

P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7

2. POLINOMIOS ESPECIALES

a) Polinomios Ordenados: Son los que pre-sentan un “orden” ascendente o descen-dente en los exponentes de una de las va-riables que se toma como base.

Ejm: P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3 P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12

b) Polinomios completos: Son los que tie-nen todos los exponentes (desde el mayor hasta el exponente cero o término inde-pendiente) de la variable que se toma co-mo base.

Ejm: P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3 P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3

c) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales:

Ejm: P(x,y) = x2 + 2xy + y2 P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyz

d) Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sus términos se-mejantes tienen iguales coeficientes.

Ejm: ax2 + bx + cx mx2 + nx + p

a = m b = n c = p

e) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizan por que to-dos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:

P(x) = ax2 + bx2 +cx + d

a = 0 b = 0 c = 0 d = 0

~ 59 ~


3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGE - BRAICAS

a) Suma y Resta: Para sumar o restar ex-presiones algebraicas se suma o se resta términos semejantes.

Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes.

b) Multiplicación de expresiones algebrai-cas: Multiplicar expresiones algebraicas significa obtener una expresión denomina-da PRODUCTO, conociendo otras dos lla-madas multiplicando y multiplicador.

Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la su-ma de los grados de los factores.ii) El término independiente del producto es igual al producto de los términos inde-pendientes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos, cuyos resultados se deben cono-cer sin necesidad de efectuar operaciones, por es-to se el reconoce fácilmente.

a) Binomio al cuadrado :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

b) Producto de una suma por su diferen - cia

(a + b) (a – b) = a2 – b2

c) Binomio al cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

d) Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

e) Producto de un binomio por un trino - mio queda una suma o diferencia de cu-bos.

(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3

f) Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +abg) Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

h) Identidades de Lagandre

(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)

(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

PROBLEMAS:

1. El grado del polinomio homogéneo.

P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10

Sol:

Grado 1 = Grado 22m + n + 2 = 2n + 4m 2 = n + 2m

grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )

2. Si . Hallar

a) 1/4 b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80

Sol:

~ 60 ~


// Rpta ( b )

3. ¿Cuál es el valor que asume

Si:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.

Sol:

De la condición:

Rpta. ( d )

4. Si: , entonces es:

a) –2 b) 5 c) – 4 d) 2 e) 3.

Sol:

Rpta (

d )

5. El grado del Polinomio es:

P(x) =

a) 220 b) 520 c) 610 d) 1220 e) 1610

Sol:

Grado = 2 + 5 + 8 + ............ 20 térmi-nos y de razón 3

Para hallar la suma:

S = 610

grado = 610 Rpta ( c )

6. Si P(x+3) = 6x – 2 Hallar el valor de

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Solución* P(x+3) = 6x – 2

P(x-3+3) = 6(x-3) – 2 P(x) = 6x – 20

Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)

* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)

Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 58 6F(x) = 30x + 30

~ 61 ~


F(x) = 5x + 5

Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25

Finalmente:

Rpta. C

7. Si el monomio es 8, el

valor de “m” es:A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16

Solución

Por dato del problema:

multiplicando por 30 la ecuación anterior:

Rpta. D

8. Sabiendo que , el valor de la ex-

presión es:

A) B) 4 C) D) 5 E)

Solución

Supongamos que:

Hallaremos E.

Rpta. C

9. Si , su grado es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

Solución

El grado de M es:

Supongamos que:

Ha-

llaremos E.

Dando valores a E, obtenemos que:E = 2

Rpta. B

10. Si el polinomio ordenado, decreciente y com-pleto:

posee 2c términos; hallar “a+b+c”.A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.

Solución

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.

Del tercer término obtenemos:

~ 62 ~


Del segundo término obtenemos:

Del segundo término obtenemos:

Por lo tanto: Rpta: C


1. Hallar m/n si el polinomio: es

homogéneo.A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.

2. Sabiendo que , Cal-

cular:

A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4

3. Si el valor de es:

A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 2

4. Si son tres términos consecutivos de un polinomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y orde-nado crecientemente respecto a “x”, ha-llar el Grado relativo a la variables “y” de “u”.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

5. La expresión: ; re-

ducida a un monomio es:A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x

6. Sea

La suma de los grados relativos de M es:

A) B)

C) D) E) N.A.

7. Hallar el valor de “n”:

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

8. Siendo: , calcular

A)3 B)4 C)5 D)1 E)

9. La suma de los coeficientes del polino-mio homogéneo:

, es:A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.

10. Efectuar el producto:

; Si x = 2, se

tiene:A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.

11. Calcular la suma de coeficientes del po-linomio:

P(x, y) = a2xa+7 – bxayb + abyb+4

Sabiendo que es homogéneo:a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

12. Hallar la suma de coeficientes del si-guiente polinomio homogéneo:

P(x,y,z) = 2axaybzc + 2bxbyaz8 + 7cx4y6z3

a) 66 b) 56 c) 16d) 46 e) N.A.

~ 63 ~


13. Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio:P(x, y) = 15xm+2yn – 6xn+1y2 – 3x2pyq + xq-

1y5

Es homogéneo de grado 7.

a) 23 b) 15 c) 8d) 18 e) 7

14. Hallar (m + n + p) si se sabe que el poli-nomio:

P(x) = xm-10 + 3xm-n+15 + 2xp-n+6

Es completo y ordenado descendente-mente.

a) 10 b) 30 c) 39d) 58 e) 12

15. Si: P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4

Es completo y ordenado ascendente-mente.Calcular: abcd

a) -12 b) 12 c) -6d) 6 e) -3

16. Dado el polinomio:P(x) = (n-1)xn-1 + (n-2)xn-2 + (2p+1)xq-3 +

(q+1)xp+1 - 1Es completo y ordenado, la suma de sus coeficientes es:

a) 13 b) 10 c) 9d) 12 e) 8

17. Calcular la suma de coeficientes del si-guiente polinomio completo y ordenado:

P(x) = axa + (a + 2)x2 – (a – 1)x + (a + 3)xa-3

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

18. Determinar: ; sabiendo que la

igualdad se cumple para todo valor de “x”:

27 – 6x = p(x – 2) + q(x + 1)

a) 0 b) -6 c) 4d) -2 e) -8

19. Si: a(x + 4) + b(x - 3) 4x + 9Calcular: a2 – b2

a) 3 b) 6 c) 7d) 8 e) 5

20. Si el polinomio:P(x) = 18xa-8 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16

Es completo y ordenado en forma as-cendente. Calcular: “a + b + c”

a) 18 b) 32 c) 36d) 68 e) 92

21. Si: a(x + 5)2 – b(x - 5)2 3(x + 5)2 + 4(2a + b)xCalcular: “a + b”

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

22. Hallar: (m + n – 2p) en:(m – n – 2)x8 + (m + n – 5)x4 + (p - 1)

0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

23. Si el polinomio:3ax2 + 8bx + 3a + 2bx2 + 12ax + 6

Es idénticamente nulo, calcular: (2a - 3b)

a) -12 b) -10 c) -13d) 12 e) 13

24. Determinar el valor de “a” para que los polinomios:P(x) = x4 + 2x3 – 16x – 16Q(x) = x2(x2 + x - a)2 + b(x2 + x)2 – a(x + 2)2

Sean idénticos :

a) 2 b) 4 c) 6d) 1 e) 3

25. En cuanto excede la suma de coeficien-tes al grado del siguiente polinomio ho-mogéneo:

~ 64 ~


a) 2 b) -4 c) -8d) -10 e) -12

26. Si: (3a + 2b)x2 + (5a - 6b) 3x2 – 7Hallar: 8a - 4b

a) 1 b) 4 c) -4d) -5 e) -1

27. Hallar (p - q) si se cumple que:8x + 27 p(x + 4) + q(2x + 3)

a) 7 b) 5 c) 1d) 3 e) 4

28. Si el polinomio:P(x) = 3x3a-9 + xa+b-3 + 6(x2)4b+a-c

Es completo y ordenado crecientemen-te.Calcular: “a + b + c”

a) 1 b) 3 c) 6d) 10 e) 15

29. Hallar el valor de (I + V + A + N)Si los polinomios son idénticos:6x2 + 15x + 24 I(x + A)2 + 3(x + V +

N)

a) 12 b) 13 c) 14d) 17 e) 18

30. Si el polinomio:P(x) = (a + b - 2)x3 + (a + c - 3)x + (b +

c - 5)Se anula para cualquier valor de “x”.Calcular: “a + b + c”

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

31. El polinomio:P(x, y) = mx2y + nx2y – 4x2y + mxy – xy -

nxyEs idénticamente nulo. Hallar: 4mna) 15 b) 3 c) 2d) 4 e) N.A.

32. Hallar: (A + B + C) en:

A(x + 1)(x - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1) 6x2 + x - 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

33. Hallar la suma de coeficientes de:

Si el polinomio es homogéneo.

a) 70 b) 68 c) 10d) 73 e) 74

34. Si: ab = 3a3 + b3 = 28. Hallar: “a + b”

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

35. Si:

Hallar:

a) 40 b) 47 c) 43

d) 81 e) 37

36. Si: a2 – 5a - 1 = 0

Calcular:

a) 23 b) 25 c) 27

d) 30 e) N.A.

37. Si: a + b + c = 0. Calcular:

a) 1 b) 2 c) a + b + c

d) a2 + b2 + c2 e) abc

38. Si: a + b + c = 0, simplificar:

a) 1 b) 3 c) -3

d) -1 e) N.A.

39. Si: a + b = 6 y a2 + b2 = 30

Hallar:

a) 63 b) 48 c) 12

~ 65 ~


d) 70 e) 54

40. Si: (a + b)2 = 4ab

Hallar:

a) 1 b) -1 c) 2

d) 3 e) 7

41. Si: a = 1 + b, calcular:(a + b)(b2 + a2)(b4 + a4)

a) a8 b) a8 + b8 c) a8 – b8

d) a4 – b4 e) N.A.

42. Si: x = a – bY = b – c

z = c - a

Hallar:

a) 1 b) 2 c) -2

d) 3 e) -3

43. Si: a2 + b2 = 1Reducir: M = (a4 + b4) - (a6 + b6)

a) (a + b)2 b) ab c) a2b2

d) a3b3 e) –ab

44. Si: a + b = 5 y a2 + b2 = 17

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 15

d) 17 e) 20

45. Si:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

46. Si: x + y = 1. Calcular:(x - y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8) + y16

a) x8 b) x16 c) x16 + 2y16

d) y16 e) N.A.

47. Si:

Calcular:

a) 8 b) 4 c) -6

d) -3 e) 6

~ 66 ~


DIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, CO-CIENTES NOTABLES

I. DIVISION ALGEBRAICA

Definición: La división Algebraica es una opera-ción que consiste en obtener un cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo “D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate de una divi-sión inexacta.

División inexacta

División exacta

Casos de la División:

1) Cuando se trata de dos monomios:Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coeficientes y final-mente se dividen las letras aplicando teo-ría de exponentes.

Ejm: Dividir:

2) Cuando se trata de dos Polinomios:

Se puede utilizar cualquiera de los méto-dos siguientes:

a) Método Normalb) Método de los coeficientes sepa-

rados.c) Método de Hornerd) Método de Ruffini.

Ejm: Dividir

a) Método Normal

Ordenando previamente tenemos

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

b) Métodos de coeficientes separadosSólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos.

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

c) Método de Horner:

Tenemos que dividir

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

METODO DE RUFFINI

Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando el divisor es un binomio de primer grado.

Ejm: Dividir:

Procedimiento

x + 2 = 0x = – 2

~ 67 ~


q(x) = x2 – 4x + 11

Resto = - 13

TEOREMA DEL RESTO

Este teorema tiene por finalidad determinar el res-to en una división, sin efectuar la división.“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la forma “ ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polino-

mio cuando se reemplaza en él, por ”.

Ejm:

Hallar el resto en:

y + 8 = 0y = -8

Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3

+ 8R = (-3)2 + (-1)3 + 8R = 9 – 1 + 8 R = 16

COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisiones exactas.De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.

Forma General: donde

CASO 1: es cociente notable

cuando “m” es impar

CASO 2: es cociente notable

cuando “m” es par

CASO 3: no es cociente notable

CASO 4: es cociente notable para

cualquier valor de “m”

Desarrollo de C.N. : = x4 – x3a + x2a2 –

xa3 + a4

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIE-RA DE UN C.N.

Forma General :

= xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1

t(k) = (signo) xm-k . ak-1

Regla para el signo:

Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es positivo.

Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un lugar par son ne-gativos y los que ocupan lugar impar son po-sitivos.

ejemplo: Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :

solución:

t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1

t(40) = -x30 . a78

PROBLEMAS:

1. El resto de la división:

a) 17 b) 13 c) 15 d) 21 e) 19Solución

Por teorema del resto tenemos que: x = 1

Rp-

~ 68 ~


ta. B

2. Hallar el residuo de:

a) 4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.

Solución

=

tomamos x2 = y

=

Por teorema del resto y = 1

R = 150 + 125 – 12 +3R = 1 + 1 – 1 + 3R = 4 Rpta. A

3. El resto de la división :

a) 128a7 b) –127a7 c) 127a7

d) –126a7 e) 126a7

Solución

Por teorema del resto:==>

Rpta. E

4. Para que la expresión: sea

cociente notable y su segundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.

a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.

SoluciónSabemos que: |

Entonces n = 2 , m = 2.

Rpta. B

5. Determinar el valor de “m” para que el

cociente sea

cociente notable.a) 3 b) –3 c) 2 d) – 4 e) 4

Solución

Por propiedad

Rpta. E

6. Hallar el resto de dividir

a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) x+4

Solución

Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x) Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene la forma de: R(x) = ax + b

Reemplazando:

Si x = 2 :

........ (*)

Si x = 1 :

~ 69 ~


.........(**)

Resolviendo (*) y (**):

a = 2 b = 4Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rp-

ta. E

7. Hallar el resto en:

a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1

Solución

Hacemos que (x + 2)2 = y

=

Por el teorema del resto: y = -1

Rpta. E

8. Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x –1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.

a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3

Solución

Aplicando teorema del resto a:

x =1:

x =2:

Por dato del problema: R1 = 2R2

7 – 3m = 2(17 – 6m)7 – 3m = 34 – 12m 9m = 27 m = 3

Rpta. E

9. Hallar el resto de dividir

entre A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solución

Multiplicando lo indicado tenemos:

Hacemos que = y

=

Por el teorema del resto: y = -11

Rpta. E

10. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable originado

~ 70 ~


al dividir:

para x = 3, y = .

A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000Solución

=

El término central ocupa el

término, entonces k = 13.Aplicando la Ecuación:

|

Reemplazando los valores de “x” e “y”

Rpta. APROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el

resto de

A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

2. Calcular A+B si la división

es exacta.

A)146 B)164 C)116 D)46 E)16

3. Hallar el término 21 en el siguiente

cociente notable: .

A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1

4. Señalar "m" para que sea un

cociente notable. De m2 + m+1.A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.

5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que es de tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) y carece de término cuadrático?A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9

6. Calcular el 7mo. Término del cociente:

A) B) C) D) E)

7. Dado el cociente notable , el

término de lugar “k” de su desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20 y a3 + c3 = 5840. Calcular k.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Cuando el polinomio se divide entre

, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. Hallar A+B-C+2DA) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0

9. El resto de dividir , es:

A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9

10. Hallar el resto en:

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.

~ 71 ~


11. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

A.

a) 4 b) 5 c) 3d) -1 e) 2

B.

a) -2 b) 8 c) -8d) 2 e) 0

C.

a) 3 b) 4 c) -1d) 0 e) 1

D.

a) 3 b) 5 c) -2d) 0 e) -1

E.

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) -8

F.

a) -4 b) 4 c) 0d) 1 e) -1

G.

a) -1 b) 2 c) 0d) -2 e) 1

H.

a) 2 b) -2 c) 0d) 3 e) -3

12. Hallar “b” en la siguiente división:

si el resto es 3.

a) -3 b) 4 c) 0d) 2 e) 1

13. La siguiente división: tiene

resto 7.Hallar: “b”

a) 8 b) -2 c) 0d) -5 e) 4

14. Hallar el valor de “b” en la siguiente divi-

sión: si el resto es 5.

a) 0 b) 4 c) 3d) -1 e) -7

15. Hallar el valor de “b” si el resto de:

es 40.

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5

16. Indicar el resto en la siguiente división:

a) -1 b) 7 c) 0d) 2 e) 5

17. Calcular el resto de:

a) 1 b) 4 c) 8d) -1 e) 0


~ 72 ~


a) 2 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

19. Hallar “b” en la siguiente división:

Si el resto que se obtiene es 7.

a) 5 b) 7 c) 6d) 4 e) 1

20. La siguiente división: tiene resto

5Hallar: “b”

a) -2 b) -1 c) -4d) -5 e) -7

21. Hallar el valor de “b” en la siguiente divi-sión:

Si el resto es 3.

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 4

22. Hallar el valor de “b” si el resto de la si-

guiente división: es 27.

a) 4 b) 2 c) 5d) 3 e) 1

23. Hallar el resto en la siguiente división:

a) 3 b) 2 c) 7d) 0 e) 1


a) 1 b) 2 c) 0d) 2003 e) -1


a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

~ 73 ~

a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)

a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)


FACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOS

FACTORIZACIÓN

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de factores.

METODOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMÚN : El factor común puede ser de tres tipos: factor común monomio factor común polinomio factor común por agrupación

a) Factor Común Monomio: Cuando el fac-tor común a todos los términos del polino-mio es un monomio.

ejemplo: Factorizar:

15a2b + 10a4b2 – 20a4b4

el factor común es: 5a2b 15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 =

5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)

b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un polino-mio.ejemplo:Factorizar:

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z)el factor común es: xy – z

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)

c) Factor Común por agrupación: Se bus-ca agrupar términos de modo que vuelva a aparecer un factor común en todo el po-linomio.

ejemplo: Factorizar: xy – zy + xw – zw

agrupamos de la forma siguiente:

xy - zy + xw - zw

y(x – z) + w(x – z)(x – z) (y + w)

2. METODO DE IDENTIDADES

a) Diferencia de Cuadrados : Es una diferen-cia de cuadrados perfectos.

a2n – b2n = (an + bn) (an – bn)

Ejemplo: Factorizar: x6 – y8

x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2

= (x3 + y4) (x3 – y4)

b) Trinomio Cuadrado Perfecto : Tiene la siguiente forma:

a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s

ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4

x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2

= (x4 + 3y2)2

c) Suma o diferencia de cubos : Tiene dos cubos perfectos:

Ejemplo: Factorizar: x9 + 8

x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22] = (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)

3. METODO DEL ASPA

a) Aspa Simple : Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

ax2n bxn c x2n bxn c

PROCEDIMIENTO: Descomponemos los extremos en

dos expresiones que multiplicadas los vuelve a reproducir.

Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este último debe

~ 74 ~

8x - 2x - 32

2x 1

4x -3

4x

- 6x

- 2x


coincidir con el término central.

Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.

Ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x - 3

b) Aspa Doble : Se aplica para factorizar po-linomios de la forma:

ax2n bxnyn cy2n dxn eyn f

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2 o 3 varia-bles. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar los términos del poli-nomio de un modo conveniente; si falta al-gún término se completa con coeficiente cero. También el método de aspa doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.

Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x – 11y – 10

Verificando los términos

Luego la expresión factorizada es:

E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)

c) Aspa Doble Especial : Se usa para facto-rizar polinomios de 4to. grado de la forma general:

ax4 bx3 cx2 dx e

PROCEDIMIENTO:

Se descompone los términos extre-mos (primero y quinto) en sus facto-res primos con signos adecuados.

Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mane-ra se obtiene un término de 2do. gra-do.

A este resultado se le debe sumar al-gebraicamente otro término de 2do. grado para que sea igual al tercer tér-mino.

Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer término del po-linomio, se descompone en sus facto-res en forma conveniente.

Ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9

Solución:

x - 10x + 19x - 18x + 94

x 9

x 1

3 2

2

2

9x

x

10x

2

2

2

Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2

Se descompone 9x2 en factores en forma conve-niente y se verifica el 2do. y 4to. término.

~ 75 ~


Verificando los términos:

La expresión factorizada es:

E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1)4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS

Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte factores de primer grado de forma:

B ; A BEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)

Procedimiento: Se determina por lo

menos un cero del polinomio De acuerdo con el

cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o factor.

El otro factor se de-termina dividiendo el polinomio entre el di-visor obtenido mediante la regla de RU-FFINI.

Ejm:

Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

Sol: Se determina los posibles ceros del

Polinomio para valores de: x = 1, 2, 3, 6

Para x = – 1 P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡

Luego (x + 1) es el factor del polino-mio

Dividiendo P(x) entre el factor obteni-do por regla de RUFFINI:

Luego el polinomio factorizado es:

( x – 1)(x2 +5x + 6)

Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)

5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULO

a) Reducción a diferencia de cuadrados

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una diferencia de cuadrados sumando y restando una mis-ma expresión de tal manera que se com-plete el trinomio cuadrado perfecto.

Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8

Solución:

Se observa que los extremos son cuadra-dos perfectos Entonces:

E = 49x4 + 5x2y4 + y8

E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2

E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )

b) Método de Sumas y Restas

Consiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:

x2 + x + 1 ó x2 – x + 1

algunas veces también se completa el Po-linomio

Ejm: Factorizar : E = x5 + x – 1

Solución:Sumando y restando x2

~ 76 ~


c) Cambio de Variable:

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obtenga una forma de factorización mas simple.Ejm: Factorizar:

Haciendo: x2 – 2x = a

PROBLEMAS:

1. Factorizar:

a) b) c) d)

e)

Solución

(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)(x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1](x+1)[x2+5x+6+x+3](x+1)[x2+6x+9](x+1)(x+3)2 Rpta. A

2. Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1a) (x+y+1)(x+y)2 b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1) d) (x+y+1)(x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)

Solución

Rpta. C

3. Uno de los términos independientes de los factores simples de:

es:a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3

Solución

Por método de RUFFINI tenemos:1 4 0 -10 -1

61 1 5 5 -5 -6

1 5 5 -5 -6/

1 1 6 11 6

1 6 11 6 /-1 -1 -5 -6

1 5 6 /-2 -2 -6

1 3 /

Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3)El término independiente buscado es 3.

Rpta. C

4. Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xy

a) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d) (2x+y)(x+y) e) N.A.

Solución

~ 77 ~


Rpta. B

5. Calcular el término independiente de uno de los factores de:

A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12

Solución

=Multiplicando lo indicado tenemos:

Hacemos que = y

Reemplazando el valor de y

Rpta. D.

6. Un factor de:

A) B) C) D) E)

Solución

= =

Rpta. A

7. El factor de grado uno respecto a “x” en

es:A) x-y B) x+y-z C) y+zD) x-y+z E) x+z

Solución

Rpta. D

8. Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es:A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2

Solución

2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 22a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2

Comprobando:

Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2)

Rpta. E

9. Al factorizar el polinomio , y evaluar uno de

sus factores para x = y = , se tiene:A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34Solución

~ 78 ~


Evaluando los factores para x = y =

=

= Rpta. E

10. Hallar la suma de los términos inde-pendientes de los factores de:

A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13Solución

=

= Haciendo a+2b=x= = Reemplazando el valor de x=

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la suma es 7.

Rpta. B


1. Factorizar: A) B) C) D) E)

2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es:A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.

3. Si: . Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

4. Al factorizar la expresión ; uno de

los factores es:A) B) C)

D) E) xyz - q5. Factorizar

, e indique el número de factores lineales primos.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

6. Factorizar , e indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores.A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9

7. Si , entonces la suma de los factores es:A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5

E) N.A.

8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es:A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1

D) x3-x2-1 E) x3+x2+1

9. En el polinomio

, señale uno de los factores primos.A) x+4y B)x+3y C) x+2y

D) x-y E) N.A.

10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes de uno de los factores es:A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.

11. Factorizar:P(x, y) = 5x2 + 16xy + 3y2 + 11x + 5y

+ 2;Señalar un factor primo.

a) x + 3y + 1 d) x – y + 1b) x + 3y + 2 e) 5x + y + 6c) 2x + y + 5

12. Factorizar:F(x, y) = 6x2 – 7xy + 2y2 – 13x + 7y + 5;

Indicar un factor primo:

~ 79 ~


a) 3x – 2y – 5 b) 3x – y c) 2x + yd) 3x + 5y e) 4x – 5y - 1

13. Factorizar:M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x – 6y – 6;

dar el factor primo de menor suma de coeficientes.

a) 2x + 3y – 3 b) 2x – 3y – 3 c) 3x - 2d) 3x + 2 e) 2x + 4y – 3

14. Factorizar:N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24;y señalar el factor primo trinomio:

a) 2x + 3y + 3 d) 4x + y + 8b) 2x + 3y + 1 e) 2x – 3y + 2c) 4x + y + 4

15. Factorizar:F(x, y) = 6x2 – xy2 – 2y2 + 17x – 2y +

12;indique un factor primo:

a) 2x + y – 2 d) 2x + y - 4b) 3x – 2y – 3 e) 3x + 2y - 4c) 3x – 2y + 4

16. Factorizar:G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy + 6y –

2;señale el factor primo de mayor suma de coeficientes:

a) 3x + 4y + 2 d) 3x – 4y + 2b) 2x + 5y + 1 e) 3x – 2y + 4c) 2x – 5y - 2

17. Factorize:H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y – 9y2;

señalar un factor primo:

a) x + 3y – 2 d) x + 3y - 1

b) x – 11y + 3 e) x – 3y + 4c) x + 3y - 4

18. Factorize:Q(x) = x8 + 15x4 + 18x2 + 6x6 + 9;

Indique un factor primo:

a) x4 + 3x2 + 3 d) x4 – 2x2 - 3b) x4 + x2 + 3 e) x4 + 2x2 + 3c) x4 – x2 + 3

19. Factorize:P(x) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + 5x – 3;

indique un factor primo:

a) x2 + x + 1 d) 2x2 + x + 3b) x2 + x – 1 e) x2 + x + 3c) 2x2 – x - 2

20. Factorize:P(x, y) = x4 + x3y – 7x2y2 – xy3 + 6y4;

indique la menor suma de coeficientes de un factor primo:

a) 5 b) 2 c) 0d) 4 e) -1

21. Factorizar:P(x) = x4 + x2 + 1;

señalar el número de factores primos:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

22. Factorizar:P(x) = x4 + 2x2 + 9;indique un término de un factor primo.

a) x b) 8x c) 7xd) x2 e) 9

23. Factorizar:P(x) = x4 + x2 + 25;

señalar el número de factores primos:

~ 80 ~


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

24. Factorizar:M(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24;

indicar un factor primo.a) x + 5 b) x + 10 c) x + 9d) x + 4 e) x + 7

25. Factorizar:P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6;

señalar la suma de coeficientes de un factor primo:

a) 0 b) 1 c) 2d) -4 e) -3

26. Factorizar:P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 2;

dar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + 2 b) x2 + 1c) x2 + 4

d) x – 1 e) x2 - 3

27. Factorizar:P(x) = 3x4 – x3 – 23x2 + 9x – 36;

dar el factor primo de mayor grado.

a) 3x2 – x + 9 d) x + 3b) 3x2 – x – 3 e) x - 3c) 3x2 – x + 4

28. Factorizar:P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1;

indique un factor primo.

a) x2 + 3x – 3 d) x2 + 3x - 1b) x2 + 2x – 1 e) x2 -2x + 1c) x2 + x + 2

29. Factorize y señale un factor primo de:

F(x) = x4 + 6x2 + 25

a) x2 + 2x + 5 b) x2 + x + 1 c) x2 – x + 3d) x2 + 4x + 1 e) x2 – x + 7

30. Factorizar:P(x) = x4 + 4x2 + 16;

dar la suma de factores primos.

a) 2(x2 + 2) b) 2(x2 + 3) c) 2(x2 + 4)d) x2 + 5 e) x2 - 5

31. Factorize:P(x) = x4 + 4;

dar la suma de factores primos.

a) x2 + 2x b) x(x + 3) c) 2(x2 + 2)d) 2(x2 + 4) e) x(x - 3)

32. Factorizar:P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6;

indique un factor primo.

a) x + 1 b) x – 1c) x + 2

d) x + 6 e) x - 3

33. Factorizar:P(x) = x3 – 13x + 12;

y reconoce un factor.

a) x + 1 b) x – 2c) x + 4

d) x + 3 e) x - 4

~ 81 ~


MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRAC-CIONES, SIMPLIFICACIÓN

I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS

Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes con su ME-NOR EXPONENTE.

Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes y no comu-nes con su MAYOR EXPONENTE.

Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B

Sol :

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios lla-mados numerador y denominador donde este último es a lo menos de primer grado.Por ejemplo

III. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción se factoriza el nu-merador y el denominador y se elimina los fac-tores comunes que aceptan.

Ejm : Simplificar :

Operaciones con Fracciones algebraicas:

Suma y Resta:

Tener presente lo siguiente: Simplificar las fracciones si es necesa-

rio. Se halla el MCM determinando el mí-

nimo común denominador de los denomi-nadores.

Se divide el mínimo común denomina-dor entre cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo.

Finalmente simplificar la fracción obte-nida.

Multiplicación y División :

Para multiplicar fracciones se reco-mienda factorizar numeradores y denomi-nadores y luego multiplicar estos entre si.

Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa como divisor y se procede como en el caso de la multi-plicación.

Ejemplo 1. : Efectuar

Solución:

Ejemplo 2.Efectuar:

Solución:

~ 82 ~


PROBLEMAS:

1. Hallar el Máximo Común Divisor de: y

a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2

Solución

MCD(A,B) = x(x+2) Rpta.B

2. Calcular , siendo

; . Además el MCM de A y B es y el MCD de A y B es

a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15

Solución

MCD(A,B) = por dato del problema MCD(A,B) =

Entonces : =

k = 4 n – 1 = 5 ==> n = 6 m – 1 = b

MCM(A,B) = por

dato del problema MCM(A,B) = Entonces: = c = 48

n + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7m + 1 = 4 ==> m = 3Reemplazando en la Ec. : m – 1 = b 3 – 1 = b ==> b = 2

Por tanto:

Rpta. E

3. Simplificar:

a) b) c) d) e)

Solución

4. Simplificar a su mínima expresión:

a) x2 b) x – 2y c) x d) e)

Solución

Rpta. E

5. Si la expresión , es igual a

~ 83 ~


1; hallar el valor de , sabiendo que

“x” toma un solo valor.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

Solución

Por dato del problema:

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y también por dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, en-tonces:Para que “x” tenga una solución debe cum-plir: Reemplazando tenemos:

Finalmente:

Rpta. E

6. Descomponer en fracciones parciales:

. La

suma “A + B + C” es igual a:a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1

Solución

Dando valores a “z” en la Ec. anterior tene-mos:

Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3)

-12 = -6A A = 2

Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5) 10 = 10B B = 1

Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5)

- 60 = 15C C = -4

Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4 = -1 Rpta. E

7. Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es el MCD de P y Q, ha-llar el cociente B/A.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SoluciónSean:

Entonces P y Q son divisibles por x-1Entonces x – 1 = 0

x = 1* En P(x) A(1)2 + 2(1) – B = 0A – B = -2 ……. (1)

* En Q(x)A(1)2 - 4(1) + B = 0A + B = 4 …….. (2)

Resolviendo Ec. (1) y (2):A – B = -2A + B = 42A = 2 A = 1 B = 3

Por lo tanto

Rpta C

8. Efectuar y simplificar:

. El numerador es:

A) x(y-x) B) x(x+y) C) x-y D) x+yE) xy(x-y)

~ 84 ~


Solución.

=

=

=

=

=

El numerador es: x(y-x)Rpta. A

9. Hallar M + N para que se tenga:

A) 11/8 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8

Solución.

Simplificando denominadores tenemos:

Entonces: M + N = 1-3M +5N = -6

8N = -3

Por lo tanto:

Rpta. D

10. Reducir la expresión:

A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2

Solución

Simplificando la Ec. Anterior tenemos:Rpta. E


1. El MCD de ; ; ;

es:A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.

2. Efectúe y simplifique:

.

~ 85 ~


El denominador es:A) B) C) D)a+b E)a(a-b)

3. Simplifique

A) B) C) D)

E) 2

4. Reducir la expresión:

A) B) C)

D) E)

5. Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su mínima

expresión:

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

6. Calcular: TW Si:

y

A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b7. Calcular el MCD de y

A) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1 E) a2+1

8. Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x) = 6x4 A) B) C)

D) E) N.A.

9.

. Uno de

los factores del MCD(A,B) es:

A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1

10. Simplificar la expresión:

.

A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3

11. Hallar el MCD de los polinomios:P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1)Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)

a) (x + 2) d) (x + 1)(x - 3)b) (x + 2)(x - 3) e) N.A.c) (x + 2)2(x - 3)4

12. Hallar el MCM de los polinomios:P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1)Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6)b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2)c) (x + 1)6(x - 1)6

d) (x + 2)2(x - 3)4

e) (x + 1)(x - 2)

13. Hallar el MCD de los polinomios:P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6

Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6

R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3

a) (x2 + 1)(x - 2) d) (x2 + 1)4(x - 2)3

b) (x2 + 1)2(x - 2)2 e) N.A.c) (x + 1)(x + 3)

14. Hallar el MCM de los polinomios:P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6

Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6

R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3

a) (x2 + 1)6(x - 2)4(x + 3)4(x + 7)6(x + 5)6

b) (x2 + 1)3(x - 2)2(x + 3)8(x + 7)5

c) (x + 1)(x - 2)(x + 5)d) (x2 + 1)(x - 2)(x + 3)e) N.A.

15. Hallar el MCD de los polinomios:

~ 86 ~


P(x, y) = x3 – xy2 + x2y – y3

F(x, y) = x3 – xy2 – x2y + y3

C(x, y) = x4 – 2x2y2 + y4

a) x + y b) x – yc) x2 – y2

d) (x + y)(x – 3y) e) N.A.

16. Calcular el MCM de:A(a, b) = a2 – b2

B(a, b) = a2 – 2ab + b2

C(a, b) = a2 + 2ab + b2

a) a – b b) (a + b)3 c) (a2 – b2)2

d) (a2 – b2)3 e) (a - b)3

17. Hallar el MCD de los polinomios:A(x) = 5x3 – 5x2 + 2x – 2B(x) = 2x3 + 2x2 – 2x – 2C(x) = x4 + x3 – x2 – x

a) x2 – 1 b) x – 2c) x - 3

d) x – 1 e) x2 + 1

18. Determinar el grado del MCM de los po-linomios:

A(x) = x2 – 15x + 36B(x) = x2 – 9C(x) = x3 + 6x2 – 63x + 108

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

19. Si el MCD de los polinomios:M(x; y) = 48xn-2ym+1zn

N(x; y) = 36xnym

P(x; y) = 72xn-1ym-1

es x2y3; entonces “m2 – n2” es:

a) 0 b) 2 c) 3d) -4 e) 5

20. Sean:M(x) = Ax2 + 2x – BT(x) = Ax2 – 4x + B

Si (x - 1) es el MCD de M(x) y T(x),

hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

21. Si los polinomios:A(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + nB(x) = 2mx3 + 2nx2 + px - q

admite como MCD a:2x2 + 2x + 1

Hallar un divisor de B(x).

a) x2 + 2x – 1 b) x – 3 c) 2x2 + x + 1d) 3x – 1 e) 2x + 1

22. Si el MCD de:P(x) = x3 – 7x2 + 16x – mF(x) = x3 – 8x2 + 21x - nes (x2 – 5x + 6). Hallar: “m + n”

a) 30 b) 20 c) -30d) 40 e) -40

23. Indicar el MCD de los polinomios:A(a, b) = a2 + ab – 6b2

B(a, b) = a2 – ab – 2b2

C(a, b) = a2 – 4ab + 4b2

a) a + b b) a – bc) a – 2b

d) a + 2b e) ab

24. Si: A(x, y) = 12xn-1ym+1

B(x, y) = 16xn+1ym-1

cumple:MCM = xay4; MCD = x5yb

Calcular:

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) 4

~ 87 ~


25. Hallar el MCM de los polinomios:P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1)Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)

a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6)b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2)c) (x + 1)6(x - 1)6

d) (x + 2)2(x - 3)4

e) (x + 1)(x - 2)26. Hallar el MCM de los polinomios:

P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3

F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2

S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2

a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8

b) (x + 7)4(x + 6)8

c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3

d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2

e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3

27. Dados los polinomios:A(x; y; z) = x4y3z6

B(x; y; z) = x5y4z10

C(x; y; z) = x6y2z5

Indicar:

a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5

d) xyz4 e) xyz

28. Señale el MCD de los polinomios:A(x) = x4 – 1B(x) = x2 – 3x + 2

a) x – 2 b) x – 1c) x + 1

d) x2 – 1 e) x2 + 1

29. Hallar el MCD de los polinomios:A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4

B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2

C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2

a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2

b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2

c) (x - 1)2(x + 2)2

~ 88 ~


RADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUA-CIONES

I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGE - BRAICAS

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”, llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad “A”, llamada radicando.

En general :

Leyes de Signos :

Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raíz del signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los expo-nentes de las letras entre el índice de la raíz.

Ejm 1. : Hallar

Ejm 2. : Hallar

Raíz Cuadrada de un polinomio

Procedimiento :

- Se ordena y se completa- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empe-

zando por la derecha.- Se halla la raíz cuadrada del primer grupo

de la izquierda (que puede ser un solo ter-mino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polinomio.

- Se multiplica esta raíz por sí misma cam-biando de signo el resultado y se llama poli-nomio dado, eliminándose la primera colum-na.

- Se bajan dos términos que forman el si-guiente grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del primer termino de la raíz.

- El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de la raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino de la raíz formándose un bi-nomio, este binomio se multiplica por dicho segundo término con signo cambiado su-mándose el producto a los dos términos que se habían bajado.

- Se continúa hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :

Solución:

Radicales Dobles:

Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radi-cales ligados entre si por las operaciones de su-ma o resta. Forma general:

Transformación de radicales dobles en radicales simples:Caso1: Radicales de la forma

Este caso se podrá transformar en radica-les simples solo si :

~ 89 ~

Signo radical

raízradicandoíndice


Entonces:

Ejm : Descomponer en radicales simples :

Solución: A = 2; B = 3

Entonces:

Por tanto :

Caso 2 : Radicales de la forma :

Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples:

Solución: tiene la forma de segundo caso entonces buscamos dos números que su-mados sea 10 y multiplicados 21. Dichos números que cumplen son 7 y 3. Entonces :

Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples :

Solución:

=

=

=

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples:

Solución:

=

=

=

=

=

= 4 +

=4 +

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un deno-minador irracional y otro equivalente que sea ra-cional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes casos

1er Caso.- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

Procedimiento:Multiplicamos el numerador y el denomi-nador de la fracción por una expresión de

la forma: que recibe el nombre de

FACTOR RACIONALIZANTE

Es decir:

=

=

Ejem : Racionalizar

~ 90 ~


2do Caso.- Cuando el denominador presenta ra-dicales de índice dos, se racionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador.

De la forma:

Ejm. : Racionalizar :

3er caso: Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyos radicales son de ter-cer orden.

o

Nota.- Recordemos que

Ejm.:

Racionalizar:

=

=

4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índices iguales pero mayo-

res que 3, de forma:

Ejem. Racionalizar

Simplificando:

II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES AL - GEBRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para esto reem-plazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar operaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indetermina-do.Para evitar esta situación tenemos que elimi-nar al causante de tal indeterminación.

Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

para x = 5

Solución:Sustituyendo x = 5 en la fracción

, es indeterminado

Factorizando el numerador y denominador tenemos

Reemplazando nuevamente tenemos:

~ 91 ~


Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:

, para x = 4

Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción

tenemos

Reemplazando seremos:E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2)E = ( 7 ) ( 4 ) = 28

III. ECUACIONES

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que queda satisfecha solo para algunos valores asignados a sus letras.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES

A. Según que sus incógnitas estén afecta-das o no de radicales las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuaciones Racionales.- cuan-do sus incógnitas no están afectadas de ra-dicales.

2. Ecuaciones Irracionales.- Cuan-do al menos una de sus incógnitas está afectada de radical

B. Según el número de Raíces o soluciones, las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuaciones Compatibles .- Cuando tienen solución. a su vez pue-den ser:

- Compatibles Determi-nadas: Cuando el número de raíces es limitado

Ejm:

- Compatibles Indetermi-nadas: cuando el número de raíces es limitado:

Ejm.:

2. Ecuaciones Incompatibles o absurdas.- cuando no tiene solución

Ejm.:

C. Según el tipo de coeficientes:

1. Ecuaciones numéricas: Cuando los coeficientes son números

Ejm:

2. Ecuaciones Literales.- cuando al menos uno de sus coeficientes es letra

Ejm.: , donde x es la incóg-nita

D. Según el grado:

1. Primer grado

2. Segundo grado

3. Tercer grado:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

~ 92 ~


Formula General

Siendo a y b coeficientes, x es la incógnita. La so-lución es

Ejm: Resolver:

Solución:

Reemplazando x = 3 en la ecuación anterior lle-gamos 2 = 4

La ecuación es incompatible.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas de la forma siguiente:

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita:

Se resuelve mediante dos formas:

a) Resolución por factorizaciónEjm: Resolver

b) Resolución por fórmula General

Sea la ecuación:

Entonces

Formula General

Ejm.: Resolver

Identificando: a=1; b= -5: c=4

Discusión de las raíces de la Ecuación de Se-gundo grado

La naturaleza de las raíces de una ecuación cua-drática, dependen del valor del Discriminante ().

Donde =b2 – 4ac

Analicemos los 3 casos:

a) sí , las dos raíces son reales y desi-guales

b) si las dos raíces son iguales y rea-les

c) si las dos raíces son complejas y conjugadas

Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. sus raíces son:

Entonces:

a)

b)

Formación de Ecuación de segundo grado.-

~ 93 ~


Sea y raíces de ecuaciónEntonces la ecuación se formará así:

IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos números reales y que nos in-dica que tienen diferente valor.

Si: ó

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de Interva-los.

1. Clases de Intervalos :

Intervalo abierto: . ó

ó

Intervalo cerrado:

Intervalos mixtos: ó

ó

ó ó

2. Inecuaciones de 1er grado: Son aque-llas que pueden reducirse a la forma

ó

3. Inecuaciones de 2do grado: Son aque-llas que pueden reducirse a la forma

ó

4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayor o igual que tres.

OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior se recomienda usar el método de puntos críticos.

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES:

Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y que luego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:

* puede ser

donde son diferentes entre si

También

donde y son todos diferentes entre si

Nota: En lugar de puede ser pero

PROCEDIMIENTO:

1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los factores, orde-nando en forma creciente sobre la recta real.

2. Se coloca entre estos VALORES CRITI-COS los signos (+) y (-) en forma alternada de derecha a izquierda.

3. La solución de la inecuación estará dada por: Zonas Positivas: Si el sentido de

la última desigualdad es Zonas Negativas: Si el sentido de

la última desigualdad es ó

4. Los valores críticos será parte de la solu-ción cuando la desigualdad es ó de lo contrario no serán parte de la solución

OBSERVACIÓN:

En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea positivo y la inecua-ción debe estar reducida de modo que el se-gundo miembro figure el cero

Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá como una ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-presentan “Puntos Críticos”

Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por la unidad

En el cociente los valores críticos prove-

nientes del denominador no forman parte de la solución (son abiertos)

Sea

~ 94 ~


Ejemplo 1:

Resolver:

Solución:

Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7

Como la inecuación es “ ” se toma los “negati-vos”

Ejemplo 2:

Resolver:

Solución:

Valores críticos: 6 y 5

Tomamos los negativos:

PROBLEMAS:

1. Transformar a radicales simples:

a) b) c) d) e)

Solución

A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C

C = -2

10 = 4x3 - 3x(-2) 4x3 + 6x –10 = 02x3 + 3x –5 = 0por tanteo x = 1

y = x2 - Cy = 12 – (-2)y = 3

Por lo tanto:

= 1 + Rpta. D

2. Racionalizar:

a) b) c)

d) e)

Solución

Hacemos ==>

2 = x3

Reemplazando tenemos:

~ 95 ~


Rpta. D

3. La solución de la Inecuación: es:

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)

Solución

(x-6)(x-3)<0

puntos críticos: 3 y 6

+ - +

3 6

Como la inecuación es < se toma los ne-gativos.

C.S. = (3,6) Rpta. B

4. En ; el valor de x correcto es:

a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2

Solución

Rpta. B

5. Obtenga el conjunto solución de la si-guiente inecuación:

para

a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

Solución

Multiplicando por 3:

2x – 5 < 1 – x + 15 3x < 21 x < 7

Entonces: Rpta B.

6. Determinar el valor de “m” para que la ecuación tenga raíces iguales.

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la forma: ax2+bx+c=0.Se cumple: b2 – 4ac = 0

b2 = 4ac(2m)2 = 4.1.m2

4m2 = 4m2

m puede tomar cualquier número real.Rpta. A

7. Efectuar:

~ 96 ~


A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) N.A.

Solución

Rpta. D

8. Calcular el verdadero valor de

, cuando x = 0.

A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6

Solución

Reemplazando el valor de x

Rpta. B

9. La diferencia de las raíces de la Ecua-ción , es:A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16

Solución.

Multiplicando la Ec. Anterior por 25.

Por tanto:

Rpta. 0,6

10. Hallar en

A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125

Solución

......... (1)

Tenemos:

~ 97 ~


Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:

.......... (2)

De la Ec. (1) y (2):

Por lo tanto:

Rpta. B


1. Determinar el valor de “x” en:

A) x<3 B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4 E) x>3

2. Al Reducir:

; se obtiene

; a>b. Hallar a+b.A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

; Hallar el valor de

2a+3b.A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3

4. Al racionalizar , se obtiene:

A) B) C) D) D)

5. El conjunto de solución de:

, es:

A) B) C) D) E)

6. Resolver: . El intervalo solución es:A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5>

D)[-7;-5] E)N.A.

7. Resolver: . El intervalo de

solución es:A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1]

D) [-2;-1] E)N.A.

8. Hallar el verdadero valor de

, cuando x=0.

A) 0 B) C) D) 2/3E) 3/2

9. Hallar el verdadero valor de para

x = 64, es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Resolver:

A) B) C) D)

E) 11. Racionalizar:

;

e indicar el denominador:

a) xyz b) xy2z3

c) x2y2zd) x2yz e) N.A.

12. Racionalizar:

;

e indicar su denominador:

a) ab2c3 b) abc c) abc2

d) ab2c e) N.A.

~ 98 ~


13. Racionalizar:

;

e indicar su numerador:

a) b)

c) mnp

d) e) N.A.

14. Racionalizar:

;

indicar el denominador:

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) N.A.

15. Racionalizar:

;


a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

16. Racionalizar:

;


a) 1 b) 2 c) 3

d) 9 e) N.A.

17. Racionalizar:

;


a) -1 b) 1 c) 2

d) -2 e) N.A.

18. Racionalizar:

;


a) xyz + abc b) xyz – abc c) 2

d) -1 e) 1

19. Racionalizar:

;

indicar el numerador:

a) b)

c)

d) e) N.A.

20. Racionalizar:

;


a) 1 b) 2 c) x

d) 0 e) N.A.

21. Racionalizar:

;


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

22. Racionalizar:

;


a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) N.A.

~ 99 ~


23. Racionalizar:

;


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) N.A.

24. Racionalizar:

;


a) -1 b) 2 c) 1

d) 5 e) x + y

25. Racionalizar:

a) 1 b) -2 c) 3

d) x + y e) x - y

26. :

;


a) xyz b) x2yz c) xy2zd) xyz2 e) x3y2z

27. Racionalizar:

;


a) mn2c4 b) mnc c) mn2cd) m3n2c e) N.A.

28. Racionalizar:

;


a) xyz b) x2yz c) xy2zd) x3yz e) N.A.

29. Racionalizar:

a) 8 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.

30. Racionalizar:

a) d)

b) e) N.A.

c)

31. Racionalizar:

;


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

32. Racionalizar:

;


a) 0 b) -1 c) 1

d) 2 e) N.A.

33. Racionalizar:

~ 100 ~


a) xy + ab b) xy – ab

c) xa - yb

d) ab – xy e) N.A.

34. Racionalizar:

a) b) c) 1

d) mn + 1 e) mn - 1

35. Racionalizar:

;


a) y b) –y c) 2y

d) -1 e) N.A.

36. Racionalizar:

;


a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.

37. Racionalizar:

;


a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) N.A.

38. Racionalizar:

;

indicar su denominador:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0b) x2 + x + 1 = 0c) 5x2 + 2x + 3 = 0d) 7x2 + 2x – 1 = 0e) 3x2 – 2x + 5 = 0f) x2 + 8x + 9 = 0

2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 2x + 1 = 0

Rpta.: _______________

b) x2 + 1 = 0

Rpta.: _______________

c) x2 + 5x + 2 = 0

Rpta.: _______________

d) x2 – 1 = 0

Rpta.: _______________

e) x2 – x + 1 = 0

Rpta.: _______________

f) 5x2 + 3x + 1 = 0

Rpta.: _______________

g) 7x2 + 4x – 2 = 0

Rpta.: _______________

h) 2x2 + 3x – 3 = 0

Rpta.: _______________

3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecua-ción:

~ 101 ~


x2 + 5x + 1 = 0Indicar el valor de:

E = (x1 + x2)2 – 2x1x2

a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 25

4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.

(m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0

a) 25 b) 25/9 c) 9/25d) 1/4 e) N.A.

5. Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”. Si: 3(x1x2)k-4 = 1

a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2d) 4 e) 9

6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble)

a) ±1 b) ±2 c) ±3d) ±4 e) N.A.

7. Si una de las raíces de la ecuación:x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), enton-ces la otra raíz es:

a) -2 b) -1 c) -3d) -4 e) N.A.

8. Si la ecuación:(b + 5)x2 + 3bx + b = 0

presenta raíces iguales. Hallar: “b”

a) 0 b) -2 c) 4d) 8 e) 6

9. Si la ecuación:x2 + 3x + 6k – 1 = 0

no tiene solución real, entonces se cumple:

a) b)

c)

d) e) N.A.

10. Indique los valores de k si en la ecua-ción:x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discrimi-nante es igual a la suma de sus raíces.

a) 1 ; 2 b) -2 ; 1/2 c) 2 ; -1d) -1/2 ; 1 e) -2 ; -1

11. Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2.

a) x1 = 3 ; x2 = 1

Rpta.: _______________

b) x1 = 5 ; x2 = -2

Rpta.: _______________

c) x1 = -3 ; x2 = -4

Rpta.: _______________

d) x1 = -2 ; x2 = 2

Rpta.: _______________

e) ;

Rpta.: _______________

f) ;

Rpta.: _______________

12. Sean las ecuaciones equivalentes:

~ 102 ~


x2 + ax + 15 = 0 ……….. (I)3x2 + 2x + b = 0 ……….. (II)Indicar: “a . b”

a) 45/3 b) 30 c) 35d) 2/3 e) 25/3

13. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:2ax2 – (8b - 3)x + 18 = 0x2 + (b + 5)x + 6 = 0son equivalentes (tienen las mismas raíces).

a) b) c)

d) e)

14. Hallar el valor de “k” que hace la su-ma de las raíces de la ecuación:x2 + kx + 2x – k2 + 4 = 0

sea igual al producto de las mismas. (k < 0)

a) -3 b) -2 c) 0d) -1 e) N.A.

15. Hallar el valor de “k” en la ecuación:(k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0para que una de las raíces de la ecua-ción sea la inversa multiplicativa de la otra.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

16. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 + 3x + 1 = 0 d) 2x2

+ 5x + 1 = 0b) x2 + 5x + 2 = 0 e) x2 + 7x + 6 = 0c) 3x2 + 4x + 1 = 0

17. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) x2 – ax + 1 = 0 e) 5x2 + 2x + 1 = 0b) x2 + x + 2 = 0 f) x2 – 25 = 0

c) x2 + 5x + 1 = 0 g) x2 + 3x = 0d) x2 – 7x + 2 = 0 h) 3x2 – 7x + 1 = 0

18. Siendo x1 y x2 son las raíces de la ecuación:

x2 + 4x + 1 = 0

Indicar el valor de:

a) 4/3 b) -4/3 c) 1/3d) -1/3 e) -3/4

19. Sea x1 y x2 raíces de la ecuación: x2 + 2ax + a2 = 0

Indicar:

a) 4 b) -2 c) 3d) 2 e) 1

20. Hallar “k”, si la suma de raíces de la ecuación es 20.

(k - 3)x2 – (k + 4)x + 30 = 0

a) b) c)

d) e)

21. Indicar el valor de “m” si el producto de raíces es igual a la suma de las mis-mas en la ecuación: (m + 4)x2 – 2mx + 3m + 1 = 0

a) 1/2 b) -2/3 c) 2/3d) 1/3 e) -1/2

22. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble.

x2 – (m + 1)x + 25 = 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 10

23. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 8.

(m + 2)x2 – (7m + 6)x + 4m + 5 = 0

a) -1 b) -2 c) -6d) -10 e) -12

24. Hallar “m”, si el producto de raíces es 16.

~ 103 ~


(m + 1)x2 – (m + 5)x + 10m + 4 = 0

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -10

25. Hallar “m”, si la ecuación tiene por raíz a la unidad, m > 0.

4x2 – 4x + m2 – m – 2 = 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

26. Dadas las ecuaciones:mx2 + 5x + 10 = 0 ………..(I)2x2 + nx + 2 = 0 ………..(II)Equivalentes (tienen las mismas raíces)Indicar el valor de: E = m + n

a) 10 b) -10 c) -11d) 11 e) 3

27. Indicar el valor de “p” si una de las raíces es la inversa multiplicativa de la otra.

(p + 2)x2 – 3x + 2p + 1 = 0

a) -1 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

28. Hallar “a” si la ecuación presenta raíces simétricas: x2 + (a – 2)x + a2 + b = 0Siendo: b > 5

a) 1 b) 3 c) 4d) -1 e) 2

29. Sea la ecuación: 5x2 – 2x + 3 = 0Donde: “x1” y “x2” son sus raícesCalcular: M = (1 + x1) (1 + x2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30. Formar las ecuaciones de 2º Grado a partir de las raíces dadas x1 y x2.

a) x1 = -2 x2 = -1b) x1 = 3 x2 = 4c) x1 = 5 x2 = 3d) x1 = x2 = e) x1 = x2 = f) x1 = 6 x2 = -1

31. Resolver:

a) b) c)

d) e)

32. Dada la ecuación absurda:

Indique los posibles valores de “n”

Rpta.: _____________

33. Resolver, si:

es igual a: a2 + b2 – a – b + 1 + 2ab

a) a – b b) a + bc) a2 – b2

d) a + ab + 1 e) a + 1

34. Resolver:

a) b) c)

d) e) a + b + c

35. Resolver:

Rpta.: _____________

36. Si: x 0.

Resolver:

Rpta.: ____________

37. Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra su-men 10. Hallar o indicar la mayor de las partes.

a) 12 b) 18 c) 22

~ 104 ~


d) 24 e) 28

38. ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 8, y la mitad más 5, dan 122?

a) 60 b) 80 c) 100d) 140 e) 200

39. Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dóla-res menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

a) $35 b) 30 c) 20d) 10 e) 60

40. Resolver:

a) 4 b) 5 c) 6d) 10 e) 12

41. Resolver:

a) 90 000 b) 80 000c) 950 000

d) 9 500 e) 45 000

42. Resolver:(x - 1)(x - 2) + (x - 1)(x - 3) = 2(x - 2)

(x – 3) a) 1 b) 6/7 c) 7/3d) 3/7 e) 11/3

43. Resolver:

a) 1 b) 12 c) 18d) 36 e) 40

44. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

45. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

46. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 7

47. Para los pares de intervalos mostrados, graficar y dar el intervalo solución de:

A B; A B; A – B; B - A

A = <3; 6>B = <5; 12]

A = [1; 9]B = [6; 12]

A = <-3; 20>B = <-1; 0>

48. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1)Indicando el menor valor entero que adopta “x”.

a) 1 b) 8 c) 7d) 10 e) 9

49. Resolver:

indicando el intervalo solución.

a) x [7; +> b) x [1; +> c) x [-1; 1]d) x R e) x

50. Resolver:

indicando el intervalo no solución.

a) <4; +> b) <1; 4>c) <-1; 1>

d) <-; 4> e) N.A.

~ 105 ~


51. Resolver e indicar el intervalo solu-ción de:

(x + 2)2 – (x - 2)2 16

10(x + 5) > 9(x + 6) -x 7

-4x 24

5(x + 1) > 7(x - 1)

-2x + 3 x – 12

52. Si: a < b; a, b R+

Resolver:

a) x 1 b) x > 1c) x 1

d) x 2 e) x 2

53. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecua-ciones.

(x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10

(x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13

2(x - 2) < 4(x - 3)

-3x + 5 < 2x – 15

54. Resolver: (x + 1)(x + b) > x2 + 2abSi: a + b < 0

a) x > 1 b) x > c) x <

d) x e) N.A.

55. Resolver:(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x2 + 10x

+ 12

a) x 10 b) x 4c) x 6

d) x 6 e) x

56. Resolver:

Hallar el mayor valor que satisface la desigualdad.

a) 2 b) 1 c) 0d) -1 e) -2

~ 106 ~


57. En una tienda, 4 panetones cuestan la quinta parte del triple de 40 soles; mientras que en otra tienda 9 paneto-nes tienen un costo de los dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué tienda cuesta más un panetón?

58. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120 caramelos; en la mañana vende los 5/6 de chocolates y 3/4 de carame-los, de lo que queda, por la tarde ven-de la quinta parte de chocolates y la sexta parte de caramelos. ¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?

59. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500 de mensualidad para gastos. La primera debe gastar los 3/10 en alqui-ler de casa y los 3/5 del saldo en comi-da, mientras que la segunda debe gas-tar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en comida?

60. La cantidad de alumnos en un aula es tal que dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego por 4, es mayor que 6, ¿cuál es la menor cantidad de alum-nos que puede tener dicho salón?

61. El número de bolas de un arbolito de navidad, disminuido en 12, y luego es-ta diferencia dividida por 7 resulta ma-yor que 3. ¿Cuál es el menor número de bolas que puede haber en dicho ar-bolito?

62. La doceava parte del número de libros que hay en un estante más 7, es más que 13. ¿Puede haber 150 libros por lo menos en dicho estante?

63. La edad de mi abuelo es tal que suma-da con 23, y dividida por 13, excede a 8. ¿Cuál es la menor edad que puede tener mi abuelo?

64. La quinta parte de diez, más el triple de la edad actual de mi profesor de matemática, excede a 29. Indicar la menor edad que puede tener mi profe-sor.

65. La edad de uno de mis hermanos es tal que su doble aumentado en 5 es menor que 19, y su triple aumentado en 7 es mayor que 25. Calcular la edad de mi hermano.

66. Resolver:

a) <-; 7> b) <7; +>c) <-; -7>

d) <-7; +> e) <1; +>

67. Resolver:

a) <-; 10> b) <-; -10> c) <-10; +>d) <10; +> e) <-; 13>

68. Resolver:

(a < b)

a) <-; 7] b) <-; 5]c) [5; +>

d) [7; +> e) [5; 7]

69. Resolver: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)

a) <-; -1> b) <-; 1>c) <-1; +>

d) <1; +> e) <-1; 1>

70. Resolver: (x2 - 1)(x + 2) x(x + 1)2

a) <-; -1] b) <-; 1]c) [-1; 1]

d) <-1; +] e) [1; +]

71. Resolver, si “n” N y dar el mínimo valor de “x”.

~ 107 ~


a) b) (n + 1)2 c)

d) e)

72. Sean “m”, “n”, “p” R+ que verifi-can: (m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1) aHallar el mayor valor de “a” e indique como respuesta:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9

73. Indique el máximo valor de “A” que satisface la siguiente desigualdad:

x; y; z;

w R+

a) 6 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

74. Sea:

entonces:

a) T <2 - 2; +>b) T <+; 2 - 2>c) T <-; +>d) T <- ; >e) T <-2; 2>

75. ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones?

11 – 6x 1 – x < 7 – 2x

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

76. Uno de los números pares que satisfa-cen el siguiente sistema de inecuacio-nes:

a) -2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

77. Hallar el conjunto solución correspon-diente al siguiente sistema de inecua-ciones:

a) ]-3; -2[ b)

c) d)

e)

78. Resolver:

a) <-; -3] b) [-3; +>

c) <-; 3]

d) [3; +> e) [37; +>

79. Resolver:

a) <-; 10] b) [10; +>

c) <-; -10]

d) [-10; +> e) [-10; 10]

80. Si el intervalo solución de:5(x + 1)2 – 3(x - 1)2 > 12x + 8

es: <-; a> <b; +>. Hallar: “a - b”

a) -5 b) 12 c) 8d) -2 e) N.A.

~ 108 ~


81. Sea la inecuación cuadrática: x2 – mx + p 0 cuya solución es: x [2; 4], indi-

que:

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

82. Hallar el número “M”, con la propiedad que x R 1 + 6x – x2 M

a) 8 b) 11 c) 9d) 12 e) 10

83. Sea la inecuación cuadrática: ax2 + (a + 3)x + 4 0si su conjunto solución es unitario, in-dique el menor valor de “a”.

a) 9 b) -1 c) 1d) -9 e) 0

84. Resolver: x2 + 10x + 27 0

a) <-; +> d) < ; +>b) <-; > e) c) < ; +>

85. Al resolver el sistema:x2 + x + 1 x + 50 < x2 – 3x + 50

su solución es: [a; b> <c; d]indique: M = ac – b – d

a) -28 b) -35 c) 0d) 19 e) 21

86. La inecuación cuadrática:x2 + ax + b > 0

{a, b} Z, tiene como conjunto solu-ción.

Hallar: a2 – b3

a) 4 b) 64 c) 68d) 60 e) 65

87. Hallar “a”, para que el sistema:2x2 + 3x – 9 < 02x2 – 3x – 5 < 0

x > atenga solución única en Z.

a) -0,3 b) 0,2 c) 1,2d) -1,3 e) 2

88. Resolver: ax + bx2 a + bxb < a < 0

a)

b)

c)

d)

e)

89. Sean los conjuntos:A = {x R / x2 – x – 2 0}B = {x R / x2 – 4x – 5 0}

Hallar: A B

a) [2; 5] {-1} d) [2; 5]b) [-1; 2] [5; +> e) N.A.c) <-; -1] [2; 5]

90. Del problema anterior, hallar: A B

a) <-; +> b) <-; 5] c) <-; -1]d) <-; 2] e) N.A.

91. Del problema 8, hallar: (A’ B’)~ 109 ~


a) {-1} b) <2 ; 5> c) <-1 ; 5> d) e) N.A.

92. Resolver: 3x2 – 11x + 6 < 0; su intervalo solución sera:

a) d)

b) e) <3; +>

c)

93. Resolver: 3x2 – 7x + 4 > 0; indicar un in-tervalo.

a) <-; 1> b)

c) <-3; +>

d) <-4; +> e)

94. Resolver: x2 > 3; dar un intervalo de su solución.

a) <-3; 3> b) <-3; +>c) <3; +>

d) R e)

95. Resolver: x3 + 1 < (x - 1)3

a) x <0; 1> b) x <-; 1]c) x [-1; 0]d) x [-1; +> e) x <-1; 1>

96. Resolver: x2 – 2x – 1 0dar un intervalo de su solución.

a) d) Rb) e) c)

97. Resolver: x2 – 6x + 25 < 11

a) <3; +> b) <-5; +>c)

d) R e) R+

98. Resolver: (x - 3)2 0

a) R b) [3; +> c) <-; 3]d) 3 e)

99. Hallar los valores de “m”, para que la ecuación cuadrática: (m + 3)x2 – 2mx + 4 = 0tenga soluciones reales.

a) <-; -2> <6; +>d) <-; -6> <2; +>b) <-2; 6> e) c) <-6; 2>

100.Resolver el sistema:x2 – 11x + 24 < 0x2 – 9x + 20 > 0

dar como respuesta el número de valo-res enteros que la verifican.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

101.Resolver: x2 + ab (a + b)x; a < b < 0

a) x a b) x bc) b x a

d) a x b e) x a + b

102.Sea el sistema de ecuaciones:x2 – 8x – 9 0

x asi su conjunto solución es unitario, in-dique el valor de “a”.

a) 8 b) 8,5 c) 9d) -1 e) 7

103.Resolver:

a) b) R c) d) e)

104.Resolver: x2 + 10x + 27 0

a) x d)

b) x <-; +> e) <-; -3>c) <-; -2>

~ 110 ~


105.Resolver: (5 + 2x)(3 – 4x) 0

a)

b)

c)

d) e) x R

106.Resolver: -2x2 – x + 10 0

a)

b)

c)

d) e) x R

107.Resolver: x2 – x - 6 0dar el intervalo solución.

a) <-; 2] <3; +> d) <3; +>b) <-; 2] [3; +> e) <-; 2>c) [2; 3]

108.Resolver: 2x2 – 7x + 6 0

a) [2; +> b)

c)

d) <-; 2] e) <4; +>

109.Resolver: x2 9dar su intervalo solución.

a) [-3, 3] d) b) <-; -3] [3; +> e) <-3; 3>c) R

I. De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas?

I. x2 > 0 x RII. (x – 1)2 0 x RIII. (x + 3)2 0 x R

IV. (2x - 3)2 0 x

V. x2 0 x 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

J. Resolver: x2 – 4x + 1 < 0dar un intervalo de su solución.

a) b)

c) Rd) Hay dos respuestas e)

110.Resolver: x2 + 4x < 0

a) <-4, 0> b) <-3, 3> c) R – {-4, 0}d) R - <0, -4> e) R-

111.Resolver: 3x2 – 2x – 5 < 0dar un intervalo de su solución.

a) <-; -1> b)

c)

d) e) R

112.Resolver: x2 – 8x + 8 > 4 – 4x

a) [2; +> b) <-; 2>c) <2; +>

d) R – {2} e)

113.Resolver: x2 + 2x – 1 < 0 a) b) c) d)

~ 111 ~


e)

K. Halle el mayor valor de “k”, si:x2 – 10x + 40 k

Satisface: x R

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES

VALOR ABSOLUTO:

1. VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real x a un número no negativo, definido por:

2. TEOREMAS:

Para todo x, y tenemos:

a)

b)c)

d)

e)

f)

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLU-TO

Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolverá está determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.

Ejemplo:Resolver:

Solución

El universo está determinado:2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2

===>

=>

Observamos que y

Por lo tanto el conjunto de solución es:C.S. = {9}

4. INECUACIONES CON VALOR ABSO-LUTO

Sean : , entonces:

TEOREMAS:

Dados a y b en los reales, se cumple:

Ejemplo:Resolver:

Solución:

Como 5 > 0 entonces:- 5 < x < 5

C.S. =

RELACIONES

1. Pares ordenados, Producto Cartesiano:

Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera componente y se-gunda componente respectivamente. Se de-nota por (a, b).

El producto cartesiano A x B; se define:

A x B = { (a,b) / a A y b A }

~ 112 ~


Donde A y B son dos conjuntosEjm:Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b }Entonces:

A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}

Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tie-nen m y n elementos respectivamente, enton-ces el producto cartesiano tiene m x n ele-mentos.

2. Relación :

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una RELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.

R es una relación de A en B R A x B 2Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.

Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.

R1 = { (5,2)}R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones:

R1 = { (x,y) A x A / x < y }R2 = { (x,y) A x A / x +y = 5 }

Hallar R1 R2

Sol:

A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }

R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) }R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}

Por tanto: Hallar R1 R2 { (1,4)(2,3) }

3. Dominio y rango de Relaciones

Sea R una relación de A en B; es decir R A x B:

Se llama DOMINIO de la relación R al con-junto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R.

Se llama RANGO de la relación R al con-junto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R.

Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

Entonces:Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 }Rang (R) = { 1, 2, 3 }

4. Distancia entre dos puntos en el plano car - tesiano

La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d = d(R,T) es:

FUNCIONES

1. Funciones :Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cual dos pares ordenados dis-tintos no tienen la misma primera componente.Se distingue lo siguiente:- Conjunto de partida- Conjunto de llegada- Regla de correspondencia.

Ejm: Dados : A = { 1, 3, 5 }B = { 3, 7, 1 }

Hallar y graficar la función f = A B definida por y = 2x +1

Solución:

si x = 1 y = 3si x = 3 y = 7si x = 5 y = 11

f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

gráficamente

~ 113 ~


2. Dominio y rango de una función

Dominio Dom(f): Es el conjunto de prime-ros componentes de los pares ordenados de dicha función, Dom(f) = { x A, y B / y = f(x) } A

Rango Rang(f): Es el conjunto de segun-dos componentes de los pares ordenados de dicha función. Rang(f) = { y B / x Dom f A } B

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}

3. Gráfica de funciones Si f es una función (de valor) real de una

variable real se llama la GRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es considerado como un conjunto de pun-tos del plano.

Ejm:

Trazar la gráfica de la siguiente función:

f = { (x, y) x / y = x2 + 1 }

y hallar el Dominio y Rango de f.

Sol:

x .... -2 -1 0 1 2 ....

y .... 5 2 1 2 5 ....

Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función

f = { (x, y) R x R / y = x2 + 1 }

Hallar el dominio y rango de f

Sol:

x -2 -1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

Dom(f) = RRang(f) = [1, + >

La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIO-NES REALES de una variable real; es una fun-ción real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto.Ejm:

~ 114 ~


Nota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más, tal gráfica no es función.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La función compuesta fog es aquella función tal qe:

Dom(fog) = {(xDom g / g(x) Dom f}

(fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia

PROBLEMAS:

1. Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Enton-ces el valor de c es:

a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7

Soluciónf(2) = 22 + 2.2 + c = 0

4 + 4 + c = 0c = -8 Rpta. D

2. Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x).

a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2

Solución

[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17

[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16[g(x) + 1]2 = [x – 4]2

g(x) + 1 = x – 4g(x) = x – 5 Rpta. A

3. Hallar f(0) Si f(2x-1) = x

a) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1

Solución:

f(2x-1) = xTomamos 2x-1 = y

2x = y + 1

Entonces:

Rpta. C

4. Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una función, la suma de los elementos del rango de dicha función es:

a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10Solución

Mediante unicidad(1,2a) = (1,3a-5)

2a = 3a –5 ==> a = 5

Sustituyendo el valor de a.R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}

Rango = {10, 7, 1, 9}

= 27Rpta. C

5. Sea la función Ha-

llar

a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [-2;0>

~ 115 ~


e) [-2;0]

Solución

Observamos que se debe cumplir:

-x2 + x + 6 > 0 x2 - x - 6 < 0(x – 3)(x + 2) < 0

Puntos críticos: 3 y –2

-2 3

Entonces: Dom(f) = [-2;3]

Para hallar el rango:Tabulando y graficando tenemos.

Rang(f) = [0,5/2]

Por tanto:

= [-2;3] [0,5/2]= [0,5/2] Rpta. B


1. Si y . Hallar:

A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3

2. Dado y ,

hallar fog(3).A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Resolver A) B) C) D)

E)

4. Dada la función , hallar .

A) [0,+> B) [-2,+> C) [2,+> D) <0,+> E) N.A.

5. Sabiendo que , calcular G(-7).A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170

6. La gráfica de pasa por los puntos:A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10) D) (-4,2); (0,1) E) N.A.

7. Hallar el dominio y el rango de

A) (2,3) y (-,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (-,) y (-,) D) R y R+ E) N.A.

8. Si y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/ y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos de Rang(R).A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.

9. Resolver A) –3<x<1 B) –3<x<1 C) –4<x<2 D) –3<x<1 E) N.A.

10. Resolver

A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.

11. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordena-dos representa una función.

F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)}

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

12. De la función:F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b),

(4; 4)}

Hallar: “a + b”

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) Hay 2 correctas

13. De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}Calcular:

a) 1 b) 5 c) 6

~ 116 ~


d) 7 e) 8

14. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}Hallar:

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 16

15. De la función:

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16. De la función:

Obtener:

a) b) c)

d) e)

17. Si: f(x) = 5x + 4Hallar: f(3)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 17 e) 19

18. Sea el costo de una tela en función de su medida “x” denotado por:

C(x) = x + 1 (en soles)

para 3 metros de tela cuanto debe in-

vertir. (en soles)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

19. Sea la función: f(x) = 5x + 3

Hallar:

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

20. Sea la función: f(x) = (x + 1)2 – (x - 1)2 – 4x

Hallar:

a) 1 b) 0 c) -1

d) e)

21. La tabla muestra los valores hallados para la función:

F(x) = ax2 + b; .

Luego el producto de “a” y “b” es:

a) 15 b) 12 c) 20d) 9 e) 21

22. Dada la función F: A B. Hallar la suma de elementos de:

a) 7b) 5c) 2d) 1e) -1

23. Dada la función: F: A BHallar:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

24. Hallar: f(3); si: f(x) = 5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

25. Sea:

~ 117 ~

x 1 0

8 5F(x)

3a

a-11

3-2

A BF

A

B

2 3 4 5

1234


Hallar: f(-1) + f(-10) + f(5)

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

26. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a - 1), (4; b + 3), (a; 3b-1)}

es una función, calcular: a - b

a) 4 b) 10 c) 6d) 8 e) 2

27. Si: F = {(0; -4); (-2; 1); (5; 4); (2; 5); (4; 8)}

G = {(2; 4); (5; 3); (1; 2); (3; 3)}Hallar:

a) 8 b) 3 c) 19d) 15 e) 27

28. Dadas las siguientes graficas cuántas son funciones:

29. Sea la función: F = {(3; 2), (5; 4), (6; 3), (7; 8)}

Hallar: E = F(F(6))

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30. Dada la función: F = {(5; 4), (3; 2), (7; 8), (2; 5)}

Indicar: E = F(F(F(3)))

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

114.Sea: E = {(5; 4), (1; 2), (3; 8), (7; b),

(5;b)}

Hallar: “b”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

115.Sea la función F(x) = 3x + 10

Hallar: F(-5)

a) -5 b) -10 c) -20

d) -15 e) -1

116.Sea la función:

Hallar: F(2) . F(3) . F(4)

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 30117.Si el conjunto de pares ordenados re-

presenta una función:

f = {(1; 1+b), (3; ab), (1; 7), (4; 6), (3; 6),

(6; 2)}

Hallar el valor de a + b.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

31. Dadas las funciones:

P = {(4; 3), (3; 6), (2;7)}

M = {(1; 2), (2; 3), (3; -4)}

Calcular: P[M(2)] + M[P(4)]

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6

32. Sea la función definida por:f = {(3; 9), (a-1; b), (3; 2a-1); (b; 2b-3);

(9; b+1)}

Si:

entonces el valor de “b” es:

~ 118 ~

y

x x

y


a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 3

118.Sea: f = {(3; 1), (1; 3), (2; 3), (3; 2)},

una función.

Hallar: f(1) + f(2)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

119.Sea: F = {(3; 2), (5; 8), (3; b), (5; a)},

una función.

Hallar: A = (F(3) + F(5)) + a + b

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50120.Hallar el dominio de la función:

F(x) = x + 9

a) R – {9} b) R – {-9}c) R

d) R – {0} e) R+

121.Hallar el dominio de la función:F(x) = 3x2 + 2x + 1

a) R – {3} b) R – {2}c) R – {1}

d) R e) R-

122.Hallar el dominio de la función “f” de-finida en R por:

a) R+ b) R- c) Rd) R – {2} e) R – {-2}

123.Hallar el dominio de la función “f” defi-nida por:

y = f(x) = x + 5en el conjunto Z.

a) R b) Z c) R – {5}d) Z – {5} e) Z – {-5}

124.¿Cuál es el rango de la función:F = {(1; 3), (2; 5), (1; a - 1), (2; b + 2),

(a; b), (2b; a)}?Señale la suma de sus elementos.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

125.El dominio de la función:

a) [-1; 0] b) [0; 1]c) [0; 2]

d) [-2; 0] e) [-1; 1]

126.Si: f(x) = x2 – 4x + 2 y x <-1; 4>Hallar el dominio.a) R b) R+ c) [-1; 4]d) <-1; +> e) <-1; 4>

127.Hallar el rango en:

a) y R – {4} b) y R – {-4}c) y R

d) y R – {3} e) y R – {-3}

128.Hallar el dominio de la siguiente fun-ción:

a) R+ b) R- c) Rd) R – {1} e) R – {-1}

129.Hallar el dominio, si:

~ 119 ~


a) <-1; 1> b) [-1; 1>c) <-1; 1]

d) [-1; 1] e) R

130.Sea la función, hallar el dominio de la función:

a) <-; 5> d) <-; -1> [0; 5>b) <-; 5> - {1} e) N.A.c) <-; 1> [0; 5> - {1}

131.Hallar el rango de la siguiente función:

a) <-; 3] b) <-; 0>

c) <-; 3]

d) <-; 2] e) N.A.

132.Hallar el dominio de la función: f(x) = |x - 2| + 1

a) R – {1} b) R – {2}c) R – {-1}

d) R – {-2} e) R

133.Hallar el rango de la función:f(x) = -|x + 4|

a) [0; 4] b) <-; 0] c) R+

d) R e) <-; -1]

134.Hallar el rango de la función:

f(x) = 3x2 + 12x + 20

a) [2; +> b) [-4; +>c) [6; +>

d) [8; +> e) [10; +>

135.Hallar el dominio de la función:f(x) = -2x2 – 6x + 11

a) <-; +> b) <-; 0> c) <0; +>d) R – {2} e) R – {-2}

136.Hallar el rango de la función:f(x) = -4x2 – 8x - 9

a) <-; -1] b) <-; -2]c) <-; -3]

d) <-; -4] e) <-; -5]

137.Hallar el dominio de la función:f(x) = -3x2 – 2x + 5; x [-2; 3>

a) [-2; 3> b) [-2; 2> c) <-2; 3]d) [0; 3> e) <-1; 6>

138.Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de correspondencia es:

Indicar como respuesta la cantidad de

valores que toma “x”.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

139.Hallar el rango en:

a) y R - {8} b) y R - {-8}

c) y R+

d) y R- e) y R - {1}

~ 120 ~

x

y

-10 1 5

x

y

1

3


140.Hallar el rango de f(x)

Si: x = 2, 3, 4

, dar el máximo valor de ran-

go.

a) 2 b) 3 c)

d) 5/3 e) 5

141.Hallar el rango de la función:

a) [-3; 3]

b) [-1; 1]

c) <-1; 1>

d) [0; 2>

e) N.A.

142.Hallar el dominio de la siguiente fun-ción:

a) [-5; 3>

b) [-5; 0>

c) <-5; 0>

d) [5; 0>

e) [-5; >143.Reconocer el rango de la función:

f = {(2; a), (2; 3a - 4), (3; a - 1), (4; a2)}

a) {3; 6; 9} b) {1; 2; 4} c) {0; 2;

4}

d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6}

144.Si:

Calcular el dominio de dicha función.

a) <2; +> b) [-2; 2]

c) [-2; +>

d) [2; +> e) <-; 2]145.Sea la función: F(x) = x2 + 5x + 1

Indicar el mínimo valor que toma dicha

función.

a) 1 b) 0 c) -1

d) 10 e) 25

146.Para que valor de “x” la función será

máxima.

f(x) = -x2 - 25

a) 1 b) 25 c) -25

d) 0 e) -1

147.Hallar el valor de “x” de manera que la función “f” sea máxima:

f(x) = x2 – 3x + 1

a) 3/2 b) -2/3 c) 2/3d) -3/2 e) 1/3

148.Hallar el valor mínimo que puede to-mar la función “f” donde:

f(x) = x2 + 5x + 1

a) -21 b) -21/3c) -21/4

d) 21/4 e) 21/3

149.Hallar el extremo de la función “f(x)”Siendo: f(x) = -x2 + 8x + 3

a) 1 b) 15 c) 16d) 17 e) 19

150.Dada la función: f(x) = 5|x| - 3Hallar:

E = f(f(-3))

a) 55 b) 56 c) 57d) 58 e) 59

~ 121 ~

x

y

-3 -1 0 1 3

x

y

-5

-2

03


~ 122 ~


CONCEPTO

Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe ele-var una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto.

Entonces:LogbN = N = b

DEFINICIÓN

= Logaritmo

R

b = base

b > 0 ; b 1

N = número al cual se le toma logaritmo.

N > 0

Ejemplos:

Log525 = 2 ; por que: 25 = 52

Log1/39 = -2 ; por que: 9 = (1/3)-2

Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

De la definición tenemos: = LogbN …………(1)Tenemos que: b = N

………………(2)

Reemplazando: (1) en (2)

Identidad Fundamental

x > 0 a R+ - {1}

Ejemplos:

1.

2.

3.

x R

Ejemplos:

1. Log100 102 = 10x

2. Log1000 103 = 10x

Este sistema

fue implementado por Briggs,

cuya base es 10.

x = 2

x = 3

Este sistema

fue implementado por Neper cuya

base es e 2.718…


Ejemplos:

1. Ln e e1 = ex ,

x = 1

2. Lne5 = 5

3. Lne6 = 6

Debemos saber:

Log2 0.3 Log10 = 1

Log3 0.47 Log5 0.69

PROPIEDADES

a)

Ejemplo

Log31 = 0

b)

Ejemplo

Log33 = 1 ; log55 = 1

c) Logxab = Logxa + Logxb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log106 = Log102 + Log103

= 0,3 + 0,47 = 0,77

d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log10 = Log103 - Log102

= 0,47 - 0,3 = 0,17

e) (n R; m R;

N > 0)

Propiedad del Sombrero

Ejemplo

1)

2)

3)

4)

f)

Propiedad Inversa

Ejemplo

1)

2)


1. Determina los siguientes logaritmos.

a) Log10 =

b) Log30 =

c) Log =

d) Log24 =

e) Log39 =

f) Log36 =

2. Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes ex-presiones:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

g) =

3. Determinar el valor de:E = Log10 + Log1000 + 1

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

4. Determinar el valor de:A = Log104 + Logee5 + Ine

a) 1 b) 2 c) 5

d) 3 e) 10

5. Hallar “x” en cada uno de los siguien-

tes logaritmos:

a) Log39 = x

b) Log5625 = x

c) Log7343 = x

d) Log2x = 3

e) Log5x = 2

f) Logx25 = 2

g) Logx36 = 2

h) Logx25 =

6. Hallar: “E ”

Si:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

7. Indicar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 0

d) -1 e) 4

8. Si: Log2 = 0,3Log3 = 0,4

Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6

a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7d) 4,9 e) 5,3



a) Log327 =

b) =

c) =

d) =

10. Hallar “x” en:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4

12. Si: L = Log2(Log2256)Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Reducir: (Log23 + Log25) . Log152a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Calcular:

17. Calcular:


a) 4/3 b) 5/2 c) 1/2d) 3/2 e) 4/5

19. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20. El valor de “x” en la ecuación:

es:

a) 18 b) 20 c) 10d) 30 e) 25

21. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

a) 0,5 b) 1 c) -5d) 2 e) -1/2

22. Calcular:

a) -1/4 b) 4 c) -4d) 1/2 e) -8

23. Calcular:

a) 4 b) 1 c) 2

d) 5 e) 0

24. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):

I) LogN = (LogN10)-1 ( )


II) Ln10 = 1 ……………………. ( )

III) Logbb2 = 2 ………………. ( )

25. Reducir:

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/2

d) 2 e) 1

26. Luego de reducir:

Se obtiene:

a) bb-1 b) b1-a c) b1-b

d) aab e) aa-1

27. Calcular:

a) 2 b) 1 c) -1

d) 8 e) 0

28. Calcular: E = lne + lne2 + lne3 + …… + lnex+1

a) (x + 1)(x + 2) d) 1

b) e)

c)

29. Calcular:

a) 5/6 b) 1/3 c) 1/2

d) 1/6 e) 5/3

30. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

31. Si: Log35 = a; Log32 = bHallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y

“b”

a) b) 3 + a – b c)

d) 3 – a – b e) a – b - 3

32. Calcular los siguientes logaritmos:

a) Log864 =

b) Log232 =

c) Log927 =

d) Log12525 =

e) =

f) =


a) 5 b) 125 c) 25d) 1/5 e) 1

34. Reducir:

a) 3 b) 9 c) 1d) 32 e) 27

35. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) 3


36. Hallar: “E”

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 18

37. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0

38. Simplificar:

a) 81 b) 243 c) 9d) 1/3 e) 36


a) 1/8 b) 3/8 c) 16/5d) 25/8 e) 8/25


a) 1 b) 3 c) 4d) 7 e) 8

41. Calcular el logaritmo de 243 en base 27.

a) 5 b) 2 c) 3/2d) 5/3 e) 2/5

42. Hallar:

a) 27 b) 45 c) 15d) 25 e) 9

43. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es:a) 0,025 b) 0,25 c) 5d) -4 e) -2

44. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 6 y 5

45. Halle “x” de:

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 4 y 5

46. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2

a) 1 b) 0 c) 3d) -2 e) -3

Teoria de Exponentes Cepu Apumgal

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