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Llegamos ahora a la c onexión que haya ent re integrac ión y derivac ión. La relac iónent re estos dos proc esos es, de algún modo, análoga a la que hay ent re 'elevar alc uadrado' y la 'raíz c uadrada'. Si elevamos al c uadrado un número posit ivo y despuéstomamos la raíz c uadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, siintegramos una func ión c ont inua obtenemos una nueva func ión (una integral indefinidade f) y si diferenc iamos esta func ión obtenemos la func ión original.(Apostol, pp. 202)

Esta c onexión ent re diferenc iac ión e integrac ión es muy sorprendente. La integrac iónestá relac ionada c on la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, c uandocalc ulamos un área, la longitud de una c urva, etc .) y la diferenc iac ión es la tasa devariac ión instantánea (una interpretac ión gráf ic a de la derivada es la pendiente de latangente a la c urva). El Teorema Fundamental del Cálc ulo nos dic e que estos dosc onceptos están ínt imamente relac ionados.

Ya hemos visto varios ejemplos c uando diferenc iamos e integramos func iones polinómicaspues ya vimos c ierta relac ión.

Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es c ont inua. Nos

podemos preguntar que ocurre c uando la func ión original f es c ont inua. Resulta que F

es diferenc iable (y que su derivada es espec ialmente simple).[Spivak]

(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una func ión integrable en[a,b], y def inimos una nueva func ión F en [a,b] por

Si c pertec ec e a [a,b] y f es c ont inua en c , entonces F es diferenc iable en c , y

Una demost rac ión visual bien c onoc ida asume que la func ión f es c ont inua en un

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Una demost rac ión visual bien c onoc ida asume que la func ión f es c ont inua en unentorno del punto (esta es una c ondic ión más débil, la hipótesis del teorema es másfuerte. Para una demost rac ión analít ic a más rigurosa de este teorema hay que leer unbuen libro de Cálc ulo).

Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos ac eptar que

Si h es suf ic ientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, paraser más prec isos)

Dividiendo ent re h:

Si f t iene mejores propiedades, por ejemplo, si f es c ont inua en todos los puntos de[a,b], entonces F es diferenc iable en todos los puntos de (a,b) y

o

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La idea es que empezamos c on una func ión f:

Consideramos una integral indefinida F (arrastando el límite inferior de integrac iónobteneos diferentes func iones integrales):

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En un punto diferenc iamos esta func ión F (gráf ic amente estamos c onsiderando lapendiente de la rec ta tangente):

Entonces:

Este Teorema Fundamental del Cálc ulo nos dic e que toda func ión c ont inua t iene unaant iderivada y nos muest ra c ómo c onst ruir una usando una integral indefinida. Inc lusofunc iones no diferenc iables c on esquinas, tales c omo el valor absoluto t ienen una

ant iderivada.

Muchas vec es el problema es c ómo encont rar una ant iderivada de una func ión, es dec ir,dada una func ión f(x), encont rar una func ión F(x) tal que F'(x) = f(x).

Un c aso importante es c uando queremos integrar una func ión que t iene una

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Un c aso importante es c uando queremos integrar una func ión que t iene unaant iderivada (o primit iva). Es dec ir, c onocemos una func ión f y queremos integrar f ' (otenemos que integrar f ' y podemos encont rar una primit iva f). En este c aso, podemosver la func ión que queremos integrar c omo una tasa de variac ión y la integral c omo unacumulador de este c ambio (un ejemplo: la integral de la veloc idad es la distanc iarec orrida).

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Definimos una func ión integral F (pero ahora estamos integrando f '):

Entonces F es una primit iva de f ', es dec ir:

Podemos ver que

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Un paso más y tendremos el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (o c ómo evaluarintegrales def inidas).

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963 (p. 95-99).

Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980(p. 190).

Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.

David M. Bressoud, Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus, AmericanMathematical Monthly 118 (2011).

Jorge M. López Martínez and Omar A. Hernández Rodríguez,Teaching the Fundamental Theorem of Calculus:A Historical Reflection in MathDL.

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El Teorema Fundamental del Cálculo (2)

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muypotente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de lafunción).

ANTERIOR

Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general)

Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicasde cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de ungrado más que la función original.

MÁS ENLACES

Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines

Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo deintegración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos:integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.

Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas

Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta.Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral deun polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.

El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico

Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrircuál es el área de un segmento parabólico.

Integral de funciones potencia

La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9.Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplodel uso de progresiones geométricas.

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Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos queF es una primitiva o una integral indefinida de f.

Integral definida

La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el áreausando rectángulos.

Las funciones monótonas son integrables

Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casospodemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.

Integral indefinida

Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integraldefinida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definiruna nueva función: una integral indefinida de f.

Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines

La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de larecta.

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Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas

La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.

Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas

La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola

Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general)

Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos lospolinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y susderivadas.

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Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines.Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta quepasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.

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Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas

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Kepler: Superficie y volumen de una esfera

Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse

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Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarseformada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esferaserá la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera ysu volumen.

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Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando elPrincipio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

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