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COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS:
APLICA LA TEORÍA DE CONJUNTOS PARA MODELAR Y RESOLVER PROBLEMAS, EXPRESANDO UN COMPORTAMIENTO SOLIDARIO, COLABORATIVO Y PARTICIPATIVO CON SUS COMPAÑEROS.
TEORIA DE
CONJUNTOS
CONJUNTO
Ciertos conceptos en matemáticas son
primitivos, indefinibles, estos conceptos son:
el número natural, el punto, la recta, el
conjunto, etc.
Sin embargo como noción intuitiva un
conjunto se define como un sinónimo de
colección, agrupación, reunión de
integrantes homogéneos o heterogéneos. A
los integrantes que pertenecen a esta
agrupación se les llama elementos del
conjunto.
Notación:
Los conjuntos se nombran con letras
mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con
letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto
de los diez primeros números naturales
positivos:
N 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10
Se observa que los elementos que van
separados por punto y coma y encerrados
entre llaves, determinan el conjunto N.
Determinación de un conjunto:
(I) POR EXTENSIÓN:
Un conjunto queda determinado por
extensión, cuando se nombra a todos y cada
uno de los elementos.
A 2;4;6;8
M a;e;i;o;u
B 1;8;27;64;......;1000
(II) POR COMPRENSIÓN:
Un conjunto queda determinado por
comprensión, cuando se nombra una
propiedad común que caracteriza a todos los
elementos del conjunto, generalmente se
emplea x/x: “x tal que x”
A x / x es par;2 x 8
B x / x es una vocal
C = {x³ / x N ; x 10 }
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Relación De Pertenencia
Es una relación que vincula un
elemento con un conjunto.
* Si un elemento esta en un conjunto, se
dice que pertenece
* Si no está en un conjunto, se dice que
no pertenece
Ejemplo:
Dado: A 2;3; 5;6
Así diremos que:
2 A 4 A
3 A 5 A
5;6 A 6 A
2. Relación De Inclusión O Subconjunto
Se dice que el conjunto A está incluido
en B, si todos los elementos de A están
en B. Se denota como: A B ”A está
incluido en B”
Si: A B x A x B
Ejemplo:
A n;3;5
B 4;n;m;6;3;p;5
Se observa que todos los elementos de A
son también elementos de B, luego: A B .
PROPIEDADES
*Pr opiedad reflexiva : A A
*Pr opiedad antisimetrica :
Si : A B B A A B
*Pr opiedad transitiva :
Si : A B B C A C
SESIÓN N° 04
3. Relación de igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales cuando
tienen los mismos elementos.
Si: A B A B B A
Dos conjuntos A y B son iguales si y
solo si, A es subconjunto de B y B es
subconjunto de A.
4. Relación de coordinabilidad de
conjuntos
Dos conjuntos A y B son coordinables
cuando entre sus elementos puede
establecerse una correspondencia
biunívoca.
Cuando dos conjuntos son
coordinables tienen el mismo número
de elementos.
A 1;3;5;7;9
son coordinables
B a;e;i;o;u
Graficándolos:
Ejercicios Propuestos: 1).- Determina por extensión cada uno de los
siguientes conjuntos:
A = {x / x N ; 1 < x 5}
B = {x / x N ; 3 x 6}
C = {x2 / x N ; 5 x 8}
D = {5
1x2 / xN ; x = 3}
2).- Expresa por extensión el conjunto:
A = { x2 + 1 / x Z 4 x < 9 }
a) {16, 25, 36, 49, 64}
b) {15, 24, 35, 48, 63}
c) {4, 5, 6, 7, 8}
d) {27, 36, 47, 60, 68}
e) {17, 26, 37, 50, 65}
3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =
{x2 + 4 / x N x 4}
a) {4, 5, 8, 13, 20} b) {0, 1, 2, 3, 4}
c) {5, 8, 13, 20} d) {0, 4, 5, 8, 13}
e)
4).- Expresa el conjunto:
A = { 3x – 2 / x N 2< x 5 } por extensión.
a) {7,10} b) {10, 13, 16}
c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10}
e) {3, 4, 5}
5).- Determina por extensión el conjunto A y dar
respuesta la suma de sus elementos:
A = {x2 + 1 / x Z - 3 < x <3 }
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
6).- El conjunto E = {x N / 32 < 4x < 60, x es número
compuesto} determinado por extensión es:
a) {8,9,10,14} b) {8,10,14}
c) {8,14} d) {9,10,12,14}
e) N.A.
7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =
{ x2-3 / x N 2 x 5 }
a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5}
c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22}
e) {1,5,13,22}
8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto
unitario, calcule a25b
a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
1
3
5
7
9
a
e
i
o
u
A B
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto es el número de
elementos de dicho conjunto y se denota como
n(A).
A 2;4;7;9 n A 4
M a;b; m;n n M 3
B 2, 3;2;2;5;6;7 n B 5
a e
i o u
9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
10).- Dado el conjunto unitario:
A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a2 + b
2
a) 60 b) 7 c) 80
d) 90 e) 104
11).- Los conjuntos A={a3 + 1,10},
B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b.
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
12).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto:
A={2n + 1, 13, m-n} es unitario.
a) 20 b) 25 c) 30
d) 35 e) 40
13).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un
conjunto unitario. Dar el valor de 3m2-n
2
a) 198 b) 188 c) 178
d) 168 e) 158
14).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios,
calcular a + b + c si :
A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1}
a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
15).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}.
Hallar m + n
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
16).- Dados los conjuntos unitarios:
A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de
x + y.
a) 5 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
17).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x +
7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como
respuesta “x.y”.
a) 11 b) 20 c) 30
d) 33 e) 12
18).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ;
B = {3
3c,32b }; C ={ 1
3c , d – 4 }
Hallar a + b + c + d
a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 e) 12
19).- Dados los conjuntos unitarios:
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}
Donde: b > c
Calcular: a –2b + 3c
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
20).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:
A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5}
Calcular b – a
a) 26 b) 27 c) 18
d) 16 e) 28
21).- Si los conjuntos A y B son unitarios:
A = {2m; 12; n + 2}
B = {20; 5p; q}
Calcule la suma m + n + p + q
a) 36 b) 40 c) 48
d) 46 e) 60
22).- Determina por extensión el siguiente conjunto:
A = {x2 + 1 / x Z -3< x 4}
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 43 b) 18 c) 35
d) 38 e) 42
23).- Si el siguiente conjunto es unitario:
P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 }
Calcula ( m + p2 )
a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67
24).- Si el siguiente conjunto es unitario:
H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 }
Calcula ( a + b )
a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37
1. CONJUNTO FINITO
Cuando el conjunto tiene un
determinado número de elementos
diferentes.
Ejemplos:
A 3;6;9;12
B 1;3;5;7;......;29
2. CONJUNTO INFINITO
Cuando el proceso de contar los
elementos del conjunto no tiene límite.
Ejemplos:
A x / x es un número real
B x / x es un planeta deluniverso
3. CONJUNTO VACIO
Llamado también conjunto nulo; es
aquel conjunto que carece de
elementos. Se denota como:
*Al conjunto vacío se le considera
incluido en cualquier otro conjunto.
*El conjunto vacío no tiene ningún
subconjunto propio y su número
cardinal: n 0
Ejemplos:
A = {x N / x² - x – 1 = 0 }
B = {x N / 5 < x < 6 }
4. CONJUNTO UNITARIO
Es aquel conjunto que tiene un solo
elemento.
Ejemplos:
A = {x N / 2 < x < 4 }
B = {Bety }
C = {∅}
5. CONJUNTO UNIVERSAL U
Es aquel conjunto que abarca a todos los
conjuntos dados y se les representa por
regiones planas rectangulares.
6. CONJUNTO POTENCIA
Se llama conjunto potencia de A, al
conjunto formado por todos los
subconjuntos de A y se le denota como
P A .
Ejemplos: a. Dado: A 4;7
Su conjunto potencia será:
P A 4 ; 7 ; 4;7 ;
b. Dado:
A 2;3;4
P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;
3;4 ; 2;3;4 ;
El número de elementos de P A o
número de subconjuntos de A, está dado
por: n
n P A 2
Donde “n” representa el númerode
elementos del conjunto A.
Ejemplos:
Si: 2
A 4;7 n P A 2 4
Si: 3
A 2;3;4 n P A 2 8
Si: A a;b;c;d;e 5
n P A 2 32
CLASES DE CONJUNTOS
M N
P
A
B
U
Numero de subconjuntos
propios: Dado el conjunto A, su
número de subconjuntos
propios será: n
2 1 .No se
considera el mismo conjunto A.
SESIÓN N° 05
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. UNIÓN O REUNIÓN (U)
Para dos conjuntos A y B se llama unión o
reunión al conjunto formado por los
elementos de A, de B o de ambos. Se
denota como A B.
A B x / x A x B
Si:
A 2;3;4;6
B 1;3;4;5
Luego: A B 1;2;3;4;5;6
2. INTERSECCIÓN
Para dos conjuntos A y B se llama
intersección de A y B al conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y a B
(elementos comunes).
Se denota como A B .
A B x / x A x B
Si: A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3
B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3
Luego: A B ; 4 ; 5 3
3. DIFERENCIA (–)
Para dos conjuntos A y B, se llama
diferencia de A con B, al conjunto formado
por todos los elementos de A, que no son
elementos de B, Se denota por A–B.
A – B = {x/ x A x ∉ B }
Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 2
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9
Luego: A B 6 ; 8
1) P A , puesto que A
2) A P A , puesto que A A
3) P
4) Si A B P A P B
5) Si A B P A P B
6) P A P B P A B
7) P A P B P A B
PROPIEDADES
A B
U
1) A A AIdempotencia
2) A B B AConmutativa
3) A B C A B C Asociativa
4) A
5) A A
6) Si :A B A B B
7) Si A y B son disjuntos
n A B n A n B
8) Si A y B son dos conjuntos no compa
rables, con una región común :
n A B n A n B n A B
PROPIEDADES
A B
U
1) A A A Idempotencia
2) A B B A Conmutativa
3) A B C A B C Asociativa
4) Si : A B A B A
5) A
6) A U A
7) Si :A B A y B son disjuntos
8) A A C A
9) Si: A B C
A B A C
10) A B C A B A C
A B C A B A C
PROPIEDADES
A B
U
1) A A
2) A
3) A B B A
4) A B B
5) A B A
B A B
6) A B A B
7) A B A B B A A B
8) A B A B A
PROPIEDADES
A
B
4. DIFERENCIA SIMETRICA
Para dos conjuntos A y B, se llama
diferencia de A y B, al conjunto formado por
los elementos que pertenecen a la unión de
A y B; pero no pertenecen a la intersección
de A y B.
Se denota por: A ∆ B
A ∆ B = { x/ x ( A U B) x ∉ (A B) }
Formas usuales:
A B A B A B
A B A B B A
Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2
B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1
Luego:
A B 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4
A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
5. COMPLEMENTACIÓN
Para dos conjuntos A y B, donde A es un
subconjunto de B.
Se denota BC A ; se lee complemento de A
respecto a B.
B C A B A
* El complemento de un subconjunto A
respecto del conjunto universal U.
C A A' U A
A' x / x U x A
Ejemplo:
Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: B
AC
Resolución:
Como: B
A B AC
B
A C 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
B
A C 1 , 5 , 9
1 , 5 , 9 Rpta.
PRODUCTO CARTESIANO
Dados los conjuntos A y B, se llama
producto cartesiano de A por B, al conjunto
formado por todos los pares ordenados
a ; b , tales que a A y b B .
Se denota por: A B
A B a ; b / a A b B
Ejemplo:
Si: A 1 ; 2 ; 3
B 1 ; 2
A B
U
1) A' U A
2) U'=
3) ' U
4) A A'= U
5) A A'=
6) A' ' A
7) A B ' A' B ' Leyes de Morgan
A B ' A' B '
PROPIEDADES
A
U
1) a ; b A B a A b B
2) A B B A ; A B
3) A O
O
4) A B C A B A C
5) A B C A B A C
6) A B C A B A C
7) n A B n A n B
8) Si: A B A C B C
Propiedades
Hallar: A B
Resolución:
A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2
Grafica de A B
Diagonal de un Conjunto:
Dado el conjunto A, la diagonal del
producto A A que se denota A , se
define por:
A x ; y
Ejemplo:
A a ; b ; c
B 1 ; 2 ; 3 ; 4
Hallar: A y B
Resolución:
A a a ; b b ; c c; ; ;
B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ;
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO
Si:
A B O n A B n A n B
Si:
A y B son dos conjuntos cualesquiera
n A B n A n A B
Si:
A y B son conjuntos tales que A B ∅
n A B n A n B n A B
Si: A B C O
n A B C n A n B n C
n A B n A C
n B C n A B C
2
1
1 2 3 A
BA B
A B
A B
A B
C
PAR ORDENADO:
Par ordenado es un ente matemático
constituido por dos elementos (a ;b)
Se cumple que:
a ;b b ;a
Si: a ;b c ;d a= c b= d
Para los problemas
1 2 3
A B
1 : sólo A
2: A y B
3: sólo B
1 y 2: A
2 y 3: B
1 , 2 y 3: A ó B
1 2 3
45
6
7
A B
C
1 : sólo A
3: sólo B
7: sólo C
2: sólo A y B
4: sólo B y C
6: sólo A y C
5: A , B y C
25: A y B
45: B y C
56: A y C
1 Si: A 3,6
B 2,4,6
Hallar la suma de los términos del conjunto:
A B A B
a) 10 b) 12 c)14 d) 13 e) 11
Resolución:
A B 2, 3, 4,6
A B 3
Luego:
A B A B
2, 3, 4,6 3 2, 4,6
Piden: 2 4 6 12
2 Hallar: x 3y , si:
3 x2x 1, y 5 23,
2 3
a) 14 b) 13 c)11 d) 15 e) 16
Solución:
Por pares ordenados iguales
* 2x 1 23 x 12
3 12 2* y 5 y
2 3 3
Luego piden: 2
12 33
12 2 14
3 Si: A 5, 2 ,9
Señale la expresión falsa:
a) 2 A
b) 2 A
c) 9 A d) 5,9 A
e) 5, 2 A
Resolución:
Se observa en el conjunto A que los
elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto
5,9 , luego 5,9 A , lo falso seria (d).
4 4 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3
Resolución:
Del gráfico, se tiene: * y w z 15 41
y+ w+ z= 26 ….. ( I )
* w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10
Reemplazando en ( I ) 13 10 z 26
z 3 Rpta.
5 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
Formando ecuaciones:
x 3 13 x= 10
y 3 4 y= 1
41
15
Estudian Trabajan
y z w
17
z
con bigote calvos
x 3 y
13 4
SESIÓN N° 06
10 3 1 z 17
z 3 Rpta.
6 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución:
“x”: # banderas que tienen 3 colores
No hay banderas de un solo color
De la figura se tiene que:
25 x x 35 x 15 x 65
10 2x x= 5 Rpta. 7 Cotos come fréjoles y/o tallarines en
su almuerzo, cada día, durante el mes de
febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y
23 días tallarines. ¿Cuántos días come
fréjoles con tallarines?
a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13
Resolución:
19 x x 23 x 29
x 13 Rpta.
8 En un grupo de 55 personas, 25
hablan Inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los
tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo
hablan dos de estos idiomas?
a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38
Resolución:
Del grafico se tiene que:
a b c x y z 50 …. ( I )
a x y 20
b y z 27
c x z 28
a b c 2 x y z 75 …. ( II )
( I ) en ( II )
50 x y z 75
x y z 25 Rpta.
9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran
con 6 elementos?
a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a.
Resolución:
Recordado que:
n# Subconjuntos 2=
6n 2 2 64=
# Subconjuntos = 64 Rpta.
15 x 35 x
25 x
R A
B
x
3515
25
19 x 23 xx
F T
x
y
z
a b
c
I 25 F 32
A 33
5
10 Sean A y B dos conjuntos contenidos
en un universo, si:
A B B A A B .¿Cuál de las
siguientes proposiciones es falsa?
a) A A B b) A B O
c) B B A d) B A'
e) A B ' A B
Resolución:
Como: A B B A A B
Quiere decir que A y B son conjuntos
disjuntos, para las alternativas se tendrá
que:
A A B (Verdadero)
A B O (Falso)
B B A (Verdadero)
B A' (Verdadero)
A B ' A B (Verdadero)
A B O Rpta.
11 Si:
12 A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
Determinar el conjunto dado por
compresión
a) {x² + 1 / x N Ʌ x 7 }
b) {x² + x / x N Ʌ x 6 }
c) {x ( x + 1) / x N Ʌ x 7 }
d) {x² + x / x N Ʌ 1 < x < 8 }
e) {x² + x / x N Ʌ x < 8 }
Resolución:
A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8
Lo elementos son de la forma:
x x 1 Donde:
x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
Rpta.
12. Cuantos sub conjuntos tiene “A”
A = { (x – 2)² / x ZɅ -1 x <5 }
a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a.
Resolución:
x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4
Reemplazando en: 2
x 2
9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4
A 9 , 4 , 1 , 0
Total de sub conjuntos es:
42 16 Rpta.
13 Si A 3 , 6
B 2 , 4 , 6
Hallar la suma de los términos del conjunto:
A B A B
a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13
Resolución:
A U B = { 2, 3, 4, 6 }
A B 3
Luego: A B A B
2 , 3 , 4 , 6 3 2 , 4 , 6
Piden: 2 4 6 12 Rpta.
14 La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B se define:
A B x / x A B A B
Si se define los conjuntos:
U = { x / x N Ʌ x < 10 }
{x ( x + 1) / x N Ʌ x 7
}
A x / x U x es divisor de 12
B x / x U x es impar
¿Cuántos elementos tiene C
A B ?
a) 1 , 3 , 8 b) 1 , 4 , 8
c) 1 , 8 , 3 d) 3 , 1 , 8
e) n.a.
Resolución:
U 1 , 2 , 3 , ....... , 9
A = { 1, 2, 3, 4, 6 }
B 1 , 3 , 5 , 7 , 9
A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9
C
A B 1 , 3 , 8 Rpta.
15 Dado:
A n m , n+ p , 8
B m p , 10 Unitarios
Hallar: m n p
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
m n n p m= p
m p 10 2m= 10
De donde: m p 5
n m 8 n= 3
Luego: m n p 3 Rpta.
16 Si: # P A 256
# P A B 16
# P B 64
Calcular: # P A B
a) 1 024 b) 2 048 c) 360
d) 512 e) 256
Resolución:
8
# P A 256 2 # A 8
6
# P B 64 2 # B 6
4
# P A B 16 2 # A B 4
# A B # A # B # A B
8 6 4
10
10# P A B 2 1 024 Rpta.
17 En un aula de 43 alumnos, 5 son
mujeres que estudian R.M. y 28 son
hombres y el número de hombres que no
estudian R.M. es el doble del número de
mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos
hombres estudian R.M.?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a.
Resolución:
El número de mujeres que no
estudian R.M. es: 15 5 10
El número de hombres que
estudian R.M. está dado por:
x 28 20 8 Rpta.
18 De 80 personas que hablan alguno
de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés,
se tiene que 40 hablan castellano, 46
hablan Inglés, 35 hablan Francés, además
los que hablan Castellano no participan
nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos
de dichos idiomas?
A2
4
6
1
3
5
79
8
B
U
20
x
10
5
H 28 M 15
a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a.
Resolución:
Hablan Ingles: I 46
Hablan Castellano: C 40
Hablan Francés: F 35
Hablan 2 Idiomas: x y
Luego: I C F 80
40 x x 46 x y y 35 y 80 De
donde se tiene que:
x y 41 Rpta.
19 Se tiene los conjuntos A, B, C
subconjuntos de los números naturales, A es
el conjunto de los múltiplos de 3, B es el
conjunto de los múltiplos de 4 y menores
que 24 y C es el conjunto de los divisores de
48. Hallar la suma de los elementos de la
diferencia: C A B
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3
Resolución:
A, B, C N
A x / x 3 0;3;6;..............;3n
B x / x 4 x 24
B 0;4;8;12;16;20
C x / x esdivisor de 48
C 1;2;3;4;8;12;16;24;48
C A B 1;2
Por lo tanto la suma de los elementos:
1 2 3 Rpta.
20 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la
unión de A y B tiene 36 elementos, el
número de elementos de A es a la mitad del
número de elementos de B. Los elementos
comunes de A y B son la mitad de los
elementos no comunes, hallar el número de
elementos de B.
a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80
Resolución:
n A B 36............... (1)
1
n A n B2
n B 2n A
Se sabe: n A B nA nB n A B
36 nA 2nA n A B
3n A n A B 36
Además:
n A B n A n B 2n A B
2n A B n A n B 2n A B
4n A B 3n A
De (1) y (2)
n A B 12 n A 16
n B 32 Rpta.
1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
40 x x y 35 y
46
xy
C I F
2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35
3. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15%
4. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos?
I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas
5. Sean: A 1 , 2 , 3 y ,B 4 5
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son
ciertas?
* ,2 4 A B * ,4 2 A B
* ,5 2 B A * ,3 4 A B
* ,3 4 B A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.
6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar
con 6 elementos?
a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128
6. Indicar la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I. Cuando el conjunto A contiene uno o
más elementos que no contiene B,
diremos que B es un subconjunto propio
de A.
II. Todo conjunto es subconjunto del
conjunto universal
III. Al conjunto universal se le designa el
valor de 1
IV. El conjunto vació es subconjunto e todo
conjunto.
a) VFVV b) FVVV c) VVVV
d) VVFV e) FVFV
7. Si se determina por comprensión el
conjunto:
M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......
se tiene:
a) M x / x es un número par
b) M x / x 2n ; 0 n
c) M x / x N N= serie de números pares;
d) }
e) n. a.
8. Dado el conjunto:
3 2F x / x 2x 2x 2 0
¿Cuál es su valor determinado por
extensión?
a) F 1 , 0 , 2
b) F 2 , 1 , 1
c) F 2 , 1 , 0 , 1
d) F 1 , 1 , 2
e) n.a.
9. ¿A qué operación de conjuntos
corresponde el siguiente gráfico?
a) BUC A
b) B A C
c) A C B
d) B C A
e) AUC B
AB
C
10. Si el conjunto:
A = {x / x³ + 4x² - 11x – 30 = 0 }se intersecta
con el conjunto de los números naturales,
el número de elementos de la intersección
es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a.
11. En un salón de clases de 65
alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la
biblioteca les presta un libro de química a
cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar
el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el
libro de química, si se supone que todos los
alumnos tienen el libro?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
12. Al encuestar a un grupo de
alumnos se observó que la mitad de ellos
postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban
a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas
universidades y los 220 alumnos restantes
aun no decidían donde postular. ¿Cuántos
fueron los alumnos encuestados?
a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640
d) 3 520 e) 3 125
13. En un aula 80 alumnos han
rendido 3 exámenes, de ellos 42 aprobaron
el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18
los tres exámenes; además 10 aprobaron
solamente los 2 primeros. ¿Cuántos
alumnos aprobaron por lo menos 2
exámenes?
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
14. El conjunto: C A CB CA
equivalente a:
a) CA CB A b) A B B
c) CA A B d) A CA B
e) El conjunto universal
15. El 65% de la población de una
ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no
ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el
canal B, pero no los dos canales, el
porcentaje de la población que ve ambos
canales es:
a) 20% b) 18% c) 13%
d) 12% e) n.a.
16. De 81 personas se sabe que 48 van
a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la
playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la
playa y al teatro, además todos van por lo
menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a
los 3 lugares?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
17. Ciertos datos obtenidos en un
estudio de un grupo de 1 000 empleados
referente a la raza, sexo y estado civil,
arrojaron los siguientes resultados: 322 son
hombres, 470 son casados, además habían
42 varones de color, 147 personas de color
eran casados y habían 25 hombres de color
casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?
a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) 351
18. Durante el mes de febrero de 1984
Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las
mañanas o en las tardes o en ambas horas,
si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio
en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas
horas?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
19. Determinar A por extensión:
a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5
c) A 1 , 2 , 4 , 5
d) A 1 , 2 , 3 , 5
e) A 1 , 2 , 3 , 4
20. Sean A y B dos conjuntos tales que:
n A B 24
n A B 10
n B A 6
Hallar: 5n A 4n B
a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) 30
21. Para un conjunto “x”, el número
de elementos de “x” dentamos por n(x) y
P(x) denota al conjunto de subconjuntos de
“x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y
n A B 2 . Hallar la suma:
n P A P B n P A B
a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 e) 20
22. .Dado el conjunto y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17
n A C 14 ; n B C 12
n A B C' 3 ;
n A B C 5 y
n A B C ' 6 .
Hallar: n(C)
a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) 20
23. Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 y
n(D) 5 , el número máximo de elementos
de AUC es k y el número máximo de
elementos de B D es “h”. Hallar el valor
de “h.k”
a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) 83
24. Un club consta de 78 personas, de
ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23
vóley, además 6 figuran en los tres deportes
y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es
el total de personas que practican
exactamente un deporte “y”, el total de
personas que practican exactamente dos
deportes; Hallar “x-y”
a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) 17
25. Supóngase que Mary come huevos
o tocino en el desayuno cada mañana
durante el mes de enero (31 días). Si come
tocino durante 25 mañanas y huevos
durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas
come solamente huevos?
a) 7 b) 6 c) 9 d) 5 e) 10
26. De 120 personas de una
universidad obtuvo la información: 72
alumnos estudian el curso A, 62 alumnos
estudian el curso B, 36 alumnos estudian el
curso C, 12 alumnos estudian los tres
cursos. ¿Cuántos alumnos estudian
exclusivamente 2 cursos?
a) 25 b) 20 c) 9 d) 28 e) 22
27. De un grupo de 40 personas, se
sabe que: 15 de ellas no estudian ni
trabajan; 10 personas estudian y 3 personas
estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas
realizan solo una de las dos actividades?
a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) 26
28. Si los conjuntos A y B son tales
que: n A B 30 ; n A B 12 y
n B A 10 ; Hallar: n A n B
a) 30 b) 39 c) 40 d) 28 e) 38
29. De una encuesta hecha a 135
personas para establecer preferencias de
lectura de las revistas A, B y C se obtienen
los siguientes resultados: Todos leen alguna
de las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15
leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A;
10 leen solo C. El número de los que leen A
y C es el doble del número de los que leen
las 3 revistas. El número de los que leen
solo B es el mismo que el total de los que
leen A y C. Según todo esto, hallar el
número de los que leen A solamente.
a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60
30. Si:
}
}
Hallar: n A B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
31. Siendo: }
}
¿Calcular la suma de los elementos de
P Q ?
a) 18 b) 16 c) 21 d) 20
32. En un instituto de 77 alumnos, se
sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los
que estudian sólo un idioma son 28 más, de
los que sólo estudian 2 idiomas. Si además
son 3 las personas que estudian los 3
idiomas. ¿Determinar cuántos estudian solo
dos idiomas?
a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 23
33. Un club tiene 48 jugadores de
fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el
total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos
figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran
exactamente en 1 deporte?
a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40
34. Según la figura. Cuáles son las
zonas que representan a:
A B ' C A'
a) 5
b) 5
c) 5 , 2
d) 5 , 2 , 3
e) n.a.
CLAVES:
1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
c c a b c d c e e
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
d a c c d d e e c
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
b d b d c b a b d
28. 29. 30. 31. 32. 33. 34
a e b a e d e
A BU
5 2 7
13 4
6
C