Teorema de Pitágoras Distancia y -...

Teorema de Pitágoras Distancia y

Puntos Medios

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Fórmula de la Distancia

Puntos Medios

Tabla de Contenidos

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Teorema de Pitágoras

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Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró.

Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor.

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Catetos

- Opuesto al ángulo recto - Más largo de los 3 lados

- 2 lados que forman el ángulo recto

haga clic en para revelar



Las etiquetas de un triángulo rectángulo

ca

b

Hipotenusa haga clic en para revelar

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En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c).

a2 + b2 = c2

Enlace a la animación de la prueba

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http://www.usna.edu/MathDept/mdm/pyth.html

b 14 pies

a2 + b2 = c2

52 + b2 = 152

25 + b2 = 225

-25 -25

b2 = 200

Cateto que falta

Escribe la Ecuación

Sustitue los números

Números cuadrados

Sustrae

Encuentra la Raíz Cuadrada

Etiqueta Respuesta

5 pies

15 pies

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b 16 pulgadasb = √243 pulgadas

9 plg18 plg

a2 + b2 = c2

92 + b2 = 182

81 + b2 = 324

-81 -81

b2 = 243

Cateto que falta



Números cuadrados

Sustrae


Etiqueta Respuesta

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c 8 pulgadas

c = √65 pulgadas4 plg

7 plg

a2 + b2 = c2

42 + 72 = c2

16 + 49 = c2

65 = c2

Hipotenusa que falta



Números cuadrados

Agrega

Encuentra la Raíz Cuadrada y Etiqueta Respuesta

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Cateto que falta



Números cuadrados

Sustrae


Etiqueta Respuesta

Hipotenusa que falta



Números cuadrados

Agrega


Etiqueta Respuesta

Cómo utilizar la fórmula para encontrar lados que faltan.

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1 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

4

7x

Res

pues

ta

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Res

pues

ta

41x

15

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Res

pues

ta

7

z4

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3

4

x

Res

pues

ta

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3

4

Hay combinaciones de números enteros que trabajan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas.

3-4-5 es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiple de una), ¡no será necesario usar una calculadora!

5

Ternas Pitagóricas

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Tern

as 12 = 1 112 = 121 212 = 441

22 = 2 122 = 144 222 = 48432 = 9 132 = 169 232 = 52942 = 16 142 = 196 242 = 57652 = 25 152 = 225 252 = 62562 = 36 162 = 256 262 = 67672 = 49 172 = 289 272 = 72982 = 64 182 = 324 282 = 78492 = 81 192 = 361 292 = 400102 = 100 202 = 400 302 = 900

¿Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas?

Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan.

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6 Res

pues

ta

8

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513

Res

pues

ta

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48

50

Res

pues

ta

Slide 19 / 78

8 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7,0 y 3,0, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

Res

pues

ta

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9 Los catetos de un triángulo rectángulo son 2,0 y 12, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

Res

pues

ta

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10 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2,5. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

Res

pues

ta

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11 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4,5. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

Res

pues

ta

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Corolario al Teorema de Pitágoras Si a y b son medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo.

Si c2≠ a2 + b2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo.

b = 4 pies

c = 5 pies a = 3 pies

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Corolario al Teorema de Pitágoras

En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto.

Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdad, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.

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¿Es un triángulo rectángulo?

Escribe la ecuación

Inserta los números

Números cuadrados

Simplifica ambos lados

¿Son iguales?

8 plg, 17 plg, 15 plg

a2 + b2 = c2

82 + 152 = 172

64 + 225 = 289

289 = 289

¡Sí!

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12 ¿Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí

NO

8 pies

10 pies 6 pies

Res

pues

ta

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NO

30 pies

24 pies 36 pies

Res

pues

ta

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NO 10 pulgadas

8 pulgadas 12 pulgadas

Res

pues

ta

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NO

Res

pues

ta

5 pies 13 pies

12 pies

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Res

pues

ta

16 ¿Puedes construir un triángulo rectángulo con tres longitudes de madera que miden 7,5 plg, 18 plg y 19,5 plg?

Sí NO

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Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras.

1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana.

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17 Los tamaños de monitores de televisión y de ordenador son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de ordenador de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. ¿Cuál es la altura de la pantalla?

Res

pues

ta

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18 Un árbol fue golpeado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está en reposo 8 metros desde la base del árbol, y aún está parcialmente adjunto a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. ¿Qué tan alto es el árbol originalmente?

Res

pues

ta

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19 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la base tercera, y ves al jugadordel otro equipo correr hacia primera base. ¿Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Una diamante de béisbol es un cuadrado)

Casa

Primera

Segunda

90 pies

90 pies 90 pies

90 pies

Tercera

Res

pues

ta

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20 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos a lo largo del borde de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. ¿Qué longitud de la escalera necesitas para alcanzar la ventana?

Res

pues

ta

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21 Scott quiere nadar a través de un río que es 400 metros de ancho. Comienza la natación perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. ¿Hasta qué punto nadó en realidad desde su punto de inicio?

Imagen

Res

pues

ta

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Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos al simplemente contar las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical.

La distancia entre estos dos puntos es 4.

El punto más alto es 4 sobre el punto más bajo.

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22 ¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

Jale

Ja

le

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La mayoría de conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo:

Contar las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula que utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos.

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Dibuja un triángulo rectángulo alrededor de estos dos puntos. Luego utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo.

c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 42

c2 = 9 + 16c2 = 25c = 5a

bc

La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es de 5 unidades.

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Ejemplo:

c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 62

c2 = 9 + 36c2 = 45

La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (-9,5) es aproximadamente 6,7 unidades.

c 6,7

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Intenta esto:

c2 = a2 + b2

c2 = 92 + 122

c2 = 81 + 144c2 = 225c = 15

La distancia entre los dos puntos (-5, 5) y (7, -4) es de 15 unidades.

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Derivar una fórmula para calcular la distancia ...

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Crea un triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Etiqueta los puntos como se muestra. Luego sustituye a la Fórmula de Pitágoras.

(x1, y1)

longitud = x 2 - x1

longitud =y2 - y1

d

c2 = a2 + b2

d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d = (x 2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Esta es la fórmula de la distancia, ahora sustituye en valores.

d = (5 - 2)2 + (6 - 2)2

d = (3)2 + (4)2

d = 9 + 16

d = 25

d = 5

(x2, y2)

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d = (x 2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Puedes encontrar la distancia d entre dos puntos (x 1, y1) y (x 2, y2) Utilizando la fórmula a continuación.

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Cuando sólo se dan dos puntos, utiliza la fórmula.

Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-7 -4) Punto 2 (-5, -2)

Jale Jale para la fórmula

5,1

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25 Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea tu respuesta a la décima más cercana.


Jale Jale

para responder

Indi

cio

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26 Encuentra la distancia entre (-7, -2) y (11,3). Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Indi

cio

Jale Jale

para responder


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27 Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Jale Jale

para responder


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28 Encuentra la distancia entre (7, -5) y (9, -1). Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Jale Jale

para responder


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¿Cómo encontrarías el perímetro de este rectángulo?

Puedes contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos de los pares ordenados.

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A (0,-1)B (8,0)

C (9,4)D (3,3)

¿Podemos contar cuántas unidades de largo mide cada segmento de línea que hay en el cuadrilátero para encontrar el perímetro?

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Puedes utilizar la Fórmula de la Distancia para resolver problemas de geometría.

A (0,-1)B (8,0)

C (9,4)D (3,3)

Encuentra el perímetro de ABCD.Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los cuatro lados. Luego agregalos juntos.

BC = BC =

CD = CD =

AB = AB =

DA = DA =

perímetro

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29 Encuentra el perímetro de EFG. Redondea el resultado a la décima más cercana.

E (7,-1)

F (3,4)

G (1,1) Jale Jale

para responder


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30 Encuentra el perímetro del cuadrado. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

H (1,5)

I (3,3)K (-1,3)

J (1,1)

Jale Jale

para responder


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31 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

L (1,2) M (6,2)

N (5,-1)O (0,-1)

Jale Jale

para responder


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Puntos Medios


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(2, 2)

(2, 10)

Encuentra el punto medio del segmento de línea.

¿Qué es un punto medio? ¿Cómo se encuentra el punto medio? ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?

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(3, 4) (9, 4)


¿Cuáles son las coordenadas del punto medio? ¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos?

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(3, 4) (9, 4)


¿Cuáles son las coordenadas del punto medio? ¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos?

Punto medio = (6, 4)

Está en el centro del segmento.

Promedio de coordenada x. Promedio de coordenada y.

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La fórmula del Punto Medio

Para calcular el punto medio de un segmento de línea con extremos (x 1,y1) Y (x 2,y2) utiliza la fórmula:

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

Las coordenadas x e y del punto medio son los promedios de las coordenadas X e Y de los extremos, respectivamente.

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El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B.

B (8,1)

A (2,5)

Vea la página siguiente para la respuesta

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El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B.

B (8,1)

A (2,5)Usa la fórmula del punto medio:

Sustituye los valores:

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

2 + 8 , 5 + 12 2( )

Simplifica los numeradores: 10 62 2

,

Escribe fracciones en forma reducida:

( )(5,3) es el punto medio de AB

M

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Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3)

Usa la fórmula del punto medio:

Sustituye los valores:

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

1 + -5 , 0 + 32 2( )

Simplifica los numeradores: -4 32 2

,

Escribe fracciones en forma reducida:

( )

(-2, 1,5) Es el punto medio

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32 ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (2,10) y (6, -4)?

A (3,4)

B (4,7)C (4,3)D (1,5, 3)

Jale Jale

para la fórmula

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33 ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (4,5) y (-2,6)?

A (3, 6,5)B (1, 5,5)C (-1, 5,5)D (1, 0,5)

Jale Jale

para la fórmula

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34 ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (-7 -4) y (-12,2)?

A (-8, -2,5)

B (-4, -4,5)C (-1, -6,5)D (-8,-4)

Jale Jale

para la fórmula

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35 ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (10,9) y (5,3)?

A (6,5, 2)B (6, 7,5)C (7,5, 6)D (15,12)

Jale Jale

para la fórmula

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36 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-4,3) y (0,2).

¿Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula de Pitágoras

B Fórmula de la Distancia

C Fórmula del Punto Medio

D Fórmula para el área de un círculo

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A (2,5, -2)

B (2, 2,5)

C (-2, 2,5)

D (-1, 1,5)

Ya que el centro se encuentra en el punto medio de cualquier diámetro, encuentra el punto medio de los dos dados extremos.

Jale Jale

para la fórmula

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A (-7,8)

B (-5,8)

C (5,8)

D (7,8)

Jale Jale

para la fórmula

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El punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta.

Use la fórmula del punto medio y resolver la incógnita.

M (8,1)

P (8,-6)

Q = ?

Jale Jale

para la fórmula

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

Sustituye

Multiplica ambos lados por 2 Sumar o restar

(8, 8)

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39 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: ¿Cuáles son las coordenadas del punto que falta?

A (-13,-22)

B (-8,5, -9,5)

C (-4,5, -7,5)

D (-12,5, -6,5)

P = (-4,3)M = (-8,5, -9,5)Q = ?

Jale Jale

para la fórmula

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40 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: ¿Cuáles son las coordenadas del punto que falta?

A (1,-1)

B (-13,19)

C (-8,11)

D (-19,8)

Q = (-6,9)M = (-7,10)P = ?

Jale Jale

para la fórmula

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