Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales

Transparencias:Análisis de Sistemas LE en TDAnálisis de Sistemas LE en TDen el Dominio Transformado Zen el Dominio Transformado Z

Autor: Dr. Juan Carlos Gómez

TeSyS 2

Análisis de Sistemas LE en TD en el Análisis de Sistemas LE en TD en el Dominio Transformado ZDominio Transformado Z

1. Transformada Z Bilateral

z: variable complejax(n): señal en tiempo discreto

( ) ( )[ ]nxZznx)z(X n

n== −

∞

∞−=∑

• La transformada Z (serie infinita) existe para los valores de la variable z donde la serie converge. La región se denomina Región de Convergencia (RDC).• Las señales de duración finita tienen como RDC a todo el plano complejo (exceptuando posiblemente z=0 y/o z→∞)

TeSyS 3

Ejemplo:( )nµ

21)n(x

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Vemos que x(n) posee duración infinitaLa transformada Z resulta:

21z1z

21 1 >⇔<−

( )[ ]n

1

0n

n

n

0n

z21z

21nxZ)z(X ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== −

∞

=

−∞

=∑∑

que es una serie geométrica. La serie converge para:

La serie converge al valor:1z

211

1−−

TeSyS 4

Es decir, que la Transformada Z de x(n) es:

X(z) es una representación alternativa, compacta, de la señal x(n)

Gráficamente, la RDC es:

( )21z:RDC

z211

1zX1

>−

=−

Im(z)

Re(z)0 1/2

TeSyS 5

• Región de Convergencia

Expresando la variable z en forma polar, tenemos:

donde:

entonces:

En la región de convergencia de X(z) es:

( ) n

nznx)z(X −

∞

∞−=∑=

φje.rz =

zφzr∠=

=

( ) nφjn

ne.rnx)z(X −−

∞

∞−=∑=

z-n

∞<)z(X

TeSyS 6

Es decir:

( ) ( )

( ) n

n

nφjn

n

nφjn

n

rnx

e.rnxe.rnx)z(X

−∞

∞−=

−−∞

∞−=

−−∞

∞−=

∑

∑∑

=

≤=

< ∞

Hallar la RDC es hallar el rango de valores de r para el cuál la secuencia x(n) r-n es absolutamente sumable

La RDC es usualmente una región anular( ) 1c2 rzrr <<

Si la señal es causal → RDC: Exterior de un círculoSi la señal es anticausal → RDC: Interior de un círculo

TeSyS 7

2. Transformada Z inversa

( )

( ) knn

k

zkxzzX

zkxzX

k

k

−−−

−

∑

∑∞

∞−=

∞

∞−=

=

=

11

)(

)(

Im(z)C

Re(z)RDC

Considerando la siguiente RDC:

TeSyS 8

Integrando ambos miembros de la expresión anterior sobre el contorno C

( ) ( ) dzzkxdzzkxdzz)z(XC

k1n

kC

k1n

kC

1n ∫∑∫ ∑∫ −−∞

∞−=

−−∞

∞−=

− ==

Como la serie converge en el contorno C(C está dentro de la RDC)

Recordando el Teorema de Cauchy resulta:

y por lo tanto:⎩⎨⎧

≠=

=∫ −−

nk0nk1

dzzjπ2

1

C

k1n

( ) ( ) dzzzXjπ2

1nxC

1n∫ −= TransformadaZ Inversa

TeSyS 9

3. Propiedades de la Transformada Z

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxZbnxZanxbnxaZ 2121 +=+

• Linealidad

• Corrimiento en tiempo

• Escalado en el Dominio Z

( )[ ] ( )[ ]nxZzknxZ k−=−

( )[ ] ( )( ) ( )[ ]nxZzXdonde

zaXnxaZ 1n

=

= −

TeSyS 10

• Reversión de Tiempo

• Derivada en el Dominio Z

• Convolución de 2 secuencias

•Teorema del Valor InicialSi x(n) es causal (es decir x(n)=0 ∀ n<0)

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]nxZzXconzXnxZ 1 ==− −

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]nxZzXcondz

zXdznxnZ =−=

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxZ.nxZnxnxZ 2121 =∗

( ) ( )zXlim0xz ∞→

=

TeSyS 11

4. Transformadas Z Racionales

( )∑

∑

=

−

=

−

−−

−−

=++++++

= N

0k

kk

M

0k

kk

NN

110

MM

110

za

zb

zazaazbzbbzX

K

K

ceros de X(z): valores de z tal que X(z)=0polos de X(z): valores de z tal que X(z)→∞

( ) ( )( )zDzNzX = polinomios en z (o z)

-1

( )N

1N1

N0

M1M

1M

0MN

a...zazab...zbzbzzX

++++++

=−

−−

TeSyS 12

M ceros finitos z1 , z2 , ... , zMN polos finitos p1 , p2 , ... , pN

N-M ceros en el origen si N>MM-N polos en el origen si M>N

( )( )

( ) 0

0N

1jj

M

1ii

MN

abKcon

pz

zzzKzX =

−

−=

∏

∏

=

=−

TeSyS 13

5. Ubicación de polos y Comportamiento Temporal

( ) ( ) ( ) az:RDCza1

1zXnµanxcausalSeñal1

n >−

=↔=−

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

...n

...n

...n

...n

...n

...n

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

TeSyS 14

( ) ( ) ( )( )

az:RDCza1

zazXnµannxcausalSeñal 21

1n >

−=↔=

−

−

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

x(n)

0

...n

...n

...n

...n

...n

...n

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

Plano z

TeSyS 15

6. Función Transferencia Z

( ) ( ) ( )nunhny ∗=

Función Transferencia Z

h(n)u(n) y(n)

( ) ( ) ( )zU.zHzY =

( ) ( )[ ]nhZzH =

( ) ( )( ) nulas.I.C

n

n zUzYznh)z(H == −

∞

∞−=∑

Z

TeSyS 16

Para un sistema descripto por una ecuación en diferencias:

Z (C.I. nulas)

( ) ( )knubknya)n(y k

M

0kk

N

1k−+−−= ∑∑

==

( ) ( ) kk

M

0k

kk

N

1kzzUbzzYa)z(Y −

=

−

=∑∑ +−=

[ ] ( ) [ ]kk

M

0k

kk

N

1kzbzUza1)z(Y −

=

−

=∑∑ =+

( ) ( ) kk

N

1k

kk

M

0k

za1

zb

zU)z(YzH

−

=

−

=

∑

∑

+== Transferencia

Z Racional

TeSyS 17

Casos especiales

kMk

M

0kM

kk

M

0kzb

z1zb)z(H −

=

−

=∑∑ ==

• ak = 0 , ∀k

M ceros → determinados por los coeficientes bk1 polo de orden M en z= 0El sistema es FIR(Finite Impulse Response)

• bk = 0 , para 1 ≤ k ≤ M

( ) 1aconza

zb

za1

bzH 0kN

k

N

0k

N0

kk

N

1k

0 ==+

=−

=

−

=∑∑

N polos → determinados por los coeficientes ak1 cero de orden N en z= 0

TeSyS 18

Casos especiales (continuación)El sistema anterior es IIR. Para ver esto calculemos h(n)

Luego:

Está definida para infinitos valores de n ⇒ IIR

( )

( ) ( )k

kN

1kk

N

1k

1N0

kNk

N

0k

1N0

pzα

pz

zb

za

zbzzH

−=

−== ∑∏∑ =

=

−

−

=

−

Expansión en fracciones simples

( ) ( ) ( ) ( )npnhzp

zH nkk

N

kk

kN

kµαα ∑∑

==

=⎯→⎯−

= −

111

1Z-1

TeSyS 19

7. Cálculo de la Transformada Z inversa

( ) ( ) dzzzXjπ2

1nxC

1n∫ −=

C: contorno cerrado que encierra al origen y está dentrode la RDC de X(z)

• Evaluación directa de la integral de contorno

• Expansión en serie de potencias en z y z -1

• Expansión en Fracciones Simples+ Tabla de pares Transf. - Transf. Inversa

Métodos de Resolución

TeSyS 20

Evaluación directa de la integral de ContornoPor el Teorema de los Residuos de Cauchy

f(z) derivable sobre y en el interior del contorno C y sin polos en z = z0En su forma más general:

f(z) no tiene polos en el interior de Cg(z) es un polinomio con raíces distintas z1, z2 , .... , zNdentro de C

( ) ( )⎩⎨⎧

=−∫ Cazsi

Cazsizfdz

zzzf

j C exterior 0interior

21

0

00

0π

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )zgzfzzzAconzAdz

zgzf

j ii

N

iii

C

−==∑∫=12

1π

TeSyS 21

{Ai(zi)} Residuos correspondientes a los polosz1, z2 , .... , zN

Aplicado al cálculo de la transformada Z inversa se tiene:

Ejemplo:

(Hacerlo)

( ) ( ) ( )[ ]∑∫ === −−i

1n1n

C

zzenzzXderesiduodzzzXjπ2

1nxtodos los polos

zi interiores a C

( ) az:RDCza1

1zX1

>−

=−

TeSyS 22

Expansión en Serie de PotenciasExpandimos X(z) como:

que converge en la RDC de X(z). Por la unicidad de la Transformada Z

nn

nzc)z(X −

∞

∞−=∑=

nc)n(x n ∀=

TeSyS 23

Expansión en Fracciones SimplesExpresamos X(z) como la combinación lineal

donde los Xi(z) tienen transformada inversa conocida xi(n)Entonces por linealidad:

( )nxα)n(x ii

K

1i∑=

=

( )zXα)z(X ii

K

1i∑=

=

TeSyS 24

8. Transformada Z Unilateral

X+(z) : No contiene información de x(n) para n < 0X+(z) : Es única sólo para señales causalesEjemplo:

Como x(n)µ(n) es causal, la RDC de X+(z) es el exterior de un círculo

( ) n

0nznx)z(X −

∞

=

+ ∑=

( ) { } ( )( ) { } ( ) 31

22

3111

zz75zX1,0,7,5,4,2nx

zz75zX1,0,7,5,2,1nx−−+

↑

−−+

↑

++=↔=

++=↔=Z

Z

( )[ ] ( ) ( )[ ]nµnxZnxZ =+

TeSyS 25

Propiedades de la X (z)Posee las mismas propiedades de la X(z), exceptuando la propiedad de corrimiento en el tiempoCaso 1: Retardo de Tiempo

En el caso en que x(n) sea causal, entonces

Caso 2: Avance de Tiempo

+

( ) [ ( ) ( ) ] 0,1

>−+←→− ∑=

+−

kznxzXzknxnk

k

n

( ) ( )zXzknx k +−←→−

( ) [ ( ) ( ) ] 0,1

0>−←→+

−+

∑−

=

kznxzXzknxnk

k

n

( ) ( )zXnx +←→

( ) ( )zXnx +←→

TeSyS 26

Teorema del Valor Final

El límite existe si la RDC de (z - 1) X+(z) incluye al circulo unitario

Ejemplo:La respuesta al impulso de un SLE relajado es:

Determine el valor de la respuesta al escalón cuando n→∞

( ) ( )

( ) ( ) ( )zX1zlimnxlim:entonces

zXnxSi

1zn

+

→∞→

+

−=

←→

( )nµα)n(h n=

TeSyS 27

Tenemos:

donde:

Por la propiedad de la convolución

(como las señales h(n), y(n) y u(n) son señales causales, la transformada Z unilateral y bilateral son idénticas)

Luego:

( ) ( )nu)n(hny ∗=

( )nµ)n(u =

( ) ( )zU)z(HzY =

( ) ( )( ) αz:RDCαz1z

zz1

1zα1

1zY2

11>

−−=

−−=

−−

( ) ( ) ( ) αz:RDCαz

zzY1z2

>−

=−

TeSyS 28

Como ⏐α⏐< 1, la RDC (z - 1) Y(z) incluye a la circunferencia unitaria. Luego:

Uso de la Transformada Z unilateral para la solución de las Ecuaciones en Diferencias con condiciones iniciales no nulasEjemplo:

Calcular la respuesta del sistema a un escalón unitario, con condición inicial y(-1)=1

( ) ( ) ( )α1

1αz

zlimzY1zlimnylim2

1z1zn −=

−=−=

→→∞→

( ) ( ) ( ) ( ) 1α,nu1nyαny1 <+−=

TeSyS 29

Solución:Tomando la Transformada Z+ en ambos miembros de la ecuación (1) , tenemos:

Para:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )zU

zα11

zα11yαzY

zU1yαzα1zYzU1yzYzαzY

11

1

1

+−−

+

+−+

++−+

−+

−−

=

+−=−

+−+=

( ) ( ) ( ) ( )1z11zUnµnu

−+

−=⇒=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1zαzz

αzzα

z11

zα11

zα1αzY

2

111 −−+

−=

−−+

−=

−−−+

TeSyS 30

Solución (continuación):Expandiendo en fracciones simples:

donde:

⇓

( ) ( ) ( )1zzB

αzzA

αzzαzY

−+

−+

−=+

( ) ( )222

2

zzαBzBzAzAzαzzB1zzA=−+−

=−+−

α1α1

α11A

α11B

1BαB0αBA1BA1BA

−−=+

−−=

−=⇒

⎩⎨⎧

=+−∴=−−+−=⇒=+

TeSyS 31

Solución (continuación):Luego reemplazando los valores de las constantes:

↓ Z-1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 111 z11

α11

zα11

α1α

zα1αzY

1zz

α11

αzz

α1α

αzzαzY

−−−+

+

−−+

−−−

−=

−−+

−−−

−=

( ) ( ) ( ) ( )nµα1

1nµα1

αnµαny1n

1n

−+

−−=

++

TeSyS 32

Respuesta de Sistemas con funciones Transferencia Z Racionales

Asumimos u(n) con transformada Z+ racional

Asumimos además H(z) con polos simples p1 , p2 , ... , pNy U(z) con polos simples q1 , q2 , ... , qL ; con:

pk ≠ qm ∀ k = 1, ..., N ∧ m = 1, ..., L

( ) ( )( )zDzNzH = polinomios en z (o z)-1

( ) ( )( )zQzPzU =

H(z)U(z) Y(z)

TeSyS 33

Asumiendo además que no hay cancelación de polo-ceroSuponiendo condiciones iniciales nulas, la respuesta del sistema a la entrada resulta:

Expandiendo en fracciones simples obtenemos

↓ Z-1

( ) ( ) ( )( ) ( )zQzD

zPzNzY =

( ) ( )nµqBnµpA)z(Y

zq1B

zp1A)z(Y

nkk

L

1k

nkk

N

1k

1k

kL

1k1

k

kN

1k

∑∑

∑∑

==

−=

−=

+=

−+

−=

Respuesta RespuestaNatural Forzada

TeSyS 34

9. Causalidad y Estabilidad de Sistemas en TD

• Causalidad:Vimos que la condición necesaria y suficiente para que

un SLE sea causal es que:

Vimos también que la RDC de la Transformada Z de una secuencia causal es el exterior de un círculo.Podemos concluir que:

Un sistema LE es causal si y solo si la RDC de la función transferencia Z del sistema es el exterior de un circulo de radio r < ∞, incluyendo el punto z = ∞

0n0)n(h <∀=

TeSyS 35

• Estabilidad:La estabilidad de un sistema LE puede expresarse en

término de las características de la función transferencia Z del sistema.

Vimos que la condición necesaria y suficiente para la BIBO estabilidad de un sistema lineal estacionario es:

Veremos que esta condición implica que H(z) debe contener a la circunferencia unitaria en su RDC.En efecto, considerando que:

( ) ∞<∑∞

∞−=

nhn

( ) ( ) n

nznhzH −

∞

∞−=∑=

TeSyS 36

Luego:

Si se evalua en la circunferencia unitaria ( | z |=1 ) por lo que resulta:

De donde podemos concluir que si el sistema es BIBO estable, entonces la RDC de H(z) contiene a la circunferencia unitaria.Lo converso también es válido. Concluyendo así que:

( ) ( ) ( ) ( ) n

n

n

n

n

nznhznhznhzH −

∞

∞−=

−∞

∞−=

−∞

∞−=∑∑∑ =≤=

( ) ( )nhzHn∑∞

∞−=

≤

Un sistema LE es BIBO estable si y solo si la RDC de la función transferencia Z del sistema incluye a la circunferencia unitaria

TeSyS 37

• Las condiciones para causalidad y estabilidad son diferentes y una no implica la otra. De hecho podemos tener sistemas:

- Estab. / Causal - Inestab. / Causal- Estab. / No Causal - Inestab. / No Causal

• Para un sistema causal, la condición necesaria y suficiente se puede restringir un poco, como:

Sistema causal ←→ RDC de H(z) es el exterior de un circulo de radio r

Sistema estable ←→ RDC de H(z) contiene a la circunferencia unitaria

⇓Sistema causal y estable ←→ RDC de H(z) es | z | > r < 1

TeSyS 38

Como la RDC no puede contener polos de H(z) podemos concluir que:

Ejemplo:Sea el sistema LE con transferencia Z:

Especifique la RDC de H(z) y determine h(n) para las siguiente condiciones:

a. El sistema es estableb. El sistema es causalc. El sistema es anticausal

Un sistema LE causal, es BIBO estable si y solo todos los polos de H(z) están en el interior del circulo unitario

( ) 1121

1

z312

z5.011

z5.1z5.31z43zH

−−−−

−

−+

−=

+−−

=