TEOREMA DE PITGORAS

En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el rea de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresin anterior, en trminos de reas se expresa en la forma siguiente:

El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo, es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitgoras generalizadoSi en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un tringulo rectngulo, construimos otra figura, seguir siendo cierto, que el rea de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las reas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos? (Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobacin numrica en las figuras que se representan)

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITGORASA lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemticos y amantes de las matemticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuacin algunas de las ms conocidas.DEMOSTRACIONES GEOMTRICASPITGORAS.Una de las demostraciones geomtricas mas conocidas, es la que se muestra a continuacin, que suele atribuirse al propio Pitgoras.A partir de la igualdad de los tringulos rectngulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2

PLATN.La relacin que expresa el teorema de Pitgoras es especialmente intuitiva si se aplica a un tringulo rectngulo e issceles. Este problema lo trata Platn en sus famosos dilogos.

EUCLIDES.La relacin entre los catetos y la hipotenusa de un tringulo rectngulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. Elementos de Euclides. Proposicin I.47.En los tringulos rectngulos el cuadrado del lado que subtiende el ngulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo recto.Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las reas representadas en el mismo color.

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PUZZLES PITAGRICOS.A continuacin se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitgoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.1.- Los siguientes disecciones son vlidas para cualquier tringulo rectngulo.Se han ordenado de menos a mayor nmero de piezas que lo forman.1. Ozanam2.- Perigal3.-

4. Anaricio5. Bhskara6.-

7.-8.-

2.- Los puzzles siguientes slo son validos en el caso de que el tringulo rectngulo inicial sea el que se indica. Triangulo Rectngulo Issceles

Triangulo rectngulo 3,4,5Cateto mayor / cateto menor = 2

Hipotenusa /cateto menor =3Hipotenusa/cateto menor = 2

3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitgoras, tambin el del cateto.Son validos para tringulos rectngulos con los ngulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso.Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el nmero de piezas, y no puede generalizarse con un nmero finito.ngulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.30 A 60; 45 A 60; por tanto 30 B 45

Estas dos disecciones muestran grficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitacin que se ha expresado anteriormente.

DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.Valindose de la construccin que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o ms elegantes. Ests son algunas de las mas populares.PappusIbn Qurra

Leonardo de VinciGarfieldVieta

Otras demostraciones algebraicas.

Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitgoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un tringulo rectngulo.