Teoría de Errores(Imprimir)

Universidad nacional del altiplano UNA –PUNO ESC.PROF. DE ING. Mecánica eléctrica,30 de septiembre de 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE ING. MECÁNICA ELÉCTRICA,

ELECTRÓNICA Y SISTEMAS

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. MECÁNICA ELÉCTRICA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

LABORATORIO DE MAQUINAS ELÉCTRICAS I

TITULO: METROLOGIA Y TEORIA DE ERRRORES

DOCENTE: ING. JIMMY QUISOCALA

PRESENTADO POR:

APELLIDOS Y NOMBRE: COILA APAZA WILLAMS

CODIGO: 105589

GRUPO : “D”

PUNO, PERÚ

AÑO

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METROLOGÍA Y TEORÍA DE ERRORES

1. Objetivos

El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta (medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).Además es muy importante en esta práctica que el alumno se familiarice y posea un adecuado manejo de los equipos de medición de laboratorio (Rualth Gustavo Bravo Anaya, 2012).

2. IntroducciónUna magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o sustancia,

susceptible de ser medido de forma directa o indirecta. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A una magnitud específica de un objeto que queremos medir la llamamos mesurando. Por ejemplo, si estamos interesados en medir la longitud de una barra, esa longitud específica será el mesurando.

El objetivo de una medición es comparar y determinar el valor del mesurando. Este proceso requiere la elección de instrumentos de medición. Asimismo es necesario especificar las unidades de medición a emplear. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una varilla, el instrumento de medición será una regla. Si hemos elegido el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y la regla a usar deberá estar calibrada en esa unidad o en submúltiplos de ella. El método de medición consistirá en determinar cuántas veces la unidad y fracciones de ella están contenidas en el valor del mesurando.1

En general, el resultado de una medición es sólo una aproximación o estimación del valor del mesurando. Esto es así puesto que el proceso de medición tiene limitaciones provenientes, entre otras posibilidades, de:

la precisión y exactitud de los instrumentos usados, la interacción del método de medición con el mesurando, la definición del objeto a medir, la influencia del observador u observadores que realizan la medición.

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Estas imperfecciones dan lugar a un error o incertidumbre en el resultado de la medición. Coloquialmente es usual el empleo del término error como análogo o equivalente a equivocación, pero en las ciencias e ingeniería el error de una medición está más bien asociado al concepto de incertidumbre en la determinación de un resultado. Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites proba-bilísticos de estas incertidumbres. Buscamos establecer un intervalo

X-∆X ≤ X ≤ X + ∆x (1.1)

Como el de la Fig. 1.1, en el que podamos decir que, con cierta probabilidad, se encuentra el mejor valor de la magnitud x. El mejor valor x es el valor más representativo de nuestra medición y al semiancho ∆x lo denominamos la incertidumbre absoluta (también puede usarse error absoluto) de la medición.

Los instrumentos de medición tienen una precisión finita. La precisión de un ins-trumento está asociada a la variación mínima de la magnitud que el instrumento puede detectar. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros no podemos detectar variaciones menores que una fracción del milímetro. La mínima cantidad que detecta un instrumento se denomina la apreciación nominal del instrumento. Ver Figura 1.2.

La interacción del método de medición con el mesurando también puede contribuir a la incertidumbre del resultado de medición. Tomemos como ejemplo una medición de temperatura. Cuando usamos un termómetro para medir la temperatura, parte del calor del objeto fluye al termómetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medición de la temperatura es un valor modificado del original debido a la inevitable interacción que debimos realizar. Es claro que esta interacción podrá o no ser significativa. Si estamos midiendo la temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida al termómetro puede no ser significativa, pero sí lo será si el volumen en cuestión es de una pequeña fracción del mililitro. En general, siempre que realizamos una medición, interactuamos con el objeto de medición.

A su vez, las magnitudes a medir tampoco están definidas con infinita precisión. Imaginemos que queremos medir el largo de un listón de madera. Es posible que al usar instrumentos cada vez más precisos empecemos a notar las irregularidades típicas del corte de los bordes o, al ir aun más allá, finalmente detectemos la naturaleza atómica o molecular del material que lo constituye. En este punto la longitud dejará de estar bien definida. En la práctica, es posible que mucho antes de estos casos límites, la falta de Paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la "longitud del listón" comience a hacerse cada vez menos definido. Esta limitación intrínseca aporta una incertidumbre intrínseca debido a la falta de definición de la magnitud en cuestión.

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Otro ejemplo es el caso en que se cuenta la cantidad de partículas alfa emitidas por una fuente radioactiva en un intervalo de cinco segundos. Sucesivas mediciones arrojarán diversos resultados (similares, pero en general distintos). En este caso, de nuevo, estamos frente a una manifestación de una incertidumbre intrínseca asociada a la magnitud "número de partículas emitidas en cinco segundos", más que a las incertidumbres que tienen como origen las imperfecciones de los instrumentos o del observador.

Todas estas limitaciones derivan en que no podamos obtener con certeza "el" valor de un mesurando, sino que solo podamos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido, lo que hacemos evaluando e informando la incertidumbre de la medición.

Una forma de expresar el resultado de una medición es con la notación

x ± ∆x (1.2)

E indicando a continuación la unidad de medición. Además de la incertidumbre absoluta ∆x se definen:

la incertidumbre relativa o error relativo: que expresa cuán

significativa es la incertidumbre comparada con el valor medido, la incertidumbre relativa porcentual o error relativo porcentual: £%

=£ x 100%.

Estas dos últimas cantidades son más descriptivas de la calidad de la medición que el error absoluto. El siguiente ejemplo puede hacer más claro este punto; imaginemos que medimos, con una regla graduada en milímetros, la longitud ( l ) y diámetro (d ) de una mina de lápiz. Si suponemos que dicha mina tiene aproximadamente l -20 cm y d -1 mm respectivamente, dado que la apreciación nominal de la regla es de 1 mm, ambas magnitudes tendrán el mismo error absoluto (Ad - Al -1 mm). Sin embargo, es claro que la medición de la longitud de mejor calidad que la del diámetro ya que Ad/d - 100% y Al/l - 5%.

Otra forma usual de expresar un resultado y su incertidumbre es la notación concisa valor medido (incertidumbre), por ejemplo:

L =21.1 (1) cm significa L = 21.1 ± 0.1 cm,

B = 5.076(5) x 10-11 m significa B = (5.076 ± 0.005) x 10-11 m.

En ambos casos, el valor entre paréntesis (incertidumbre) está referido al último dígito del valor informado (valor medido). (Gil, 2000)

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3. Fundamentación teórica 3.1. Introducción

Las magnitudes físicas son determinadas experimentalmente por medidas o combinación de medidas. Estas medidas obtenidas por algún equipo de laboratorio generan una incertidumbre debido a muchos factores. Debido a esta inseguridad es que se desarrolla la Teoría de Errores. (Rualth Gustavo Bravo Anaya, 2012)

3.2. Error de medida

Es la diferencia entre el valor obtenido, al utilizar un equipo, y el valor verdadero de la magnitud medida.

3.3. Valor verdadero

3.4. Valor Medio o Valor promedio

Como su nombre indica es un promedio aritmético, o media aritmética, de un conjunto de medidas realizadas a una determinada magnitud física.

3.5. Desviación estándar o Error cuántico medio

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3.6 Error sistemáticoEs el error que posee todo instrumento, debido a que tiene una lectura mínima.

3.7. Error estadísticoEste error es el que se genera al realizar dos o más mediciones de una magnitud física. El Error estadístico se puede calcular al igual que la desviación estándar.

3.8. Combinación de errores sistemático y estadístico o Error efectivoEste error representa una combinación de los errores principales de medición, el sistemático y estadístico.

3.9. Error relativoEste error resulta del cociente entre el error efectivo y el valor medio.

3.10. Error relativo porcentualEste error es definido para otorgar un mejor significado al error relativo. Por tal motivo es el error relativo expresado en porcentaje.

3.11. Propagación de erroresHay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o

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para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro. Para un caso general, supongamos que V es una función de los parámetros, x, y, z, etc.

Y así sale el resultado con la anterior formula (Rualth Gustavo Bravo Anaya, 2012)

4. Precisión y exactitud

Como vimos, la precisión de un instrumento o de un método de medición está aso-ciada a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se pueda detectar con el instrumento o método. Así, decimos que un tornillo micrométrico (con una apreciación nominal de 10 µm) es más preciso que una regla graduada en milímetros; y que un cronómetro con una apreciación de 10 ms es más preciso que un reloj común.

Además de la precisión, otra fuente de error que se origina en los instrumentos es la exactitud de los mismos. La exactitud de un instrumento o método de medición está asociada a la calidad de la calibración se haya hecho de los mismos, respecto de los patrones estándares (kilogramo patrón, metro patrón, etc.).

Imaginemos que el cronómetro que usamos es capaz de determinar la centésima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera común no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es todavía más preciso que el reloj común, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. En general, los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertos límites. Es deseable que la calibración de un instrumento sea tan buena como su apreciación. La precisión de una medición también está asociada a la repetitividad de la misma, es decir al hecho mediciones repetidas del mismo mesurando, arrojen resultados similares. La figura 1.3 ilustra este aspecto del la precisión y su relación con la exactitud. (Gil, 2000)

5. Fuente de erroresLas fuentes de error tienen orígenes diversos y pueden clasificarse del siguiente

modo:

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5.1. Errores introducidos por el instrumento

Error de apreciación σap:si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medición estará asociada a la mínima división de su escala que podemos resolver con algún método de medición. Nótese que el error de apreciación se establece como la mínima división discer-nible y no como la mínima división del instrumento. El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) del observador. Así, es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una regla común fracciones del milímetro mientras que otro observador, con la misma regla pero con dificultades de visión, sólo pueda apreciar 2 mm. La apreciación nominal es una característica del instrumento, pero el error de apreciación depende tanto de instrumento como del observador.

Error de exactitud, σexac: representa el error absoluto con el que el instru-mento ha sido calibrado frente a patrones confiables.

Error de interacción, σint: proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado.

Falta de definición en el objeto sujeto a medición, σdef : se origina en el hecho de que las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Con <Jdef designamos la incertidumbre asociada con la falta de definición del objeto a medir y representa su incertidumbre intrínseca.

6. Clasificación de los errores

Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e ilegítimos o espurios.

a) Errores sistemáticos: Se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o adelanta, en una regla dilatada, en el error de paralaje, etc. Los errores introducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultados siempre enUn mismo sentido.Los errores de exactitud constituyen una fuente de error sistemático, aunque no son los únicos ni lo mismo. Imaginemos el caso de una balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios. Como es usual, en público todas las personas medimos nuestra masa (nos pesamos) vestidos, los valores registrados con estas balanzas tendrán un error sistemático debido la masa de la vestimenta. La única manera de detectar y corregir errores sistemáticos es a través de la comparación de nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizando un análisis crítico de los instrumentos y procedimientos empleados. Por esto esAconsejable intercalar en el proceso de medición patrones confiables que per-mitan calibrar el instrumento durante la medición.

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b) Errores estadísticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos eventualmente en contar el número de divisiones de una regla, o si estamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad tanto por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Es a este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría estadística de errores de medición que formularemos sucintamente. A estos errores los designaremos con σest.

c) Errores ilegítimos o espurios: Son los que cometemos por equivocación o descuido. Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula nos equivocamos en el número introducido o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usando una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido "un error." Esta vez este error es producto de una equivocación. A este tipo de errores los designamos como ilegítimos o espurios. Para este tipo de errores no hay tratamiento teórico posible y el modo de evitarlos consiste en poner mucha atención en la ejecución y análisis de los procedimientos involucrados en las mediciones.

Un error de este tipo puede dar lugar a situaciones incorregibles y hasta dra-máticas. En cuanto a esto, vale la pena comentar que la misión espacial Mars Climate Orbiter de la NASA fracasó en setiembre de 1999 debido a un error cometido en el cambio de unidades inglesas a unidades métricas en las fórmu-las usadas para dirigir su sistema de navegación. (Gil, 2000)

7. Cifras significativas

El resultado de una medición, expresado en la forma x ± ∆x tiene que ser consistente en cuanto al número de cifras que se informen para el mejor valor x y la incertidumbre ∆x. Esto tiene que ver con el número de cifras significativas que incluyamos en cada una de ellas.

Consideremos una medición realizada con una regla graduada en milímetros. Está claro que, si somos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, en el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más. De este modo nuestro resultado podría ser

L = (95.2 ± 0.5) mm, (1.6) o bien L = (95 ± 1) mm. (1.7)

En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el segundo caso sólo dos. El número de cifras significativas es igual al número de dígi-tos contenidos en el resultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo este dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en nuestro caso), y el último, el menos significativo. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L más cifras que aquellas en donde tenemos incertidumbre. De modo que no es correcto expresar el resultado como, por ejemplo,

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L = (95.321 ±1) mm, (1.8)

Ya que si tenemos una incertidumbre del orden de 1 mm, mal podemos asegurar en el resultado valores de centésimas y milésimas del milímetro. Operativamente, lo que hacemos es: una vez que calculamos la incertidumbre de la medición redondeamos el valor del mesurando (que puede provenir de un promedio y tener muchas cifras) y adaptamos su número de cifras significativas para que sea compatible con el valor de la in-certidumbre.

Es usual expresar las incertidumbres o errores con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales y cuando exista fundamento para ello, se pueden usar más. También es usual considerar que la incertidumbre del resultado de una medición es del orden de la cifra menos significativa (la última cifra) si es que no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo disponemos de la información que un cuerpo tiene una masa m = 52.4 g, podemos suponer que la incertidumbre es del orden de las décimas de gramo y podemos inferir que pudo haberse usado una balanza con una apreciación de 0.1 g.

Un posible caso de ambigüedad se presenta con el número de cifras significativas cuando se hace un cambio de unidades. Si, por ejemplo, queremos expresar a la longitud L = (95 ± 1) mm en µm ¿cuántas cifras significativas debería tener el resultado tras la conversión de unidades? Si escribimos L = (95000 ± 1000) µm la conversión habrá incrementado el número de cifras significativas tanto en el mejor valor como en la incertidumbre. Nótese que 95 mm t 95000 µm en cuanto al número de cifras significativas: dos cifras y cinco, respectivamente (a propósito, es útil comparar los costos de los instrumentos para realizar estas dos clases de determinaciones).

Para evitar la ambigüedad descripta, se emplea la notación científica. Con su uso, la conversión de valores implica sólo la transformación de la unidad, conservado el número de cifras significativas de los valores originales. Cuando practicamos esto a L = (95 ± 1) mm obtenemos

L = (95 ± 1) mm = (95 ± 1) x 103 µm = (9.5 ± 0.1) x 104 µm. (1.9)

En efecto, los valores 95 mm y 9.5 x 104 µm tienen el mismo número de cifras significativas. La incertidumbre de 1 mm se ha escrito como 0.1 µm, con una cifra significativa en ambos casos. (Gil, 2000)

8 . valor estimado y error asociado en medidas directas.

Medir es comparar con un patrón. Por ejemplo, si medimos la anchura del laboratorio poniendo un pie delante de otro, podemos decir que la anchura del laboratorio es 18 pies, siendo nuestro patrón un pie. Ahora bien, una medida nunca puede ser exacta, es decir, siempre cometemos un error, por lo que nuestra medida no será completa sin la estimación del error cometido. Unas veces ese error será debido a los instrumentos de medida, otras a nuestra propia percepción, etc. Los errores al medir son inevitables.

En función de la naturaleza del error podemos definir dos tipos de error:

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Errores sistemáticos: Son debidos a problemas en el funcionamiento de los aparatos de medida o al hecho de que al introducir el aparato de medida en el sistema, éste se altera y se modifica, por lo tanto, la magnitud que deseamos medir cambia su valor. Normalmente actúan en el mismo sentido.

Errores accidentales: Son debidos a causas imponderables que alteran aleatoriamente las medidas. Al producirse aleatoriamente las medidas se distribuyen alrededor del valor real, por lo que un tratamiento estadístico permite estimar su valor.

Debido a la existencia de errores es imposible conocer el valor real de la magnitud a medir. Si somos cuidadosos podemos controlar los errores sistemáticos, en cuanto a los errores accidentales podemos reducirlos si tomamos un conjunto de medidas y calculamos su valor medio. Supongamos que se pretende medir la longitud L de una barra y se obtienen dos conjuntos de medidas:

Grupo a: 146 cm, 146 cm, 146 cmGrupo b: 140 cm, 152 cm, 146 cm

En ambos casos el valor estimado es el mismo (146 cm). Sin embargo, la precisión de las medidas no es la misma. ¿Cómo podemos diferenciar la precisión de dos medidas? Mediante el concepto de error o incertidumbre que definiremos más adelante.

A la hora de expresar una medida siempre se ha de indicar el valor observado junto con su error y la/s unidad/es correspondiente/s. Podemos decir que el valor verdadero de la medida se encuentra con una alta probabilidad en un intervalo cuyos límites son la estimación de la medida más/menos el error estimado.

Medida = Valor observado ± Error Unidad

En el ejemplo anterior, una vez estimado el error se escribiría: L = 146 ± 4 cm

9. Notación: cifras significativas.

A la hora de expresar el resultado de una medida junto con su error asociado se han de observar ciertas consideraciones:

1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. Dado que su valor es aproximado, no tiene sentido dar más allá de una cifra significativa excepto en el caso en que al quitar la segunda cifra significativa se modifique de forma considerable su valor. Por ello se establece la norma en que el error se expresa con una cifra significativa, excepto cuando esa cifra sea un 1 o cuando sea un 2 seguida de un número menor que 5, en este caso se puede expresar con dos cifras significativas.

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Error de V Error de V Error de L

BIEN 0,12 V 0,08 V 30 cm

MAL 0,1203 V 0,078 V 35 cm

2. En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la medida. Tampoco tiene sentido que la precisión del valor medido sea mayor que la precisión de su error. El orden decimal de la última cifra significativa de la medida y de la última cifra significativa del error deben coincidir. Para ello se redondea el valor de la medida, si hace falta.

Medida de V Medida de V Medida de L

BIEN 48,72 ± 0,12 V 4,678 ± 0,012 V 560 ± 10 cm

MAL 48,721 ± 0,12 V 4,6 ± 0,012 V 563 ± 10 cm

También hay que tener en cuenta cuando se trabaja con número grandes o pequeños utilizando la notación científica de potencias de 10, que conviene escribir valor y error acompañados de la misma potencia de 10.

BIEN 8,72·10-4 ± 0,12·10-4 N (4,678 ± 0,012) ·10-8 A

MAL 872·10-6 ± 0,12·10-4 N 4,678·10-8 ± 1,2·10-10 A

10. Error absoluto y relativo.

El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y el valor obtenido por la medida. El error absoluto no puede ser conocido con exactitud ya que desconocemos el valor exacto de la medida. Por eso, utilizaremos una estimación del intervalo en el que se puede encontrar el error absoluto. A esta estimación se la denomina error o incertidumbre, y en este libro la llamaremos simplemente error y se denotará mediante el símbolo ε.

Por ejemplo, tenemos una regla y medimos la anchura de un papel, la medida es 22,5 cm. ¿Cuál es el error absoluto cometido? Hay que estimarlo. Si la regla está dividida en intervalos de un milímetro, ésta puede ser una cota superior aceptable del error

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absoluto. De esta forma, el valor real debería estar comprendido en un intervalo entre 22,4 y 22,6 cm. La medida se denota entonces como 22,5 ± 0,1 cm, donde 0,1 cm es el error de la medida.

El error relativo εr es el cociente entre el error y el valor medido. Se suele expresar en tanto por ciento. Esta forma de expresar el error es útil a la hora de comparar la calidad de dos medidas.

Por ejemplo, medimos la distancia que separa Valencia de Castellón y el resultado es 75 ± 2 Km. Después, medimos la longitud del aula resultando 8 ± 2 m. ¿Qué medida es mejor? El error relativo de la primera es εr1 = 2/75*100 = 2,7 % y el de la segunda es εr2 = 2/8*100 = 25 %. Por lo tanto, la primera medida es mejor, a pesar de que el error de la segunda medida es menor.

11. Errores Accidentales.

Como se ha dicho, estos errores son debidos a causas imponderables que alteran aleatoriamente las medidas, tanto al alza como a la baja. Son de difícil evaluación, ésta se consigue a partir de las características del sistema de medida y realizando medidas repetitivas junto con un posterior tratamiento estadístico. De esta forma, a partir de las medidas repetitivas se debe calcular la desviación típica s, y a partir de las características del aparato de medida se evaluará el error debido al aparato, D. El error de la medida se tomará como el máximo de estas dos cantidades

ε = máx. {S, D}

Cuando la repetición de las medidas da prácticamente el mismo resultado, como ocurre normalmente con los aparatos de medida utilizados en el laboratorio de FFI, sólo se evaluará el error D debido al aparato, pues es despreciable frente a D.

11.1. Desviación típica.

Para obtener un buen resultado de una medida, minimizando el efecto de los errores accidentales, es conveniente repetir la medida varias veces. El valor medio será el que tomaremos como resultado de la medida, ya que probablemente se acerque más al valor real. Cuantas más repeticiones de la medida se efectúen, mejor será en general el valor medio obtenido, pero más tiempo y esfuerzo se habrá dedicado a la medida. Normalmente a partir de un cierto número de repeticiones no vale la pena continuar. ¿Cuál es el número óptimo de repeticiones? Para decidirlo hay que realizar tres medidas iniciales. A partir de estas medidas se calcula la dispersión D. La dispersión de una medida es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo obtenidos, dividido entre el valor medio, expresado en tanto por cien:

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Si el valor de la dispersión es mayor del 2% es necesario realizar más medidas, según la tabla siguiente

D < 2 % con tres medidas es suficiente

2 % < D < 8 % realizar un total de seis medidas

8 % < D < 12 % realizar un total de quince medidas

D > 12 % mínimo 50 medidas y tratamiento estadístico

Si se ha repetido la medida N veces calcularemos la desviación típica mediante la expresión:

Donde es el valor medio, xi es el valor de cada medida y N es el numero de medidas.

11..2. Error debido al aparato.

Existen diferencias entre la forma de evaluar los errores debidos a los aparatos. Se ha de distinguir entre aparatos analógicos y digitales. Pueden estimarse estos errores a partir de las características técnicas de los aparatos, como se verá a continuación. Estas características aparecen en las hojas de especificaciones del aparato, o vienen indicadas en el propio aparato. En la página siguiente se muestra como ejemplo la hoja de especificaciones del multímetro digital Demestres 3801A.

Aparatos digitales.

El error accidental que se comete en un aparato digital es la suma del error de precisión y el error de lectura.

Error de precisión: Es un porcentaje del valor leído en pantalla.

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Error de lectura: La salida en pantalla se realiza con un número limitado de dígitos por lo que, aunque el aparato pueda medir con mayor precisión, sólo nos podrá mostrar una medida limitada al número de dígitos de que dispone. El error de lectura equivale a N unidades del último dígitoEl error debido al aparato será :la suma D = 0,05 + 0,03 = 0,08 V

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Un ejemplo: Al medir una tensión en un circuito de corriente continua con un multímetro cuyas características aparecen en la figura inferior, podríamos observar que el error de precisión es el 0,5% de la medida en cualquier escala y el error de

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lectura es de un dígito, lo que equivale a 0,01V si estamos en la escala de 20V y por tanto en la pantalla aparecen dos decimales.

Aparatos analógicos.

El error debido a un aparato analógico es la suma del error de clase y el error de lectura. El error de clase viene indicado en las especificaciones del aparato, normalmente mediante la palabra CLASE o el vocablo inglés CLASS.

Error de clase: Es un porcentaje del fondo de escala. El fondo de escala es el máximo valor medible del aparato. Ejemplo:

Error de clase: 2,5Medida: 3 VFondo de escala: 15 VError de clase: 15·2,5/100 = 0,375 V

Observa que el error de clase es independiente del valor obtenido en la medida.

Error de lectura: Es el error cometido en la lectura de las divisiones de la escala. Lo evalúa el operador. Esa cantidad varía según la persona que realice la medida y se expresa como la porción de la división mínima que el operador es capaz de diferenciar. Ejemplo:

Error de lectura: 1/2 divisiónVoltios/división: 0,5 VError de lectura: 0,5·1/2 = 0,25 V

El error debido al aparato será la suma D = 0,375 + 0,25 = 0,6 V donde se ha efectuado ya el redondeo correcto.

Otros casos.

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En ocasiones se trabaja con aparatos de medida sencillos, como un reloj (digital o analógico) o una regla, y no se dispone de sus especificaciones técnicas. En ese caso se evaluará solamente el error de lectura, tomando 1 dígito para los aparatos digitales y la porción de la división mínima que el operador es capaz de diferenciar para los analógicos.

Ejemplo:

Valor observado = 5,2Error de lectura = 0,2Unidad = cmResultado L = 5,2 ± 0,2 cm

12. Errores sistemáticos.

Los errores sistemáticos son debidos a defectos en los aparatos de medida o al método de trabajo. Normalmente actúan en el mismo sentido, no son aleatorios, siguiendo unas leyes físicas determinadas, de tal forma que en ocasiones se podrán calcular y compensar matemáticamente tras la medida. Un ejemplo podría ser el de una regla graduada pero dilatada por el calor, esa regla daría como resultado longitudes siempre menores que las reales. Otro ejemplo sería la medida de la corriente eléctrica que circula por un conductor mediante un amperímetro. Al introducir el amperímetro en el circuito éste se modifica, de manera que la corriente medida no es exactamente igual a la corriente que circulaba antes de colocar el amperímetro. En este ejemplo el propio aparato de medida modifica el resultado.

Los métodos para corregir estos errores sistemáticos son variados. En el caso de la regla dilatada habría que confeccionar una curva de calibrado, tal y como se describe en el próximo apartado. En el segundo caso bastaría con averiguar la resistencia del amperímetro y calcular con ella el error sistemático producido mediante el análisis del circuito.

12.1. Curva de calibrado.

Una forma de corregir los errores sistemáticos es realizando una curva de calibrado, que es una gráfica que relaciona los valores medidos con los valores reales. Para ello hay que disponer de algún patrón o magnitud cuyo valor es conocido. En el ejemplo de

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la regla dilatada bastaría con medir con ella uno o más patrones de longitudes conocidas para trazar una recta (o curva) de calibrado.

Una vez se dispone de la curva de calibrado, cualquier medida realizada con el sistema se puede transformar en un resultado libre del error sistemático sin más que consultar la curva de calibrado que relaciona los valores medidos con los reales.

Ejemplo: Durante un largo viaje de vacaciones se observa que las medidas del cuentakilómetros de nuestro coche no coinciden exactamente con las señales kilométricas de las carreteras. Parece que el cuentakilómetros siempre marca una distancia mayor, existiendo un error sistemático en las medidas. Confiando en la exactitud de la señalización de la carretera, se decide realizar una calibración del cuentakilómetros, anotando su lectura cada vez que se alcanza una de las señales. El resultado aparece en la tabla siguiente.

Señalización (km) Cuentakilómetros (km)

1,00 1,05,00 5,3

10,00 10,525,00 26,2

La curva de calibrado para nuestro cuentakilómetros se muestra en la siguiente figura.

Cuando han transcurrido 20 km según nuestro cuentakilómetros, puede comprobarse en la curva de calibrado que en realidad se han recorrido 19 km. Éste valor es pues el resultado de la medida una vez corregido el error sistemático del cuentakilómetros mediante la curva de calibración. (.E, 2009)

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13. Medidas indirectas.

En muchas ocasiones no podemos medir directamente una magnitud y obtenemos su valor mediante un cálculo, después de haber medido otras magnitudes relacionadas con aquella. Esto se hace por medio de un expresión analítica o fórmula. Los valores obtenidos de las medidas previas al cálculo están afectados por un error de medida y estos errores se propagan en las operaciones de cálculo.

Supongamos que la magnitud F se calcula en función de las magnitudes x, y, z que al medirlas vienen afectadas por errores Δx, Δy, Δz. ¿Cómo se calcula el error de la medida indirecta F?

El error de una medida indirecta se calcula

Ejemplo: Medida del área de un rectángulo a partir de la medida de la longitud de sus lados a y b

a = 5,3 ± 0,1 cm b = 4,0 ± 0,1 cm S= a b = 21,2 cm2

S = 21,2 ± 0,9 cm2

(.E, 2009)

13 . Recomendaciones Recomendamos con la experiencia obtenida en laboratorio utilizar con mucho

cuidado los instrumentos

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Verificar q los instrumentos de medición a utilizar se encuentren correctamente calibrados

Al llevar la experiencia a cabo nos dimos cuenta q debemos tener cuidado con la postura del observador en este caso nosotros ya q si esta no es la adecuada podremos estar tomando medidas erróneas

Tener cuidado con instrumentos como el micrómetro ya q si tenemos una mala manipulación de este, podríamos descalibrarlo

Siempre tomar con seriedad la experiencia a realizar.

14. Conclusión

De acuerdo con lo que hemos investigado, tenemos que cada vez que se efectúe el conjunto de operaciones requeridas para medir una determinada magnitud, se obtendrá un número que solamente en forma aproximada representa la medida buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medición está afectado por un cierto error y a esto es lo que se refiere la teoría de los errores.

Bibliografía

.E, f. g. (2009). introduccion a la teoria de errores. españa.

Gil, S. R. (2000). TEORIA DE ERRORES. francia.

Rualth Gustavo Bravo Anaya. (2012). teoria de errores.

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