1

TEORIA DE CIRCUITS

Régimen Permanente Senoidal

Régimen permanente senoidal

• Fuente senoidal• Utilización de fasores• Impedancias• Circuito transformado• Circuitos trifásicos• Análisis frecuencial• Diagramas de Bode

2

Características temporales

• Inicialmente las señales pasan por unperíodo transitorio

• Pasado este período la señal seestabiliza y pasa a un estadoestacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

V v(c)

EstacionarioTransitorio

Estacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

0

2

4

6

8

10

V v(c)

EstacionarioTransitorio

Estacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

V v(c)

TransitorioEstacionario

3

Régimen permanente senoidal• Fuentes de tensión o de corriente variables

con el tiempo• Señales senoidales. Características:

Ao•cos(wt+ø)– Período de oscilación (T)– Frecuencia (f=1/T)– Frecuencia angular (ω =2π/T). w=ω Si

expresamos el coseno en radianes, w=360/T siexpresamos el coseno en grados

– Amplitud (Ao)– Amplitud eficaz (Aef=Ao√2)– Valor de pico a pico (2Ao)

Fuente oscilante

V(t)=A•sin(ωt)FORMATO SPICE

VX A B sin (<offset> <amplitud> <frecuencia>)

4

Ejemplo: Corriente alterna

Veff=220V f=50Hz => Ao=311.12V T=20msFORMATO SPICE

VX A B sin (0 311.12 50)

Características del RPS• Cualquier suma de senos y cosenos de la

misma frecuencia w puede expresarse dela forma Ao•cos(wt+ø)A1cos(wt+ø1)+A2cos(wt+ø2)+..+B1cos(wt+ß1)+B2cos(

wt+ß2)= =Ao•cos(wt+ø)• La respuesta de un circuito lineal a una

estimulación senoidal es otra funciónsenoidal

5

Representación fasorial deseñales senoidales

Señal senoidal definida pormódulo y fase

Ao•cos(ωt+ø)=>A∠ø ó Ao∠ø

Representación fasorial deseñales senoidales

Señal senoidal definida por móduloy fase

Ao•cos(ωt+ø)=>Representación polar:A∠øRepresentación cartesiana:

a+jb=A•cosø+jA•senø

6

Reglas de transformaciónAo•cos(ωt+ø)=> A∠ø

Ao=A√2 (A es el valor eficaz)A∠ø=Acos(ø)+jAsin(ø)

c+jd=(c2+d2)1/2∠arctan(d/c)

Suma de complejos

7

Multiplicación de complejos

División de complejos

8

Ejemplo:

y1(t)=2.82cos(wt+0.1) => z1=2∠0.1y2(t)=1.414cos(wt+1) => z2= 1∠1

y(t)= y1(t)+ y2(t) = B cos (wt+ø)z1+z2 =2•cos(0.1)+cos(1)+j•( 2•sin(0.1)+sin(1) )z1+z2 =2.53+j•1.04=2.73∠0.39

2.82cos(wt+0.1)+1.414cos(wt+1)=3.86cos(wt+0.39)

Ejemplo: Fasor de fuente detensión

v(t)=Ao•sin(wt)=Ao•cos(wt-90)V=A∠-90˚

9

Análisis de circuitos en RPS:Utilización de Impedancias

Son el resultado de substituir el parámetro ‘s’ por jω

Análisis mediante fasores

• Se aplican los mismos métodos– Ley Ohm V=IZ– Leyes Kirchoff– Transformación fuentes– Superposición– Thevenin y Norton– ….

10

Resolución circuitos en RPS

Relación corriente-voltaje

Se cumple que:v(t)=Vo•cos(wt) => V<0

I=V/Z => V/|Z|<-øi(t)=Vo/|Z|•cos(wt-ø)

11

Corriente en una resistencia

v(t)=Vo•cos(wt)iR(t)=Vo/R•cos(wt)P(t)=v(t)iR(t)=Vo2/R•cos2(wt)P(t)=(1+cos(2wt))•Vo2/(2R)Pmed(t)=Vo2/(2R)=V•I

Diagrama fasorial

La Potencia media esP=IV=IoVo/2

La corriente está enfase respecto latensión

La potencia presentauna frecuencia de 2w

12

Corriente en una capacidad

v(t)=Vo•cos(wt)iC(t)=CwVo•cos(wt+90˚)

Diagrama fasorial

La Potencia media escero

La corriente estáavanzada respectola tensión

13

Corriente en una bobina

v(t)=Vo•cos(wt)iL(t)=Vo/(Lw)cos(wt-90˚)

Diagrama fasorial

La Potencia media escero

La corriente estáretrasada respectola tensión

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Corriente en una impedancia

v(t)=Vo•cos(wt)i(t)=Vo/|Z|cos(wt-ø)

Diagrama fasorial

La corriente está retrasadat0=Tø/(2π) respecto latensión

La Potencia media esP=IVcosø=IoVo/2•cosø

A cosø se le llama factorde potencia

Si Z=R+jX entonces P=RI2

R es la parte resistiva de ZX es la parte reactiva de Z

15

Ejemplo: Circuito RLC serie

I=V/ZI=V/|Z|

Corriente máxima si!

I =V

R2

+ L" #1

C"

$

% &

'

( )

2

!

" =1

LC

Ejemplo: Circuito RLC serie

Ej. R=1Ω Lw=100Ω1/Cw=100ΩV=100<0

I=100<0VR=100<0VL=104

<90VC=104

<-90VC y VL desfasadas 180˚

16

Ejemplo: Circuito RLC paraleloI=V/Z=V/(R||ZL||ZC)

Corriente mínima si

(antirresonancia)

!

I =V1

R2

+ C" #1

L"

$

% &

'

( )

2

!

" =1

LC

Ejemplo: Circuito RLC paralelo

Ej. R=1Ω 1/(Lw)=100ΩCw=100 V=100<0

I=100<0IR=100<0IL=104

<-90IC=104

<90

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Triángulo de potenciasV=IZZ=R+jXZ=|Z|<øI=|I|<øPotencia complejaVI*=P+jQ=SP=> Potencia ActivaQ=> Potencia ReactivaS=> Potencia Aparente

Diagrama fasorialP=> Potencia ActivaP=VI•cosø=RI2

cosø => Factor potenciaWatios

Q=> Potencia ReactivaQ=VI•senø=XI2

VAr

S=> Potencia Aparente|S|=IVVA

18

Factor de potenciaS=IV*=P+jQP=IVcosøSi cosø es bajo => Para

suministrar potencia auna determinada tensiónnecesitaremos corrientemás alta => más tensión=> más costos porpérdidas en líneas ydesgaste aislantes. Portanto, hay que mantenerel factor de potencia(cosø) lo más cercano a 1posible

Ejemplo: transmisión tensión

I=250/10<60˚=25<-60˚PL=RI2=2•252=1.25kWVg=ZLI+250<0˚=319<-3,3˚

cosø=0,5

19

Corrección del factor de potencia

Y=-32.8 => cosø=1ZC||jY=20ΩI=250<0˚/20<0˚=12.5<0˚APL=RI2=2•12.52=312,8WVg=ZLI+250<0˚=276<-5.2˚

cosø=1

Corrección del factor de potencia

I 25 12,5

PL 1250 312,5

Vg 319 276

20

Teorema de transferencia demáxima potencia

Sistema trifásico secuenciadirecta ABC

21

Sistema trifásico secuenciaindirecta ACB

22

Esquema de conexión

Circuito equilibrado: Impedancias iguales en cada líneaCircuito desequilibrado: Impedancias desiguales por lineaEl voltaje de cada conexión se denomina voltaje de faseEl voltaje existente entre linea y linea se denominavoltaje de línea

Circuito trifásico equilibrado Y-Y

VA+VB+VC=0 IA+IB+IC=0 => IN=0

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Circuitotrifásico

equilibradoY-∆

IL=3VF/|Z|IL=IF√3VL=VF√3

Equivalentemonofásico del

circuito trifásicoequilibrado

Y-∆

24

Ejemplo

Calcular P,Q siV=240VZg=0.2+j0.1ΩZL=0.2+j0.1ΩZ=6+j3Ω

Ejemplo

Calcular P,QIL=V/(Zg+ZL+Z)IL=33.54<-26.56˚

P=RI2=21.6kWQ=XI2=10.8kVAr

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Equivalentes monofásicos

Potencias Activa, Reactiva, Aparente

VAIA*=VAIAcos(øA)+jVAIAsen(øA)=PA+jQA

VBIB*=VBIBcos(øB)+jVBIBsen(øB)=PB+jQB

VCIC*=VCICcos(øC)+jVCICsen(øC)=PC+jQC

S=PA+PB+PC+j(QA+QB+QC)=P+jQ

Si la red es equilibradaVXIX*=VFIFcos(ø)+jVFIFsen(ø)=PF+jQF

S=3VFIF <ø

26

Respuesta en frecuencia• Función periódica es aquella que

cumple que x(t+T)=x(t) (fo=1/T)• Cualquier función periódica puede

expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo

Respuesta en frecuencia• Cualquier función periódica puede

expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo

x(t)=∑n [ancos(nwt)+bnsin(nwt)]

27

F(t)=a0sin(wt)+b0cos(wt)+a1sin(2wt)+b1cos(2wt)+a3sin(3wt)+b3cos(3wt)+a4sin(4wt)+b4cos(4wt)+..

-1,27 0

0

0

00 0

-0,424

F(t)=-1,27sin(wt)-0,424sin(3wt)-0,254sin(5wt)-0,1819sin(7wt)-0,1414sin(9wt)-0,11sin(11wt) …

28

Transformada de Fourier

Frecuencia

an

Coeficientes bn=0

Función de transferenciaUn circuito lineal estará definido por unafunción de transferencia dependiente de lafrecuencia de la señal de entrada ω H(s=jω)

29

Función de transferencia

PROPIEDAD vIN H(jw) vOUT

Amplitud A |H(!)| A•|H(w)|Fase ø ß(!) ø+ßFrecuencia ! !

Ejemplo: Circuito RC

!

VOUT =VIN

" j1

C#

R " j1

C#

=VIN

1+ jRC#=V$ø

1

1+ R2C2# 2$"arctan RC#( )

vOUT (t) =Vo1

1+ R2C2# 2cos #t + ø " arctan RC#( )[ ]

30

Ejemplo: Circuito RC

!

H( j") =VOUT

VIN

= H#ß

=1

1+ R2C

2" 2#$arctan RC"( )

VOUT =VoH#ø+ ß

vOUT (t) =VoH cos wt + ø + ß[ ]

vOUT (t) =Vo1

1+ R2C

2" 2cos "t + ø $ arctan RC"( )[ ]

!

H( j") =1

1+ jRC"

Circuito RL

!

H( j") =VOUT

IIN= R + jL" = H

#ß= R

2 + L2" 2# arctan L" /R( )

VOUT = IoH#ø+ ß

vOUT (t) = IoH cos wt + ø + ß[ ]

vOUT (t) = Io R2 + L2" 2

cos "t + ø + arctan(L" /R)[ ]

31

Variación en frecuencia

• En función de la frecuencia deexcitación w:– Varían las impedancias capacitativas e

inductivas del circuito– Varia por tanto H(jw)

• Varia el módulo |H| y por tanto la amplitud dela señal de salida

• Varia la fase ø y por tanto la fase de laseñal de salida

Representación de H(jw)

• H(jw)=|H|<ß|H| representa la atenuación de la señalß representa el desfase de la salida

Representación completa con frecuencias:|H|(w)ß(w)

32

Representación de H(jw)

Octava: Multiplicación por dosDécada: Multiplicación por 10

Posibles funciones |H(jw)|

33

Ejemplo de aplicación

Circuito RC

!

H(s) =VOUT

VIN

=1

1+ sRC" H(s = j#) =

1

1+ j# /# p

# p =1

RC

H =1

1+# 2 #0

2 $ = %arctan # #

0( )

H(s) presenta un polo p=-1/RC. Definiemos la frecuencia depolo ωp como ωp=-p=1/RC

34

Circuito RC: Módulo

Aproximación de Bode: A partir del polo, la funcióndecae a razón de una década de |H| (ó 20 dB) por cadadécada de frecuenciaMayor divergencia: En el polo |H| decae a |H(0)|/√2(baja 3dB)

Circuito RC: Desfase

Aproximación de Bode: Inicialmente el desfase es cero(fase para w=0), a partir de una década anterior al polo0.1wp el desfase empieza a decrecer a razón de -45˙ pordécada. Una vez bajados 90˙ (una década posterior alpolo, 10wp la función se hace constante)

35

Filtropasa-bajos

!

T(s) =VOUT

VIN

=K

s+"

T(s = j#) =K

1+ j# /"

T =1

1+# 2 " 2

$ =%K & arctan # "( )

Ejercicio: Dibujar el Bode deun circuito RL

36

Representación de la funciónde transferencia

!

H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pn( )

Polos#" p1, " p2

, " p3,...," pn

Ceros#"z1, "z2, "z3

,...,"zn

POLO CERO

|H|A partir del Polo !p

-1 Década/década

A partir del cero !z

1 Década/década

Div.Función cae

|H(wp)|/!2

Función sube

|H(wz)|/!2

ßDesciende 90˙

durante dos décadas alrededor del polo

Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero

Representación de la funciónde transferencia

!

H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pn( )

Polos#" p1, " p2

, " p3,...," pn

Ceros#"z1, "z2, "z3

,...,"zn

POLO CERO

|H|A partir del Polo !p

-20 dB/década

A partir del cero !z

+20 dB/década

Div. Función cae 3dB Función sube 3dB

ßDesciende 90˙

durante dos décadas alrededor del polo

Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero

37

Circuito CR

!

V2

= V1

R

R+1

Cs

H (s) =R

R+1

Cs

=RCs

1+ RCs

H (s = j" ) =j"RC

1+ j"RC

Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC

Circuito CR

!

H(s) =s

s+1

RC

"j#

j# +1

RC

Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RCPara ω=0 tenemos que |H|=1

38

Filtropasa-alta

!

T(s) =VOUT

VIN

= Ks

s+"

T(s = j#) = Kj#

1+ j# /"

T =#

1+# 2 " 2

$ =%K + 90 & arctan # "( )

Filtropasa-banda

39

Filtropasa-banda

!

H(s) =VOUT

VIN

= K" p1

s+" p1

s

s+" p2

K =R

1+ R

2

R1

" p1= RL L " p2

=1 RCC

Ancho de banda:BW=wp2-wp1

Factor calidadQ=f/BW

40

Filtro corta-banda

Filtro corta-banda

41

Filtro corta-bandaC1

R1

R2 R R

R

C2

R1 R2

Corta-banda

!

H(s) = K1

s+" p1

+s

s+" p2

#

$ %

&

' (

H(s) = K"0

s

"0

)

* +

,

- .

2

+ 2/

"0

s+1

s+" p1( ) s+" p2( )

K =R

2

R1

" p1=1 R

2C

2 " p2

=1 R1C

1

"0

=1 R1C

1R

2C

2