xplicacin del teorema de Poincar-PerelmanEn el mundillo matemtico se ha hablado mucho sobre la conjetura de Poincar desde que Grigori Perelman publicara sus trabajos sobre la demostracin de la misma en el arXiv. Y en los ltimos tiempos la noticia sobre la validez de la demostracin y la concesin (y posterior rechazo) de la medalla Fields por parte de Perelman ha circulado por todos los medios de comunicacin (prensa, televisin, internet).Nosotros mismos hablbamos de la concesin de la medalla Fields en este post y del rechazo del premio en este otro. Pero a pesar de toda esta informacin y de la relevancia que ha adquirido este tema en todos los mbitos lo que he echado en falta es una explicacin ms o menos clara sobre qu es lo que dice este (ya) teorema que pueda ser comprensible para la gente que no est muy en contacto con las Matemticas a un cierto nivel. En casi todos los sitios donde he visto reseas sobre la noticia se limitan a comentar el enunciado del resultado propuesto por Poincar sin preocuparse de explicarlo. Y eso es lo que voy a intentar hacer ahora.

Para comenzar vamos a dar un enunciado ms o menos formal del resultado propuesto por Poincar:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S3

Este enunciado se generaliz ms adelante a dimensin n:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sn

Los casos n = 1 y n = 2 son sencillos de comprobar. Los casos n > 3 tambin estaban demostrados (si no me equivoco e demostr de una sola vez para n > 6 y de forma independiente para n = 4, n = 5 y n = 6). Slo faltaba el caso n = 3, que pareca resistirse.

Una persona que no est muy familiarizada con la Topologa lee este enunciado y se queda igual que estaba (o mucho peor al darse cuenta de que no entiende nada de lo que dice el enunciado). Lo que voy a intentar es explicarlo lo ms claramente posible:

Variedad: Es una generalizacin de curva y superficie a espacios de mayor dimensin. Una curva en el plano R2 (recta, parbola) es una 1- variedad, una superficie en R3 (esfera, cilindro) es una 2-variedad, y as sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es una objeto matemtico de R4 (s, un espacio de 4 dimensiones). Un apunte: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.Compacto: Cerrado y acotado. Las definiciones matemticas de estos dos conceptos no nos hacen falta, nos podemos quedar con las definiciones intuitivas que todo el mundo tiene.Simplemente conexo: Para el caso que nos ocupa nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestin no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S2 (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (un toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio.Homeomorfo: La definicin de homeomorfismo necesita de ciertos conocimientos matemticos que mucha gente no tiene y que adems no son importantes para el objetivo que perseguimos. Bsicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topolgicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geomtricamente podramos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra.Y ahora vamos a intentar explicarlo geomtricamente. El resultado quiere decir ms o menos algo as (lo haremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones, ya que stas s las podemos ver con facilidad):

Tenemos una esfera:

Supongamos que cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo por el ecuador de la misma, aunque podra ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Ahora tiramos del extremo de la cuerda. Qu pasa?. Pues que la cuerda deslizar por la superficie y poco a poco la circunferencia que formaba al principio se har cada vez ms pequea hasta que en la parte superior o inferior de la esfera ser como un punto. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera. Esto es a grandes rasgos el significado de simplemente conexo.

Intentemos hacer lo mismo con un toro, 2-variedad que no es simplemente conexa:

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tirramos de ella no pasara lo mismo que en el caso anterior, seguira siendo de la misma forma y del mismo tamao, y lo mismo ocurrira si moviramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda s conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegramos al borde interno no podramos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.

Al estar demostrada la generalizacin de la conjetura para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topolgicas de una de ellas no podemos sacar informacin de las propiedades topolgicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si por ejemplo tomamos un elipsoide

podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser tambin el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el (en este caso s) teorema de Poincar que la esfera S2 y el elipsoide son homeomorfos. Esto tambin se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Esto es lo que ocurre con 2-variedades. Aunque el estudio de las 3-variedades no se puede realizar igual geomtricamente creo que la explicacin anterior puede servir para que todo el mundo entienda de manera intuitiva el enunciado del teorema.

Y para terminar un apunte ms: Por qu puede ser importante un resultado as?. Pues muy sencillo. Un homeomorfismo es una cosa muy gorda. Decir que dos cosas son homeomorfas es decir que, como dije antes, son topolgicamente iguales, es decir, que comparten muchas propiedades topolgicas. Si el resultado es cierto comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchsimas ms cosas de ella, ya que las propiedades topolgicas de S3 son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas. A simple vista puede parecer sencillo, ya que es normal pensar solamente en 3 dimensiones, es decir, en 2-variedades y en sus representaciones grficas. El problema viene cuando queremos estudiar cosas que no podemos ver ni representar grficamente. En estos casos si necesitamos sacar informacin sobre un cierto objeto y tenemos teoremas como ste el trabajo necesario para ello se reduce bastante. Adems este tipo de resultados ayudan a clasificar los objetos. Ahora podemos decir que topolgicamente hablando slo hay una 3-variedad compacta y simplemente conexa: la 3-esfera S3, ya que cualquier otra 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a ella.

Y aqu acaba este post. Espero que os haya ayudado a comprender un poquito mejor este tema de la conjetura de Poincar. De todas formas si hay alguna duda, observis algn error o queris hacer algn apunte no os cortis y hacedlo en los comentarios.

P.D.: En mename dan un detalle que se me olvid poner: en realidad lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincar, sino un resultado ms general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrizacin de Thurston (que supongo que ahora pasar a llamarse teorema de Thurston-Perelman), propuesta por William Thurston, medalla Fields en 1982. Gracias jorginius.