Teoria de Conjuntos Apunte
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02/04/2015
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Teoría de Conjuntos
Conjunto es una colección de objetos o entidades
distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras,
puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama
miembros o elementos del conjunto
DEFINICION DE CONJUNTO
Teoría de Conjuntos
Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para
denotar Conjuntos
Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas
a,b,c,…, números, símbolos o variables.
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DEFINICIONES DE CONJUNTO
EXPLICITAMENTE
IMPLICITAMENTE
Un Conjunto
puede ser
definido:
EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos
que componen el conjunto dentro de llaves o separados por
una coma
DEFINICION DE CONJUNTO EXPLÍCITAMENTE
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A= { a, e, i, o, u }
2.- Sea B el conjunto de las vocales
B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}
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IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las características
de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue
DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA
Sea A es el conjunto de las vocales
Se escribe A= {x/x es una vocal} Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal
Sea D el conjunto de los números pares
Se escribe D= {x/x es un numero natural par } Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un
numero natural par”
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de
elementos.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se representa de la siguiente manera
Elemento є conjunto …….. Se lee elemento pertenece a conjunto
Elemento conjunto ……. Se lee elemento NO pertenece a conjunto
Ejemplos:
a є A Se lee …… a Pertenece al conjunto A
w є A Se lee …… w No pertenece al conjunto A
3 D Se lee …… 3 No pertenece al conjunto D
є
є
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Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos
afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no
CONJUNTO BIEN DEFINIDO
1. Sea T el conjunto de las personas simpáticas
Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático es
subjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es
simpática o no
2. Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos
3. Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos
Ejemplo:
S= {x/x є N, x >= 10} Se lee x tal que x pertenece a los números naturales y x es
mayor o igual a 10
RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO
Relaciones
Entre Conjuntos
Igualdad de Conjuntos
Sub Conjuntos
Conjuntos Especiales
Conjuntos de Pares
Conjunto Vacio
Conjunto Universal
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Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un
conjunto B,
entonces A se llama Subconjunto de B También decimos que A, esta contenido en B
O que B, esta contenido en A
A no es un subconjunto de B,
es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B
SUBCONJUNTO
A B
B A
A B
B A
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }
Podemos decir que:
C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B
B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A
o se que no todos lo elementos de B son elementos de A
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Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}
Podemos decir que:
H B H es un subconjunto de B
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere el siguiente conjunto:
A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}
Podemos decir que…………
B A
A B
B = A
A = B
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Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si
todos los elementos de A pertenecen a B y viceversa.
IGUALDAD DE CONJUNTOS
A= { x, y } B= { y, x }
Esto es:
A=B,
entonces x є A, implica que x є B y
Que y є B, implica que y є A.
Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si
M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }
Esto significa que
M=L
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CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { }
o por Ø .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres
que viven actualmente con mas 500 años de
edad.
CONJUNTO UNITARIO (Conjuntos Especiales)
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento
Ejemplo:
A={ 4,4,4} donde n(A)=1
B={ La capital del Perú}
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CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Es un conjunto referencial para el estudio de
una situación particular. Por ejemplo si nos
interesa estudiar a los estudiantes de las
diferentes universidades, entonces el conjunto
de universitarios será el conjunto universal. Se
representa por U.
CONJUNTO POTENCIA (Conjuntos Especiales)
El conjunto potencia de A llamado también conjunto de partes de A, es
aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles que
posee el conjunto A.
Notación: P(A)
Ejemplo
Si A = { a, b, c } entonces
P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }
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DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemática de
representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.
Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones
de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.
U
A B
C
El Rectángulo representa conjunto
Universal
Los círculos se han utilizado para
representar a cada uno de los
conjuntos.
DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}
U
A
B
C
D
A U C U B U D U
B A D C
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
Operaciones con
Conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Diferencia Simétrica
Complemento
UNION DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A
unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o B o a ambos conjuntos
A U B ={ x/x Є A V x Є B}
U
A B
En el diagrama de Venn, la región
sombreada corresponde al
conjunto A U B
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INTERSECCION DE CONJUNTOS
A ∩ B ={ X/X Є A Λ x Є B }
U
A B
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A
intersección B.
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y
a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de
Venn la región
sombreada corresponde
al conjunto A ∩B
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INTERSECCION DE CONJUNTOS
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y B
A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Dos conjuntos que no tienen
nada en común se llaman
DISJUNTOS
Observe que los elementos c y d pertenecen
simultáneamente a los conjuntos A y B
A ∩ B = { c, d }
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Si
A={ a, b, c, d }
B= { c, d }
A ∩ B = { c, d }
U
A
B
U
A B
Si
A={ a, b, c, d }
B= { m, p, q }
A ∩ B = Ø
A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A
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DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A
menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A y que no pertenecen a B
Simbólicamente:
U A
B
U A B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
U A
B
U A B
U A B
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DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Ejemplo 1:
Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }
Ejemplo 2:
Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}
Ejemplo 3:
Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Simbólicamente:
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que
se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos
conjuntos
A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}
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DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Simbólicamente:
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que
se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos
conjuntos
A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}
A diferencia simétrica de B es igual a
x Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece
a A intersección B
DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS
Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
U A B
En el siguiente grafico se muestra A B
Observe que las regiones a la izquierda
y a la derecha corresponden a los
conjuntos A-B y B-A
Por eso también
A B={ A – B } U { B- A }
A B={ A U B } - { B ∩A }
A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }
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COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota
A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Simbólicamente: A΄={ X/X Є A U Λ x A }
U A
A΄= U – A Ejemplo:
A = { X/X es un numero natural par}
Sea U = N (el conjunto de los números naturales)
A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
Es la colección de Objetos matemáticos representados por los
símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.
= {1, 2, 3, 4, ….}
Números Enteros
Los números enteros abarca los números negativos incluyendo en
cero y los números positivos. Y se representa
= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}
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CONJUNTOS NUMERICOS
Números Racionales
Es el conjunto de los números de la forma donde p y q son
enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.
= { ,q Є Λ q ≠ 0}
Números Irracionales
Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados
como el cociente de dos números enteros
Entre los mas conocidos esta el π
p q
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Reales
Es el conjunto formado por todos los números racionales e
irracionales
U
Números Complejos
Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son
números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la
propiedad.
i2=-1
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IGUAL
SIMBOLOGIA
ELEMENTO PERTENECE
ES SUBCONJUNTO
є
є
NO ES SUBCONJUNTO
ELEMENTO NO PERTENECE
=
CONJUNTO VACIO { } o Ø
CONJUNTO UNIVERSAL U
CONJUNTO DE PARTES P{A }
UNION
INTERSECCION
DIFERENCIA SIMETRICA
∩
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
DIFERENCIA
U
CONJUNTOS NUMERICOS
NATURALES
___
’
ENTEROS
RACIONALES
IRRACIONALES
REALES
΄
COMPLEJOS
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PROBLEMA
¿Cuantos alumnos hay en un salón de la UTP si 21 usan lentes, 19 son
menores de 20 años y 8 usan lentes y son menores de 20 años?
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Problema
En una encuesta aplicada a 100 jóvenes se obtuvieron los siguientes resultados,
62 practican fútbol, 52 practican vóley, 48 juegan basket y 12 practican los tres
Deportes. Si además se sabe que 27 practican vóley y futbol, 22 practican
vóley y básquet y 25 practican futbol y básquet. ¿Cuántos practican solo un deporte?
Problema
Su en una aula de 60 alumnos, 20 aprobaron solo Literatura, 30 aprobaron
Literatura y Matemática, ¿cuántos alumnos aprobaron sólo Matemática?
(Todos los alumnos aprueban al menos uno de los cursos mencionados)
a)0 b) 5 c) 8 d) 3 e) 10
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Problema
De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian historia,
12 mujeres no estudian historia ¿Cuantos hombres estudian historia?
a) 13 b) 10 c)15 d) 25 e)12
PROBLEMA
De un grupo de 590 alumnos se observó que 200 no postula a la UNI; 300 no
postulan a San Marcos y 50 no postulan a ninguna de estas dos.¿Cuantos
postularon a ambas universidades?
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PROBLEMA.
De los 60 alumnos que componen un salón de clases 32 juegan fútbol y 25
juegan básquet. ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican
ninguno?
PROBLEMA
En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres
Idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estas idiomas?