INGENIERIA DE SISTEMAS

TEMA:

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

REALIZADO POR: -Emilio Rodríguez

- Darwin Torres

PROFESOR: -Ing. Guillermo Martínez

MATERIA: -Análisis Matemático II

CURSO: -Segundo

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INDICE

Agenda de Contenidos INDICE ......................................................................................................................................... 1

DEDICATORIA ........................................................................................................................... 2

AGRADECIMIENTO .................................................................................................................. 3

OBJETIVOS ................................................................................................................................ 4

OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................... 4

OBJETIVO ESPECIFICO ...................................................................................................... 4

INTRODUCCION ........................................................................................................................ 5

TEOREMA DE ROLLE .............................................................................................................. 6

TEOREMA DE VALOR EXTREMO ..................................................................................... 6

TEOREMA DEL VALOR MEDIO ............................................................................................. 9

CONCLUSION .......................................................................................................................... 11

REFERENCIAS ........................................................................................................................ 12

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DEDICATORIA

“Dedicamos el presente trabajo a todos aquellos que contribuyen a nuestra educación tanto dentro como fuera de la Universidad, a nuestros

padres, familiares y amigos, quienes siempre nos han apoyado.”

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AGRADECIMIENTO

Queremos extender nuestro agradecimiento a toda la cátedra de profesores que

conforman la facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, a nuestros padres

por el apoyo incondicional que diariamente nos brindan.

Para finalizar nos gustaría agradecer igualmente a todas aquellas personas que de

una forma u otra contribuyen a nuestro crecimiento como seres humanos dentro y

fuera de la Universidad.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

El principal objetivo propuesto en este trabajo es ampliar nuestros

conocimientos acerca del cálculo, conocer plenamente los conceptos

necesarios para el uso e Implementación del Teorema de Rolle y Valor

Medio, que posteriormente se aplicarán en el Cálculo Diferencial e Integral.

OBJETIVO ESPECIFICO

Entender las condiciones que se requieren para que se puedan cumplir los

Teoremas de Rolle y Valor Medio.

Tener la capacidad emplear los teoremas aprendidos en los ejercicios o

problemas que se presenten.

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INTRODUCCION

En los problemas matemáticos de la actualidad es importante conocer la forma

correcta de cómo graficar las funciones. La obtención de su dominio, rango, cortes,

números críticos, entre otros datos, es muy necesaria para poder realizar estimaciones

graficas más exactas de su comportamiento.

En el presente trabajo analizaremos dos teoremas imprescindibles para lograr dicha

tarea: El Teorema de Rolle, y su generalización, El Teorema del Valor Medio. Ambos

teoremas nos servirán para ampliar nuestros conocimientos en el cálculo diferencial.

Cada teorema abordado contara con su respectiva demostración y ejemplos

ilustrativos para mejor comprensión.

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TEOREMA DE ROLLE

Antes de definir el Teorema de Rolle, es necesario conocer otros conceptos como el

Teorema del Valor Extremo, el cual nos ayudara a demostrar posteriormente el

Teorema anunciado.

TEOREMA DE VALOR EXTREMO

ENUNCIADO:

Sea la función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función tiene un

valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en [a, b].

DESCRIPCION DEL TEOREMA:

El teorema nos dice que la continuidad de la función en un intervalo cerrado es una

condición suficiente pero no necesaria que nos garantiza que la función tiene valores

máximos (M) y mínimos (m) absolutos. Se plantea que dicha condición de continuidad

no es necesaria puesto que la función puede ser discontinua y aun así tener valor

máximos y mínimos absolutos, excepto en los puntos de discontinuidad.

Dicho esto se puede proceder a demostrar el Teorema de Rolle:

Estudiado y desarrollado por el matemático francés Michael Rolle, entre los años

1652 y 1719, este teorema se considera como uno de los más importantes dentro del

cálculo, ya que es utilizado para la demostración de otros teoremas.

ENUNCIADO:

Sea f una función definida en tal que:

1. es continua en el intervalo cerrado 2. es derivable en el intervalo abierto 3.

Entonces existe un número en el intervalo abierto tal que:

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Este teorema es válido, si y solo si, las tres hipótesis anteriormente mencionadas se cumplen.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

El teorema asegura que, al cumplir con las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal, es decir que para ir de a , o bien tenemos una recta horizontal en él , lo cual ocasiona que todos los puntos sobre ella sean críticos; o en al menos un punto la grafica de la función produce un extremo relativo en el cual existe una tangente horizontal.

Para la correcta demostración de este teorema, utilizaremos el teorema del valor

extremo cuya hipótesis:

DEMOSTRACION:

Se consideran dos casos para la demostración de este teorema:

CASO 1: para toda en el intervalo cerrado .

Por lo que la derivada de siempre será cero para cualquier valor que tome

en el intervalo abierto , entonces cualquier numero entre y

puede tomarse como . Esto explica lo anteriormente dicho de que “todos los

valores son puntos críticos”.

CASO 2: es diferente de cero para algún valor que tome en el intervalo

abierto

Como ya conocemos el Teorema del Valor Extremo, tiene un valor

y absoluto en . Por hipótesis se conoce que

y que es diferente de cero para algún valor de en

. Como conclusión tendrá un valor máximo positivo absoluto en algún 1

o un valor mínimo negativo absoluto 2; es decir, para 1 o 2, existe un

extremo absoluto en el punto interior del intervalo , lo que indica que el

extremo absoluto es un extremo relativo y por hipótesis existe, y

finalmente .

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Figura 1

Como podemos observar en la grafica (figura 1) en el intervalo [a, b] la grafica

no es continua por lo tanto no se cumple el Teorema de Rolle.

Figura 2

En este ejemplo (figura 2), se observa que la función es continua en el intervalo y

diferenciable en ; además y son iguales a cero; lo que implica que se

cumple el teorema de Rolle, puesto que .

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO ENUNCIADO:

Sea f una función definida en , tal que:

1. f es continua en el intervalo cerrado . 2. f es derivable en el intervalo abierto .

En estas condiciones existe un punto del interior del intervalo 0 c ( ) tal que

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Este teorema expresa la existencia de un punto en tal que la recta tangente en es paralela a la cuerda de extremos y , ya que las pendientes respectivas coinciden tal que:

Figura 3

En la gráfica (figura 3) observamos que si se hace coincidir el con la recta se cumpliría el Teorema de Rolle, por lo tanto se puede concluir que, el Teorema del Valor Medio es una generalización o expansión del Teorema de Rolle. DEMOSTRACION: Conocemos por definición que una recta que pasa por (figura 3) es:

Despejando :

Si consideramos a como la distancia vertical de la grafica de la función y un punto

correspondiente a la secante que pasa por entonces:

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Ahora procedemos a demostrar que esta función cumple con las tres hipótesis del Teorema de Rolle:

I. es continua en el intervalo puesto que es la suma de con un polinomio lineal, los cuales sabemos, son continuos ahí. Por ello la condición Nro. 1 se cumple.

II. Además se sabe que la función es diferenciable en por lo que se cumple

la condición Nro. 2. III. Por último, como se planteó anteriormente, si se toma a la recta secante

como el entonces . Con esto quedaría demostrado el Teorema de Rolle.

Si procedemos a derivar la función obtendremos:

Puesto que el Teorema de Rolle llega a la conclusión de que en un intervalo entonces reemplazamos por , así:

Que es lo que queríamos demostrar inicialmente.

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CONCLUSION

Al culminar el presente trabajo de investigación, se pudo comprender que dentro del

Cálculo Diferencial, tanto el Teorema de Rolle como del Valor Medio son muy

importantes para determinar la existencia de un numero crítico.

Además, las especificaciones de los teoremas, sirven para ser capaces de realizar

cualquier tipo de ejercicios o problemas que impliquen el encontrar Valores.

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REFERENCIAS

WEB:

TITULO: TEOREMA DE ROLLE Y VALOR MEDIO

http://www.sectormatematica.cl/media/diferenciado/FRACCIONES%20PARCIALES.doc.

FECHA DE ACCESO: 12/10/10

TEXTOS:

LOUIS LEITHOLD, “EL CALCULO 7ma. Edición”, Editorial Litográfica Ingramex, S.A

de C.V, México D.F. México, 2002.