TEOREMAS DE GREEN Y STOKE

AutorJUAN DAVID JIMENEZ MULFORD

ProfesorLUIS DEL VALLE

UNIVERSIDAD DE LA COSTASECCION EDUCACION SUPERIORBARRANQUILLA D.E.I.P., ATLANTICOMAYO DEL 2015

1. TEOREMA DE GREEN En matemticas, elteorema de Greenda la relacin entre unaintegral de lneaalrededor de una curva cerrada simpleCy unaintegral doblesobre la regin planaDelimitada porC. El teorema de Green se llama as por el cientfico britnicoGeorge Green, y resulta ser un caso especial del ms generalteorema de Stokes. El teorema afirma:SeaCuna curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y seaDla regin limitada porC. SiPyQtienenderivadas parcialescontinuas en una regin abierta que contieneD,

EJEMPLO TEOREMA DE GREEN

) Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

Solucin:x y11 y = 1 - x

La grfica indica la regin encerrada por la curva C. Tenemos:

Por lo tanto:

Ntese que si hubiramos hecho la integral de lnea habramos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

2. TEORIA DE STOKEElteorema de Stokesengeometra diferenciales una proposicin sobre laintegracindeformas diferencialesque generaliza variosteoremasdelclculo vectorial. Se nombra as porGeorge Gabriel Stokes(1819-1903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada porWilliam Thomsony aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850SeaMuna variedad de dimensinndiferenciable por trozos orientada compacta y sea una forma diferencial enMde gradon-1 y de clase C. Si Mdenota el lmite deMcon su orientacin inducida, entonces

Aqudes laderivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalizacin delteorema fundamental del clculoy, de hecho, se prueba fcilmente usando este teorema.El teorema se utiliza a menudo en situaciones dondeMes una subvariedad orientada sumergida en una variedad ms grande en la cual la forma se define.

EJEMPLO TEOREMA DE STOKE 3 yzxCS39

1.) Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.

Solucin

Clculo como integral de lnea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:

Con esta parametrizacin tenemos:

F() = 9sen i + 0j 18cos k

r() = 3sen i + 3cos j + 0k

r() = 27sen2

Clculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyeccin sobre el plano xy es un crculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lgico usar una parametrizacin basada en coordenadas cilndricas:

El producto vectorial fundamental ser:

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrizacin describe a una superficie con orientacin positiva.

Usando entonces esta parametrizacin, tenemos:

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de lnea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.