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TEORÍA DE FUNCIONES DEVARIABLE COMPLEJA

JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA EINGENIERÍA FÍSICA

TEORÍA DE FUNCIONES DEVARIABLE COMPLEJA

TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍAFÍSICA

JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

PÁGINA LEGALPrimera edición, Editorial Universitaria, 2014.

Calle 23 No. 565 e/ F y G, Vedado, La Habana, Cuba.

E-mail: [email protected]

Teléfono: (+537) 837 4538

e ISBN 978-959-16-2278-5

© Todos los derechos reservados José Miguel Marín Antuña, ProfesorEmérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba. E-mail:[email protected]

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http://eduniv.mes.edui.cu/

Indice

Introduccion 9

1 Funciones de variable compleja. Funciones analıticas 11

1.1 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Operaciones con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4 Interpretacion geometrica de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . 16

1.1.5 Potencia y raız de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.6 Esfera de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Sucesiones de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Criterio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Funciones de variable compleja. Lımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4 Derivacion con respecto al argumento complejo.Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1 Derivadas y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.2 Condiciones de diferenciabilidad de una funcion . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4 INDICE

1.4.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4.4 Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.5 Funciones conjugadas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5 Ejercicios del Capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Integracion de funciones de variable compleja 51

2.1 Concepto de integral de funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Formulacion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.2 Teorema de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.3 Corolario del Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.4 Generalizacion del Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Integral Indefinida. Formula de Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4 Integrales que dependen analıticamente de un parametro . . . . . . . . . . . . . 68

2.5 Formula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.1 Obtencion de la formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.2 Consecuencias de la Formula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 74


3 Series de funciones analıticas 85

3.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.1 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.2 Series funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2 Propiedades de las series convergentesuniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3.1 Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3.2 Desarrollo de una funcion analıtica en serie de potencias . . . . . . . . . 104

INDICE 5

3.4 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4.1 Propiedades de las series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4.2 Desarrollo de una funcion analıtica en serie de Laurent . . . . . . . . . . 114

3.5 Puntos singulares de las funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.1 Clasificacion de los puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.2 Conducta de las funciones analıticas en el entorno de sus puntos singularesaislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.5.3 Clasificacion de las singularidades en el entorno del infinito . . . . . . . . 136


4 Prolongacion analıtica. Funciones elementales de variable compleja 143

4.1 Prolongacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1.1 Teorema de unicidad de las funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1.2 Prolongacion analıtica. Concepto de superficie de Riemann . . . . . . . . 147

4.1.3 Prolongacion analıtica a traves de la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.1.4 Prolongacion analıtica por medio de series de potencias . . . . . . . . . . 154

4.1.5 Concepto de funcion analıtica completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2 Funciones elementales de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.1 Funcion exponencial. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.2 Funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.2.3 Funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.2.4 Funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


5 Teorıa de residuos y sus aplicaciones 187

5.1 Residuo. Teorema fundamental de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.1.1 Definicion. Formulas para el calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . 187

5.1.2 Teorema fundamental de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6 INDICE

5.2 Aplicacion de la teorıa de residuos al calculo de integrales definidas de variablereal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2.1 Integrales del tipo∫ 2π

0f(sinx, cosx)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.2 Integrales del tipo I =∫∞−∞ f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.2.3 Integrales del tipo I =∫∞−∞ f(x) cosαx dx o I =

∫∞−∞ f(x) sinαx dx . . . . 203

5.2.4 Otros tipos de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.2.5 Integrales de funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.2.6 Integrales del tipo∫∞

0f(x) ln xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.3 Residuo logarıtmico y sus aplicaciones. Principio del argumento . . . . . . . . . 242

5.3.1 Concepto de residuo logarıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.3.2 Principio del argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246


6 Representaciones conformes 259

6.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.1.1 Transformaciones que conservan las propiedades armonicas . . . . . . . . 260

6.1.2 Significado geometrico del modulo y del argumento de la derivada de unafuncion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.1.3 Representacion conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

6.1.4 Principio de correspondencia de fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.1.5 Teorema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.2 Funcion bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.2.1 Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.2.2 Funcion de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.2.3 Funcion bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6.3 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

6.3.1 Funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

INDICE 7

6.3.2 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.3.3 Funcion seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6.3.4 Ejemplos de aplicacion de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . 297

6.4 Funcion de Joukovsky. Perfiles de Joukovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6.5 Integral de Schwarz-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.5.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.6 Aplicacion de las representaciones conformes a la resolucion de problemas defrontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

6.6.1 Construccion de la funcion de Green mediante representaciones conformes 334

6.6.2 Resolucion de problemas de frontera para la ecuacion de Laplace medianterepresentaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

6.6.3 Metodo del potencial complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343


7 Calculo Operacional 373

7.1 La transformada de Laplace y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.1.1 Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.1.2 Transformada de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

7.1.3 Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.1.4 Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

7.2 Determinacion del original a partir de la transformada . . . . . . . . . . . . . . 391

7.2.1 Formula de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

7.2.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

7.2.3 Caso de funcion regular en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

7.3 Aplicacion de la transformada de Laplace a la solucion de ecuaciones diferenciales410

7.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

7.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

7.4 Otras transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

8 INDICE

7.4.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

7.4.2 Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

7.4.3 Transformada de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

7.4.4 Transformacion de una integral de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 431

7.4.5 Prolongacion analıtica de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 433


8 Respuestas e indicaciones a los ejercicios 439

8.1 Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

8.2 Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

8.3 Capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

8.4 Capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.5 Capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.6 Capıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.7 Capıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

9 Apendice 1. Principio de simetrıa 449

10 Apendice 2. Redondeamiento de angulos 459

10.1 Redondeamiento de angulos menores que π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

10.2 Redondamiento de angulos mayores que π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

11 Apendice 3. La transformada de Fourier 467

Bibliografıa 473

Introduccion

En la presente obra se desarrollan los conceptos fundamentales y los metodos de trabajo dela teorıa de funciones de una variable compleja. En la literatura actual, generalmente se en-cuentran cursos muy amplios de esta teorıa dedicados fundamentalmente a aquellos lectoresque han escogido por especialidad las Matematicas, a la vez que que se hallan otros cursos quesolamente desarrollan los elementos de esa teorıa. Ademas, no existe hasta el momento un libroen espanol que, a nuestro juicio, satisfaga las exigencias de un desarrollo sistematico y completode las funciones de variable compleja a pesar de que cada vez son mas populares en la Fısica yen la tecnica los metodos que exigen una aplicacion seria de la teorıa de las funciones analıticas.

Hacer hincapie en dicha aplicacion dentro del contenido de un curso matematico especializadoes difıcil y el que al respecto se hace en los cursos elementales es insuficiente.

El fin que se propone el presente libro es precisamente eliminar esta insuficiencia desarrollandocon la rigurosidad necesaria los metodos fundamentales de la teorıa de funciones de una variablecompleja para aquellas personas que la necesitan en aras de su aplicacion a problemas fısicos ytecnicos. Su contenido esta basado en el curso que el autor ha desarrollado durante 45 anos enla asignatura de Metodos Matematicos de la Fısica para el tercer ano de la carrera de Fısicade la Universidad de La Habana. Dos ediciones anteriores de este libro han sido utilizadastambien como texto de los estudiantes de la carrera de Fısica Nuclear del Instituto de Cienciasy Tecnologıas Aplicadas. Como libro de consulta ha sido empleado en carreras tecnologicas ypedagogicas de Cuba, ası como en la carrera de Matematicas de la Universidad de La Habana.Algunas universidades latinoamericanas han contado con ejemplares de esas ediciones comotexto de consulta tambien.

Sin embargo, en su revision el autor ha encontrado deficiencias en el emplanaje de los ejemplareseditados y tambien erratas que hacen deseable una nueva edicion del libro. Es por eso que nosdimos a la tarea de hacer un analisis detallado de las ediciones anteriores y de elaborar unanueva version del texto, si bien hemos querido mantener el estilo y el espıritu inicial de la obra,pues ha sido de agrado de muchas generaciones de estudiantes que lo han utilizado para suformacion en el apasionante, elegante, bello y util tema de la teorıa y las aplicaciones de lasfunciones de una variable compleja.

No obstante lo dicho, la necesidad y el deseo de una exposicion mas amplia y sistematica delos contenidos ha conducido a la realizacion de un analisis mas detallado de algunas cuestiones,por encima de lo que comunmente puede hacerse en el marco de un programa de conferencias.Es por ello que aparecen algunos temas que normalmente no entran en el contenido de dichoprograma, pero que son de gran utilidad al fısico y al ingeniero.

9

10 Jose Marın Antuna

El desarrollo del material es bastante cercano al tradicional. Sin embargo, no se hace un analisisespecial de las funciones elementales de variable compleja al inicio del libro, como comunmentese lleva a cabo en otras obras, sino que estas se introducen como una prolongacion analıticadirecta de las funciones elementales de variable real; los teoremas sobre la prolongacion analıticapermiten, de forma uniforme, trasladar al campo complejo las propiedades conocidas de lasfunciones de variable real.

La exposicion de la teorıa de residuos va encaminada a permitir la aplicacion directa por partedel lector de este poderoso aparato de trabajo como un arma de uso cotidiano en los problemasde integracion que se planteen; por ello esta adornado de multiples ejemplos. Igualmente,el concepto y las implicaciones del residuo logarıtmico han sido desarrollados ampliamente,mas de lo que habitualmente suelen hacer otros autores, ya que este sencillo concepto permiteprofundizar mas en la esencia y el comportamiento de las funciones analıticas y permite, depaso, despejar algunas viejas incognitas de caracter algebraico.

En el desarrollo de la materia tambien hemos hecho enfasis en la aplicacion de la teorıa de lasrepresentaciones conformes a la solucion de problemas de la Fısica Matematica, por ser unode los aparatos mas poderosos que pueden usarse en las investigaciones en esa disciplina. Dosapendices del libro se dedican a ese topico.

Tambien se hace enfasis en la aplicacion de la transformada de Laplace a la solucion de pro-blemas con ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias, como en derivadas parciales, por ser ellasun aparato de amplia utilizacion por los lectores a quienes va dirigido este libro.

Ademas, hemos introducido a traves de ejemplos y ejercicios propuestos los conceptos de algunasde las funciones especiales mas importantes de la Fısica Matematica con las que el lector puedeencontrarse en el transcurso de su actividad profesional. Sin embargo, el libro no pretendeun estudio sistematico de las funciones especiales que son tratadas con mayor amplitud ysistematicidad en el libro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.

Este libro, como su nombre lo indica, esta dedicado principalmente a la teorıa de funciones deuna variable compleja; sin embargo, no se concibe un libro de teorıa matematica que no contengaejemplos esclarecedores y que no proponga al lector ejercicios que le permitan comprobar susconocimientos. Por eso, sin ser un libro amplio en ejercicios, al final de cada capıtulo se proponenvarios de ellos sobre la materia desarrollada. Al final del Capıtulo 7 se ofrecen las respuestas alos ejercicios propuestos y las indicaciones para la solucion de algunos de ellos. Se recomiendaal lector la solucion de los ejercicios propuestos, a fin de comprobar los conocimientos teoricosadquiridos, ası como para adquirir la destreza necesaria en el manejo de dicha teorıa.

Las opinones de los lectores sobre esta nueva version del libro seran recibidas con agrado yagradecimiento por el autor.

La Habana, Cuba, 2012.

Capıtulo 1

Funciones de variable compleja.Funciones analıticas

1.1 Numeros complejos

El concepto de numero complejo aparecio, en primer lugar, como resultado de la necesidadde sistematizar los calculos. Los matematicos se vieron necesitados de utilizarlos desde epocasrelativamente tempranas. Inclusive las mas sencillas operaciones algebraicas con numeros realesse salen del marco del campo de los numeros reales. Es conocido que no toda ecuacion algebraicapuede ser resuelta con numeros reales; por consiguiente, es necesario renunciar a la aplicacionautomatica de los metodos de solucion establecidos y en cada caso investigar minuciosamentelas posibilidades de aplicacion de dichos metodos o ampliar el campo de los numeros reales, demanera que las operaciones algebraicas fundamentales sean siempre aplicables. Tal ampliaciones, precisamente, el concepto de numero complejo.

La propiedad fundamental de los numeros complejos es que las operaciones matematicas conellos realizadas no se salen de los lımites de su definicion.

El concepto de numero complejo es familiar al lector inclusive de los cursos de algebra elemental.En dichos cursos generalmente se llega al concepto de numero complejo al analizar la ecuacion

x2 + 1 = 0 (1.1)

Lo primero que se observa es que no existen numeros reales que satisfagan dicha ecuacion. Poreso se introduce un nuevo numero ”imaginario” i =

√−1, con ayuda del cual la citada ecuacion

resulta soluble y cuyas raıces son +i y −i.1

1La primera referencia a los numeros ”imaginarios” como las raıces cuadradas de numeros reales negativosse remonta al siglo XVI (Cardano, 1545). Hasta la mitad del siglo XVIII los numeros complejos aparecen enalgunos trabajos aislados de diferentes matematicos (Newton, Bernoulli, Clairaut). En la segunda mitad delsiglo XVIII se introduce el sımbolo i y comienza un desarrollo sistematico de la teorıa de los numeros complejosen los trabajos de eminentes matematicos y fısicos como Leonard Euler, August Cauchy, Karl Weierstrass,

11


Inmediatamente pueden introducirse los numeros complejos como la suma de los numeros realesx y los numeros imaginarios iy. Una vez introducidos estos numeros, resultan solubles todaslas ecuaciones de segundo grado

x2 + px+ q = 0 (1.2)

y en general todas las ecuaciones del tipo

xn + p1xn−1 + p2x

n−2 + · · ·+ pn = 0 (1.3)

con coeficientes arbitrarios.

Como podemos considerar que el lector esta familiarizado, desde los cursos de algebra ele-mental, con el concepto de numero complejo, resumiremos en forma axiomatica los momentosfundamentales de la definicion de numero complejo y las operaciones aritmeticas que con ellosse realizan. Exigiremos solo que los axiomas y las operaciones que introduzcamos contengan,como caso particular, los conceptos y operaciones con los numeros reales.

1.1.1 Un poco de historia

La aritmetica de los numeros reales responde a una serie de reglas entre las cuales se encuentrael hecho de que el producto de dos numeros positivos y el producto de dos numeros negativostiene que ser positivo. Por ejemplo, 5× 3 = 15 y tambien (−5)× (−3) = 15. Si uno se proponela tarea de hallar la raız cuadrada de un numero negativo como −15 encuentra que debe ocurrirque, si llamamos r =

√−15, entonces r × r = −15 lo que contradice la regla anterior de los

numeros reales. Por lo tanto, r no puede ser un numero real. Aunque por mucho tiempolos matematicos rechazaron la posibilidad de introducir entes nuevos mas alla de los numerosreales, llego un momento en el que la idea tuvo que admitirse para poder seguir ampliandoel campo de aplicaciones de la Matematica. Fue en el siglo 16 donde por primera vez se hizodicha introduccion. El medico, filosofo y astrologo Gerolamo Cardano introdujo en su libro”Ars Magna” (”arte superior” o ”algebra”) el siguiente problema: Hallar los numeros en quese divide el numero 10 de manera que multiplicadas entre sı se obtenga el numero 40.

Cardano expresa que el problema no tiene solucion, ya que no existen dos numeros reales ay b que a la vez cumplan que a + b = 10 y que ab = 40. Planteado en terminos modernosdel Algebra esto significarıa que a(10 − a) = 40, o sea, a2 − 10a − 40 = 0. Sin embargo,profundizando en el asunto, el propio Cardano propuso como posible solucion

5 +√−15, 5−

√−15

pues, efectivamente:

Bernhard Riemann, Casper Bessel y otros.

Funciones de Variable Compleja 13

(5 +√−15)× (5−

√−15) = 25− 5

√−15 + 5

√−15− (

√−15)2 = 25− (−15) = 25 + 15 = 40

Al ”numero”√−15 que el propio Cardano rechazaba por ser ”inquietante” y a veces ”inutil”

tenıa la rara virtud de permitir la solucion del problema planteado. Como posteriormente lamanipulacion de tales raıces ”sofisticadas” permitio resolver todas las ecuaciones de segundoy de tercer grado, se comenzo a aceptar, no sin reservas, tales ”numeros” que de otra formahubieran sido desechados como tantas otras cuestiones que no se han sabido apreciar. Otrosmatematicos, como Bombelli, hicieron aportes a la solucion de ecuaciones de tercer grado con eluso de tales numeros y solamente ya comenzado el siglo 17 Rene Descartes acuno el termino de”imaginarios” para los numeros que eran definidos como raıces de numeros negativos. Leibnitzquiso decirles ”numeros anfibios”, pero felizmente prevalecio el nombre de imaginarios, si bieneran mirados con reserva, como ciertos objetos de segunda clase. Solamente en la segunda mitaddel propio siglo 17 ese gigante del pensamiento matematico llamado Leonard Euler introdujo elsımbolo i para lo que llamo ”unidad imaginaria” i =

√−1 y consiguio la incorporacion total de

los numeros imaginarios y los que despues se denominaron ”complejos” que fueron escritos ensu forma algebraica como a+ ib, donde a y b son numeros reales, al universo de la Matematica.Es a la pluma del propio Euler a la que se debe la llamada ”identidad de Euler” eiπ + 1 = 0considerada como la mas bella formula mamtematica y con la que Euler logro establecer sufamosa identidad eiθ = cos θ+ i sin θ y la introduccion de los logaritmos de numeros negativos,ya que, segun su propio razonamiento, si eiπ = −1, ln(−1) = iπ. Por ultimo, en el siglo 19,casi 300 anos despues de los trabajos de Cardano, un matematico irlandes, William Hamilton,introdujo otra notacion para los numeros complejos: el numero complejo a+ ib fue identificadopor Hamilton como un par de numeros reales (a, b) cuyas reglas de composicion son las que acontinuacion expondremos de manera axiomatica en este capıtulo.

1.1.2 Definiciones

Llamaremos numero complejo z al par ordenado de numeros reales

z = (x, y) (1.4)

e identificaremos al numero complejo z = (x, 0) con el numero real x.

En esta definicion debemos insistir en que es fundamental el orden en que se colocan los numerosque conforman el par, ya que no es igual el numero complejo (x, y) al numero complejo (y, x).

El primer numero del par recibe el nombre de parte real del numero complejo z, lo que seindica escribiendo x = Re z; el segundo numero del par y se denomina parte imaginaria delnumero complejo z y se representa por el sımbolo y = Im z.

Los numeros reales se entienden como un subconjunto de los numeros complejos aquı definidos:x = (x, 0). El subconjunto de los numeros complejos cuya parte real es nula: (0, y) son llamados


numero imaginarios puros. Este nombre tiene su origen en los primeros tiempos de estudiode los numeros complejos.

Diremos que dos numeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) son iguales si y solo si soniguales sus partes reales y sus partes imaginarias, es decir, z1 = z2 si y solo si x1 = x2, y1 = y2.

Como consecuencia, podemos decir que z = 0 si y solo si x = 0, y = 0.

Llamaremos complejo conjugado o simplemente conjugado del numero z = (x, y) al numerocomplejo (x,−y) y lo representaremos por el sımbolo z∗ o z.

1.1.3 Operaciones con numeros complejos

Definiremos las operaciones algebraicas con numeros complejos.

1. Llamaremos suma de dos numeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) al numerocomplejo z = (x, y) tal que x = x1 + x2, y = y1 + y2. Esta operacion sera representadasimbolicamente por z = z1 + z2.

Es facil comprobar que para la operacion ası definida se cumplen la propiedad conmuta-tiva: z1 + z2 = z2 + z1 y la propiedad asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3. Ademas,es evidente que, considerados los numeros reales como un subconjunto de los numeroscomplejos, la operacion suma definida por nosotros coincide con la operacion conocida desuma de dos numeros reales. Esto nos indica que la operacion de suma de dos numeroscomplejos esta construida correctamente.

2. Llamaremos diferencia de dos numeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) al numerocomplejo z = (x, y) tal que z + z2 = z1, lo que se representara con el sımbolo z = z1− z2.De esta definicion es facil concluir que x = x1 − x2, y = y1 − y2.

3. Llamaremos producto de dos numeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) al numerocomplejo z = (x, y) determinado por las relaciones

x = x1x2 − y1y2, y = x1y2 + x2y1 (1.5)

La operacion se simboliza por z = z1·z2. Se puede comprobar sin dificultad que tiene lugarla propiedad conmutativa: z1 ·z2 = z2 ·z1, la propiedad asociativa: z1 ·(z2 ·z3) = (z1 ·z2) ·z3

y la propiedad distributiva: z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.

Ademas, considerando a los numeros reales como un caso particular de los numeros com-plejos, vemos que se obtiene la regla conocida para la multiplicacion de dos numerosreales, de donde concluimos que la operacion de multiplicacion de dos numeros complejosesta bien construida.

Analicemos ahora un producto que juega un papel muy importante en la teorıa de losnumeros complejos. Este producto es z · z∗. Segun la definicion de producto se obtiene:

z · z∗ = (x2 + y2, 0) (1.6)


Es decir se obtiene un numero real. Llamaremos modulo del numero complejo z a la raızcuadrada de dicho producto y lo representaremos por:

|z| =√x2 + y2 (1.7)

4. Llamaremos division de dos numeros complejos a la operacion inversa a la de multipli-cacion. Llamaremos cociente de los numeros complejos z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2) (siz2 6= 0) al numero complejo z = (x, y) que multiplicado por el divisor nos da el dividendo:z · z2 = z1, lo que se expresara con el sımbolo z = z1

z2. De lo anterior se concluye que

la parte real x y la parte imaginaria y se determinan del sistema lineal de ecuacionesalgebraicas

xx2 − yy2 = x1 (1.8)

xy2 + yx2 = y1

con determinante x22 + y2

2 diferente de cero. Resolviendo este sistema se obtiene :

x =x1x2 + y1y2

x22 + y2

2

; y =x2y1 − x1y2

x22 + y2

2

(1.9)

Una vez axiomatizadas las operaciones con numeros complejos, podemos buscar una formamas comoda de escribirlos: la llamada forma algebraica o forma binomica de un numerocomplejo.

En virtud de la operacion suma, el numero complejo z = (x, y) se puede escribir como

z = (x, 0) + (0, y)

y en virtud de la operacion de multiplicacion podemos escribirlo como

z = (x, 0) + (0, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1)

El numero (1, 0) es la unidad real: (1, 0) = 1 y el numero (0, 1) recibe el nombre de unidadimaginaria y se representa por i = (0, 1).

Por consiguiente, concluimos que el numero complejo z = (x, y) puede representarse de la forma

z = x+ iy (1.10)

que permite darle un significado algebraico directo.

Basandonos en la definicion de dos numeros complejos vista anteriormente, es facil obtenerla condicion que satisface la unidad imaginaria introducida. Efectivamente, en virtud de laoperacion de multiplicacion tenemos que


i · i = i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1

De aquı, la unidad imaginaria puede introducirse como

i =√−1

aunque esta expresion no tenga sentido en el campo de los numeros reales.

1.1.4 Interpretacion geometrica de los numeros complejos

Para el estudio de las propiedades de los numeros complejos es muy comoda su interpretaciongeometrica. Puesto que un numero complejo se define como un par ordenado de numeros reales,es logico pensar que podemos representar geometricamente al numero complejo z = (x, y) =x + iy a traves del punto (x, y) en el plano R2 con un sistema de coordenadas cartesianas eidentificar al numero z = 0 con el origen de coordenadas.

En lo adelante este plano recibira el nombre de plano complejo y se le dara al eje de lasabsisas el nombre de eje real y al eje de las ordenadas el nombre de eje imaginario.

Es evidente que de esta forma se establece una correspondencia entre cada numero complejoz = x + iy y cada punto (x, y) del plano. Ademas, cada punto (x, y) del plano complejo (esdecir, cada numero complejo z = x + iy) determina de manera unica las coordenadas de unvector con base en el origen de coordenadas y vertice en el punto (x, y) del plano, cuya longitudes, por definicion de modulo de un vector

r =√x2 + y2 ≡ |z|

es decir, el modulo del numero complejo z.

Ası pues, podemos afirmar que existe una relacion biunıvoca entre el conjunto de los numeroscomplejos, tal y como han sido definidos aquı y el conjunto de todos los vectores del plano com-plejo con base en el inicio de coordenadas. Aquı estamos considerando solamente los numeroscon ambas partes -real e imaginaria- finitas y los vectores del plano de modulo finito. Mas ade-lante veremos como extender esta correspondencia a lo que posteriormente definiremos comoel punto infinitamente alejado del plano complejo correspondiente al numero complejo quellamaremos ”infinito”.

Introduzcamos ahora una nueva forma de representar a los numeros complejos: la llamadaforma trigonometrica de los numeros complejos. La relacion entre las coordenadas carte-sianas y las coordenadas polares es, como se sabe, (Fig. 1.1)


Figura 1.1: Plano Complejo

x = r cosϕ

y = r sinϕ (1.11)

de donde, automaticamente, se obtiene la llamada forma trigonometrica de escribir el numerocomplejo:

z = r(cosϕ+ i sinϕ) (1.12)

Del analisis anterior se infiere que el radio polar r es el modulo del numero complejo z: r = |z|.El angulo polar recibe el nombre de argumento del numero complejo z, lo que se representacon la notacion ϕ = Arg z.

Dados el modulo y el argumento de un numero complejo, sus partes real e imaginaria quedandefinidas con precision por la relacion (1.12). Sin embargo, la afirmacion recıproca no es cierta,pues dado el numero complejo z, si bien su modulo queda definido unıvocamente por la expresion


r = |z| =√x2 + y2 ≥ 0 (1.13)

su argumento queda determinado con exactitud de un multiplo de 2π:

ϕ = Arg z = arctany

x+ 2πn

para los cuadrantes I y IV

ϕ = Arg z = arctany

x+ 2(n+ 1)π (1.14)

para los cuadrantes II y III.

donde arctan es el valor principal o rama principal univaluada de Arctan, es decir, mayor que−π/2 y menor o igual a π/2; n es un numero entero arbitrario.

En lo adelante, a la par que el sımbolo Arg z, que representa todo el conjunto de valores delargumento, con el numero entero n arbitrario, utilizaremos el sımbolo arg z, que representa unocualquiera de los valores de Arg z cuando a n se da un valor entero concreto. En el caso quesea necesario se senalara cual es el valor especıfico que se toma. A cada uno de los valores delargumento, correspondiente a un valor fijo entero de n le llamaremos rama del argumento dez y, en particular, a la rama correspondiente a n = 0 rama principal del argumento de z. Deesta manera, tenemos que el argumento de un numero complejo es igual al valor de la ramaprincipal del argumento, que puede tomarse segun la conveniencia de los futuros calculos entre0 y 2π, entre −π y π, etc. mas un numero entero de 2π, equivalente a un numero entero devueltas alrededor del punto z = 0 origen de coordenadas. Es decir, si representamos a la ramaprincipal del argumento por arg0 z, tendremos:

Arg z = arg0 z + 2nπ

donde n toma valores enteros. Esta notacion sera de utilidad mas adelante en el analisis de lasfunciones de variable compleja.

Es obvio que, como dos numeros complejos son iguales sı y solo sı son iguales sus partes reales ysus partes imaginarias, dos numeros complejos seran iguales sı y solo sı son iguales sus modulosy sus argumentos.

Basandonos en la interpretacion geometrica introducida al inicio de este punto, es facil estable-cer la posicion en el plano complejo de los numeros z = z1+z2 y z = z1−z2; esto evidentementese lleva a cabo utilizando las reglas conocidas para la suma y resta de vectores en un plano(Fig. 1.2)

De lo planteado anteriormente es facil establecer las desigualdades del triangulo:

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|; |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2| (1.15)


Figura 1.2: Suma y resta de numeros complejos

De la definicion (1.5) se deduce que para multiplicar dos numeros complejos sus modulos semultiplican y sus argumentos se suman. Efectivamente, si representamos al numero complejozk por

zk = xk + iyk ≡ rk(cosϕk + i sinϕk)

con k = 1, 2, tenemos:

z = z1 · z2 = r1r2{[cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2] + i[cosϕ1 sinϕ2 + sinϕ1 cosϕ2]} =

= r1r2{cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)} (1.16)

Es decir, que, efectivamente, |z| = |z1| · |z2| y Arg z = Arg z1 +Arg z2. Si analizamos la division

z = z1/z2, de manera similar se concluye que |z| = |z1||z2| y Arg z = Arg z1−Arg z2, es decir, que

en la division los modulos se dividen y los argumentos se restan.


Es conveniente introducir aquı lo que comunmente se conoce con el nombre de forma expo-nencial de un numero complejo. Dados el modulo |z| = r y el argumento Arg z = ϕ delnumero complejo z = x+ iy, su forma exponencial es

z = reiϕ ≡ |z|eiArg z ≡ |z|ei argo z+2nπ (1.17)

donde n es un numero entero arbitrario.

Entonces (1.16) podra escribirse de la siguiente forma

z1 · z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2)

Solo posteriormente, al estudiar las funciones elementales de variable compleja, esta forma seradebidamente justificada con rigor, pero debido a la comodidad de su uso, la hemos introducidoahora.

1.1.5 Potencia y raız de un numero complejo

Analicemos ahora las operaciones de potenciacion y radicacion de los numeros complejos. Usare-mos indistintamente la forma trigonometrica o la forma exponencial de los numeros complejosestudiadas en el punto anterior.

Por definicion, por potencia enesima de un numero complejo z se entiende la multiplicacionreiterada de dicho numero por sı mismo n veces. Nos circunscribiremos a este concepto depotencia, aunque mas adelante estudiaremos una generalizacion de la operacion de potenciacion,cuando un numero complejo se eleve a cualquier numero real o complejo.

Por el momento para el caso particular de una potencia entera podemos afirmar que

zn = {r(cosϕ+ i sinϕ)}n = rn(cosnϕ+ i sinnϕ) (1.18)

Como consecuencia de esta operacion, deducimos la llamada formula de Moivre:

(cosϕ+ i sinϕ)n = (cosnϕ+ i sinnϕ) (1.19)

Es evidente que (1.18) puede escribirse de manera equivalente como

zn = rneinϕ

Por definicion, el numero w = n√z = z1/n se llama raız enesima del numero z si se cumple

que wn = z. Por consiguiente, si llamamos z = reiϕ y w = Reiψ, tendremos que


wn = Rneinψ = reiϕ (1.20)

Como dos numeros complejos son iguales sı y solo sı son iguales sus modulos y sus argumentos,de (1.20) concluimos que r = Rn y nψ = ϕ + 2kπ, con k entero. Por lo tanto, para el moduloy el argumento de la raız enesima obtenemos las expresiones

R = n√r; ψ =

ϕ+ 2kπ

n(1.21)

De esta forma, para la raız enesima de un numero complejo obtenemos la expresion

w = n√

(z) = n√rei

ϕ+2kπn (1.22)

En nuestra deduccion, hasta el momento, no existe ninguna limitacion al numero k que puedetomar cualquier valor entero desde −∞ hasta +∞. Sin embargo, no es difıcil ver que k tomarasolamente los valores k = 0, 1, 2, ..., n− 1, por lo que solo habra n valores diferentes de la raızenesima de z. Efectivamente:

Para k = 0 obtenemos:

w1 = n√rei

ϕn


w2 = n√rei

ϕ+2πn

.......................................................

Para k = n− 1 obtenemos:

wn = n√rei

ϕ+(n−1)2πn

Todos estos numeros son distintos, pues sus argumentos lo son; por lo tanto, existen n raıcesdistintas. Pero, para k = n obtenemos:

wn+1 = n√rei(

ϕn

+2π) = w1

es decir, comienzan a repetirse los valores. Igualmente, si hacemos k = −1 obtenemos wn; sihacemos k = −2 obtenemos wn−1; etc. Ası pues, quedan limitados efectivamente los valores dek y se obtienen exactamente n raıces distintas.


Si analizamos dos raıces sucesivas wl y wl+1 observamos que sus modulos son iguales y que susargumentos se diferencian en el valor constante 2π

n, por lo que los valores de n

√z son los vertices

de un polıgono regular de n lados y n vertices inscrito en una circunferencia con centro en elorigen de coordenadas y radio n

√r.

Ejemplos

1. Hallar todos los valores de 3√−i

Como −i = 1 · ei 3π2 , para k = 0 obtenemos

w1 = eiπ2 = i

Para k = 1 obtenemos

w2 = ei7π6 = −

√3

2− i

2

Para k = 2 obtenemos

w3 = ei11π6 =

√3

2− i

2

El grafico de los valores hallados puede verse en la figura 1.3

Se ve que los tres valores hallados son los vertices de un triangulo equilatero inscrito enla circunferencia de radio 1 centrada en z = 0.

2. Hallar los valores de 3√

1.

Como 1 = 1 · ei·0, para k = 0 obtenemos:

w1 = 1


w2 = ei2π3 = −1

2+ i

√3

2


w3 = ei4π3 = −1

2− i

√3

2


Figura 1.3: Raıces cubicas de −i

1.1.6 Esfera de los numeros complejos

Ademas de la representacion de los numeros complejos como puntos de un plano, en muchosproblemas es util otro tipo de representacion geometrica. Construyamos una esfera S (Fig. 1.4)que toque al plano complejo en el punto z = 0 con su polo sur O. El polo norte P de dichaesfera lo uniremos, mediante rectas, con todos los puntos del plano complejo. Al hacer estoes evidente que a cada punto z del plano le corresponde un unico punto bien definido Z de laesfera, que es aquel donde la esfera es cortada por la recta Pz. De forma similar, a cada puntoZ de la esfera (excepto al polo norte P) le corresponde un punto bien determinado z del plano,que es aquel punto donde el plano es cortado por la recta PZ. La correspondencia descritaentre puntos del plano y puntos de la esfera recibe el nombre de proyeccion estereografica.La esfera ası construida se conoce con el nombre de esfera de Riemann. Riemann fue quienintrodujo por primera vez el concepto de esfera de los numeros complejos con el fin de definirgeometricamente, de la forma mas precisa posible, el punto infinitamente alejado.

Acordemos considerar al punto Z de la esfera, que corresponde al punto z del plano mediante laproyeccion estereografica, como una nueva representacion del numero complejo. Para realizarlas operaciones con numeros complejos dados sobre la esfera, utilizaremos sus proyecciones


Figura 1.4: Esfera de Riemann. Proyeccion estereografica

estereograficas sobre el plano y realizaremos allı todas las operaciones algebraicas definidas enlos puntos anteriores de este epıgrafe, para posteriormente regresar a la esfera.

Al punto P -polo norte de la esfera- no le corresponde ningun punto del plano, por lo que lacorrespondencia entre los puntos del plano y de la esfera no es biunıvoca. A fin de cerrar estacorrespondencia y hacerla biunıvoca, introduzcamos un nuevo ”numero” complejo en el plano:∞ (se lee ”infinito”) que se pone en correspondencia al punto P polo norte de la esfera deRiemann. Ası, el numero z = ∞, desde el punto de vista geometrico, cumple la misma funcionque los numeros z = 2+5i, z = −3 o z = i, pues senala la posicion de su correspondiente puntoP de la esfera. Sin embargo, este numero no puede participar en las operaciones aritmeticasque conocemos, ya que estas estan definidas solo para los numeros complejos (puntos de laesfera) que corresponden a puntos del plano.

Excepto el punto P , que llamaremos infinitamente alejado, todos los demas puntos de laesfera seran llamados puntos finitos. Si en el futuro queremos incluir en nuestras considera-ciones al punto P , (al numero z = ∞) haremos nuestro analisis en la esfera de Riemann S quetambien se conoce como esfera de los numeros complejos. Pero si excluimos el punto P(el numero z = ∞) de nuestro analisis, utilizaremos el plano.


Para denominar al conjunto de todos los numeros complejos (puntos) finitos usaremos el terminoplano finito o plano abierto y para denominar al conjunto de todos los numeros, incluyendoz = ∞, usaremos el termino plano completo o plano cerrado. El termino plano abierto esequivalente al termino plano complejo definido en el punto 3 de este epıgrafe donde no habıasido definido el punto infinitamente alejado, en tanto que el termino plano cerrado equivale alnuevo termino de esfera de los numeros complejos.

La proyeccion estereografica transforma los lugares geometricos de los puntos del plano ensus correspondientes lugares geometricos en la esfera. Ası, por ejemplo, a una circunferenciaarbitraria c en el plano, le corresponde una circunferencia C sobre la esfera, que no pasa por elpolo P y a una recta arbitraria l del plano le corresponde una circunferencia L que pasa por elpolo P sobre la esfera (Fig. 1.5).

Ası pues, vemos que las imagenes de rectas y circunferencias del plano no se diferenciangeometricamente sobre la esfera; ambas son circunferencias. Es por eso que resulta logicoconsiderar que en el plano complejo completo las rectas son casos particulares de circunferen-cias que pasan por el punto infinitamente alejado, ya que sus imagenes sobre la esfera soncircunferencias que pasan por el punto P , imagen de z = ∞. De esta manera, dos rectascualesquiera en el plano no paralelas se cortaran en dos puntos, uno de los cuales es z = ∞.

Las circunferencias dividen a la esfera en dos partes, a las que llamaremos cırculos. Enparticular son cırculos todos los semiplanos; por ejemplo, el semiplano superior Im z > 0 es elhemisferio posterior de la esfera. Si la circunferencia C no pasa por el punto P (es decir, es unacircunferencia verdadera en el plano) uno de los dos cırculos por ella determinados contiene alpunto P ; a dicho cırculo le llamaremos cırculo exterior a la circunferencia C.

Una de las consecuencias fundamentales de la proyeccion estereografica es que el punto infinita-mente alejado es unico, ya que, independientemente de la recta por la que nos movamos hacia elinfinito en el plano (entendiendo por ello que nos movamos alejandonos cada vez mas del origende coordenadas z = 0), en la imagen sobre la esfera nos moveremos acercandonos cada vez masal punto P polo norte de la esfera e imagen en ella de z = ∞. Por eso los numeros z = ±∞+iy,z = x ± i∞ o z = ±∞± i∞ tienen un mismo significado geometrico y son equivalentes entresı. Es por eso que el punto infinitamente alejado es representado simplemente por la expresionz = ∞, entendiendo con ello el punto del plano que corresponde al polo P de la esfera deRiemann, al que nos acercamos cualquiera que sea el camino que escojamos para alejarnos delpunto z = 0, origen de coordenadas.

1.2 Sucesiones de numeros complejos

En el desarrollo sistematico de la teorıa de funciones de variable compleja es de fundamentalimportancia introducir los conceptos e ideas principales del Analisis Matematico. Es por elloque en este epıgrafe dedicaremos nuestra atencion a la ampliacion al plano complejo de losconceptos de sucesion de numeros y de convergencia de sucesiones.


Figura 1.5: Esfera de Riemann. Proyeccion de rectas y circunferencias

1.2.1 Definiciones

Si a cada numero natural n le corresponde un numero complejo zn, entonces en el conjuntode los numeros complejos se dice que esta dada una sucesion de numeros complejos zn,que se representa por el sımbolo {zn}; cada numero que la integra se llama elemento de dichasucesion.

Esta definicion no elimina la posibilidad de que se repitan los elementos de una sucesion; enparticular todos los elementos de una sucesion pueden coincidir.

El numero complejo c = a + ib se llama lımite de la sucesion {zn} de numeros complejoszn = xn + iyn para n → ∞ si para cada ε > 0 existe un numero N(ε) > 0 tal que n > Nimplica que

|c− zn| < ε (1.23)

Si la sucesion {zn} tiene lımite, se dice de ella que es convergente al numero c, lo que se


representa con la notacion

limn→∞

zn = c

Llamaremos entorno ε de un punto z0 en el plano complejo al conjunto de puntos z del planoque satisfagan la condicion

|z − z0| < ε

es decir, que todos se encuentren contenidos en el interior de un cırculo abierto con centro enz0 y radio ε. Entonces podemos afirmar que el punto c es el lımite de la sucesion convergente{zn} si todos los elementos de dicha sucesion, a partir de cierto numero dependiente de ε seencuentran contenidos en el interior del entorno ε del punto c.

Como cada numero zn = xn+ iyn esta definido por dos numeros reales xn y yn, a cada sucesionde numeros complejos le corresponden dos sucesiones {xn} y {yn} de numeros reales.

Teorema 1

Para que la sucesion {zn} de numeros complejos converja al numero complejo c = a + ib esnecesario y suficiente que las sucesiones {xn} y {yn} converjan, respectivamente, a los numerosa = Re c y b = Im c.

Demostracion:

1. Necesidad

Sabemos que {zn} → c; hay que demostrar que {xn} → a y que {yn} → b.

Puesto que la sucesion {zn} converge a c y como el modulo de un vector es no menorsiempre que sus coordenadas, podemos escribir que

|a− xn| ≤ |c− zn| < ε; |b− yn| ≤ |c− zn| < ε, ∀n > N

lo que automaticamente establece la convergencia de las sucesiones {xn} y {yn}.

2. Suficiencia

Sabemos que {xn} → a y que {yn} → b. Es decir, que

|a− xn| <ε√2; |b− yn| <

ε√2, ∀n > N

Entonces, como

|c− zn| =√

(a− xn)2 + (b− yn)2

queda demostrada la convergencia de la sucesion {zn} al numero c.


Demostrado el teorema.

Diremos que una sucesion {zn} es acotada si existe un numero positivo tal que se cumple larelacion |zn| < M para todo n.

Al igual que en la teorıa de las sucesiones de numeros reales, tiene lugar la siguiente propiedad;

Teorema 2

De toda sucesion acotada puede separarse una subsucesion convergente.

Demostracion:

Si la sucesion {zn} = {xn + iyn} es acotada, resulta evidente que tambien lo son las sucesiones{xn} y {yn} formadas por las partes reales e imaginarias de los elementos zn de la sucesion{zn} .

Para las sucesiones acotadas de numeros reales se cumple la propiedad de poder escogersede ellas subsucesiones convergentes, lo que se demuestra comunmente en los cursos de AnalisisMatematico. Esto significa que de las sucesiones {xn} y {yn} podemos escoger las subsucesionesconvergentes {xnk

}, {ynk}. Llamemos a y b a los lımites de estas subsucesiones respectivamente.

Entonces resulta evidente, en virtud del teorema 1, que la sucesion de numeros complejos

{znk} = {xnk

+ iynk}

subsucesion de la sucesion acotada {zn} , es convergente y que su lımite es el numero complejoc = a+ ib.


1.2.2 Criterio de Cauchy

Hasta el momento hemos establecido el concepto de convergencia de una sucesion a travesde la definicion expresada por la formula (1.23). Esta definicion nos dice claramente que elconcepto de convergencia de una sucesion esta estrechamente relacionado con la existencia dellımite de dicha sucesion, pero no constituye un criterio practico para analizar si la sucesiondada es convergente o no, ya que para hacer ese analisis con ayuda de la expresion (1.23) harıafalta conocer a priori el numero c lımite de la sucesion. Esto no siempre es factible, ya que lamayorıa de las veces el problema que se plantea es hallar el valor del lımite, es decir, el numeroc no es conocido, por lo que la formula (1.23) no es aplicable como criterio para determinar laconvergencia o no de la sucesion. Por ello, es deseable encontrar otra formula, es decir, otrocriterio, que nos permita determinar si una sucesion es convergente o no y que no involucre alpropio lımite, para -en caso positivo- dedicarnos a encontrar el valor del numero c, lımite de lasucesion. Tal criterio es el llamado Criterio de Cauchy:

Teorema 3 (Criterio de Cauchy)


Para que la sucesion {zn} de numeros complejos sea convergente es necesario y suficiente quepara toda ε > 0 exista un numero N(ε) > 0 tal que n > N y m > N impliquen

|zn − zm| < ε (1.24)

Demostracion:

1. Necesidad

Tenemos que la sucesion {zn} converge y se quiere demostrar que, entonces, tiene lugarla formula (1.24).

En virtud del teorema 1, convergen las sucesiones de numeros reales {xn} y {yn} y sabemosde los cursos de Analisis Matematico que para las sucesiones convergentes de numerosreales se cumple el Criterio de Cauchy, es decir, que para cualquier ε > 0 existen dosnumeros N1(ε) y N2(ε) tales que n > N1, m > N1 implican que

|xn − xm| <ε√2

y n > N2, m > N2 implican que

|yn − ym| <ε√2

Entonces tendremos que

|zn − zm| =√

(xn − xm)2 + (yn − ym)2 < ε

siempre que

n > N(ε), m > N(ε)

donde

N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}

2. Suficiencia

Conocemos que la relacion (1.24) se cumple y debemos demostrar que ello implica laconvergencia de la sucecion {zn}. Es facil ver de (1.24) que para n > N(ε) y m > N(ε)se cumple que

|xn − xm| ≤ |zn − zm| < ε; |yn − ym| ≤ |zn − zm| < ε

Esto significa que se cumple el criterio de Cauchy para las sucesiones {xn} y {yn} denumeros reales, lo que significa que esas sucesiones son convergentes. Por el teorema 1,esto implica que la sucesion de numeros complejos {zn} = {{xn + iyn} es convergente.



1.3 Funciones de variable compleja. Lımite y continui-

dad

1.3.1 Conceptos fundamentales

El concepto de funcion de una variable compleja sera introducido de forma similar a la definicioncomun de funcion de una variable real.

Veamos, previamente, algunos conceptos que son necesarios para introducir el concepto defuncion.

Sea {E} un conjunto arbitrario de puntos del plano complejo. Diremos que z es un puntointerior del conjunto {E} si se puede encontrar un entorno ε de z totalmente contenido en{E}.

Por ejemplo, todo punto z que cumpla que |z| < 1 es un punto interior del conjunto |z| ≤ 1,en tanto que el punto z = 1 no es interior de dicho conjunto, ya que todo entorno ε del mismohay puntos que no pertenecen al conjunto. Un conjunto formado solo por puntos interiores sellama conjunto abierto. Un conjunto se llama conexo si dos puntos cualesquiera del mismopueden ser unidos por una lınea formada enteramente por puntos del conjunto.

Por ejemplo, (ver figura 1.6) el conjunto |z| < 1 es un conjunto abierto y conexo. Igualmente,el conjunto 2 < |z| < 3 es un conjunto abierto y conexo. Sin embargo, la union de ambosno es un conjunto conexo, ya que los puntos de |z| < 1 no pueden ser unidos a los puntos de2 < |z| < 3 por una lınea de puntos formada totalmente por puntos del conjunto.

El punto z se llama punto exterior del conjunto {E}, si existe un entorno ε del mismo depuntos no pertenecientes a {E}.

El conjunto de puntos que no pertenecen a {E} pero que en todo entorno ε de cada uno de elloshay puntos de {E} se llama frontera de {E}. Representaremos la frontera de un conjunto condistintas letras, por ejemplo Γ, C u otras.

Por ejemplo, la frontera del conjunto |z| < 1 es la circunferencia |z| = 1. La frontera delconjunto 2 < |z| < 3 esta compuesta por las circunferencias |z| = 2 y |z| = 3. El numero departes no conexas de la frontera de un conjunto se llama orden de conexion del conjunto.Ası por ejemplo, el conjunto |z| < 1 es un conjunto simplemente conexo pues su fronteraesta formada por una sola lınea, en tanto que el conjunto 2 < |z| < 3 es un conjunto biconexopues su frontera esta formada por dos lıneas no conexas.

Llamaremos dominio D en el plano complejo al conjunto {E} de puntos de dicho plano quesea abierto y conexo. El nombre de dominio para los conjuntos abiertos y conexos esta dadopor el hecho de que en ellos seran definidas las funciones de una variable compleja. En la figura1.7 se muestra un ejemplo de dominio multiconexo (en particular, cinco veces conexo) cuyafrontera Γ esta formada por los contornos cerrados Γ0, Γ1 y Γ2, por los cortes γ1 y γ2 y por elpunto aislado α.


Figura 1.6: Conjuntos conexos y no conexos

El conjunto de puntos formado por el dominio D y todos los puntos de su frontera Γ serallamado dominio cerrado y se representara por D = D + Γ, o tambien D = D

⋃Γ ya que el

signo ”+” lo utilizaremos en el texto en el sentido de union de conjuntos.

En la figura 1.8 (a) tenemos el ejemplo de un dominio biconexo y en la figura 1.8 (b) el de undominio simplemente conexo.

Diremos que la frontera de un dominio es recorrida en sentido positivo cuando es recorridade manera que el dominio que ella contiene siempre quede a la izquierda del recorrido; en elcaso contrario diremos que es recorrida en sentido negativo.2

Diremos que en el dominio D esta dada una funcion de la variable compleja z si a cada punto deD se pone en correspondencia mediante una ley dada un numero complejo w. Simbolicamenterepresentaremos lo dicho por

2El escoger un sentido positivo y el otro negativo es totalmente arbitrario y se hace ası por razones historicas;la aplicacion del sentido del recorrido de la frontera de un dominio (o del recorrido en general de cualquiercontorno cerrado en el plano complejo) se vera al estudiar las integrales de funciones de variable compleja.


Figura 1.7: Dominio multiconexo

w = f(z) (1.25)

El conjunto de valores w recibe el nombre de valores funcionales, rango o codominio dela funcion f . Como quiera que el valor funcional w = u + iv es un numero complejo, definiruna funcion de la variable compleja z = x+ iy equivale a definir dos funciones reales u(x, y) yv(x, y) de las variables reales x y y, de forma que la funcion de variable compleja (1.25) puedeser escrita de la forma

w = u(x, y) + iv(x, y) (1.26)

A menudo se hace necesario analizar funciones multivaluadas, que son aquellas en las quea cada valor de z corresponden mas de un valor de w. Para el estudio de esas funcionestiene importancia capital el analisis de lo que se llama sus ramas univaluadas. La funcionunivaluada f(z) se llama rama univaluada de la funcion multivaluada F (z) si el valor def(z) en cada punto z del dominio D coincide con uno de los valores de F (z). Por el momento


Figura 1.8: Dominio biconexo y dominio simplemente conexo

trabajaremos solamente con funciones univaluadas y dejaremos para cuando estudiemos elconcepto de prolongacion analıtica el analisis detallado de las funciones multivaluadas.

1.3.2 Continuidad

Para seguir el mismo orden logico que se establece en el estudio de las funciones de una variablereal, estudiemos la definicion de lımite de una funcion de una variable compleja:

El numero complejo c se llama lımite de la funcion f(z) cuando z tiende a z0 (a veces tambiense dice ”para z tiende a z0”), si para cualquier ε > 0 existe un numero δ(ε) > 0 tal que0 < |z − z0| < δ implica que |c − f(z)| < ε. El hecho de que c es el lımite de la funcion f(z)cuando z tiende a z0 se representa mediante el sımbolo

limz→z0

f(z) = c (1.27)


Debemos destacar que en la definicion de lımite dada no se exige que z tienda a z0 por unatrayectoria determinada ya que para la existencia del lımite se pide que cuando la distanciamodular (o sea, simplemente la distancia) entre z y z0 sea menor que δ, independientementedel argumento de los numeros z y z0, la distancia entre los numeros complejos c y f(z) seamenor que ε. Lo dicho significa que el lımite cuando z tiende a z0 existe solamente cuandoel valor de f(z) se acerca al numero c independientemente de la trayectoria por la quez se acerque a z0. Si por distintas trayectorias se obtienen valores lımites diferentes de f(z),entonces el lımite de f(z) en el punto z0 simplemente no existe. Este hecho nos conducira aresultados importantes proximamente.

Veamos una afirmacion casi evidente:

Teorema 4

Para que el numero c = a+ ib sea el lımite de la funcion f(z) cuando z tiende a z0 es necesarioy suficiente que existan los siguientes lımites:

limx→x0;y→y0

u(x, y) = a, limx→x0;y→y0

v(x, y) = b

Demostracion:

1. Necesidad

Como se cumple que |c− f(z)| < ε para |z − z0| < δ, tendremos que

|a− u(x, y)| ≤ |c− f(z)| < ε, |b− v(x, y)| ≤ |c− f(z)| < ε

siempre que |x− x0| ≤ |z− z0| < δ; |y− y0| ≤ |z− z0| < δ, lo que demuestra la necesidadde la afirmacion.

2. Suficiencia

Como se cumple que

|a− u(x, y)| < ε√2; |b− v(x, y)| < ε√

2

siempre que

|x− x0| <δ√2; |y − y0| <

δ√2

se obtiene que

|c− f(z)| =√

(a− u)2 + (b− v)2 < ε

cuando


|z − z0| =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

lo que demuestra la suficiencia.


Definicion

Se dice que la funcion f(z) es continua en el punto z0 del dominio D, si el valor funcionalde f(z0) existe, el lımite de dicha funcion cuando z tiende a z0 existe y es igual a la funcionevaluada en dicho punto, es decir, si

limz→z0

f(z) = f(z0) (1.28)

Si la funcion f(z) es continua en cada punto del dominio D, se dice que es continua en eldominio.

Es evidente que la condicion necesaria y suficiente para que una funcion de variable compleja

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

sea continua en el punto z0 = x0 + iy0 es que sean continuas su parte real u(x, y) y su parteimaginaria v(x, y) en el punto (x0, y0) del plano (x, y). La demostracion de esta afirmacion sebasa en el teorema anterior y se deja al lector como ejercicio.

Lo arriba dicho nos permite trasladar a las funciones de variable compleja las propiedades fun-damentales que gozan las funciones de dos variables reales; por ejemplo, la suma y el productode dos funciones f1(z) y f2(z) continuas en el dominio D son continuas en dicho dominio; la

funcion φ(z) = f1(z)f2(z)

es continua en todos los puntos del dominio D donde f2(z) no se anule,etc.

1.3.3 Ejemplos

1. Analicemos la funcion

w = kz (1.29)

donde k es una constante real positiva.

Si llamamos r = |z|, R = |w|, ϕ = arg z y θ = argw, la funcion (1.29) se escribira enforma de dos igualdades3:

3Aquı en realidad deberıa escribirse θ = ϕ + 2nπ. Sin embargo, esto no es indispensable, pues en el caso quenos ocupa el valor de la funcion no varıa al anadir la cantidad 2nπ al argumento. Procederemos de forma similaren otros ejemplos. Solamente en determinados casos lo dicho no es valido; cuando ası sea, lo especificaremos.


R = kr; θ = ϕ (1.30)

Las ecuaciones (1.30) nos permiten aclarar el sentido geometrico de la funcion (1.29).En efecto, la segunda igualdad (1.30) nos dice que la funcion (1.29) no realiza ningunarotacion del rayo Oz trazado desde el origen de coordenadas hasta un punto arbitrarioz del plano al transformar el plano z en el plano w. La primera igualdad (1.30) indicaque los modulos de los numeros z crecen si k > 1 (o decrecen si k < 1) k veces al pasardel plano z al plano w. De esta forma, la funcion (1.29) realiza un estiramiento (o unencogimiento, si k < 1) del plano z en todas direcciones con coeficiente de estiramiento k(Fig. 1.9).

Figura 1.9: Representacion de la funcion w = kz

En lo adelante usaremos en nuestro lenguaje la siguiente terminologıa: diremos que lafuncion w = f(z) realiza la representacion del plano z en el plano w o lo que es lo mismo,transforma el plano z en el plano w, ya que a cada punto del plano z le corresponde unpunto w del plano w dado por la ley f . Posteriormente veremos que entre el conjunto derepresentaciones posibles juega un papel fundamental en la teorıa de funciones de variablecompleja y sus aplicaciones un tipo particular de representaciones que reciben el nombrede representaciones conformes.


2. Veamos la funcion

w = z2 (1.31)

En virtud de la formula (1.18) para la potencia de un numero complejo, tenemos que

R = r2; θ = 2ϕ (1.32)

Por consiguiente, ante la representacion (1.31) todos los puntos que se encuentren en elrayo arg z = ϕ0 se transforman en los puntos que se encuentran en el rayo argw = 2ϕ0 ytodos los puntos que se encuentran sobre la circunferencia |z| = r0 se transforman en lospuntos que estan sobre la circunferencia |w| = r2

0.

Figura 1.10: Representacion de la funcion w = z2

Ası, por ejemplo, el dominio encerrado en el angulo de la figura 1.10, es decir, el sector0 ≤ arg z ≤ π/3 se transforma mediante la funcion (1.31) en el sector 0 ≤ argw ≤ 2π/3 deforma tal que, por ejemplo, los puntos que se encuentren sobre el sector de circunferencia|z| = 2 se transformaran en los puntos que se encuentran sobre el sector de circunferencia|w| = 4.


3. Veamos la funcion de variable compleja w = f(z), definida en el cırculo cerrado |z| ≤ 1por las igualdades4

f(z) =1

1− |z|, ∀|z| < 1

f(z) = ∞, ∀|z| = 1 (1.33)

Esta funcion transforma el cırculo cerrado |z| ≤ 1 en el segmento cerrado {1 ≤ u ≤∞, v = 0} del plano complejo w.

4. Veamos la funcion de variable compleja

w = |z|z (1.34)

Para ella tendremos que

R = r2; θ = ϕ (1.35)

La representacion (1.34) nos recuerda a la representacion (1.31), pero no coincide conella, pues, por ejemplo, el sector de la figura 1.10 se transforma en el mismo sector conla diferencia de que los puntos de la circunferencia |z| = r0 se transforman en los de lacircunferencia |w| = r2

0. Mas adelante podremos percatarnos de la gran diferencia queexiste entre los ejemplos 1 y 2 y los ejemplos 3 y 4. En cuanto a la continuidad de lasfunciones, es facil comprobar que las funciones de los ejemplos 1, 2 y 4 son continuas enel plano z. La funcion del ejemplo 3 es continua en los cırculos abiertos |z| < 1 y |z| > 1.

5. Analicemos la funcion de variable compleja

w = f(z) =1

2i

[z

z∗− z∗

z

](1.36)

Teniendo en cuenta que z = r(cosϕ + i sinϕ) y que z∗ = r(cosϕ − i sinϕ) y utilizandorelaciones trigonometricas conocidas, no es difıcil concluir que

w = sin 2ϕ (1.37)

En (1.37) se observa claramente que en un entorno arbitrario del punto z0 = 0 la funciontoma todos los valores posibles del intervalo [−1, 1]. Por consiguiente, para ningun w0 = cla desigualdad |w0 − w| < ε puede cumplirse a la vez para todas las z de un entornoarbitrariamente pequeno del punto z0 = 0 con solo suponer que ε < 1. Esto significa,simplemente, que esta funcion no tiene lımite cuando z tiende a cero. Sin embargo, si ztiende a cero a lo largo de cualquier trayectoria z = z(t) (que pase por el punto z = 0) ellımite de la funcion f(z) = f [z(t)] existe; sin embargo, semejantes lımites, tomados a lolargo de trayectorias distintas, difieren entre sı.

4La segunda igualdad en (1.33) tiene que ser escrita explıcitamente, ya que la division por cero no ha sidodefinida.


1.4 Derivacion con respecto al argumento complejo.

Funciones analıticas

Hasta este instante la teorıa de las funciones de una variable compleja ha venido construyendosede forma completamente analoga a la teorıa de las funciones de una variable real. Sin embargo,el concepto de funcion diferenciable o derivable, que introduciremos en la variable complejade forma analoga a como se introduce en las funciones de una variable real, nos conducira adiferencias sustanciales entre ambas teorıas en lo que a las propiedades y al comportamientode las funciones de variable compleja se refiere.

1.4.1 Derivadas y diferenciales

Definicion 1

Sea D el dominio de definicion de la funcion de variable compleja f(z) y sea z0 un punto dedicho dominio. Si existe el lımite

lim∆z→0

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z(1.38)

entonces la funcion f(z) se dice que es derivable en el punto z0 con respecto a la variablecompleja z.

Para representar esta derivada se usa el sımbolo f ′(z0).

Del hecho de que existe el lımite (1.38) se desprende que la razon incremental puede ser escritade la siguiente forma

∆f

∆z=f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z= f ′(z0) + α(z0,∆z)

donde α es una funcion infinitesimal con respecto a ∆z; es decir, α → 0, cuando ∆z → 0. Deaquı, el incremento de la funcion puede expresarse en la forma

∆f = f ′(z0)∆z + α(z0,∆z)∆z (1.39)

Definicion 2

La parte principal, lineal con respecto a ∆z del incremento (1.39) se llama diferencial de lafuncion f(z) en el punto z0 y se representa por

df = f ′(z0)∆z ≡ f ′(z0)dz (1.40)


pues ∆z ≡ dz ya que si en (1.40) hacemos f(z) = z, obtenemos df = dz = 1 · ∆z. El hechode que la funcion tenga diferencial tal y como lo hemos definido aquı se expresa diciendo quef(z) es diferenciable. Al igual que en la teorıa de funciones de una variable real, toda funcionde una variable compleja derivable es diferenciable. Es decir, aquı tambien los conceptos defuncion derivable (que existe el lımite (1.38)) y de funcion diferenciable (que existe la expresion(1.40)) son equivalentes: toda funcion derivable en un punto es diferenciable en dicho punto yviceversa.

De esta manera se justifica aquı el uso de la notacion para la derivada de una funcion como larazon de los diferenciales de la funcion y de la variable independiente z, al igual que en el casode las funciones de una variable real:

f ′(z0) =df

dz

Hagamos enfasis en el hecho de que, en virtud de la definicion de lımite, si existe el lımite(1.38), este no depende de la trayectoria por la que ∆z tienda a cero, es decir por la que elpunto z0 + ∆z se acerque a z0. Veremos de inmediato que este hecho conduce a determinadascondiciones que deberan cumplirse para la existencia de la derivada de una funcion de variablecompleja respecto a su argumento complejo.

1.4.2 Condiciones de diferenciabilidad de una funcion

Teorema 5

Si la funcion

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

es diferenciable (derivable) en el punto z0 = x0 + iy0, entonces en el punto (x0, y0) existen lasderivadas parciales de u(x, y) y v(x, y) las que satisfacen en (x0, y0) las ecuaciones

∂u

∂x=∂v

∂y;∂u

∂y= −∂v

∂x(1.41)

que se conocen con el nombre de condiciones de Cauchy-Riemann.5

Demostracion:

Analicemos la razon incremental

5Estas relaciones en realidad fueron obtenidas por primera vez por D’Alembert (1752) y Euler (1755) en sustrabajos sobre problemas hidrodinamicos, por lo que algunos autores las llaman condiciones de D’Alembert-Euler. No obstante, por razones historicas, se utiliza mas el nombre de condiciones de Cauchy-Riemann, queutilizaremos en nuestro texto.


f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z

la que por hipotesis del teorema tiene lımite, pues f(z) es derivable en z0. Como existe, estelımite es independiente de la trayectoria por la que se tome el incremento ∆z. Tomemos, pues,un incremento paralelo al eje Ox: ∆z = ∆x (y = const.). Entonces tendremos:

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z=u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)

∆x+ i

v(x0 + ∆x, y0)− v(x0, y0)

∆x

Como el lımite de la izquierda existe, existira el lımite de la parte derecha cuando ∆z = ∆x→ 0.Tomando dicho lımite obtenemos

df(z0)

dz=∂u(x0, y0)

∂x+ i

∂v(x0, y0)

∂x(1.42)

Tomemos ahora un incremento paralelo al eje Oy: ∆z = i∆y (x = const.). Entonces:

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z=u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)

i∆y+ i

v(x0, y0 + ∆y)− v(x0, y0)

i∆y=

=v(x0, y0 + ∆y)− v(x0, y0)

∆y− i

u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)

∆y

De nuevo, el lımite de la izquierda existe, por lo que existiran los lımites de la parte derecha.Como el lımite de la izquierda existe, es independiente de la trayectoria y de nuevo da laderivada de f(z) respecto a z, de manera que obtenemos cuando ∆y → 0:

df(z0)

dz=∂v(x0, y0)

∂y− i

∂u(x0, y0)

∂y(1.43)

Comparando las expresiones (1.42) y (1.43) y en virtud de que dos numeros complejos soniguales sı y solo sı son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, se obtienen las ecua-ciones (1.41).


Veamos ahora un teorema en cierta medida recıproco del anterior.

Teorema 6

Si las funciones u(x, y) y v(x, y) de las variables reales x y y son diferenciables en el punto (x0, y0)y si sus derivadas parciales en dicho punto cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann (1.41),entonces la funcion de variable compleja


f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

es derivable en el punto z0 = x0 + iy0.

Demostracion:

Del Analisis Matematico de funciones de varias variables se sabe que una funcion de variasvariables es diferenciable (tiene diferencial) en un punto si sus derivadas parciales son continuasen dicho punto. Bajo esta suposicion, la diferenciabilidad implica que los incrementos ∆u =u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − u(x0, y0) y ∆v = v(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − v(x0, y0) de las funciones sepueden escribir de la siguiente forma:

∆u = ux(x0, y0)∆x+ uy(x0, y0)∆y + α(x0, y0,∆x,∆y)h

∆v = vx(x0, y0)∆x+ vy(x0, y0)∆y + β(x0, y0,∆x,∆y)h (1.44)

donde h =√

∆x2 + ∆y2 es la distancia incremental y α y β son funciones infinitesimales de ∆xy ∆y que tienden a cero cuando h tiende a cero. Por consiguiente, para la razon incremental∆f/∆z de la funcion f tenemos:

∆f

∆z=

(ux∆x+ uy∆y) + i(vx∆x+ vy∆y)

∆x+ i∆y+

(α+ iβ)h

∆x+ i∆y

y como por hipotesis del teorema uy = −vx, vy = ux obtenemos, haciendo los pasos pertinentes,la siguiente expresion:

∆f

∆z=

(ux + ivx)∆x+ (−vx + iux)∆y

∆x+ i∆y+

(α+ iβ)(∆x− i∆y)

h=

= ux + ivx = (α+ iβ)

(∆x

h− i

∆y

h

)

Al hacer ∆x → 0 y ∆y → 0, como ∆xh− i∆y

hpermanece acotado en tanto (α + iβ) → 0

obtenemos en el lımite

f ′(z0) = ux(x0, y0) + iv(x0, y0)

lo que significa que, efectivamente, f(z) es derivable en z0.


Es util hacer algunas observaciones. En primer lugar, el teorema 6 no es exactamente elrecıproco del teorema 5, porque en el teorema 5 se demuestra solo la existencia de las derivadas


parciales de u y v en el punto (x0, y0) y que ellas satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann,mientras que el teorema 6 exige la continuidad de esas derivadas parciales, ademas de quecumplan con las condiciones de Cauchy Riemann. Uniendo ambos teoremas podemos enunciaruna condicion necesaria y suficiente de derivabilidad de una funcion de variable compleja en lossiguientes terminos:

Para que la funcion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) de la variable compleja z = x + iy sea derivablerespecto a z en el punto z0 = x0 + iy0 es necesario y suficiente que las derivadas parciales de uy v en el punto (x0, y0) sean continuas y satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann (1.41).

En segundo lugar y gracias a lo arriba expresado, contamos con un algoritmo bien precisopara hallar la derivada de una funcion de variable compleja respecto al argumento complejo:Calculamos las derivadas parciales de u y v. Si estas son continuas en el punto donde queremoscalcular la derivada y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, entonces la derivada existeen ese punto y se calcula por la formula

f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0) (1.45)

1.4.3 Ejemplos

Veamos como calcular la derivada de algunos ejemplos.

1. Sea la funcion

w = kz

donde k es una constante real. Tenemos que w = k(x + iy) = kx + iky. Por lo tanto,tenemos que u(x, y) = kx y v(x, y) = ky. Calculemos las derivadas parciales de u yv para determinar donde son continuas y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann,condicion necesaria y suficiente para que la derivada respecto a z exista. Tenemos:

ux = k, uy = 0, vx = 0, vy = k

Por tanto se verifica que las condiciones de Cauchy-Riemann ux = vy, uy = −vx secumplen para toda x y toda y. Ası pues, la derivada de w = kz respecto a z existe paratoda z y es igual a

w′ = ux + ivx = k + i · 0 = k

2. Para la funcion

w = z2

tenemos de manera similar que


u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2xy

Por lo tanto,

ux = 2x, uy = −2y, vx = 2y, vy = 2x

Ası pues, las condiciones de Cauchy-Riemann ux = vy, uy = −vx se cumplen para toda xy toda y, de manera que la derivada de w respecto a z existe para toda z y es:

w′ = ux + ivx = 2x+ i2y = 2(x+ iy) = 2z

Mas adelante podremos percatarnos de que el hecho de haber obtenido la misma regla dederivacion de la potencia que en la variable real obedece a razones profundas dentro dela teorıa de funciones de variable compleja.

3. Sea la funcion

w = |z|2

muy parecida a la anterior, salvo que en vez de la variable al cuadrado tenemos en ella elmodulo de la variable al cuadrado. Como |z| =

√x2 + y2 es un numero real, tendremos

que para esta funcion

u(x, y) = x2 + y2, v(x, y) = 0

Calculando las derivadas parciales tendremos

ux = 2x, uy = 2y, vx = 0, vy = 0

Las condiciones de Cauchy-Riemann, ux = vy, uy = −vx solo se cumplen en el puntox = 0, y = 0, y no se cumplen en ningun otro punto del plano. Esto significa que lafuncion w = |z|2 solo tiene derivada respecto a su argumento complejo z en el puntoz = 0. Dicha derivada es: w′ = ux|(0,0) + ivx|(0,0) = 0 y no tiene derivada respecto a z enmas ningun otro punto del plano.

Resulta de interes destacar un hecho que esta sugerido por los resultados de los ejemplos aquıvistos: las funciones de variable compleja tienen derivada respecto a su argumento complejo zen todos los puntos de un dominio (en los dos primeros ejemplos, en todo el plano complejo) otienen derivada solamente en puntos aislados. Mas adelante podremos percatarnos de la grandiferencia en las consecuencias de esta realidad.


1.4.4 Funciones analıticas

Estamos preparados para estudiar la definicion siguiente

Definicion

La funcion f(z) de una variable compleja z se llama analıtica en el dominio D si es derivableen todos los puntos de D y su derivada es continua en D.

Las funciones analıticas se conocen tambien con los nombres de funciones regulares o mono-genas. Si el dominio de analiticidad D es finito, se dice que la funcion es holomorfa. Si eldominio de analiticidad D es todo el plano complejo, la funcion analıtica se llama entera.

Historicamente a las funciones de variable compleja derivables en un dominio se les llamotambien funciones meromorfas. El nombre de analıticas aparecio posteriormente al analizarlas series de potencias y sera comprendido cabalmente en un futuro capıtulo de este libro.

La exigencia de la condicion de la continuidad de la derivada de la funcion en la definicion deanaliticidad se anade con el objetivo de simplificar algunos calculos posteriores. Como podremospercatarnos mas adelante, ello no varıa en nada el contenido matematico del concepto de funcionanalıtica. Aun mas, veremos que la continuidad de la derivada y, mas aun, su analiticidad esuna consecuencia de la definicion y no una condicion a imponer en la misma.

Como consecuencia de la definicion y de los teoremas 5 y 6, tiene lugar la siguiente afirmacion.

Teorema 7

Para que la funcion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) de la variable compleja z = x + iy sea analıticaen el dominio D es necesario y suficiente que las funciones u(x, y) y v(x, y) tengan derivadasparciales continuas en D que cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann (1.41).

Demostracion:

1. Necesidad

Por hipotesis, f(z) es analıtica en D, es decir, derivable en todo D con derivada continua.En virtud del teorema 5, ello significa que la derivada respecto a z de f(z) viene dadapor la formula (1.45) para todo punto z0 de D, lo que significa que, efectivamente, u(x, y)y v(x, y) tienen derivadas parciales continuas que cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en todo punto de D.

2. Suficiencia

Tenemos por hipotesis que existen las derivadas parciales de u(x, y) y v(x, y) continuasen D que satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann en D. Por lo tanto, de acuerdocon el teorema 6, la funcion f(z) es derivable con respecto a z en todos los puntos de D,es decir, es analıtica en D.



El teorema 7 nos ofrece un algoritmo poderoso para investigar la analiticidad de una funcionde variable compleja: para determinar si una funcion dada es analıtica en un dominio dado,debemos simplemente comprobar si su parte real y su parte imaginaria son continuas en eldominio y cumplen en sus puntos las condiciones de Cauchy-Riemann. Desde esta perspectiva,las funciones de los ejemplos 1 y 2 del punto anterior son analıticas en todo el plano complejo(enteras), mientras que el tercer ejemplo es una funcion no analıtica de la variable compleja z,ya que tiene derivada solamente en el punto aislado z = 0.

El lector puede comprobar que, si la variable compleja z viene dada en coordenadas polares, esdecir, z = reiϕ las condiciones de Cauchy-Riemann para la funcion

f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ)

tienen la forma

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂ϕ;

1

r

∂u

∂ϕ= −∂v

∂r(1.46)

Igualmente se puede comprobar que las condiciones de Cauchy-Riemann para la funcion dadaen polares:

f(z) = R(x, y){cos Φ(x, y) + i sin Φ(x, y)}

tienen la forma

∂R

∂x= R

∂Φ

∂y;∂R

∂y= −∂Φ

∂x(1.47)

1.4.5 Funciones conjugadas armonicas

El concepto de funcion analıtica es uno de los mas importantes en la teorıa de funciones devariable compleja debido al importante papel que juegan las funciones analıticas, tanto en lasolucion de problemas puramente matematicos, como en las distintas aplicaciones de la variablecompleja a la Fısica y a otras disciplinas. Por ejemplo, supongamos que f(z) = u(x, y)+iv(x, y)es analıtica en D. Si las condiciones de Cauchy-Riemann (1.41) -validas en D- son derivadasuna vez, la primera respecto a x y la segunda respecto a y, se obtiene

∂2u

∂x2=

∂2v

∂x∂y;∂2u

∂y2= − ∂2v

∂y∂x

Como las derivadas parciales de u y v son continuas por definicion de funcion analıtica, lassegundas derivadas parciales cruzadas son iguales entre sı, por lo que, sumando estas dosexpresiones, se obtiene para la funcion u la llamada ecuacion de Laplace:


∇2u ≡ ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (1.48)

De igual forma, podemos obtener la misma ecuacion de Laplace para la funcion v(x, y). Esdecir, la parte real y la parte imaginaria de la funcion f(z) analıtica en D son solucion de(satisfacen) la ecuacion de Laplace en D. Es decir, son lo que se conocen con el nombre defunciones armonicas en D y, como son la parte real y la parte imaginaria de una funcionanalıtica, se les llama funciones conjugadas armonicas. La ecuacion de Laplace aparece enFısica al estudiar los fenomenos relacionados con procesos estacionarios (no dependientes deltiempo). De ahı la importancia que adquiere para la Fısica el dominio de la teorıa y de losmetodos de las funciones de variable compleja.

En el desarrollo del libro, de manera diferente a otros textos, postergaremos el estudio especıficode las funciones elementales de variable compleja para el capıtulo concerniente a la prolongacionanalıtica y dejaremos, por lo tanto, para ese momento el analisis minucioso de diversos ejemplosde funciones analıticas, aunque trabajaremos con algunas funciones que definiremos a partir desus expresiones algebraicas. De esta manera desarrollaremos primero, de la forma mas generalposible, la teorıa de las funciones analıticas para, una vez logrado este proposito, pasar alestudio particular de ejemplos.

1.5 Ejercicios del Capıtulo

1. Escribir en forma trigonometrica:

a)1 + i√

3

b)1− cosα+ i sinα

2. Hallar:

a)√

3 + 4i

b) 6√−64

c) 3√i− 1

3. Hallar: ii.

4. Resolver los sistemas de ecuaciones:

z1 + 2z2 = 1 + i

3z1 + iz2 = 2− 3i


(1 + i)z1 − (1− i)z2 = 0

(2 + i)z1 − (1− 2i)z2 = 0

5. Escribir las formulas de la proyeccion estereografica en coordenadas cartesianas.

6. Decir si son dominios los conjuntos de puntos:

a)|z2 − 1| ≤ 1

b) cosϕ < r < 2 cosϕ;−π ≤ ϕ < π

(r y ϕ son las coordenadas polares).

7. Usando la formula obtenida en el epıgrafe 4, calcular dwdz

para las funciones:

a)w = 3z2 − 4z + 7

b)w = (1− 4z2)2

c)w =3z − 1

2z + 1

8. Investigar la analiticidad de las siguientes funciones:

a)w = z3

b)w =1

z2

c)w = 3√z

d)w = zRe z

e)w = z + z∗

f)w = tan(arg z)

g)w = xy + iy

9. Demostrar que si f(z) y f ∗(z) son analıticas a la vez en un dominio, entonces f(z) = const.


10. Hallar la conjugada armonica y la funcion analıtica correspondiente de:

a)u(x, y) = x3 − 3xy2

b)v(x, y) = cosx sinh y

Capıtulo 2

Integracion de funciones de variablecompleja

2.1 Concepto de integral de funciones de variable com-

pleja

Supongamos que tenemos definida en cierto dominio del plano complejo z una curva seccional-mente lisa C. Con ayuda de la expresion en parametricas de la curva C introduzcamos lascoordenadas de cada uno de los puntos x y y por medio de las ecuaciones

x = x(t); y = y(t)

que son funciones seccionalmente lisas del parametro t; dicho parametro varıa entre los lımitesα ≤ t ≤ β. Es obvio que las funciones x(t) y y(t) deben satisfacer la condicion

x2(t) + y2(t) 6= 0

El dar las coordenadas x y y de esta curva C equivale a dar la funcion compleja

z(t) = x(t) + iy(t)

de variable real t.

Supongamos que en cada punto z de la curva C esta definido el valor de la funcion f(z).Veamos el importante concepto de integral de la funcion f(z) a lo largo de la curva C. Paraello, dividamos la curva C en N partes, mediante los puntos z0, z1, z2,..., zN , que correspondena valores crecientes del parametro t, (tk < tk+1). (Fig. 2.1). Llamemos ∆zk = zk − zk−1 yconstruyamos las sumas integrales:

51


SN =N∑k=1

f(zk)∆zk (2.1)

donde zk es un punto arbitrario del segmento de curva ∆zk.

Figura 2.1: Contorno C de integracion

Si existe el lımite de las sumas (2.1) cuando max |∆zk| → 0, independientemente del tipo departicion efectuado e independientemente de la forma en que se escojan los puntos zk, dicholımite recibe el nombre de integral de la funcion f(z) por la curva C (dıcese tambien porel contorno C) y se representa por la expresion

∫C

f(z)dz (2.2)

Como f(z) = u(x, y) + iv(x, y), para la suma integral (2.1) tendremos la siguiente expresion:

Integracion 53

SN =N∑k=1

[u(xk, yk) + iv(xk, yk)](∆xk + i∆yk) =

=N∑k=1

[u(xk, yk)∆xk − v(xk, yk)∆yk] + iN∑k=1

[v(xk, yk)∆xk + u(xk, yk)∆yk] (2.3)

Cada una de las sumas de la expresion (2.3) es la suma integral de una integral curvilınea desegundo tipo en variables reales, cuya definicion puede verse en cualquier curso de AnalisisMatematico.

Sabemos que para que exista una integral curvilınea de segundo tipo es suficiente que el contornoC de integracion sea seccionalmente liso y que las funciones que se integran sean seccionalmentecontinuas.1 Por consiguiente, si ello se cumple, tendremos que:

∫C

f(z)dz =

∫C

(udx− vdy) + i

∫C

(vdx+ udy) (2.4)

La expresion (2.4) puede servir como definicion de la integral de f(z) por el contorno C. De ellase deduce un conjunto de propiedades que son una consecuencia inmediata de las propiedadesde las integrales curvilıneas de segundo tipo de variable real; por ejemplo:

1. El signo de la integral depende del sentido de integracion:∫C

f(z)dz = −∫C−

f(z)dz (2.5)

2. ∫C1

f(z)dz +

∫C2

f(z)dz =

∫C1+C2

f(z)dz (2.6)

3. Si a es una constante compleja:∫C

af(z)dz = a

∫C

f(z)dz (2.7)

4. ∫C

[f1(z) + f2(z)]dz =

∫C

f1(z)dz +

∫C

f2(z)dz (2.8)

5. ∣∣∣∣∫C

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ∫C

|f(z)||dz| (2.9)

1de donde se deduce que la integral (2.2) existe en el caso que la funcion f(z) no sea analıtica, con tal quesea seccionalmente continua


La comprobacion de estas propiedades se plantea al lector como ejercicio.

En el futuro estudiaremos integrales de funciones analıticas en determinado dominio y nosinteresaran, especialmente, los casos en que la frontera del dominio es una curva seccionalmentelisa y cerrada que no se corta consigo misma. A este tipo de curva le llamaremos contornocerrado y a las integrales del tipo (2.2) por ese tipo de contorno le llamaremos integrales decontorno.

2.2 Teorema de Cauchy

2.2.1 Formulacion inicial

En la integracion de funciones de variable compleja tiene lugar una singular e importantısimapropiedad que establece una sustancial diferencia cualitativa entre esta teorıa y la integracionde funciones de variable real y a la que nos dedicaremos de inmediato.

Teorema 8 (Teorema de Cauchy)

Si la funcion univaluada f(z) es analıtica en el dominio simplemente conexo D entonces, suintegral por cualquier contorno cerrado contenido totalmente en D es igual a cero.

Demostracion:

En los cursos de Analisis Matematico de funciones de variable real se obtiene la siguienterelacion integral, conocida con el nombre de formula de Green:

∫C

(Pdx+Qdy) =

∫ ∫G

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy (2.10)

donde G es la region del plano (x, y) encerrada en el contorno C y las funciones P (x, y) y Q(x, y)son continuas con derivadas continuas en el dominio G (es decir, P,Q ∈ C1(G)) y continuas enla clausura C ∪G (o sea, P,Q ∈ C(C ∪G)).

Basandonos en (2.10) y en virtud de que en nuestra definicion de funcion analıtica postulamosla continuidad de la derivada, podemos escribir

∫C

f(z)dz =

∫C

(udx− vdy) + i

∫C

(vdx+ udy) =

=

∫ ∫G

(−∂v∂x

− ∂u

∂y

)dxdy + i

∫ ∫G

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy

Como por hipotesis del teorema f(z) es analıtica en D y por tanto en G, las derivadas parcialesde u y v cumpliran con las condiciones de Cauchy-Riemann, lo que significa que los parentesisen las integrales por el dominio G se anulan, por lo que, efectivamente,

Integracion 55

∫C

f(z)dz = 0 (2.11)


2.2.2 Teorema de Goursat

Nosotros hemos definido en anteriormente como funcion analıtica a aquella que es derivable (ypor lo tanto, continua) en un dominio y que, ademas, su derivada es continua en ese dominio.Bajo estas suposiciones, como se ve, el teorema de Cauchy se demuestra con gran facilidad.

Sin embargo, con posterioridad a Cauchy, el matematico frances Edouard Goursat demostro elmismo teorema sin necesidad de suponer la continuidad de la derivada de la funcion analıtica.Su demostracion lo unico que exigıa era que la funcion f(z) fuese derivable en los puntos deldominio.

Gracias a esa demostracion de Goursat del teorema de Cauchy la definicion de analiticidadde una funcion de variable compleja se simplifica. Podemos definir entonces como analıtica aaquella funcion de variable compleja que sea derivable en los puntos de un dominio dado, sinexigir la continuidad de la derivada.

Mas adelante veremos que la continuidad de la derivada (y, aun mas, la analiticidad de dichaderivada) es una consecuencia directa de esta nueva definicion de funcion analıtica.

Para efectuar la demostracion de Goursat del teorema de Cauchy tengamos en consideracionque la expresion (2.11) demostrada segun Cauchy, es decir, suponiendo la continuidad de laderivada, tiene validez para todas las potencias de z: f(z) = 1, f(z) = z, f(z) = z2, etc., yaque estas funciones son analıticas y sus derivadas son continuas; es decir que

∫C

dz = 0;

∫C

zdz = 0;

∫C

z2dz = 0 (2.12)

Con el fin de efectuar la demostracion de Goursat del teorema de Cauchy enunciemos y de-mostremos la siguiente afirmacion:

Lema

Si f(z) es analıtica2 en el dominio D y si C es un contorno perteneciente a D que encierraa un subdominio G, donde C es la frontera de dicho subdominio, entonces, para cualquierε > 0 se puede dividir el dominio G en un numero finito de cuadrados y partes de cuadradosde contornos Ck tales que dentro o sobre cada contorno Ck existe un punto zk para el que secumple que

2En lo adelante, cuando digamos que una funcion es analıtica, lo supondremos en el sentido de la nuevadefinicion, es decir, derivable y continua, sin suponer la continuidad de la derivada


∣∣∣∣f(z)− f(zk)

z − zk− f ′(zk)

∣∣∣∣ < ε (2.13)

donde k = 1, 2, ..., n y z es un punto cualquiera dentro o sobre Ck.

Demostracion:

Dividamos el dominio G en cuadrados y partes de cuadrados, como se ilustra en la figura 2.2.Sea ε > 0. Si existe un cuadrado en el que no pueda encontrarse ni un solo punto zk tal quela desigualdad (2.13) se cumpla para todo z de ese cuadrado, entonces procederemos a dividirdicho cuadrado en cuatro partes iguales.

Figura 2.2: Para el lema de la demostracion de Goursat.

(Si el analisis se realiza en un cuadrado incompleto , dividiremos todo el cuadrado en cuatropartes iguales, tomando en consideracion las porciones que queden dentro de G). Si en loscuadrados mas pequenos obtenidos no se encuentra de nuevo ni un solo punto zk que cumplala desigualdad (2.13), volveremos a subdividir el dominio mediante el mismo procedimientocuantas veces sea necesario.

Pueden suceder dos cosas:

Integracion 57

1. Que al realizar en todo el cuadrado que lo requiera un numero finito de subdivisiones, seobtenga una subdivision tal que se cumpla la desigualdad (2.13) para todos los subdo-minios. En ese caso el lema quedara demostrado.

2. Que al subdividir el cuadrado A0 un numero finito de veces no se encuentren puntoszk tales que se cumpla la desigualdad (2.13). Esto implicarıa que despues de dividir elcuadrado A0 una vez, se encontrarıa al menos un cuadrado menor A1 para el que noexistirıa una zk tal que cumpliese con la desigualdad (2.13) cuando A1 se subdividieraun numero finito de veces. Luego de subdividir A1 una vez, se encontrarıa un cuadradomenor A2 para el que no se encontrarıa una zk tal que (2.13) se cumpliese despues de queA2 se subdividiera un numero finito de veces y ası sucesivamente.

Cada cuadrado de la sucesion de cuadrados A0, A1, A2,..., Ak,... estarıa contenido en elanterior: A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ Ak ⊃ .... Por lo tanto, para cada k entera existira unpunto z0 contenido en todos estos cuadrados a la vez. Pero la dimension de Ak tiendea cero cuando k crece. Por consiguiente, para cada numero δ > 0 se encontrara unnumero k0 tal que, para toda k > k0, los puntos del cuadrado Ak estaran dentro de lacircunferencia |z − z0| = δ. Y como hemos supuesto que en ningun cuadrado Ak existenpuntos zk para los que se cumpla (2.13), en el lımite para k → ∞ concluirıamos que enel punto z0 ocurrirıa que

∣∣∣∣f(z)− f(z0)

z − z0

− f ′(z0)

∣∣∣∣ ≥ ε, ∀|z − z0| < δ (2.14)

Y como z0 ∈ G, donde f(z) es analıtica, obtendrıamos un absurdo, ya que no existirıa laderivada en z0 ∈ G, la que deberıa existir, lo que esta en contradiccion con el resultado(2.14) obtenido aquı.

Por lo tanto concluimos que la desigualdad (2.13) debe siempre cumplirse.

Demostrado el lema.

Demostracion de Goursat del Teorema de Cauchy:

Queremos demostrar ahora la relacion (2.11). Sea el contorno de integracion C el tomado en lademostracion del lema anterior y hagamos en el la misma construccion descrita en dicho lemae ilustrada en la figura 2.2.

En virtud del lema demostrado para la funcion

∆k(z) =f(z)− f(zk)

z − zk− f ′(zk), ∀k = 1, 2, ..., n (2.15)

tendremos que

|∆k(z)| < ε (2.16)


Ademas, como las funciones ∆k(z) son continuas y sus lımites cuando z → zk se anulan,postularemos que ∆k(zk) = 0.

En virtud de (2.15), para cualquier punto z ∈ Ck podremos escribir que

f(z) = f(zk)− zkf′(zk) + zf ′(zk) + (z − zk)∆k(z) (2.17)

Integrando por el contorno Ck y teniendo en cuenta las relaciones (2.12), obtendremos que

∫Ck

f(z)dz =

∫Ck

(z − zk)∆k(z)dz (2.18)

Por consiguiente, para la integral por el contorno C tendremos que

∫C

f(z)dz =n∑k=1

∫Ck

f(z)dz (2.19)

Pues en la suma de integrales se anularan las integraciones por todos los lados de los cuadradosinternos al dominio G en virtud de que dichos lados se recorreran al realizar la integracion dosveces, una en sentido positivo y otra en sentido negativo y quedara solamente la integracionpor los arcos que forman el contorno C.

De (2.18) y (2.19) concluimos que

∫C

f(z)dz =n∑k=1

∫Ck

(z − zk)∆k(z)dz

y, por consiguiente, que

∣∣∣∣∫C

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ n∑k=1

∫Ck

|z − zk||∆k(z)||dz|

De (2.16) concluimos que

∣∣∣∣∫C

f(z)dz

∣∣∣∣ < εn∑k=1

∫Ck

|z − zk||dz| (2.20)

Pero es evidente que

|z − zk| ≤ lk√

2

Integracion 59

donde lk es la longitud de un lado del cuadrado Ck. Por lo tanto

∫Ck

|z − zk||dz| ≤ lk√

2

∫Ck

|dz| (2.21)

Y, ademas,

∫Ck

|dz| = 4lk

si Ck es un cuadrado completo, en tanto

∫Ck

|dz| ≤ 4lk + Lk

si Ck es un cuadrado incompleto, donde Lk es la longitud del arco de C que forma parte de Ck.

Sustituyendo en (2.21), obtenemos que

∫Ck

|z − zk||dz| ≤ 4√

2l2k = 4√

2Rk (2.22)

si Ck es un cuadrado completo, donde Rk es el area del cuadrado completo y

∫Ck

|z − zk||dz| <√

2lk(4lk + Lk) < 4√

2Rk +√

2SLk (2.23)

si Ck es un cuadrado incompleto, donde S es la longitud del lado de un cuadrado cualquieraque contenga a todo el contorno C y a todos los cuadrados completos que tengan que utilizarsepara recubrir el dominio G. Esto implica que la suma de todas las areas Rk sera menor o igualque S2.

Si L es la longitud del contorno C obtenemos, en virtud de las desigualdades (2.20), (2.22) y(2.23), que

∣∣∣∣∫C

f(z)dz

∣∣∣∣ < ε(4√

2S2 +√

2SL) = ε′ (2.24)

donde ε′ = ε(4√

2S2 +√

2SL).

Como ε > 0 es arbitrario, ε′ > 0 tambien lo sera y, como∫Cf(z)dz tiene un valor constante

definido para el contorno cerrado C y para la funcion dada f(z) y, como segun (2.24), dichovalor constante es menor que cualquier numero ε′ > 0 tan pequeno como se quiera, concluimosque dicha integral tiene que ser igual a cero.



2.2.3 Corolario del Teorema de Cauchy

Teorema 9

Si f(z) es analıtica en el dominio simplemente conexo D, entonces las integrales por cualquiercurva que una los puntos fijos z1 y z2 pertenecientes a D tienen el mismo valor.

Demostracion:

En virtud del teorema de Cauchy tenemos que para la curva cerrada C = C1 +C2 que pasa porlos puntos z1 y z2 (Fig. 2.3) se cumple que

∫C

f(z)dz =

∫C1+C2

f(z)dz =

∫C1

f(z)dz +

∫C2

f(z)dz = 0 (2.25)

La integracion por C1 se efectua desde z1 hasta z2, en tanto que la integracion por C2 se realizadesde z2 hasta z1.

Cambiandole el sentido de integracion a la integral por C2 y teniendo en cuenta que al cambiarel sentido de integracion la integral cambia de signo, queda demostrado el corolario.

2.2.4 Generalizacion del Teorema de Cauchy

Por la utilidad que presenta en las distintas aplicaciones debe formularse el teorema de Cauchypara el caso en que el contorno de integracion C sea la frontera del dominio de analiticidad. Enese caso el teorema se formula exigiendo la analiticidad de la funcion en el dominio y, ademas,su continuidad en la union del dominio con su frontera; es decir, que el teorema se enunciarıade la siguiente manera:

Si la funcion f(z) es analıtica en el dominio simplemente conexo D y continua en el dominiocerrado D = D ∪ Γ, entonces

∫Γ

f(z)dz = 0 (2.26)

La demostracion de esta afirmacion es una repeticion literal de las demostraciones ya realizadasy, por lo tanto, no la volveremos a hacer.

Hasta este instante en los enunciados del teorema de Cauchy se ha especificado que el dominiode analiticidad es simplemente conexo, lo que tiene importancia fundamental, como se puedeapreciar facilmente en el siguiente ejemplo:

Integracion 61

Figura 2.3: Corolario del teorema de Cauchy

Sea

f(z) =1

z

Evidentemente , en z = 0 dicha funcion no es analıtica, pero en el dominio anular (Fig. 2.4)D : {1

2< |z| < 2} sı lo es. Tomemos por contorno de integracion C la circunferencia |z| = 1

contenida totalmente en el dominio de analiticidad. Con excepcion del hecho de que el dominioes biconexo, todas las demas condiciones del teorema de Cauchy se cumplen y, sin embargo,tenemos que:

∫C

f(z)dz =

∫|z|=1

dz

z=

∫ 2π

0

ieiϕdϕ

eiϕ= i

∫ 2π

0

dϕ = 2πi 6= 0

Es decir, que al formular el teorema para dominios multiconexos hay que tener cuidado.

Teorema 10


Figura 2.4: Ejemplo para justificar la necesidad del teorema de Cauchy para dominios multi-conexos

Si la funcion f(z) es analıtica en el dominio multiconexo D y continua en D = D∪Γ, entonces

∫Γ

f(z)dz = 0

donde por Γ se entiende toda la frontera del dominio D recorrida en sentido positivo (es decir,de manera que el dominio se encuetre siempre a la izquierda).

Demostracion:

Sea, por ejemplo, un dominio triconexo de frontera Γ = C0 +C1 +C2. Con ayuda de los cortesL1 y L2 podemos convertir a dicho dominio en un dominio simplemente conexo (Fig. 2.5). Parael dominio simplemente conexo tiene validez el teorema de Cauchy, por lo que podemos escribir

Integracion 63

0 =

∫Γ

f(z)dz =

∫C+

0

f(z)dz +

∫C−1

f(z)dz +

∫C−2

f(z)dz +

+

∫L+

1

f(z)dz +

∫L+

2

f(z)dz +

∫L−1

f(z)dz +

∫L−2

f(z)dz (2.27)

Figura 2.5: Dominio multiconexo para demostrar el teorema de Cauchy

En virtud de la formula (2.5) de este capıtulo, las integrales por L+1 , L−1 , L+

2 y L−2 se anulan.


2.3 Integral Indefinida. Formula de Newton-Leibnitz

De forma similar a como se hace en las funciones de variable real, a la funcion F (z) analıticaen el dominio D y cuya derivada F ′(z) es igual a la funcion f(z), la llamaremos funcionprimitiva, o simplemente primitiva de la funcion f(z).


Teorema 11

Sea F1(z) una funcion primitiva de la funcion f(z). Para que la funcion F2(z) sea tambienprimitiva de f(z) es necesario y suficiente que

F2(z) = F1(z) + C

donde C es una constante arbitraria.

Demostracion:

1. Necesidad:

Sea F ′2(z) = F ′

1(z) = f(z).

Analicemos la funcion Φ(z) = F2(z)− F1(z).

Evidentemente, su derivada Φ′(z) = 0. Pero si suponemos que Φ(z) = U(x, y) + iV (x, y),pues es una funcion de variable compleja y como, ademas, es analıtica, tendremos que suderivada viene dada por

Φ′(z) =∂U

∂x+ i

∂V

∂x=∂V

∂y− i

∂U

∂y= 0

de donde concluimos que

∂U

∂x= 0,

∂U

∂y= 0,

∂V

∂x= 0,

∂V

∂y= 0

lo que significa que U = const. y V = const. y, por lo tanto, Φ(z) = C.

Demostrada la necesidad.

2. Suficiencia:

Sea F2(z) = F1(z) + C.

Derivando obtenemos F ′2(z) = F ′

1(z) = f(z), ya que la derivada de la funcion constantees cero.

Demostrada la suficiencia.


Definicion:

Al conjunto de todas las primitivas posibles de una funcion f(z) se le llama integral indefinidade f(z).

Para la integral indefinida en la variable compleja no se usa la misma simbologıa que en lavariable real, sino otra comunmente llamada forma de Cauchy de expresar una integralindefinida como integral de lımite superior variable y que se fundamenta en el siguiente teorema.

Integracion 65

Teorema 12

Sea la funcion f(z) definida y continua en el dominio simplemente conexoD y tal que su integralpor cualquier contorno cerrado contenido en D se anule.3 Entonces la funcion

F (z) =

∫ z

z0

f(ζ)dζ (2.28)

donde z ∈ D y z0 ∈ D, es analıtica en D y se cumple que

F ′(z) = f(z)

es decir, es primitiva de f(z).

Demostracion:

Nuestro objetivo es demostrar que existe la derivada de F (z) para cualquier punto z ∈ D y quesu derivada es f(z). Para ello, calculemos el incremento

∆F =

∫ z+∆z

z0

f(ζ)dζ −∫ z

z0

f(ζ)dζ (2.29)

Como por hipotesis la integral de f(z) por cualquier contorno cerrado contenido en D se anula,nuestra integral no depende del camino de integracion. Es decir,

∆F =

∫ z+∆z

z

f(ζ)dζ (2.30)

Como, ademas, f(z) es continua por hipotesis, podemos escribir que

f(ζ) = f(z) + η(ζ) (2.31)

donde η(ζ) es una funcion infinitesimal, es decir, |η(ζ)| → 0 cuando ζ → z.

Entonces, para el incremento ∆F obtenemos la expresion

∆F =

∫ z+∆z

z

f(z)dζ +

∫ z+∆z

z

η(ζ)dζ = f(z)∆z +

∫ z+∆z

z

η(ζ)dζ (2.32)

3Es bueno aclarar que el teorema de Cauchy establece que si una funcion es analıtica, entonces su integral porcualquier contorno cerrado contenido en el dominio de analiticidad es igual a cero; sin embargo, nada aun nospermite afirmar que si una funcion es continua y su integral por cualquier contorno cerrado dentro del dominiode continuidad es cero, la funcion sea analıtica en ese dominio. Mas adelante volveremos sobre este asunto.


Ası pues, obtenemos

∣∣∣∣∆F∆z− f(z)

∣∣∣∣ =1

|∆z|

∣∣∣∣∫ z+∆z

z

η(ζ)dζ

∣∣∣∣ ≤ 1

|∆z|max |η(ζ)| · |∆z|

Es decir, que

∣∣∣∣∆F∆z− f(z)

∣∣∣∣ ≤ max |η(ζ)| (2.33)

Como para ∆z → 0, |η(ζ)| → 0, la expresion (2.33) nos indica que la funcion F (z) es analıticaen D, pues es derivable en todo punto de D, ya que su derivada existe en esos puntos, y que,ademas, su derivada, efectivamente, es dF

dz= f(z).


Este teorema nos indica, efectivamente, que la primitiva de una funcion continua de variablecompleja, es decir, su integral indefinida, puede expresarse a traves de la formula (2.28).

Teorema 13 (Formula de Newton-Leibnitz)

Si la funcion f(z) es continua en el dominio simplemente conexo D y su integral por cualquiercontorno cerrado contenido en el dominio D es igual a cero, entonces

∫ z2

z1

f(z)dz = F (z2)− F (z1) (2.34)

donde F (z) es una primitiva de f(z) y z1, z2 ∈ D.

Demostracion:

Analicemos la funcion

Φ(z) =

∫ z

z1

f(ζ)dζ

con lımite superior variable. En virtud de los teoremas 11 y 12 podemos escribir que

Φ(z) =

∫ z

z1

f(ζ)dζ = F (z) + C (2.35)

de donde Φ(z1) = 0 = F (z1) + C. Por consiguiente, C = −F (z1).

Ası pues

Integracion 67

∫ z

z1

f(ζ)dζ = F (z)− F (z1)

de donde, por fin

∫ z2

z1

f(ζ)dζ = F (z2)− F (z1)


Veamos un ejemplo importante que ilustra lo demostrado en el teorema 12. Analicemos lasiguiente funcion:

F (z) =

∫ z

1

dζ

ζ(2.36)

La funcion que figura bajo la integral es continua en todo el plano complejo excepto en elpunto z = 0 (es mas, puede comprobarse que es analıtica en ese dominio); por consiguiente, laexpresion (2.36) tiene sentido siempre que la curva de integracion no pase por el punto z = 0.Bajo estas condiciones, en virtud del teorema 12, la funcion F (z) es una funcion analıticaunivaluada en cualquier dominio simplemente conexo D del plano complejo que no contengaal punto z = 0, y no depende del camino de integracion que tomemos en la formula (2.36).Tomemos por dominio simplemente conexo D todo el plano complejo cortado por la partenegativa del eje real y excluido el punto z = 0; es decir, el dominio {−π < arg z ≤ π, z 6= 0}.Consideremos que el camino de integracion en la formula (2.36) esta contenido totalmente enel dominio en cuestion, o sea, que no corta a la parte negativa del eje real, ni pasa por z = 0.Entonces, para valores reales positivos z = x y tomando como camino de integracion en laformula (2.36) el segmento correspondiente del eje real, cosa que podemos hacer porque laintegral cerrada por cualquier contorno es igual a cero, de manera que la integral entre z = 1 yz = x da el mismo valor por cualquier contorno, en particular por el segmento de eje real entre1 y x, obtenemos

F (x) =

∫ x

1

dξ

ξ= ln x (2.37)

Es decir, para valores positivos reales de su argumento, la funcion F (z) coincide con la funcionlogaritmo de variable real. Por eso, para la funcion (2.36) en el dominio D considerado {−π <arg z ≤ π, z 6= 0} utilizaremos el mismo sımbolo y escribiremos

ln z =

∫ z

1

dζ

ζ(2.38)

Esta ultima expresion, en la que el camino de integracion es escogido como se especifico arriba,puede considerarse como la definicion de la funcion logaritmo para todos los valores complejos


del argumento z, tomados en el dominio simplemente conexo considerado. Mas adelante, enel capıtulo que dedicaremos al estudio de las funciones elementales de variable compleja estu-diaremos detalladamente las propiedades de esta funcion; por ahora solo senalaremos que, envirtud del teorema 12, tiene lugar la relacion

(ln z)′ =1

z(2.39)

es decir, que en el dominio considerado la derivada de esta funcion tiene la misma expresionque la derivada con respecto a valores reales positivos del argumento.

2.4 Integrales que dependen analıticamente de un para-

metro

Mas adelante sera necesario analizar integrales del tipo

f(z) =

∫C

F (z, ζ)dζ (2.40)

que dependen de la variable compleja z como un parametro. Para este tipo de integrales tienelugar la siguiente afirmacion:

Teorema 14

Sea una funcion de las variables complejas z y ζ, definida para toda z perteneciente a ciertodominio D y toda ζ perteneciente a cierta curva lisa C (la relacion entre el dominio D y lacurva C es totalmente arbitraria) y tal que:

1. F (z, ζ) sea analıtica con respecto a z ∈ D, para cualquier ζ ∈ C.

2. F (z, ζ) sea continua con respecto a ζ ∈ C, para cualquier z ∈ D.

3. ∂F (z,ζ)∂z

sea continua con respecto a ambos argumentos.

Entonces la funcion f(z), definida por la formula (2.40), es analıtica en el dominio D y secumple que

f ′(z) =

∫C

∂F (z, ζ)

∂zdζ (2.41)

Demostracion:

Sea

Integracion 69

F (z, ζ) = U(x, y, ξ, η) + iV (x, y, ξ, η) (2.42)

donde z = x + iy y ζ = ξ + iη. Entonces, en virtud de la expresion (2.4) de este capıtulo,tendremos que

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) =

∫C

{U(x, y, ξ, η)dξ − V (x, y, ξ, η)dη}+

+i

∫C

{V (x, y, ξ, η)dξ + U(x, y, ξ, η)dη} (2.43)

Por las hipotesis 1,2 y 3 del teorema, las funciones de variable real U y V son continuas y, portanto, podemos derivar bajo el signo de integracion:

∂u

∂x=

∫C

{∂U

∂xdξ − ∂V

∂xdη

}(2.44)

∂v

∂y=

∫C

{∂V

∂ydξ +

∂U

∂ydη

}(2.45)

Pero, por las condiciones de Cauchy-Riemann:

∂U

∂x=∂V

∂y;∂U

∂y= −∂V

∂x

ya que F (z, ζ) es analıtica con respecto a z.

Teniendo en cuenta estas condiciones en las expresiones (2.44) y (2.45), concluimos que

∂u

∂x=∂v

∂y

Identicamente se obtiene que

∂u

∂y= −∂v

∂x

Es decir, que las funciones u(x, y) y v(x, y) satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann, loque significa que f(z) es analıtica.

Ademas, podemos escribir que


f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∫C

{∂U

∂xdξ − ∂V

∂xdη

}+

+i

∫C

{∂V

∂xdξ +

∂U

∂xdη

}=

∫C

{∂U

∂x+ i

∂V

∂x

}(dξ + idη) =

=

∫C

∂F (z, ζ)

∂zdζ

Pues

∂F (z, ζ)

∂z=∂U

∂x+ i

∂V

∂x

ya que F (z, ζ) es analıtica con respecto a z y dζ = dξ + idη.

De esta forma queda establecida la formula (2.41).


2.5 Formula Integral de Cauchy

2.5.1 Obtencion de la formula

Una de las consecuencias mas sensacionales del teorema de Cauchy (2.10) es que con su ayudapuede establecerse la ıntima relacion que existe entre los valores de una funcion analıtica en lospuntos internos de su dominio de analiticidad y sus valores en la frontera de dicho dominio.

Analicemos la siguiente integral dependiente analıticamente de un parametro:

I(z) =

∫C

f(ζ)dζ

ζ − z(2.46)

donde f(z) es una funcion analıtica en el dominio D y donde el contorno C perteneciente a Des cerrado (Fig.2.6).

Evidentemente, I(z) = 0 si el punto z esta fuera del dominio encerrado por el contorno C, yaque en ese caso la funcion bajo la integral, como funcion de ζ, es analıtica en todo el dominioencerrado por C y, por el teorema de Cauchy, la integral (2.46) se anula.

Sin embargo, si el punto z se encuentra en el interior del dominio encerrado por el contornoC, la funcion bajo la integral deja de ser analıtica en el punto ζ = z, por lo que no podemosafirmar en ese caso que la integral es cero.

Integracion 71

Figura 2.6: Obtencion de la formula integral de Cauchy

Para calcular la integral haremos lo siguiente:

Rodeamos el punto conflictivo z con una circunferencia Cr de radio r centrada en z (Fig.2.7).En el dominio biconexo de frontera C + Cr formado, la funcion bajo la integral es analıtica.Por lo tanto, se cumple el teorema de Cauchy:

∫C

f(ζ)dζ

ζ − z+

∫C−r

f(ζ)dζ

ζ − z= 0 (2.47)

El primer sumando en la expresion (2.47) es I(z). Teniendo en cuenta la propiedad (2.5) deeste capıtulo para las integrales de funciones de variable compleja, podemos escribir de (2.47)

I(z) =

∫Cr

f(ζ)dζ

ζ − z= f(z)

∫Cr

dζ

ζ − z+

+

∫Cr

f(ζ)− f(z)

ζ − zdζ ≡ I1(z) + I2(z) (2.48)


Figura 2.7: Para la obtencion de la formula integral de Cauchy

Analicemos las integrales I1(z) e I2(z) de la expresion (2.48) por separado. En la circunferenciaCr tenemos que ζ = z + reiϕ, de donde

dζ = ireiϕdϕ

ya que z es un parametro en la integral y la variable de integracion ζ recorre la circunferenciacon radio r constante, de manera que el argumento del numero complejo ζ − z varıa entre 0 y2π. Ası pues:

I1(z) = f(z)

∫ 2π

0

ireiϕdϕ

reiϕ= 2πif(z) (2.49)

Por otra parte,

|I2(z)| ≤ max |f(ζ)− f(z)|∣∣∣∣∫Cr

dζ

ζ − z

∣∣∣∣ = 2πmax |f(ζ)− f(z)| (2.50)

Integracion 73

ya que |ζ − z| = r y |dζ| = rdϕ.

En la expresion (2.50) tenemos que max |f(ζ)−f(z)| → 0 cuando r → 0, pues f(z) es analıticay por consiguiente continua. De aquı I2(z) → 0 cuando r → 0 y como en la expresion (2.48)I(z) e I1(z) (I1(z) = 2πif(z) segun (2.49)) no dependen de r, tendremos, por lo tanto que, sihacemos r → 0, y si el punto z esta encerrado por el contorno C, resulta I(z) = 2πif(z). Asıpues, hemos obtenido la expresion

f(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

ζ − z(2.51)

que recibe el nombre de formula integral de Cauchy.

Esta formidable formula nos establece el caracter organico que existe en la geometrıa de lasfunciones analıticas, algo muy nuevo y propio de la variable compleja: los valores de una funcionanalıtica en los puntos contenidos dentro de un contorno C estan estrechamente relacionadoscon los valores de dicha funcion sobre el contorno C y, una vez conocidos los valores de la funcionsobre un contorno cerrado, no podemos suponerle otros valores en el interior del contorno queno sean los dados por la formula integral de Cauchy, si queremos que la funcion sea analıtica.

La formula integral de Cauchy es de gran importancia en la teorıa de funciones de variablecompleja, porque con su ayuda se pueden establecer las principales propiedades de las funcionesanalıticas, se puede investigar el comportamiento de dichas funciones ası como su esencia.Tambien es una formula de gran utilidad practica, ya que nos permite calcular los valores decualquier funcion analıtica si conocemos sus valores sobre un contorno cerrado. En este sentidoes interesante destacar el hecho dado por esta formula de que para tener toda la informacion(los valores funcionales) de una funcion analıtica en un dominio basta tener una informacionparcial de ella: sus valores sobre un contorno cerrado que encierre al dominio en cuestion. Estasituacion es propia de la variable compleja y no tiene lugar en la teorıa de funciones de variablereal.

La formula integral de Cauchy nos permite tambien calcular con gran facilidad las integralesde variable compleja por contornos cerrados cuyo integrando tenga la forma de un numeradoranalıtico dentro del contorno dividido por la diferencia de la variable de integracion y el valornumerico complejo de un punto del interior del contorno de integracion. Ese tipo de integralespodra calcularse sin usar las reglas anteriormente estudiadas de integracion, a lo que llamaremos”integrar sin integrar”. Por ejemplo, si queremos calcular la integral

∫|z|=2

eiz

z − π2

dz

como la integral es por el contorno circular de radio 2 centrado en z = 0 en cuyo interior seencuentra el punto z = π

2de una funcion cuyo numerador es la funcion analıtica dentro del

contorno eiz, por la formula integral de Cauchy tendremos:


∫|z|=2

eiz

z − π2

dz = 2πieiπ2 = 2πi · i = −2π

2.5.2 Consecuencias de la Formula Integral de Cauchy

Podemos ahora examinar mas profundamente las funciones anaıticas. Las consecuencias que acontinuacion estudiarmeos constituyen propiedades de las funciones analıticas.

1. Teorema 15

Toda funcion analıtica en un dominio tiene en dicho dominio derivadas de cualquier orden,analıticas en el dominio.

Demostracion:

En efecto, si la funcion f(z) es analıtica en el dominioD, entonces, para cualquier contornoC ∈ D podemos representar a f(z) con ayuda de la formula integral de Cauchy (2.51).

Como la funcion

F (z, ζ) =f(ζ)

ζ − z

es analıtica para toda z perteneciente al dominio encerrado por el contorno C y todaζ ∈ C y su derivada

∂F (z, ζ)

∂z=

f(ζ)

(ζ − z)2

es continua con respecto a sus argumentos, ya que z 6= ζ, pues z es un punto interiordel dominio encerrado por el contorno C y ζ es un punto que pertenece al contorno C,entonces se cumplen todas las hipotesis del teorema 14, por lo que la derivada de f(z) secalcula por la expresion (2.41):

f ′(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z)2(2.52)

Ahora bien, esta derivada es tambien una funcion analıtica en D, pues la funcion inte-grando en (2.52), F (z, ζ) = f(ζ)

(ζ−z)2 , cumple tambien las hipotesis del teorema 14, por loque podemos escribir que

f ′′(z) =2

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z)3(2.53)

Podemos repetir este razonamiento tantas veces como queramos, lo que nos permitira porinduccion concluir que para la enesima derivada de la funcion f(z) se cumple que

Integracion 75

f (n)(z) =n!

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z)n+1(2.54)

Como n es arbitrario, queda demostrada la propiedad enunciada.


La expresion (2.54) se conoce con el nombre de Formula generalizada de Cauchy.

Hemos ası concluido una importante y original propiedad de las funciones de variablecompleja: Estas funciones o son infinitas veces derivables en los puntos de un dominio (sison analıticas en dicho dominio) o solo pueden tener derivada de primer orden si acasoen algun punto aislado del dominio, o no tener en general derivada respecto a z.

Recalcamos el hecho de que el concepto de analiticidad es un concepto colectivo; unafuncion es analıtica en D si es derivable en el entorno de cada punto de D. Ello implicaautomaticamente la no existencia de puntos de analiticidad aislados. Si la funcion esanalıtica entonces tiene derivadas de cualquier orden todas analıticas, entendiendo portal derivables en todos los puntos del dominio D. No obstante, algunas funciones noanalıticas pueden eventualmente tener primera derivada respecto a z en algun puntoaislado de su dominio de definicion. Por ejemplo, la funcion f(z) = |z|2 ≡ (x2 + y2)+ i · 0que es derivable respecto a z en el punto z = 0, no tiene derivada en ningun otro puntodel plano, ya que solo en z = 0 se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

A partir de la propiedad demostrada, podemos destacar lo siguiente: la discusion quehicimos al definir el concepto de funcion analıtica queda completamente esclarecida en esteinstante. Nosotros en un principio habıamos definido la funcion analıtica en un dominiocomo aquella derivable en todos los puntos del dominio y con derivada continua. Larazon de tal definicion fue la de hacer mas simple la demostracion del teorema de Cauchycon el uso del teorema de Green. Luego, al desarrollar la demostracion de Goursat delteorema de Cauchy, vimos que no era necesaria la continuidad de la derivada de la funcionpara demostrar la propiedad de que la integral por cualquier contorno cerrado dentro deldominio de analiticidad es cero.

Como consecuencia, podemos redefinir el concepto de funcion analıtica diciendo que f(z)es analıtica en en dominio D, si es derivable en todos los puntos de dicho dominio, sinexigir ya la continuidad de la derivada.

La propiedad que acabamos de demostrar nos dice que la derivada de una funcion analıticaen un dominio es tambien analıtica en ese dominio (y por tanto, continua en el dominio).Es decir, que la condicion de continuidad de la derivada de una funcion analıtica, en vezde ser un postulado de la definicion, es una consecuencia de ella.

La formula generalizada de Cauchy (2.54) tiene tambien una gran importancia practica,ya que nos permite ”integrar derivando”, lo que se evidencia en el siguiente ejemplo.

Intentemos calcular la integral ∫|z|=2

eiz

(z − π2)3dz

El numerador de la integral es una funcion analıtica dentro del cırculo dde frontera dadapor la circunferencia por la que se integra. Si observamos la formula (2.54), vemos que


en el punto interior z = π2

el denominador se hace cero. Como en este caso teneos que enla formula (2.54) n+ 1 = 3, tendremos∫

|z|=2

eiz

(z − π2)3dz =

2πi

2!(eiz)′′|z=π

2= πi(−ei

π2 ) = π

2. Teorema 16 (Teorema de Morera)

Si la funcion f(z) es continua en el dominio simplemente conexo D y si la integral de f(z)por cualquier contorno cerrado contenido en D es igual a cero, entonces la funcion f(z)es analıtica en el dominio D.

Demostracion:

Como por hipotesis ∫C

f(ζ)dζ = 0

donde C es cualquier contorno cerrado contenido en D, la integral entre dos puntoscualesquiera pertenecientes a D no depende del camino de integracion que se escoja ydefine, por lo tanto, la funcion

F (z) =

∫ z

z0

f(ζ)dζ (2.55)

que, de acuerdo con el teorema 12, es analıtica en D y cumple que F ′(z) = f(z). Pero,por la propiedad anterior, la derivada de una funcion analıtica es tambien anaıtica, lo quesignifica que f(z) es analıtica en D.


El teorema de Morera, junto con el teorema de Cauchy, nos permite afirmar que lacondicion necesaria y suficiente para que una funcion de variable compleja continua en undominio sea analıtica en dicho dominio es que su integral por cualquier contorno cerradocontenido en el dominio sea igual a cero.

3. Teorema 17. Teorema del valor medio

Si la funcion f(z) es analıtica en el dominio D, entonces para cualquier punto z ∈ D tienelugar la formula del valor medio:

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f [z + reiϕ]dϕ (2.56)

donde r es el radio de una circunferencia centrada en z contenida totalmente en el dominioD.

Es decir, si la funcion f(z) es analıtica en un cırculo, su valor en el centro del cırculo esigual a su promedio sobre la circunferencia frontera del cırculo. De ahı el nombre de lapropiedad.

Demostracion:

Integracion 77

Para el cırculo de frontera Cr centrado en el punto z ∈ D de radio r tiene lugar la formulaintegral de Cauchy (2.51):

f(z) =1

2πi

∫Cr

f(ζ)dζ

ζ − z

Pero tenemos que

ζ = z + reiϕ

donde r es constante por estar integrandose a lo largo de la circunferencia. De aquı

dζ = ireiϕdϕ

y, colocando estas expresiones en la formula integral de Cauchy, obtenemos:

f(z) =1

2πi

∫ 2π

0

f [z + reiϕ]

reiϕireiϕdϕ (2.57)

Cancelando en la expresion (2.57) el numerador con el denominador, obtenemos la formuladel valor medio (2.56).


4. Teorema 18. Principio del maximo y del mınimo del modulo de una funcionanalıtica

Si la funcion f(z) es analıtica en el dominio D y continua en D = D ∪ Γ, entonces elmaximo y el mınimo del modulo de f(z) se alcanzan sobre la frontera Γ.

Demostracion:

Demostremos el teorema para el maximo del modulo de f(z) por reduccion al absurdo.Supongamos que el maximo se alcanza en un punto interior z0 ∈ D.

M = max |f(z)| ≡ |f(z0)| (2.58)

Tracemos una circunferencia con centro en z0 y radio r contenida totalmente en D lo quesiempre es factible, ya que, por suposicion, z0 es interior del dominio D (Fig. 2.8)

En virtud del teorema del valor medio (2.56) y teniendo en cuenta (2.58) tendremos que

M = |f(z0)| ≤1

2π

∫ 2π

0

|f [z0 + reiϕ]|dϕ ≤ M

2π

∫ 2π

0

dϕ = M (2.59)

El signo ”rigurosamente menor” no es valido, ya que una constante no puede ser menorque ella misma. Por eso concluimos que

1

2π

∫ 2π

0

|f [z0 + reiϕ]|dϕ = M (2.60)


Figura 2.8: Para la demostracion del principio del valor maximo y mınimo del modulo de unafuncion analıtica.

Como la funcion f(z) es continua sobre el contorno de integracion, de (2.58) y (2.60)concluimos que

|f [z0 + reiϕ]| = M (2.61)

Efectivamente, en virtud de (2.58) el modulo de nuestra funcion no puede ser mayorque M en ningun punto del contorno Cr de integracion. Si suponemos que en ciertopunto ζ0 del contorno de integracion Cr el modulo |f(ζ0)| es rigurosamente menor queM , entonces, por la continuidad de la funcion f(z), encontrarıamos un entorno de ζ0 enel que |f(ζ)| < M ; en otras palabras, encontrarıamos un segmento [ϕ1, ϕ2] de integracionen el que

|f [z0 + reiϕ]| ≤M − ε, ε > 0 (2.62)

Pero entonces

Integracion 79

1

2π

∫ 2π

0

|f [z0 + reiϕ]|dϕ =1

2π

∫ ϕ2

ϕ1

|f [z0 + reiϕ]|dϕ+

+1

2π

∫ ϕ1

0

|f [z0 + reiϕ]|dϕ+1

2π

∫ 2π

ϕ2

|f [z0 + reiϕ]|dϕ ≤

≤ 1

2π(M − ε)(ϕ2 − ϕ1) +

1

2πM [2π − (ϕ2 − ϕ1)] < M (2.63)

lo que entra en contradiccion con (2.60). Por lo tanto, efectivamente, la relacion (2.61)se cumple a lo largo de toda la circunferencia. Esto significa que la funcion |f(z)| esconstante e igual a su valor maximo en D sobre la circunferencia centrada en z0 y deradio r.

Puesto que el radio r es arbitrario, concluimos que

|f(z)| = M = const.

en todo el cırculo en cuestion.

El cırculo centrado en z0 puede tomarse de manera que toque tangencialmente a la fronteraΓ del dominioD, por lo que podemos afirmar que, si suponemos que el maximo del modulode f(z) se alcanza en un punto interior de D, el modulo de f(z) es constante e igual adicho maximo en el interior del cırculo, su circunferencia frontera y al menos un puntode la frontera Γ del dominio D.

Ahora es facil demostrar que |f(z)| = M en cualquier otro punto zn arbitrariamenteescogido en el interior del dominio D. Para ello unimos, mediante una curva totalmentecontenida en D, el punto z0 y el punto zn y cubrimos dicha curva con cırculos totalmentecontenidos en D, segun se ilustra en la figura 2.9.

Como quiera que en el punto z1 perteneciente a la circunferencia inicial y centro de unanueva circunferencia

|f(z1)| = M = const.

repitiendo los razonamientos efectuados anteriormente, concluimos que |f(z)| = M =const. en todo el cırculo con centro en z1. Si repetimos un numero finito de veces esteproceso llegamos a la conclusion de que

|f(zn)| = M = const.

y como el punto zn fue escogido arbitrariamente, concluimos que |f(z)| = M = const.en todo el dominio D y en su frontera Γ, ya que siempre la cadena de circunferenciasescogida puede tomarse de forma que toquen tangencialmente al menos un punto a Γ.

Lo dicho significa que en D ≡ D ∪ Γ

M2 = u2 + v2 (2.64)


Figura 2.9: Para la demostracion del principio del maximo y el mınimo

en todo el dominio D, donde u = Re f(z) y v = Imf(z).

Derivando la expresion (2.64) con respecto a x y a y obtenemos

2u∂u

∂x+ 2v

∂v

∂x= 0

2u∂u

∂y+ 2v

∂v

∂y= 0 (2.65)

Con ayuda de las condiciones de Cauchy-Riemann y de las expresiones (2.65) se obtiene

u∂u

∂x− v

∂u

∂y= 0

v∂u

∂x+ u

∂u

∂y= 0 (2.66)

que es un sistema homogeneo de ecuaciones con determinante u2 +v2 = M2 6= 0, que solotiene solucion trivial:

Integracion 81

∂u

∂x≡ 0,

∂u

∂y≡ 0


u = Re f(z) ≡ const.

De forma identica se concluye que

v = Imf(z) ≡ const.

por lo que la funcion f(z) ≡ const. en el dominio D.

Es decir, si suponemos que el maximo del modulo de la funcion f(z) se alcanza en elinterior del dominio de analiticidad, esto implica que dicha funcion es constante en todoel dominio y su frontera (por lo que el maximo del modulo se alcanza tambien en lafrontera). Por lo tanto, si la funcion no es constante, el maximo del modulo se podraalcanzar solamente en la frontera Γ del dominio D.

Para demostrar el teorema para el mınimo del modulo de f(z), basta analizar la funciong(z) = 1

f(z)y valerse de la primera parte de la demostracion, pues si f(z) no se hace cero

en el interior de D, la funcion g(z) tambien sera analıtica en D y como tal, su moduloalcanzara su valor maximo sobre Γ, lo que implica que el modulo de f(z) alcanzara sumınimo sobre Γ.


5. Teorema 19. Teorema de Liouville

Si f(z) es entera (es decir, analıtica en todo el plano complejo) y a su vez acotada,entonces es constante.

Demostracion:

Por hipotesis tenemos que la funcion f(z) es analıtica en todo el plano y que, ademas,|f(z)| ≤ M . Tomemos un punto arbitrario z del plano complejo y tracemos con centroen el y radio R arbitrario una circunferencia CR. Escribamos con ayuda de la formulageneralizada de Cauchy (2.54) la derivada de f(z):

f ′(z) =1

2πi

∫CR

f(ζ)dζ

(ζ − z)2(2.67)

Como el contorno de integracion es una circunferencia de radio R centrada en z, tendremosque

f ′(z) =1

2πi

∫ 2π

0

f [z +Reiϕ]

R2ei2ϕiReiϕdϕ =

1

2π

∫ 2π

0

f [z +Reiϕ]

Reiϕdϕ (2.68)

Valoremos la expresion (2.68). Tenemos


|f ′(z)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f [z +Reiϕ]|R|eiϕ|

dϕ ≤ M

R(2.69)

A la izquierda en (2.69) tenemos una magnitud que no depende de R, ya que es el valor dela derivada de la funcion en el punto z. Sin embargo, a la derecha tenemos una expresionque mayora a dicha derivada y que depende de R y que es cada vez mas pequena amedida que R es mayor. Como la funcion f(z) por hipotesis es entera, el radio R de lacircunferencia puede tomarse tan grande como se desee, por lo que en el lımite cuandoR → ∞, resulta que el modulo de la derivada -que no puede ser negativo- esta acotadopor cero. Por lo tanto concluimos que |f ′(z)| ≡ 0, lo que conduce a que f ′(z) ≡ 0, esdecir, que f(z) = const.


Ası pues, una funcion analıica en todo el plano, excluyendo el caso trivial en que sea cons-tante, es tal que su modulo aunque sea por una direccion determinada, crece indefinida-mente cuando su argumento tiende al infinito. Esto es una propiedad sustancialmentedistinta de las propiedades de las funciones de variable real, ya que en la variable real,por ejemplo, la funcion sin x, que es continua y derivable en todos los puntos del eje real,es acotada cuando x → ∞; el teorema de Liouville nos indica que la funcion de varia-ble compleja sin z, que estudiaremos detenidamente mas adelante, no puede ser acotadacuando z →∞, pues es entera.

Una sencilla aplicacion del teorema de Liouville al algebra elemental lo constituye lademostracion del Teorema Fundamental del Algebra, que establece que todo polinomiode grado n

Pn(z) = a0 + a1z + a2z2 + ...+ anz

n, n ≥ 1, an 6= 0

tiene al menos una raız.

La demostracion de este teorema por metodos puramente algebraicos resulta complicada;sin embargo, la teorıa de funciones de variable compleja lo hace casi evidente.

En efecto, si Pn(z) no se anulase para ningun valor de z, entonces la funcion

f(z) =1

Pn(z)(2.70)

es analıtica en todo el plano complejo, es decir, entera. Pero como |f(z)| → 0 cuandoz → ∞, de acuerdo con el teorema de Liouville 19, tendrıa que ser f(z) = const. lo queevidentemente no es cierto. Por lo tanto concluimos que el polinomio Pn(z) debe tener almenos una raız.

En los cursos de algebra elemental, por lo general, el Teorema Fundamental del Algebrase plantea sin demostracion y a partir de el se demuestra que un polinomio de grado n notiene mas de n raıces. Mas adelante, con la ayuda del concepto de residuo logarıtmico y delTeorema de Rouche, veremos otra demostracion mas completa del Teorema Fundamentaldel Algebra.

Integracion 83


1. Calcular las integrales:

(a)∫ i−i |z|dz

a lo largo de

i. la recta entre los dos puntos.

ii. la semicircunferencia derecha |z| = 1.

(b)∫|z|=3

2z−1z(z−1)

dz

(c)∫ i

0z sin zdz

(d)∫ 1+i

0ez∗dz

a lo largo de

i. la lınea quebrada 0, 1, 1 + i,

ii. la lınea quebrada 0, i, 1 + i.

(e)∫ −2+i

−2(z + 2)2dz

2. ¿Cual es el sentido geometrico de la integral∫C|dz|?

3. Calcular: ∫C

sin πz4

z2 − 1dz

donde C es la circunferencia x2 + y2 − 2x = 0.

4. Calcular: ∫C

eπz

(z2 + 1)2

donde C es la elipse 4x2 + y2 − 2y = 0.

5. Calcular las integrales

(a)∫C

ezdzz+πi

2

(b)∫C

cos zzdz

(c)∫C

tan πz2

(z−a)2 , donde a es real, −2 < a < 2.

(d)∫C

sinh 2zz4

donde C es el cuadrado formado por las rectas

x = ±2, y = ±2

Capıtulo 3

Series de funciones analıticas

En este capıtulo estudiaremos las series funcionales cuyos miembros son funciones de variablecompleja. El analisis de este tipo de series es de gran importancia, por cuanto nos revela masnıtidamente el comportamiento de las funciones de variable compleja y porque constituye unaparato util en los problemas que requieren el uso de la teorıa de funciones de variable compleja.

3.1 Conceptos fundamentales

3.1.1 Series numericas

Comenzaremos extendiendo nuestros conceptos de series numericas al campo de los numeroscomplejos.

Sea {zn} una sucesion de numeros complejos y establezcamos el concepto de serie de numeroscomplejos:

S =∞∑n=1

zn (3.1)

Analicemos lo que recibe el nombre de suma parcial (suma de los primeros N terminos):

SN =N∑n=1

zn (3.2)

Decimos que la serie de numeros complejos (3.1) es convergente si la sucesion {SN} de sumasparciales (3.2) converge cuando N → ∞. El lımite de la sucesion de sumas parciales recibe elnombre de suma de la serie (3.1). A la serie

85


rN =∞∑

n=N+1

zn (3.3)

comunmente se le da el nombre de resto de la serie (3.1) y se puede comprobar que si la serie(3.1) converge, entonces para cualquier ε > 0 puede hallarse un numero K > 0 tal que paratodo N ≥ K se cumple que |rN | < ε.

En virtud de la teorıa desarrollada en el epıgrafe 2.2 del capıtulo 2 para las sucesiones denumeros complejos no es difıcil comprobar que se cumple el criterio de Cauchy. Es decir, que lacondicion necesaria y suficiente para que la serie (3.1) sea convergente es que para todo ε > 0pueda encontrarse un K > 0 tal que siempre que N ≥ K y M ≥ K se cumpla que

∣∣∣∣∣M∑n=N

zn

∣∣∣∣∣ < ε (3.4)

De lo anterior se puede concluir que para que la serie (3.1) converja es necesario que

limn→∞

zn = 0

En efecto, por el criterio de Cauchy, si la serie (3.1), para todo ε > 0 se puede hallar un numeroK > 0 tal que siempre que n ≥ K se cumple que

|zn+1| = |Sn+1 − Sn| < ε

Si la serie de miembros reales y positivos

∞∑n=1

|zn| (3.5)

converge, evidentemente convergira tambien la serie (3.1), la que en este caso se dice que esconvergente absolutamente.

Uno de los metodos mas usados para investigar la convergencia de una serie con miembroscomplejos es analizar la serie formada por los modulos de los miembros de la serie que sequiere investigar; se puede utilizar por ello los criterios suficientes de convergencia de series conmiembros positivos, como son el criterio de D’Alembert, segun el cual la serie (3.5) converge sia partir de cierto numero N > 0 se cumple que

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ ≤ l < 1

Series de funciones analıticas 87

para toda n ≥ N , o el criterio de la raız enesima de Cauchy, segun el cual la serie (3.5) convergesi a partir de cierta N > 0 se cumple que

n√|zn| ≤ q < 1

para toda n ≥ N .

3.1.2 Series funcionales

Supongamos en el dominio D una sucesion de funciones univaluadas de variable compleja{fn(z)} definidas en dicho dominio D. A la expresion del tipo:

S(z) =∞∑n=1

fn(z) (3.6)

se le llama serie funcional. Es evidente que, si fijamos un punto z0 ∈ D, la serie (3.6) setransforma en una serie numerica. Si la serie (3.6) converge en cada punto de D, entonces sedice que ella es convergente en todo el dominio.

Analicemos la suma parcial de la serie funcional (3.6):

SN(z) =N∑n=1

fn(z) (3.7)

Si para N → ∞ la sucesion {SN(z)} de sumas parciales converge, entonces la serie (3.6) esconvergente. El lımite de la sucesion de sumas parciales (3.7) recibe el nombre de suma de laserie (3.6).

En virtud de la definicion dada la suma de la serie funcional S(z) es una funcion univaluada enel dominio D. Basandonos en la definicion de convergencia de las series numericas ya conocidapodemos decir, pues, que la serie (3.6) es convergente en el punto prefijado z ∈ D si, paracualquier ε > 0 puede hallarse un numero K > 0, en general dependiente de ε y del punto zdonde se analiza la convergencia, tal que para todo N ≥ K(ε, z) se cumple que

∣∣∣∣∣S(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε (3.8)

Destacamos que en esta definicion el numero K depende en general de ε y del punto z dondese analiza la convergencia. Por esa causa, la convergencia definida se conoce con el nombre deconvergencia puntual.


Al igual que para las funciones de variable real, en la teorıa de series de funciones de variablecompleja juega un papel fundamental el concepto de convergencia uniforme. Por ejemplo, decualquier curso de Analisis Matematico se sabe que una serie convergente puntualmente (segunla definicion (3.8)) de funciones continuas no siempre tiene como suma una funcion continua;sin embargo, una serie convergente uniformemente de funciones continuas siempre tiene comosuma una funcion continua.

Las series convergentes uniformemente de funciones de variable compleja gozan de un conjuntode propiedades importantes a cuyo estudio nos dedicaremos de inmediato.

Si para cualquier numero ε > 0 puede hallarse un numero K(ε) > 0 tal que para toda N ≥ K(ε)la desigualdad (3.8) se cumple a la vez para todo punto z ∈ D, entonces la serie (3.6) se llamaconvergente uniformemente en el dominio D .

Observese que el numero K que se logra encontrar depende solamente del numero ε y es elmismo para todo z ∈ D y, por lo tanto, comun para todo z ∈ D.

Tiene lugar el Criterio de Cauchy:

Teorema 20

Para que la serie (3.6) converja uniformemente en el dominio D es necesario y suficiente quepara cualquier ε > 0 se pueda hallar un numero K(ε) > 0 tal que para todos los numerosN ≥ K y M ≥ K se cumpla que

∣∣∣∣∣M∑n=N

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε (3.9)

Demostracion:

Necesidad:

En virtud de la convergencia uniforme de la serie (3.6) se cumple que para todo ε > 0 puedehallarse un numero K(ε) > 0 tal que en todos los puntos z del dominio D tienen lugar ladesigualdades

∣∣∣∣∣S(z)−M∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε

2;

∣∣∣∣∣S(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε

2(3.10)

siempre que N ≥ K(ε) y M ≥ K(ε). De (3.10) se deduce (3.9).

Suficiencia:

De la expresion (3.9) y por el criterio de Cauchy para las sucesiones de numeros complejos,estudiado en el capıtulo 2, se deduce que para cualquier z ∈ D fija la sucesion {SN(z)} esconvergente. Por consiguiente, al cumplirse (3.9), la serie (3.6) converge en el dominio D acierta funcion.


S(z) = limM→∞

SM(z)

pero, de (3.9)

limM→∞

∣∣∣∣∣M∑n=N

fn(z)

∣∣∣∣∣ = limM→∞

∣∣∣∣∣M∑n=1

fn(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ =

= limM→∞

∣∣∣∣∣SM(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣S(z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε

para toda N ≥ K(ε) en todos los puntos z ∈ D a la vez, lo que demuestra la convergenciauniforme de la serie (3.6) en el dominio D.


En la aplicacion practica tiene lugar el siguiente criterio suficiente de convergencia uniforme,conocido con el nombre de Criterio de Weierstrass:

Teorema 21

Si en todo el dominio D los miembros de la serie funcional (3.6) pueden ser mayorados pormiembros de una serie numerica convergente absolutamente, entonces la serie (3.6) convergeuniformemente en el dominio D.

Demostracion:

Por hipotesis se cumple uniformemente para toda z ∈ D la siguiente relacion:

|fn(z)| ≤ |zn| (3.11)

Como la serie

∞∑n=1

|zn|

por hipotesis converge, para todo ε > 0 puede hallarse una N > 0 tal que

∞∑n=k+1

|zn| < ε

para toda k ≥ N .


Pero, en virtud de (3.11) en el dominio D tiene lugar la desigualdad

∣∣∣∣∣∞∑

n=k+1

fn(z)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=k+1

|fn(z)| ≤∞∑

n=k+1

|zn| < ε

para k ≥ N , lo que demuestra la convergencia uniforme de la serie (3.6) en el dominio D.


3.2 Propiedades de las series convergentes

uniformemente

Veamos las propiedades fundamentales de las series convergentes uniformemente

Teorema 22

Si las funciones fn(z) son continuas en el dominio D y la serie

∞∑n=1

fn(z)

converge uniformemente a la funcion F (z), entonces F (z) es tambien continua en D.

Demostracion:

Analicemos la expresion |F (z+∆z)−F (z)|, donde los puntos z y z+∆z pertenecen al dominioD.

En virtud de la convergencia uniforme de la serie

∞∑n=1

fn(z)

para cualquier ε > 0 puede hallarse una N(ε) > 0 tal que se cumplen a la vez las relaciones

|F (z + ∆z)−N∑n=1

fn(z + ∆z)| < ε

3; |F (z)−

N∑n=1

fn(z)| <ε

3(3.12)

para cualesquiera puntos z y z + ∆z contenidos en el dominio D.


Por otro lado, en virtud de la continuidad de las funciones fn(z), para cualquier punto z ∈ D,para el numero ε > 0 escogido y el numero N hallado, puede encontrarse una δ > 0 tal que

∣∣∣∣∣N∑n=1

fn(z + ∆z)−N∑n=1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε

3(3.13)

siempre que |∆z| < δ. De (3.12) y (3.13) y en virtud de que el modulo de la suma no es mayorque la suma de los modulos, concluimos que para el ε > 0 puede hallarse una δ > 0 tal que si|∆z| < δ se cumple que

|F (z + ∆z)− F (z)| < ε


Teorema 23

Si la serie (3.6) de funciones continuas fn(z) converge uniformemente en el dominio D a lafuncion F (z), entonces la integral de esta funcion por cualquier curva seccionalmente continuaC contenida totalmente en D puede hallarse integrando termino a termino la serie (3.6); esdecir:

∫C

F (z)dz =∞∑n=1

∫C

fn(z)dz (3.14)

Demostracion:

Puesto que la serie (3.6) converge uniformemente para todos los puntos z ∈ D, para cualquierε > 0 se puede hallar un numero K(ε) > 0 tal que se cumple

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε

L(3.15)

para N ≥ K, donde L es la longitud de la curva C.

Entonces

∣∣∣∣∣∫C

F (z)dz −N∑n=1

∫C

fn(z)dz

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫C

∞∑n=N+1

fn(z)dz

∣∣∣∣∣ ≤∫C

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(z)

∣∣∣∣∣ |dz| < ε



Las propiedades de las series de funciones de variable compleja convergentes uniformementeexpresadas por los teoremas 22 y 23 son analogas a las propiedades de las series convergentesuniformemente de funciones continuas de variable real.

Veremos ahora una propiedad fundamental de las series convergentes uniformemente cuyosterminos son funciones analıticas.

Teorema 24 (Primer teorema de Weierstrass)

Sean las funciones fn(z) analıticas en el dominio D y sea la serie

F (z) =∞∑n=1

fn(z)

convergente uniformemente en cualquier subdominio cerrado D1 del dominio D. Entonces:

1. La suma de la serie F (z) es una funcion analıtica en el dominio D.

2. La serie puede ser derivada termino a termino:

F ′(z) =∞∑n=1

f ′n(z)

3. La serie formada por las derivadas de fn(z) converge uniformemente en cualquier subdo-minio cerrado del dominio D.

Demostracion:

1. Por hipotesis la serie

F (z) =∞∑n=1

fn(z)

converge uniformemente y fn(z) son analıticas en D. Entonces, tomando un contorno Carbitrario que rodee al punto z (Fig. 3.1), tendremos que

F (z) =∞∑n=1

fn(z) =∞∑n=1

1

2πi

∫C

fn(ζ)dζ

ζ − z=

=1

2πi

∫C

∑∞n=1 fn(ζ)dζ

ζ − z=

1

2πi

∫C

F (ζ)dζ

ζ − z(3.16)

En los calculos arriba hemos tenido en cuenta el hecho de que como la serie convergeuniformemente, se pueden intercambiar los signos de integracion y de sumatoria, ya que


Figura 3.1: Para la demostracion del primer teorema de Weierstrass

por ser convergente uniformemente la serie, se puede integrar termino a termino. Laexpresion (3.16) significa que, efectivamente, F (z) es analıtica dentro del contorno Cy, como C es arbitrario, es analıtica en el dominio D. Esto, ademas implica que enel dominio D existe la derivada F ′(z), ya que F (z) es analıtica. Demostremos que esaderivada puede ser obtenida derivando termino a termino la serie; es decir, demostremosla segunda afirmacion del teorema:

2. Como F (z) es analıtica en D y como la serie converge uniformemente en D, por lo que sepueden intercambiar la integracion con la sumatoria, tendremos, en virtud de la formulageneralizada de Cauchy para el contorno C tomado anteriormente, que

F ′(z) =1

2πi

∫C

F (ζ)dζ

(ζ − z)2=

1

2πi

∫C

∑∞n=1 fn(ζ)dζ

(ζ − z)2=

=∞∑n=1

1

2πi

∫C

fn(ζ)dζ

(ζ − z)2=

∞∑n=1

f ′n(z) (3.17)

Lo que demuestra la segunda afirmacion.


3. Demostremos que la serie de las derivadas converge uniformemente. Tomemos un subdo-minio cerrado arbitrario D1 y envolvamoslo con un contorno arbitrario C contenido en D(Fig. 3.2).

Figura 3.2: Para la demostracion del primer teorema de Weierstrass

Denotemos por d a la distancia menor que hay entre el contorno C y la frontera deldominio D1 y l a la longitud del contorno C. Analicemos la siguiente suma finita determinos de la serie de las derivadas:

∣∣∣∣∣m∑n=k

f ′n(z)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣m∑n=k

1

2πi

∫C

fn(ζ)dζ

(ζ − z)2

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

2πi

∫C

∑mn=k fn(ζ)dζ

(ζ − z)2

∣∣∣∣ ≤≤ 1

2π

∫C

|∑m

n=k fn(ζ)| |dζ||ζ − z|2

≤ 1

2πmax

∣∣∣∣∣m∑n=k

fn(ζ)

∣∣∣∣∣∫C

|dζ||ζ − z|2

≤

≤ max

∣∣∣∣∣m∑n=k

fn(ζ)

∣∣∣∣∣ l

2πd2(3.18)

El intercambio entre las integrales y la sumatoria es valido por el simple hecho de queaquı estamos trabajando con sumas finitas. Como por hipotesis del teorema la serie


∞∑n=1

fn(ζ)

converge uniformemente, para esta serie se cumple el criterio de Cauchy, es decir, paraun numero ε > 0 escogido a priori arbitrariamente, siempre se puede hallar un numeroN(ε) > 0 tal que k > N y m > N implican que

∣∣∣∣∣m∑n=k

fn(ζ)

∣∣∣∣∣ < ε (3.19)

Sustituyendo (3.19) en (3.18) obtenemos

∣∣∣∣∣m∑n=k

f ′n(z)

∣∣∣∣∣ < εl

2πd2(3.20)

es decir, que la serie cumple el criterio de Cauchy por lo que converge uniformemente.


Corolario

Si la serie de funciones analıticas en el dominio D converge uniformemente en cualquier sub-dominio cerrado del dominio D, entonces podemos derivarla termino a termino cuantas vecesqueramos.

La demostracion de este corolario es evidente a partir del hecho de que la derivada de unafuncion analıtica es analıtica.

Es necesario destacar que la demostracion efectuada del punto 3 del teorema 24 nos permitesolamente garantizar la convergencia uniforme de la serie formada por las derivadas en cualquiersubdominio cerrado D1 del dominio D, inclusive cuando la serie

∞∑k=1

fk(ζ)

converja uniformemente en todo el dominio cerrado D. Esto se debe a que en la expresion(3.20) se puede garantizar que el miembro derecho es pequeno solo si d es distinto de cero, loque significa que, efectivamente, el dominio D1 es un subdominio de D y no puede coincidircon el, ya que de hacerlo, d → 0 y pese a la pequenez de ε, la parte derecha en (3.20) sehace inmensamente grande, no pudiendose, por tanto, garantizar el cumplimiento del criteriode Cauchy.

Por ejemplo, la serie


∞∑n=1

zn

n2

converge uniformemente en el cırculo cerrado |z| ≤ 1, mientras que derivando termino a terminola serie derivada

∞∑n=1

zn−1

n

no converge en todo ese cırculo, sino solo en un subdominio cualquiera de este, ya que paraz = 1 la serie que se obtiene es la serie armonica que, como se sabe, diverge.

Por lo tanto, la tercera parte del teorema 24 no puede ser generalizada a todo el dominio.

En la demostracion del teorema 24 supusimos la convergencia uniforme de la serie en cualquiersubdominio cerrado D1 del dominio de analiticidad. El teorema, con mayor razon, tendravalidez tambien en el caso en que nuestra serie converja uniformemente en todo el dominiocerrado D.

Como sera demostrado en el siguiente teorema, esta ultima condicion puede ser sustituida porla convergencia uniforme de la serie en la frontera Γ del dominio D.

Teorema 25 (Segundo teorema de Weierstrass)

Si las funciones fn(z) son analıticas en el dominio D y continuas en D = D ∪ Γ y si laserie converge uniformemente en la frontera Γ del dominio D, entonces dicha serie convergeuniformemente en todo el dominio D.

Demostracion:

Analicemos en D la suma

m∑n=k

fn(z)

y tomemos el maximo del modulo. Como es una suma finita de funciones analıticas, seratambien una funcion analıtica. Por consiguiente, podemos utilizar el principio del maximo delmodulo y escribir

max

∣∣∣∣∣m∑n=k

fn(z)

∣∣∣∣∣D

= max

∣∣∣∣∣m∑n=k

fn(z)

∣∣∣∣∣Γ

< ε (3.21)

La desigualdad en (3.21) se cumple para toda k ≥ N y m ≥ N gracias al criterio de Cauchypara las series de funciones analıticas, ya que por hipotesis la serie converge uniformemente en


la frontera Γ.


Este teorema tiene importancia practica, ya que en general es mas facil trabajar con las ecuacio-nes de las curvas que constituyen la frontera del dominio, que con las inecuaciones que describenlos dominios, por lo que haciendo un analisis de la convergencia sobre la frontera del dominiose puede determinar la convergencia de la serie en el dominio.

3.3 Series de potencias

3.3.1 Propiedades de las series de potencias

En los epıgrafes anteriores fueron analizadas las series funcionales del tipo (3.6). En ellas no seespecificaba la forma de las funciones fn(z). Un caso particular de extraordinaria importanciase presenta en las funciones fn(z) = an(z−z0)

n, donde los coeficientes an son en general numeroscomplejos arbitrarios y z0 es un punto fijo del plano complejo.

Ası se forman las llamadas series de potencias:

∞∑n=0

an(z − z0)n (3.22)

que comenzaremos a estudiar de inmediato.

Inicialmente se observa que los miembros de la serie (3.22) son funciones analıticas en todo elplano complejo; es decir, enteras. Por lo tanto, para dicha serie son validos todos los teoremasestudiados en los dos epıgrafes anteriores.

Sin embargo, es necesario establecer con mayor precision cuales son las propiedades de este tipode serie. Para conocer con exactitud el comportamiento de las series del tipo (3.22) debemostratar de averiguar tres cuestiones fundamentales:

1. ¿Que podemos decir sobre el dominio de convergencia de esta serie?

2. ¿Que podemos decir sobre el caracter de dicha convergencia?

3. ¿Que podemos decir sobre las propiedades de dicha convergencia?

Para responder a estas tres preguntas formuladas y conocer, por lo tanto, las caracterısticas delas series de potencias, viene en nuestra ayuda un teorema fundamental:

Teorema 26 (Teorema de Abel)


Si la serie de potencias (3.22) converge en el punto z1, entonces dicha serie converge absolu-tamente en cualquier punto z tal que |z − z0| < |z1 − z0| y converge uniformemente para lospuntos z tales que |z − z0| < ρ|z1 − z0|, donde 0 < ρ < 1.

Si la serie (3.22) diverge en el punto z2, entonces diverge tambien en todos los puntos z quecumplan que |z − z0| > |z2 − z0|.

Demostracion:

Por hipotesis la serie (3.22) converge en el punto z1. Tenemos que demostrar su convergenciaen cualquier punto contenido en el cırculo con centro en z0 y radio |z1 − z0| (Fig. 3.3).

Figura 3.3: Para la demostracion del teorema de Abel

Tenemos que

|an(z − z0)n| =

∣∣∣∣an(z1 − z0)n

(z − z0

z1 − z0

)n∣∣∣∣ (3.23)

Como por hipotesis la serie converge en el punto z1, los numeros an(z1 − z0)n tienden a cero


cuando n → ∞, ya que esa es una condicion necesaria de convergencia. Ello implica que lasucesion {an(z1 − z0)

n} es acotada lo que nos permite escribir:

|an(z1 − z0)n| < M (3.24)

Ası pues, de (3.23) y (3.24) obtenemos que

|an(z − z0)n| < Mqn(z) (3.25)

donde

q(z) =

∣∣∣∣ z − z0

z1 − z0

∣∣∣∣y q(z) < 1 por hipotesis del teorema.

Es decir, hemos hallado un mayorante funcional de los miembros de nuestra serie y como dichomayorante converge absolutamente, por el criterio de comparacion podemos afirmar que nuestraserie converge absolutamente en cada punto z que este en el interior del cırculo de radio |z1−z0|.

Ahora bien, si

|z − z0| < ρ|z1 − z0|

entonces

q(z) < ρ < 1

y por consiguiente

|an(z − z0)n| < Mρn (3.26)

Es decir, en este caso el mayorante de nuestra serie es numerico, por lo que, por el criterio deWeierstrass, nuestra serie converge uniformemente.

Demostremos ahora la tercera afirmacion del teorema. Por hipotesis, la serie (3.22) diverge enel punto z2 y queremos demostrar que diverge en todos los puntos tales que |z− z0| > |z2− z0|.

Supongamos lo contrario, es decir, que la serie converge en el punto z. Como |z2−z0| < |z−z0|,en virtud de lo demostrado en las dos primeras partes del teorema, la serie debe convergir enel punto z2, lo que contradice la hipotesis de que en z2 diverge. Por lo tanto, la serie tiene queser divergente en z.



Una vez demostrado el teorema de Abel podemos hacer el siguiente analisis: veamos la serie(3.22) y tracemos un rayo que parta del punto z0 hacia el infinito (Fig. 3.4).

Figura 3.4: Para la demostracion del teorema de Abel

Evidentemente, en el punto z0 la serie converge, ya que todos los sumandos son iguales a cero,excepto el termino a0 que, en general, no es cero, pero es acotado.

Para los puntos z 6= z0 son posibles las siguientes alternativas:

1. Que en ningun punto del rayo, exceptuando el punto z0, la serie converja.

En ese caso la serie es divergente en todo el plano complejo excepto el punto z0. Porejemplo, la serie

∞∑n=0

n!zn

diverge en todo el plano complejo excepto en el punto z0 = 0, lo que puede verificarseusando el criterio de D’Alembert.


2. Que la serie converja en todos los puntos del rayo.

Entonces la serie sera convergente en todo el plano complejo. Por ejemplo la serie

∞∑n=0

1

n!zn

3. Que en el rayo existan dos tipos de puntos: unos donde la serie converja y otros dondediverja.

Entonces el teorema de Abel nos garantiza que todos los puntos de convergencia se en-cuentran rigurosamente separados de los puntos de divergencia.

Llamemos

R = supdonde converge

|z − z0| = infdonde diverge

|z − z0| (3.27)

Entonces queda definido un cırculo con centro en el punto z0 y radio R (Fig. 3.5) que recibe elnombre de cırculo de convergencia de dicha serie.

c En todos los puntos interiores del cırculo de convergencia la serie de potencias (3.22) esconvergente y es divergente fuera de dicho cırculo. En la circunferencia frontera del cırculo deconvergencia existen puntos de convergencia y puntos de divergencia de la serie por la propiadefinicion de radio de convergencia. En cualquier subdominio circular cerrado centrado en z0

del cırculo de convergencia la serie (3.22) converge uniformemente.

En virtud del teorema 24 de este capıtulo podemos afirmar que dentro del cırculo de convergen-cia la serie (3.22) converge a una funcion analıtica f(z), ya que las funciones fn(z) = an(z−z0)

n,como vimos, son analıticas en todo el plano complejo. Ademas, en virtud de la teorıa desarrolla-da en el epıgrafe 2 de este capıtulo, podemos asegurar que dentro del cırculo de convergencia laserie (3.22) puede ser derivada e integrada cuantas veces se desee y que el radio de convergenciade las series obtenidas es igual al radio de convergencia de la serie inicial.

Puede comprobarse que los coeficientes an de la serie (3.22) vienen expresados a traves de losvalores de la funcion suma de la serie y de sus derivadas evaluados en el centro del cırculo deconvergencia, por la formula

an =f (n)(z0)

n!(3.28)

donde f(z) =∑∞

n=0 an(z − z0)n es la suma de la serie.

Efectivamente, haciendo z = z0 en la expresion de la suma de la serie obtenemos f(z0) = a0;derivando una vez miembro a miembro obtenemos que


f ′(z) =∞∑n=1

ann(z − z0)n−1

de donde, evaluando para z = z0, nos queda f ′(z0) = a1. Analogamente, para la expresion dela derivada de orden k:

f (k)(z) =∞∑n=k

ann(n− 1)...(n− k + 1)(z − z0)n−k

Evaluando para z = z0 obtenemos:

f (k)(z0) = akk!

El radio de convergencia R de una serie de potencias, definido mediante la relacion (3.27), puedeexpresarse en funcion de los coeficientes del desarrollo por la formula de Cauchy-Hadamard:

1

R= ¯lim

n→∞n√|an| (3.29)

donde la parte derecha representa el lımite superior de la sucesion { n√|an|}, es decir, el punto

lımite mayor de esa sucesion.

Demostremos la formula (3.29). Sea l = 1R. Tenemos que demostrar que en cualquier punto

z = z1 que cumpla la relacion |z1 − z0| < 1l

la serie converge y que en cualquier punto z = z2

que satisfaga la condicion |z2 − z0| > 1l

diverge.

Como l es el lımite superior de la sucesion { n√|an|}, para cualquier ε > 0 puede encontrarse un

numero N > 0 tal que para todo k ≥ N se cumple que

k√|ak| < l + ε

Por otro lado, para ese mismo ε existe un numero infinito de miembros de la sucesion { n√|an|}

mayores que l− ε. Tomemos un punto arbitrario z = z1 que satisfaga la relacion l|z1 − z0| < 1y escojamos por ε al numero

1− l|z1 − z0|2l|z1 − z0|

> 0

Entonces

n√|an||z1 − z0| < (l + ε)|z1 − z0| =

1 + l|z1 − z0|2

= q < 1


Esto significa que la serie

∞∑n=0

an(z1 − z0)n

esta mayorada por la progresion geometrica∑∞

n=0 qn convergente, pues q < 1. Ası pues, queda

demostrada la convergencia en el punto z1.

Tomando ahora un punto z = z2 que satisfaga la relacion l|z2 − z0| > 1 y escogiendo por ε al

numero l|z2−z0|−12

> 0 obtenemos que

n√|an||z2 − z0| > (l − ε)|z2 − z0| = 1

para el conjunto infinito de valores de n.

De aquı

|an(z2 − z0)n| > 1

lo que en virtud del criterio necesario de convergencia significa que nuestra serie de potencias

∞∑n=0

an(z2 − z0)n

diverge.

Ası pues, queda demostrada la validez de la formula (3.29) para el radio de convergencia.

Por ejemplo, la serie

∞∑n=0

(z − z0)n

cuyos coeficientes an son todos iguales a 1, tiene como radio de convergencia la expresion

R =1

l

donde

l = limn→∞

n√|an| = lim

n→∞n√

1 = 1


Es decir, R = 1, o sea, que nuestra serie converge en el cırculo |z − z0| < 1 a cierta funcionanalıtica. Para hallar dicha funcion utilicemos la definicion de suma como lımite de sumasparciales:

f(z) = limn→∞

Sn(z) = limn→∞

1− (z − z0)n

1− (z − z0)=

1

1− (z − z0)(3.30)

En la expresion (3.30) hemos utilizado el hecho de que en el dominio de los numeros complejoses valida la formula de la suma de la progresion geometrica con un numero finito de miembros yque es posible hacer el paso al lımite cuando el numero de miembros en la progresion geometricacrece indefinidamente.

Resumamos todo este analisis efectuado contestando a las tres preguntas que nos habıamosformulado al inicio del epıgrafe:

1. El dominio de convergencia de la serie de potencias es un cırculo de radio R dado por laformula (3.29); R puede tener cualquier magnitud, es decir, 0 ≤ R ≤ ∞.

2. En dicho dominio la convergencia es absoluta en todo el cırculo y uniforme en cualquiersubdominio circular cerrado de dicho cırculo.

3. Las propiedades de dicha convergencia son:

(a) La suma de la serie es una funcion analıtica en el cırculo de convergencia.

(b) La serie puede ser derivada e integrada termino a termino cuantas veces se desee.El radio de convergencia de las nuevas series ası obtenidas sera el mismo radio deconvergencia de la serie inicial.

3.3.2 Desarrollo de una funcion analıtica en serie de potencias

Hemos visto que una serie de potencias en su cırculo de convergencia define a una funcionanalıtica en dicho cırculo. Es logico plantearnos el problema recıproco: Dada una funcionanalıtica en un cırculo, ¿es posible ponerle en correspondencia una serie de potencias conver-gente uniformemente a ella en dicho cırculo? Esta pregunta en la teorıa de funciones de variablereal tiene respuesta negativa. Sin embargo, en la teorıa de funciones de variable compleja larespuesta es afirmativa y la da el siguiente teorema:

Teorema 27 (Teorema de Taylor)

Si la funcion f(z) es analıtica dentro de un cırculo con centro en el punto z0, entonces ellapuede ser desarrollada dentro de dicho cırculo en una serie de potencias de (z− z0) convergenteabsoluta y uniformemente a ella en dicho cırculo y ese desarrollo es unico.

Demostracion:


Tenemos un cırculo con centro en el punto z0, donde la funcion f(z) es analıtica. Escojamosun punto z de dicho cırculo y tracemos una circunferencia C, de radio mayor que |z − z0| ycentrada en el punto z0, que este contenida en el cırculo de analiticidad en cuestion (Fig. 3.6).

Figura 3.5: Para la demostracion del teorema de Taylor

Como la funcion f(z) es analıtica, podemos usar la formula integral de Cauchy y escribir

f(z) =1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

ζ − z(3.31)

Transformemos la expresion bajo la integral en la formula (3.31); tenemos

1

ζ − z=

1

ζ − z0

· 1

1− z−z0ζ−z0

=1

ζ − z0

∞∑n=0

(z − z0

ζ − z0

)n=

∞∑n=0

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1(3.32)

En la expresion anterior hemos utilizado la formula (3.30) teniendo en cuenta que


∣∣∣∣z − z0

ζ − z0

∣∣∣∣ < 1

Para todo ζ ∈ C la serie (3.32) converge uniformemente con respecto a ζ, pues si llamamos ral radio de la circunferencia C vemos que esta serie esta mayorada por la serie numerica

∞∑n=0

|z − z0|n

rn+1

que converge, pues |z − z0| < r.

Sustituyendo (3.32) en (3.31) e integrando termino a termino, lo que puede hacerse por laconvergencia uniforme de la serie y el Teorema 23, obtenemos

f(z) =1

2πi

∫C

∞∑n=0

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1f(ζ)dζ =

∞∑n=0

(z − z0)n · 1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1(3.33)

Como el punto z es escogido de manera arbitraria dentro del cırculo de analiticidad, hemosobtenido que la funcion f(z) se desarrolla en la serie de potencias

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (3.34)

convergente, por construccion, uniformemente en el interior del cırculo de analiticidad de lafuncion, donde los coeficientes del desarrollo son numeros que vienen dados por la expresion

an =1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1≡ 1

n!f (n)(z0) (3.35)

La igualdad del extremo derecho en la expresion (3.35) tiene lugar porque la funcion f(z) espor hipotesis analıtica en el entorno del punto z0 y por la formula generalizada de Cauchy parala derivada de una funcion analıtica. Esa derivada, por ser f(z) analıtica, es unica, por lo quelos coeficientes son unicos y, por tanto, el desarrollo es unico.


La serie (3.34) de coeficientes (3.35) se conoce con el nombre de Serie de Taylor y al desarrolloefectuado de la funcion f(z) analıtica en el cırculo con centro en z0 se llama desarrollo deTaylor.

Hagamos las siguientes observaciones:


1. Para cada punto z arbitrariamente escogido en el interior del cırculo de analiticidad def(z) es posible escoger una circunferencia C como la que usamos en la demostracion delteorema; por lo tanto se justifica la convergencia uniforme de la serie en todo el cırculoen cuestion.

2. En virtud del Teorema de Cauchy, el contorno circular de integracion C en la formula(3.35) puede ser sustituido por cualquier contorno arbitrario que envuelva al punto z0 yque este contenido en el cırculo de analiticidad.

3. Anteriormente habıamos llamado funcion entera a aquella funcion que era analıtica entodo el plano. Por el teorema 27 podemos dar una definicion equivalente y decir que unafuncion entera es aquella que puede ser desarrollada en una serie de potencias de radiode convergencia infinito.

4. Si el radio de convergencia de la serie es finito, la funcion se denomina holomorfa.

Apoyandonos en la teorıa de funciones de variable compleja podemos contestar cuestiones sobrelas funciones de variable real que en la teorıa de funciones de variable real no podıan recibirrespuesta satisfactoria. Por ejemplo, supongamos que tenemos la funcion de variable real

f(x) =1

1 + x2

cuyo grafico viene dado por la figura 3.6.

Esta funcion puede ser derivada cuantas veces se quiera y es continua junto con sus derivadas decualquier orden; es decir, es un analogo de funcion analıtica. Si desarrollamos esta funcion enserie de Taylor en la variable real con centro en x0 = 0 y buscamos el intervalo de convergenciade dicha serie, obtenemos que, a pesar de ser una funcion continua y derivable en todo el eje real,la serie de potencias de esta funcion converge a ella solamente en el intervalo −1 < x < 1; fuerade dicho intervalo la serie diverge. Sin embargo, para una funcion similar en sus propiedades(Fig. 3.7):

F (x) = e−x2

que es tambien continua y derivable con derivada continua de cualquier orden en todo el ejereal, su serie de potencias de Taylor con centro en x0 = 0 es convergente en todo el eje real. Sinos preguntamos por que ocurre que dos funciones que desde el punto de vista de sus propie-dades diferenciales son muy similares tienen desarrollos en series de potencias convergentes enintervalos tan diferentes, veremos que en la teorıa de funciones de una variable real no existeningun elemento que permita responder a tal pregunta.

De lo anteriormente dicho vemos una diferencia fundamental entre la teorıa de funciones devariable compleja y la teorıa de funciones de variable real: el teorema de Taylor para las fun-ciones de variable compleja establece una correspondencia biunıvoca entre la funcion analıticaen el entorno de un punto y su serie de potencias con centro en dicho punto. Esto significa que


Figura 3.6: Funcion f(x) = 11+x2

existe una equivalencia entre la analiticidad de una funcion, como funcion derivable un numeroinfinito de veces en el entorno de un punto del plano complejo y la posibilidad de que dichafuncion pueda ser desarrollada en una serie de potencias convergente absoluta y uniformementea ella en dicho entorno.

Inclusive, historicamente, al estudiar la derivacion respecto a un argumento complejo D’Alem-bert, Bernoulli, Euler y otros matematicos llamaron meromorfas a las funciones que tenıanderivada respecto a z. Cauchy por su parte, denomino analıtica a la funcion que podıa ex-presarse de manera analıtica como una suma de potencias. Posteriormente se vio que ambosconceptos eran equivalentes: allı donde la funcion es meromorfa (derivable) es analıtica (de-sarrollable en serie de potencias) y viceversa, allı donde la funcion es analıtica (desarrollableen serie de potencias) es meromorfa (derivable). En lo adelante por tanto se usara el terminofuncion analıtica para ambas por la equivalencia de ambas concepciones.

Del analisis hecho con las funciones de variable real f(x) = 11+x2 y F (x) = e−x

2se ve que esa

equivalencia no tiene lugar para las funciones de variable real: la funcion puede ser derivableen un dominio y su serie convergente en otro dominio distinto del primero. La incognita de porque las funciones f(x) y F (x) de propiedades y caracterısticas diferenciales tan similares tienen


Figura 3.7: Funcion F (x) = e−x2

desarrollos en series de potencias convergentes en intervalos tan disımiles no tiene contestacionalguna en la teorıa de funciones de variable real; sin embargo, con la ayuda de la teorıa defunciones de variable compleja puede recibir una respuesta satisfactoria.

En lugar de la funcion f(x) veamos la funcion de variable compleja

f(z) =1

1 + z2

Es evidente que, con centro en z0 = 0, su cırculo de analiticidad es |z| < 1, ya que en los puntosz = +i, z = −i esta funcion deja de ser analıtica. Por consiguiente, su desarrollo en serie deTaylor centrado en z0 = 0 puede ser efectuado solamente dentro de dicho cırculo con radio deconvergencia R = 1. De aquı que su caso particular, cuando

z = x+ iy = x (y = 0)

tendra el mismo radio de convergencia, es decir, la serie sera convergente en el intervalo (−1, 1)


del eje real.

Por el contrario, aunque aun no hemos visto que es ni como se comporta la funcion de variablecompleja

F (z) = e−z2

mas adelante veremos que es analıtica en todo el plano complejo (entera), por lo que el radiode convergencia de su serie sera R = ∞. Por lo tanto, su caso particular para z = x sera unaserie convergente para todo x real.

En general, si la funcion f(z) es analıtica en cierto dominio D y z0 es un punto interno de estedominio, entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de esta funcion con centro enz0 no es menor que la distancia entre el punto z0 y la frontera del dominio D.

Esto ultimo podemos observarlo en el ejemplo expuesto arriba. La funcion

f(z) =1

1 + z2

puede ser desarrollada en serie con centro en z0 = 0:

∞∑n=0

anzn ≡

∞∑n=0

z2n

con radio de convergencia R = 1.

De la misma manera podemos decir que esta funcion puede ser desarrollada en serie con centroen z0 = i

2:

∞∑n=0

an

(z − i

2

)n

con radio de convergencia R = 12, ya que con centro en i

2siempre podemos hallar un cırculo

dentro del que se cumplan los requisitos del teorema de Taylor y cuyo radio maximo posible es12. Se deja al lector hallar los coeficientes de este desarrollo a modo de ejercicio.

Sin embargo, la funcion

f(z) =1

1 + z2

no puede ser desarrollada en serie de Taylor con centro en el punto z0 = i:


∞∑n=0

an(z − i)n

pues es imposible hallar un cırculo centrado en z0 = i dentro del que la funcion sea analıtica,ya que en el mismo centro de ese cırculo deja de serlo.

En la teorıa de funciones de variable compleja esta situacion no debe inquietarnos; aunque enla teorıa de funciones de variable real ello pudiera ser un obstaculo insalvable, en la teorıa defunciones de variable compleja existen otras series mas generales en las que pueden desarrollarselas funciones de variable compleja y que pasaremos a estudiar de inmediato.

3.4 Series de Laurent

3.4.1 Propiedades de las series de Laurent

Llamaremos serie de Laurent a la serie de potencia del tipo

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n (3.36)

Para un punto z0 fijo del plano complejo y los coeficientes an dados, debemos investigar cuales el dominio de convergencia de la serie (3.36), como es el caracter de dicha convergencia ycuales son las propiedades de la funcion suma de la serie (3.36) en el dominio de convergencia.

Con el fin de investigar estas cuestiones escribamos la serie de Laurent (3.36) en la formasiguiente:

f(z) =−1∑

n=−∞

an(z − z0)n +

∞∑n=0

an(z − z0)n (3.37)

El primer sumando en la expresion (3.37) recibe el nombre de parte principal de la seriede Laurent, en tanto que el segundo sumando se denomina parte regular de dicha serie. Elpor que reciben estos nombres se comprendera mas adelante; ahora trataremos de analizar elcomportamiento y las propiedades de nuestra serie.

La parte regular de la serie de Laurent, como se ve, es una serie de potencias positivas del tipode las estudiadas por nosotros en el epıgrafe anterior, por lo que se puede asegurar de inmediato,en virtud de la teorıa allı desarrollada que esta parte regular tiene un radio de convergenciaR que define un cırculo dentro del cual la serie converge uniformemente y su suma es dentrode dicho cırculo una funcion analıtica y se puede integrar y derivar termino a termino cuantas


veces se desee. Precisamente por eso es que esta parte se llama parte regular de la serie: susuma es una funcion analıtica en el entorno del punto z0.

Para analizar la parte principal de la serie (3.36) hagamos el siguiente cambio de ındice desumatoria: n = −m. Entonces para la parte principal tendremos

−1∑n=−∞

an(z − z0)n =

∞∑m=1

a−m(z − z0)−m =

∞∑m=1

a−m1

(z − z0)m=

∞∑m=1

a−mζm (3.38)

donde

ζ =1

z − z0

Esto no es mas que una serie de potencias del tipo de las estudiadas en el epıgrafe 4.3 conrespecto a la variable ζ. Por eso, podemos asegurar que la expresion (3.38) sera convergente enel interior de un cırculo con centro en ζ = 0 y radio R1, es decir, sera convergente en el interiordel cırculo |ζ| < R1.

Volviendo a la variable inicial, obtenemos que

1

|z − z0|< R1

es decir,

|z − z0| >1

R1

≡ r

donde r = 1R1

.

Es decir, que la parte principal de la serie de Laurent (3.36) resulta convergente para valoresde z fuera del cırculo de radio r y centro en z0.

Ası pues, la parte regular de la serie de Laurent converge dentro del cırculo con radio R yla parte principal converge fuera del cırculo con radio r; ambos cırculos son concentricos, concentro en el punto z0.

Por consiguiente, la serie completa, es decir, la serie de Laurent, sera convergente en el dominioformado por la interseccion de ambos dominios de convergencia: el interior del cırculo de radioR, |z − z0| < R y el exterior del cırculo de radio r, |z − z0| > r, ya que en dicha interseccionconvergira a la vez la parte principal y la parte regular de la serie, por lo que convergira la seriecompleta (Fig. 3.8).

Es evidente que existen dos posibilidades:


Figura 3.8: Anillo de convergencia de la serie de Laurent

1. Que sea R < r. En este caso, donde converge la parte principal diverge la regular yviceversa, por lo que la serie (3.36) carece de sentido.

2. Que sea R > r. Entonces, la parte principal y la parte regular (y por lo tanto la serie(3.36)) convergiran a la vez en el anillo con centro en z0: r < |z − z0| < R y se tendra,en virtud del teorema de Abel 26, que en cualquier subdominio anular del anillo deconvergencia de la serie (3.36) convergira uniformemente.

Ası pues, las caracterısticas de la serie (3.36) pueden resumirse como sigue:

1. El dominio de convergencia es un anillo con centro en el punto z0.

2. La serie de Laurent (3.36) converge absolutamente en este anillo y uniformemente encualquier subdominio anular de dicho anillo.

3. La suma de la serie de Laurent es una funcion analıtica en el anillo de convergencia y enel puede derivarse e integrarse bajo el signo de sumatoria cuantas veces se desee.


3.4.2 Desarrollo de una funcion analıtica en serie de Laurent

En la discusion efectuada en el punto anterior concluimos que la serie de Laurent (3.36) con-vergıa en un anillo circular con centro en el punto z0 y que la suma de dicha serie era unafuncion analıtica en dicho anillo. El comportamiento de la funcion suma de la serie en el puntoz0 no ha quedado establecido en nuestro analisis: la funcion suma en el entorno del punto z0

por consiguiente, puede dejar de ser analıtica.

Esta caracterıstica que presenta la funcion suma de la serie de Laurent nos permite suponerque una funcion que no sea analıtica en el entorno de determinado punto z0 del plano complejo,pero para la cual exista un anillo centrado en z0 dentro del que la funcion sea analıtica, puedaexpresarse en terminos de una serie de Laurent convergente absoluta y uniformemente a ellaen dicho anillo. Esta propiedad queda establecida rigurosamente por el siguiente teorema.

Teorema 28 (Teorema de Laurent)

Si la funcion f(z) es analıtica en un anillo circular con centro en el punto z0, entonces ella puedeser desarrollada en dicho anillo en una serie de Laurent convergente absoluta y uniformementea ella en el anillo y ese desarrollo es unico.

Demostracion:

Tomemos el anillo con centro en z0, donde por hipotesis la funcion f(z) es analıtica. Fijemosun punto z del anillo y tracemos dos circunferencias C1 y C2 dentro del anillo con centro ambasen z0 y radios respectivamente r1 y r2 tales que (Fig. 3.9)

r < r1 < |z − z0| < r2 < R

Para el subdominio anular de frontera Γ = C1 ∪ C2 tiene lugar la formula integral de Cauchyescrita para el dominio biconexo:

f(z) =1

2πi

∫Γ

f(ζ)dζ

ζ − z=

1

2πi

∫C+

2

f(ζ)dζ

ζ − z+

1

2πi

∫C−1

f(ζ)dζ

ζ − z=

=1

2πi

∫C+

2

f(ζ)dζ

ζ − z− 1

2πi

∫C+

1

f(ζ)dζ

ζ − z≡ f2(z) + f1(z) (3.39)

Analicemos las funciones f1(z) y f2(z) por separado.

Como la funcion f2(z) esta dada por una integral por el contorno C2, tenemos que

∣∣∣∣z − z0

ζ − z0

∣∣∣∣ =|z − z0|r2

< 1

Por lo tanto


Figura 3.9: Para la demostracion del teorema de Laurent

1

ζ − z=

1

ζ − z0

· 1

1− z−z0ζ−z0

=1

ζ − z0

∞∑n=0

(z − z0

ζ − z0

)n=

∞∑n=0

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1(3.40)

Sustituyendo la expresion (3.40) en la que define a f2(z) obtenemos

f2(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (3.41)

donde

an =1

2πi

∫C2

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1, n ≥ 0 (3.42)

Es importante senalar que la expresion (3.42) no puede identificarse, como se hizo en el teorema27, con la derivada de orden n de f(z) evaluada en el punto z0, pues la hipotesis del teorema


garantiza la analiticidad de la funcion f(z) solamente en el anillo centrado en z0 y nada seafirma respecto a las propiedades de esa funcion en el propio punto z0.

Para la funcion f1(z), como se integra por C1, tendremos que

∣∣∣∣ζ − z0

z − z0

∣∣∣∣ =r1

|z − z0|< 1

por lo que podemos escribir

1

ζ − z=

1

z − z0

· 1

1− ζ−z0z−z0

== − 1

z − z0

∞∑m=0

(ζ − z0

z − z0

)m=

= −∞∑m=0

(ζ − z0)m

(z − z0)m+1= −

−∞∑n=−1

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1(3.43)

donde hemos realizado el cambio de ındice de sumatoria m+ 1 = −n.

Sustituyendo (3.43) en la expresion que define a f1(z) obtenemos

f1(z) = − 1

2πi

∫C1

f(ζ)

[−

−∞∑n=−1

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1

]dζ =

−1∑n=−∞

an(z − z0)n (3.44)

donde

an =1

2πi

∫C1

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1, n ≤ −1 (3.45)

Regresando a la expresion (3.39) obtenemos que

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n (3.46)

por lo que el desarrollo en serie de Laurent queda demostrado. Los coeficientes del desarrollo,an, que vienen dados por las formulas (3.42) y (3.45), segun sea n ≥ 0 o n ≤ −1, en realidadson los mismos, ya que en virtud del teorema de Cauchy

∫C2

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1−∫C1

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1= 0

ya que C1 y C2 forman la frontera del dominio biconexo donde la funcion f(ζ)(ζ−z0)n+1 es analıtica.

Aun mas, en virtud del mismo teorema de Cauchy, ambos contornos pueden ser deformados


como se desee dentro del dominio anular, sin que por ello el valor de la integral varıe. De aquıque los coeficientes del desarrollo (3.46) vengan expresados para cualquier n positiva o negativapor la formula unica

an =1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1(3.47)

donde el contorno de integracion C es cualquier curva seccionalmente lisa contenida totalmenteen el anillo de analiticidad de f(z) y que rodee al punto z0 (Fig. 3.10).

Figura 3.10: Contorno de integracion para el calculo de los coeficientes de la serie de Laurent

Como aquı los coeficientes (3.47) no son la derivada de orden n de la funcion f(z) evaluada enel punto z0, aun tenemos que demostrar que el desarrollo (3.46) obtenido es unico. Para ello,supondremos que es posible otro desarrollo

f(z) =∞∑

n=−∞

bn(z − z0)n (3.48)


y trataremos de demostrar que los coeficientes vienen expresados por la misma formula (3.47);entonces, en virtud de la arbitrariedad del desarrollo(3.48) supuesto, quedara demostrada launicidad.

Tomemos un contorno arbitrario C dentro del anillo de analiticidad de f(z) como se ve en lafigura 3.10. Dividiendo (3.48)por (z − z0)

m+1 con m fijo arbitrario, tenemos

f(z)

(z − z0)m+1=

∞∑n=−∞

bn(z − z0)n−m−1 (3.49)

Integrando por el contorno C la expresion (3.49) obtenemos

∫C

f(z)dz

(z − z0)m+1=

∞∑n=−∞

bn

∫C

(z − z0)n−m−1dz (3.50)

Para la integral debajo del signo de sumatoria tenemos

∫C

(z − z0)n−m−1dz =

∫C

dz

z − z0

= 2πi, ∀n = m (3.51)

= 0, ∀n 6= m

La igualdad a cero cuando n 6= m se obtiene porque, si n ≥ m+ 1, el integrando a la izquierdaen (3.51) es analıtico (una potencia positiva de (z − z0)) cuya integral es cero por el teoremade Cauchy y si n < m, la integral a la izquierda en (3.51) es del tipo

∫C

dz

(z − z0)k≡ 0

pues k ≥ 2 y por la formula generalizada de Cauchy la integral serıa igual a la derivada k − 1de f = 1, es decir, cero.

Ası las cosas hemos obtenido que

∫C

(z − z0)n−m−1dz = 2πiδnm (3.52)

donde δnm es el sımbolo de Croneker. Sustituyendo en (3.50) queda

∫C

f(z)dz

(z − z0)m+1=

∞∑n=−∞

bn2πiδnm ≡ bm · 2πi (3.53)


de donde se deduce que bm ≡ am, lo que demuestra la unicidad del desarrollo de f(z) en seriede Laurent.


El teorema de Laurent acabado de demostrar permite sacar las siguientes conclusiones.

Si tenemos una funcion f(z) analıtica en el plano complejo, con excepcion -digamos- de lospuntos z0, z1, z2 y z3 = ∞, donde la funcion deja de ser anaıtica (estos puntos, como veremosdespues, se denominan puntos singulares y decimos que la funcion tiene una singularidaden dichos puntos), entonces podemos hacer la siguiente construccion: rodeamos el punto z0 conuna pequena circunferencia y trazamos otra circunferencia con centro en z0 y radio |z1 − z0| yobtenemos ası el anillo (1) (Fig. 3.11). En dicho anillo la funcion f(z) es analıtica y cumple,por lo tanto, los requisitos de teorema de Laurent, de manera que admite un desarrollo deltipo (3.46) de coeficientes dados por (3.47), donde el contorno de integracion sera una curvacerrada cualquiera contenida en el anillo (1) y que rodee al punto z0. Este tipo de desarrollo en elentorno de un solo punto como es el caso, ya que la circunferencia interior del anillo puede tenerun radio tan pequeno como se quiera, se conoce con el nombre de desarrollo en el entornodel punto singular z0. Por otro lado, En el anillo (2) (Fig. 3.11) de frontera formada porlas circunferencias de radios |z1 − z0| y |z2 − z0| de nuevo la funcion f(z) es analıtica y denuevo se cumplen los requisitos del teorema de Laurent. Por lo tanto, la funcion f(z) tendra undesarrollo en potencias de (z− z0), pues el anillo esta centrado en el punto z0, tambien del tipo(3.46) con coeficientes que vendran dados tambien por la formula (3.47), aunque el contornode integracion ahora sera una curva cerrada que rodee al punto z0, pero contenida en el anillo|z1 − z0| < |z − z0| < |z2 − z0|. La diferencia entre los contornos de integracion en estos doscasos, haran que en general los coeficientes an por ellos calculados sean distintos, por lo que losdesarrollos seran diferentes; ello es logico, ya que ambos desarrollos expresan a la funcion f(z)en dominios diferentes. El desarrollo en la region (2) no tiene un nombre especıfico como en elcaso del desarrollo en la region (1).

Si suponemos una circunferencia de radio mayor que |z2 − z0| tan grande como se quiera,pues con modulo mayor que |z2| en el caso que estamos analizando no existen mas puntos desingularidad de f(z) en el plano complejo, tendremos un ”anillo” (3) de radio interior |z2 − z0|y radio exterior tan cercano al infinito como se quiera donde tambien sera factible un desarrolloen la forma (3.46).

Usualmente, si z0 = 0, se dice que el desarrollo es en el entorno de cero. Ese desarrollo es enpotencias de z

f(z) =∞∑

n=−∞

anzn

Tomando como centro de los anillos el punto z0 = 0, el desarrollo en el ”anillo” mas exterior,equivalente a la region (3) de la figura 3.11, pero en la que el centro de los anillos es el origen delas coordenadas, se acostumbra a llamar desarrollo en el entorno del infinito. Este argotse justifica por el hecho de que, si hacemos el cambio de variables z = 1

ζ, el punto z = 0 se

transforma en el punto ζ = ∞.


Figura 3.11: Diferentes anillos en los que puede realizarse el desarrollo en serie de Laurent

Si sucediera que la funcion f(z) fuese analıtica en el entorno del punto z0, pero no lo fuese enlos puntos z1 y z2, entonces existira un cırculo de radio |z1 − z0| centrado en el punto z0 en elque el desarrollo en potencias de (z− z0) sera de Taylor, ya que en dicho cırculo se cumplen losrequisitos del teorema de Taylor. Sin embargo, con centro en z0 tendremos el anillo de radiointerior |z1 − z0| y radio exterior |z2 − z0| en el que se cumplen los requisitos del teorema deLaurent, por lo que en dicho anillo tendra lugar un desarrollo de Laurent en serie de potenciasde (z−z0) de la funcion. Igualmente, en el ”anillo” de radio interior |z2−z0| y radio exterior enel infinito, tambien tendra lugar un desarrollo en serie de Laurent de la funcion f(z), tambiende potencias de (z − z0).

Veamos un ejemplo ilustrativo.

Sea la funcion

f(z) =1

z2(1− z)

Esta funcion deja de ser analıtica en los puntos z = 0 y z = 1. Por lo tanto, en serie de


potencias de z, es decir, con centro en el punto z0 = 0, ella no puede ser desarrollada en seriede Taylor, ya que no existe un cırculo de analiticidad de ella centrado en z = 0.

Sin embargo, con centro en z = 0 tenemos el anillo 0 < ε < |z| < 1, con ε > 0 tan pequeno comose quiera (Fig. 3.12), en el que la funcion es analıtica, por lo que ella puede ser desarrollada enuna serie de Laurent de potencias de z. Es decir

Figura 3.12: Desarrollo del ejemplo en el entorno de z0 = 0

f(z) =∞∑

n=−∞

anzn

Los coeficientes del desarrollo, segun (3.47), aparecen como

an =1

2πi

∫C

1

ζ2(1− ζ)· dζ

ζn+1=

1

2πi

∫C

dζ

(1− ζ)ζn+3

Las funciones de variable compleja, segun sabemos ya, tienen la formidable propiedad de quepueden ser integradas sin necesidad de usar las reglas de integracion. Efectivamente, en el caso


que nos ocupa, de la formula generalizada de Cauchy deducimos que

1

2πi

∫C

f(ζ)dζ

(ζ − z)k+1=

1

k!f (k)(z)

siempre que k ≥ 0, ya que si k < 0 la integral es nula, pues en ese caso el integrando f(ζ)(ζ−z)k+1

es analıtico.

Ası pues, nuestros coeficientes seran

an =1

2πi

∫C

dζ

(1− ζ)ζn+3=

1

(n+ 2)!

dn+2

dζn+2

(1

1− ζ

)|ζ=0 =

=(n+ 2)!

(n+ 2)!

1

(1− ζ)n+3|ζ=0 = 1, ∀n+ 2 ≥ 0

= 0, ∀n+ 2 < 0

Por lo tanto, el desarrollo buscado es

f(z) =1

z2(1− z)=

∞∑n=−2

zn

Hemos obtenido el desarrollo por el metodo ”honesto”, es decir, suponiendo el desarrollo (3.46)y calculando los coeficientes por la formula para ellos obtenida. Sin embargo, es permisible -yaque el desarrollo es unico- buscar dicho desarrollo por cualquier otro metodo astuto, artificial,siempre que ello sea posible; por ejemplo, en el caso de la funcion que estamos analizandopodemos basarnos en que como 0 < |z| < 1, se cumple la formula del desarrollo de la seriegeometrica:

1

1− z=

∞∑n=0

zn

Por consiguiente,

1

z2(1− z)=

1

z2

∞∑n=0

zn =∞∑n=0

zn−2 =∞∑

m=−2

zm

que es el mismo desarrollo obtenido anteriormente.

Desarrollemos ahora la misma funcion en el entorno del punto infinitamente alejado (|z| > 1en este caso). Hagamoslo por el metodo astuto. Como en el anillo exterior

∣∣1z

∣∣ < 1, de nuevotenemos una serie geometrica de argumento 1

z, por lo que tenemos que


1

z2(1− z)= − 1

z3(1− 1

z

) = − 1

z3

∞∑n=0

(1

z

)n= −

∞∑n=0

1

zn+3= −

−3∑n=−∞

zn

Es decir, que el desarrollo es distinto el variar el dominio donde buscamos la serie, o sea, alvariar el anillo donde buscamos el desarrollo. Si este ultimo ejercicio lo hubieramos hecho porel metodo ”honesto”, es decir, buscando los coeficientes mediante la formula (3.47), hubiesemostenido que integrar por un contorno C contenido en el anillo donde se busca el desarrollo,|z| > 1, de manera que C envolverıa a dos singularidades: z = 0 y z = 1 (Fig. 3.13).

Figura 3.13: Desarrollo del ejemplo en el entorno del infinito.

Para poder ”integrar sin integrar”, como hicimos en el caso anterior, esta situacion no esdeseable, pero en virtud del teorema de Cauchy para dominios multiconexos, podemos rodearel punto z = 0 con un contorno C0 y el punto z = 1 con un contorno C1, segun se muestraen la figura 3.13, y tendremos que la integral por el contorno C sera igual a la suma de lasintegrales por los contornos C0 y C1 que pueden calcularse por la formula de Cauchy. El lectorpuede comprobar que en este caso se obtiene que an = −1 para todo n ≤ −3 y an = 0 paratodo n > −3.


3.5 Puntos singulares de las funciones analıticas

En el epıgrafe anterior hemos visto que existen determinados puntos donde las funcionesanalıticas dejan de serlo; incluso hemos utilizado los terminos de punto singular, singu-laridad, etc. Veamos ahora en detalle que significan estos conceptos.

3.5.1 Clasificacion de los puntos singulares

Sea el dominio D, donde esta definida la funcion f(z) y sea z0 un punto del dominio D.

Llamaremos punto regular de la funcion f(z) a todo punto z0 ∈ D tal que la funcion f(z) esderivable en el y en su entorno. A veces se dice en este caso que la funcion f(z) es analıticaen z0, aunque sabemos que el concepto de analiticidad no es puntual. Cuando hablamos depuntos regulares de las funciones de variable compleja, estamos considerando que la funcion esderivable en ese punto y en su entorno. De ahı que no existan puntos regulares aislados.

Entre los puntos regulares estan, como caso particular, los llamados ceros de las funcionesanalıticas. El punto regular z0 es un cero de orden k de la funcion f(z) si en su entorno eldesarrollo de Taylor es tal que

an ≡ 0, ∀n < k (3.54)

por lo que el desarrollo de Taylor tiene la forma general

f(z) =∞∑n=k

an(z − z0)n (3.55)

Es decir, el punto regular cero de orden k para la funcion f(z) es aquel en cuyo entorno laserie de Taylor

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (3.56)

de la funcion tiene sus primeros (k − 1) terminos nulos.

Es de destacar que en la definicion dada de cero de orden k, lo importante es lo establecido enla ecuacion (3.54) y no tiene importancia si el resto de la serie existe completa o si se truncapara cierta n. Por ejemplo, la funcion

f(z) =∞∑n=3

an(z − z0)n


tiene en el punto z = z0 un cero de tercer orden. Igualmente

f(z) = z3

tiene en z = 0 un cero de tercer orden, ya que ella es su propio desarrollo en serie de Taylorcon centro en z = 0; los coeficientes a0, a1 y a2 en tal desarrollo son iguales a cero y la serie setrunca en n = 3, ya que tiene un solo sumando.

La funcion

f(z) = z2ez

tiene un cero de segundo orden en z = 0. Ello puede verse si desarrollamos en serie de Taylorla funcion

ez =∞∑n=0

zn

n!

por lo que multiplicando por z2 se obtiene

f(z) = z2ez = z2

∞∑n=0

zn

n!=

∞∑n=0

zn+2

n!

Es decir:

f(z) = z2ez =∞∑n=2

zn

(n− 2)!

Notese que por ser el cero un punto regular para la funcion f(z), el lımite cuando z → z0 def(z) existe y es igual a cero. Por lo tanto, es facil elaborar un algoritmo para determinar confacilidad del orden del cero de una funcion en su cero. Supongamos que z0 es un cero de ordenk para f(z); de acuerdo con la definicion,

f(z) =∞∑n=k

an(z − z0)n = (z − z0)

k

∞∑n=k

an(z − z0)n−k =

= (z − z0)k

∞∑n=0

an+k(z − z0)n = (z − z0)

k

∞∑n=0

bn(z − z0)n = (z − z0)

kg(z)

donde g(z) es una funcion analıtica y diferente de cero en z0, ya que b0 ≡ ak 6= 0. Esta ultimaecuacion evidencia el hecho de que si z = z0 es un cero de orden k para f(z), esta puede ser


escrita como el producto de (z − z0)k por una funcion analıtica diferente de cero en el entorno

de z0.

Lo dicho arriba nos permite expresar el algoritmo a que hacıamos referencia. Si queremosindagar el orden del cero de una funcion analıtica cuyo lımite es igual a cero, hallamos el lımite

limz→z0

f(z)

z − z0

si este lımite es diferente de cero, entonces z0 sera un cero de primer orden para f(z). Pero siel lımite es igual a cero, hallamos entonces el lımite

limz→z0

f(z)

(z − z0)2

Repetimos este procedimiento mientras el lımite de igual a cero y cuando ocurra que para ciertak

limz→z0

f(z)

(z − z0)k6= 0

podremos afirmar que el punto z0 es un cero de orden k para f(z).

Veamos un ejemplo ilustrativo. Sea la funcion

f(z) = sin2 z

Evidentemente, z = 0 es un cero para ella, ya que

limz→0

f(z) = limz→0

sin2 z = 0

Apliquemos el algoritmo arriba descrito. Tenemos que

limz→0

f(z)

z= lim

z→0

sin2 z

z= lim

z→0

sin z

zsin z = 1 · 0 = 0

Siguiendo el esquema

limz→0

f(z)

z2= lim

z→0

sin2 z

z2= lim

z→0

(sin z

z

)2

= 12 ≡ 1 6= 0

Por lo tanto, z = 0 es un cero de segundo orden para f(z) = sin2 z.


Definamos ahora los puntos singulares de las funciones de variable compleja.

Para la funcion f(z) se llaman puntos singulares todos aquellos puntos del plano complejoque no sean regulares para dicha funcion.

Los puntos singulares de la funcion f(z) pueden ser de dos tipos:

1. Puntos singulares aislados, si existe un entorno reducido de analiticidad de la funcion.

2. Puntos singulares no aislados, si no existe tal entorno reducido de analiticidad.

Por ejemplo, para la funcion

f(z) =1

z2(1− z)

vista en el ejemplo ilustrativo de desarrollo en serie de Laurent, los puntos z = 0 y z = 1 sonpuntos singulares aislados, pues para ambos existen entornos reducidos de los mismos donde lafuncion es analıtica.

Sin embargo, para la funcion

f(z) = cot1

z≡

cos 1z

sin 1z

el punto z = 0 es un punto singular no aislado, pues para cualquier entorno reducido del mismo,por muy pequeno que sea su radio, en su interior se tendran infinitos puntos singulares de lafuncion dados por la ecuacion

zn =1

nπ,

con n arbitrariamente grande. Mientras mayor sea n, mas cercano a z = 0 estara el puntozn. Es obvio que en cualquier entorno reducido de z = 0 existe un numero infinito de talespuntos de singularidad de f(z), por lo que, efectivamente, z = 0 es un punto singular no aisladopara esta funcion. En el desarrollo del texto veremos mas adelante otros ejemplos de puntossingulares no aislados de funciones de variable compleja.

Del hecho de que, por definicion, para el punto singular aislado z0 existe un entorno reducidode analiticidad de la funcion f(z), dicho entorno reducido es un anillo centrado en z0 en el quela funcion f(z) admitira un desarrollo en serie de Laurent de potencias de (z − z0):

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n


Por ello, usaremos dicho desarrollo para clasificar los puntos singulares aislados. Los casosposibles son los siguientes:

1. Si para toda n < 0 los coeficientes an del desarrollo de f(z) en serie de Laurent sonidenticamente nulos (an ≡ 0,∀n < 0), entonces el punto singular aislado z0 se llamapunto singular evitable.

La razon de tal nombre para este tipo de punto singular aislado viene del hecho de queredefiniendo la funcion en el punto singular aislado z0 mediante la expresion f(z0) = a0,es decir, dandole un valor finito determinado a la funcion en el punto, podemos evitar -yesa es la palabra- la singularidad. Es decir, el punto singular evitable es aquel en el que, sibien la funcion no esta definida, su serie se comporta como si la funcion lo estuviera. Deacuerdo con la definicion arriba dada, en el caso de que z0 sea un punto singular evitablepara f(z), la serie de Laurent tendra la forma

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (3.57)

Es conveniente insistir en que el desarrollo (3.57) es un desarrollo de Laurent cuya parteprincipal no existe y no de Taylor. Ello se debe a que los coeficientes an en el no seexpresan mediante la formula integral de Cauchy, pues la funcion f(z) en el punto z0 noes analıtica.

Por ejemplo, las funciones

sin z

z,

1− ez

z,

1− cos z

z2

tienen en el punto z = 0 una singularidad evitable.

2. Si el desarrollo de f(z) en serie de Laurent en el entorno del punto singular aislado z0 estal que para cierto numero dado k > 0 el coeficiente a−k 6= 0, mientras que an ≡ 0 paratodo n < −k, entonces el punto singular aislado z0 se llama polo de orden k para lafuncion f(z). En este caso la serie de Laurent tiene su parte principal truncada en −k yadopta la forma general

f(z) =∞∑

n=−k

an(z − z0)n (3.58)

Es conveniente destacar que en la definicion dada no se impone ningun requisito a loscoeficientes an para n > −k; ellos pueden simplemente no existir. Lo importante en ladefinicion dada de polo es que todos los coeficientes en el desarrollo de Laurent seaniguales a cero para n < −k.Recordemos que el ejemplo ilustrativo de desarrollo en serie de Laurent arriba expuestodio

f(z) =1

z2(1− z)=

∞∑n=−2

zn


lo que, de acuerdo con nuestra definicion, significa que el punto z = 0 es para esta funcionun polo de segundo orden. El lector puede comprobar sin dificultad desarrollando estamisma funcion en el entorno del punto z = 1, que dicho punto es un polo de primerorden o polo simple, como se le acostumbra a llamar tambien. Si analizamos la funcion

f(z) =1

z3≡ 1 · z−3

Es facil ver que ella esta ya desarrollada en una serie de Laurent con centro en z = 0cuyo unico coeficiente diferente de cero es a−3 que es igual a 1. En este caso, de acuerdocon la definicion arriba dada z = 0 es un polo de tercer orden para esta funcion. Noteseque an ≡ 0 para todo n < −3. El hecho de que los coeficientes an sean iguales a ceropara n > −3 no importa; lo importante para que el punto sea un polo de tercer orden,de acuerdo con la definicion es que an ≡ 0 para todo n < −3.

3. Si para cualquier N siempre existe un numero k > N tal que el coeficiente a−k 6= 0,entonces el punto singular aislado z0 es para la funcion f(z) un punto singular esencial.

Lo arriba dicho equivale a decir que la parte principal de la serie de Laurent para f(z)en este caso tiene infinitos sumandos, por lo que la forma general se ella es en este caso

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n (3.59)

aunque es conveniente destacar que la definicion dada no implica que la parte principaltenga todos sus terminos; la suma puede ser solo por los coeficientes pares, por loscoeficientes impares, por los coeficientes primos, etc. Tampoco resulta importante queocurre con lo sumandos de la parte regular la que, incluso, puede no existir.

Asıi las cosas, los siguientes desarrollos

f(z) =−50∑

n=−∞

an(z − z0)n, f(z) =

0∑n=−∞

an(z − z0)n, f(z) =

100∑n=−∞

an(z − z0)n

denotan que la funcion desarrollada tiene en z0 un punto singular esencial.

Si desarrollamos la funcion

e1z =

0∑−∞

zn

(−n)!

vemos que ella tiene en z = 0 un punto singular esencial o, como tambien se dice, unasingularidad esencial.

Las definiciones dadas de los puntos singulares aislados nos permite comprender ahora la razondel nombre dado en la serie de Laurent a la parte de potencias negativas como parte principalde la serie. Ello es ası porque la cantidad de terminos que tenga de dicha parte clasifica a lospuntos singulares aislados de las funciones analıticas. La parte regular se denomina ası porquepor su forma es una serie de potencias positivas cuya suma es una funcion analıtica.


3.5.2 Conducta de las funciones analıticas en el entorno de sus pun-tos singulares aislados

Analizaremos a continuacion como se comportan las funciones analıticas en el entorno de suspuntos singulares aislados. Veremos cada uno de los puntos por separados.

1. Punto singular evitable.

El punto singular evitable es aquel en cuyo entorno la funcion f(z) se desarrolla en seriede Laurent sin parte principal, segun (3.57). Tiene lugar la siguiente afirmacion:

Teorema 29

Si la funcion f(z) es acotada en el entorno de su punto singular aislado z0, entonces estepunto es un punto singular evitable.

Demostracion:

Por hipotesis, z0 es un punto singular aislado de f(z) y, ademas en su entorno se cumpleque |f(z)| < A, donde A es cierto numero dado.

Como z0 es un punto singular aislado para f(z), podemos definir un anillo de analiticidadde f(z) centrado en z0, de radio interior tan pequeno como se quiera, en el que la funcionpuede ser desarrollada en una serie de Laurent (3.46) con coeficientes an dados por (3.47).

Para el calculo de los coeficientes an podemos tomar el contorno C en la formula (3.47)en forma de una circunferencia CR de radio R contenida en el anillo de analiticidad def(z), de manera que tendremos

an =1

2πi

∫CR

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1=

1

2πRn

∫ 2π

0

f(z0 +Reiϕ)dϕ

einϕ(3.60)

Valoremos la expresion (3.60). Tenemos que

|an| ≤1

2πRn

∫ 2π

0

|f(z0 +Reiϕ)|dϕ|einϕ|

≤ A

2πRn

∫ 2π

0

dϕ =A

Rn

Es decir,

|an| ≤A

Rn(3.61)

Los coeficientes an del desarrollo de Laurent no dependen de R, es decir, ellos debenvaler lo mismo independientemente del contorno de integracion que tomemos alrededordel punto z0. La expresion (3.61), sin embargo, nos indica que ellos estan acotados poruna expresion que depende de R, siempre que f(z) este acotada en el entorno de z0, comoes el caso. Para el caso en que n < 0 dicha cota tiende a cero cuando R→ 0, cosa que esposible hacer dado que z0 es un punto singular aislado por hipotesis lo que implica queel radio interior del anillo que lo rodea es tan pequeno como se quiera.


Como an no depende de R, lo dicho implica que an ≡ 0 para todo n < 0. Ası pues, laserie de Laurent (3.46) queda en la forma (3.57), lo que significa que, efectivamente, z0

es un punto singular evitable para f(z).


Tiene lugar un recıproco de este teorema.

Teorema 30

Si z0 es un punto singular evitable para la funcion f(z), entonces f(z) esta acotada entodo el entorno del punto z0; es decir, existe el lımite finito

limz→z0

f(z) = a0

donde |a0| <∞.

Demostracion:

Como por hipotesis el punto z0 es singular evitable para f(z), por definicion en su entornola serie de Laurent de f(z) tiene la forma (3.57). Entonces tendremos que

limz→z0

f(z) = limz→z0

∞∑n=0

an(z − z0)n = a0

donde |a0| <∞, pues por definicion la serie converge.


Los teoremas 29 y 30 indican que si el punto z0 es un punto singular aislado para f(z),la existencia del lımite finito

limz→z0

f(z) = a0

es condicion necesaria y suficiente para que dicho punto singular aislado sea un puntosingular evitable. De ahı que algunos autores toman dicho lımite como definicion desingularidad evitable y deducen que, en tal caso, la serie de Laurent de la funcion f(z)en el entorno de dicho punto solo tiene parte regular, o sea, es de la forma (3.57).

2. Polo de orden k.

El polo de orden k fue definido como aquel punto singular aislado en cuyo entorno eldesarrollo de la funcion era del tipo (3.58). Se verifica la siguiente afirmacion

Teorema 31

Si la funcion crece en modulo infinitamente en el entorno de su punto singular aislado z0

independientemente del camino por el que nos acerquemos a dicho punto, entonces estepunto es un polo de f(z).

Demostracion:

Por hipotesis, para cualquier numero A que escojamos |f(z)| > A en el entorno del puntosingular aislado z0, ya que ella crece infinitamente en todas direcciones. Analicemos lafuncion


g(z) =1

f(z)(3.62)

Valorando esta funcion tendremos

|g(z)| = 1

|f(z)|<

1

A= A′

Es decir, |g(z)| < A′ en el entorno del punto z0.

Pero esto significa que el punto z0 es para la funcion g(z) o bien un punto regular o bienun punto singular evitable, lo que equivale a decir que en dicho entorno g(z) se desarrollaen una serie de potencias del tipo

g(z) =∞∑n=k

an(z − z0)n (3.63)

donde k ≥ 0.

La expresion (3.63) se cumple gracias a la definicion de singularidad evitable o de puntoregular. Como se sabe, si k > 0 la funcion g(z) tendra un cero de orden k en z0.

De (3.63) tenemos

g(z) = (z − z0)k

∞∑n=0

an+k(z − z0)n ≡ (z − z0)

kϕ(z) (3.64)

donde

ϕ(z) =∞∑n=0

an+k(z − z0)n

es una funcion que por ser la suma de una serie de potencias positivas es una funcionanalıtica en el entorno de z0. Esta funcion, ademas, es diferente de cero en dicho entorno,pues obviamente para n = 0, ak 6= 0, pues de lo contrario comenzarıamos a sumar la serie(3.63) desde n = k + 1 y no desde n = k.

Coloquemos (3.64) en (3.62). Entonces, para la funcion f(z) queda

f(z) =1

(z − z0)kϕ(z)=

ψ(z)

(z − z0)k(3.65)

donde la funcion ψ(z) = 1ϕ(z)

es analıtica en el entorno de z0, ya que ϕ(z) es analıtica ydiferente de cero en dicho entorno.

Notese que (3.65) implica que tiene que cumplirse que k > 0, pues si fuera k = 0 entoncesde (3.65) quedarıa que f(z) = ψ(z), lo que significarıa que f(z) serıa analıtica en elentorno de z0 y ello contradirıa la hipotesis de que z0 es un punto singular aislado paraf(z).


Como ψ(z) es analıtica y diferente de cero en el entorno de z0, ella puede ser desarrolladaen una serie de Taylor:

ψ(z) =∞∑n=0

bn(z − z0)n

Donde b0 6= 0. Sustituyendo esta expresion en (3.65) obtenemos

f(z) =1

(z − z0)k

∞∑n=0

bn(z − z0)n =

∞∑n=−k

bn+k(z − z0)n

lo que por definicion de polo significa que el punto z0, efectivamente, es un polo de ordenk para la funcion f(z).


Tiene lugar la afirmacion recıproca.

Teorema 32

Si el punto singular aislado de f(z) z0 es un polo de orden k, entonces la funcion f(z)crece en modulo infinitamente cuando z se aproxima a z0 por cualquier direccion. Esdecir, que existe el lımite

limz→z0

f(z) = ∞

Demostracion:

Por hipotesis, el punto z0 es un polo de orden k para f(z). Ello significa que en el entornode z0 la funcion se expresa por la serie de Laurent

f(z) =∞∑

n=−k

an(z − z0)n

donde ak 6= 0. Esta serie puede escribirse de la siguiente forma:

f(z) =1

(z − z0)k

∞∑n=0

an−k(z − z0)n =

ϕ(z)

(z − z0)k(3.66)

donde por su expresion en serie de potencias, ϕ(z) es analıtica y diferente de cero en elentorno de z0. Ello significa que

limz→z0

ϕ(z) = a−k 6= 0

Por consiguiente, si hallamos el lımite en la expresion (3.66) obtenemos

limz→z0

f(z) = limz→z0

ϕ(z)

(z − z0)k=

aklimz→z0(z − z0)k

= ∞



Los teoremas 31 y 32 permiten concluir que la condicion necesaria y suficiente para queel punto singular aislado z0 sea un polo para f(z) es que exista el lımite

limz→z0

f(z) = ∞ (3.67)

Igual que en el caso del punto singular evitable, algunos autores toman este lımite comodefinicion de polo y deducen que en ese caso la serie de Laurent tiene la forma (3.58).

Es conveniente destacar lo siguiente. En la demostracion del teorema 31 hemos visto queexiste una relacion entre los polos de una funcion y los ceros de su funcion inversa: Sif(z) tiene en z0 un polo de orden k, la funcion g(z) = 1

f(z)tiene en z0 un cero de orden

k. Esta relacion resulta de utilidad a la hora de analizar los polos de una funcion devariable compleja, ya que siempre es mas facil trabajar con las funciones en sus puntosregulares (en este caso en particular en los ceros de la funcion inversa) que con los puntossingulares.

3. Punto singular esencial.

Demostraremos ahora un teorema que permitira comprender la razon del nombre deesencial dado a este tipo de singularidad de las funciones analıticas.

Teorema 33 (Teorema de Weierstrass)

Sea z0 un punto singular esencial para la funcion f(z). Entonces, para cualquier numeroA (finito o infinito) escogido a priori, siempre se encontrara una sucesion {zn} convergenteal punto z0 tal que se cumpla que

limn→∞

f(zn) = A

Esto significa que si el punto z0 es un punto singular esencial para f(z), el lımite de f(z)en z0 no existe, ya que por distintas trayectorias da distintos valores.

Ademas, como A escogido a priori es cualquier numero complejo, este teorema significaque en el entorno del punto z0 la funcion esta totalmente indeterminada, ya que en dichoentorno ella toma todos los valores del campo de los numeros complejos. Por eso lasingularidad se llama esencial.

Demostracion:

Supongamos inicialmente que escogemos A = ∞.

Como la funcion f(z) no puede estar acotada en el entorno del punto z0, pues de serlo z0

serıa o un punto regular o un punto singular evitable para f(z), lo que no puede ser, yaque por hipotesis z0 es un punto singular esencial para f(z), siempre podremos encontraren cada entorno de la cadena de entornos que se cierran sobre z0

|z − z0| <1

n(3.68)

con n = 1, 2, 3, ... al menos un punto zn tal que


|f(zn)| > n

Tomando por sucesion {zn} que, por construccion de la cadena de entornos que se cierrasobre z0, converge a z0 para n→∞ tendremos que

limn→∞

f(zn) = ∞ = A

Es decir, siempre podemos encontrar al menos una sucesion de puntos convergente a z0 alo largo de la cual el lımite de f(z) es igual a infinito.

Supongamos ahora que escogemos por A un numero complejo arbitrario diferente deinfinito. Tenemos que demostrar que siempre podemos encontrar una sucesion de puntosa lo largo de la cual el lımite de f(z) es igual a ese numero A escogido arbitrariamente.

Aquı existen dos posibilidades:

(a) Que en cada entorno de la cadena de entornos (3.68) exista al menos un punto zntal que f(zn) = A. En este caso, tomando por sucesion {zn} al conjunto de dichospuntos que evidentemente convergen por construccion a z0 para n → ∞, quedademostrado el teorema para el caso en que A 6= ∞.

(b) Que para A 6= ∞ no se cumpla que limz→z0 f(z) = A por ninguna sucesion de puntoszn. Es decir, que el caso anterior no se verifique nunca.

Lo dicho equivale a decir que dado cierto ε > 0, se cumple en todo el entorno de z0

que |f(z)− A| > ε.

Analicemos entonces la siguiente funcion:

F (z) =1

f(z)− A(3.69)

Esta funcion es acotada en el entorno del punto z0, pues

|F (z)| = 1

|f(z)− A|<

1

ε(3.70)

lo que significa que z0 es para F (z) o bien un punto regular o bien un punto singularevitable. Ambas posibilidades indican que F (z) admite un desarrollo de la forma

F (z) =∞∑n=k

bn(z − z0)n

donde k ≥ 0 y bk 6= 0.

Despejando f(z) en (3.69) obtenemos

f(z) = A+1

F (z)

Aquı existen dos posibles situaciones:


i. Que k = 0. Entonces para z → z0 por cualquier trayectoria obtendrıamos

f(z) → A+1

b0

ii. Que k > 0. En este caso obtendrıamos que por cualquier trayectoria el lımiteserıa f(z) →∞

Los dos casos arriba vistos significarıan que el punto z0 serıa para f(z) un puntosingular evitable (si el lımite fuera finito por cualquier trayectoria) o un polo (siel lımite fuera infinito por cualquier trayectoria). Ambos resultados contradicen lahipotesis de que z0 es un punto singular esencial de f(z).

Por lo tanto, la suposicion de que en el entorno de z0 no exista ningun punto enel que f(z) sea igual a A es falsa: siempre se encontrara en el entorno de z0 unasucesion de puntos zn convergente a z0 cuando n → ∞ tal que f(zn) sea igual alnumero A escogido a priori por nosotros.


El teorema demostrado equivale a decir que en el punto singular esencial z0 no existe el lımite dela funcion f(z), pues por distintas trayectorias que tiendan a z0 el lımite da numeros diferentes,y en el entorno de ese punto la funcion toma todos los valores del campo de los numeroscomplejos. Como dijimos, ello explica el por que del nombre de esencial para este tipo desingularidad.

Es evidente que no es necesario demostrar un recıproco del teorema 33, ya que si para z → z0

no existe el lımite finito ni infinito de la funcion f(z), en virtud de los teoremas 30 y 32, elpunto z0 no puede ser ni un punto singular evitable, ni un polo de f(z).

Ası pues, podemos concluir que las funciones analıticas en el entorno de un punto singularaislado o bien tienden a un lımite bien definido (finito o infinito) o bien son completamenteindeterminadas. No hay, ni puede haber, casos intermedios.

3.5.3 Clasificacion de las singularidades en el entorno del infinito

Estudiemos ahora el comportamiento de las funciones analıticas en el entorno del infinito.Con el fin de hacer este analisis hagamos el siguiente cambio de variables: ζ = 1

z. Entonces

tendremos

f(z) = f

(1

ζ

)≡ F (ζ) (3.71)

donde ζ → 0 cuando z →∞.

Es decir, el analisis del comportamiento de f(z) en el entorno del infinito equivale al compor-tamiento de F (ζ) en el entorno de ζ = 0. Notese que el entorno de z = ∞ que es el cırculoexterior |z| > R con R lo suficientemente grande como para que todos los posibles puntos


singulares de f(z) en el plano se encuentren en el cırculo interior |z| < R se transforma en elcırculo interior en el plano ζ |ζ| < 1

R. Ademas, al recorrer la circunferencia |z| = R en el sentido

de las manecillas del reloj, para ”envolver” al infinito que quedarıa entonces a la izquierda, esdecir, en el cırculo exterior arriba mencionado, su imagen |ζ| = 1

Rse recorre automaticamente

en sentido contrario a las manecillas del reloj, envolviendo ası a ζ = 0, imagen de z = ∞ enel plano ζ. Es decir, con este cambio de variables el analisis del punto z = ∞ se transformaen el analisis del punto ζ = 0 para la nueva funcion. Mientras mayor sea R, lo que significaque la circunferencia |z| = R esta mas cerca del infinito, menor sera 1

R, lo que significa que la

circunferencia |ζ| = 1R

estara mas cerca del punto imagen ζ = 0.

De lo arriba expresado, se comprende que, como ζ = 0 es un punto singular aislado de F (ζ) siexiste un entorno reducido de ζ = 0 de analiticidad de F (ζ), por lo tanto el punto z = ∞ seraun punto singular aislado para f(z) si existe un cırculo exterior |z| > R (es decir un entornodel infinito) en el que la funcion f(z) no tenga puntos singulares en el plano.

En caso de que no exista ese entorno del infinito de analiticidad de f(z). el punto z = ∞ sera unpunto singular no aislado. Por ejemplo, z = ∞ es un punto singular no aislado para la funcionf(z) = cot z, ya que como esta funcion tiene polos en los puntos zk = kπ, con k = 1, 2, 3, ...,por muy grande que tomemos R, en el exterior de la circunferencia |z| = R siempre habra unnumero infinito de polos de la funcion, por lo que, efectivamente, z = ∞ o es un punto singularno aislado para esta funcion.

Para el punto ζ = 0, que es un punto del plano complejo, tenemos la clasificacion estudiadaanteriormente. Ası las cosas:

1. Ceros y puntos singulares evitables.

El punto ζ = 0 es un cero de orden k para la funcion F (ζ) si en su entorno la funcionF (ζ) tiene el desarrollo

F (ζ) =∞∑n=k

anζn

con ak 6= 0.

Regresando a la variable z, tendremos que por lo tanto el punto z = ∞ sera un cero deorden k para f(z) si en su entorno (es decir, en el cırculo exterior |z| > R) se desarrollaen la serie

f(z) =−k∑

n=−∞

bnzn (3.72)

donde bn = a−n y se parte del supuesto de que ak 6= 0, es decir, b−k 6= 0.

Aquı lo importante es que la serie sea hasta −k y no importa si tiene todos los sumandoscon n negativos.

El ejemplo de desarrollo en serie de Laurent en el entorno del infinito visto en el epıgrafeanterior obtuvimos


1

z2(1− z)= −

−3∑n=−∞

zn

para |z| > 1 que era en aquel caso el entorno del infinito, ya que en el cırculo exterior encuestion no existen otros puntos singulares de la funcion en el plano. De acuerdo con lodefinido arriba esto significa que z = ∞ es un cero de tercer orden para la funcion 1

z2(1−z) .

Notese que como era de esperar por definicion de cero:

limz→∞

1

z2(1− z)= 0

Es facil ver que, de manera similar a como vimos para el caso de puntos del plano, siz = ∞ es un cero de orden k para f(z) entonces

limz→∞

f(z) = 0, limz→∞

z · f(z) = 0, .... limz→∞

zk−1f(z) = 0

pero

limz→∞

zk · f(z) 6= 0

Otro ejemplo de funcion con cero en z = ∞ es:

f(z) =1

z4

que ya esta desarrollada en serie con un solo termino. Observese que lo importante aquıes que b−4 6= 0 para definir el cero y el resto de los coeficientes de la serie son nulos, ya queesta funcion es ya de por sı una potencia de z. En este ejemplo es interesante destacarque esta funcion tiene en z = 0 un polo de cuarto orden, de acuerdo con la definicion depolo vista arriba.

Si en el entorno del infinito la serie es de la forma

f(z) =0∑

n=−∞

bnzn (3.73)

entonces el punto z = ∞ es un punto singular evitable para f(z). Notese que en esecaso existe el lımite

limz→∞

f(z) = b0

2. Polo de orden k.

Vimos que F (ζ) tiene en ζ = 0 un polo de orden k si su desarrollo en el entorno de ζ = 0es del tipo


F (ζ) =∞∑

n=−k

anζn

Por lo tanto, volviendo a la variable inicial z y haciendo los cambios de ındice de sumatoriapertinentes concluimos que la funcion f(z) tiene en z = ∞ un polo de orden k si en suentorno el desarrollo de f(z) es de la forma

f(z) =+k∑

n=−∞

bnzn (3.74)

donde de nuevo bn = a−n.

Notese que al igual que en el caso del polo en el plano complejo

limz→∞

f(z) = ∞

Al igual que antes, aquı lo importante es que bk 6= 0 y nada se exige para el resto de losterminos de la serie.

Por ejemplo, el polinomio Pk(z) = b0 + b1z + ... + bkzk tiene en el punto z = ∞ un polo

de orden k. Igualmente, la funcion f(z) = z3 que ya es su propio desarrollo en serie depotencias de z, con solo un termino, pues solo b3 = 1 6= 0 y el resto de los coeficientes sonidenticamente nulos, tiene en z = ∞ un polo de tercer orden (y un cero de tercer orden,por supuesto, en z = 0.

Es interesante destacar que, al hacer el cambio de ındice de sumatoria n→ −n, la partede potencias negativas en la serie de Laurent se convierte en la de potencias positivas y laparte de potencias positivas se transforma en la de potencias negativas. Por tanto, en eldesarrollo de una funcion en el entorno del infinito lo que era en el plano la parte regularde la serie de convierte en parte principal y la que era la parte principal se convierte enla parte regular.

Ası, por ejemplo, para que z = ∞ sea un polo lo importante es que la parte de poten-cias positivas se trunque en un numero finito (+k), mientras que la parte de potenciasnegativas no juega en este caso ningun papel: puede estar truncada o simplemente noexistir.

3. Punto singular esencial.

Como ζ = 0 es un punto singular esencial para F (ζ), en su entorno la serie de Laurenttendra infinitos terminos en su parte principal:

F (ζ) =∞∑

n=−∞

anζn

Al hacer el cambio de variables z = 1ζ

y el cambio de ındice de sumatoria, se aprecia quela parte de potencias negativas se transforma en la parte de potencias positivas y la partede potencias positivas, que para la definicion de puntos singular esencial no tenıa ninguna


importancia y podıa estar truncada o no existir, ya que en la definicion lo importanteera que la parte de potencias negativas tuviera infinitos sumandos, se transforma en laparte de potencias negativas. Por lo tanto se obtiene que para que f(z) tenga en el puntoz = ∞ un punto singular esencial su serie en el entorno del infinito debera tener la forma

f(z) =∞∑

n=−∞

bnzn (3.75)

solo que ahora lo importante es que la parte de potencias positivas tenga un numeroinfinito de sumandos, en tanto la parte de potencias negativas puede existir o no.

Por ejemplo, la funcion

ez =∞∑n=0

zn

n!

que en el siguiente capıtulo estudiaremos con mayor detenimiento, tiene en el punto z = ∞una singularidad esencial. Solo destacaremos ahora que esta funcion exponencial es unafuncion entera (analıtica en todo el plano complejo) por lo que el desarrollo arriba escritoes valido para todo z.

En general se puede afirmar que todas las funciones enteras tienen en el infinito unasingularidad esencial. Ello significa que por distintas trayectorias que tiendan al infinito(o sea, que se alejen del origen de coordenadas) el lımite de tal funcion da valores distintos,ya que al ser el infinito una singularidad esencial el lımite de la funcion cuando z → ∞no existe.

Como es facil ver, los teoremas 29 - 33 que establecıan la conducta de las funciones enel entorno de los diferentes puntos singulares aislados tienen validez en el caso del puntosingular aislado z = ∞.


1. Hallar el dominio de convergencia absoluta de las series

(a)∞∑n=1

1

nz

(b)

a0

2+

∞∑n=1

{an cosnz + bn sinnz}

donde an, bn y z son numeros complejos (serie de Fourier en el plano complejo).

2. Hallar los radios de convergencia de las series:


(a)∞∑n=1

( zn

)n(b)

∞∑n=1

nlnn · zn

3. Escribir el desarrollo de la funcion f(z) en el dominio D en serie de Taylor o de Laurent:

(a)

f(z) =1

3− z; D : {|z| > 3}

(b)

f(z) =1

(z + i)2; D : {|z| < 1}

4. Desarrollar en serie de Taylor o de Laurent en el entorno del punto z0 las funciones:

(a)

f(z) =z

(1− z)2

con i) z0 = 0, ii) z0 = 1, iii) z0 = ∞(b)

f(z) =z

1 + z2

con i) z0 = i, ii) z0 = ∞(c)

f(z) =1

z(z − 1)

con i) z0 = 0, ii) z0 = 1

(d)

f(z) =1

z2 − 3iz − 2

con z0 = −2i

(e)

f(z) =1

(z − 3)2

con i) z0 = −1, ii) z0 = ∞, iii) z0 = 3

(f)

f(z) =z

(z + 1)2(z − 2)

con i) z0 = 3, ii) z0 = −1, iii) z0 = 2


(g)

f(z) =1

z

con z0 = i

5. El coeficiente de la potencia enesima de z en el desarrollo de Taylor en el entorno de z = 0de la funcion

f(z) =4− z2

4− 4zt+ z2

con −1 ≤ t ≤ 1, recibe el nombre de polinomio de Chebishev Tn(t). Demostrar que

Tn(t) =1

2n−1cos(n arccos t)

6. El coeficiente de la potencia enesima de z en el desarrollo de Laurent en el entorno dez = ∞ de la funcion

f(z) = et2(z−

1z )

recibe el nombre de funcion de Bessel de orden n Jn(t). Obtener la expresion de lafuncion de Bessel Jn(t) en forma de serie de potencias y en forma integral.

7. ¿Que diferencia hay entre el comportamiento en el entorno del cero de las funciones:

a) de variable real

y = e−1

x2 , ∀x 6= 0

= 0, ∀x = 0

b) de variable compleja

w = e−1

z2 , ∀z 6= 0

= 0, ∀z = 0?

8. ¿Que singularidades tienen las funciones:

(a) e1

z−1

ez−1

(b) 1sin z+cos z

(c) 1−ez

1+ez

(d) z2e−z?

Capıtulo 4

Prolongacion analıtica. Funcioneselementales de variable compleja

En los tres primeros capıtulos de nuestro libro hemos desarrollado la teorıa general de derivacion,integracion y desarrollo en series para las funciones de variable compleja basandonos exclusi-vamente en el concepto y las propiedades generales de las funciones analıticas.

Una vez conocida la teorıa general arriba mencionada podemos dedicarnos al estudio especıficode las funciones de variable compleja -en especial de las funciones analıticas que son las de mayorutilidad por su aplicacion a problemas de aplicaciones fısicas y tecnicas- a fin de observar laforma, el dominio de definicion y las caracterısticas de las mismas. Estudiaremos, pues en estecapıtulo las funciones elementales de variable compleja.

Con el proposito de introducir consecuentemente estas funciones elementales, estudiaremosprimero el concepto de prolongacion analıtica y veremos el teorema de unicidad de las funcionesanalıticas. Aquı nos enfrentaremos ante conceptos y resultados que resultan asombrosos y quese alejan bastante de lo que tenemos por costumbre conocer del analisis de las funciones de unavariable real.

4.1 Prolongacion analıtica

4.1.1 Teorema de unicidad de las funciones analıticas

Las propiedades de las funciones de variable compleja estudiadas hasta aquı nos permitenconcluir que para determinar una funcion analıtica en un dominio dado es suficiente dar elvalor de la funcion en cuestion en una parte del dominio y no en todo el dominio. Por ejemplo,si damos los valores de una funcion analıtica en los puntos de la frontera del dominio deanaliticidad, podemos, con la ayuda de la formula integral de Cauchy, determinar los valoresde esta funcion en todos los puntos del dominio.

Por consiguiente, una funcion analıtica en un dominio se define dando una informacion incom-

143


pleta de sus valores en dicho dominio. Es logico plantearnos la siguiente pregunta: ¿cual es lainformacion ”mınima” que hay que tener para definir completamente una funcion analıtica enun dominio dado?

Teorema 34

Si la funcion f(z) es analıtica en cierto cırculo con centro en el punto z0 y si existe una sucesionde puntos {zn} (n = 1, 2, ...) convergente a z0 (zn 6= z0) tal que f(zn) = 0, entonces f(z) ≡ 0en todo el cırculo.

Demostracion:

Como la funcion es analıtica en el cırculo dado, ella puede ser desarrollada en serie de Taylor:

f(z) =∞∑k=0

ak(z − z0)k (4.1)

Pero como por hipotesis existe la sucesion {zn} → z0 arriba senalada tal que f(zn) = 0,tendremos que el coeficiente a0 de la serie sera

a0 = f(z0) = limn→∞

f(zn) = 0 (4.2)

Este lımite es ası, pues como la funcion es analıtica en el cırculo (o sea, los puntos del cırculo sonpuntos regulares para f(z)), este lımite existe y, al existir, tiene el mismo valor por cualquiertrayectoria, y por la trayectoria {zn} → z0 en especıfico es igual a cero.

Esto significa que la serie (4.1) comienza en realidad en k = 1:

f(z) =∞∑k=1

ak(z − z0)k = (z − z0)

∞∑k=1

ak(z − z0)k−1 = (z − z0)f1(z) (4.3)

Por hipotesis del teorema tenemos que

f(zn) = (zn − z0)f1(zn) = 0 (4.4)

y como por condicion del teorema zn 6= z0, (4.4) significa que f1(zn) = 0; ademas, como

f1(z) =∞∑k=1

ak(z − z0)k−1

tendremos, por tanto que el coeficiente a1 de la serie (4.1) que ya comenzaba en k = 1 es

Prolongacion analıtica. Funciones elementales 145

a1 = f1(z0) = limn→∞

f1(zn) = 0 (4.5)

ya que por ser f1(z) analıtica, el lımite al existir es independiente de la trayectoria y por latomada especıficamente ese lımite es igual a cero. Lo dicho implica que la serie en realidadcomienza en k = 2

f(z) =∞∑k=2

ak(z − z0)k = (z − z0)

2

∞∑k=2

ak(z − z0)k−2 = (z − z0)

2f2(z) (4.6)

De nuevo, por hipotesis del teorema, podremos escribir que

f(zn) = (zn − z0)2f2(zn) = 0 (4.7)

de donde concluimos -ya que zn 6= z0- que f2(zn) = 0, lo que implicara que el coeficiente a2 dela serie sera

a2 = f2(z0) = limn→∞

f2(zn) = 0 (4.8)

y por consiguiente, nuestra serie comienza en realidad en k = 3:

f(z) =∞∑k=3

ak(z − z0)k (4.9)

Repitiendo este proceso indefinidamente, llegamos a la conclusion siguiente:

a0 = a1 = a2 = a3 = ... = an = ... = 0 (4.10)

Es decir, que f(z) ≡ 0 para todo z del cırculo.


Corolario 1

Si la funcion f(z) es analıtica en cierto dominio D y si existe una sucesion de puntos {zn}convergente a un punto a ∈ D (zn 6= a) tal que f(zn) = 0, entonces f(z) ≡ 0 en todo el dominioD.

Este corolario es una generalizacion del teorema a un dominio cualquiera y su demostraciones evidente, ya que siempre es posible recubrir el dominio D con un numero finito de cırculosdonde se cumpla el teorema 34. Efectivamente, tomando un cırculo con centro en el punto ay radio igual a la menor distancia entre a y la frontera del dominio D, se cumple el teorema


34 en dicho cırculo y luego, tomando como nuevo centro de un nuevo cırculo un punto de lafrontera del cırculo con centro en a, podemos extender este teorema al nuevo cırculo y asısucesivamente, hasta cubrir todo el dominio D. El algoritmo arriba expresado es identico alrazonamiento efectuado en la demostracion del teorema 18 (Principio del maximo y del mınimodel modulo de una funcion analıtica), por lo que no abundamos mas en su fundamentacion,dejando al lector un desarrollo mas detallado del mismo.

Corolario 2

Si la funcion analıtica f(z) no es identicamente nula en el dominio D, entonces en cualquiersubdominio cerrado D1 del dominio D dicha funcion tiene solamente un numero finito de ceros.

Efectivamente, si el conjunto de ceros de la funcion f(z) en el dominio D1 fuera infinito,entonces por el teorema 2, de dicho conjunto pudiera separarse una sucesion {zn} de ceros def(z) convergente al punto a ∈ D1. En virtud del teorema 34 ello significarıa que f(z) ≡ 0 enD, lo que contradice la hipotesis del corolario.

Corolario 3

Una funcion analıtica puede tener un numero infinito de ceros solamente en un dominio abiertoo en un dominio infinito.

La demostracion de este corolario es evidente a partir de lo anterior.

De estos tres corolarios se deduce que una funcion entera puede tener en una parte del planocomplejo solamente un numero finito de ceros; esto implica que todos los ceros de una funcionentera forman en todo el plano un conjunto numerable (pueden numerarse, por ejemplo, aten-diendo al valor de sus modulos) y que el lımite de dicho conjunto de ceros es el punto infinita-mente alejado del plano complejo.

Teorema 35 (Teorema de unicidad de las funciones analıticas)

Sean f1(z) y f2(z) dos funciones analıticas en el dominio D y supongamos que existe unasucesion de puntos {zn} convergente a z0 ∈ D (zn 6= z0) tal que f1(zn) = f2(zn). Entoncesf1(z) ≡ f2(z) en todo el dominio D.

Demostracion:

Analicemos la funcion f(z) = f1(z) − f2(z). Por construccion es evidente que f(zn) = 0.Entonces, en virtud del teorema 34 y de su corolario 1, queda demostrado el teorema.

El teorema 35 tiene un significado fundamental, pues de el se deduce que en un dominio dadoD puede existir solamente una funcion analıtica unica que tome valores dados en los puntos deuna sucasion {zn} convergente al punto z0 ∈ D.

Corolario 1

Si las funciones f1(z) y f2(z), analıticas en el dominio D, son iguales sobre cierta curva Lcontenida en el dominio D, entonces ellas son identicamente iguales en todo el dominio D.


Corolario 2

Si las funciones f1(z) y f2(z) son respectivamente analıticas en los dominios D1 y D2 que poseenun subdominio comun D12 y si dichas funciones son iguales entre sı en D12, entonces existe unafuncion analıtica unica F (z) tal que

F (z) = f1(z), ∀z ∈ D1

= f2(z), ∀z ∈ D2

El teorema de unicidad 35 y sus corolarios pueden ser enunciados de las formas siguientes:

1. Supongamos que en el dominio D existe una sucesion de puntos zn ∈ D convergente alpunto z0 ∈ D. Entonces en dicho dominio puede existir solamente una funcion analıticaunica f(z) que tome en los puntos zn valores dados.

2. Supongamos que en el dominio D existe una curva L. Entonces en D puede existirsolamente una funcion analıtica unica f(z) que tome valores dados sobre L.

3. Sea D1 un subdominio cerrado del dominio D. Entonces en el dominio D puede existirsolamente una funcion analıtica unica que tome valores dados en el subdominio D1

4.1.2 Prolongacion analıtica. Concepto de superficie de Riemann

Supongamos que en el plano complejo tenemos dos dominiosD1 yD2 que tienen una interseccionno nula D12 (Fig. 4.1.).1

Supongamos que las funciones analıticas univaluadas f1(z) y f2(z) estan definidas, respectiva-mente, en los dominios D1 y D2 y son identicamente iguales entre sı en la interseccion D12,

Entonces la funcion F (z) definida mediante la relacion

F (z) = f1(z), ∀z ∈ D1

= f2(z), ∀z ∈ D2 (4.11)

es analıtica en el dominio D = D1 ∪D2 y coincide con f1(z) en D1 y con f2(z) en D2.

Tiene lugar la siguiente definicion.

Definicion:

1Aquı son posibles varios casos distintos; por ejemplo, a) que el dominio D1 sea un subdominio de D2.Entonces D12 ≡ D1; b) que la interseccion D12 sea un dominio simplemente conexo o multiconexo; c)que lainterseccion D12 este constituida por varios (inclusive infinitos) dominios conexos.


Figura 4.1: Dominios con interseccion no nula.

La funcion F (z) se llama prolongacion analıtica de la funcion f1(z) (f2(z)) del dominioD1 (D2) al dominio D = D1 ∪D2.

La funcion f2(z) (f1(z)) tambien se llama prolongacion analıtica de la funcion f1(z) (f2(z))del dominio D1 (D2) al dominio D2 (D1).

Por el teorema de unicidad 35 demostrado arriba, podemos afirmar que si la prolongacionanalıtica existe, es unica.

La definicion dada de prolongacion analıtica de la funcion f1(z) del dominio D1 a un dominiomas amplio D constituye la forma mas simple de lo que se conoce con el nombre de Principiode Prolongacion Analıtica.

Veamos ahora el caso en que las funciones f1(z) y f2(z) sean identicamente iguales solamenteen la parte D′

12 de la interseccion D12 de los dominios D1 y D2, pero que resulten diferentes enla parte D′′

12 de dicha interseccion (Fig. 4.2).

Veamos el dominio


Figura 4.2: Dominios con dos intersecciones no nulas.

D = D1 ∪D2 \D′′12

De acuerdo con lo anteriormente dicho, en el dominio D esta definida una funcion analıticaunica F (z) dada por la expresion

F (z) = f1(z), ∀z ∈ D1 \D′′12

= f2(z), ∀z ∈ D2 \D′′12

que es la prolongacion analıtica de la funcion f1(z) del dominio D1 \D′′12 al dominio D. Esta

funcion es analıtica en el dominio D y coincide con la funcion f1(z) en el dominio D1 \D′′12 y

con la funcion f2(z) en el dominio D2 \D′′12.

Esta claro que la funcion F (z) puede ser prolongada analıticamente al dominio D′′12 de dos

formas diferentes:


F1(z) = F (z), ∀z ∈ D= f1(z), ∀z ∈ D′′

12 (4.12)

o

F2(z) = F (z), ∀z ∈ D= f2(z), ∀z ∈ D′′

12 (4.13)

Esta situacion nos obliga a considerar una funcion analıtica multivaluada F (z) definidaen el dominio D = D1 ∪D2 que toma valores distintos en cada punto del subdominio D′′

12 deldominio D.

En particular, en el caso analizado hemos obtenido una funcion analıtica bivaluada F (z) quetoma en el punto z0 ∈ D′′

12 dos valores diferentes, que son los valores de las funciones f1(z) yf2(z) en dicho punto.

Al trabajar con funciones multivaluadas aparecen dificultades relacionadas con la eleccion desu valor en un punto dado. Por eso, se introduce el concepto de rama de una funcion analıticamultivaluada.

Definicion:

Rama univaluada de la funcion analıtica multivaluada F (z) es cada una de las funcionesunivaluadas que se igualan en el subdominio D′′

12 ⊂ D = D1 ∪ D2 a la funcion multivaluadaF (z).

En el ejemplo desarrollado arriba f1(z) y f2(z) son las dos ramas univaluadas en D′′12 de la

funcion bivaluada F (z).

Veremos a continuacion un concepto que nos permite transformar una funcion multivalada enun dominio del plano complejo en una funcion univaluada en un conjunto mas complicadollamado Superficie de Riemann.

En el ejemplo arriba estudiado, dado por las relaciones (4.12) y (4.13), construiremos la super-ficie de Riemann de la siguiente manera:

Consideraremos que los dominios D1 y D2 se encuentran en dos planos complejos diferentes quese encuentran identificados, es decir, fuertemente ”pegados”, por su parte comun D′

12 dondelas funciones f1(z) y f2(z) coinciden en sus valores funcionales, en tanto que los dos ejemplaresD′′

12 pertenecientes a los dominios D1 y D2 de cada plano permanecen independientes, sinidentificarse, o sea, repetidos, ya que en ellos los valores funcionales de f1(z) y f2(z) sondiferentes entre sı.

Entonces en el conjunto geometrico obtenido mediante la union de los dominios D1 y D2 atraves de su parte comun D′

12 (de forma tal que los puntos de D′′12 estan considerados dos

veces) la funcion F (z) es una funcion analıtica univaluada.


El conjunto geometrico construido en la forma arriba indicada se llama Superficie de Rie-mann para la funcion analıtica F (z). Cada una de las partes que se repiten en la superficiede Riemann, que en el caso visto son las regiones D′′

12 de D1 y D2 respectivamente, se llamanhojas de la superficie de Riemann. Ası pues, la superficie de Riemann de una funcionmultivaluada tendra tantas hojas como ramas univaluadas tenga la funcion multivaluada; encada hoja de la superficie de Riemann quedara definida una rama univaluada de la funcionmultivaluada en el plano complejo.

Mas adelante tendremos la oportunidad de analizar y construir en diferentes ejemplos concretosdistintas superficies de Riemann y analizar sus hojas.

Veamos ahora algunos metodos de realizar prolongaciones analıticas.

4.1.3 Prolongacion analıtica a traves de la frontera

Enunciemos y demostremos el siguiente teorema que nos brinda las condiciones suficientes parala prolongacion analıtica a traves de la frontera.

Teorema 36

Sean D1 y D2 dos dominios de fronteras Γ1 y Γ2 respectivamente con una porcion comun defrontera γ (Fig. 4.3). Sean f1(z) analıtica en D1 y continua en D1 ∪ γ y f2(z) analıtica en D2

y continua en D2 ∪ γ y tales que f1(z)|γ = f2(z)|γ.

Entonces la funcion

f(z) = f1(z), ∀z ∈ D1 ∪ γ= f2(z), ∀z ∈ D2 ∪ γ (4.14)

es analıtica en el dominio D = D1 ∪D2 ∪ γ.

Demostracion:

Veamos un contorno cerrado arbitrario C en el dominio D. Si dicho contorno esta totalmentecontenido en D1, entonces es evidente que

∫C

f(z)dz =

∫C

f1(z)dz = 0

pues f1(z) es analıtica en D1 por hipotesis y por tanto cumple el teorema de Cauchy.

Si el controno C se encuentra totalmente en el dominio D2, entonces de forma completamenteanaloga concluimos que


Figura 4.3: Demostracion del teorema de prolongacion analıtica a traves de la frontera.

∫C

f(z)dz =

∫C

f2(z)dz = 0

Si el contorno C pertenece a los dominios D1 y D2, entonces, si denotamos por γ a la parte dela frontera comun γ que esta contenida dentro del contorno C, podemos escribir que

∫C

f(z)dz =

∫C1

f1(z)dz +

∫γ+

f1(z)dz +

∫C2

f2(z)dz +

∫γ−f2(z)dz (4.15)

donde C1 es la porcion de contorno C contenida en D1 y C2 la porcion de C contenida en D2.En la expresion (4.15) al anadir las integrales por γ+ y por γ− no hemos hecho otra cosa queanadir un cero, ya que ambas integrales se anulan. La expresion (4.15) nos conduce a que

∫C

f(z)dz =

∫contorno cerrado enD1

f1(z)dz +

∫contorno cerrado enD2

f2(z)dz = 0 (4.16)


Cada una de las integrales del miembro derecho en (4.16) es igual a cero en virtud de lageneralizacion del teorema de Cauchy ya que f1(z) y f2(z) son analıticas en el interior decada uno de esos contornos y continua en la frontera, lo que es garantizado por la hipotesisdel teorema al exigir en particular la continuidad sobre γ da ambas funciones, ademas de suigualdad para la anulacion de las integrales por γ+ y por γ−.

La expresion (4.16) en virtud del teorema de Morera, por la continuidad de las funcionesimplicadas, nos permite concluir que f(z) dada por (4.14) es analıtica.


En el caso en que el teorema demostrado se cumpla diremos que la funcion f1(z) (f2(z)) definidaen el dominio D1 (D2) ha sido prolongada analıticamente a traves de la frontera γ al dominioD2 (D1).

En este caso, al igual que en los anteriores, podemos obtener funciones multivaluadas si losdominios D1 y D2 tienen, ademas de la porcion de frontera comun γ, una interseccion no nulaD12 en la que las funciones f1(z) y f2(z) no son iguales entre sı.

En la aplicacion de este teorema para obtener prolongaciones analıticas a traves de fronterasdebe exigirse el cumplimiento de la igualdad y la continuidad de f1(z) y f2(z) en la fronteracomun.

Veamos un ejemplo que ilustre este metodo de prolongacion analıtica.

Sea la funcion

f(z) =√z

en el dominio D: {1 < |z| < 2, Im z > 0} (Fig 4.4)

Es decir si 0 < arg z < π. Hallemos la prolongacion analıtica de esta funcion en el semianilloinferior {1 < |z| < 2, Im z < 0}.

Si prolongamos a traves de la frontera (−2,−1) teniendo en cuenta que el argumento debevariar de forma continua para que las funciones sean continuas, tendremos que la prolongacionen este caso sera

f1(z) =√z, con π < arg z < 2π

Ası, por ejemplo, tendremos que

f1(−i) =√−i =

√ei

3π2 = ei

3π4 =

1√2

+i√2

Si por el contrario prolongamos a traves de la frontera (1, 2), para que el argumento (y portanto la funcion) varıe de forma continua, tendremos por prolongacion la funcion


Figura 4.4: Ejemplo de prolongacion analıtica a traves de la frontera.

f2(z) =√z, con − π < arg z < 0

Por lo tanto, en este caso tendremos

f1(−i) =√−i =

√e−i

π2 = e−i

π4 =

1√2− i√

2

es decir, de acuerdo a como hayamos realizado la prolongacion obtendremos valores distintosde nuestra funcion en un mismo punto. Esto significa que estamos en este ejemplo en presenciade una funcion bivaluada. Su superficie de Riemann sera construida en el proximo epıgrafe.

4.1.4 Prolongacion analıtica por medio de series de potencias

Hasta aquı hemos obtenido explıcitamente las distintas ramas de una funcion analıtica en elplano complejo y hemos efectuado la prolongacion analıtica mediante la union de los dominios de


definicion de dichas ramas. Veamos ahora otro metodo concreto para construir la prolongacionanalıtica de una funcion dada inicialmente en cierto dominio D del plano complejo.

Sea la funcion f(z) analıtica en el dominio D (Fig. 4.5). Tomemos arbitrariamente un puntoz0 ∈ D y desarrollemos dicha funcion en serie de Taylor con centro en z0, lo que se puede hacer,ya que, al ser z0 un punto interior de D y ser f(z) analıtica en D, siempre existira un cırculocentrado en z0 de analiticidad de f(z). Este desarrollo tiene la forma

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (4.17)

Supongamos que el radio de convergencia de la serie es tal que el cırculo de convergencia sesale de los lımites del dominio D.

Figura 4.5: Prolongacion analıtica por medio de series de potencias.

Entonces el dominio de convergencia de la serie y el dominio D tienen una interseccion no nuladonde la suma de la serie es f(z). Introduzcamos entonces la siguiente funcion:


F (z) = f(z), ∀z ∈ D

=∞∑n=0

an(z − z0)n, ∀z ∈ D1 (4.18)

donde D1 es la porcion del cırculo de convergencia de la serie que se encuentra fuera del dominioinicial de definicion de f(z) D.

La nueva funcion F (z) por construccion es analıtica en todo el dominio D y en el cırculo deconvergencia de la serie (4.17). Pueden suceder dos casos:

1. Que el cırculo de convergencia de la serie no salga del dominio D. Entonces no es posiblehacer esta prolongacion analıtica de esta forma.

2. Que el cırculo de convergencia de la serie sı salga del dominio D. Entonces obtenemosun dominio mayor en el que puede efectuarse la prolongacion analıtica con ayuda de lafuncion definida por (4.18).

En este caso podemos decir, igualmente, que F (z) es la prolongacion analıtica de la funcionf(z) del dominio D al dominio union de D y el cırculo de convergencia de la serie, o tambienque la funcion dada por la suma de la serie (4.17) es la prolongacion analıtica de f(z) deldominio D al dominio D1.

Es posible que al continuar este proceso en la forma en que se ilustra en la figura 4.6 regresemos,tras un numero finito de pasos al dominio D. En este caso pueden suceder dos cosas:

1. Que al regresar a D obtengamos la misma funcion inicial f(z). En este caso la funcionsera univaluada.

2. Que al regresar al dominio D obtengamos otro valor funcional diferente al valor de f(z)en los puntos de D. En este caso la funcion sera multivaluada.

Veamos un ejemplo ilustrativo de este metodo de prolongacion analıtica. Sea la funcion f1(z)definida a traves de la suma de la serie de potencias

f1(z) =∞∑n=0

zn (4.19)

Esta serie converge dentro del cırculo |z| < 1 a la funcion analıtica en dicho cırculo

f1(z) =1

1− z(4.20)


Figura 4.6: Continuacion de la prolongacion analıtica por medio de series de potencias.

y diverge fuera de dicho cırculo, por lo que, ası dada, la funcion f1(z) esta definida y es analıticasolo en el cırculo |z| < 1.

Tomemos un punto z0 dentro del cırculo |z| < 1 y construyamos el desarrollo de la funcionf1(z) en la serie de potencias

∞∑n=0

an(z − z0)n

con centro en dicho punto. El calculo de los coeficientes an por la formula (3.35) resulta

an =1

(1− z0)n+1

No es difıcil comprobar que el radio de convergencia de esta nueva serie es |1− z0|.

Con ayuda de un sencillo analisis geometrico (Fig. 4.7) concluimos que en el caso en que el


punto z0 no este sobre el segmento (0, 1) del eje real, el cırculo de convergencia de esta nuevaserie se sale de los lımites del cırculo inicial |z| < 1 de definicion de f1(z). La funcion

f2(z) =∞∑n=0

(z − z0)n

(1− z0)n+1(4.21)

es analıtica en el cırculo de convergencia |z− z0| < |1− z0| y coincide con la funcion f1(z) dadapor (4.19) en la interseccion de los cırculos de convergencia de ambas series. Por lo tanto f2(z)dada por (4.21) es la prolongacion analıtica de la funcion f1(z) del dominio |z| < 1 al dominio|z− z0| < |1− z0|. Como es obvio, la suma de la serie (4.21) en todo su cırculo de convergenciaes igual a la suma de la serie (4.19) en su correspondiente cırculo de convergencia, que es lafuncion (4.20).

Figura 4.7: Ejemplo de prolongacion analıtica por medio de series de potencias.

Tomando ahora como nuevo centro de desarrollo en serie de potencias el punto z1 contenido enel cırculo |z − z0| < |1− z0| obtenemos una nueva serie:


f3(z) =∞∑n=0

(z − z1)n

(1− z1)n+1(4.22)

convergente en el cırculo |z − z1| < |1− z1| a la funcion (4.20).

La funcion f3(z) coincide con las funciones f1(z) y f2(z) en las partes comunes del cırculo|z − z1| < |1 − z1| con los dominios de definicion de f1(z) y f2(z); por consiguiente, f3(z) esla prolongacion analıtica al nuevo dominio. Es importante senalar que cualquiera que sea elpunto z1 escogido, la frontera del cırculo de convergencia de la serie correspondiente pasa porel punto z = 1 (Fig. 4.7).

Continuando el metodo expresado podemos construir la prolongacion analıtica de la funcionf1(z) a todo el plano complejo excluyendo el punto z = 1. La prolongacion analıtica que de esamanera obtenemos es la funcion

f(z) =1

1− z

definida y analıtica en todo el plano complejo, excepto en el punto z = 1 que por construccionde la cadena de cırculos mediante la que hicimos la prolongacion analıtica a todo el plano, esun punto de frontera del dominio de analiticidad de esta funcion y, ademas, es, como se ve, unpunto singular de esta funcion.

De esta manera hemos logrado ampliar el dominio inicial de definicion de la funcion f(z), queera el cırculo |z| < 1 en el que estaba dada la funcion f1(z), a un dominio mayor. Recalquemosque a pesar de que tiene lugar un numero inmenso de superposiciones de la cadena de cırculosconstruida, la funcion obtenida es univaluada en todo el dominio de definicion, que es, comodijimos, todo el plano complejo, excepto el punto z = 1. Una prolongacion analıtica ulterior deesta funcion a un dominio mayor ya es imposible.

Recalcamos por la importancia que tiene que, por la forma en que hemos llevado a cabo laprolongacion analıtica, el punto z = 1 constituye la frontera del dominio de analiticidad de lafuncion f(z) y es un punto singular de esta funcion.

4.1.5 Concepto de funcion analıtica completa

Las consideraciones efectuadas en los puntos anteriores nos permiten construir la prolongacionanalıtica de la funcion f1(z), definida en el dominio D1, a un dominio mayor D = D1 ∪ D2 oa su correspondiente superficie de Riemann. Como vimos, podemos analizar la prolongacionanalıtica a lo largo de una cadena de dominios D1, D2, ..., Dn, que tienen partes comunes D′

i,i+1

en las que las funciones analıticas f1(z), f2(z),...,fn(z) definidas en los dominios D1, D2, ..., Dn

coinciden.

De esta manera en el dominio D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn o en su correspondiente superficie deRiemann R obtenemos una funcion analıtica univaluada F (z) que es la prolongacion analıtica


de la funcion f1(z).

Si la funcion analıtica f1(z) inicialmente esta dada en el dominio D1, construyendo distintascadenas de dominios que salgan del dominio D1 podemos obtener la prolongacion analıtica de lafuncion f1(z) a distintos dominios que contengan al dominio D1. De aquı que sea fundamentalel concepto de funcion analıtica completa.

Definicion:

La funcion F (z) obtenida mediante la prolongacion analıtica a traves de todas las posiblescadenas de dominios que salgan del dominio D1 de definicion inicial de la funcion analıticaf1(z), recibe el nombre de funcion analıtica completa. Su dominio de definicion R sedenomina dominio natural de existencia de la funcion analıtica completa.

De acuerdo con el analisis realizado en este epıgrafe, el dominio natural de existencia R de unafuncion analıtica completa F (z) puede ser una superficie de Riemann.

En virtud de la definicion planteada, la prolongacion analıtica de la funcion completa F (z) atraves de la frontera Γ de su dominio natural de existencia R es imposible. Es mas, todos lospuntos que forman la frontera Γ del dominio natural de existencia R de la funcion analıticacompleta F (z) son puntos singulares de esta funcion. Lo aquı afirmado es facil de demostrar.

Efectivamente, supongamos que el punto z0 ∈ Γ es regular para la funcion F (z). Entonces,por definicion de punto regular, en el entorno de dicho punto |z − z0| < ρ existe cierta funcionanalıtica Φ(z) que coincide con la funcion F (z) en la interseccion de dicho entorno con eldomino R. Pero el entorno |z − z0| < ρ evidentemente se sale del dominio R por ser z0 unpunto de la frontera Γ de R y, por lo tanto, la funcion Φ(z) serıa la prolongacion analıtica de lafuncion completa F (z) a traves de la frontera de su dominio natural de existencia a un dominiomayor, lo que en virtud de la definicion de funcion analıtica completa y de dominio natural deexistencia es imposible.

En los ejemplos analizados en el epıgrafe hemos construido dos funciones analıticas completasy sus dominios naturales de existencia. Ası, la funcion analıtica completa

√z tiene por dominio

natural de existencia una superficie de Riemann de dos hojas y la funcion analıtica completa1

1−z tiene por dominio natural de existencia todo el plano complejo, con excepcion del puntoz = 1 que constituye la frontera Γ de su dominio natural de existencia.

Por ultimo diremos que si el dominio D1 es tal que es posible la prolongacion analıtica dela funcion f1(z) a un dominio mayor, la funcion f1(z) se llamara elemento de la funcionanalıtica completa F (z).

4.2 Funciones elementales de variable compleja

En este epıgrafe veremos una serie de consecuencias fundamentales del teorema de unicidad delas funciones analıticas. Segun vimos, una funcion analıtica se determina unıvocamente cuandose define en un conjunto de puntos de su dominio de definicion, ya sea dicho conjunto una curva


o, como caso particular, el eje real x del plano complejo. Este detalle nos permitira construir laprolongacion analıtica al plano complejo de las funciones elementales de variable real y estudiarsus propiedades en el plano complejo.

4.2.1 Funcion exponencial. Funciones trigonometricas

Como por el teorema de unicidad la funcion f(z), prolongacion analıtica de la funcion devariable real f(x), es unica, podemos basarnos en los desarrollos conocidos en serie de Taylorde las funciones de variable real:

ex =∞∑n=0

xn

n!(4.23)

sin x =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!(4.24)

cosx =∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!(4.25)

y definir como funcion exponencial de la variable compleja z a la expresion prolongacionanalıtica directa de (4.23)

ez =∞∑n=0

zn

n!(4.26)

y como funciones trigonometricas de la variable compleja z a las prolongaciones analıticasdirectas de (4.24) y (4.25)

sin z =∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!(4.27)

cos z =∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!(4.28)

Por el teorema de Abel sabemos que el radio de convergencia de las series (4.26), (4.27) y (4.28)es infinito, por lo que las funciones que ellas definen son enteras.

Veamos que relacion existe entre estas tres funciones; tenemos que


eiz =∞∑n=0

inzn

n!=

∞∑m=0

i2mz2m

(2m)!+

∞∑m=0

i2m+1z2m+1

(2m+ 1)!=

=∞∑m=0

(−1)mz2m

(2m)!+ i

∞∑m=0

(−1)mz2m+1

(2m+ 1)!= cos z + i sin z

es decir, que obtenemos lo que se conoce con el nombre de formula de Euler:

eiz = cos z + i sin z (4.29)

Notese que esta formula es valida para cualquier numero z complejo, por lo que justifica demanera rigurosa en su caso particular cuando z = ϕ real, la forma polar de expresar un numerocomplejo

z = reiϕ

que hemos venido empleando a lo largo de nuestro desarrollo.

De manera analoga podemos obtener que

e−iz = cos z − i sin z (4.30)

Operando con las expresiones (4.29) y (4.30) no es difıcil comprobar que

cos z =eiz + e−iz

2(4.31)

sin z =eiz − e−iz

2i(4.32)

El resto de las funciones trigonometricas se definen a traves de relaciones entre estas dos fun-ciones:

tan z =sin z

cos z

etc.

Veamos ahora si la funcion exponencial definida por nosotros con la formula (4.26) cumple conla propiedad fundamental de la funcion exponencial de variable real:


ex1+x2 = ex1ex2

A partir de (4.26) podemos escribir

ez1+z2 =∞∑n=0

(z1 + z2)n

n!(4.33)

Por la formula del binomio de Newton sabemos que

(z1 + z2)n =

n∑m=0

n!

m!(n−m)!zm1 · zn−m2

Sustituyendo esta expresion en (4.33) y cambiando el orden de sumatoria obtenemos

ez1+z2 =∞∑n=0

1

n!

n∑m=0

n!

m!(n−m)!zm1 · zn−m2 =

∞∑m=0

∞∑n=m

zm1m!

· zn−m2

(n−m)!=

=∞∑m=0

zm1m!

∞∑k=0

zk2k!

= ez1ez2

donde k = n−m.

Ası pues, para la variable compleja es tambien valido que

ez1+z2 = ez1ez2 (4.34)

Con ayuda de la funcion exponencial introduzcamos las llamadas funciones hiperbolicas:coseno hiperbolico y seno hiperbolico, mediante las formulas

cosh z =ez + e−z

2(4.35)

sinh z =ez − e−z

2(4.36)

Veamos ahora si son validas en el caso de la variable compleja las conocidas relaciones trigono-metricas para la variable real. Veamos, por ejemplo, el sin(z1 + z2). De acuerdo con la formula(4.32) tenemos


sin(z1 + z2) =ei(z1+z2) − e−i(z1+z2)

2i=eiz1eiz2 − e−iz1e−iz2

2i=

=(cos z1 + i sin z1)(cos z2 + i sin z2)− (cos z1 − i sin z1)(cos z2 − i sin z2)

2i=

Efectuando las multiplicaciones en esta expresion y simplificando, se puede ver que al igual quepara la variable real se cumple la identidad trigonometrica

sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 (4.37)

De forma analoga se comprueba que

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 (4.38)

Establezcamos la identidad trigonometrica de la suma de los cuadrados de las funciones seno ycoseno que, como se sabe, en el caso del argumento real x es igual a la unidad. Podrıamos hacerde forma similar a como actuamos para obtener la expresion (4.37). Sin embargo, la teorıa delas funciones analıticas estudiada nos permite demostrar dicha identidad y en general todas lasidentidades trigonometricas que queramos, de forma mucho mas facil y sencilla.

Efectivamente, analicemos la funcion de variable compleja

F (z) = sin2 z + cos2 z − 1

Como el seno y el coseno son funciones enteras, ya que las series (4.27) y (4.28) que las definenconvergen uniformemente en todo el plano complejo, la funcion F (z) es tambien una funcionentera. Esta funcion en un subdomino del plano complejo de analiticidad (el eje real z =x) es identicamente igual a cero, ya que para argumento real sabemos que se cumple quesin2 x + cos2 x ≡ 1. Es decir, F (x) ≡ 0. En virtud del teorema de unicidad de las funcionesanalıticas concluimos que F (z) ≡ 0, para todo z del plano complejo; o sea

sin2 z + cos2 z ≡ 1 (4.39)

De esta forma podemos establecer la validez de todas las identidades trigonometricas (la delseno del angulo duplo, etc.) conocidas de la variable real en el caso de la variable compleja.Esto se le deja al lector como ejercicio.

Estudiemos ahora con mayor detenimiento la forma y el comportamiento de las funcionesdefinidas en este punto. Sabemos que cualquier funcion de variable compleja puede ser escritaen la forma

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)


Hallemos esta forma para las funciones que estamos analizando.

Para la funcion exponencial, en virtud de la propiedad (4.34) demostrada anteriormente ygracias a la formula de Euler (4.29), podemos escribir

ez = ex+iy = ex · eiy = ex cos y + iex sin y (4.40)

Por consiguiente, para la funcion exponencial obtenemos que su parte real y su parte imaginariason, respectivamente

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y (4.41)

y su modulo, como se ve, es una funcion que no depende de la parte imaginaria de la variablez:

R =√u2 + v2 = ex (4.42)

en tanto su argumento es independiente de la parte real de la variable z:

Φ = Arg ez = y (4.43)

Es facil comprobar que las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen en el caso de la funcionexponencial para todo punto (x, y), lo que significa que nuestra funcion es analıtica para todoz (es decir, es una funcion entera), lo que coincide con la consecuencia ya analizada de ladefinicion (4.26).

Su derivada para todo z del plano complejo es:

(ez)′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= ex cos y + iex sin y ≡ ez (4.44)

Es decir, la regla de derivacion de la funcion exponencial es la misma que para la variable real.A este resultado es facil llegar con la ayuda del teorema de unicidad de las funciones analıticas,ya que como para todo x real la funcion

(ex)′ − ex ≡ 0

se cumplira que

(ez)′ − ez ≡ 0


para todo z.

Al ser una funcion entera, ez debera crecer indefinidamente al menos en una direccion, cuandoz →∞; el punto z = ∞ es para esta funcion un punto singular esencial, lo que puede deducirsede la forma de su desarrollo (4.26) que es, a la vez, el desarrollo en el entorno del infinito.

La funcion ez, como puede facilmente verse, nunca se anula en el plano complejo, ya que sumodulo ex 6= 0 para toda x y cos y y sin y nunca se anulan a la vez. Esto nos permite concluirque la ecuacion trascendente ez = 0 no tiene raıces ni reales, ni complejas.

Ademas de lo dicho, la funcion ez es una funcion periodica con periodo imaginario puro 2πi,ya que

ez+2πi = ez · e2πi = ez (4.45)

Hagamos el mismo analisis para las funciones trigonometricas. Para la funcion sin z, segun(4.37), podemos escribir que

sin z = sin(x+ iy) = sin x cos(iy) + cosx sin(iy) (4.46)

Pero

cos(iy) =ei(iy) + ei(−iy)

2=e−y + ey

2= cosh y (4.47)

sin(iy) =ei(iy) − ei(−iy)

2i=e−y − ey

2i= −e

y − e−y

2= i sinh y (4.48)

Sustituyendo (4.47) y (4.48) en (4.46) obtenemos para la funcion seno la expresion

sin z = sinx cosh y + i cosx sinh y (4.49)

es decir, que su parte real y su parte imaginaria son

u(x, y) = sin x cosh y, v(x, y) = cosx sinh y (4.50)

De forma completamente analoga podemos obtener para la funcion coseno la expresion

cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y (4.51)

es decir, que su parte real y su parte imaginaria son


u(x, y) = cosx cosh y, v(x, y) = sin x sinh y (4.52)

Es evidente que existen las derivadas de las funciones trigonometricas (4.49) y (4.51) para todoz del plano complejo:

(sin z)′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= cos x cosh y − i sin x sinh y = cos z (4.53)

(cos z)′ =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= − sin x cosh y − i cosx sinh y = − sin z (4.54)

resultado posible de obtener directamente teniendo en cuenta que para la variable real la reglade derivacion del seno y del coseno es la arriba expresada y aplicando el teorema de unicidad delas funciones analıticas de forma similar a como hicimos en el caso de la funcion exponencial.

La existencia de las derivadas (4.53) y (4.54) para todo z del plano complejo permite afirmarque las funciones (4.49) y (4.51) son enteras (analıticas en todo el plano complejo) y por losdesarrollos definitorios (4.27) y (4.28) tienen en el punto z = ∞ una singularidad esencial.

Ademas, se puede apreciar que ambas funciones trigonometricas son periodicas con periodoreal 2π, pero, a diferencia de sus casos particulares cuando z = real, no son acotadas, ya quepor ser z = ∞ un punto singular esencial, al menos a lo largo de una trayectoria que se alejedel punto z = 0 ambas funciones deben crecer indefinidamente. Lo dicho se hace tambienevidente del hecho de que el coseno hiperbolico y el seno hiperobolico son funciones que crecenexponencialmente cuando y →∞. Por lo tanto, si para argumento real no tiene sentido afirmarque pueda ocurrir que cos x pueda ser mayor que la unidad, ahora esa afirmacion tiene sentido,solo que el argumento sera un numero complejo. Por ejemplo,

cos i = cosh 1 =e2 − 1

2e≈ 1.17 > 1

lo que, ademas es una consecuencia directa del teorema de Liouville.

Por ultimo, observemos que el resto de las funciones trigonometricas que definimos formalmentecomo

tan z =sin z

cos z, cot z =

cos z

sin z, sec =

1

cos z, csc =

1

sin z(4.55)

no son analıticas en todo el plano z, ya que en los puntos zk = π2+kπ y zk = kπ respectivamente

dejan de ser analıticas; estos puntos son polos simples para estas funciones. Ademas, es evidenteque el punto z = ∞ es un punto singular no aislado para estas funciones, ya que nunca podraencontrarse para ellas una circunferencia con centro en el punto z = 0 fuera de la cual dichasfunciones sean analıticas; siempre tendremos fuera de dichas circunferencias, por muy grandeque sea su radio (es decir, en el entorno del punto z = ∞), un numero infinito de singularidades.


Sin embargo, estas funciones son analıticas en el resto de los puntos del plano complejo y sepuede demostrar sin dificultad, gracias al teorema de unicidad de las funciones analıticas, quese cumplen las relaciones de derivacion:

(tan z)′ =1

cos2 z, (cot z)′ = − 1

sin2 z

(sec z)′ =tan z

cos z, (csc z)′ = −cot z

sin z(4.56)

las que dejamos al lector a comprobar como ejercicio.

4.2.2 Funcion logaritmo

En el capıtulo de integracion, en el epıgrafe de integrales indefinidas introdujimos la funcionlogaritmo neperiano por medio de la integral indefinida de variable compleja

ln z =

∫ z

1

dζ

ζ(4.57)

pues vimos que dicha integral para valores reales de z (z = x) e integrando por el eje real(ζ = ξ), cosa posible de hacer pues la integral cerrada de la funcion 1

ζpor cualquier contorno

cerrado que no envuelva al punto ζ = 0 es igual a cero, da la funcion elemental lnx, conocidadesde los cursos de analisis de la variable real. Fue por eso que en aquella ocasion decidimosconservar el mismo sımbolo y escribimos la expresion (4.57), a la que denominamos logaritmonatural o neperiano de la variable compleja z.

Ahora podemos decir, en virtud del teorema de unicidad y el concepto de prolongacion analıtica,que la funcion (4.57) es la prolonacion analıtica de la funcion lnx al plano complejo y que esuna funcion unica.

El contorno de integracion, segun fue analizado en el capıtulo de integracion, es cualquier curvaque una los puntos ζ = 1 y ζ = z en el plano complejo, con tal de que dicho contorno no pasepor el punto ζ = 0, en el que la funcion 1

ζdeja de ser analıtica.

Para obtener una expresion que nos permita comodamente trabajar y analizar las propiedadesde la funcion logaritmo, tomemos por contorno de integracion en la formula (4.57), el segmentodel eje real [1, |z|] y el sector de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio|z| que se extiende desde el punto x = |z| hasta el punto z y donde ϕ es el angulo central bajoel cual se observa dicho sector de circunferencia, es decir la rama principal del argumento de lavariable z (Fig. 4.8).

Entonces de la formula (4.57) obtenemos que


Figura 4.8: Contorno de integracion entre 1 y z para definir el logaritmo.

ln z =

∫ z

1

dζ

ζ=

∫ |z|

1

dξ

ξ+

∫ z

|z|

dζ

ζ(4.58)

A la derecha de la expresion (4.58) tenemos dos integrales: la primera es una integral devariable real cuyo valor, como sabemos, es ln |z|; la segunda integral la tomamos por un sectorde circunferencia de radio |z|; por consiguiente, en ella tendremos que

ζ = |z|eiα, dζ

ζ= idα

por lo que dicha integral es

∫ z

|z|

dζ

ζ= i

∫ ϕ

0

dα = iϕ

Ası pues, para la funcion logaritmo obtenemos la expresion


ln z = ln |z|+ iϕ (4.59)

Supongamos que tomamos una circunferencia cualquiera que rodee al punto z = 0 (Fig 4.9) yque nos movemos por ella partiendo del punto z arriba tomado inicialmente para calcular por(4.59) el valor del logaritmo en ese punto y analizando en cada punto de dicha circunferenciael valor de esta funcion. De esta manera comprobamos que de manera diferente a la funcionlogaritmo de variable real, en la funcion de variable compleja existe el logaritmo de numerosimaginarios puros y de numeros negativos.

Figura 4.9: Analisis de la posibilidad de valores de logaritmos de numeros imaginarios y nega-tivos.

Efectivamente, de acuerdo con (4.59) para numeros reales negativos z = −x, como en ese caso|z| = x y ϕ = π, tendremos por (4.59) que

ln(−x) = lnx+ iπ (4.60)

Es decir, un numero complejo. Para el numero imaginario puro z = ix tendremos de acuerdocon el mismo razonamiento:


ln ix = ln x+ iπ

2

Ahora bien, al movernos por la circunferencia senalada dando una vuelta completa y regresandoal punto inicial z del que habıamos partido, observamos extranados que la funcion toma unvalor distinto del valor que tenıa inicialmente en dicho punto, pues si al inicio tenıamos comoln z la expresion

ln z = ln |z|+ iϕ

ahora obtenemos

ln z = ln |z|+ i(ϕ+ 2π)

es decir que la funcion en el mismo punto tiene un valor tambien incrementado en 2πi veces.O sea, en un mismo punto la funcion tiene mas de un valor numerico; si dieramos otra vueltapor la circunferencia obtendrıamos un nuevo valor:

ln z = ln |z|+ i(ϕ+ 4π)

y cada vez que demos una vuelta por la circunferencia el valor funcional se incrementara en 2πiveces. Es decir, en cada punto del plano la funcion logaritmo tiene infinitos valores funcionales,por lo que estamos en presencia de una funcion multivaluada infinitas veces en cada punto delplano complejo.

En concordancia con la notacion introducida al estudiar los numeros complejos, llamemosleArg z al valor multivaluado del argumento de la variable compleja z, es decir, Arg z = arg z +2kπ = ϕ + 2kπ, donde k = 0, 1, 2, ... y ϕ = arg z es la rama principal de dicho argumentoy que podemos tomar segun las conveniencias de los calculos a efectuar como 0 ≤ ϕ < 2π o−π ≤ ϕ < π, etc. Entonces, es logico introducir una nueva notacion para representar la funcionlogaritmo completa multivaluada; dicha notacion sera

Ln z = ln |z|+ iArg z (4.61)

Para cada valor univaluado del Arg z (es decir, para cada numero fijo de k) obtenemos unafuncion univaluada, es decir, una rama de la funcion (4.61), la que representamos mediante elsımbolo ln z.

Analicemos con mayor detalle lo relacionado con los distintos valores (ramas) de la funcionLn z.

Supongamos que el punto z, que parte de una posicion z0 6= 0, describe una curva cerrada Cque no envuelve al punto z = 0. Entonces el punto w = ln z correspondiente a la rama principal


del logaritmo (con k = 0) recorrera cierta curva cerrada Γ en el plano de coordenadas (u, v)(Fig. 4.10) uno de cuyos puntos es w0 = ln z0.

Las otras ramas de la funcion multivaluada Ln z correspondientes a los otros valores inicialesdel argumento de z0 recorreran otras curvas cerradas Γk que se diferenciaran de Γ solamente enun corrimiento de magnitud 2kπi (k = ±1. ± 2, ...) (Fig. 4.10, lıneas continuas). En la figura4.10 la curva Γ rodea al punto w = 0 porque hemos tomado la curva C rodeando al punto z = 1cuya imagen es w = 0. Las curvas Γk imagenes de C dadas por las otras ramas de la funcionLn z rodearan, obviamente, a los puntos 2kπi, pues estos puntos son la imagen de z = 1 dadapor cada una de las ramas correspondientes de Ln z.

Si tomamos ahora la curva cerrada C que no se corte a sı misma y tal que envuelva al puntoz = 0, entonces al completarse una vuelta partiendo desde z0 con la ley de la rama principal dela funcion, el valor funcional se incrementa en 2πi, de manera que el valor final obtenido seraw

(1)0 = w0 + 2πi (Fig. 4.10), por lo que la imagen de C no sera una curva cerrada en el plano

imagen, sino la porcion de curva abierta Γ (lınea de puntos en la figura 4.10) que partiendo del

punto w0 llega al punto w(1)0 . Pero este punto es la imagen de la funcion Ln z dada por la rama

correspondiente a k = 1.

Ası las cosas, concluimos que cuando el punto z recorre la curva cerrada C en el plano (x, y), elpunto w recorre una curva no cerrada Γ en el plano (u, v). Al dar z una vuelta por C, el valorfuncional del logaritmo salta de la rama principal a la rama correspondiente a k = 1; al dar unasegunda vuelta, el valor funcional salta a la rama correspondiente a k = 2 y ası sucesivamente.

De lo arriba expresado concluimos tambien que en cualquier dominio D que no contenga cur-vas cerradas que envuelvan al punto z = 0 podemos separar un conjunto infinito de ramasunivaluadas de la funcion multivaluada Ln z, cuyos valores en cada punto de dicho dominio sediferencian entre sı en los valores 2kπi. Si el dominio D contiene aunque sea una curva cerradaque envuelva al punto z = 0 (por ejemplo, si D contiene al punto z = 0 dentro de sı), entoncesen dicho dominio las ramas de la funcion Ln z no se pueden separar entre sı. El punto z = 0en el que parece como si se unieran todas las ramas de la funcion Ln z, recibe el nombre depunto de ramificacion o de escurrencia de la funcion multivaluada Ln z.

El nombre viene dado por el hecho de que en dicho punto se identifican todas las ramas de lafuncion multivaluada, es decir a partir de el se ramifica o se escurre la funcion.

Las ramas ln z de la funcion Ln z son univaluadas y analıticas en todos los dominios que nocontengan al punto de ramificacion; sin embargo esta afirmacion no es valida si el dominiocontiene al punto de ramificacion, pues entonces cada rama sera discontinua en una recta queparta desde z = 0 hacia el infinito, lo que significa que el punto z = 0 para cada rama asıconsiderada es un punto singular no aislado.

Por ejemplo, la rama ln z = ln |z|+i arg z, donde −π < arg z ≤ π es discontinua en la semirrecta(−∞, 0] (Fig.4.11), ya que

ln(−1) = ln 1 + iπ = iπ


sin embargo

limz→−1+i0

ln z = −iπ

Figura 4.10: Imagenes de contornos dadas por la funcion logaritmo.

Por supuesto, nosotros podemos colocar esta lınea de discontinuidad donde queramos atendien-do a los calculos que deseamos efectuar; para ello basta definir de otra forma los lımites devariacion del arg z (por ejemplo, entre 0 y 2π, entre π

2y 3π

2, etc.).

Por el analisis realizado en el primer epıgrafe, la funcion Ln z, multivaluada en el plano complejo,se puede hacer univaluada en una superficie mas complicada: su superficie de Riemann.

Para construir la superficie de Riemann de la funcion Ln z, tomemos un conjunto infinitode planos complejos paralelos entre sı. En cada uno de dichos planos definamos una de lasramas univaluadas de la funcion Ln z; por ejemplo, en el plano D0, la rama correspondiente a0 < arg z ≤ 2π; en el plano D1, la rama correspondiente a 2π < arg z ≤ 4π; en el plano D−1,la rama correspondiente a −2π < arg z ≤ 0, etc.

En cada uno de dichos planos la parte positiva del eje real 0 ≤ x < ∞ sera una lınea de


Figura 4.11: Dominio de rama univaluada de la funcion logaritmo.

discontinuidad para su rama respectiva. Cortemos, como con una tijera, cada uno de dichosplanos por su lınea de discontinuidad y peguemos entre sı los bordes de los cortes hechos en losdistintos planos de forma tal que, por ejemplo, el borde correspondiente a arg z = 2π del planoD0 se pegue con el borde correspondiente a arg z = 2π+ ε (ε es un infinitesimal) del plano D1,el borde correspondiente a arg z = 0 del plano D−1 con el borde correspondiente a arg z = 0+εdel plano D0 y ası sucesivamente.

De esta forma obtenemos una superficie espiralada (Fig. 4.12), con infinito numero de planosDk (k = 0,±1,±2, ...) que constituye la superficie de Riemann para la funcion Ln z; los planosDk forman lo que en el epıgrafe anterior llamamos hojas de la superficie de Riemann. Porconstruccion vemos que el punto de ramificacion z = 0 en dicha superficie es el mismo en todaslas hojas y unico en la superficie de Riemann.

Podemos tomar contornos cerrados en cualquier hoja de la superficie de Riemann que no con-tengan a z = 0 en su interior. En esos dominios con tales contornos podemos aplicar todoslos teoremas sobre derivacion, integracion y desarrollo en series hasta aquı estudiados. Sin em-bargo, si tratamos de trazar un contorno que envuelva al punto de ramificacion en la superficiede Riemann obtenemos un camino espiral que saltando de hoja en hoja nunca logra cerrarse.


Figura 4.12: Superficie de Riemann de la funcion logaritmo.

Por ultimo, veamos que relacion hay entre la funcion exponencial y la funcion logaritmo aquıestudiada. Tenemos que

eLnz = eln |z|+iArg z = |z|eiArg z = z (4.62)

Por consiguiente, concluimos que, al igual que en el caso real, en la variable compleja la funcionLn z es la funcion inversa de la funcion ez.

De la expresion (4.62) es facil deducir la regla de derivacion de la funcion logaritmo. Efectiva-mente, derivando (4.62) obtenemos

eLnz(Ln z)′ = 1

y como segun (4.62) eLnz = z, concluimos que


(Ln z)′ =1

z(4.63)

Por otro lado, derivando la integral dependiente analıticamente del parametro z (4.57) quedefinio inicialmente a nuestra funcion, obtenemos que

(ln z)′ =1

z(4.64)

Las expresiones (4.63) y (4.64) nos indican que la derivada de la funcion logaritmo es la mismapara todas sus ramas y que esta es una funcion analıtica univaluada en todo el plano complejoexcepto en el punto de ramificacion del logaritmo z = 0 donde esta derivada tiene un polosimple.

4.2.3 Funciones trigonometricas inversas

Por definicion las funciones trigonometricas inversas son

w = arcsin x (4.65)

y

w = arccosx (4.66)

si respectivamente sinw = z para (4.65) y cosw = z para (4.66). Hallemos la expresion deestas funciones a partir de la definicion dada. Tenemos que

sinw =eiw−e

−iw

2i= z

de donde obtenemos que

e2iw − 2izeiw − 1 = 0

Resolviendo esta ecuacion de segundo grado obtenemos

eiw = iz ±√

1− z2

de donde


w = −iLn [iz ±√

1− z2]

Ası pues, obtenemos para la funcion arco seno la expresion

Arcsin z = −iLn [iz ±√

1− z2] (4.67)

Hagamos notar que en virtud de la igualdad

−1

iz −√

1− z2= iz +

√1− z2

el cambio de signo delante del radical en la expresion (4.67) equivale a cambiar el signo delantedel logaritmo anadiendole a la funcion la magnitud ikπ y, como tanto la funcion logaritmocomo el radical (lo que fue establecido en el epıgrafe donde estudiamos los numeros complejosy las operaciones aritmeticas con ellos) son funciones multivaluadas, podemos no escribir elsigno menos delante del radical y delante del logaritmo, por lo que para la funcion arco senoobtenemos la expresion definitiva

Arcsin z = iLn [iz +√

1− z2] (4.68)

De forma completamente analoga se obtiene para la funcion arco coseno la expresion

Arccos z = iLn [z +√z2 − 1] (4.69)

Para obtener la formula (4.69) hemos realizado las mismas consideraciones que para obtener laformula (4.68) y hemos tenido en cuenta la igualdad

1

z −√z2 − 1

= z +√z2 − 1

De forma similar no es difıcil obtener que

Arctan z =π

2Arccot z =

1

2iLn

i− z

i+ z(4.70)

Todas estas funciones son multivaluadas, pues la funcion logaritmo que las define lo es; por esolas expresamos con letra mayuscula a su inicio, de acuerdo con la notacion acostumbrada. Elmetodo para separar las ramas univaluadas de estas funciones en nada se diferencia del metodoempleado en el estudio de la funcion logaritmo. Igualmente, se puede construir la superficie deRiemann de la funcion multivaluada Arcsin, z donde ya dicha funcion sera univaluada; dichasuperficie estara formada por infinitos planos paralelos que tendran dos puntos de ramificacion


en z = −1 y z = 1. Los planos se pegaran a lo largo de los semirayos x > 1, y = 0 yx < −1, y = 0. Se deja el desarrollo de estos calculos en manos del lector como ejercicio.

La prolongacion analıtica al plano complejo de las funciones trigonometricas inversas nos per-mite ampliar nuestros conceptos, pues si, por ejemplo, queremos calcular el arccos 1

2, por

definicion tendremos

Arccos1

2= iLn

[1

2+

√1

4− 1

]= iLn

[1

2+ i

√3

2

]=

= i[ln 1 + i

(π3

+ 2kπ)]

= −π3

+ 2kπ ≡ π

3+ 2k′π

donde al final hemos puesto el signo mas, ya que la funcion es par. Este es un resultado real,como era de esperar.

Si hubieramos querido hallar el arcsin 2 antes hubieramos dicho que no existıa, pues sin x 6= 2.Sin embargo, ahora decimos que no hay valores reales, pero si los hay complejos:

Arcsin 2 = iLn [i2 +√−3] = iLn [i(2 +

√3)] =

i[ln(2 +

√3) + i

(π2

+ 2kπ)]

= −(π

2+ 2kπ

)+ i ln(2 +

√3)

es decir, un numero complejo.

4.2.4 Funcion potencial

La funcion potencial sera definida a traves de las funciones estudiadas: llamaremos funcionpotencial a la funcion

zα = eαLn z = eα ln |z|+iArg z = eα ln |z|eiαArg z

Es decir

zα = eα ln |z|eiα arg zeiα2kπ (4.71)

donde k = 0,±1,±2, ...

Son posibles varios casos:

1. Que α = n, o sea, que α sea entero. Entonces


zn = |z|nein arg zein2kπ (4.72)

como n2kπ es un numero entero de 2π ya que n y k son enteros, ein2kπ = 1 y la funcion eneste caso es univaluada. Es logico ya que es simplemente el producto de z por sı mismon veces.

2. Que α = nm

con n y m enteros primos entre sı. es decir que α sea un numero fraccional.

Entonces tendremos que la funcion

znm = e

nm

ln |z|einm

arg zeinm

2kπ

sera m veces multivaluada, ya que el factor

einm

2k

tiene diferentes valores para n = 0, 1, 2, ...,m − 1 (es simplemente la raız emesima dezn, que desde el epıgrafe donde estudiamos los numeros complejos y las operacionesaritmeticas con ellos vimos que tenıa m valores). Mas adelante construiremos su superficiede Riemann que, conforme a lo estudiado, tendra m hojas.

3. Que α sea un numero irracional.

En este caso en la expresion (4.71) el factor

eiα2kπ

es lo unico que varıa al variar k. Demostremos que en el caso de α irracional la funcionpotencial es infinitas veces multivaluada. Para ello habra que comprobar que para dife-rentes valores de k siempre se obtienen valores diferentes de la funcion. Demostremoslopor reduccion al absurdo. Si suponemos que para dos valores de k: k1 y k2 se obtiene elmismo valor, entonces no tedrıamos infinitos valores funcionales.

Es decir, por reduccion al absurdo supongamos que

eiα2k1π = eiα2k2π

O sea,

eiα2k1π−iα2k2π = 1 ≡ ei2nπ

con n entero.

Eso equivale a decir que

α2k1π − α2k2π ≡ 2πα[k1 − k2] = 2nπ

de donde se obtiene que


α =n

k1 − k2

Este ultimo resultado significarıa que α, contrario a lo supuesto, es un numero racional,lo que contradice la hipotesis de que es un numero irracional.

El absurdo obtenido demuestra la tesis de que, efectivamente, si α es irracional, la funcionpotencial es infinitas veces multivaluada. Su superficie de Riemann tendra por tantoinfinitas hojas.

4. Que α sea un numero complejo, es decir, α = a+ ib (b 6= 0).

En este caso tendremos

zα = eαLn z ≡ ea ln |z| · eib ln |z| · eia arg z · e−b arg z · eia2kπ · e−b2kπ

Inclusive en el caso en que tanto a como b sean numeros enteros, el ultimo factor de laexpresion de arriba:

e−b2kπ

toma valores diferentes para valores de k diferentes. Por lo tanto, efectivamente, la funcionen este caso es una funcion infinitas veces multivaluada y su superficie de Riemann tendrapor lo tanto un numero infinito de hojas.

Ası las cosas, por ejemplo, podemos ahora calcular con rigor el numero ii. En este casoa = 0, b = 1 y como z = i, |z| = 1 y ln |z| = 0. Ademas, arg i = π

2, por lo que, finalmente,

tendremos:

ii = e−π2 · e−2kπ ≡ e−[π

2+2kπ]

La funcion potencial, por tanto, excepto en el caso en que α sea entero, es una funcion multiva-luada, lo que como apuntabamos arriba, significa que tiene un numero (finito o infinito, segun elcaso) de ramas analıticas univaluadas en el plano complejo y tendra una superficie de Riemanncon un numero finito o infinito de hojas, segun el caso. Analicemos mas detalladamente lasramas de la funcion zα.

Supongamos que el punto z, partiendo de la posicion inicial z0 6= 0, describe cierta curva cerradaC1 que no rodea al punto z = 0. (Fig. 4.13). Al punto z0 le corresponde en el plano (u, v) unpunto w0, dado por la expresion

w0 = zα0 = eαLn z0

Es evidente que al recorrer el punto z el contorno C1 y regresar a la posicion inicial, regresamosal valor inicial w0, pero que si hacemos que el punto z recorra el contorno C2 que rodea al puntoz = 0 una vez, el argumento de z aumenta en 2π, por lo que el valor funcional, que antes derecorrer una vez C2 era w0, sera ahora


Figura 4.13: Analisis de la funcion potencial.

w1 = w0 · eiα2π

Al dar de nuevo otra vuelta por C2 se obtendra el valor

w2 = w0 · ei2α2π

y al dar en general k vueltas por C2 alrededor de z = 0,

wk = w0 · eikα2π

Los valores de wk con k = 1, 2, ... al recorrer C2 1,2,... veces son, en general, diferentes de w0

siempre que α no sea un numero real entero.

En particular, si α es racional, tendremos que para n = m, wm = w0 y si continuamos dandomas vueltas alrededor de z = 0 por la curva C2 volveran a repetirse los valores w1, w2, etc.


Como resultado de este analisis y de manera similar a como fue realizado en el caso de lafuncion logaritmo, concluimos que el punto z = 0 es para la funcion potencial zα un punto deramificacion o escurrencia en el caso en que α no sea un numero real entero.

Es de notar que en este caso, a diferencia del caso de la funcion logaritmo, el punto de ramifi-cacion no constituye un punto singular; en el la funcion zα existe junto con sus derivadas y enel todas las ramas se igualan.

En todos los dominios del plano complejo que no contengan en su interior al punto de rami-ficacion z = 0, las ramas de la funcion zα son univaluadas y analıticas y por lo tanto podranaplicarse en dichos dominios todos los teoremas estudiados en la derivacion, la integracion y eldesarrollo en series de potencias estudiados en los capıtulos anteriores. Sin embargo, esto nosera ası si el dominio contiene en su interior al punto de ramificacion. En este caso, cada ramatendra una recta de discontinuidad que partiendo de z = 0 ira al infinito.

Por ejemplo, la rama

zα = eα ln |z| · eiα arg z

donde

−π < arg z ≤ π

es discontinua en la semirrecta (−∞, 0) (Fig. 4.14), siempre que α no sea un numero entero,ya que por ejemplo, para alpha = 1

2tendremos que

(−1)α = (−1)12 = 1 · e−i

π2 = cos

π

2− i sin

π

2= −i

en tanto

limz→−1+i0

z12 = 1 · ei

π2 = i

La construccion de la superficie de Riemann, donde la funcion multivaluada zα se hace unival-uada es similar a la de la funcion logaritmo. Realizando los mismos razonamientos utilizadosen aquella ocasion, obtenemos dicha superficie de Riemann.

Solo es necesario hacer una aclaracion. En el caso en que α sea un numero racional (α = nm

) elnumero de hojas de la superficie de Riemann para la funcion zα no es infinito, sino igual a m ydeben ser pegados el borde libre de las primera hoja con el borde libre de la ultima hoja, ya queal dar m vueltas alrededor de z = 0 debemos volver al valor inicial y los valores se empiezan arepetir a medida que continuemos dando vueltas alrededor de z = 0.

En la figura 4.15 hemos tratado de representar la superficie de Riemann de la funcion zα cuandoα = n

my m = 3. Sin embargo, debemos tener en cuenta que esta representacion es inexacta, ya


Figura 4.14: Dominio de la rama univaluada de la funcion potencial.

que la union del ultimo borde inferior con el primer borde superior no puede ser hecha segunel dibujo, pues ello significarıa que, ademas de los puntos de los bordes mencionados, estarıanidentificados con ellos otros puntos de las distintas hojas (donde la union corta a dichas hojas),lo que es imposible. Por eso el dibujo en la figura 4.15 debe ser interpretado de forma tal quelos puntos de los bordes en cuestion se unan de manera que no sean tocados los puntos del restode las hojas. Evidentemente la unica forma de lograr esto serıa uniendo el borde inferior conel borde superior a traves de una cuarta dimension, lo que, por supuesto, no es representableen un dibujo.

A la par que la funcion potencial (4.71) podemos estudiar la funcion exponencial generalizada

az = ezLna = ez ln |a| · eizArg a (4.73)

De manera diferente a la funcion (4.71), (4.73) representa un conjunto de funciones univaluadasno relacionadas entre sı y que se diferencian por los factores ei2kπz, donde k es un numero entero.


Figura 4.15: Superficie de Riemann de la funcion potencial para m = 3.


1. Hallar las partes real e imaginaria, los modulos y los argumentos de los numeros:

(a) e3−2i

(b) cos(1− i)

(c) sinh(2 + 3i)

(d) tanh(1 + i)

(e) Ln (√

2− i√

2)

(f) Arcsin i

(g) Arccosh 2

(h) Arctan 2i

(i) 31+i

(j) ii+1


2. Hallar las partes real e imaginaria de las funciones

(a) ez2

(b) z2 sin z

(c) tan z

(d) Ln z

(e) z3+i

3. Demostrar las relaciones

(a) cosh2 z − sinh2 z = 1

(b) cosh 2z = cosh2 z + sinh2 z

(c) sinh 2z = 2 sinh z cosh z

4. Demostrar que la funcion 3√

(1− z)z2 permite separar una rama regular en el exterior delsegmento 0 ≤ x ≤ 1.

5. Probar que la funcion Ln (1− z2) permite separar una rama regular en el plano complejocon un corte en el segmento (−1, i), (1, i) y en el rayo x = 0, y ≥ 1. Hallar el valor en elpunto z = 2 de la rama que es igual a cero en z = 0.

6. Acordemos llamar zz = ez ln z, donde ln z es la rama principal de la funcion Ln z. Hallarlos valores de esta funcion en el punto z = −e si se tiende a dicho punto desde Im z > 0y desde Im z < 0.

Capıtulo 5

Teorıa de residuos y sus aplicaciones

En este capıtulo estudiaremos uno de los logros mas sensacionales y utiles de la teorıa defunciones de variable compleja: la teorıa de residuos. Veremos como una sencilla definiciony algunos simples teoremas nos ofrecen amplısimas posibilidades para el calculo de integrales,tanto de variable compleja como de variable real. Igualmente veremos como con este nuevoconcepto podemos profundizar mas en la esencia y el comportamiento de las funciones analıticasy obtener a la vez una regla sencilla para conocer directamente el orden de los polos y los cerosde dichas funciones sin necesidad de utilizar su desarrollo en serie.

5.1 Residuo. Teorema fundamental de residuos

5.1.1 Definicion. Formulas para el calculo de residuos

Definicion: Se llama residuo de la funcion analıtica f(z) en su punto singular aislado z0 encuyo entorno la funcion es univaluada, a la expresion

Res [f(z), z0] =1

2πi

∫C

f(z)dz (5.1)

donde C es un contorno cerrado cualquiera que envuelve al punto z0 (Fig. 5.1).

Recordemos que si z0 es un punto singular aislado para la funcion f(z), esta puede ser desarro-llada en el entorno de dicho punto en una serie de Laurent:

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n (5.2)

y los coeficientes del desarrollo vienen dados por la expresion

187


Figura 5.1: Definicion de residuo en un punto singular aislado.

an =1

2πi

∫C

f(z)dz

(z − z0)n+1(5.3)

donde C es cualquier contorno cerrado que envuelva al punto z0.

Por consiguiente y teniendo en cuenta (5.1) podemos afirmar que el residuo de una funcion ensu punto singular aislado es igual al coeficiente a−1 del desarrollo de dicha funcion en serie deLaurent en el entorno de dicho punto:

Res [f(z), z0] = a−1 (5.4)

El concepto de residuo fue introducido por Augusto Cauchy en su Manual de integrales definidas(1814) y en sus Ejercicios de Matematicas (1826-1829) introdujo muchas aplicaciones de esteconcepto al Analisis.

Tanto de la definicion (5.1) como de su equivalente (5.4) podemos concluir que el residuo de

Teorıa de residuos y sus aplicaciones 189

una funcion en un punto es un numero que pone en evidencia la caracterıstica no analıtica dela funcion en dicho punto.

Tengamos en cuenta el siguiente razonamiento: El teorema de Cauchy establece que si la funcionf(z) es analıtica entonces su integral por C es cero. Su recıproco, el teorema de Morera, exigeque ademas de la igualdad a cero de la integral, la funcion integrando sea continua. Por lotanto el hecho de que el residuo de una funcion en un punto dado de su dominio de analiticidadsea igual a cero no implica necesariamente que el punto sea regular. Lo importante es que elcoeficiente a−1 exista o no. Por ejemplo, si el punto z0 es un punto singular evitable, el residuoes igual a cero, pese a que el punto no es regular. Igualmente, es obvio que para la funcionf(z) = 1

z2el residuo es cero, ya que en su desarrollo de Laurent a−1 = 0 pues en el desarrollo

solo tenemos a−2 = 1 ya que la funcion es su propio desarrollo en potencias de z. Es decir, eneste ejemplo el residuo es cero y sin embargo el punto no es regular.

Pese a lo dicho y teniendo en cuenta esa realidad, en cierta forma el residuo es una medida delgrado de no analiticidad de f(z), pues es lo que queda de la funcion al integrarla alrededor delpunto; lo que le resta analiticidad a la funcion. De ahı el origen de su nombre.

Calculo de residuos en polos simples

De la definicion dada se desprende que para hallar el residuo de una funcion en su puntosingular aislado es necesario integrarla por un contorno que rodee al punto singular en cuestion,o desarrollarla en serie de Laurent y tomar el valor de su coeficiente a−1. Sin embargo, esto noes siempre ası, ya que en el caso en que el punto z0 sea un polo para la funcion f(z) su residuoen dicho punto puede hallarse sin necesidad de calcular la integral.

Efectivamente, sea z0 un polo de primer orden (o polo simple, como tambien se le conoce) parala funcion f(z). Ello significa que en el entorno de dicho punto la funcion se desarrolla en unaserie de Laurent de la forma

f(z) =∞∑

n=−1

an(z − z0)n ≡ a−1

z − z0

+ a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + ... (5.5)

Multiplicando la expresion (5.5) por (z − z0) obtenemos

(z − z0)f(z) = a−1 + a0(z − z0) + a1(z − z0)2 + a2(z − z0)

3 + ... (5.6)


a−1 = Res [f(z), z0] = limz→z0

(z − z0)f(z) (5.7)

Por ejemplo, la funcion


f(z) =z2 + 1

z − 1

tiene un polo simple en z0 = 1. Por consiguiente

Res

[z2 + 1

z − 1, 1

]= lim

z→1(z − 1)

z2 + 1

z − 1= lim

z→1(z2 + 1) = 2

Para el residuo en un polo simple puede deducirse una formula mas practica y sencilla en elcaso en que la funcion f(z) venga dada por la relacion entre dos funciones:

f(z) =f1(z)

f2(z)

En el caso en que z0 sea un polo simple para esta funcion, se cumpliran las siguientes condicionesque el lector puede verificar sin dificultad:

f1(z0) 6= 0, f2(z0) = 0, pero f ′2(z0) 6= 0

Por lo tanto tendremos

Res [f(z), z0] = limz→z0

(z − z0)f1(z)

f2(z)= lim

z→z0

f1(z)f2(z)−f2(z0)

z−z0

=f1(z0)

f ′2(z0)

Es decir, que

Res [f(z), z0] =f1(z0)

f ′2(z0)(5.8)

Calculando en el ejemplo anterior el residuo para z0 = 1 por la formula (5.8) obtenemos

Res

[z2 + 1

z − 1, 1

]=z2 + 1

1|z=1 =

2

1= 2

que es, por supuesto, el mismo resultado. La formula (5.8) en este ejemplo no resulta claramentemas comoda, dado que en el esta evidente el orden del polo, pues la funcion tiene la forma de

g(z)

z − z0


donde g(z) es analıtica y diferente de cero en z0. Sin embargo, en otros caso donde estono sea ası (5.8) puede resultar realmente util. Por ejemplo, veamos el caso de la funcionf(z) = cot z ≡ cos z

sin z. Es evidente que

limz→0

cot z = ∞

por cualquier trayectoria, por lo que z = 0 es un polo para esta funcion. Acepte el lector quedicho polo es simple, suponiendo que de alguna forma pudo averiguarlo, digamos analizandosu inversa tan z que tiene un cero de primer orden en z = 0 (mas adelante veremos una formaextraordinariamente rapida y eficiente de calcular los ordenes de polos y de ceros de funcionesde variable compleja). Dado que es un polo simple, su residuo se calcula por la formula (5.8)muy facilmente:

Res [cot z, 0] ≡ Res[cos z

sin z, 0]

=cos z

(sin z)′|z=0 =

cos z

cos z|z=0 = 1

Calculo de residuos en polos de orden k

Veamos ahora el caso en que se quiera hallar el residuo en un polo de orden k de la funcionf(z). Si z0 es un polo de orden k para f(z), entonces en el entorno de dicho punto la funciontendra un desarrollo en serie de Laurent de la forma

f(z) =∞∑

n=−k

an(z − z0)n =

a−k(z − z0)k

+ ...+a−1

z − z0

+ a0 + a1(z − z0) + ... (5.9)

Multiplicando la expresion (5.9) por (z − z0)k obtenemos

ϕ(z) ≡ (z − z0)kf(z) = a−k + a−k+1(z − z0) + ...+ a−1(z − z0)

k−1 + a0(z − z0)k + ... (5.10)

es decir, obtenemos una funcion ϕ(z) que en virtud de su desarrollo en serie de potenciaspositivas es una funcion analıtica en el entorno de z0. El coeficiente a−1 que estamos buscandopor ser el residuo de f(z) es el coeficiente que acompana a la potencia (z− z0)

k−1 del desarrollode ϕ(z), por lo que de acuerdo con la teorıa estudiada en el capıtulo de series, concluimos quedicho coeficiente es

a−1 = limz→z0

1

(k − 1)!

dk−1ϕ(z)

dzk−1

Es decir, que para el residuo de la funcion f(z) en su polo de orden k se tiene la formula


Res [f(z), z0] = limz→z0

1

(k − 1)!

dk−1

dzk−1[(z − z0)

kf(z)] (5.11)

Notese que la formula (5.11) se transforma en la formula (5.7) cuando el polo es simple, esdecir, cuando k = 1.

Calculemos, a modo de ejemplo, el residuo en el punto z = 1 de la funcion

f(z) =1

(z2 − 1)3

Este punto es un polo de tercer orden para nuestra funcion, por lo que aplicando la formula(5.11) obtenemos

Res

[1

(z2 − 1)3, 1

]= lim

z→1

1

2!

d2

dz2

[(z − 1)3 1

(z2 − 1)3

]=

=1

2limz→1

d2

dz2

[1

(z + 1)3

]= lim

z→1

3 · 42(z + 1)5

=3

16

Por ultimo digamos que en el caso en que el punto z0 sea un punto singular evitable no haynada que calcular, pues por definicion en ese caso a−1 ≡ 0. En el caso en que el punto z0 sea unpunto singular esencial, no existen formulas para el calculo del residuo como en el caso de lospolos, por lo que para obtener el residuo en un punto singular esencial no quedara mas remedioque calcular la integral (5.1) definitoria del residuo o de alguna manera calcular el desarrollode la funcion en serie de Laurent y tomar de ahı el coeficiente a−1. Por ejemplo, en el caso dela funcion

e1z

para la que z = 0 es un punto singular esencial, si tenemos en cuenta la definicion de funcionexponencial

ew =∞∑n=0

wn

n!

y tomamos w = 1z, obtenemos que el desarrollo de nuestra funcion en el entorno de su punto

singular esencial z = 0 es

e1z =

0∑−∞

zn

(−n)!


de donde el residuo es

a−1 =1

(−(−1))!≡ 1

Residuo en el infinito

Supongamos que z = ∞ es un punto regular o singular aislado para f(z). El residuo en dichopunto infinitamente alejado se define por la expresion

Res [f(z),∞] =1

2πi

∫C−

f(z)dz ≡ −a−1 (5.12)

donde el contorno C se integra en sentido negativo para que a su izquierda quede el dominioque contiene al punto z = ∞, es decir, para que dicho contorno ”envuelva” o ”rodee” al puntoinfinitamente alejado (Fig. 5.2).

Figura 5.2: Definicion de residuo en el infinito.


Aclaremos que el contorno C debe tomarse de forma tal que fuera de el no se tengan puntossingulares de f(z) en el plano, lo que siempre es posible de hacer, pues por hipotesis z = ∞es o regular o singular aislado de manera que tendra un entorno de analiticidad. Por eso, deser tomada la integral en sentido positivo, el calculo darıa el coeficiente a−1 del desarrollo def(z) en el entorno del infinito. Esto justifica la igualdad de la extrema derecha en la expresion(5.12).1

Es conveniente aclarar que, de acuerdo con la definicion dada de residuo en el infinito, dichoresiduo puede ser diferente de cero cuando el infinito sea un punto regular. Todo esta en queel coeficiente a−1 del desarrollo de la funcion en el entorno del infinito sea diferente de cero.

Esto es facil de comprender en el caso del ejemplo de la funcion

f(z) =1

z

Esta funcion tiene en el infinito un cero de primer orden y ella es su propio desarrollo enpotencias de z en el entorno del infinito; su unico termino corresponde a n = −1, por lo queevidentemente a−1 = 1 6= 0. Es decir, el residuo en el infinito, que es un cero de primer ordenpara esta funcion, no es cero, sino igual a −1 de acuerdo con (5.12). Resulta interesante, porultimo, hacer notar que el residuo en z = 0 es igual a 1, de manera que la suma de ambosresiduos es igual a cero. Mas adelante podremos percatarnos de que esto no es mas que laexpresion particular de una ley mas general.

5.1.2 Teorema fundamental de residuos

Enunciemos y demostremos una importante afirmacion.

Teorema 37

Si la funcion f(z) es univaluada y analıtica en un dominio de frontera Γ, con excepcion de unnumero finito n de puntos singulares, entonces tiene lugar la siguiente expresion:

∫Γ

f(z)dz = 2πin∑k=1

Res [f(z), zk] (5.13)

donde los residuos se toman en todos los puntos singulares contenidos en el interior del dominiocuya frontera es el contorno Γ.

Demostracion:

Rodeemos todos los puntos singulares zk con contornos Ck, k = 1, 2, ..., n (Fig. 5.3) de maneraque cada contorno solo contenga en su interior un solo punto singular.

1Recuerdese que se llama entorno del infinito al exterior de una circunferencia centrada en z = 0 y de radiolo suficientemente grande como para que fuera de ella no existan puntos singulares de la funcion en el plano.


Figura 5.3: Teorema fundamental de residuos.

En el dominio multiconexo de frontera

Γ +n∑k=1

Ck

la funcion f(z) ya es analıtica, por cuanto en dicho dominio no hay ya puntos singulares de lafuncion. Por lo tanto, por el teorema de Cauchy para dominios multiconexos

∫Γ

f(z)dz +n∑k=1

∫C−k

f(z)dz = 0 (5.14)

Ası pues

∫Γ

f(z)dz =n∑k=1

∫Ck

f(z)dz (5.15)


multiplicando y dividiendo a la derecha de (5.15) por el factor 2πi y teniendo en cuenta ladefinicion (5.1), de (5.15) obtenemos (5.13).


La gran utilidad practica del teorema que acabamos de demostrar radica en que en muchasocasiones es mas facil calcular los residuos de una funcion en los puntos singulares contenidosen un dominio alrededor del cual se integra por una curva Γ que calcular directamente, por losmedios de integracion conocidos, la integral que figura a la izquierda de la expresion (5.13).

Veamos ahora una segunda afirmacion que se basa en la definicion (5.12) de residuo en el infinitoy el teorema fundamental de residuos:

Teorema 38

Si la funcion f(z) es analıtica y univaluada en todo el plano complejo con excepcion de unnumero finito de puntos singulares, incluyendo como tal al infinito, entonces la suma de losresiduos en todos los puntos singulares incluyendo el infinito, es igual a cero.

Demostracion:

Como el numero de puntos singulares de f(z) en el plano es finito, existira un contorno C fuerade una circunferencia centrada en z = 0 de radio lo suficientemente grande como para que todoslos puntos singulares de f(z) en el plano se encuentren en el dominio interior al contorno C.Entonces, por definicion de residuo en el infinito, la integral por C tomada en sentido negativomultiplicada por el factor 1

2πisera igual a dicho residuo y ademas sera igual a la suma de los

residuos en los puntos singulares de f(z) en el plano con signo negativo, gracias al teoremafundamental de residuos. Es decir, tendremos que:

Res [f(z),∞] =1

2πi

∫C−

f(z)dz = −n∑k=1

Res [f(z), zk]

donde zk (k = 1, 2, ..., n) son los puntos singulares de f(z) en el plano. De aquı se obtiene

Res [f(z),∞] +n∑k=1

Res [f(z), zk] = 0 (5.16)


Los teoremas 37 y 38 constituyen recursos utiles para calcular integrales de variable compleja.Veamos un par de ejemplos ilustrativos.

1. Calculemos la integral ∫|z|=2

tan zdz


Dentro del contorno de integracion la funcion tan z tiene dos polos simples: π/2 y −π/2.que son ceros de primer orden del cos z. Por lo tanto

∫|z|=2

tan zdz = 2πi

{Res

[tan z,

π

2

]+ {Res

[tan z,

−π2

]}=

= 2πi{−1− 1} = −4πi

2. Calculemos la integral

∫|z|=2

dz

(z4 + 1)(z − 5)

En este caso, de usar el teorema fundamental de residuos, se exigirıa calcular los cincoresiduos en los cinco polos simples dentro de la circunferencia, calculo que puede, por serengorroso, conducirnos a errores numericos. Sin embargo, nos damos cuenta de que elinfinito es para el integrando un cero de quinto orden, por lo que el residuo en el infinitoes igual a cero. Por el teorema 38, la suma de los residuos en los cinco polos interiores alcontorno de integracion sumados al residuo en el polo exterior z = 5 mas el residuo en elinfinito (que es igual a cero) es igual a cero. Por lo tanto,

∫|z|=2

dz

(z4 + 1)(z − 5)= −2πiRes

[1

(z4 + 1)(z − 5), 5

]= − πi

313

Como se ve, el metodo obtenido para calcular integrales de contorno de funciones de variablecompleja es de un poder notable.

5.2 Aplicacion de la teorıa de residuos al calculo de in-

tegrales definidas de variable real

A pesar de la evidente utilidad de lo visto en el epıgrafe anterior respecto a la fortaleza del uso delos residuos para el calculo de integrales de contorno en el plano complejo, la mas espectacularaplicacion de la teorıa de residuos sera vista en el presente epıgrafe.

Los metodos que vamos a estudiar ahora constituyen una de las consecuencias mas importantesde esta teorıa de residuos: el calculo de manera muy eficiente de integrales definidas de funcionesde variable real. Inclusive, el metodo que a continuacion desarrollaremos nos permitira demanera sencilla calcular integrales que por metodos del analisis de la variable real resultanengorrosos, voluminosos y complicados.

Veremos una serie de casos tıpicos.


5.2.1 Integrales del tipo∫ 2π

0 f(sinx, cosx)dx

Supongamos que queremos calcular la integral de variable real

I =

∫ 2π

0

f(sinx, cosx)dx (5.17)

donde la funcion integrando es una funcion racional de sus argumentos.

Para calcular (5.17) con ayuda de la teorıa de residuos hagamos el siguiente cambio de variables:

z = eix

Entonces, cuando la variable x recorre los valores del eje entre 0 y 2π, la variable z describeuna circunferencia de radio unitario con centro en z = 0 en el plano complejo. Es evidente quetendremos

dx =dz

iz; sin x =

eix − e−ix

2i=z − 1

z

2i=z2 − 1

2iz;

cosx =eix + e−ix

2=z + 1

z

2=z2 + 1

2z(5.18)

Por consiguiente, al hacer las sustituciones en la integral (5.17) obtenemos

I =

∫|z|=1

f

(z2 − 1

2iz,z2 + 1

2z

)dz

iz=

∫|z|=1

F (z)dz (5.19)

Si la funcion F (z) satisface las condiciones del teorema fundamental de residuos, esta integralse puede calcular por la teorıa de residuos, tomando la suma de los residuos en los puntossingulares de la funcion F (z) que esten dentro de la circunferencia.

Por ejemplo, calculemos la integral

I =

∫ 2π

0

dx

a+ cosx

donde a > 1, condicion que desde los criterios de convergencia de integrales de la variable reales conocido.

Haciendo el cambio de variables recomendado y teniendo en cuenta las expresiones (5.18) ob-tenemos


I =

∫|z|=1

1

z + z2+12z

· dziz

=2

i

∫|z|=1

dz

z2 + 2az + 1

El denominador del integrando tiene dos raıces (Fig.5.4):

z1 = −a+√a2 − 1 dentro de la circunferencia (polo simple)

z2 = −a−√a2 − 1 fuera de la circunferencia (no nos interesa para el calculo).

Figura 5.4: Para el calculo de la integral del ejemplo del caso 1.

Por lo tanto

I = 2πi2

iRes

[1

z2 + 2az + 1, z1

]= 4π

1

2z + 2a|z=z1 =

4π

−2a+ 2√a2 − 1 + 2a

es decir, obtenemos que


I =

∫ 2π

0

dx

a+ cosx=

2π√a2 − 1

Debemos aclarar que, tanto en este caso, como en los otros casos que analizaremos posterior-mente, un buen criterio general para saber si se ha cometido algun error en algun paso de loscalculos efectuados es que el resultado final que se obtenga tiene que ser real, pues no debeolvidarse que partimos inicialmente de una integral de variable real entre lımites reales, cuyovalor es el que se obtiene.

En el ejemplo concreto con que hemos ilustrado el uso de este metodo en este caso vemosque para que el resultado sea real se tiene que cumplir, efectivamente, que a > 1, pues de locontrario la raız en el denominador del resultado no serıa real y, por tanto, el resultado mismotampoco lo serıa. Lo dicho significa que las exigencias del propio metodo de calculo por residuosnos brinda las condiciones de convergencia de la integral impropia de variable real, criterios quea veces resultan tambien engorrosos.

5.2.2 Integrales del tipo I =∫∞−∞ f(x)dx

Supongamos que queremos calcular la integral

I =

∫ ∞

−∞f(x)dx (5.20)

donde la funcion f(x) es una funcion racional. Consideraremos que la funcion f(x), ademas,es continua para todas las x reales y que para x → ±∞ decrece con no menos rapidez que1x2 . Estas condiciones garantizan la convergencia de esta integral, ya que para este tipo deintegrales impropias de funciones de variable real el criterio suficiente de convergencia es que lafuncion integrando sea de un orden superior a 1

xp con p > 1 y, al ser f(x) una funcion racionalpor hipotesis, p tiene que ser al menos igual a 2.

Supongamos ahora que la funcion f(x) admite una prolongacion analıtica a todo el semiplanosuperior Im z > 0 de la variable compleja z = x + iy, con excepcion de un numero finito depuntos singulares. Aclaremos que el numero de puntos singulares sera forzosamente finito, puesla funcion f(z), prolongacion analıtica de f(x) al semiplano superior, tiene en el infinito uncero de al menos segundo orden, debido al comportamiento en el entorno de z = ∞ que sera almenos del tipo 1

z2. Al ser el infinito un cero (que es un caso particular de punto regular) tendra

un entorno de analiticidad, por lo que, efectivamente, el numero de puntos singulares de f(z)en el semiplano superior tendra que ser forzosamente finito.

Analicemos entonces la siguiente integral de variable compleja

∫Γ

f(z)dz


donde el contorno de integracion Γ es el contorno formado por el segmento (−R,R) del eje realy la semicircunferencia CR con centro en z = 0 y radio |z| = R (Fig. 5.5).

Figura 5.5: Contorno para el calculo de integrales impropias.

Tomaremos el radio R lo suficientemente grande para que todos los puntos singulares de lafuncion f(z) se encuentren encerrados por el contorno Γ, lo que por lo dicho arriba es siempreposible de lograr. Entonces, por el teorema fundamental de residuos tendremos que

∫Γ

f(z)dz =

∫ R

−Rf(x)dx+

∫CR

f(z)dz = 2πi∑k

Res [f(z), zk] (5.21)

donde sumamos por todos los puntos singulares de f(z) en el semiplano superior, es decir quese cumple la condicion Im zk > 0.

Ahora bien, por la condicion impuesta a la funcion f(z) cuando z →∞, tendremos que sobrela semicircunferencia CR se cumple

|f(z)||z∈CR≤ M

|z|2=M

R2


Por lo tanto

∣∣∣∣∫CR

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ M

R2

∫ π

0

R|i||eiϕ|dϕ =Mπ

R→ 0 (5.22)

Ası pues, para la integral inicial, cuando R → ∞ y teniendo en cuenta (5.22), obtenemos laformula

I =

∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

∑k

Res [f(z), zk] (5.23)

donde zk son los puntos singulares de f(z) en el semiplano Im z > 0.

A modo de ejemplo calculemos la siguiente integral:

I =

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)2

Los puntos singulares de la funcion

f(z) =1

(z2 + 1)2

son z = ±i, pero como hemos cerrado el contorno por arriba (por el semiplano Im z > 0) solotendremos que considerar el punto z = i, que es un polo de segundo orden (Fig. 5.6).

Por lo tanto con ayuda de la formula (5.23) tendremos

I =

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)2= 2πiRes

[1

(z2 + 1)2, i

]=

= 2πid

dz

[(z − i)2 1

(z + i)2(z − i)2

]|z=i =

= 2πi−2

(z + i)3|z=i =

−4πi

−8i=π

2

Es conveniente hacer las siguientes aclaraciones:

1. Si la funcion f(x) es par, su integral entre 0 e ∞ puede calcularse por la formula∫ ∞

0

f(x)dx = πi∑k

Res [f(z), zk] (5.24)


Figura 5.6: Contorno para el calculo del ejemplo.

lo que se deduce de la formula (5.23) si se tiene en cuenta que por ser par la funcion secumple que

∫ ∞

0

f(x)dx =1

2

∫ ∞

−∞f(x)dx

2. La prolongacion analıtica podrıa haberse hecho al semiplano Im z < 0 cerrando el con-torno CR por debajo. En este caso la formula (5.23) sigue siendo valida, solo que en esecaso habra que tomar los puntos singulares zk de la funcion en el semiplano inferior yponer delante de la integral en la formula un signo menos adicional al tener en cuenta elhecho de que al cerrar por debajo el sentido de la integracion es negativo.

5.2.3 Integrales del tipo I =∫∞−∞ f(x) cosαx dx o I =

∫∞−∞ f(x) sinαx dx

En este punto proponemos calcular las integrales del tipo


I =

∫ ∞

−∞f(x) cosαx dx; I =

∫ ∞

−∞f(x) sinαx dx (5.25)

donde la funcion f(x) es una funcion racional.

Estas son integrales impropias cuyo calculo con la teorıa de funciones de variable real era muydifıcil utilizando en no pocos casos metodos muy astutos, introduciendo parametros, derivandorespecto a un parametro, etc. y, en general, con construcciones complicadas y poco felices. Parala convergencia de estas integrales se requiere solo que la funcion f(x) tienda a cero cuandox→ ±∞, sin requerir una velocidad determinada para ello.

Ambas integrales son, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de la integral

I =

∫ ∞

−∞f(x)eiαx dx

Con ayuda de la teorıa de residuos de funciones de variable compleja el calculo de este tipo deintegrales es muy sencillo y esta basado en el siguiente teorema.

Teorema 39 (Lema de Jordan)

Sea la funcion f(z) analıtica en el plano complejo, con excepcion de un numero finito de puntossingulares aislados y tal que tienda a cero uniformemente con respecto al argumento de lavariable z cuando z →∞. Entonces

limR→∞

∫CR

f(z)eiαzdz = 0 (5.26)

si el contorno CR es un arco de circunferencia como el mostrado en la figura 5.7 y α > 0.

Demostracion:

Tenemos que

∫CR

f(z)eiαzdz =

∫AB

f(z)eiαzdz +

∫BCD

f(z)eiαzdz +

∫DE

f(z)eiαzdz (5.27)

Trataremos de valorar las integrales por los arcos de circunferencia indicados. En todos loscasos se cumple que

eiαz = eiαxe−αy

por lo que


∣∣∣∣∫AB

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤M(R)eαy0∫AB

|dz| = M(R)Reαy0∫ 0

ω

dϕ =

= M(R)Reαy0 arcsiny0

R→ 0 (5.28)

cuando R→∞, por tener un lımite notable que tiende a 1 y M(R) tender a cero.

Identica conclusion puede obtenerse para la integral por el arco DE.

Analicemos ahora la integral por el arco BCD. Tenemos:

∣∣∣∣∫BCD

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤M(R)

∫BCD

e−αy|dz| = M(R)R

∫ π

0

e−αR sinϕdϕ (5.29)

Ahora bien,

∫ π

0

e−αR sinϕdϕ =

∫ π2

0

e−αR sinϕdϕ+

∫ π

π2

e−αR sinϕdϕ =

=

∫ π2

0

e−αR sinϕdϕ−∫ 0

π2

e−αR sin(π−ϕ)dϕ =

= 2

∫ π2

0

e−αR sinϕdϕ

Sustituyendo la expresion anterior en (5.29) obtenemos

∣∣∣∣∫BCD

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤ 2M(R)R

∫ π2

0

e−αR sinϕdϕ (5.30)

Es evidente que en el intervalo de integracion (0, π/2) se cumple siempre que

sinϕ ≥ 2

πϕ

en dicho intervalo de integracion. Por consiguiente,

e−αR sinϕ ≤ e−2αR

πϕ

Sustituyendo esta desigualdad en (5.30) obtenemos


∣∣∣∣∫BCD

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤ 2M(R)R

∫ π2

0

e−2αR

πϕdϕ =

= 2M(R)Rπ

2αRe−

2αRπϕ|

π20 =

π

αM(R)(1− e−αR) → 0 (5.31)

cuando R→∞.

Las expresiones (5.28) y (5.31) demuestran el Lema de Jordan.


Hagamos enfasis en varias cuestiones:

Si α < 0 el Lema de Jordan sigue siendo valido siempre que el arco de circunferencia CR setome por el semiplano inferior como se muestra en la figura 5.8.

Figura 5.8: Contorno para el caso α < 0.

Tambien el Lema de Jordan sigue siendo valido si α = ia (a > 0) y el contorno de integracion


se toma por la derecha (C ′R en la figura 5.9) o tambien si α = −ia (a > 0) y el contorno de

integracion se toma por la izquierda (C ′′R en la figura 5.9).

En otras palabras, el Lema de Jordan puede enunciarse como que bajo las condiciones estable-cidas para la funcion f(z) tienen lugar las formulas

limR→∞

∫C′R

f(z)eazdz = 0, ∀a < 0

limR→∞

∫C′′R

f(z)eazdz = 0, ∀a > 0 (5.32)

donde C ′R y C ′′

R son los arcos de circunferencia representados en la figura 5.9.

Figura 5.9: Contornos para el caso α < 0.

El Lema de Jordan demostrado nos permite calcular con facilidad las integrales del tipo (5.25).Efectivamente, ambas integrales son, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de laintegral


I =

∫ ∞

−∞f(x)eiαxdx (5.33)

Exigiremos que la funcion f(x) en la integral (5.33) admita una prolongacion analıtica en elsemiplano superior Im z > 0 con excepcion de un numero finito de puntos singulares. Ademas,exigiremos que dicha prolongacion analıtica f(z) tienda a cero uniformemente con respecto alargumento de la variable z cuando z →∞.

Entonces analicemos la integral

∫Γ

f(z)eiαzdz

donde el contorno de integracion Γ es tomado como el segmento (−R,R) del eje real cerradopor arriba (es decir, por el semiplano Im z > 0) con la semicircunferencia CR de radio R ycentro en z = 0 (Fig. 5.10). Tomando R lo suficientemente grande como para que todos lospuntos singulares de la funcion integrando se encuentren contenidos en el interior del contornoΓ, en virtud del teorema fundamental de residuos podemos escribir

∫Γ

f(z)eiαzdz =

∫ R

−Rf(x)eiαxdx+

∫CR

f(z)eiαzdz = 2πi∑k

Res [f(z)eiαz, zk] (5.34)

donde zk (k = 1, 2, ..., n) son los puntos singulares de la funcion f(z)eiαz en el semiplano superiorIm z > 0).

Al tender R al infinito la integral por la semicircunferencia CR se anula en virtud del Lema deJordan, por lo que para calcular las integrales del tipo (5.25) obtenemos las siguientes formulas:

∫ ∞

−∞f(x) cosαxdx = Re

{2πi∑k

Res [f(z)eiαz, zk]

}(5.35)

∫ ∞

−∞f(x) sinαxdx = Im

{2πi∑k

Res [f(z)eiαz, zk]

}(5.36)

A modo de ejemplo calculemos la siguiente integral:

I =

∫ ∞

−∞

cos bxdx

x2 + a2

con b > 0.

Aplicando directamente la formula (5.35) tenemos


Figura 5.10: Contorno para el calculo de integrales del tipo dado.

∫ ∞

−∞

cos bxdx

x2 + a2= Re

{2πiRes

[eibz

z2 + a2, ia

]}= Re

{2πi

eibz

2z|z=ia

}=

= Re

{2πi

e−ab

2ia

}=π

ae−ab

Ası pues

∫ ∞

−∞

cos bxdx

x2 + a2=π

ae−ab

De acuerdo con la formula (5.36) podemos, de paso, decir que

∫ ∞

−∞

sin bxdx

x2 + a2= 0


ya que la parte imaginaria del producto de 2πi por el residuo obtenido es igual a cero. Estoera de esperar, ya que la funcion que se integra es impar.

La integral del ejemplo es conocida con el nombre de integral de Laplace y su calculo pormetodos de la variable real es bastante largo y engorroso. La teorıa de funciones de variablecompleja, como se pudo apreciar, hace que este calculo sea extraordinariamente sencillo.

Hemos demostrado el Lema de Jordan suponiendo que la funcion f(z) tiene solamente unnumero finito de puntos singulares en el semiplano superior. Sin embargo, no es difıcil ver quesi se hace una variacion no sustancial de la formulacion del lema, este sigue siendo valido enel caso de un numero infinito de puntos singulares aislados de la funcion f(z). Exijamos queexista una sucesion de numeros {Rn} creciente ilimitadamente cuando n→∞ y tal que en losarcos de circunferencia CRn en el semiplano superior se cumpla que

|f(z)| < M(Rn), ∀|z| = Rn (5.37)

Entonces la afirmacion (5.26) del Lema de Jordan tendra lugar si el paso al lımite en la integralconsiderada se efectua por la sucesion de arcos CRn cuando n→∞.

Es evidente tambien que en el caso en que exista la integral correspondiente, podemos utilizarel metodo de integracion desarrollado en este punto en el caso de funciones con un numeroinfinito de puntos singulares aislados.

Todo lo anteriormente expresado es valido para el tipo de integrales estudiado en el punto2 de este epıgrafe si existe la mencionada sucesion {Rn}, de manera que sobre los arcos decircunferencia CRn se cumpla la relacion

|f(z)| < M

R2n

, ∀|z| = Rn (5.38)

En este caso se puede demostrar que la relacion (5.22) tiene validez si el paso al lımite en laintegral considerada se efectua por la sucesion de arcos CRn cuando n→∞. De esta manera elmetodo de integracion desarrollado en aquel caso es valido para aquellas funciones que poseenun numero infinito de puntos singulares aislados.

Una importante clase de este tipo de funciones la constituyen las llamadas funciones mero-morfas. La funcion de variable compleja f(z) se llama meromorfa si esta definida en todo elplano complejo y si no tiene en ninguna parte finita de dicho plano puntos singulares que nosea polos.

Como es facil ver, en cualquier dominio acotado del plano complejo una funcion meromorfatiene un numero finito de puntos singulares. Efectivamente, si el numero de puntos singularesen un dominio acotado fuera infinito, entonces, en virtud del teorema 2, en dicho dominioexistirıa un punto lımite del conjunto de dichos puntos singulares, el que, por consiguiente, noserıa singular aislado.

Como ejemplos de funciones meromorfas podemos citar las funciones quebrado racionales, tan z,


sec z, etc.

5.2.4 Otros tipos de integrales

En los puntos anteriores ha sido expuesta en forma general la idea de la utilizacion de la teorıa deresiduos y las integrales de contorno para el calculo de integrales de variable real. Sin embargo,debe senalarse que si bien la esencia del metodo en otros tipos de integrales es la misma, laeleccion del contorno de integracion adecuado puede presentar dificultades. En algunos casosinclusive la eleccion del contorno de integracion puede requerir mucha practica y un tanto deintuicion artıstica, aunque siempre debe uno basarse en la geometrıa y las propiedades de lafuncion integrando, escogiendo de la manera mas racional el contorno que nos permita llegaral calculo de la integral de variable real que deseamos obtener. Veremos algunos ejemplos queilustren lo dicho y luego trataremos de generalizar algunos resultados mediante utiles lemas.

Ejemplos

1. Calcular la integral

I =

∫ ∞

0

sin x

xdx (5.39)

Para efectuar el caalculo el contorno dibujado en la figura 5.5 no nos sirve, por cuanto la funcionintegrada tiene una singularidad en el punto z = 0. Por eso, para poder aplicar el teoremafundamental de residuos o simplemente el teorema de Cauchy, debemos lograr que el contornoque tomemos sea tal que la funcion sobre el sea continua. Una forma de lograrlo es tomar elcontorno dibujado en la figura 5.11, formado por los segmentos del eje real (−R,−r) y (r, R)y las semicircunferencias CR y Cr de radios R y r respectivamente y centro en el origen decoordenadas. De esta manera excluimos el punto singular y al final de los calculos hacer quer → 0 y R → ∞. De esta manera, al igual que en los casos anteriores estudiados, estaremoscalculando el valor principal de Cauchy de la integral impropia (5.39).

En el dominio encerrado por el contorno dibujado la funcion

f(z) =eiz

z(5.40)

es analıtica por lo que en virtud del teorema de Cauchy podemos escribir

∫ −r

−R

eix

x+

∫C−r

eiz

z+

∫ R

r

eix

x+

∫CR

eiz

z= 0 (5.41)

Cuando R→∞ la integral por el contorno CR tiende a cero por el Lema de Jordan, ya que la


Figura 5.11: Contorno para el calculo de integrales del tipo dado.

funcion 1z

satisface las condiciones de dicho lema. Para valorar la integral por el contorno Crutilicemos el desarrollo de la funcion (5.40) en serie de Laurent en el entorno de z = 0:

eiz

z=

∞∑n=−1

in+1zn

(n+ 1)!=

1

z+

∞∑n=0

in+1zn

(n+ 1)!(5.42)

Entonces tendremos

∫C−r

eiz

z=

∫C−r

dz

z+

∫C−r

∞∑n=0

in+1zn

(n+ 1)!dz (5.43)

La segunda integral del miembro derecho de la expresion (5.43) tiende a cero cuando r → 0,pues el integrando es una funcion analıtica (es la parte regular de la serie de Laurent) y porconsiguiente acotada. Ası pues, cuando r → 0, de la expresion (5.43) obtenemos


limr→0

∫C−r

eiz

z= lim

r→0

∫C−r

dz

z(5.44)

Como en la expresion anterior se integra por una semicircunferencia de radio r y centro enz = 0, haciendo z = reiϕ, dz = ireiϕdϕ la integral de la derecha viene dada por

∫C−r

dz

z=

∫ 0

π

idϕ = −iπ

Ası pues, regresando a la relacion (5.41) y haciendo el paso al lımite R→∞, r → 0 obtenemos

∫ 0

−∞

eix

xdx+

∫ ∞

0

eix

xdx− iπ = 0

Es decir,

∫ ∞

−∞

eix

xdx = iπ (5.45)

Igualando las partes imaginarias en la expresion (5.45) obtenemos

∫ ∞

−∞

sin x

xdx = π

de donde la integral por nosotros buscada resulta ser

I =

∫ ∞

0

sin x

xdx =

π

2

Hagamos algunos comentarios al ejercicio resuelto:

1. Hemos podido calcular la integral del ejemplo resuelto ası, pues al ser par el integrando,la integral entre 0 e ∞ es la mitad de la integral por todo el eje desde −∞ hasta ∞. Deno cumplirse esa condicion, es decir, en el caso en que el integrando sea impar o no sea nipar ni impar, el metodo desarrollado en el ejemplo es inaplicable; mas adelante veremoscomo resolver esa dificultad.

2. Por el metodo desarrollado en realidad hemos calculado el valor principal de Cauchy de laintegral impropia (5.39), pues hemos tomado el lımite cuando r → 0 excluyendo el puntox = 0 con un intervalo de extremos equidistantes al punto singular y hemos tomado ellımite cuando r → 0 a igual velocidad desde ambos lados de dicho punto.


3. El resultado obtenido al igual que el del proximo ejemplo pueden ser generalizados pormedio de unos lemas que demostraremos un poco mas adelante.


I =

∫ ∞

0

cos ax− cos bx

x2dx (5.46)

donde a > 0, b > 0 y obviamente a 6= b.2

Este ejemplo se calcula de forma analoga al ejemplo anterior. Tomemos la funcion

f(z) =eiaz − eibz

z2(5.47)

a lo largo del contorno representado en la figura 5.11. Tenemos

∫ −r

−Rf(x)dx+

∫Cr

f(z)dz +

∫ R

r

f(x)dx+

∫CR

f(z)dz = 0 (5.48)

La integral por la semicircunferencia CR tiende a cero cuando R tiende a infinito en virtud delLema de Jordan. Para valorar la integral por la semicircunferencia Cr cuando r tiende a ceronuevamente utilizaremos el desarrollo de Laurent en el entorno de z = 0:

f(z) =i(a− b)z + (iaz)2−(ibz)2

2!+ ...

z2=i(a− b)

z+ P (z) (5.49)

donde P (z) es una funcion analıtica en z = 0.

De aquı, al igual que en el ejemplo 1, obtenemos

limr→0

∫Cr

f(z)dz = i(a− b)(−iπ) = (a− b)π (5.50)

De esa forma, hallando el lımite cuando R→∞ y r → 0 en la igualdad (5.48), obtenemos

∫ ∞

−∞

eiax − eibx

x2dx+ (a− b)π = 0 (5.51)

2Es conveniente aclarar que esta integral no puede descomponerse en la diferencia de las dos integrales∫ ∞0

cos ax

x2dx, y

∫ ∞0

cos bx

x2dx

pues cada una de esas dos integrales por separado diverge en x = 0. Como se vera en la resolucion delproblema, ambas divergencias se anulan por calcularse la diferencia de las funciones en el integrando.


de donde igualando las partes reales obtenemos para la integral que deseamos hallar la expresion

I =

∫ ∞

0

cos ax− cos bx

x2dx =

b− a

2π

3. Veamos otro ejemplo similar al anterior:

Calculemos

I =

∫ ∞

−∞

sin xdx

(x2 + 4)(x− 1)≡ Im

∫ ∞

−∞

eixdx

(x2 + 4)(x− 1)(5.52)

Para calcular, tomaremos el contorno de la figura 5.12 formada por el segmento del eje real(−R, 1− r), la semicircunferencia Cr : |z− 1| = r que nos permite rodear el punto x = 1 dondeel integrando tiene un polo simple, el segmento de eje real (1 + r, R) y la semicircunferenciaCR : |z| = R. El radio r se toma lo suficientemente pequeno como para que el otro puntosingular del semiplano superior, z = 2i, este fuera del semicırculo interior centrado en x = 1 yel radio R se toma lo suficientemente grande como para que dicho punto se encuentre dentrodel contorno cerrado formado.

Entonces tendremos:

∫ 1−r

−R

eixdx

(x2 + 4)(x− 1)+

∫C−r

eizdz

(z2 + 4)(z − 1)+

∫ R

1+r

eixdx

(x2 + 4)(x− 1)+

+

∫CR

eizdz

(z2 + 4)(z − 1)= 2πiRes

[eiz

(z2 + 4)(z − 1), 2i

]=

= 2πieiz

(z + 2i)(z − 1)|z=2i =

π

2e2(−1− 2i)

5(5.53)

La integral por la semicircunferencia CR tiende a cero cuando R→ c∞ por el Lema de Jordan.Calculemos el lımite cuando r → 0 de la integral por la semicircunferencia C−

r . Haciendo elcambio de variable z − 1 = reiϕ tendremos:

limr→0

∫C−r

eizdz

(z2 + 4)(z − 1)= lim

r→0

∫ 0

π

ei(1+reiϕ)ireiϕdϕ

[(1 + reiϕ)2 + 4]reiϕ=

= i

∫ 0

π

eidϕ

5= − π

2ei1

5=π

5(sin 1− i cos 1) (5.54)

Por lo tanto,

∫ ∞

−∞

eixdx

(x2 + 4)(x− 1)=

π

2e21

5− i

π

5e2+ i

π

5cos 1− π

5sin 1


Figura 5.12: Contorno para el calculo de la integral del ejemplo 3.

De donde, finalmente,

∫ ∞

−∞

sin xdx

(x2 + 4)(x− 1)=π

5

(cos 1− 1

e2

)(5.55)

Aunque vale la pena saber resolverlos ası, usando el desarrollo en series, los resultados de estosejercicios con polos simples sobre el eje real se pueden sistematizar con el siguiente teorema:

Teorema 40

Sea f(z) = eimzF (z) con m > 0 y F (z) una funcion analıtica que cumple que:

1. tiene n puntos singulares ak (k = 1, 2, ..., n) en el semiplano superior Im z > 0.

2. tiene m polos simples xk (k = 1, 2, ...,m) sobre el eje real Im z = 0.

3. F (z) → 0, para z →∞.


Entonces,

∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

n∑k=1

Res[f(z), ak] + iπ

m∑k=1

Res[f(z), xk] (5.56)

donde la integral se entiende en el sentido de valor principal de Cauchy de la integral impropia.

Demostracion:

Tomemos el contorno dibujado en la figura 5.13 donde los radios de las semicircunferencias Ckque rodean a los puntos xk por el semiplano superior sean lo suficientemente pequenas y elradio R de la semicircunferencia CR lo suficientemente grande como para que todos los puntosak se encuentren dentro del contorno cerrado.

Figura 5.13: Contorno para la demostracion del teorema 40.

Al tomar R→∞ por el Lema de Jordan la integral por la semicircunferencia CR tiende a cero.Tomando r → 0 en las semicircunferencias Ck (k = 1, 2, ...,m) tendremos:


∫ ∞

−∞f(x)dx+ lim

r→0

m∑k=1

∫C−k

f(z)dz = 2πin∑k=1

Res[f(z), zk] (5.57)

Como F (z) tiene en xk polos simples,

F (z) =Fk(z)

z − xk

en el entorno de xk, donde fk(z) es analıtica y

limz→xk

fk(z) = Fk(xk) = a−1 = Res[F (z), xk]

Por lo tanto

limz→xk

f(z) = limz→xk

eimzF (z) = Res[f(z), xk]

Entonces

limr→0

∫C−k

f(z)dz = limr→0

∫C−k

eimzFk(z)

z − xkdz =

= limr→0

∫ 0

π

eim(xk+reiϕ)Fk(xk + reiϕ)

reiϕireiϕdϕ = −πieimxkF (xk) = −πiRes[f(z), xk](5.58)

donde hicimos el cambio de variable

z − xk = reiϕ

De aquı que

∫ ∞

−∞f(x)dx− πi

m∑k=1

Res[f(z), xk] = 2πin∑k=1

Res[f(z), ak] (5.59)


En ocasiones, a los residuos calculados sobre el eje real, por estar multiplicados por πi en vezde por 2πi, se les llama ”semiresiduos” en los puntos en cuestion, cosa que es una simple formade hablar.

Este teorema simplifica mucho los calculos, como puede apreciarse en el siguiente ejemplo:


4. Calcular

I =

∫ ∞

−∞

cos txdx

1− x3

con t > 0.

Los tres valores de la raız de 1 son x = 1, x = −12+ i

√3

2y x = −1

2− i

√3

2. De ellos, nos interesan

los dos primeros valores, pues son los que estan sobre el eje real y en el semiplano superior. Deacuerdo con el teorema demostrado, tenemos que

I = Re

∫ ∞

−∞

eitxdx

1− x3= Re

{2πiRes

[eitz

1− z3,−1

2+ i

√3

2

]+ πiRes

[eitz

1− z3, 1

]}=

=π

3sin t+

π

3e−t

√3

2

(sin

t

2+√

3 cost

2

)5. Calcular las llamadas integrales de Fresnel:

∫ ∞

0

cosx2dx,

∫ ∞

0

sin x2dx (5.60)

Para ello, utilizaremos la integral de variable compleja

∫Γ

eiz2

dz (5.61)

pues su integrando para valores reales de z = x tiene como parte real y parte imaginaria,respectivamente, los integrandos de las integrales (5.60).

Construyamos el contorno de integracion que necesitamos para calcular estas integrales. Paraello nos percatamos de que, logicamente, parte del contorno debe ser el segmento del eje real(0, R), ya que, al tomar el lımite cuando R → ∞, al tomar la parte real y la parte imaginariade esa integral por el semieje real, obtendremos las integrales de Fresnel (5.60) que queremoscalcular.

Parte del contorno puede ser un arco de circunferencia de radio R que parta del punto (R, 0)del plano complejo pues, como veremos mas adelante, la integral por ese arco de circunferenciatiende a cero al tender R al infinito.

La cuestion ahora es como cerrar el contorno. Para ello analizamos la funcion integrandoen (5.61). Si evaluamos dicha funcion sobre la bisectriz del primer cuadrante, es decir, paraz = r

√i, el integrando se convierte en

f(z) = e−r2


que es la funcion integrando de la conocida integral de Poisson:

∫ ∞

0

e−r2

dr =

√π

2(5.62)

Para poder utilizar este hecho escojamos para cerrar el contorno el segmento de recta que vaen el plano complejo desde R

√i a 0, de manera que el contorno de integracion sera el que se

muestra en la figura 5.14. Como la funcion integrada

eiz2

es analıtica dentro de dicho contorno, por el teorema de Cauchy podemos escribir

∫ R

0

eix2

dx+

∫CR

eiz2

dz +

∫ 0

R

e−r2√idr = 0 (5.63)

Figura 5.14: Contorno para el calculo de las integrales de Fresnel.


(en la integracion por el segmento de bisectriz hemos introducido el parametro r, de forma talque z = r

√i y dz =

√idr).

Como en los ejemplos anteriores, haremos tender R al infinito. Valoremos la integral por elarco de circunferencia CR; integrando por partes tenemos

∫CR

eiz2

dz ≡∫CR

deiz2

2iz=eiz

2

2iz|R√i

R +1

2i

∫CR

eiz2

z2dz (5.64)

El modulo de la expresion ya integrada:

∣∣∣∣∣ e−R2

2i√iR

− eiR2

2iR

∣∣∣∣∣ ≤ e−R2

2R+

1

2R(5.65)

tiende a cero cuando R tiende a infinito.

El modulo de la expresion bajo la integral:

∣∣∣∣∣eiz2

z2

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ei(R2 cos 2ϕ+iR2 sin 2ϕ)

z2

∣∣∣∣∣ =e−R

2 sin 2ϕ

R2(5.66)

donde hemos supuesto z = R(cosϕ + i sinϕ), sobre el arco CR no es mayor que 1R2 , ya que

sobre dicho arco sin 2ϕ ≥ 0 y e−R2sin 2ϕ ≤ 1. Por consiguiente,

∣∣∣∣∣∫CR

eiz2

z2dz

∣∣∣∣∣ ≤ 1

R2

π

4R =

π

4R(5.67)

tambien tiende a cero cuando R tiende a infinito. Ası pues, en el lımite cuando R → ∞obtenemos

∫ ∞

0

eix2

dx−√i

∫ ∞

0

e−r2

dr = 0 (5.68)

de donde, en virtud de (5.62), se cumple que

∫ ∞

0

cosx2dx+ i

∫ ∞

0

sin x2dx =√i

√π

2=

1 + i√2

√π

2(5.69)

Igualando las partes reales e imaginarias obtenemos las integrales buscadas:

∫ ∞

0

cosx2dx =

∫ ∞

0

sin x2dx =1

2

√π

2(5.70)



∫ ∞

−∞

eaxdx

1 + ex(5.71)

Los criterios suficientes de convergencia de este tipo de integral impropia estudiados en loscursos de analisis permiten concluir que debe cumplirse que

0 < a < 1

Veremos como dicho criterio se desprende directamente del proceso de calculo de la integralcon la ayuda de la teorıa de funciones de variable compleja que aquı estamos estudiando.

Analicemos la funcion de variable compleja prolongacion analıtica del integrando en (5.71) alplano complejo:

f(z) =eaz

1 + ez

Si se tiene en cuenta que la funcion ez tiene un periodo imaginario 2πi y que la funcion eaz

cuando z recibe un incremento igual a 2πi varıa en el factor constante e2πai podemos razonarde la siguiente manera para escoger el contorno de integracion en este caso:

Logicamente, parte del contorno de integracion debe ser el segmento (−R,R) del eje real, paraque al tomar el lımite de R tendiendo al infinito nos quede la integral que queremos calcular.Otra porcion del contorno de integracion puede ser el segmento de recta paralela al eje real(−R+2πi, R+2πi), pues por lo analizado en el parrafo de arriba, a lo largo de dicho segmentoobtenemos el mismo valor que a lo largo del segmento del eje real multiplicado por el factorconstante e2πai .

El contorno de integracion sera cerrado con la ayuda de los segmentos de recta paralelos al ejeimaginario (R,R + 2πi) y (−R,−R + 2πi). El contorno cerrado obtenido es el rectangulo quese muestra en la figura 5.15.

Notese que como la funcion f(z) tiene en el interior de ese contorno cerrado un polo simple enel punto z = πi (donde ez + 1 = 0) con residuo

Res

[eaz

1 + ez, πi

]=

eaz

(1 + ez)′|z=πi =

eaπi

eπi= −eaπi (5.72)

Por lo tanto, aplicando el teorema fundamental de residuos tendremos

∫I

f(z)dz +

∫II

f(z)dz +

∫III

f(z)dz +

∫IV

f(z)dz = −2πieaπi (5.73)



Pero

∫I

f(z)dz =

∫ R

−R

eaxdx

1 + ex

∫III

f(z)dz =

∫ −R

R

ea(x+2πi)dx

1 + ex+2πi= −e2aπi

∫ R

−R

eaxdx

1 + ex

Analicemos ahora las integrales por los segmentos II y IV . En el segmento II tenemos

|f(z)| =∣∣∣∣ ea(R+iy)

1 + eR+iy

∣∣∣∣ ≤ eaR

eR − 1

pues


|eR+iy + 1| ≥ |eR+iy| − 1 = eR − 1

y por consiguiente,

∣∣∣∣∫II

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ 2πeaR

eR − 1= 2π

e(a−1)R

1− e−R

que tiende a cero cuando R → ∞ si a < 1. Notese que uno de los criterios acotadores delparametro a ha aparecido como consecuencia de la necesidad de la convergencia a cero de laintegral por el segmento II; de ser a ≥ 1 el lımite darıa infinito y no se podrıa garantizar laconvergencia de la integral por todo el contorno y por lo tanto de la integral (5.71) que queremoscalcular.

Analogamente, en el segmento IV tenemos

|f(z)| =∣∣∣∣ ea(−R+iy)

1 + e−R+iy

∣∣∣∣ ≤ e−aR

1− e−R

pues

|1 + e−R+iy| ≥ 1− |e−R+iy| = 1− e−R

por lo tanto,

∣∣∣∣∫IV

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ 2πe−aR

1− e−R

que tiende a cero cuando R →∞ si a > 0. Vease como aparecio la otra cota del parametro apara la convergencia de nuestra integral.

Ası pues, si 0 < a < 1, en el lımite cuando R→∞ la relacion (5.73) nos dara

∫ ∞

−∞

eaxdx

1 + ex− e2aπi

∫ ∞

−∞

eaxdx

1 + ex= −2πieaπi

de donde la integral que queremos calcular sera

∫ ∞

−∞

eaxdx

1 + ex= −2πi

eaπi

1− e2aπi=

2πi

eaπi − e−aπi=

π

sin aπ(5.74)

Si a ≤ 0 o a ≥ 1 la integral diverge.



∫ ∞

−∞

eax − ebx

1− exdx (5.75)

Esta integral no puede descomponerse en la diferencia de las dos integrales

∫ ∞

−∞

eaxdx

1− exy

∫ ∞

−∞

ebxdx

1− ex

pues cada una de ellas diverge en el punto x = 0 donde los integrandos tienden a infinito. Sinembargo, si hacemos z = x + πi, entonces 1 − ez = 1 − ex+πi = 1 + ex no se anula en x = 0 ypor ello para el calculo de la integral (5.75) podemos utilizar el resultado del ejemplo anterior.

Por lo tanto suponemos que el integrando en la expresion (5.75) admite una prolongacionanalıtica al plano complejo:

f(z) =eaz − ebz

1− ez

y escogemos un contorno de integracion como el dibujado en la figura 5.16 (el punto z = 0 esexcluido, pues en el la funcion f(z) no esta determinada).

Dentro del citado contorno la funcion f(z) es analıtica, por lo que en virtud del teorema deCauchy podemos escribir

∫I

f(z)dz +

∫Cr

f(z)dz +

∫II

f(z)dz +

∫II

f(z)dz +

∫III

f(z)dz +

∫IV

f(z)dz +

∫V

f(z)dz = 0

(5.76)

En el entorno del punto z = 0 el desarrollo del integrando en serie de Laurent es del tipo

f(z) = (b− a) + C1z + C2z2 + ...

lo que se deja al lector como comprobacion. Esto significa que el punto z = 0 es un puntosingular evitable y por lo tanto la funcion permanece acotada cuando z → 0. Por lo tanto, en(5.76)

∫Cr

f(z)dz → 0

cuando r → 0. Las integrales por los segmentos III y V cuando R → ∞ se anulan siempreque 0 < a < 1 y 0 < b < 1, lo que suponemos que se cumple. Lo anterior se demuestra de



forma identica a como se hizo en el ejemplo anterior y el lector debe hacerlo por su cuenta. Porconsiguiente, la expresion (5.76) en el lımite cuando r → 0 y R→∞ quedara

∫ 0

−∞

eax − ebx

1− exdx+

∫ ∞

0

eax − ebx

1− exdx+

∫ −∞

∞

ea(x+πi)−eb(x+πi)

1− ex+πidx = 0 (5.77)

es decir,

∫ ∞

−∞

eax − ebx

1− exdx = eaπi

∫ ∞

−∞

eax

1 + exdx− ebπi

∫ ∞

−∞

ebx

1 + exdx (5.78)

De aquı, utilizando el resultado (5.74) obtenemos definitivamente


∫ ∞

−∞

eax − ebx

1− exdx =

πeaπi

sin aπ− πebπi

sin bπ= π(cot aπ + i)− π(cot bπ + i) =

= π(cot aπ − cot bπ) (5.79)

donde 0 < a < 1 y 0 < b < 1.

8. Calcular

I =

∫ ∞

−∞cosxβe−x

2αdx (5.80)

En la teorıa de la propagacion del calor y la difusion de sustancias se necesita calcular estaintegral, que es una generalizacion de la integral de Poisson (5.62) y que por el metodo dederivacion con respecto a un parametro es tambien calculable.

Para calcularla con la ayuda de la teorıa de funciones de variable compleja analizaremos laintegral de la funcion

f(z) = e−αz2

ya que esta funcion sobre el eje real se transforma en e−αx2, cuya integral es la de Poisson.

Ademas, para z = x+ ih tenemos que

e−αz2

= e−α(x+ih)2 = e−α(x2+2ixh−h2) = eαh2

e−αx2

e−2iαxh

Por consiguiente, si tomamos

h =β

2α

obtenemos

e−αz2

= eβ2

4α e−x2αe−iβx (5.81)

y es la parte real de esta funcion lo que queremos precisamente integrar.

Es por eso que tomaremos el contorno de integracion segun la figura 5.17

Como dentro de dicho contorno la funcion integrada es analıtica, en virtud del teorema deCauchy tendremos



∫I

f(z)dz +

∫II

f(z)dz +

∫III

f(z)dz +

∫IV

f(z)dz = 0 (5.82)

Para la integral en el segmento I tenemos que

∫I

f(z)dz =

∫ R

−Re−αx

2

dx→√π

αcuando R→∞ (5.83)

La integral por el segmento III es

∫III

f(z)dz =

∫ −R

R

e−α(x+ iβ2α

)2dx = −eβ2

4α

∫ R

−Re−αx

2

e−iβxdx (5.84)

que, hallando el lımite cuando R tiende a infinito, es igual a la integral que deseamos calcular.Ademas, en los segmentos II y IV , donde x = ±R, tenemos que


|e−αz2| = |e−α(±R+iy)2| = |e−α(R2±2iRy−y2)| = e−αR2

eαy2 ≤

≤ eβ2

4α e−αR2 → 0 (5.85)

cuando R→∞ siempre que α > 0.

Por lo tanto, para α > 0 cuando R→∞ la igualdad (5.82) sera igual a

√π

α− e−

β2

4α

∫ ∞

−∞e−αx

2

e−iβxdx = 0

de donde igualando las partes reales obtenemos la integral deseada:

I =

∫ ∞

−∞cos βxe−αx

2

dx =

√π

αe−

β2

4α (5.86)

5.2.5 Integrales de funciones multivaluadas

En todos los casos hasta ahora analizados nos hemos basado en el teorema de Cauchy y enel teorema fundamental de residuos, validos para las funciones analıticas univaluadas. Porconsiguiente, los metodos hasta ahora elaborados pueden ser aplicados solamente en el caso enque la prolongacion analıtica f(z) de la funcion f(x) del eje real al dominio encerrado por elcontorno de integracion sea una funcion univaluada.

En aquellos casos en que la funcion analıtica completa F (z) sea multivaluada en el planocomplejo, es necesario escoger el contorno de integracion de forma tal que que en su interior noexistan puntos de ramificacion de la funcion F (z) y entonces se debe tomar la rama univaluadaf(z) de la funcion analıtica completa F (z) que sea la prolongacion analıtica inmediata de lafuncion f(x) al campo complejo.

Teniendo presente estos detalles se pueden aplicar los metodos anteriormente desarrollados auna serie de integrales impropias muy comunes en diferentes aplicaciones de las matematicas ala Fısica y a la tecnica. Veamos algunos casos tıpicos:

Integrales del tipo∫∞

0xα−1f(x)dx

Consideremos la integral

I =

∫ ∞

0

xα−1f(x)dx (5.87)

donde 0 < α < 1.


Supongamos que la funcion f(x) definida en la parte positiva del eje real puede ser prolongadaanalıticamente a todo el plano complejo y que su prolongacion analıtica f(z) es una funcionanalıtica univaluada excepto en un numero finito de puntos singulares aislados zk (k = 1, 2, ..., n)que no se encuentran sobre la parte positiva del eje real. Sea el punto z = ∞ un cero de ordenno menor que uno para f(z) y z = 0 un punto singular evitable. La funcion

ϕ(z) = zα−1f(z) (5.88)

es, evidentemente, la prolongacion analıtica de la funcion integrando de (5.87) en todo el do-minio D = {0 < arg z < 2π}, es decir, en todo el plano complejo donde se ha hecho un corteen la parte positiva del eje real y coincide con ella en el borde superior del corte (arg z = 0).

La funcion ϕ(z) es univaluada en el dominio D y sus puntos singulares coinciden con los puntossingulares zk de la funcion f(z). Tomemos en el dominio D el contorno cerrado Γ formado porlos segmentos del eje real [r, R] en las partes superior e inferior del corte y las circunferenciasCr : |z| = r y CR : |z| = R (Fig. 5.18).

Figura 5.18: Contorno para el calculo de integrales de funciones multivaluadas.

donde r es lo suficientemente pequeno y R lo suficientemente grande como para que todos los


puntos singulares de la funcion f(z) se encuentren dentro del contorno de integracion. Entonces,en virtud del teorema fundamental de residuos tenemos que

∫Γ

ϕ(z)dz =

∫ R

r

xα−1f(x)dx+

∫CR

zα−1f(z)dz +

∫ r

R

zα−1f(z)dz +

+

∫C−r

zα−1f(z)dz = 2πin∑k=1

Res[zα−1f(z), zk] (5.89)

Analicemos por separado cada uno de los sumandos de la izquierda de la igualdad (5.89);tenemos

∣∣∣∣∫CR

zα−1f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ MRα−1

R2πR = 2πMRα−1 → 0 (5.90)

cuando R →∞, ya que por condicion α < 1 y en el entorno del punto z = ∞ para la funcionf(z) se cumple la desigualdad

|f(z)| < M

|z|

El tercer sumando en la expresion (5.89) es una integral por el borde inferior del corte, dondearg z = 2π, es decir, z = xei2π (x > 0) y zα−1 = xα−1ei2π(α−1).

Por lo tanto

∫ r

R

zα−1f(z)dz = −ei2π(α−1)

∫ R

r

xα−1f(x)dx (5.91)

y por ultimo

∣∣∣∣∫C−r

zα−1f(z)dz

∣∣∣∣ < M1rα−12πr → 0 (5.92)

cuando r → 0, ya que en el entorno del punto z = 0 se cumple la desigualdad |f(z)| < M1 yα > 0.

Ası pues, hallando el lımite cuando r → 0 y R → ∞ en la igualdad (5.89) y en virtud de lasrelaciones (5.90), (5.91) y (5.92) obtenemos definitivamente que

∫ ∞

0

xα−1f(x)dx =2πi

1− ei2πα

n∑k=1

Res[zα−1f(z), zk] (5.93)


Veamos un ejemplo de este tipo de integrales:

I =

∫ ∞

0

xα−1

1 + xdx (5.94)

donde 0 < α < 1.

La funcion bajo la integral (5.94) satisface todas las condiciones enumeradas, por lo que

I =2πi

1− ei2παRes

[zα−1

1 + z,−1

]=

2πieiπ(α−1)

1− ei2πα=

π

sinαπ(5.95)

Integrales del tipo∫ 1

0xα−1(1− x)−αf(x)dx

Veamos ahora la integral

∫ 1

0

xα−1(1− x)−αf(x)dx (5.96)

donde 0 < α < 1.

Como es facil ver, si efectuamos el cambio de variable

y =x

1− x

esta integral puede ser transformada en una integral del tipo (5.87); sin embargo, en varios casoses mas facil realizar el calculo directo de la integral (5.96), el que efectuaremos inmediatamente,

Supongamos que la funcion f(x) definida en el segmento (0, 1) del eje real puede ser prolongadaanalıticamente a todo el plano complejo y que su prolongacion analıtica f(z) tiene un numerofinito de puntos singulares aislados zk (k = 1, 2, ..., n) que no pertenecen al segmento 0 ≤ x ≤ 1y, ademas, que z = ∞ es un punto singular evitable para dicha funcion. Entonces la integral(5.96) puede calcularse facilmente por metodos analogos a los ya estudiados.

Es evidente que la prolongacion analıtica de la funcion que se integra Φ(z) = zα−1(1−z)−αf(z)tiene dos puntos de ramificacion: z = 0 y z = 1. El punto z = ∞ es un punto singular evitablepara la funcion Φ(z). Efectivamente, si recorremos una circunferencia de radio suficientementegrande como para que encierre a los dos puntos de ramificacion, los valores de la funcion Φ(z)no varıan.

Veamos el dominio D constituido por todo el plano complejo, donde se ha hecho un corte enel segmento [0, 1] del eje real. La rama de la funcion Φ(z) que coincide con la funcion quese integra en la expresion (5.96) sobre el borde superior del corte es una funcion analıtica yunivaluada en D.


Tomemos en el dominio D un contorno cerrado Γ constituido por ambos bordes del corte (0, 1),por las circunferencias C ′

r : |z| = r y C ′′r : |z − 1| = r de radio r suficientemente pequeno para

que los puntos singulares del integrando esten fuera de los cırculos interiores a ellas y por lacircunferencia CR : |z| = R de radio R lo suficientemente grande para que encierre en su interiorel segmento [0, 1] y todos los puntos singulares de la funcion f(z) (Fig. 5.19).

Figura 5.19: Contorno para el calculo de la integral.

Por el teorema fundamental de residuos podemos escribir que

∫ 1−r

r

xα−1(1− x)−αf(x)dx+

∫C′′−r

Φ(z)dz +

∫ r

1−rΦ(z)dz +

∫C′−r

Φ(z)dz +

+

∫CR

Φ(z)dz = 2πin∑k=1

Res[zα−1(1− z)−αf(z), zk] (5.97)

Analicemos cada uno de los sumandos del miembro izquierdo de la expresion (5.97). Porhipotesis, z = ∞ es un punto singular evitable para la funcion f(z), es decir, en el entorno dez = ∞ tiene lugar el desarrollo


f(z) = a0 +a−1

z+ ... (5.98)

donde a0 = limz→∞ f(z).

Veamos la funcion

ϕ(z) = zα−1(1− z)−α =1

z

(z

1− z

)α(5.99)

que es la rama anteriormente senalada de la funcion Φ(z)f(z)

. El punto z = ∞ es un punto regular

de esta rama, por lo que en su entorno la funcion ϕ(z) puede ser escrita de la forma siguiente:

ϕ(z) =eiπα

z+ψ1(z)

z2(5.100)

donde ψ1(z) es una funcion analıtica acotada en el entorno del punto z = ∞. De lo anterior,para el desarrollo de la funcion Φ(z) en serie de Laurent en el entorno del punto z = ∞,obtenemos la expresion

Φ(z) = a0eiπα

z+ψ(z)

z2(5.101)

donde ψ(z) es una funcion analıtica acotada en el entorno del punto z = ∞. De (5.101)obtenemos que

Res[Φ(z),∞] = −a0eiπα (5.102)

De ahı que en virtud de la formula (5.11) se cumpla que

∫CR

Φ(z)dz = 2πia0eiπα (5.103)

Como al rodear al punto z = 1 en el sentido de las manecillas del reloj el argumento de laexpresion (1−z) varıa en −2π, el argumento de la funcion Φ(z) sobre el borde inferior del cortees mayor que el argumento sobre el borde superior del corte en 2πα. De aquı que

∫ r

1−rΦ(z)dz = −eiπα

∫ 1−r

r

Φ(x)dx (5.104)

No es difıcil demostrar, basandonos en desigualdades similares a (5.92), que para 0 < α < 1 lasintegrales por las pequenas circunferencias C ′

r y C ′′r tienden a cero cuando r → 0. Entonces,

tomando el lımite cuando r → 0 en la expresion (5.97) obtenemos


(1− ei2πα)I + 2πieiπαa0 = 2πin∑k=1

Res[zα−1(1− z)−αf(z), zk]

de donde

I =πa0

sin πα+

2πi

1− ei2πα

n∑k=1

Res[zα−1(1− z)−αf(z), zk] (5.105)

donde a0 = limz→∞ f(z).


I =

∫ 1

0

xα−1(1− x)−αdx (5.106)

donde 0 < α < 1, que es un caso particular de la conocida funcion beta:

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx

Como se cumplen todos los requisitos arriba senalados y ademas a0 = 1, obtenemos

I =π

sin πα(5.107)

5.2.6 Integrales del tipo∫∞

0 f(x) ln xdx

Trataremos de resolver la integral del tipo

I =

∫ ∞

0

f(x) ln xdx (5.108)

Supongamos que f(x) es una funcion racional de su argumento que tiende a cero cuando xtiende a infinito con no menos rapidez que

1

x2

lo que exigimos con el fin de que la integral (5.108) sea convergente como integral impropia deprimer tipo, es decir, en el infinito. En x = 0 exigiremos que f(x) sea acotada con el fin de quela integral converja como integral impropia de segundo tipo, o sea, en ese punto.


Sea f(z) la prolongacion analıtica de f(x) a todo el plano complejo, univaluada en el dominioconstituido por todo el plano complejo con un corte en la parte positiva del eje real, con unnumero finito de puntos singulares aislados zk (k = 1, 2, ..., n) en dicho dominio y sin puntosde singularidad sobre la parte positiva del eje real. Notese que el numero de singularidades zktiene que ser forzosamente finito porque la funcion f(z) tiene en el infinito un cero de segundoorden dado el comportamiento de f(x) arriba expresado. Como el cero es un punto regular,existira un entorno del infinito de analiticidad de f(z) lo que conduce a que, efectivamente, ntiene que ser finito.

Analicemos bajo las consideraciones expuestas arriba el contorno Γ representado en la figura5.18 y sobre el veamos la siguiente integral de variable compleja:

∫Γ

f(z) ln2 zdz (5.109)

En virtud del teorema fundamental de residuos podemos escribir que

∫Γ

f(z) ln2 zdz =

∫ R

r

f(x) ln2 xdx+

∫CR

f(z) ln2 zdz +

∫ r

R

f(z) ln2 zdz +

+

∫C−r

f(z) ln2 zdz = 2πi∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk] (5.110)

En el tercer sumando z = xei2π, por lo que en dicha integral tendremos que f(z) ln2 z =f(x)(lnx+ 2πi)2.

Ademas, teniendo en cuenta el comportamiento declarado de f(z) en el entorno de z = 0 y dez = ∞, el lector puede verificar de manera similar a como se hizo en el caso de la integral (5.87)que las integrales por las circunferencias CR y Cr se anulan respectivamente cuando R→∞ yr → 0.

Por consiguiente, al hallar el lımite cuando R→∞ y r → 0 la expresion (5.110) se transformaen

∫ ∞

0

f(x) ln2 xdx−∫ ∞

0

f(x)(lnx+ 2πi)2dx = 2πi∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk] (5.111)

Es decir,

−4πi

∫ ∞

0

f(x) ln xdx+ 4π2

∫ ∞

0

f(x)dx = 2πi∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk]



−2

∫ ∞

0

f(x) ln xdx− 2πi

∫ ∞

0

f(x)dx =∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk] (5.112)

Como quiera que la funcion f(x) es real para x reales, igualando las partes reales e imaginariasen (5.112), definitivamente se obtiene

∫ ∞

0

f(x) ln xdx = −1

2Re

{∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk]

}(5.113)

∫ ∞

0

f(x)dx = − 1

2πIm

{∞∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk]

}(5.114)

A modo de ejemplo calculemos la integral

I =

∫ ∞

0

lnx

(1 + x)3dx

Como la funcion integrando satisface las exigencias impuestas anteriormente, podemos utilizarla formula (5.113).

Como z = −1 es un polo de tercer orden para el integrando, tenemos que

Res

[ln2 z

(1 + z)3,−1

]=

1

2

d2

dz2[ln2z]|z=−1 =

[1

z2− ln z

z2

]|z=−1 = 1− iπ

Por consiguiente, de acuerdo con (5.113) tendremos

∫ ∞

0

lnx

(1 + x)3dx = −1

2Re(1− iπ) = −1

2

De paso podemos decir, gracias a la formula (5.114), que

∫ ∞

0

dx

(1 + x)3= − 1

2πIm(1− iπ) =

1

2

En la obtencion de las formulas (5.113) y (5.114) no hemos hecho ningun tipo de restricciona la funcion f(x), salvo los comportamientos exigidos en cero y en el infinito. Es por ello quela formula (5.114) nos sirve para calcular las integrales impropias en el semieje (0,∞) paracualquier tipo de funcion f(x), sea esta par, impar o de cualquier otro tipo. Recuerdese que laformula (5.24) obtenida antes era valida solamente para funciones f(x) pares.


Aunque la formula (5.113) es valida para cualquier tipo de funcion f(x) que cumpla con losrequisitos impuestos, si como caso particular la funcion f(x) es par, la integral (5.108) puedecalcularse por un metodo mas simple. Efectivamente, si tomamos un contorno Γ como elrepresentado en la figura 5.20, podemos, para la funcion f(z) ln z, donde f(z) es la prolongacionanalıtica al semiplano superior Im z > 0 y en virtud del teorema fundamental de residuos,escribir

∫Γ

f(z) ln zdz =

∫ R

r

f(x) ln xdx+

∫Cr

f(z) ln zdz +

+

∫ −r

−Rf(x)[lnx+ iπ]dx+

∫C−r

f(z) ln zdz = 2πin∑k=1

Res[f(z) ln z, zk] (5.115)

Figura 5.20: Contorno para el calculo de la integral con logaritmo y una funcion par.

De nuevo las integrales por las circunferencias CR y Cr se anulan respectivamente cuandoR→∞ y r → 0, por lo que hallando el lımite la expresion (5.115) nos da


2

∫ ∞

0

f(x) lnxdx+ iπ

∫ ∞

0

f(x)dx = 2πin∑k=1

Res[f(z) ln z, zk] (5.116)

La funcion f(x) por hipotesis es par, por lo que en virtud de la formula (5.24) podemos escribirque

2

∫ ∞

0

f(x) ln xdx = 2πin∑k=1

{Res[f(z) ln z, zk]−iπ

2Res[f(z), zk]} (5.117)

y definitivamente obtenemos la formula

∫ ∞

0

f(x) ln xdx = πi

n∑k=1

Res

[f(z)

(ln z − iπ

2

), zk

](5.118)

donde zk (k = 1, 2, ..., n) son los puntos singulares de la funcion f(z) en el semiplano superiorIm z > 0 y la funcion f(x) es par.

Como ejemplo podemos calcular la integral

I =

∫ ∞

0

lnx

(1 + x2)2dx

Basandonos en los razonamientos anteriores obtenemos

∫ ∞

0

lnx

(1 + x2)2dx = πiRes

[1

(1 + z2)2

(ln z − iπ

2

), i

]= −π

4

Si calculamos esta integral por la formula (5.113) obtenemos

∫ ∞

0

lnx

(1 + x2)2dx = −1

2Re

{Res

[ln2 z

(1 + z2)2, i

]+Res

[ln2 z

(1 + z2)2,−i]}

=

= −π4

es decir, como era de esperar, se obtiene el mismo resultado. Se deja al lector como ejercicioefectuar los calculos.

Por ultimo diremos que el metodo expuesto para obtener la formula (5.113) puede aplicarse enaquellas integrales en que la funcion f(x) tenga un polo de primer orden en el punto x = 1. Eneste caso la integral (5.108) sigue siendo convergente, ya que la rama principal de la funcionln z tiene un cero de primer orden en el punto z = 1.


Aquı es necesario modificar el contorno de integracion Γ representado en la figura 5.18, de formatal que cuando se integre por los bordes superior e inferior del corte hecho en la parte positivadel eje real, se evite pasar por el punto z = 1 bordeandolo con una circunferencia con centroen dicho punto y radio pequeno (Fig. 5.21).

Queda como ejercicio al lector comprobar que en este caso la integral (5.108) viene dada por laformula

∫ ∞

0

f(x) ln xdx = π2Re{Res [f(z), 1]} − 1

2Re

{n∑k=1

Res[f(z) ln2 z, zk]

}(5.119)

Figura 5.21: Contorno para el calculo de la integral.

donde zk (k = 1, 2, ..., n) son los puntos singulares aislados de la funcion f(z) diferentes dez = 1.



I =

∫ ∞

0

lnx

x2 − 1dx

Como la funcion

f(x) =1

x2 − 1

satisface las condiciones impuestas, ya que tiene un polo simple en x = 1, por la formula (5.119)tendremos

∫ ∞

0

lnx

x2 − 1dx = π2Re

{Res

[1

z2 − 1, 1

]}− 1

2Re

{Res

[ln2 z

z2 − 1,−1

]}Pero tenemos que

Res

[1

z2 − 1, 1

]=

1

2z|z=1 =

1

2

y

Res

[ln2 z

z2 − 1,−1

]=

ln2 z

2z|z=−1 = −(iπ)2

2=π2

2

Por consiguiente, finalmente

∫ ∞

0

lnx

x2 − 1dx =

π2

2− π2

4=π2

4

5.3 Residuo logarıtmico y sus aplicaciones. Principio del

argumento

5.3.1 Concepto de residuo logarıtmico

Supongamos que en el dominio D tenemos definida una funcion analıtica y univaluada f(z), laque tiene en dicho dominio un numero finito de polos y un numero finito de ceros. Llamaremosderivada logarıtmica de la funcion f(z) a la expresion

ϕ(z) =f ′(z)

f(z)(5.120)


El nombre viene dado del hecho de que (5.120) es la derivada de la funcion ln f(z). De ladefinicion dada se desprende evidentemente que la derivada logarıtmica de una funcion presentasingularidades tipo polo en los ceros de dicha funcion.

Definicion:

Llamaremos residuo logarıtmico de la funcion f(z) en el punto z = a al residuo de la derivadalogarıtmica de la funcion en dicho punto:

Res

[f ′(z)

f(z), a

](5.121)

Este sencillo concepto nos permitira sacar interesantes e importantes conclusiones sobre elcomportamiento y las propiedades de una funcion analıtica en un dominio dado.

Teorema 41

El residuo logarıtmico de una funcion en su cero es igual al orden del cero y la derivadalogarıtmica tiene en dicho punto un polo simple.

Demostracion:

Sea z = a un cero de orden n para la funcion f(z). Esto significa que en el entorno de dichopunto la funcion tiene un desarrollo en serie de Taylor del tipo

f(z) =∞∑k=n

ck(z − a)k ≡ (z − a)n∞∑k=n

ck(z − a)k−n ≡ (z − a)n∞∑m=0

cm+n(z − a)m

≡ (z − a)nΦ(z) (5.122)

donde cn 6= 0 y hemos hecho el cambio de ındice de sumatoria m = k−n. La funcion Φ(z) porsu desarrollo es una funcion analıtica y diferente de cero en z = a.

Calculando la derivada logarıtmica de esta funcion obtenemos

f ′(z)

f(z)=n(z − a)n−1Φ(z) + (z − a)nΦ′(z)

(z − a)nΦ(z)=

n

z − a+

Φ′(z)

Φ(z)=

=n

z − a+

∞∑k=0

bk(z − a)k (5.123)

donde hemos tenido en cuenta que el segundo sumando

Φ′(z)

Φ(z)


es una funcion analıtica y diferente de cero en el entorno del punto z = a, por lo que admiteun desarrollo en serie de Taylor.

De (5.123) se ve que, efectivamente, la derivada logarıtmica de f(z) tiene en z = a un polosimple, ya que su expresion en serie de potencias comienza en k = −1 y, ademas, que su residuo,es decir, el residuo logarıtmico de f(z), que es el coeficiente b−1 de ese desarrollo, es igual a n.


Veamos otro teorema similar e igualmente importante.

Teorema 42

El residuo logarıtmico de una funcion en su polo es igual al orden de dicho polo con signonegativo y la derivada logarıtmica tiene en dicho punto un polo simple.

Demostracion:

Sea z = b un polo de orden p para la funcion f(z). Ello significa que en su entorno la funciontiene un desarrollo del tipo

f(z) =∞∑

k=−p

ck(z − b)k ≡ (z − b)−p∞∑

k=−p

ck(z − a)k+p ≡ (z − a)−p∞∑m=0

cm−p(z − a)m

≡ (z − b)−pΨ(z) (5.124)

donde c−p 6= 0 y hemos hecho el cambio de ındice de sumatoria m = k + p. La funcion Ψ(z)por su desarrollo es una funcion analıtica y diferente de cero en z = b.

De aquı, la derivada logarıtmica de f(z) en el entorno de z = b sera

f ′(z)

f(z)=−p(z − b)−p−1Ψ(z) + (z − b)−pΨ′(z)

(z − b)−pΨ(z)=

−pz − b

+Ψ′(z)

Ψ(z)=

=−pz − b

+∞∑k=0

bk(z − b)k (5.125)

donde hemos tenido en cuenta que el segundo sumando

Ψ′(z)

Ψ(z)

es una funcion analıtica y diferente de cero en el entorno del punto z = b, por lo que admite undesarrollo en serie de Taylor.


De (5.125) se ve que, efectivamente, la derivada logarıtmica de f(z) tiene en z = b un polosimple, ya que su expresion en serie de potencias comienza en k = −1 y, ademas, que su residuo,es decir, el residuo logarıtmico de f(z), que es el coeficiente b−1 de ese desarrollo, es igual a −p.


Los teoremas 41 y 42 nos dan la posibilidad de utilizar el residuo logarıtmico para calcular elorden de los ceros y de los polos de funciones analıticas sin necesidad de efectuar el desarrollode estas en serie de potencias.

Efectivamente, si tenemos la funcion f(z) y sabemos que el punto z = b es un polo para ella,digamos porque calculamos su lımite y obtenemos ∞, tomando el residuo logarıtmico de dichafuncion en z = b obtenemos automaticamente el orden del polo. El residuo logarıtmico se hallafacilmente, pues el teorema demostrado garantiza que la derivada logarıtmica tiene en el puntoun polo simple, de manera que podemos usar la formula (5.8) sin mayores precauciones.

Por ejemplo, si queremos hallar el orden del polo z = 1 de la funcion

f(z) =1

(z2 − 1)3

calculamos su derivada logarıtmica, que es

f ′(z)

f(z)= − 6z

z2 − 1

Por consiguiente, el residuo logarıtmico es

Res

[− 6z

z2 − 1, 1

]= −6z

2z|z=1 = −3

Ası pues, el punto z = 1 es para esta funcion un polo de tercer orden.

El ejemplo es trivial, ya que por la forma de la funcion es facil ver que el polo es de tercerorden. Sin embargo, no siempre esto es tan evidente. Por ejemplo, para la funcion

f(z) = cot2 z

el punto z = 0 es un polo, ya que

limz→0

cot2 z = ∞

por cualquier trayectoria. El orden del polo no es tan evidente. Sin embargo, por el teorema42, tenemos


f ′(z)

f(z)=

−2

sin z cos z

por lo que, como la derivada logarıtmica tiene en z = 0 un polo simple, derivando el denomi-nador calculamos el residuo

Res

[f ′(z)

f(z), 0

]= Res

[−2

sin z cos z, 0

]=

−2

cos2 z − sin2 z|z=0 = −2

Es decir, z = 0 es para cot2 z un polo de segundo orden.

A pesar de lo poderoso que resulta la aplicacion de estos dos teoremas para la rapida y facildeterminacion de los ordenes de los ceros y de los polos de funciones, la importancia de losteoremas 41 y 42 sera analizada a continuacion.

5.3.2 Principio del argumento

Teorema 43

Sea la funcion f(z) analıtica dentro del dominio D excepto en un numero finito de polos y seadicha funcion continua sobre la frontera C del dominio D, de forma tal que f(z) 6= 0 sobre C.Sea, ademas, f ′(z) continua sobre C. Entonces la diferencia entre el numero total de ceros yel numero total de polos de f(z) en D es igual a la suma de todos los residuos logarıtmicos dedicha funcion en el dominio D, es decir,

N − P =1

2πi

∫C

f ′(z)

f(z)dz (5.126)

Demostracion:

Supongamos que la funcion f(z) tiene en el dominio D los ceros a1, a2, ..., al, de orden respec-tivamente n1, n2, ..., nl y que, ademas, dicha funcion tiene en D los polos b1, b2, ..., bm de ordenrespectivamente p1, p2, ..., pm. Entonces, aplicando el teorema fundamental de residuos y losteoremas 41 y 42 a la derivada logarıtmica de la funcion f(z) se obtiene automaticamente que

1

2πi

∫C

f ′(z)

f(z)dz = (n1 + n2 + ...+ nl)− (p1 + p2 + ...+ pm) ≡ N − P

donde N y P son, respectivamente, el numero total de ceros y de polos de la funcion f(z) enel dominio D, contados de forma tal que cada cero y cada polo se lea tantas veces como sea suorden.



El teorema demostrado puede ser empleado para calcular con gran facilidad algunas integralescuyo integrando tenga la forma de la derivada logarıtmica de una funcion analıtica. Si esto esası, basta tan solo contar el numero de ceros y de polos y multiplicar su diferencia por 2πi. Esdecir, integramos contando puntos.

Un ejemplo ilustrativo de lo dicho puede ser el siguiente. Calcular la integral

I =

∫|z−1|=3

cos z + 6 sin z cos z

sin z + 3 sin2 zdz

Es facil ver que el numerador del integrando es la derivada del denominador, por lo que elintegrando tiene la forma de f ′

f.

La funcion f(z) = sin z + 3 sin2 z tiene ceros de primer orden en los puntos zk = kπ conk = 0,±1,±2, ... (verificar aplicando el teorema 41) y no tiene polos. Dentro del contorno deintegracion estan solamente los ceros z = 0 y z = π. Ası pues, en (5.126) N = 2 y P = 0. Porlo tanto:

I = 2πi(2− 0) = 4πi

Calculada la integral.

A pesar de toda la potencia que esto significa a la hora de calcular integrales similares, lamayor importancia del teorema demostrado esta en su significado geometrico que veremos acontinuacion y que se conoce con el nombre de Principio del Argumento. Veamos dichoprincipio:

Mediante la funcion w = f(z) a cada punto del plano complejo z = x + iy le corresponde unpunto del plano complejo w = u+ iv. Por consiguiente, el contorno C del plano z se transformamediante la funcion f(z) en el contorno Γ del plano (u, v), de forma tal que al recorrer el puntoz el contorno C el punto w = f(z) recorrera el contorno Γ (Fig. 5.22). Ahora bien, la integralde la expresion (5.126) puede ser escrita de la forma siguiente:

1

2πi

∫C

f ′(z)

f(z)dz =

1

2πi

∫C

d(ln f(z)) =1

2πi

∫C

d(ln |f(z)|) +1

2π

∫C

darg f(z). (5.127)

Si en el contorno C el punto z parte de la posicion inicial z0 y despues de recorrer el contornoregresa al punto de partida, la funcion w = f(z), partiendo del punto inicial w0 = f(z0),recorrera todo el contorno Γ y regresara a dicho valor inicial. Por consiguiente,

∫C

d(ln |f(z)|) = 0 (5.128)

ya que es una integral real y f(z) regresa a su valor inicial, por lo que ln |f(z)| tambien; es decir,no hay variacion del modulo de la funcion: despues de recorrer el contorno una vez, regresa al


Figura 5.22: Principio del Argumento.

mismo valor inicial del modulo.

Por otro lado, si el punto w = 0 se encuentra dentro del contorno Γ, lo que ocurre si el contornoC rodea al punto z1 en el que w(z1) = 0, entonces el valor final del arg f(z) en general difieredel valor inicial de dicho argumento, por lo que,

1

2π

∫C

darg f(z) 6= 0 (5.129)

La magnitud

1

2π

∫C

darg f(z) =1

2π4C arg f(z) (5.130)

es la variacion total en unidades de 2π que sufre el argumento de la funcion f(z) cuando elpunto z recorre el contorno C una vez. Ello quiere decir que esa expresion nos da el numerode vueltas que da alrededor de w = 0 el contorno imagen Γ cuando el contorno C es recorrido


una vez.

En virtud del teorema 43 tendremos que

1

2π

∫C

darg f(z) = N − P (5.131)

de donde

4C arg f(z) = 2π(N − P ) (5.132)

La formula (5.132) expresa el llamado Principio del Argumento, que plantea que la variaciondel argumento de una funcion analıtica que recorre en el plano z un contorno cerrado C es igual a2π veces la diferencia entre el numero de ceros y el numero de polos de dicha funcion encerradosen dicho contorno.

Como expresamos arriba, geometricamente, la magnitud (5.130) es el numero de lazos queel contorno Γ describe alrededor del punto w = 0 cuando recorremos el contorno C una vezcompletamente; es decir, es el numero de vueltas que da el vector w = f(z) cuando el punto zda una vuelta alrededor del contorno C.

Por ejemplo, la funcion w = (z − 1)2 tiene en el punto z = 1 un cero de segundo orden; porconsiguiente, cualquier contorno C que envuelva al punto z = 1 se convertira en un contorno Γque envolvera al punto w = 0; el contorno Γ realizara dos lazos alrededor del punto w = 0, yaque por el principio del argumento se cumple que 4C argw = 4π.

Si el contorno C fuera especıficamente la circunferencia |z| = 2, entonces haciendo z− 1 = reiϕ

obtendrıamos que w = r2e2iϕ. Ploteando esta funcion no es difıcil comprobar que se obtiene elcontorno Γ senalado en la figura 5.23.

Al final del capıtulo en el que estudiamos las integrales de funciones de variable compleja de-mostramos con la ayuda del teorema de Liouville el llamado Teorema Fundamental del Algebraque afirma que todo polinomio P (z) tiene al menos un cero. Basandonos en el teorema 43puede demostrarse un teorema mas exacto, que es la base de la teorıa de ecuaciones algebraicasy que establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raıces (considerando sumultiplicidad).

Para demostrar que el polinomio

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a0 (5.133)

tiene exactamente n raıces hagamos lo siguiente: por el teorema demostrado en el capıtulo deintegrales sabemos que dicho polinomio tiene al menos un cero. El punto z = ∞ es evidente-mente un polo de orden n para P (z), ya que la expresion (5.133) es precisamente la definicionde polo del orden n en el infinito. Esto significa que z = ∞ es un punto singular aislado; porconsiguiente, podemos tomar una circunferencia C con centro en el origen de coordenadas y


Figura 5.23: Ejemplo del Principio del Argumento con la funcion w = (z − 1)2.

radio lo suficientemente grande como para que todos los ceros (esta garantizado que al menosexiste uno) queden encerrados dentro de dicha circunferencia C. Como dentro de C no haypolos, en virtud del teorema 43 tendremos que el numero de ceros del polinomio P (z) sera:

N =1

2πi

∫C

P ′(z)

P (z)dz (5.134)

donde el contorno C se integra en sentido positivo.

Pero por la forma en que hemos construido el contorno C y por definicion de residuo en elinfinito, tenemos que

1

2πi

∫C

P ′(z)

P (z)dz = −Res

[P ′(z)

P (z),∞]

(5.135)

y como z = ∞ es un polo de orden n para P (z), en virtud del teorema 42 podemos escribir que


Res

[P ′(z)

P (z),∞]

= −n (5.136)

De las expresiones (5.134), (5.135) y (5.136) concluimos que

N = n

Es decir que, efectivamente, el numero de ceros o raıces del polinomio (5.133) es igual al ordende dicho polinomio.

El teorema que acabamos de demostrar y, en general, el problema sobre el calculo del numerode ceros de una funcion analıtica en un dominio dado puede resolverse, de forma mucho massimple, por medio del siguiente teorema:

Teorema 44 (Teorema de Rouchet)

Sean f(z) y ϕ(z) dos funciones analıticas en el dominio D = D ∪ Γ tales que en la frontera Γdel dominio D se cumpla la desigualdad

|f(z)||Γ > |ϕ(z)||Γ (5.137)

Entonces el numero total de ceros de la funcion F (z) = f(z) + ϕ(z) en el dominio D es igualal numero total de ceros de la funcion f(z).

Demostracion:

Para las funciones f(z) y F (z) = f(z) +ϕ(z) se cumplen todas las condiciones impuestas en elteorema 43. Efectivamente, la funcion f(z) no tiene puntos singulares sobre Γ (ella es analıticaen D) y no se anula sobre Γ en virtud de (5.137).

Estas mismas condiciones se cumplen para la funcion F (z), ya que

|F (z)||Γ = |f(z) + ϕ(z)||Γ ≥ |f(z)||Γ − |ϕ(z)||Γ > 0

Por esto, en virtud de la formula (5.132), tendremos que

N(f + ϕ) =1

2π∆Γ arg(f + ϕ)

y

N(f) =1

2π∆Γ arg f


Analicemos la diferencia

N(f + ϕ)−N(f) =1

2π∆Γ[arg(f + ϕ)− arg f ] =

1

2π∆Γ

[arg

(1 +

ϕ

f

)]

pues es evidente que

arg(f + ϕ)− arg f = argf + ϕ

f

Introduzcamos la funcion

w = 1 +ϕ

f

Como es facil ver, cuando el punto z recorre todo el contorno Γ el punto w que le correspondedescribira un contorno cerrado Γ′ que, por (5.137), estara contenido totalmente dentro de ciertocırculo |w − 1| ≤ ρ0 < 1 (Fig. 5.24). Por consiguiente, el punto w = 0 esta fuera del contornoΓ′, por lo que concluimos que

∆Γ argw = 0


Hallemos, por ejemplo, el numero total de ceros de la funcion F (z) = z8 − 5z5 − 2z + 1 en elinterior del cırculo unitario |z| < 1. Representemos la funcion F (z) por F (z) = f(z) + ϕ(z),donde f(z) = −5z5 + 1 y ϕ(z) = z8 − 2z. Entonces

|f(z)|||z|=1 ≥ | − 5z5|||z|=1 − 1 = 4

y

|ϕ(z)|||z|=1 ≤ |z8|||z|=1 + |2z|||z|=1 = 3

Por consiguiente,

|f(z)|||z|=1 > |ϕ(z)|||z|=1 > 0

En virtud del teorema de Rouchet el numero total de ceros de la funcion F (z) en el dominio|z| < 1 es igual al numero total de ceros de la funcion f(z), pero esta ultima tiene evidentementecinco ceros:


Figura 5.24: Teorema de Rouchet.

zk =5

√1

5ei2

kπ5

donde k = 0, 1, 2, 3, 4, por lo que podemos afirmar que la funcion F (z) = z8−5z5−2z+1 tieneen el interior del cırculo |z| < 1 cinco ceros.

Con ayuda del teorema de Rouchet se puede demostrar facilmente el teorema fundamental delAlgebra. Para ello representemos al polinomio

F (z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a0

en la forma

F (z) = f(z) + ϕ(z)


donde f(z) = anzn y ϕ(z) = an−1z

n−1 + ...+ a0. Veamos la relacion

ϕ(z)

f(z)=an−1

an· 1

z+ ...+

a0

an· 1

zn

Como es facil ver, para cualquier valor de los coeficientes an, an−1,...,a0 siempre se puede hallarun valor R0 tal que para todo |z| = R > R0 se cumple la desigualdad

0 <

∣∣∣∣ϕ(z)

f(z)

∣∣∣∣ ||z|=R < 1 (5.138)

De (5.138) y utilizando el teorema de Rouchet se deduce que el numero de ceros de la funcionF (z) en el cırculo |z| < R es igual al numero de ceros de la funcion f(z) = anz

n en dichocırculo. Pero esta funcion tiene en todo el plano complejo un unico cero de orden n: el puntoz = 0. De aquı y por la arbitrariedad del numero R, se deduce que el polinomio F (z) tieneexactamente n ceros en el plano complejo.


1. Calcular los residuos de las siguientes funciones en los puntos z = a:

(a)z3 + 1

(z + 2)2(z − 3); a = 3, a = −2

(b)cos z

z3(z + 4); a = 0

(c)

tan z; a =π

2

(d)

e1

z+2 ; a = −2

(e)

sin

(4

z − 1

); a = 1

(f)z4 + 2

z2 + 16; a = ∞

(g)z3 + 3z + 1

2z2 + 5; a = ∞


2. Hallar los residuos de las siguientes funciones f(z) en sus puntos singulares:

(a)1

(z + 2)2z3

(b)1

sin z(z 6= ∞)

(c)

e1z

(d)z2n

(1 + z)n

(e)cos z − sin z

(f)ez

1 + z

(g)znez

(h)ez

z2(z2 + 9)

(i)

sin z sin1

z

(j)1

z(1− e−hz); h 6= 0

3. Calcular con la ayuda de residuos las siguientes integrales:

(a) ∫|z|=1

ez

zdz

(b) ∫|z|=2

sin zdz

(z + 1)2(z − i)

(c) ∫C

z2 + 1

(2z + 3)2z2dz; dondeC es la elipse

x2

4+ y2 = 1


(d) ∫C

dz

z4 + 1; dondeC es la circunferencia x2 + y2 = 2x

(e) ∫|z|=2

dz

(z − 3)(z2 − 1); sugerencia : usar Res[f(z),∞]

4. Calcular las integrales de variable real siguientes:

(a) ∫ 2π

0

dx54− cosx

(b) ∫ 2π

0

dx

(5 + 4 cos x)2

(c) ∫ 2π

0

dx

cosx+ a; (a > 1)

(d) ∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 25)(9x2 + 1)

(e) ∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)(x2 + 4)(x2 + 9)

(f) ∫ ∞

−∞

cos ax

x4 + 1dx

(g) ∫ ∞

0

(sin x

x

)2

dx

(h) ∫ ∞

0

sin xdx

x(1 + x2 + x4)

(i) ∫ ∞

0

x2 lnxdx

(1 + x2)2

(j) ∫ ∞

0

ln2 xdx

1 + x2

(k) ∫ ∞

0

lnxdx

(x+ a)2 + b2


(l) ∫ 1

−1

dx3√

(1− x)(1 + x)2

5. Calcular la integral de Legendre: ∫ ∞

0

e−πxsin ax

sinh πxdx

Sugerencia: usar el contorno de la figura 5.25 y la funcion

f(z) =eiaz

e2πz − 1

Figura 5.25: Para el calculo de la integral de Legendre.

Capıtulo 6

Representaciones conformes

En este capıtulo realizaremos el estudio de un tema de extraordinaria importancia en la teorıade funciones de variable compleja, ası como en su aplicacion a la resolucion de problemas de laFısica. Dicho tema es la geometrıa de las funciones de variable compleja.

A lo largo del desarrollo del libro hemos visto que al definir una funcion de variable complejaw = f(z) se establece la relacion existente entre los puntos del plano complejo de la variablez = x + iy y los puntos del plano complejo de la variable w = u + iv de forma tal que, porejemplo, determinado contorno C del plano complejo z se transforma en cierto contorno Γ delplano complejo w.

De aquı es posible suponer que por medio de la funcion w = f(z) un dominio D del planocomplejo z se transforma en otro dominio D1 del plano complejo w.

Este tipo de transformaciones de un dominio en otro realizadas por una funcion de variablecompleja recibe el nombre de representaciones. Dentro de las clase de representaciones jueganun papel fundamental las llamadas representaciones conformes, que son aquellas transfor-maciones realizadas por funciones analıticas. Mas adelante precisaremos las caracterısticas quetiene que tener una funcion analıtica para que la representacion que realiza sea conforme yaclararemos el por que de tal nombre.

Surgida de concepciones fısicas (en electrostatica, hidro y aerodinamica y otras ramas), la teorıade representaciones conformes tiene como problema central el siguiente: dados dos dominiosdeterminados hallar la funcion analıtica que realiza la representacion conforme de un dominioen otro. Por supuesto, es necesario determinar que condiciones deben cumplirse para que existadicha funcion.

Al estudio de estas cuestiones y a algunas de sus aplicaciones nos dedicaremos de inmediato.

259


6.1 Conceptos fundamentales

6.1.1 Transformaciones que conservan las propiedades armonicas

Supongamos que tenemos definida en un dominio D del plano (x, y) una funcion armonicaϕ(x, y), es decir, que en dicho dominio la funcion ϕ(x, y) satisface la ecuacion de Laplace:

∇2ϕ =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0 (6.1)

Hagamos la siguiente transformacion (cambio de variables):

u = u(x, y)

v = v(x, y) (6.2)

y exijamos que esta transformacion sea no degenerada, es decir, que el jacobiano de la trans-formacion D(u,v)

D(x,y)6= 0. Entonces, como sabemos, existe la transformacion inversa:

x = x(u, v)

y = y(u, v) (6.3)

Sustituyendo las expresiones (6.3) en la funcion ϕ(x, y) obtenemos una funcion de las nuevasvariables u y v:

ϕ(x, y) = ϕ[x(u, v), y(u, v)] = Φ(u, v) (6.4)

Exigiremos que se conserven las propiedades armonicas en las nuevas variables, es decir, que secumpla que

∇2Φ =∂2Φ

∂u2+∂2Φ

∂v2= 0 (6.5)

Para la derivada de la funcion ϕ(x, y) con respecto a la variable x expresada en funcion de lasnuevas variables u y v, se tiene la expresion

∂2ϕ

∂x2=∂2Φ

∂u2

(∂u

∂x

)2

+ 2∂2Φ

∂u∂v

∂u

∂x

∂v

∂x+∂2Φ

∂v2

(∂v

∂x

)2

+

+∂Φ

∂u

∂2u

∂x2+∂Φ

∂v

∂2v

∂x2

Representaciones conformes 261

Igual expresion se obtiene para la derivada con respecto a la variable y. De esta maneraobtenemos para el laplaciano la expresion

∇2ϕ =∂2Φ

∂u2

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2]

+ 2∂2Φ

∂u∂v

[∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y

]+

+∂2Φ

∂v2

[(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2]

+∂Φ

∂u

[∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

]+∂Φ

∂v

[∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

]= 0 (6.6)

El exigir la propiedad armonica (6.5) significa que en la expresion (6.6) solo esten presenteslas segundas derivadas ∂2Φ

∂u2 y ∂2Φ∂v2

. Por consiguiente, para las transformaciones u y v debencumplirse las tres condiciones siguientes:

(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

=

(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2

(6.7)

∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y= 0 (6.8)

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0;

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0 (6.9)

Analicemos estas tres condiciones. En primer lugar podemos afirmar, por (6.9), que las fun-ciones u y v deben ser funciones armonicas. Ademas, como el jacobiano de la transformaciones diferente de cero, podemos suponer que, por ejemplo,

∂u

∂x

∂v

∂y6= 0 (6.10)

Dividiendo (6.8) por (6.10) obtenemos

∂v∂x∂v∂y

= −∂u∂y

∂u∂x

= k(x, y) (6.11)


∂v

∂x= k

∂v

∂y;∂u

∂y= −k∂u

∂x(6.12)

Las relaciones (6.12) deben ser satisfechas por las funciones u y v para que, una vez realizadala transformacion, se conserven las propiedades armonicas.


Por ultimo, sustituyendo las expresiones (6.12) en (6.7) obtenemos

∂u

∂x= ±∂v

∂y(6.13)

Si en esta ultima relacion tomamos el signo positivo, entonces sustituyendola en (6.11) obtene-mos

∂u

∂y= −∂v

∂x(6.14)

Si tomasemos en (6.13) el signo negativo, entonces de (6.11) obtendrıamos

∂u

∂y=∂v

∂x(6.15)

es decir, que u y v deben ser tales que satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x=∂v

∂y∂u

∂y= −∂v

∂x

o

∂u

∂x= −∂v

∂y∂u

∂y=∂v

∂x

Ası pues, para realizar una transformacion de variables que conserve las propiedades armonicasde las funciones es necesario tomar en el dominio de armonıa D una funcion analıtica

w = u+ iv, o w∗ = u− iv (6.16)

y tomar como transformacion la parte real y la parte imaginaria de dicha funcion.


6.1.2 Significado geometrico del modulo y del argumento de la de-rivada de una funcion analıtica

Veamos ahora que significa geometricamente la derivada de una funcion analıtica, lo que nospermitira introducir geometricamente el concepto de representacion conforme.

Sean la funcion w = f(z) analıtica en cierto dominio D y z0 un punto del dominio D dondedenotamos por w0 = f(z0) el valor de la funcion en el punto z0 ∈ D. Supongamos que laderivada de la funcion f(z) en el punto z0 es diferente de cero. Como la funcion considerada esanalıtica, su derivada existe y es independiente del camino que tomemos para que z → z0 (esdecir, ∆z → 0).

Si hacemos z → z0 a lo largo de la curva γ, los puntos de ella forman por medio de la leyw = f(z) en el plano (u, v) cierta curva Γ a lo largo de la cual w → w0 cuando z → z0 a lolargo de γ.

Sea el vector ∆z con argumento ψ en el plano (x, y) y su correspondiente vector ∆w conargumento Ψ en el plano (u, v). Tendremos que

∆z = |∆z|eiψ

y

∆w = |∆w|eiΨ

Llamemos respectivamente ψ0 y Ψ0 a las pendientes de las tangentes a las curvas γ y Γ en lospuntos z0 y w0 (Fig. 6.1).

En coordenadas polares la derivada de la funcion f(z) sera el lımite de la razon incremental alo largo de la curva γ:

w′(z0) = lim∆z→0

∆w

∆z= f ′(z0) = Rei(Ψ0−ψ0) (6.17)

ya que cuando z → z0 a lo largo de la curva γ, w → w0 a lo largo de la curva Γ y por tantoψ → ψ0 y Ψ → Ψ0, en tanto por R tendremos la expresion

R = |f ′(z0)| = lim∆z→0

∣∣∣∣∆w∆z

∣∣∣∣ (6.18)

que sera el modulo de la derivada de f(z) en el punto z0. De (6.17) se ve que el argumentode la derivada es

Arg f ′(z0) = Ψ0 − ψ0 = lim∆z→0

(Ψ− ψ) (6.19)


Figura 6.1: Significado geometrico de la derivada.

De esta expresion se infiere que el argumento de la derivada de una funcion analıtica en unpunto donde esa derivada es diferente de cero es, geometricamente, el angulo de giro queexperimenta la curva γ al pasar del plano (x, y) al plano (u, v) por medio de la ley w = f(z).Segun (6.18), el modulo de la derivada es el modulo de estiramiento que experimenta unafigura infinitamente pequena que se encuentra en el entorno del punto z0 en el plano (x, y) alconvertirse en su imagen en el plano (u, v). Este modulo, es el mismo para cualquier direccion.

Ahora bien, si tomasemos el lımite cuando z → z0 a lo largo de otra curva γ1, en el plano (x, y)cuya pendiente en el punto z0 fuera ψ01, en el plano (u, v) obtendrıamos otra curva Γ1, cuyapendiente en el punto w0 serıa Ψ01; como por definicion de lımite -y la derivada es un lımite-si este existe es independiente del camino que se tome, razonando de forma analoga a comohicimos anteriormente se obtiene que

Arg f ′(z0) = Ψ01 − ψ01 (6.20)

El modulo de la derivada sigue siendo el mismo numero R dado por (6.18), ya que no dependedel angulo, es decir, del argumento. Comparando las expresiones (6.19) y (6.20) concluimos


que

Arg f ′(z0) = Ψ0 − ψ0 = Ψ01 − ψ01 = const. (6.21)

La formula (6.21) nos expresa que mediante la transformacion w = f(z) el angulo de giro seconserva, es decir, permanece constante en cada punto del plano en los que la derivada dela transformacion sea diferente de cero y es igual al argumento de la derivada de la funcionanalıtica f(z) en ese punto.

Por otra parte, como (6.21) nos indica que

Ψ0 −Ψ01 = ψ0 − ψ01 = const. (6.22)

concluimos que mediante la representacion w = f(z) dos curvas cualesquiera que se corten bajoun angulo α en el plano (x, y) se transforman en dos curvas en el plano (u, v), imagenes deaquellas, que se cortaran bajo el mismo angulo α, pero de forma tal que la bisectriz de dichoangulo (o sea, toda la figura en el entorno del punto z0) girara al pasar al punto w0 en el plano(u, v) una magnitud Ψ0 − ψ0 = const.

Por otro lado, tenemos que el modulo de la derivada dado por (6.18), tal y como apuntabamosarriba, por hipotesis existe y no depende de la direccion por la que tendamos al punto z0, porlo que es una expresion constante. Su constancia significa geometricamente que mediante la re-presentacion w = f(z) que satisfaga la condicion f ′(z0) 6= 0 los elementos lineales infinitamentepequenos que esten en el entorno del punto z0 se transforman en elementos semejantes en elentorno del punto imagen w0 con coeficiente de semejanza dado por el modulo de estiramientoR pero girados un angulo igual al argumento de la derivada Ψ0 − ψ0.

Ası, por ejemplo, un triangulo infinitamente pequeno en el entorno del punto z0 se transformaramediante la funcion w = f(z) en un triangulo semejante en el entorno del punto w0, con angulosiguales y lados proporcionales con coeficiente de semejanza entre los lados igual al modulo de laderivada f ′(z0), R, pero el triangulo imagen en el plano (u, v) estara girado respecto al trianguloen (x, y) en un angulo igual al argumento de la derivada f ′(z0).

Por ultimo, es conveniente destacar que todo este analisis es puntual; en otro punto z1 conimagen w1 y valor numerico de la derivada f ′(z1) se tendran otros valores numericos del moduloy del argumento de la derivada, aunque sigue siendo valido el analisis de arriba; sin embargo, elangulo de giro, el angulo bajo el que se cortan las curvas y el valor del modulo de estiramientoseran distintos.

Ademas, si la derivada en un punto es igual a cero, nada de lo aquı analizado tiene validez; enel entorno del punto donde la derivada se anula no se puede hablar de la conservacion de losangulos ni de los angulos de giro, ni del modulo de estiramiento.


6.1.3 Representacion conforme

Ya estamos en condiciones de dar la siguiente definicion.

Definicion: La transformacion biunıvoca del plano (x, y) al plano (u, v) en la que se conservanlos angulos y en la que el coeficiente de estiramiento de las figuras infinitamente pequenas nodepende de la direccion en el plano complejo, se llama representacion conforme.

De la definicion dada, ası como del analisis realizado en el punto anterior se comprende porque se le llama conforme a la representacion; esto se debe a que es una representacion queconserva la forma de las figuras infinitamente pequenas.

Por otra parte, el hecho de que la derivada de la funcion w = f(z) que realiza la repre-sentacion tiene que existir en el dominio en cuestion, nos permite concluir que las representa-ciones conformes son realizadas por funciones analıticas biunıvocas (es decir, que la funciondirecta w = f(z) y la funcion inversa z = ϕ(w) sean univaluadas, es decir, ”uno a uno”) conderivada diferente de cero en el dominio en cuestion, aunque la derivada pueda ser igual acero en puntos aislados en cuyos entornos la representacion no sera conforme, es decir no seconservara la forma de las figuras infinitamente pequenas en dichos puntos.

El primer punto del presente epıgrafe nos permite afirmar que las funciones analıticas en undominio del plano z con derivada diferente de cero transforman de manera conforme dichodominio en otro en el plano imagen w y ademas conservan en el citado dominio las propiedadesarmonicas, o sea, mantienen invariante la ecuacion de Laplace al pasar de un dominio al dominioimagen. Esto ultimo convierte a las representaciones conformes en un poderoso aparato pararesolver problemas fısicos en los que se requiera hallar potenciales y funciones en general quesatisfagan la ecuacion de Laplace. Sobre esto volveremos mas adelante.

Es conveniente tambien destacar la necesidad de que la funcion f(z) sea biunıvoca para garan-tizar que la representacion que realice sea conforme. Por ejemplo, la funcion w = z4 no esbiunıvoca en todo el plano, pues su inversa z = 4

√w es multivaluada. Por lo tanto en todo el

plano la representacion que ella realiza no es conforme. Solo serıa conforme la representacionque realice esta funcion de dominios contenidos por ejemplo en el cuadrante 0 < arg z < π/2,ya que este se transformara en todo el plano w (con 0 < argw < 2π) con un corte en el semiejereal positivo u > 0; en dicho cuadrante, por tanto, la funcion w = z4 es biunıvoca y su derivadapara todo z 6= 0 es w′ = 4z3 6= 0, por lo que la representacion es en este caso conforme. Unanalisis mas detallado de estas cuestiones se realizara posteriormente.

Destaquemos tambien el hecho de que la representacion conforme no solo conserva el valorabsoluto de los angulos , sino tambien la direccion de los mismos. Si la funcion w = f(z)realiza la representacion conforme del dominio D en el dominio D1, es evidente que la funcionw∗ = f ∗(z) realizara una representacion del dominio D en el dominio D1 en la que el valorabsoluto de los angulos tambien se conserva, pero que invierte el sentido de la medicion de losangulos. A este tipo de transformacion le llamaremos representacion conforme de segundotipo. Otro tipo de representacion conforme no existe, ya que la condicion de analiticidad y debiunicidad de la funcion son necesarias y suficientes.


6.1.4 Principio de correspondencia de fronteras

A la hora de resolver problemas concretos de representaciones conformes podemos circun-scribirnos a obtener la funcion f(z) que realice la transformacion de la frontera Γ del dominio Den la frontera Γ1 del dominio D1 sin necesidad de preocuparnos por analizar la transformacionde los puntos internos. Esto podemos hacerlo ası gracias al llamado principio de correspon-dencia de fronteras, a cuyo estudio pasaremos de inmediato; pero antes introduzcamos elsiguiente acuerdo: es obvio que una funcion w = f(z) biunıvoca y continua transforma cual-quier contorno cerrado en el plano complejo z en otro contorno cerrado en el plano complejow.

Diremos que ante semejante transformacion se conserva el sentido del contorno si alrecorrer en sentido positivo el contorno cerrado que esta en el plano complejo z el contornocerrado imagen de aquel en el plano complejo w se recorre tambien en sentido positivo.

Teorema 45 (Principio de Correspondencia de Fronteras)

Sea w = f(z) una funcion analıtica en el dominio D y continua en el dominio cerrado D = D∪Γy tal que realice la representacion biunıvoca del contorno Γ en el contorno Γ1 de manera que seconserve el sentido del contorno. Entonces dicha funcion realizara la representacion conformedel dominio D en el dominio D1 de frontera Γ1.

Demostracion:

Veamos en el dominio D1 un valor w0 de los que la funcion f(z) toma cuando el punto z nopertenece a la frontera del dominio D; digamos w0 = f(z0). Si suponemos que la funcion f(z)toma en mas de un punto z ∈ D el valor w0, entonces el numero de puntos z donde la funcionf(z) se iguala a w0, en virtud del principio del argumento (el numero de polos es cero, puespor hipotesis f(z) es analıtica y por tanto continua en el dominio D), sera

N =1

2π∆Γ arg[f(z)− w0] (6.23)

En esta expresion ∆Γ arg[f(z) − w0] es la variacion completa del argumento de la funcionF (z) = f(z) − w0 cuando z recorre el contorno Γ. Ahora bien, por hipotesis f(z) realiza larepresentacion biunıvoca del contorno Γ en el contorno Γ1; por consiguiente, cuando z recorratodo el contorno Γ, w = f(z) recorrera todo el contorno Γ1 una vez, de donde

∆Γ arg[f(z)− w0] = ∆Γ1 arg[w − w0] (6.24)

donde el punto w se mueve a lo largo del contorno Γ1.

Ahora bien,


∆Γ1 arg[w − w0] = 2π, si w0 se encuentra dentro de Γ1

= 0, si w0 se encuentra fuera de Γ1 (6.25)

Esto es ası pues el vector w − w0 da una vuelta completa alrededor del punto w0, si este seencuentra encerrado en el contorno Γ1, con una variacion de su argumento igual a 2π, en tantoque dicho valor no varıa su argumento cuando el punto w recorre el contorno Γ1 si w0 esta fuerade el (Fig. 6.2)

Figura 6.2: Principio de correspondencia de fronteras.

Sustituyendo (6.25) y (6.24) en (6.23) concluimos que N = 1 si w0 esta dentro del contorno Γ1

y N = 0 si w0 esta fuera del contorno Γ1; esto implica que la funcion w = f(z) toma el valorw0 solamente en un punto z0 del dominio D. Es decir, como w0 es arbitrario, que dicha funciontoma para cada valor z ∈ D uno y solo un valor w ∈ D1.

Es decir, la representacion de D en D1 es biunıvoca y, como la funcion f(z) es analıtica,concluimos que la representacion es conforme.



Es necesario aclarar que si la funcion f(z) es analıtica en el dominio D excepto en un unicopunto singular z1, que es un polo simple, y si mediante la transformacion f(z) del contorno Γen el contorno Γ1 no se conserva el sentido del contorno, es decir, que al recorrerse Γ en sentidopositivo, Γ1 se recorre en sentido negativo, entonces la funcion f(z) realiza la representacionconforme del dominio D en el dominio D′

1 exterior al contorno Γ1 en el plano w y al punto z1

le corresponde como imagen el punto w = ∞.

Esto es facil de demostrar, ya que en este caso en lugar de la expresion (6.23) obtendremos

N − 1 =1

2π∆Γ arg[f(z)− w0] = −1

= 0 (6.26)

donde el signo menos de la derecha aparece porque no se conserva el sentido del contorno. Dela expresion (6.26) se concluye la validez de lo expresado arriba.

6.1.5 Teorema de Riemann

Hasta el momento hemos realizado nuestro analisis suponiendo la existencia de la funcion f(z)que realiza la representacion conforme del dominio dado D del plano complejo z en el dominiodado D1 del plano complejo w.

En el presente punto formularemos las condiciones que garantizan la existencia y la unicidadde tal representacion en la forma en que lo hizo Bernhard Riemann en 1851, sin realizar lademostracion correspondiente, ya que ello se saldrıa de los marcos de nuestro libro; no obstante,el lector interesado puede referirse a la obra de Markushevich que aparece en la lista de literaturarecomendada al final del libro, donde encontrara una detallada demostracion de este teorema.

Teorema 46 (Teorema de Riemann)

Todo dominio simplemente conexo D del plano complejo z cuya frontera este constituida pormas de un punto, puede ser transformado, mediante una representacion conforme en el interiordel cırculo unitario |w| < 1 del plano w.

Evidentemente, este teorema implica la posibilidad de la representacion conforme del dominiosimplemente conexo D del plano z en el dominio simplemente conexo D1 del plano w, siempreque cada una de las fronteras de ambos dominios esten constituidas por mas de un punto.Efectivamente, transformando los dominios D y D1 en el cırculo auxiliar |ζ| < 1 (lo que esposible en virtud del teorema de Riemann) se obtiene la representacion deseada.

El exigir que ambos dominios sean simplemente conexos es fundamental, ya que de lo contrariose obtendrıa una contradiccion. Para comprender esto, tomemos en el dominio multiconexoD un contorno cerrado Γ que encierre a puntos de la frontera del dominio D. El contornoΓ se transforma en cierto contorno Γ1 contenido totalmente en el dominio D1 (Fig. 6.3). Sireducimos el contorno y lo hacemos tender a cierto punto w0 interior del dominio D1, tendremos


que -en virtud de que la representacion es continua- el contorno Γ debera mantenerse todo eltiempo dentro del dominio D.

Figura 6.3: Teorema de Riemann.

Como se ve, esto es imposible, ya que el dominio D es biconexo y el contorno Γ fue tomado en laforma indicada anteriormente. Ası pues, es imposible realizar la representacion conforme de undominio multiconexo en un dominio simplemente conexo. Sin embargo, se vera que es posiblerealizar la representacion conforme de un dominio multiconexo en otro dominio multiconexodel mismo orden de conexion.

Veamos ahora las condiciones que definen de forma unıvoca la funcion que realiza una repre-sentacion conforme dada.

Teorema 47

La funcion f(z) que realiza la representacion conforme del dominio simplemente conexo D,con frontera Γ consistente en mas de un punto en el cırculo unitario |w| < 1 de forma tal quef(z0) = 0 y arg f ′(z0) = α, donde z0 ∈ D y α es un numero real, dados a priori, es unica.

Demostracion:


Supongamos que existen dos funciones w1 = f1(z) y w2 = f2(z) que realizan la representaciondada, es decir, que

f1(z0) = 0; arg f ′1(z0) = α; |f1(z)||Γ = 1

f2(z0) = 0; arg f ′2(z0) = α; |f2(z)||Γ = 1

Queremos destacar que las funciones w1 = f1(z) y w2 = f2(z) establecen una correspondenciabiunıvoca y continua entre la frontera Γ del dominio D y las circunferencias |w1| = 1 y |w2| = 1respectivamente.

Puesto que ante una representacion conforme se establece una correspondencia biunıvoca, pode-mos afirmar que ha sido establecida una correspondencia biunıvoca entre los puntos de loscırculos |w1| ≤ 1 y |w2| ≤ 1. Es decir, que las correspondencias establecidas definen una funcionanalıtica w2 = ϕ(w1) que realiza la representacion conforme del cırculo unitario |w1| < 1 en elcırculo unitario |w2| < 1 y se cumple

ϕ(0) = 0; |ϕ(w1)|||w1|=1 = 1

Ademas, como la correspondencia entre los dominios |w1| < 1 y |w2| < 1 es unica, se cumpleque

ϕ(w1) 6= 0

siempre que w1 6= 0.

Calculando el valor de la derivada dw2

dw1por la regla de la derivada de una funcion compuesta

obtenemos

dϕ

dw1

|w1=0 =dw2

dw1

|w1=0 = lim∆w1→0

∆w2

∆z∆w1

∆z

=k2e

iα

k1eiα=k2

k1

> 0

de donde se deduce que la derivada dw2

dw1en el punto w1 = 0 es un numero real y positivo.

Analicemos ahora la siguiente funcion auxiliar definida para |w1| ≤ 1:

ψ(w1) =1

w1

ϕ(w1) (6.27)

Es evidente que la funcion ψ(w1) es una funcion analıtica univaluada en el dominio 0 < |w1| < 1.El punto w1 = 0 es un punto singular evitable para esta funcion. Por eso podemos definir aψ(w1) en el punto w1 = 0 de forma que sea continua. Desarrollando ϕ(w1) en el entorno delpunto w1 = 0 en serie de Taylor, obtenemos


w2 = ϕ(w1) = ϕ(0) +dϕ

dw1

|w1=0w1 + ... =dϕ

dw1

|w1=0w1 + ...

y tomando el lımite para w1 → 0 se obtiene

ψ(0) = limw1→0

ϕ(w1)

w1

=dϕ

dw1

|w1=0 =k2

k1

> 0 (6.28)

La funcion ψ(w1) es continua en el dominio cerrado |w1| ≤ 1; ademas ψ(w1) 6= 0 en dichodominio y

|ψ(w1)|||w1|=1 = 1 (6.29)

En virtud del principio del maximo y el mınimo del modulo de una funcion analıtica, de (6.29)concluimos que

|ψ(w1)| ≡ 1

siempre que |w1| ≤ 1.

Esto implica que

ψ(w1) ≡ const. si |w1| ≤ 1 (6.30)

Pero por (6.28) esta constante es k2k1

es decir, un numero real y positivo y como segun (6.29) elmodulo de dicho numero es 1, concluimos que ψ(w1) ≡ 1. Pero segun (6.27) esto significa que

w2 = ϕ(w1) = w1


El teorema de Riemann 46, si se tiene en cuenta la aclaracion hecha de que con ayuda del cırculoauxiliar |ζ| < 1 puede establecerse la existencia de la representacion conforme del dominio Den el dominio D1, junto con el teorema 47 nos permiten enunciar el siguiente teorema, al quealgunos autores le dan el nombre de teorema de Riemann, mientras que al teorema 46 le danla categorıa de lema preliminar para la demostracion de este:

Teorema 48

Sean dos dominios simplemente conexos D y D1, con fronteras consistentes en mas de un punto.Entonces existe la representacion conforme unica del dominio D en el dominio D1, en la queun punto tomado a priori z0 arbitrario del dominio D se transforma en otro punto tomado a


priori arbitrario w0 del dominio D1 y en la que el valor del arg f ′(z0) es igual a un numero dadoa priori α.

Este teorema nos establece la existencia de la representacion conforme unica del dominio D enel dominio D1 de forma que z0 → w0 y arg f ′(z0) = α, pero no nos da un metodo para hallardicha representacion. Esto se debe a que no existe un metodo universal, general, para construirla representacion conforme de un dominio en otro, salvo en el caso de la Integral de Schwarz-Christofel, que permite transformar semiplanos en polıgonos y que estudiaremos mas adelante;no obstante, veremos algunas funciones que han sido bien estudiadas y las representaciones querealizan.

6.2 Funcion bilineal

Estudiaremos una funcion importante en la teorıa de representaciones conformes; la funcionbilineal, que es la del tipo

w =az + b

cz + d(6.31)

donde se exige que ad − bc 6= 0, pues de lo contrario la funcion (6.31) serıa w = ac

= const.y, por lo tanto w′ = 0, por lo que no serıa una representacion conforme. Esto puede verseclaramente si efectuamos explıcitamente la division indicada en (6.31):

w =a

c+

bc− ad

c(cz + d); w′ =

ad− bc

(cz + d)2(6.32)

Los parametros a, b, c, y d son, en general, numeros complejos que se deben determinar endependencia de la representacion que se desee efectuar; sin embargo, de hecho la funcion bilineal(6.31) depende solamente de tres parametros, ya que como los cuatro numeros indicados nopueden ser a la vez iguales a cero, podemos siempre dividir el numerador y el denominador poruno de ellos que no lo sea y lograr de esa forma su eliminacion.

Con el fin de poder profundizar en el analisis de nuestra funcion, veremos sus casos particulares.

6.2.1 Funcion lineal

Es llamada ası la funcion del tipo

w = az + b (6.33)

donde a y b son, en general, parametros complejos. En virtud de que a es un numero com-plejo podemos representarlo a traves de su modulo r y su argumento ϕ como a = reiϕ. Por


consiguiente, la funcion (6.33) puede ser escrita como

w = reiϕz + b = z1eiϕ + b = z2 + b (6.34)

donde hemos introducido la siguiente notacion:

1. z1 = rz, que es una transformacion de semejanza, ya que se obtiene un aumento enr veces del modulo del numero z sin variar su argumento.

2. z2 = z1eiϕ, que es una transformacion de rotacion, pues se hace un giro o rotacion del

vector z en un angulo ϕ.

3. w = z2 + b, que es una transformacion de traslacion, ya que se traslada el origen decoordenadas al punto b.

Ası pues, la transformacion lineal general es la superposicion de tres transformaciones:

una transformacion de semejanza, una transformacion de rotacion y una transformacion detraslacion.

6.2.2 Funcion de inversion

Llamaremos ası a la funcion del tipo

w =1

z(6.35)

Si escribimos nuestras variables en coordenadas polares, z = reiϕ, w = Reiψ, vemos que losmodulos y los argumentos en la expresion (6.35) estan relacionados entre sı por las formulas

R =1

r; ψ1 = −ϕ (6.36)

De aquı podemos concluir que la transformacion (6.35) consta de dos pasos:

1. R1 = 1r, ψ1 = ϕ, que corresponde a una transformacion de inversion de los puntos

conjugados ante la circunferencia de radio unitario (Fig. 6.4). Es decir, los puntos delinterior de la circunferencia los traslada al exterior de la circunferencia y viceversa.

2. R = R1, ψ = ψ1, que corresponde a una transformacion de simetrıa con respecto al ejereal, pues refleja los puntos del semiplano superior en el inferior y viceversa (Fig. 6.5).


Figura 6.4: Sobre la representacion de 1z

(a).

Ası pues, la transformacion de inversion w = 1z

es la superposicion de dos transformaciones:la inversion de los puntos conjugados ante la circunferencia de radio uno centrada en el origende coordenadas y la reflexion de los puntos del plano con respecto al eje real. Es decir, lospuntos que estan en el interior del cırculo |z| < 1 con Re z > 0 los transforma en los puntosen el exterior del cırculo imagen |w| > 1 con Rew < 0; los puntos de |z| < 1 con Re z < 0 lostransforma en los puntos de |w| > 1 con Rew > 0. Igualmente, los puntos del cırculo exterior|z| > 1 los transforma en los puntos del cırculo interior |w| < 1, pero reflejados respecto al ejereal.

6.2.3 Funcion bilineal

De acuerdo con la expresion (6.32) de la funcion bilineal, podemos decir que la transformacionbilineal es la combinacion de tres transformaciones:

1. Una transformacion lineal: w1 = cz + d.


Figura 6.5: Sobre la representacion de 1z

(b).

2. Una transformacion de inversion: w2 = 1w1

.

3. De nuevo, una transformacion lineal: w = ac

+ bc−adcw2.

No es difıcil percatarse de que la funcion bilineal transforma todo el plano complejo z en todoel plano complejo w de manera conforme, pues, de acuerdo con la expresion de la derivada w′

de (6.32), como ad− bc 6= 0, tendremos que esa derivada es diferente de cero para todo z. Enparticular, esta funcion transforma:

el punto z = −dc

en el punto w = ∞

el punto z = − ba

en el punto w = 0

el punto z = ∞ en el punto w = ac

y

el punto z = 0 en el punto w = bd

Veamos algunas propiedades de la transformacion bilineal:


Teorema 49

La transformacion inversa de una transformacion bilineal es tambien bilineal.

Demostracion:

Efectivamente, despejando z en funcion de w en (6.31), se obtiene directamente que

z =−dw + b

cw − a


Teorema 50

La transformacion bilineal de una transformacion bilineal es tambien bilineal.

Demostracion:

Sea la transformacion

t =a1z + b1c1z + d1

Hagamos

w =a2t+ b2c2t+ d2

Entonces tendremos:

w =a2

(a1z+b1c1z+d1

)+ b2

c2

(a1z+b1c1z+d1

)+ d2

=(a1a2 + b2c1)z + (a2b1 + b2d1)

(a1c2 + c1d2) + (b1c2 + d1d2)=az + b

cz + d

donde a = a1a2 + b2c1; b = a2b1 + b2d1; c = a1c2 + c1d2; d = b1c2 + d1d2.


Teorema 51 (Propiedad Circular)

Rectas y circunferencias se transforman mediante la funcion bilineal en rectas o circunferencias.

Demostracion:

Como la funcion bilineal es una combinacion de transformaciones lineales y de una transfor-macion de inversion, demostremos por separado la propiedad para la transformacion lineal y


para la transformacion de inversion. Ademas, para facilitar los calculos y sin perder generalidad,consideraremos reales los parametros a, b, c y d.

1. Para la transformacion lineal.

Sean z = x+ iy y w = u+ iv. Entonces la transformacion lineal sera

z = aw + b = a(u+ iv) + b = au+ b+ iav = x+ iy (6.37)

De aquı:

x = au+ b, y = av

Coloquemos estas expresiones de x y de y en la expresion general de la ecuacion de unacircunferencia en el plano (x, y), que es:

A[x2 + y2] +Bx+ Cy +D = 0 (6.38)

En (6.38), si A = 0 tenemos la ecuacion general de una recta en el plano (x, y).

Sustituyendo, tenemos:

A[(au+ b)2 + a2v2] +B(au+ b) + Cav +D = 0

Es decir:

Aa2[u2 + v2] + (2Aab+Ba)u+ Cav + Ab2 +D = 0 (6.39)

Si A 6= 0 (6.39) es la ecuacion de una circunferencia en el plano (u, v); si A = 0 esaexpresion es la ecuacion de una recta en dicho plano. De esta manera queda demostradoque la funcion lineal transforma rectas en rectas y circunferencias en circunferencias alpasar del plano z al plano w.

2. Para la transformacion de inversion.

En este caso tenemos que

z =1

w=

1

u+ iv=

u− iv

u2 + v2=

u

u2 + v2+ i

−vu2 + v2

= x+ iy (6.40)

Es decir, tenemos para las variables x, y:

x =u

u2 + v2, y =

−vu2 + v2

Sustituyendo estas variables en la ecuacion (6.38), obtenemos:

A

[u2 + v2

(u2 + v2)2

]+B

u

u2 + v2− C

v

u2 + v2+D = 0


O sea,

A+Bu− Cv +D(u2 + v2) = 0 (6.41)

La expresion (6.41) es la ecuacion general de una circunferencia en el plano (u, v). Enella se observa que una circunferencia del plano (x, y) (A 6= 0) que pase por el origende coordenadas (D = 0) se transforma en una recta en el plano (u, v) que no pasa porcero. Una circunferencia que no pase por cero (A 6= 0 y D 6= 0) se transforma en unacircunferencia que tampoco pasa por cero. Por ultimo, una recta que pase por cero (A = 0y D = 0) se transforma en otra recta que tambien pasa por cero, en tanto que una rectaque no pase por cero (A = 0, D 6= 0) se transforma en una circunferencia que pasa porcero.

Es decir, la transformacion de inversion transforma rectas y circunferencias en rectas ocircunferencias.

Es interesante destacar que las imagenes de las rectas o circunferencias analizadas para elcaso de la funcon de inversion, como era de esperar, estan reflejadas respecto al eje real.Por ejemplo, para la recta en el plano z Bx+Cy = 0 la imagen es la recta Bu−Cv = 0en el plano w.

Como la funcion bilineal es la combinacion de dos lineales y una de inversion, queda demostradala propiedad.


Teorema 52 (Propiedad de Invarianza de la Simetrıa)

Los puntos conjugados ante una circunferencia en el plano z se transforman mediante la funcionbilineal en puntos conjugados ante la circunferencia imagen de la inicial en el plano w

Hagamos el comentario de que los puntos conjugados ante una circunferencia tambien se llamansimetricos ante esa circunferencia. Si los puntos M0 y M1 son conjugados (o simetricos) antela circunferencia de radio R centrada en el punto O, entonces se cumple la relacion

OM0 ·OM1 = R2

Es decir, el producto de las distancias de ambos puntos al centro de la circunferencia es igualal cuadrado del radio de la circunferencia.

Antes de pasar a la demostracion de este teorema, enunciemos y demostremos un sencilloteorema de Geometrıa Elemental del plano, que dice:

Teorema 53

Para que los puntos M0 y M1 sean conjugados ante una circunferencia, es necesario y suficienteque el haz de circunferencias que pasen por ambos puntos sea ortogonal a la circunferenciainicial.


Demostracion:

1. Necesidad

Veamos la tangente OP a una de las circunferencias del haz (Fig. 6.6). Por hipotesis M0

y M1 son puntos conjugados ante la circunferencia con centro en el puntos O; es decir,

OM0 ·OM1 = R2

Pero, por el teorema de la cuerda y la tangente aplicado a la circunferencia del haz parala que la recta OP es tangente (ver figura 6.6), tenemos que

OM0 ·OM1 = OP 2

Figura 6.6: Teorema de invarianza de la simetrıa.

Comparando estas dos expresiones concluimos que OP = R. Por consiguiente, la circun-ferencia con centro en el punto O y la circunferencia del haz que pasa por los puntos M0

y M1 son ortogonales.


2. Suficiencia

Por hipotesis OP es perpendicular a la circunferencia con centro en el punto O, luegoOP = R y, por el teorema de la cuerda y la tangente, aplicado a la misma circunferenciadel haz, tenemos que

OM0 ·OM1 = OP 2 = R2


Demostracion del Teorema 52:

Como la representacion que realiza la bilineal es conforme, los angulos bajo los que se cortan lascurvas se conservan. Por lo tanto, el haz de circunferencias ortogonales a la circunferencia en elplano z -que, por la bilineal, se transforma en una circunferencia en el plano w- se transformaen un haz de circunferencias que sera ortogonal a la circunferencia imagen en el plano w. Porel teorema 53, esto significa que las imagenes de los puntos conjugados ante la circunferenciaen el plano z se transformaran en puntos conjugados ante la circunferencia imagen en el planow


6.2.4 Problemas

Con la funcion bilineal, al igual que con otras funciones que estudiaremos despues, se puedenresolver dos tipos de problemas: unos son aquellos problemas en los que dados dos dominios sepide hallar la funcion que realiza la representacion conforme de uno en otro y otros en los quedado un dominio y una funcion, se pide hallar el dominio imagen dado por esa funcion.

Veamos algunos problemas tıpicos con la funcion bilineal.

Problema 1

Dados tres puntos en el plano z: z1, z2 y z3, hallar la funcion bilineal que transforma todo elplano z en todo el plano w de forma que esos tres puntos se transformen respectivamente enlos puntos w1, w2 y w3 del plano w.

Solucion:

Es evidente que la solucion es unica gracias al Teorema de Riemann, pues al dar tres puntosque se transforman en otros tres, estamos dando los datos suficientes para la unicidad de lasolucion, cosa que, por otro lado, pudieramos justificar por el hecho geometrico de que portres puntos dados en un plano solo puede trazarse una circunferencia y solo una, por lo que lasolucion que encontremos sera forzosamente unica.


Para resolver el problema tengamos en cuenta que, por la expresion (6.31) podemos decir quecomo queremos que zi se transforme en wi, con i = 1, 2, 3,

wi =azi + b

czi + d

A fin de hallar los parametros a, b, c y d que satisfagan estas igualdades, tengamos en cuentaque

w − wi =az + b

cz + d− azi + b

czi + d=

(ad− bc)(z − zi)

(cz + d)(czi + d)

y analicemos la siguiente relacion:

w − w1

w − w2

:w3 − w1

w3 − w2

=(ad− bc)(z − z1)

(cz + d)(cz1 + d)

(cz + d)(cz2 + d)

(ad− bc)(z − z2):(ad− bc)(z3 − z1)

(cz3 + d)(cz1 + d)

(cz3 + d)(cz2 + d)

(ad− bc)(z3 − z2)

Cancelando adecuadamente en el numerador y el denominador de esta expresion los terminosiguales, llegamos finalmente a la formula

w − w1

w − w2

:w3 − w1

w3 − w2

=z − z1

z − z2

:z3 − z1

z3 − z2

(6.42)

La expresion (6.42) nos da la respuesta a nuestro problema; despejando de ella w en funcionde z obtenemos la funcion bilineal deseada.

Ejemplo

Hallemos la bilineal que transforme el plano z en el plano w de manera que los puntos del ejereal z1 = 0, z2 = 1 y z3 = ∞ se transformen, respectivamente, en los puntos w1 = −1, w2 = −iy w3 = 1 del plano w.

De acuerdo con lo planteado y en virtud del principio de correspondencia de fronteras y de lapropiedad circular de la funcion bilineal, podemos afirmar que el semiplano superior Im z > 0cuya frontera es el eje real recorrido en el sentido positivo (desde z1 hacia z3) se transformaraen el cırculo interior |w| < 1, ya que los puntos w1, w2 y w3 se recorren desde w1 hacia w3 alrecorrer el eje real en el plano z como fue indicado arriba. Como la funcion bilineal transformaconformemente todo el plano en todo el plano, podemos afirmar de paso que el semiplanoinferior Im z < 0 se transforma en el cırculo exterior |w| > 1.

Apliquemos la formula (6.42). Tendremos:

w + 1

w + i:1 + 1

1 + i=z − 0

z − 1:∞− 0

∞− 1


En esta expresion la ultima fraccion a la derecha es igual a la unidad, ya que el infinito es delmismo orden en el numerador y en el denominador, por lo que nos queda:

w + 1

w + i· 1 + i

2=

z

z − 1

Sencillos calculos algebraicos nos dan, finalmente, que la funcion buscada es

w =z − i

z + i(6.43)

Es conveniente aclarar el paso dado arriba, pues no parece riguroso ”cancelar” los dos infinitosen la fraccion de la extrema derecha. Para actuar con rigor ese cociente deberıa ser expresadopreviamente de la siguiente manera, despues de sacar en el numerador y en el denominador z3

factor comun:

z3 − z1

z3 − z2

=1− z1

z3

1− z2z3

→ 1

cuando z3 →∞, por lo que se obtiene el resultado dado por la formula (6.43).

Notese en la solucion encontrada que el punto z = i del semiplano superior se transforma en elcentro de la circunferencia, es decir en el punto w = 0, mientras que su simetrico o conjugadoante la ”circunferencia” frontera (en realidad una recta, que puede interpretarse como unacircunferencia de radio infinito, que se cierra en el punto z = ∞, de acuerdo con la proyeccionestereografica en la esfera de Riemannn) Im z = 0 en el plano z, es decir, el punto z = −i,se transforma en el punto conjugado del centro de la circunferencia en el plano w, es decir,w = ∞.

El segmento de eje imaginario entre z = 0 y z = i se transforma en el segmento de eje realentre w = −1 y w = 0, mientras que el semieje imaginario entre z = i y z = ∞ se transformaen el segmento de eje real entre w = 0 y w = 1. Pueden hacerse analisis similares con otrossegmentos del semiplano superior y del interior del cırculo imagen. Pero es bueno destacar quecomo la funcion que realiza la representacion es bilineal, rectas se transformaran en rectas ocircunferencias y circunferencias o arcos de circunferencias en rectas o circunferencias. Se invitaal lector a hacer analisis similares con otras porciones de rectas en el plano z y sus imagenesen el plano w.

Problema 2

Hallar la funcion bilineal que transforme al semiplano superior Im z > 0 en el interior delcırculo de radio unitario |w| < 1, de forma tal que el punto z = a (Ima > 0) pase al centro delcırculo (w = 0).

Solucion


Transformemos la funcion bilineal dada por (6.31) de la forma siguiente. Tenemos:

w =az + b

cz + d=a

c

z + ba

z + dc

Introduzcamos las siguientes notaciones:

k =a

c,b

a= −z0,

d

c= −z1

Entonces la funcion bilineal adopta la siguiente forma equivalente a (6.31):

w = kz − z0

z − z1

(6.44)

La expresion (6.44) hace explıcita la dependencia de tres parametros de la funcion bilineal.Como el teorema de Riemann establece la necesidad de dar esos tres parametros para garantizarla unicidad de la funcion que realiza la representacion conforme, es evidente que el problemaplanteado tendra por solucion una familia de funciones y no solo una, ya que en los datos sedan solamente dos parametros: el punto z = a del plano z y su imagen w = 0 en el plano w.

Para resolver el problema aplicamos la propiedad de invarianza de la simetrıa: como el puntoz = a tiene que convertirse en el centro de la circunferencia, su punto conjugado (es decir,simetrico) ante la recta Im z = 0, z = a∗ se debera transformar en el conjugado del centro dela circunferencia ante dicha circunferencia, es decir, en el punto w = ∞ (Fig. 6.7). Para queello ocurra, en la formula (6.44) debemos hacer z0 = a y z1 = a∗. Ası pues, la representacionbuscada debera tener la forma

w = kz − a

z − a∗(6.45)

La constante k podrıa hallarse de manera unica si se diera el valor de la derivada de la funcionen el punto z = a, de acuerdo con el teorema de Riemann, pero como no hay mas datos en elproblema, esta constante permanece arbitraria. Sin embargo, podemos ver mas detalladamentela forma de dicha constante a partir del principio de correspondencia de fronteras. Efectiva-mente, como la recta Im z = 0, frontera del semiplano superior, se tiene que transformar en lafrontera del cırculo, dada por la circunferencia |w| = 1, tendremos que para cualquier z = xcon x real, tendremos que

|w| = |k|∣∣∣∣ x− a

x− a∗

∣∣∣∣ = 1 (6.46)

Como |x− a| = |x− a∗|, obtenemos que


Figura 6.7: Problema 2 con la funcion bilineal.

|k| = 1 (6.47)

La condicion (6.47) se cumplira solo si k = eiϕ donde ϕ es un parametro arbitrario. Ası pues,la transformacion buscada es

w = eiϕz − a

z − a∗(6.48)

Evidentemente, el parametro ϕ determina la rotacion que sufre la transformacion al pasar deun punto del eje real en el plano z a la circunferencia |w| = 1. Si se da el valor de la derivadade la funcion w en el punto z = a, tal y como apuntabamos arriba, quedara determinada deforma unica una funcion.


Problema 3

Hallar la funcion bilineal que realice la representacion conforme del interior del cırculo unitario|z| < 1 en el cırculo |w| < 1, de forma tal que el punto dado a priori z = a (|a| < 1) setransforme en el centro del cırculo imagen w = 0.

Solucion

Como el punto z = a debe pasar al centro de la circunferencia imagen, el punto conjugado antela circunferencia a1 debera pasar al punto conjugado del centro, w = ∞ (Fig. 6.8).

Figura 6.8: Problema 3 con la funcion bilineal.

Sea a = reiα. Entonces, como las distancias de los puntos a y a1 tienen que cumplir la relacionde una ser la inversa de la otra por ser conjugados ante la circunferencia unitaria, tendremosque el punto a1 = 1

reiα. Por lo tanto tendremos que

a1 =1

reiα ≡ 1

re−iα≡ 1

a∗

Por lo tanto, la transformacion sera realizada por la funcion


w = kz − a

z − a1

= ka∗z − a

za∗ − 1= k1

z − a

1− za∗(6.49)

donde k1 = −ka∗.

Para que ante esta transformacion la circunferencia |z| = 1 se transforme en la circunferencia|w| = 1, hay que exigir que para z = 1 se cumpla que

|w| =∣∣∣∣k1

1− a

1− a∗

∣∣∣∣ = |k1| = 1 (6.50)

Por consiguiente, concluimos que k1 = eiϕ, de manera que la transformacion buscada es

w = eiϕz − a

1− za∗(6.51)

Al igual que en el ejemplo anterior, el parametro arbitrario ϕ determina la rotacion de lacircunferencia |w| = 1 alrededor de su centro al pasar del plano z al plano w.

Por ultimmo, si se desea hallar la transformacion del cırculo |z| < R en el cırculo |w| < r, seobtendra de forma analoga la expresion

w = eiϕRr(z − a)

R2 − za∗(6.52)

lo que se deja al lector como ejercicio.

Veamos ahora el segundo tipo de problemas que en el caso de la funcion bilineal consisten en:dado un dominio en el plano z y una funcion bilineal, hallar el dominio imagen. Para ilustrareste tipo de problemas, veamos un ejemplo:

Ejemplo

Hallar la imagen del dominio del plano z, {x > 1, y > 1} dada por la funcion

w =1

z

Solucion

Tenemos que

w =1

z=

1

x+ iy=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2


de donde obtenemos las ecuaciones de transformacion:

u =x

x2 + y2, v = − y

x2 + y2

Apoyandonos en el Principio de Correspondencia de Fronteras, hallemos las imagenes de lasrectas x = 1 y y = 1.

Para x = 1 tenemos

u =1

1 + y2, v = − y

1 + y2

que son las ecuaciones en parametricas de una circunferencia. Esto es facil de verificar sielevamos al cuadrado ambas expresiones y sumamos:

u2 + v2 =1

1 + y2= u

De aquı es facil obtener

(u− 1

2

)2

+ v2 =

(1

2

)2

que es una circunferencia centrada en(

12, 0)

y radio 12. El lector puede con facilidad obtener

que la recta y = 1 se transforma con esta funcion en la circunferencia

u2 +

(v +

1

2

)2

=

(1

2

)2

que es una circunferencia centrada en(0,−1

2

)y radio 1

2. El punto z = 1 + i se transforma en

el punto w = 12− i

2, mientras que el punto z = ∞ se transforma en el punto w = 0. Por lo

tanto, la imagen buscada es la luna con vertices en w = 0 y w = 12− i

2encerrada entre los dos

arcos de circunferencias que van de uno a otro punto y que, como era de esperar, se encuentratotalmente en el cuarto cuadrante, ya que el dominio inicial esta contenido totalmente en elprimer cuadrante.

Notese, ademas, que, en correspondencia con las propiedades estudiadas de la funcion de in-version, toda la imagen se encuentra dentro del cırculo unitario |w| < 1, ya que el dominioinicial se encuentra en la region |z| > 1. Se deja al lector el dibujo de las regiones en esteejemplo consideradas.


6.3 Funciones elementales

Estudiemos a continuacion las transformaciones que realizan las funciones elementales.

6.3.1 Funcion potencial

Analicemos en el semiplano superior Im z > 0 (0 < arg z < π) la funcion

w = z1n (6.53)

Si representamos las variables z y w en forma polar:

w = Reiψ, z = reiϕ

entonces, tomando la rama principal del argumento de z, las ecuaciones de transformacionseran:

R = r1n , ψ =

ϕ

n(6.54)

Es facil ver que la frontera Im z = 0 del semiplano superior se transforma de la manera siguiente:los puntos de la frontera correspondientes a Re z < 0 (arg z = π) se transforman en los puntosde la recta argw = π

nen el plano w y los puntos correspondientes a Re z > 0 (arg z = 0) se

transforman en los puntos del semieje real positivo Rew > 0 (Fig. 6.9).

Por lo tanto, en virtud del principio de correspondencia de fronteras, todo el semiplano superiorIm z > 0 se transforma en el interior del angulo 0 < argw < π

n. Esta representacion es

conforme, ya que para Im z > 0, w′(z) 6= 0. Donde unico deja de cumplirse esta condicion esen el punto de la frontera z = 0, de ahı que en ese punto, como se ve evidentemente, el anguloentre las curvas no se conserva.

Es necesario destacar que la funcion w = z1n no es biunıvoca en todo el plano complejo, por lo

tanto la representacion que esta realiza no transforma -como en el caso de la funcion bilineal-todo el plano z en todo el plano w. No es difıcil ver que Im z < 0 se transforma por estafuncion en el sector

π

n< argw <

2π

n

del plano w.

Del anaalisis realizado se desprende directamente que la funcion inversa:


Figura 6.9: Representacion de la funcion w = z1n .

w = zn (6.55)

realiza la representacion conforme del angulo 0 < arg z < πn

del plano z en el semiplano superiorImw > 0 del plano w.

Los resultados arriba obtenidos pueden ser generalizados de la siguiente manera. Supongamosque tenemos el angulo α en el plano z (Fig. 6.10)

y queremos hallar la funcion potencial que transforma el dominio encerrado en el interior deeste angulo en el semiplano superior Imw > 0.

Sabemos que la funcion (6.55) transforma el interior del angulo 0 < arg z < πn

en el semiplanoImw > 0. Por consiguiente, haciendo α = π

n, encontramos que n = π

α, que es el valor de n

para que el interior del angulo 0 < arg z < α se transforme en el semiplano superior Imw > 0.Es decir, la funcion


Figura 6.10: Representacion de la funcion w = zπα .

w = zπα (6.56)

transforma el sector 0 < arg z < α en el semiplano Imw > 0. La funcion inversa

w = zαπ (6.57)

transformara el semiplano Im z > 0 en el interior del angulo 0 < argw < α. Este resultadosera obtenido mas adelante como una consecuencia de la aplicacion de la integral de Schwarz-Christoffel.

6.3.2 Funcion exponencial

La funcion exponencial fue estudiada en el capıtulo dedicado a la prolongacion analıtica y lasfunciones elementales. Para ella obtuvimos la expresion


w = ez = ex cos y + iex sin y (6.58)

De aquı obtenemos las ecuaciones de transformacion

u = ex cos y, v = ex sin y (6.59)

Hagamos un analisis de la representacion que realiza esta funcion. Veamos en el plano z lafranja horizontal 0 < Imz < π. La frontera inferior de esta franja, Im z = 0 se transforma,por medio de las ecuaciones (6.59) en el semieje real positivo del plano w, ya que para y = 0:

u = ex > 0, v = 0

En esta transformacion vemos que el punto (0, 0) del plano z se transforma en el punto (1, 0)del plano w; ademas, para x = −∞ resulta u = 0 y para x = ∞, u = ∞. De esta forma, alrecorrer la frontera Im z = 0 desde −∞ hasta +∞, su imagen es recorrida desde 0 hasta +∞.

Veamos ahora la frontera superior de la franja, Im z = π. Las ecuaciones (6.59) en este casonos dan

u = −ex < 0, v = 0

lo que significa que la frontera Im z = π se transforma en el semieje real negativo del planow, de forma tal que para x = ∞ resulta u = −∞, para x = 0, u = −1 y cuando x = −∞,u = 0. De aquı que al recorrer dicha frontera superior de derecha a izquierda su imagen serecorre desde −∞ hasta 0.

Por consiguiente, en virtud del principio de correspondencia de fronteras, el interior de la franja0 < Imz < π se transformara en todo el semiplano superior Imw > 0 (Fig. 6.11).

Como la funcion w = ez no es biunıvoca en el plano complejo, ya que es periodica con periodoimaginario puro 2πi, transformara la franja 0 < Imz < 2π en el plano complejo w. Cada franjahorizontal de ancho 2π en el plano z sera transformada por la funcion exponencial en todo elplano w pero con un corte en el semieje real positivo, ya que la frontera inferior de la franja,dada por {−∞ < x < ∞, y = 0} se transforma en el borde superior del semieje real positivo{u > 0, v = 0}, mientras que la frontera superior {−∞ < x < ∞, y = 2π} se transforma enel borde inferior de ese mismo semieje real, ya que sobre la frontera superior y = 2π. Esto,ademas, resulta facil de comprender, si tenemos en cuenta que su inversa, Ln z, es una funcionmultivaluada.

Generalizaremos el resultado obtenido al caso en que queremos transformar la franja de anchoh, 0 < Imz < h en el semiplano superior Imw > 0 (Fig. 6.12).

No es difıcil percatarse de que la transformacion de semejanza


Figura 6.11: Representacion de la funcion w = ez.

w1 =π

hz

transforma la franja 0 < Imz < h en la franja 0 < Imw1 < π de un plano auxiliar w1. Estatransformacion es conforme, ya que es una funcion lineal y como la funcion ew1 transformadicha franja en el semiplano superior Imw > 0, finalmente obtenemos que la funcion

w = eπzh (6.60)

realiza la representacion conforme de la franja 0 < Imz < h en el semiplano superior Imw > 0.La funcion inversa

w =h

πln z (6.61)

donde tomamos la rama principal de la funcion logarıtmica con 0 < arg z < π realizara por


Figura 6.12: Representacion de la funcion w = eπzh .

tanto la representacion conforme del semiplano superior Im z > 0 en el interior de la franja0 < Imw < h. Este resultado es obtenido en la seccion donde estudiamos la integral deSchwarz-Christoffel como un caso particular de la misma.

6.3.3 Funcion seno

Veamos ahora la representacion conforme que realiza la funcion

w = sin z (6.62)

En el capıtulo donde vimos las funciones elementales obtuvimos que esta funcion es

w = sin z = sinx cosh y + i cosx sinh y (6.63)

de manera que en este caso las ecuaciones de transformacion son,


u = sinx cosh y

v = cos x sinh y (6.64)

Podemos ver que el segmento del eje real

−π2< Re z <

π

2, Im z = 0

se transforma en

u = sinx, v = 0

es decir, en el segmento del eje real −1 < Rew < 1 , con Imw = o (Fig.6.13).

Figura 6.13: Representacion de la funcion w = sin z.


En los puntos z = ±π2

la derivada de la funcion w′ = (sin z)′ = cos z es cero, por lo que en elloslos angulos no se conservan. Efectivamente, es facil ver que la semirrecta {Re z = π

2, Im z > 0}

se transforma en:

u = cosh y > 1, v = 0

es decir, en el semieje real Rew > 1, Imw = o. De manera similar, la semirrecta {Re z =−π

2, Im z > 0} se transforma en

u = − cosh y < −1, v = 0

o sea, en el semieje real Rew < −1, Imw = 0. Al recorrer en sentido positivo la fron-tera de la semifranja vertical obtenida en el plano z, el eje real del plano w es recorrido deizquierda a derecha. Por consiguiente, en virtud del principio de correspondencia de fron-teras, la funcion seno realiza la representacion conforme de la semifranja vertical indicada enel semiplano superior Imw > 0. No es difıcil comprobar que la semifranja inferior del planoz {−π

2< Re z < π

2, Im z < 0} se transforma en el semiplano inferior Imw < 0, de manera

que toda la franja vertical −π2< Re z < π

2del plano z se transforma por medio de la funcion

w = sin z en todo el plano w. Es decir, la representacion no es biunıvoca de plano a plano,resultado que era de esperar, ya que al ser sin z periodica, su inversa es multivaluada.

Para generalizar este resultado al caso de una semifranja superior de ancho h (Fig. 6.14)observemos que la transformacion de semejanza

z′ =π

hz

transforma la semifranja {−h/2 < Re z < h/2, Im z > 0} en la semifranja {−π/2 < Re z <π/2, Im z > 0}. Por consiguiente, la funcion

w = sinπz

h(6.65)

realiza la representacion conforme de {−h/2 < Re z < h/2, Im z > 0} en Imw > 0. La funcioninversa

w =h

πarcsin z (6.66)

realizara por lo tanto la representacion del semiplano superior Im z > 0 en la semifranja vertical{−h/2 < Rew < h/2, Imw > 0}. Este resultado coincide con el que se obtiene en el ejemplo 3de la aplicacion de la integral de Schwarz-Christoffel en el punto dedicado al estudio de dichaintegral.

Como la funcion


Figura 6.14: Representacion de la funcion w = sin πzh

.

cos z = sin(z +

π

2

)es evidente que la representacion de la funcion coseno es la misma que la de la funcion seno,simplemente desplazada en un cuarto de periodo en el eje real.

6.3.4 Ejemplos de aplicacion de las funciones elementales

1. Hallar la representacion conforme de {0 < Imz < π} en {0 < argw < π2}.

Para poder utilizar los resultados obtenidos en el punto anterior, haremos la repre-sentacion del dominio del plano z al semiplano superior de un plano auxiliarz1 y deeste pasaremos al plano w (Fig. 6.15).

Veamos cada paso por separado:

a) Como h = π, la funcion que transforma la franja en el semiplano superior es


Figura 6.15: Representacion del ejemplo 1.

z1 = ez (6.67)

b) Como α = π2, la funcion que transforma el semiplano en el cuadrante es:

w = z121 (6.68)

Sustituyendo (6.67) en (6.68) obtenemos la representacion deseada:

w = ez2 (6.69)

2. Hallar la representacion conforme de {0 < arg z < π3} en {0 < Imw < π}.

En este ejercicio procederemos de forma similar. Del dominio del plano z pasaremos alsemiplano superior de un plano auxiliar z1 por medio de la funcion potencial y luegotransformaremos dicho semiplano en la franja indicada (Fig. 6.16).

De nuevo resolveremos por pasos:

a) Como α = π3

la funcion que transforma el angulo en el semiplano superior es:


Figura 6.16: Representacion del ejemplo 2.

z1 = zπα = z3 (6.70)

b) Como h = π, la funcion que transforma el semiplano en la franja es:

w = ln z1 (6.71)

Sustituyendo (6.71) en (6.70), obtenemos la representacion deseada:

w = ln z3 = 3 ln z (6.72)

Los pasos intermedios a planos auxiliares pueden ser tantos como se necesiten y ellos puedencombinarse con funciones bilineales y con funciones elementales. De esta forma con una tecnicasencilla pueden resolverse problemas de representaciones conformes aparentemente muy com-plicados.


6.4 Funcion de Joukovsky. Perfiles de Joukovsky

Analizaremos brevemente la llamada funcion de Joukovsky:

w =1

2

(z +

1

z

)(6.73)

ampliamente utilizada por Nicolas E. Joukovsky en la solucion de diferentes problemas de hidroy aerodinamica.

Esta funcion, evidentemente, es anaıtica en todo el plano complejo excepto en el punto z = 0donde tiene un polo simple. Ademas, su derivada

w′ =1

2

(1− 1

z2

)(6.74)

es diferente de cero en todos los puntos del plano z, excepto en los puntos z = ±1. Porconsiguiente, la representacion realizada por la funcion (6.73) es conforme en todo el plano,excepto en dichos dos puntos. Hallemos el dominio donde la funcion de Joukovsky es univaluada;para ello supongamos que dos puntos distintos del plano complejo z1 6= z2 se transforman en elmismo punto del plano w, es decir, que

z1 +1

z1

= z2 +1

z2

de aquı obtenemos

z1 − z2 =z1 − z2

z1z2

(6.75)

Como z1 6= z2, (6.75) implica que z1z2 = 1, entonces para que la funcion (6.73) sea univaluadaen cierto dominio D es necesario y suficiente que el dominio D no contenga ningun par depuntos z1 y z2 relacionados por la expresion z1z2 = 1.

Esta condicion es satisfecha por los puntos interiores del cırculo unitario |z| < 1 o por suspuntos exteriores |z| > 1.

Con el fin de estudiar el cuadro de la representacion (6.73) hagamos z = r(cosϕ + i sinϕ),w = u + iv y hallemos las expresiones de la parte real y la parte imaginaria de la funcion w.El lector puede facilmente comprobar que se obtiene

u =1

2

(r +

1

r

)cosϕ; v =

1

2

(r − 1

r

)sinϕ (6.76)


Es decir, que cada circunferencia |z| = r0 se transforma, gracias a la funcion (6.73) en la elipse

u2

14

(r0 + 1

r0

)2 +v2

14

(r0 − 1

r0

)2 = 1 (6.77)

en el plano w. Como es facil ver, los focos de la elipse (6.77) para cualquier r0 arbitrario sonc = ±1 (Fig. 6.17).

Figura 6.17: Transformacion dada por la funcion de Joukovsky.

Si r0 < 1, al recorrerse en sentido positivo la circunferencia |z| = r0 se obtiene que la elipse(6.77) se recorre en sentido negativo, en tanto que si r0 > 1 al recorrerse la circunferencia ensentido positivo tambien queda recorrida en sentido positivo la elipse correspondiente. Si r0 = 1la elipse (6.77) se degenera en el segmento [−1, 1] del eje real u, mientras que cuando r0 → 0dicha elipse se convierte en una circunferencia de radio infinitamente grande.

Ası pues, la funcion de Joukovsky (6.73) realiza la representacion conforme del interior delcırculo unitario |z| < 1 en el exterior del segmento [−1, 1] del eje real u (Fig. 6.17).

La frontera de dicho dominio, es decir, la circunferencia |z| = 1 se transforma en dicho segmento


de forma tal que la semicircunferencia superior se transforma en el borde inferior de dichosegmento (de dicho corte en el plano complejo w), en tanto que la semicircunferencia inferiorse transforma en el borde superior de dicho segmento.

Destaquemos, ademas, que los radios de la circunferencia |z| = 1 descritos por las ecuaciones

arg z = ϕ0

donde 0 < r < 1, se transforman mediante la representacion (6.73) en las ramas de las hiperbolas(Fig. 6.17):

u2

cos2 ϕ0

− v2

sin2 ϕ0

= 1 (6.78)

Los focos de estas hiperbolas, al igual que para las elipses (6.77), estan colocados en los extremosdel intervalo [−1, 1].

De forma analoga se puede concluir que el dominio |z| > 1 se transforma en una segunda hojadel plano w, cortada por el segmento [−1, 1] de su eje real, transformandose la circunferenciasuperior |z| = 1, Im z > 0 en el borde superior de dicho corte y la semicircunferencia inferioren el inferior de dicho corte.

Ası pues, podemos afirmar que la funcion de Joukovsky (6.73) realiza la representacion conformedel plano completo z en la superficie de Riemann de la funcion inversa

z = ϕ(w) = w +√w2 − 1 (6.79)

La superficie de Riemann de la funcion (6.79) es una superficie de dos hojas formadas por dosplanos w cortados a lo largo del segmento [−1, 1] del eje real u. El borde inferior de dicho corteen una de las hojas esta unido al borde superior de dicho corte en la otra hoja y viceversa (Fig.6.18).

La funcion (6.79) es una funcion analıtica univaluada en su superficie de Riemann, que tienedos puntos de ramificacion w = ±1; al envolver cada uno de estos puntos se realiza el salto deuna hoja a la otra en la superficie. Sin embargo, al envolver a la vez ambos puntos medianteuna curva cerrada que no corte al segmento [−1, 1] todo el tiempo nos mantenemos sobre lamisma hoja de dicha superficie.

Veamos ahora, como resultado del estudio de esta funcion, un ejemplo que juega un papelimportante en la teorıa del ala de los aviones.

Hallemos la representacion conforme del exterior del arco AB de cierta circunferencia en elexterior del cırculo C (Fig. 6.19).

Con ayuda de la funcion bilineal


Figura 6.18: Superficie de Riemann de z = w +√w2 − 1.

ζ =z − 2

z + 2(6.80)

logramos transformar el exterior del arco AB del plano z en el exterior del rayo AB del planoζ (Fig. 6.19 (c)).

Como dζdz|z=2 > 0, el angulo que forma este rayo con la parte negativa del eje Re ζ es igual a

α = 2 arctanh (6.81)

Esto se deduce de la figura 6.19 (a), ya que sinα = 2r

y cosα = r−2hr

= 1− h sinα (r es el radio

del arco AB); por lo tanto

h =1− cosα

sinα= tan

α

2


Figura 6.19: Perfil de Joukovsky.

Ahora, en lugar de buscar la representacion del exterior del rayo hallado en el exterior delcırculo C, buscaremos la representacion inversa del exterior del cırculo C en el exterior delrayo. Para ello, utilizaremos la funcion bilineal

ω =w − 1

w + 1(6.82)

Con ayuda de ella, la circunferencia C se transforma en una recta en el plano ω (Fig. 6.19 (d))la que, en virtud de que dω

dw|w=1 > 0, forma con la parte positiva del eje real Reω el angulo

β = π2− arctanh (de la figura 6.19 (b) se ve que cot β = h). De esta forma, el exterior del

cırculo se transforma en el semiplano acotado por esta recta. Es evidente que la representacion

ζ = ω2 =

(w − 1

w + 1

)2

(6.83)

transforma este semiplano en el exterior del rayo que forma con la parte positiva del eje Re ζun angulo igual a 2β = π − 2 arctanh = π − α. Ası pues, este rayo coincide con el rayo AB


(Fig. 6.19 (c)). Por consiguiente, de las ecuaciones (6.80) y (6.83) obtenemos la representacionbuscada:

(w − 1

w + 1

)2

=z − 2

z + 2(6.84)

De esta ultima expresion y sin dificultad se obtiene

z = w +1

w(6.85)

es decir, la funcion de Joukovsky sin el factor 12

o, lo que es lo mismo,

w =1

2

(z +

√z2 − 4

)(6.86)

Esta es la representacion buscada; ella nos da la transformacion del exterior del arco AB delplano z en el exterior del cırculo C en el plano w o viceversa, segun usemos la expresion (6.86)o la expresion (6.85), respectivamente.

Veamos ahora en el plano w la circunferencia C∗, tangente a la circunferencia C en el puntoB = 1 (Fig. 6.19 (b)). La representacion (6.85) la transforma en cierta curva cerrada C∗ del

plano z que envuelve al arco AB y que es tangente a dicho arco en el punto B = 2 (Fig. 6.19(a)). Esta curva tiene en el punto B un punto de retorno. La curva C∗ en el plano z es muysimilar al perfil de un ala de avion.

El metodo descrito para obtener los perfiles de alas de avion se conoce con el nombre de metodode redondeamiento y los perfiles ası obtenidos se denominan perfiles de Joukovsky, losque son especialmente sencillos para los calculos aerodinamicos de la fuerza de empuje de losaviones. Ellos constituyeron una de las primeras aplicaciones de la teorıa de funciones devariable compleja a la hidro y aerodinamica y dieron inicio a la ciencia de los fundamentosteoricos de la navegacion aerea.

La forma de los perfiles de Joukovsky aquı obtenidos depende de dos parametros: h que carac-teriza la curvatura del ala y d, que representa la distancia entre los centros de las circunferenciasC y C∗ en el plano w y que caracteriza el espesor del ala. Para h = 0 en particular se obtieneun perfil con simetrıa axial, denominado timon de Joukovsky (Fig. 6.20).

Mas adelante, en este mismo capıtulo, veremos otra aplicacion de la funcion de Joukovskyjunto con la aplicacion de las representaciones conformes al calculo de problemas de la FısicaMatematica.


Figura 6.20: Timon de Joukovsky.

6.5 Integral de Schwarz-Christoffel

En la presente seccion estudiaremos la funcion que realiza la representacion conforme del semi-plano superior Im z > 0 en el interior de un polıgono en el plano complejo w y viceversa. Estafuncion es la llamada integral de Schwarz-Christoffel, que tiene la forma

w = A

∫ z

z0

(ζ − a1)α1−1(ζ − a2)

α2−1...(ζ − an)αn−1dζ +B (6.87)

En ella, z0 es un punto cualquiera del semiplano superior cerrado (Im z0 ≥ 0); los parametrosai son reales y tomados en sentido creciente: a1 < a2 < ... < an; los parametros αi son tambienreales y los numeros A y B son, en general, complejos y arbitrarios.

Ademas, exigiremos que los parametros αi cumplan los siguientes requisitos:

0 < αk ≤ 2 (6.88)


n− 3 <n∑k=1

αk < n− 1 (6.89)

La expresion (6.89) significa que si se introduce un nuevo numero αn+1, este vendra expresadopor la relacion

αn+1 = n− 1−n∑k=1

αk (6.90)

Estos requisitos recibiran una adecuada justificacion cuando realicemos el analisis del la integral(6.87).

En la expresion bajo la integral (6.87) han sido colocadas aquellas ramas de las funciones(ζ − ai)

αi−1 que constituyen la prolongacion analıtica directa al semiplano superior de lasfunciones reales (x − ai)

α1−1 de la variable real x > ai. Ası pues, la funcion (6.87) es unafuncion analıtica univaluada en el plano superior Im z > 0 y los puntos ai del eje real sonpuntos singulares de esta funcion.

Demostremos que la integral de Schwarz-Christoffel (6.87) nos da la representacion conformedel semiplano superior en un polıgono de n + 1 lados. Para ello analicemos el diferencial deesta funcion:

dw = A(z − a1)α1−1(z − a2)

α2−1...(z − an)αn−1dz (6.91)

y tomemos en consideracion su argumento:

arg dw = argA+n∑

m=1

(αm − 1) arg(z − am) + arg dz (6.92)

Los puntos ak pertenecen al eje real Re z = x; analicemos el segmento de dicho eje [ak−1, ak] yveamos en que se transforma. Es decir, consideremos que el punto z esta contenido en dichosegmento y que lo hacemos viajar de un extremo al otro de el. Como el punto z pasa del puntoak−1 al punto ak, a lo largo del eje real dz = dx, arg dz = 0 en ese intervalo. Ademas, param ≤ k − 1 tenemos que z − am > 0 por lo que arg(z − am) = 0, mientras que para m ≥ ktenemos que z − am < 0 y, por tanto, arg(z − am) = π.

Por consiguiente, bajo estas consideraciones, obtenemos de (6.92)

arg dw = argA+ πn∑

m=k

(αm − 1) = const. (6.93)

es decir, que al pasar el punto z por el segmento [ak−1, ak] el punto w se mueve a lo largo de unalınea recta de pendiente (6.93). Es decir, el segmento [ak−1, ak] se transforma en un segmento


de recta en el plano w con inicio en el punto w(ak−1) = Ak−1 y fin en el punto w(ak) = Ak1,

segmento cuya pendiente con el eje real es igual a (6.93).

Analizando el segmento [ak, ak+1] de forma analoga se obtiene que

arg dw = argA+ π

n∑m=k+1

(αm − 1) (6.94)

es decir, se obtiene otro segmento de recta en el plano w con inicio en el punto w(ak) = Ak yfin en el punto w(ak+1) = Ak+1 y pendiente dada por la expresion (6.94).

Veamos ahora cual ha sido la variacion de la pendiente entre ambos segmentos del plano w.Tenemos

∆ arg dw = argA+ πn∑

m=k+1

(αm − 1)− argA− πn∑

m=k

(αm − 1) = −π(αk − 1)

es decir,

∆ arg dw = π − παk (6.95)

De aquı se observa que el angulo que forman entre sı ambos segmentos en el plano w es παk(Fig. 6.21).

Sean A0 = w(−∞) y An+1 = w(+∞). Entonces, en virtud de la arbitrariedad de k en losrazonamientos anteriores, queda establecido que el eje real Re z = x (frontera del semiplanosuperior Im z > 0) se transforma mediante la integral de Schwarz-Christoffel (6.87) en unalınea quebrada constituida por los segmentos [A0, A1], [A1, A2], [A2, A3],..., [An, An+1] en elplano w. Esta lınea quebrada, como se muestra en las figuras 6.22 (a) y 7.22 (b), puede, engeneral, cortarse o no cortarse a sı misma, pues ella depende de los parametros αk que definenlos angulos entre cada segmento. Ademas, ella puede tener vertices entrantes y salientes yaque, como se ilustra en las figuras 6.23 (a) y 6.23 (b), ello depende de si los parametros αk,dentro del rango de valores para ellos dado por la expresion (6.88), tienen valores menores omayores que la unidad, respectivamente. De ahora en lo adelante nosotros en nuestro analisissiempre supondremos que los parametros αk estan dados de forma tal que la lınea quebradaque se obtenga no se corte a sı misma en ningun punto.

Demostremos ahora que la lınea quebrada obtenida en el plano w es cerrada; entonces elladefinira un polıgono en dicho plano. Para ello, es necesario demostrar que los puntos A0 y An+1

coinciden. Es decir, que

An+1 − A0 = w(∞)− w(−∞) = 0 (6.96)

1La integral (6.87) tiene valores finitos en los puntos ak−1 y ak: w(ak−1) = Ak−1, w(ak) = Ak en virtud deque la integral es acotada en dichos puntos gracias al requisito (6.88) impuesto a αk.


Figura 6.21: Imagenes de las rectas [ak−1, ak] y [ak, ak+1].

En otras palabras, hay que demostrar que la integral

A

∫ ∞

−∞(ζ − a1)

α1−1(ζ − a2)α2−1...(ζ − an)

αn−1dζ = 0 (6.97)

Para ello, tomemos un contorno de integracion Γ como el representado en la figura 6.24 y un Rlo suficientemente grande como para que todos los puntos ak se encuentren en la posicion dadapor dicha figura.

En virtud del teorema de Cauchy podemos escribir que2

∫Γ

ϕ(ζ)dζ =

∫ R

−Rϕ(ζ)dζ +

∫CR

ϕ(ζ)dζ +∑∫

Cr

ϕ(ζ)dζ = 0 (6.98)

2La integral∫ R

−Res la integracion por el eje real entre −R y R, excluyendo los entornos de los puntos ak, es

decir, la integral por el conjunto de los segmentos(−R, a1 − r), (a1 + r, a2 − r), (a2 + r, a3 − r),..., (an + r, R).La suma en la expresion (6.98) es la suma de las integrales por las semicircunferencias de radio r que rodeanpor encima a los puntos ak.


Figura 6.22: Posibles lıneas quebradas dadas por la integral de Schwarz-Christoffel.

Ahora bien, tenemos que

ϕ(ζ) = (ζ − a1)α1−1(ζ − a2)

α2−1...(ζ − an)αn−1 =

= ζ∑n

k=1 αk−n(

1− a1

ζ

)α1−1(1− a2

ζ

)α2−1

...

(1− an

ζ

)αn−1

(6.99)

Atendiendo a la expresion (6.90) la igualdad (6.99) puede ser escrita de la forma siguiente

ϕ(ζ) = ζ−(1+αn+1)

(1− a1

ζ

)α1−1(1− a2

ζ

)α2−1

...

(1− an

ζ

)αn−1

(6.100)

Valorando la expresion (6.100) obtenemos que

|ϕ(ζ)| < MR−(1+αn+1) (6.101)


Figura 6.23: Vertices entrantes y salientes.

ya que los parentesis son acotados por cierta magnitud.

Ası pues, para la integracion por la semicircunferencia CR obtenemos

∣∣∣∣∫CR

ϕ(ζ)dζ

∣∣∣∣ < MR−(1+αn+1)πR =πM

Rαn+1→ 0, ∀R→∞ (6.102)

Ademas, para las integrales por CR tenemos que, por ejemplo, para la que rodea al punto ak:

∫CR

ϕ(ζ)dζ =

∫CR

(ζ − a1)α1−1...(ζ − ak)

αk−1...(ζ − an)αn−1dζ =

=

∫ 0

π

(ak − a1 + reiϕ)α1−1...(ζ − ak)αk−1...(ak − an + reiϕ)αn−1ireiϕdϕ (6.103)

De aquı que, valorando, obtengamos


Figura 6.24: Para la demostracion de que la quebrada es cerrada y forma un polıgono.

∣∣∣∣∫CR

ϕ(ζ)dζ

∣∣∣∣ ≤ ∫ 0

π

|ak − a1 + reiϕ|α1−1...rαk ...|ak − an + reiϕ|αn−1dϕ <

< πMrαk → 0, pues αk > 0 (6.104)

Por consiguiente, de (6.98) y en virtud de (6.102) y (6.104), cuando hacemos que R → ∞ yr → 0, obtenemos

∫ ∞

−∞ϕ(ζ)dζ = 0 (6.105)

con lo que queda demostrado que los puntos A0 y An+1 coinciden.

De esta manera queda establecido que la lınea quebrada construida por la integral de Schwarz-Christoffel es cerrada, lo que significa que constituye un polıgono de n+ 1 lados y vertices (Fig6.25). El angulo del vertice An+1 es παn+1; esto es obvio, ya que de Geometrıa sabemos que la


suma de los angulos de un polıgono de m lados es igual a π(m − 2) y, como aquı m = n + 1,tendremos que el angulo del vertice An+1 sera

Figura 6.25: Polıgono imagen dado por la integral de Schwarz-Christoffel.

∠An+1 = π(n− 1)− πn∑k=1

αk = π(n− 1)− π(n− 1) + παn+1 = παn+1 (6.106)

Ası pues, concluimos que por medio de la integral de Schwarz-Christoffel (6.87) los puntos−∞, a1, a2, ..., an,∞ del eje real Re z = x se transforman en los vertices

A0, A1, A2, ..., An, An+1 = A0

de un polıgono de n + 1 lados. Por consiguiente, si al recorrer el eje Re z en sentido positivo(de −∞ a +∞) el polıgono obtenido se recorre tambien en sentido positivo, podemos asegurar,por el principio de correspondencia de fronteras (Teorema 45), que esta integral realiza larepresentacion conforme del semiplano superior Im z > 0 en el interior de dicho polıgono.


De lo anteriormente expresado se comprende el requisito impuesto a los parametros αk en ladesigualdad (6.88): αk ≤ 2, ya que, si αk > 2, comenzarıamos a recorrer de nuevo el mismopolıgono y αk > 0 para que, en virtud de (6.104), la integral converja en el punto ak dando unvalor finito Ak = w(ak), vertice del polıgono.

Sin embargo, puede darse el caso en que algun parametro αk sea negativo; si esto ocurre,obtenemos lo que se llama un polıgono degenerado. Analicemos detalladamente este caso.Supongamos que para cierta k se cumple que −1 < αk ≤ 0. Entonces, la valoracion (6.104)nos da que w(ak) = ∞; es decir, que la integral (6.87) diverge en el punto z = ak, en tanto quepara 0 < αi ≤ 2 (i 6= k) la integral en el resto de los puntos es convergente.

Con el fin de estudiar el cuadro de la representacion en este caso, sustituyamos el miembro(ζ − ak)

αk−1 de la integral (6.87) por el siguiente producto:

(ζ − a′k)α′k−1(ζ − a′′k)

α′′k−1

donde a′k y a′′k son dos puntos del eje real tomados respectivamente a la izquierda y a la derechadel punto ak (Fig. 6.26) y α′k y α′′k son parametros tales que α′k − 1 +α′′k − 1 = αk − 1; es decir,que

α′k + α′′k = αk + 1 (6.107)

De la expresion (6.107) se infiere que 0 < αk + 1 ≤ 1, ya que −1 < αk ≤ 0. Entonces, de laformula (64.1) obtenemos la siguiente integral auxiliar:

w = A

∫ z

z0

(ζ − a1)α1−1...(ζ − ak−1)

αk−1−1(ζ − ak−1)αk−1−1

(ζ − a′k)α′k−1(ζ − a′′k)

α′′k−1(ζ − ak+1)αk+1−1...(ζ − an)

αn−1dζ +B (6.108)

Analizando la expresion (6.108) como se hizo con la expresion (6.87) al inicio del epıgrafe, noes difıcil comprobar que los terminos sin primas daran los mismos lados del polıgono, en tantoque los terminos con primas cerraran el polıgono como se ilustra en la figura 6.27

Hemos llamado A′k = w(a′k) y A′′

k = w(a′′k). El angulo formado por las lıneas de puntos enesta figura es efectivamente ası, ya que en el triangulo dibujado tendremos que dicho angulocumplira la conocida relacion para la suma de los angulos de un triangulo:

∠ + πα′k + πα′′k = π

de donde en virtud de (6.107),

∠ = π(1− α′k − α′′k) = −παk (6.109)


Figura 6.26: Puntos a′k y a′′k a la izquierda y a la derecha de ak.

y como por hipotesis −1 < αk ≤ 0, tendremos que π > −παk ≥ 0, por lo que la figura 6.27esta correctamente dibujada.

Si ahora hacemos que a′k → ak y a′′k → ak simultaneamente, segun se indica en la figura 6.28,tendremos que los puntos A′

k y A′′k tenderan al infinito de forma tal que el resto de los angulos

del polıgono no varıen, es decir, a lo largo de las flechas de puntos en la figura 6.27.

De esta manera obtenemos que, si −1 < αk ≤ 0, la integral de Schwarz-Christoffel nos da elpolıgono degenerado que aparece en la figura 6.29

Si ahora se hiciera la suposicion de que para cierta k

−2 < αk ≤ −1

haciendo el mismo razonamiento de arriba, obtendrıamos que la integral de Schwarz-Christoffeldarıa el polıgono degenerado representado en la figura 6.30, ya que, en este caso, el anguloformado por las lıneas de puntos serıa 2π > −παk ≥ π.


Figura 6.27: Polıgono no degenerado obtenido con los puntos a′k y a′′k.

En realidad obtenemos que, en lugar de (6.88), el requisito que debemos imponer a los para-metros αk es que

−2 < αk ≤ 2 (6.110)

Nosotros hemos analizado la integral de Schwarz-Christoffel suponiendo conocidos los puntosa1, a2, ..., an del eje real que se transforman en los vertices A1, A2, ..., An del polıgono ante larepresentacion. Sin embargo, en los problemas practicos lo que se conoce son los vertices Akdel polıgono y los puntos ak quedan indeterminados. Esta situacion crea dificultades en el usode la integral de Schwarz-Christoffel.

Sin embargo, en este caso se pueden dar de forma completamente arbitraria dos puntos cua-lesquiera ai y ak del eje real x, de forma que estos se transformen en dos vertices escogi-dos Ai y Ak del polıgono en cuestion. Es posible demostrar que actuando ası el resto delas constantes que aparecen en la expresion (6.87) se determinan unıvocamente. Efectiva-mente, la expresion (6.87) define la funcion w = f(z) relacionada con la funcion f(z) =∫ zz0

(ζ − a1)α1−1(ζ − a2)

α2−1...(ζ − an)αn−1dζ por medio de una transformacion lineal. Dicha


Figura 6.28: Tendencia de los puntos a′k y a′′k al punto ak.

transformacion no es mas -segun vimos en el estudio de la funcion bilineal- que la superposicionde una transformacion de semejanza, una transformacion de rotacion y una transformacion detraslacion. Por consiguiente, si la funcion f(z) transforma el semiplano superior Im z > 0 enun polıgono dado en el plano w, la funcion f(z) transformara dicho semiplano en un polıgonosemejante a aquel.

Para valores dados de αk (y estos son dados, ya que segun hemos dicho, lo que se consideradado es el polıgono) tenemos que para que la lınea quebrada cerrada de n+ 1 lados, en la quela funcion f(z) transforma al eje real, sea un polıgono semejante al dado es suficiente que n− 1lados de esta lınea quebrada sean proporcionales a los lados correspondientes del polıgono encuestion (los dos lados extremos se determinan completamente al darse sus direcciones). Asıpues, tenemos n− 2 ecuaciones con respecto a n constantes ak. Si damos arbitrariamente dosde ellas, las restantes se determinaran unıvocamente de las ecuaciones correspondientes. Estehecho es una consecuencia del teorema de Riemann sobre la definicion unıvoca de la funcion querealiza la representacion conforme de dominios simplemente conexos, dada la correspondenciaentre tres puntos de la frontera de un dominio y tres puntos de la frontera del otro dominio (ennuestro caso los puntos son los dos escogidos arbitrariamente y el punto z = ∞).


Figura 6.29: Polıgono degenerado obtenido con angulo −παk < π.

Por ultimo, es necesario hacer la siguiente aclaracion: la condicion impuesta a los parametrosαk en la desigualdad (6.89) es la mas general posible. Pudiera, sin embargo, como caso masrestringido -ası lo hace la mayorıa de los autores- exigirse solo que, en lugar de (6.89), secumpliera que

n∑k=1

αk = n− 2 (6.111)

Esto significarıa, en virtud de la expresion (6.90), que

αn+1 = n− 1−n∑k=1

αk = 1 (6.112)

lo que significarıa que el punto A0 = An+1 = w(±∞) no serıa vertice de nuestro polıgono,ya que el angulo bajo el que se cortarıan los lados (A1, A0) y (An, A0) serıa παn+1 = π (Fig.6.31). Esto nos hace concluir que, en el caso en que se exija la condicion (6.111), la integral


Figura 6.30: Polıgono degenerado obtenido con angulo −παk > π.

de Schwarz-Christoffel (6.87) nos dara la representacion del semiplano superior Im z > 0 en elinterior de un polıgono de n lados. En este caso sera necesario dar, de forma arbitraria, trespuntos del eje real ai, aj, ak correspondientes a tres vertices del polıgono Ai, Aj, Ak y dejar pordeterminar el resto de las n ecuaciones que se obtienen. Efectivamente, en este caso tendremosn− 3 ecuaciones para las n constantes ak por lo que, al definir tres de ellas arbitrariamente, lasrestantes quedaran unıvocamente determinadas.

6.5.1 Ejemplos

1. Hallar con la ayuda de la integral de Schwarz-Christoffel la funcion que realiza la repre-sentacion conforme del semiplano superior en el interior de un angulo con vertice en elorigen de ccordenadas y un lado sobre el semieje real positivo (Fig. 6.32)

Un angulo se puede interpretar como un ”polıgono” de dos lados degenerado. Podemos es-coger arbitrariamente un punto del eje x que se transforma en el vertice w = 0 del angulo;sea este punto a = 0. Entonces, en la expresion (6.87) automaticamente obtenemos B = 0y z0 = 0, por lo que esta nos queda como


Figura 6.31: Polıgono con angulo en el punto imagen del infinito igual a π.

w =

∫ z

0

ζα−1dζ = A1

αzα (6.113)

Como el angulo del vertice es πα = ϕ, obtenemos α = ϕπ; por consiguiente, escogiendo la

constante A = ϕπ, obtenemos la funcion deseada:

w(z) = zϕπ (6.114)

Comparese este resultado con el obtenido en el punto 7.3.1. Es de interes destacar queestas funciones no tranforman conformemente todo el plano z en todo el plano w. Se pideal lector que analice las razones de lo afirmado.

2. Hallar por medio de la integral de Schwarz-Christoffel la funcion que realiza la repre-sentacion conforme del semiplano superior Im z > 0 en la franja horizontal de altura h,0 < Imw < h (Fig. 6.33)

La franja es un ”polıgono degenerado” de dos lados entre los cuales hay un angulo nulo.Por lo tanto, tendremos que α = 0. De nuevo podemos tomar arbitrariamente a = 0,B = 0 y z = 1 (esto ultimo para que la integral converja) y obtener de (6.87):


Figura 6.32: Representacion del semiplano superior en el interior de un angulo.

w = A

∫ z

1

ζ−1dζ = A ln z (6.115)

En la expresion anterior observamos que w(1) = A ln 1 = 0, mientras que w(−1) =A ln(−1) = Aπi. Por lo tanto, para que nuestra franja tenga la altura hi, hay que tomarA = h

π. Ası pues, la funcion buscada es

w(z) =h

πln z (6.116)

Por consiguiente, la funcion inversa, es decir, la funcion exponencial

z = eπwh (6.117)

realizara la representacion conforme inversa de la franja en el semiplano. Este resultadoes el mismo que se obtuvo en el punto 7.3.2. Al igual que en el caso anterior, se puedever que la representacion de todo el plano z dada por esta funcion no es todo el plano w,pues la funcion logaritmo es multivaluada.


Figura 6.33: Representacion del semiplano superior en el interior de una franja horizontal.

3. Hallar por medio de la integral de Schwarz-Christoffel la funcion que realiza la repre-sentacion del semiplano superior Im z > 0 en la columna vertical de base h, (−h

2<

Rew < h2, Imw > 0) (Fig. 6.34)

La columna en cuestion es un triangulo degenerado con dos angulos iguales a π2

y el terceronulo.

Podemos escoger arbitrariamente a1 = −1, a2 = 1 y como los angulos en los verticesimagenes de dichos puntos son iguales a π

2, hacemos α1 = 1

2, α2 = 1

2. Por consiguiente,

haciendo B = 0 y z0 = 0, de (6.87) obtenemos

w = A

∫ z

0

(ζ + 1)12−1(ζ − 1)

12−1dζ = A

∫ z

0

dζ√(ζ + 1)(ζ − 1)

=

= A

∫ z

0

dζ√ζ2 − 1

=A

i

∫ z

0

dζ√1− ζ2

=A

iarcsin z (6.118)

La funcion inversa


Figura 6.34: Representacion del semiplano superior en el interior de una columna vertical.

z = sinπw

h(6.119)

realizara la representacion conforme de la columna vertical en el semiplano superior.El lector debe analizar en que dominio del plano w se transforma el semiplano inferiorIm z < 0 por medio de la funcion (6.118).

Los ejemplos hasta aquı vistos son sencillos y fueron estudiados cuando analizamos lageometrıa de las transformaciones que realizaban las funciones elementales en los puntos7.3.1, 7.3.2 y 7.3.3. Pasaremos ahora al estudio de otros ejemplos menos sencillos, peroextraordinariamente utiles.

4. Hallar con la ayuda de la integral de Schwarz-Christoffel la representacion del semiplanosuperior Im z > 0 en el semiplano superior Imw > 0 con un corte hecho en el segmento0 < Imw < h (Fig. 6.35)

El dominio en el plano complejo w puede verse como un ”rectangulo” degenerado, conlos vertices A1 = 0, A2 = ih, A3 = 0 y A4 = ∞. De aquı que, mediante la figura 6.35podamos establecer que α1 = 1

2, α2 = 2, α3 = 1

2.


Figura 6.35: Representacion del semiplano superior en el semiplano superior con un cortevertical.

Tomemos a1 = −1, a2 = 0 arbitrariamente y a3 = 1 por simetrıa. Entonces el cuartopunto sera z = ∞ y le correspondera A4 = ∞; de aquı se infiere que el angulo bajo el quese deben cortar los lados que van al infinito debe ser, de acuerdo con la teorıa estudiada,−πα4. Pero

α4 = 3− 1−3∑

k=1

αk = 2− 3 = −1

por lo que el angulo sera +π que es, efectivamente, el angulo bajo el que se encuentranlas partes negativa y positiva del eje Rew.

Ası pues, tomando en la expresion (6.87) B = 0, z0 = 0, la integral de Schwarz-Christoffelnos da

w = A

∫ z

0

(ζ + 1)−12 ζ(ζ − 1)−

12dζ = A

∫ z

0

ζdζ√ζ2 − 1

= A√ζ2 − 1 (6.120)

Pero como


w(0) = A√−1 = iA = ih

concluimos que A = h, por lo que la funcion buscada es

w = h√z2 − 1 (6.121)

5. Hallar con la ayuda de la integral de Schwarz-Christoffel la representacion del semiplanoIm z > 0 en el rectangulo de lados l1 y l2 (Fig. 6.36)

Figura 6.36: Representacion del semiplano superior en el rectangulo.

En este ejercicio conocemos los vertices del rectangulo y debemos encontrar los puntosdel eje Re z = x que les corresponden. Dichos puntos, como hemos visto, no puedenescogerse de forma arbitraria.

Con el fin de plantearnos un problema simetrico, cosa deseable, pues la figura 6.36 essimetrica, haremos que el punto w = 0 corresponda al punto z = 0. Entonces podemoshacer corresponder los vertices A1 y A2 con los puntos a1 = −1 y a2 = 1 respectivamente,tomados de forma arbitraria, en tanto que los vertices A3 y A4 los hacemos correspondercon los puntos a3 = κ y a4 = −κ respectivamente, donde κ es una magnitud a determinar


en la transformacion. Los angulos en los vertices del rectangulo nos permiten establecerque los parametros αk en la integral de Schwarz-Christoffel son α1 = α2 = α3 = α4 = 1

2;

por consiguiente, tomando z0 = 0, podemos nescribir nuestra funcion como

w(z) = A

∫ z

0

(z + 1)−12 (z − 1)−

12 (z − κ)−

12 (z + κ)−

12dz +B =

= A

∫ z

0

dz√(z2 − 1)(z2 − κ2)

+B = A

∫ z

0

dz√κ2(1− z2)(1− k2z2)

+B =

= A

∫ z

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

+B (6.122)

donde A ≡ Ak y k = 1κ.

Como w = 0 corresponde a z = 0, concluimos que B = 0, de manera que la funcion querealiza la representacion conforme deseada viene dada por la formula

w(z) = A

∫ z

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

(6.123)

Para determinar las constantes A y k utilizaremos las relaciones con los vertices conocidosdel rectangulo. Tenemos que

w(1) =l12A

∫ 1

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

(6.124)

Ademas

w(κ) =l12

+ il2 = A

∫ 1k

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

=

= A

∫ 1

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

+ A

∫ 1k

1

dz√(1− z2)(1− k2z2)

(6.125)

En la expresion (6.125) el primer sumando no es otra cosa que (6.124), por lo que obte-nemos

w(κ) =l12

+ il2 =l12− iA

∫ 1k

1

dz√(z2 − 1)(1− k2z2)

(6.126)

Igualando las partes imaginarias en la expresion (6.126) obtenemos que

l2 = −A∫ 1

k

1

dz√(z2 − 1)(1− k2z2)

(6.127)

La integral del tipo


K =

∫ 1

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

(6.128)

recibe el nombre de integral elıptica completa de modulo k. Por lo general, el modulok viene dado como funcion de cierto angulo α:

k = sinα (6.129)

Si definimos ahora lo que se llama el modulo complementario:

k′ =√

1− k2 = cosα (6.130)

obtenemos que la integral elıptica completa de modulo complementario sera

∫ 1

0

dz√(1− z2)(1− k′2z2)

=

∫ 1k

1

dζ√(ζ2 − 1)(1− k2ζ2)

(6.131)

donde hemos hecho el cambio de variable

ζ =1√

1− k′2z2

La integral del miembro derecho de (6.131), es decir, la integral del tipo

K ′ =

∫ 1k

1

dz√(z2 − 1)(1− k2z2)

(6.132)

recibe el nombre de integral elıptica complementaria. Para las integrales elıpticas(6.128) y (6.132) existen amplias y detalladas tablas que dan sus valores en funcion delmodulo k (o del angulo α que define al modulo k a traves de la relacion (6.129)). Si ahoradividimos (6.127) por (6.124) obtenemos

2l2l1

=−K ′

K(6.133)

Comunmente se introduce la notacion

ln q = π−K ′

K(6.134)

Existen tambien tablas para esta expresion en funcion del modulo k o del angulo α quelo define.

Por consiguiente, si sabemos los lados l1 y l2 del rectangulo, podemos hallar la expresion(6.133) y con su ayuda, a traves de (6.134), el valor de ln q; acto seguido vamos a latabla correspondiente y buscamos el valor del angulo α. Una vez hallado dicho angulo,buscamos con su ayuda la integral elıptica K que le corresponde con la que obtenemos laconstante A de la formula (6.124):


A =l1

2K(6.135)

Ademas, en virtud de (6.129) determinamos, con el mismo valor de α, el valor de k, porlo que el problema de la representacion del semiplano Im z > 0 en el rectangulo senaladoqueda resuelto. La funcion que realiza la transformacion resulta ser

w(z) =l1

2K

∫ z

0

dz√(1− z2)(1− k2z2)

(6.136)

donde K y k = sinα son hallados de tablas a partir de las relaciones (6.133) y (6.134).

Las integrales como la obtenida en (6.136) dependen de la variable z ademas de dependerdel parametro k. Esas integrales, que reciben el nombre generico de integrales elıpticas,son del tipo

w =

∫ z

0

dζ√(1− ζ2)(1− k2ζ2)

(6.137)

y no se expresan a traves de funciones elementales. Las funciones z = z(w) inversas aestas integrales, que transforman el rectangulo en el semiplano superior Im z > 0 recibenel nombre de funciones elıpticas de Jacobi y para ellas existe la siguiente notacionespecial:

z = snw = sn (w, k) (6.138)

y se les denomina senos elıpticos de modulo k.

Junto con la funcion seno elıptico se introduce la funcion coseno elıptico como

cnw =√

1− sn2w (6.139)

y la funcion amplitud elıptica

dnw =√

1− k2sn2w (6.140)

No es difıcil comprobar que si el modulo k = 0, las funciones elıpticas snw y cnw setransforman en las funciones circulares sinw y cosw y dnw toma el valor 1.

Las funciones elıpticas son meromorfas en el plano complejo. Por tanto, se cumplen lasreglas de derivacion3:

(sn z)′ = cn z dn z

(cn z)′ = −sn z dn z (6.141)

(dn z)′ = −k2sn z cn z

3Hemos cambiado el argumento; en lugar de w le hemos llamado z lo que, por supuesto, no ofrece dificultadalguna.


Puede comprobarse tambien que tienen lugar las siguientes formulas:

sn (z1 + z2) =sn z1 cn z2 dn z2 + sn z2 cn z1 dn z1

1− k2 sn2 z1 sn2 z2

cn (z1 + z2) =cn z1 cn z2 − sn z1 sn z2 dn z1 dn z2

1− k2 sn2 z1 sn2 z2

(6.142)

dn (z1 + z2) =dn z1 dn z2 − k2sn z1 sn z2 cn z1 cn z2

1− k2 sn2 z1 sn2 z2

Tanto las formulas (6.141), como las (6.142) se transforman en las reglas trigonometricasconocidas para las funciones sin z y cos z cuando k = 0.

Las figuras 6.37 a, b, y c representan los graficos de estas funciones. La grafica 6.37 bmuestra el modulo de la funcion coseno elıptico.

Figura 6.37: Funciones elıpticas.

6. Hallar mediante la integral de Schwarz-Christoffel la funcion que realiza la representacionconforme del semiplano superior Im z > 0 en el interior del dominio representado en lafigura 6.38


Figura 6.38: Representacion del semiplano superior en el interior del dominio dibujado.

El dominio en cuestion puede interpretarse como un ”rectangulo” degenerado con tresvertices en el infinito: A1 = ∞, A2 = ∞, A4 = ∞ y un vertice en el origen: A3 = 0.De la figura se comprende que α1 = 0, α2 = 0, α3 = 2, α4 = 0. En virtud de la teorıadesarrollada en este epıgrafe podemos tomar sobre el eje Re z tres puntos arbitrarios; seanellos a1 = ∞, a2 = −1, a4 = 1; por tanto queda como parametro por determinar a3 = ξ.La integral de Schwarz-Christoffel tiene, pues, en este caso la forma

w = A

∫ z

0

(z + 1)−1(z − ξ)(z − 1)−1dz +B = A

∫ z

0

z − ξ

z2 − 1dz +B

Integrando queda

w = A

{1 + ξ

2ln(z + 1) +

1− ξ

2ln(z − 1)

}+B (6.143)

Esta expresion contiene tres constantes que debemos determinar, A, B y ξ. Para calculardichas constantes razonaremos de la siguiente forma: cuando el punto z rodea al puntoa2 = −1 a lo largo de una circunferencia infinitamente pequena Cr de radio r (es decir,


cuando el vector z + 1 = reiϕ rota cambiando su argumento del valor π al valor 0), elpunto w que le corresponde debe pasar de la recta A1A2 a la recta A2A3, es decir, lafuncion w debe obtener un incremento

∆w = h1 +O(r) (6.144)

donde O(r) es una funcion compleja infinitesimal cuando r tiende a cero.

Este razonamiento se justifica por el hecho de que la imagen de Cr para r pequenasse diferencia poco del segmento de recta que une las rectas A1A2 y A2A3.

4 Pero antetal incremento complejo infinitesimal ∆z en la formula (6.143) el miembro que contienea ln(z − 1) recibe un incremento infinitesimal (pues la funcion senalada es continua) ysolamente sera finito el incremento de la funcion ln(z + 1) = ln r + iϕ; dicho incrementoes, precisamente, −iπ. Por consiguiente, el incremento de la funcion w sera

∆w = −A1 + ξ

2πi+O(r) (6.145)

donde O(r) es tambien una funcion compleja infinitesimal cuando r → 0. Comparando(6.144) y (6.145) obtendremos en el lımite cuando r → 0

−A1 + ξ

2πi = h1 (6.146)

Analogamente, cuando el punto z rodea al punto a4 = 1 a lo largo de una circunferenciainfinitamente pequena de radio r, el punto w que le corresponde debe pasar de la rectaA2A3 a la recta A4A1, es decir, ∆w = h2 +O(r).

Por otro lado

∆w = A1− ξ

2(−πi) +O(r)

por lo que obtenemos la relacion

−A1− ξ

2πi = h2 (6.147)

Mediante (6.146) y (6.147) obtenemos para las constantes A y ξ las expresiones

A = ih1 + h2

π; ξ =

h1 − h2

h1 + h2

(6.148)

por lo que la funcion que realiza la representacion toma la forma

w =i

π{h1 ln(z + 1) + h2 ln(z − 1)}+B (6.149)

La constante B se obtiene de la correspondencia de los puntos a3 = ξ y A3 = 0:

4Consideramos este hecho evidente, aunque en realidad es posible demostrarlo rigurosamente.


B = −h2π2 + πi lnhh1

1 hh22

(2

H

)H(6.150)

donde H = h1 + h2.

7. Hallar mediante la integral de Schwarz-Christoffel la funcion que realiza la representacionconforme del semiplano superior Im z > 0 en el dominio dado por la figura 6.39

Figura 6.39: Representacion del semiplano superior en el interior del dominio dibujado.

El dominio en cuestion es un ”rectangulo” degenerado con dos vertices en el infinito.

En virtud de la simetrıa de la figura podemos reducir este problema a la busqueda de larepresentacion de la mitad superior de la figura, que resulta ser un triangulo degenerado.Para ello trazamos un corte a lo largo de la mitad de la parte horizontal de la figura (enlınea de puntos en la figura 6.39). Para los vertices A1 = ∞, A2 = ∞, A3 = 0 tomamostres puntos arbitrarios en el eje real: a1 = 1, a2 = ∞, a3 = 0. Evidentemente, los angulosen la figura nos hacen concluir para los parametros αk los siguientes valores: α1 = 0,α2 = −1

2, α3 = 3

2.

Por consiguiente, la funcion que realiza la representacion conforme del semiplano Im ζ > 0a ese triangulo sera


w = A

∫ ζ

0

(ζ − 1)−1ζ12dζ +B = A

∫ ζ

0

√ζdζ

ζ − 1(6.151)

En (6.151) B = 0 en virtud de la correspondencia entre los puntos ζ = 0 y w = 0. Paradeterminar la constante A nos basaremos en que en el entorno del punto ζ = 1 podemossustituir la funcion continua en ese punto

√ζ = 1 por su valor en dicho punto, por lo que

(6.151), para ζ en el entorno de ζ = 1, nos da

w =

∫ ζ

0

dζ

ζ − 1+O(ζ − 1) = A{ln(ζ − 1)− πi}+O(ζ − 1) (6.152)

donde O(ζ − 1) → 0 cuando ζ → 1.5 Como cuando el punto ζ bordea al punto ζ = 1a lo largo de la semicircunferencia |ζ − 1| = r su punto correspondiente w debe pasarde la recta A3A1 a la recta A1A2, tendremos que ∆w = −hi + O(ζ − 1), donde h es lamitad del ancho de la parte horizontal del dominio (Fig. 6.39). Por otro lado, de acuerdocon (6.152), ∆w = Ai∆arg(ζ − 1) + O(ζ − 1) = −πAi + O(ζ − 1). Comparando estasexpresiones en el lımite cuando ζ → 1 obtenemos que −hi = −πAi; por consiguiente,obtenemos para la constante A la expresion A = h

π. Ası pues, la representacion (6.151)

toma la forma

w =h

π

∫ ζ

0

√ζdζ

ζ − 1=h

π

(2√ζ + ln

√ζ − 1√ζ + 1

)|ζ0 =

=2h

π

√ζ +

h

πln

√ζ − 1√ζ + 1

− hi (6.153)

Al corte auxiliar (lınea de puntos) A1A2 le corresponde en el plano ζ el corte (1,∞) en eleje real. Por consiguiente, en virtud de la simetrıa, la funcion (6.153) (junto con su prolon-gacion analıtica) realiza la representacion de todo el plano ζ con un corte en (1,∞) a todoel dominio de la figura 6.39. La funcion z = i

√ζ − 1 transforma al plano ζ con el corte

senalado en (1,∞) en el semiplano superior Im z > 0; por lo tanto, despues de realizarel cambio de variables ζ = 1− z2 en la expresion (6.153) obtenemos la representacion delsemiplano superior Im z > 0 en el dominio de la figura 6.39:

w =2h

π

√1− z2 +

h

πln

√1− z2 − 1√1− z2 + 1

− hi =

=2h

π

[√1− z2 + ln

z

1 +√

1− z2

](6.154)

5Esto puede ser demostrado rigurosamente.


6.6 Aplicacion de las representaciones conformes a la

resolucion de problemas de frontera

La teorıa de representaciones conformes tiene entre sus aplicaciones una de extraordinaria im-portancia para la Fısica: su utilizacion en la solucion de problemas de frontera de ecuacionesen derivadas parciales de segundo orden. La propiedad fundamental de las funciones analıticasestudiadas por nosotros en el primer epıgrafe de este capıtulo y que consiste en que la repre-sentacion conforme por ellas efectuada conserva las propiedades armonicas (en el sentido directode que el laplaciano es invariante ante las transformaciones de coordenadas si estas son la partereal y la parte imaginaria de una funcion analıtica univaluada con derivada diferente de cero enel dominio donde se estudia la ecuacion con laplaciano), nos ofrece la posibilidad de utilizar lasrepresentaciones conformes para resolver problemas de frontera de la ecuacion de Laplace, deHelmholtz y similares en dominios bidimensionales bastante complicados. Ademas, el mismohecho de que tanto la parte real como la imaginaria de una funcion analıtica son funcionesarmonicas, nos permite utilizar las funciones analıticas y las representaciones conformes queellas realizan como un poderoso aparato de solucion de problemas con funciones armonicas.En el presente epıgrafe analizaremos algunas cuestiones de caracter general y desarrollaremosalgunos ejemplos de solucion de problemas fısicos.

6.6.1 Construccion de la funcion de Green mediante representa-ciones conformes

De los cursos sobre ecuaciones de la Fısica Matematica 6 es conocido que la solucion del pro-blema bidimensional de Dirichlet para la ecuacion de Poisson:

∇2Φ = −F (x, y), en S (6.155)

Φ|C = Ψ(x, y)

donde S es un dominio bidimensional de frontera constituida por un contorno liso C (Fig. 6.40)viene dada por la expresion

Φ(x, y) = −∫C

ψ(ξ, η)∂G

∂ndl +

∫ ∫S

F (ξ, η)G(x, y, ξ, η)dS (6.156)

donde n es el vector normal al contorno C, exterior al dominio S en el que buscamos lasolucion. La funcion G(x, y, ξ, η) es la funcion de Green del problema de Dirichlet, definida porla expresion

G(x, y, ξ, η) =1

2πln

1

rMP

+ v (6.157)

6Ver Jose Marın Antuna: Metodos Matematicos de la Fısica y tambien A.N. Tikhonov y A.A. Samarsky,Equations of Mathematical Physics, entre otros.


Figura 6.40: Dominio bidimensional S de frontera constituida por el contorno liso C.

donde rMP es la distancia entre el punto M = {x, y} donde buscamos la solucion y el puntode integracion P = {ξ, η} . La funcion v se define como cierta funcion armonica dentro de Stal que haga que la funcion de Green se anule sobre el contorno C: G|C = 0; es decir, dichafuncion debe ser la solucion del siguiente problema:

∇2v = 0, en S (6.158)

v|C = − 1

2πln

1

rMP

|P∈C

La solucion del problema (6.158) es necesaria para determinar la funcion de Green del dominioS que nos permita, mediante la formula (6.156), resolver el problema inicial. En algunoscasos la funcion v puede ser hallada con relativa facilidad por diversos metodos, como el delas imagenes electrostaticas, sin necesidad de resolver el problema (6.158). Sin embargo, paradominios complicados, ya sea por su irregularidad o por la forma de su frontera, el metodo de lasimagenes electrostaticas o la solucion directa del problema (6.158) puede presentar dificultadesinsalvables.


El metodo de representaciones conformes permite en estos casos hallar la funcion de Greencorrespondiente. Supongamos que queremos hallar la funcion de Green del dominio D confrontera Γ (Fig. 6.41) y supongamos que conocemos la funcion analıtica w = f(z, z0) que realizala representacion conforme de dicho dominio en el interior de un cırculo de radio unitario ycentro en el punto w = 0, de forma que un punto prefijado z0 ∈ D se transforme en el origende coordenadas w = 0, centro de dicho cırculo.

Figura 6.41: Dominio D de frontera Γ.

Entonces la funcion de Green del problema de Dirichlet en el dominio D viene dada por laexpresion

G)M,P ) = − 1

2πln |f(z, z0)| (6.159)

donde M = {x, y}; P = {ξ, η}; z = x+ iy; z0 = ξ + iη.

Para demostrar la validez de esta afirmacion debemos comprobar si la funcion G ası construidasatisface las propiedades que definen a la funcion de Green. Primero tenemos que la funcion(6.159) construida satisface la condicion de frontera de la funcion de Green, pues como por


hipotesis mediante f(z, z0) la frontera Γ se transforma en la circunferencia |w| = 1, tendremosque, efectivamente,

G|M∈Γ = − 1

2πln |f(z, z0)|z∈Γ = − 1

2πln |w| = − 1

2πln 1 = 0 (6.160)

Ademas, la funcion (6.159) es armonica para todo z 6= z0, ya que como la funcion f(z, z0) esanalıtica, la funcion ln f(z, z0) tambien lo es y, por tanto, su parte real, ln |f(z, z0)| es armonica(en el punto z = z0 la funcion deja de ser armonica, ya que, como f(z0, z0) = 0, la funcionln |f(z, z0)| tiene en dicho punto una singularidad). Ası pues,

∇2G = 0 ∀z 6= z0 (6.161)

Veamos por ultimo el comportamiento de la funcion (6.159) cuando z → z0. Tenemos que

G = − 1

2πln |f((z, z0)| = − 1

2πln|f((z, z0)||z − z0|

|z − z0| = − 1

2πln|f((z, z0)||z − z0|

−

− 1

2πln |z − z0| =

1

2πln

1

|z − z0|− 1

2πln

∣∣∣∣f(z, z0)− f(z0, z0)

z − z0

∣∣∣∣de aquı que

G→ 1

2πln

1

rMP

− 1

2πln

∣∣∣∣dfdz∣∣∣∣z=z0

(6.162)

El segundo sumando en la formula (6.162) es una magnitud acotada, pues como por hipotesisla funcion f(z, z0) realiza la representacion conforme del dominio D en el cırculo |w| < 1, debecumplirse, de acuerdo con la definicion de representacion conforme, que la derivada df

dz|z=z0 6= 0.

Ası pues, la expresion (6.162) nos dice que la funcion (6.159) tiene en el entorno del puntosingular la misma singularidad que la funcion de Green (6.157).

Ası pues, podemos concluir que, efectivamente, la funcion creada por nosotros (6.159) es lafuncion de Green para el problema de Dirichlet en el dominio D.

Es necesario aclarar que si bien el analisis realizado nos permite construir de forma sencilla,mediante la formula (6.159), la funcion de Green, en la mayorıa de los casos la dificultad mayorreside en hallar la funcion f(z, z0) que realice la representacion conforme del dominio D en elcırculo |w| < 1, la que debe hallarse por los distintos metodos estudiados en este capıtulo.

A modo de sencillo ejemplo busquemos la funcion de Green para el semiplano superior. En elsegundo problema del epıgrafe 7.2.4 del presente capıtulo se obtuvo que la funcion analıtica querealiza la representacion conforme del semiplano superior Im z > 0 en el interior del cırculo|w| < 1 de forma que el punto z0 se transforme en el punto w = 0 (y por tanto el punto z∗0 setransforme en el punto w = ∞), es


w = eiϕz − z0

z − z0∗(6.163)

Por lo tanto, de acuerdo con la formula (6.159), la funcion de Green del semiplano sera

G(M,P ) = − 1

2πln

∣∣∣∣eiϕ z − z0

z − z0∗

∣∣∣∣ = − 1

2πln

∣∣∣∣ z − z0

z − z0∗

∣∣∣∣ =

= − 1

2πln

√(x− ξ)2 + (y − η)2

(x− ξ)2 + (y + η)2=

1

4πln

(x− ξ)2 + (y + η)2

(x− ξ)2 + (y − η)2(6.164)

6.6.2 Resolucion de problemas de frontera para la ecuacion de La-place mediante representaciones conformes

El metodo que estudiaremos ahora esta basado en que las representaciones conformes mantieneninvariables las propiedades armonicas de las funciones. Supongamos que queremos resolver elproblema de Dirichlet para le ecuacion de Laplace en cierto dominio D de frontera Γ:

∇2ϕ = 0, en D (6.165)

ϕ|Γ = ψ(x, y)

donde el dominio D es lo suficientemente complicado como para que sea muy difıcil o practica-mente imposible la solucion de este problema por los metodos de solucion comunes de la FısicaMatematica.

Supongamos ahora que desconocemos la funcion analıtica que realice la representacion conformedel dominio dado en el cırculo unitario con centro en el origen de coordenadas, por lo que nopodemos buscar la funcion de Green del problema planteado por el metodo desarrollado en elpunto anterior. Sin embargo, supongamos que conocemos la funcion analıtica w = f(z) quetransforma al dominio D en un dominio D′ de frontera Γ′ mas sencillo y en el que sı sabemosresolver nuestro problema. Entonces, como (6.165) es la ecuacion de Laplace (es decir, la funcionϕ es armonica), podemos afirmar que, mediante la funcion w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) alhacer la transformacion

x = x(u, v)

y = y(u, v)

obtenemos la funcion ϕ en las nuevas variables:

ϕ(x, y) = ϕ[x(u, v), y(u, v)] = Φ(u, v) (6.166)


la que, por ser conforme la representacion, tambien sera armonica en el nuevo dominio D′.

La condicion en la frontera Γ′ vendra dada por la sustitucion de las variables en la funcion ψ:

ϕ(x, y)|Γ = ψ(x, y) = ψ[x(u, v), y(u, v)] ≡ Ψ(u, v)

De manera que en el dominio D′ obtenemos el siguiente problema que tenemos que resolver:

∇2Φ = 0 (6.167)

Φ|Γ′ = Ψ(u, v)

Por hipotesis suponemos que el problema (6.167) en el nuevo dominio puede ser resuelto pormetodos conocidos, de manera que resolvemos dicho problema y obtenemos la funcion Φ(u, v);si posteriormente regresamos a las variables iniciales x, y, obtenemos la solucion deseada delproblema inicial planteado en el dominio D, por muy complicado que este sea. De esta manerase pueden resolver problemas muy complicados, siempre que se encuentre la funcion analıticaw = f(z) conveniente, tarea que puede resultar tambien difıcil.

Debemos aclarar que el metodo expuesto puede ser aplicado igualmente en el caso de la ecuacionde Poisson, de Helmholtz y otras que contengan al operador de Laplace. Solo se tendra quetener en cuenta el jacobiano de la transformacionque debera aparecer convenientemente en laecuacion: el laplaciano mantiene su forma ante la representacion conforme pero en la nuevaecuacion aparecera el jacobiano de la transformacion. Se invita al lector a desarrollar estasideas.

A modo de ejemplo ilustrativo resolvamos el siguiente problema de Dirichlet para la ecuacionde Laplace:

∇2ϕ = 0 en D : {0 < y < π}

ϕ(x, 0) =1

coshx(6.168)

ϕ(x, π) = 0

donde D es una franja horizontal de ancho π, segun se ilustra en la figura 6.42.

Sabemos que la funcion exponencial

w = ez = ex cos y + iex sin y

transforma dicha franja en el semiplano Imw > 0, de manera que la frontera de la franja{x, 0} se transforma en el semieje {u, 0}, donde u = ex > 0 y la frontera {x, π} se transforma


Figura 6.42: Para la solucion del ejemplo.

en el semieje {u, 0}, donde u = exeiπ = −ex < 0. Ası pues, la frontera inferior de la franjase transforma en el semieje positivo, en tanto la frontera superior se transforma en el semiejenegativo. Ademas, tenemos que

ϕ(x, 0) = ψ(x) =1

coshx=

2

ex + e−x=

2u

1 + u2≡ Ψ(u), si u ≥ 0

ϕ(x, π) = Ψ(u) = 0, si u < 0

Por lo tanto, en las nuevas variables obtenemos el siguiente problema:

∇2Φ = 0 en D′ : {v > 0} (6.169)

Φ(u, 0) =2u

1 + u2, ∀u ≥ 0

= 0 ∀u < 0


Sabemos que la solucion del problema en el semiplano viene dada por la formula de Poisson7:

Φ(u, v) =1

π

∫ ∞

−∞

v

(ξ − u)2 + v2Φ(ξ, 0)dξ =

1

π

∫ ∞

0

v

(ξ − u)2 + v2

2ξdξ

1 + ξ2(6.170)

La formula (5.114) nos permite calcular esta integral por la teorıa de residuos; tenemos que

∫ ∞

0

ξdξ

[(ξ − u)2 + v2](1 + ξ2)= − 1

2πIm

{4∑

k=1

Res

[z ln2 z

[(z − u)2 + v2](1 + z2), zk

]}

Los puntos singulares de la funcion

F (z) =z ln2 z

[(z − u)2 + v2](1 + z2)

son polos de primer orden en los puntos i, −i, u+ iv y u− iv. Por consiguiente tendremos

Res[F, i] =i ln2 i

2i[(i− u)2 + v2]= −π

2

8

1

u2 + v2 − 1− 2iu

Res[F,−i] =−i ln2(−i)

−2i[(−i− u)2 + v2]= −9π2

8

1

u2 + v2 − 1 + 2iu

Res[F, u+ iv] =(u+ iv) ln2(u+ iv)

2(u+ iv − u)(1 + (u+ iv)2)=

(u+ iv)[ln√u2 + v2 + i arctan v

u

]22iv[u2 − v2 + 1 + 2iuv]

y

Res[F, u− iv] =(u− iv)

[ln√u2 + v2 + i(π − arctan v

u)]2

−2iv[u2 − v2 + 1− 2iuv]

Si hacemos A =√u2 + v2 y Ψ = arctan v

uy realizamos las operaciones algebraicas pertinentes

obtenemos

Im{∑

Res[F, zk]}

=2π2u

(u2 + v2 − 1)2 + 4u2+

+1

4v2[(u2 − v2 + 1)2 + 4u2v2][−8πuv(u2 − v2 + 1)(π −Ψ) +

+8πv2(u2 − v2 + 1) lnA− 16πu2v2 lnA]

7Ver obra citada de Jose Marın Antuna.


de manera que

∫ ∞

0

ξdξ

[(ξ − u)2 + v2](1 + ξ2)= − πu

(u2 + v2 − 1)2 + 4u2+

+uv(u2 − v2 + 1)(π −Ψ)− v2(u2 − v2 + 1) lnA+ 2u2v2 lnA

v2[(u2 − v2 + 1)2 + 4u2v2]

Ası pues, regresando a la expresion (6.170) obtenemos que

Φ(u, v) = − 2uv

(u2 + v2 − 1)2 + 4u2+

+2

π

uv(u2 − v2 + 1)(π −Ψ)− v2(u2 − v2 + 1) lnA+ 2u2v2 lnA

v[(u2v2 + 1)2 + 4u2v2]

Regresando a las variables iniciales por medio de las formulas

u = ex cos y; v = ex sin y

y teniendo en cuenta que lnA = ln√u2 + v2 = ln ex = x, que Ψ = arctan v

u= arctan tan y = y

y con ayuda de conocidas formulas trigonometricas para el angulo duplo, se obtiene, despuesde sencillas operaciones, que la solucion buscada es

ϕ(x, y) =2

π

ex(π − y) cos y(e2x cos 2y + 1)

(e2x cos 2y + 1)2 + e4x sin2 2y−

− e2x sin 2y

(e2x − 1)2 + 4e2x cos2 y− 2

π

xex sin y(e2x cos 2y + 1)

(e2x cos 2y + 1)2 + e4x sin2 2y+

+1

π

xe3x sin2 2y

sin y[(e2x cos 2y + 1)2 + e4x sin2 2y](6.171)

No es difıcil comprobar que la funcion (6.171) satisface el problema (6.168). Efectivamente,

ϕ(x, 0) =2

π

exπ(e2x+ 1)

(e2x + 1)2− 0− 0 + 0 =

2ex

e2x + 1=

2

ex + e−x=

1

coshx

y

ϕ(x, π) = 0

El lector puede comprobar que, ademas, la funcion (6.171) satisface la ecuacion de Laplace, esdecir, es una funcion armonica.


6.6.3 Metodo del potencial complejo

El que tanto la parte real como la parte imaginaria de una funcion analıtica sean funcionesarmonicas en el plano, nos posibilita utilizar las funciones analıticas junto con las representa-ciones conformes que ellas realizan para resolver directamente problemas relacionados con laecuacion de Laplace en dominios bidimensionales arbitrarios. Esto nos lleva al concepto depotencial complejo, que analizaremos fundamentalmente en dos tipos generales de problemasque aparecen comunmente en la Fısica.

Movimiento plano estacionario de un lıquido

Veremos primero el movimiento plano estacionario de un lıquido ideal e incompresible. Comose sabe, en el movimiento estacionario de este tipo de lıquido en un dominio sin fuentes, elvector velocidad del lıquido v(x, y) satisface las ecuaciones

rot v = 0 (6.172)

div v = 0 (6.173)

Como el movimiento es potencial, existe una funcion escalar u(x, y) que recibe el nombre depotencial de velocidades, relacionada con el vector velocidad v por la expresion

v = grad u(x, y) (6.174)

es decir,

vx =∂u

∂x, vy =

∂u

∂y(6.175)

donde el vector velocidad v es perpendicular a las lıneas de nivel u(x, y) = constante delpotencial de velocidades en cada punto.

Sustituyendo (6.174) en (6.173) obtenemos

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (6.176)

es decir, que en este caso el potencial de velocidades es una funcion armonica. Construyamosuna funcion analıtica de variable compleja:

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)


para la cual el potencial u(x, y) del movimiento del lıquido considerado sea su parte real. Esevidente que esta funcion esta definida con exactitud de una constante aditiva; efectivamente, alser conocida solamente la parte real u(x, y), la parte imaginaria puede determinarse solamentemediante las condiciones de Cauchy-Riemann, es decir, solo puede establecerse el diferencialtotal de la parte imaginaria:

dv = vxdx+ vydy = −uydx+ uxdy (6.177)

De aquı que, integrando (6.177), la funcion v(x, y) queda determinada con exactitud de unaconstante de integracion.

Ademas, no es difıcil ver que las lıneas de nivel u(x, y) = constante y v(x, y) = constante sonortogonales entre sı , ya que los gradientes de las funciones son perpendiculares a las lıneas denivel y, en virtud de las condiciones de Cauchy-Riemann, tenemos que

grad u · grad v = uxvx + uyvy = −uxuy + uxuy ≡ 0 (6.178)

es decir, los gradientes son ortogonales entre sı y, por lo tanto, las lıneas de nivel son tambienortogonales entre sı.

Por consiguiente, el vector velocidad v en cada punto estara dirigido a lo largo de la tangentede la lınea de nivel v(x, y) = constante en dicho punto. La funcion v(x, y), que es la parteimaginaria de la funcion analıtica f(z) construida por nosotros, recibe el nombre de funcionde corriente y la funcion analıtica f(z) se de nomina potencial complejo del movimiento.

El dominio del flujo del lıquido acotado por dos lıneas de corriente v(x, y) = C1 y v(x, y) = C2

se llama tubo de corriente. Como la velocidad del lıquido en cualquier punto esta dirigida alo largo de la tangente a la lınea de corriente en dicho punto, en virtud de la incompresibilidaddel lıquido y del caracter estacionario del movimiento, la cantidad de lıquido que fluya en launidad de tiempo a traves de dos cortes transversales cualesquiera S1 y S2 del tubo de corrientees constante. Ası pues, la diferencia de las constantes C1 y C2 determina la perdida de lıquidoen el tubo de corriente dado.

De las condiciones de Cauchy-Riemann y las formulas (6.175) se deduce que las componentes dela velocidad pueden ser expresadas a traves de las derivadas parciales de la funcion de corriente:

vx =∂u

∂x=∂v

∂y; vy =

∂u

∂y= −∂v

∂x(6.179)

Como sabemos, un numero complejo w = vx + ivy puede interpretarse como un vector en elplano complejo con componentes vx y vy. Tiene lugar la evidente expresion

w = vx + ivy =∂u

∂x+ i

∂u

∂y=∂u

∂x− i

∂v

∂x=

d

dzf ∗(z) (6.180)


que relaciona al vector velocidad con la derivada del potencial complejo.

En hidrodinamica juegan un papel principal los conceptos de circulacion y flujo del vectorvelocidad; por eso daremos la expresion de estas magnitudes a traves del potencial complejo.

Consideremos una curva seccionalmente lisa C (abierta o cerrada) en el plano e introduzcamossobre ella los vectores diferenciales del arco ds y de la normal mediante las relaciones

ds = idx+ jdy (6.181)

dn = idy − jdx (6.182)

Tiene lugar la evidente relacion nds = dn donde n es la normal unitaria a la curva C y ds esel diferencial de longitud de arco de esta curva.

Al recorrer en sentido positivo la curva cerrada C, la formula (6.182) nos da la direccion de lanormal exterior.

Se llama flujo del vector velocidad v a traves de la curva C (abierta o cerrada) a laintegral curvilınea de la componente normal de dicha velocidad:

NC =

∫C

v · nds (6.183)

Evidentemente esta integral determina la cantidad de lıquido que pasa a traves de la curva Cen la unidad de tiempo. Escribamos la integral (6.183) de la siguiente forma:

NC =

∫C

v · nds =

∫C

vxdy − vydx =

∫C

∂u

∂xdy − ∂u

∂ydx =

∫C

∂v

∂xdx+

∂u

∂xdy (6.184)

Al determinar la fuerza de empuje que actua por parte del flujo de un lıquido sobre un cuerpoalrededor del cual el lıquido se mueve, tiene gran importancia el grado de turbulencia del flujo,el que se caracteriza por el valor de la circulacion. Se llama circulacion del vector de velocidada lo largo de la curva C a la integral curvilınea de la componente tangencial del vector velocidad:

ΓC =

∫C

v · ds (6.185)

Expresando la velocidad v a traves del potencial complejo obtenemos

ΓC =

∫C

v · ds =

∫C

vxdx+ vydy =

∫C

∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy =

∫C

∂u

∂xdx− ∂v

∂xdy (6.186)


Veamos ahora en el plano complejo la integral de la derivada del potencial complejo a lo largode la curva C:

∫C

f ′(z)dz =

∫C

∂u

∂xdx− ∂v

∂xdy + i

∫C

∂v

∂xdx+

∂u

∂xdy (6.187)

Comparando las formulas (6.184), (6.186) y (6.187) obtenemos la formula

∫C

f ′(z)dz = ΓC + iNC (6.188)

Esta formula, que expresa la circulacion y el flujo del vector velocidad a traves de la derivadadel potencial complejo, tiene innumerables aplicaciones en la hidrodinamica. Hagamos notarque si el dominio D en el que analizamos el movimiento es simplemente conexo, la integral(6.188) por cualquier curva cerrada C contenida en el dominio D es cero en virtud del teoremade Cauchy. En el caso de un movimiento en un dominio multiconexo, la integral por la curvacerrada contenida en dicho dominio puede ser diferente de cero. Esto tendra lugar cuando dentrode la curva C se encuentre un dominio D′, no perteneciente a D, en el que existan fuentes ypuntos de turbulencia del flujo analizado. En dicho dominio, evidentemente, no se cumplen lasecuaciones (6.172) y (6.173). Como caso particular, el dominio D′ puede estar compuesto porpuntos aislados, que seran puntos singulares aislados de la funcion f(z), potencial complejo delmovimiento.

Ası pues, cualquier flujo potencial en un plano dentro de un dominio en el que no existanfuentes ni puntos de turbulencia, puede ser descrito con ayuda de un potencial complejo, quees una funcion analıtica de variable compleja. De ahı que, para el estudio de este tipo de flujospuede ser utilizado todo el aparato de la teorıa de funciones analıticas.

Ejemplos

A continuacion analizaremos una serie de ejemplos de flujos sencillos descritos por funcioneselementales de variable compleja.

1. Sea el potencial complejo del tipo

f(z) = az (6.189)

donde a = a1 + ia2 es un numero complejo dado. Entonces

u(x, y) = a1x− a2y; v(x, y) = a2x+ a1y

y las lıneas de corriente v(x, y) = C son rectas cuyas pendientes con el eje x se determinanpor la expresion tanα = −a2

a1. La formula (6.180) nos da

w = vx + ivy =d

dzf ∗(z) = a∗ = a1 − ia2 (6.190)


de donde se deduce que la velocidad del flujo es constante y que la direccion del vectorvelocidad coincide con las rectas v(x, y) = C. Ası pues, la funcion (6.189) determina unmovimiento paralelo del lıquido en el plano.


f(z) = a ln z (6.191)

donde a es un numero real. Entonces, usando la forma exponencial para la variablecompleja z = reiϕ obtenemos la expresion del potencial y de la funcion de corriente encoordenadas polares

u(r, ϕ) = a ln r; v(r, ϕ) = aϕ

De lo anterior se deduce que las lıneas de corriente son rayos que parten del origen decoordenadas y las lıneas equipotenciales son circunferencias con centro en el origen decoordenadas. En este caso el valor absoluto de la velocidad sera

|w| = |f ′(z)| = |a||z|

=|a|r

(6.192)

y el vector velocidad estara dirigido a lo largo del rayo ϕ = constante. De la expresion(6.192) se deduce que en el origen de coordenadas la velocidad se hace infinita. El puntoz = 0 es un punto singular de la funcion f(z) y es en este caso la fuente de movimientodel lıquido (fuente positiva, si a > 0, cuando la velocidad esta dirigida del origen decoordenadas hacia el infinito y fuente negativa o sumidero, si a < 0, cuando la velocidadesta dirigida hacia el origen de coordenadas). Tomando un contorno C arbitrario queenvuelva al punto z = 0 y utilizando la formula (6.188) tendremos∫

C

f ′(z)dz =

∫C

a

zdz = 2πia = ΓC + iNC

De lo anterior se obtiene que NC = 2πa. Por lo tanto, en este caso el flujo del lıquido atraves de cualquier contorno cerrado que contenga en su interior a la fuente es constantee igual a 2πa. Esta magnitud recibe el nombre de potencia de la fuente.

3. Sea el potencial complejo

f(z) = ia ln z (6.193)

donde a es un numero real. En este caso las lıneas de corriente son circunferenciasconcentricas con centro en el origen de coordenadas. De la formula (6.188), al igual queen el caso anterior, se obtiene NC = 0, ΓC = −2πa. El punto z = 0 en este caso recibe elnombre de punto de turbulencia del flujo.


f(z) = a ln(z + h)− a ln(z − h) (6.194)


donde a es un numero real positivo y h es cierta constante compleja. De acuerdo con loanterior este potencial describe un flujo con una fuente en el punto z = −h y un sumideroen el punto z = h y la potencia de la fuente y del sumidero es la misma e igual a 2πa.Escribamos (6.194) en la forma

f(z) = 2ahln(z + h)− ln(z − h)

2h

y tomemos el lımite cuando h → 0, considerando que la potencia de la fuente y delsumidero crece de forma tal que la magnitud m = a2h se mantiene constante. Comoresultado obtenemos

f0(z) =m

z(6.195)

La funcion (6.195) representa el potencial complejo de un dipolo de potencia m que seencuentra en el origen de coordenadas. Las lıneas de corriente del dipolo se determinan,evidentemente, mediante las ecuaciones

− my

x2 + y2= C

es decir

C(x2 + y2) +my = 0 (6.196)

o sea, son circunferencias con centros sobre el eje y y tangentes al eje x en el origen decoordenadas. Aquı el valor absoluto de la velocidad:

|w| = m

|z|2=

m

x2 + y2(6.197)

tiende a cero en el infinito.

5. Analicemos el flujo cuyo potencial complejo tiene la forma

f(z) = v∞z +m

z(6.198)

donde v∞ y m son numeros reales y positivos.

Es evidente que este flujo es la superposicion de un flujo paralelo con velocidad v∞ paralelaal eje x y un flujo provocado por un dipolo de potencia m colocado en el origen decoordenadas. Las lıneas de corriente de este flujo se determinan mediante las ecuaciones

v∞y −my

x2 + y2= C (6.199)

Al valor C = 0 le corresponde una lınea de corriente cuya ecuacion es

y

(v∞ −

m

x2 + y2

)= 0


Ella se descompone en la recta y = 0 y en la circunferencia x2 + y2 = a2, donde a2 = mv∞

.

Como

f ′(z) = v∞ −m

z2= v∞

(1− a2

z2

)(6.200)

tendremos que en el infinito la velocidad del flujo es igual a v∞ y esta dirigida a lo largodel eje x. En los puntos de la circunferencia x2 + y2 = a2 que es una lınea de corriente,la velocidad esta dirigida a lo largo de la tangente a dicha circunferencia. Para el valorabsoluto de la velocidad sobre los puntos de la circunferencia z = aeiϕ de las formulas(6.180) y (6.200) se obtiene

|w|||z|=a =

∣∣∣∣ ddzf ∗(z)∣∣∣∣ ||z|=a = v∞

∣∣1− e2iϕ∣∣ = 2v∞| sinϕ| (6.201)

En los ejemplos hasta aquı analizados hemos determinado las caracterısticas hidrodinami-cas del flujo a partir del potencial complejo dado. Pasaremos a la resolucion del problemaen cierta forma contrario, es decir, del problema sobre la determinacion del potencialcomplejo del flujo a partir de sus caracterısticas hidrodinamicas. Hagamos notar quecomo la velocidad fısica del flujo se expresa a traves de la derivada del potencial complejo(ver (6.180)), el potencial complejo en cuestion para el flujo dado no se determina de formaunıvoca. Sin embargo, su derivada es una funcion analıtica univaluada. Esto significaque en el entorno de cualquier punto regular del flujo tiene lugar el desarrollo

f ′(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (6.202)

y en el entorno de un punto singular aislado tiene lugar el desarrollo

f ′(z) =∞∑−∞

bn(z − z0)n (6.203)

De la formula (6.203) obtenemos para el potencial complejo en el entorno del puntosingular z0 el desarrollo

f(z) = b−1 ln(z − z0) +∞∑n=0

cn(z − z0)n (6.204)

En particular, si el punto infinitamente alejado pertenece al dominio del flujo y la veloci-dad compleja

w∞ = (vx)∞ + i(vy)∞

del flujo es acotada en este punto, entonces el desarrollo del potencial complejo en elentorno del punto infinitamente alejado tiene la forma


f(z) = w∗∞z + b−1 ln z +

∞∑n=0

cnzn

(6.205)

De aquı obtenemos ∫CR

f ′(z)dz = 2πib−1 (6.206)

donde CR es la circunferencia |z| = R de radio R suficientemente grande como para quefuera de ella no existan puntos singulares de la funcion f(z), con excepcion del puntoinfinitamente alejado. Por otro lado, en virtud de la formula (6.188), la integral (6.206)determina el flujo y la circulacion del vector velocidad a traves de la curva CR. Comola velocidad en el punto infinitamente alejado es acotada, dicho punto no constituye unafuente, por lo que el flujo del vector velocidad a traves de la curva CR es nulo y la formula(6.206) nos da

2πib−1 = Γ∞

Ası pues, el desarrollo del potencial complejo en el entorno del punto infinitamente alejadoque no constituye un punto singular del flujo es

f(z) = w∗∞z +

Γ∞2πi

ln z +∞∑n=0

cnzn

(6.207)

Veamos ahora el problema sobre el flujo alrededor de un contorno cerrado. Sea un flujoque tiene en el infinito una velocidad dada w∞ y una circulacion Γ∞ y supongamos quedicho flujo envuelve a un cuerpo S delimitado por un contorno cerrado C.

Se desea determinar la velocidad en cualquier punto del flujo a partir de las caracterısticashidrodinamicas dadas en el infinito, bajo la condicion de que en los puntos del contornoC la velocidad del flujo esta dirigida a lo largo de la tangente al contorno C. Esta ultimacondicion significa que la curva C constituye una lınea de corriente del flujo considerado,es decir, que la parte imaginaria del potencial complejo que describe al flujo en cuestiondebe conservar un valor constante sobre la curva:

v(x, y)|C = constante (6.208)

El problema se reduce a determinar, mediante (6.207), fuera del contorno C, en el planocomplejo, la funcion analıtica f(z), de la que estan dados los valores w∗

∞ y Γ∞ y talque se cumpla sobre el contorno C la condicion (6.208). Como el potencial complejo sedetermina con exactitud de una constante aditiva, el valor de la constante en la condicion(6.208) puede tomarse igual a cero.

Comencemos por el problema del flujo alrededor de un cilindro circular de radio R ycentro en el origen de coordenadas. Sea v∞ la velocidad del flujo en el infinito y dirigidaparalelamente al eje x y sea nula la circulacion, Γ∞ = 0. Debemos hallar el potencialcomplejo cuyo desarrollo en el entorno del punto infinitamente alejado tiene la forma


f(z) = v∞z +∞∑n=0

cnzn

(6.209)

y cuya parte imaginaria se hace cero para |z| = R. En el ejemplo 5 de potencialescomplejos ya analizamos el potencial complejo de este tipo; por lo tanto, la solucion delproblema en cuestion tiene la forma

f(z) = v∞

(z +

R2

z

)(6.210)

Aquı la velocidad en los puntos que estan sobre el cilindro analizado se determina porla formula (6.201), de donde se deduce que dicha velocidad se hace cero en dos puntoscrıticos: en el punto z = −R, en el que la lınea de corriente y = 0 se desdobla en doslıneas de corriente que coinciden con las semicircunferencias superior e inferior |z| = R,y el punto z = R en el que estas lıneas de corriente convergen de nuevo a la recta y = 0.Estos puntos reciben el nombre de punto de escurrencia y punto de convergenciarespectivamente. Debe destacarse que si la velocidad del flujo en el infinito no es paralelaal eje x, sino que tiene la forma w∞ = v∞e

iϕ0 , entonces con la ayuda de la transformacionζ = zeiϕ0 obtenemos en el plano ζ el problema que acabamos de analizar. Entonces parala solucion del problema inicial se obtiene la expresion

f(z) = w∗∞z +

w∞R2

z(6.211)

Supongamos ahora que la circulacion Γ∞ no es nula. Segun vimos anteriormente (verejemplo 3 de potenciales complejos), las lıneas de corriente en el flujo con potencialcomplejo ia ln z (donde a es un numero real) son circunferencias concentricas con centroen el origen de coordenadas. Por ello, el potencial complejo del flujo que envuelva a uncilindro circular de radio R con velocidad dada v∞ en el infinito y circulacion dada Γ∞,tiene la forma

f(z) = v∞

(z +

R2

z

)+

Γ∞2πi

ln z (6.212)

Hallemos los puntos crıticos del flujo, en los que la velocidad del mismo se hace cero. Envirtud de la formula (6.180) tenemos

w∗ = f ′(z) = v∞

(1− R2

z2

)+

Γ∞2πiz

= 0

De aquı

z2 +Γ∞

2πiv∞z −R2 = 0 (6.213)

y


zcr = iΓ∞

4πv∞±

√R2 − Γ2

∞16π2v2

∞(6.214)

Para R ≥∣∣∣ Γ∞4πv∞

∣∣∣ la expresion bajo el radical en (6.214) es positiva. Por consiguiente,

|zcr| =

√R2 − Γ2

∞16π2v2

∞+

Γ2∞

16π2v2∞

= R

es decir, ambos puntos crıticos se encuentran sobre la circunferencia |z| = R del cilindro encuestion y se cumple que si Γ∞ > 0 (v∞ > 0) ambos puntos se encuentran sobre la semicir-cunferencia superior y si Γ∞ < 0 (v∞ > 0), se encuentran sobre la semicircunferenciainferior. Ası pues, la existencia de la circulacion acerca los puntos de escurrencia yconvergencia de las lıneas de corriente (Fig. 6.43)

Figura 6.43: Flujo alrededor de un cilindro si Γ∞4πv∞

< R.

Para el caso en que∣∣∣ Γ∞4πv∞

∣∣∣ = R ambos puntos crıticos coinciden (con el punto z = i si

Γ∞ > 0, o con el punto z = −i si Γ∞ < 0). Por ultimo, para el caso en que∣∣∣ Γ∞4πv∞

∣∣∣ > R


en el dominio |z| > R queda solamente un punto crıtico que esta sobre el eje imaginarioy. (Como se deduce de la ecuacion (6.213) el producto de las raıces de esta ecuacioon esigual a −R2; por lo tanto el segundo punto crıtico se encuentra dentro de la circunferencia|z| = R).

A traves de este punto pasa la lınea de corriente que separa a las lıneas de corrientecerradas de las lıneas de corriente abiertas (Fig. 6.44).

Figura 6.44: Flujo alrededor de un cilindro si Γ∞4πv∞

> R.

Los resultados obtenidos permiten, en principio, resolver el problema sobre el flujo alrede-dor de un contorno cerrado arbitrario C. Efectivamente, sea ζ = φ(z) la funcion que rea-liza la representacion conforme del dominio D del plano complejo z exterior al contornoC en el dominio D′ del plano ζ exterior a la circunferencia unitaria |ζ| = 1, de manera queφ(∞) = ∞. Entonces es evidente que el problema en cuestion resulta equivalente al pro-blema del flujo alrededor de un cilindro circular de radio unitario y puede ser facilmentedeterminada la velocidad del flujo en el infinito, la cual, en general, no varıa. El potencialcomplejo f(z) del flujo inicial ante la transformacion conforme planteada se transformaen la funcion F (ζ) = f [z(ζ)], de manera que mediante la formula (6.180) hallamos


W ∗∞ =

dF

dζ|ζ=∞ =

df

dz|z=∞

dz

dζ|ζ=∞ = w∞

dz

dζ|ζ=∞

y

W∞ = w∞dz∗

dζ|ζ=∞

En virtud de las formulas (6.211) y (6.212) la solucion del problema transformado adoptala forma

F (ζ) = W ∗∞ +

W∞

ζ+

Γ∞2πi

ln ζ

De aquı que para la solucion del problema inicial obtengamos la expresion

f(z) = F [ζ(z)] = w∗∞dz

dζ|ζ=∞φ(z) +

w∞dz∗

dζ|ζ=∞

φ(z)+

Γ∞2πi

lnφ(z) (6.215)

En calidad de ejemplo veamos el flujo sin circulacion alrededor de una placa finita porun flujo laminar de un lıquido. Supongamos que el plano (x, y) corta a la placa en elsegmento −a ≤ x ≤ a y que el vector velocidad del flujo esta sobre el plano (x, y) y enel infinito tiene un valor dado w∞. Segun vimos anteriormente (ver seccion 7.4 sobre losperfiles de Joukovsky) la funcion

z =a

2

(ζ +

1

ζ

)= ψ(ζ) (6.216)

realiza la representacion conforme del exterior de un cırculo unitario del plano ζ en el planoz cortado en el segmento −a ≤ x ≤ a y se cumple que ψ(∞) = ∞ y que dz

dζ|ζ=∞ = a

2. Por

consiguiente, el problema planteado es equivalente al problema del flujo sin circulacionalrededor de un cilindro circular de radio unitario en el plano ζ. Dicho flujo tiene enel infinito una velocidad compleja W∞ = a

2w∞. El potencial complejo de este ultimo

problema tiene la forma

F (ζ) =a

2

(w∗∞ζ +

w∞ζ

)Sustituyamos ζ y 1

ζpor las expresiones obtenidas en (6.216)

ζ =z +

√z2 − a2

a;

1

ζ=z −

√z2 − a2

a

donde√z2 − a2 > 0 para z = x > a.

Separemos w∞ en sus partes real e imaginaria:

w∞ = (vx)∞ + i(vy)∞


Entonces para el potencial complejo del problema inicial obtenemos la expresion final

f(z) = (vx)∞z − i(vy)∞√z2 − a2 (6.217)

Finalmente, hallemos la fuerza con que el flujo que rodea al cuerpo actua sobre este. Lafuerza de presion que actua sobre el elemento de arco ds del contorno C es proporcional ala presion hidrodinamica p en el punto correspondiente del flujo y esta dirigida a lo largode la normal interior −dn = −idy + jdx. Por consiguiente, para las componentes de lafuerza que actua sobre el contorno C obtenemos las expresiones

Rx = −∫C

pdy; Ry = −∫C

pdx

Determinando la presion hidrodinamica p de la integral de Bernoulli:

p = A− ρv2

2

donde A es una constante y ρ es la densidad del lıquido, e introduciendo la magnitudcompleja R = Ry + iRx, obtenemos

R = −ρ2

∫C

v2(dx− idy) = −ρ2

∫C

v2dz∗ (6.218)

La integral de la constante A por el contorno cerrado C evidentemente es igual a cero.

Transformemos la integral (6.218). Como en los puntos del contorno C la velocidadesta dirigida a lo largo de la tangente del contorno, la velocidad compleja del flujo w estarelacionada con la magnitud de la velocidad fısica v mediante la expresion w = veiϕ dondeϕ es el angulo entre la tangente al contorno y el eje x. Entonces la formula (6.180) nosda ve−iϕ = f ′(z). Por otro lado dz∗ = dse−iϕ. Por consiguiente, v2dz∗ = v2e−i2ϕdse−iϕ =f ′2dz y la formula (6.218) toma la forma

R = −ρ2

∫C

f ′2(z)dz (6.219)

Esta formula, que expresa la fuerza con que el flujo que rodea al cuerpo actua sobreeste a traves de la derivada del potencial complejo, recibe el nombre de formula deChapliguin. De la expresion (6.207) para el potencial complejo fuera del cuerpo rodeadoobtenemos

f ′(z) = w∗∞ +

Γ∞2πi

1

z+

∞∑n=2

c′nzn

f ′2(z) =w∗∞πi

Γ∞2πi

+ w∗2∞ +

∞∑n=2

bnzn

Por consiguiente


∫C

f ′2(z)dz = 2w∗∞Γ∞

Sustituyendo estas expresion en la formula (6.219) y separando la parte real y la parteimaginaria hallamos

Rx = ρ(vy)∞Γ∞; Ry = −ρ(vx)∞Γ∞ (6.220)

de donde

|R| = ρ|v∞| · |Γ∞| (6.221)

La formula (6.221) recibe el nombre de teorema de la fuerza de empuje (Joukovsky,1904). La direccion de esta fuerza se obtiene mediante el giro del vector v∞ en un angulorecto en el sentido contrario a la circulacion.

De los ejemplos expuestos se infiere el importante papel que jugaron y juegan los metodos dela teorıa de funciones de variable compleja en el desarrollo de la hidro y aerodinamica y en lateorıa de la construccion de aviones.

Campo electrostatico plano

Los metodos de la teorıa de funciones de variable compleja utilizados anteriormente para elestudio del flujo potencial laminar de un lıquido ideal pueden ser aplicados de forma similarpara analizar cualquier otro campo vectorial plano de otra naturaleza fısica. Veremos ahora laaplicacion de los metodos estudiados a la solucion de algunos problemas de la electrostatica.

Los problemas electrostaticos consisten en determinar el campo electrico estacionario creadoen un medio por determinada distribucion de cargas. En dependencia del planteamiento delproblema fısico concreto, se dan la densidad de distribucion de cargas como funcion de lascoordenadas, o la carga total distribuida sobre la superficie de un conductor ideal. En esteultimo caso el fin principal de la investigacion consiste en determinar la densidad de distribucionde las cargas en la superficie del conductor.

Para obtener las ecuaciones fundamentales del vector de densidad de campo electrostaticopartiremos del sistema general de ecuaciones de Maxwell en un medio isotropo:

rotH =1

c

∂D

∂t+

4π

cj; rotE = −1

c

∂B

∂t

divD = −4πρ; divB = 0

D = εE; B = µH


En el caso de un campo electromagnetico estacionario las ecuaciones de Maxwell para el vectorE de intensidad de campo electrico en un medio homogeneo toman la forma

rotE = 0; divE =4π

ερ (6.222)

donde ε es la constante dielectrica del medio y ρ es la densidad de las cargas estaticas que creanel campo en cuestion.

En lo adelante consideraremos ε ≡ 1 y analizaremos el problema bidimensional, cuando lascargas que crean el campo estan distribuidas en el espacio de forma tal que su densidad dedistribucion es independiente de una de las coordenadas (por ejemplo, de la coordenada z),de manera que es funcion solamente de las otras dos coordenadas, es decir, ρ = ρ(x, y). Esevidente que entonces el vector E tiene solamente dos componentes diferentes de cero, las quetambien son solamente funcion de las coordenadas x, y:

E(x, y) = iEx(x, y) + jEy(x, y) (6.223)

En virtud de la primera de las ecuaciones (6.222), el campo E es potencial

E(x, y) = −grad v(x, y); Ex = −∂v∂x

; Ey = −∂v∂y

(6.224)

donde la funcion v(x, y) en virtud de la segunda de las ecuaciones (6.222) satisface la ecuacionde Poisson:

∇2v = −4πρ (6.225)

De (6.225) se desprende que en el dominio libre de cargas la funcion potencial v(x, y) es unafuncion armonica. Por ello en dicho dominio puede construirse la funcion analıtica de variablecompleja

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (6.226)

para la cual la funcion potencial v(x, y) del campo electrostatico analizado constituye su parteimaginaria.

La funcion (6.226) se denomina potencial complejo del campo electrostatico. Las lıneas denivel v(x, y) = C se llaman lıneas equipotenciales del campo en cuestion. De las formulas (6.224)se deduce que el vector de intensidad E en cada punto de la lınea equipotencial v(x, y) = Cesta dirigido a lo largo de la normal a dicha lınea. Ademas, como las lıneas v(x, y) = C yu(x, y) = C son ortogonales entre sı, la direccion del vector E coincide con la tangente a lalınea u(x, y) = C en cada punto de dicha lınea. Por eso las lıneas u(x, y) = C constituyen laslıneas de fuerza del campo en cuestion.


Pongamos al vector E en correspondencia con el numero w = Ex + iEy. Entonces en virtud de(6.224) y de las condiciones de Cauchy-Riemann obtenemos

w = Ex + iEy = −∂v∂x

− i∂v

∂y= −∂v

∂x− i

∂u

∂x= −i

(∂u

∂x− i

∂v

∂x

)= −i d

dzf ∗(z) (6.227)

de donde

|E| = |f ′(z)| (6.228)

Las formulas (6.227) y (6.228) nos dan la expresion de las componentes del vector de intensidaddel campo electrostatico en el dominio libre de cargas a traves de la derivada del potencialcomplejo.

Supongamos que las cargas que crean el campo electrostatico en cuestion estan contenidas encierto dominio limitado por una curva cerrada C0.

8 Entonces la integral por cualquier contornocerrado C, que contenga en su interior a C0, de la componente normal de la intensidad delcampo electrico, de acuerdo con el teorema de Gauss, es igual a la carga total (referida a launidad de longitud del cilindro en el que estan distribuidas las cargas en el espacio):

∫C

Ends = 4πe (6.229)

En virtud de las formulas (6.224), (6.181) y (6.182) y teniendo en cuenta las condiciones deCauchy-Riemann, se obtiene

∫C

Ends =

∫C

∂u

∂xdx− ∂v

∂xdy

Como el campo electrostatico es potencial en todos los puntos, la circulacion de este a lo largode cualquier contorno cerrado es nula, es decir,

∫C

Ends = −∫C

∂v

∂xdx+

∂u

∂xdy = 0

Analicemos ahora la integral por el contorno cerrado C de la derivada del potencial complejo:

∫C

f ′(z)dz =

∫C

∂u

∂xdx− ∂v

∂xdy + i

∫C

∂v

∂xdx+

∂u

∂xdy (6.230)

8Esto significa que en el espacio las cargas estan distribuidas dentro de un cilindro infinito para el que la curvaC0 es el contorno de su corte transversal y donde la distribucion de cargas es independiente de la coordenadaz dirigida a lo largo del eje del cilindro, por lo que es solamente funcion de las coordenadas x, y en el cortetransversal.


Comparando las formulas arriba obtenidas concluimos que

∫C

f ′(z)dz =

∫C

Ends = 4πe (6.231)

es decir, la carga contenida dentro de un dominio limitado por un contorno C sedetermina mediante la integral por dicho contorno de la derivada del potencialcomplejo del campo electrostatico creado por la distribucion de cargas dada. Si C0

constituye el contorno del corte transversal de un cilindro conductor ideal, entonces toda lacarga esta concentrada en la superficie del cilindro; la densidad superficial de carga viene dadapor σ(s) y se cumple que

∫C0

σ(s)ds = e (6.232)

Como se sabe de los cursos de electricidad, tiene lugar la siguiente relacion

σ(s) =1

4πEn|C0 = − 1

4π(grad v)n|C0 (6.233)

Por otro lado, de (6.227) y (6.233) obtenemos

σ(s) = ± 1

4π|f ′(z)|C0 (6.234)

El signo de la formula (6.234) se determina por el signo de la carga total e distribuida sobrela superficie del conductor ideal en cuestion. La formula (6.234) tiene multitud de aplicacionesen la resolucion de distintos problemas de electrostatica.

Por ultimo destaquemos que, al igual que en los problemas hidrodinamicos, la derivada delpotencial complejo f ′(z) en virtud de (6.227) es una funcion analıtica univaluada de la variablez. Si la intensidad del campo electrostatico dado es acotada en el infinito, entonces el desarrollode f ′(z) en el entorno del punto z = ∞ tiene la forma

f ′(z) = w∞ +∞∑n=1

bnzn

De aquı que para el potencial complejo se obtenga el desarrollo

f(z) = w∞z + C0 + b1 ln z +∞∑n=1

cnzn

(6.235)

Como sabemos que


b1 =1

2πi

∫CR

f ′(z)dz

donde el contorno CR contiene en su interior todas las cargas que crea al campo, podemos,basados en (6.231), obtener la expresion final del desarrollo del potencial complejo en el entornodel punto z = ∞, que toma la forma

f(z) = w∞ − i2e ln z +∞∑n=0

cnzn

(6.236)

Como vemos, el potencial complejo del campo electrostatico tiene mucho en comun con elpotencial complejo hidrodinamico.9 Por ello el analisis del campo electrostatico bidimensionalcon ayuda del potencial complejo puede realizarse por medio de los mismos metodos utilizadosen la resolucion de problemas hidrodinamicos. Ası, todos los ejemplos de flujos analizados enaquella ocasion pueden tener una interpretacion electrostatica sencilla.

Por ejemplo, veamos el campo electrostatico descrito por el potencial complejo

f(z) = −i2e ln z; e > 0 (6.237)

Introduciendo las coordenadas polares r, ϕ y teniendo en cuenta que z = reiϕ obtenemos

v(r, ϕ) = −2e ln |z| = 2e ln1

r; u(r, ϕ) = 2e arg z = 2eϕ

De aquı se desprende que las superficies equipotenciales del campo en cuestion son circunfe-rencias concentricas con centro en el origen de coordenadas y las lıneas de fuerza son los rayosϕ = constante. El vector E en cada punto z 6= 0 esta dirigido a lo largo del rayo ϕ = constantey su valor absoluto por la formula (6.228) es

|E| = |f ′(z)| = 2e

r

Como la integral por cualquier circunferencia |z| = r de la componente normal de la intensidaddel campo en cuestion tiene un valor constante igual a 4πe, es evidente que este campo es creadopor una carga puntual de magnitud e colocada en el origen de coordenadas (en el espacio lascargas que crean al campo en cuestion estan distribuidas con densidad constante e a lo largode la recta perpendicular al plano x, y que pasa por el origen de coordenadas).

9Es evidente que el hecho de que la funcion potencial en electrostatica sea la parte imaginaria del potencialcomplejo, en tanto que en hidrodinamica el potencial de velocidades es la parte real del potencial complejo,constituye una diferencia no sustancial que puede ser evitada introduciendo un factor igual a i. Sin embargo,nos atenemos a la terminologıa establecida, en la que tiene lugar la diferencia senalada.


Veamos algunos problemas tipos de electrostatica que pueden ser resueltos con ayuda del po-tencial complejo.

1. Determinacion de la densidad de distribucion en un conductor ideal.

Supongamos que la superficie longitudinal de un conductor ideal es un cilindro infinitocuyo corte transversal esta limitado por el contorno C. Supongamos que la densidad dedistribucion de carga es constante a lo largo de las generatrices del cilindro y que en launidad de longitud del cilindro se tiene una carga e. Se quiere determinar la densidadsuperficial de carga σ(s) en el contorno C del corte transversal.

Evidentemente la solucion de este problema viene dada por la formula (6.234). Ası pues,el problema se reduce a construir el potencial complejo f(z) que sea una funcion analıticafuera del contorno C bajo la condicion de que la parte imaginaria de f(z) tenga un valorconstante sobre el contorno C; en el entorno del punto z = ∞ el desarrollo de f(z) vienedado por la formula (6.236), donde w∞ = 0 y el coeficiente e es igual a la carga que setiene en la unidad de longitud del conductor.

Comencemos por el caso mas sencillo: cuando el conductor es un cilindro circular deradio unitario. Arriba vimos que las lıneas equipotenciales del potencial complejo (6.237)son circunferencias concentricas con centro en el origen de coordenadas. Por eso, parasatisfacer la condicion sobre la frontera del conductor es logico buscar el potencial delcampo en cuestion en la forma

f(z) = −iC ln z

donde C es una constante por determinar.

De la condicion en el infinito (6.236) obtenemos C = 2e. Entonces la formula (6.234) nosda el resultado evidente

σ(s) =e

2π

Si el contorno del corte transversal es una curva arbitraria C, entonces, realizando median-te la funcion ζ = ϕ(z) la representacion conforme del dominio exterior al contorno C enel exterior del cırculo unitario |ζ| > 1 de forma tal que satisfaga la condicion ϕ(∞) = ∞,podemos reducir el problema al que acabamos de resolver. De esta manera el potencialcomplejo tendra la forma

f(z) = −i2e lnϕ(z) (6.238)

y para la densidad de las cargas superficiales, de acuerdo con (6.234), obtenemos laexpresion

σ(s) =1

4π|f ′(z)|C =

e

2π

∣∣∣∣ 1

ϕ(z)

dζ

dz

∣∣∣∣C

=e

2π

∣∣∣∣dζdz∣∣∣∣C

=e

2π

∣∣∣∣dzdζ∣∣∣∣−1

|ζ|=1

(6.239)


En calidad de ejemplo veamos el problema sobre la determinacion de la densidad decarga en una franja de ancho 2a. Supongamos que dicha faja corta al plano x, y segun elsegmento −a < x < a. La funcion

z =a

2

(ζ +

1

ζ

)realiza la representacion conforme del exterior del cırculo unitario del plano ζ en el planoz complejo segun el segmento −a < x < a del eje real. Por ello la formula (6.239) nos da

σ(x) =e

2π

∣∣∣∣dzdζ∣∣∣∣−1

|ζ|=1

=e

aπ

1

|ζ2 − 1||ζ|=1

(6.240)

Como

ζ =z +

√z2 − a2

a

y

ζ2 − 1 =2

a2

(z2 − a2 +

√z2 − a2

)=

2√z2 − a2

a2

(z +

√z2 − a2

)La formula (6.240) nos da

σ(x) =ea

2π

1√a2 − x2

· 1

|x+ i√a2 − x2|−a<x<a

=e

2π

1√a2 − x2

(6.241)

Es necesario destacar que la densidad de carga crece indefinidamente al acercarnos a losbordes de la placa. Este hecho tiene un sentido fısico sencillo: el borde de la placa tienecurvatura infinita y para cargarlo hasta determinado potencial es necesario colocar en eluna carga infinita. El hecho de la indeterminacion de la densidad de carga en el borde deuna placa recibe el nombre de condicion de Meissner en algunas obras en las que seestudian los problemas referentes a la difraccion en el borde de una pantalla.

2. Determinacion del campo de un condensador plano infinito.

Supongamos que se desea hallar el campo electrostatico entre dos superficies cilındricasconductoras ideales que no se cortan y cuyas generatrices son paralelas entre sı (Fig.6.45).

En este caso el problema consiste en determinar en el dominio D el potencial complejof(z), que es una funcion analıtica cuya parte imaginaria toma valores constantes v1 yv2 sobre las curvas C1 y C2. Es evidente que la funcion analıtica w = f(z) realiza larepresentacion conforme del dominio dado D en una franja, en el plano w, limitada porlas rectas Imw = v1, Imw = v2. Por consiguiente, para resolver el problema en cuestiones suficiente construir la representacion conforme senalada.

En calidad de ejemplo busquemos el campo en el condensador representado en la figura6.46, si los valores del potencial sobre las curvas C1 y C2 respectivamente son 0 y 1.Primero hallemos la funcion z = ϕ(z) que realiza la representacion conforme del semiplanosuperior Im ζ > 0 en el dominio dado D de la figura 6.46


Figura 6.45: Condensador plano infinito.

Como dicho dominio es un triaguloA1A2A3 (los vertices A1 y A2 estan en el infinito),la representacion en cuestion puede obtenerse con la ayuda de la integral de Schwarz-Christoffel (seccion 7.5 de este mismo capıtulo). Tomemos la siguiente correspondenciaentre los puntos del eje real del plano ζ y los vertices del triangulo:

A1 → ζ = 0, A2 → ζ = ∞ A3 → ζ = −1

Como los angulos en los vertices del triangulo son, respectivamente, πα1 = 0, πα2 = −παy πα3 = π(1 + α), la integral buscada debe tener la forma

z = A

∫ ζ

ζ0

ζ−1(1 + ζ)αdζ +B (6.242)

De la correspondencia entre los puntos A3(z = ih) y ζ = −1 se deduce que para ζ0 = −1obtenemos

z = A

∫ ζ

−1

(1 + ζ)α

ζ

d

ζ + ih (6.243)


Figura 6.46: Condensador del ejemplo propuesto.

Pare determinar la constante A debemos tener en cuenta que al bordear al punto ζ = 0por el semiplano superior a lo largo de una semicircunferencia de radio infinitamentepequeno ρ en sentido contrario a las manecillas del reloj, se obtiene en la representacionel paso del lado A2A1 al lado A1A3 del triangulo y, por tanto, se obtiene un incrementode z igual a

∆z = ih

Por otro lado, de (6.243) y si hacemos ζ = ρeiϕ y tomamos el lımite para ρ→ 0 obtenemos

∆z = iA limρ→0

∫ π

0

(1 + ρeiϕ)αdϕ = iπA

De aquı A = hπ

y, por lo tanto, la expresion final para la integral (6.243) resulta ser

z =h

π

∫ ζ

−1

(1 + ζ)α

ζdζ + ih


La funcion ζ = eπw realiza la representacion conforme de la franja 0 < Imw < 1 delplano w en el dominio D del plano z en el semiplano superior de ζ. Por consiguiente, lafuncion

z =h

π

∫ eπw

−1

(1 + ζ)α

ζdζ + ih (6.244)

realiza la representacion conforme de la franja 0 < Imw < 1 del plano w en el dominioD del plano z de la figura 6.46 y la recta Imw = 0 se transforma en la placa inferiordel condensador A1A2 y la recta Imw = 1, en la placa superior formada por la lıneaquebrada A2A3A1. De la formula (6.244), para v = Imw = constante, obtenemos lasecuaciones parametricas de las lıneas potenciales del campo electrostatico en cuestion.Por ejemplo, para el caso particular en que α = 1 la integral (6.244) puede calcularse yse obtiene

z =h

π(1 + πw + eπw)

Entonces las ecuaciones parametricas de las curvas equipotenciales v = v0 = constante(0 ≤ v0 ≤ 1) toman la forma

x =h

π(1 + πu+ eπu cos πv0)

y =h

π(πv0 + eπu sin πv0)

donde −∞ < u <∞.

En particular la ecuacion de la lınea equipotencial media (v0 = 12) tiene la forma

y =h

2+h

πe

hπx−1

Las lıneas equipotenciales que corresponden a distintos valores de v estan representadasen la figura 6.47.

Para v0 >12

es facil determinar el valor de xmax por la formula

xmax =h

πln

(− 1

cos πv0

)Los resultados obtenidos permiten facilmente determinar la distancia del extremo delcondensador de la figura 6.47, a partir de la cual el campo dentro de dicho condensadorpuede considerarse plano con determinada exactitud.

En general los metodos de representaciones conformes se emplean ampliamente en elcalculo de las lentes electrostaticas y magnetostaticas planas que se utilizan para enfocarflujos de electrones, lo que es necesario para el trabajo de multiples equipos fısicos.


Figura 6.47: Caso particular de condensador plano.


1. ¿En que dominio transforma la funcion w = 1z

al dominio contenido entre tres circunfer-encias tangentes exteriormente entre sı, si uno de los puntos de tangencia se encuentra enel origen de coordenadas?

2. ¿En que dominio transforma la funcion w = 1z

la semifranja 0 < x < 1, y > 0?

3. Hallar la representacion conforme del anillo entre las circunferencias |z| = 1 y |z− 1| = 52

en el anillo circular concentrico 1 < |w| < R. Determinar R.

4. Hallar todas las representaciones bilineales que mantienen a los puntos ±1 inmoviles.

5. Hallar la representacion conforme del cırculo |z| < 1 en el semiplano Imw > 0 de formatal que los puntos −1, +1, i tengan como imagen los puntos ∞, 0, 1.

6. Hallar la representacion conforme del semiplano superior en sı mismo de forma tal quelos puntos ∞, 0, 1 se transformen en los puntos 0, 1, ∞.


7. Hallar la representacion conforme w = f(z) del semiplano superior Im z > 0 en el cırculo|w| < R de forma tal que f(i) = 1. Determine el valor de R.

8. ¿Que sentido geometrico tiene el parametro ϕ en la formula (6.48)? ¿En que transformala formula (6.48) una red cartesiana del plano z?.

9. Hallar la representacion conforme del semiplano superior en sı mismo de forma tal quetres puntos dados a1, a2, a3 del eje real (a1 < a2 < a3) se transformen en los puntos 0, 1,∞.

10. ¿Bajo que condiciones la funcion w = az+bcz+d

realiza la representacion conforme del semi-plano superior en sı mismo?

11. Hallar la representacion conforme del semiplano superior en los polıgonos de la figura 6.48

Figura 6.48: Dominios del ejercicio 11.

12. Hallar la representacion conforme del dominio biconexo de la figura 6.49(a) en el dominiobiconexo de la figura 6.49(b). Las constantes ak deben calcularse.

13. Hallar las lıneas equipotenciales, las lıneas de fuerza y el vector de intensidad de camposi el potencial complejo es w = 1

z2.



14. La funcion potencial del campo tiene la forma v = arctan tanπytanhπx

. Hallar las ecuaciones delas lıneas de fuerza y el potencial complejo.

15. Las lıneas equipotenciales del campo son las circunferencias x2 + y2 = 2ax. Hallar larelacion de las magnitudes de la intensidad del campo en los puntos (2a, 0) y (a, a).

16. El movimiento de un lıquido es creado por una fuente de intensidad Q y de turbulenciade intensidad Γ colocada en el origen de coordenadas (fuente turbulenta). Demostrar quelas lıneas de corriente son espirales logarıtmicas.

17. ¿Por cuales cargas es creado el campo electrostatico cuyo potencial complejo es w =2qiLn

(z2 + 1

z2

)?

18. Sobre el rayo x = 0, y > 1 el potencial es igual a v0 y sobre el eje real es nulo. Hallarla densidad de distribucion de cargas sobre el eje real. Sugerencia: en electrostatica sedemuestra que la densidad de carga en los puntos de un conductor es σ = 1

4πE.

19. En la circunferencia |z − 2i| = 1 la densidad de carga es σ = 1. ¿Como se distribuye siconectamos a tierra el eje real?


20. Hallar el campo electrostatico en el espacio entre dos cilindros perpendiculares al planoz que cortan a dicho plano segun |z| = 1 y |z − 1| = 5

2. La diferencia de potencial entre

los cilindros es igual a 1. ¿Cual es la densidad de distribucion de carga mayor y menorsobre los cilindros?

21. Hallar el potencial complejo del flujo de un lıquido que pasa del semiplano izquierdo alderecho a traves de un hueco practicado en el eje imaginario entre los puntos −i y +i. Elgasto del lıquido Q se considera dado.

22. Hallar el potencial complejo y las lıneas de corriente para el movimiento de un lıquido enel primer cuadrante si en el punto z = 1 + i se encuentra una fuente de intensidad Q yen el punto z = 0 se encuentra un sumidero de la misma intensidad.

23. Hallar la representacion conforme de Im z > 1 en |w + i| < 1 de forma tal que el puntoz = 2i se transforme en el punto w = i.

24. Hallar la funcion bilineal que transforme el plano z en el plano w de forma tal que lospuntos −i, 0, 1 tengan como imagen los puntos −1, 1, ∞.

25. Hallar la imagen dada por la funcion w = 1z

del dominio triangular de lados formados porlos segmentos (0, 1) del eje real, (0, 1) del eje imaginario y el segmento de recta que unelos puntos 1 e i y que se muestra en la figura 6.50.

26. Hallar en que transforma la funcion w = 1z

el dominio de la figura 6.51, formado porel exterior de la semicircunferencia centrada en el punto i

2de radio 1 y los segmentos

infinitos de los ejes 0 < Re z <∞ y 1 < Imz <∞.

27. Hallar la funcion que transforma el interior de la franja de la figura 6.52(a) en la columnavertical de la figura 6.52(b) acotada por los segmentos 0 < Rew < 2π, {Rew = 0, 0 <Imw <∞} y {Rew = 2π, 0 < Imw <∞}.

Capıtulo 7

Calculo Operacional

Ya desde el siglo 19 muchos matematicos comenzaron a trabajar con el llamado calculo sim-bolico, que se basa en la construccion del analisis matematico como un sistema de operacionesformales con el sımbolo

p =d

dt

donde t es una variable independiente.

Por ejemplo, la enesima derivada de la funcion x(t) se interpreta como el resultado de la acciondel sımbolo

pn =dn

dtn

sobre x; la parte izquierda de una ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes

L[x] = a0xn + a1x

n−1 + ...+ anx

como el resultado de la accion sobre x del sımbolo

L(p) = a0pn + a1p

n−1 + ...+ an

Igualmente, la operacion de integracion

∫ t

0

x(t)dt

se interpreta como la aplicacion del sımbolo 1p, de manera que

373


1

p· 1 =

∫ t

0

dt = t;1

p2· 1 =

t2

2;

1

pn· 1 =

tn

n!

etcetera.

El calculo simbolico resulto extraordinariamente comodo para resolver distintos problemas rela-cionados con ecuaciones diferenciales lineales. Su popularizacion a finales del siglo 19 se debefundamentalmente al ingeniero electricista y destacado fısico matematico ingles Oliver Heavi-side1, quien utilizo con exito el calculo simbolico en diferentes problemas electrotecnicos.

Para ilustrar el metodo de Heaviside veamos la resolucion de una ecuacion diferencial sencilla:

x′ − x = 1

con la condicion inicial x(0) = 0.

Sustituyendo la derivacion por la aplicacion del operador p obtenemos en lugar de la ecuaciondiferencial la siguiente ecuacion algebraica: px−x = 1, de donde x = 1

p−1y, despues de algunas

transformaciones formales obtenemos

x =1

p

1

1− 1p

=1

p

∞∑n=0

1

pn

Teniendo en cuenta lo anteriormente expresado sobre los sımbolos 1pn obtenemos finalmente

x =

∫ t

0

∞∑n=0

tn

n!dt =

∫ t

0

etdt = et − 1

Esta es la solucion correcta del problema planteado, cosa facil de comprobar. Sin embargo,Heaviside no se ocupo de justificar los metodos por el utilizados y en una serie de casos llego aresultados incorrectos. La justificacion del metodo simbolico u operacional, como actualmentese le denomina, fue dada solamente en los anos veinte del siglo 20, conjugando dicho metodo conel de las transformadas integrales, conocido de la teorıa de funciones de variable compleja, elque fue exitosamente utilizado por Cauchy, Laplace y otros matematicos. Con ello el operadorp obtuvo una nueva interpretacion como una variable compleja p = s+ iσ y tuvo, a su vez, unanueva interpretacion el metodo operacional en sı.2

Supongamos, por ejemplo, que se desea hallar la funcion x(t) de variable real t a partir de ciertaecuacion que contiene a dicha funcion bajo signos de derivacion y de integracion. El metodo

1Heaviside fue un importante estudioso de los problemas de propagacion de senales electricas a lo largo decables con importantes aportes a la teorıa de la telegrafıa de su epoca; a su pluma se debe tambien la notacionvectorial que usamos hoy en dıa de las ecuaciones de Maxwell de la Electrodinamica y la teorıa de operadores.

2El metodo operacional tuvo otra justificacion rigurosa con la ayuda de la teorıa general de operadoresdesarrollada en el Analisis Funcional, en el siglo 20.

Calculo Operacional 375

operacional de resolucion del problema se reduce a las siguientes etapas:

1. Se pasa de la funcion buscada x(t) a la funcion X(p) de variable compleja p, ”imagen”de x(t).

2. Se realizan sobre la imagen X(p) las operaciones que corresponden a las dadas sobre x(t)y se obtiene una ”ecuacion operacional” con respecto a X(p). Aquı las operaciones sobrela imagen resultan mucho mas sencillas: por ejemplo, a la derivacion le corresponde lamultiplicacion por la variable p, a la integracion la division por p, etcetera.

3. Se resuelve la ecuacion operacional para X(p), que comunmente se reduce a operacionesalgebraicas sencillas.

4. Se pasa de la imagen X(p) obtenida a la funcion original x(t) que resulta ser la funcionbuscada.

La aplicacion del metodo operacional se puede comparar con la logaritmacion cuando:

1. De los numeros se pasa a sus logaritmos.

2. Se actua con los logaritmos realizando las operaciones que corresponden a las operacio-nes con los numeros donde sucede que a la multiplicacion de numeros corresponde unaoperacion mas sencilla con los logaritmos: su suma, etcetera.

3. Del logaritmo hallado se regresa de nuevo a los numeros.

En el presente capıtulo desarrollaremos los conceptos fundamentales del metodo operacional eilustraremos su aplicacion en distintos problemas del Analisis y de la Fısica Matematica.

7.1 La transformada de Laplace y sus propiedades

7.1.1 Definiciones fundamentales

Llamaremos funcion original o simplemente original a la funcion f(t) de argumento real tque satisfaga las siguientes propiedades:

1. f(t) ≡ 0 ∀t < 0.

2. f(t) es seccionalmente continua y seccionalmente lisa, es decir que en cualquier segmentofinito del eje t ella y su derivada tienen un numero finito de puntos de discontinuidad deprimer tipo.


3. Existen dos numeros reales M y s0 tales que se cumpla que

|f(t)| ≤Mes0t (7.1)

es decir, que la funcion f(t) crece con menos rapidez que cierta funcion exponencial cuandot tiende a infinito. El valor menor de s0 para el que se cumple (7.1) recibe el nombre deındice exponencial de crecimiento de la funcion f(t).

Debe destacarse que la funcion f(t) puede ser una funcion compleja de variable real:f(t) = f1(t) + if2(t), donde f1(t) t f2(t) son funciones reales de la variable real t.

Veamos ahora la definicion fundamental del epıgrafe.

Llamaremos transformada de Laplace del original f(t) a la funcion F (p) de variable complejap = s+ iσ definida mediante la formula

F (p) =

∫ ∞

0

f(t)e−ptdt (7.2)

Para representar el hecho de que F (p) es la transformada de Laplace de f(t) se utilizan habi-tualmente las notaciones:

F (p) : f(t), f(t) : F (p)

y tambien F (p) = L[f(t)]

Se observa claramente que la integral (7.2) es una integral impropia que depende de la variablep como parametro y es evidente que dicha integral converge no para todo valor del parametro p.Efectivamente, si la funcion f(t) tiende a un valor distinto de cero cuando t→∞ y Re p < 0, laintegral (7.2) resulta divergente. Por consiguiente, es logico plantearse el problema relacionadocon el dominio de convergencia de nuestra integral y, por lo tanto, relacionado con el dominiode definicion de la funcion F (p).

La definicion (7.2) nos permite ver con claridad por que se establecen las exigencias impuestasa la definicion de original. La primera condicion tiene un caracter puramente fısico: exigimosque f(t) ≡ 0 para t < 0, pues con ayuda de la transformada de Laplace resolveremos problemasde Cauchy, es decir, ecuaciones diferenciales que describen fenomenos fısicos con condicionesiniciales dadas y donde la variable t juega el papel del tiempo y nos interesaran solamente lassoluciones para valores positivos de dicho tiempo. La segunda condicion se impone porquela transformada de Laplace se define a traves de una integral, por lo que la funcion originaldebe ser integrable. La tercera condicion nos garantiza la convergencia de la integral (7.2) paradeterminados valores de p, como se desprende de las siguientes afirmaciones:

Teorema 54


La integral (7.2) converge absolutamente en el dominio Re p > s0, donde s0 es el ındice expo-nencial de crecimiento del original f(t) y converge uniformemente en el dominio Re p > s0 + δ,donde δ > 0 es cierto numero positivo.

Demostracion

Sea Re p = s (p = s+ iσ). Entonces es evidente que

|f(t)e−pt| = |f(t)||e−st||e−iσt| ≤Mes0te−st = Me−(s−s0)t (7.3)

lo que nos permite afirmar que la integral (7.2) converge absolutamente siempre que s > s0, yaque en ese caso la integral del mayorante

∫ ∞

0

Me−(s−s0)tdt =M

s− s0

(7.4)

converge. Como el mayorante convergente es funcional (funcion del parametro real s), porel criterio comparacion para integrales impropias, la integral que define a la transformada deLaplace converge absolutamente.

Por otro lado, si s > s0 + δ, entonces tenemos que

|f(t)e−pt| ≤Me−(s−s0)t ≤Me−δt (7.5)

es decir, en este caso obtenemos un mayorante numerico convergente, por lo que en virtud delcriterio de Weierstrass para las integrales impropias la integral (7.2) converge uniformemente.


Teorema 55

La transformada de Laplace (7.2) del original f(t) define una funcion F (p), de variable complejap, analıtica en el dominio de convergencia de dicha integral.

Demostracion

En virtud del teorema 54 la integral impropia (7.2) converge absoluta y uniformemente paraRe p > s0 + δ. Dividamos el intervalo de integracion en los segmentos [tn, tn+1] de longitudfinita arbitraria, donde t0 = 0 y tn →∞ para n→∞. Entonces la funcion F (p) para Re p > s0

puede escribirse como la suma de una serie convergente:

F (p) =∞∑n=0

∫ tn+1

tn

e−ptf(t)dt =∞∑n=0

Fn(p) (7.6)


Destaquemos que como el resto de orden n de la serie (7.6) es igual a∫∞tn+1

e−ptf(t)dt, por el

teorema 54 la serie (7.6) converge uniformemente en el dominio Re p > s0 + δ. Cada una de lasfunciones

Fn(p) =

∫ tn+1

tn

f(t)e−ptdt

esta definida como una integral entre lımites finitos que depende analıticamente del parametrop y es, por lo tanto, una funcion analıtica3. De aquı que gracias al teorema 24 (de Weierstrass),la serie (7.6) define una funcion analıtica para Re p > s0 + δ.


Ası pues, a un original le hemos puesto en correspondencia su transformada de Laplace, que esuna funcion analıtica en el dominio de convergencia de la integral (7.2). Este dominio es en elplano complejo p un semiplano derecho de analiticidad para la funcion F (p), limitado por larecta paralela al eje imaginario Re p = s0 (Fig. 7.1)

Debemos aclarar que la integral (7.2) en general define la transformada de Laplace F (p) so-lamente en el semiplano derecho Re p > s0 y no define ninguna funcion para el semiplanoizquierdo, ya que en el semiplano izquierdo la integral (7.2) diverge. Sin embargo, como ve-remos mas adelante, en la mayorıa de los problemas practicos el dominio de definicion de latransformada es mas amplio. Por eso, frecuentemente, analizaremos la prolongacion analıticade la transformada definida por la integral hacia la izquierda de la recta Re p = s0 y nosbasaremos en que las relaciones que se establecen, por regla general, en los semiplanos de con-vergencia de las integrales de Laplace para transformadas diferentes, siguen siendo validas paralas prolongaciones senaladas.

Ademas, no es difıcil comprobar que si el punto p tiende a infinito de forma tal que Re p = screzca indefinidamente, la funcion F (p) tiende a cero:

lims→+∞

F (p) = 0 (7.7)

Esta ultima afirmacion se desprende directamente de la expresion (7.4). Diremos por ultimoque el metodo de Heaviside, que fue comentado al inicio del capıtulo, consiste en pasar de lafuncion f(t) a la funcion

F (p) = p

∫ ∞

0

f(t)e−ptdt (7.8)

que se diferencia de la transformada de Laplace por el factor p. En lo adelante analizaremos latranformada de Laplace (7.2). Las propiedades de la transformada de Heaviside (7.8) pueden serobtenidas a partir de las propiedades de la transformada de Laplace que veremos posteriormente.

3Teorema 14


Figura 7.1: Dominio de analiticidad Re p > s0 de F (p).

7.1.2 Transformada de las funciones elementales

Utilicemos la definicion (7.2) para calcular las transformadas de algunas funciones elementales.

1. Funcion paso unitario de Heaviside.

Tenemos

f(t) ≡ θ(t) = 1 ∀t > 0 (7.9)

= 0 ∀t < 0

Entonces

θ(t) : F (p) =

∫ ∞

0

e−ptdt =1

p(7.10)


En lo adelante obviaremos el escribir que f(t) = 0 para t < 0, pues siempre sera ası, deforma tal que escribiremos simplemente

1 :1

p(7.11)

La funcion F (p) ası calculada esta definida y es analıtica en el dominio Re p > 0; en elsemiplano izquierdo la integral diverge por lo que no define ninguna funcion, pero nosotros,de acuerdo con lo dicho arriba, usaremos la prolongacion analıtica 1

ppara Re p ≤ 0 la

que, evidentemente, no es analıtica en dicho semiplano izquierdo, pues tiene en el puntop = 0 un polo simple. Se aprecia que en este caso el ındice exponencial de crecimiento def(t) = 1 es s0 = 0.

2. Funcion exponencial. Sea

f(t) = eat (7.12)

Calculando la integral (7.2) de (7.12) obtenemos

F (p) =

∫ ∞

0

e−pteatdt =

∫ ∞

0

e−(p−a)tdt =1

p− a(7.13)

siempre que Re p > Re a, es decir

eat :1

p− a(7.14)

Como se aprecia, la transformada obtenida esta definida y es analıtica en el semiplanoderecho Re p > Re a. El ındice exponencial de crecimiento de este original es s0 = Reay su transformada, prolongada hacia el semiplano izquierdo tiene en el punto p = a unpolo simple.

3. Funciones trigonometricas.

Sea

f(t) = sinωt (7.15)

Entonces

F (p) =

∫ ∞

0

sinωte−ptdt

Podemos calcular esta integral integrando por partes dos veces:

I =

∫ ∞

0

sinωte−ptdt =ω2

p2− ω2

p2

∫ ∞

0

sinωte−ptdt =ω2

p2− ω2

p2I

de donde


I =ω

p2 + ω2

Ası pues

sinωt :ω

p2 + ω2(7.16)

Notemos que la transformada calculada es una funcion analıtica para Re p > 0. Laprolongacion analıtica al semiplano izquierdo tiene polos simples en p = ±iω.

Analogamente se obtiene

cosωt :p

p2 + ω2(7.17)

sinhωt :ω

p2 − ω2(7.18)

coshωt :p

p2 − ω2(7.19)

Mas adelante brindaremos una tabla con las transformadas de Laplace de las principales fun-ciones utilizadas que se pueden calcular usando la formula (7.2).

7.1.3 Propiedades de la transformada de Laplace

Denotemos por f(t), g(t),... los originales y por F (p), G(p),... sus respectivas transformadasde Laplace

F (p) =

∫ ∞

0

f(t)e−ptdt; G(p) =

∫ ∞

0

g(t)e−ptdt

1. Propiedad lineal

Directamente de las propiedades de las integrales obtenemos que para dos constantescualesquiera, reales o complejas, a y b se cumple que

af(t) + bg(t) : aF (p) + bG(p) (7.20)

Gracias a esta propiedad, cuya demostracion es evidente en virtud de que la integral esuna operacion lineal, la transformada del original sinωt y tambien la de cosωt puedencalcularse escribiendo las funciones como combinacion lineal de exponenciales con ayudade las formulas de Euler y usando la transformada de la exponencial. Ası, por ejemplo,

cosωt =eiωt + e−iωt

2:

1

2

(1

p− iω+

1

p+ iω

)=

1

2

p+ iω + p− iω

p2 + ω2=

p

p2 + ω2


es decir, la formula (7.17).

2. Teorema de la semejanza

Para cualquier constante α > 0 se cumple que

f(αt) :1

αF( pα

)(7.21)

Efectivamente, haciendo τ = αt tenemos

f(αt) :∫ ∞

0

f(αt)e−ptdt =1

α

∫ ∞

0

f(τ)e−pατdτ =

1

αF( pα

)3. Teorema del retardamiento

Para cualquier τ positivo se cumple que

f(t− τ) : e−pτF (p) (7.22)

Es decir, la inclusion en el original de un retardamiento τ (Fig. 7.2) equivale a multiplicarla transformada por e−pτ .

Efectivamente, como f(t − τ) = 0 para t < τ , haciendo el cambio de variable t − τ = xobtenemos

f(t− τ) :∫ ∞

τ

f(t− τ)e−ptdt =

∫ ∞

0

f(x)e−p(t+τ)dx = e−pτF (p)

Ejemplos

(a) Hallar la transformada de la funcion escalonada cuyo grafico viene dado por la figura7.3. Evidentemente tenemos:

f(t) = A[θ(t) + θ(t− τ) + θ(t− 2τ) + ...] (7.23)

donde θ(t) es la funcion paso unitario de Heaviside vista en el primer ejemplo de lastransformadas de funciones elementales. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema delretardamiento se cumple que

f(t) : A

[1

p+

1

pe−pτ +

1

pe−2pτ + ...

]A la derecha tenemos una progresion geometrica convergente, pues |e−pτ | = e−sτ < 1.Por lo tanto,

f(t) :A

p

1

1− e−pτ=A

2p

(1 + coth

pτ

2

)(7.24)


Figura 7.2: Teorema del retardamiento.

(b) Hallar la transformada del impulso rectangular g(t) cuyo grafico aparece en la figura7.4. Es evidente que podemos escribir

g(t) = A[θ(t)− 2θ(t− τ) + 2θ(t− 2τ)− ...]

por lo que por el teorema del retardamiento tendremos que

g(t) : A

(1

p− 2

pe−pτ +

2

pe−2pτ − ...

)=A

p

(1− 2

e−pτ

1 + e−pτ

)=A

2tanh

pτ

2(7.25)

4. Teorema del desplazamiento

Para cualquier parametro complejo p0 se cumple que

ep0tf(t) : F (p− p0) (7.26)

Es decir, el desplazamiento de la transformada en el valor p0 equivale a multiplicar eloriginal por ep0t.


Figura 7.3: Funcion escalonada.

Efectivamente, tenemos

ep0tf(t) :∫ ∞

0

f(t)e−(p−p0)tdt = F (p− p0)

Este teorema nos permite, conocida la transformada de cierta funcion, calcular rapida-mente la transformada de dicha funcion multiplicada por una exponencial. Por ejemplo

e−λt sinωt :ω

(p+ λ)2 + ω2; e−λt cosωt :

p+ λ

(p+ λ)2 + ω2(7.27)

5. Teorema de la convolucion

Se denomina convolucion de las funciones f(t) y g(t) a la funcion definida por la integral

(f ∗ g) =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ (7.28)

donde es evidente que


Figura 7.4: Funcion impulso rectangular.

(f ∗ g) = (g ∗ f) (7.29)

El teorema de la convolucion afirma que la convolucion de dos originales es tambienoriginal y se cumple que ∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ : F (p)G(p) (7.30)

Demostremos primero que la convolucion (7.28) es un original si f(t) y g(t) son origi-nales. Las propiedades 1 y 2 de la definicion de original dada al inicio son evidentes.Comprobemos la tercera propiedad de la definicion. Tenemos que

|f(t)| < M1es1t; |g(t)| < M2e

s2t

por ser f(t) y g(t) originales. De aquı que

∣∣∣∣∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

∣∣∣∣ ≤M1M2

∫ t

0

es1τes2(t−τ)dτ =M1M2

s1 − s2

{es1t − es2t} ≤ 2M1M2

|s1 − s2|es0t


donde

s0 = max{s1s2}

Queda ası demostrado que la convolucion de dos originales es un original. Demostremosahora la formula (7.30); para ello calculemos la transformada de la convolucion. Tenemos

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ :∫ ∞

0

e−pt[∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

]dt

El miembro derecho es una integral doble sobre el primer octante del plano (t, τ) (Fig. 7.5),pues para t fija la integracion por τ se efectua entre los puntos τ = 0 y τ = t y, despues,t varıa de 0 a ∞. Como para Re p > s0 esta integral doble converge absolutamente,podemos cambiar en ella el orden de integracion y obtener, tras hacer el cambio devariables α = t− τ :

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ :∫ ∞

0

f(τ)

[∫ ∞

0

e−p(τ+α)g(α)dα

]=

=

∫ ∞

0

f(τ)e−pτdτ

∫ ∞

0

g(α)e−pαdα = F (p)G(p)

con lo que queda demostrada la formula (7.30).

En la practica la formula (7.30) se utiliza frecuentemente para hallar el original de unatransformada si dicha transformada puede descomponerse en el producto de otras doscuyos originales se conocen. Por ejemplo, si queremos hallar el original de

F (p) =pω

(p2 + ω2)2

En virtud de las formulas (7.16), (7.17) y (7.30), podemos escribir que

F (p) :∫ t

0

sinωτ cosω(t− τ)dτ =t

2sinωt

6. Transformada de las derivadas

Si f ′(t) o, en general f (n)(t) es un original, entonces

f ′(t) : pF (p)− f(0) (7.31)

o

f (n)(t) : pnF (p)− {f(0)pn−1 + f ′(0)pn−2 + ...+ f (n−1)(0)} (7.32)

Efectivamente, hallando la transformada de f ′(t) integrando por partes, obtenemos


Figura 7.5: Para demostrar el teorema de la convolucion.

f ′(t) :∫ ∞

0

f ′(t)e−ptdt = e−ptf(t)|∞0 + p

∫ ∞

0

e−ptf(t)dt = pF (p)− f(0)

ya que Re p > s0, por lo que la evaluacion en t = ∞ del primer sumando da cero.Aplicando dos veces la formula (7.31) se obtiene que

f ′′(t) = [f ′(t)]′ : p[pF (p)− f(0)]− f ′(0) = p2F (p)− {pf(0) + f ′(0)}

y ası sucesivamente. En general, como f (n)(t) = [f (n−1)]′(t), por el metodo de induccioncompleta matematica queda demostrada la propiedad. Esta es fundamental en la apli-cacion de la transformada de Laplace a la solucion de ecuaciones diferenciales.

7. Transformada de la integral

Para la integral del original tiene lugar la siguiente formula:

∫ t

0

f(τ)dτ :F (p)

p(7.33)


Para demostrar esta propiedad veamos la funcion

g(t) =

∫ t

0

f(τ)dτ

Para ella, evidentemente, tenemos que g′(t) = f(t) y g(0) = 0. Llamemos G(p) a latransformada de g(t). Entonces, en virtud de la formula (7.31) tendremos

f(t) = g′(t) : pG(p) = F (p)

de aquı, G(p) = F (p)p

lo que demuestra la propiedad.4

De las dos ultimas propiedades, concluimos que derivar un original equivale a multiplicarpor p su transformada e integrar un original equivale a dividir por p su transformada.Estas dos propiedades seran de gran utilidad en diferentes aplicaciones.

Veamos aun dos interesantes propiedades.

8. Derivada de la transformada

La derivacion de la transformada implica multiplicar por (−t) el original. En general

F (n)(p) : (−1)ntnf(t) (7.34)

Efectivamente, como F (p) es analıtica en el semiplano Re p > s0 puede ser derivada conrespecto a p y se obtiene

F ′(p) = −∫ ∞

0

tf(t)e−ptdt; F ′′(p) =

∫ ∞

0

t2f(t)e−ptdt, ...

F (n)(p) = (−1)n∫ ∞

0

tnf(t)dt

lo que demuestra la formula (7.34).

En calidad de ejemplo de aplicacion de esta propiedad senalemos que de las relaciones(7.11), (7.14), (7.16) y (7.17) se deduce que

tn :n!

pn+1; tneat :

n!

(p− a)n+1(7.35)

t sinωt :2pω

(p2 + ω2)2; t cosωt :

p2 − ω2

(p2 + ω2)2(7.36)

4La formula (7.33) puede obtenerse usando el teorema de la convolucion y la transformada de la funcionf(t) = 1 que obtuvimos en el primer ejemplo estudiado.


9. Integral de la tranformada

Si la integral∫∞pF (p)dp converge, entonces ella es la transformada de la funcion f(t)

t:

f(t)

t:∫ ∞

p

F (p)dp (7.37)

O sea, integrar la transformada equivale a dividir por t el original.

Efectivamente, tenemos

∫ ∞

p

F (p)dp =

∫ ∞

p

dp

∫ ∞

0

f(t)e−ptdt

Suponiendo que el camino de integracion (p,∞) esta contenido en el semiplano Re p ≥a > s0 valoremos la integral interna:

∣∣∣∣∫ ∞

0

f(t)e−ptdt

∣∣∣∣ ≤M

∫ ∞

0

e−(a−s0)tdt

de donde se infiere claramente la convergencia uniforme respecto a p. Por ello podemoscambiar el orden de integracion:

∫ ∞

p

F (p)dp =

∫ ∞

0

f(t)dt

∫ ∞

p

e−ptdp =

∫ ∞

0

f(t)

te−ptdt

lo que demuestra la propiedad enunciada.

Ejemplos

(a) Hallar la transformada de f(t) = ebt−eat

t.

Sabemos que

ebt − eat :1

p− b− 1

p− a

Por lo tanto, en virtud de la propiedad demostrada

ebt − eat

t:∫ ∞

p

(1

p− b− 1

p− a

)dp = ln

p− a

p− b(7.38)

(b) Hallar la transformada de f(t) = sin tt

.

Igualmente se obtiene que

sin t

t:∫ ∞

p

dp

1 + p2=π

2− arctan p (7.39)


7.1.4 Tabla de transformadas de Laplace

1. 1 : 1p; Re p > 0

2. tν : Γ(ν+1)pν+1 ; Re p > 0

3. tn : n!pn+1 ; n− entero; Re p > 0

4. eat : 1p−a ; Re p > Re a

5. sinωt : ωp2+ω2 ; Re p > |Imω|

6. cosωt : pp2+ω2 ; Re p > |Imω|

7. sinhλt : λp2−λ2 ; Re p > Reλ

8. coshλt : pp2−λ2 ; Re p > Reλ

9. tneat : n!(p−a)n+1 ; Re p > Re a

10. tn sinωt : n! Im (p+iω)n+1

(p2+ω2)n+1 ; Re p > |Imω|

11. tn cosωt : n!Re (p+iω)n+1

(p2+ω2)n+1 ; Re p > |Imω|

12. eλt sinωt : ω(p−λ)2+ω2 ; Re p > (Reλ+ |Imω|)

13. eλt cosωt : p−λ(p−λ)2+ω2 ; Re p > (Reλ+ |Imω|)

14. sinωtt

: π2− arctan p

ω; Re p > |Imω|

15. 1, para 2kτ ≤ t < (2k + 1)τ ;−1, para (2k + 1)τ ≤ t < (2k + 2)τ : 1ptanh pτ

2; Re p > 0

16. | sinωt| : ωp2+ω2 coth pπ

2ω; Re p > |Imω|

17. e−α2t2 :

√π

2e

p2

4α2[1− Φ

(p2α

)]18. e−αt

√πt

: 1√p+α

19. e−2α√

t√πt

: 1√pe

α2

p

[1− Φ

(α√p

)]20. J0(2

√αt) : 1√

α2+p2

21. J0(2√t) : 1

pe

1p

22. Jn(t) :(√p2+1−p)n

√p2+1

23. si t : 1p

(π2− arctan p

)24. Φ(

√αt) :

√α

p√p+α


25. 1− Φ(

α2√t

): 1

pe−α

√p

NOTA: Para valores reales de los parametros, en las funciones f(t) de las formulas 17-25, lastransformadas estan definidas para Re p > 0. En las formulas anteriores han sido utilizadas lassiguientes notaciones:

La funcion gamma de Euler:

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ααz−1dα

La funcion de error:

Φ(z) =2√π

∫ z

0

e−α2

dα

La funcion cilındrica de Bessel:

Jn(z) =∞∑k=0

(−1)k(z2

)2k+nΓ(k + 1)Γ(k + n+ 1)

La funcion seno integral:

si t =

∫ t

0

sin τ

τdτ

7.2 Determinacion del original a partir de la transfor-

mada

Hemos visto en el epıgrafe anterior como cada original f(t) se pone en correspondencia mediantela formula (7.2) con su transformada de Laplace y hemos podido comprobar que dicha trans-formada F (p) es una funcion analıtica en el semiplano derecho de convergencia de la integral(7.2).

Es evidente que surge el problema de como determinar el original conociendo la transformada.Si bien hemos visto que algunas de las propiedades de la transformada obtenidas en el epıgrafeanterior (teorema del desplazamiento, teorema de la convolucion, la derivacion e integracionde la transformada) pueden ser utiles a la hora de hallar el original de cierta transformada, nopodemos dejar de reconocer que ello no constituye el metodo mas general, sino que mas bienson metodos de seleccion que no ofrecen una formula universal para la obtencion del originalde una transformada cualquiera.


Ademas, al plantearse el problema mas detenidamente puede surgirnos la duda de si es posibleque dos originales tengan la misma transformada; la respuesta a esta pregunta es negativa y seestudiara mas adelante. Igualmente debemos aclarar que condiciones son suficientes para quecierta funcion de variable compleja sea la transformada de algun original.

El presente epıgrafe esta dedicado al analisis de estas cuestiones y a la obtencion de la formulauniversal que nos permita hallar el original de una transformada.

7.2.1 Formula de Mellin

Comencemos analizando el caso en que sabemos que la funcion dada F (p) de variable com-pleja p es la transformada de cierta funcion seccionalmente lisa f(t) de ındice exponencial decrecimiento dado s0.

Teorema 56

Supongamos que la funcion dada F (p) en el dominio Re p > s0 es la transformada de la funcionseccionalmente lisa f(t) de variable real t y de ındice exponencial de crecimiento s0, entoncestiene lugar la formula de Mellin:

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)dp (7.40)

donde a > s0.

Demostracion

Por hipotesis la funcion f(t) existe y conocemos su ındice exponencial de crecimiento. Veamosla siguiente funcion auxiliar:

ϕ(t) = f(t)e−at (7.41)

donde a > s0 y s0 es el ındice exponencial de crecimiento senalado en la hipotesis del teorema.Como esta funcion es seccionalmente lisa y, ademas, para ella se cumple que

|ϕ(t)| = |f(t)e−at| ≤ Mes0t

eat→ 0 ∀t→∞ (7.42)

pues a > s0, vemos que ella cumple con las condiciones para su desarrollo en integral de Fourier5,es decir

5Ver apendice 3


ϕ(t) =1

2π

∫ ∞

−∞dσ

∫ ∞

−∞ϕ(τ)eiσ(t−τ)dτ =

1

2π

∫ ∞

−∞dσ

∫ ∞

0

f(τ)e−aτeiσ(t−τ)dτ =

=1

2π

∫ ∞

−∞eiσtdσ

∫ ∞

0

f(τ)e−(a+iσ)τdτ (7.43)

pues f(t) ≡ 0 ∀τ < 0.

Llamemos p = a+ iσ. Entonces

f(t)e−at =1

2π

∫ ∞

−∞eiσtdσ

∫ ∞

0

f(τ)e−pτdτ =1

2π

∫ ∞

−∞eiσtF (p)dσ (7.44)

ya que F (p) =∫∞

0f(τ)e−pτdτ , por definicion de transformada de Laplace. Por consiguiente

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞e−(a+iσ)F (p)dσ =

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)dp


Es necesario destacar que en la formula (7.40) la integracion se realiza en el plano complejop por una recta paralela al eje imaginario y que pasa por un punto a la derecha del puntoRe p = s0 (Fig. 7.6). Bajo esta ultima condicion es evidente, en virtud del teorema de Cauchy,que la integral (7.40) no depende del valor de a, por lo que la integral se puede calcular porcualquier recta paralela al eje imaginario en el plano complejo p que este a la derecha de larecta Re p = s0.

A modo de ejemplo calculemos el original de F (p) = 1p.

Tomando en la formula de Mellin (7.40) a = 1 tendremos

f(t) =1

2πi

∫ 1+i∞

1−i∞

ept

pdp (7.45)

Para calcular la integral (7.45) utilizaremos la poderosa teorıa de residuos. Efectivamente, deacuerdo con el Lema de Jordan para t > 0 en la figura 7.7 cerramos por la izquierda. Entoncestendremos

f(t) =1

2πi2πiRes

[ept

p.0

]= ept|p=0 = 1 ∀t > 0

Para t < 0, en virtud del Lema de Jordan, debemos cerrar por la derecha y como en ese dominiola funcion 1

pes analıtica tendremos por el teorema de Cauchy que la integral es igual a cero,

por lo que obtendremos que


Figura 7.6: Contorno de integracion para la formula de Mellin.

f(t) = 0 ∀t < 0

Ası pues, con la ayuda de la formula de Mellin hemos obtenido que

1

p: f(t) ≡ θ(t) = 1 ∀t > 0 (7.46)

= 0 ∀t < 0

lo que concuerda con la expresion (7.11) obtenida anteriormente.

Claro que en el ejemplo expuesto hay algunos pasos que no estan claros:

1. Nos hemos lanzado al calculo del original sin tener algun criterio que nos permita afirmarque la funcion de variable compleja F (p) es una transformada de Laplace.


Figura 7.7: Cierre de contorno de integracion para calcular con ayuda del Lema de Jordan.

2. Hemos tomado arbitrariamente en la formula (7.40) a = 1 sin tener algun criterio parahacerlo, pues al desconocer la funcion original f(t) = 1 (es precisamente esa funcion loque queremos hallar) no podemos saber cual es su ındice exponencial de crecimiento s0 ala derecha del cual sobre el eje real debe tomarse el punto a, segun el teorema 56.

Las razones expuestas, obtenidas a partir de este sencillo ejemplo, nos permiten concluir queaun la teorıa esta incompleta. Por ello debemos plantearnos un problema mas general:

Tenemos cierta funcion de variable compleja F (p) de la que solo conocemos sus propiedadesanalıticas. Debemos preguntarnos si esta funcion es la transformada de algun original y, sila respuesta es afirmativa, debemos demostrar que la funcion hallada por la formula (7.40)satisface todas las condiciones impuestas en la definicion de original y que al colocarla en ladefinicion de tranformada (7.2) obtenemos F (p).

Ademas, debemos tener en cuenta que para poder utilizar la formula de Mellin es indispensableque exista el semiplano en el que F (p) sea analıtica, pues, por ejemplo, para F (p) = cot p noexiste dicho semiplano, ya que los puntos pn = nπ son singulares, por lo que esa funcion nodebe ser transformada de ningun original. Todas estas inquietudes quedan satisfechas con el


siguiente teorema.

Teorema 57

Sea la funcion F (p) de variable compleja p = s+ iσ que satisfaga las siguientes condiciones:

1. Existe un numero s0 tal que F (p) es analıtica en el dominio Re p > s0.

2. Para toda a > s0 la integral

∫ a+i∞

a−i∞|F (p)||dp|

converge.

3. En el dominio Re p > s0 la funcion F (p) tiende a cero cuando |p| → ∞ uniformementecon respecto al arg p.

Entonces la funcion F (p) es la transformada de Laplace del original f(t) que se determina porla formula de Mellin:

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)dp (7.47)

Demostracion

Demostremos primero que la integral (7.47) converge uniformemente. Tenemos que

∣∣∣∣∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)dp

∣∣∣∣ ≤ ∫ a+i∞

a−i∞|eptF (p)dp| = eat

∫ a+i∞

a−i∞|F (p)||dp| (7.48)

es decir, que dicha integral esta mayorada por una integral que por hipotesis del teoremaconverge, de donde se desprende la convergencia uniforme de nuestra integral. Por lo tanto, laformula (7.47) nos define una funcion f(t) de variable real t. Debemos comprobar ahora quedicha funcion no depende del parametro a > s0 elegido; para ello analicemos la integral

∫C

eptF (p)dp (7.49)

donde el contorno de integracion C esta formado por los segmentos de recta [a1 − iA, a1 + iA],[a1 + iA, a2 + iA], [a2 + iA, a2 − iA], [a2 − iA, a1 − iA] a la derecha de la recta Re p = s0 (Fig.7.8). Como dicho contorno esta totalmente contenido en el semiplano de analiticidad de F (p),en virtud del teorema de Cauchy la integral (7.49) es nula. Tomando el lımite cuando A tiendea infinito dejando fijos a1 y a2 y teniendo en cuenta la condicion 3 de la hipotesis del teorema


para F (p), obtenemos que la integracion por los segmentos [a1 + iA, a2 + iA], [a2− iA, a1− iA]tiende a cero cuando A tiende a infinito, por lo que en el lımite nos queda

∫ a1+i∞

a1−i∞eptF (p)dp =

∫ a2+i∞

a2−i∞eptF (p)dp

Figura 7.8: Para demostrar la independencia de la integral del parametro a.

lo que en virtud de la arbitrariedad de a1 y a2 demuestra que nuestra integral no dependedel parametro a, por lo que efectivamente la formula (7.47) define una funcion que dependesolamente del parametro t: f(t). Veamos ahora como es y que caracterısticas tiene esa funcion.Si t < 0, en virtud del Lema de Jordan, para calcular la integral (7.47) por la teorıa de residuosdebemos cerrar por la derecha, o sea, en el dominio donde por hipotesis el integrando F (p) esanalıtico; de ahı que por el teorema de Cauchy la integral por el contorno cerrado es igual acero, por lo que al tender R al infinito obtenemos que

f(t) ≡ 0 ∀t < 0 (7.50)

Si t > 0 se ve claramente que


|f(t)| ≤ 1

2π

∫ a+i∞

a−i∞|eptF (p)dp| = eat

1

2π

∫ a+i∞

a−i∞|F (p)dp| = Meat

Es decir

|f(t)| ≤Meat ∀t > 0 (7.51)

donde M = 12π

∫ a+i∞a−i∞ |F (p)dp| <∞, pues por hipotesis esta integral converge.

Ası pues, queda demostrado que la formula (7.47) define una funcion f(t) cuyas caracterısticascoinciden con las condiciones impuestas a los originales en su definicion. Por lo tanto, la funcionf(t) dada por la formula (7.47) es un original.

Por ultimo demostremos que la transformada de Laplace de la formula (7.47) es igual a lafuncion F (p). Para ello calculemos con la ayuda de la formula (7.41) la transformada de laexpresion (7.47) en cierto punto p donde Re p > s0. Tenemos

∫ ∞

0

e−ptf(t)dt =

∫ ∞

0

e−pt[

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eqtF (q)dq

]dt (7.52)

La integral interna en (7.52) no depende de a. Escojamos el valor de a de forma que satisfagaque s0 < a < Re p y cambiemos el orden de integracion, cosa posible de hacer porque lasintegrales escritas convergen. Obtenemos

∫ ∞

0

e−ptf(t)dt =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (q)

[∫ ∞

0

e−(p−q)tdt

]dq =

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

F (q)

p− qdq (7.53)

La integral entre corchetes es convergente debido a que Re p > a ≡ Re q, de manera que laintegral (7.53) puede calcularse por la teorıa de residuos cerrando el contorno de integracionpor la derecha, que es donde se cumple la relacion Re p > Re q, ya que por la condicion 3 de lahipotesis del teorema la integral por la semicircunferencia CR (Fig. 7.9) tiende a cero cuandoR tiende a infinito. Por eso, si se tiene en cuenta que el unico punto singular de la funcionintegrando es el punto q = p (polo simple), al cerrar como se indica en la figura 7.9 y teniendoen cuenta que la integracion se realiza en sentido negativo, por lo que aparece un signo menos,

∫ ∞

0

e−ptf(t)dt =1

2πi2πi

{−Res

[F (q)

p− q, p

]}= −F (q)

−1|q=p = F (p)

con la que queda demostrado que

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)dp : F (p) (7.54)


Figura 7.9: Contorno para el calculo de la integral (7.53).


Es evidente que la formula (7.47) coincide con la formula de Mellin (7.40) obtenida antes bajola suposicion de que el original existıa.

Debe destacarse que este teorema es condicion suficiente solamente para que F (p) sea la trans-formada de un original, cosa clara por el enunciado del teorema. Por ejemplo, vimos ya que lafuncion F (p) = 1

pes la transformada de f(t) = 1; sin embargo la integral

∫ a+i∞

a−i∞

∣∣∣∣dpp∣∣∣∣

es divergente. Es decir, la condicion de la convergencia absoluta de la integral en la condicion2 del enunciado del teorema 57 es solamente suficiente, aunque los condiciones 1 y 3 de dichoenunciado son ademas condiciones necesarias, pues como vimos al definir la transformada deLaplace, ambas condiciones eran cumplidas por la transformada definida en el primer punto deeste capıtulo.


Antes de pasar a ver algunos ejemplos de aplicacion, demostremos un util e interesante teorema:

Teorema 58

Sea f1(t) : F1(p), Re p > s1 y f2(t) : F2(p), Re p > s2. Entonces

f(t) = f1(t)f2(t) : F (p) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F1(q)F2(p− q)dq =

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F1(p− q)F2(q)dq (7.55)

donde la funcion F (p) es analıtica en el dominio Re p > s1 + s2 y la integracion se realizapor cualquier recta paralela al eje imaginario colocada a la derecha de las rectas Re p = s1 yRe p = s2.

Demostracion

Como la funcion f(t) satisface todas las condiciones de existencia de los originales, para ellatiene lugar la transformada de Laplace:

f(t) : F (p) =

∫ ∞

0

e−ptf(t)dt (7.56)

es decir

f1(t)f2(t) : F (p) =

∫ ∞

0

e−ptf1(t)f2(t)dt (7.57)

Sustituyendo en (7.57) la funcion f1(t) a traves de la integral de Mellin (7.40) y cambiandoel orden de integracion, lo que se puede hacer porque las integrales convergen uniformemente,obtenemos

F (p) =1

2πi

∫ ∞

0

e−ptf2(t)

[∫ a+i∞

a−i∞eqtF1(q)dq

]dt =

=1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F1(q)

[∫ ∞

0

e−(p−q)tf2(t)dt

]dq =

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F1(q)F2(p− q)dq (7.58)

En la expresion (7.58) Re q = a > s1 y la funcion F2(p− q) esta definida para Re (p− q) > s2,de donde Re p > s1 +s2. Sustituyendo en (7.57) la funcion f2(t) por la formula de Mellin puedeobtenerse la segunda igualdad de (7.55).


Este teorema es, en cierto sentido, el recıproco del teorema de la convolucion de los originales.

Hallemos como ejemplo la transformada de la funcion f(t) = t cosωt.


Como sabemos que

cosωt :p

p2 + ω2y t :

1

p2

tendremos que

F (p) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

qdq

(q2 + ω2)(p− q)2(7.59)

donde Re p > |Imω| y la integracion se efectua por cualquier recta paralela al eje imaginarioy contenida en el dominio a la derecha de la recta Re q = |Imω|. Como recta de integracionescojamos una a la izquierda del punto q = p e integremos por el contorno cerrado senaladoen la figura 7.10. Haciendo tender R al infinito y aplicando la teorıa de residuos tendremos (laintegral esta tomada en sentido negativo) que

Figura 7.10: Contorno para el calculo del ejemplo de aplicacion del teorema 58.


F (p) = − d

dq

[q

q2 + ω2

]|q=p =

p2 − ω2

(p2 + ω2)2

Por consiguiente

t cosωt :p2 − ω2

(p2 + ω2)2(7.60)

7.2.2 Ejemplos

Veamos con ayuda de algunos ejemplos el metodo mediante el cual puede calcularse la formulade Mellin (7.47) para hallar el original de una transformada dada.

1. Hallaremos el original de la funcion F (p) = ωp2+ω2 .

Evidentemente esta funcion satisface todas las condiciones del teorema 57, ya que ella esanalıtica en el semiplano Re p > 0, su integral converge absolutamente y es una funcionque tiende a cero cuando p → ∞. Por lo tanto, tomando como parametro en la formulade Mellin cualquier numero real positivo tendremos que

F (p) : f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞ept

ω

p2 + ω2dp

La funcion F (p) tiene dos polos simples en los puntos p = ±iω. En virtud del Lema deJordan , si t > 0 debemos cerrar por la izquierda (Fig. 7.11), por lo que aplicando lateorıa de residuos obtenemos

f(t) = Res

[ept

ω

p2 + ω2, iω

]+Res

[ept

ω

p2 + ω2,−iω

]=

= eiωtω

2iω− e−iωt

ω

2iω=eiωt − e−iωt

2i= sinωt

donde t > 0.

Si t < 0, segun el Lema de Jordan debemos cerrar por la derecha, donde la funcion F (p)es analıtica, por lo que obtendremos en ese caso

f(t) = 0

donde t < 0.

Ası pues, el original de la funcion F (p) es

F (p) =ω

p2 + ω2: f(t) = sinωt , t > 0

= 0, , t < 0


Figura 7.11: Contorno para el calculo del ejemplo 1.

2. Hallemos el original de la funcion

F (p) =1

pα+1

donde −1 < α < 0.

Esta funcion es multivaluada en el dominio Re p > 0. Nosotros entenderemos, por lotanto, por F (p) la rama de la funcion multivaluada dada que constituya la prolongacionanalıtica inmediata en el dominio Re p > 0 de la funcion real 1

ξα+1 de variable real ξ > 0.Entonces se ve claro que debemos considerar arg p = 0 para p = s, s > 0. La funcionF (p) ası considerada tiene como semiplano de analiticidad el dominio Re p > 0 y ademas,tiende a cero uniformemente cuando p tiende a infinito; sin embargo, la condicion 2 delteorema 57 no se cumple. No obstante, comprobaremos que la funcion

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞ept

1

pα+1dp (7.61)

donde a > 0, es el original de la funcion dada F (p).


Consideremos el dominio D constituido por el plano complejo p con un corte hecho a lolargo de la parte negativa del eje real; en dicho dominio la rama considerada de la funcionF (p) es univaluada. Tomemos en dicho dominio D un contorno cerrado Γ formado por elsegmento [a− iR′, a+ iR′], a > 0, los segmentos −R < s < −r en los bordes del corte ylos arcos de circunferencia Cr y CR′ (fig. 7.12).

Figura 7.12: Contorno para el calculo del ejemplo 2.

Como la funcion ept 1pα+1 en el dominio D no tiene puntos de singularidad, por el teorema

de Cauchy su integral por el contorno Γ es igual a cero. Hagamos R → ∞, R′ → ∞y r → 0; por el Lema de Jordan el lımite de las integrales por las curvas CR′ es cero.Valoremos la integral por la circunferencia Cr. Haciendo p = reiϕ tenemos que

∣∣∣∣ 1

2πi

∫Cr

eptdp

pα+1

∣∣∣∣ ≤ 1

2πrα

∫ π

−πeir cosϕdϕ

y como −1 < α < 0, la integral por Cr tambien tiende a cero para r → 0. Por consiguien-te, solo quedan las integrales por las trayectorias rectas del contorno de integracion Γ.Teniendo en cuenta que en el borde inferior del corte arg p = −π y en el borde superiorarg p = π, obtenemos que


f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞ept

1

pα+1dp =

=1

2πi

{∫ 0

−∞est

ds

(−s)α+1eiπα+

∫ −∞

0

estds

(−s)α+1e−iπα

}=

=1

2πi

{e−iπα

∫ ∞

0

e−sts−α−1ds− eiπa∫ ∞

0

e−sts−α−1ds

}=

=sin(−πα)

π

∫ ∞

0

e−sts−α−1ds (7.62)

Haciendo en la integral (7.62) el cambio de variables st = x obtenemos

f(t) = tαsin(−πα)

πΓ(−α)

o, teniendo en cuenta la conocida relacion entre las funciones gamma:

Γ(−α)Γ(1 + α) =π

sin(−πα)

obtenemos en definitiva la formula

1

pα+1: f(t) =

tα

Γ(1 + α)(7.63)

3. Hallemos el original de la funcion

F (p) =1

pe−α

√p

donde α > 0.

Al igual que en el ejemplo anterior tomaremos la rama de la funcion multivaluada√p

que sea la prolongacion analıtica inmediata al dominio Re p > 0 de la funcion real√s

de variable real s > 0. Recordemos que en este caso debemos considerar arg p = 0 parap = s > 0. La prolongacion analıtica considerada nos definira a la funcion univaluada yanalıtica 1

pe−α

√p en el dominio formado por el plano complejo p con un corte hecho a lo

largo de la parte negativa del eje real. Puede comprobarse que esta funcion cumple contodas las condiciones del teorema 57 y cumple ademas con el Lema de Jordan cuando t > 0para Re p < 0. Por lo tanto, tomando el mismo contorno de integracion Γ del ejemploanterior (fig. 7.12) y teniendo en cuenta que en el borde superior del corte arg p = π, loque nos da

p = ξeiπ = −ξ; √p =

√ξei

π2 = i

√ξ

y que en el borde inferior del corte arg p = −π, lo que nos da

p = ξe−iπ = −ξ; √p =

√ξe−i

π2 = −i

√ξ


donde ξ > 0, obtenemos

F (p) : f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞epte−α

√p

pdp =

=1

2πi

{∫ ∞

0

e−ξte−iα

√ξ

ξdξ −

∫ ∞

0

e−ξteiα

√ξ

ξdξ

}+ lim

r→0

1

2πi

∫Cr

epte−α

√p

pdp

Como

limr→0

1

2πi

∫Cr

erteiϕ e−α

√rei

ϕ2

reiϕireiϕdϕ = 1

tendremos

f(t) = − 1

π

∫ ∞

0

e−ξtsinα

√ξ

ξdξ + 1

Hagamos en esta integral el cambio de variable√ξ = x y tengamos en cuenta que

sinαx

x=

∫ α

0

cos βxdβ

entonces cambiando el orden de integracion obtenemos∫ ∞

0

e−ξtsinα

√ξ

ξdξ = 2

∫ α

0

dβ

∫ ∞

0

e−tx2

cos βxdx (7.64)

La integral con respecto a x en la expresion (7.64) fue calculada con la ayuda de la teorıade residuos. Su valor es ∫ ∞

0

e−tx2

cos βxdx =1

2

√π

te−

β2

4t

Por consiguiente,

f(t) = 1− 2√π

√1

4t

∫ α

0

e−β2

4t dβ

Llamando β√4t

= η obtenemos definitivamente

F (p) =1

pe−α

√p : 1− Φ

(α

2√t

), α > 0 (7.65)

donde la funcion

Φ(z) =2√π

∫ z

0

e−η2

dη (7.66)

es la llamada funcion de error.


7.2.3 Caso de funcion regular en el infinito

Veamos ahora un caso particular cuando la determinacion del original de una funcion dada F (p)de variable compleja se realiza de forma sencilla. Supongamos que la funcion F (p), analıticaen el semiplano Re p > a, es una funcion univaluada en todo el plano de la variable complejap y que el punto p = ∞ es un punto regular de esta funcion. Esto significa que el desarrollo dela funcion F (p) en serie de Laurent en el entorno de p = ∞ tiene la forma

F (p) =∞∑n=0

cnpn

(7.67)

Durante el analisis de las propiedades de la transformada vimos que |F (p)| → 0 para Re p →+∞. Por lo tanto, en el desarrollo (7.67) el coeficiente c0 es igual a cero, de manera que tenemos

F (p) =∞∑n=1

cnpn

(7.68)

Es facil hallar la funcion f(t) de variable real t para la que la funcion (7.68) es su transformada:

Teorema 59

Si el punto p = ∞ es un punto regular de la funcion F (p) y si F (∞) = 0, entonces la funcionF (p) es la transformada de Laplace de la funcion de variable real

f(t) = 0, t < 0 (7.69)

=∞∑n=0

cn+1tn

n!, t > 0

donde cn son los coeficientes del desarrollo de la funcion F (p) en serie de Laurent en el entornodel punto p = ∞.

Demostracion

En el capıtulo de series se demostro que los coeficientes del desarrollo (7.68) vienen dados porla formula

cn =1

2πi

∫CR

F (p)pn−1dp

donde CR es la circunferencia |p| = R fuera de la cual la funcion F (p) no tiene puntos singulares.Como el punto p = ∞ es un cero para la funcion F (p) tendremos que |F (p)| < M

Rpara |p| > R.

Por consiguiente, para los coeficientes cn obtenemos


|cn| < MRn−1

De aquı se deduce la convergencia de la serie (7.69). Efectivamente,

∣∣∣∣∣∞∑n=0

cn+1tn

n!

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=0

|cn+1||t|n

n!< M

∞∑n=0

Rn|t|n

n!= MeR|t|

De lo anterior se deduce que en el cırculo de radio finito R arbitrario la serie (7.69) convergeuniformemente y define, por lo tanto, cierta funcion continua de variable t:

f(t) =∞∑n=0

cn+1tn

n!

Es necesario destacar que la funcion f(t) definida por la formula (7.69) puede interpretarsecomo el producto de esta funcion f(t) por la funcion paso unitario de Heaviside θ(t).

Multiplicando la funcion f(t) por e−pt, integrando miembro a miembro con respecto a t la serie(7.69) convergente uniformemente y utilizando la relacion obtenida anteriormente

tn :n!

pn+1

obtenemos

∞∑n=0

cn+1tn

n!:

∞∑n=0

cn+11

pn+1=

∞∑n=1

cnp−n = F (p) (7.70)


Veamos en calidad de ejemplo la funcion

F (p) =1√p2 + 1

Esta funcion tiene dos puntos singulares (p = ±i) y es una funcion univaluada y analıtica enel entorno del punto p = ∞. No es difıcil de obtener el desarrollo de esta funcion en serie deLaurent con centro en p = ∞; dicho desarrollo resulta ser

F (p) =∞∑k=0

(−1)k(2k)!

22k(k!)2

1

p2k+1


Por eso la formula (7.70) nos da

1√p2 + 1

:∞∑k=0

(−1)kt2k

22k(k!)2=

∞∑k=0

(−1)k(t2

)2k(k!)2

(7.71)

La serie a la derecha de (7.71) es el desarrollo de una importantısima funcion especial conocidacon el nombre de funcion de Bessel de orden cero:

J0(t) =∞∑k=0

(−1)k(t2

)2k(k!)2

Por consiguiente

1√p2 + 1

: J0(t) (7.72)

Es importante destacar que como

1

p2 + 1=

1√p2 + 1

1√p2 + 1

teniendo en cuenta que 1p2+1

es la transformada de la funcion sin t y en virtud del teorema dela convolucion, obtenemos

∫ t

0

J0(τ)J0(t− τ)dτ = sin t

Veamos un ultimo ejemplo. Sea la funcion

F (p) =1

pe−

1p

Esta funcion, evidentemente, satisface las condiciones del teorema 59; se cumple que

F (p) =∞∑n=1

(−1)n−1 1

(n− 1)!pn

Entonces


1

pe−

1p :

∞∑n=0

(−1)ntn

(n!)2=

∞∑n=0

(−1)n

(2√t

2

)2n

(n!)2= J0(2

√t) (7.73)

7.3 Aplicacion de la transformada de Laplace a la solu-

cion de ecuaciones diferenciales

En este epıgrafe estudiaremos la aplicacion del metodo operacional a la solucion de problemasrelacionados con ecuaciones diferenciales lineales.

7.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Supongamos que deseamos resolver el problema de Cauchy para una ecuacion diferencial linealcon coeficientes constantes; es decir, que tenemos dadas la ecuacion y las condiciones iniciales:

a0y(n) + a1y

(n−1) + ...+ an−1y′ + any = f(t) (7.74)

y(0) = y0, y′(0) = y′0, ..., y

(n−1)(0) = y(n−1)0

Con el fin de hallar la solucion de este problema mediante la transformada de Laplace supon-dremos que a0 6= 0 y que la funcion f(t) y la solucion y(t) junto con sus derivadas hasta elorden n son originales. Introduzcamos la notacion

F (p) : f(t) y Y (p) : y(t)

Teniendo en cuenta la formula para la transformada de la derivada y las condiciones inicialesde (7.74) obtenemos de la ecuacion diferencial dada la siguiente ecuacion operacional:

Y (p)[a0pn + a1p

n−1 + ...+ an]− {a0[pn−1y0 + pn−2y′0 + ...+ yn−1

0 ] +

+a1[pn−2y0 + ...+ y

(n−2)0 ] + ...+ an−1y0} = F (p)

es decir

A(p)Y (p)−B(p) = F (p) (7.75)

donde A(p) y B(p) son polinomios conocidos de p.


Resolviendo esta ecuacion obtenemos la solucion operacional:

Y (p) =F (p)

A(p)+B(p)

A(p)(7.76)

Por consiguiente, la solucion buscada se obtendra de aquı con ayuda de la formula de Mellin:

y(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptF (p)

A(p)dp+

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞eptB(p)

A(p)dp (7.77)

Ejemplos

Resolver

1.

y′ + y = e−t

y(0) = 0

Tenemos que

e−t :∫ ∞

0

e−pte−tdt =

∫ ∞

0

e−t(p+1)dt =1

p+ 1

siempre que Re p > −1. Por lo tanto, la ecuacion operacional (7.75) en este caso es

(p+ 1)Y (p) =1

p+ 1

de donde

Y (p) =1

(p+ 1)2

Ası pues la solucion buscada es

y(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

ept

(p+ 1)2dp = Res

[ept

(p+ 1)2,−1

]= te−t

Observacion al ejercicio resuelto: La transformada de e−t obtenida arriba estadefinida y es analıtica, pues la integral converge uniformemente, en el semiplano dere-cho Re p > −1. Al aplicar la formula de Mellin, tomamos la prolongacion analıtica dedicha funcion al semiplano izquierdo Re p ≤ −1 donde tiene singularidad en el puntop = −1. Por eso, aplicando el Lema de Jordan, cerramos por la izquierda para t > 0 yaplicamos la teorıa de residuos. Para t < 0 por el Lema de Jordan debemos cerrar por


la derecha donde, por ser analıtico el integrando, la integral es igual a cero. Es decir,como era de esperar, obtenemos en realidad la solucion como un original, igual a ceropara t < 0 e igual a te−t para t > 0. Esto sera ası en todos los ejercicios y problemas quese resuelvan.

2.

y′′ + a2y = b sin at

y(0) = y0, y′(0) = y′0

Sabemos que

sin at :a

p2 + a2

Por consiguiente, la ecuacion operacional tiene la forma

(p2 + a2)Y (p) =ab

p2 + a2+ py0 + y′0

de donde la solucion operacional es

Y (p) =ab

(p2 + a2)2+

p

p2 + a2y0 +

1

p2 + a2y′0

Hallando de la expresion anterior el original por la formula de Mellin se obtiene en defini-tiva la solucion:

y(t) =

(y′0 +

b

2a

)sin at

a+

(y0 −

bt

2a

)cos at

Observacion al ejercicio resuelto: Fısicamente el problema responde al caso resonantede un sistema oscilante, ya que a es a la vez la frecuencia propia del sistema y la frecuenciade la fuerza externa aplicada al mismo. De ahı que la solucion tiene una dependencia linealrespecto a t, lo que significa que la amplitud de las soluciones encontradas es crecientecon el tiempo. Se recomienda al lector resolver el mismo problema cuando la frecuenciapropia a es diferente de la frecuencia de la parte derecha de la ecuacion; es decir, cuandola ecuacion a resolver con las mismas condiciones iniciales es y′′ + a2y = b sin ct cona 6= c. Tambien es conveniente destacar que de contar con una de las amplias tablasde transformadas existentes, sin tener que aplicar la formula de Mellin el lector puedeobtener la solucion simplemente buscando los originales correspondientes a cada uno delos sumandos de la expresion obtenida para Y (p). Precisamente gracias a la existenciade tales tablas de transformadas, el metodo de solucion aquı expuesto resulta de muchautilidad.

3.

y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 1

y′′(0) = y′(0) = y(0) = 0


La ecuacion operacional aquı es

(p+ 1)3Y (p) =1

p

de donde obtenemos

Y (p) =1

p(p+ 1)3=

1

p− 1

p+ 1− 1

(p+ 1)2− 1

(p+ 1)3

Calculando los originales obtenemos la solucion:

y(t) = 1− e−t − te−t − t2

2e−t

4.

y′′′ + y = 1

y′′(0) = y′(0) = y(0) = 0

La solucion operacional sera

Y (p) =1

p(p3 + 1)

cuyo original es

y(t) = 1− 1

3e−t − 2

3e(

t2) cos

t√

3

2

5.

y′′ + ω2y = a[θ(t)− θ(t− b)]

y′(0) = y(0) = 0

donde, como siempre, θ(t) es la funcion paso unitario de Heaviside.

La ecuacion operacional la buscamos con ayuda del teorema del retardamiento; su soluciones

Y (p) =a(1− e−bp)

p(p2 + ω2)

Se puede hallar que

a

p(p2 + ω2):

a

ω2− a

ω2cosωt =

2a

ω2sin2 ωt

2

y, por el teorema del retardamiento,


ae−bp

p(p2 + ω2):

2a

ω2sin2 ω(t− b)

2θ(t− b)

En definitiva

y(t) =2a

ω2

[sin2 ωt

2θ(t)− sin2 ω(t− b)

2θ(t− b)

]

De manera totalmente analoga se procede al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales concoeficientes constantes. Supongamos que queremos resolver el sistema de n ecuaciones diferen-ciales de segundo orden

n∑k=1

(alky′′k + blky

′k + clkyk) = fl(t), l = 1, 2, ..., n (7.78)

yk(0) = αk, y′k(0) = βk

Si consideramos que yk(t) y fl(t) son originales y representamos por Yk(p) y Fl(p) a sus trans-formadas, entonces el sistema del ecuaciones con las condiciones iniciales dadas obtenemos elsiguiente sistema operacional:

n∑k=1

(alkp2 + blkp+ clk) = Fl(p) +

n∑k=1

[(alkp+ blk)αk + alkβk]

Resolviendo este sistema como un sistema lineal algebraico de ecuaciones hallamos Yk(p) y deaquı los originales yk(t).

Ejemplos

1. Resolver el sistema

(2x′′ − x′ + 9x)− (y′′ + y′ + 3y) = 0

(2x′′ + x′ + 7x)− (y′′ − y′ + 5y) = 0

con las siguientes condiciones iniciales:

x(0) = x′(0) = 1, y(0) = y′(0) = 0

Pasando al sistema operacional


(2p2 − p+ 9)X − (p2 + p+ 3)Y = 2p+ 1

(2p2 + p+ 7)X − (p2 − p+ 5)Y = 2p+ 3

Sumando y restando las ecuaciones obtenemos

2X − Y = 2p+ 1

p2 + 4; X + Y =

1

p− 1

de donde

X =1

3

1

p− 1+

2

3

p

p2 + 4+

2

3

1

p2 + 4

Y =2

3

1

p− 1− 2

3

p

p2 + 4− 2

3

1

p2 + 4

Pasando a los originales obtenemos definitivamente

x =1

3(et + 2 cos 2t+ sin 2t); y =

1

3(2et − 2 cos 2t− sin 2t)

2. Resolver el sistema

x′′ − x+ y + z = 0

x+ y′′ − y + z = 0

x+ y + z′′ − z = 0

con las condiciones iniciales

x(0) = 1; y(0) = z(0) = x′(0) = y′(0) = z′(0) = 0

El sistema operacional tiene la forma

(p2 − 1)X + Y + Z = p

X + (p2 − 1)Y + Z = 0

X + Y + (p2 − 1)Z = 0

Su solucion es facil de hallar con ayuda de los determinantes:

X =p3

(p2 + 1)(p2 − 2); Y = Z = − p

(p2 + 1)(p2 − 2)

Calculando los originales obtenemos

x =2

3cosh(t

√2) +

1

3cos t; y = z = −1

3cosh(t

√2) +

1

3cos t


3. Tres masas puntuales identicas m estan atadas en una cuerda de forma que tal quela distancia entre ellas y la distancia de las masas de la izquierda y de la derecha a losextremos fijos de la cuerda son iguales a l (Fig.7.13). En el momento inicial las tres masasse encuentran en estado de equilibrio; a la masa central se le imprime una velocidad inicialv0. Hallar las ecuaciones que describen el movimiento del sistema.

Figura 7.13: Sistema de masas puntuales del ejemplo 3.

Las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema pueden ser halladas con ayuda delas ecuaciones de Lagrange que, para pequenas oscilaciones libres, tienen la forma

d

dt

(∂T

∂qk

)+∂Π

∂qk= 0

donde T es la energıa cinetica, Π la energıa potencial del sistema, qk son las coordenadasgeneralizadas y el punto encima de q senala la derivacion con respecto al tiempo.

En nuestro caso, si llamamos x1(t), x2(t), x3(t) al desplazamiento de las masas con res-pecto a la posicion de equilibrio, tendremos

T =m

2(x2

1 + x22 + x2

3); Π =P

l(x2

1 + x22 + x2

3 − x1x2 − x2x3)


donde P es la tension de la cuerda.

Por consiguiente, las ecuaciones de movimiento toman la forma

x1 + λ(2x1 − x2) = 0

x2 + λ(2x2 − x1 − x3) = 0

x3 + λ(2x3 − x2) = 0

donde λ = Pml

. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:

x1(0) = x2(0) = x3(0) = x1(0) = x3(0) = 0; x2(0) = v0

obtenemos las siguientes ecuaciones operacionales:

(p2 + 2λ)X1 − λX2 = 0

−λX1 + (p2 + 2λ)X2 − λX3 = v0

−λX2 + (p2 + 2λ)X3 = 0

Resolviendo este sistema obtenemos

X2 =p2 + 2λ

(p2 + 2λ)2 − 2λ2v0; X1 = X3 =

λ

(p2 + 2λ)2 − 2λ2v0

De aquı, hallando los originales, obtenemos

x1(t) = x3(t) = − v0

2√

2

(sinω1t

ω1

− sinω2t

ω2

)

x2(t) =v0

2

(sinω1t

ω1

+sinω2t

ω2

)donde

ω1 =

√(2 +

√2)λ; ω2 =

√(2−

√2)λ

7.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales

El metodo operacional puede ser utilizado con exito en la solucion de problemas no estacionariosde la Fısica Matematica. Para simplificar nuestro analisis nos limitaremos al caso en que lafuncion buscada u depende de dos variables independientes x y t que interpretaremos como lacoordenada espacial y como el tiempo, respectivamente. Ademas, supondremos que la ecuaciondiferencial tiene la forma


L[u] = a∂2u

∂x2+ b

∂u

∂x+ cu+ a1

∂2u

∂t2+ b1

∂u

∂t= 0 (7.79)

donde a, b, a1 y b1 son funciones continuas de la variable x, dadas en el intervalo 0 ≤ x ≤ l ysiempre supondremos que a > 0.

Analizaremos dos casos fundamentales:

1. a1 < 0 que es el caso hiperbolico y

2. a1 ≡ 0, b1 < 0 que es el caso parabolico.

El problema no estacionario en nuestro caso se formula de la siguiente manera:

Hallar la solucion u(x, t) de la ecuacion diferencial (7.79) para 0 ≤ x ≤ l y t ≥ 0 que satisfagalas condiciones iniciales

u(x, 0) = ϕ(x);∂u(x, 0)

∂t= ψ(x) (7.80)

(la segunda condicion inicial se da solamente en el caso hiperbolico) y las condiciones de frontera

u(0, t) = f(t); α∂u(l, t)

∂x+ β

∂u(l, t)

∂t= γu(l, t) (7.81)

Donde α, β y γ son constantes6

La condicion no estacionaria del problema se manifiesta en que se busca la solucion en depen-dencia de las condiciones iniciales (el regimen no estabilizado, transitorio, del proceso fısico).

Supongamos que u, ∂u∂x

y ∂2u∂x2 como funciones de t son originales y que

U(x, p) =

∫ ∞

0

u(x, t)e−ptdt

representa la transformada de Laplace de la funcion u. En virtud de nuestras suposicionestendremos entonces que

∂u

∂x:∫ ∞

0

∂u

∂xe−ptdt =

dU

dx;∂2u

∂x2:∫ ∞

0

∂2u

∂x2e−ptdt =

d2U

dx2

6Las condiciones de frontera pueden tener otra forma. Ademas, comunmente se tiene el caso en que l = ∞;entonces la condicion en la frontera no se escribe, aunque por el sentido fısico de la funcion u se exige que estasea acotada en el infinito.


(la derivacion de U con respecto a x la representamos con el sımbolo d y no ∂, pues en loadelante consideramos que p es un parametro). Segun la regla de derivacion de los originalestendremos que

∂u

∂t: pU − u(x, 0);

∂2u

∂t2: p2U − u(x, 0)p− ∂u(x, 0)

∂t

o, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, que

∂u

∂t: pU − ϕ(x);

∂2u

∂t2: p2U − pϕ(x)− ψ(x)

Supongamos, ademas, que f(t) es un original y que F (p) : f(t); entonces las condiciones defrontera nos dan

U |x=0 = F (p);

[αdU

dx+ β(pU − ϕ)

]x=l

= γU |x=l

Ası pues, el metodo operacional transforma el problema no estacionario arriba planteado parala ecuacion en derivadas parciales (7.79) en el problema para la ecuacion diferencial ordinaria

ad2U

dx2+ b

dU

dx+ AU +B = 0 (7.82)

donde A = c + a1p2 + b1p; B = −apϕ − a1ψ − b1ϕ y p es un parametro complejo, con las

siguientes condiciones de frontera:

U |x=0 = F (p);

[αdU

dx+ (βp− γ)U − βϕ

]x=l

= 0 (7.83)

Los razonamientos arriba expuestos nos muestran que bajo las condiciones impuestas la trans-formada U de la solucion u del problema no estacionario satisface la ecuacion (7.82) con lacondicion de frontera (7.83). Si el problema no estacionario tiene solucion unica que satisfagajunto con sus derivadas de primero y segundo orden las condiciones impuestas en el primerepıgrafe a los originales y si el problema (7.82)-(7.83) tiene solucion unica U , es evidente quela solucion del problema no estacionario puede obtenerse como el original de U .

Ejemplos

1. Hallar las oscilaciones de una cuerda seminfinita si conocemos la ley µ(t) de movimientodel extremo de la cuerda.

La elongacion u(x, t) de los puntos de la cuerda (0 < x <∞) satisface para todo t > 0 laecuacion


utt = a2uxx (7.84)

donde a2 es un coeficiente constante que tiene el sentido fısico del cuadrado de la velocidadde la onda que se propaga en la cuerda. Si en el momento inicial la cuerda se encuentraen reposo, las condiciones iniciales seran

u(x, 0) = 0; ut(x, 0) = 0 (7.85)

y la condicion en la frontera sera en este caso

u(0, t) = µ(t) (7.86)

En virtud de consideraciones fısicas debemos exigir que la solucion u(x, t) sea acotadacuando x→∞.

Si llamamos M(p) : µ(t) y U(x, p) : u(x, t), tendremos , atendiendo a las condicionesiniciales, que utt : p2U y ademas, uxx : Uxx. Por consiguiente, de (7.84) obtenemos laecuacion diferencial ordinaria:

p2U = a2Uxx (7.87)

con las condiciones de frontera

U(0, p) = M(p); |U(∞, p)| <∞ (7.88)

La solucion de (7.87) que cumple con las condiciones (7.88) es

U(x, p) = M(p)e−pax

Ası pues, las oscilaciones de la cuerda buscadas son

u(x, t) =1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞ep(t−

xa)M(p)dp = µ

(t− x

a

), si t− x

a≥ 0

= 0, si t− x

a< 0

ya que M(p) : µ(t). Esta solcion puede ser escrita en la forma

u(x, t) = θ(t− x

a

)µ(t− x

a

)que permite ver que esta respuesta es una onda viajera que se mueve de izquierda aderecha a lo largo de la cuerda con un frente de onda en el punto x = at. Es decir, paraun instante de tiempo t dado, los puntos a la izquierda de x = at se encuentran excitadoscon elongacion dada por µ

(t− x

a

), mientras que los puntos a la derecha se encuentran aun

en reposo, pues la perturbacion originada en x = 0 y que viaja a lo largo de la cuerda deizquierda a derecha con velocidad a no ha tenido todavıa tiempo de llegar a esos puntos.


2. Hallar la distribucion de temperaturas en una barra seminfinita dada la temperatura enel extremo de la barra. La temperatura u(x, t) de los puntos de la barra (0 < x < ∞)satisface para todo t > 0 la ecuacion

ut = a2uxx (7.89)

donde a2 es un coeficiente constante que tiene el sentido fısico de la razon entre la con-ductividad termica del material y el producto de la capacidad calorıfica por la densidaddel material (la conductividad termica en unidades de calorıas). Supongamos que en elmomento inicial la barra se encontraba a temperatura cero; entonces la condicion inicialsera

u(x, 0) = 0 (7.90)

y si esta dada la ley µ(t) mediante la que varıa la temperatura del extremo x = 0 de labarra, la condicion de frontera sera

u(0, t) = µ(t) (7.91)

Ademas, basados en consideraciones fısicas debemos exigir que la solucion u(x, t) seaacotada cuando x→∞.

Llamando M(p) : µ(t) y U(x, p) : u(x, t) obtenemos para la transformada U el siguienteproblema:

pU = a2Uxx (7.92)

U(0, p) = M(p)

|U(∞, p)| <∞

La solucion de este problema, evidentemente, es

U(x, p) = M(p)e−√

p

ax (7.93)

Como la expresion (7.93) es el producto de dos transformadas, por el teorema de laconvolucion tendremos que el original de U(x, p) sera

u(x, t) =

∫ t

0

ν(x, t− τ)µ(τ)dτ ≡∫ t

0

ν(x, τ)µ(t− τ)dτ (7.94)

donde

ν(x, t) =1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞ept−

√p

axdp : e−

√p

ax (7.95)

Nos encontramos ante una integral de Mellin muy difıcil de calcular, aunque no imposible,debido a la presencia de la raız de p en la exponencial que implica la existencia de un punto


de ramificacion en p = 0 que habrıa que bordear haciendo un corte oportuno en el planocomplejo p. Nosotros acometeremos el calculo de esta integral haciendo los siguientesrazonamientos:

Analicemos el caso particular en que µ(t) = 1. Entonces, segun (7.94), la solucion sera

u0(x, t) =

∫ t

0

ν(x, τ)dτ

de donde se deduce que

ν(x, t) =∂u0(x, t)

∂t(7.96)

Por consiguiente, nuestro problema consiste en resolver lo siguiente:

u0t = a2u0xx (7.97)

u0(x, 0) = 0

u0(0, t) = 1

Hagamos la siguiente transformacion: w(x, t) = 1 − u0(x, t). Entonces, para w(x, t)obtenemos el problema

wt = a2wxx (7.98)

w(x, 0) = 1

w(0, t = 0

El problema (7.98) tiene por solucion7

w(x, t) =

∫ ∞

0

G1(x, ξ, t)dξ (7.99)

donde G1(x, ξ, t)es la funcion de Green dada por la formula

G1(x, ξ, t) =1√

4πa2t

{e−

(x−ξ)2

4a2t − e−(x+ξ)2

4a2t

}(7.100)

Sustituyendo (7.100) en (7.99) obtenemos, despues de sencillos cambios de variables, que

w(x, t) = Φ

(x

2a√t

)(7.101)

donde

7ver Metodos Matematicos de la Fısica, capıtulo de Metodos de Transformadas Integrales, del autor delpresente libro


Φ(z) =2√π

∫ z

0

e−α2

dα

es la funcion de error.

Ası pues, la solucion del problema (7.97) es

u0(x, t) = 1− Φ

(x

2a√t

)(7.102)

En virtud de (7.96) y (7.102) obtenemos

ν(x, t) =∂u0(x, t)

∂t=

x

2a√πt

32

e−x2

4a2t (7.103)

Sustituyendo esta expresion en (7.94) obtenemos, definitivamente, que la solucion delproblema planteado (7.89), (7.90), (7.91) es

u(x, t) =

∫ t

0

ν(x, t− τ)µ(τ)dτ =x

2a√π

∫ t

0

µ(τ)

(t− τ)32

e− x2

4a2(t−τ)dτ (7.104)

3. Resolver el mismo problema del ejemplo anterior si en lugar de estar dada la temperaturaen el extremo de la barra se conoce el gradiente de la temperatura en dicho extremo. Esdecir, queremos resolver la misma ecuacion (7.89) con la misma condicion inicial (7.90),pero con la siguiente condicion de frontera:

ux(0, t) = ν(t) (7.105)

HaciendoN(p) : ν(t) y realizando las mismas operaciones del ejemplo anterior obtenemospara la transformada U(x, p) de la solucion buscada el siguiente problema:

pU = a2Uxx (7.106)

Ux(0, p) = N(p)

|U(∞, p)| <∞

Por el teorema de la convolucion podemos afirmar que la solucion buscada es

u(x, t) =

∫ t

0

w(x, t− τ)ν(τ)dτ (7.107)

donde

w(x, t) = − 1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞ept−

√p

ax

(a√p

)dp : − a

√pe−

√p

ax (7.108)

La integral de Mellin (7.108) resulta, de nuevo, difıcil de calcular con ayuda de residuos;por eso haremos lo siguiente. No es difıcil de observar que


w(x, t) : − a√pe−

√p

ax =

∂

∂x

[a2

pe−

√p

ax

](7.109)

Ademas, sabemos que

e−√

p

ax : ν(x, t)

donde ν(x, t) es la misma funcion (7.103) calculada en el ejemplo anterior.

Como 1p

: 1, podemos escribir de acuerdo con el teorema de la convolucion que

1

pe−

√p

ax :

∫ t

0

ν(x, τ)dτ = u0(x, t) (7.110)

donde u0(x, t) es la misma funcion (7.102) del ejemplo anterior. Por lo tanto

w(x, t) :∂

∂x

[a2

pe−

√p

ax

]= a2 ∂

∂x

[1

pe−

√p

ax

]: a2 ∂

∂x[u0(x, t)] (7.111)

Es decir,

w(x, t) = a2 ∂

∂x

[1− Φ

(x

2a√t

)]=

a√π√te−

x2

4a2t (7.112)

Sustituyendo (7.112) en (7.107) obtenemos la solucion buscada en la forma

u(x, t) =

∫ t

0

w(x, t− τ)ν(τ)dτ = − a√π

∫ t

0

ν(τ)√t− τ

e− x2

4a2(t−τ)dτ (7.113)

7.4 Otras transformadas integrales

La transformada de Laplace que a cada original f(t) pone en correspondencia su transformadaF (p) segun la formula

F (p) =

∫ t

0

f(t)e−ptdt (7.114)

y a cada transformada F (p) su original f(t) por medio de la formula

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp (7.115)

es un caso particular de las transformadas integrales del tipo


F (p) =

∫ ∞

0

f(t)K(t, p)dt (7.116)

donde K(t, p) es el nucleo de la transformada integral y es una funcion conocida de la variablet y del parametro p. Este tipo de transformada es utilizado en la resolucion de ecuacionesdiferenciales y en otras partes del analisis.

Para cerrar el presente capıtulo del Calculo Operacional senalaremos las mas importantes deestas transformadas.

7.4.1 Transformada de Fourier

Como en la formula (7.115) para hallar el original de la transformada de Laplace la integracionse lleva a cabo por la recta Re p = a, en esta formula podemos suponer p = a+ iσ y ası obtenerque

f(t) =eat

2π

∫ ∞

−∞F (a+ iσ)eiσtdσ

Introduzcamos las siguientes notaciones:

f(t)e−at = g(t);1√2πF (a+ iσ) = G(σ) (7.117)

Con esta nueva notacion la ultima formula toma la forma

g(t) =1√2π

∫ ∞

−∞G(σ)eiσtdσ (7.118)

La formula (7.114) para la transformada de Laplace puede ser escrita en la forma

F (a+ iσ) =

∫ ∞

0

f(t)e−ate−iσtdt

o, utilizando las nuevas notaciones, en la forma

G(σ) =1√2π

∫ ∞

0

g(t)e−iσtdt (7.119)

Las formulas (7.118) y (7.119) reciben el nombre de formulas de transformacion de Fourier y elpaso de la funcion g(t) a la funcion G(σ) se llama transformada de Fourier. De esta forma latransformada de Laplace que relaciona las funciones f(t) y F (p), es la transformada de Fourier


que relaciona las funciones g(t) = f(t)e−at y G(p) = 1√2πF (a+ iσ), donde a es un numero real

arbitrario mayor que el ındice de crecimiento de la funcion f(t).

El dominio de aplicabilidad de la transformada de Fourier es mucho mas limitado que el de latransformada de Laplace. Esto es ası, pues para la convergencia de la integral impropia (7.119)la funcion g(t) debe satisfacer una condicion bastante rigurosa en el infinito; por ejemplo, lacondicion de integrabilidad absoluta8, es decir, que sea convergente la integral

∫ ∞

−∞|g(t)|dt

La presencia en la integral de Laplace del factor e−at que ”anula” a los valores de f(t) paravalores grandes del argumento, permite ampliar la clase de originales hasta incluir funcionesque crezcan en el infinito con menos rapidez que cierta funcion exponencial, condicion no tanrigurosa como la que debe cumplir la funcion f(t) para la existenca de su transformada deFourier.

Si en particular el ındice de crecimiento de la funcion f(t) es cero y si en la formula de latransformada inversa de Laplace se puede tomar a = 0, entonces la transformada de Laplace(7.114)-(7.115) se diferencia de la transformada de Fourier (7.118)-(7.119) solamente en unfactor no sustancial delante de la integral. En este sentido puede decirse que la transformadade Fourier es un caso particular de la transformada de Laplace.9

La transformada de Fourier desde el punto de vista de la Fısica resulta mas natural que latransformada de Laplace. Esto se explica por el hecho de que las formulas (7.118)-(7.119) sonanalogas a las formulas del desarrollo de la funcion g(t) en serie de Fourier:

g(t) =∞∑

n=−∞

Gneinσt; Gn =

1

T

∫ T

0

g(t)e−inσtdt

donde T es el perıodo de la funcion g(t).

En efecto, la formula (7.118) puede interpretarse como el desarrollo de la funcion g(t) enun espectro continuo de oscilaciones armonicas simples G(σ)eiσt, cuyas frecuencias no varıan asaltos como en el caso de las series de Fourier, sino de forma continua. La funcion G(σ) definidapor la formula (7.119) puede interpretarse como un analogo de los coeficientes de Fourier Gn,es decir, como la amplitud compleja de las oscilaciones con frecuencia σ. La magnitud |G(σ)|muestra que porcion de estas oscilaciones hay en el espectro de las oscilaciones g(t); por estola funcion G(σ) recibe el nombre de funcion espectral.

8Para poder aplicar la transformada de Fourier es suficiente, ademas de la condicion de integrabilidad absolutade la funcion g(t), exigir que esta funcion sea seccionalmente continua y tenga variacion acotada en cada intervalofinito del eje t; la demostracion puede verse en cualquier curso de Analisis Matematico.

9Destaquemos que en la teorıa de la transformada de Fourier generalmente no se supone que g(t) sea ceropara t negativas, por lo que en la formula (7.119) el lımite inferior de la integral se toma −∞ en lugar de cero.En la teorıa de la transformada de Laplace a veces se deja de suponer la igualdad a cero del original para tnegativa y se llega con esto al concepto de la llamada transformada bilateral de Laplace, en la que la integral(7.114) se toma entre −∞ e ∞.


En virtud de lo dicho es facil comprender que la aplicacion de la transformada de Fourier esmuy analoga a la aplicacion de la transformda de Laplace. El lector puede comprender confacilidad que, en esencia, una es la otra girada en π

2en el plano complejo. En las aplicaciones,

generalmente se utiliza la transformada de Laplace para solucionar problemas al estilo de losejemplos del epıgrafe anterior, mediante la aplicacion de la misma a la variable tiempo. Porotro lado, en las aplicaciones a la solucion de ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesla transformada bilateral de Fourier se aplica a la variable espacial en dominios no acotados.Si dicho dominio es de varias dimensiones espaciales, la transformada de Fourier que se aplicaes la de varias dimensiones, que sale como extension natural de la serie de Fourier en variasdimensiones aplicada a dominios acotados. Estas aplicaciones pueden verse en el uso que demanera amplia se realiza en el libro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.

7.4.2 Transformada de Mellin

Cambiemos en las formulas de la transformada bilateral de Laplace (7.114) y (7.115) las varia-bles p por −p y t por τ = et. Entonces estas formulas se convierten en

F (−p) =

∫ ∞

0

f(ln τ)ep ln τ dτ

τ; f(ln τ) =

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (−p)e−p ln τdp

Si ademas llamamos g(τ) = f(ln τ) y G(p) = F (−p), llegamos entonces a las llamadas formulasde transformacion de Mellin10

G(p) =

∫ ∞

0

g(t)tp−1dt; g(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

G(p)

tpdp (7.120)

(de nuevo escribimos t en lugar de τ).

De manera elemental se demuestra que la transformada de Mellin posee una serie de propiedadesanalogas a las propiedades de la transformada de Laplace; por ejemplo,

g(αt) :G(p)

αp; tαg(t) : G(p+ α); f(t)g(t) :

∫ a+i∞

a−i∞F (q)G(p− q)dq (7.121)

y otras. Senalemos especialmente el teorema de la transformada de la derivada: si el lımite deg(t)tp−1 para t→ 0 y t→ +∞ es igual a cero se cumple que

10Para poder aplicar estas formulas es suficiente la analiticidad de G(p) en la franja s1 < s < s2, la conver-gencia absoluta de la integral

∫∞−∞G(s + iσ)dσ para toda s de esta franja y la convergencia uniforme a cero de

G(s + iσ) para |σ| → ∞ en cualquier franja mas estrecha s1 − δ ≤ s ≤ s2 + δ, δ > 0; la recta de integracion enla segunda formula debe pertenecer a esta franja.

Se pueden formular las condiciones de aplicabilidad en terminos de la funcion g(t): es suficiente exigir que estafuncion sea seccionalmente continua y tenga variacion acotada en cada segmento del semieje t > 0 y que existandos constantes s1 y s2, s1 < s2, tales que las integrales

∫0g(t)ts1−1dt y

∫∞g(t)ts2−1dt converjan absolutamente;

la recta de integracion en la segunda formula debe tambien pertenecer a la franja s1 < s < s2.


g′(t) : −(p− 1)G(p− 1) (7.122)

Aplicando este teorema varias veces se obtiene la formula para la transformada de derivadasde orden superior. Los productos del tipo tkg(k)(t) tienen transformadas sencillas; integrandopor partes y si g(t)tp|∞0 = 0 obtenemos

tg′(t) : −pG(p) (7.123)

y si ademas g′(t)tp+1|∞0 = 0, se obtiene

t2g′′(t) : (p+ 1)pG(p) (7.124)

etcetera. Esta ultima propiedad resulta muy util para resolver ecuaciones diferenciales que

contengan miembros del tipo tk dkydtk

.

7.4.3 Transformada de Hankel

Analogamente a (7.114) podemos escribir la transformada bidimensional de Fourier:

G(σ, τ) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞g(x, y)e−i(σx+τy)dxdy

g(x, y) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞G(σ, τ)ei(σx+τy)dσdτ

Utilizando las coordenadas polares: x = r cosϕ, y = r sinϕ y σ = ρ cos θ, τ = ρ sin θ tendremos

G(ρ, θ) =1

2π

∫ ∞

0

rdr

∫ 2π

0

g(r, ϕ)e−irρ cos(ϕ−θ)dϕ (7.125)

g(r, ϕ) =1

2π

∫ ∞

0

ρdρ

∫ 2π

0

G(ρ, θ)eirρ cos(ϕ−θ)dθ

Supongamos en particular que g(r, ϕ) = e−inϕg(r), donde n es un numero entero y cambiemosen la primera de las formulas (7.125) ϕ−θ = π

2+t. Teniendo en cuenta las conocidas propiedades

de la integral de una funcion periodica obtenemos

G(ρ, θ) =1

2πe−in(θ+

π2 )∫ ∞

0

g(r)rdr

∫ 2π

0

ei(rρ sin t−nt)dt


La integral interior en esta expresion no es otra cosa que la representacion integral de la funcionde Bessel de orden n11:

Jn(rρ) =1

2π

∫ 2π

0

ei(rρ sin t−nt)dt

Por consiguiente, llamando G(ρ, θ)ein(θ+π2 ) = Gn(ρ) podemos escribir dicha expresion en la

forma

Gn(ρ) =

∫ ∞

0

g(r)Jn(rρ)rdr (7.126)

En la nueva notacion la segunda de las formulas (7.125) toma la forma

g(r) =1

2π

∫ ∞

0

Gn(ρ)ρdρ

∫ 2π

0

ei[n(ϕ−θ−π2 )+rρ cos(ϕ−θ)]dθ

Haciendo el cambio θ−ϕ = t− π2

la integral interior nos da, de nuevo, la representacion integralde la funcion de Bessel de orden n, por lo que en definitiva obtenemos

g(r) =

∫ ∞

0

Gn(ρ)Jn(rρ)ρdρ (7.127)

Las formulas (7.126) y (7.127) se denominan formulas de transformacion de Hankel de orden n(tambien se llaman formulas de Fourier-Bessel). Para su aplicacion es suficiente, por ejemplo,que la funcion g(r) sea seccionalmente continua y tenga variacion acotada en cualquier segmentofinito del semieje r > 0 y que la integral

∫∞0g(r)

√rdr converja absolutamente.

Veamos la expresion de estas formulas para la transformada de la derivada. Por definicion detransformada de Hankel de orden n integrando por partes tenemos

g′(r) :∫ ∞

0

dg

drJn(rρ)rdr = rg(r)Jn(rρ)|∞r=0 −

∫ ∞

0

g(r)d

dr[rJn(rρ)]dr

Suponiendo que el primer sumando es nulo y teniendo en cuenta la formula de recurrencia paralas funciones de Bessel12:

J ′n(rρ) = Jn−1(rρ)−r

rρJn(rρ)

obtenemos

11Ver el libro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.12Ver el libro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.


d

dr[rJn(rρ)] = Jn(rρ) + ρrJ ′n(rρ) = −(n− 1)Jn(rρ) + ρrJn−1(rρ)

y

g′(r) : (n− 1)

∫ ∞

0

g(r)Jn(rρ)dr − ρ

∫ ∞

0

g(r)Jn−1(rρ)rdr

La integral en el segundo sumando es la transformada de Hankel de orden n− 1 de la funciong(r), que llamaremos Gn−1(ρ). La integral en el primer sumando es la transformada de orden n

de la funcion g(r)r

, pero es preferible expresarla a traves de la transformada de la funcion g(r).Para ello utilicemos la siguiente formula de recurrencia de las funciones de Bessel:

Jn(rρ)

r=

ρ

2n[Jn−1(rρ) + Jn+1(rρ)]

Entonces obtenemos definitivamente que

g′(r) : −ρ[n+ 1

2nGn−1(ρ)−

n− 1

2nGn+1(ρ)

](7.128)

La formula obtenida es bastante mas complicada; mas complicadas aun son las formulas que seobtienen para la transformada de g′′(r) y para derivadas de orden superior. Sin calcular estasformulas hallemos la transformada de cierta combinacion de funciones g, g′ y g′′.

Suponiendo que rg′(r)Jn(rρ)|∞0 = 0 e integrando por partes obtenemos

∫ ∞

0

d2g

dr2Jn(rρ)rdr = −

∫ ∞

0

dg

dr

d

dr[rJn(rρ)]dr

Por consiguiente,

∫ ∞

0

(d2g

dr2+

1

r

dg

dr

)Jn(rρ)rdr = −ρ

∫ ∞

0

dg

drrJ ′n(rρ)dr = ρ

∫ ∞

0

g(r)d

dr[rJ ′n(rρ)]dr

Hemos integrado otra vez por partes basandonos en que rg(r)J ′n(rρ)|∞0 = 0. Pero como lafuncion de Bessel Jn(rρ) es solucion de la ecuacion de Bessel:

ρd

dr[rJ ′n(rρ)] = −

(ρ2 − n2

r2

)rJn(rρ)

podemos escribir la ultima formula de la forma


∫ ∞

0

(d2g

dr2+

1

r

dg

dr− n2

r2g

)Jn(rρ)rdr = −ρ2

∫ ∞

0

g(r)Jn(rρ)rdr

Ası pues, si rg′(r)Jn(rρ)|∞0 = rg(r)J ′n(rρ)|∞0 = 0, obtenemos que

g′′(r) +1

rg′(r)− n2

r2g(r) : −ρ2Gn(ρ) (7.129)

En particular, para la transformada de Hankel de orden cero obtenemos

g′′(r) +1

rg′(r) : −ρ2G(ρ) (7.130)

donde

G(ρ) = G0(ρ) (7.131)

La combinacion de derivadas que figura a la izquierda en la formula (7.130) aparece en laexpresion del operador de Laplace en coordenadas cilındricas o polares. Por ello la transformadade Hankel se utiliza principalmente en los problemas que contienen este tipo de expresiones.

7.4.4 Transformacion de una integral de contorno

Para terminar veremos el ejemplo de una formula de transformacion de otro tipo. Este tipo deformula se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales con ayuda de integrales de contorno.

Sea la funcion g(z) analıtica en el dominio D que contiene al origen de coordenadas y sea

f(z) =1

2πi

∫C

ζNg(ζ)dζ

(ζ − z)N(7.132)

donde C es la frontera del dominio D, N es un numero positivo y ζN

(ζ−z)N es una rama univaluaday analıtica en el dominio D con un corte a lo largo de una trayectoria γ que una los puntos 0y z.

Entonces g(z) se determina completamente mediante la formula

g(z) =

∫ 1

0

(1− ζ)N−1f ′(zζ)dζ (7.133)

Para demostrar esta afirmacion supongamos de inicio que el punto z pertenece al cırculo deconvergencia del desarrollo de Taylor


g(z) =∞∑k=0

ckzk

y deformemos el contorno C en uno que tambien pertenezca a dicho cırculo y que envuelva alcorte γ. Sustituyendo este desarrollo en la formula (7.132) e integrando miembro a miembroobtenemos

f(z) =∞∑k=0

ck2πi

∫C

ζN+kdζ

(ζ − z)N(7.134)

El residuo de la funcion bajo la integral en el punto ζ = ∞ se halla del desarrollo de esa funcion:

ζk(1− z

ζ

)−Ny sera

−N(N + 1)...(N + k)

(k + 1)!zk+1 = −Γ(N + k + 1)

Γ(k + 2)Γ(N)zk+1

Como la integral en el elemento k de la formula (7.134) es igual a este residuo multiplicado por(−2πi), en el desarrollo f(z) =

∑∞k=0 bkz

k tendremos

bk+1 =Γ(N + k + 1)

Γ(k + 2)Γ(N)ck (7.135)

donde k = 0, 1, 2, ...

Por otro lado, la integral a la derecha en la formula (7.133) es igual a

∞∑k=0

(k + 1)bk+1zk

∫ 1

0

ζk(1− ζ)N−1dζ =∞∑k=0

(k + 1)bk+1zkΓ(k + 1)Γ(N)

Γ(N + k + 1)=

=∞∑k=0

bk+1Γ(k + 2)Γ(N)

Γ(N + k + 1)zk =

∞∑k=0

ckzk = g(z)

Para calcular la integral, que es la llamada funcion beta de Euler, hemos utilizado la conocidarelacion existente entre las funciones beta y gamma de Euler:

B(z, w) =Γ(z)Γ(w)

Γ(z + w)

y hemos sustituido bk+1 por ck, segun la formula (7.135). Ası pues, la formula (7.133) quedademostrada bajo la suposicion arriba realizada. Para demostrarla para toda z del dominio Des suficiente utilizar la prolongacion analıtica.


Las formulas de transformacion (7.132)-(7.133) fueron obtenidas por Mackie13 y utilizadas porel para resolver la ecuacion de Euler-Poisson que tiene grandes aplicaciones en la aerodinamica.

7.4.5 Prolongacion analıtica de la transformada de Fourier

En el primer punto de este epıgrafe definimos a traves de las formulas (7.118) y (7.119) latransformada inversa y la de Fourier respectivamente. Colocando (7.119) en (7.118) obtenemosla conocida integral de Fourier:

g(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

g(τ)eiσ(t−τ)dτdσ (7.136)

Consideremos que la funcion g(t) no se anula para t < 0. Entonces la integral interior en (7.136)debera tomarse desde −∞ hasta +∞. Por lo tanto, adscribiendo el factor constante 1

2πa la

transformada inversa, podemos definir la transformada de Fourier como:

G(σ) =

∫ ∞

−∞g(t)e−iσtdt (7.137)

y la transformada inversa como:

g(t) =1

2π

∫ ∞

−∞G(σ)eiσtdσ (7.138)

Segun habıamos indicado en el punto 1, el dominio de aplicabilidad de la transformada deFourier es mucho mas limitado que el de la transformada de Laplace debido a que la funciong(t) debe ser absolutamente integrable en todo el eje. Con vistas a ampliar la aplicabilidad dela transformada de Fourier a una clase mas amplia de funciones, efectuemos su prolongacionanalıtica al plano complejo mediante la introduccion, en lugar de la variable real σ, de la variablecompleja

z = σ + iγ (7.139)

La prolongacion analıtica de la transformada de Fourier (7.137) sera entonces la funcion:

G(z) =

∫ ∞

−∞g(t)e−iztdt (7.140)

La prolongacion analıtica realizada nos conduce para la transformada inversa a la expresion:

13A.G. Mackie: ”Contour integral solutions of a class of differential equations”, J. Rational Mech. andAnalysis, 4, 5 (1955), 733-750.


g(t) =1

2π

∫ ∞+iγ

−∞+iγ

G(z)eiztdz (7.141)

donde la integracion se realiza en general por una recta paralela al eje real en el plano complejoz.

Para analizar las caracterısticas de la transformada (7.140) supongamos que la funcion g(t)cumple que:

|g(t)| < Meat, ∀t→ +∞, |g(t)| < Nebt, ∀t→ −∞ (7.142)

donde a y b son en general parametros reales arbitrarios. Entonces, escribiendo (7.140) comola suma de dos integrales:

G(z) =

∫ ∞

0

g(t)e−iztdt+

∫ 0

−∞g(t)e−iztdt ≡ I1 + I2

tendremos por (7.142) que para I1

|g(t)e−izt| = |g(t)|eγt < Me(a+γ)t (7.143)

y para I2

|g(t)e−izt| = |g(t)|eγt < Ne(b+γ)t (7.144)

Las integrales de los mayorantes obtenidos en (7.143) y (7.144) son convergentes si γ < −a yγ > −b respectivamente. Por consiguiente, la transformada de Fourier (7.140) sera convergenteabsoluta y uniformemente en la franja horizontal del plano complejo z:

−b < Imz < −a (7.145)

y la funcion G(z) por ella definida sera analıtica en dicha franja. De acuerdo con el teorema deCauchy, la transformada inversa (7.141) se calculara integrando por cualquier recta paralela aleje real σ contenida en la franja de analiticidad (7.145).

Las condiciones (7.142) impuestas a la funcion g(t) son mucho menos rigurosas que las im-puestas en el punto 1 del presente epıgrafe para la existencia de la transformada de Fourier;por consiguiente, mediante la prolongacion analıtica (7.139) de la transformada de Fourier estapuede ser aplicada a una clase mucho mas amplia de funciones.

De (7.145) es evidente que si a > 0 y b > 0 (b > a) la franja de definicion de la funcionG(z) no contiene al eje real σ, lo que significa que para la clase de funciones que cumple con


(7.142) para esos valores de a y b, es decir, para funciones que crezcan con menos rapidez quecierta exponencial para t → ∞ y decrezcan con menos rapidez que cierta exponencial parat → −∞, existe la transformada de Fourier compleja, aunque no exista la transformada real.Si fuera a < 0, b > 0 entonces la franja (7.145) contiene al eje real σ y obviamente g(t) sera unafuncion que decrece con menos rapidez que ciertas exponenciales para t→ ±∞ lo que significaque sera una funcion absolutamente integrable en todo el eje real. En este caso existira latransformada real de Fourier en el sentido en que fue definida en el punto 1 de este epıgrafe;como la integral (7.141) puede calcularse, gracias al teorema de Cauchy, por cualquier rectaparalela al eje real σ contenida dentro de dicha franja, se puede hacer el calculo simplemente porel eje real σ, de manera que esta coincide con la formula (7.118) aunque en ella debe sustituirse√

2π simplemente por 2π de acuerdo con nuestra notacion en este epıgrafe. El calculo de dichaintegral podra hacerse, gracias a la prolongacion analıtica arriba realizada con la ayuda dellema de Jordan y la teorıa de residuos. Si a < 0 y b < 0 (b > a) de nuevo la franja no contieneal eje real σ y no existira la transformada real de Fourier, aunque sı existira la transformadacompleja que sera analıtica en la franja mencionada. La condicion de que b > a es indispensableen todos los casos para la existencia de la transformada compleja dada por (7.140).

Consideremos, por ultimo, la transformada unilateral de Fourier: sea g(t) ≡ 0 para t < 0.Entonces, para no caer en contradicciones con (7.142) es evidente que debemos tomar el casob→ +∞. Por consiguiente, de (7.145) vemos que la transformada unilateral de Fourier

G(z) =

∫ ∞

0

g(t)e−iztdt (7.146)

sera una funcion analıtica en el semiplano inferior

Im z < −a (7.147)

La transformada inversa (7.141) se calculara por una recta paralela al eje real σ contenida enel semiplano de analiticidad.

Si hacemos una rotacion del plano complejo z en un angulo igual a π2, lo que equivale a decir

que hacemos el cambio de variables p = iz, entonces obtenemos de (7.146):

G(pi

)=

∫ ∞

0

g(t)e−ptdt ≡ Gl(p) (7.148)

La expresion (7.148) no es otra cosa que la transformada de Laplace de la funcion g(t) que, portanto, representaremos porGl(p). Llamando p = s+iσ, entonces tendremos que la transformadade Laplace Gl(p) sera analıtica para s > a, es decir, en el semiplano derecho Re p > a del planocomplejo p. Al efectuar la rotacion indicada la transformada inversa (7.141) toma la expresion

g(t) =1

2π

∫ ∞+iγ

−∞+iγ

G(z)eiztdz =1

2π

∫ −γ+i∞

−γ−i∞Gl(p)e

pt(−idp) =1

2πi

∫ s+i∞

s−i∞Gl(p)e

ptdp (7.149)


con s > a. Es decir, como era de esperar, se obtiene la formula de Mellin. Los calculosefectuados nos permiten concluir la fuerte relacion existente entre las transformadas de Laplacey la unilateral de Fourier: la primera es la segunda rotada un angulo π

2en el plano complejo.


1. Hallar la transformada de Laplace F (p) de los siguientes originales:

(a) f(t) = θ(t− τ); τ > 0

(b) f(t) = θ(t− τ1)− θ(t− τ2); 0 < τ1 < τ2

(c)

f(t) = at+ b; 0 ≤ t < t0

= 0; t > t0

(d) f(t) = a+ bt

(e) f(t) =√t

(f) f(t) = cosh t cos t

(g) f(t) = cosh at sin at

(h) f(t) = 12sinh t sin t

(i) f(t) = sin4 t

(j) f(t) = e−4t sin 3t cos 2t

2. Hallar el original f(t) de las siguientes transformadas de Laplace:

(a) p+8p2+4p+5

(b) p+1p2+2p

(c) 1(p−1)(p−2)2

(d) p+c(p+a)(p+b)2

(e) p(p2+a2)(p2+b2)

; a 6= b

(f) a2

p(p+a)2

(g) 5p+3(p−1)(p2+2p+5)

(h) 1(p2+a2)2

(i) 2p+3(p2+4p+8)2

3. Resolver los siguientes problemas de Cauchy de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′′′ − 2y′′ + y′ = 4; y(0) = 1, y′(0) = 2, y′′(0) = −2

(b) y(4) − 5y′′ + 10y′ − 6y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 6, y′′′(0) = −14


(c) y(4) + 2y′′ + y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 2, y′′′(0) = −3

(d) y′′ + y = t cos 2t; y(0) = 0, y′(0) = 0

(e) y′′′ − y′′ = 0; y(0) = y0, y′(0) = y1, y

′′(0) = y2

(f) y′′ + n2y = a sinnt; y(0) = y0, y′(0) = y1

(g) y′′′ + y = 12t2et; y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

(h) y′′ + n2y = a sin(mt+ α); m 6= n, y(0) = y′(0) = 0

(i) y′′ −m2y = aemt + bent; m 6= n, y(0) = y′(0) = 0

4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales con las siguientes condicionesiniciales:

(a)

3x′ + 2x+ y′ = 1; x(0) = y(0) = 0

x′ + 4y′ + 3y = 0

(b)

x′ − x− 2y = t; x(0) = 2, y(0) = 4

−2x+ y′ − y = t

(c)

x′ − x+ 2y = 0; x(0) = 0, x′(0) = −1, y(0) =1

2x′′ − 2y′ = 2t− cos 2t

5. Resolver utilizando la transformada de Laplace las siguientes ecuaciones integrales deVolterra:

(a) y(t) = at+∫ t

0sin(t− τ)y(τ)dτ

(b) y(t) = t2

2+∫ t

0et−τy(τ)dτ

6. El movimiento de una partıcula cargada de masa m y carga e, que se encuentra en uncampo electrico de intensidad E paralelo al eje Ox y en un campo magnetico de intensidadH paralelo al eje Oz, se determina por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

md2x

dt2= Ee+

eH

c

dy

dt

md2y

dt2= −eH

c

dx

dt

md2z

dt2= 0

donde c = constante. Hallar x, y, z, si la partıcula en el instante t = 0 tenıa una velocidad{u, v, w} y se encontraba en el origen de coordenadas.


7. El movimiento en relacion con la Tierra de una partıcula que comienza su trayectoriadesde el origen de coordenadas a la altura λ con velocidad inicial {u, v, w} se determinapor el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

d2x

dt2− 2ω

dy

dtsinλ+ 2ω

dz

dtcosλ = 0

d2y

dt2+ 2ω

dx

dtsinλ = 0

d2z

dt2− 2ω

dx

dtcosλ = −g

donde ω es la velocidad angular de rotacion de la Tierra. Aquı el eje Oz esta dirigidohacia el centro de la Tierra, el eje Ox hacia el este y el eje Oy hacia el norte; g es laaceleracion de la gravedad terrestre. Hallar x(t), y(t), z(t).

8. Una barra de longitud l se encuentra en estado de reposo y su extremo x = 0 esta fijo entanto que a su extremo libre x = l se le aplica una fuerza A sinωt dirigida a lo largo del ejede la barra. Hallar las oscilaciones longitudinales de la barra en ausencia de resonanciacon ayuda de la transformada de Laplace.

9. Resolver el problema sobre un campo de temperaturas estacionario en el sector | arg z| <α, en los lados del cual en los puntos donde |z| < a se mantiene una temperatura u0

constante y en los puntos donde |z| > a la temperatura es cero.

Sugerencia: Utilizar la transformada de Mellin.

10. Resolver el problema clasico sobre el potencial creado por un disco plano cargado conayuda de la transformada de Hankel.

Capıtulo 8

Respuestas e indicaciones a losejercicios

8.1 Capıtulo 2

1. a) 2(cos π

3+ i sin π

3

); b) 2 sin α

2

(cos π−α

2+ i sin π−α

2

)2. a) ±(2 + i); b) 2

{cos[π6

+ kπ3

]+ i sin

[π6

+ kπ3

]}, (k = 0, 1, ..., 5); c) 3

√2 cos

[π4

+ 2kπ3

]+

+i 3√

2 sin[π4

+ 2kπ3

], (k = 0, 1, 2)

3. e−π2

4. 1− i; λ(1− i), λ(1 + i) donde λ es un numero complejo arbitrario.

5. Las coordenadas de Z: ξ = 4R2x4R2+r2

; η = 4R2y4R2+r2

; ζ = 2Rr2

4R2+r2, donde r =

√x2 + y2 = |z|, R

es el radio de la esfera, los ejes ξ y η coinciden con los ejes x y y y el eje ζ coincide conel diametro vertical de la esfera.

6. a) no; b) sı

7. a) 6z − 4; b) −16(z − 4z3); c) 5(2z+1)2

8. a) Analıtica para z 6= ∞; b) analıtica para z 6= 0; c) no es analıtica pues es multivaluada;d) no es analıtica en ningun punto; f) no es analıtica aunque es continua fuera de lasrectas arg z ± π

2; g) no es analıtica en ningun punto aunque es continua en todo el plano.

10. a) v(x, y) = 3x2y − y3 + c; b) u(x, y) = sin x cosh y + c

8.2 Capıtulo 3

1. a) i) i; ii) 2i; b) 4πi; c) i(sinh 1− cosh 1); d) i) e(2− e?−i− 1); ii) 1 + e−i(e− 2); e) − i3

2. La longitud del arco C.

439


3. π√

22i

4. π2(πi− 1)

5. a) 2π; b) 2πi; c) πi sec2 a2; d) 8πi

3

8.3 Capıtulo 4

1. a) El semiplano Re z > 1; b) La serie puede ser escrita en la forma∑∞

n=−∞ cneinz; en

el plano ζ = eiz su dominio de convergencia es un anillo, en el plano z es una franjahorizontal.

2. a) ∞; b) 1

3. a) −∑∞

n=03n

zn+1 ; b) −∑∞

n=1 in−1nzn−1

4. a) i)∑∞

n=1 nzn; ii) 1

(z−1)2+ 1

z−1; iii)

∑∞n=1

nzn ;

b) i) 12(z−i) + i

4

∑∞n=0(−1)n (z−1)n

(2i)n ; ii)∑∞

n=0(−1)n

z2n−1 ; c) i) −1z−∑∞

n=0 zn; ii)

∑∞n=0

(−1)n

(z−1)n+1 ; d)−iz−2i

+∑∞

n=0(−1)n (z−2i)n

in; e) i)

∑∞n=1

n(z+1)n−1

4n+1 ; ii)∑∞

n=1n3n−1

zn+2 ; iii) 1(z−3)2

; f) i)

∞∑n=0

(−1)n[A(n+ 1)

4n+2+

B

4n+1+ C

](z − 3)n

;

ii) A(z+1)2

+ Bz+1

− C∑∞

n=0(z+1)n

3n+1 ; iii)∑∞

n=0(−1)n[A(n+1)3n+2 + B

3n+1

](z − 2)n + C

z−2; donde

A = 13, B = −2

9, C = 2

9; g)

∑∞n=0 i

n−1(z − 1)n

5. Hagamos t = cosϕ y descompongamos f(z) en quebrados simples:

−1 +1

1− z2e−iϕ

+1

1− z2eiϕ

Desarrollemos cada uno de estos quebrados en una progresion geometrica; obtenemos:f(z) = 1 +

∑∞n=0

cosnϕ2n−1 z

n, de donde Tn(cosϕ) = 12n−1 cosnϕ.

6. Jn(t) =∑∞

k=0(−1)k

k!(n+k)!

(t2

)n+2k. Este desarrollo se obtiene haciendo el cambio de variable

ζ = t2

(z − 1

z

)en la serie para eζ y agrupando luego en potencias de z. De las formulas

para los coeficientes en la serie de Laurent tenemos Jn(t) = 12πi

∫Ce

t2(z−

1z ) dz

zn+1 . Tomandopor contorno de integracion C a |z| = 1 y suponiendo z = eiθ se obtiene:

Jn(t) =1

2πi

∫ 2π

0

eit sin θe−inθidθ =1

2π

∫ 2π

0

cos(nθ − t sin θ)dθ

pues∫ 2π

0sin(nθ− t sin θ)dθ = 0 lo que puede facilmente comprobarse haciendo θ = 2π−θ.

Respuestas e indicaciones a los ejercicios 441

7. a) Es una funcion continua junto con sus derivadas de cualquier orden en x = 0; b) tieneen z = 0 una singularidad esencial.

8. a) Singularidad esencial en z = 1, polos de primer orden en z = 2kπi, z = ∞ es unasingularidad no aislada; b) polos de primer orden en los puntos z = −π

4+ kπ (k =

0±1,±2, ...) donde sin z+cos z = 0, z = ∞ es una singularidad no aislada; c) z = (2k+i)πson polos de primer orden, z = ∞ es una singularidad no aislada; d) un punto singularesencial en z = ∞.

8.4 Capıtulo 5

1. a) e3(cos 2− i sin 2); b) cos 1 cosh 1 + i sin 1 sinh 1; c) sinh 2 cos 3 + i cosh 2 sin 3; d)

tanh 1 + tanh 1 tan2 1

1 + tanh2 1 tan2 1+ i

tan 1− tanh2 1 tan 1

1 + tanh2 1 tan2 1

e) ln 2 + i(−π

4+ 2kπ

)f)

2kπ − i ln(√

2− 1)

π(2k + 1)− i ln(1 +√

2)

g)

ln(2 +√

3) + i2kπ

ln(2−√

3) + i2kπ

h)(k + 1

2

)π − i

2ln 3; i) 3e−2kπ[cos(ln 3) + i sin(ln 3)]; j) ie−π(2k+ 1

2)

2. a) Re ez2

= ex2−y2 cos(2xy); Im ez

2= ex

2−y2 sin(2xy)

b) Re (z2 sin z) = (x2 − y2) sinx cosh y − 2xy cosx sinh y

Im (z2 sin z) = (x2 − y2) cos x sinh y − 2xy sin x sinh y

c) Re (tan z) = tanx(1−tanh2 y)1+tan2 x tanhy ; Im (tan z) = tanh y(1−tan2 x)

1+tan2 x tanhy

d) ReLn z = 12ln(x2 + y2); ImLn z = arg z + 2kπ

e) Re z3+i =√

(x2 + y2)3e− arg z+2kπ cos[

12ln(x2 + y2) + 3 arg z

]Im z3+i =

√(x2 + y2)3e− arg z+2kπ sin

[12ln(x2 + y2) + 3 arg z

]3. Al recorrer en sentido positivo una circunferencia que contenga a los puntos 0 y 1 el

argumento de la expresion que esta bajo el radical varıa 6π; por lo tanto, cada valor dela raız vuelve a su valor inicial.

4. ln 3 + iπ

5. w1 = e−e(1+πi); w2 = e−e(1−πi)


8.5 Capıtulo 6

1. a) 2825

; −5325

; b) − 764

; c) −1; d) 1; e) 4; f) 0; g) −14

2. a) Res[f(z),−2] = − 316

; Res[f(z), 0] = 316

b) Res[f(z), kπ] = (−1)k; c) Res[f(z), 0] = 1;

d) Res[f(z),−1] = (−1)n+1Cn+12n ; Res[f(z),∞] = (−1)nCn+1

2n ; e) Res[f(z),∞] = 0;f)Res[f(z),−1] = e−1; Res[f(z),∞] = −e−1

g) Res[f(z),∞] = 0; h) Res[f(z), 0] = 19; Res[f(z), 3i] = − 1

54(sin 3− i cos 3);

Res[f(z),−3i] = − 154

(sin 3 + i cos 3); Res[f(z),∞] = 127

(sin 3− 3); i) Res[f(z), 0] = 0,

Res[f(z),∞] = 0; j) Res[f(z), 0] = 12; Res

[f(z), 2kπi

h

]= 1

2kπi, (k = ±1,±2, ...)

3. a) 2πi; b)π[

12sinh 1− cos 1 + i(sin 1− cos 1)

]; c) −16πi

27; d) − πi√

2; e) − πi

121

4. a) 8π3

; b) 10π27

; c) 2π√a2−1

; d) 7π560

; e) π60

; f) π√2e− a√

2

(cos a√

2+ sin a√

2

); g) π

2;

h) π2

{1− e−

√2

2 sin(π4

+√

22

)}; i) π

4: j) π3

8; k) ln

√a2+b2

barctan b

a; l) 2π√

3

5. 12

1+e−a

1−e−a − 1a, (a > 0)

8.6 Capıtulo 7

1. En una semifranja cuyas fronteras son: dos semirrectas paralelas y una semicircunferenciade diametro igual al ancho de la semifranja.

2. En el cuarto cuadrante al que se le separa el semicırculo∣∣w − 1

2

∣∣ ≤ 2; Imw < 0.

3. Las abcisas de los puntos simetricos con respecto a ambas circunferencias

α = −1

4; β = −4; w =

4z + 1

z + 4; R = 2

4. w−1w+1

= a z−1z+1

, donde a es una constante compleja arbitraria.

5. w = i1−z1+z

6. w = 11−z

7. w = 2i z−iz+i

; R = 2

8. ϕ es el argumento del punto de la circunferencia |w| = 1 en que se convierte el puntoz = ∞. Las rectas Im z = constante se transforman en un haz de circunferenciastangentes a la circunferencia |w| = 1 en el punto eiϕ; las rectas Re z = constante setransforman en un haz de circunferencias que cortan a |w| = 1 perpendicularmente en esemismo punto.

9. w = a2−a3

a2−a1

z−a1

z−a3


10. a, b, c y d son reales: ad− bc > 0.

11. a) z = A∫ w

0

√wdw

(w−1)(w+a), donde a = H2

h2 ; A = H2+h2

πhi; b) utilizar el principio de simetrıa,

z = A∫ w

0w1−αdww+1

+B, donde A = hπeiπa, B = ih transforma la mitad superior del dominio

en el semiplano; c) z = A∫ w

0

√wdw

(w−1)(w−a)(w+b), donde Aπ

(a−1)(1+b)= h1,

A√aπ

(a−1)(1+b)= h2,

A√bπ

(b+1)(a+b)= h3; d) z = re−i

π4

∫ w0

w(w−1)dw√w−k2 − a. El argumento de la constante delante de

la integral se determina de la condicion: para w = u > 1 el angulo de rotacion de larepresentacion arg dz

dw= −π

4. Despues debe utilizarse la condicion de que al punto w = 1

le corresponde el punto z = ai. De aquı k = 14, r = 3a

2√

2; e) z = A

∫ w0

(w+1)dw(w+a)αw1−α donde

a es una constante real. A y a se calculan como en d) de la correspondencia entre lospuntos; sin embargo, las integrales en la forma final no son en general calculables.

12. Hacer un corte auxiliar a lo largo del eje imaginario, transformar la mitad derecha enel semiplano superior segun la formula de Schwarz-Christoffel y utilizar el principio desimetrıa.

13. r =√

sin 2ϕc

, r =√− cos 2ϕ

c, E = 2i

z∗3

14. w = ln sinh πz + c, | sinh zπ| = constante

15. V = φ(x2+y2

2x

)donde φ es una funcion arbitraria; E1 : E2 = 1 : 2.

16. Una carga 2q en el origen de coordenadas y cuatro cargas −q en los puntos ±√±i.

17. σ = V2π2

1√1+x2 .

18. w = 4πiLn z−√

3iz+

√3i

; en el punto z = 2i+ eiϕ la densidad de carga es σ =√

32+sinϕ

.

19. w = iln 2Ln 4z+1

z+4; en el primer cilindro 9a y 25a; en el segundo 2a y 18a donde a = 1

60π ln 2.

20. w = QπLn (z +

√z2 − 1)

21. w = Q2π

ln(1 + 4

z4

); las lıneas de corriente son sin 4ϕ = c(r4 + 4 sin4 ϕ).

22. w = eiϕ z−2iz− i.

23. w = (−1+2i)z−1z−1

.

24. El dominio de frontera formada por las curvas {u = 0, v < 1};{(u− 1

2

)2+(v + 1

2

)2= 1

2, Rew > 0, Imw < 0

}; {u > 1, v = 0}.

25. En el dominio de frontera {u > 0, v = 0}; {u = 0, 0 < v < 1}; {u >=, v = 1}.

26. w = π + 2 arcsin[e−

πdh e

πzhe−iα]


8.7 Capıtulo 8

1. a)1pe−pt; b) 1

p(e−pτ1 − e−pτ2); c)

(ap2

+ bp

)(1 − e−pt0) − a

pe−pt0 ; d)ap+b

p2; e)

√π

2√p3

; f) p3

p4+4; g)

a(p2+2a2)p4+4a4 ; h) p

p4+4; i) 1

8

(p

p2+16− 4p

p2+4+ 3

p

); j) 1

2

[5

(p+4)2+25+ 1

(p+4)2+1

].

2. a) e−2t(cos t+ 6 sin t); b) 12

+ 12e−2t; c) et + e2t(t− 1); d) c−a

(b−a)2 e−at +

(c−ba−b + t a−c

(a−b)2

)e−bt;

e) 1b2−a2 (cos at − cos bt); f)1 − e−at − ate−at; g) et − e−t

(cos 2t− 3

2sin 2t

); h) 1

2a3 (sin at −at cos at); i) 1

2te−2t sin 2t− 1

16e−2t(sin 2t− 2t cos 2t).

3. a) y = 4t + 3 − 2et; b) y = et(cos t + sin t) − e−t sinh 2t; c) y = t(sin t + cos t); d)y =−5

9sin t + 5

18sin 2t + 1

3

[12sin 2t− t cos 2t

]; e) y = (y0 − y2) + (y1 − y2)t + y2e

t; f) y =a2n

(1n

sinnt− t cosnt)

+ y0 cosnt+ y1n

sinnt;

g) y = 14

(t2 − 3t+ 3

2

)et − 1

3

(cos

√3

2t−

√3 sin

√3

2t)e

t2 − 1

24e−t;

h) y = an(m2−n2)

[m cosα sinnt+ n sinα cosnt− n sin(mt+ α)];

i) y = a2m2 (mte

mt − sinhmt) + b2m(m2−n2)

[(m− n)e−mt + (m+ n)emt − 2ment]

4. a) x = 12− 1

5e−t− 3

10e−

6t11 ; y = 1

5

(e−t − e

6t11

); b) x = 28

9e3t−e−t− 1

3t− 1

9; y = 28

9e3t+e−t− 1

3t−

19; c) x = −6−4t−t2+ 100

17e

t2 + 2

17cos 2t+ 1

34sin 2t; y = −1−t− t2

2+ 25

17e

t2 + 1

34cos 2t+ 9

68sin 2t

5. a) y(t) = a[t+ t3

6

]; b) y(t) = t4

4− t

4− 1

8+ 1

8e2t

6. x = Hv+cEHα

(1−cosαt)+ uα

sinαt, donde α = eHmc

; y = vt−Hv+cEHα

(αt−sinαt)− uα(1−cosαt);

z = wt

7. x(t) = v sinλ−cosλ2ω

(1− cos 2ωt) + g cosλ4ω2 (2ωt− sin 2ωt) + u

2ωsin 2ωt;

y(t) = − sinλ(v sinλ−ω cosλ)2ω

(2ωt−sin 2ωt)− g sinλ cosλ4ω2 (2ω2t2−1+cos 2ωt)− u sinλ

2ω(1−cos 2ωt)+

vt;

z(t) = cosλ(v sinλ−ω cosλ)2ω

(2ωt− sin 2ωt) + g cos2 λ4ω2 (2ω2t− 1 + cos 2ωt) + u cosλ

2ω(1− cos 2ωt) +

ωt− gt3

2

8. El problema a resolver es el siguiente:

utt = a2uxx, 0 < x < l, t > 0

u(x, 0) = 0

ut(x, 0 = 0

u(0, t) = 0

ux(l, t) =A

Esinωt

donde E es el coeficiente de elasticidad de la barra. La ecuacion operacional es


p2U = a2Uxx

que debe ser resuelta bajo las condiciones siguientes:

U(0, p) = 0, Ux(l, p) =A

E

ω

p2 + ω2

Su solucion es

U(x, p) =b

p(p2 + ω2)

sinh xap

cosh lap, b =

Aaω

E

Teniendo en cuenta que esta funcion tiene polos en los puntos p = 0, p = ±iω, pk =i (2k+1)aπ

2l= iωk, (k = 0, 1, 2, ...), que todos estos polos son simples, si ωk 6= ω para todo

k (condicion de ausencia de resonancia, que suponemos que se cumple), el original deU(x, p) se puede hallar por la formula de Mellin y se obtiene:

u(x, t) =1

ω2 cos ωla

sinωx

asinωt+

2ab

l

∞∑k=0

(−1)ksin ωkx

a

ω2k − ω2

sinωkt

ωk

donde

ωk =(2k + 1)aπ

2l

9. El problema a resolver es el siguiente:

r2∇2u = r2∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂ϕ2= 0

u|ϕ=±α = u0, si r < a

= 0, si r > a

En virtud de las formulas (7.123) y (7.124) la ecuacion operacional es

p2U + Uϕϕ = 0

y la condicion de frontera es

U |ϕ=±α =

∫ a

0

u0rp−1dr = u0

ap

p

La solucion es

U = u0ap cos pϕ

p cos pα


La solucion del problema inicial sera entonces

u =u0

2πi

∫ s+i∞

s−i∞

(ar

)p cos pϕ

cos pα

dp

p

La funcion bajo la integral es analıtica en la franja 0 < Re p < 1, pues el polo mascercano a p = 0 de esta funcion es p = π

2α> 1 si α < π

2, lo que supondremos cumplido.

Por consiguiente, en la ultima formula podemos tomar por s cualquier numero 0 < s <1. Tomando el lımite para s tendiendo a cero podemos calcular la integral por el ejeimaginario del plano p y evitar el punto p = 0 con una semicircunferencia pequenarecorrida en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces se obtiene:

u =u0

2+

u0

2πi

∫ ∞

−∞

(ar

)iσ coshσϕ

cosσα

dp

p

donde la integral se entiende en el sentido del valor principal.

Colocando(ar

)iσ= eiσ ln a

r = cos(σ ln a

r

)+i sin

(σ ln a

r

)y teniendo en cuenta que la funcion

integrada en un caso es par y en el otro es impar se obtiene definitivamente:

u =u0

2+u0

π

∫ ∞

0

sin(σ ln

a

r

) coshσϕ

coshσα

dσ

σ

10. El problema se reduce a integrar la ecuacion de Laplace

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+∂2u

∂z2= 0

donde z es la coordenada a lo largo del eje perpendicular al disco bajo las condiciones defrontera

u|z=0 = u0, 0 ≤ r < 1

∂u

∂z|z=0, r > 1

(u0 es constante; la segunda condicion expresa la simetrıa del campo con respecto al planoz = 0).

La ecuacion operacional, en virtud de (7.140) tiene la forma

−p2U +d2U

dz2= 0

Su solucion general es

U = A(p)e−ρz +B(p)eρz


En virtud de la simetrıa del problema, es suficiente buscar el campo para z > 0. Comopara z → +∞ el potencial debe tender a cero, tendremos que B = 0 y por la formula(7.127)

u(r, z) =

∫ ∞

0

A(p)e−ρzJ0(rρ)ρdρ

Las condiciones de frontera se escriben en la forma∫ ∞

0

A(p)J0(rρ)ρdρ = u0, ∀0 ≤ r < 1

∫ ∞

0

A(p)J0(rρ)ρ2dρ = 0, ∀r > 1

vemos que estas dos condiciones son satisfechas por la funcion

A(p) = frac2u0πsin ρ

ρ2

Teniendo en cuenta la unicidad de la solucion del problema (lo que se ve claro de consi-deraciones fısicas) se obtiene definitivamente:

u(r, z) =2u0

π

∫ ∞

0

e−ρzJ0(rρ)sin ρ

ρdρ

Capıtulo 9

Apendice 1. Principio de simetrıa

El principio de simetrıa que a continuacion formularemos ofrece un caso particular, una condi-cion suficiente muy sencilla para la existencia de la prolongacion analıtica de funciones querealizan una representacio conforme.

Teorema (Riemann y Schwarz)

Supongamos que la frontera del dominio D1 contiene un arco de circunferencia C y supongamosque la funcion w = f1(z) realiza la representacion conforme de este dominio en el dominio D1 deforma tal que el arco C se transforma en el sector C de la frontera del dominio D1 y es tambienun arco de circunferencia. Entonces la funcion f1(z) admite una prolongacion analıtica f2(z) atraves del arco C al dominio D2 simetrico con D1 con respecto a C. la funcion w = f2(z) realizala representacion conforme del dominio D2 en el dominio D2 simetrico con D1 con respecto aC y la funcion

w = f(z) = f1(z) en D1

= f1(z) = f2(z) sobre C

= f2(z) en D2

realiza la representacion conforme del dominio D1 + C +D2 en el dominio D1 + C + D2.

Demostracion:

Realicemos las transformaciones lineales

ζ =az + b

cz + d= l(z); ω =

aw + b

cw + d(9.1)

que transforman a C y C en los segmentos Γ y Γ de los ejes reales de los planos ζ y ω; losdominios D1 y D1 se transforman mediante (9.1) en los dominios ∆1 y ∆1 y la funcion w = f1(z)

449


en la funcion w = lf1l−1(ζ) = ϕ(ζ) que realiza la representacion conforme de ∆1 en ∆1 (Fig.

9.1). Llamemos ∆2 al dominio simetrico con ∆1 con respecto a Γ. Construyamos en ∆2 lafuncion

ω = ϕ2(ζ) = ϕ∗1(ζ∗)

Figura 9.1: Para la demostracion del teorema de Reimann-Schwarz.

y comprobemos que ella es la prolongacion analıtica de la funcion ϕ1(ζ). Ante todo, la funcionϕ2(ζ) es analıtica en el dominio ∆2. Efectivamente, para dos puntos cualesquiera ζ y ζ + ∆ζde ∆2 tenemos

ϕ2(ζ + ∆ζ)− ϕ2(ζ)

∆ζ=ϕ∗1(ζ

∗ + ∆ζ∗)− ϕ∗1(ζ∗)

∆ζ=

(ϕ1(ζ

∗ + ∆ζ∗)− ϕ1(ζ∗)

∆ζ

)∗

donde ζ∗ y ζ∗ + ∆ζ∗ son puntos de ∆1. En virtud de la analiticidad de ϕ1(ζ) en ∆1 la partederecha tiene lımite para ∆ζ∗ → 0 y por lo tanto existe tambien la derivada

Principio de simetrıa 451

ϕ′(ζ) = [ϕ∗1(ζ∗)]′ (9.2)

en cualquier punto ζ del dominio ∆2; es decir, ϕ2(ζ) es analıtica en ∆2. Por construccion losvalores de la funcion ϕ2(ζ) sobre el segmento Γ existen:

ϕ2(x) = limζ∗→x

ϕ2(ζ∗) = ϕ1(x) (9.3)

La relacion (9.3) toma la forma ϕ2(x) = ϕ∗1(x), pero como los valores de ϕ1(x) son reales, puesΓ por hipotesis es un segmento del eje real, sobre el segmento Γ se cumple que

ϕ2(x) = ϕ1(x) (9.4)

Por el principio de prolongacion continua se puede, por lo tanto, afirmar que ϕ2(ζ) es la pro-longacion analıtica de ϕ1(ζ) a traves de Γ.

De la construccion de la funcion ϕ2(ζ) se deduce tambien que ella realiza la representacionconforme del dominio ∆2 en el dominio ∆2, simetrico con ∆1 con respecto a Γ. La funcion ϕ(ζ)formada por ϕ1(ζ) y su prolongacion analıtica ϕ2(ζ):

ϕ(ζ) = ϕ1(ζ) en ∆1

= ϕ1(ζ) = ϕ2(ζ) sobre Γ

= ϕ2(ζ) en ∆2

realiza la representacion conforme de ∆1 + Γ + ∆2 en ∆1 + Γ + ∆2.

Volviendo ahora a las variables z y w con ayuda de las inversas de (9.1), en virtud de laspropiedades de las transformaciones bilineales, obtenemos en el dominio D2 simetrico con D1

con respecto al arco C la funcion f2(z) que prolonga analıticamente a f1(z) a traves del arcoC y que realiza la representacion conforme del dominio D2 en el dominio D2 simetrico con D1

con respecto al arco C.


Veamos algunos ejemplos de aplicacion del principio de simetrıa en la practica de las repre-sentaciones conformes:

1. Representacion del exterior de una cruz en el exterior de un cırculo unitario (Fig.9.2).

Hagamos un corte auxiliar (lınea de puntos) FAB a lo largo del eje imaginario y en lamitad derecha de la figura veamos la representacion z1 = z2. Ella transforma esta mitaden el plano z1 excluyendo el rayo desde A(−∞) hasta D(a2) a lo largo del eje real.

Apliquemos seguidamente la representacion


Figura 9.2: Figura del ejemplo 1.

z2 =√z1 − a2 =

√z2 − a2 (9.5)

que transforma el dominio obtenido en el semiplano derecho. El corte auxiliar se trans-forma entonces en el segmento del eje imaginario que contenga al ∞ desde el puntoF (−fi), donde f =

√a2 + c2 hasta el punto B(gi) donde g =

√a2 + b2 (Fig. 9.2).

La funcion (9.5) satisface las condiciones del principio de simetrıa, por lo tanto, admite unaprolongacion analıtica a traves de FAB al semiplano izquierdo y junto con su prolongacionanalıtica, que representaremos de nuevo por z2 =

√z2 − a2, realiza la representacion del

exterior de la cruz dada en el exterior del segmento BF del eje imaginario del plano z2.

Queda solamente transformar este ultimo dominio en el exterior del cırculo unitario. Paraello apliquemos la transformacion lineal

z3 =2i

f + gz2 −

f − g

f + g

que transforma el exterior del segmento BF en el exterior de un segmento unitario ydespues apliquemos la representacion inversa de Joukovsky:


w = −i(z3 +

√z23 − 1

)= (9.6)

=2

f + g

[√z2 − a2 +

√z2 − a2 + fg + (f − g)i

√z2 − a2 +

f + g

2i

]En particular, si b = c = a se obtiene w = 1

a√

2(√z2 − a2 +

√z2 + a2 de donde

z =a√2

√w4 + 1

w(9.7)

2. Representacion del semiplano superior excluyendo los segmentos 0 ≤ y ≤ h, x = ka,(k = 0,±1,±2,±3, ...) en el semiplano superior.

Figura 9.3: Figura del ejemplo 2.

Hagamos los cortes auxiliares A−1C y A0C desde los extremos de los segmentos hastael infinito (lıneas de puntos en la figura 9.3) y representemos la semifranja ası obtenidaCB−1B0C en otra semifranja igual, pero de forma tal que los puntos A−1 y A0 pasen alos vertices de dicha semifranja. Para ello transformemos primero nuestra semifranja en


el semiplano superior Im z1 > 0 con la funcion z1 = cos πza

; estrechemos este ultimo conz2 = 1

cosh πha

z1 (de forma que los puntos A−1 y A0 pasen a los puntos z2 = ±1 y utilicemos

la representacion inversa de la primera: w = aπ

arccos z2. De esta forma obtenemos larepresentacion buscada de la semifranja en la semifranja:

w =a

πarccos

(1

cosh πha

cosπz

a

)(9.8)

Aplicando a la funcion obtenida el principio de simetrıa un numero ilimitado de veceshallamos que ella realiza la representacion buscada.

3. Representacion de dominios limitados por curvas de segundo orden.

(a) Parabola

Supongamos que el origen de coordenadas esta en el foco de la parabola y2 =2p(x+ p

2

)(Fig. 9.4). Con ayuda de la funcion w =

√z el exterior de esta parabola

se transforma en el semiplano Imw >√

p2. Efectivamente, suponiendo z = x + iy,

w = u+ iv hallamos:

x = u2 − v2; y = 2uv

de donde se ve que las rectas v = c se transforman en las parabolas y2 = 4c2(x+ c2);para c =

√p2

obtenemos la parabola dada.

Ası pues, la funcion

w =√z − i

√p

2(9.9)

realiza la representacion conforme del exterior de la parabola en el semiplano supe-rior. En el interior de la parabola la funcion (9.9) tiene un punto de ramificacion.

Para obtener la representacion del interior de la parabola hagamos un corte a lolargo del rayo BFG (Fig. 9.4) y observemos que la mitad superior de la parabola setransforma por medio de la funcion z1 =

√z en la semifranja 0 < y1 <

√p2, 0 < x1 <

∞. Con ayuda de la funcion z2 = cos{√

p2πiz1

}esta semifranja se transforma en el

semiplano superior y al corte BFG le corresponde el rayo −1 < x <∞. Aplicandoel principio de simetrıa y despues la transformacion w = i

√1 + z2 obtenemos la

representacion buscada del interior de la parabola en el semiplano superior

w = i√

2 cosπiz1√

2p= i√

2 cosh π

√z

2p(9.10)

(b) Hiperbola

Para hallar la representacion conforme en el semiplano superior del dominio ence-rrado entre las ramas de la hiperbola (Fig. 9.5)

x2

a2− y2

b2= 1


Figura 9.4: Figura del ejemplo 3 a).

hagamos un corte a lo largo del eje real y observemos que la funcion

z1 =1

c

(z +

√z2 − c2

)donde c =

√a2 + b2 transforma la mitad superior del dominio dado en el sector

Θ < arg z1 < π −Θ donde |z| > 1 y Θ = arcsin ac.

Por el principio de simetrıa esta misma funcion realiza la representacion conformede todo el dominio en cuestion en todo el sector Θ < arg z1 < π − Θ. Ası pues, lafuncion

w = (e−iΘz1)π

π−2Θ =

(z +

√z2 − c2

ceiΘ

) ππ−2Θ

(9.11)

realiza la representacion del dominio encerrado entre las ramas de la hiperbola en elsemiplano superior.

Para obtener la representacion del interior de la rama derecha de la hiperbola haga-mos un corte a lo largo del rayo DFG y observemos que la funcion


Figura 9.5: Figura del ejemplo 3 b).

z1 =1

c

(z +

√z2 − c2

)= earccosh

zc

realiza la representacion conforme de la mitad superior del dominio senalado en elsector 0 < arg z1 < Θ (|z1| > 1). La funcion

z2 =1

2(z1e

πΘ + z1e

− πΘ ) = cosh

( πΘarccosh

z

c

)transforma dicho sector en el semiplano superior; al rayo BFG le corresponde el rayo(−1,∞) del eje real. Aplicando el principio de simetrıa y, despues la transformacionw =

√1 + z2 obtenemos la representacion buscada del interior de la rama derecha

de la hiperbola en el semiplano superior

w = i

√1 + cosh

( πΘarccosh

z

c

)= i√

2 cosh( π

2Θarccosh

z

c

)(9.12)

(c) Elipse

La representacion conforme del exterior de la elipse


x2

a2+y2

b2= 1

en el exterior de un cırculo unitario se efectua por medio de la funcion

w =z +

√z2 − c2

a+ b

donde c =√a2 − b2. Esta funcion tiene puntos de ramificacion en el interior de la

elipse (Fig. 9.6)

Figura 9.6: Figura del ejemplo 3 c).

Para obtener la representacion del interior de la elipse hagamos un corte a lo largodel eje mayor y utilicemos la funcion

z1 =1

c(z +

√z2 − c2)

Entonces obtenemos la representacion de la mitad superior de la elipse en la mitadsuperior del anillo 1 < |z1| < a+b

c, Im z1 > 0 y el corte se transforma en los segmentos

AF1, F2C del eje real y en la semicircunferencia unitaria. La funcion z2 = ln z1


transforma este semianillo en el rectangulo 0 < Re z2 < d; 0 < Imz2 < π, donde d =ln a+b

c. El principio de simetrıa aun no es aplicable, pues la imagen de nuestro corte

es la quebrada AF1F2B; se necesita antes transformar el rectangulo en el semiplanosuperior para que esta quebrada se transforme en un segmento. La representacionde un rectangulo en el semiplano no puede obtenerse mediante la combinacion defunciones elementales; esta es realizada por la llamada funcion elıptica, obtenida(ver Capıtulo de representaciones conformes, epıgrafe de la integral de Schwarz-Christoffel, ejemplo numero 5). Por eso, la representacion del interior de la elipse enel semiplano no puede escribirse a traves de funciones elementales.

Capıtulo 10

Apendice 2. Redondeamiento deangulos

En multitud de problemas practicos donde es posible aplicar la teorıa de representacionesconformes se hace necesario tener en cuenta que en la realidad los angulos de los polıgonos quese analizan siempre estan redondeados. En este apendice veremos los metodos aproximadosque nos permiten tener en cuenta la influencia de tales redondeamientos.

10.1 Redondeamiento de angulos menores que π

Hallemos primero la funcion que realiza la representacion del semiplano superior z en el semi-plano superior ζ, al que se le ha excluido un area pequena limitada por el segmento (−1, 1) deleje real y por otra curva que se apoya sobre dicho segmento y que es tangente a este en susextremos (Fig.10.1). Para esto analicemos la representacion z1 = ζ +

√ζ2 − 1 del semiplano

superior ζen el semiplano superior z1 al que se le ha excluido un semicırculo unitario y tomemospor nuestra curva la imagen de la mitad de una elipse con semiejes 1 y 1 + h, muy cercana alsemicırculo (Fig. 10.1).

Lo que ahora queda por hacer es hallar la representacion del semiplano superior z. Estoultimo se hace de forma elemental. Mediante la transformacion de semejanza z2 = z1

c, donde

c =√

(1 + h)2 − 1 =√h(2 + h) transformamos los focos de la elipse en los puntos ±i y despues

aplicamos la representacion

z2 =1

2

(z3 −

1

z3

)

para obtener en el plano z3, en lugar de la elipse, un cırculo de radio r = 1+√

1+c2

c=√

2+hh

. Por

ultimo, mediante la transformacion

459


Figura 10.1: Para el redondeamiento de angulos.

z =1

2

(z3

r+

r

z3

)

obtenemos el semiplano superior. Tenemos:

z3 = r(z +√z2 − 1, z1 =

c

2

[(r − 1

r

)z +

(r +

1

r

)√z2 − 1

]

o, teniendo en cuenta la expresion para r y c: z1 = z + (1 + h)√z2 − 1.

Por ultimo, despreciando las magnitudes menores de orden superior a h obtenemos definitiva-mente

ζ =1

2

(z1 +

1

z1

)≈ z − h{

√(z2 − 1)3 − z(z2 − 1)} (10.1)

Redondeamiento de angulos 461

Con ayuda de las siguientes transformaciones lineales: ζ = aζ + b, z = az + b, obtenemos unresultado mas general: la funcion (en lugar de z y ζ de nuevo escribimos z y ζ)

ζ = z − h

a2{√

(z − b1)3(z − b2)3 − (z − b1)(z − b2)(z − b)} = gb(z) (10.2)

donde b1 = b − a, b2 = b + a. Esta funcion realiza la representacion del semiplano superiorIm z > 0 en el semiplano superior Im ζ > 0 al que se le ha excluido un area pequena limitadapor el segmento (b − a, b + a) y por una curva que se apoya sobre dicho segmento y que estangente a el en sus puntos extremos; la magnitud h, que es proporcional a la ordenada mayorde la curva, se supone que es pequena de orden superior a a (Fig. 10.2).

Supongamos ahora que la funcion w = f(ζ) realiza la representacion conforme del semiplanosuperior Im ζ > 0 en cierto polıgono ∆, correspondiendo el punto b al vertice B del polıgonocuyo angulo es menor que π. Realizando la representacion auxiliar ζ = gb(z) con ayuda de lafuncion (10.2) obtenemos la representacion conforme

w = f [gb(z)] (10.3)

del semiplano superior z en el dominio ∆ que se obtiene del polıgono ∆ mediante el re-dondamiento del angulo del vertice B en un entorno suficientemente pequeno de dicho vertice(Fig. 10.2). Mediante la repeticion de este metodo pueden redondearse todos los angulos delpolıgono ∆ que sean menores que π.

10.2 Redondamiento de angulos mayores que π

Sin perder generalidad podemos considerar que el vertice A1 del polıgono ∆ (Fig. 10.3), cuyoangulo queremos redondear, se encuentra en el punto w = 0. Tomemos el lado A1A2 a lolargo del semieje positivo real y a1 = 0; ademas, tomemos los puntos −a2, −a3,..., −an, cuyasimagenes son los demas vertices del polıgono ∆ negativos (esto siempre se puede lograr mediantetransformaciones bilineales auxiliares de los planos). Bajo estas suposiciones la funcion querealiza la representacion conforme del semiplano superior z en el polıgono ∆ puede escribirsecon la ayuda de la integral de Schwarz-Christoffel en la forma

w = C

∫ z

0

zα1−1ϕ(z)dz (10.4)

donde ϕ(z) = (z+ a2)α2−1...(z+ an)

αn−1 y C es una constante positiva (argC = 0 en virtud denuestra eleccion del lado A1A2).

Para redondear el angulo del vertice A1, en lugar de (10.4) analizaremos la funcion


Figura 10.2: Redondeamiento de angulos menores que π.

w = f(z) = C

∫ z

0

{zα1−1 + γ(z + β)α1−1}ϕ(z)dz (10.5)

donde β y γ son constantes por determinar; consideraremos que β es un numero positivopequeno (por lo menos β < an). De acuerdo con lo estudiado en el tema de la integral deSchwarz-Christoffel, la funcion

w = f2(z) = Cγ

∫ z

0

(z + β)α1−1ϕ(z)dz

realiza la representacion del semiplano Im z > 0 en un polıgono con lados paralelos a los lados de∆; al vertice B′′ le corresponde el punto z = −β, el cual se encuentra sobre el semieje negativou (el angulo de este vertice es igual a α1π) y el resto de los vertices A′′

2, ..., A′′n corresponden a

los puntos −a2, ..., −an (este polıgono esta representado por lıneas de puntos en la figura 10.3).

Analicemos la funcion


Figura 10.3: Redondeamiento de angulos mayores que π.

w = f1(z) = C

∫ z

0

zα1−1ϕ(z)dz

que realiza la representacion del semiplano Im z > 0 en el polıgono A1, A′2,...,A

′n (este polıgono

esta representado en la figura 10.3 por lıneas continuas delgadas). Para cada z fija el vectorw definido por la formula (10.5) se obtiene mendiante la suma de los vectores f1(z) y f2(z).Llevando a cabo dicha suma nos convenceremos de que cuando z describe el eje real, el puntow describe el camino cerrado A1A2...AnBA1 el cual, menos el pedazo BA1, esta formado porsegmentos paralelos a los correspondientes lados del polıgono dado (lıneas gruesas en la figura10.3). Para obtener las ecuaciones parametricas del pedazo BA1 introduzcamos el parametropositivo t = −z (0 < t < β). La formula (10.5) entonces dara

dw

dt=du

dt+ i

dv

dt= C{eiα1πtα1−1 − γ(β − t)α1−1}ϕ(−t)

de donde para la pendiente de la recta tangente BA1 obtenemos


tanϕ =dvdtdudt

=sinα1π t

α1−1

cosα1π tα1−1 − γ(β − t)α1−1=

sinα1π

cosα1π − γ(βt− 1)α1−1

De esta expresion se infiere en el caso de un angulo mayor que π (es decir, para 1 < α1 < 2),que tanϕ valdra cero en el punto t = 0 correspondiente a A1 y valdra tanα1π en el puntot = β correspondiente a B. Por consiguiente, en el caso de un angulo mayor que π el arco BA1

efectivamente redondea el angulo del vertice A11.

De acuerdo con el principio de correspondencia de fronteras la funcion (10.5) realiza la re-presentacion conforme del semiplano Im z > 0 en el dominio ∆ limitado por el contornoA1A2...AnBA1. Variando las constantes C, β y γ podemos lograr que el dominio ∆ se diferencietodo lo poco que queramos del polıgono dado ∆.

Veamos como se realiza esto en un ejemplo sencillo. Veamos el polıgono representado en lafigura 10.4: es un triangulo degenerado.

Considerearemos que a los puntos A1, A2 y A3 les corresponden los puntos 0, 1 e ∞ del ejereal. Entonces la integral de Schwarz-Christoffel se escribe en en la forma

w = C

∫ z

0

√zdz

1− z(10.6)

donde C es una constante positiva (en el segmento (0, 1) w debe tomar valores positivos). Enconcordancia con lo desarrollado arriba tomamos en lugar de (10.6):

w = C

∫ z

0

√z + γ

√z + β

1− zdz (10.7)

Esta funcion transforma el segmento (0, 1) en el semieje positivo y exigimos que al pasar atraves del punto z = 1 obtenga un incremento igual a ih. De aquı obtenemos

Cπ(1 + γ√

1 + β = h (10.8)

Ademas, exigiremos que al punto z = −β le corresponda el punto B = −ρ − iρ de forma talque para β pequenas el arco BA1 sea cercano al arco de circunferencia de radio ρ. Despues dehacer el cambio de variable z = −t obtenemos la ecuacion

ρ+ iρ = C

∫ β

0

i√t+ γ

√β − t

1 + tdt

1Para α1 < 1 tenemos dvdu |t=0 = tan α1π, dv

du |t=β = 0 y el arco A1B no redondea el angulo. El redondeamientoen este caso puede lograrse si en lugar de (10.5) tomamos la funcion w = C

∫ z

0{zα1−1 + γ(z + β)α1−1}ϕ(z)dz

donde β > 0; sin embargo, este metodo es menos comodo que el desarrollado en el punto anterior de esteapendice.


Figura 10.4: Ejemplo.

Igualando las partes real e imaginaria e integrando llegamos a las dos relaciones siguientes:

ρ = 2C{√β − arctan

√β} (10.9)

ρ = 2Cγ

{√1 + β arctanh

√β

1 + β−√β

}

Las tres relaciones obtenidas (10.8) y (10.9) permiten hallar ρ, C y γ como funciones delparametro β. Para pequenas β tenemos

ρ ≈ h

3πβ

32 ; C ≈ h

2π

(1− 3

4β

); γ ≈ 1 + β (10.10)

Entonces la funcion que realiza la representacion toma la forma (con exactitud hasta magnitudesde orden superior respecto a β):


w =2h

π

{arctanh

√z −

√z +

(β

4− 1

)√z

}(10.11)

El metodo de redondeamientode angulos aquı desarrollado permite utilizar las representacionesconformes en la solucion de problemas reales en los que se obtienen dominios con verticesredondeados que no pueden ser aproximados por angulos.

Capıtulo 11

Apendice 3. La transformada deFourier

Las formulas (7.118) y (7.119) obtenidas en el capıtulo de transformadas integrales expresanrespectivamente a la transformada de Fourier y a la transformada inversa de Fourier. Ambasfueron obtenidas a partir de la transformada de Laplace rotada en un angulo π

2en el plano

complejo. Mas adelante, al estudiar la prolongacion analıtica de la transformada de Fourier,partimos de la expresion de la integral de Fourier que, al ser separada en dos, nos permitiodefinir la transformada de Fourier bilateral y su correspondiente transformada inversa. Porsu importancia para la Fısica, haremos en el presente apendice una deduccion formal de latransformada de Fourier a partir de la extension de la serie de Fourier a funciones no periodicas.No nos detendremos en la justificacion de los pasos dados, lo que queda al lector para unaprofundizacion formal a traves de los cursos tradicionales de Analisis Matematico.

Sea una funcion f(x) dada en todo el eje real x, seccionalmente lisa en cada intervalo finito[−l, l]. Entonces, para cualquier l > 0 esta funcion se puede expresar para todo x del intervaloen la serie de Fourier siguiente:

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

{ak cos

kπx

l+ sin

kπx

l

}(11.1)

donde los coeficientes del desarrollo son1

a0 =1

l

∫ l

−lf(ξ)dξ; ak =

1

l

∫ l

−lf(ξ) cos

kπξ

ldξ; bk =

1

l

∫ l

−lf(ξ) sin

kπξ

ldξ (11.2)

1La serie (11.1) puede ser escrita simplemente como∑∞

k=0

{ak cos kπx

l + sin kπxl

}si se tiene en cuenta que

el cociente que aparece delante de las formulas de los coeficientes ak y bk en (1.24) es el inverso de la normade la funcion que acompana a f(ξ) en la integral. Ası, para k = 0 cos 0 = 1 y por tanto ‖1‖2 =

∫ l

−l1dx = 2l

mientras que ‖ cos kπxl ‖2 = ‖ sin kπx

l ‖2 = l para todo k > 0. De esta forma se justifica la expresion (11.1) ala luz del desarrollo en serie de las funciones ortogonales en (−l, l): 1, cos πx

l , cos 2πxl ,...,sin πx

l , sin 2πxl ,... Una

fundamentacion mas general puede estudiarse en cualquier curso de analisis funcional.

467


Coloquemos los coeficientes (11.2) explıcitamente en la serie (11.1). Teniendo en cuenta laformula del coseno de la diferencia de dos angulos, conocida de la Trigonometrıa elemental,obtenemos

f(x) =1

2l

∫ l

−lf(ξ)dξ +

1

l

∞∑k=1

∫ l

−lf(ξ) cos

kπ

l(ξ − x)dξ (11.3)

Supongamos ahora que la funcion f(x) es absolutamente integrable en todo el eje (−∞,∞) loque equivale a decir que

∫∞−∞ |f(x)|dx <∞. Entonces, si tomamos el lımite cuando l →∞, el

primer sumando de (11.3) se anula, de manera que nos queda

f(x) = liml→∞

1

l

∞∑k=1

∫ l

−lf(ξ) cos

kπ

l(ξ − x)dξ (11.4)

Introduzcamos la siguiente notacion. Llamemos ωk = kπl, de manera que ∆ωk = π

l. Entonces

tendremos que (11.4) se puede escribir de la forma que sigue:

f(x) = lim∆ωk→0(l→∞)

1

π

∞∑k=1

∆ωk

∫ l

−lf(ξ) cosωk(ξ − x)dξ (11.5)

Hagamos ahora las siguientes dos suposiciones:

1. Que para l→∞ se cumple que∫ l−l puede ser sustituida por

∫∞−∞.

2. Que la suma∑∞

k=1 ∆ωk∫∞−∞ f(ξ) cosωk(ξ − x)dξ es la suma integral de la integral∫ ∞

0

dω

∫ ∞

−∞f(ξ) cosω(ξ − x)dξ

.

Esto puede ser rigurosamente fundamentado.

Entonces, realizando los lımites indicados, obtenemos:

f(x) =1

π

∫ ∞

0

dω

∫ ∞

−∞f(ξ) cosω(ξ − x)dξ (11.6)

La expresion (11.6) ası obtenida recibe el nombre de Integral de Fourier.

Por la forma en que hemos obtenido esta expresion se ve que las funciones no periodicas enx (es decir, con perıodo l = ∞) se desarrollan en integral de Fourier (11.6), en tanto que lasfunciones periodicas con perıodo 2l se desarrollan en serie de Fourier (11.1).

La transformada de Fourier 469

Transformemos la formula (11.6) teniendo en cuenta que como la funcion sinω(ξ− x) es imparrespecto a su argumento ω, la integral

∫∞−∞ sinω(ξ − x)dω ≡ 0, mientras que

∫∞−∞ cosω(ξ −

x)dω ≡ 2∫∞

0cosω(ξ−x)dω. Como la funcion cosω(ξ−x) ≡ cosω(x−ξ) y la conocida formula

de Euler establece que eiω(x−ξ) = cosω(x− ξ) + i sinω(x− ξ). Entonces tendremos que

f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞dω

∫ ∞

−∞f(ξ)eiω(x−ξ)dξ (11.7)

que es la expresion de la integral de Fourier en forma compleja y que es muy utilizada enaplicaciones fısicas y tecnicas. Es facil ver que (11.7) puede escribirse en la forma

f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞eiωxF (ω)dω (11.8)

donde

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(x)e−iωxdω (11.9)

La expresion (11.9) se conoce con el nombre de Transformada de Fourier y la (11.8) con elde Transformada inversa de Fourier. El lector debe comparar estas expresiones con (7.118)y (7.119) obtenidas en el capıtulo de Calculo Operacional.

Es conveniente hacer algunas aclaraciones a la deduccion realizada.

En primer lugar, en lo referente a la notacion, en muchos lugares en los que se trabaja con latransformada de Fourier en lugar de ω, que fısicamente representa la frecuencia de una onda,se emplea la variable k asociada en Fısica al vector de onda de una onda. Ambos casos sonequivalentes debido al significado fısico de dichas variables. Como habitualmente x es unavariable espacial, la transformada de Fourier asocia el espacio de coordenadas al espacio defrecuencias o equivalentemente al espacio de vectores de onda, es decir, al de momentos. Lodicho tiene un fuerte fundamento matematico y resulta de gran utilidad en las aplicacionesfısicas y tecnicas.

Por otro lado, en virtud de que en la expresion de la integral de Fourier (11.7) el factor eiω(x−ξ) ≡eiω(ξ−x) debido a que el cosω(x−ξ) ≡ cosω(ξ−x) y la integral del seno respecto a ω desaparecepor ser impar entre lımites simetricos, es totalmente posible definir la transformada de Fourieren la forma

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(x)eiωxdω (11.10)

y la transformada inversa como


f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞e−iωxF (ω)dω (11.11)

y todas las propiedades que a continuacion veremos ası como todas las aplicaciones de la trans-formada de Fourier siguen siendo las mismas. Esto puede ser verificado de manera exhaustivapor el lector sin grandes dificultades.

En tercer lugar, la transformada de Fourier y su transformada inversa han sido aquı definidascon el factor 1

2πdelante de la integral en la expresion de la transformada inversa. En muchas

ocasiones y en aras de expresar de una manera mas simetrica ambas formulas, como dichofactor proviene de la expresion general de la integral de Fourier, delante de la transformada de

Fourier se coloca el factor√

12π

e igual factor delante de la formula de la transformada inversa.

Aunque nadie lo hace, igualmente pudiera colocarse el factor 12π

delante de la formula de latransformada de Fourier y no colocarla delante de la transformada inversa.

La teorıa de la integral de Fourier conduce a que para la existencia de la transformada deFourier debe cumplirse que

∫ ∞

−∞|f(x)|dx <∞;

∫ ∞

−∞|f(x)|2dx <∞

y que, ademas, f(x) sea seccionalmente continua y seccionamente lisa, condiciones que siempresupondremos cumplidas. Ya vimos al final del capıtulo de calculo operacional que, mediantela prolongacion analıtica al plano complejo puede ampliarse la clase de funciones a las que esposible aplicar la transformada de Fourier. Aquı para concluir veremos un ejemplo sencillo defuncion cuya transformada de Fourier es calculable y enunciaremos las principales propiedadesde la transformada de Fourier cuya demostracion queda al lector como ejercicio. Sea la funcion

f(x) = e−|x|

que cumple con los requisitos para su desarrollo en integral de Fourier. Por lo tanto, su trans-formada de Fourier es

F (ω) =

∫ ∞

−∞e−|x|e−iωxdx =

∫ 0

−∞exe−iωxdx+

∫ ∞

0

e−xe−iωxdx =1

1− iω+

1

1 + iω=

2

1 + ω2

Veamos a continuacion las propiedades principales de la transformada de Fourier:

1. Si F (ω) es la transformada de Fourier de f(x) y G(ω) es la transformada de de g(x),entonces aF (ω) + bG(ω) es la transformada de af(x) + bg(x).

2. Si F (ω) es la transformada de f(x), entonces:

La transformada de Fourier 471

iωF (ω) es la transformada de f ′(x)

(iω)nF (ω) es la transformada de f (n)(x)

3. Si F (ω) es la transformada de f(x), entonces:

F (ω)

iωes la transformada de

∫ x

0

f(ξ)dξ

4. Si F (ω) es la transformada de Fourier de f(x) y G(ω) es la transformada de de g(x),entonces F (ω) ·G(ω) es la transformada de la convolucion∫ ∞

−∞f(x− ξ)g(ξ)dξ

De esta manera concluimos el apendice.

Bibliografıa

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