Teorema fundamental del cálculo
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
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Teorema F. C.
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TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
PRIMER TEOREMA
FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Dada una función f integrable sobre
el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b]
por .
Si f es continua en ,
entonces F es derivable en y F'(c) = f(c).
Consecuencia directa del primer teorema
fundamental del cálculo infinitesimal es:
Demostración
Siendo f(t) una función integrable sobre el
intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x)
derivables.
Buscando la Derivada de
Planteamos el cociente Incremental
Siguiendo la definición de la función A,
podemos buscar una expresión para el
cociente incremental de la siguiente
manera:
Para:
Entonces:
Entonces tenemos:
Por lo tanto dado que la función f es
continua en el intervalo cerrado [x,x+ ,
por ser continua en el intervalo [a,b] que
lo contiene, podemos asegurar la
existencia de un punto C.
Es decir:
La existencia del punto C está asegurada
por el teorema del Valor Medio para
Integrales
Simbólicamente podemos escribir lo
anterior como:
Por ser f continua en [x,x+
Entonces tenemos que:
Ahora para hallar la derivada con
respecto a x:
Teorema del valor
medio para Integrales
Entonces la derivada de A es:
Por ser f continua en [a,b], tenemos que:
La integración
y
La derivación
Son
procesos
inversos
Teorema Fundamental del Cálculo:
