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Capítulo 2Teoría de Conjuntos

LECTURA: GEORG CANTOR

Nacimiento 3 de marzo de 1845; San Petersburgo, Rusia

Fallecimiento 6 de enero de 1918; Halle, Alemania

Residencia Alemania

Nacionalidad Rusa

Campo Matemáticas

Conocido por Teoría de conjuntos

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de "depresión ciclo-maníaca".1 Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.Biografía

Era hijo del comerciante Georg Waldemar Cantor y de María Bohm. Su padre había nacido en Copenhague, Dinamarca, pero emigró en 1845 a San Petersburgo. Allí nació su hijo y vivieron hasta que en 1856 una enfermedad pulmonar impulsó al padre a trasladar a su familia a Fráncfort, Alemania. Todos estos eventos provocaron que distintas naciones reclamaran como propio a Georg Cantor.La educación primaria de Georg Cantor fue inicialmente confiada a un profesor particular, pasando luego a la escuela elemental de San Petersburgo. Cuando la familia se mudó a Alemania, Cantor asistió a escuelas privadas de Fráncfort y Darmstadt hasta que a los 15 años de edad ingresó al Instituto de Wiesbaden.Los estudios universitarios de Georg Cantor se iniciaron en 1862 en Zúrich, pero al siguiente año, después de la muerte de su padre, pasó a la Universidad de Berlín donde se especializó en matemáticas, filosofía y física, aunque el interés del joven se centró en las dos primeras. Tuvo como profesores en el campo de las matemáticas a Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker.En 1872, cuando contaba con 27 años de edad, se convirtió en catedrático en la Universidad de Halle, dando inicio entonces a sus principales investigaciones.Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los números irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre la Teoría de conjuntos.En cuanto al estudio de los conjuntos infinitos, que fue considerado por su maestro Kronecker como una locura matemática, Cantor descubrió que aquellos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (tornarla inconsistente o contradictoria en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.Empezó a equiparar el concepto de infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema.Georg Cantor falleció en Halle, Alemania, el 6 de enero de 1918 a los 73 años de edad. Actualmente, su obra es ampliamente reconocida y ha sido acreedora de varios honores.

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CAPITULO IITEORÍA DE CONJUNTOS

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.1. Teoría básica de conjuntos

a) Conjunto.La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.Ejemplos.

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente de la forma siguiente:

El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

b) Álgebra de conjuntosExisten unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión.- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.PROPIEDADESa)

b)

c)

d)

Intersección.- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.PROPIEDADES

a) b)

c)

d)

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

a)

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b)

c)

d)

e) Si: Diferencia.- La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento.- El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simétrica.- La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

c) Teoría axiomática de conjuntos

La teoría de conjuntos "informal" o "elemental" apela a la intuición para determinar como se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el desarrollo de las "teorías axiomáticas de conjuntos", siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico "axioma de elección" para ser demostrados.Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de "axiomas" escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. La teoría de conjuntos de Neumann - Bernays - Gödel La teoría de conjuntos de Morse - Kelley.

d) Determinación de conjuntos Por extensión o en forma tabular

Es cuando se puede indicar explícitamente a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobrentendida.Ejemplos: A= {2; 3; 5; 7, 11} B= {1; 4; 9; 16; 25 } C= {a; e; i; o; u}

Por comprensión o en forma constructivaEs cuando se menciona una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.Ejemplos: A= {P/P es un número primo ˄ P<12} B= {x2/x ˄ x ≤ 5 } C= {x/x es una vocal}Esquema General:

A= {x4/ (x+3)(x+1)x(x-1)(x-3)= 0}Nota.- No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez.

e) Relaciones entre conjuntos1. Inclusión ()

Se dice que A está incluido en otro conjunto B; si todos los elementos de a pertenecen a B.Se denota A B.Se lee: "A está incluido en B"

"A está contenido en B" "A es subconjunto de B"

Ejemplo:A= {p; q}B= {p; q; r; s; }

A B

2. Igualdad (=)

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.Se denota A = B.

Se define:

"A está contenido en B" "A es subconjunto de B"

Ejemplo:

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A= {x/x Z ˄ x +3 = x2 - 9} B= {-3; 4 }De A: x + 3= x2 - 9, x2 - x -12 = 0

(x - 4)(x + 3) = 0 x= -3 ó x= 4

Por lo tanto A tiene los mismos elementos que B.3. Conjuntos diferentes (≠)

Se dice que dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.Se denota A ≠ B.

Se define:

"A es diferente de B" "B es diferente de A"

Ejemplo: A= {x/(x - 1)(x-2)(x - 3)x = 0} B= {0; 1; 2; 3; 4}De A: (x - 1)(x-2)(x - 3)x = 0

x= 0; x=1; x=2 ; x=3Por lo tanto A es diferente de B.

PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOSPRIMERA PARTE

Resuelva las siguientes operaciones de conjuntos en base a los enunciados o reglas que cada uno tengan para su cabal operatividad:U= {1; 2; 3; 4;...12}; A={2;4; 6; 8}; B={1;2;3,6;7}; C={1;3;5;7;9;11}; D={2;3;5;7;8}

1. [ (A∩B) - (C∩D) ]2. [ (A∆C) - (C∆D) ]3. [ (A∆D) ∆ (CUD) ]4. [ (AUB) ∆ (C-D) ]5. [ (A∩C) ∆ (C∆D) ]6. [ (A-C) ∆ (C-D) ]7. [ (A∩D) - (C'∩D) ] '8. [ (A∩B) ' - (C∩D)' ]9. [ (A∩B) - (C∆D) ]10. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ]11. [ (A∩B) - (C∩D) ]12. [ (A∆B) - (C∩D) ]13. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ]14. [ (A∩B) ∆ (C∆D) ]15. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ]16. [ (A∩B) - (C∩D) ]17. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ]18. [ (A∩B) - (C∆D) ]19. [ (A∆B) ∆ (C∆D) ]20. [ (A∩B) - (CUD) ]21. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ]22. [ (AUB) - (CUD) ]23. [ (A-B) ∆ (C-D) ]24. [ (A∩B) - (C∆D) ]25. [ (A∆B) ∆ (C-D') ]26. [ (A∩B) U (C∩D) ]27. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ]28. [ (A-B) ∩ (C'∩D) ]29. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - A30. [ (A'∩B) - (C∩D) ] - B31. [ (A∩B) ∆ (C∩D') ] - C32. [ (A∩C) - (C∩D) ] - D33. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] ∆ A34. [ (A'∩B) - (C'∩D) ] ∆ B35. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ C36. [ (A∩B') - (C∩D') ] ∆ D37. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - (C)'38. [ (A∩B) ' - (C∩D) ] ∆ (A - B)39. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - (A- D)'40. [ (A∩B) - (C∩D) ] ∆ (B - D)'41. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (A -C)'42. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (B ∆ C)'43. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (A∆D)'44. [ (A∩B) - (C∩D) ] ∆ (C - A)'45. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (C∩B)'46. [ (A∩B) - (C∩D) ] ∆ (C∩A)'47. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (C∩C)'

51. [ (A∩B) ' - (C∩D) ' ] - (C-A)'52. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ' ] ∆ (C-D)'53. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (C∆D)'54. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] ∆ (C-B)'55. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (C∆D)'56. [ (A∆B') ∆ (C∩D) ] ∆ (C-D)'57. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (D∆C)'58. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ] ∆ (C-D)'59. [ (A∩B') - (C∩D) ] - (D∆A)'60. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ] ∆ (A-D)'61. [ (A∩B') - (C∩D) ] - (B∆D)'62. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (C∩A)'63. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (D∆D)'64. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (A∩D)'65. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (BUD)'66. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (C-B)'67. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (D∆C)'68. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (A-B)'69. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (BUC)'70. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (C∩A)'71. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (D-B)'72. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (C∆A)'73. [ (A∩B') ∆ (C∩D) ] - (A-D)'74. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (B∩D)'75. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - (D-C')'76. [ (A'∩B) - (C∩D) ] ∆ (A∆D)'77. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - (B-D)'78. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (DUD)'79. [ (A∆B) - (C∩D) ] - (C∆D)'80. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (A∩B)'81. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] - (B∆C)'82. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (D-A)'83. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (AUC)'84. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (D-D)'85. [ (A∆B) - (C∩D) ] - (B∆D)'86. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (AUD)'87. [ (A'∆B) - (C∩D) ] - (C-D)'88. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (D∆D)'89. [ (A'∩B) - (C∩D) ] - (A-D)'90. [ (A∆B) - (C∩D) ]' ∆ (B∆D)'91. [ (A'∩B) ∆ (C∩D)] - (DUD)'92. [ (A∆B) - (C∩D) ]' ∆ (A∩D)'93. [ (A'∩B) - (C∩D) ] - (CUD)'94. [ (A∆B) ∆ (C∩D) ] ' ∆ (B-D)'95. [ (A'∩B) - (C∩D) ] - (A∆D)'96. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ]' - (D-A)97. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (B-B)

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48. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (C∩B)49. [ (A∩B) - (C∩D) ] - (D∩D)'50. [ (A∩B) ∆ (C∩D) ] ∆ (A∩A)'

98. [ (A'∩B) ∆ (C∩D) ] - (A∆D)'99. [ (A∆B) - (C∩D) ] ∆ (D∆C)100. [ (A'-B)∆ (C∩D) ] - (C∆A)'

SEGUNDA PARTEResolver los siguientes problemas de la forma algebraica aplicando los conocimientos de planteo de ecuaciones:1. De un grupo de 85 personas, 40 estudian; 50 trabajan; 10 estudian y trabajan. ¿Cuántos no estudian ni trabajan?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 9

2. A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales: 80 cantan, 60 bailan; 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

A) 22 B) 20 C) 26 D) 28 E) 30

3. De los 50 alumnos de un aula: 30 tienen libro de Razonamiento Matemático 27 tienen libro de Razonamiento Verbal 5 no tienen ninguno de estos libros¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de Razonamiento Matemático?

A) 21 B) 22 C) 20 D) 18 E) NA

4. En una reunión de deportistas: 8 practican fútbol y natación 6 no practican estos deportes 32 practican solamente natación 23 practican fútbol¿Cuántos deportistas había en la reunión?

A) 62 B) 60 C) 61 D) 63 E) 64

5. De los 50 alumnos de un aula: 6 conocen Arequipa y Puno, 2 no conocen ninguna de estas ciudades 16 no conocen Puno. ¿Cuántos no conocen Arequipa?

A) 15 B) 14 C) 16 D) 17 E) 24

6. En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados: 60 prefieren Aritmética 50 prefieren Biología 20 no prefieren ninguno de estos cursos¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?

A) 68 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73

7. Se encuesto a 120 alumnas sobre sus preferencias por el vóley o la natación; se obtuvo los siguientes resultados: A la cuarta parte no le gusta el vóley ni la natación A la mitad les gusta la natación A los 5/12 les gusta el vóley¿A cuántas alumnas les gusta el vóley y la natación?

A) 25 B) 26 C) 27 D) 20 E) 30

8. A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales: 20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número de los que conocen Tacna es igual al número de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen sólo Arequipa?

A) 5 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

9. A un certamen de belleza se presentaron 250 señoritas. Se sabe que: Hubieron 180 rubias de las cuales 80 usaban anteojos. El número de candidatas que no eran rubias y que tampoco usaban anteojos eran los 2/5 de las que solamente usaban anteojos. ¿Cuántas no eran ni rubias ni usaban anteojos?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

10. De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren Lenguaje; 40 prefieren Matemática; 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

A) 8 B) 10 C) 5 D) 15 E) 12

11. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol; 12 practican fútbol y natación; 10 no practican ninguno de estos deportes.¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación?

A) 32 y 20 B) 12 y 8 C) 8 y 4

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D) 20 y 8 E) 30 y 1212. En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Razonamiento Matemático; 25 aprobaron Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal; 15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal.¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

13. En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista "Gente"; 60 leen solamente la revista "Caretas"; 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos leen ambas revistas?

A) 8 B) 68 C) 48 D) 20 E) 38

14. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y Ketchup: 57 consumen mayonesa; 45 consumen Ketchup; 10 no 'consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no Ketchup?

A) 15 B) 30 C) 42 D) 52 E) 40

15. De 300 alumnas que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca Cola; 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas?

A) 130 B) 160 C) 210 D) 170 E) 150

16. En una reunión de profesores de ciencias: 47 eran de matemática; 40 eran sólo de Física; 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión?

A) 83 B) 70 C) 100 D) 91 E) 87

17. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez; 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó?

A) 220 B) 230 C) 210 D) 200 E) 190

18. Durante el mes de febrero de 1999, Santiaguito sólo desayunó jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si: 12 días desayunó solamente jugo de naranja; 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

19. Al estudiar la calidad de un producto se consideran dos tipos de defectos: A y B. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos; 150 no tienen el defecto A; 230 no tienen el defecto B; ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto?

A) 250 B) 260 C) 270 D) 240 E) 280

20. En una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró que de los 1000 encuestados: 200 no consumen ninguno de estos productos; 500 no consumen pollo; 600 no consumen pescado; ¿Cuántos consumen pescado y pollo?

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120

21. A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practican y respondieron: 40 juegan fútbol; 36 juegan vóley. ¿Cuántos alumnos practican los dos deportes?

A) 20 B) 14 C) 18 D) 12 E) 16

22. En un salón de 100 alumnos que practican álgebra y/o geometría: 80 practican geometría, 60 practican álgebra. ¿Cuántos practican solamente un curso?

A) 60 B) 40 C) 20 D) 50 E) 30

23. En una fiesta donde había 100 personas, se observó que se bailaba la salsa o el rock. Si: 65 personas bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock. ¿Cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos de baile?

A) 40 B) 25 C) 35 D) 15 E) 30

24. De 200 lectores: 80 leen las revistas A y B; 110 son lectores de la revista B. ¿Cuántos leen sólo la revista A?A) 30 B) 90 C) 60 D) 50 E) 70

25. En una asamblea de 70 integrantes de un club: 45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni estudian; ¿Cuántos trabajan pero no estudian?

A) 31 B) 14 C) 17 D) 39 E) 25

26. En una peña criolla trabajan 32 artistas de estos, 16 bailan; 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

27. De un grupo de 40 personas se sabe que 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades?

A) 20 B) 18 C) 25

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D) 22 E) 3028. Durante el mes de diciembre, Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al teatro. ¿Cuántos días va solamente a misa?

A) 7 B) 12 C) 10 D) 11 E) 9

29. De un grupo de 200 consumidores de "pollos a la Brasa" a 120 no les gusta la mostaza; a 130 no les gusta el Ketchup; a 80 no les gusta ni la mostaza ni el Ketchup. ¿A cuántas personas les gusta ambas salsas?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

30. Se realizó una encuesta entre 42 alumnos y se observa que a 26 de ellos les gusta el curso de Razonamiento Matemático, a 14 les gusta el curso de Razonamiento Verbal y a 8 les gusta ambos cursos. ¿A cuántos alumnos les gusta un solo curso?

A) 10 B) 20 C) 24 D) 26 E) 25

31. En un grupo de niños 70 comen manzanas, 80 comen peras y 50 comen peras y manzanas. ¿Cuántos son los niños del grupo?

A) 200 B) 130 C) 120 D) 50 E) 100

32. En una academia de idiomas, se tiene la siguiente relación: 30 alumnos hablan Castellano 24 hablan Francés 6 hablan Alemán y Francés 24 hablan Alemán 10 hablan Alemán y Castellano 8 hablan Castellano y Francés 2 hablan los 3 idiomas

¿Cuántos alumnos tiene la Academia?A) 54 B) 56 C) 55 D) 52 E) 58

33. En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian francés ni inglés, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian sólo inglés?

A) 150 B) 100 C) 50 D) 200 E) NA

34. En un salón de clase de 100 alumnos, hay 40 hombres provincianos, 30 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en le aula?

A) 50 B) 60 C) 40 D) 55 E) 45

35. Se realiza una encuesta y en ésta se determina que: 78 prefieren las manzanas y 62 prefieren las naranjas, si los encuestados son 100 y todos tienen preferencias por alguna de las frutas mencionadas. ¿Cuántas personas prefieren una sola fruta?

A) 40 B) 60 C) 72 D) 70 E) 62

36. En un salón de clases: 3/5 de los alumnos usa reloj, 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de los alumnos no usa anteojos ni reloj?

A) 1/15 B) 1/18 C) 1/19 D) 1/12 E) 1/25

37. Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arroja el siguiente resultado, 43 saben costura, 47 repostería, 58 tejido, 19 costura y repostería, 28 costura y tejido, 30 repostería y tejido, y 11 las tres ocupaciones. ¿Cuántas saben sólo una de las tres especialidades?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 31

38. De un grupo de 110 personas: 70 hablan inglés, 20 no hablan ni inglés ni francés.

El número de los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés y francés?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

39. En una reunión de 58 caballeros se observó que los que usaban corbata y anteojos representan la tercera parte de los que usaban corbata; los que usan anteojos son el doble de los que usan corbata y anteojos; si 10 personas no usan ni corbata ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata pero no anteojos?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 18 E) 10

40. De 75 alumnos de un aula; los 3/5 usa reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?

A) 3 B) 4 C) 5

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D) 6 E) 741. Un conjunto "A" tiene 42 elementos y otro conjunto "B" tiene 24 elementos; si AUB tiene 52 elementos. ¿Cuántos elementos tiene A∩B?

A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16

42. Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no usan anteojos; 70 no usan sombrero; los que usan sombrero y anteojos son los 3/4 del total. ¿Cuántas personas usan sombreros y anteojos?

A) 100 B) 110 C) 220D) 330 E) 300

43. A una reunión asistieron 80 personas de las cuales de 32 no cantan pero sí bailan y 24 no bailan pero sí cantan. Si el número de personas que no cantan ni bailan es el doble del número de personas que cantan y bailan. ¿Cuántas personas no cantan ni bailan?

A) 8 B) 32 C) 16D) 24 E) 64

44. En una ciudad de 120 personas: a 1/4 de la población no les gusta la carne ni el pescado; a 1/2 de la población les gusta la carne y a los 5/12 les gusta el pescado. ¿A cuántas personas les gusta el pescado?

A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) NA

45. De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan; el número de los que solamente trabajan es el doble de los que solamente estudian. El número de los que no estudian ni trabajan es la mitad de los que trabajan. ¿Cuántas personas no estudian?

A) 30 B) 55 C) 45D) 50 E) NA

46. En una encuesta realizada a un grupo de lectores de revistas, se obtuvo la siguiente información: 40 personas leen la revista "A"; 60 personas leen la revista "B".Los que no leen ninguna de éstas revistas son el triple de los que leen ambas revistas; si 80 personas no leen la revista "A". ¿Cuántas personas leen ambas revistas?

A) 10 B) 20 C) 30D) 15 E) 25

47. En una reunión de profesores: 23 usan corbata; 16 usan anteojos y 10 usan solamente anteojos. Los que no usan corbata son el triple de los que usan solamente corbata. ¿Cuántos profesores estaban reunidos?

A) 77 B) 83 C) 51D) 74 E) 90

48. De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina, 40 no conocen Brasil; el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil?

A) 80 B) 70 C) 60D) 50 E) 40

49. En una biblioteca están estudiando 62 alumnos. Hay 12 alumnos que les gusta Matemática y Lenguaje; el número de los alumnos que eles gusta Matemática es el doble del número de alumnos que les gusta Lenguaje; el número de alumnos que no les gusta ni Matemática ni Lenguaje es la mitad del número de los que les gusta sólo Matemática. ¿A cuántos alumnos les gusta Lenguaje?

A) 20 B) 8 C) 15D) 12 E) 14

50. Para ir a trabajar a una fábrica, de un grupo de 100 obreros 30 van con polo y 40 con camisa de obrero. Si 60 van con camisa o polo. ¿Cuántos obreros van con polo y camisa, si hay obreros que van con otro tipo de ropa?

A) 5 B) 7 C) 9D) 10 E) 40

51. En una clase de 30 alumnos, 14 han sido aprobados en Matemática, 10 en Física y 5 en ambos cursos. ¿Cuántos alumnos han sido aprobados en un curso por lo menos?

A) 11 B) 15 C) 17D) 19 E) 20

52. Se encuesta a 40 televidentes acerca de su preferencia por los canales "A" o "B"; 12 televidentes ven el canal "A" pero no el "B"; 18 ven el canal "B" pero no el canal "A"; el número de personas que no ven ninguno de los dos canales es el doble del número de personas que ven ambos canales. ¿Cuántos no ven el canal "B"?

A) 15 B) 22 C) 17D) 23 E) 28

53. De un total de 100 estudiantes que postulan a la Universidad de San Marcos o la universidad Católica, se conoce que:Los que postulan a San marcos son el cuádruple de los que postulan a la Católica solamente; 70 postulan exclusivamente a la San Marcos; ¿cuántos postulantes intentarán las dos posibilidades?

A) 70 B) 10 C) 20D) 30 E) 40

54. En una encuesta realizada a 141 amas de casa sobre sus preferencias por los productos "A" y "B" se obtuvo el siguiente resultado:40 amas de casa consumen "A" solamente; 90 amas de casa no consumen el producto "B"; las mas de casa que consumen "B" son el triple de las que consumen "A" y "B". ¿Cuántas amas de casa no consumen el producto "A"?

A) 34 B) 17 C) 51D) 84 E) 90

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55. De 80 alumnos que participaron en una olimpiada escolar:30 participaron en natación; 20 participaron en atletismo; el número de alumnos que participaron en otros deportes son el doble de los que participaron en natación solamente. ¿Cuántos alumnos participaron en los dos deportes mencionados?

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

56. Se reúnen 110 personas que son actores y/o cantantes; 40 son solamente actores; hay tantos cantantes como actores, ¿cuántos son actores y también cantantes?

A) 40 B) 30 C) 15D) 10 E) 70

57. En un club donde solamente hay deportistas que practican fútbol y/o básquet, el número de futbolistas es el doble del número de basquetbolistas; 10 personas practican ambos deportes y 90 personas no saben jugar básquet. ¿Cuántos deportistas hay en dicho club?

A) 170 B) 130 C) 150D) 100 E) 140

58. De un grupo de 110 personas se obtienen los siguientes datos: 8 personas leen sólo el "Comercio"; 16 personas leen sólo "La República"; 20 personas leen sólo el "Expreso"; 7 personas leen el "Comercio" y "La República"; 8 personas leen e "Comercio" y el "Expreso"; 3 personas leen el "Comercio"; "La República" y el "Expreso"; 2 personas no leen ninguno de éstos diarios.

¿Cuántas personas leen el "Expreso"?A) 25 B) 28 C) 29D) 20 E) 24

59. De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que: 70 estudian Inglés, 40 estudian Química, 40 estudian Matemática, 15 estudian Matemática y Química, 20 estudian Matemática e Inglés, 25 estudian Inglés y Química, 5 estudian los tres cursos.

¿Cuántos alumnos son en total?A) 100 B) 80 C) 85D) 90 E) 95

60. De 400 alumnos se sabe con certeza que: 110 estudian Matemática, 240 estudian Geografía, 190 estudian Literatura, 80 estudian Matemática y Geografía, 100 estudian Geografía y Literatura, 50 estudian Matemática y Literatura, 40 estudian los tres cursos.

¿Cuántos alumnos estudian por lo menos dos de los cursos mencionados?A) 130 B) 140 C) 150D) 160 E) 170

TERCERA PARTE1. Dado el conjunto unitario:

Calcular: a2+b2

A) 80 B) 74 C) 104D) 90 E) 39

2. Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica ó Tacna. Si ocho viajes fueron a Ica y once viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares?

A) 4 B) 6 C) 7D) 8 E) 5

3. Los conjuntos A y B son tales que n(A B)=30, n(A - B)=12 y n (B - A)=10. Hallar n(A)+ n (B)A) 22 B) 38 C) 36D) 25 E) 37

4. Si:

Hallar

A) 128 B) 32 C) 256D) 1024 E) 512

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5. Dados los conjuntos:

Hallar el conjunto:

A) B) C)

D) E)

6. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un 15 noches. ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente?

A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 10

7. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matemática ni Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?

A) 47 B) 43 C) 42D) 48 E) 45

8. De 55 alumnos que estudian en una universidad, se obtuvo la siguiente información: 32 alumnos estudian el curso A 22 alumnos estudian el curso B 45 alumnos estudian el curso C 10 alumnos estudian los tres cursos

¿Cuántos alumnos estudian simultáneamente dos cursos?A) 22 B) 21 C) 25D) 23 E) 24

9. Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben medallas de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas?

A) 3 B) 4 C) 6D) 5 E) 7

10. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Simplificar:

A) B) C) D) E)

11. Para dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene 3 elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos?

A) 511 B) 15 C) 31D) 107 E) 255

12. Dados los conjuntos A, B y C y los siguientes datos:

Calcular el número de subconjuntos propios de B. A) 1023 B) 127 C) 511

D) 31 E) 6313. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes, si se sabe que:

10 aprobaron sólo la primera parte 20 aprobaron la primera parte 25 aprobaron la segunda parte 21 aprobaron la tercera parte 6 aprobaron la segunda parte y tercera parte pero no la primera. 7 aprobaron las dos primeras partes 3 aprobaron las tres partes.

¿Cuántos desaprobaron las tres partes? A) 11 B) 10 C) 14D) 12 E) 13

14. En un club hay 61 personas, tal que: 5 mujeres tienen 17 años 16 mujeres no tienen 17 años 14 mujeres no tienen 18 años 10 hombres no tienen 17 ó 18 años.

¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años?A) 25 B) 30 C) 28D) 31 E) 32

15. Se encuesta a 200 personas acerca de la preferencia de los productos A, B y C; obteniéndose los siguientes resultados:

35 prefieren A y C

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42 prefieren B y C 49 prefieren sólo dos productos 75 prefieren sólo un producto

La cuarta parte no tiene preferencia alguna. ¿Cuántos prefieren los productos A y B pero no el C?A) 23 B) 21 C) 19D) 24 E) 25

16. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B tiene 50 elementos. ¿Cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B?

A) 10 B) 12 C) 11D) 13 E) 9

17. De un grupo de turistas que visitó Perú, México y Ecuador, se tiene la siguiente información: todos los que visitaron Ecuador también visitaron el Perú, 16 visitaron Ecuador, 28 visitaron México pero no Perú, 72 visitaron Perú o México, 6 visitaron Perú y México pero no Ecuador. El número de turistas que visitó sólo el Perú es el doble de los que visitó Ecuador y México. ¿Cuántos turistas visitaron sólo Ecuador y Perú?

A) 4 B) 5 C) 7D) 8 E) 6

18. Para los conjuntos A, B y C se cumple:

Determinar:

A) 4 B) 5 C) 7D) 9 E) 8

19. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas (A, B y C), se observó que 40 leen A y B; 50 leen A y C, 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen sólo dos revistas?

A) 50 B) 25 C) 75D) 29 E) 80

20. En una encuesta realizada en un club se determinó que el 60% de los socios lee “La República” y el 30% lee “El Comercio”. Se sabe que los que leen “La República” ó “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario mencionado. ¿Cuántos socios leen ambos diarios?

A) 240 B) 210 C) 180D) 200 E) 150

21. Realizada cierta encuesta a 950 personas sobre preferencias de los perfumes A, B y C; se obtuvieron los siguientes resultados:

¿Cuántos escogieron únicamente dos cualesquiera de los perfumes indicados?A) 110 B) 105 C) 120D) 100 E) 115

22. Dadas las siguientes condiciones:

Encontrar:

A) 29 B) 27 C) 28D) 30 E) 26

23. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente: 10 fuman pero no van a la academia 25 van a la academia pero no tienen 17 años. 16 que no van ala academia no fuman y tienen 17 años. 5 van a la academia, tienen 17 años, pero no fuman. 2 fuman, van a la academia y tienen 17 años.

¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni van a la academia?A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16

24. Una muestra de 200 votantes reveló la siguiente información, concerniente a tres candidatos, A, B y C de cierto partido que postulaban a tres diferentes cargos:

28 votaron a favor de A y B 98 votaron a favor de A ó B, pero no de C 42 votaron a favor de B, pero no de A ó C 122 votaron a favor de B ó C, pero no de A 14 votaron a favor de A y C, pero no de B

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64 votaron a favor de C, pero no de A ó BNo hubo ningún voto en blanco. ¿Cuántos estuvieron a favor de los tres candidatos?

A) 8 B) 6 C) 7D) 14 E) 11

25. Sabiendo que:

Calcular: A) 9 B) 8 C) 5D) 6 E) 7

26. Si los conjuntos A, B y C son conjuntos disjuntos, además:

Calcular: n(C)A) 5 B) 4 C) 2D) 6 E) 3

27. Si:

Calcular:

A) 2 B) 8 C) 64D) 32 E) 16

28. Dados:

Si A=B; A es unitario; c> a > b y son no negativos.Hallar: a + b + c + d x e.

A) 9 B) 6 C) 8D) 7 E) 10

29. Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPREUNI sobre la preferencia de 4 cursos: Aritmética (A), Algebra (X), Física (F) y Química (Q), obteniéndose los siguientes datos:

Ninguno que prefiere (F) simpatiza con (Q) 22 sólo con (A) 20 sólo con (X) 20 sólo con (F) 20 con (A) y (Q) pero no con (X) 6 sólo con (F) y (X) 4 con (A) y (F) 24 con (Q) y (X) 28 sólo (Q)

¿Cuántos prefieren sólo (A) y (X), si a todos por lo menos les gusta un curso?A) 20 B) 15 C) 18D) 16 E) 21

30. En el cumpleaños de Dora el 48% de los asistentes toman y el 40% fuman, además el 25% de los que toman, fuman; si no toman no fuman 144 personas. Hallar el total de personas.

A) 720 B) 280 C) 600D) 850 E) 400

31. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de H?

Si: .A) 45 B) 46 C) 47D) 48 E) 45

32. En la GEUNI de los 60 alumnos; 40 son hombres; a 30 la biblioteca les presta libro de Aritmética a cada uno y 12 mujeres tuvieron que comprar dicho libro. ¿Cuántos hombres compraron el libro si se supone que todos los alumnos tienen el libro?

A) 20 B) 18 C) 17D) 19 E) 21

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33. Dados los conjuntos:

¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de D?

A) 236 B) 446 C) 246D) 256 E) 226

34. En un momento de una fiesta se observó que el número de varones que no bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además el número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. Si en total asistieron 104 personas. ¿Cuántas personas no bailaban?

A) 82 B) 78 C) 72D) 39 E) 26

35. De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican Basket y los que no practican Fútbol son 220, además los que no practican Basket ni Vóley son 129 y los que practican Basket ó Vóley, pero no Fútbol, son siete veces los que practican Fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo?

A) 236 B) 229 C) 233D) 224 E) 230

36. En una fiesta social donde asistieron 4200 personas se observa que de las mujeres 3/8 son solteras. De los hombres se sabe que son los 2/5 del total de mujeres y 2/5 del número de mujeres casadas están embarazadas. ¿Cuántas mujeres casadas no están embrazadas?

A) 1125 B) 1225 C) 1425D) 1135 E) 1120

37. Se encuestó a 35 alumnos de la CEPREUNI sobre su preferencia por las bebidas A, B ó C; con los siguientes resultados:

2 prefieren "A" solamente, 13 prefieren "C" y además por lo menos otra bebida de las mencionadas. 10 no prefieren "C". La tercera parte de los que prefieren "B", pero no "A", también prefieren "C". 10 prefieren exactamente 2 marcas. 13 prefieren "A" ó "B" pero no ambas marcas. 2 prefieren "B" y "C" pero no "A".

¿Cuántos prefieren una de sola de las mencionadas bebidas?A) 18 B) 23 C) 21D) 24 E) 22

38. A un encuentro de profesionales asistieron 50 personas. De ellas, 26 eran economistas o administradores, pero no contadores, 17 eran economistas pero no administradores, 21 tenía por lo menos dos de las carreras mencionadas anteriormente; 8 eran contadores pero no administradores; 8 eran economistas y administradores pero no contadores. 6 eran contadores y administradores pero no economistas. ¿Cuántos de los asistentes no eran contadores, economistas ni administradores?

A) 2 B) 5 C) 4D) 3 E) 1

39. De una muestra recogida a 92 turistas, se determinó lo siguiente: 30 eran africanos, 40 eran Europeos y 50 eran músicos; de estos últimos, 24 eran africanos y 16 eran Europeos. Cuántos de los que no son europeos no eran africanos ni músicos?

A) 10 B) 12 C) 9D) 11 E) 8

40. En el cumpleaños de Dora el 48% de los asistentes toman y el 40% fuman, además el 25% de los que toman, fuman; si no toman no fuman 144 personas. Hallar el total de personas.

A) 720 B) 280 C) 600D) 850 E) 400

41. En la GEUNI de los 60 alumnos, 40 son hombres, a 30 la biblioteca les presta libro de Aritmética a cada uno y 12 mujeres tuvieron que comprar dicho libro. ¿Cuántos hombres compraron el libro si se supone que todos los alumnos tienen el libro?

A) 20 B) 18 C) 17D) 19 E) 21

42. De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican Basket y los que no practican Fútbol son 220, además los que no practican Basket ni Vóley son 129 y los que practican Basket ó Vóley, pero no Fútbol, son siete veces los que practican Fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo?

A) 236 B) 229 C) 233D) 224 E) 230

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