Teoria Compilada de Mat II

Oscar Moreira

LA ACADEMIA San Lorenzo 645 Te 03722-433352 Cel 15561015

1

Es decir:

a si a 0a

-a si a

Oscar Moreira


2

Definicin:

L es el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende a a si y

solo si para todo epsilon () mayor que cero, existe un delta

() mayor que cero , tal que para todo x que pertenece al dominio de la funcin y a un entorno reducido de centro a y radio delta se verifica que la diferencia entre la funcin y el lmite en valor absoluto es menor que epsilon.

Simblicamente:

lm f(x) = L > 0 ; > 0 / f(x) - L <

x a

en E

a;

lim h(x) = Lx a

f(x) g(x) h(x) lim g(x) = Lx alim f(x) = L

x a

aplicando propiedad de valor absoluto x+y x y +

LIMITE

Propiedades

1. Teorema de la confrontacin del limite: si una funcin en un entorno reducido est comprendida

por dos funciones tal que:

2. Limite de la suma algebraica de funciones El lmite de la suma, es igual a la suma de los

lmites.- lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + L1 2x a x a x a

Demostracin:

Hiptesis: Por definicin:

1

lim f(x) = L > 0 > 0 / f(x) - L en E (a; )1 1 1 1 1x a 1

2

lim g(x) = L > 0 > 0 / g(x) - L en E (a; )2 2 2 2 2 2x a

Tesis:

Para verificar la tesis sumamos 1 y 2

f(x) + g(x) - L + L f(x) - L g(x) - L2 1 1 2 1 2 f(x) + g(x) - L + L2 1 Con lo que queda demostrada la tesis.

3. Lmite del producto de una constante por una funcin: es igual a la constante por el lmite de la

funcin lim k.f (x) k. lim f (x) k.Lx a x a

= =

Demostracin:

Hiptesis: Por definicin:

3

lim f(x) = L > 0 > 0 / f(x) - L en E (a; )x a

Tesis:

Para verificar la tesis multiplicamos 1 por K

. f(x) - L K. f(x) - L . K.f(x) - K.L K K Con lo que queda demostrada la tesis.

1 2 1 2x alim f(x) + g(x) = L + L > 0 > 0 / f(x) + g(x) - L en E (a; ) L

1 1

2 2

1 2 1 2

f(x) - L

g(x) - L

f(x) - L g(x) - L

x alim K.f(x) = K.L > 0 > 0 / K.f(x) - K.L en E (a; )

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3

aplicando propiedad de Valor absoluto x.y . x y

5. Limite de la inversa de una funcin:

Debemos probar que 1 1

-

g(x) L2

< e . Por tal motivo trabajamos algebraicamente dentro del

\ g(x) - L1 1 2-

g(x) L g(x) . L2 2

=

Como g(x) L2 2- < e en ( )E a; d y por tener g(x) limite finito la funcin est acotada y se puede escribir

que g(x) k< por tal motivo la expresin anterior quedar expresada

de la siguiente manera: 1 1 1 12

- -

g(x) L g(x) L2 22k. L

G5 5H

< < e

ee

en ( )E a; d entonces implica que 1 1

limx a g(x) L2

=

El limite del cociente: es igual al cociente de los limites.-

Demostracin: se lo puede demostrar como el producto del numerador por el limite de la inversa del

denominador de la siguiente manera:

Lf (x) 1 1 1lim lim f (x). lim L .1x a x a x ag(x) g(x) L L2 2

= = =

6. Lmite del producto de dos funciones: es igual al producto de los lmites.-

( )lim f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) = L .L1 2x a x a x a

Demostracin:

Hiptesis: Por definicin: 1lim f(x) = L > 0 > 0 / f(x) - L en E (a; )1 1 1 1 1x a

lim g(x) = L > 0 > 0 / g(x) - L en E (a; )2 2 2 2 2 2x a

Tesis: lim f(x).g(x) = L .L > 0 > 0 / f(x).g(x) - L .L en E (a; )1 2 1 2x a Para verificar la tesis multiplicamos 1 y 2

f(x) - L1 1

g(x) - L2 2

f(x) - L . g(x) - L . 1 2 1 2

x

f(x) - L . g(x) - L f(x) - L . g(x) - L1 2 1 2

Debemos resolver el producto y luego incorporar al valor absoluto:

f(x) - L . g(x) - L f(x).g(x) - f(x).L - g(x).L L .L1 2 2 1 1 2 Invirtiendo el orden de la igualdad:

f(x).g(x) - f(x).L - g(x).L L .L f(x) - L . g(x) - L2 1 1 2 1 2 Pasamos el 2 y el 3 termino al 1 miembro

f(x).g(x) L .L f(x) - L . g(x) - L + f(x).L + g(x).L1 2 1 2 2 1

2

2 2x a x a

1 1 1 1lim g(x) L 0 lim > 0 > 0 / - en E (a; )

g(x) L g(x) L = = " $ d < e d

( )

( )sacando F.C. -1 prop. distribut.de Valor Abs.

2 2 22

1 2 2 2 2

-1 .g(x) - L 1 . g(x) - L g(x) - LL - g(x)1 1-

g(x) L g(x).L g(x).L g(x) . L g(x) . L

-= = = =

6444447 444448 64444447 4444448

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4

Restamos dos veces L .L1 2 a ambos lados

f(x).g(x) L .L1 2 L .L1 2 L .L f(x) - L . g(x) - L + f(x).L + g(x).L - L .L - L .L1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

Sacamos factor comn 1 2L y L

f(x).g(x) L .L f(x) - L . g(x) - L + L f(x) - L L g(x) - L1 2 1 2 2 1 1 2

Aplicando Valor Absoluto

f(x).g(x) L .L f(x) - L . g(x) - L + L f(x) - L L g(x) - L1 2 1 2 2 1 1 2

Aplicando propiedad distributiva de la suma del valor absoluto

1 2 1 2

f(x).g(x) L .L f(x) - L . g(x) - L L f(x) - L L g(x) - L . .1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2

k k< < < >

- - > - > > \

ANALISIS DE LA FUNCIN

Funcin Creciente y Decreciente: Se puede establecer por medio del anlisis de las imgenes de la funcin o por el estudio del signo de

la 1 derivada.

1) Anlisis de la imagen de la funcin:

Funcin Creciente:

[ ]f (x) es Creciente en a; b x x f (x ) f (x )1 2 1 2 " < <

Funcin Decreciente:

[ ]f (x) es Decreciente en a; b x x f (x ) f (x )1 2 1 2 " < >

2) Anlisis del signo la 1 derivada:

Teorema sobre funciones Crecientes: (Piskunov) Funcin Creciente

Si una funcin f ( x ) es continua en ;a b y derivable en ;a b , cuando f(x) es positiva para a < x < b ,

f ( x ) es una funcin creciente en ;a b Demostracin:

Por definicin:f (x) f (c)

lm f (c)x c x c

-=

-

Funcin Decreciente

Si una funcin f ( x ) es continua en ;a b y derivable en ;a b , cuando f(x) es negativa para

a < x < b , f ( x ) es una funcin decreciente en ;a b

Demostracin: Por definicin; f (x) f (c)

lm f (c)x c x c

-=

-

f (x) f (c) si x c 0 f (x) f (c) 0 f (x) f (c) f (x) decrecef (c) 0 0

x c si x c 0 f (x) f (c) 0 f (x) f (c) f (x) decrece

- - < - > > \< <

- - > - < < \

Extremos absolutos y relativos (Mximos y Mnimos) Se llaman extremos de una funcin a los valores Mximos y Mnimos que toma la funcin en un cierto

intervalo.

Definicin de mnimo:

Se dice que una funcin tiene mnimo para x = x1 si: f ( x1+x) > f (x1) para cualquier valor de

x ( positivo o negativo) suficientemente pequeo en valor absoluto.

Por ejemplo en la figura hay mnimo en los puntos x1, y x3.

Una funcin definida en un intervalo cerrado alcanza su valor mximo o mnimo solo en los puntos interiores al intervalo considerado.

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16

Si f ( x ) es una funcin derivable, c es un punto interior a su dominio donde f ( c ) = 0 y existe un entorno de c tal que para todo

x en el semientorno a izquierda de c es f `( x ) positiva y para todo x a derecha de c es f ( x ) negativa, entonces es f ( c ) un mximo

local de f..

Se puede abreviar el criterio diciendo: si la derivada primera pasa de valores positivos a valores negativos cuando x pasa de izquierda a

derecha del punto c, entonces f (c ) es mximo local

* Condicin necesaria para la existencia de un extremo.

Si la funcin derivable y = f ( x ) tiene un mximo o un mnimo en el punto x = x1, su derivada se anula

en en ese punto, es decir, f ( x1 ) = 0

Demostracin:

Supongamos que en un punto x = x1 la funcin tiene un mximo. Entonces para los incrementos x

(x 0 ) suficientemente pequeos en valor absoluto, se verificar:

f ( x1 + x ) < f (x1) f ( x1 + x ) - f (x1) < 0 f (x x) f (x )1 1

x

+ D -

D

El signo de esta razn

depende del signo de x:

f (x x) f (x )1 1

x

+ D -

D

> 0 para x < 0

f (x x) f (x )1 1

x

+ D -

D

< 0 para x > 0

Conforme a la definicin de derivada, se tiene: f (x x) f (x )1 1

lim f (x )1x 0 x

+ D -=

D D

Si la funcin tiene derivada en x = x1 , el lmite no depende de la forma en que x tiende a cero

(Permaneciendo positivo o negativo).

si x 0 permaneciendo positivo ( por la derecha del punto x1 ), resulta: f (x) 0

si x 0 permaneciendo negativo ( por la izquierda del punto x1 ),resulta: f (x) 0

Puesto que f ( x1 ) es un nmero determinado que no depende de la manera en que

x 0, las ltimas desigualdades solo sern compatibles para la igualdad: f ( x1 ) = 0

Del mismo modo se demuestra cuando se trata del mnimo de una funcin.

De este teorema se deduce que si la funcin f(x) tiene derivada para todos los valores considerado

de la variable independiente x, la funcin puede tener valores extremos (Mximos y mnimos) nicamente en los puntos donde la 1 derivada se anula.

* Condicin suficiente para la existencia de un extremo

a. Criterio de la 1 derivada: Variacin del signo de la derivada primera

b. Criterio de la 2 derivada para la determinacin de Extremos

Si f es una funcin derivable, c es un punto interior a su dominio donde se anula f y existe

f (c) < 0, entonces f ( c ) es un mximo local en f.

Se observa que en este criterio solo se quiere conocer el signo de la derivada 2 en un

punto y no exige su consideracin en un entorno.

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Demostracin:

f (x) f (c) f (x) f (c)lm f (c) 0 0

x c x c x c

- -= < 0

f ( x ) < 0 (la funcin decrece), entonces por el criterio de la derivada primera (si una funcin crece y

luego decrece entones existe un mximo) en f ( c ) hay mximo local. En las mismas condiciones, f

( c ) > 0 puede probarse que f ( c ) es un mnimo local.

TEOREMA SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

TEOREMA DE ROLLE

Si una funcin f(x) es continua en un intervalo ;a b y derivable en todos los puntos interiores de ste donde f a = f b , en el intervalo existe por lo menos un punto x = c interior, en el que se verifica

( ) 0f c

Simblicamente: Hiptesis:

1- f(x) es continua en ;a b ; 2- f(x) es derivable en ;a b ; 3- f a = f b Tesis: / ( ) 0c a c b f c Demostracin:

Como la funcin es continua y derivable, en el intervalo ;a b , alcanza en este intervalo un valor Mximo M y uno mnimo m segn teoremas de funciones continuas (Weirstrass). En consecuencia se

presentan tres casos:

1- Si M=m y f a = f b , en este caso la funcin es constante en ;a b , es decir: : ( ) ( ) 0 ;x R f x k k R f x x a b

2- Si ( )m f a y ( )m f b , entonces ;m a b es un mnimo absoluto en ese intervalo, entonces

c a;b / f (c)=0 ya que es condicin necesaria para la existencia de extremos.

3- Si ( ) y ( )M f a M f b entonces ;M a b es un mximo absoluto en ese intervalo,

entonces c a;b / f (c)=0 ya que es condicin necesaria para la existencia de extremos. Solo existe mximo y mnimo absoluto donde la 1 derivada se anula Grficamente:

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18

* Grficamente:

Analizando el grafico correspondiente a la situacin, donde una recta pasa por los puntos extremos del

intervalo (a; f(a)) y (b; F(b)); esta es paralela a una

recta trazada por un punto interior por lo tanto por condicin de paralelismo, las

Pendientes son iguales.

tg f (c) (pendiente de la recta tangente)f (b) f (a)

f (c) f (b) f (a)b atg (peendiente de la recta secante)

b a

a =-

\ =--a =

-

( ) ( )( )

f b f af c

b a

TEOREMA DE LAGRANGE (Teorema del Valor Medio del Calculo Diferencial)

Si una funcin f(x) es continua en un intervalo ;a b y derivable en todos los puntos interiores de ste donde ( ) ( )f a f b , en el intervalo existe por lo menos un punto x = c interior, en el que se verifica:

Demostracin:

* Analticamente

Dado una funcin auxiliar Q(x) = f(x) S(x) que satisface el teorema de Rolle

Q(a) = Q(b)

Q(c) = 0

* Derivando Q((x) en el punto x =c : Q(c) = f(c) S(c)=0 f (c) S (c)= (1)

Siendo y =S(x) la ecuacin de la recta secante., satisface los puntos (a; f(a)) y (b; F(b))

( ) ( )

( ) ( ) ( )f b f a

S x f a x ab a

Derivando en x = c f(b) - f(a)

S(c) =b - a

(2); Igualando (1) y (2) resulta:

f (b) f (a)f (c)

b a

-=

-

TEOREMA DE CAUCHY

Dadas la s funciones y=F(x); y=G(x) continas en el intervalo ;a b y derivable en los puntos

interiores del mismo, siendo G(a) G(b) y G (c) 0 , se verifica /c a c b : F (c) F(b) F(a)

G (c) G(b) G(a)

-=

-

Demostracin:

Partimos de una funcin auxiliar que satisface el teorema de Rolle: Q(x) = F(x) K .G(x)

Q(a) = Q(b)

Q(c) = 0

Q(a) F(a) K.G(a) igualando : F(a) K.G(a) F(b) K.G(b) agrupando K: k.G(b) K.G(a) F(b) F(a)Q(b) F(b) K.G(b)

= -- = - - = -

= -

( )sacando factor comun "k" : K. G(b) G(a) F(b) F(a) k =F(b) F(a)

G(b) G(a)- = -

-

- ( 1 )

Derivando la funcin auxiliar en x = c

F(c)

Q(c) = F (c) - K .G(c) = 0 F(c) = K .G(c) = K G(c)

(2)

Igualando ( 1 ) y ( 2 ) F (c) F(b) F(a)

G (c) G(b) G(a)

-=

-

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REGLA DE LHOPITAL

Enunciado:

Supngase que las funciones f( x ) y g( x ) satisfacen en un cierto intervalo [ ]a;b las condiciones del Teorema de Cauchy y se anulan en el punto x = a, es decir f(a)=0 y g(a)=0 ; entonces, si existe el

lmite del cociente f (x)

g(x)

, cuando x a, existir tambin f (x)

lmx a g (x)

y adems: f (x)

lmx a g(x)

= f (x)

lmx a g (x)

Demostracin:

Tomemos en el intervalo b;a un punto x a. Aplicando la formula del T. de Cauchy, donde se encuentra entre a y x :

f (x) f (a) f ( )

g(x) g(a) g ( )

- x=

- x ;( )f (a) g(a) 0= =

f (x) f ( )

g(x) g ( )

x=

xSi x a entonces a

Aplicando lmites a ambos lados de la igualdad:

f (x) f ( ) f (x) f (x) f (x)lm lm lm lm lm

x a a x a x a x ag(x) g ( ) g (x) g(x) g (x)

x= = \ =

x x Con lo que queda probado.

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRALES INDEFINIDAS

Al considerar las operaciones matemticas vemos que estas tienen sus inversas, as la adicin y sustraccin, multiplicacin y divisin, potenciacin y radicacin, etc.

En el Anlisis Matemtico el Calculo Diferencial nos ensea que a partir de una funcin f(x) podemos conocer su derivada o diferencial f(x) o bien dy = f(x) dx, tendr su inversa en el Clculo

Integral, tambin llamada Antiderivada, es decir hallar la funcin f(x) cuya derivada f(x) es

conocida. La funcin as obtenida recibe el nombre de Integral de la funcin diferencial dada y simboliza de la

siguiente manera:

( ) F( )f x dx x C Siendo F(x) = f(x)

Propiedades de las Integrales Indefinidas

1. La diferencial de una integral indefinida es igual al producto de la funcin integrando por el

diferencial de la variable independiente: ( ) ( )d f x dx f x dx

Linealidad de la integracin: 2. La integral del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la

integral de la funcin. . ( ) . ( )k f x dx k f x dx

3. La integral de la suma algebraica de dos o ms funciones es iguala la suma algebraica de las

respectivas integrales. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x w x dx f x dx g x dx w x dx

Integrales Inmediatas: Son las que figuran en tablas y se pueden integrar en forma directa. Tabla de integrales

Por Ejemplo

1. Cxdx

2. Cxkdxkdxk ...

3.

Cn

xdxx

nn

1

1 1 x

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20

Mtodos de integracin

Las integrales indefinidas en general no son inmediatas y es necesario hacer un anlisis del problema

para luego ver que trasformaciones son necesarias hacer para poder integrar, para ello existen mtodos

de integracin como ser: A. Integracin por Descomposicin

B. Integracin por Sustitucin C. Integracin por Parte

D. Integracin de funciones Racionales

E. Integracin de funciones Trigonomtricas o circulares

A. Integracin por Descomposicin Este mtodo se utiliza cuando el integrando es una suma algebraica de funciones. El mtodo cosiste en

la aplicacin de las propiedades vistas anteriormente.

* dxxwdxxgdxxfdxxwxgxf )()()()()()(

* dxxfkdxxfk )(.)(. Se pueden usar combinando ambas:

dxxwkdxxgkdxxfkdxxwkxgkxfk )(.)(.)(.)(.)(.)(. 321321 Donde cada una de las integrales son inmediatas o sea figuran en tablas

B. Integracin por Sustitucin

Cuando ( )f x dx no es inmediata se logra resolver por medio de un cambio de variable, haciendo

)(ugx donde )(ug es una funcin continua igual que su derivada. duugdx )(

Se verifica la igualdad: ( ) ( ) . ( )f x dx f g u g u du = H(u)+C Se considera como funcin de x, es la primitiva buscada pues su diferencial vale:

{

( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )d H u C d f g u g u du f g u g u du f x dx

dxx1442 443

Por lo que podemos afirmar que el mtodo es vlido.

C. Integracin por Parte

Este mtodo se utiliza generalmente cuando el integrando es producto de dos funciones y entre ambas no

hay relacin de derivabilidad. El mtodo consiste en la aplicacin de la siguiente formula:

. . .u dv u v v du Deduccin de la formula:

Partimos de diferenciar el producto de dos funciones:

. ( . ) ( . ) ( . )

( . ) . . d

y u v dy d u v d u v u v dx

d u v du v u dv

( . ) . .

. . ( . ) . ( . ) .

u v du v u dv

du v u dv u v u dv u v du v

D. Integracin de funciones Racionales

Una funcin algebraica racional es aquella que est expresada como el cociente indicado de dos funciones polinmicas, es decir donde la variable no est afectada de exponente negativo ni

fraccionarios. Son de la forma:

1...( ) 1 0

1( ) ...1 0

n na x a x aP x n n

n nQ x b x b x bn n

; Integrando:: m n

P(x) m grado de P(x)dx si puede ocurrir : m n

Q(x) n grado de Q(x)m n

>=

==

0. Si particionamos el intervalo en subintervalos de

amplitud ix = 1 ixix y considerando puntos interiores i en

cada intervalo con su correspondiente ordenada )"(f" i . Si

realizamos la suma de todas las reas rectangulares: )(f i . ix y se

calcula el limite de dicha suma cuando el nmero de intervalos tiende a

infinito (n ) o la norma de particin tiende a cero ( : el intervalo de mayor amplitud), si dicho lmite existe y es finito recibe el nombre

de integral definida de la funcin f( x ) en el intervalo b;a

Si en el intervalo b;a , donde a < b, )x(f y )x(g satisfacen la condicin )x(g)x(f :

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(f

b a

a b

f(x)dx f(x)dx= -

. ( ) . ( )b b

a a

A f x dx A f x dx

10

lim ( ). ( )

bn

i i

i an

f x f x dx

Adems se puede expresar el rea de un rectngulo intermedio, considerando puntos interiores a cada

intervalo y sus correspondientes ordenadas:

INTEGRAL DEFINIDA

Definicin:

Propiedades

2) La integral definida de la suma algebraica de varias funciones es igual a la suma algebraica de las

Integrales de los sumandos.

b

a

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

3)

( ) ( ) ( )

b c d

a b c

f x dx f x dx f x dx A

6) Si se cambian el orden de los lmites de Integracin, el resultado cambia de signo:

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24

( ) ( ).( )b

a

f x dx f b a

( ) ( ).( )b

a

f x dx f b a

7) Si los lmites de integracin son iguales, la integral es nula:

a

a

f(x)dx 0=

Teorema del valor medio del clculo integral

Si la funcin f(x) es continua en el intervalo ;a b , existe en este Intervalo un punto tal que se verifica la siguiente igualdad:

Demostracin:

Supongamos que a< b . Si m y M son mnimos y mximos, respectivamente, de f(x) en el intervalo ;a b , en virtud de la formula de la propiedad (8) tenemos:

)()().( abMdxxfabm

b

a

Dividiendo todo por )( ab :

m.(b a)-

(b a)-

b

a

(b a)1f (x)dx M

(b a)

-

- (b a)-

Mdxxfab

m

b

a

)()(1

Como:

b

a

dxxfab

)()(

1 por ser un n donde Mm

Puesto que f(x) es continua, toma todos los valores intermedios comprendidos entre m y M .

Por lo tanto para cierto valor ( ba ) ser )(f , es decir:

)()()(

1fdxxf

ab

b

a

8) Si m y M son los valores mnimos y mximos., de la

funcin f ( x ) en el intervalo ;a b

.( ) ( ) ( )b

m b a f x dx M b aa

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4) Teorema fundamental del clculo integral o Derivada de la funcin rea

Si f(x) es una funcin continua y x

a

dttfxQ )()( . Se verifica la igualdad: Q(x) = f(x)

Demostracin: aplicado la definicin de deriva de la funcin:

x

a

dttfxQ )()(

xx

a

dttfxxQ )()( Siendo: )()( xQxxQQ por lo tanto

xx

x

x

a

xx

a

dttfdttfdttfQ )()()(

xx

x

dttfxx

Q)(

1

Aplicando el Teorema del valor medio del clculo integral:

)()(1

fdttfx

xx

x

( xxx )

)(

0

xQ

x x

Qlm

xlm

)(f = )(xf )()( xfxQ

5- Regla de Barrow

Si )x(F es una primitiva de la funcin continua )x(f , se verifica: ( ) ( ) ( ) ( )b b

f x dx F x F b F aaa

Demostracin:

Segn el Teorema de la existencia de un valor constante: Si dos funciones son primitiva de una misma funcin estas difieren en una constante.

Sea )x(F es una primitiva de la funcin continua ( )f x ( ) ( )F x f x

La funcin ( )

x

a

f t dt es tambin primitiva de ( )f x

( )( )x

a

f xf t dt

En consecuencia con el teorema mencionado:

1( ) ( ) ( ) ( )

x x

a a

f t dt F x C f t dt F x C La igualdad ( 1 ) es vlida para todos los

valores de x, o sea es una identidad. Para determinar el valor de C, asignamos a x el valor a en ( 1 ):

a

a

dt)t(f = )a(F + C = 0 C = - )a(F por consiguiente x

a

dt)t(f = )x(F - )a(F ( 2 )

Haciendox b

t x

= =

, obtenemos la formula de Barrow: )a(F)b(Fdx)x(f

b

a

Oscar Moreira


26

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

LIMITES DOBLES E ITERADOS DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

LIMITE DOBLE

Simblicamente:

0P P0

; )L lim f (P) 0, 0 f (P) L en E (P

d= "x> $d> - < x

LMITES ITERADOS: Los limites iterados se definen por:

Observacin:

a) La existencia de un lmite doble en un punto no exige que la funcin se encuentre definida en el mismo.

b) En la definicin de lmite doble se puede usar entornos circulares o rectangulares indistintamente.

c) Como consecuencia, el valor del limite no depende del camino elegido, esta propiedad se expresa de la siguiente

manera: Si el limite doble existe es independiente de la trayectoria.

d) La existencia y la igualdad de los lmites iterados, no garantizan la existencia del lmite doble.

e) La no existencia de los lmites iterados aseguran la no existencia del lmite doble.

Se calcula el limite de la funcin F(x;y) para yy0 considerando a

x como constante. Se obtiene una funcin de x que hemos

representado por Q(x), seguidamente se calcula el limite de Q(x) para xx0 obteniendo el valor del limite L. Recprocamente Se

calcula el limite de la funcin F(x;y) para xx0 considerando a y

como constante. Se obtiene una funcin de y que hemos

representado por Q(y), se calcula el limite de funcin con yy0

generando el limite L.

lim lim ( ; ) lim ( )

0 0 0

lim lim ( ; ) lim ( )

0 0 0

F x y Q x Lx x y y x x

F x y Q y Ly y x x y y

Definicin:

L es el limite de la funcin ( )Z f P

cuando 0P P si y solo si para todo

mayor que cero existe en correspondencia un

mayor que cero, talque para todo P A y a un entorno

reducido implique que el valor absoluto de la Diferencia entre la funcin y el limite es menor que .

Oscar Moreira


27

Definicin 1:

Se llama derivada parcial de la funcin f ( x ; y ) respecto de x en el punto

)y;x(P 000 , al limite del cociente

incremental

x

fx

cuando el incremento

de la variable x tiende a cero, si dicho limite es finito y determinado.

Simblicamente:

0 0 0 00 0

x 0

f (x x; y ) f (x ; y )f(x , y ) lim

x xD

+ D -=

D

Definicin 2:

Se llama derivada parcial de la funcin

f ( x ; y ) respecto de y en el punto

)y;x(P 000 , al limite del cociente

incremental

x

fy

cuando el incremento

de la variable y tiende a cero, si dicho limite es finito y determinado.

Simblicamente:

0 0 0 00 0

y 0

f (x ; y y) f (x ; y )f(x , y ) lim

y yD

+ D -=

D

DERIVADAS PARCIALES

INTERPRETACIN GEOMTRICA

Las derivadas parciales nos dan una medida de la variacin de una funcin en la direccin de cada eje

coordenado.

La ecuacin z = f ( x ; y ) es la ecuacin asociada a una superficie. Cuando se pasa un plano y = y0 , la variable y se mantiene constante y la funcin queda en funcin de una sola variable x definiendo una curva sobre el plano y = y0 ,que sera la curva de interseccin del cuerpo con dicho plano: C1 = f ( x ; y0 ).Por lo tanto la derivada parcial de una funcin respecto de x nos da el valor

numrico de la pendiente de la recta tangente a la curva C1 en el punto ( ; )0 0 0P x y . Del mismo modo, si ahora se pasa un plano x = x0 , la variable x se mantiene constante y la funcin queda en funcin de una sola variable y definiendo una curva sobre el plano x = x0 : C = f ( x0 ; y ) ( interseccin del cuerpo con el plano). Por lo tanto la derivada parcial de una funcin respecto de

y nos da el valor numrico de la pendiente de la recta tangente a la curva C2 en el punto ( ; )0 0 0P x y .

( ;0 0)

fx y tg

x

( ;0 0)

fx y tg

y

Oscar Moreira


28

INCREMENTO TOTAL DIFERENCIAL TOTAL

Recordando en el plano, la relacin entre el incremento de la funcin y la derivada:

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

x

yf x f x x y f x x x x

x

y

x

Consideremos ahora la funcin ( ; )z f x y los incrementos parciales son:

1

zz x xx

x

1 ;

2

zz y yy

y

2

La suma de los incrementos parciales nos dar el incremento total: x y

z z z , reemplazando 1 y 2

1 1

z zz x x y y

x y

inf de orden sup.

1 2

initesimo

z zz x y x y

x y

dz

El termino mas importante recibe el nombre de DIFERENCIAL DE LA FUNCIN ( ; )z f x y .

1. FUNCIN COMPUESTA

Si en la funcin z f (x; y)= , x e y no son variable independientes, sino que dependen de otra variable t , resultando la funcin de la siguiente manera:

z f (x; y)= Donde x (t)

y (t)

= a = b

[ ] z= f (t); (t) f (t) a b =

Por lo tanto z esta en funcin de t , a la que llamaremos funcin compuesta.

DERIVADA DE LA FUNCIN COMPUESTA

Si z f (x; y)= es diferenciable en el punto ( )0 0(t ); (t )a b y las funciones (t) y (t)a b son derivables en el

mismo punto, entonces la funcin [ ] z= f (t); (t) a b es derivable en el mismo punto.

Partimos del incremento total de la funcin z f (x; y)= :

z zz x y x y

1 2x y

D = D + D x D + x D

Dividimos termino a termino por tD

Z z x z y x y

1 2t x t y t t t

D D D D D= + x + x

D D D D D Calculando el lmite:

t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0

0 0zdz dx dy dx dyzxdt dt dt dt dty

Z z x z y x y

1 2t x t y t t tlim lim lim lim lim lim lim lim limD D D D D D D D D

D D D D D= + x + x

D D D D D1442 443 1442 4431442 4431442 443 1442 443 1442 443 1442 443 1442 4431442 443

En virtud de lo explicado resulta:

dz z zdx dy

dt dtdt x y

DERIVADA DE FUNCIN IMPLCITA

La igualdad F(x;y) =0 representa una ecuacin en x e y donde todos los trminos se han transpuesto al 1 miembro. El incremento total de la funcin de dos variables es:

z zz x y x y

1 2x y

D = D + D x D + x D

si F(x;y) =0 el incremento ser:

z zx y x y

1 2x y0

D + D x D + x D

= Dividiendo por x

xz

x

D

xD

y x

x

z

1y

D D

D

+ x

xD

y

x20

D

D+ x

=

Agrupando los trminos que tienen

y

x

D

D

Oscar Moreira


29

0 0( ; )f x y es un mnimo relativo de la funcin f(x;y) si es el menor valor

que toma en un entorno reducido del punto 0 0 0 0 0; x;y x ;yP x y E

es 0 0( ; ) ( ; )f x y f x y en dicho punto se cumple:

1. fx = fy = 0; 2. fxx >0 fyy >0

0 0( ; )f x y es un mximo relativo de la funcin f(x;y) si es el mayor valor que

toma en un entorno reducido del punto 0 0 0 0 0; x;y x ;yP x y E es

0 0( ; ) ( ; )f x y f x y en dicho punto se cumple:

1. fx = fy = 0, 2. fxx

Oscar Moreira


30

Para cada punto 0 ;x a b queda definida una funcin ( : )0z f x y dependiente de la variable

;y c d . Podemos considerar la integral definida, respecto de la variable de integracin y Como

0( ; )d

f x y dyc El valor numrico de sta integral depender de 0x , y si

existe para cada valor del parmetro x perteneciente al intervalo ;a b ,

define una funcin que depende de x como: 0( ; ) ( )d

f x y dy F xc

Sea una funcin a dos variables independientes

z = f (x;y) definida en un intervalo rectangular

( ; )x yR a x b c y d Para cada punto ;0y c d queda definida una funcin ( : )0z f x y dependiente de la variable

;x a b . Podemos considerar la integral definida, respecto de la variable de integracin x como

0( ; )

b

a

f x y dx . El valor numrico de sta integral depender de 0y , y si

existe para cada valor del parmetro y perteneciente al intervalo ;c d ,

define una funcin que depende de y como: 0

( ; ) ( )b

a

f x y dx F y

INTEGRAL DOBLE

Concepto y Definicin:

Sea f(x;y) una funcin definida y acotada en una regin R del plano.

En cada uno de los elementos correspondientes a una particin de

R se toma un punto interior que representaremos por kP , siendo

(P )kf el valor numrico de la funcin en ese punto.

La suma de todos los productos que resultante multiplicar los valores de la funcin en cada punto elegido por las reas de las

subregiones respectivas se conoce como SUMA DE RIEMAN: n

f (P ). R f (P ). R f (P ). R .... f (P ). Rk 1 2 n n1 2kk 1D = D + D + + D

=

Donde R x. yk

D = D D

Si se efectan nuevas particiones de la regin R cada vez ms

refinadas cuando n bien con la norma de particin que tiende a cero, en el lmite, la sumatoria se transforma en la integral

definida de la funcin n

kn

k 1 R

klim f (P ). R f (x; y)dxdy

=

D =

INTEGRALES PARAMETRICAS Y DOBLE

INTEGRALES PARAMETRICAS

3

Oscar Moreira


31

1) Ecuacin diferencial de variables

separables du u.p(x).dx 0

dudu u.p(x).dx p(x).dx

u

dup(x).dx ln u p(x).dx

u

p(x).dxu e

+ =

= - = -

= - = -

- =

Reemplazando en 2) resulta p(x).dx p(x).dx

2) e .dv q(x)dx dv e q(x)dx

p(x).dx v e q(x)dx C

- = =

= +

La solucin es: y = u.v reemplazando resulta:

p(x).dx p(x).dxy e . e q(x)dx C

- = +

ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES

Son las Ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a la forma: f (x)dx g(y)dy 0+ =

La forma no reducida es: M(x).P(y)dx N(x).Q(y)dy 0+ = para llevar a la formula reducida se procede de la siguiente

manera:

M(x).P(y)dx N(x).Q(y)dy 0+ = M(x).P(y)dx N(x).Q(y)dy= - M(x) Q(y)dx dyN(x) P(y)

= - M(x) Q(y)

dx dy CN(x) P(y)

= - +

donde C es una constante arbitraria. El resultado encontrado se puede expresar como una funcin implcita de la forma: F(x;y) = C que representa una familia

de curvas para cada valor de C.

F(x;y) = C es llamada Solucin General. Si se conoce el valor de C para un punto en particular, se llega a la Solucin Particular.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1 ORDEN

Son las ecuaciones que pueden reducirse a la siguiente forma: dy p(x).y.dx q(x)dx+ = Se reconoce porque y que es la incgnita aparece elevada nicamente a la 1 potencia, lo mismo que dy, no estn

contenidas en el mismo termino.

METODO DE RESOLUCION:

Debemos sustituir por:: y u.v dy u.dv v.du= = + este reemplazo agrega una incgnita ms al problema.

( ) ( )dy p(x).y.dx q(x)dx dv.u u.dv p(x). u.v .dx q(x)dx+ = + + = Sacando F. C. v

( )u.dv v. du u.p(x).dx q(x)dx+ + = para resolver esta ecuacin en 3 incgnitas, debemos imponer la condicin:1)

( )du u.p(x).dx+ =0 con lo que resulta: 2) u.dv q(x)dx=

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Funciones homognea: Una funcin de dos o ms variables f(x,y,w ) es homognea de grado n si se verifica:

n

f (tx, ty, tw,...) t .f (x, y, w..)=

Propiedades:

1) El cociente entre dos funciones homogneas del mismo grado es otra funcin homognea de grado cero.

n

f (tx, ty, tw,...) t .f (x, y, w..) f (x, y, w..)0t .h(x, y, w...) siendo h(x, y, w...)n

g(tx, ty, tw,...) t .g(x, y, w..) g(x, y, w..)= = =

2) Toda funcin homognea de grado cero puede expresarse en funcin de ( )y / x

Si 0

h(tx, ty) t .h(x, y)= haciendo t = 1/x resulta

Oscar Moreira


32

ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA (de 1 orden)

La ecuacin de la forma: es homognea si son funciones homogneas

del mismo grado, dividiendo todo por con lo que resulta:

como h(x;y) es una funcin de grado cero se la puede escribir

si hacemos que sustituyendo:

Transformndose en una Ec. Dif. En variables separables

Sacando factor comn dx:

( )( )

( )( )

( )( )

h u u .dx du.x 0

h u u .dx du.x

dx du

x h u u

+ + =

+ = -

= -+

Integrando:

( )( )

(u)

(u)

(y / x)

dx du

x h u u

ln x (u) ln c

ln x ln c (u)

x xln (u) e

c c

x e .C reemplazando u=y/x

x e .C

- r

- r

- r

= -+

= - r +

- = - r

= - r =

=

=

Oscar Moreira


33

ECUACIN DIFERENCIAL EXACTA

Una expresin de la forma: p(x, y)dx q(x, y)dy 0+ = es una Ec. Dif. Exacta se existe una funcin f(x,y) tal que

df p(x, y)dx q(x, y)dy= + . En este caso se dice que la funcin f(x,y) es primitiva del par de p(x,y) y q(x,y).

Una Ecuacin diferencial se la reconoce como EXACTA si se verifica: q p

x y

=

Solucin

Para hallar la solucin de esta Ec. Dif. comparamos la ecuacin dada con el diferencial de f(x,y)=0:

f fdf dx dy 0

x y

= + =

donde f f

p(x, y) y q(x, y)x y

1 2

= =

144442 44443 144442 44443

integrando 1 respecto de x

fdx p(x, y)dx f (x, y) p(x, y)dx C(y)

x3

= = +

144444444442 44444444443

Queda por conocer la forma de C(y), para ello derivamos la funcin encontrada, respecto de y

p(x, y)dxfC (y)

y y

= +

Reemplazamos 2 p(x, y)dxq(x, y) C (y)y

= +

despejamos C(y)

C (y) q(x, y) p(x, y)dxy

= -

Integrando respecto de y: C (y)dy q(x, y) p(x, y)dx dy

y

= -

Con lo que se puede hallar C(y): C(y) q(x, y) p(x, y)dx dyy

= -

reemplazando en 3

f (x, y) p(x, y)dx q(x, y) p(x, y)dx dyy

= + -

que es la Solucin de Ec. Diferencial Exact

Oscar Moreira


34

SERIES NUMRICAS

Sucesin: La palabra secesin sugiere eventos en un cierto orden por ejemplo. Se suceden los das de la

semana, los hechos histricos, los eventos contables (libro diario), etc.

Simblicamente: ,...,...,, naaa 21

Definicin y Clasificacin de una Serie

Definicin: Una serie es la suma de los infinitos trminos de una sucesin.

... ...1 2n 1a a a an n

se llama serie numrica, donde na es el termino general de de la serie.

Ejemplo: 1 1 1 1

1 ....... ....12 3 nn n

La suma de los primeros n termino de la serie se denomina n-esima suma parcial de la serie:

nn aaaS ...21

Realizar las sumas parciales de sus trminos:

1 1S a

2 1 2S a a

..

...1 2

S a a an n

Si calculamos el lmite de la suma parcial n- sima:

...1 2lm S lm a a a Snnn n

, de acuerdo con el valor de S podemos calcificar la serie:

Si (n finito) Convergente

S Divergente

S existe Oscilante

S k

no

Propiedad:

Si una serie es convergente, tambin es convergente la serie que resulta de suprimir un nmero finito de trminos.

.........

1n

nkkn aa

kS

aaaa 121

lm S Snn

al suprimir k primeros trminos queda: S Sk = S*; si calculamos el lmite:

* lm S S lm S lm S lm S C Serie convergentekn n n nk

Es valida para series divergente.

Oscar Moreira


35

CONDICIN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE

Si una serie es convergente, el termino general tiende a cero Demostracin:

Si : ... ...1 2n 1a a a an n

es convergente lm S Snn

Cuando n ; 1n SSnnlm

1

; como Sn Sn-1= na el lmite resulta:

1

01 1

lm S S lm an n nn n

lm S S lm S lm Sn n n nn n n

S S

0lm ann

Queda demostrado que es necesario que el trmino general tienda a cero cuando n para que la serie sea convergente, pero esta condicin no es suficiente

Existen series que por ms que el trmino general tiende a cero, la serie es Divergente como demostraremos en la Serie Alternada.

Serie Alternada

1 1 1 11 ....... ...

1 2 3n n n

Esta serie es divergente, pero

10lm

n n

Demostracin:

Consideramos la serie Armnica: 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ....... ...2 3 4 5 6 7 8 n

(1)

Consideremos una serie auxiliar: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ....... ...2 4 4 8 8 8 8 16 16

2 sumandos 4 sumandos 8 sumandos

(2)

Comparamos trmino a trmino, vemos que los trminos de la serie (1) son todos mayores o iguales que la correspondiente de la serie auxiliar (2), por lo tanto si:

Sn es la suma de los n primeros trminos de la serie (1)

Sn es la suma de los n primeros trminos de la serie (2)

Podemos decir: S Sn n Si calculamos las sumas parciales de la serie (2)

1 12 2

S

1 1 1 1 1 1 1 1 2. 1 2.4 2 4 4 2 4 2

S

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 4. 1 3.8 2 4 4 8 8 8 8 2 8 2

S

1 1 1 1 1 1 3. 8. 1 3. 1 4.16 2 16 2 2 2

S

.

Generalizando: S2k =

11 .

2k ; Sn= S2k calculando el limite:

1 1 .

22lm S lm S lm kn kn k k

Con lo que queda probado: que la SERIE ARMNICA ES DIVERGENTE.

Oscar Moreira


36

q 1 la serie es Convergente

q 1 la series es Divergente

q - 1 la serie es Oscilante

SINTESIS:

a a.n

lm qn 1 q 1 q

= - =

- - la serie es DIVERGENTE

3 Caso: Si q 1< - nn

qlm

= $ ; Este lmite no existe pues cuando n toma valores pares el resultado es positivo y

cuando toma valores impares el resultado es negativo.

4 Caso: Si q 1= la serie ser: n

n 0 n veces "a"

a.1 a a a ... n.a

=

= + + + = 1444442 444443 lm n.an = la serie es DIVERGENTE

5 Caso: Si q 1= - la serie tomar la siguiente forma: n

( 1) .a a a a a a a ... snn 0

- = - + - + - + =

=lm Snn

= $

Este lmite no existe pues cuando n toma valores pares el resultado es 0 y cuando toma valores impares el resultado esa.

a

1 q-

Teoria Compilada de Mat II

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