Teorema Del Binomio Progresiones
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA MATERIAL DE TRABAJO CLASE Nº 23 TEOREMA DEL BINOMIO Cuando ( a+ b) n se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes a y b siguen un patrón definido. Por ejemplo: ( a+ b) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ( a+ b) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 +b 3 ( a+ b) 4 = a 4 +4 a 3 b +6 a 2 b 2 +4 ab 3 +b 4 NOTACION FACTORIAL Antes de dar una formula general para el desarrollo de ( a+ b) n , será útil introducir la notación factorial. El símbolo r! se define para cualquier entero positivo como el producto: r!= r(r-1)(r-2)…3.2.1 y se lee “r factorial”. Por ejemplo 4!= 4.3.2.1 Por definición 0!= 1 Ejemplo Simplificar r! ( r +1) ( r−1 ) ! Solución r! ( r +1) ( r−1 ) ! = ( r+ 1) r ( r−1 ) ! ( r−1 ) ! =( r +1) r TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON Para cualquier número positivo n ( a +b) n =a n + n 1 ! a n−1 b + n ( n−1) 2 ! a n−2 b 2
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progresiones geometricas teorema del binomio
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ESCUELA POLITCNICA NACIONALFUNDAMENTOS DE LA MATEMTICAMATERIAL DE TRABAJO
CLASE N 23
TEOREMA DEL BINOMIO
Cuando se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes a y b siguen un patrn definido. Por ejemplo:
= = =
NOTACION FACTORIAL
Antes de dar una formula general para el desarrollo de , ser til introducir la notacin factorial.El smbolo r! se define para cualquier entero positivo como el producto:
r!= r(r-1)(r-2)3.2.1
y se lee r factorial.
Por ejemplo4!= 4.3.2.1Por definicin 0!= 1
EjemploSimplificar Solucin
TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
Para cualquier nmero positivo n
En la formula anterior la expresin
En el (r+1) el termino de desarrollo . Para r= 0,1,, n, y los nmeros
Se llaman coeficientes binomiales.
EjemploUsando el teorema del binomio desarrollar Solucin:
SIMBOLO DE SUMATORIA
El sumatorio, o la operacin de suma es un operador matemtico que permite representar sumas de muchos sumandos n, o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( ), y se define como:
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"La variable i es el ndice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado lmite inferior, m. La variable i recorrer los valores enteros hasta alcanzar el lmite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:
EJEMPLO:
1. Hallar el 5to trmino del desarrollo .
2. Hallar el octavo trmino del desarrollo
3. Hallar el coeficiente de del desarrollo
4. Hallar el coeficiente de en el desarrollo de
PROGRESIONES
Se puede describir una sucesin como una lista de objetos, eventos o nmeros que vienen uno despus del otro, es decir, una lista de cosas dadas en algn orden definido.
Ejemplos
Los das de la semana lunes, martes,, domingo Los meses del ao enero, febrero,, diciembre Los nmeros 1,1/2, 1/3, Cada objeto de la lista se llama trmino de la sucesin. Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Se researan las sucesiones finitas a menos que se afirmen lo contrario. Los trminos de la sucesin pueden colocarse en correspondencia uno a uno con el conjunto N de los nmeros enteros positivos.
DEFINICION
Sucesin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los enteros N positivosSe denotan una sucesin Por la notacin {}.El n-simo trmino se llama trmino general.
PROGRESION ARITMETICA
DEFINICIONUna sucesin, tal que trminos sucesivos , para n=1, 2, 3, tiene una diferencia fija , se llama progresin aritmtica. El nmero d se llama diferencia de la progresin.
En general Ejemplo
La diferencia en una progresin aritmtica es -2 y el sexto trmino es 3. Encontrar el primer trmino de la progresin.
Solucin:
El sexto trmino de la progresin es
PROPIEDAD
La suma de trminos equidistantes alrededor de un elemento es constante. Asi:
SUMA DE TERMINOS
Sean a= primer terminon= nmeros de trminosd= diferencia de dos trminos consecutivosl= ultimo terminoS= suma de trminos (n es finito)
Entonces
MEDIA ARITMETICA
Si una progresin aritmtica tiene tres trminos a, m, b
El segundo trmino se llama media aritmtica de a y b.
Puesto que implica que
O tambin
Se deduce que
PROGRESION GEOMETRICA
DEFINICION
Una sucesin, tal que los trminos sucesivos , para n=1, 2, 3, tiene
una razn fija se llama progresin geomtrica
De se tiene que una progresin geomtrica con razn r, la misma que se define mediante la formula
En general el n-simo trmino de una progresin geomtrica con primer trmino a y razn r, es
Ejemplo
Encontrar el tercer trmino de una progresin geomtrica con razn 2/3 y el sexto termino 128/81
Solucin
Usando la formula , se encuentra a Considerando que
Aplicando con n=3 se tiene
El tercer trmino de la progresin es
PROPIEDAD
El producto de trminos equidistantes alrededor de un elemento es constante.Asi:
SUMA DE TERMINOS
Sean:
a= primer terminon= numero de terminor= razn de dos trminos consecutivosS= suma de trminos (n es finito)
Entonces
MEDIA GEOMETRICA
Si una progresin geomtrica tiene tres trminos:a, m, b, entonces
EJERCICIOS
El cuarto trmino de una progresin aritmtica es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresin.
El primer trmino de una progresin aritmtica es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros trminos.
Hallar la suma de los quince primeros mltiplos de 5.
Hallar la suma de los quince primeros nmeros acabados en 5.
Hallar la suma de los quince primeros nmeros pares mayores que 5.
Hallar los ngulos de un cuadriltero convexo, sabiendo que estn en progresin aritmtica, siendo d= 25.La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es 360.
El cateto menor de un tringulo rectngulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del tringulo forman una progresin aritmtica.
Calcula tres nmeros en progresin aritmtica, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.
El 2 trmino de una progresin geomtrica es 6, y el 5 es 48. Escribir la progresin.
Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.
Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin: 3, 6, 12, 24, 48, ...
