8/16/2019 Teorema de Rolle y Teorema Del Valor Medio

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FACULTAD DE ARQUITECTURA SEGUNDO CICLO

Nombre:  Kenneth Habraham Reyes Alara!o

N"mero !e Carnet:  #$%&'(&'(')(

 Tema:

 Teorema !e Rolle y Teorema !el alor me!*o

In+en*ero:

  CARLOSHU,-ERTO ,ORALES CASTILLO

C.rso:

 

,atem/t*0as II

Fe0ha !e Entre+a:

( !e O0t.bre !el $1'(

http://licenciaturas.umg.edu.gt/moodle/user/view.php?id=35036&course=1http://licenciaturas.umg.edu.gt/moodle/user/view.php?id=35036&course=1http://licenciaturas.umg.edu.gt/moodle/user/view.php?id=35036&course=1http://licenciaturas.umg.edu.gt/moodle/user/view.php?id=35036&course=1

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Teorema de Rolle

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un puntointerior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuandoel valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizadomediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno delos principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Enunciado

Se puede enunciar de la siguiente manera,

Si es una función continua definida en un intervalo cerrado 

, derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces

Existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que .

!emostración

Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos esconstante, o bien tiene alg"n punto x  donde el valor de la función es mayor o bieneste valor es menor que en los extremos. #ara el primer caso es trivial queen algún punto la función tiene derivada nula $en la definición de derivada elcociente incremental es cero%.

• &racias a la continuidad de f , la imagen de 'a, b(, es un

con)unto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.

• *a imagen por una función continua de un con)unto compacto es un

con)unto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud

finita es de la forma 'm, M (, con m el valor m+nimo de f  y M  su valor máximo.

• Si m  M  , la función es constante, y cualquier punto c  de $a, b% conviene.

!escartado este caso, m - M  significa que uno de los dos no es igual a f $a%

f $b%. Supongamos que sea M . Entonces M   f $a% f $b%, y por lo tanto el

máximo M  está alcanzado en el interior del intervalo.

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Michel_Rollehttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_abiertohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_mediohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Compacidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Michel_Rollehttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_abiertohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_mediohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Compacidad

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• Sea c  en 'a, b( tal que f $c % M . #or definición del máximo, M   f $c % / f $ x %

para todo x  de 'a, b(. Entonces el cociente $f $c % 0 f $ x %% 1 $c  0 x % es positivo

cuando x  2 c  $porque su numerador es siempre positivo y su denominador es

positivo no nulo%, y es negativo cuando x   c  $el denominador se vuelve

negativo no nulo%. #ero f 3$c % es por definición el l+mite de este cociente

cuando x  tiende 4acia c . El l+mite por la izquierda, f  3$c 0%, tiene que ser igual al

l+mite por la derec4a, f  3$c 5%. #or lo tanto este l+mite com"n es nulo, o sea f 3$c %

6.

*a demostración es muy similar si es el m+nimo que está alcanzado en $ a, b%.

!emostración gráfica

En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones la función es continua enel intervalo cerrado 'a,b(, es derivable y los valores que toma la función en lospuntos a y b son iguales, es decir, f $a% f $b%. Existe, por lo tanto, al menos un

punto c  que pertenece al intervalo abierto $a,b% en el cual la derivada de la funciónes igual a cero. 7ale observar que c es distinto de a y de b. 8o debemosconfundir c  con f $c %, que s+ puede ser igual a f $a% y f $b%.

En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumpleen este caso. Se pueden dar tres casos en los que f $c % es distinto de f $a% y f $b%, asaber

Caso 1. El punto máximo es igual  a f $a% y f $b% y el punto mínimo es distinto de

ambos, lo cual implica que la curva es cóncava 4acia arriba. El punto m+nimoes m  f $c %, y la derivada de la función en este punto es 6.

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Caso 2. El punto m+nimo es igual  a f $a% y f $b% y el punto máximo es distinto deambos, lo cual implica que la curva es cóncava 4acia aba)o $o convexa%. El punto

máximo esM 

 f $c %, y la derivada de la función en este punto es 6.

Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f $a%y f $b%. Esto significa que dentro del intervalo cerrado 'a, b( la función alcanza unpunto máximo M  f $c 9% mayor al valor de la función en los extremos a y b y unpunto m+nimo m  f $c :% menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en elpunto m+nimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f  3$c :% 6 y f  3$c 9% 6.

http://es.wikipedia.org/wiki/Convexohttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexo

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 Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo 'a,b( y es derivableen el intervalo abierto $a,b% y si f$a% f$b%, entonces f;$c% 6 para al menos un

n"mero c en $a,b%.

E)emplos

:% Sea f$x% x

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9% CSe podrá aplicar el teorema de Rolle en f$x% abs$x% en el intervalo '09,9(D

Solución 8o, porque la función no es derivable en x 6. 8o sostiene toda la

4ipótesis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión.

B% !etermina el intervalo para f$x% x9 0 Bx 5 9 en donde se puede aplicar elteorema de Rolle. alla el valor c en el intervalo tal que f;$c% 6.

Solución >omo f es continua y derivable por ser una función polinómica, entoncesel teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c. #ara 4allar elintervalo se iguala la función a cero y se factoriza. Esto es

x9 0 Bx 5 9 6

$x 0 9%$x 0 :% 6

x 0 9 6, x 0 : 6

x 9 , x :

#or tanto, el intervalo es $:,9%.

*uego, f;$x% 9x 0 B

9x 0 B 6

9x B

x :.F

 ?s+ que c :.F.

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Teorema del valor medio

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio $de *agrange%, teorema de los

incrementos finitos, teorema de Gonnet0*agrange o teor+a del punto medio es unapropiedad de las funciones derivables en un intervalo. El teorema no se usa para

resolver problemas matemáticosH más bien, se usa normalmente

para demostrar  otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para

demostrar el teorema de Taylor  ya que es un caso especial.

Enunciado para una variable

#ara una función que cumpla la 4ipótesis de ser definida y continua 'a, b( y

derivable en el intervalo abierto $a, b% entonces existe al menos alg"n punto c en elintervalo $a, b% en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de

la curva en el intervalo cerrado 'a, b(.

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f  continua en el intervalo

'a, b( y diferenciable en el intervalo abierto $a, b% entonces existe al menos alg"n

punto c  en el intervalo $a, b% tal que la tangente a la curva en c  es paralela a la

recta secante que une los puntos $a, f $a%% y $b, f $b%%. Es decir

El teorema del valor medio de *agrange de 4ec4o es una generalización

del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua ' a, b(,

diferenciable en el intervalo abierto $a, b%, y toma valores iguales en los extremos

del intervalo I en otras palabras, f $a% f $b% I entonces existe al menos alg"n

punto c  en el intervalo $a, b% tal que la tangente a la curva en c  es 4orizontal, es

decir f' $c % 6.

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rollehttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle

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#rimero se consideran dos puntos y pertenecientes al gráfico

de la función. *a ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es

Se define una función auxiliar

#uesto que f  es continua en 'a, b( y diferenciable en $a, b%, lo mismo se puede

decir de g . ?demás g  satisface las condiciones del Teorema de Rolle en 'a,b( ya

que

#or el Teorema de Rolle, como g  es derivable en $a, b% y g $a% g $b%, existe

un c  perteneciente $a, b% tal que g' $c % 6, y por tanto

y as+

Forma integral del Teorema del valor medio

#ara una función continua en el cerrado , existe un valor en dic4o

intervalo, tal que

Demostracin !ado que la función es continua en el cerrado , posee un

valor máximo en dic4o intervalo para alg"n , que

llamaremos y tambi=n un valor m+nimo en el mismo

intervalo , para alg"n . Es decir

y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con

base y altura ó tendremos la siguiente desigualdad

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rollehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle

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*o que implica

!e donde se deduce que debe existir alg"n para el cual la función

alcanza el valor de la integral , es decir

El teorema no especifica como determinar , pero resulta que coincide con el

valor medio $promedio% de la función en el intervalo .

El teorema del valor medio o de *agrange dice que

Sea f es una función continua en 'a, b( y derivable en $a, b%, existe un punto c $a,

b% tal que

*a interpretación geom=trica del teorema del valor medio nos dice que 4ay un

punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que

f$a% f $b%.

E)emplos

:. CSe puede aplicar el teorema de *agrange a f$x%

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f$x% es continua en '6, 9( y derivable en $J:, 9% por tanto se puede aplicar 

el teorema del valor medio

Teorema del valor medio para derivadas $Teorema de *agrange%

Sea una función que cumple las propiedades siguientes

Es continua sobre un intervalo cerrado

Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un n"mero tal que y

#rueba ?l final del cap+tulo.

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo

diferencial como del cálculo integral.

En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.

Knterpretación geom=trica

El teorema del valor medio puede interpretarse geom=tricamente como sigue

>onsideremos la representación gráfica de una curva continua

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*a recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Seg"n el teorema del valor medio, debe existir alg"n punto sobre

la curva, localizado entre # y L, en el que la recta tangente sea paralela a la recta

secante que pasa por # y LH es decir, existe alg"n n"mero tal

que

E)emplos

#ara cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones

del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado

McM que satisfaga la conclusión de este teorema

Solución

#or ser una función polinomial, es derivable para toda por lo que debe

existir por lo menos un n"mero tal que

 ?demás por lo que

>omo entonces por lo que

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*uego en y en la recta tangente es

paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

>omo es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplirá ambas condiciones en el intervalo

*uego debe existir por lo menos un n"mero tal que

>omo ,

 entonces por lo que

Resolviendo la ecuación se obtiene que o

 ?unque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

"nicamente cuando

*uego en la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por 

los puntos .

&ráficamente se tiene

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El análisis de las otras funciones queda como e)ercicio para el estudiante.