5.3 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.

Cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre son iguales en magnitud y diferentes en dirección. Por tanto, los impulsos que actúan sobre las partículas son iguales y opuestos.

En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí se llaman fuerzas internas; las ejercidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto externo se denominan fuerzas externas.

En un diagrama de dos partículas en el que no actúe ninguna fuerza externa, las razones de cambio de la cantidad de movimiento de ambas partículas son

F⃗B sobre A¿ d⃗pdt

A F⃗A sobre B¿

d⃗pdt

B

La cantidad de movimiento de cada partícula cambia, pero estos cambios no son independientes; según la tercera ley de Newton la fuerza de la partícula A sobre la partícula B y la fuerza de la partícula B sobre la partícula A siempre son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

F⃗B sobre A +¿ F⃗A sobre B¿ d⃗pdt

A +¿ d⃗pdt

B¿dd ( P⃗A+ P⃗B )

dt=0

Las razones de cambio de las dos cantidades de movimiento son iguales y opuestas, así que la razón de cambio de la suma vectorial p⃗A + p⃗B es cero. Ahora definimos la cantidad de movimiento total P⃗ del sistema de dos partículas como la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas como la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales, esto es

P⃗=P⃗A+ P⃗B

La ecuación se convierte finalmente en

F⃗B sobre A +¿ F⃗A sobre B¿ d⃗pdt

=0

Si la razón de cambio de la cantidad total de movimiento P⃗ es cero, la cantidad de movimiento total del sistema es cte., aunque las cantidades de movimiento individuales de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar.

Si hay fuerzas externas se incluyen del lado izquierdo de la ecuación, junto a las internas. La cantidad de movimiento total no será cte., pero si la suma vectorial de las fuerzas externas en cero, estas no se contribuirán a la suma, y dP⃗/dt será cero, en resultado se dice que:

Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento total del sistema es cte.

El principio de la conservación de la cantidad de movimiento se aplica para un sistema con cualquier numero de partículas A,B,C…. que solo interactúan entre sí. La cantidad de movimiento total del sistema es

P⃗=P⃗A+ P⃗B+…=mA v⃗ A+mB v⃗b+…

EJEMPLOS.

1. Retroceso de un rifle.

Un tirador sostiene holgadamente un rifle de masa mR = 3.00kg, a fin de que pueda retroceder libremente al hacer un disparo. Dispara una masa mB = 5.00g con velocidad horizontal relativa al suelo de vBX =3.00 m/s. ¿Qué velocidad de retroceso vRX tiene el rifle? ¿Qué cantidad de movimiento y energía cinética finales tiene la bala? ¿el rifle?

P x ¿0=mv vBx+mR v Rx

vRx=−mBmR

vBx=−( 0.00500 kg3.00kg ) (300m /s )=−0.500m / s

PBx=mB vBx=(0.00500kg ) (300m/ s )=1.50kg ∙m /s

K B=12mBV B x2=

12(0.00500kg)(300m / s)2=¿ 225J

PRx=mR v Rx=(3.00kg) (−0.500m /s )=−1.50 kg ∙m / s

( cantidad de movimiento total de un sistema de partículas)

K R=12mR vR x2=

12(3.00 kg)(−0.500m / s)2=¿0.375J

2. Choque en línea recta.

Dos deslizadores se acercan uno al otro sobre un riel de aire sin fricción. Después de chocar, el deslizador B se aleja con velocidad final de +2.0m/s. ¿Qué velocidad final tiene el deslizador A? Compare los cambios de la cantidad de movimiento y velocidad de los dos deslizadores.

P x=mAv A1 x+mBvB1 x

¿ (0.50kg ) (2.0m / s )+(0.30 kg ) ¿

¿0.40k g ∙m /s

P x=mAv A2 x+mBvB2 x

vA 2x=Px−mB vB2 x

mA=

0.40kg ∙ms− (0.30kg )( 2.0m

s)

0.50kg=

−0.40ms

mA v A 2x−mA vA 1x=(0.50 kg )(−0.40ms )

−(0.50kg ) (2.0m/ s )=−1.2kg ∙m /s

mB vB2x−mB vB1 x=(0.30kg )(−0.20ms )

−(0.30kg ) (−2.0m /s )=+1.2kg ∙m /s

PROBLEMAS

8.18 Los gases en expansión que salen por el cañón de un rifle también contribuyen al retroceso. Una bala de calibre .30 tiene una masa de 0.00720 kg y una rapidez de 601 m/s relativa al cañón del rifle, cuya masa es de 2.80 kg. El rifle, sostenido don firmeza, retrocede a 1.85 m/s relativo al suelo. Calcule la cantidad de movimiento de los gases al salir del cañón, en un sistema se coordenadas fijo al suelo.

Tome la dirección del movimiento de la bala como dirección positiva. La cantidad del movimiento total de la bala, un fusil, y el gas debe ser cero, por lo que                      (0 . 00720 kg )(601 m/s − 1. 85 m/s )+(2 .80 kg )(−1 .85 m/s )+ pgas=0 ,y Pgas=0.866kg ∙m /s tenga en cuenta que la velocidad de la bala se encuentra restando la velocidad del rifle de la velocidad de la bala en relación con el rifle.

8.19 El bloque A de la figura 8.32 tiene una masa de 1.00 kg, y el B, de 3.00 kg. A y B se juntan a la fuerza, comprimiendo un resorte S entre ellos; luego, el sistema se suelta del reposo en una superficie palana sin fricción. El resorte, de masa despreciable, esta suelto y cae a la superficie después de extenderse. B adquiere una rapidez de 1.20 m/s. a) Qué rapidez final tiene A? b) cuánta energía potencial se almacenó en el resorte comprimido?

a) v A=( 3 . 00 kg

1 . 00 kg )(0 . 80 0 m /s )=3 . 60 m/ s .

b) (1/2)(1 . 00 kg )(3 . 60 m/s )2+(1 /2 )(3 .0 0 kg )(1 .200 m/s )2=8 . 64 J .