Teoria de Circuitos: Un Enfoque integral

Teora de Circuitos: Un

Enfoque integral

Teora de Circuitos: Un

Enfoque integral

ARTURO SARMIENTO REYES

LUIS HERNANDEZ MARTINEZ

A los alumnos de Electronica de INAOE

Contenido

1 Conceptos Basicos 11-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2 Objeto real vs representacion . . . . . . . . . . . . . . . 31-3 Circuito real vs representacion . . . . . . . . . . . . . . . 51-4 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1-4-1 Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101-4-2 Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1-5 Elementos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131-5-1 Fuentes Independientes . . . . . . . . . . . . . . . 131-5-2 Elementos de dos terminales basicos . . . . . . . . 151-5-3 Fuentes controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1-6 Cinetica de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191-6-1 Comportamiento estatico . . . . . . . . . . . . . . 191-6-2 Comportamiento dinamico . . . . . . . . . . . . . 21

1-7 Variables basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251-8 El circuito visto como un modelo . . . . . . . . . . . . . 261-9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Senales y Sistemas 292-1 Introducccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292-2 Senal: un concepto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302-3 Tipos de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-4 Senales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2-4-1 La senal pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332-4-2 La senal impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342-4-3 La funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . 352-4-4 La funcion rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2-5 Senales armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372-6 Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402-7 Propiedades de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 412-8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

ii CONTENIDO

3 Topologa y Formulacion de Grafos 453-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453-2 Descripcion del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3-2-1 Componentes de tres terminales . . . . . . . . . . 503-3 Topologa: definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . 52

3-3-1 Definicion de grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . 533-3-2 Algunas definiciones especiales . . . . . . . . . . . 543-3-3 Definiciones orientadas a la Teora de Circuitos . 55

3-4 ABCD de la Topologa de circuitos . . . . . . . . . . . . 57(A) Matriz de incidencia nodo a rama . . . . . . . . . . . 58(B) Matriz de incidencia nodo a nodo de referencia . . . 60(C) Matriz de incidencia rama a lazo . . . . . . . . . . . 64(D) Matriz de incidencia rama a corte . . . . . . . . . . . 683-4-1 Resumen de matrices topologicas . . . . . . . . . 71

3-5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Metodos de Analisis 774-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774-2 Metodo de Tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4-2-1 Metodo de Tableau Nodal (TA) . . . . . . . . . . 794-2-2 TA Circuitos Resistivos Lineales . . . . . . . . . 804-2-3 TA Fuentes controladas: metodo normal . . . . 874-2-4 TA Fuentes controladas: metodo de Berkeley . . 914-2-5 Metodo de Tableau de Lazos (TC) . . . . . . . . 964-2-6 TC Circuitos Resistivos Lineales . . . . . . . . . 974-2-7 TC Fuentres controladas: metodo normal . . . . 1004-2-8 TC Fuentres controladas: metodo de Berkeley . 1024-2-9 Metodo de Tableau de Cortes (TD) . . . . . . . . 1074-2-10 TD Circuitos Resistivos Lineales . . . . . . . . 1074-2-11 TD Fuentes controladas: metodo normal . . . . 1094-2-12 TD Fuentes controladas: metodo de Berkeley . 109

4-3 Metodo de Analisis Nodal (NA) . . . . . . . . . . . . . . 1094-3-1 Composicion de la matriz nodal . . . . . . . . . . 1124-3-2 Elementos NA compatibles . . . . . . . . . . . . . 1144-3-3 Otros elementos NA-compatibles . . . . . . . . . 1144-3-4 Elementos no NA compatibles . . . . . . . . . . . 115

4-4 Metodo de Analisis Nodal Modificado (MNA) . . . . . . 1194-4-1 Entradas de la matriz MNA . . . . . . . . . . . . 121

4-5 Metodo de Analisis de Mallas (MA) . . . . . . . . . . . . 1234-5-1 Estructura de la matriz de malla . . . . . . . . . 1254-5-2 Elementos MA-compatibles . . . . . . . . . . . . 126

CONTENIDO iii

4-5-3 Elementos no MA-compatibles . . . . . . . . . . . 1274-6 Metodo de Analisis de Mallas Modificado (MMA) . . . . 1294-7 Metodo de Analisis de Cortes (CA) . . . . . . . . . . . . 1324-8 Metodo de analisis de corte modificado (MCA) . . . . . . 1344-9 Resumen de los metodos de incidencia . . . . . . . . . . 1344-10 Metodos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4-10-1 Metodo de Dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . 1364-10-2 Metodo Hbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394-10-3 Representacion de Dos puertos . . . . . . . . . . . 1404-10-4 Metodo de variables de estado . . . . . . . . . . . 142

4-11 Metodos para resolver Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . 1434-11-1 Eliminacion Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . 1434-11-2 Reduccion Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 1454-11-3 Descomposicion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4-12 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5 Analisis en CD 1495-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495-2 Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505-3 Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5-3-1 Interpretacion Geometrica . . . . . . . . . . . . . 1545-3-2 Procedimiento NR . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5-4 Algoritmo NR: Interpretacion circuital . . . . . . . . . . 1555-4-1 El concepto de rama linealizada . . . . . . . . . . 1565-4-2 Criterio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . 163

5-5 Defectos del metodo NR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655-5-1 No convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655-5-2 Sobreflujo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5-6 Analisis de Sensitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665-7 Enfoque Piecewise linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5-7-1 Metodo PWL & el metodo TA . . . . . . . . . . . 1705-8 Unicidad de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715-9 Estabilidad de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725-10 Multiples soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5-10-1 Relacion Homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . 1755-10-2 Propiedades de los metodos de continuacion . . . 176

5-11 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6 Analisis en CA 1796-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796-2 Analisis en la frecuencia de sistemas lineales . . . . . . . 180

iv CONTENIDO

6-2-1 Notacion Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816-2-2 Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 1846-2-3 Polos y Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6-3 Ecuacion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856-3-1 Elementos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6-4 Tableau Nodal para CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866-4-1 Metodo nodal modificado para CA . . . . . . . . 187

6-5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7 Analisis en el Tiempo 1897-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897-2 Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7-2-1 Equivalencia en el dominio s . . . . . . . . . . . . 1907-2-2 Elementos dinamicos de circuito . . . . . . . . . . 1917-2-3 Orden del circuito dinamico . . . . . . . . . . . . 192

7-3 Metodos de Integracion Numerica . . . . . . . . . . . . . 1957-3-1 Metodo de Integracion Forward Euler . . . . . . . 1977-3-2 Metodo de Integracion Backward Euler . . . . . . 1977-3-3 Metodo de Integracion Trapezoidal . . . . . . . . 198

7-4 Equivalentes discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997-4-1 Equivalentes resistivos discretos Backward Euler . 1997-4-2 Equivalentes resistivos discretos Trapezoidales . . 201

7-5 Uso de los modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 2037-5-1 MNA y modelos discretos . . . . . . . . . . . . . 2047-5-2 MNA y modelos discretos . . . . . . . . . . . . . 209

7-6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A Codigo MAPLE para un circuito RC 215A-1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215A-2 Hoja de Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Lista de Figuras

1.1 Ceci nest pas une pomme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Significado de la representacion. . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Circuito real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Elemento vs dispositivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Teora de Circuitos: una definicion. . . . . . . . . . . . . 81.6 Caso de discusion para el Ejercicio 1.4 . . . . . . . . . . 91.7 LCK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 LVK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Fuentes Ideales Basicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Elementos basicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.11 Elementos basicos vs variables electricas: un primer con-

cepto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 VEs basicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.13 Un posible modelo para un inductor. . . . . . . . . . . . 27

2.1 El circuito como un procesador de senal. . . . . . . . . . 302.2 Funcion de senal y valor de la senal. . . . . . . . . . . . . 312.3 Tipos de senales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Pulso fsico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Obtencion de la senal impulso. . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 La funcion escalon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 La funcion de rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8 Senal armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Componentes ortogonales de la senal armonica . . . . . . 392.10 Senal periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Circuito para el Ejercicio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 Descripcion esquematica de un circuito electrico. . . . . . 473.2 Componentes basicos del circuito. . . . . . . . . . . . . . 483.3 Conjunto C de componentes del circuito N . . . . . . . . 493.4 Patron de interconexion del circuito N . . . . . . . . . . . 493.5 Un componente de tres terminales. . . . . . . . . . . . . 51

v

vi LISTA DE FIGURAS

3.6 Componente de N terminales. . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Ejemplo de grafo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Ejemplo de isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9 Definiciones adicionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.10 Grafo dirigido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.11 Grafo dirigido con arbol y coarbol. . . . . . . . . . . . . 613.12 Grafo dirigido con lazos y ramas. . . . . . . . . . . . . . 653.13 Grafo dirigido con lazos basicos para un arbol seleccionado. 663.14 Construcccion de un lazo basico. . . . . . . . . . . . . . . 683.15 Grafo dirigido con corte basico. . . . . . . . . . . . . . . 693.16 El ABCD de las relaciones topologicas. . . . . . . . . . . 723.17 Itemes topologicos y matrices A, B, C y D . . . . . . . 73

4.1 Grafo dirigido con arbol y co-arbol. . . . . . . . . . . . . 814.2 Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3 Ramas controladoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4 Metodo de Berkeley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Grafo dirigido con lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.6 Ramas controladoras anadidas. . . . . . . . . . . . . . . 1034.7 Grafo modificado con lazos para el TC Metodo de Berkeley.1054.8 Grafo dirigido con sus cortes. . . . . . . . . . . . . . . . 1084.9 El girador equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.10 Modelado NA compatible de una fuente de corriente con-

trolada por corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.11 Grafica modificada del metodo NA. . . . . . . . . . . . . 1184.12 Grafo modificado para el metodo MA. . . . . . . . . . . 1294.13 Grafos separados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.14 Representacion hbrida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.15 Red de Dos puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.16 Diagrama a bloques de la representacion de estados. . . . 1424.17 Metodo de eliminacion de Gauss. . . . . . . . . . . . . . 1444.18 Metodo de eliminacion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . 145

5.1 Planteamiento de ecuaciones CD no lineales. . . . . . . . 1525.2 Interpretacion geometrica del metodo NR. . . . . . . . . 1545.3 Interpretacion geometrica de la rama linealizada. . . . . 1575.4 Rama linealizada de controlada por voltaje. . . . . . . . 1585.5 Uso del modelo iterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.6 Iteracion Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.7 Criterio de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.8 Aproximacion lineal a segmentos. . . . . . . . . . . . . . 1695.9 Estabilidad del circuito dinamico linealizado. . . . . . . . 173

LISTA DE FIGURAS vii

5.10 Trayectoria de solucion de un metodo de continuacion. . 174

6.1 Respuesta en la frecuencia de sistemas lineales. . . . . . . 1806.2 Representacion fasorial de (a) la senal de entrada x1 =

A sen(1t+ ) y (b) su respuesta y1 = B1 sen(1t+ 1). 1826.3 Respuesta fasorial f 1 en frecuencia para = 1 . . . . . 1836.4 Respuesta fasorial del sistema lineal. . . . . . . . . . . . 1836.5 Diagrama a bloque de un sistema lineal. . . . . . . . . . 184

7.1 Diagrama a bloque de un sistema lineal. . . . . . . . . . 1907.2 Circuito dinamico lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3 Lazo de capacitores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.4 Corte de Inductores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.5 Proceso de integracion continua. . . . . . . . . . . . . . . 1967.6 Discretizacion del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.7 Integracion Forward Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.8 Integracion Backward Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.9 Integracion Trapezoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.10 Equivalente discreto BE de voltaje del capacitor. . . . . . 2007.11 Equivalente discreto BE de corriente del capacitor. . . . 2007.12 Equivalente discreto BE de corriente del inductor. . . . . 2017.13 Equivalente discreto BE de voltaje del inductor. . . . . . 2017.14 Equivalente discreto TR de voltaje del capacitor. . . . . 2027.15 Equivalente discreto TR de corriente del inductor. . . . . 2037.16 Circuito a analizar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.17 Circuito despues de la sustitucion del modelo discreto. . 2057.18 Respuesta en tiempo del circuito. . . . . . . . . . . . . . 2087.19 Circuito a del Ejercicio 7.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.20 Diagrama de flujo para la obtencion de la respuesta en el

tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A.1 Circuito a analizar y circuito discretizado. . . . . . . . . 215

viii LISTA DE FIGURAS

Lista de Tablas

1.1 Dominios de analisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Resumen del comportamiento estatico. . . . . . . . . . . 211.3 Resumen del comportamiento dinamico. . . . . . . . . . 24

3.1 Dualidad entre C y D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1 Variantes de Tableau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Naturaleza de las relaciones de rama. . . . . . . . . . . . 79

5.1 Procedimiento NR: resultados numericos. . . . . . . . . . 1615.2 Modelo iterativo: resultados numericos. . . . . . . . . . . 162

6.1 Respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.1 Funciones de rama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

ix

x LISTA DE TABLAS

Prefacio

En la Teora de Circuitos Electricos se busca en primera instanciaconocer las variables electricas de los circuitos (voltaje, corriente, carga,flujo), y a partir de un analisis ulterior de estas cantidades establecerlas caractersticas cualitativas del circuito. Con el objeto de realizar elanalisis de circuitos, la Teora de Circuitos hace uso de ciertas suposi-ciones, lo que si bien limita al analisis mismo, tambien permite establecersu region de validez, asi por ejemplo, se sabe que los elementos de circuitotienen inherentemente una naturaleza no lineal, pero bajo consideracionesde pequena senal, es posible considerarlos lineales, es decir un circuitolineal puede ser considerado como un modelo simplificado de un circuitono lineal.

Tradicionalmente el analisis de circuitos electricos primeramente seimparte para realizarlo con lapiz y papel. Esto es bueno e ilustrativopara circuitos pequenos y como parte del entrenamiento introductorioal analisis de circuitos, sin embargo para circuitos grandes llevar a caboel analisis en esta forma no resulta factible y es altamente susceptiblea errores. Como resultado de esto, se requiere un enfoque integral parapoder llevar el analisis utilizando tanto las ventajas que se tienen ac-tualmente de software/computo como con las diversas metodologas deanalisis de circuitos electricos. En este libro nos enfocamos al analisis decircuitos por medio de tecnicas y algoritmos computacionales, en dondese presentan los metodos tradicionales para el analisis de circuitos peropensados en poder ser implementados en forma computacional, lo que ledara al estudiante una posibilidad de no solamente saber en que consistecada metodo sino tambien poder implementarlo computacionalmente.

El libro esta pensado para ser usado como libro de texto para estudian-tes en ingeniera electrica y ramas afines. Se espera que el estudiante alfinalizar el curso entienda los principios basicos de los diferentes metodosde analisis de circuitos, sus limitaciones, ventajas y desventajas; y seacapaz de implementarlos en computadora.

El libro esta dividido en siete captulos. En el Captulo 1 se definen losconceptos basicos de la Teora de Circuitos, donde el estudiante conocerala Ley Fundamental dentro de la Teora de Circuitos, esta es la Leyde Kirchhoff (de voltaje y de corriente). Asimismo, se introducen loselementos basicos de circuito, as como sus comportamientos estatico ydinamico.

En el Captulo 2 se define el concepto de senal y se presentan los

0 LISTA DE TABLAS

diferentes tipos de senales que se usan en la Teora de Circuitos. Elestudiante en este captulo conocera las senales mas usadas en el analisisde circuitos y sus aplicaciones al estudio de sistemas. En el Captulo 3el estudiante por medio de la topologa de un circuito electrico podrarepresentar el circuito en un grupo de cuatro matrices esenciales, es decirpodra expresar las Leyes de Kirchhoff en diversas formas matriciales,dadas por las matrices A, C y D; para ello antes se veran conceptosbasicos de grafos.

En el Captulo 4 usando las matrices A, C y D y las relaciones derama de los elementos, el estudiante sera capaz de establecer los metodosde analisis de circuitos. En el Captulo 5 se formulan las ecuaciones deequilibrio utilizando la descripcion general de la topologa del circuitoy los metodos de analisis de circuitos. En este captulo la atencion secentra en el metodo usado para analizar circuitos resistivos no lineales,es decir analisis en corriente directa (CD). En el Captulo 6 se estudian losprocedimientos para determinar la respuesta en frecuencia para sistemaslineales o linealizados. Es decir analisis en corriente alterna (CA). Porultimo, el Captulo 7 se centra en el estudio de la respuesta en el tiempode los circuitos lineales dinamicos utilizando para ello modelos discretosque nos permitan convertir el proceso de integracion numerica en unproceso recursivo.

CAPITULO 1

Conceptos Basicos

Dove si arriva ai piedi dellabbazia e Guglielmoda prova di grande acume

Umberto Eco, Il nome della rosa.

1-1 Introduccion

En este captulo se formulan los conceptos basicos y las definiciones dela Teora de Circuitos. El fundamento de la Teora de Circuitos da iniciocon la definicion de dos importantes leyes, conocidas como las Leyes deKirchhoff: la Ley de Corrientes (LCK) y la Ley de Voltajes (LVK). Estasleyes son validas bajo ciertas condiciones en las cuales se supone que elcircuito existe; tales condiciones son de interes debido a que determinanlos lmites del campo de aplicacion de la Teora de Circuitos. En estecaptulo, tambien se dedica especial atencion a discutir si las condicionesde acuerdo con los postulados de la Teora de Circuitos son validas.

Nada de lo anterior tendra significado si el objeto de analisis es decir, el circuito no estuviera adecuadamente definido. En estecontexto, introduciremos un aspecto importante: la diferencia entre elcircuito real y la representacion del circuito. La relevancia de esta dife-rencia se vuelve clara al ver el hecho patente de que cuando un disenadorlleva a cabo el analisis de un circuito dado, de hecho el/ella hace uso deciertas suposiciones para primero establecer la representacion del mismo.

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2 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

Despues, el analisis tiene lugar, pero aqu, el/ella ya no esta tratandocon el circuito real, en su lugar, el analisis se lleva a cabo sobre la repre-sentacion del circuito.

El objetivo principal de este libro reside en la introduccion de unaserie de conceptos, metodos y algoritmos de la Teora de Circuitos quepueden ser facilmente implementados en un programa de computadora.La justificacion de este objetivo parte del hecho de que la complejidad delos circuitos electronicos actuales ha alcanzado tal nivel, que el analisis amano , es imposible. Por ejemplo, en primer lugar, los desarrollos alcan-zados en los campos de Diseno de Circuitos y Tecnologa de Integracionnos han permitido obtener un gran numero de componentes electricospor unidad de area; en segundo lugar, los avances en electronica de bajapotencia hacen necesario tomar en cuenta efectos que fueron antigua-mente descuidados. Ademas, varias nuevas tecnologas emergentes estanesperando novedosos metodos de analisis y modelado.

La diferencia previamente mencionada nos da la oportunidad de in-troducir el concepto de dispositivo y en una seccion posterior explicarbrevemente el concepto de modelo . Este material no centra la atencionen el problema del modelado aunque algunos modelos simples de dispo-sitivos seran utilizados a lo largo del texto.

El principal objetivo de la Teora de Circuitos es determinar los va-lores de las variables involucradas en el funcionamiento del circuito, esdecir, determinar cuantitativamente el comportamiento del circuito. Lascantidades constituyen los valores numericos de las variables electricas(VEs). La Teora de Circuitos trata de cuatro variables electricasbasicas: carga (q), flujo (), voltaje (u) y corriente (i); como resultado,otras variables, asi como sus correspondientes valores numericos, puedenser obtenidas a partir de las VEs basicas. En este captulo, ellas son ex-plicadas al estudiar el comportamiento electrico de los famosos elementosbasicos (capacitor, inductor y resistor). Ademas, se ha introducido elmemristor ; el cual nos permitira cerrar el lazo alrededor de las variableselectricas.

El objetivo secundario de la Teora de Circuitos es determinar el com-portamiento cualitativo del circuito, es decir, obtener ciertas propiedadesdel circuito siguiendo un proceso de inferencia que evalua en un pasoposterior los resultados obtenidos a partir del comportamiento cuantita-tivo. En este captulo, solamente mencionaremos unos pocos ejemplosinvolucrando algunas propiedades cualitativas que estan relacionadas alos varios dominios en los cuales el analisis puede ser llevado a cabo.

1-2. OBJETO REAL VS REPRESENTACION 3

1-2 Objeto real vs representacion

Los terminos red electrica y circuito electrico son usados frecuentementepara denotar la misma cosa , sin embargo realmente constituyen concep-tos totalmente diferentes. Si nosotros consideramos al circuito como unaentidad fsica, es decir, como una unidad completa que ocupa un lugaren el espacio y en el tiempo, entonces circuito tiene el mismo significadode otros objetos que nos rodean, tales como silla , mesa y arbol .

El problema de la ambiguedad se deriva del hecho de que uno estaacostumbrado (de hecho, promovido por la sociedad, la cultura y laevolucion de la produccion) a representar todos los objetos mediante unaimagen. Esta imagen no solo constituye un equivalente usado parareferirse a una cosa particular, sino que tambien hace uso del poder depercepcion para construir un objeto aparentemente real que se vuelvevalido bajo ciertas circunstancias. De esta forma, el objeto imagen (esdecir, la representacion del objeto real) es util para manipular el objetodentro de un conjunto de restricciones y de ese modo obtener un mayorconocimiento acerca de como el objeto real se comporta.

Esto conduce al error de confundir modos de conceptualizacion. Lafigura 1.1 habilmente muestra la diferencia entre el objeto real y su repre-sentacion mediante una pintura del surrealista Belga Magritte1. En estetrabajo, el representa una manzana y anade la cita Ceci nest pas unepomme , aclarando la diferencia entre la manzana real y la pintura.

Sin embargo, la representacion del objeto fsico debe obedecer unaserie de reglas para ser tener un significado especfico. Como por ejemplo,en la figura 1.2, la ilustracion con el smbolo invertido del automovil notiene ningun sentido con respecto al objeto original, debido a la obviarelacion del objeto real con el camino. Ademas, si la informacion sobrela direccion del movimiento del automovil es requerida, los smbolos enlos costados no son auto-explicatorios, ya que no es obvio si se estandesplazando hacia arriba o hacia abajo.

El uso adecuado de un grupo de reglas permite tener una repre-sentacion casi universal de cualquier entidad fsica, lo cual tambienresulta aplicable cuando el objeto fsico es un circuito electrico; es de-cir, un conjunto de reglas y smbolos son necesarios para obtener unarepresentacion de este.

1Magritte, Rene (Francois-Ghislain) (Nov. 21, 1989, Lossien, Belgica Aug. 15,1967, Bruselas) pintor Belga, uno de los mas prominentes surrealistas. Sus trabajosestan caracterizados por el uso de smbolos particulares.


Figura 1.1: Ceci nest pas une pomme.

1-3. CIRCUITO REAL VS REPRESENTACION 5

Es esto un automovil?

Figura 1.2: Significado de la representacion.

~@@

@@

Ejercicio 1.1 Explique en palabras la diferencia entre elglobo terraqueo y sus representaciones cartograficas; es de-cir, las deformaciones introducidas por las proyecciones exis-tentes.

1-3 Circuito real vs representacion

Si se usa la tecnologa de circuitos integrados modernos, la imagen fsicade un circuito sera la micro-fotografa del mismo mostrando los patronesgeometricos de los dispositivos contenidos en el chip . La figura 1.3muestra la fotografa de un circuito integrado.

En ingeniera electrica, frecuentemente han sido introducidos errores,debido a que muchos ingenieros observan al diagrama del circuito comoel circuito mismo; es decir, tienden a considerar la representacion delcircuito como si fuera el circuito mismo. En realidad, el diagrama delcircuito es solo una representacion del circuito real que ha sido obtenidamediante el uso de una serie de suposiciones. Estas suposiciones juntocon las leyes que gobiernan el comportamiento fsico de todo el circuitoforman el nucleo de la Teora de Circuitos .


Figura 1.3: Circuito real.

La diferencia que ha sido establecida de esta forma, nos lleva al primergrupo de definiciones:

Definicion 1.1(a) Un Circuito electrico es una coleccion de elementoselectricos interconectados.(b) Un circuito fsico es una coleccion de dispositivos electricosinterconectados.

La diferencia no solo esta constituda por la nomenclatura, sino que tieneun significado mas profundo; los elementos son llamados usualmente ele-mentos del circuito y constituyen las representaciones de los componentesfsicos (dispositivos ). De esta forma, se evita el error de confundir ambasformas de conceptualizacion.

~@@

@@

Ejercicio 1.2 Una Paradoja: Con los conceptos ya conoci-dos, que puede usted decir sobre las fuentes (fuentes de senaly de polarizacion), son ellas parte de un circuito integradodado?


i+

-

u

(a) (b)

Figura 1.4: Elemento vs dispositivo.

Por ejemplo, un resistor fsico posee efectos adicionales que difierende los puramente resistivos, pero bajo ciertas circunstancias (baja fre-cuencia, no dependencia de la temperatura, etc.), el resistor fsico secomporta como una resistencia lineal pura, haciendo posible omitir efec-tos secundarios. Esto esta representado graficamente en la figura 1.4, en(a) el smbolo del resistor se usa para la representar el dispositivo fsicoreal mostrado en (b). De esta forma la representacion cumple la relacionlineal voltaje-corriente (Ley de Ohm), pero para el dispositivo esto nopuede ser evaluado a priori , ya que posee varias propiedades secundariasque podran no ser expresadas bajo esta relacion, es decir:

u = 56, 000i u, i ?

De esta forma, el primer paso para estudiar el circuito fsico consisteen crear una representacion del mismo. La representacion as obtenidapuede ser analizada en el pasos posteriores, lo cual es materia de estudiode la Teora de Circuitos.

La siguiente definion intenta aclarar que es la Teora de Circuitos ycuales son sus objetivos:

Definicion 1.2 La Teora de Circuitos es un conjunto dedefiniciones, metodos y suposiciones usados para analizarlas propiedades de cualquier circuito electrico, tanto en sus com-portamientos cuantitativos como cualitativos.En el primer caso, el objetivo final es determinar los valorescuantitativos de las variables electricas del circuito.En el segundo caso, la meta es mas sutil, pues esta asociada ala determinacion de las caractersticas cualitativas del circuito,las cuales son obtenidas a partir de los valores cuantitativos delas variables electricas y/o de la estructura del circuito.


El significado de la definicion se muestra esquematicamente en la figura1.5, en la que la superficie sombreada representa la Teora de Circuitos.

Circuito

Electrico

Comportamiento Cualitativo

Propiedades del circuito.

Comportamiento Cuantitativo Valores de las variables

electricas.

HipotesisMetodosLeyes

Figura 1.5: Teora de Circuitos: una definicion.

Por una parte, la determinacion del comportamiento cuantitativo nosconduce a la obtencion de un grupo de valores numericos que cumplenlas ecuaciones de equilibrio del circuito. Por otra parte, la determinaciondel comportamiento cualitativo implica un nivel adicional de inferencia,esto es, desde los valores numericos y usualmente tambien a partir dela estructura2 del circuito puede ser posible obtener informacion (confrecuencia, tambien en forma numerica) acerca de otras caractersticasel circuito, por ejemplo, sensibilidad, estabilidad, etc. El proposito dela Teora Moderna de Circuitos es seguir el segundo paso por medio deun procedimiento algortmico, y as evitar recurrir a la experiencia deldisenador para evaluar el comportamiento cualitativo del circuito.

~@@

@@

Ejercicio 1.3 Buscar otras definiciones para Teora de Ci-cuitos. Ver, entre otras, las referencias [1, 2].

2Acabamos de introducir un nuevo termino: estructura . El autor convoca la in-dulgencia del lector para reservar la discusion de este concepto a captulos posteriores.En el presente contexto, estructura tiene el mismo significado que el concepto mejorconocido de topologa.


+

uq

(a) (b)

Figura 1.6: Caso de discusion para el Ejercicio 1.4

~@@

@@

Ejercicio 1.4 Lleve a cabo una discusion sobre la diferen-cia entre elemento de circuito y dispositivo para el caso de lafigura 1.6.

Dominio Cuantitativo Cualitativo

DC

voltajes de rama u.corrientes de ramas i.voltajes nodales v.

SensibilidadUnicidadPunto de Estabilidad Q

Tiempo

voltajes de rama u(t).corrientes de rama i(t).voltajes nodales v(t).cargas q(t).flujos (t).

Constante de tiempoRetrasoSobretiroEstabilidad

Frecuencia

voltajes de rama u().currents de rama i().voltajes nodales v().cargas q().flujos ().

Margen de faseGanancia de lazo abiertoEstabilidadLugar de las races

Tabla 1.1: Dominios de analisis.

Puede verse claramente que ambos comportamientos estan definidosdentro del dominio en el cual se analiza el circuito. La Tabla 1.1 pro-porciona una vision general de los dominios basicos que tienen que vercon la Teora de Circuitos, y algunos ejemplos de los aspectos cuantita-tivos y cualitativos que son materia comun de analisis. El estudio de losdominios correspondientes se lleva a cabo en los captulos posteriores.


1-4 Conceptos fundamentales

Un circuito electrico es una entidad fsica, que esta gobernada por leyesfsicas. Es sabido que el flujo de una carga electrica es un fenomeno dis-creto, es decir, la carga ocurre en unas unidades bien definidas, concreta-mente, un numero de electrones. Sin embargo, dadas las caractersticasde los componentes y las conexiones en un circuito fsico, es posible con-siderar que el flujo de carga es un fenomeno continuo . Por lo tanto,Fsica Cuantica no juega ningun papel en Teora de Circuitos. En lassiguientes secciones, se presentan las leyes e hipotesis fundamentales dela Teora de Circuitos.

1-4-1 Hipotesis

Una serie de hipotesis son utilizadas para establecer el objetivo principalde la Teora de Circuitos.

1. Las variables electricas estan definidas claramente.Para cualquier tiempo t la definicion del valor y la direccion de lacorriente y el voltaje en cualquier parte del circuito es unica y semantiene constante.

2. La Teora de Circuitos analiza unicamente las propiedades electricasdel circuito.La Teora de Circuitos no analiza procesos mecanicos, termicos y/oqumicos que ocurren dentro de un circuito fsico. Sin embargo,algunos de los efectos derivados de tales procesos pueden ser mo-delados mediante un circuito o modelo equivalente apropiado. Porejemplo, la dependencia con la temperatura de algun parametrode un dispositivo semiconductor en el circuito puede ser simuladamediante el uso de un modelo apropiado que involucre el voltajetermico uT .

3. El circuito unicamente es accesible en algunos puntos.El circuito fsico esta formado por componentes que estan inter-conectados mediante lneas conductoras. Las intersecciones de doso mas de ellas constituyen los puntos en los cuales el circuito es ac-cesible. De hecho, tales puntos constituyen los nodos del circuito.En palabras sencillas, significa que para todos los tipos de circuitos,la Teora de Circuitos ofrece una solucion que da informacion so-bre las variables electricas que ocurren en entidades discretas biendefinidas, a saber, los nodos y las ramas. Por lo tanto, no es

1-4. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 11

posible determinar, por ejemplo, la distribucion de carga dentro deun dispositivo. Esto ultimo es una tarea en el campo del Modeladode Dispositivos3.

4. La Teora de circuitos se ocupa de circuitos compactos .En palabras sencillas, establece que las dimensiones de los dispo-sitivos y las lneas de interconexion son lo suficientemente grandescomo para considerar que se evitan los efectos de propagacion. Estoesta tambien asociado a la maxima frecuencia de trabajo (y deeste modo, a la longitud de onda) de las senales involucradas en elcircuito.

5. Las leyes basicas de la Teora de Circuitos son las leyes de Kirchhoff:

Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK).

Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK).

~@@

@@

Ejercicio 1.5 Como puede usted analizar los efectos dela temperatura en un resistor lineal, haciendo uso de lashipotesis?

1-4-2 Leyes de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff son en realidad una simplificacion de las leyes deMaxwell, sin embargo, no pretendemos derivar las primeras a partir de lospostulados de la Teora Electromagnetica, por el contrario, presentamosa ambas leyes como definiciones que constituyen el nucleo de la Teorade Circuitos.

Definicion 1.3(a) LCK. Para todos los circuitos compactos, en cualquiertiempo t, la suma algebraica de todas las corrientes sobre unasuperficie Gaussiana es igual a cero.

(b) LVK. Para todos los circuitos compactos, en cualquier tiempot, para cualquier nodo de referencia escogido (datum), y paracualquier par de nodos i y j:ukj(t) = vk(t) vj(t)

3En algunos casos, la Teora de Circuitos puede aplicarse a este problema medianteel uso de un modelo electrico distribuido para el dispositivo.


nodo

i = 0Superficie

Gaussiana

Figura 1.7: LCK.

Acerca de LCK

En realidad, la superficie Gaussiana mencionada en la ley puede ser re-ducida a un solo punto, es decir, para el punto de interconexion entrelos dispositivos conocido como nodo, como se muestra en la figura 1.7.Ademas, LCK puede ser aplicada a otras estructuras ademas de los no-dos; asi por ejemplo, es bien conocido que cualquier corte dentro de latopologa de circuito cumple esta ley.

datum

ukj(t) = vk(t) vj(t)

ui(t) = 0

Figura 1.8: LVK.

Acerca de LVK

Esta ley establece que los voltajes de rama son una transformacion linealde los voltajes nodales. Como veremos en un captulo posterior, es obvioque esta ley al igual que la anterior brinda una informacion com-pleta de la estructura del circuito. De hecho, esta ley establece que larelacion entre los voltajes de rama (u) y los voltajes nodales (v)4 es solo

4Esta nomenclatura sera usada a lo largo del libro.

1-5. ELEMENTOS BASICOS 13

una consecuencia de la topologa del circuito, sin implicacion alguna conel tipo o forma de la relacion constitutiva que define la funcion de rama.

Asimismo, se puede demostrar que otra forma de la LVK puede serdada como:

Definicion 1.3 (cont).Para todos los circuitos cerrados, en cualquier tiempo t, paratodas las secuencias de nodos cerrados, la suma algebraica detodos los voltajes nodo a nodo alrededor de la secuencia escogidaes igual a cero.

Ambas afirmaciones de la LVK estan representadas graficamente enla figura 1.8.

1-5 Elementos Basicos

En esta seccion centraremos nuestra atencion en los elementos de dosterminales que tradicionalmente han sido considerados elementos basicos.El termino elementos basicos no tiene otro significado inherente quedenotar aquellos elementos que poseen relaciones de rama que involucranlas cuatro variables electricas basicas (carga, flujo, corriente y voltaje).

Una observacion debe ser realizada aqu: no solo presentamos en esteprimer captulo las bases de la teora de circuitos, pero evitaremos caeren explicaciones engorrosas y clasificaciones de los diversos elementos, ensu lugar, el enfasis se da en el hecho de que cada elemento basico estadescrito completamente por una relacion entre dos variables electricas.

1-5-1 Fuentes Independientes

Para que el circuito funcione, es necesaria la presencia de un disposi-tivo que pueda entregar energa, tal como una batera o un generador depoder. En la Teora de Circuitos, dos tipos de componentes son usadospara modelar los mecanismos de entrega de energa: la fuente de voltajeindependiente y la fuente de corriente independiente. Ademas, omitire-mos el termino independiente y simplemente nos referiremos a elloscomo fuente de corriente y fuente de voltaje . La figura 1.9 muestra lossmbolos y caractersticas de ambas fuentes.

Fuente de Voltaje En este caso, el voltaje tiene un valor constante quees independiente del valor de la corriente a traves del elemento (ver


la figura 1.9-(a)). Varias fuentes de voltaje son usadas en la Teorade Circuitos, ellas incluyen la fuente de voltaje DC (por ejemplo lafuente de polarizacion del circuito), la fuente de voltaje senal (porejemplo la fuente de senal de un amplificador de audio) y asi sucesi-vamente. Una fuente de voltaje real tiene en realidad varios efectossecundarios asociados. Sin embargo, el elemento aqu descrito nomodela esos efectos secundarios; por ejemplo la impedancia de sa-lida asociada.

Fuente de Corriente Aqu, la corriente a traves del elemento tieneun valor constante que es independiente del valor del voltaje queaparece entre los terminales (ver la figura 1.9-(b)). Con el objetivode tomar en cuenta otros efectos dentro de una fuente de corrientereal, es necesario recurrir a elementos adicionales; por ejemplo, losefectos resistivos en la salida de la fuente pueden ser modeladosmediante un resistor conectado en paralelo a la fuente ideal.

i

u

i+

u

Fu

en

te d

e V

olt

aje

u = constante i

i

u

i+

u

Fu

en

te d

e C

orr

ien

te

i = constante u

(a) (b)

Figura 1.9: Fuentes Ideales Basicas.

~@@

@@

Ejercicio 1.6 Explicar las siguientes citas [2]:

1. Para la fuente de voltaje:Teoricamente, esta mantiene el voltaje prescrito que cruza

sus terminales aun si es corto-circuito.

2. Para la fuente de corriente:Teoricamente, esta debe entregar su corriente aun si es

circuito abierto.


i

u

+

-

u

Re

sist

or

i

i u

q

u

Ca

pa

cito

r

i+

-

u

q u

(i) (ii)

i

Ind

uct

or

i

+

-

u

i

q

i

u

Me

mri

sto

r

+

-

q

(iii) (iv)

Figura 1.10: Elementos basicos.

1-5-2 Elementos de dos terminales basicos

A continuacion, se da una breve descripcion de otros elementos basicos.El punto clave a considerar aqu es que cada componente de dos termi-nales tiene una relacion de rama asociada que relaciona directamentedos variables electricas.

Los siguientes son los tres componentes basicos mas conocidos:

Resistor Relaciona el voltaje y la corriente mediante:

i(t) u(t)

(1.1)

donde el smbolo entre ambas variables significa relacion.

Capacitor Relaciona la carga en las placas con el voltaje entre las ter-minales del capacitor.

q(t) u(t)

(1.2)


Inductor Relaciona el flujo entre las espiras con la corriente a travesdel inductor.

(t) i(t)

(1.3)

Ademas, un elemento de dos terminales menos conocido puede sermencionado:

Memristor Relaciona directamente el flujo y la carga:

q(t) (t)

(1.4)

La Figura 1.10 muestra los smbolos y caractersticas estaticas de estoselementos.

El memristor puede ser usado para modelar ciertas caractersticasde algunos dispositivos electronicos [3]. Sin embargo, desde un puntode vista estrictamente teorico5, este elemento es importante ya que nospermite cerrar el lazo alrededor de las cuatro variables electricas involu-cradas con las relaciones de rama de los componentes de dos terminalesbasicos. La figura 1.11 muestra este concepto esquematicamente.

u(t) = CAPACITOR = q(t)~ww ~wwRESISTOR MEMRISTORww ww

i(t) = INDUCTOR = (t)

Figura 1.11: Elementos basicos vs variables electricas: un primer con-cepto.

1-5-3 Fuentes controladas

En una seccion previa, hemos abordado las fuentes basicas. Aqu intro-ducimos otro tipo de fuente, usualmente referida como Fuente controlada ,pero que tiene muchas otras designaciones tales como: Transductor [2],Transactor [5] o Fuente dependiente.

5El memristor tiene para el texto una importancia meramente teorica, sin embargoes un dispositivo que recientemente ha sido fabricado [4] .


Una fuente controlada consiste de dos ramas, una rama primaria6 (larama controladora, bc) la cual contiene la variable controladora, y la ramasecundaria (la rama controlada, bm) la cual contiene la variable de salidao variable controlada. Por lo tanto, la expresion general para relacion decualquier fuente controlada esta dada por:

m = f(c)

(1.5)

donde m denota la variable controlada, la cual esta asociada a la(s)variable(s) controladora(s) c mediante la funcion f . La ecuacion (1.5)nos permite tener expresiones mas complicadas para fuentes controladasque las correspondientes a los famosos transactores lineales. Usando estaecuacion, las expresiones para las cuatro fuentes controladas son las sigu-ientes:

Fuente de voltaje controlada por corriente

um = f(ic) (1.6)

Fuente de corriente controlada por voltaje

im = f(uc) (1.7)

Fuente de corriente controlada por corriente

im = f(ic) (1.8)

Fuente de voltaje controlada por voltaje

um = f(uc) (1.9)

~@@

@@

Ejercicio 1.7 Como puede usted abordar un elemento quees controlado por el voltaje en dos nodos; cuando no hay unarama definida entre los nodos?

6Realmente, no existe una restriccion formal en el numero de ramas que controlan;es decir, la variable electrica en la rama de salida puede ser una funcion de mas deun VE.


~@@

@@

Ejercicio 1.8 Como explica usted las siguientes relaciones derama:

um = f(qc) m = f(ic) qm = f(c) im = f(ucj , uck)

donde los subndices m y c denotan las variables de lasramas controladas y controladoras respectivamente.

Transactores lineales

Si las funciones en las ecuaciones (1.61.9) son simplemente relacioneslineales, entonces corresponden a los muy conocidos transactores lineales:

Fuente lineal de corriente controlada por voltaje Transactorvoltaje-corriente (VCT):

im = gmuc (1.10)

donde gm es llamada la transconductancia .

Fuente lineal de voltaje controlada por corriente Transactorcorriente-voltaje (CVT):

um = rmic (1.11)

donde rm es llamada la transresistencia .

Fuente lineal de corriente controlada por corriente Transactorcorriente-corriente (CCT):

im = ic (1.12)

donde es llamada la razon de transferencia de corriente .

Fuente lineal de voltaje controlada por voltaje Transactor voltaje-voltaje (VVT):

um = uc (1.13)

donde es llamada la razon de transferencia de voltaje .

En general, la aplicacion de las fuentes controladas, lineales o nolineales, esta muy orientada al modelado de dispositivos. Por ejemplo,el modelo de Ebers-Moll del transistor bipolar hace uso de dos fuentes

1-6. CINETICA DE LOS ELEMENTOS 19

lineales de corriente controladas por corriente y dos resistores no lineales[6].

Ademas, las funciones constitutivas expresadas por las ecuaciones(1.10 1.13) representan a los amplificadores ideales de ganancia finita.

~@@

@@

Ejercicio 1.9 Encuentre el par de matrices (R,G) para cadatransactor lineal, si se usa la siguiente representacion:

Gu+Ri = w

donde u =[um uc

]T, i =

[im ic

]T, w =

[w1 w2

]Ty

G y R son (2 2) matrices reales.

~@@

@@

Ejercicio 1.10 Un transformador ideal puede ser visto comouna red de dos puertos, si el primario es considerado el puertonumero 1, y el secundario el puerto numero 2, encuentre lasrelaciones hbridas:[

u1i2

]=H

[i1u2

] [i1u2

]=H

[u1i2

]

donde H y H IR22 son las matrices correspondientes alas representaciones hbridas.

Cabe senalar que los transactores lineales constituyen el mas basicode los puertos de dos terminales en la Teora de Circuitos. Existen otrospuertos ideales de dos terminales tales como el girador, nullor, amp.op, etc. los que se dejan de estudio al lector.

1-6 Cinetica de los elementos

Los diversos elementos basicos al igual que elementos mas complicadosse comportan en diferentes formas, dependiendo de la cinetica de las VEsinvolucradas en las relaciones de rama.

1-6-1 Comportamiento estatico

En el comportamiento estatico, no existe la dependencia del tiempo (t).En este caso, el comportamiento del elemento de circuito puede ser indi-


cado por su punto de equilibrio (llamado comunmente punto de reposoo punto de operacion). Este punto consiste en realidad en un puntoperteneciente a la relacion de rama del elemento, la cual es representadacomo una caracterstica estatica.

Capacitor

El funcionamiento del capacitor radica en que la aparicion de una cargaelectrica estatica en las placas genera un campo electrico entre ellas. Porlo tanto, la siguiente expresion puede ser obtenida:

q E

El campo electrico puede ser evidenciado como un voltaje entre las ter-minales del capacitor. Luego, puede darse la siguiente relacion:

q u q, u constantes

(1.14)

Un ejemplo de caracterstica estatica q-u se muestra esquematicamenteen la figura 1.10-(ii).

Inductor

El inductor funciona al generar un campo magnetico en el espacio comorespuesta al flujo magnetico estatico entre las espiras; es decir:

H

El campo magnetico se manifiesta como la corriente fluyendo a traves delinductor. Por lo tanto, puede darse la siguiente relacion:

i , i constantes

(1.15)

La figura 1.10-(iii) muestra esta caracterstica estatica.

Resistor

La expresion para el resistor esta dada por una relacion entre el voltajey la corriente en la forma:

u i u, i constantes

(1.16)

La caracterstica estatica se representa en la figura 1.10-(i).


Elemento Relacion

Capacitor q u q, u constanteInductor i , i constanteResistor u i u, i constanteMemristor q , q constante

Tabla 1.2: Resumen del comportamiento estatico.

Memristor

Para este elemento teorico, la caracterstica estatica esta dada por

q , q constantes

(1.17)

Un ejemplo de caracterstica estatica se muestra en la figura 1.10-(iv).

En resumen, el comportamiento estatico de los elementos puede sertraducido en un punto de operacion. Esto resulta en un par de valoresque pueden estar definidos como:

Q(q, u)

Q(, i)

Q(i, u)

Q(, q)

para cada relacion correspondiente.

El analisis del comportamiento estatico es el mas basico en la teorade circuitos, y consituye el nucleo de analisis posteriores que involucranal comportamientos dinamico. La tabla 1.2 resume las funciones de lasecuaciones (1.141.17).

1-6-2 Comportamiento dinamico

Aqu, si existe la dependencia respecto al tiempo t. En este caso, laderivada de la funcion de rama df(x)/dx puede usarse para generar unprocedimiento de linealizacion alrededor del punto de operacion y asillevar a cabo el analisis de pequena senal.


Capacitor

En este caso, debido a la dependencia de t, una corriente fluye a travesdel capacitor:

i(t) =dq(t)

dt

De hecho la carga del capacitor puede ser determinada mediante la leyde conservacion de carga como:

q(t) = t

i()d

donde se asume que q(t = ) = 0. Por lo tanto, la relacion de ramacompleta esta dada como:

q(t) u(t) con i(t) = dq(t)dt

, o q(t) = t i()d

(1.18)

Ademas, se puede definir la capacitancia diferencial como:

C() =dq

du

donde C() significa que la capacitancia diferencial puede ser tambienfuncion de u o q.

Inductor

Similarmente, asumida la dependencia respecto a t, aparece un voltajeentre las terminales del inductor dado por:

u(t) =d(t)

dt

Asimismo, el flujo puede ser obtenido a partir del voltaje mediante la leyde conservacion de flujo:

(t) = t

u()d

donde se asume que (t = ) = 0. Por lo tanto, la relacion de ramaesta dada como:

(t) i(t) con u(t) = d(t)dt

, o (t) = t u()d

(1.19)


De manera similar al caso del capacitor, se define la inductancia diferen-cial como:

L() =d

di

donde L() significa que la inductancia diferencial tambien puede serfuncion de or i.

Resistor

La relacion de rama esta dada completamente en el dominio del tiempo:

u(t) i(t)

(1.20)

Se define la resistencia diferencial como:

R() =du

di

donde R() significa que la resistencia diferencial tambien puede ser unafuncion de u o i.

Un caso particular de la expresion anterior es la conductancia dife-rencial, que esta definida por;

G() =di

du

Memristor

En el caso de este elemento de circuito, la relacion de rama esta dadacomo:

(t) q(t) conu(t) = d(t)

dt, o (t) =

t u()d

y,

i(t) = dq(t)dt

, o q(t) = t i()d

(1.21)La memristancia diferencial puede definirse:

M() =d

dq

donde M() significa que la memristancia diferencial tambien puede serfuncion de o q.


Elemento Relacion Leyes de conservacion

Capacitor q(t) u(t)

dq(t)dt = i(t)

o

q(t) = t

i()d

Inductor (t) i(t)

d(t)dt = u(t)

o

(t) = t

u()d

Resistor u(t) i(t) ninguna

Memristor (t) q(t)u(t) = d(t)dt , o (t) =

t

u()d

y,

i(t) = dq(t)dt , o q(t) = t i()d

Tabla 1.3: Resumen del comportamiento dinamico.

El comportamiento dinamico constituye la mayor parte del tema deestudio en la teora de circuitos. Este involucra principalmente todos losefectos que son suficientes para resolver adecuadamente el problema decircuitos general. La tabla 1.3 resume las funciones involucradas con losdiversos componentes basicos; esto es, las ecuaciones (1.181.21).

~@@

@@

Ejercicio 1.11 Sea un capacitor con funcion de rama

q = u3 + 3u2 + 3u+ 1

Hallar su punto de operacion para u=1 V.

Hallar la expresion para la capacitancia diferencial.

Para el punto de operacion, evaluar su capacitanciadiferencial.

Comente sobre el caso cuando la funcion de rama estedada como u = f(q).

~@@

@@

Ejercicio 1.12 Graficar la funcion de rama para un memris-tor lineal (usted proponga la constante de proporcionalidad).Comente sobre su memristancia diferencial.

1-7. VARIABLES BASICAS 25

carga

(t)q(t)

capa

cito

r

indu

ctor

i(t) resistor

memristor

conservacion deflujo

conservacion de

u(t)

Conservacion de carga

i(t) =dq(t)dt

q(t) = t

i()d

Conservacion de flujo

u(t) =d(t)dt

(t) = t

u()d

Figura 1.12: VEs basicas.

1-7 Variables basicas

Como ya ha sido explicado, hay cuatro variables electricas principales.Ellas representan las cantidades mas simples involucradas en el problemade circuitos general, asi que, cuando decimos resolver un circuito , nosreferimos al hecho de determinar los valores numericos o las expresionesanalticas de esas variables para el circuito bajo analisis.

En la figura 1.12, se presentan las cuatro variables electricas mostradascon respecto a las relaciones de rama de los cuatro elementos basicos.Adicionalmente, se senalan las leyes de conservacion como puentes entrevariables no contiguas.

~@@

@@

Ejercicio 1.13 Dar los equivalentes de las principales VEs(q, , u, i) para los siguientes campos:Mecanica (sistemas rotacionales y traslacionales)HidraulicaSistemas termicos


1-8 El circuito visto como un modelo

En realidad, existen mas dispositivos en electronica que los menciona-dos en las secciones previas, pero cuando se tiene un dispositivo massofisticado, entonces un equivalente del mismo debe ser usado para des-cribir sus propiedades y analizar el circuito. De manera que los elemen-tos mas basicos son usados para formar el circuito equivalente . Dehecho, estamos hablando del modelo del dispositivo . Asi que la siguientedefinicion puede expresarse:

Definicion 1.4 Un modelo es una representacion de un dis-positivo hecho mediante el uso de un conjunto de componentesbasicos bajo una serie de restricciones y suposiciones.

Sin embargo, debe enfocarse especial atencion sobre varios aspectoscuando se hace uso o se genera un modelo de dispositivo. Por un lado, enla consistencia del modelo; es decir, el modelo debe ser capaz de actuarcomo el dispositivo real al menos dentro de un cierto rango de operacion,y bajo las suposiciones que han sido tomadas para la generacion del mo-delo. Lo que significa que las condiciones para la consistencia matematicapara las regiones de operacion deben ser precisadas adecuadamente. Dehecho, la consistencia del modelo significa que el modelo tambien satis-face los postulados basicos de la Teora de Circuitos. Por otro lado, elmodelo tiene que ser robusto para evitar malas condiciones, las cualesse obtendran como resultado de su uso invalido o extremadamente com-prometido respecto a las suposiciones hechas.

Finalmente, el uso de modelos mas complicados implica mayores di-ficultades cuando se analiza el circuito completo; por lo tanto debe es-tablecerse un balance entre la complejidad de los modelos y la exactitudde los analisis.

En la figura 1.13, se presenta un posible modelo para un inductor, loselementos adicionales Rs, Rp, Cp representan los efectos del nucleo y de laresistencia del cable. De esta manera, el modelo del inductor puede as serusado para determinar el comportamiento completo de un inductor real,ya que contiene componentes adicionales quemodelan efectos adicionales.

~@@

@@

Ejercicio 1.14 Encuentre el modelo de un transformadorreal y explique cuales efectos son modelados por cada com-ponente en el.

1-9. CONCLUSIONES 27

s

pRC p LpR

C p

R s

L

Rnucleo

Figura 1.13: Un posible modelo para un inductor.

1-9 Conclusiones

En este captulo se ha introducido la diferencia entre un objeto real y unarepresentacion . Ha quedado patente que la representacion se aproxima alobjeto real bajo una serie de reglas y suposiciones. La misma diferenciase aplica para el caso de un circuito electronico. Un error comun deconceptualizacion es que muchas personas consideran el diagrama delcircuito como si fuera el circuito mismo. Sin embargo, la representaciondel circuito se comporta como el circuito real cuando hacemos uso deun conjunto fiable de suposiciones y leyes, las cuales forman el nucleo dela Teora de Circuitos.

Hemos introducido la definicion de Teora de Circuitos, con enfasisen las metas que esta persigue, que consiste en la determinacion de com-portamientos cuantitativos y cualitativos del circuito. En el primer caso,se encuentran una serie de valores numericos de las variables electricas(VEs). En el segundo caso, se determinan las propiedades (frecuente-mente asociadas a un grupo de valores numericos) del circuito, mediantela interpretacion de los valores numericos de las VEs.

Se han dado las definiciones de las Leyes de Kirchhoff haciendo enfasisen su importancia como leyes fundamentales de la Teora de Circuitos.

Han sido explicados los elementos basicos de circuitos, donde la in-clusion del memristor ha permitido cerrar el crculo a las variables electri-cas fundamentales.

Ha sido aclarada la cinetica de los circuitos electronicos, con comen-tarios en las diversas variables electricas involucradas. Son cuatro las VEsbasicas: carga, flujo, voltaje y corriente, y dos los regmenes de operacionde cualquier circuito electronico: estatico y dinamico. Ademas, la difer-encia definida entre elemento y dispositivo ha conducido a la definicionde modelo .

CAPITULO 2

Senales y Sistemas

. . . their long pilgrimage ended in the yeartwo house, when the wanderers saw on an island,in Lake Texcoco, the signal: an eagle perched on a

cactus, eating a serpent.

2-1 Introducccion

Una vez establecidas las principales definiciones, los postulados y las leyesde la Teora de Circuitos, as como el concepto de circuito; el siguientepaso es conocer la operacion que un circuito puede efectuar.

En este captulo, consideraremos al circuito como una unidad monol-tica, es decir, en la forma en que un sistema general es estudiado. Dehecho, el tema de este captulo esta relacionado a dos importantes con-ceptos: senal y sistema .

Por un lado, el concepto de senal hace hincapie en la idea de queun circuito procesa la informacion dada como entrada para producir unarespuesta en la forma de una variable electrica dependiente del tiempo.

En este captulo se presenta un estudio muy conciso de los tipos desenales mas frecuentemente utilizadas. Sin embargo, el proposito de estecaptulo no es proveer un conocimiento completo de senales y sistemascomo podra ser el caso en un curso de comunicaciones o teora de control[7, 8]; por el contrario, la atencion esta centrada en la clasificacion y lostipos de senales usados para caracterizar un sistema electrico.

29

30 CAPITULO 2. SENALES Y SISTEMAS

CIRCUITO

Seal de entrada

Entrada

Excitacion

Seal de salida

Salida

Respuesta

Figura 2.1: El circuito como un procesador de senal.

Por otro lado, el procesamiento realizado por el circuito depende de lafuncion del sistema ; la cual esta definida por las propiedades del mismo.Por ello resulta conveniente la breve descripcion de que tiene lugar sobrelas propiedades mas conocidas de los sistemas.

2-2 Senal: un concepto.

Tradicionalmente, uno espera de un circuito que este haga algo con unasenal de entrada ; es decir, procesarla para producir otra senal, llamadala senal de salida . Por lo tanto un circuito puede ser visto como unacaja negra, que procesa una senal (ver la figura 2.1). La senal de entradalleva la informacion como una funcion del tiempo o forma de onda.Como resultado, a la salida aparece otra senal llevando la informacionprocesada de acuerdo al tipo de funcion realizada por el sistema.

Parece claro que ambas senales no forman parte del sistema; pero lanaturaleza de la senal de entrada y la senal de salida deseada determi-nan en gran parte al sistema mismo por ejemplo, el diseno de ampli-ficadores comienza por definir la naturaleza de las senales de entrada yde salida [9, 10].

En palabras sencillas, queremos al circuito para efectuar una ope-racion o procesar la senal de entrada de tal forma que aparezca la senalde salida deseada. En electronica moderna, las senales electricas basicasestan dadas por las variables electricas i o v.

Aunque, frecuentemente, una variable de entrada primaria debe serprocesada, como la posicion, presion, velocidad, etc; por lo que en estoscasos se vuelve util la presencia de un transductor que convierta la senalde entrada original en una senal de entrada electrica confiable y adecuada.

2-2. SENAL: UN CONCEPTO. 31

La siguiente es una definicion bastante informal de una senal:

Definicion 2.1 Una senal electrica es una variable electricax que depende del tiempo t. La senal es representada mate-maticamente por una funcion del tiempo f , tal que en cada t Dresulta un unico valor x B.

Por lo tanto:

f : D B, x = f(t) (2.1)

donde D y B son llamados el intervalo de definicion y el rango dinamico def respectivamente. En nuestra discusion, debido a que estamos tratandocon sistemas fsicos, ambos1 D, B IR.

La ecuacion anterior puede ser expresada brevemente como:

x = x(t) (2.2)

Usualmente x(t) se utiliza para denotar dos conceptos diferentes, pri-mero la funcion completa o forma de onda, y segundo, un valor singularde la senal para un t particular. No obstante, no hay posibilidad de con-fusion, ya que cada termino resulta valido dentro de cierto contexto; laforma de senal se refiere en realidad a la funcion completa o a la funcionen un intervalo de definicion. Ambos conceptos estan representados es-quematicamente en la figura 2.2.

1

x(t1 )

t t

x(t)

Figura 2.2: Funcion de senal y valor de la senal.

1Algunos subsistemas fsicos pueden ser denotados por funciones 6 IR, aunque elsistema completo permanece real; tal es el caso de algunos sistemas de comunicaciones.Sin embargo, una parte de la Teora de Circuitos trata con sistemas complejos, comopor ejemplo, filtros complejos.


2-3 Tipos de senales

En primer lugar, tomando en cuenta la forma en la cual es definida lavariable t, podemos encontrar dos principales tipos de senales, llamadassenales continuas en el tiempo y discretas en el tiempo . En el primertipo, la variable t adquiere valores continuos en el rango de definicion,mientras que en el segundo tipo, t esta definido solamente en algunosvalores de tiempo singulares, esto es t1, t2, t3, , ti.

En segundo lugar, al valor de x en un t particular usualmente se ledenota como la amplitud instantanea . Esto nos permite introducir unaclasificacion mas profunda, las senales pueden ademas ser continuas odiscretas en sus valores; asi que otros dos tipos pueden definirse: senalescontinuas en amplitud y discretas en amplitud . En el primer tipo, lasenal puede poseer una continuidad de valores. La senal con amplituddiscreta puede poseer solamente un conjunto discretizado de valores.

Esto resulta en cuatro tipos de senales, como se muestra en la figura2.3.

Discreto

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

tt

tiempo

Continuo

Co

ntin

uo

amplitud

Dis

creto

Figura 2.3: Tipos de senales.

2-4. SENALES ESPECIALES 33

Senal analogica Una senal que es continua, en la amplitud y en eltiempo. Representa la analoga basica de la informacion primaria.

Senal muestreada Una senal en la cual la amplitud esta dada en va-lores discretos de t. El procedimiento de muestreo debe obedecerel Teorema de Shanon.

Senal cuantizada Una senal en la cual la amplitud puede poseer so-lamente valores discretos. En realidad, el rango dinamico estadefinido en algunos puntos. Sin embargo, el tiempo esta definidocontinuamente.

Senal digital Aqu, la senal es cuantizada y muestreada

~@@

@@

Ejercicio 2.1 Exprese una declaracion a la siguiente ase-veracion: Basados en consideraciones de energa, las senalesdiscretas en el tiempo no pueden existir.

Diversos sistemas electronicos son usados para traducir un tipo desenal en otro. Los convertidores analogico-digital hacen esta operaciony como resultado, la senal analogica original es convertida en una senaldigital. Lo opuesto es hecho mediante los convertidores digital-analogico.El estudio de este tipo de sistemas va mas alla del alcance del texto.

2-4 Senales especiales

Dos senales especiales han jugado un papel concreto en electronica: elimpulso y el escalon. Ellas encuentran su importancia en la Teora deSistemas Lineales, la Teora de Control y la Teora de Circuitos ge-neral. Por ejemplo, la respuesta al escalon de sistemas lineales de se-gundo orden es un tema tradicional de estudio en Teora de Control;dado que la respuesta del sistema al escalon nos permite determinar al-gunos parametros tpicos como el porcentaje de sobretiro, la constantede retardo del tiempo, el tiempo de establecimiento, etc.

2-4-1 La senal pulso

La senal pulso constituye la senal mas basica en la Teora de Circuitos.Sin embargo, tiene aplicaciones mas teoricas que practicas. De hecho,a partir de esta senal pueden ser derivadas las otras senales. Una senalpulso puede ser denotada como una funcion x(t) que posee una duracion


T

A Q

x(t)

t

Figura 2.4: Pulso fsico.

de T [s] y una amplitud A. En cualquier caso fsico, esta funcion muestraun comportamiento continuo, como se muestra en la figura 2.4. El areabajo el pulso sera denotada como Q y es una medida del impacto delpulso; de hecho algunos autores usan el termino fuerza del pulso . Q estadada por:

Q = T0x()d (2.3)

donde T es el intervalo de integracion ya que el pulso se halla definidopara 0 t T .

Si le asignamos una funcion a esta integral, entonces puede obtenerse:

y(t) = t

x()d t (2.4)

donde y(t) es ahora la funcion que denota la fuerza del pulso en el instantet. Obviamente, la forma de la senal y(t) vara crecientemente desde 0 (ent = 0) hasta el maximo valor Q (en t = T ). Es importante hacer notarque para valores de t > T , la funcion integral no puede adquirir un valordiferente, es decir, alcanza su lmite Q.

Adicionalmente, si la funcion integral es conocida, entonces resultaclaro que el pulso original x(t) puede obtenerse mediante derivacion:

x(t) =dy(t)

dtt (2.5)

2-4-2 La senal impulso

Si el area del pulso es 1, entonces nos referimos al pulso unitario ; es decir:

()d = 1 > 0 (2.6)

2-4. SENALES ESPECIALES 35

1

t

1

t

1

0

t

Figura 2.5: Obtencion de la senal impulso.

Esta definicion resulta importante dado que la utilizaremos para ob-tener el concepto de impulso. Si decrementamos la duracion del pulso ver la figura 2.5 , mientras mantenemos el area igual a 1, entoncesla amplitud del pulso se incrementara; es decir, A cuando 0.Esta funcion es llamada la funcion delta de Dirac o impulso unitario. Ladefinicion estrictamente esta expresada como:

(t)def=

0 t < 0

no acotada t = 0con ()d = 1

0 t > 0

(2.7)

Resulta claro que la funcion de impulso es una senal sin significadofsico, en realidad, constituye mas un concepto que una senal. Su im-portancia proviene del hecho de que tiene muchas propiedadess teoricas.En la teora de sistemas lineales, la respuesta al impulso constituye lafuncion de transferencia del sistema expresada en el dominio del tiempo.

2-4-3 La funcion escalon

La siguiente senal a ser considerada es la senal escalon . Con la finalidadde ver su obtencion, recordemos que la fuerza del impulso es una funcionmonotonicamente creciente, que va aumentando gradualmente desde 0hasta el valor maximo Q. Ademas, si consideramos un impulso unitario,entonces el valor maximo del area es 1.

La senal escalon puede ser obtenida desde el impulso al reducir elintervalo . En el lmite cuando 0, pasamos de la integral del pulsoal escalon, es decir:

()d = (t) t y > 0


Este proceso es mostrado esquematicamente en la figura 2.6. Unadefinicion formal del escalon esta dada como sigue:

(t)def=

0 t < 0acotada entre0 y 1

t = 0

0 t > 0

(2.8)

0

1

t

1

t

1

t

Figura 2.6: La funcion escalon.

El escalon unitario, asi como los escalones de amplitud arbitraria,tienen implicaciones en el analisis de muchos sistemas basicos. Por ejem-plo, los sistemas de primer y segundo orden son caracterizados usual-mente al estudiar su respuesta a la funcion escalon. Muchas carac-tersticas de sistemas de segundo orden tales como porcentaje de so-bretiro, tiempo de ascenso, tiempo de estabilizacion son obtenidas apartir de la respuesta al escalon.

2-4-4 La funcion rampa

La siguiente senal a considerarse es la senal rampa . Esta puede serdefinida como:

r(t)def=

{0 t < 0t t > 0

(2.9)

donde es la pendiente de la rampa. En la figura 2.7, se presenta unarampa unitaria (es decir una rampa con un angulo de pendiente de 45).

Una rampa es una senal no delimitada con un comportamiento intrn-secamente inestable y no puede ser obtenida fsicamente. Sin embargo,una aproximacion se puede obtener usualmente mediante funciones pe-riodicas triangulares. Esto tiene aplicaciones en la determinacion de la

2-5. SENALES ARMONICAS 37

0t

1

r(t)

Figura 2.7: La funcion de rampa.

respuesta transitoria (analisis de dominio del tiempo) de sistemas lineales;por ejemplo, en Teora de Control Lineal, la senal rampa es utilizada paradeterminar ciertas clases de senales de error en sistemas de bajo orden.

~@@

@@

Ejercicio 2.2 Encuentre las graficas de las siguientes fun-ciones:2 x(t) = 3(t 1) 4(t 2) + (t 4).

2 x(t) = t(t 1).

y determine las expresiones, y graficas paray(t) = dx(t)/dt y z(t) =

t x()d .

2-5 Senales armonicas

Otro importante tipo de senales esta relacionado con senales con un com-portamiento periodico en el dominio del tiempo; esto es, funciones en lascuales la forma de onda se repite periodicamente. La senal periodica masbasica es la senal sinuosoidal o senal armonica, como la mostrada enla figura 2.8. Esta esta representada matematicamente por una funcionseno o coseno.

Dos parametros definen una senal armonica: el periodo T y la am-plitud A. El periodo T [s] define el intervalo de tiempo requerido parareproducir la senal ondulatoria. La amplitud A representa la maximadesviacion de la senal. Ademas, un tercer parametro puede ser involu-crado, llamado, el retraso o fase, denotado como to.


0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

x

Figura 2.8: Senal armonica.

Igualmente, el numero de periodos (ciclos) que la senal completa enun segundo es llamado la frecuencia . Luego:

f = T1 (2.10)

Tradicionalmente, las senales armonicas estan denotadas por fun-ciones coseno, por lo tanto, la senal armonica general esta dada como:

x(t) = A cos((t to))def= A cos(t+ ) (2.11)

donde

y

= to

denotan el retraso o fase. Adicionalmente,

= 2/T = 2f [s1]

es llamada la frecuencia angular.Usando identidades trigonometricas, es posible obtener:

x(t) = a cos(t) + b sin(t) (2.12)

donde

a = A cos

2-5. SENALES ARMONICAS 39

y

b = A sin

representan los componentes armonicos en la direccion cos y sin respecti-vamente. Como se muesta en la figura 2.9; donde e1 y e2 son los vectoresde estos armonicos basicos. De hecho e1 y e2 son linealmente indepen-dientes, lo cual puede ser confirmado mediante:

e1 + e2 = 0, iff = = 0

De esta manera, la funcion x(t) puede ser expresada en forma vectorialcomo:

x = ae1 + be2

donde e1 y e2 son los vectores unitarios en cada direccion. En la figura2.9, puede verse claramente que estos vectores unitarios representan lasunidades ortogonales en el espacio y que ellos estan definidos para unafrecuencia esto es, el plano e1-e2 esta definido para una frecuencia dada.

Luego, se puede establecer la siguiente :

Definicion 2.2 La suma de senales armonicas de la misma frecuencia (periodo T ) es tambien una senal armonica de frecuencia (periodoT ).

= A cos( t + )

2e

1e1ea

x2

eb

0

con: e1 = cos(t) e2 = sin(t)

Figura 2.9: Componentes ortogonales de la senal armonica .

Las senales armonicas tienen aplicaciones en el analisis del compor-tamiento de circuitos electronicos en el dominio de la frecuencia. Pararealizar esto, el circuito es excitado por una senal armonica y la frecuenciaangular (o 2f) se vara dentro de un rango de valores.


x(t)

T T T T2T

3T

t

Figura 2.10: Senal periodica .

En el caso de circuitos lineales o linealizados alrededor de un puntode operacion, la senal de salida es tambien una senal armonica de lamisma frecuencia. El analisis resultante describe la amplitud y la fase dela salida como funciones de la frecuencia angular.

Si se trata de circuitos no lineales, la salida contiene componentesarmonicos de orden superior; esto es, senales armonicas con frecuenciasque son multiplos de la senal original (armonica fundamental). Comoresultado de este analisis, se obtiene la distorsion armonica del circuitono lineal.

2-6 Senales periodicas

En realidad, las senales armonicas vistas en la seccion previa sonuna clase de senales periodicas. La definicion de una senal periodicapuede ser expresada como:

x(t) = x(t+ T ) t (2.13)

La senal es tambien periodica para 2T, 3T y asi sucesivamente; es decir,ella satisface:

x(t) = x(t+ kT ) t, k IN (2.14)

El valor positivo mas pequeno de T es llamado el periodo fundamentalde la senal. Esto se muestra esquematicamente en la figura 2.10.

La siguiente definicion se deriva directamente de la ecuacion anterior:

Definicion 2.3 La combinacion lineal de senales periodicas conperiodos T1, T2, T3, . . . es tambien periodica con un periodo T siexiste algun numero entero p, q, r, . . ., tal que T = pT1 = qT2 =rT3 = . . .. De otra forma, la senal es no periodica.

2-7. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS 41

O en otras palabras, la senal resultante es periodica si:

T1T2

=q

p,T2T3

=r

q,T3T1

=p

rcon: p, q, r IN

lo cual significa que las razones de los periodos deben ser numeros racio-nales .

Un resultado importante permite establece que cualquier funcion pe-riodica puede ser expresada en terminos de funciones sinuosoidales; usual-mente llamados los Componentes de Fourier.

Teorema 2.1 El Teorema de Fourier para senales periodicas.Una funcion periodica x(t) con un periodo fundamental T puedeser representada mediante una suma de senales armonicas te-niendo frecuencias que son multiplos de la frecuencia fundamen-tal = 2/T .

Esto puede ser expresado como:

x(t) =k=0

Ak cos(kt+ k) k = k

donde cada componente tiene su propia amplitud Ak y fase k. Ambosgrupos (las amplitudes y las fases) pueden ser funciones representadas vsla frecuencia, de hecho como funciones de frecuencia discretizada, ya quela funcion periodica esta expresada como una suma de los componentesde Fourier.

2-7 Propiedades de los sistemas

En esta seccion, se da una breve descripcion de las propiedades mas im-portantes de sistemas analizados en este texto. Para mayor informacionel lector interesado puede consultar la literatura, por ejemplo [11].

Determinismo Las propiedades y respuestas de los sistemas no tienenuna naturaleza aleatoria ; es decir, el comportamiento de los sis-temas no depende de las probabilidades.

Univaluada Cada excitacion x(t) solamente produce una y(t). Esto sig-nifica que se mantiene la unicidad del comportamiento del sistema.


Causal El sistema solamente esta definido por el pasado (la causa) yno por el futuro. Esto puede ser expresado como:

y(ti) x(t0), . . . , x(ti3), x(ti2), x(ti1), x(ti) pero no x(ti+1)

Propiedad de memoria Algunos sistemas todava tienen una respuestay(t), aun cuando la excitacion x(t) ha desaparecido (x(t) = 0). Larespuesta del dominio del tiempo de un circuito lineal RC simplepara un grupo de condiciones iniciales constituye un ejemplo basicode un sistema que exhibe esta propiedad.

Invarianza en el tiempo Sea y(t) la respuesta de un sistema a unasenal de entrada dada x(t), esto es:

x(t) y(t)

Entonces se dice que el sistema es invariante en el tiempo, si lamisma respuesta es obtenida cuando el sistema ha sido excitadopor la misma senal de entrada despues de T segundos, esto es:

x(t T ) y(t T )

En palabras sencillas, el comportamiento del sistema no dependedel tiempo.

Linealidad Si la respuesta de un sistema a dos senales de entrada dadasesta denotada como:

x1 y1 y x1 y2

entonces, el sistema es lineal si satisface:

x1 + x2 y1 + y2 , constantes

Estabilidad Un sistema es estable si para una senal de excitacion aco-tada x(t), la respuesta del sistema y(t) tambien permanece acotada.Una descripcion mas formal puede ser encontrada en otras fuentes,especialmente en textos de Teora de Sistemas Lineales y Teora deControl.

~@@

@@

Ejercicio 2.3 El concepto de linealidad expresado en laseccion previa en realidad abarca a dos propiedades: linealidady superposicion. Encuentre sus correspondientes definicionesmatematicas por separado.

2-8. CONCLUSIONES 43

R

sU

+

+

u

i

Figura 2.11: Circuito para el Ejercicio 2.4 .

~@@

@@

Ejercicio 2.4 Considere el circuito de la figura 2.11 como unsistema constitudo por una red de 1 puerto y a su voltaje (u)como la variable de salida y a la corriente (i) como la variablede entrada. Responda si el circuito obedece los principios delinealidad y superposicion (por separado).

2-8 Conclusiones

En este captulo se ha visto al circuito electrico como un sistema proce-sador de senales. Se ha dado una deficion funcional de senal. Adicional-mente, hemos desglosado una breve clasificacion de los tipos de senales,as como la descripcion de las senales mas comunmente utilizadas paracaracterizar los sistemas electricos.

Por ultimo se han visto las propiedades que rigen a los sistemas queseran objeto de estudio en este texto.

CAPITULO 3

Topologa y Formulacion deGrafos

. . . ha de saber las matematicas,porque a cada paso se le ofrecera

tener necesidad dellas . . .

Don Quijote de La Mancha Captulo 18, Parte 2.

3-1 Introduccion

Para analizar un circuito, se deben proporcionar sus componentes y es-tructura al disenador o al programa de simulacion de circuitos. Luegoes necesario establecer las ecuaciones del circuito de tal forma que seanapropiadas para el analisis. Existe una amplia variedad de metodos deformulacion para llevar a cabo esta tarea y constituyen el tema de lossiguientes captulos, en los cuales trazamos el esbozo de algunos de losmas frecuentemente usados. Este captulo pretende tocar las definicionesbasicas usadas en tales metodos; definiciones que son concernientes di-rectamente a la topologa del circuito .

Con el proposito de limitar el analisis el circuito bajo consideracionse asume como un circuito electrico compacto, el cual puede ser descritoen terminos de las caractersticas de rama y la manera en la cual esasramas estan interconectadas . Este proceso es llevado a cabo al convertir

45

46 CAPITULO 3. TOPOLOGA Y FORMULACION DE GRAFOS

la informacion concerniente al circuito en un conjunto adecuado de ecua-ciones numericas regresaremos a este punto mas adelante. El grupode ecuaciones resultante debe ser adaptado de tal forma que permita unamanipulacion eficiente para obtener la solucion al problema del circuitoaplicando un algoritmo numerico apropiado.

La notacion matricial es considerada la herramienta par excellencepara describir adecuadamente el problema del circuito electrico en unaforma tal que desemboque en una representacion matricial del mismo adhoc para codificarse en un programa de analisis de circuitos.

Es la topologa de circuitos la disciplina que hace uso directo de ma-trices, por lo que en este captulo, presentamos los conceptos basicos dela formulacion grafica de varios metodos de analisis topologico.

En la siguiente seccion, son introducidos diversos conceptos relaciona-dos a la estructura grafica del circuito, los cuales nos conducen a la con-sideracion general de que un circuito esta formado por dos conjuntosprincipales, llamados, el conjunto de componentes y el patron de inter-conexion.

Mas adelante, es presentada una breve seccion con lo escencial sobreTopologa con enfasis en aquellos conceptos que son mas utiles para laTeora de Circuitos.

En una seccion posterior, son introducidas las matrices basicas de laTopologa de Circuitos, denotadas en este texto como las matrices A, B,C, y D. Ellas son usadas para establecer las expresiones para la LVK yla LCK, con respecto a la formulacion grafica contenida en cada matriz.

3-2 Descripcion del circuito

Desde un punto de vista fsico, el problema del circuito esta enfocadoa la determinacion del comportamiento (cuantitativamente y/o cualita-tivamente) de un conjunto de elementos interconectados , teniendo cadauno de ellos una relacion o caracterstica constitutiva. El resultado delanalisis (el conjunto de variables electricas) es entonces una consecuenciade las caractersticas y de la forma en que los elementos interconectadosparecen constitur el circuito.

Con esta idea como base tambien expuesta en [12] , un circuitoelectrico N puede ser representado como un conjunto C de elementosllamados componentes y el patron de interconexion denotado por P. Lafigura 3.1 sirve para mostrar esta definicion.

Aqu, cada componente esta representado por un ovalo con su cor-respondiente nombre denotado por Ci. Cada Ci esta definido por una

3-2. DESCRIPCION DEL CIRCUITO 47

Ci

N

Figura 3.1: Descripcion esquematica de un circuito electrico.

relacion matematica de sus variables electricas. Esta relacion esta dadapor la siguiente expresion general:

vedepi = Fi(veindi , veindj , )

(3.1)

donde vedepi representa la variable electrica dependiente del componentei-th, Fi constituye su relacion con un conjunto de variables electricasindependientes veindi y veindj .

En la formula anterior, puede notarse que Fi representa una funcionde diversas variables electricas independientes. La relacion de rama dadaen la ecuacion (3.1) puede tomar la forma de una:

Relacion entre variables electricas del mismo elemento.

En este caso, la variable electrica vedepi es dependiente de la variableveindi , del mismo componente. Fi puede ser expresada entoncespor la correspondencia entre ambas variables electricas y puede sertrazada por medio de una curva vedepi-veindi .

Relacion entre variables electricas de diferentes elementos.

Aqu, la variable electrica vedepi es dependiente de la variable elec-trica de otro componente. En este caso nos referimos a un com-ponente usado para proporcionar la asociacion entre dos variableselectricas de diferente elementos de circuito. Esta circunstancia

48 CAPITULO 3. TOPOLOGA Y FORMULACION DE GRAFOS

permite la representacion de componentes con mas de dos termi-nales, al modelarlos como un conjunto de elementos de dos ter-minales, algunos de los cuales describen relaciones acopladas. Unejemplo tpico de este caso es el bien conocido modelo de Ebers-Moll de transistor bipolar [6], en el cual dos resistores y dos fuentesde corriente controladas por corriente sirven para describir el dis-positivo.

Ambos casos estan descritos esquematicamente en la figura 3.2 (a) y(b) respectivamente.

vdep i

= F (vind i

)

(a)

vdep i

= F (vind

)j

(b)

Figura 3.2: Componentes basicos del circuito.

Por un lado, si la manera en la que los componentes estan inter-conectados no se considera temporalmente, y solo los componentes ens mismos son tomados en cuenta, entonces aparte de C, esta tambienpresente un conjunto que contiene todas las funciones Fi . Este conjuntode funciones sera denotado como F . Ambos, F y C son esbozados en lafigura 3.3.

3-2. DESCRIPCION DEL CIRCUITO 49

Ci

Figura 3.3: Conjunto C de componentes del circuito N .

Por otro lado, si representamos el circuito N con cada componentedenotado por una lnea, entonces obtenemos el patron de interconexion Pdel circuito. Este patron esta constitudo unicamente por lneas (ramas )y puntos de union (nodos ). La figura 3.4 muestra el patron de inter-conexion correspondiente al circuito N , donde bi representa las ramas ynk denota los nodos . En este contexto, cada lnea o rama representa uncomponente y cada nodo representa el punto de conexion entre al menosdos componentes. Ademas, definimos el numero de nodos como n y elnumero de ramas como b.

bi

Teoria de Circuitos: Un Enfoque integral

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