ARITMTICA

OBJETIVOS: Establecer correctamente la nocin de conjunto y su notacin. Utilizar adecuadamente los smbolos de pertenencia e inclusin y representar los

conjuntos adecuadamente. Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal. Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

Nocin de ConjuntoConcepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinnimos tales como coleccin, agrupacin o reunin de objetos abstractos o concretos denominados integrantes u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos: Los das de la semana Los pases del continente

americano. Los jugadores de un equipo de

ftbol.

Notacin Generalmente se denota a un conjunto con smbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo: A = {los das de la semana}B = {a, e, i, o, u}

Relacin de Pertenencia ()Se establece esta relacin slo de integrante a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

....pertenece a ..... : ... no pertenece a ..:

Esto quiere decir que dado un integrante u elemento y un conjunto

Integrante conjunto

u elemento

Ejemplo: C = {1,2, {1,2}, 5, 16} 2 C 8 C {1,2} C {5} C

incorrecto

Determinacin de un ConjuntoConsiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas:

a) Por Extensin o forma tabular.Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}C = {2,4,6,8}

Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a l.

De este modo en el conjuntoA = {a,e,i,o,u} = {a,o,u,i,e}No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensin, entonces se recurre a otra forma de determinacin.

b) Por Comprensin o forma constructiva

TEORIA DE CONJUNTOS I

ARITMTICA

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema / (se lee tal que)

A = ..........................

Regla de RestriccinCorrespondencia y/o caractersticao forma general (propiedad comn)del elemento

B = {n/n es una vocal}C = {n-1 / n ZZ ,1 n 7}

CONJUNTOS NUMERICOS1. Conjunto de los nmeros

naturalesIN = {1,2,3,4....} EJM 17 IN IN O = IN* = {0,1,2,3,....}ObservacinCero (0) es natural

2. Conjunto de los Nmeros EnterosZZ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

83

ZZ , - 24 ZZ

3. Conjunto de los Nmeros

RacionalesQ = {a/b / a ZZ b ZZ b

0}

3 Q porque : 3 = 13

0,5 Q porque 0,5 = 105

0,333... Q porque 0,333... = 31

= 3,141592... Q porque ba

Aplicacin IDado el conjuntoB = {1, , {}, 2 {1}, {1,2},3}

Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas* {} B * {1} B* 1 B * {3} B* {1,2} B * BAplicacin IIDeterminar por extensin y comprensin los siguientes conjuntosP = {2, 6, 12, 20,..., 10100}Q = {3x+1/x ZZ - 3 < x < 3}

Cardinal de un ConjuntoSe llama Nmero Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el nmero cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a sealar que el nmero cardinal, es el nmero de elementos del conjunto A y se denota como n (A) card (A)

Ejemplo:A = {3, 6, 9, 12, 15} entonces n (A) = 5P = {2,2,3,3,3,5,7} entonces n (P) = 4

Nmero OrdinalTeniendo en cuenta una disposicin de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su nmero ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.

Notacin:Ord (x) : nmero ordinal de xS = {7, a, , 13} ord (a) = 2, ord () = 3

Cuantificadores

a) Universal: Se denota por y se lee para todo o para cualquierSi P(x) es una funcin proposicional, , x A; P(x) es una proposicin que ser verdadera cuando para todos los valores de x a se cumpla P(x)

ARITMTICA

Ejemplo:Si A = {2,4,6,8}P(x) = x es un nmero parP(y) = 3y 2 > 4Luego x A: x es un # par (V)

y A: 3y 2>4 (F)

b. Existencial. Se denota por y se lee existe por lo menos un Si P(x) es una funcin proposicional, x A/P(x) es una proposicin que ser verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)

EjemploSi: B = {7,5,4,1}P(x) = x es un nmero imparP(y) = (y-4) = 4Luego: x B/x es impar (V) y B/(y-4) = 4 (F)

Negacin de los Cuantificadores

(xA : P(x)) x A/ P(x)(xA / P(x)) x A: P(x)

Diagramas de Venn EulerEs la representacin geomtrica de un conjunto mediante una regin de plano limitado por una figura geomtrica cerrada en cuyo interior se indican los elementos que forman el conjunto

Ejemplo: A {a,b,c,d,e}A

. a . b

. c . d. e

Diagrama (Lewis Carroll)Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de Alicia en el pas de las Maravillas utilizando un lenguaje lgico matemtico utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo particin del universo.

Ejemplo:H : HombresM : MujeresS : SolterosC : CasadosF : FumanDiagrama Lineal HasseUtiliza segmentos de lnea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos

Ejemplo:

Diagrama Lineal Diagrama Hasse

Relacin de Inclusin ()

Subconjunto ConjuntoConjunto Conjunto

Se dice que un conjunto est incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto.

: incluido o contenidoA B: A esta contenido en B

A es subconjunto en BB contiene a A

A B x A : x A x B

H M

S

C

F

C

IR

Q Q

ZZ

IN

P

C

IR

QQ

ZZ

IN

P

IIm

B

IIm

ARITMTICA

Observacin:El vaco est includo en cualquier conjunto.

Conjuntos comparablesSe dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos est incluido en el otro.

A B (A B A B) v (B A B A)

Ejemplo: Dados los conjuntos:A = {3,5} B = {1,2,3,4,5,6,7}C = {2,4,6,7} D = {4,7}

Son conjuntos comparables: A y BB y C; B y D; C y D

Conjuntos IgualesSe dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.

A = B A B B A

Ejemplo:A = {3n + 2/n ZZ, 1 n 4}B = {5,14,8,11}Se observa A = B

AplicacinDados los conjuntos A y B guales y C y D iguales dondeA = {a+2, a+1} C = {b+1, c+1}B = {7-a, 8-a} D = {b+2, 4}Hallar: a+b+cConjuntos Disjuntos o AjenosDos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningn elemento en comnEjemplo: C = {x / x es un hombre}

D = {x / x es una mujer} C y D son disjuntos

- Si dos conjuntos son disjuntos ambos sern diferentes.

- Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre sern disjuntos.

Ejemplo:E = {5,2,a,b} , F = {4,3,c,d}E y F son disjuntos E FG = {1,3,c,d,7}, H = {2,8,e,f,c}G H pero G y H no son disjuntosConjuntos Coordinables o EquipotentesDos conjuntos sern coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunvoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).

Ejemplo A = {Lima, Caracas, Bogota, Santiago}B = {Per, Venezuela, Colombia, Chile}

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunvoca:.... es capital de ....De ah que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B)

Clases de ConjuntosLos conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen segn esto tenemos:

Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algn momento.

Ejemplo:

A

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N = {3n + 2 / n ZZ 1 n 4}N es finito pues n (N) =4P = {x/x es un da de la semana}P es finito pues n (U) = 7Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos. Ejm:M = {x/x Q 1 < x 2}M es infinito pues n (M) = ...?

Conjuntos Especiales1. Vaco o Nulo. Es aquel conjunto

que carece de elementos.Notacin ; { }. Ejm.:

A = {x/o < x < 5 x = 100} = { } = * A : A* {}* {{ }}

2. Unitario o Singleton (singular)Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.B = {x/x > 0 x = 9} = {3}

Aplicacin: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c.A = {(2a + b); c}B = {(2c - 7); (5b + 2)}

3. Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situacin particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

Ejemplo:A = {2,6,10,12}B = {x+3/x es impar 0

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1 512B d e p r o p i o s

o ss u b c o n j u n t N 4 ==

6. Par OrdenadoEs un conjunto de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que estn indicados.Notacin (a, b)Se lee par ordenado a, ba: 1 componenteb: 2 componente

(a,b) = (c,d) a = c b = d

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unin (U): La unin de 2 o ms conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupacin de todos los elementos de los conjuntos qu