TEOREMA DE

BERNOULLI

INTRODUCCIÓN

Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto.

Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

Flujos incompresibles y sin rozamiento. Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para la medida de flujos.

Teorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad.

Las tres cantidades de energía mecánica que aparecen en la formulación del principio son las siguientes:

Energía potencial gravitacional: Esta es la energía que posee cierta sección del fluido debido a su altura con respecto a un nivel de referencia específico (generalmente el suelo) y está dada por el término g h donde es la densidad elρ ρ fluido, g es la aceleración de la gravedad y h representaría la altura que ocupa esta sección del fluido con respecto al suelo.Energía cinética: Energía que lleva cierta porción o elemento de fluido debido a su velocidad. En la ecuación de Bernoulli este término toma la forma siguiente, donde

es la velocidad del fluido υEnergía de flujo 2/2: ρυ Esta energía es la que tiene cierto elemento del fluido debido a su presión local. En la ecuación de Bernoulli esto se escribe simplemente con la letra P.

Para establecer el principio de Bernoulli son necesarios todos los elementos anteriores.

En sí el Principio de Bernoulli no es más que el establecimiento del Principio Mecánico de la Conservación de la Energía para fluidos, sean éstos gases o líquidos.

MARCO TEÓRICO

TEOREMA DE BERNOULLI

La Ecuación de Bernoulli constituye una de las leyes más importantes en el estudio de la dinámica de los fluidos, se basa esencialmente en la conservación de la energía mecánica.

En todo fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento), incomprensible, en régimen laminar de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de todo su recorrido.

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permanecer constante.

El teorema considera los tres únicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidroestática). Veamos cada una de ellas por separado:

 

Energía cinética(hidrodinámica)

Debida a la velocidad de flujo  

Energía potencial gravitatoria Debida a la altitud del fluido   

Energía de flujo (hidroestática) Debida a la presión a la que está sometido el fluido 

 

Por lo tanto el teorema de Bernoulli se expresa de la siguiente forma:

Donde:

v es la velocidad de flujo del fluido en la sección considerada. g es la constante de gravedad. h es la altura desde una cota de referencia. p es la presión a lo largo de la línea de corriente del fluido (p minúscula). ρ es la densidad del fluido.

Si consideramos dos puntos de la misma conducción (1 y 2) la ecuación queda:

Donde m es constante por ser un sistema cerrado y V también lo es por ser un fluido incompresible. Dividiendo todos los términos por V, se obtiene la forma más común de la ecuación de Bernoulli, en función de la densidad del fluido:

Una simplificación que en muchos casos es aceptable es considerar el caso en que la altura es constante, entonces la expresión de la ecuación de Bernoulli, se convierte en:

APLICACIONES   DEL TEOREMA DE BERNOULLI JUNTO CON EL TUBO DE VENTURI

TUBO DE VENTURI

Un venturi es un dispositivo que clásicamente incorpora una simple convergencia y divergencia a través de una sección y usa los principios de Bernoulli para relacionar la velocidad con la presión del fluido. Este principio se basa en que cuando el gas o líquido en movimiento, baja su presión y aumenta su velocidad.

Un tubo de venturi es usado para medir la velocidad del flujo de un fluido. En la garganta, el área es reducida de A1 a A2  y su velocidad se incrementa de V1 a V2. En el punto 2, donde la velocidad es máxima, la presión es mínima. Esto lo sabemos de la ecuación de Bernoulli.

Este dispositivo se utiliza para medir el gasto de una tubería. Al escurrir el fluido de la tubería a la garganta, la velocidad aumenta notablemente, y en consecuencia, la presión disminuye; el gasto transportado por la tubería en el caso de un flujo incompresible está en función de la lectura del manómetro.

Las presiones en la sección 1 y en la garganta (sección 2) son presiones reales, en tanto que las velocidades correspondientes obtenidas en la ecuación de Bernoulli sin un término de pérdidas son velocidades teóricas. Si se consideran las pérdidas en la ecuación de la energía entonces se trata de velocidades reales. En lo que sigue se obtendrá primero la velocidad teórica en la garganta al aplicar la ecuación de Bernoulli sin el término de pérdidas. Multiplicando este valor por el coeficiente Cv, se determinará la velocidad real. Esta última, multiplicada por el área real de la garganta, permite obtener el gasto que circula por la tubería.

Nota: Para obtener resultados precisos, el tubo de Venturi debe estar precedido por una longitud de al menos diez veces en diámetro de la tubería.

Donde V1, V2, p1 y p2 son las velocidades y presiones en las secciones 1 y 2 respectivamente. Esta ecuación incorpora la conservación de la energía para fluidos.

Usaremos la ecuación de continuidad para flujo de fluidos. Esta se basa en que con ausencia de pérdida de masa, el flujo de fluido que entra en una región dada debe ser igual al que sale.

Para flujo incompresible:

Juntando la ecuación de Bernoulli con la de continuidad, se tendrá:

Por otro lado la diferencia manométrica h se puede relacionar con la diferencia de presiones al escribir la ecuación del manómetro. De este modo se obtiene una expresión para el gasto.

Donde S0 es la gravedad específica del líquido en el manómetro y S1 es la gravedad específica del líquido a través de la tubería. Esta expresión que constituye la ecuación del tubo de venturi para flujo incompresible. El gasto depende de la diferencia manométrica h. El coeficiente Cv se determina mediante un método de calibración (número de Reynolds).

Aplicando la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2, los cuales están a una misma altura:

(1)

(2)

Reemplazando (2) en (1), encontramos:

.

Despejando, por ejemplo, se tiene:

(3)

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.

Chimenea

Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

Tubería

La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

Natación

La aplicación dentro de este deporte se ve reflejada directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Movimiento de una pelota o balón con efecto

Si lanzamos una pelota o un balón con efecto, es decir rotando sobre sí mismo, se desvía hacia un lado. También por el conocido efecto Magnus, típico es el balón picado, cuando el jugador mete el empeine por debajo del balón causándole un efecto rotatorio de forma que este traza una trayectoria parabólica. Es lo que conocemos como vaselina.

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