TeorÃ-a de chumaceras presurizadas con puertos puntuales caso de la chumacera corta

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LOPEZ MATEOS"

TEORÍA DE CHUMACERAS PRESURIZADAS CON PUERTOS PUNTUALES: CASO DE LA CHUMACERA CORTA.

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECÁNICA

P R E S E N T A

IGNACIO RAMÍREZ VARGAS

Director de Tesis: Dr. Julio César Gómez Mancilla

MÉXICO, D.F. AÑO 2007

Teoría de chumaceras Presurizadas con Puertos Puntuales: Caso de la Chumacera Corta.

SEPI-ESIME-IPN Ignacio Ramírez Vargas

I

TEORÍA DE CHUMACERAS PRESURIZADAS CON PUERTOS PUNTUALES: CASO DE LA CHUMACERA CORTA.

NOMENCLATURA IV RESUMEN VI ABSTRACT VIII OBJETIVO X JUSTIFICACIÓN XI Capítulo I Estado del Arte 1 1.1 Introducción. 1 1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. 2 1.3 Estado del arte en el diseño de chumaceras hidrodinámicas con presurización externa. 2

1.3.1 Estudios analíticos / numéricos. 3 1.3.2 Estudios experimentales. BENTLY-NEVADA. 4

1.4 La rotodinámica en México. 8 Capítulo II Nuevos modelos de presurización en chumaceras hidrodinámicas 10 2.1 La ecuación de la lubricación de Reynolds. 10 2.2 Modelos clásicos. 13

2.2.1 Chumaceras cortas. 13 2.2.2 Chumaceras largas. 14 2.3 La Función Delta de Dirac. 14 2.3.1 La función Delta como límite de funciones contínuas. 15

2.3.2 Algunas propiedades de la función Delta. 17 2.3.3 Breve introducción de la teoría de distribuciones. 19

2.4 Nuevo modelo para una chumacera corta con puertos puntuales de presurización. 21 2.4.1 Introducción. 21 2.4.2 Modelo de presurización. 21

2.5 Nuevo modelo para una chumacera corta con un anillo de presurización. 23 2.6 Nuevo modelo para una chumacera corta con una línea de presurización. 24 2.7 Rango de aplicación de la teoría de la chumacera corta. 25

2.7.1 Introducción. 25 2.7.2 Criterios de comparación. 25 2.7.2.1 Primer criterio. Comparación puntual. 27

2.7.2.2 Segundo criterio. Comparación de las integrales de módulos. 28 2.7.2.3 Tercer criterio. Comparación de las integrales de los cuadrados de los módulos. 30

2.7.3 Comparación con resultados numéricos. 32



II

Capítulo III Campos de presión y posiciones de equilibrio en chumaceras cortas con puertos puntuales de inyección. 34 3.1 Campos de presión. 34 3.1.2 Solución del modelo no presurizado (caso clásico). 34 3.1.3 Solución del modelo presurizado. 35 3.2 Cálculo analítico de la posición de equilibrio en el caso clásico. 42

3.2.1 Fuerzas en la película de aceite. El número de Sommerfeld. 42 3.2.2 Fuerzas de presión en la chumacera corta no presurizada. 45 3.2.3 Locus de equilibrio para chumaceras no presurizadas. 46 3.3 Cálculo analítico de la posición de equilibrio de una chumacera presurizada. 47 3.3.1 Fuerzas de presión en la chumacera corta presurizada. 47 3.3.2 Ángulo de equilibrio de una chumacera presurizada. 49 3.3.3 Análisis de dos casos especiales de presurización. 50 3.3.3.1 Presurización en la parte superior vertical de la chumacera. 50 3.3.3.2 Presurización en la parte inferior vertical de la chumacera. 56

Caso 1.Cuando la componente vertical de la fuerza de presurización es menor que el peso del sistema. 56 Caso 2.Cuando la componente vertical de la fuerza de presurización es mayor que el peso del sistema. 62

3.4 Ubicación de algunas posiciones de equilibrio en un rotor presurizado. 66 3.5 Comparación Numérica-Analítica de las nuevas posiciones de equilibrio en una chumacera presurizada. Inyección superior. 68

Capítulo IV Determinación analítica de los coeficientes rotodinámicos en una chumacera corta presurizada. 72 4.1 Introducción. 72 4.2 Definición clásica de los coeficientes rotodinámicos. 73 4.3 Coeficientes rotodinámicos de una chumacera corta no presurizada. 81 4.4 Determinación analítica de los coeficientes rotodinámicos de una chumacera corta presurizada en puertos puntuales. 84

4.4.1 Presurización en la parte central superior de la chumacera. 86 4.4.2 Presurización en la parte central inferior de la chumacera. 87 4.5 Comportamiento gráfico de los coeficientes rotodinámicos. (L/D)=1/4. 89

4.5.1 Chumacera corta no presurizada (Caso clásico). 89 4.5.2 Chumacera corta presurizada (Inyección superior). 90

4.5.2.1 Comparación de coeficientes rotodinámicos a diferentes valores de fuerza de presurización externa. Inyección superior. 96

4.5.3 Chumacera corta presurizada (Inyección inferior). 98 4.5.3.1 Comparación de coeficientes rotodinámicos a diferentes valores de fuerza de presurización externa. Inyección inferior. 101



III

Capítulo V Velocidad umbral de estabilidad y comparación numérica-analítica de los coeficientes rotodinámicos presurizados. 104 5.1 Introducción. 104 5.2 Ecuaciones de movimiento para rotores de eje rígido y flexible. 105 5.2.1 Modelo de Jeffcott considerando eje rígido. 105 5.2.2 Modelo de Jeffcott considernado eje flexible. 106 5.3 El criterio de Routh-Hurwitz. 107

5.3.1 Introducción. 107 5.3.2 Descripción del criterio de Routh-Hurwitz. 108

5.4 El criterio de Lienard-Chipard. 109 5.5 Velocidad Umbral de estabilidad para rotores rígidos. 109

5.5.1 Umbral de estabilidad para una chumacera presurizada en la parte superior. 111 5.5.2 Umbral de estabilidad para una chumacera presurizada en la parte inferior. 113

5.6 Velocidad Umbral de estabilidad para rotores flexibles. 116 5.6.1 Umbral de estabilidad para una chumacera presurizada en la parte superior. 118 5.6.2 Umbral de estabilidad para una chumacera presurizada en la parte inferior. 122

5.7 Comparación Numérica-Analítica de los Coeficientes Rotodinámicos presurizados. 125 5.7.1 Introducción. 125 5.7.2 El programa CHUMA. 126 5.7.3 Comparación de Coeficientes directos de Rigidez y Amortiguamiento. 126 5.7.4 Comparación de Coeficientes acoplados de Amortiguamiento. 130

CONCLUSIONES 135 APÉNDICES A. La ecuación de Reynolds. 138 B. Transformación de coordenadas. 156 C. Cálculo de los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento

de una chumacera corta en el sistema de de coordenadas xy. Caso clásico. 160 D. La sustitución de Sommerfeld. 165

E. Gráficos de los coeficientes rotodinámicos presurizados (directos y acoplados). 168 F. Programas de MATHEMATICA 5.0. 178



IV

NOMENCLATURA

:p Presión. :h Espesor adimensional de la película de fluido lubricante. :θ Coordenada angular. :R Radio de la chumacera. :z Coordenada axial de la chumacera. :µ Viscosidad absoluta del fluido lubricante.

:rC Claro radial. e : Excentricidad dimensional,

:ε Excentricidad adimensional. :ϕ Ángulo de equilibrio (attitud)

:ω Velocidad angular en radianes por segundo. :N Velocidad angular en revoluciones por segundo :L Longitud axial de la chumacera. :z Coordenada axial adimensional de la chumacera :p Presión adimensional.

:presp Presión adimensional en la película de aceite debida a la inyección de lubricante.

:Ocvp Presión adimensional de la solución de Ocvirk.

:promp Presión adimensional promedio.

:fictp Presión ficticia.

:Ocvε Excentricidad de la solución de Ocvirk.

:Ocvϕ Ángulo de equilibrio de la solución de Ocvirk.

:dimF Fuerza ficticia característica.

:D Diámetro de la chumacera. :presε Excentricidad en una chumacera presurizada.

:presϕ Ángulo de equilibrio (attitude) en una chumacera presurizada.

:β Coordenada angular del Puerto de inyección. :a Posición adimensional, arbitraria y axial del puerto de inyección en la chumacera.

:presF∆ Fuerza total de presurización.

s∆ : Área del puerto puntual de inyección. p∆ : Presión de inyección.

:)( prtp∆ Presión adimensional en un puerto puntual de inyección.

:)(xδ Función Delta de Dirac.

:prtq Presión adimensional en un puerto puntual respecto de la fuerza ficticia característica.

:W Peso total del sistema. :S Número de Sommerfeld.

Ocv,XF : Componente vertical de la fuerza en la película de aceite en la solución de Ocvirk.

Ocv,YF : Componente horizontal de la fuerza en la película de aceite en la solución de Ocvirk.



V

:, presXF Componente vertical de la fuerza en la película de aceite debida a presurización.

:, presYF Componente horizontal de la fuerza en la película de aceite debida a la presurización.

:,resultXF Fuerza resultante vertical en la película de aceite.

:,resultYF Fuerza resultante horizontal en la película de aceite.

:RF Componente radial de la fuerza de presión en la película de aceite.

:TF Componente tangencial de la fuerza de presión en la película de aceite.

:FR Componente radial de la fuerza adimensional de presión en la película de aceite.

:FT Componente tangencial de la fuerza adimensional de presión en la película de aceite.

:prtf Fuerza de presión adimensional en un puerto puntual de inyección respecto del peso.

:Tf Componente tangencial de la fuerza adimensional de presión en la película de aceite.

:Rf Componente radial de la fuerza adimensional de presión en en la película de aceite.

:fT Componente tangencial de la fuerza adimensional debida a la presurización externa.

:fR Componente radial de la fuerza adimensional debida a la presurización externa.

:f x Componente vertical de la fuerza adimensional debida a la presurización externa.

:f y Componente horizontal de la fuerza adimensional debida a la presurización externa.

:ijK Coeficientes de rigidez directos y acoplados en las direcciones radiales y tangenciales

TRi ,= , TRj ,= .

:ijC Coeficientes de amortiguamiento directos y acoplados en las direcciones radiales y

tangenciales TRi ,= , TRj ,= .

:ijK Coeficientes adimensionales de rigidez directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales yxi ,= , yxj ,= .

:ijC Coeficientes adimensionales de amortiguamiento, directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales yxi ,= , yxj ,= .

presijK~

: Coeficientes adimensionales de rigidez directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales, debidos a la presurización externa. yxi ,= , yxj ,= .

presijC~

: Coeficientes adimensionales de amortiguamiento, directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales, debidos a la presurización externa. yxi ,= , yxj ,= .

ijK~

: Coeficientes adimensionales de rigidez directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales, debidos a las presurizaciones clásica y externa. yxi ,= , yxj ,= .

ijC~

: Coeficientes adimensionales de amortiguamiento, directos y acoplados en las direcciones

horizontales y verticales , debidos a las presurizaciones clásica y externa. yxi ,= , yxj ,= . m : Masa del disco. λ : Valor propio.

2p : Cuadrado de la velocidad de estabilidad.

umbralp : Velocidad umbral de estabilidad.



VI

RESUMEN

En este trabajo se presenta una teoría de chumaceras presurizadas, la cual permitirá determinar en forma analítica las principales características rotodinámicas que serán de importancia fundamental para predecir el comportamiento de un sistema rotor-chumacera. La presurización externa es una manera de cambiar artificialmente las propiedades de rigidez y amortiguamiento en la película de lubricante de una chumacera hidrodinámica, haciendo que se modifique la conducta de una máquina rotatoria. En el capítulo I se presenta un recorrido histórico de la rotodinámica y la teoría de vibraciones, así también se muestran los avances numéricos y experimentales que existen hasta el momento de chumaceras presurizadas. En los capítulos II y III se realiza la modelación matemática y se determinan la posición estacionaria y el ángulo de equilibrio para una chumacera corta que se presuriza externamente en puertos puntuales. La modelación de los puertos de inyección se lleva a cabo usando la función espacial de Dirac, la cual permite obtener un campo de presión en forma analítica. Es importante mencionar que la función de Dirac se usa por primera vez para modelar problemas de Rotodinámica. La solución analítica de los campos de presión resultante permite encontrar en forma cerrada las componentes de la fuerza de presión, la excentricidad y el ángulo de equilibrio en dos casos especiales de inyección de lubricante; cuando el puerto de presurización se encuentra en la parte central superior e inferior de la chumacera. Estos resultados se presentan en forma de tablas, las cuales proporcionan la relación entre excentricidad, ángulo de equilibrio, fuerza de presurización externa y el número de Sommerfeld. En el capítulo IV se obtienen expresiones analíticas para el cálculo de las rigideces y amortiguamientos (coeficientes rotodinámicos) de una chumacera corta presurizada. Asimismo se encuentran gráficos en donde se muestra el comportamiento de estos coeficientes como función de la excentricidad y/o de la presurización externa. Vale la pena notar que es el primer trabajo en el que se reportan resultados analíticos de tales coeficientes que se modifican por el efecto de la presurización, pues en la actualidad solo se tienen soluciones numéricas para su cálculo. Dado que el comportamiento dinámico de un sistema rotatorio está altamente influenciado por los valores que pueden tomar los coeficientes rotodinámicos, si se conoce la dependencia que existe con la presurización, se puede determinar los valores de la presión que se puede aplicar hasta llegar a la inestabilidad. En el capítulo V se obtienen expresiones explícitas de la velocidad umbral de estabilidad en función de la fuerza de presurización y/o número de Sommerfeld para rotores de eje rígido y flexible, tales rotores están soportados por chumaceras cortas presurizadas y con puertos puntuales de inyección de lubricante; es decir se encuentra la máxima velocidad de operación que es posible alcanzar antes de la ocurrencia de amplitudes de vibración insostenibles. Para la determinación de las velocidades del umbral se utiliza el criterio de estabilidad de Lienard-Chipard, el cual utiliza los coeficientes de rigidez y amortiguamiento. De igual forma se presentan gráficas de la velocidad umbral para determinados valores de fuerza de presurización en casos donde se presuriza en la parte inferior y superior de la chumacera respectivamente.



VII

Finalmente se realiza la comparación entre los coeficientes rotodinámicos obtenidos de manera analítica mediante el modelo de presurización puntual, con respecto a los coeficientes rotodinamicos determinados en forma numérica usando el programa CHUMA desarrollado por los profesores A. Dimarogonas y J.C. Goméz- Mancilla. Por una parte el modelo analítico modifica la ecuación básica de la teoría de lubricación de Reynolds, introduciendo una función generalizada de tipo espacial que por sus propiedades, facilita los cálculos analíticos y permite obtener los campos de presión, las nuevas posiciones de equilibrio y los coeficientes rotodinámicos como función de la presurización externa. Por otro lado, CHUMA resuelve la ecuación de Reynolds utilizando el método del elemento finito para determinar los valores nodales de presión en la película del lubricante de la chumacera, y posteriormente se calculan los coeficientes rotodinámicos usando diferencias finitas. La comparación se realiza para diversos valores de fuerza de presurización y a diferentes velocidades de operación. Asimismo para cada caso se calcula la velocidad umbral de estabilidad, la cual integra los valores de todos los coeficientes rotodinámicos.



VIII

ABSTRACT

In this work a theory of pressurized journal bearing is presented, which will allow an analytical determination of the main rotordynamics characteristics that will be of fundamental importance to predict the behavior of a rotor-journal bearing system. The external pressurization is a way to artificially modify the properties of stiffness and damping in the lubricant film of a hydrodynamic journal bearing, modifying the behavior of a rotatory machinery. In chapter I a historical route of the rotordynamics and theory of vibrations is presented, thus also the numerical and experimental investigations of pressurized journal bearings until today In the chapters II and III deals with the mathematical modeling and determination of stationary eccentricity and attitude angle for a short journal bearing with an external pressurization in an arbitrary situated point injection port. The modeling of this point injection port is performed using Dirac spatial delta function which permits to obtain a pressure field in a close analytical form. It is important to mention that the Dirac spatial delta function is used for the first time to model such rotodynamic problems. The analytical solution for the resulting pressure fields permits to determine also in an analytical form the pressure force components, the stationary eccentricity and attitude angle for two special cases; when the pressurization port is situated in the upper or lower vertical part of the journal bearing. These results are presented as some tables which give relations between eccentricity, attitude angle, external pressurization force and Sommerfeld number. In chapter IV we obtain analytical expressions for the calculation of the stiffness and damping (rotordynamics coefficients) of a short journal bearing, which is being submitted to an external pressurization force. Additionally there are graphics showing the performance of the stiffness and damping coefficients as a function of the eccentricity and/or external pressurization. It is important to notice that this is the first work that reports analytical results of such coefficients being modified by the effect of pressurization; currently there are only numerical solutions for its calculation. Also, the dynamic behavior of a rotatory system is highly influenced by the values that may be taken by the rotordynamics coefficients; therefore, if the dependence to pressurization is known, it is possible to determine the pressure values that may be applied until instability is reached. In chapter V we obtain explicit expressions of the threshold velocity of stability in function of the external pressurization and/or Sommerfeld number for rotors with a rigid and flexible journal. Such rotors are supported by short pressurized journal bearings and with punctual ports of lubricant injection. This means that we find the maximum velocity of operation that can be reached before the occurrence of unsustainable vibration amplitudes. To determine the velocities of the threshold we use the Lienard-Chipard stability criterion, which uses the rotordynamics coefficients of stiffness and damping. Additionally, it presents the graphs of threshold velocity for specific pressure force values whenever the journal bearing pressurized from the inferior and superior part respectively. Finally we show a comparison between the rotodynamics coefficients obtained by means of analytic analysis of the punctual presurization model against the ones obtained by means of numeric analysis using the program CHUMA developed by A. Dimarogonas y J.C. Goméz- Mancilla.



IX

The analytic model modifies the basic equation of the Reynlods theory of lubrication, introducing a generalized space function that because of its properties eases the analytic calculations and allows to obtain the fields of pressure, new equilibrium positions and damping as a function of the external pressurization. On the other hand, CHUMA solves the Reynolds equation using the finite element method to determine the pressure's nodal values on the lubricant film of the journal bearing, afterwards the rotodynamic coefficients are calculated using finite differences. The comparison is made using for various pressurizing strength values at different operation values. For each case the speed of threshold is calculated which integrates the values of all the rotodynamic coeficients.



X

OBJETIVO El objetivo de esta tesis es desarrollar una teoría de chumaceras presurizadas en las cuales se pueda inyectar lubricante en puertos cuya ubicación axial y angular sea arbitraria. Para lograr este objetivo se consideran puertos puntuales que permitan modelar fácilmente el problema de la presurización externa. Se pretende investigar analíticamente la influencia de la presurización sobre las propiedades dinámicas y de estado estable de chumaceras cortas. Utilizando el campo de presión que incluye el efecto de la presurización, se pueden evaluar las nuevas posiciones de equilibrio, los coeficientes rotodinámicos presurizados, las velocidades umbrales de estabilidad y a su vez compararlos con el modelo clásico. Se busca que este trabajo sirva de guía al diseñador de equipo rotatorio que le permita tomar decisiones adecuadas si necesita presurizar las chumaceras; es decir bajo que condiciones la presurización externa produce buenos resultados o inestabilidades.



XI

JUSTIFICACIÓN Los equipos rotatorios que se encuentran soportados sobre chumaceras hidrodinámicas están expuestos a sufrir vibraciones, las cuales son capaces de causar daños mecánicos severos. Cuando una chumacera se presuriza externamente es posible modificar las propiedades dinámicas de la película de aceite, haciendo que las inestabilidades y amplitudes vibracionales puedan disminuirse en forma marcada. La identificación de los coeficientes rotodinámicos de la película del lubricante en las chumaceras que se presurizan y un modelo rotor-chumaceras que se asemeje bastante bien a sistemas reales, es un problema fundamental en el análisis de la estabilidad y para asegurar el buen funcionamiento dinámico de maquinaria rotatoria. Actualmente las compañías que se dedican al estudio experimental de rotores, se interesan en el diagnóstico de equipos que presentan cambios en las propiedades dinámicas de la película de lubricante, estos cambios son producidos por la presurización externa. El incremento de la rigidez en las chumaceras puede producir cambios en las frecuencias de resonancia y de esta manera el diagnóstico realizado será diferente. Es por esta razón que en esta tesis se desarrolla una teoría de chumaceras presurizadas en la cual se presenta una serie de resultados que deben ser tomados en cuenta en el diseño y al realizar diagnósticos de maquinaria rotatoria.



1

Capítulo I Estado del Arte 1.1 Introducción. El desarrollo de la industria en general y particularmente la industria petrolera y de generación de electricidad, se ha incrementado notablemente en los últimos treinta años, tanto en la demanda de maquinaria de alta eficiencia como en las velocidades de operación de éstas. Por esta razón han surgido nuevas especialidades necesarias para su desarrollo tecnológico, tal como la rotodinámica. En términos generales la rotodinámica es la disciplina que analiza y predice el comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria (o también llamadas turbomáquinas), históricamente ha implicado una combinación de áreas separadas como: vibraciones, dinámica estructural e hidrodinámica. Las características rotodinámicas de una turbomáquina son influenciadas fuertemente por las chumaceras sobre las cuales se soporta para operar. Comúnmente las chumaceras de película fluida son utilizadas para la operación industrial de maquinaria rotatoria pesada. Debido a que la película del fluido lubricante que separa las superficies en movimiento tiene un comportamiento similar al de un resorte de comportamiento complejo, dicha película de lubricante presenta propiedades de amortiguamiento y rigidez; las cuales pueden alterar significativamente a la máquina en sus velocidades críticas, respuesta al desbalance y además pueden inducir inestabilidades. Por lo anterior resulta de primordial importancia el considerar las características propias de las chumaceras en el diseño de turbomaquinaria. La rigidez del sistema rotor-chumacera principalmente está determinado por la rigidez de la chumacera actuando en serie con la del rotor, y el amortiguamiento del sistema es usualmente determinado casi en su totalidad por las propiedades de amortiguamiento de la película lubricante en la chumacera. Existen una serie de problemas de inestabilidad de maquinaria rotatoria conocidos y discutidos en la literatura internacional, cada uno de los cuales puede ocasionar vibraciones violentas de alta amplitud y tan perjudiciales que impiden operar la maquinaria afectada por los disparos automáticos del sistema de protección de la misma. Todas estas inestabilidades vibratorias pueden evitarse cuando existe un buen diseño mecánico y además la maquinaria se opera adecuadamente. Sin embargo el deterioro del equipo rotatorio, el mantenimiento inadecuado y/o poco frecuente, así como los cambios significativos en las condiciones de operación de la turbomáquina pueden ser los principales responsables de que maquinaria que opera normal y estable se convierta en otra problemática y costosa de operar. A continuación se presenta un breve recorrido histórico de los principales investigadores que con sus aportaciones contribuyeron a formar parte de lo que hoy en día se conoce como rotodinámica.



2

1.2 Antecedentes de la rotodinámica y la teoría de vibraciones. A finales del siglo XIX la teoría de vibraciones inició su real desarrollo. Al mismo tiempo comenzó el rápido progreso en la construcción de maquinaria de alta velocidad, en particular en el desarrollo de locomotoras y turbinas de vapor. DeLaval fue el primer investigador que experimentó con rotores de turbinas a una velocidad de 30,000 revoluciones por minuto (rpm), es decir, a una velocidad de operación claramente por arriba de la primera velocidad crítica de la máquina (una máquina para pasteurizar la leche). El primer tratado sistemático sobre el tema fue escrito por Lord Rayleigh, quien formalizó la idea de funciones normales, e introdujo las ideas de fuerzas generalizadas y coordenadas generalizadas. Además introdujo sistemáticamente la energía y los métodos aproximados en el análisis de vibraciones, sin resolver aún las ecuaciones diferenciales resultantes. La vibración lateral en ejes fue anticipada por W. A. Rankie, quien erróneamente postuló que la operación del eje por arriba de la velocidad crítica era imposible [1]. Investigaciones analíticas extensas fueron hechas por Durkeley y Reynolds [2]. DeLaval observó y resolvió en la práctica problemas de rotodinámica experimentando con turbinas de vapor en el último cuarto de siglo XIX, contradiciendo en la práctica las predicciones de Rankie. El Problema analítico de vibración rotacional síncrona por desbalance fue resuelto por A. Foppl, quien explicó analíticamente el por qué es posible la operación por arriba de la velocidad crítica tal como ya lo había demostrado experimentalmente DeLaval [3]. Los análisis y desarrollos de DeLaval son algunas veces llamados de Jeffcott [4] por investigadores de origen anglosajón. En la década de 1920 la industria de las turbinas diseñó máquinas para operar con cargas substancialmente más altas, y a velocidades por arriba de la velocidad crítica fundamental; con esto los problemas modernos de rotodinámica aparecieron, algunos de los cuales fueron tratados por B. L. Newkirk [5] y A. T. Kimball [6]. Los Efectos Giroscópicos fueron analíticamente introducidos en las ecuaciones de movimiento por Stodola [7] y adicionalmente cuantificados por B. L. Newkirk, H.D. Taylor [8], y por el mismo Stodola [9]. Entre los años de 1920 y 1930 la energía eléctrica tuvo una gran expansión en los Estados Unidos debido al rápido desarrollo industrial. Fabricantes de turbinas contrataron a muchos ingenieros de Europa, notables entre ellos fueron: Timoshenko, Den Hartog y Myklestad, quienes fueron contratados por Westinghouse. Actualmente se utilizan análisis basados en los métodos de elemento finito, las bases de la idea de discretización continua involucra los métodos de Holzer [10], Guembel [11], Tolle [12] y Van Den Dungen [13], así como el método de matrices de transferencia [14]. Su uso para un continuo general fue sugerido por Courant [15], esta idea fue adaptada para aplicarse en estructuras por M. J. Turner, R. W. Clough, H.H. Martín y L. J. Topp [16]. 1.3 Estado del arte en el diseño de chumaceras hidr odinámicas con presurización externa. Las primeras teorías del comportamiento de las chumaceras de película fluida, asumían erróneamente que la carga del eje de rotación únicamente se aplicaba directamente a la parte estacionaria de la chumacera, el papel que tenía el fluido lubricante era solamente para disminuir



3

la fricción. A finales del siglo XIX Beauchamp Tower desarrolló una serie de experimentos precisos para medir la presión del fluido (lubricante) en diferentes partes de la chumacera [17], [18]. Él llegó a la siguiente conclusión: la distribución de presiones dentro de la película de aceite ocurre de tal manera que la película de aceite ejerce fuerzas de carga; así fue como se consideró por primera vez las chumaceras de película fluida como un sistema dinámico con características de rigidez y esto se debió a la primer medición de presión de la película de aceite. En 1886, la teoría de Osborne Reynolds [19] logró explicar los experimentos realizados por Beauchamp Tower, quien derivó la famosa Ecuación de Reynolds, la cual describe la distribución de presiones del lubricante en la chumacera. El primer uso práctico de la teoría de Reynolds fue una solución aproximada para un caso específico. Esta fue obtenida por Ocvirk [20] en 1952 (también llamada solución de Ocvirk para una chumacera infinitamente corta). A principios del siglo XX, los cálculos de la presión del aceite en las chumaceras, claramente distinguió entre lubricación parcial y completa (muñón completamente rodeado e inundado por la película del fluido). En 1919, W. J. Harrison [21] publicó un trabajo de investigación donde predecía que el comportamiento de la chumacera con lubricación completa sería inestable. El análisis de Harrison no fue completo y solo resulta correcto para la operación bajo cierto tipo de condiciones. Esto indujo ampliamente a que en la práctica se adoptara deliberadamente las chumaceras con lubricación parcial por la creencia de que su comportamiento sería más estable. Esto también llevó a un uso casi universal de las chumaceras con inyección externa a bajas presiones, pues ciertos trabajos experimentales aseguraban que el presurizar una chumacera con lubricación completa lo haría más inestable. Investigaciones más recientes contradicen estas creencias, mostrando que una presión de inyección externa adecuada a una chumacera con lubricación completa es extraordinariamente estable. Con una adecuada presión de inyección quiere decir que el lúbricamente se fuerza a desplazarse a lo largo de la flecha (flujo axial, paralelo al eje de la flecha), en lugar de que fluya alrededor del árbol (flujo circunferencial). 1.3.1 Estudios analíticos / numéricos. Con el desarrollo de la rotodinámica se consiguió el objetivo principal al estudiar las turbomáquinas, reducir las amplitudes de vibración que eran de magnitudes insostenibles. Cuando se demostró que las velocidades de resonancia dependen entre otros factores, del valor de las rigideces que tienen los soportes (chumaceras) en un equipo rotatorio, se pensó en modificar artificialmente estos valores para conseguir posponer las velocidades inesperadas. Una de las formas en que se pueden cambiar los valores de los coeficientes de rigidez y amortiguamiento es la presurización externa en chumaceras hidrodinámicas. Hasta ahora existen estudios numéricos que reportan algunos resultados, sin embargo por la naturaleza de estos métodos, los resultados no se obtienen con la rapidez que se espera. Asimismo no hay muchos trabajos analíticos en los cuales se hayan encontrado resultados relevantes y aplicables a casos prácticos. Durante los años 1960 y 1961, el investigador ruso J. V. Fedor [22], [23] publicó un par de artículos en el Journal of Basic Enginnering, en los cuales se desarrolla una metodología para el cálculo del campo de presión en una chumacera presurizada en un puerto cuya ubicación es arbitraria, en estos trabajos Fedor modifica la ecuación de la lubricación de Reynolds para



4

incorporar un término de inyección de lubricante; sin duda la solución fue elegante pero estaba dada en forma de una serie infinita, por lo que para calcular los parámetros rotodinámicos restantes, era necesario despreciar a casi todos los términos de la solución. En los trabajos de Fedor solo se toman en cuenta dos términos de la solución ya que de lo contrario, los cálculos posteriores son bastante complicados. En 1995 Yong Tian y Marc Bonis [24] en la revista de Elsevier, presentan un trabajo que consiste en un método cuasi-analítico para evaluar los coeficientes dinámicos de una chumacera con diversos puertos de presurización. Se utiliza la teoría de pequeñas perturbaciones junto con el método del elemento finito. En el año 2003, los investigadores brasileños I. F. Santos y F. Y. Watanabe [25] publicaron en el Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, un trabajo en el cual se estudian chumaceras presurizadas con puertos múltiples de inyección de lubricante, este análisis se realiza numéricamente mediante la dinámica de fluidos computacional y técnicas de control. Mediante el control del flujo y la presión se obtienen cambios importantes en las fuerzas de la película de aceite, las cuales afectarán los valores de las rigideces de la chumacera. 1.3.2 Estudios experimentales. BENTLY-NEVADA Actualmente existen compañías dedicadas a la fabricación e investigación experimental del equipo rotatorio, una de ellas es BENTLY-NEVADA en EUA; la cual ha hecho experimentos con rotores de laboratorio que consisten en presurizar externamente a una chumacera colocando los puertos de inyección en forma simétrica [26]. En la figura 1.1 se muestra una chumacera presurizada con cuatro puertos de inyección, esta configuración es la que BENTLY usa para realizar sus experimentos.

Fig. 1.1 Configuración de una chumacera presurizada usada por BENTLY.



5

El objetivo inicial de Donald Bently (quien es el responsable de esta compañía) al usar este arreglo es tratar de que la presurización externa haga que el muñón se mantenga lo más cerca del centro geométrico de la chumacera y de esta manera el eje no tenga oscilaciones importantes. En el año 2002 Bently junto con Hatch y Grissom publicaron el libro: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics [27]; el cual tiene por objetivo mostrar los aspectos prácticos más relevantes de la rotodinámica, haciendo énfasis en el diagnóstico de turbomáquinas. En este libro hay un capítulo (cap. 23) que por primera vez aparece como tal en la literatura internacional, el cual lleva por título: Externally Pressurized and Machinery Diagnostic; entre las conclusiones más destacadas que aparecen, se pueden citar: 1.- Al presurizar externamente, las rigideces de las chumaceras se incrementan notablemente. 2.- La presurización puede producir inestabilidad. 3.- Bajo ciertas condiciones la presurización externa puede modificar las velocidades de resonancia. 4.- Si se ajustan adecuadamente los puertos de inyección, se puede modificar la excentricidad de equilibrio. 5.- La variación de la presión puede permitir establecer un control adecuado de las rigideces en la chumacera, el control se puede hacer en uno más puertos de inyección. La explicación que Bently aporta en su libro se puede ver en la figura 1.2, en la cual se muestran la amplitud y el ángulo de fase como función de la velocidad de operación, BK y

SK representan

la rigidez de las dos chumaceras y del eje respectivamente. En esta figura aparecen tres casos de análisis, en los cuales se ha presurizado externamente a las chumaceras de tal manera que su rigidez respecto a la del eje se encuentra en la siguiente proporción: a) ( ) SB KK 21=

b) SB KK =

c) SB KK 2=

Como puede verse, la amplitud de vibración se ha modificado pues de aproximadamente 30 mµ a casi 4000 rpm (con una rigidez de las chumaceras cuyo valor es el de la mitad del eje), se ha incrementado hasta casi 50 mµ a casi 5500 rpm (cuando la rigidez toma valores del doble del eje). Por tanto no solo cambia la amplitud de vibración al modificar la rigidez de los soportes, sino que también el ángulo de equilibrio y la frecuencia de resonancia la cual se pospone a medida que la rigidez se incrementa.



6

Fig. 1.2 Variación de la amplitud y ángulo de fase en una chumacera presurizada. Tomada de: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics by Bently-Hatch-Grissom [27].

Para Bently, la presurización no solo será importante por el cambio individual de rigideces, ángulos de fase y resonancias, sino que en la práctica las acciones que se deben tomar para realizar diagnósticos en turbomáquinas que estén soportadas por chumaceras presurizadas serán diferentes. La modificación de las rigideces en las chumaceras durante el arranque o paro de un equipo, produce una alteración de la respuesta vibratoria y esto afectará el diagnóstico final. Asimismo la frecuencia natural puede ser rápidamente alterada permitiendo que el operador o el sistema de control pase por alto la resonancia durante el inicio o frenado, haciendo que se elimine la señal de resonancia que es tan importante para identificar la localización del problema en un diagrama de Bode. En las figuras 1.3 y 1.4 aparece el efecto del cambio de rigideces durante el arranque y frenado de un equipo rotatorio.



7

Fig. 1.3 Efecto del cambio de rigideces en una chumacera presurizada durante el arranque y frenado de un equipo rotatorio. Tomada de: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics by Bently-Hatch-Grissom [27].

Fig. 1.4 Diagrama polar que ilustra el cambio de rigideces en una chumacera presurizada durante el arranque y frenado de un

equipo rotatorio. Tomada de: Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics by Bently-Hatch-Grssom [27].



8

De las figuras anteriores se puede notar que la máquina comienza a operar con una rigidez en las chumaceras bastante grande (línea roja), posteriormente la rigidez de la chumacera se modifica drásticamente cuando la velocidad de operación está cerca de 4500 rpm, cambiando la respuesta vibratoria (línea azul). Observar que este cambio también ocurre en el ángulo de fase, el cual cambia súbitamente (línea punteada) No cabe duda que los resultados presentados por Bently son importantes; sin embargo en su libro no hace referencia acerca del equipo rotatorio en el cual realiza los experimentos, solo menciona que se ha utilizado un modelo simple y que los resultados obtenidos son cualitativamente esperables, de igual manera no precisa la presurización externa que inyecta en cada puerto. De hecho solo se limita a describir lo que ocurrirá cuando se lleve a cabo la inyección de lubricante. 1.4 La rotodinámica en México. El Centro de Investigación y Asistencia Técnica de Querétaro (CIATEQ), el Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIEE), Petróleos Mexicanos (PEMEX), la Turbomachinery Internacional Publication y la Comisión Federal de Electricidad (CFE), organizan cada dos años el Congreso y Exhibición Latinoamericana de Turbomaquinaria, el cual es el punto de reunión más importante en América Latina entre fabricantes y usuarios de turbomaquinaria, además se presentan los trabajos más sobresalientes que se realizan en nuestro país. Este congreso por lo general tiene sus sede en México y participan organizaciones como EPRI (Electric Power Research Institute), la SWRI (South Western Research Institute), la Universidad de Texas A&M, General Electric, Petrogas de Venezuela entre otras instituciones. Cabe mencionar que además del Instituto Politécnico Nacional existen algunos institutos públicos que realizan investigación en el área de rotodinámica; tal como es el caso del Centro de Investigación y Asistencia Técnica de Querétaro (CIATEQ), el Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIEE), y el Instituto Mexicano del Petróleo (IMP). Sin embargo actualmente el Laboratorio de Vibraciones & Rotodinámica de la SEPI-ESIME-IPN (cuyo fundador es el Dr. Julio César Gómez Mancilla) es el líder nacional en estos tópicos y en el desarrollo de la tecnología asociada a la dinámica, la lubricación aplicada y las vibraciones de turbomaquinaria. Referencias [1] W. A. Rankie (1869). On the centrifugal force of rotating shaft. Engineer (London).

[2] Durkeley-Reynolds (1883). On the whirling and vibration of shafts. Philos, Trans. Serr. A, 279 – 359

[3] DeLaval (1895) Das Problem del DeLaval Shen Turbinewelle. Civilgenieur, 61:333 – 342.

[4] Jeffcott (1919). Philos. Mag. Mar. Pp. 304 – 314.

[5] B.L. Newkirk (1924). Shaft whipping, General Electric Rev, 27(3): 169 – 178.

[6] A. T. Kimball (1924). Internal friction theory of shaft whirling, General Electric Rev, 27(4): 244 – 254.

[7] Stodola (1918). Neue kritische Drehzahlen als Folge der Kreiserlwirkung der Läufräder. Z. Gesamte Turbinenwers, 15: 269 – 275.



9

[8] B.L. Newkirk- H.D. Taylor (1925). Shaft whipping due to oil action in journal bearings. General Electric Rev. 25(8):559 – 568

[9] Stodola (1925). Kritische Wellenstörung infolge der Nachgiebigkeit des Ölposters im Larger. Schweiz Bauztg., 85:265.

[10] (1907). Schifbau, 8:823, 866, 904.

[11] (1912). Z. VDI. 56:1025.

[12] (1921). Regelung der Kraftmachinen, Berlin.

[13] Van Den Dungen. M F-H., (1928). “Les problémes Généreaux de la Technique des Vibrations.Mem”, Sc. Phys., L’ Academie de Sciences, Paris, Gauthier – Villars.

[14] Thompson (1950). Matrix solution for the vibration of non – uniform beams. J. Appl. Mech., 17:337 – 339.

[15] Courant (1943). Vibrational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Am. Math. Soc., 49:1-23.

[16] Turner-Clough,Martin, Topp (1956). Stiffness and deflection analysis of complex structures. J. Aeronaut. Sci., 23:805 – 824.

[17] Tower, B., (1884) “First Report of Friction Experiments,” Proc. Inst. Mech. Engrs., (a) 1883, pp. 632 – 659; (b) pp. 29 – 35.

[18] Tower, B. (1885), “Second Report on Friction Experiments,” Proc. Inst. Mech. Engrs., 1885, pp. 58 -70.

[19] Reynolds, O., (1886) “On the Theory of Lubrication and Its Applications to Mr. Beauchamp Tower’s Experiments Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil,” Philos. Trans. R. Soc. London, Series A, Vol. 177. Part 1, pp. 157 – 234.

[20] Ocvirk, F.W.(1952), “Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings”, National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) TN 2808..

[21] Harrison, W. J., (1919) “The Hydrodinamical Theory of Lubrication of a Cylindrical Bearing Under Variable Load and of a Pivot Bearing,” Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 22, April 24, 1919, pp. 373 – 388.

[22] J. V. Fedor, (1961) “Journal Bearings with arbitrary Position of Source”, ASME Trans, Journal of Basic Engineering. [23] J. V. Fedor, (1960) “A Sommerfeld solution for finite bearings with circumferential grooves”, ASME Trans, Journal of Basic Engineering. [24] Tian Y., Bonis Marc. (1995) “Analytical approach for the determination of the dynamic coefficients of hybrid bearings”, ELSEVIER, pp. 66-76. [25] I. F. Santos y F. Y. Watanabe (2003) “Feasibility of influencing the dynamic fluid film coefficients of multirecess journal by means of active hybrid lubrication”. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering.

[26] Bently D, Petchnev (2000) “Dynamic Stiffness and Advantages of Externally pres-surized fluid film bearings”, Orbit, First Quarter. [27] Bently D, Hatch, Grissom (2002) “Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics”.



10

Capítulo II Nuevos modelos de presurización en chumaceras hidrodinámicas. 2.1 La ecuación de la lubricación de Reynolds. Una de las causas principales de la reducción de la vida útil y la falta de disponibilidad de la maquinaria rotatoria son las vibraciones, las cuales son responsables de los desgastes prematuros y de los daños mecánicos severos a los equipos; una forma de poder atenuar y controlar la amplitud vibracional radica en modelar correctamente la conducta dinámica de los soportes (chumaceras) y junto con ello caracterizar correctamente la película de lubricante. Una chumacera es un cuerpo cilíndrico alrededor del cual gira un eje y que se usa en casi todos los tipos de maquinaria para soportar cargas radiales o simplemente como una guía para la suave transmisión de un par con un mínimo de pérdida de carga y desgaste. La capacidad para soportar carga se debe a la generación de un campo de presión en la película del lubricante, debido al movimiento relativo entre el muñón y la chumacera. El campo de presión se genera por la formación de una cuña de lubricante, el cual es arrastrado hacia el claro entre dos superficies convergentes. Esta cuña convergente se crea porque el eje no gira en forma concéntrica con respecto a la chumacera, sino que existe un desplazamiento relativo del centro del eje con respecto al centro de la chumacera y que se conoce como excentricidad. La cantidad de excentricidad se autoajusta hasta que la carga se equilibra con la presión generada en la parte convergente de la película del lubricante. Los primeros estudios de un eje y una chumacera operando bajo condiciones completamente hidrodinámicas fueron realizadas por F. A. Von Pauli en 1849 y por G.A. Hirn en 1854. En 1883 el célebre ruso N. Petroff concluyó que la fricción en chumaceras se debía a un fenómeno hidrodinámico. Mr. Beauchamp Tower en 1883 realizó experimentos y demostró por primera vez la existencia de un campo de presión en una chumacera hidrodinámica [1], posteriormente Osborne Reynolds en 1886 obtuvo una expresión matemática que explica este incremento de presión y que ha llegado a ser la base del análisis hidrodinámico del funcionamiento de las chumaceras [2]. En la figura 2.1 se muestra una vista transversal de una chumacera hidrodinámica junto con el campo de presión generado por la película de lubricante, notar como el muñón está ligeramente colocado hacia la derecha, generando una excentricidad.



11

Fig. 2.1 Vista transversal de una chumacera hidrodinámica.

La ecuación de Reynolds es una simplificación especial de las ecuaciones de Navier-Stokes en la mecánica de fluidos, y permite determinar el campo de presión ),( θzp dentro de una chumacera como función de su movimiento (en el apéndice A aparece la deducción completa), tal ecuación puede escribirse como [3]:

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

µ

θθSenCCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 && (2.1)

22

Lz

L≤≤− , 2πθ0 ≤≤ , εCosθ1)h( +=θ (2.2)

02

=

Lp , 0

2=

−

Lp , )()2( θπθ pp =+ (2.3)

donde p es la presión, θ es la coordenada circunferencial medida a partir de la línea de centros, z es la coordenada axial a lo largo de la chumacera,ϕ es el ángulo de attitud (o de

equilibrio), rC es el claro radial, ε es la excentricidad adimensional, R es el radio de la chumacera, µ es la viscosidad dinámica, h es el espesor de la película del fluido en forma adimensional y ω es la velocidad angular del muñón. En general ε& y ϕ& son diferentes de cero, pero en la posición de equilibrio estas cantidades tienen valor de cero; sin embargo si se requiere calcular la estabilidad del movimiento del muñón o la respuesta vibratoria del sistema considerando cargas, entonces ε& y ϕ& deberán considerarse. Para trabajar de forma general es necesario presentar la ecuación de Reynolds en forma adimensional y así facilitar los cálculos. Recordar que esta ecuación puede escribirse como:



12

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

µ

θθSenCCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 && (2.4)

en donde se pueden definir [4]:

2

22

2)(

−+=

ωϕεε &&

rrS CCV , s

r

V

CCos

εα

&= ,

s

r

V

C

Sen

−

= 2

ωϕε

θ&

(2.5)

Entonces la ecuación de Reynolds queda como:

( )αθµ

θθ+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂CosV

C

R

z

ph

zR

ph S

r3

2323 12 (2.6)

en la posición de equilibrio se tiene: 0== εϕ && , entonces (2.5) puede escribirse:

2

πα = , θ

πθ SenCos −=

+

2;

2

ωεr

S

CV =

Sustituyendo las relaciones anteriores en (2.6), la ecuación de Reynolds en estado estacionario (equilibrio) queda como:

)(6

2

2323 θε

ωµ

θθSen

C

R

z

ph

zR

ph

r

−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ (2.7)

Para tener mayor generalidad, se usarán las siguientes sustituciones para adimensionalizar a (2.7).

zL

z2

= , dimp

pp= ,

22

dim2

=

=

rr C

R

C

RNp

π

ωµµ (2.8)

Sustituyendo (2.8) en la ecuación de Reynolds (2.7):

( ) ( ) ( ) ( )θεπµ

θθ

θθ

µ SenC

NR

z

ph

zLR

ph

Cr

RN

r

−=

∂

∂

∂

∂

⋅+

∂

∂

∂

∂

2

2

32

23

226

2

1 (2.9)

simplificando:

( ) ( ) ( )θεπθθ

θθ

Senz

ph

zL

Dph −=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂123

2

3 (2.10)

Ecuación adimensional de Reynolds en estado estable



13

2.2 Modelos clásicos. Una chumacera puede ser clasificada de acuerdo a la relación que existe entre su longitud axial y su diámetro, tal relación es fundamental para considerarla como corta, intermedia o larga, pues esto propicia algunas simplificaciones en la ecuación de Reynolds que la caracteriza [5]. En la figura 2.2, se aprecia un esquema simplificado de una chumacera y el sistema de coordenadas que se empleará para hacer todas las mediciones.

Fig. 2.2. Vista simplificada de una chumacera, los valores de “L” y “D” son muy importantes para su clasificación y su análisis en

el comportamiento dinámico de un sistema rotatorio

2.2.1 Chumaceras Cortas. Una chumacera será corta si la longitud L es muy pequeña en comparación con su diámetro D , o sea que se debe cumplir que: DL << , en términos numéricos se considera corta si: 4/1/ ≤DL [3]. Las chumaceras cortas son ampliamente usadas y operan exitosamente en diversas máquinas, particularmente en máquinas automotrices; algunas de sus ventajas son:

• Presenta mejor transferencia de calor, debido a una circulación más rápida del lubricante a través del claro de la chumacera. La velocidad de flujo aumenta el enfriamiento debido a que el lubricante que es calentado por el esfuerzo cortante viscoso, se reemplaza continuamente.

• Es menos sensible al desalineamiento. • Las partículas generadas por el desgaste abrasivo y el polvo se llevan al exterior a través

del aceite con más facilidad, por lo que el desgaste se reduce. • Requieren de menos espacio y dan como resultado, diseños más compactos.

La chumacera corta ha sido estudiada y analizada por Dubois y Ocvirk [6], [7], quienes asumieron que el gradiente de presión alrededor de la chumacera es pequeño y se puede despreciar cuando se compara con los gradientes de presión en la dirección axial. Recordando la ecuación de Reynolds (2.10), y despreciando el primer término del lado izquierdo (el cual representa el gradiente de presión alrededor de la chumacera) se tendrá el modelo clásico de una chumacera corta:

( ) ( )θεπθ Senz

ph

zL

D−=

∂

∂

∂

∂

123

2

(2.11)

La simplificación anterior, permite obtener soluciones analíticas cerradas de (2.11) y así poder determinar el campo de presión y predecir el comportamiento de una chumacera corta.



14

2.2.2 Chumaceras largas. Por otra parte una chumacera será larga si la longitud axial L es muy grande en comparación con su diámetro D , o sea que DL >> , en términos numéricos se considera larga si: 2/ ≥DL [3], [4]. Cuando una chumacera es larga, la solución de la ecuación de Reynolds se torna más complicada que la usada en chumaceras cortas. En la chumacera larga se asume que el gradiente de presión en la dirección axial de la chumacera es pequeño y se puede despreciar cuando se compara con los gradientes de presión alrededor de la chumacera, lo anterior es porque la distribución de presión no depende de los valores en la frontera. Recordando la ecuación de Reynolds (2.10), y despreciando el segundo término del lado izquierdo se tendrá el modelo clásico de una chumacera larga:

( ) ( )θεπθ

θθ

Senp

h −=

∂

∂

∂

∂123 (2.12)

La solución de (2.12) es mucho más complicada que la que aparece en una chumacera corta (2.11), pues las integrales que aparecen son de difícil solución; sin embargo en 1904 Arnold Sommerfeld venció estas dificultades introduciendo su sustitución universal, la cual permite determinar el campo de presión en la película de lubricante (en el apéndice D se muestra con detalle la sustitución de Sommerfeld). 2.3 La Función Delta de Dirac. En varias ramas de la física, se encuentran fuentes que aparecen en forma instantánea (si el tiempo es la variable independiente) o aparecen en forma localizada (si la variable independiente es una coordenada espacial). Para estudiar lo anterior con detalle, debemos reemplazarlas por fuentes idealizadas, las cuales son verdaderamente instantáneas o localizadas. Las fuentes pueden ser: fuerzas concentradas y momentos en mecánica de sólidos, puntos masas en la teoría del potencial gravitacional, cargas puntuales y dipolos en electrostática, etc. Se desea desarrollar una teoría matemática que proporcione: 1.-Una manera clara de especificar una fuente concentrada. 2.-Un método para el cálculo de la respuesta de una fuente concentrada; es decir un método para interpretar y resolver ecuaciones diferenciales, en las cuales el término no homogéneo es una fuente concentrada. El físico ingles Paul A. M. Dirac (1902-1984) sugirió una manera de representar matemáticamente las fuentes puntuales como se muestra a continuación:

( )

≠=∞

=00

0

x

xxδ (2.13)

La ecuación (2.13) es conocida como la función Delta de Dirac; aunque no es realmente una función en el sentido estricto, fue muy utilizada con éxito durante varios años para resolver varios problemas de física e ingeniería antes de que Laurent Schwarz justificara matemáticamente su uso.



15

Fig. 2.3. Paul A. M. Dirac, físico inglés (1902-1984), quien propuso una forma de expresar fuentes puntuales en la física-matemática

2.3.1 La función Delta como límite de funciones con tínuas. Es natural tratar de especificar a una fuente puntual como un límite de distribuciones continuas de fuentes; tal aproximación evita rápidamente las dificultades matemáticas. A continuación se mostrará como puede realizarse la aproximación usando una función contínua. Para nuestros propósitos, sea una línea presurizada, suponga que la presión se distribuye contínuamente sobre el eje x con una densidad:

( )221

1

xk

kxsk

+=

π (2.14)

Donde k es un entero positivo, para grandes k, ( )xsk será muy pequeño. En la figura 2.4 aparece

la gráfica de (2.14).

Fig. 2.4.



16

La presión total a la izquierda de x será:

( ) ( ) ( )xkduusxr

x

kk arctan1

2

1

π+== ∫

∞−

(2.15)

donde ( )xrk será la presión acumulada. En la figura 2.5 se aprecia el comportamiento de 2.15.

Fig. 2.5.

Es importante notar que:

( ) ( ) 1== ∫∞

∞−

∞→duusxrLím kk

x para todo k ,(2.16)

Por lo tanto, la presión total en la línea es siempre 1, independientemente del índice k. Por todo lo anterior, es claro que:

( )

≠=∞

=∞→ 00

0

x

xxsLím k

k (2.17)

además:

( )

>=<

=∞→

01

02/1

00

x

x

x

xrLím kk

(2.18)

Tomando en cuenta a (2.16), así como comparando (2.13) y (2.17), se puede escribir:

( ) ( )xxsLím kk

δ=∞→

(2.19)

( ) 1=∫∞

∞−

dxxδ (2.20)



17

La función simbólica ( )xδ representa la presión una fuente puntual ubicada en 0=x , y la correspondiente presión acumulada es conocida como la función de Heaviside, denotada por

( )xH . 2.3.2 Algunas propiedades de la función Delta. En esta sección se mostrarán algunas de las propiedades de la función de Dirac, las cuales son muy útiles en la manipulación de ecuaciones diferenciales que contienen fuentes puntuales. Definiendo la acción de ( )xsk sobre la función ( )xψ por la fórmula:

[ ] ( ) ( )dxxsxA kk ∫∞

∞−

= ψψ (2.21)

donde ( )xψ es una función arbitraria, continua en el origen y que puede asegurar la existencia de la integral (2.21). Por simplicidad limitaremos a ( )xψ tal que: M≤ψ para todo x, ∞<<∞− x .

Teorema

Si ( )xψ es acotada, integrable y continua en 0=x :

( ) ( )01

1

22ψ

πψ =

+∫∞

∞−

∞→dx

xk

kxLím

k

(2.22)

Demostración

Observemos primero que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+=+= dxxsxdxxsxdxxsdxxsx kkkk ηψηψψ 00 (2.23)

donde:

( ) ( ) ( )0ψψη −= xx

Para mostrar que: ( ) ( ) 0=∫∞

∞−

∞→dxxsxLím k

kη se debe probar que para algún 0>ξ existe un N tal que:

ξη <∫∞

∞−

dxsk para Nk > .

Sea A número positivo, dividiendo el intervalo de ∞− a ∞ en tres partes tales que:

321 IIIdxsdxsdxsdxs

A

A

kk

A

A

kk ++=++= ∫∫∫∫−

∞

∞−

∞

∞−

ηηηη (2.24)



18

Examinando la integral 3I , el máximo de η en AxA ≤≤− será denotado por ( )Ap , entonces:

( )( )

( ) ( )ApkAApdxxk

kApdxsI

A

A

A

A

k ≤

=

+≤≤ ∫∫

−−

arctan2

1 223

ππη (2.25)

Como ( ) 00 =η y ( )xη es continua en 0=x , se tiene que: ( ) 0

0=

→ApLim

A, por tanto para algún 0>ξ ,

existe un A pequeño tal que:

23

ξ<I independiente de k (2.24)

Solo falta mostrar que 21 II + es pequeño para valores suficientemente grandes de k. Recordar

que ( ) Mx ≤ψ y ( ) ( )0ψψη +≤ x , η está limitada en ∞<<∞− x , digamos p≤η

entonces:

−=

+≤+ ∫∫

∞

−

−

∞−

kApdxsdxspII

A

k

A

k arctan2

121

π (2.25)

Con el valor de A fijo, 1arctan2

=

∞→kALím

k π es posible encontrar un N tal que:

2arctan

21

ξ

π<

− kAp , Nk > (2.26)

de esta manera:

,321321 ξη <++=++=∫∞

∞−

IIIIIIs dxk Nk > (2.27)

lo anterior implica que:

( ) ( ) 0=∫∞

∞−

∞→dxxsxLím k

kη y esto completa la demostración (2.28)

El resultado del teorema anterior permite concluir que al aproximarse k a infinito, la acción de

( )221 xkk +π sobre ( )xψ se aproxima a ( )0ψ . De esta manera la función ( )221 xkk +π es una

buena aproximación a ( )xδ , por tanto es natural tratar de definir a ( )xδ como la “función” que tiene la acción ( )0ψ .



19

Así se puede mostrar que ( )xδ es un nuevo objeto matemático conocido como función generalizada o función simbólica, de forma que cuando ( )xδ actúa sobre una función ( )xψ , toma el valor de ( )0ψ en 0=x . Simbólicamente:

( ) ( ) ( )0ψδψ =∫∞

∞−

dxxx (2.29)

Definición

Un función ( )xsk será la función generalizada ( )xδ si:

( ) ( ) ( )0ψψ =∫∞

∞−

∞→dxxxsLím k

k

(2.30)

para toda ( )xψ contínua y limitada ∞<<∞− x . Generalizando lo anterior se puede escribir:

( ) ( ) ( )00 xdxxxxsLím kk

ψψ =−∫∞

∞−

∞→ (2.31)

De esta forma, para grandes k, ( ) ( )00 xxxxsk −→− δ entonces se puede escribir:

( ) ( ) ( )00 xdxxxx ψδψ =−∫∞

∞−

(2.32)

2.3.3 Breve introducción de la teoría de distribuci ones. Sea ( )xfy = una función contínua en ∞<<∞− x , y considere la acción de ( )xf sobre ( )xψ en la forma:

( ) ( )∫∞

∞−

= dxxxff ψψ, (2.33)

la notación ψ,f es usada para designar la acción de f sobre ψ . Bajo estas circunstancias es

posible construir una tabla en la cual podamos incluir en la primera columna la función ( )xψ y en la segunda las acciones de ψ,f ; tal correspondencia es conocida como una funcional.

Derivación de Distribuciones Si ( )xf es una función diferenciable, cuya derivada es localmente integrable, entonces ( )xf ′ define la distribución:

( ) ( )∫∞

∞−

′=′ dxxxff ψψ, (2.34)



20

Integrando por partes y recordando que ( )xψ es cero fuera de un intervalo finito se tiene:

( ) ( ) ψψψ ′−=′−=′ ∫∞

∞−

,, fdxxxff (2.35)

en general para alguna distribución t , la derivada t′ está dada por:

ψψψ ′−=′−=′ ,,, ttt (2.36)

Es posible escribir la fórmula anterior para la n-ésima derivada como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn ttt ψψψ ,11,, −=−= (2.37)

Aplicando los resultados anteriores a la función de Heaviside:

( )

≥<

=01

00

x

xxH (2.38)

entonces:

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== dxxdxxxHH ψψψ, (2.39)

De (2.35) se tiene:

( ) ( )0,,

0

ψψψψ =′−=′−=′ ∫∞

dxxHH (2.40)

Comparando (2.29) con (2.40):

ψδψ ,, =′H (2.41)

Finalmente se puede escribir:

( )xdx

dHδ= (2.42)

Si ahora definimos:

( )

≥<−

=01

01

x

xxH (2.43)

Usando (2.40) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )021,,

0

0

ψψψψψ =′−′−−=′−=′ ∫∫∞

∞−

dxxdxxHH (2.44)

Entonces:

( ) ( )xxH δ2=′ (2.45)



21

O bien

( ) ( )∫ = xHdxxδ2 (2.46)

Los resultados encontrados en (2.45) y (2.46) son muy importantes y serán usados en la solución del modelo presentado en este trabajo. 2.4 Nuevo modelo para una chumacera corta con puert os puntuales de presurización. 2.4.1 Introducción Toda máquina rotatoria montada sobre chumaceras hidrodinámicas, está expuesta a sufrir vibraciones con características peculiares, las cuales aunadas a otros fenómenos son capaces de causar desgastes prematuros y estragos mecánicos severos a tales equipos. Las bombas, turbinas, compresores, ya sean éstos axiales, centrífugos e inclusive grandes motores eléctricos, son susceptibles a sufrir algunos de los siguientes problemas: disparos automáticos por altas vibraciones, desgaste excesivo y rápido de las chumaceras, alto calentamiento del aceite lubricante, aflojamiento y desalineación de los pedestales, crecimiento de fisuras y grietas en los rotores. Operar equipo con tales problemas ocasiona grandes costos de mantenimiento correctivo y resulta económicamente incosteable, pues aumenta drásticamente la indisponibilidad de éste debido a las descomposturas de emergencia y los continuos mantenimientos. Una forma de poder atenuar y controlar la amplitud vibracional en maquinaria rotatoria radica en modelar correctamente el comportamiento dinámico de los soportes y junto con ello, caracterizar la película de lubricante con sus coeficientes rotodinámicos correspondientes. Cuando una chumacera hidrodinámica se presuriza externamente, es posible modificar las propiedades dinámicas de la película de aceite, haciendo que las inestabilidades y amplitudes vibracionales puedan disminuirse en forma marcada. 2.4.2 Modelo de presurización En esta sección se presenta el nuevo modelo de presurización en una puerta puntual usando la función generalizada Delta de Dirac [9], [10]; cuyas propiedades simplifican notablemente los cálculos. Así será posible determinar no únicamente el campo de presión, sino todas las características dinámicas en la película de aceite. Para facilitar la nomenclatura y la ubicación de la puerta puntual (puerto de inyección), en la figura 2.6 aparecen dos sistemas de coordenadas: el sistema fijo XOY en el cual el punto O representa el centro de la chumacera, y el sistema móvil X’JY’ en el cual el punto J es el centro del muñón. El ángulo entre los sistemas de coordenadas es llamado ángulo de equilibrio ϕ (attitud), la posición angular del puerto de inyección está dada por el ángulo β en el sistema fijo

y βϕπθβ +−= en el sistema móvil; los vectores RUr

y TUr

son vectores unitarios en la

dirección radial y transversal.



22

Fig. 2.6 Sistema de coordenadas fijo (XYZ) de una chumacera y móvil (X´,Y´,Z´) del muñón.

Los sistemas de coordenadas descritos anteriormente muestran que la posición del centro del muñón J será completamente determinada por los valores del ángulo ϕ y de la distancia OJ (excentricidad); estos valores se verán modificados con la presurización, de modo que el centro del muñón pueda tomar cualquier posición dentro de algún cuadrante. Considere ahora el esquema de una chumacera, en la cual aparece el puerto puntual de presurización externa con ubicación axial ( )az = y angular ( )β arbitraria. Ver figura 2.7:

Fig. 2.7. Ubicación del punto de presurización en la chumacera. Notar que se definen los valores de las coordenadas axial y

circunferencial ),( βa para especificar el punto en particular de inyección de lubricante.

Si se supone que el área del puerto de inyección es ∆s, la cual es suficientemente pequeña y que la presión de inyección es ∆p, la fuerza total de presión será igual a:

spFpres ∆⋅∆=∆ (2.47)

Notar que si 0→∆s , entonces ∞→∆p .



23

Entonces: tetanconsq∆s∆p∆Fpres ==⋅= (2.48)

Bajo estas condiciones es posible proponer un modelo de presurización puntual adimensional [10], dado por la función espacial Delta de Dirac:

( ) ( ) ( )[ ]presprtprt azqp ϕβπθδδ −+−−=∆ (2.49)

donde:

dimP

Pq

fict

prt = (2.50)

DL

FP pres

fict

∆= ,

2

=

r

dim

C

RNP µ (2.51)

Aquí

prtq es la intensidad de presión adimensional, notar que (2.49) se define como un impulso

infinito, pero la fuerza de presurización es finita e igual a una constante (2.48). Las consideraciones anteriores pueden ser generalizadas para el caso de “n” puertos de inyección con ubicación axial y angular arbitraria. Por tanto, el modelo que describe el campo de presión en una chumacera hidrodinámica presurizada en un puerto con ubicación ),( βa será:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]presprt azqz

ph

zL

Dph ϕβπθδδθ

θθ

θ−+−−=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂ 3

2

3 (2.52)

Para el caso de la chumacera corta:

( ) ( ) ( )[ ]presprt azqD

L

z

ph

zϕβπθδδθ −+−−

=

∂

∂

∂

∂ 2

3 (2.53)

donde:

11 ≤≤− z , ( ) 01 =±=zp , θε Cosh += 1 , πθ 20 ≤≤ , ( ) ( )πθθ 2ˆˆ += pp

2.5 Nuevo modelo para una chumacera corta con un an illo de presurización. Considerando un caso especial, en el cual la presurización se realiza alrededor de un anillo en cualquier posición axial de la chumacera [9], [10]. El anillo de presurización es la fuente circular de inyección situada en cualquier valor de la coordenada axial adimensional z a= , que permite introducir lubricante con la presurización fija en todo su contorno, como lo muestra la figura 2.8. El modelo de presurización se puede obtener a partir de (2.53), puesto que únicamente se requiere la ubicación axial, no será necesario colocar los dos impulsos de Dirac, por lo tanto el modelo es:



24

( ) ( )azqD

L

z

ph

zprt −

=

∂

∂

∂

∂δθ

2

3 (2.54)

Aunque la presurización en un anillo parece ser de importancia académica, cabe notar que actualmente en chumaceras de gas la presurización se realiza colocando pequeños puertos circulares en la periferia de las mismas (aproximadamente 54 puertos) [11], [12], por lo que el modelo (2.54) parece ser una buena aproximación para describir el campo de presión.

Fig. 2.8 Posición axial de alimentación de lubricante, notar que a una distancia “a ” del centro de la chumacera se presenta la inyección pero en forma circular (anillo presurizado), además no se especifica la posición circunferencial de presurización.

2.6 Nuevo modelo para una chumacera corta con una l ínea de presurización. Este caso corresponde a presurizar en la línea de flujo ubicada a lo largo de la chumacera (ver figura 2.9) para cualquier posición circunferencial “ β ” [9], [10]. La ecuación de Reynolds adimensional es dada por:

( ) ( )[ ]presprtqD

L

z

ph

zϕβπθδθ −+−

=

∂

∂

∂

∂ 2

3 (2.55)

Fig.2.9 Ubicación de la línea de presurización en la chumacera. Se define el valor circunferencial )(β para especificar la posición

angular de la línea de inyección de lubricante.



25

2.7 Rango de aplicación de la teoría de la chumacer a corta. 2.7.1 Introducción Actualmente en la literatura se menciona que una chumacera será corta, intermedia o larga dependiendo de la relación entre la longitud y su diámetro, pero para cada autor las condiciones que debe tener una chumacera para ser considerada corta son diferentes. A continuación se enlistan las características para algunos autores.

Tabla 2.1 Condiciones necesarias para que una chumacera

se considere corta para diversos autores.

M. Khonsari, Bosser [5] 0→

D

L

A. Szeri [3] 25.0<

D

L

D. Childs [4] 7.0,5.0 << ε

D

L

B. Hamrock [13] 1<

D

L

De la tabla anterior, Childs [4] es el único que presenta un intervalo de excentricidad permitida (además de la relación entre longitud y diámetro de la chumacera), pero no establece la manera en que obtiene tales resultados. Sin embargo el valor que tiene la relación (L/D) para determinar que una chumacera es corta o larga tiene un origen físico, pues como se mencionó en la sección 2.2.1 las chumaceras serán cortas o largas dependiendo del tamaño de los gradientes de presión en las direcciones circunferenciales y axiales respectivamente. Lo anterior da como resultado que pueda despreciarse el primer término de la ecuación de Reynolds; pero cabe mencionar que en la literatura no se reportan resultados cuantitativos del porqué un gradiente de presión es más grande que otro. En la siguiente sección, se obtienen expresiones analíticas que permiten determinar las condiciones necesarias para que una chumacera hidrodinámica se considere corta; esto permitirá determinar la validez de las aproximaciones realizadas a partir de la ecuación general de lubricación. 2.7.2 Criterios de comparación A continuación se realizarán comparaciones cuantitativas de los gradientes de presión axial y circunferencial (en la ecuación de Reynolds) con el fin de identificar lo necesario para asegurar que una chumacera sea corta. En matemáticas aplicadas frecuentemente se usan diversos criterios para comparar funciones, entre ellos es posible mencionar:

a) Comparación puntual b) Comparación de las integrales de los módulos c) Comparación de las integrales de los cuadrados de los módulos

No es fácil decir cual criterio es el más adecuado, pues son de diferente naturaleza ya que uno proporciona comparaciones en términos puntuales y los otros en términos de posibles energías.



26

Recordar que el modelo que describe el campo de presión en las chumaceras hidrodinámicas es la ecuación de Reynolds , la cual puede reescribirse nuevamente en forma dimensional por:

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

µ

θθSen)(CCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 && (2.56)

Para trabajar de manera general, es posible adimensionalizar la ecuación de Reynolds mediante las siguientes sustituciones:

zL

z2

= , dimp

pp = ,

2222

dim

2

=

=

D

L

C

R

D

L

C

RNp

rr π

ωµµ (2.57)

Por lo tanto la ecuación adimensional de Reynolds en estado estacionario puede escribirse como:

( ) ( ) επθθθ

θθ

1233

2

=−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

ss

III

v,Senvz

ph

z

ph

D

L

4434421444 3444 21

(2.58)

Si la chumacera se considera corta, la relación entre su longitud y el diámetro será pequeña por lo cual, el término marcado con I (término del error) es pequeño comparado con el término II (término retenido), o bien se puede escribir: 0)( 2 →DL . Por tanto la ecuación de Reynolds para chumaceras cortas toma la forma:

( ) θθ Senvzd

pdh

zd

ds−=

3 ; ( ) 01 =±p (2.59)

Vale la pena notar que la ecuación (2.59) es solo una aproximación de chumaceras cortas, y la validez de esta aproximación dependerá (hasta el momento) de la relación existente entre la longitud y el diámetro de la chumacera. La solución de (2.59) viene dada por:

( )( )1

2

2

3−−= z

h

SenvP s

ocv

θ

θ (2.60)

Sustituyendo a (2.60) en los términos I y II de la ecuación (2.58) se obtiene respectivamente:

Término ( ) ( )( )θθ Senvqz

D

LI s−

−

=

2

122

(2.61)

Término θSenvII s−= (2.62)

en donde:

( )θθεθεεθ

2

22 2441)(

h

CosCosq

+++−= (2.63)



27

Es claro que el rango de validez de una aproximación depende de la precisión exigida de ésta. Abajo consideramos 3 casos para cada criterio de comparación; en el primer caso (notado como 100%) el error es simplemente menor que el termino considerado. En el segundo caso el error es menor de 10% y en el tercer caso es menor de 1% del término retenido. De la misma manera se pueden obtener los rangos de validez para cualquiera otra precisión exigida. 2.7.2.1 Primer criterio. Comparación puntual. Este criterio consiste en la comparación directa entre los módulos de los términos marcados con I y II respectivamente en 3 casos [14].

),(01.0),(:%1)

,),(1.0),(:%10)

,),(),(:%100)

zIIzIc

zIIzIb

zIIzIa

θθθθ

θθ

<

<

< (2.64)

Sustituyendo (2.61), (2.62) y (2.63) en las desigualdades anteriores se tendrá:

( ) ( ) 12441

max1max2

12

222

2

<

+++−⋅−⋅

θθεθεε

h

CosCosz

D

L (2.65)

Después de calcular los máximos de (2.65) ( πθ == ,0z ) y simplificar, se puede escribir:

( )( )εε

ε

451

12

2

2

%100 +−

−<

D

L (2.66)

( )( )εε

ε

451

12.0

2

2

%10 +−

−<

D

L (2.67)

( )( )εε

ε

451

102.0

2

2

%1 +−

−<

D

L (2.68)

Las dependencias (2.66), (2.67) y (2.68) pueden ser aproximadas por las funciones lineales:

90101205012060

90103804038120

90102049120681

1

10

100

..,..D

L

,..,..D

L

,..,..D

L

%

%

%

<<−<

<<−<

<<−<

εε

εε

εε

(2.69)



28

Entonces para los valores de L, D y ε que satisfacen a las condiciones (2.69), la aproximación de la chumacera corta puede considerarse como valida. La figura 2.10 muestra la dependencia (2.66) como función de ε, esta función puede ser aproximada por una línea recta. Las tres líneas rectas presentan las aproximaciones lineales de las funciones restantes (2.67) y (2.68).

Fig. 2.10. Aproximaciones lineales (primer criterio) como función de ε.

2.7.2.2 Segundo criterio. Comparación de las integr ales de los módulos. En este criterio se hará la comparación directa entre las integrales de los módulos en los términos marcados con I y II respectivamente.

∫∫∫∫−−

<

1

1 0

1

1 0

,),(),(

ππ

θθθθ dzdzIIdzdzI (2.70)

Remplazando en la desigualdad anterior los términos I y II por sus expresiones (2.61) y (2.62) se tendrá:

{

<

−

∫∫∫∫−− 4342143421

2

0

2

1

10

3/4

1

1

2

2

)sin()()sin(12

1ππ

θθθθθ ddzdqdzzD

L (2.71)

donde: ( )θ

θεθεεθ

2

22 2441

h

CosCos)(q

+++−=

La integral de ( ) )(θθ qSin que aparece en la desigualdad anterior puede calcularse numéricamente. Usando MATHEMATICA se obtienen los valores de la tabla 2.2.



29

Por tanto, la desigualdad del segundo criterio se expresa como:

AD

L 3

%100

<

(2.72)

AD

L 3.0

%10

<

(2.73)

AD

L 03.0

%1

<

(2.74)

donde el valor de A viene dado por:

∫=

π

θθθ0

)()( dqSinA (2.75)

En la tabla 2.2 aparecen algunos valores de (2.72), (2.73) y (2.74) para determinadas excentricidades de equilibrio ε .

Tabla 2.2. Valores numéricos de la integral A y de la parte derecha de (2.72), (2.73) y (2.74).

ε 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

A 2.0 2.0 2.1778 2.5502 3.0294 3.6072 4.2898 5.15502 6.3657

A3 1.2247 1.2247 1.1737 1.0847 0.9951 0.9115 0.8363 0.7631 0.6865

A.30 0.3870 0.3870 0.3711 0.3429 0.3146 0.2880 0.2640 0.2410 0.2170

A.030 0.1224 0.1224 0.1170 0.1080 0.0995 0.0911 0.0836 0.0762 0.0686

Después de graficar los datos de la tabla anterior, es posible escribir las aproximaciones lineales como sigue:

90100729013520

90102311042810

90107309035431

1

10

100

..,..D

L

,..,..D

L

,..,..D

L

%

%

%

<<−<

<<−<

<<−<

εε

εε

εε

(2.76)

En la figura 2.11 aparecen graficados los valores puntuales de la tabla 2.2 con sus correspondientes aproximaciones lineales.



30

Fig. 2.11. Datos de la tabla 2.2 junto con sus aproximaciones lineales (segundo criterio).como función de ε.

2.7.2.3 Tercer criterio. Comparación de las integra les de los cuadrados de los módulos. En este criterio se hará la comparación directa entre las integrales de los cuadrados de los módulos en los términos marcados con I y II respectivamente.

( ) ( )∫ ∫∫ ∫ −−

<1

1 0

2

1

1 0

2 ,,,,ππ

θθεθθε zddzIIzddzI (2.77)

La integral del lado izquierdo puede escribirse como:

( ) BD

Ldqdzz

D

LzddzI

15

4)sin)(()1(

4

1,,

4

0

222

1

1

41

1 0

2

=−

= ∫∫∫ ∫

−−

ππ

θθθθθε (2.78)

donde el valor de B está dado por

∫=

π

θθθ0

2)sin)(( dqB (2.79)

La integral de lado derecho en (2.77) será:

( ) ∫ ∫∫ ∫ −−

==1

1 0

2

1

1 0

2 sin,,ππ

πθθθθε zddzddzII (2.80)

Después de sustituir a (2.78) y (2.80) en (2.77) se tendrá:



31

4

4

15

BD

L π<

(2.81)

En la tabla 2.3 aparecen los valores de la excentricidad, la integral B y de las tres estimaciones de los valores admisibles de L/D (100%,10% y 1%).

Tabla 2.3. Valores numéricos de la integral A y de la parte derecha de (15).

ε 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 B 1.6898 2.0547 2.6978 3.6794 5.1112 7.1995 10.373 15.708 27.2718

4 15 Bπ 1.6249 1.5474 1.4456 1.3377 1.2221 1.1310 1.03233 0.9306 0.8107

4 51 B. π 0.9138 0.8701 0.8129 0.7522 0.6928 0.6360 0.5805 0.5233 0.4558

4 150 B. π 0.5138 0.489 0.4570 0.4230 0.3890 0.3576 0.3260 0.2940 0.2560

Después de graficar los datos de la tabla anterior, es posible escribir las aproximaciones lineales como sigue:

90103239055140

9010575509800

9010043417561

1

10

100

..,..D

L

,..,..D

L

,..,..D

L

%

%

%

<<−<

<<−<

<<−<

εε

εε

εε

(2.82)

En la figura 2.12 aparecen graficados los valores puntuales de la tabla 2.3 con sus correspondientes aproximaciones lineales.

Fig. 2.12. Datos de la tabla 2.3 junto con sus aproximaciones lineales (tercer criterio).como función de ε.



32

2.7.3 Comparación con resultados numéricos. Hasta ahora se tienen las aproximaciones lineales en cada uno de los tres criterios de comparación utilizados, teniendo en cuenta que el término I será más pequeño que el II (ecuación 2.58) en un 100%, 10% y 1%. Sin embargo no se ha comprobado cual de todas estas aproximaciones se acerca más a la solución de la ecuación completa de Reynolds. Para esto, se utilizarán soluciones numéricas para comparar nuestras aproximaciones; estas soluciones son tomadas de la tabla 8.6 del libro de Khonsari-Booser [5]. En la tabla 2.4 aparecen para diversos valores de (L/D), algunos datos de excentricidad, números de Sommerfeld numéricos (Khonsari), números de Sommerfeld obtenidos de la aproximación en la chumacera corta y el error correspondiente entre ellos. Notar que el valor de error predomina en 10 %, por lo que será bueno comparar estos datos obtenidos de forma numérica con las aproximaciones lineales anteriores.

Tabla 2.4. Valores numéricos de números de Sommerfeld [5] vs números de Sommerfeld obtenidos a partir de la aproximación de la chumacera corta con su correspondiente error.

DL ε

KhonsariS CalculadoS Error

81 0.90 0.2353 0.2121 9.86 %

61 0.80 0.5427 0.4998 8.0 %

41 0.65 0.8090 0.7403 8.5 %

31 0.55 0.8228 0.7400 10 %

21 0.25 1.5514 1.3979 9.9 %

En la figura 2.13 aparecen los datos numéricos de la tabla 2.4 (mediante puntos discretos), junto con las aproximaciones lineales encontradas mediante los tres criterios de comparación, cuando el error es menor que el 10 %.

Figura 2.13. Comparación de las aproximaciones lineales cuando el error es menor que el 10 % vs soluciones numéricas

(puntos discretos).



33

Como puede verse, la aproximación encontrada en el criterio II es la que mejor se adapta a las soluciones numéricas, por tanto este criterio será el más adecuado. Referencias [1] Tower, B. (1883) “Second Report on frictions experiments”, Proc. Inst. Mech. Engrs. Vol 36, pp. 58-70. [2] Reynolds, O. (1886) “On the theory of lubrication and its Application to Mr. Beauchap Tower´s experiments including an experimental determination of the viscosity of olive oil” Phil, Trans. Roy. Soc. London. Vol. 177, Part I. pp. 157-234. [3] Szeri. (1998) “Fluid Film Lubricatión. Theory and Design” Cambridge University Press.. [4] Childs, D. (1993), “Turbomachinery Rotordynamics: Phenomena, Modeling, and Analysis”, John Wiley and Sons, Inc. New York. [5] Khonsari, M.M., Booser, E.R. (2001) “Applied Tribology: Bearing Design and Lubrication,” John Wiley & Sons. [6] Ocvirk, F. (1952) “Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings”, NACA TN 20808. [7] Dubois, G.B. and Ocvirk, F. (1953) “Analitycal Derivation and Experimental evaluation of Short Bearing approximation for full Journal Bearings”, NACA Report 1157. [8] Arfken (2000), “Mathematical Methods for Physics”, AcademicPress 5ta Ed. [9] V. Nosov, I. Ramírez Vargas, J. Gómez Mancilla (2004). “Modelos Matemáticos de Presurización de Lubricante en sistemas Rotatorios usando la función de Dirac”. III Congreso Internacional de Ingeniería Física. UAM Azcapotzalco. México D.F. [10] Nosov, V.R , Ramírez Vargas, I., Gómez Mancilla, J.C. (2005), “Uso de Funciones Generalizadas Espaciales en modelos Rotodinámicos Presurizados” , 1° Congreso Internacional de Matemáticas Aplicadas, México D.F. [11] Rao, J.S., (1991) “Rotor-Dynamics”, John Wiley and Sons. [12] Vance, J., (1988) “ Rotordynamics of Turbomachinery”, John Wiley and Sons. [13] Hamrock, B. (2004) “Fundamentals of Fluid Film Lubrication”, Mc Graw Hill. [14] Ramírez Vargas, I., Nosov, V. R., Gómez Mancilla, J. C..(2006), “Rango de aplicación de la teoría de la chumacera corta” , 2° Congreso Internacional de Matemáticas Aplicadas, México D.F. [15] Bently D, Petchnev (2000) “Dynamic Stiffness and Advantages of Externally pres-surized fluid film bearings”, Orbit, First Quarter. [16] J. V. Fedor, (1961) “Journal Bearings with arbitrary Position of Source”, ASME Trans, Journal of Basic Engineering. [17] Nosov V., Gómez Mancilla J., Ramírez Vargas I. (2006). “New model and Stationary Position for a Short Journal Bearings with Point Injection Ports”. To be published in the Journal of Tribology.



34

Capítulo III Campos de presión y posiciones de equilibrio en chumaceras cortas con puertos puntuales de inyección. 3.1 Campos de presión En el capítulo anterior se establecieron los modelos matemáticos que describen la conducta de una chumacera presurizada, al resolverlos se puede determinar la presión en la película de lubricante como función de las coordenadas axial y circunferencial respectivamente Conocer estos campos de presión es de mucha importancia pues permiten encontrar: las regiones en donde la película de lubricante puede romperse (cavitación), el lugar en donde la presión alcanza su valor máximo, las fuerzas en el fluido lubricante acompañadas de los efectos de rigidez y amortiguamiento (conocidos como coeficientes rotodinámicos). Por tanto una vez conocido el campo, se puede caracterizar por completo a una chumacera hidrodinámica. 3.1.2 Solución del modelo no presurizado (caso clás ico) En esta sección se resolverá el modelo no presurizado externamente (caso clásico) de una chumacera corta, esta es conocida como solución de Ocvirk [1]. Recordar que la ecuación general de Reynolds se puede escribir como [4]:

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

µ

θθSenCCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 && (3.1)

22

Lz

L≤≤− , 2πθ0 ≤≤ , εCosθ1)h( +=θ (3.2)

02

=

Lp , 0

2=

−

Lp , )()2( θπθ pp =+ (3.3)

Para chumaceras cortas en estado estacionario, la ecuación (3.1) toma la forma:

−=

∂

∂

∂

∂θ

ωε

µSen

C

R

z

ph

zR

r 212

2

232 (3.4)

Usando las siguientes variables adimensionales:

zL

z2

= , dimp

pp= ,

22

dim2

=

=

rr C

R

C

RNp

π

ωµµ (3.5)



35

Se obtiene la ecuación de Reynolds adimensional para chumaceras cortas:

θεπ SenD

L

z

ph

z

2

3 12

−=

∂

∂

∂

∂ (3.6)

πθ 20,11 ≤≤<<− z , 0)1( =±=zp Resolviendo (3.6) se obtiene el campo de presión en una chumacera corta no presurizada.

( )1)1(

6 2

3

2

−+

−= z

Cos

Sen

D

Lp

Ocv

OcvOcv

θε

θεπ (3.7)

El subíndice Ocv de la presión y la excentricidad, indica que es resultado de la solución de Ocvirk. En la figura 3.1 se muestra el campo clásico (3.7).

Fig. 3.1 Campo de presión clásico (no presurizado) en una chumacera corta como función de las coordenadas axial y

circunferencial respectivamente, para 3.0=ε y 4/1)/( =DL .

3.1.3 Solución del modelo presurizado La solución del modelo de presurización puntual presentado en el capitulo II, es diferente al caso clásico pues contiene funciones de Dirac; las cuales tienen que ser tratadas de manera diferente (recordar que no son realmente funciones) usando propiedades de la teoría de distribuciones [2]. El modelo para el caso de puerto puntual de inyección está dado por:

( )[ ]presprt azqD

L

z

ph

zϕβπθδδ −+−−

=

∂

∂

∂

∂)(

2

3 , πθ 20,11 ≤≤<<− z (3.8)

)()2(,0)1( θπθ ppzp =+=±= (3.9) La solución de (3.8) se puede obtener con ayuda de algunas propiedades de la función de Dirac (ver capítulo II). De la teoría de funciones especiales se sabe que [2], [3]:

( )azazzd

d−=

−− δ

2

12

2

(3.10)



36

Separando variables, usando (3.10) e integrando se obtiene

( ) ( )[ ]

++−−

−+−

= 21

3

2

2

1, czcaz

hq

D

Lzp

pres

prtpres

ϕβπθδθ (3.11)

Entonces, sustituyendo las condiciones de frontera (3.9) en (3.11) se tiene:

2112

10 cca ++−−= (A) notar que -1 ≤ a ≤1

2112

10 cca +−−−−= (B)

( ) ( ) 2212

11

2

10 caa +−−−−=

2210 c+−=

2

12 =c

de (A):

( ) 12

11

2

1ca =−−

ac2

11 −=

Sustituyendo los valores de las constantes 1c y 2c en (3.11) se obtiene el campo de presión resultante para una posición arbitraria de inyección ( , )a β [7]:

( ) ( )[ ]( )

( )azzaCos

qD

Lzp

pres

prtpres −−−+

−+−

= 1

12,

3

2

θε

ϕβπθδθ (3.12)

Como puede verse, la solución (3.12) está definida en términos de la función Delta de Dirac, por lo que no es posible graficar el campo de presión, sin embargo si se usa una aproximación adecuada se puede encontrar un campo. La ecuación (3.13) muestra una posible aproximación de la Delta de Dirac para el campo de (3.12) [3]:

( )[ ] ( )[ ]22presn

pres en ϕβπθ

πϕβπθδ −+−−=−+− (3.13)

La ecuación (3.13) permite graficar el campo de presión resultante, el cual estará dado por la suma del campo clásico no presurizado (3.7) y del campo presurizado (3.12). En el conjunto de figuras 3.2 y 3.3 se muestran los campos resultantes para diversos valores de número de Sommerfeld y presurización respectivamente [7].



37

Inyección Superior S=1

Fig. 3.2a. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,

°=180β ; 1=S , 41=DL , 60240.=ε , °= 1346.ϕ , 0=a , 5=prtq , 5=prtf .

Fig. 3.2b. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,


Fig. 3.2c. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,




38

Inyección Superior S=4

Fig. 3.2d. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,

°=180β ; 4=S , 41=DL , 32330.=ε , °= 4766.ϕ , 0=a , 45 /q prt = , 5=prtf .

Fig. 3.2e. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,


Fig. 3.2f. Campo de presión total aproximado (Inyección Superior), usando 10=n ,




39

Inyección Inferior S=1

Fig. 3.3a. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,

°= 0β ; 1=S , 41=DL , 56850.=ε , °= 6548.ϕ , 0=a , 5=prtq , 5=prtf .

Fig. 3.3b. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,


Fig. 3.3c. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,




40

Inyección Inferior S=4

Fig. 3.3d. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,

°= 0β ; 4=S , 41=DL , 30550.=ε , °= 7667.ϕ , 0=a , 45 /q prt = , 5=prtf .

Fig. 3.3e. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,


Fig. 3.3f. Campo de presión total aproximado (Inyección Inferior), usando 10=n ,




41

En las figuras 3.4, 3.5 y 3.6 se muestran y comparan los campos de presión en el caso clásico y presurizado (mostrados anteriormente) pero en la región no cavitada.

Fig. 3.4 Campo de presión clásico (no presurizado) en una chumacera corta como función de la coordenada axial adimensional y la coordenada circunferencial. 3.0=ε , 4/1)/( =DL .

Fig. 3.5. Campo de presión total aproximado,cuando usando, 10=n

°= 65.28β ; 41=DL , 3.0=ε , °= 17.68ϕ , 0=a , 57.0=prtq , 5.2=prtf .

Fig. 3.6. Campo de presión total aproximado,cuando usando 10=n ,

°=180β ; 41=DL , 3.0=ε , °= 17.68ϕ , 0=a , 3.2=prtq , 10=prtf .



42

Es importante notar que los campos de presión anteriores, solo son aproximaciones del campo real. Sin embargo es posible obtener algunas características del campo de presión de forma exacta (sin tener que recurrir a alguna aproximación), por ejemplo las componentes de fuerza en la película de aceite y el campo promedio de presión (sobre la coordenada θ ), para este último el campo está dado por:

( )[ ] ( )[ ]azabszaCos

q

D

Ldzpp

prespres

prt

presprom −−−−++

== ∫ 1

14

1),(

2

13

22

0 ϕβπεπθθ

π

π (3.14)

3.2 Cálculo analítico de la posición de equilibrio en el caso clásico. Cuando un equipo rotatorio se encuentra en operación, la posición que tomará el muñón dentro de la chumacera es muy importante, pues esa será la referencia desde la cual se realizarán todas las mediciones vibratorias. La determinación de la posición de equilibrio se calcula a partir de una sumatoria de fuerzas, las cuales se pueden encontrar conociendo el campo de presión en el lubricante, tales fuerzas se deben a la película de aceite y al peso del sistema. De de esta forma es posible predecir la ubicación exacta del muñón bajo determinadas condiciones de operación. 3.2.1 Fuerzas en la película de aceite. El número d e Sommerfeld. Una vez determinado el campo de presión en una chumacera hidrodinámica, es necesario conocer la capacidad de carga que puede tener, es decir la carga total que puede soportar. La carga se calcula usualmente a partir de dos componentes de fuerza que genera el campo de presión en el lubricante: la radial (que actúa a lo largo de la línea de centros) y la transversal (perpendicular a la radial). Lo anterior permite determinar el ángulo que se forma entre la línea de centros y la de carga; es importante observar que el eje no se desvía en la misma dirección en la que se aplica la carga, sino que se mueve a cierto ángulo de la línea de carga, éste se conoce como ángulo de attitud, el cual ubica la posición del mínimo espesor de la película de aceite a partir de la línea de carga [4]. En la figura 3.7 aparece la orientación de los ejes en la dirección radial y transversal junto con la línea de carga.

Fig. 3.7. Dirección radial y transversal de las componentes de fuerza en la película de aceite.

Para la posición de equilibrio estático, las fuerzas que actúan son el peso del sistema y la resultante de las fuerzas de la película de aceite, por tanto debe cumplirse que:

0rrr

=+ presFW (3.15)

o bien en componentes radiales y transversales se tendrá:

Línea de carga

Ángulo de equilibrio



43

0

0

=+−=+

T

R

FWSen

FWCos

ϕϕ

(3.16)

de (3.16) es posible obtener el ángulo de attitud:

R

T

F

FTan =ϕ (3.17)

Las fuerzas en las direcciones radial y transversal se encuentran integrando sobre la chumacera como sigue:

∫ ∫−

=2

2

0

L

L

R

R dzdxCospFθ

θ (3.18)

∫ ∫−

=2

2

0

L

L

R

T dzdxSenpFθ

θ (3.19)

Recordar que:

θRx = ; θRddx = ; zL

z2

= ; zdL

dz2

= ; pC

RNp

r

2

= µ

Después de sustituir las expresiones anteriores en (3.18) se puede escribir:

{{

∫ ∫−

=

1

1 0

2

2

π

θθµ

dz

dx

P

r

R zdL

RdCosPC

RNF

43421

(3.20)

o bien:

444 3444 21Rf

Dr

R zddCospLRC

RNF ∫ ∫

−↓

=

1

1 0

2

2

2

1 π

θθµ (3.21)

después de simplificar:

444 3444 21Rf

r

R zddCospDLC

RNF ∫ ∫

−

=

1

1 0

2

4

1 π

θθµ (3.22)

De manera similar para la fuerza en dirección transversal:

444 3444 21Tf

r

T zddSenpDLC

RNF ∫ ∫

−

=

1

1 0

2

4

1 π

θθµ (3.23)



44

De (3.22) y (3.23) es posible identificar a las fuerzas radiales y transversales en forma adimensional para manejarlas más fácilmente, por lo tanto éstas pueden escribirse como [4]:

DLC

RN

Ff

r

RR 2

=

µ

(3.24)

DLC

RN

Ff

r

TT 2

=

µ

(3.25)

donde:

∫ ∫−

=1

1 04

1 π

θθ zddCospf R (3.26)

∫ ∫−

=1

1 04

1 π

θθ zddSenpfT (3.27)

Las ecuaciones (3.26) y (3.27) determinan las componentes radiales y transversales de la película de aceite conociendo el campo de presión; el cual puede ser obtenido a partir de la ecuación de Reynolds. Ahora que se conocen las fuerzas en la película de aceite, se puede conocer la capacidad de carga de una chumacera hidrodinámica, pues será igual a la resultante de las fuerzas en el lubricante dada por:

2/12

2

2

2

22

)/()/(

+

=+=

DLCRN

F

DLCRN

Ffff

r

T

r

RTR

µµ (3.28)

Sustituyendo (3.16) en (3.28) se puede escribir:

DLCRN

W

DLCRN

SenW

DLCRN

CosWfff

rrr

TR2

2/12

2

2

2

22

)/()/()/( µµ

ϕ

µ

ϕ=

+

−=+= (3.29)

En rotodinámica existe un parámetro adimensional que tiene que ver con la capacidad de carga, este está definido por [4], [5]:

2

1

==

rC

R

W

NLD

fS

µ (3.30)

Este parámetro es conocido como el número de Sommerfeld o carga adimensional, se usa para caracterizar el funcionamiento de las chumaceras y se puede decir que si el número de Sommerfeld aumenta, la capacidad de soportar carga disminuye y viceversa.



45

3.2.2 Fuerzas de presión en la chumacera corta no p resurizada. A partir del campo (3.7), las fuerzas de presión en una chumacera corta pueden ser calculadas a partir de (3.26) y (3.27). Recordar que el campo de presión es:

( )( )1

16 2

3

2

−+

−== z

Cos

Sen

D

Lpp Ocv

θε

θεπ (3.31)

entonces las fuerzas serán:

( )( )∫ ∫

−

−⋅+

−=

1

1 0

2

3

2

11

64

1 π

θθθε

θεπ zddzCos

Cos

Sen

D

Lf R

(3.32)

( )( )∫ ∫

−

−⋅+

−=

1

1 0

2

3

2

11

64

1 π

θθθε

θεπ zddzSen

Cos

Sen

D

LfT

(3.33)

O bien:

( )∫+

⋅

=

π

θθε

θθεπ

03

2

13

46

4

1d

Cos

CosSen

D

Lf R

(3.34)

( )∫+

⋅

=

π

θθε

θεπ

03

22

13

46

4

1d

Cos

Sen

D

LfT

(3.35)

entonces:

( )∫+

=

π

θθε

θθεπ

03

2

12 d

Cos

CosSen

D

Lf R

(3.36)

( )∫+

=

π

θθ

θεπ

03

22

12 d

Cos

Sen

D

LfT

(3.37)

El valor de las integrales:

( )∫+

π

θθε

θθ

031

dCos

CosSen y ( )∫ +

π

θθε

θ

0

3

2

1d

Cos

Sen

se puede encontrar usando la sustitución de Sommerfeld (1904), ver apéndice D para más detalles.

( ) ( )∫−

−=

+

π

ε

εθ

θε

θθ

0223 1

2

1d

Cos

CosSen (3.38)

( ) ( )∫ −=

+

π

επθ

θεθ

0

2/323

2

121d

Cos

Sen (3.39)



46

Por lo tanto las fuerzas radiales y transversales en la película de aceite de una chumacera corta (en estado estacionario) están dadas por [4]:

( )22

22

1

4

ε

πε

−

−=

D

Lf R

(3.40)

( ) 2/32

22

1 ε

επ

−

=

D

LfT

(3.41)

3.2.3 Locus de equilibrio para chumaceras no presur izadas. Ahora que se conocen las fuerzas en la película de aceite, será posible determinar el ángulo de equilibrio que permitirá establecer la posición en la cual el centro del muñón orbitará. Sustituyendo (3.40) y (3.41) en (3.22) y (3.23), posteriormente teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibrio: (3.16) y (3.17) se obtiene para una chumacera no presurizada el ángulo de attitud (equilibrio) [4], [5]:

Ocv

OcvOcvTan

ε

επϕ

4

1 2−= (3.42)

La ecuación (3.42) permite determinar que para un valor dado de excentricidad, la posición angular de equilibrio está perfectamente determinada, a esta trayectoria generada se le conoce en la literatura como locus de equilibrio. Una vez conocido el ángulo de attitud, las componentes de la fuerza de la película de aceite (3.40) y (3.41) pueden escribirse en el sistema coordenado xy, mediante la matriz de rotación [ ]Q correspondiente como se muestra a continuación:

[ ]

−=

T

R

Q

OcvOcv

OcvOcv

y

x

f

f

CosSen

SenCos

f

f

4444 34444 21ϕϕϕϕ (3.43)

De (3.42) puede determinarse que:

γ

επϕ

21 OcvOcvSen

−= ,

γ

εϕ Ocv

OcvCos4

= , )1(16 222OcvOcv επεγ −+= (3.44)

Después de realizar la multiplicación en (3.43) y teniendo en cuenta (3.44), se puede escribir:

−+

−

−= Ocv

Ocv

OcvOcv

Ocv

OcvOcvx SenCos

D

Lf ϕ

ε

επϕ

ε

πε2/32

2

22

22

,)1()1(

4 (3.45)

−+

−−

−= Ocv

Ocv

OcvOcv

Ocv

OcvOcvy CosSen

D

Lf ϕ

ε

επϕ

ε

πε2/32

2

22

22

,)1()1(

4 (3.46)



47

3.3 Cálculo analítico de la posición de equilibrio de una chumacera presurizada. Si ahora se presuriza externamente a una chumacera, la posición de equilibrio que adopte el muñón dependerá además de la fuerza en la película de aceite, del tamaño de la presurización, así como del lugar en donde se realice esta inyección de lubricante. Esto se puede ver fácilmente analizando dos casos especiales: - Si se presuriza en la parte superior, la inyección hará que la excentricidad aumente ya que ésta fuerza está en la misma dirección del peso del sistema, pero sentido contrario a las fuerzas del lubricante. - Si se presuriza en la parte inferior, la excentricidad disminuirá ya que ahora ésta fuerza esta en sentido contrario al peso del sistema, pero en la misma dirección de las fuerzas del lubricante. La disminución de excentricidad podría continuar, hasta que posiblemente se haga igual a cero dependiendo de la magnitud de la fuerza de presurización; inclusive si la presurización es considerablemente grande, el muñón podría pasar por encima del centro geométrico de la chumacera y la excentricidad comenzará a crecer. 3.3.1 Fuerzas de presión en la chumacera corta pres urizada. Ahora es necesario calcular las fuerzas en la película de lubricante de una chumacera presurizada, pues serán utilizadas al realizar la sumatoria de fuerzas en el sistema. De igual manera que en la chumacera no presurizada, las fuerzas de presión pueden ser calculadas de (3.26) y (3.27) a partir del campo de presión obtenido en (3.12). Recordar que el campo de presión es:

( ) ( )[ ]( )

( )azzaCos

qD

Lzp

pres

prtpres −−−+

−+−

= 1

12,

3

2

θε

ϕβπθδθ (3.47)

Por tanto, las fuerzas serán:

( )[ ]( )

( )∫ ∫−

⋅−−−+

−+−

=

1

1

2

03

2

1124

1ˆπ

θθθε

ϕβπθδzddCosazza

Cosq

D

Lf

pres

prtR (3.48)

( )[ ]

( )( )∫ ∫

−

⋅−−−+

−+−

=

1

1

2

03

2

1124

1ˆπ

θθθε

ϕβπθδzddSenazza

Cosq

D

Lf

pres

prtT (3.49)

Para calcular (3.48) y (3.49) se usará una propiedad de la teoría de distribuciones aplicada a la

función Delta de Dirac por lo anterior solo se calculará Rf , puesto que para Tf el proceso es similar. A continuación se mostrará de manera detallada el cálculo de (3.48). La integral se puede separar en dos factores A y B; los cuales se determinan como sigue:

( ) ( )[ ]( )

444444 3444444 21444 3444 21

B

pres

A

prtR dCos

Cosdzazzaq

D

Lf ∫∫

+

−+−−−−

=

−

πθ

θε

θϕβπθδ2

0 3

1

1

2

11

8

1ˆ (3.50)



48

Factor A:

( )( )

( )

−−

−−−=−−−

∫

∫∫

−

−−− a

a

zdaz

zdazza

zdzazza

1

1

1

1

1

1

1

1 21 ( )

−−

−

−−=

−

aa

zaz

zaz

a

1

2

12

2

202

( )

+−−−

−−

−

−−=aa

a

aa

a

a

2

1

2

22

1

022

2

22

( ) aa

aa

aa −−+−++−−=2

1

222

102

22

2

21 a−= Factor B Usando la propiedad de la función de Dirac [2]:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=− 00 tfdttfttδ (3.51)

entonces:

( )[ ]( )

( )( )[ ] 3

2

0 3 112 pres

prespres

Cos

Cosd

Cos

Cos

ϕβπε

ϕβπθ

θε

θϕβπθδπ

−++

−+=

+

−+−∫

( )( )[ ]pres

pres

Cos

Cos

ϕβε

ϕβ

−−

−−=

1

Sustituyendo los resultados obtenidos anteriormente en (3.48) y (3.49) se tendrá:

( ) ( )( )[ ] 3

22

18

1ˆ

pres

pres

prtR

Cos

Cosaq

D

Lf

ϕβε

ϕβ

−−

−−

−= (3.52)

( ) ( )

( )[ ] 3

22

18

1ˆ

pres

pres

prtT

Cos

Senaq

D

Lf

ϕβε

ϕβ

−−

−−

−= (3.53)

Las ecuaciones (3.52) y (3.53) representan a las fuerzas de la película de lubricante cuando se presuriza externamente en un puerto puntual, cuya ubicación axial y angular es arbitraria. Es posible escribir las componentes de la fuerza de la película de aceite (3.52) y (3.53) en el sistema coordenado xy, mediante la matriz de rotación [ ]Q correspondiente como se muestra a continuación:

[ ]

−=

T

R

Q

prespres

prespres

y

x

f

fCosSen

SenCos

f

fˆ

ˆ

ˆ

ˆ

4444 34444 21ϕϕϕϕ (3.54)



49

Después de realizar la multiplicación y utilizando algunas identidades trigonométricas, se puede escribir:

( )( )[ ] 3

2

2

181ˆ

pres

prtx

Cos

Cosaq

D

Lf

ϕβε

β

−−−

−= (3.55)

( )( )[ ] 3

2

2

181ˆ

pres

prty

Cos

Senaq

D

Lf

ϕβε

β

−−−

−= (3.56)

Una vez encontradas las fuerzas horizontales y verticales en la película de aceite, será posible aplicar las condiciones de equilibrio en el sistema xy, y posteriormente determinar las nuevas posiciones que tomará el muñón en la chumacera como función de la presurización externa. Por otro lado como se verá en el siguiente capítulo, las fuerzas calculadas serán de gran importancia para hallar las rigideces y amortiguamientos que tiene el lubricante. 3.3.2 Ángulo de equilibrio de una chumacera presuri zada. Como en el caso de la chumacera no presurizada, la posición de equilibrio se determina a partir de un balance de fuerzas totales, en donde:

0

0

,

,

==+

resultY

resultX

F

FW (3.57)

las fuerzas que aparecen en (3.57), representan a la resultante en la película de aceite y están dadas por la contribución de las fuerzas de Ocvirk en el caso clásico y las fuerzas debidas a la presurización. De (3.45), (3.46), (3.55) y (3.56) se puede escribir en forma dimensional:

3

22

2/32

2

22

22

dim

,,,

))(1(8

)()1(

)1()1(

4

prespres

prespres

pres

prespres

pres

pres

presXOcvXresultX

Cos

Cosa

D

LFSenCos

D

LF

FFF

ϕβπε

βπϕ

ε

επϕ

ε

πε

−++

+−

∆+

−+

−

−=

+= (3.58)

3

22

2/32

2

22

22

dim

,,

))(1(8

)()1(

)1()1(

4

prespres

prespres

pres

prespres

pres

pres

presOcvYresultY

Cos

Sina

D

LFCosSen

D

LF

FFF

ϕβπε

βπϕ

ε

επϕ

ε

πε

−++

+−

∆+

−+

−−

−=

+= (3.59)

donde:

2

dim

=

Cr

RNP µ ,

dimdim F

F

DLP

Fq

prespres

prt

∆=

∆= (3.60)

Recordar que las expresiones (3.60) fueron definidas en el capítulo II para realizar la adimensionalización del modelo presurizado.



50

Notar que en (3.58) y (3.59) la excentricidad y el ángulo de attitud aparecen con el subíndice “ pres ”, pues ahora estos valores cambiarán a medida que la presurización externa cambie. Sustituyendo (3.58) y (3.59) en (3.57), se obtiene para la condición de equilibrio:

0))(1(8

)()1(

)1()1(

43

22

2/32

2

22

22

dim =−++

+−

∆+

−+

−

−

prespres

prespres

pres

prespres

pres

pres

Cos

Cosa

D

LFSenCos

D

LFW

ϕβπε

βπϕ

ε

επϕ

ε

πε (3.61)

0))(1(8

)()1(

)1()1(

43

22

2/32

2

22

22

dim =−++

+−

∆+

−+

−−

prespres

prespres

pres

prespres

pres

pres

Cos

Sena

D

LFCosSen

D

LF

ϕβπε

βπϕ

ε

επϕ

ε

πε (3.62)

En el caso general las ecuaciones (3.61) y (3.62) representan un sistema de dos ecuaciones no lineales con respecto a la excentricidad de equilibrio presε y al ángulo de attitud

presϕ . La solución

de este sistema puede encontrarse mediante cálculos numéricos, por lo que no será posible encontrar en forma cerrada la posición de equilibrio en una chumacera presurizada que presenta un puerto puntual de inyección con ubicación axial y angular arbitraria; sin embargo cuando se conoce la ubicación del puerto de inyección, las ecuaciones (3.61) y (3.62) pueden simplificarse en gran medida. 3.3.3 Análisis de dos casos especiales de presuriza ción. Como se ha visto anteriormente, el comportamiento dinámico del muñón en la chumacera depende en gran medida del lugar en el cual se aplique la inyección de lubricante. En este trabajo se analizan dos casos de presurización: inyección en la parte central superior e inferior de la chumacera. Se tomaron estas dos ubicaciones pues de esta manera el sistema (3.61) y (3.62) se simplifica considerablemente, y además porque intuitivamente representan los casos más críticos en los cuales el rotor puede tener conductas más estables e inestables respectivamente. 3.3.3.1 Presurización en la parte superior vertical de la chumacera. Si la inyección de lubricante se realiza en la parte central superior de una chumacera (ver figura 3.8) puede verse que:

Fig. 3.8. Ubicación del punto de presurización en la chumacera. Notar que se definen los valores de las coordenadas axial y

circunferencial ),( βa para especificar el punto en particular de inyección de lubricante.



51

πβ == 0a

(3.63)

Sustituyendo estos valores en el sistema formado por (3.61) y (3.62), la ecuación (3.62) se reduce a:

pres

pres

presTanε

επϕ

4

1 2−= (3.64)

La ecuación (3.64) muestra que en una chumacera presurizada, la dependencia entre el nuevo ángulo de attitud y la excentricidad (ambos presurizados) es la misma que la encontrada en el caso clásico de Ocvirk (3.42), pero es importante destacar que aunque la dependencia es la misma, el ángulo de attitud y la excentricidad son completamente diferentes en ambos casos. Pues ahora

presε y presϕ representan los nuevos valores de excentricidades y ángulos de equilibrio

al inyectar lubricante externamente, recordar que la presurización hará que la excentricidad y el ángulo de attitud puedan cambiar su valor. Al igual que en el caso clásico (3.42) y (3.44), la ecuación (3.64) permite obtener para el caso presurizado:

γ

επϕ

21 pres

presSen−

= , γ

εϕ pres

OcvCos4

= , )1(16 222prespres επεγ −+= (3.65)

Sustituyendo (3.63) en (3.61) y reemplazando

presCosϕ y presSinϕ de (3.65) se tiene:

0

)1(16

418

1

)1(16)1()1(16

4

)1(

4

3

222

2

2

2222

2

22222

22

dim

=

−++

∆+

−+−+

−+−

−

prespres

pres

pres

presprespres

pres

prespres

pres

pres

pres

D

LF

D

LFW

επε

ε

επε

π

ε

επ

επε

ε

ε

πε

(3.66)

Recordando de (3.30) que el número de Sommerfeld (que depende únicamente de los parámetros convencionales de una chumacera) puede escribirse como:

2

dim

r

F NDL RS

W W C

µ = =

(3.67)

Después de algunas transformaciones algebraicas, la ecuación (3.66) se simplifica:

[ ]

+

−+

−=

=

32

322222

)(48

))(1())(1(arribapres

arribapres

arribapres

prtarribapres

arribapres

arribapres

r

af

L

D

C

R

W

NDLS

εγ

γ

γεπ

εµ (3.68)

Para propósitos de esta sección, arriba

presε significa excentricidad de equilibrio en una chumacera

presurizada en su parte central superior.



52

Además arribapresγ y prtf están determinados por:

[ ]W

Ff

pres

prtarribapres

arribapres

arribapres

∆=−+= ,)(1)(16 222 επεγ (3.69)

Notar de (3.69) que ahora se define el parámetro prtf , el cual representa la fuerza de

presurización externa con respecto al peso del sistema, éste será fundamental de aquí en adelante pues la conducta del sistema presurizado estará en función del tamaño que tome prtf . La manera

en que se relaciona la intensidad de presión adimensional prtq y la fuerza de presurización externa

prtf , puede obtenerse fácilmente combinando (3.60), (3.67) y (3.69) para finalmente escribir:

S

fq

prt

prt = (3.69a)

La ecuación (3.68) permite encontrar el número de Sommerfeld como una función de la excentricidad de equilibrio, la fuerza de presurización externa y la relación (L/D). En la figura 3.9 se muestra esta conducta para diversos valores de fuerza de presurización y para una relación (L/D)=1/4. Se aprecia que a cada valor de número de Sommerfeld, le corresponde uno y solo un valor de excentricidad, también se observa que al incrementar la fuerza de presurización en la parte superior de la chumacera, la excentricidad aumenta tal y como se espera en la realidad pues el muñón tiende a moverse hacia abajo cada vez más.

Fig. 3.9. Excentricidad de equilibrio vs. número de Sommerfeld de una chumacera corta

presurizada en su parte central superior. 4/1/ =DL , 0=a .

Puesto que la escala de ésta figura es logarítmica, no es fácil localizar de manera exacta los valores de excentricidad y número de Sommerfeld respectivamente. Para facilitar la lectura se ha construido la tabla 3.1 [8] con ayuda de (3.64) y (3.68), en la cual aparece la dependencia del número de Sommerfeld con la excentricidad de equilibrio, fuerza de presurización y ángulo de attitud. Esta tabla tiene la misma forma que la presentada por Khonsari-Booser [5], pero a diferencia de ésta, la tabla 3.1 contiene la dependencia con la presurización externa. Observar que la tabla 3.1 permite determinar el número de Sommerfeld y el ángulo de attitud para una excentricidad y fuerza de presurización dadas; sin embargo en la práctica lo que se conoce como dato de entrada es la velocidad de operación (ésta se relaciona con el número de Sommerfeld), y lo que se desea conocer son los valores de excentricidad y ángulo de equilibrio.



53

Para lograr lo anterior, se puede aprovechar el hecho de que para un valor dado de excentricidad existe uno y solo un número de Sommerfeld y así realizar una interpolación de la tabla 3.1 que permita tener información que sea más manejable y de mayor utilidad. Interpolando la tabla 3.1 usando MATHEMATICA, se obtiene la tabla 3.2 [8] que cumple con lo necesario para encontrar la posición de equilibrio dado un número de Sommerfeld y una fuerza de presurización. Cabe destacar que las tablas anteriormente descritas fueron construidas para una relación (L/D)=1/4, pero pueden obtenerse para otra relación (L/D) siempre y cuando se encuentre en la zona de aproximación válida de una chumacera corta.


SEPI-ESIME-IPN Ignacio Ramírez Vargas 54

Tabla 3.1 Puerto de Inyección Superior, (L/D) = ¼.

Número de Sommerfeld como función de la excentricidad de equilibrio, ángulo de attitud y fuerza de presurización de una chumacera corta presurizada en su parte central superior. Los datos contenidos en esta tabla son tomados de la figura 3.9.

Excentricidad 0=prtf 1=prtf 5=prtf 10=prtf 20=prtf 50=prtf 100=prtf

Ángulo Attitud

presε presϕ

0.05 32.2356981 32.4853 33.4831 34.7304 37.2249 44.7086 57.1813 86.35° 0.1 15.8395922 15.9588 16.4354 17.0312 18.2227 21.7973 27.7549 82.70° 0.15 10.2552619 10.3290 10.6236 10.9918 11.7284 13.9380 17.6206 79.06° 0.2 7.37906829 7.42886 7.62788 7.87666 8.37420 9.86680 12.3547 75.43° 0.25 5.59178482 5.62668 5.76614 5.94046 6.28910 7.33500 9.07830 71.80° 0.3 4.35479751 4.37950 4.47869 4.60257 4.85030 5.59350 6.83230 68.17° 0.35 3.438115 3.45570 3.52630 3.61458 3.79102 4.32037 5.20260 64.55° 0.4 2.72736128 2.73988 2.78990 2.85246 2.97750 3.35270 3.97821 60.93° 0.45 2.15943673 2.16823 2.20337 2.24729 2.33510 2.59860 3.03790 57.31° 0.5 1.69678403 1.70288 1.72723 1.75760 1.81855 2.00118 2.30557 53.68° 0.55 1.31569559 1.31980 1.33643 1.35717 1.39860 1.52300 1.73030 50.02° 0.6 1.00047416 1.00324 1.01429 1.02810 1.05573 1.13860 1.27670 46.32° 0.65 0.7402962 0.74208 0.74924 0.75818 0.77607 0.82970 0.91914 42.55° 0.7 0.52742744 0.52854 0.53300 0.53857 0.54970 0.58310 0.63888 38.70° 0.75 0.3561598 0.35682 0.35945 0.36274 0.36933 0.38900 0.42200 34.70° 0.8 0.22215371 0.22251 0.22395 0.22575 0.22935 0.24015 0.25815 30.50° 0.85 0.12201857 0.12219 0.12288 0.12375 0.12549 0.13069 0.13937 25.95° 0.9 0.05303793 0.05310 0.05337 0.05370 0.05436 0.05635 0.05967 20.82° 0.95 0.0129856 0.01300 0.01305 0.01312 0.01327 0.01370 0.01441 14.47°



Tabla 3.2 Puerto de Inyección Superior, (L/D) = ¼.

Valores de excentricidad y ángulo de attitud como función del número de Sommerfeld de una chumacera corta presurizada en su parte central superior. Nota: Esta tabla es el resultado de la interpolación de la tabla 3.1.

0=prtf 1=prtf 5=prtf 10=prtf 20=prtf 50=prtf 100=prtf

S presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ

0.013 0.9499 14.47 0.9500 14.47 0.9500 14.45 0.9501 14.44 0.9504 14.41 0.9510 14.33 0.9519 14.21 0.02 0.9397 15.82 0.9397 15.82 0.9399 15.80 0.9400 15.78 0.9403 15.74 0.9412 15.62 0.9426 15.43 0.05 0.9031 20.44 0.9032 20.44 0.9034 20.40 0.9037 20.37 0.9043 20.29 0.9062 20.07 0.9090 19.73 0.10 0.8624 24.85 0.8625 24.84 0.8629 24.81 0.8633 24.77 0.8641 24.69 0.8665 24.47 0.8701 24.11 0.20 0.8129 29.05 0.8131 29.04 0.8138 28.97 0.8146 28.88 0.8162 28.72 0.8205 28.30 0.8264 27.76 0.30 0.7706 32.91 0.7708 32.90 0.7715 32.83 0.7725 32.76 0.7743 32.61 0.7793 32.20 0.7865 31.60 0.50 0.7072 38.13 0.7074 38.11 0.7085 38.02 0.7099 37.92 0.7125 37.71 0.7197 37.14 0.7302 36.30 0.80 0.6375 43.49 0.6379 43.46 0.6395 43.34 0.6415 43.19 0.6452 42.91 0.6554 42.14 0.6696 41.05 1.00 0.6000 46.31 0.6005 46.27 0.6024 46.13 0.6047 45.96 0.6091 45.63 0.6209 44.74 0.6375 43.50 1.30 0.5522 49.85 0.5528 49.81 0.5551 49.64 0.5579 49.43 0.5633 49.04 0.5775 47.98 0.5971 46.53 1.40 0.5380 50.89 0.5386 50.85 0.5411 50.67 0.5441 50.45 0.5498 50.03 0.5647 48.93 0.5851 47.42 1.50 0.5245 51.88 0.5252 51.83 0.5278 51.64 0.5309 51.41 0.5369 50.98 0.5526 49.82 0.5738 48.26 2.00 0.4660 56.14 0.4669 56.08 0.4700 55.85 0.4739 55.57 0.4811 55.05 0.5001 53.67 0.5249 51.85 2.30 0.4365 58.28 0.4374 58.21 0.4409 57.96 0.4451 57.66 0.4530 57.08 0.4735 55.60 0.5004 53.64 2.50 0.4187 59.57 0.4196 59.50 0.4233 59.24 0.4277 58.92 0.4360 58.32 0.4574 56.76 0.4854 54.74 3.00 0.3793 62.42 0.3803 62.34 0.3844 62.05 0.3893 61.70 0.3984 61.04 0.4218 59.35 0.4523 57.14 3.50 0.3461 64.82 0.3472 64.74 0.3515 64.43 0.3567 64.06 0.3664 63.36 0.3914 61.54 0.4237 59.21 4.00 0.3176 66.88 0.3188 66.80 0.3233 66.47 0.3287 66.08 0.3389 65.35 0.3650 63.45 0.3989 61.00 5.00 0.2720 70.19 0.2732 70.10 0.2779 69.77 0.2835 69.36 0.2940 68.60 0.3217 66.59 0.3573 64.02 7.00 0.2092 74.75 0.2104 74.67 0.2150 74.34 0.2204 73.94 0.2308 73.19 0.2586 71.17 0.2956 68.48 8.00 0.1870 76.3 0.1881 76.29 0.1923 75.98 0.1974 75.61 0.2078 74.86 0.2350 72.88 0.2722 70.18 10.00 0.1538 78.78 0.1549 78.70 0.1590 78.40 0.1639 78.04 0.1731 77.37 0.1979 75.58 0.2340 72.95 15.00 0.1073 82.16 0.1082 82.09 0.1116 81.84 0.1155 81.56 0.1225 81.05 0.1412 79.69 0.1724 77.42 30.00 0.0661 85.14 0.0679 85.05 0.0722 84.74 0.0761 84.45 0.0808 84.11 0.0857 83.74 0.0948 83.08



56

Notar de la tabla 3.2, que las excentricidades arribapresε y ángulos de attitud arriba

presϕ muestran una

variación monotónica cuando la fuerza de presurización prtf se incrementa.

3.3.3.2 Presurización en la parte inferior vertical de la chumacera. Considere ahora el caso en donde se inyecta lubricante en la parte central inferior de la chumacera, bajo estas condiciones (ver figura 3.8):

0

0

==

βa

(3.70)

Ahora se espera que el comportamiento de la excentricidad y el ángulo de attitud sea muy diferente del caso analizado anteriormente, pues al presurizar en la parte inferior el rotor tratará de subir dependiendo de la magnitud de la fuerza de presurización. De hecho si la fuerza de presurización es menor o mayor que el peso del sistema el rotor tratará de ubicarse en diferentes puntos de equilibrio, por lo que será necesario considerar dos casos de análisis: Caso 1 WF

presX <

Cuando la componente vertical de la fuerza de presurización es menor que el peso del sistema. En la figura 3.10 se aprecia un diagrama de cuerpo libre en donde se muestran: las fuerzas de la película de aceite en el caso clásico RF y

TF , la componente vertical de la fuerza de presurización

presXF y el peso del sistema W . En esta figura se puede notar que el único cuadrante en donde es

posible localizar al rotor en estado estacionario es el cuadrante I, pues en ningún otro las ecuaciones de equilibrio se satisfacen.

Fig. 3.10. Diagrama vectorial que muestra el único cuadrante en donde es posible localizar

al rotor cuando se presuriza en la parte inferior de la chumacera con: WFpresX < .

Recordar que la posición de equilibrio se determina a partir de las ecuaciones (3.61) y (3.62), entonces sustituyendo (3.70) en (3.62) se puede escribir:



57

pres

pres

presTanε

επϕ

4

1 2−= (3.71)

La ecuación (3.71) muestra al igual que en la presurización superior que la dependencia entre el nuevo ángulo de attitud y la excentricidad de equilibrio es la misma que la encontrada en el caso clásico de Ocvirk (3.42), pero nuevamente el ángulo de attitud y la excentricidad son diferentes en ambos casos. Sustituyendo (3.70) en (3.61) y reemplazando

presCosϕ y presSinϕ de (3.65) se tiene:

0

)1(16

418

1

)1(16)1()1(16

4

)1(

4

3

222

2

2

2222

2

22222

22

dim

=

−++

∆−

−+−+

−+−

−

prespres

pres

pres

presprespres

pres

prespres

pres

pres

pres

D

LF

D

LFW

επε

ε

επε

π

ε

επ

επε

ε

ε

πε

(3.72)

Procediendo de igual forma a como se hizo en la presurización superior, usando la definición del número de Sommerfeld y después de algunas transformaciones se puede escribir (3.72) en la forma:

[ ]

−−

−=

32

3222

)(48

)())(1(

11

1

11

1

abajopres

abajo

pres

abajo

pres

prtabajopres

abajopres

abajopres

fL

DS

εγ

γ

γπε

ε (3.73)

Ahora 1abajo

presε significa la excentricidad de equilibrio en una chumacera presurizada en su parte

central inferior en el caso 1 ( WFpresX < ). Notar que 1abajo

presγ y prtf están dados por:

[ ]W

Ff

pres

prtabajopres

abajopres

abajopres

∆=−+= ,)(1)(16 222 111 επεγ (3.74)

Puesto que la fuerza de presurización es menor que el peso del sistema: WF

presX < , de (3.72) se

puede notar que para esto sea cierto debe cumplirse que:

[ ] WD

LF

abajopres

abajo

pres

abajo

pres

pres <−

∆

32

32

)(48

)(

11

1

εγ

γ (3.75)

o bien en forma adimensional:

[ ]( )3

322

1

11 )(48

abajopres

abajopres

abajopres

prt

L

Df

γ

εγ −

< (3.76)



58

En la figura 3.11 aparece la conducta de (3.76) para 4/1)/( =DL ; ésta es de gran importancia pues permite conocer los valores admisibles de la fuerza de presurización

prtf para los cuales el

rotor permanecerá en el cuadrante I.

Fig. 3.11. Valores admisibles de

prtf como función de la excentricidad

para una chumacera presurizada en su parte central inferior. 4/1/ =DL , 0=a .

En la figura anterior se puede observar que los valores permitidos de la fuerza de presurización estarán en el intervalo:

2

81280

=<<

L

Df prt

(3.77)

Por tanto si la fuerza de presurización 128>prtf , puede concluirse con seguridad que el rotor no

estará ubicado en el primer cuadrante; luego entonces 128=prtf es un indicador del peso del

sistema. En la figura 3.12 se muestra la dependencia del número de Sommerfeld con respecto a la excentricidad de equilibrio para diversos valores de la fuerza de presurización, esta dependencia está dada por (3.73).


presurizada en su parte central inferior. 4/1/ =DL , 0=a .

En ésta se nota que al incrementar la fuerza de presurización en la parte inferior de la chumacera la excentricidad disminuye, pues el muñón tiende a moverse hacia arriba cada vez más. Si la fuerza tomara el valor de 128, el muñón estaría ubicado en el centro geométrico de la chumacera con un valor de excentricidad de cero.



59

Como en el caso de presurización superior la escala de la figura 3.12 es logarítmica por lo que la determinación exacta de la excentricidad se dificulta, entonces es necesario construir la tabla 3.3 [9] (para L/D=1/4) con ayuda de (3.71) y (3.73), en la cual aparece la dependencia del número de Sommerfeld con la excentricidad de equilibrio, fuerza de presurización y ángulo de attitud. Recordando que en la práctica el dato de entrada es el número de Sommerfeld, es posible interpolar la tabla 3.12 (usando MATHEMATICA) y así tener los datos que a partir de un número Sommerfeld y una fuerza de presurización dada se pueda encontrar la posición de equilibrio, lo anterior se resume en la tabla 3.4 [9].



Tabla 3.3 Puerto de Inyección Inferior, (L/D) = ¼. WF presX <

Número de Sommerfeld como función de la excentricidad de equilibrio, ángulo de attitud y fuerza de presurización de una chumacera corta presurizada en su parte central inferior. Los datos contenidos en esta tabla son tomados de la figura 3.12.

Excentricidad 0=prtf 1=prtf 5=prtf 10=prtf 20=prtf 50=prtf 100=prtf Ángulo Attitud

presε presϕ

0.05 32.2356981 31.9816 30.9645 29.6932 27.1506 19.5228 6.8097 86.35° 0.1 15.8395922 15.7111 15.1968 14.5538 13.268 9.4105 2.9814 82.70° 0.15 10.2552619 10.1679 9.8184 9.3816 8.5079 5.8870 1.5187 79.06° 0.2 7.37906829 7.3118 7.0425 6.7060 6.0330 4.0138 0.6486 75.43° 0.25 5.59178482 5.5360 5.3130 5.0342 4.4767 2.8042 0.0166 71.80° 0.3 4.35479751 4.3063 4.1122 3.8697 3.3846 1.9242 68.17° 0.35 3.438115 3.3943 3.2191 3.0002 2.5622 1.2484 64.55° 0.4 2.72736128 2.6866 2.5236 2.3199 1.9126 0.6904 60.93° 0.45 2.15943673 2.1205 1.9649 1.7705 1.3816 0.2149 57.31° 0.5 1.69678403 1.6587 1.5067 1.3166 0.9364 53.68° 0.55 1.31569559 1.2776 1.1256 0.9355 0.5553 50.02° 0.6 1.00047416 0.9615 0.8058 0.6113 0.2221 46.32° 0.65 0.7402962 0.6994 0.5360 0.3318 42.55° 0.7 0.52742744 0.4833 0.3068 0.0863 38.70° 0.75 0.3561598 0.3068 0.1094 34.70° 0.8 0.22215371 0.1642 30.50° 0.85 0.12201857 0.0492 25.95°



Tabla 3.4 Puerto de Inyección Inferior, (L/D) = ¼. WF presX <

Valores de excentricidad y ángulo de attitud como función del número de Sommerfeld de una chumacera corta presurizada en su parte central inferior. Nota: Esta tabla es el resultado de la interpolación de la tabla 3.3.

0=prtf 1=prtf 5=prtf 10=prtf 20=prtf 50=prtf 100=prtf

S presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ

0.013 0.949978 14.4729 0.8678 24.20 0.7768 32.47 0.7160 37.44 0.6345 43.71 0.4733 55.56 0.2501 71.77 0.02 0.939739 15.8289 0.8642 24.55 0.7748 32.64 0.7144 37.53 0.6332 43.78 0.4725 55.64 0.2496 71.82 0.05 0.903118 20.4484 0.8496 25.98 0.7663 33.35 0.7078 38.09 0.6281 44.13 0.4690 55.84 0.2470 72.01 0.10 0.862487 24.8523 0.8266 28.11 0.7525 34.49 0.6970 38.92 0.6198 44.83 0.4634 56.15 0.2464 72.33 0.20 0.812968 29.0595 0.7863 31.68 0.7261 36.62 0.6760 40.55 0.6035 46.05 0.4516 57.15 0.2341 72.95 0.30 0.770637 32.9185 0.7521 34.52 0.7016 38.57 0.6561 42.08 0.5877 47.23 0.4405 57.99 0.2259 73.54 0.50 0.707206 38.1363 0.6957 39.03 0.6573 41.99 0.6190 44.89 0.5578 49.44 0.4191 59.54 0.2106 74.65 0.80 0.637578 43.4944 0.6296 44.09 0.6009 46.24 0.5699 48.55 0.5170 52.43 0.3894 61.69 0.1898 76.16 1.00 0.600082 46.310 0.5933 46.81 0.5685 48.65 0.5409 50.68 0.4923 54.23 0.3711 63.01 0.1774 77.06 1.30 0.552268 49.8535 0.5467 50.29 0.5259 51.78 0.5020 53.53 0.4585 56.69 0.3457 64.85 0.1607 78.27 1.40 0.538057 50.8979 0.5328 51.27 0.5130 52.72 0.4900 54.40 0.4481 57.44 0.3378 65.43 0.1557 78.64 1.50 0.524578 51.8859 0.5196 52.24 0.5008 53.62 0.4786 55.23 0.4380 58.17 0.3301 65.99 0.1508 78.99 2.00 0.466092 56.1444 0.4620 56.43 0.4465 57.56 0.4278 58.91 0.3926 61.46 0.2950 68.52 0.1297 80.52 2.30 0.436574 58.2829 0.4329 58.54 0.4187 59.57 0.4016 60.81 0.3688 63.18 0.2768 69.85 0.1192 81.29 2.50 0.418712 59.5761 0.4152 59.82 0.4019 60.79 0.3856 61.97 0.3543 64.23 0.2656 70.66 0.1130 81.40 3.00 0.379356 62.4246 0.3763 62.64 0.3644 63.50 0.3500 64.54 0.3217 66.59 0.2407 72.47 0.0995 82.73 3.50 0.346156 64.8283 0.3434 65.02 0.3327 65.79 0.3196 66.75 0.2939 68.70 0.2193 74.02 0.0896 83.45 4.00 0.317696 66.8885 0.3152 67.06 0.3055 67.76 0.2935 68.63 0.2700 70.34 0.2004 75.39 0.0821 84.00 5.00 0.272073 70.1949 0.2699 70.34 0.2616 70.94 0.2512 71.70 0.2310 73.15 0.1708 77.54 0.0714 84.79 7.00 0.209283 74.7579 0.2076 74.87 0.2010 75.35 0.1932 75.92 0.1777 77.04 0.1309 80.44 0.0493 86.39 8.00 0.187079 76.367 0.1856 76.46 0.1801 76.87 0.1731 77.38 0.1588 78.42 0.1174 81.42 0.0469 86.57 10.00 0.15384 78.7812 0.1525 78.87 0.1476 79.22 0.1421 79.62 0.1313 80.41 0.0957 83.01 0.0422 86.92 15.00 0.107324 82.1653 0.1062 82.24 0.1018 82.56 0.0978 82.86 0.0922 83.26 0.0795 84.20 0.0263 88.07 20.00 0.088164 83.5704 0.0879 83.58 0.0869 83.65 0.0858 83.74 0.0833 83.92 0.0435 86.81 0.0188 88.62



62

Caso 2. WFpresX >

Cuando la componente vertical de la fuerza de presurización es mayor que el peso del sistema. En la figura 3.13 se aprecia un diagrama de cuerpo libre en donde se muestran: las fuerzas de la película de aceite en el caso clásico RF y

TF , la componente vertical de la fuerza de presurización

presXF y el peso del sistema W . Se puede notar que el cuadrante III es el único lugar en donde se

puede localizar al rotor en estado estacionario, pues solo en éste se cumplen las ecuaciones de equilibrio.

Fig. 3.13. Diagrama vectorial que muestra el único cuadrante en donde es posible localizar

al rotor cuando se presuriza en la parte superior de la chumacera con: WFpresX > .

En este caso la diferencia fundamental con el anterior, es que siendo el III cuadrante la única posibilidad de encontrar al rotor, se verifica que: 0,0 << ϕϕ SenCos . Entonces de (3.65) se tiene:

γ

επϕ

21 pres

presSen−

−= , γ

εϕ pres

OcvCos4

−= , )1(16 222prespres επεγ −+= (3.78)

Procediendo de manera similar que en el caso anterior y tomando en cuenta a (3.78), se puede escribir:

[ ][ ]

−

+

−=

2

32

322

)(48

)()(1

22

2

22

2

L

DfS

abajo

pres

abajo

pres

abajo

pres

prtabajopres

abajo

pres

abajo

pres

εγ

γ

γπε

ε (3.79)

Ahora 2abajo

presε significa la excentricidad de equilibrio en una chumacera presurizada en su parte

central inferior ( WFpresX > ). Para que se cumpla: WF

presX > es necesario que:

[ ] Wa

D

LF

abajopres

abajo

pres

abajo

pres

pres >+

−

∆

32

322

)(48

))(1(

22

2

εγ

γ (3.80)

O bien en forma adimensional:



63

[ ]( )3

322

2

22 )(48

abajopres

abajopres

abajopres

prt

L

Df

γ

εγ +

> (3.81)

En la figura 3.14 aparece el comportamiento de (3.81), esta gráfica muestra los valores admisibles de

prtf para 4/1)/( =DL . Como se esperaba, para valores 128>prtf el rotor

experimentará una fuerza de presurización que excede el peso del sistema, por lo que la posición de equilibrio estará por encima del centro geométrico de la chumacera.

Fig. 3.14. Valores admisibles de

prtf como función de la excentricidad para una chumacera presurizada

en su parte central inferior cuando la fuerza de presurización es mayor que el peso del sistema. 4/1/ =DL , 0=a .

La figura 3.15 muestra el comportamiento del número de Sommerfeld con respecto a la excentricidad para diversos valores de la fuerza de presurización, la dependencia está dada por (3.79). Ésta figura muestra que para valores de presurización grandes (que exceden el peso del sistema) la excentricidad de equilibrio se incrementa, observar que esta excentricidad se encuentra medida en el cuadrante III. Como en los casos analizados anteriormente, la tabla 3.5 proporciona los datos de la figura 3.15 en forma más exacta dados un número de Sommerfeld y una fuerza de presión. Posteriormente mediante una interpolación se construye la tabla 3.6; la cual permite encontrar la posición de equilibrio una vez dado el número de Sommerfeld [9].


presurizada en su parte central inferior. 4/1/ =DL , 0=a .



Tabla 3.5 Puerto de Inyección Inferior, (L/D) = ¼. WF presX >

Número de Sommerfeld como función de la excentricidad de equilibrio, ángulo de attitud y fuerza de presurización de una chumacera corta presurizada en su parte central inferior. Los datos contenidos en esta tabla son tomados de la figura 3.15.

Excentricidad 400=prtf 500=prtf

1100=prtf 2200=prtf Ángulo Attitud

presε 400 500 1100 2200 presϕ

0.35 5.5550 8.0320 22.897 50.150 248.17 0.35 3.6197 5.3840 15.970 35.380 244.55° 0.4 2.2760 3.5268 11.030 24.790 240.93° 0.45 1.3543 2.2328 7.500 17.160 237.31° 0.5 0.7383 1.3470 5.000 11.700 233.68° 0.55 0.3429 0.7575 3.240 7.800 230.02° 0.6 0.1045 0.3807 2.030 5.070 226..32° 0.65 0.1539 1.220 3.190 222..55° 0.7 0.02984 0.690 1.920 218..70° 0.75 0.368 1.0920 214..70° 0.8 0.173 0.5690 210.50°



Tabla 3.6 Puerto de Inyección Inferior, (L/D) = ¼. WF presX >

Valores de excentricidad y ángulo de attitud como función del número de Sommerfeld de una chumacera corta presurizada en su parte central inferior. Nota: Esta tabla es el resultado de la interpolación de la tabla 3.5.

400=prtf 500=prtf 1100=prtf 2200=prtf

S presε presϕ presε presϕ presε presϕ presε presϕ

0.20 0.5776 227.9 0.6362 223.6 0.7919 211.1 0.8620 209.6 0.50 0.5262 231.7 0.5851 227.4 0.7255 216.6 0.8095 210.1 0.80 0.4945 234.0 0.5460 230.3 0.6886 219.5 0.7756 212.5 1.00 0.4788 235.2 0.5294 231.5 0.6709 220.8 0.7575 214.0 1.50 0.4413 237.9 0.4905 234.3 0.6325 223.8 0.7218 216.9 2.00 0.4150 239.8 0.4633 236.3 0.6021 226.1 0.6964 218.9 2.50 0.3907 241.6 0.4383 238.1 0.5795 227.8 0.6766 220.4 3.00 0.3722 242.9 0.4197 239.5 0.5598 229.2 0.6578 221.9 3.50 0.3544 244.2 0.4018 242.0 0.5417 230.6 0.6409 223.2 4.00 0.3391 245.3 0.3861 243.8 0.5273 231.6 0.6276 224.2 5.00 0.3136 247.1 0.3599 251.1 0.5000 233.6 0.6019 226.1 10.00 0.2594 267.6 0.4137 238.9 0.5207 232.1 15.00 0.3592 243.8 0.4668 235.6 20.00 0.3196 246.7 0.4300 238.7 30.00 0.3740 242.8 50.00 0.3004 248.1



3.4 Ubicación de algunas posiciones de equilibrio e n un rotor presurizado. En esta sección se muestran gráficamente algunos resultados que se obtienen a partir de las tablas 3.2, 3.4 y 3.6 dado un número de Sommerfeld, no olvidar que este número está directamente relacionado con la velocidad de operación. Por lo tanto en las figuras siguientes se presentarán las posiciones de equilibrio que tiene un rotor trabajando a velocidad constante (Sommerfeld fijo) y sometido a diferentes fuerzas de presurización. En las figuras 3.16, 3.17, 3.18 y 3.19 aparecen algunos puntos negros y blancos; los cuales representan la posición del rotor al presurizar la chumacera en su parte superior e inferior respectivamente. Esto con la finalidad de compararlos con la inyección clásica cuya posición la determina la estrella. En estas figuras se aprecia el locus de equilibrio para cada caso, de igual manera permiten ver que a bajas velocidades (números de Sommerfeld pequeños) la presurización superior no produce cambios grandes en la posición de equilibrio, pues los puntos negros permanecen muy cerca entre sí (ver fig. 3.16 y 3.17). Sin embargo a altas velocidades, el rotor experimenta valores de excentricidad cada vez mayores respecto a la inyección clásica (ver fig.3.18 y 3.19).

Fig. 3.16. Posiciones de equilibrio del rotor cuan do se

presuriza una chumacera corta 4/1/ =DL , 0=a , 1=S .

Fig. 3.17. Posiciones de equilibrio del rotor cuan do se

presuriza una chumacera corta 4/1/ =DL , 0=a , 2=S .

Notar que en las figuras anteriores se pudo observar que el locus de equilibrio se mantuvo en el cuadrante I, pues el valor más grande de la fuerza de presurización fue de 100; sin embargo como se determinó en secciones anteriores cuando la fuerza de inyección es mayor de 128 es de esperarse que el rotor se ubicará en el cuadrante III, provocando un incremento considerable de la excentricidad. En la figura 3.20 aparece el comportamiento descrito anteriormente para un número de Sommerfeld fijo. Si la fuerza de presurización es de 128 el muñón debería localizarse en el centro del sistema coordenado; observar que los puntos marcados con los números 6 y 7 corresponden a valores de presurización de 400 y 500 respectivamente.



Fig. 3.18. Posiciones de equilibrio del rotor cuan do se presuriza una chumacera corta

4/1/ =DL , 0=a , 4=S .

Fig. 3.19. Posiciones de equilibrio del rotor cuan do se presuriza una chumacera corta

4/1/ =DL , 0=a , 8=S .



Fig. 3.20. Posiciones de equilibrio del rotor, cuando se presuriza una chumacera corta hasta valores de fuerza de presurización que exceden el peso del sistema. Notar los puntos por encima del centro geométrico de la chumacera

(en el III cuadrante) 4/1/ =DL , 0=a , 4=S .

3.5 Comparación Numérica-Analítica de las nuevas po siciones de equilibrio en una chumacera presurizada. Inyección superior. Hasta ahora se han calculado en forma analítica las nuevas posiciones de equilibrio que tomará el rotor al presurizar externamente una chumacera, inclusive se construyeron tablas que permiten localizar estas nuevas posiciones como función del número de Sommerfeld y la presurización externa. Ahora es importante determinar la diferencia entre estos valores obtenidos de manera analítica con respecto a los valores numéricos y así poder determinar la importancia de la aproximación analítica. Para calcular estos valores numéricos se usará el programa CHUMA (desarrollado por los profesores A. Dimarogonas y J.C. Goméz- Mancilla), el cual resuelve la ecuación de Reynolds utilizando el método del elemento finito para determinar los valores nodales de presión en la película del lubricante de la chumacera, posteriormente se calculan las fuerzas y de esta manera se obtienen las posiciones de equilibrio (excentricidad y ángulo de equilibrio). En el capítulo V se describirá con más detalle este programa.



En las tablas siguientes, aparecen los valores de excentricidad y ángulo de equilibrio obtenidos de manera analítica y numérica para determinados números de Sommerfeld y fuerzas de presurización. La inyección de lubricante se realizará en la parte superior de la chumacera, notar que también aparece la diferencia porcentual entre excentricidades y ángulos de equilibrio (éstas se calcularon respecto de los valores numéricos de CHUMA). Es importante destacar que aunque el modelo de presurización puntual hace referencia a la presurización en un punto matemático, para poder realizar una comparación de los resultados en el programa CHUMA se presuriza en una pequeña región constituida de 4 nodos, y esto lleva a las siguientes equivalencias entre la fuerza de presurización y la presión de inyección (usada en CHUMA):

20=prtf → Presurizar en 4 nodos (P = 200 000 Pa, c/u). Inyección superior. (L/D)=1/4

Tabla 3.7. Comparación analítica-numérica de los valores de excentricidad de equilibrio y ángulo de attitud para diversos números de Sommerfeld. Inyección Superior. 41 /DL = .

20=prtf

Chumacera Presurizada S= 0.5 ω = 413.68 rad/s fprt = 20 (4 puntos: P = 200000 Pa, c/u)

Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.7644 0.7125 6.78%

φ 38.35° 37.71° 1.66%

Chumacera Presurizada S= 1 ω = 827.736 rad/s fprt = 20 (4 puntos: P = 200000 Pa, c/u)


φ 46.011º 45.63º 0.82%


Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.5169 0.4811 6.92% φ 55.45° 55.05° 0.72%


Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.42402 0.3984 6.04 %

φ 61.44º 61.04º 0.65 %


Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.30711 0.2940 4.26 % φ 69.604º 68.6º 1.44 %



φ 75.717º 74.86º 1.13 %





φ 78.24° 77.37° 1.11%



φ 82.13° 81.05º 1.31%

50=prtf → Presurizar en 4 nodos (P = 250 000 Pa, c/u). Inyección superior. (L/D)=1/4

Tabla 3.8. Comparación analítica-numérica de los valores de excentricidad de equilibrio y ángulo de attitud

para diversos números de Sommerfeld. Inyección Superior. 41 /DL = .

50=prtf

Chumacera Presurizada

S= 0.5 ω = 413.68 rad/s fprt = 50 (4 puntos: P = 250000 Pa, c/u)

Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.769 0.7197 6.41% φ 38.04° 37.14° 2.36%



φ 45.65° 44.74º 1.99%


Posición de equilibrio CHUMA Analítico Diferencia ε 0.524 0.5001 4.56% φ 55.08° 53.67º 2.55%





φ 69.17º 66.59º 3.72 %





Como puede verse en las tablas anteriores, los valores obtenidos de manera numérica son muy cercanos a los encontrados analíticamente. Lo anterior puede verificarse en las diferencias que existen entre ambos cálculos. Por lo tanto, el modelo de la chumacera corta presurizada entrega resultados muy buenos comparados con la solución numérica, y puede ser considerado como un modelo confiable en el cálculo de la posición de equilibrio. Referencias [1] Ocvirk, F. (1952) “Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings”, NACA TN 20808. [2] Schwartz, L. (1950), “Théorie des Distributions”, Hermann & Cie, editeurs. [3] Arfken (2000), “Mathematical Methods for Physics”, AcademicPress 5ta Ed. [4] Szeri. (1998) “Fluid Film Lubricatión. Theory and Design”. Cambridge University Press.. [5] Khonsari, M.M., Booser, E.R. (2001) “Applied Tribology: Bearing Design and Lubrication,” John Wiley & Sons. [6] Booker, J. (1965) “A table of the Journal Bearing Integral”, Journal of Basic Engineering. Pp. 533-535. [7] Ramírez, I. Nosov, V. Gómez-Mancilla, J. (2004). “Campos de presión de lubricante en chumacera híbrida presurizada con anillo y/o línea unidimensional de presurización”, 8° Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas IPN. México D.F. [8] Nosov, V.R., Gómez Mancilla, J.C., Ramírez Vargas, I. (2006) “New model and stationary position for a shortjournal bearing with Upper point injection port”. 7th IFTOMM conference on rotor dynamics. Vienna, Austria, 25- 28 september 2006 [9] Nosov V., Ramírez Vargas I., Gómez Mancilla J. (2006). “New model and Stationary Position for a Short Journal Bearings with Point Injection Ports”. To be published in the Journal of Tribology. [10] J. V. Fedor, (1961) “Journal Bearings with arbitrary Position of Source”, ASME Trans, Journal of Basic Engineering. [11] Childs, D. (1993), “Turbomachinery Rotordynamics: Phenomena, Modeling, and Analysis,” John Wiley and Sons, Inc. New York. [12] Khonsari, M.M., Booser, E.R. (2001) “Applied Tribology: Bearing Design and Lubrication,” John Wiley & Sons. [13] Nosov, V.R , Ramírez Vargas, I., Gómez Mancilla, J.C. (2005), “Uso de Funciones Generalizadas Espaciales en modelos Rotodinámicos Presurizados” , 1° Congreso Internacional de Matemáticas Aplicadas, México D.F. [14] Vance, J., (1988) “ Rotordynamics of Turbomachinery”, John Wiley and Sons. [15] Nosov V. R., and Gómez-Mancilla J. (2004), “On the appearance of cavitation in Journal bearings”, Tribology Transactions.



Capítulo IV Determinación analítica de los coeficientes rotodinámicos en una chumacera corta presurizada. 4.1 Introducción El comportamiento de un rotor está fuertemente influenciado por las características de sus soportes. Las fuerzas que se generan sobre el muñón por la película de lubricante de la chumacera hidrodinámica, son funciones no lineales de la posición y velocidad del centro del eje. Por tanto para llevar a cabo el cálculo de las velocidades críticas, las amplitudes de vibración del rotor así como examinar su estabilidad contra vibraciones auto-excitadas, es fundamental conocer la respuesta que la película de aceite en la chumacera añade a los desplazamientos y velocidades del muñón [1]. Si los desplazamientos y velocidades del muñón son pequeños, entonces las fuerzas en el lubricante se pueden linealizar alrededor de su posición de equilibrio estático, pero aún así con esta aproximación, la película del lubricante no se puede simular por un simple sistema elástico disipativo. Existen términos acoplados de rigidez y amortiguamiento que se necesitan para describir la relación entre el incremento de las fuerzas de la película de aceite y los desplazamientos y velocidades que las causan. En la figura 4.1 se muestra una vista transversal de la chumacera, en la cual aparecen rigideces y amortiguamientos que simulan la conducta dinámica del fluido lubricante.

Fig. 4.1. Propiedades dinámicas de rigidez y amortiguamiento (coeficientes rotodinámicos) de la película del lubricante en una chumacera hidrodinámica.



En forma matemática es posible escribir el incremento de las fuerzas de la película de aceite como:

−

−=

y

x

cc

cc

y

x

kk

kk

dF

dF

yyyx

xyxx

yyyx

xyxx

y

x

&

& (4.1)

Las ecuaciones de movimiento de un sistema rotor-chumacera contienen coeficientes que corresponden a los de la película del lubricante de las chumaceras (de rigidez y amortiguamiento), éstos parámetros cambian con la velocidad de rotación y por consecuencia también con la adición externa de presión. Es por eso que el comportamiento dinámico siempre es influenciado por los valores que puedan tomar estos coeficientes. Se encuentra en la literatura que a medida que la velocidad de operación aumenta, uno de los coeficientes de rigidez puede tomar valores negativos y dependiendo de su magnitud el sistema puede llegar a la inestabilidad; en rotodinámica a los coeficientes de rigidez y amortiguamiento se les conoce como coeficientes rotodinámicos [2].

4.2 Definición clásica de los coeficientes rotodiná micos. Sea BO el centro de la chumacera,

SJO representa la posición de equilibrio de la rotación del eje,

la excentricidad dimensional es 0e (o bien 0ε en forma adimensional) y el ángulo de equilibrio

es 0ϕ . Las componentes de la fuerza del lubricante a lo largo del sistema de coordenadas radial y

tangencial (R,T) son ( )0RF y ( )0TF . Ver figura 4.2.

Fig. 4.2. Descomposición de fuerzas de la película de lubricante en chumaceras hidrodinámicas.



Si hay una pequeña fuerza de desbalance en el muñón, éste orbitará alrededor de la posición de equilibrio estática ( )00 ,ϕe . En un instante particular ocupará la posición JO (un punto genérico

sobre la órbita). En JO la excentricidad es eee ∆+= 0 , el ángulo de equilibrio es ϕϕϕ ∆+= 0 y

las velocidades del centro del muñón son: e& y ϕ&e . La fuerza instantánea de la película del lubricante tiene ahora las componentes Fr y Ft relativas a los ejes coordenados (r, t). Estas fuerzas instantáneas en JO pueden ser obtenidas respecto del sistema de coordenadas (R, T) mediante la

aplicación de la matriz de rotación correspondiente:

∆∆∆−∆

=

t

r

T

R

F

F

CosSen

SenCos

F

F

ϕϕϕϕ (4.2)

Para pequeños desplazamientos angulares a partir de la posición de equilibrio, es posible asumir: 1≈∆ϕCos y ϕϕ ∆≈∆Sen . Entonces:

∆∆−

=

t

r

T

R

F

F

F

F

1

1

ϕϕ (4.3)

o bien:

trT

trR

FFF

FFF

+∆=∆−=

ϕϕ

(4.4)

Pero el interés está en evaluar las componentes de las fuerzas cuando pasa el muñón de la posición

SJO a la JO , entonces el incremento de tales fuerzas viene dada por:

( )( )0

0

TrT

RrR

FFF

FFF

−=∆−=∆

(4.5)

Estos incrementos pueden encontrarse sustituyendo (4.4) en (4.5)

( )0TtrT

trR

FFFF

FFF

−+∆=∆∆−=∆

ϕϕ

(4.6)

Las funciones escalares Fr y Ft pueden ser expandidas en series de Taylor alrededor de la posición de equilibrio de la manera siguiente:

( ) ϕϕ

ϕϕ

&&

&&

dF

ede

Fd

Fde

e

FFF RRRR

Rr

0000

0

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

(4.7)

( ) ϕϕ

ϕϕ

&&

&&

dF

ede

Fd

Fde

e

FFF TTTT

Tt

0000

0

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=



Notar que las derivadas son evaluadas en la posición de equilibrio, sustituyendo (4.7) en (4.6) y despreciando los términos de orden superior:

TRRRR

R FdF

ede

Fd

Fde

e

FF ϕϕ

ϕϕ

ϕ∆−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ &

&&

&

(4.8)

ϕϕ

ϕϕ

ϕ &&

&&

dF

ede

Fd

Fde

e

FFF TTTT

RT

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+∆=∆

o bien en forma matricial:

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

+

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

ϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕε

ϕε&

&

&&

&&

d

d

FF

FF

d

d

FFF

FFF

dF

dF

TT

RR

RTT

TRR

T

R (4.9)

Comparando (4.9) y (4.1), se puede decir que se han obtenido las expresiones para los coeficientes rotodinámicos (dimensionales) de rigidez y amortiguamiento (en forma genérica) en las direcciones radial y transversal [2]:

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

RTT

TRR

TTTR

RTRR

FFF

FFF

kk

kk

ϕε

ϕε ,

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

ϕε

ϕε

&&

&&

TT

RR

TTTR

RTRR

FF

FF

cc

cc (4.10)

Para calcular las fuerzas requeridas en (4.10) es necesario ir a la ecuación de Reynolds en estado no estacionario, del capitulo II la ecuación (2.1) puede reescribirse:

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

µ

θθSenCCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 &&

Recordando que para adimensionalizar la ecuación anterior se debe tener en cuenta:

zL

z2

= , π

ω

2=N , p

C

RNp

r

2

= µ

Bajo condiciones de carga dinámica es apropiado utilizar una adimensionalización adicional para la presión dada por:

−

=

ω

ϕ&21

ˆp

p (4.11)



Usando las sustituciones anteriores se puede escribir :

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

−

θ

ωϕεθε

µ

θθω

ϕµ SenCos

C

R

z

ph

zL

Rph

C

RN

rr 2

12421

2

2

3

2

3

2

&&&

(4.12a)

o bien:

−+

−

=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂θ

ωϕεθε

ω

ϕω

π

θθSenCos

z

ph

zL

Dph

221

24ˆˆ3

2

3 &&

&

(4.12b)

Finalmente, después de simplificar a (4.12b) se obtiene:

θ

ω

ϕ

ω

ε

πθεπθθ

CosSenz

ph

zL

Dph

−

+−=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

&

&

21

2412ˆˆ

3

2

3 (4.12c)

Notar que la solución de (4.12c) es función de:

=

ω

ϕ

ω

εϕε

&&,,,ˆˆ pp (4.13)

Es posible resolver a (4.12c) usando las condiciones de Swift-Stiebler [3] para obtener los coeficientes de fuerza. De forma similar como se obtuvo en el capítulo III, las componentes de fuerza adimensional serán:

−=

= ∫ ∫

1

0 02

2 ˆ4

121

θθθ

ω

ϕ

µ

zddCosp

C

RN

LD

F

F

r

R

R

& (4.14)

−=

= ∫ ∫

1

0 02

2 ˆ4

121

θθθ

ω

ϕ

µ

zddSenp

C

RN

LD

F

FJ

r

T

T

& (4.15)



Usando la notación:

∫ ∫=1

0 0

2

ˆ4

1 θ

θθ zddCospf R (4.16)

∫ ∫=1

0 0

2

ˆ4

1 θ

θθ zddSenpfT (4.17)

Escribiendo a (4.14) y (4.15) en la forma simbólica siguiente (pues es necesario conocer a la función p para integrar a fR y fT), entonces tendrá:

−

−=

ω

ϕω

ε

ϕεω

ϕ

&

&

&

21

,,2

1 RR fF (4.18)

−

−=

ω

ϕω

ε

ϕεω

ϕ&

&

&

21

,,2

1 TT fF (4.19)

Observar que (4.10) necesita las derivadas parciales de (4.18) y (4.19), por lo que se pueden determinar de la forma siguiente: Para RF de (4.18):

εω

ϕ

ε ∂

∂

−=

∂

∂ RR fF &21 (4.20)

ϕω

ϕ

ϕ ∂

∂

−=

∂

∂ RR fF &21 (4.21)

−

⋅

−∂

∂

−=

∂

∂

ω

ϕ

ω

ϕω

εω

ϕ

ω

ε &

&

&

&

& 21

1

21

21 RR fF (4.22)



−

⋅

−∂

∂

−+−=

∂

∂

ω

ϕ

ω

ε

ω

ϕω

εω

ϕ

ω

ϕ &

&

&

&

&

& 21

2

21

212 R

RR f

fF (4.23)

Para obtener a (4.22) es necesario tener en cuenta que:

∂

−=

−∂

ω

ε

ω

ϕ

ω

ϕω

ε

&

&&

&

21

1

21

(4.22a)

donde:

−∂

−=

∂

ω

ϕω

ε

ω

ϕ

ω

ε&

&

&&

21

21 (4.22b)

Ahora para obtener a (4.23), observar que:

∂

−

=

−∂

ω

ϕ

ω

ϕω

ε

ω

ϕω

ε

&

&

&

&

&

2

21

2

21

(4.23a)

donde:

ε

ωω

ϕ

ω

ϕω

ε

ω

ϕ

&

&

&

&

&

2

21

21

2

−

−∂=

∂ (4.23b)



El cálculo de las derivadas parciales de (4.19) se muestra a continuación: Para TF de (4.19):

εω

ϕ

ε ∂

∂

−=

∂

∂ TT fF &21 (4.24)

ϕω

ϕ

ϕ ∂

∂

−=

∂

∂ TT fF &21 (4.25)

−

⋅

−∂

∂

−=

∂

∂

ω

ϕ

ω

ϕω

εω

ϕ

ω

ε &

&

&

&

& 21

1

21

21 TT fF (4.26)

−

⋅

−∂

∂

−+−=

∂

∂

ω

ϕω

ε

ω

ϕω

εω

ϕ

ω

ϕ &

&

&

&

&

& 21

2

21

212 T

TT f

fF (4.27)

Haciendo uso de las expresiones anteriores (4.20)-(4.27) y evaluando alrededor de la posición de equilibrio: 0εε = , 0ϕϕ = , 0=ε& , y 0=ϕ& , se puede escribir (4.9) en forma adimensional como:

−

∂

∂

−

∂

∂

+

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

ω

ϕε

ω

ε

εω

ε

ε

ω

ε

ϕεε

εϕεε

εϕε&

&

&

&

d

d

ff

ff

d

d

fff

fff

Fd

Fd

TT

RR

RTT

TRR

T

R

2

2

(4.28)

La primera matriz del segundo miembro en (4.28) representa la respuesta de la película de aceite al desplazamiento del muñón y es llamada: matríz de rigidez adimensional K [2]. La segunda matriz del segundo miembro describe la respuesta a las velocidades ( ωε& ) y ε ( ωϕ& ) y se conoce

como matriz de amortiguamiento adimensional C [2]; las cuales se muestran a continuación:



+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

εϕεε

εϕεεRTT

TRR

fff

fff

K (4.29)

−

∂

∂

−

∂

∂

=

ε

ω

ε

ε

ω

ε

T

J

T

R

J

R

ff

ff

C2

2

&

&

(4.30)

Las matrices adimensionales K y C se relacionan con las matrices de rigidez y de amortiguamiento K y C , por medio de:

K

C

RNDL

CK

r

r

2

=

µ

(4.31)

C

C

RNDL

CC

r

r

2

=

µ

ω (4.32)

Observar que las matrices K y C tienen dimensiones de: ( longitudfuerza ) y

( velocidadfuerza ) respectivamente, por lo que es conveniente expresar los coeficientes rotodinámicos en la forma adimensional:

KW

CK r= , C

W

CC rω

= (4.33)

donde W es la carga externa sobre el muñón. Sustituyendo (4.33) en (4.31) y (4.32) se puede obtener:

CSCKSK == , (4.34) donde S es el número de Sommerfeld.



Para finalizar, es conveniente expresar a los coeficientes rotodinámicos en el sistema coordenado (X,Y), que se relaciona con el sistema (R,T) mediante la matríz de rotación [ ]Q como se muestra a continuación:

[ ]

−=

T

R

CosSen

SenCos

Y

X

Q444 3444 21ϕϕϕϕ (4.35)

Por tanto, los coeficientes adimensionales se pueden calcular en el sistema (X,Y) a través de [ ]Q realizando las siguientes operaciones matriciales:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] T

T

QCQC

QKQK

−=

−=

~

~

(4.36)

En el apéndice B aparece el desarrollo completo y en forma general para llegar a (4.36), y así obtener los coeficientes rotodinámicos en cualquier sistema de coordenadas ( )ηξ , rotado un

ángulo 0ϕ respecto al sistema (R,T).

4.3 Coeficientes rotodinámicos de una chumacera cor ta no presurizada. Una vez desarrollada la teoría clásica de los coeficientes rotodinámicos, es posible determinarlos para cualquier chumacera hidrodinámica en la cual se conozca el campo de presión en la película del lubricante. En forma particular para una chumacera corta, la ecuación de Reynolds en estado no estacionario puede encontrarse a partir de (4.12c); esto es:

( ) θ

ω

ϕ

ω

ε

πθεπθ CosSenz

ph

zL

D

−

+−=

∂

∂

∂

∂

&

&

21

2412ˆ

3

2

(4.37)

Ecuación de Reynolds para una Chumacera corta en caso general

en donde el muñón no está en equilibrio; 0≠ε& , 0≠ϕ&

La solución de (4.37) es de la forma (ver ecuaciones 3.6 y 3.7 capítulo III):

( )( )

−

−+

−=

θ

ω

ϕ

ω

ε

θεθε

πCosSen

Cos

zp

L

D

&

&

21

21

16ˆ

3

22

(4.38)



sustituyendo (4.38) en (4.16) y (4.17):

( )( )∫ ∫

−

⋅⋅

−

−+

−=

1

1 0

2

3

2

21

21

16

4

1 π

θθθ

ω

ϕ

ω

ε

θεθε

π

D

LzddCosCosSen

Cos

zf R

&

&

(4.39)

( )( )∫ ∫

−

⋅⋅

−

−+

−=

1

1 0

2

3

2

21

21

16

4

1 π

θθθ

ω

ϕ

ω

ε

θεθε

π

D

LzddSenCosSen

Cos

zfT

&

&

(4.40)

Para integrar (4.39) y (4.40) se emplea la sustitución de Sommerfeld, obteniendo:

( )( )

( )

−

⋅−

+−

−

−

=

ω

ϕ

ω

ε

ε

επ

ε

πε

&

&

21

1

212

1

42/52

22

22

22

D

Lf R

(4.41)

( ) ( )

−

⋅−

+−

=

ω

ϕ

ω

ε

ε

πε

ε

επ

&

&

21

1

8

1222/32

22

D

LfT

(4.42)

Fuerzas adimensionales radiales y transversales para una chumacera corta.

Caso general 0≠ε& , 0≠ϕ&

La determinación de los coeficientes rotodinámicos en las direcciones radial y transversal respectivamente, puede llevarse a cabo sustituyendo (4.41) y (4.42) en (4.29) y (4.30). En la tabla 4.1 aparecen los coeficientes de rigidez y amortiguamiento obtenidos [4], [5].



Tabla 4.1. Coeficientes de rigidez y amortiguamiento de una chumacera corta

(caso clásico) en el sistema de coordenadas R-T.

( )( )

2

32

2

1

18

−

+−=

D

LKRR

ε

εεπ ( )( )

2

2/52

22

1

212

−

+−=

D

LCRR

ε

επ

( )2

2/32

2

1

−

−=

D

LK RT

ε

π ( )

2

221

8

−=

D

LCRT

ε

πε

( )( )

2

2/52

22

1

21

−

+=

D

LKTR

ε

επ ( )

2

221

8

−=

D

LCTR

ε

πε

( )2

221

4

−

−=

D

LKTT

ε

πε

( )2

252

2

1

2

−

−=

D

LC

/TT

ε

π

Es importante observar que se puede suprimir el término 2)DL( que aparece en los coeficientes de la tabla 4.1, si se toma en cuenta (4.34) donde el número de Sommerfeld para una chumacera corta puede expresarse como:

( )( )222

222

116

1

επεπε

ε

−+

−

=

L

DS (4.43)

Entonces de (4.34),(4.35) y (4.36) se pueden determinar los coeficientes rotodinámicos respecto al sistema de coordenadas ( )y,x . En la tabla 4.2 aparecen los coeficientes obtenidos [4], [5].

Tabla 4.2. Coeficientes de rigidez y amortiguamiento de una chumacera corta

(caso clásico) en el sistema de coordenadas x-y.

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 2/32222

42222

161

162324~

εππε

επεππ

−+−

−+++=xxk

( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

2422~

εππεε

επεπππ

−+−

+−+=xxc

( ) ( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

16232~

εππεε

επεπππ

−+−

−+++=xyk ( )[ ]

( )[ ] 2/3222

222

16

828~

εππ

εππ

−+

−+=xyc

( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

162~

εππεε

επεπππ

−+−

−++−=yxk ( )[ ]

( )[ ] 2/3222

222

16

828~

εππ

εππ

−+

−+=yxc

( )[ ]( )[ ] 2/3222

222

16

1624~

εππ

εππ

−+

−+=yyk ( ) ( )[ ]

( )[ ] 2/3222

2222/12

16

8212~

εππε

εππεπ

−+

−+−=yyc

En el apéndice C aparece la obtención detallada de los coeficientes de la tabla 4.2.



4.4 Determinación analítica de los coeficientes rot odinámicos de una chumacera corta presurizada en puertos puntuales. Para calcular los coeficientes rotodinámicos de una chumacera corta presurizada, el proceso es similar al mostrado en el apartado anterior. Ahora el modelo presurizado en estado no estacionario toma la forma:

( ) ( ) ( )[ ]

−

⋅−+−−

=

∂

∂

∂

∂

ω

ϕϕβπθδδθ

&21

12

3presprt azq

D

L

z

ph

z

(4.44)

Modelo de una chumacera corta presurizada con un puerto puntual cuya ubicación

axial y angular es arbitraria respectivamente (estado no estacionario, 0≠ε& , 0≠ϕ& )

La solución de (4.44) es de la forma (ver ecuaciones 3.8 a la 3.12 capítulo III):

( ) ( )[ ]( )

( )

−

⋅−−−+

−+−

=

ω

ϕθε

ϕβπθδθ

&21

11

12,ˆ

3

2

azzaCos

qD

Lzp

pres

prtpres (4.45)

sustituyendo (4.45) en (4.16) y (4.17):

( )[ ]( )

( )∫ ∫−

−

⋅−−−+

−+−

=

1

1

2

03

2

21

1124

1 π

θ

ω

ϕθ

θε

ϕβπθδzdd

Cosazza

Cosq

D

Lf

pres

prtR&

(4.46)

( )[ ]

( )( )∫ ∫

−

−

⋅−−−+

−+−

=

1

1

2

03

2

21

1124

1 π

θ

ω

ϕθ

θε

ϕβπθδzdd

Senazza

Cosq

D

Lf

pres

prtT&

(4.47)

Después de integrar a (4.46) y (4.47) se puede escribir:

( ) ( )( )[ ]

−

⋅−−

−−

−=

ω

ϕϕβε

ϕβ&2

1

1

18

13

22

Cos

Cosaq

D

Lf prtR

(4.48)

( ) ( )( )[ ]

−

⋅−−

−−

−=

ω

ϕϕβε

ϕβ&2

1

1

18

13

22

Cos

Senaq

D

Lf prtT

(4.49)

Fuerzas adimensionales radiales y transversales para chumacera corta presurizada con un puerto puntual cuya ubicación axial y angular es arbitraria respectivamente.

(estado no estacionario, 0≠ε& , 0≠ϕ& )



La determinación de los coeficientes rotodinámicos de una chumacera presurizada en las direcciones radial y transversal respectivamente, puede llevarse a cabo sustituyendo (4.48) y (4.49) en (4.29) y (4.30). En la tabla 4.3 aparecen los coeficientes de rigidez y amortiguamiento obtenidos (debidos a la presurización) [6].

Tabla 4.3.

Coeficientes de rigidez y amortiguamiento de una chumacera corta presurizada en el sistema de coordenadas R-T.

( ) ( )

( )[ ] 4

222

1

1

8

3

ϕβε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Cosaq

D

LK

prt

RR 0=RRC

( ) ( )[ ]( )[ ] 4

22

1

21

16

3

ϕβε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Senaq

D

LK

prt

RT

( ) ( )( )[ ] 3

22

1

1

4

1

ϕβεε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Cosaq

D

LC

prt

RT

( ) ( )[ ]( )[ ] 4

22

1

21

16

3

ϕβε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Senaq

D

LK

prt

TR 0=TRC

( ) ( )( )[ ] 4

222

1

1

8

3

ϕβε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Senaq

D

LK

prt

TT

( ) ( )( )[ ] 3

22

1

1

4

1

ϕβεε

ϕβ

−+−

−−

−=

Cos

Senaq

D

LC

prt

TT

Los coeficientes presurizados respecto al sistema de coordenadas ( )y,x , se calculan a partir de (4.34),(4.35) y (4.36). Es importante notar que ahora los cálculos son más largos, por ello gran parte de estas operaciones se realizan en el software de manipulación simbólica MATHEMATICA. La tabla 4.4 muestra los coeficientes debidos a la presurización [6].

Los coeficientes obtenidos hasta el momento son de importancia fundamental, pues son válidos para la inyección de lubricante en un puerto con ubicación axial )a( y angular )( β arbitraria. Lo único que es necesario conocer es la dependencia entre la excentricidad de equilibrio )(ε y el nuevo ángulo de attitud )(ϕ para posteriormente sustituir ésta en cada fórmula de la tabla 4.4, y tener los coeficientes rotodinámicos como función de la excentricidad y de la intensidad de presurización prtq . Es importante mencionar que es la primera vez en la literatura internacional

que se obtienen analíticamente coeficientes rotodinámicos de una chumacera presurizada, pues hasta ahora solo se conocen valores numéricos.



Tabla 4.4. Coeficientes rotodinámicos (rigidez y amortiguamiento) de una chumacera corta presurizada externamente con un puerto puntual,

cuya ubicación axial )(a y angular )(β es arbitraria.

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]42/3222

22222222222

11616

21821616113~

ϕβεπεππε

ϕβπεεϕβπεππεπεε

−+−+−−

−−−−++−+−++−+−

−=Cos

SenCosqaK

prt

xx pres

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]42/3222

2222222

11616

216218113~

ϕβεπεππε

ϕβπεπϕβπεεε

−+−+−−

−++−+−−+−+−

−=Cos

SenCosqaK

prt

xy pres

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]42/3222

2222222

11616

216218113~

ϕβεπεππε

ϕβπεπϕβπεεε

−+−+−−

−++−+−−+−+−

−=Cos

SenCosqaK

prt

yxpres

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]42/3222

22222222222

11616

21821616113~

ϕβεπεππε

ϕβπεεϕβπεππεπεε

−+−+−−

−−−−++−++−−+−+−

=Cos

SenCosqaK

prt

yypres

( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]32/32222

22/522

1164

1411~

ϕβεπεπε

ϕβπεϕβεε

−+−+−−

−−−−−+−

=Cos

SenCosqaC

prt

xxpres

( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]32/3222

2222

116

1411~

ϕβεπεππε

ϕβπεϕβεε

−+−+−−

−−−−+−+−

−=Cos

SenCosqaC

prt

xypres

( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]32/32222

22/522

1164

4111~

ϕβεπεπε

ϕβεϕβπεε

−+−+−−

−+−−−+−

=Cos

SenCosqaC

prt

yxpres

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]32/3222

2222

116

4111~

ϕβεπεππε

ϕβεϕβπεε

−+−+−−

−+−−+−+−

−=Cos

SenCosqaC

prt

yypres

4.4.1 Presurización en la parte central superior de la chumacera. Si la inyección de lubricante se realiza en la parte central superior de la chumacera ),a( πβ == 0 ver la fig. 3.8 (capìtulo III), los coeficientes rotodinámicos pueden ser expresados en forma más simplificada, pues en este caso la relación entre la excentricidad de equilibrio y el ángulo de attitud es conocida (como se mostró en el capítulo III) y se define mediante la expresión:

pres

pres

presTanε

επϕ

4

1 2−= (4.50)

Sustituyendo (4.50) en cada una de las fórmulas de la tabla 4.4, y después de realizar una simplificación algebraica, se obtienen los coeficientes rotodinámicos de una chumacera presurizada en su parte central superior.



Cabe notar que las rigideces y amortiguamientos resultantes en una chumacera presurizada serán los correspondientes al caso clásico (Ocvirk) más los coeficientes debidos a la presurización; observar que lo anterior es válido y necesario debido a que el modelo matemático utilizado es lineal, por tanto debemos cumplir el principio de superposición para las ecuaciones diferenciales lineales. La tabla 4.5 contiene los coeficientes rotodinámicos completos (caso clásico más caso presurizado) para la inyección de lubricante en la parte central superior de una chumacera corta [6].

Tabla 4.5.

Coeficientes rotodinámicos completos (rigidez y amortiguamiento) de una chumacera corta presurizada con un puerto puntual en su parte central superior )( πβ = , )0( =a

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) [ ]( )

42222

2/322222

2/32222

42222

1648

)16(13

161

162324~

−++

−+−+

−+−

−+++=

πεπεπε

πεπε

εππε

επεππ prtxx

qK

( ) ( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

16232~

εππεε

επεπππ

−+−

−+++=xyK

( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

162~

εππεε

επεπππ

−+−

−++−=yxK

( )[ ]( )[ ] 2/3222

222

16

1624~

εππ

εππ

−+

−+=yyK

( )[ ]( )[ ]

( )( )

322222

2222/52

2/32222

42222

1644

)16(1

161

2422~

−++

−+−−

−+−

+−+=

πεπεε

πεπε

εππεε

επεπππ prtxx

qC

( )[ ]( )[ ]

( )( )

32222

2222

2/3222

222

164

)16(1

16

828~

−++

−+−+

−+

−+=

πεπεπε

πεπε

εππ

εππ prtxy

qC

( )[ ]( )[ ] 2/3222

222

16

828~

εππ

εππ

−+

−+=yxC

( ) ( )[ ]( )[ ] 2/3222

2222/12

16

8212~

εππε

εππεπ

−+

−+−=yyC

4.4.2 Presurización en la parte central inferior de la chumacera. La tabla 4.6 muestra los coeficientes rotodinámicos al emplear (4.50) cuando la inyección de lubricante se realiza en la parte central inferior de la chumacera ),a( 00 == β [6], estos coeficientes corresponden a presurizaciones en donde 128<prtf ; es decir para fuerzas de presión

menores al peso del sistema. Cabe mencionar que si 128≥prtf entonces los coeficientes

rotodinámicos serán diferentes a los presentados en la tabla 4.6, este caso no se presenta en este



trabajo ya que estas presurizaciones tan grandes no serían viables en la realidad y solo serían de interés académico.

Tabla 4.6. Coeficientes rotodinámicos completos (rigidez y amortiguamiento) de una chumacera corta presurizada con un puerto puntual en

su parte central inferior )( 0=β , )0( =a y )128( <prtf .

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) [ ]( )

42222

2/322222

2/32222

42222

1648

)16(13

161

162324~

−++−

−+−+

−+−

−+++=

πεπεπε

πεπε

εππε

επεππ prt

xx

qK

( ) ( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

16232~

εππεε

επεπππ

−+−

−+++=xyK

( )[ ]( )[ ] 2/32222

42222

161

162~

εππεε

επεπππ

−+−

−++−=yxK

( )[ ]( )[ ] 2/3222

222

16

1624~

εππ

εππ

−+

−+=yyK

( )[ ]( )[ ]

( )( )

322222

2222/52

2/32222

42222

1644

)16(1

161

2422~

−++−

−+−+

−+−

+−+=

πεπεε

πεπε

εππεε

επεπππ prt

xx

qC

( )[ ]( )[ ]

( )( )

32222

2222

2/3222

222

164

)16(1

16

828~

−+−

−+−+

−+

−+=

πεπεπε

πεπε

εππ

εππ prt

xy

qC

( )[ ]( )[ ] 2/3222

222

16

828~

εππ

εππ

−+

−+=yxC

( ) ( )[ ]( )[ ] 2/3222

2222/12

16

8212~

εππε

εππεπ

−+

−+−=yyC

Nota importante: Aunque el formato en que están expresados los coeficientes rotodinámicos de las tablas 4.5 y 4.6 no contiene el término (L/D), pues el uso de (4.34), (4.36) y (4.46) lo permite, es importante notar que en las tablas aparece el factor prtq , y como se encontró en el capítulo III (ec. 3.69a) la

relación de este factor con la fuerza de presurización adimensional viene dada por:

S

fq

prt

prt = (4.51)

donde S es el número de Sommerfeld, y es ahí en donde aparece la relación (L/D). Ver (4.43)



4.5 Comportamiento gráfico de los coeficientes roto dinámicos. (L/D)=1/4 4.5.1 Chumacera corta no presurizada (Caso clásico) . El comportamiento gráfico de los coeficientes rotodinámicos de una chumacera corta no presurizada externamente, es bien conocido y analizado en los libros clásicos [2], [3]. En las figuras: 4.3 y 4.4 se aprecian los coeficientes de rigidez y amortiguamiento obtenidos a partir de las fórmulas dadas en la tabla 4.2, y la manera en que éstos van cambiando como función de la excentricidad de equilibrio. En el apéndice E, aparecen los coeficientes directos y acoplados para diversos valores de fuerza de presurización. Nota: Las líneas punteadas en las figuras representan valores negativos.

0=prtf

Fig. 4.3 Coeficientes rotodinámicos de rigidez para una chumacera corta no presurizada.

41=DL , 0=prtf .

Fig. 4.4 Coeficientes rotodinámicos de amortiguamiento para una chumacera corta no presurizada.

41=DL , 0=prtf .



4.5.2 Chumacera corta presurizada (Inyección superi or). En las siguientes figuras se muestra el comportamiento de los coeficientes de rigidez y de amortiguamiento para diversos valores de fuerza de presurización, suponiendo que inyecta lubricante en la parte central superior de una chumacera hidrodinámica [4], [6]. Éstos gráficos son obtenidos a partir de las fórmulas de la tabla 4.5; notar que el cambio es significativamente importante debido a la presurización. Nota: Las líneas punteadas en las figuras representan valores negativos.

Inyección superior. (L/D)=1/4 10=prtf

Fig. 4.5 Coeficientes rotodinámicos de rigidez para una chumacera corta presurizada.

Inyección superior: 41=DL , 10=prtf .

Fig. 4.6 Coeficientes rotodinámicos de amortiguamiento para una chumacera corta presurizada.




Inyección superior. (L/D)=1/4

20=prtf







.Inyección superior. (L/D)=1/4

50=prtf








100=prtf




Inyección superior; 41=DL , 100=prtf .




400=prtf








500=prtf

Fig. 4.15 Coeficientes rotodinámicos de rigidez para una chumacera corta presurizada. Inyección superior: 81=DL , 500=prtf .





4.5.2.1 Comparación de coeficientes rotodinámicos a diferentes valores de fuerza de presurización externa. Inyección superior. En esta sección se presenta una serie de gráficas en donde se comparan los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento (directos en la dirección vertical xx), así como los de amortiguamiento (acoplados en la dirección xy) para diferentes valores de fuerza de presurización; notar que estos coeficientes son los únicos que se ven modificados cuando se presuriza de manera externa a la chumacera (ver tabla 4.5) [6].

Fig.4.17. Comparación de los coeficientes directos de rigidez (en la dirección vertical)

de una chumacera corta para diferentes valores de presurización en su parte superior. 41=DL

En la figura 4.17 se muestra que el incremento de la fuerza de presurización, produce un crecimiento notable en la rigidez de la película del lubricante en la dirección vertical para pequeñas excentricidades; pero a medida que éstas crecen, las rigideces tienden a converger a un valor específico independientemente de la presurización externa. Es decir que la presurización tiene un efecto rigidizante mayor en el lubricante en valores pequeños de excentricidad. En la figura 4.18 se aprecia un comportamiento similar a lo presentado en la figura anterior, pues el amortiguamiento directo en la dirección vertical aumenta al incrementar la fuerza de presurización. De igual forma se muestra que para valores grandes de presurización y excentricidad respectivamente, los cambios en el amortiguamiento vertical son pequeños.



Fig. 4.18. Comparación de los coeficientes directos de amortiguamiento (en la dirección vertical)


En la figura 4.19 aparece el comportamiento del amortiguamiento acoplado, notar que la

presurización produce una disminución considerable de este coeficiente, al grado que para fuerzas de presión bastante grandes, aparecen regiones en donde el amortiguamiento acoplado cambia de signo (para valores pequeños de excentricidad).

Fig. 4.19 Comparación de los coeficientes acoplados de amortiguamiento (en la dirección xy)




4.5.3 Chumacera corta presurizada (Inyección inferi or). En las siguientes figuras se aprecia el comportamiento de los coeficientes de rigidez y de amortiguamiento para diversos valores de fuerza de presurización, suponiendo que se realiza inyección de lubricante en la parte central inferior de una chumacera. Éstos gráficos son obtenidos a partir de las fórmulas de la tabla 4.6; notar que el cambio de estos coeficientes con la presurización es significativamente importante [4], [6]. Nota: Las líneas punteadas en las figuras representan valores negativos.

Inyección inferior. (L/D)=1/4

10=prtf


Inyección inferior: 41=DL , 10=prtf .






50=prtf




Inyección inferior: 41=DL 50=prtf .




100=prtf

Fig. 4.24 Coeficientes rotodinámicos de rigidez para una chumacera corta presurizada. Inyección inferior:

41=DL , 100=prtf .





4.5.3.1 Comparación de coeficientes rotodinámicos a diferentes valores de fuerza de presurización externa. Inyección Inferior. En las siguientes figuras se aprecia la comparación de los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento (directos en la dirección xx), así como los de amortiguamiento (acoplados en la dirección xy) para diferentes valores de fuerza de presurización. De igual manera como sucedió en la inyección superior, estos coeficientes son los que se ven modificados cuando se presuriza de manera externa a la chumacera. La figura 4.26 muestra lo que ocurre con el coeficiente directo de rigidez en la dirección vertical, y corresponde a presurizaciones para las cuales el rotor se ubica en el primer cuadrante [6]. Ver capítulo III.

Fig. 4.26. Comparación de los coeficientes directos de rigidez (en la dirección vertical)

de una chumacera corta para diferentes valores de presurización en su parte inferior. 41=DL .

Notar que al igual que en la inyección superior, la rigidez aumenta considerablemente al incrementar la fuerza de presurización adimensional. En la figura 4.27 aparece lo que ocurre con el amortiguamiento directo en la dirección vertical, se puede ver que el coeficiente de amortiguamiento disminuye al presurizar e inclusive comienzan a aparecen porciones de excentricidad en donde este amortiguamiento cambia de signo, haciendo que el efecto de disipador de energía se convierta en una autoexcitación. Estos intervalos de excentricidades en las cuales cambia de signo el coeficiente de amortiguamiento dependen de la fuerza de presión, pues a mayor presurización la posibilidad de encontrar coeficientes negativos crece considerablemente y por ende las curvas tienden a recorrerse hacia la derecha. Los valores que tenga el coeficiente de amortiguamiento vertical parecen indicar que cuando el rotor se aproxima al centro geométrico de la chumacera (la excentricidad disminuye), el sistema tiende a desestabilizarse.



Fig. 4.27. Comparación de los coeficientes directos de amortiguamiento (en la dirección vertical) de una chumacera corta para diferentes valores de presurización en su parte inferior. 41=DL ,

La figura 4.28 muestra lo que ocurre con el amortiguamiento acoplado en la dirección xy, este coeficiente aumenta con la presurización (para valores de presión tales que el rotor se encuentre ubicado por abajo del centro geométrico de la chumacera), caso contrario a lo que ocurría en la presurización superior.

Fig. 4.28. Comparación de los coeficientes acoplados de amortiguamiento (en la dirección xy)

de una chumacera corta para diferentes valores de presurización en su parte inferior. 41=DL .



Referencias [1] Gómez Mancilla J.C. “Steam whirl instability in Rotating shafts”. Disertation Doctoral, Washington University 1993. [2] Szeri. (1998) “Fluid Film Lubricatión. Theory and Design”. Cambridge University Press.. [3] Khonsari, M.M., Booser, E.R. (2001) “Applied Tribology: Bearing Design and Lubrication,” John Wiley & Sons. [4] Nosov, V.R , Ramírez Vargas, I., Gómez Mancilla, J.C. (2005), “Uso de Funciones Generalizadas Espaciales en modelos Rotodinámicos Presurizados” , 1° Congreso Internacional de Matemáticas Aplicadas, México D.F. [5] Antonio García, A., Nosov, V. R., Gómez Mancilla J.C., (2002) “Comparación de coeficientes Rotodinámicos de Chumaceras Hidrodinámicas usando la teoría de Chumacerasa Largas, Cortas y Warner”. 3° Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas IPN. [6] Ramírez, I. Nosov, V. Gómez-Mancilla, J. (13 Octubre 2005). “Cálculo de los Coeficientes Rotodinámicos de una Chumacera corta Presurizada”, 7° Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica. México D.F. [7] Childs, D. (1993), “Turbomachinery Rotordynamics: Phenomena, Modeling, and Analysis,” John Wiley and Sons, Inc. New York. [8] Lund J., and Thomsen, K. (1978), “A Calculation Method and Data for the Dynamic Coefficients of Oil-Lubricated Journal Bearings,” Topics in Fluid Film Bearing and Rotor Bearing System Design and Optimization, ASME, New York, pp. 1-28. [9] Lund, J. W. (1987), “Review of the Concept of Dynamic Coefficients for Fluid Film Journal Bearings,” Journal of Tribology, Transactions of theASME, Vol. 109, pp. 37-41. [10] Rao, J.S., (1991) “Rotor-Dynamics”, John Wiley and Sons. [11] Vance, J., (1988) “ Rotordynamics of Turbomachinery”, John Wiley and Sons.



Capítulo V Velocidad umbral de estabilidad y comparación numérica-analítica de los coeficientes rotodinámicos presurizados. 5.1 Introducción La inestabilidad dinámica en las turbomáquinas se caracteriza por vibración de alta amplitud del sistema rotor-chumacera, y generalmente ocurre a frecuencias distintas de la velocidad de rotación del eje. La inestabilidad rotodinámica se puede asociar con la variación de presión de algún fluido en las chumaceras, o bien alrededor de una parte circunferencial del rotor. La palabra inestabilidad implica que el movimiento tiende a incrementarse sin límite y en ocasiones esto llega a ocurrir con consecuencias destructivas para la maquinaria. Sin embargo, es importante notar que existen raras ocasiones en las que se observan y toleran vibraciones del rotor asíncronas con amplitudes de vibración limitadas no destructivas, éstas pueden persistir por mucho tiempo y la maquinaria operar satisfactoriamente; tales casos deben ser observados constantemente puesto que pequeños cambios de las condiciones de operación o de los claros de la máquina pueden desestabilizar el sistema y producir un crecimiento repentino de la amplitud de vibración. La fuente de vibración más común en maquinaria rotatoria es el desbalance del rotor, éste produce una vibración síncrona con la velocidad de rotación del eje, pero si se observa la señal mediante un transductor, ésta no es una onda senoidal pura, generalmente tiene una forma más compleja que se compone de diferentes frecuencias y una de éstas es la componente síncrona del desbalance. El resto de las frecuencias de la señal de respuesta pueden ser clasificadas como subsíncronas (frecuencias menores a la velocidad de operación del eje) y supersíncronas (frecuencias mayores a la velocidad de operación del eje). Las frecuencias subsíncronas generalmente se atribuyen a la inestabilidad del sistema, éstas amplitudes pueden no ser grandes pero en caso contrario pueden ser más destructivas y difíciles de controlar que los problemas de desbalance [1]. Finalmente es importante aclarar que la inestabilidad rotodinámica es diferente a la velocidad crítica, pues la velocidad crítica se define como la velocidad a la cual la respuesta síncrona al desbalance, alcanza su máxima amplitud cuando la velocidad de rotación y/o sus múltiplos o submúltiplos coinciden con una frecuencia fundamental característica del sistema. Por otra parte la inestabilidad rotodinámica no está relacionada con la respuesta al desbalance ya que mientras la velocidad crítica puede pasarse, la velocidad umbral de estabilidad no puede excederse sin efectos severos.



5.2 Ecuaciones de movimiento para rotores de eje rí gido y flexible. 5.2.1 Modelo de Jeffcott considerando eje rígido. Considere un sistema rotor-chumacera, en el cual se localiza un disco de masa m a la mitad del eje, el sistema está soportado sobre dos chumaceras idénticas. Ver figura 5.1.

Fig. 5.1 Sistema rotor-chumacera simplificado.

Para derivar las ecuaciones de movimiento del sistema, considere pequeños movimientos alrededor de la posición de equilibrio de manera que después de aplicar la segunda ley de Newton es posible escribir [2]:

tSenemYKXKYCXCYm

tCosemYKXKYCXCXm

yyyxyyyx

xyxxxyxx

ωω

ωω2

2

=++++

=++++&&&&

&&&& (5.1)

En forma matricial la ecuación (5.1) puede escribirse como:

[ ] [ ] [ ]

=

+

+

tSen

tCosem

Y

XK

Y

XC

Y

XM ijij ω

ωω 2

&

&

&&

&& (5.2)

donde:

[ ]

=

m

mM

0

0 , [ ]

=

yyyx

xyxx

ij KK

KKK , [ ]

=

yyyx

xyxx

ij CC

CCC . (5.2a)

Para trabjar de manera general, es posible adimensionalizar al sistema (5.2) usando las siguientes sustituciones:

rCXX = , rCXX ω&=′ , rCXX 2ω&&=′′

rCYY = , rCYY ω&=′ , rCYY 2ω&&=′′ , (5.3)

τω =t .

Entonces se puede escribir:



[ ] [ ] [ ]

=

+

′′

+

′′′′

ττ

ωωωSen

Cosem

Y

XKC

Y

XCC

Y

XMC ijrijrr

22 (5.4)

Si ahora se definen los siguientes parámetros adimensionales:

W

mC

F

mCp rr

2

0

22 ωω

== (5.5)

W

KC

F

KCK

ijrijr

ij ==0

(5.6)

W

CC

F

CCC

ijrijr

ij

ωω==

0

(5.7)

Sustituyendo los parámetros anteriores en (5.4) y tomando en cuenta la forma adimensional de los coeficientes rotodinámicos dadas por las ecuaciones (4.33) a la (4.36) del capítulo IV, se obtiene:

[ ] [ ]

=

+

′′

+

′′′′

ττ

Sen

Cos

C

ep

Y

XK

Y

XC

Y

Xp

r

ijij22 ~~ (5.8)

donde:

[ ]

=

yyyx

xyxxij

KK

KKK ~~

~~~ , [ ]

=

yyyx

xyxxij

CC

CCC ~~

~~ (5.8a)

En forma alternativa, la ecuación (5.8) se puede escribir como:

( )( ) τ

τ

SenCepYKXKYCXCYp

CosCepYKXKYCXCXp

ryyyxyyyx

rxyxxxyxx

22

22

~~~~

~~~~

=++′+′+′′

=++′+′+′′ (5.9)

La ecuación (5.9) representa el modelo adimensional que describe el movimiento de un sistema rotor-chumacera con eje rígido. 5.2.2 Modelo de Jeffcott considerando eje flexible. Considere ahora un sistema rotor-chumacera constituido por un eje flexible de rigidez K y un disco de masa m soportado por chumaceras hidrodinámicas idénticas en los extremos (ver figura 5.1). Después de aplicar la segunda ley de Newton es posible escribir [2]:

tCosmeXXkxm ωω 20 )( =−+&&

tSinmeYYkym ωω 20 )( =−+&&

)( 00000 XXkYCXCYKXK xyxxxyxx −=+++ && (5.10)

)( 00000 YYkYCXCYKXK yyyxyyyx −=+++ &&



donde: 2Kk = , las coordenadas: X , Y , 0X ,

0Y son los desplazamientos del centro de masa del disco

y del centro del eje en las chumaceras respectivamente, e es el desbalance residual del disco y ω es

la velocidad angular del rotor. Las ecuaciones (5.10) se pueden escribir es forma adimensional como:

tCosC

epXXkXp

r

ωγ

=−+′′ 2

02 )(

1

tSinC

epYYkYp

r

ωγ

=−+′′ 2

02 )(

1

)(1~~~~

00000 XXYCXCYKXK xyxxxyxx −=′+′++γ

(5.11)

)(1~~~~

00000 YYYCXCYKXK yyyxyyyx −=′+′++γ

donde: kW=δ es la deflexión estática y rCδγ = es la deflexión estática adimensional.

La ecuación (5.11) representa el modelo adimensional que describe el movimiento de un sistema rotor-chumacera con eje flexible. 5.3 El criterio de Routh-Hurwitz. 5.3.1 Introducción En términos matemáticos la inestabilidad dinámica se define como la solución a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de movimiento, caracterizadas por un eigenvalor (valor propio) complejo con parte real positiva. La parte real de un eigenvalor caracteriza el factor de crecimiento o decrecimiento de la solución, la parte imaginaria caracteriza la frecuencia a la que ocurre una oscilación. Existen varios criterios matemáticos para poder predecir si un sistema lineal es estable o no, así también para calcular la velocidad umbral de estabilidad; es decir la velocidad a la cual un sistema cambia su comportamiento dinámico de estable a inestable. En algunos casos como los sistemas de un grado de libertad, se puede determinar la estabilidad a partir de un simple razonamiento físico, en sistemas de dos o tres grados de libertad una concepción física siempre es muy útil pero generalmente no proporciona una interpretación completa del fenómeno. Para sistemas de segundo, tercer o hasta cuarto orden, el criterio de Routh-Hurwitz es una opción más sencilla para realizar un análisis de estabilidad; sin embargo este criterio se vuelve muy complicado para sistemas de grado cada vez mayor [3], [4].



5.3.2 Descripción del criterio de Routh-Hurwitz Para desarrollar el criterio de Routh-Hurwitz, es necesario partir de un polinomio )(λnP el cual se

genera a partir del problema de valores propios en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales. Este polinomio es también llamado polinomio o ecuación característica y es de la forma:

nnn bbbbbP λλλλλ +++++= ...)( 3

32

210 (5.12)

En donde los valores de λ son llamados eigenvalores o valores propios; recordar que solo la parte real (en particular su signo) tiene influencia sobre la estabilidad del sistema. Existen dos condiciones necesarias para determinar la estabilidad: 1.- Todos los coeficientes nbbbb ,...,, 210 del polinomio característico deben tener el mismo signo.

2.- Todos los coeficientes deben ser diferentes de cero. Las condiciones anteriores son solo necesarias pero no suficientes, esto es que el cumplirlas no garantiza la estabilidad del sistema; por lo que únicamente pueden ser utilizadas para identificar sistemas inestables por simple inspección. Las condiciones necesarias y suficientes fueron desarrolladas por Routh y Hurwitz, y se dieron a conocer como Criterio de Routh-Hurwitz, el cual dice lo siguiente: Los coeficientes

nbbbb ,...,, 210 de la ecuación característica (5.12) se utilizan para construir los

determinantes que condicionan la estabilidad, estos son:

011 >=∆ b , 023

012 >=∆

bb

bb ,

0

0

345

123

01

3 >=∆bbb

bbb

bb,

mmmm

m

bbbb

bbb

bbb

bb

..

..........

0..

0..

0..0

322212

345

123

01

−−−

=∆ (5.13)

Routh y Hurwitz establecen que las condiciones suficientes y necesarias para que las raíces

),...3,2,1( mii =λ de la ecuación característica tengan parte real negativa, es que los determinantes

m∆∆∆∆ ,...,,, 321 deben ser positivos. Para mayores detalles acerca del criterio, ver [5]



5.4 El criterio de Lienard-Chipard. Existe una manera de simplificar el análisis de estabilidad de Routh-Hurwitz, pues para polinomios característicos de alto grado el criterio de estabilidad anterior se vuelve muy tedioso. La simplificación se le conoce como el criterio de Lienard-Chipard [5], el cual establece que para un polinomio )(λnP con coeficientes positivos sea estable, es necesario y suficiente que una de las

dos condiciones siguientes se cumplan: 1.- 0,...,0,0,0 12531 >∆>∆>∆>∆ −m

2.- 0,...,0,0,0 22642 >∆>∆>∆>∆ −m

donde

m∆∆∆∆ ,...,,, 321 son determinantes formados por los coeficientes del polinomio de Hurwitz.

Por lo anterior el análisis se simplifica de una manera considerable, ya que al aplicar el criterio de Lienard-Chipard, el número de determinantes por analizar se reduce a la mitad y si se consideran los determinantes impares, el 1∆ simplemente se reduce al análisis de signo. 5.5 Velocidad umbral de estabilidad para rotores rí gidos. Para determinar la estabilidad de un sistema rotor-chumacera con eje rígido, es necesario conocer el modelo matemático correspondiente. En la sección 5.2.1 se encontró que las ecuaciones de movimiento (en forma adimensional) son:

( )( ) τ

τ

SenCepYKXKYCXCYp

CosCepYKXKYCXCXp

ryyyxyyyx

rxyxxxyxx

22

22

~~~~

~~~~

=++′+′+′′

=++′+′+′′ (5.14)

Como la estabilidad de un sistema dinámico depende solo del comportamiento de la ecuación homogénea, para realizar el análisis de Routh-Hurwitz es necesario poner a (5.14) en la forma:

0~~~~

0~~~~

2

2

=++′+′+′′

=++′+′+′′

YKXKYCXCYp

YKXKYCXCXp

yyyxyyyx

xyxxxyxx (5.15)

Para el sistema homogéneo (5.15), es posible proponer soluciones del tipo:

teCX λ1= , teCY λ

2= (5.16)

Sustituyendo las soluciones propuestas en (5.15) se tendrá:

0~~~~

0~~~~

2121222

2121122

=++++

=++++t

yyt

yxt

yyt

yxt

txy

txx

txy

txx

t

eCKeCKeCCeCCeCp

eCKeCKeCCeCCeCp

λλλλλ

λλλλλ

λλλ

λλλ (5.17)



Después de dividir por teλ y agrupar los términos que tienen 1C y 2C , se puede escribir:

0)~~

()~~

(

0)~~

()~~

(

1222

2122

=++++

=++++

CKCCKCp

CKCCKCp

yxyxyyyy

xyxyxxxx

λλλ

λλλ (5.18)

De (5.18) se sabe que para tener soluciones no triviales, es necesario que el determinante del sistema sea cero, por lo que se debe cumplir:

0~~~~

~~~~

22

22

=+++

+++

yyyyyxyx

xyxyxxxx

KCpKC

KCKCp

λλλλλλ (5.19)

Al desarrollar (5.19), se obtiene el polinomio característico de cuarto grado:

44

2

4

23

2

44

)(),()()()(

p

k

p

kc

p

ckp

p

cP

∆+

∆+

∆+Σ+

Σ+= λλλλ (5.20)

donde:

yyxx CCc~~

)( +=Σ , yyxx KKk

~~)( +=Σ ,

xyyxyyxx CCCCc~~~~

)( −=∆ , xyyxyyxx KKKKk

~~~~)( −=∆ , (5.21)

xyyxyxxyxxyyyyxx KCKCKCKCkc~~~~~~~~

),( −−+=∆

Entonces el polinomio (5.20) puede escribirse en la forma:

012

23

34

4 bbbbP ++++= λλλλ , )0( >ib (5.22)

Aplicando el criterio de estabilidad de Lienard-Chipard al polinomio (5.22) se obtiene que para que el sistema sea estable es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones:

[ ] 011 >=∆ b , 0

0

0

34

123

01

3 >

=∆bb

bbb

bb (5.23)

De (5.23) se nota que 01 >∆ , entonces desarrollando a 2∆ se obtiene la condición de estabilidad dada

por:

421

230321 bbbbbbb +> (5.24)

Es importante notar que la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz de la forma 01 >∆ , 02 >∆ , 03 >∆

no conduce a una sola condición de estabilidad del tipo (5.24) pero de estas tres condiciones, dos no son necesarias.



Recordar que la velocidad de estabilidad se define como la velocidad límite en donde el sistema lineal pasa de estable a inestable, por lo que un sistema lineal es estable cuando la parte real de los valores propios de los coeficientes de su matriz característica son negativos. Si la parte real de alguno de los valores propios se vuelve positiva, entonces el sistema tiende a la inestabilidad. En el cambio de negativo a positivo la parte real del valor propio pasa por cero, cuando esto ocurre se obtiene la velocidad umbral de estabilidad. Esta velocidad puede obtenerse de (5.24) haciendo:

421

230321 bbbbbbb += (5.25)

Comparando los coeficientes del polinomio (5.22) con los de (5.20) se puede ver que:

40

)(

p

kb

∆= ,

41

),(

p

kcb

∆= ,

4

2

2

)()(

p

ckpb

∆+Σ= ,

23

)(

p

cb

Σ= (5.26)

Sustituyendo (5.26) en (5.25) y resolviendo para 2p se obtiene la velocidad umbral de estabilidad

para un sistema rotor-chumacera que considera a un rotor de eje rígido, obteniendo:

),()()(),()()(

),()()(22

2

kckckcck

kcccpumb

∆ΣΣ−∆+Σ∆

∆∆Σ= (5.27)

La ecuación (5.27) calcula en forma directa la velocidad umbral de estabilidad para una configuración de eje rígido del modelo de Jeffcott, que está soportado por chumaceras hidrodinámicas flexibles. 5.5.1 Umbral de estabilidad para una chumacera pres urizada en la parte superior. (L/D)=1/4. Para el caso de una chumacera corta no presurizada, es posible encontrar la velocidad umbral de estabilidad pues se conocen los coeficientes rotodinámicos totales (los cuales están dados en las tablas 4.2 y 4.4 del capítulo IV). Considere ahora el caso en el cual se inyecta lubricante en la parte central superior de la chumacera, en donde 0=a y πβ = (ver figura 3.8 del capítulo III), ahora basta calcular los coeficientes

rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento (los cuales se determinaron en la tabla 4.5 del capítulo IV) que al sustituirlos en (5.27) se obtiene la velocidad umbral de estabilidad. Es muy importante destacar que al incrementar la fuerza de presurización (al inyectar lubricante en la parte superior de la chumacera), la excentricidad de equilibrio también está cambiando (en este caso va aumentando con el aumento de la presurización). En la tabla 5.1 se muestran los valores de 2

umbralP para diversos valores de fuerza de presurización,

acompañado de los nuevos cambios de excentricidad correspondientes; recordar que en el capítulo III se encontraron las nuevas posiciones de equilibrio de una chumacera presurizada, éstas están resumidas en la tabla 3.2.



Tabla 5.1. Valores de excentricidad de equilibrio )(ε y velocidad umbral de estabilidad )( 2umbP para diferentes fuerzas de

presurización )( prtf , dado un número de Sommerfeld. Inyección superior. 41 /DL = .

5.0=S 8.0=S 1=S 5.1=S 2=S 3=S 5=S

prtf ε 2umbP ε 2

umbP ε 2umbP ε 2

umbP ε 2umbP ε 2

umbP ε 2umbP

0 0.7072 14.588 0.6375 8.232 0.599 7.277 0.5245 6.546 0.466 6.411 0.3793 6.524 0.2720 6.900 1 0.7074 14.732 0.6379 8.284 0.600 7.328 0.5252 6.581 0.467 6.446 0.3803 6.564 0.2732 6.955 5 0.7085 15.410 0.6395 8.496 0.602 7.497 0.5278 6.721 0.470 6.586 0.3844 6.726 0.2779 7.173 10 0.7099 16.345 0.6415 8.772 0.604 7.704 0.5309 6.897 0.474 6.762 0.3893 6.925 0.2035 7.911 20 0.7125 18.481 0.6452 9.348 0.609 8.162 0.5369 7.255 0.481 7.113 0.3984 7.318 0.2940 7.961 50 0.7197 28.954 0.6554 11.38 0.620 9.620 0.5526 8.387 0.500 8.191 0.4218 8.474 0.3217 9.436 100 0.7302 161.87 0.6696 16.39 0.637 12.86 0.5738 10.57 0.524 10.14 0.4523 10.43 0.3573 11.77

Notar de la tabla 5.1 que los valores de excentricidad van aumentando conforme se incrementa la fuerza de presurización, y por lo tanto a cada valor de excentricidad le corresponde un conjunto de coeficientes rotodinámicos con su correspondiente velocidad umbral de estabilidad. En la figura 5.2 se muestra la velocidad umbral de estabilidad como función del número de Sommerfeld para determinados valores de la fuerza de presurización, esta figura se obtuvo utilizando los datos de la tabla 5.1. Observar que cuando se incrementa la presurización externa la velocidad de estabilidad también crece, lo que significa que la inyección de lubricante pospone la inestabilidad del sistema, por tanto la inyección de lubricante es aconsejable si se desean atenuar las vibraciones de amplitud insostenible.

Fig.5.2. Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor rígido soportado por chumaceras

cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización. 41 /DL = .



Estos resultados son de gran importancia pues actualmente en compañías que manejan turbomaquinarias, la adición de presión externa la realizan en casos extremos de grandes amplitudes vibracionales, con la incertidumbre de saber si la inestabilidad se podrá controlar pues la inyección de lubricante la han venido realizando en puertos no necesariamente ubicados en la posición superior vertical de la chumacera. En la figura 5.3 se muestra el comportamiento de la velocidad umbral como función de la fuerza de presurización. Ésta permite ver lo que ocurrirá si un sistema rotor-chumacera trabajando a velocidad constante (Sommerfeld fijo) se presuriza externamente. Como puede verse la inestabilidad se pospone aún si la velocidad de operación no cambia, pero este retraso de la inestabilidad se incrementa para velocidades de operación pequeñas (números de Sommerfeld pequeños); caso contrario para altas velocidades (números de Sommerfeld grandes) en donde la velocidad de estabilidad sufre incrementos menos considerables.

Fig.5.3. Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor rígido soportado por chumaceras cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld. 41 /DL = .

5.5.2 Umbral de estabilidad para una chumacera pres urizada en la parte inferior. (L/D)=1/4.

Si ahora se inyecta lubricante en la parte inferior central de la chumacera, 0=a y 0=β (ver figura 3.8

del capítulo III), al igual que en el caso anterior, basta calcular los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento (los cuales se determinaron en la tabla 4.6 del capítulo IV) y posteriormente sustituirlos en (5.27) para encontrar la velocidad umbral de estabilidad [8].



En la tabla 5.2 aparecen los valores de 2umbP para diversos valores de fuerza de presurización,

acompañado de los nuevos cambios de excentricidad (tomados de la tabla 3.4 en el capítulo III). Notar que los valores de excentricidad van disminuyendo conforme se incrementa la fuerza de presurización, esto es de esperarse pues al inyectar lubricante en la parte inferior el muñón tiende a subir su posición de equilibrio; lo anterior será cierto para fuerzas de presurización 128<prtf , pues

para fuerzas mayores el rotor se ubicará por encima del centro geométrico de la chumacera y entonces la excentricidad de equilibrio aumentará.

Tabla 5.2. Valores de excentricidad de equilibrio )(ε y velocidad umbral de estabilidad )( 2umbP para diferentes fuerzas de

presurización )( prtf , dado un número de Sommerfeld. Inyección inferior. 41 /DL =

5.0=S 1=S 2=S 3=S 5=S

prtf ε 2umbP ε 2

umbP ε 2umbP ε 2

umbP ε 2umbP

0 0.707 14.58 0.6000 7.295 0.4669 6.411 0.3793 6.524 0.2727 6.898 1 0.695 15.69 0.5933 7.257 0.4620 6.389 0.3763 6.512 0.2699 6.896 5 0.657 28.50 0.5685 7.781 0.4465 6.317 0.3644 6.417 0.2616 6.876 10 0.619 65.12 0.5409 7.233 0.4278 6.242 0.3500 6.420 0.2512 6.846 20 0.558 39.23 0.4923 6.889 0.3926 6.075 0.3217 6.303 0.2310 6.757 50 0.419 4.492 0.3711 4.616 0.2950 5.201 0.2407 5.651 0.1708 6.176 100 0.210 1.273 0.1774 2.013 0.1297 2.818 0.0995 3.187 0.0714 3.441

En la figuras 5.4, y 5.5 aparecen graficados los datos de la tabla 5.2 con su correspondiente tendencia. A partir de 5.4 se puede ver que ahora el incremento de la presurización produce una disminución de la velocidad umbral de estabilidad, por tanto la inyección inferior de lubricante anticipa la inestabilidad (caso contrario a la presurización superior), notar que para un valor de fuerza de 100=prtf , el umbral es muy bajo para excentricidades pequeñas. Esto hace pensar que para

una fuerza de presurización 128=prtf , se esperaría una línea horizontal con velocidad umbral de

estabilidad igual a cero; es decir que cuando el rotor se ubique en el centro geométrico de la chumacera ( 0=ε ), éste será el punto más inestable del sistema. Lo mencionado en el párrafo anterior permite concluir que la presurización en la parte inferior de la chumacera no es recomendable para estabilizar un sistema rotatorio, siempre y cuando la presurización no sea considerablemente grande como para “levantar” al rotor por encima del centro de la chumacera. La figura 5.5 muestra la conducta de la velocidad umbral de estabilidad como función de la fuerza de presurización para determinados valores de número de Sommerfeld; es decir que si un equipo rotatorio mantiene una velocidad constante, la inyección de lubricante desarrolla velocidades de estabilidad cada vez más pequeñas. Entonces la presurización no es recomendada.



Fig.5.4 Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor rígido soportado por chumaceras

cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización.

Fig.5.5 Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor rígido soportado por chumaceras cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld.



5.6 Velocidad umbral de estabilidad para rotores f lexibles. En la sección 5.5.2 se encontró el modelo matemático de un sistema rotor chumacera con eje flexible (5.11) para analizar la estabilidad, considere únicamente el sistema homogéneo [2]:

0)(1

02 =−+′′ XXkXp

γ

0)(1

02 =−+′′ YYkYp

γ

0~~~~

0000 =′+′++ YCXCYKXK xyxxxyxx (5.28)

0

~~~~0000 =′+′++ YCXCYKXK yyyxyyyx

Procediendo de igual forma que en la sección 5.5, es posible escribir el polinomio característico del sistema (5.28), el cual será de sexto grado de la forma:

[ ] +

∆+Σ+∆++∆Σ+∆

2

242526 )(2)()(1),()()(

p

ckkkccc γγγλγγλγλ

0)(),()(

2)()(),(

2)(

44242

2

22

3 =∆

+∆

+

∆+

∆+

Σ+

∆+

Σ

p

k

p

kc

p

k

p

c

p

k

p

kc

p

cλγλγλ (5.29)

O bien de manera alternativa se puede escribir a (5.29) como:

012

23

34

45

56

66 bbbbbbbP ++++++= λλλλλλ , )0( >ib (5.30)

Formando la matriz de Hurwitz con los coeficientes del polinomio (5.30) y aplicando el criterio de Lienard-Chipard se encuentra que para que el sistema sea estable deben cumplirse las siguientes condiciones [6],[7],[8]:

[ ] 011 >=∆ b (5.31)

0

0

345

123

01

3 >

=∆bbb

bbb

bb (5.32)

0

000

0

0

000

56

3456

12345

0123

01

5 >

=∆

bb

bbbb

bbbbb

bbbb

bb

(5.33)



de (5.32) y (5.33) se obtiene:

421

230510321 bbbbbbbbbb +>+ (5.34)

++++ 6

330

25410

2532054321 2 bbbbbbbbbbbbbbbb

+++>+ 25

2215

24

2154

230652

21643

21 2 bbbbbbbbbbbbbbbbbb (5.35)

26

3165310

2321

35

20 3 bbbbbbbbbbbb +++

comparando los coeficientes de (5.29) y (5.30) se obtiene:

)(26 cb ∆= γ (5.36a)

),()( 25 kccb ∆Σ= γγ (5.36b)

2

24

)(2)()(1

p

ckkb

∆+Σ+∆+= γγγ (5.36c)

223

),(2

)(

p

kc

p

cb

∆+

Σ= γ (5.36d)

2422

)(2

)()(

p

k

p

c

p

kb

∆+

∆+

Σ= γ (5.36e)

41

),(

p

kcb

∆= (5.36f)

40

)(

p

kb

∆= (5.36g)

sustituyendo las ecuaciones del sistema (5.36) en la condición (5.34) se tiene:

>Σ∆

+ΣΣ∆

+Σ∆∆

8

2

810

)(),()()(),()(),()(

p

kkc

p

kckc

p

ckcc γ

8

2

88

2 )()()()(),(),(

p

ck

p

ckkc

p

kc Σ∆+

Σ∆∆+

∆ γ (5.37)

De (5.37) se encuentra la velocidad umbral de estabilidad, la cual queda expresada como:

),()()(),()()(

)(),()(22

2

3

kckckcckA

ckccpumb

∆ΣΣ−∆+Σ∆+

Σ∆∆= (5.38)



donde:

[ ])(),()()(),( 2 kkcckkcA Σ∆−Σ∆∆= γ

Observar que el segundo miembro de (5.38) es exactamente el mismo que el de (5.27) con la única diferencia que en (5.38) incluye el término A . Por tanto, se puede decir que si A es positiva para diferentes valores de flexibilidad entonces la velocidad umbral calculada mediante (5.38) debe ser menor que la calculada por (5.27) para rotor rígido. De la misma manera si ahora se utiliza la condición de estabilidad (5.35) y los coeficientes dados por las ecuaciones (5.36), se encuentra una segunda condición de estabilidad que debe satisfacer a la siguiente desigualdad:

>ΣΣ∆

+ΣΣ∆

+Σ∆∆

8

2

8

22

10

2 )()(),()()(),()(),()(

p

kckc

p

kckc

p

ckcc γγγ

8

3

8

22

8

2

8

32 )()()()(),()(),(),(

p

ck

p

ckkc

p

ckc

p

kc Σ∆+

Σ∆∆+

Σ∆+

∆ γγγγ (5.39)

nuevamente, transformando la desigualdad (5.39) en igualdad y despejando 2p se obtiene una

segunda expresión para la velocidad umbral, que está expresada como:

),()()()()()(),(1

)(),()(232

22

5

kckcckckcA

ckccpumb

∆ΣΣ−Σ∆+Σ∆+

Σ∆∆= (5.40)

donde:

[ ])()(),()()(),(),(1 223 kckcckkckcA ΣΣ∆−Σ∆∆+∆= γ

Notar que cuando se sustituye 0=γ (rotor rígido) en las expresiones (5.38) o (5.40), éstas se reducen

a la expresión para el cálculo de la velocidad umbral de estabilidad (5.27) para rotores rígidos. Por tanto, el uso de (5.38) o (5.40) será suficiente para encontrar la velocidad umbral. 5.6.1 Umbral de estabilidad para una chumacera pres urizada en la parte superior.(L/D)=1/4 De igual manera que en el caso de rotor rígido se tiene: 0=a y πβ = , y por tanto la velocidad umbral

de estabilidad puede calcularse fácilmente, pues solo es necesario encontrar los coeficientes rotodinámicos correspondientes (los cuales se determinaron en la tabla 4.5 del capítulo IV) y posteriormente sustituirlos en (5.38) ó (5.40). Como en los casos anteriores, al incrementar la fuerza de presurización la excentricidad de equilibrio también está cambiando (en este caso va disminuyendo con el aumento de la presurización). En la tabla 5.3 se muestran los valores de 2

umbralP para diversos valores de fuerza de presurización y

flexibilidad del eje, acompañado de los nuevos cambios de excentricidad correspondientes.



Tabla 5.3. Valores de excentricidad de equilibrio )(ε y velocidad umbral de estabilidad )( 2

umbP para diferentes fuerzas

de presurización )( prtf , y flexibilidad del eje )(γ dado un número de Sommerfeld. Inyección superior. 41 /DL = .

8.0=S 1=S 2=S 3=S

prtf ε 1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP ε

1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP ε

1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP ε

1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP

0 0.6375 8.894 32.16 0.599 7.464 9.697 0.466 6.027 3.917 0.3793 5.924 3.240 1 0.6379 8.964 34,26 0.600 7.527 9.973 0.467 6.065 3.956 0.3803 5.963 3.269 5 0.6395 9.251 46.24 0.602 7.735 10.83 0.470 6.211 4.104 0.3844 6.121 3.384 10 0.6415 9.631 81.37 0.604 7.991 12.01 0.474 6.396 4.303 0.3893 6.317 3.531 20 0.6452 10.46 0.609 8.569 15.62 0.481 6.770 4.720 0.3984 6.709 3.837 50 0.6554 13.58 0.620 10.50 61.46 0.500 7.954 6.313 0.4218 7.896 4.891 100 0.6696 23.45 0.637 15.48 0.524 10.23 11.13 0.4523 10.02 7.418

En las figuras 5.6 y 5.7 (las cuales fueron elaboradas a partir de la tabla 5.3), se aprecian las velocidades umbrales de estabilidad como función del número de Sommerfeld, para dos valores de flexibilidad del eje dados. Lo anterior se obtiene cuando se utiliza la ecuación (5.38). Observar que el comportamiento en el caso de ejes flexibles es similar al rígido, es decir que la presurización pospone la inestabilidad del sistema rotatorio.

Fig.5.6. Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor flexible ( 10.=γ ) soportado por

chumaceras cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización.



Fig.5.7. Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor flexible ( 1=γ ) soportado por

chumaceras cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización.

En las figuras 5.8 y 5.9 se muestra una comparación de las velocidades umbrales de dos rotores de diferente flexibilidad trabajando a la misma velocidad de operación (número de Sommerfeld fijo y pequeño), notar que la flexibilidad hace que aparezcan velocidades de estabilidad cada vez más grandes.

Fig. 5.8. Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor flexible soportado por chumaceras

cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld.




cortas con inyección superior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld

Por otra parte, en las figuras 5.10 y 5.11 se muestran las velocidades umbrales de dos rotores de diferente flexibilidad trabajando ahora a una velocidad mayor (número de Sommerfeld fijo y grande). Observar que la conducta cambia drásticamente respecto de las figuras anteriores, pues al incrementar la velocidad de operación el eje experimenta un efecto rigidizante, el cual hace que disminuya la velocidad de estabilidad. Sin embargo este efecto será neutralizado a medida que se incremente la fuerza de presurización (ver el cruce de las gráficas en la figura 5.10). En la figura 5.11 se espera que el cruce entre estas curvas ocurra cuando la fuerza de presurización sea bastante grande.







5.6.2 Umbral de estabilidad para una chumacera pres urizada en la parte inferior. (L/D)=1/4. En este caso se tiene: 0=a y 0=β , entonces pueden calcularse coeficientes rotodinámicos y la

velocidad umbral correspondiente al caso de inyección inferior. En la tabla 5.4 se muestran los valores de 2

umbralP para diversos valores de fuerza de presurización y flexibilidad del eje, acompañado

de los nuevos cambios de excentricidad correspondientes. Tabla 5.4. Valores de excentricidad de equilibrio )(ε y velocidad umbral de estabilidad )( 2

umbP para diferentes fuerzas de

presurización )( prtf , y flexibilidad del eje )(γ dado un número de Sommerfeld. Inyección Inferior. 41 /DL =

2=S 3=S 5=S

prtf ε 1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP ε

1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP ε

1.0

2: =γumbP

1

2: =γumbP

0 0.4669 6.030 3.928 0.3793 5.924 3.240 0.2720 6.051 2.871 1 0.4620 6.010 3.918 0.3763 5.910 3.225 0.2699 6.041 2.855 5 0.4465 5.958 3.940 0.3644 5.859 3.165 0.2616 5.998 2.789 10 0.4278 5.908 3.987 0.3500 5.797 3.094 0.2512 5.938 2.707 20 0.3926 5.786 4.052 0.3217 5.656 2.940 0.2310 5.793 2.535 50 0.2950 4.873 3.109 0.2407 4.899 2.229 0.1708 5.063 1.931 100 0.1297 2.165 0.701 0.0995 2.353 0.701 0.0714 2.477 0.703

En las figuras 5.12 y 5.13 (las cuales fueron elaboradas a partir de la tabla 5.4), se aprecian las velocidades umbrales de estabilidad como función del número de Sommerfeld para dos valores de flexibilidad del eje dados. Nótese que la velocidad umbral de estabilidad alcanza valores cada vez más pequeños al incrementar la fuerza de presurización. Al igual que en los rotores rígidos, la presurización inferior anticipa la inestabilidad del sistema rotatorio a medida que aumenta la flexibilidad del eje.



Fig.5.12. Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor flexible ( 1.0=γ ) soportado por

chumaceras cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización.

Fig.5.13. Velocidad umbral de estabilidad contra el número de Sommerfeld para un rotor flexible ( 1=γ ) soportado por

chumaceras cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de fuerza de presurización.

En las figuras 5.14, 5.15 y 5.16 se muestran la velocidad de estabilidad para dos valores dados de flexibilidad del eje, suponiendo que el sistema rotor-chumacera gira a una velocidad de operación constante (número de Sommerfeld fijo). Observar que en todas las figuras presentadas se aprecia una disminución de la velocidad umbral (con respecto a la fuerza de presurización), se puede concluir que la combinación de la flexibilidad del eje y el incremento de la fuerza de presurización, dan como resultado la aparición temprana de la inestabilidad.



Fig 5.14. Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor flexible soportado por chumaceras cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld.

Fig 5.15. Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor flexible soportado por chumaceras

cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld.



Fig 5.16. Velocidad umbral de estabilidad contra fuerza de presurización para un rotor flexible soportado por chumaceras

cortas con inyección inferior de lubricante, para diferentes valores de número de Sommerfeld.

Es importante destacar que los resultados presentados en este capítulo son de importancia fundamental, pues no solo se encontraron resultados cualitativos acerca de la tendencia de un sistema rotor-chumacera al ser presurizado externamente, sino que también se tienen resultados que cuantifican estos incrementos o decrementos de la velocidad de estabilidad. Lo anterior hace que se puedan predecir valores umbrales para un sistema que cumpla con la característica de tener chumaceras cortas. 5.7 Comparación numérica-analítica de los coeficien tes rotodinámicos presurizados. Inyección superior . 5.7.1 Introducción. Hasta el momento se han determinado de forma analítica los coeficientes rotodinámicos debidos a una presurización externa en una chumacera corta, así como se han calculado las velocidades umbrales de estabilidad; sin embargo no se conoce la precisión de estos resultados por lo que en esta sección se realizará una comparación de los resultados numéricos usando el programa CHUMA, desarrollado por los profesores A. Dimarogonas y J.C. Goméz- Mancilla [9], con respecto a los obtenidos hasta el momento de manera analítica. Recordar que el modelo analítico modifica la ecuación básica de la teoría de lubricación de Reynolds, introduciendo una función generalizada de tipo espacial (Delta de Dirac) que por sus propiedades, facilita los cálculos analíticos y permite obtener los campos de presión, las nuevas posiciones de equilibrio y los coeficientes rotodinámicos de rigidez y amortiguamiento como función de la presurización externa. La comparación se realiza para diversos valores de fuerza de presurización y a diferentes velocidades de operación. Asimismo para cada caso se calcula la velocidad umbral de estabilidad, la cual integra los valores de todos los coeficientes rotodinámicos.



5.7.2 El programa CHUMA. El programa CHUMA [9], [10] resuelve la ecuación de Reynolds utilizando el método del elemento finito para determinar los valores nodales de presión en la película del lubricante de la chumacera, y posteriormente se calculan los coeficientes rotodinámicos usando diferencias finitas; asimismo determina los valores de excentricidad y ángulo de equilibrio. Vale la pena decir que la comparación se hará cuando se inyecta lubricante en la parte superior de la chumacera, pues el programa solo permite este caso de análisis. En las figuras 5.17 y 5.18 se muestran: la malla utilizada en el programa (la cual representa la película de lubricante desenvuelta en un plano) y el campo de presión resultante.

Fig 5.17. Malla de tamaño 22x10 nodos, utilizada por el programa CHUMA

Fig. 5.18 Campo de Presión resultante de la solución numérica (programa CHUMA).

5.7.3 Comparación de coeficientes directos de rigi dez y amortiguamiento. Cuando se presuriza la chumacera en su parte superior o inferior, los nuevos valores de rigidez y amortiguamiento en la película de aceite se ven modificados respecto a los valores conocidos en la inyección clásica. Sin embargo como se encontró en el capítulo IV (tablas 4.5 y 4.6), el cálculo analítico de los coeficientes rotodinámicos presurizados indica que únicamente los coeficientes directos de rigidez, amortiguamiento y el coeficiente acoplado de



amortiguamiento se ven modificados. Los restantes continúan con sus valores habituales del caso clásico (no presurizado). En las figuras 5.19 a la 5.24, aparecen las comparaciones de los coeficientes directos de rigidez y amortiguamiento para determinados valores de fuerza de presurización con respecto a los resultados obtenidos numéricamente (usando CHUMA). Las curvas continuas, representan las soluciones analíticas, mientras que los puntos corresponden a las numéricas [11]. Recordar que esta comparación se realiza cuando se presuriza en la parte superior de la chumacera.

20=prtf

Fig. 5.19 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de rigidez. Los puntos representan la solución

numérica. Inyección superior.

Fig. 5.20 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de amortiguamiento. Los puntos representan la

solución numérica. Inyección superior



50=prtf

Fig. 5.21 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de rigidez. Los puntos representan la solución numérica. Inyección superior

Fig. 5.22 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de amortiguamiento. Los puntos representan la solución numérica. Inyección superior



100=prtf

Fig. 5.23 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de rigidez. Los puntos representan la solución numérica. Inyección superior

Fig. 5.24 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente directo (vertical) de amortiguamiento. Los puntos representan la


Como puede verse en las figuras anteriores, la aproximación del modelo presurizado es bastante buena, pues la tendencia marcada con la curva continua es muy similar a la tendencia numérica indicada con los puntos. Observar que en la rigidez vertical los resultados son muy aproximados, principalmente cuando el sistema rotatorio trabaja a velocidades de bajas a moderadas (números de Sommerfeld



pequeños). Por otra parte los resultados en el amortiguamiento vertical son aún mejores, pues no solo la tendencia es similar; sino que las diferencias (en cuanto valor absoluto se refiere) son aún más pequeñas que en las encontradas de rigidez vertical. 5.7.4 Comparación de coeficientes acoplados de amor tiguamiento. En las figuras 5.25, 5.26 y 5.27 se muestran la comparación de los coeficientes acoplados de amortiguamiento. Al igual que en las figuras anteriores los valores marcados con puntos representan las soluciones numéricas y la línea continua se obtiene del cálculo analítico.

20=prtf

Fig. 5.25 Comparación Analítica-Numérica del coeficiente acoplado de amortiguamiento. Los puntos representan la


50=prtf





Como se puede notar en las figuras 5.25 y 5.26, al igual que en las rigideces y amortiguamientos directos, en los amortiguamientos acoplados las tendencias son muy similares. Por otra parte es importante destacar lo que ocurre en la figura 5.27, pues ahora la comparación indica que para valores grandes de presurización (en este caso 100=prtf ), las diferencias

comienzan a ser mas marcadas para valores pequeños de excentricidad (como ocurrió en la rigidez vertical). Ver figura 5.23

100=prtf



La comparación analítica-numérica de los coeficientes rotodinámicos (en este capítulo) y posiciones de equilibrio (en el capítulo III), permiten establecer lo confiable que resulta ser el modelo presurizado presentado en este trabajo. Sin embargo el analizar en forma independiente las diferencias encontradas entre los valores analíticos y numéricos de las rigideces y amortiguamientos, no permiten establecer el cambio real del sistema rotatorio cuando se presuriza; es decir que el cambio de la rigidez o el amortiguamiento por si solo no proporcionan un indicador de la conducta en la operación de la turbomáquina, por lo que es necesario encontrar un parámetro que agrupe a todos los coeficientes rotodinámicos y así determinar el impacto real de la presurización externa. Recordar que al inicio de este capítulo, se determinó la velocidad umbral de estabilidad en forma analítica, la cual depende directamente de los valores en los coeficientes rotodinámicos. Por tanto, el cálculo de este parámetro de estabilidad usando los coeficientes rotodinámicos numéricos y analíticos respectivamente, permitirán investigar el real impacto de la presurización en el comportamiento de un sistema rotatorio. A continuación se presentan los valores de la velocidad umbral de estabilidad usando la expresión (5.27), en la cual se sustituyen los coeficientes rotodinámicos analíticos (Tabla 4.5 del capítulo IV) y los obtenidos de manera numérica (usando CHUMA), los resultados obtenidos se calcularon para diversos valores de número de Sommerfeld y fuerza de presurización. La inyección de lubricante se realiza en la parte central superior de la chumacera,



Tabla 5.5. Comparación analítica-numérica de la velocidad umbral de estabilidad para diversos números de Sommerfeld.

Inyección superior. 41 /DL = .

20=prtf


Velocidad Umbral CHUMA Analítico Diferencia Pumb 2.8934 2.8216 2.48%





Tabla 5.6. Comparación analítica-numérica de la velocidad umbral de estabilidad para diversos números de Sommerfeld. Inyección superior. 41 /DL = .

50=prtf





CHUMACERA PRESURIZADA S= 8 ω = 6621.89 rad/s fprt = 50 (4 puntos: P = 250000 Pa, c/u)








Tabla 5.7. Comparación analítica-numérica de la velocidad umbral de estabilidad para diversos números de Sommerfeld. Inyección superior. 41 /DL = .

100=prtf


S= 2 ω = 1655.47 rad/s fprt = 100 (4 puntos: P = 400000 Pa, c/u)





S= 8 ω = 6621.89 rad/s fprt = 100 (4 puntos: P = 400000 Pa, c/u)




En la tablas anteriores se puede observar que las diferencias entre los cálculos analíticos y numéricos no son grandes, pues las variaciones porcentuales están entre 2.3% hasta 15.2% en el peor de los casos, por lo que el modelo de presurización presentado en este trabajo se puede considerar confiable para los análisis dinámicos que se requieran. Para ilustrar mejor lo anterior, en la figura 5.28 se presenta el comportamiento de la comparación entre los valores analíticos y numéricos de la velocidad umbral de estabilidad para una fuerza de presurización 50=prtf . Esta gráfica se obtuvo a partir de los valores de la tabla 5.6.

Fig. 5.28 Comparación Analítica-Numérica de la velocidad umbral de estabilidad para un valor dado de la fuerza de

presurización.



Referencias [1] Gómez Mancilla J.C. “Steam whirl instability in Rotating shafts”. Disertation Doctoral, Washington University 1993. [2] Childs, D. (1993), “Turbomachinery Rotordynamics: Phenomena, Modeling, and Analysis,” John Wiley and Sons, Inc. New York. [3] Krasnov, Kiselev, Makarenko (1983), “Funciones de Variable Compleja, Cálculo Operacional, Teoría de la Estabilidad”, Ed Mir Moscú. [4] Afanasiev, V.H., Kolmanovskii, V. B., Nosov, V. R. (1996), “Mathematical Theory of Control Sistems Design”, Kluwier Academic Publishers. [5] Demidovich, B. (1967),”Lectures on the Mathematical Theory of Stability”, Nauka Moscow. [6] Antonio García, A., Nosov, V. R., Gómez Mancilla J.C., (2002) “ Cálculo de la Velocidad Umbral de Estabilidad utilizando configuraciones del modelo Jeffcott para rotores de eje rígido y flexible”. 3° Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas IPN. [7].Gómez-Mancilla, Nosov V.R, Silva Navarro G. J. (2005), “Stability Performance comparison of Rotor-Bearing Systems supported on conventional and Hybrid Journal Bearings”, International Journal of Rotating Machinery, No. 1, pp 16-22. [8] Ramírez Vargas I., Nosov V. R., Gómez Mancilla, J. C., (2005). “Cálculo de la velocidad umbral de estabilidad utilizando chumaceras cortas con puertas puntuales de presión”. IV Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas IPN. [9] Gómez Mancilla, J.C. (1996) “MAQUI/CHUMA/FFT”. Patente. Clave SEP-86441. [10] Dimarogonas, A. D. and Gómez Mancilla, J.C. (1996) “CHUMA”, User´s Manual. Patente, Clave SEP-86441. [11] Ramírez Vargas, I., Gómez Mancilla, J.C., Nosov, V.R. (2006), “Validación de los coeficientes rotodinámicos analíticos y numéricos de una chumacera corta presurizada”, 9° congreso nacional de ingeniería electromecánica y de sistemasMéxico D.F.



CONCLUSIONES

1.- El uso de la función Delta de Dirac en Rotodinámica, permite modelar la presurización externa en forma simplificada. El modelo resultante es elegante y permite determinar todas las característica rotodinámicas de una chumacera. Aún cuando la función de Dirac fue creada para resolver problemas a nivel microscópico (en mecánica cuántica), el concepto de fuerza de presurización permitió adaptarla muy bien en este trabajo; esta idea permite argumentar que aunque la presión sería infinita para el punto de aplicación de la función Delta, la fuerza de presión tendrá un valor constante ya que el puerto de inyección es puntual. 2.- El análisis y la determinación del rango de aplicación de una chumacera corta, permiten con seguridad utilizar esta aproximación para predecir conductas en equipos rotatorios. Cabe mencionar que es la primera vez que se reportan cuantitativamente resultados de comparación entre valores analíticos y numéricos. Se puede asegurar que además del valor que tenga la relación entre la longitud axial y el diámetro de la chumacera, es indispensable conocer la excentricidad de trabajo. Se concluye que de los tres criterios presentados, el de la comparación de integrales de los módulos en la ecuación de Reynolds es el más adecuado. 3.- La solución del modelo presurizado (con ayuda de las propiedades de la función Delta), permite encontrar la presión resultante, que aunque depende de la función de Dirac, se puede usar una aproximación para ver cualitativamente el comportamiento de la presión en la película de lubricante. 4.- El desarrollo completo presentado en este trabajo, para el cálculo tanto de las fuerzas de la película del lubricante como de la posición de equilibrio en una chumacera presurizada, servirá de base para cualquier análisis de chumaceras hidrodinámicas, pues actualmente la literatura no muestra en detalle estos cálculos. 5.- En el cálculo de la posición de equilibrio, la dependencia entre la excentricidad y el ángulo de attitud en una chumacera presurizada en su parte superior o inferior, tiene la misma expresión que en una chumacera clásica (no presurizada). Lo anterior se verifica pues aunque la expresión matemática que las relaciona es la misma, la excentricidad y el ángulo de equilibrio tendrán valores diferentes con la adición externa de presión. 6.- La obtención cuantitativa de las nuevas posiciones de equilibrio del rotor es de gran importancia, pues permitirá predecir con exactitud su ubicación si se presuriza en su parte superior e inferior, estos resultados son necesarios para encontrar los nuevos coeficientes de rigidez y amortiguamiento (que dependen de la posición de equilibrio) cuando el rotor tenga alguna posición determinada. Asimismo serán útiles (los valores de la posición de equilibrio) para encontrar la velocidad umbral de estabilidad. Una de las ventajas más importantes de los resultados obtenidos en el capítulo III es que las nuevas posiciones de equilibrio se presentan en forma de tablas, como función del número de Sommerfeld y de la fuerza de presurización externa, lo que los hace más manejables y facilita su ubicación; es decir que para una determinada velocidad de operación y una fuerza de presurización externa dada, existe una y solo una posición de equilibrio.



7.- El análisis de la posición de equilibrio cuando se presuriza en la parte inferior de la chumacera es más sensible, pues si no se controla la intensidad de la fuerza de presurización, se corre el riesgo de introducir presiones de gran tamaño, las cuales propicien que el rotor suba, pase por el centro geométrico de la chumacera y posteriormente se ubique en el tercer cuadrante del sistema de coordenadas, ver fig. 3.13. En este trabajo se concluye que para que el rotor se ubique en el centro geométrico de la chumacera, la fuerza de presurización debe tener una magnitud adimensional de: ( )28 LDf prt = . Ver fig 3.20.

8.- La comparación de los resultados analíticos y numéricos (usando CHUMA) de las nuevas posiciones de equilibrio muestran que las diferencias son pequeñas (entre 0.51% y 8% para excentricidades, y entre 0.65% y 3.3% para el ángulo de equilibrio). Lo anterior implica que el nuevo modelo de presurización puede ser considerado como confiable para estos cálculos. 9.- En el capítulo IV, aparece un desarrollo completo para la determinación en forma analítica de los coefiecientes rotodinámicos en una chumacera presurizada. Este desarrollo es de gran utilidad, pues solo es necesario incorporar la función de presión en las ecuaciones correspondientes para que de inmediato, se proceda a encontrar las rigideces y amortiguamientos en la película del lubricante. 10.- Se encontraron por primera vez en la literatura, los coeficientes rotodinámicos en forma analítica de la película de lubricante, los cuales se ven modificados por la adición externa de presión. Lo anterior permite investigar su tendencia como función de la excentricidad de equilibrio para determinados valores de fuerza de presurización. La presurización superior hace que tanto el coeficiente de rigidez como el de amortiguamiento en la dirección vertical, incremente su valor a medida que se presuriza la chumacera. Asimismo, el coeficiente acoplado de amortiguamiento disminuye considerablemente con la adición de presión, hasta el grado que para fuerzas de presión bastante grandes, aparecen regiones en donde el amortiguamiento cambia de signo (para valores pequeños de excentricidad). Por otra parte, el incremento de la presurización inferior hace que la rigidez vertical incremente su valor, pero el amortiguamiento vertical disminuye al presurizar e inclusive aparecen porciones de excentricidad en las cuales este coeficiente cambia de signo, haciendo que el efecto disipador de energía pueda convertirse en una autoexcitación. 11.- En el capítulo V se determina en forma analítica, la velocidad umbral de estabilidad mediante el criterio de Lienard-Chipard. Para rotores rígidos y flexibles se encuentra que cuando se incrementa la presurización superior, la velocidad de estabilidad también crece, lo que significa que la inyección del lubricante pospone la inestabilidad del sistema. Por lo tanto la inyección de lubricante en la parte superior, es aconsejable si se desean atenuar las vibraciones de amplitud insostenible. Caso contrario es lo que ocurre cuando se presuriza en la parte inferior, pues ahora la velocidad de estabilidad decrece, haciendo que la inyección inferior anticipe la inestabilidad. Por tanto esta forma de presurizar no será aconsejable.



12.- La determinación en forma cerrada de los coeficientes rotodinámicos presurizados tiene un gran valor, pero hasta que no se realiza una comparación con resultados numéricos y/o experimentales, se puede dimensionar la importancia de la solución analítica. En este aspecto, en la última sección del capítulo V se comparan resultados analíticos vs numéricos (usando CHUMA) cuando se presuriza una chumacera en su parte central superior. Los resultados muestran que la aproximación del modelo presurizado es bastante buena. El coeficiente de rigidez vertical tiene valores muy similares a la solución numérica, principalmente cuando el sistema trabaja a velocidades de bajas a moderadas. Asimismo los coeficientes de amortiguamiento directos y acoplados tienen diferencias aún más pequeñas respecto de los valores numéricos. Ver figs. 5.19-5.27. Es importante destacar que el analizar en forma independiente las diferencias encontradas entre los valores analíticos y numéricos de las rigideces y amortiguamientos, no permiten establecer el cambio real del sistema rotatorio cuando se presuriza; es decir que el cambio de la rigidez o el amortiguamiento por si solo no proporcionan un indicador de la conducta en la operación de la turbomáquina, por lo que es necesario comparar un parámetro que agrupe a todos los coeficientes rotodinámicos y así determinar el impacto real de la presurización externa. Puesto que la velocidad umbral de estabilidad depende directamente de los valores en los coeficientes rotodinámicos, puede ser usada para investigar el real impacto de la presurización en el comportamiento de un sistema rotatorio. Las comparaciones analíticas y numéricas de la velocidad umbral de estabilidad muestran que las variaciones porcentuales están entre 2.3% hasta 15.2% en el peor de los casos, por lo que el modelo de presurización presentado en este trabajo se puede considerar confiable para los análisis dinámicos que se requieran. 13.- Finalmente el interés práctico de los resultados encontrados en esta tesis, está enfocado al monitoreo y diagnóstico de equipo rotatorio que se encuentre soportado por chumaceras que pueden ser presurizadas para controlar (atenuar) las vibraciones excesivas. Actualmente las compañías que tienen equipos rotatorios, requieren modificar la respuesta vibratoria de máquinas en operación; esto puede realizarse si se cambian los valores de los coeficientes rotodinámicos mediante la presurización externa. Estos cambios durante el arranque o paro de un equipo, producirán una alteración dinámica que afectará el diagnóstico final.



Apéndice A

La ecuación de Reynolds. Introducción. Una seria apreciación de la hidrodinámica en la lubricación, empezó a finales del siglo XIX cuando Mr. Beauchamp Tower descubrió que se puede generar presión en la película del lubricante que se encuentra entre dos superficies en movimiento relativo. Al tiempo del descubrimiento de Tower, Osborne Reynolds y otros teóricos estaban trabajando sobre la teoría hidrodinámica de la lubricación. Por una afortunada coincidencia, los datos detallados de Tower estaban disponibles para proporcionar la confirmación experimental casi al mismo tiempo que Reynolds los necesitó. El resultado de esto fue la teoría de la lubricación hidrodinámica que se pudo expresar en forma de ecuación y que fue originalmente obtenida en un memorable artículo por Osborne Reynolds en 1886 y que se conoce como la “ecuación de Reynolds”, fué publicada en el Proceedings of the Royal Society de Londres. Reynolds proporcionó la primer prueba analítica de que un líquido viscoso podía separar físicamente dos superficies en deslizamiento relativo por medio de presión hidrodinámica, dando como resultado un bajo valor de fricción y teóricamente cero desgaste. El artículo clásico de Reynolds no solo contiene la ecuación diferencial básica, sino que contiene también una comparación entre sus predicciones teóricas y los resultados experimentales obtenidos por Tower en 1883. Las ecuaciones de Navier-Stokes La ecuación de Reynolds se puede obtener a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales son fundamentales en la mecánica de fluidos. Usando coordenadas cartesianas y omitiendo las fuerzas de cuerpo, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden establecer como;

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

uγ

ρ (A.1)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

vγ

ρ (A.2)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

wγ

ρ (A.3)

donde ρ y µ son respectivamente la densidad y la viscosidad absoluta del fluido, p es la presión, u , v , y w son las componentes de la velocidad del fluido en las direcciones x,y y z. El modelo campo-fluido se completa con la ecuación de continuidad para fluido incompresible, dada por:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u (A.4)



Análisis de orden de magnitud. El número de Reynolds. En cualquier problema de fluidos la importancia relacionada entre las fuerzas de inercia a las viscosas se puede obtener de los valores que proporcione el número de Reynolds. En una chumacera, la velocidad del fluido u es mucho mayor a la velocidad v que atraviesa la película de fluido, por tanto, v << u entonces ( ) ( )y/uvx/uu ∂∂>∂∂ . Además se puede considerar que el ancho de la chumacera es mas o menos del mismo orden que su longitud, por lo que ( ) R/ux/u 0≈∂∂ y ( ) R/uz/u 0≈∂∂ . Si w representa la velocidad del fluido

en la dirección z, entonces la velocidad del fluido en la dirección z deberá ser una fracción de la velocidad u en la dirección de movimiento. Por lo tanto ( ) ( )z/uwx/uu ∂∂>∂∂ y de aquí que el término ( )x/uu ∂∂ se considere como el término de inercia dominante que se usa para efectos de comparación. Las fuerzas viscosas contienen los términos ( )22 x/u ∂∂µ , ( )22 y/u ∂∂µ , ( )22 z/u ∂∂µ ; los cuales necesitan compararse evaluando la siguiente relación:

( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

11

12

22

22

<<

=≈

∂∂∂∂

∂∂∂∂=

∂∂

∂∂

R

C

C/uC/

R/uR/

y/uy/

x/ux/

y/u

x/u r

rrµ

µ (A.5)

Entonces se tiene: ( ) ( )2222 y/ux/u ∂∂<<∂∂ µµ se puede observar que las fuerzas viscosas con gradientes a través de la película del fluido son términos dominantes. A continuación se compararán las fuerzas viscosas con las de inercia.

( )( )

( )( ) *

rrr

r

ReR

CRe

R

CRu

R

Cu

C/u

R/uu

y/u

x/uu=

=

=

=≈

∂∂

∂∂ 22

02

0

20

00

22 µ

ρ

µ

ρ

µ

ρ

µ

ρ (A.6)

donde *Re es el número de Reynolds modificado. Vale la pena notar que el factor ( )2R/Cr es una cantidad del orden 610− . Se puede ver que si el número de Reynolds ( ) µρ /RuRe 0= llegara a ser

muy grande, entonces las fuerzas viscosas tenderán a dominar las inerciales. Para ser más claro, consideremos los siguientes valores típicos en una chumacera:

m.R 020= , 310−=R

Cr , s/m.u 2860 = , 3876 m/kg=ρ , sPa. ⋅= 250µ

Con estos valores el número de Reynolds modificado toma el valor:

00040

2

0 .R

CRuRe r

* =

=

µ

ρ

De aquí se puede ver que las fuerzas de inercia son despreciables en comparación con las fuerzas viscosas. Este es un caso típico en chumaceras hidrodinámicas, aún así es posible que se presente el fenómeno de turbulencia cuando el número de Reynolds excede el rango de 1000 a 2000, siendo en este caso los términos de inercia predominantes.



Contribución de las fuerzas de gravedad. El número de Froude. Las fuerzas de cuerpo que normalmente se encuentran en la lubricación hidrodinámica son las de gravitación y las magneticas. El número de Fraude muestra la relación de las fuerzas de inercia a las de gravedad. Sea la fuerza de gravedad por unidad de volumen igual a gρ , la comparación con las fuerzas de inercia ( )x/uu ∂∂ρ se puede escribir como:

( ) ( )Rg

u

g

R/uu

g

x/uu

Gravedad.F

Inercia.FFr

2000 =≈

∂∂==

ρ

ρ (A.7)

Utilizando los valores anteriores para una chumacera típica, se tendrá:

201==Gravedad.F

Inercia.FFr

este resultado indica que las fuerzas de inercia son más grandes que las fuerzas de gravedad. También se puede encontrar una relación directa entre las fuerzas de gravedad y las fuerzas viscosas, dividiendo el número de Reynolds por el número de Fraude.

u

Cg

ascosVis.F

Gravedad.F

Gravedad.F

Inercia.FascosVis.F

Inercia.F

FroudedeNúmero

ynoldsRedeNúmero r

µ

ρ 2

=== (A.8)

Usando los valores para la chumacera dada con anterioridad:

62

101892 −×== .u

Cg

ascosVis.F

Gravedad.F r

µ

ρ

Por lo tanto, se puede notar que las fuerzas de gravedad se pueden despreciar en relación con las fuerzas viscosas. Contribución del Término de Presión. El número de E uler. Se puede determinar la importancia del término de presión relativo al término de inercia, utilizando el número de Euler; el cual se define como:

( ) 20u

p

x/uu

x/p

Inercia.F

esiónPr.FEulerdeNúmero ref

ρρ≅

∂∂

∂∂== (A.9)

En donde refp es la presión de referencia promedio, basada en la carga proyectada en una

chumaceras hidrodinámica (esta es del orden de 5Mpa), por lo que:



7214420

.u

pEulerdeNúmero ref ==

ρ

Este resultado indica que las fuerzas de presión son más grandes que las fuerzas de inercia. Una relación directa de las fuerzas de presión con las viscosas se puede obtener multiplicando el número de Reynolds por el número de Euler.

( )( )ascosVis.F

esiónPr.F

ascosVis.F

Inercia.F

Inercia.F

esiónPr.FynoldsRedeNúmeroEulerdeNúmero == (A.10)

2

0

2

0

20

=

=

R

C

u

Rp

R

CRu

u

p rrefrref

µµ

ρ

ρ

Investigando el valor numérico de esta relación con los datos proporcionados con anterioridad se obtiene:

0630

2

0

.R

C

u

Rp

ascosVis.F

esiónPr.F rref =

=

µ

El resultado anterior permite concluir que las fuerzas viscosas son un poco más grandes que las de presión, de tal forma que ambos términos necesitan ser considerados. Hipótesis válidas para las chumaceras hidrodinámica s Considerando el análisis adimensional anterior, se pueden sugerir cinco hipótesis válidas para la mayoría de las aplicaciones de chumaceras hidrodinámicas. El análisis de orden de magnitud justifica estas hipótesis:

1. Se asume que el fluido es newtoniano, donde los esfuerzos cortantes y las velocidades de deformación son directamente proporcionales.

2. Los términos de inercia y las fuerzas de cuerpo se consideran despreciables cuando se

comparan con los términos viscosos.

3. La variación de la presión a través del espesor de la película se asume que es despreciable, 0=∂∂ y/p .

4. Se considera que el flujo es laminar. En la presencia de turbulencias se deben de

considerar los términos inerciales.

5. Los efectos de la curvatura son despreciables. Esto implica que el espesor de la película del lubricante es mucho más pequeño que la longitud ó el ancho de la chumacera, tal que el dominio físico del flujo se puede desenvolver. Esto permite el uso de coordenadas cartesianas.



Deducción de la ecuación de Reynolds. Para comprender mejor cada término que aparecerá en la ecuación de Reynolds, es importante mostrar la ubicación de las variables que intervienen en una chumacera hidrodinámica. En la figura C.1 se muestra una chumacera junto con el muñón en reposo.

Fig. A.1 Nomenclatura de una chumacera hidrodinámica en reposo

En donde R es el radio del muñon, Cr representa el claro radial (diferencia entre el radio de la chumacera y del muñón), e0 es la excentricidad medida del centro de la chumacera al centro del muñón, H es el espesor de lubricante. Para comenzar es necesario adimensionalizar las ecuaciones de Navier-Stokes para poder trabajar en forma general; éstas se repiten a continuación:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

uγ

ρ (A.11)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

vγ

ρ (A.12)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2

21

z

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

wγ

ρ (A.13)

Introduciendo los siguientes parámetros adimensionales:

R

xx = ,

rC

yy = ,

R

zz = (A.14)

R

uu

ω= ,

rC

vv

ω= ,

R

ww

ω= , tωτ = (A.15)



Ahora es necesario sustituir (A.14) y (A.15) en las ecuaciones de Navier-Stokes, para mostrarlo se calcularán todos los términos del primer y segundo miembro de (A.11) como se muestra a continuación: Para el primer miembro:

( )τ

ω

ω

τω

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ uR

uR

t

u2 (A.16)

( )( ) x

u

xR

uR

x

u

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ω

ω (A.17)

x

uuR

x

uu

∂

∂=

∂

∂2ω (A.18)

( )( ) y

u

C

R

yC

uR

y

u

rr ∂

∂

=

∂

∂=

∂

∂ω

ω (A.19)

y

uvR

y

uv

∂

∂=

∂

∂2ω (A.20)

( )( ) z

u

zR

uR

z

u

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ω

ω (A.21)

z

uwR

z

uw

∂

∂=

∂

∂2ω (A.22)

Para el segundo miembro:

( )( ) 2

2

2

2

2

2

x

u

RxR

uR

x

u

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ωω (A.23)

( )( ) 2

22

2

2

2

2

y

u

C

R

RyC

uR

y

u

rr ∂

∂

=

∂

∂=

∂

∂ ωω (A.24)

( )

( ) 2

2

2

2

2

2

z

u

RzR

uR

z

u

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ωω (A.25)



Haciendo que:

dimp

pp = , en donde:

2

=

r

dim

C

RP ωγρ

( ) x

p

C

R

RxR

p

C

R

x

p

rr ∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂22

11 ωγωγρ

ρρ (A.26)

Sustituyendo en la primera ecuación de Navier-Stokes (A.11) se tendrá:

∂

∂+

∂

∂

+

∂

∂+

∂

∂

−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

22

2

22

2

z

u

y

u

C

R

x

u

Rx

p

C

R

Rz

uw

y

uv

x

uu

uR

rr

ωγ

ωγ

τω (A.27)

Procediendo de igual forma, se tendrá para la segunda ecuación de Navier-Stokes (A.12): Para el primer miembro:

( )τ

ω

ω

τω

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ vC

vC

t

vr

r 2 (A.28)

x

vuC

x

vu r

∂

∂=

∂

∂2ω (A.29)

y

vvC

y

vv r

∂

∂=

∂

∂2ω (A.30)

z

vwC

z

vw r

∂

∂=

∂

∂2ω (A.31)

Para el segundo miembro:

( )( ) 2

2

22

2

2

2

x

v

R

C

xR

vC

x

v rr

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ωω (A.32)

( )

( ) 2

2

2

2

2

2

y

v

CyC

vC

y

v

rr

r

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ωω A.33)

( )( ) 2

2

22

2

2

2

z

v

R

C

zR

uC

z

v rr

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ωω (A.34)



Haciendo que:

dimp

pp = , en donde:

2

=

r

dim

C

RP ωγρ

( ) y

p

C

R

CyC

p

C

R

y

p

rrrr ∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂22

11 ωγωγρ

ρρ (A.35)

Sustituyendo en la segunda ecuación de Navier-Stokes (A.12):

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

v

Cz

v

x

v

R

C

y

p

C

R

Cz

vw

y

vv

x

vu

vC

r

r

rr

r

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ωγ

ωγ

ωγ

τω (A.36)

Análogamente para la tercera ecuación se tendrá:

∂

∂+

∂

∂

+

∂

∂+

∂

∂

−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

22

2

22

2

z

w

y

w

C

R

x

w

Rz

p

C

R

Rz

ww

y

wv

x

wu

wR

rr

ωγ

ωγ

τω (A.37)

Multiplicando a las ecuaciones resultantes por el factor:

2

1

rC

R

R

γω, y recordando que:

γ

ω

µ

ρ==

LuRe , y además: 2

2

RR

CReRe

r

*

=

Se puede escribir:

22

2

2

22

y

u

z

u

x

u

R

C

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

uRe

r

*

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 2

τ

(A.38)

2

22

2

2

2

222

y

v

R

C

z

v

x

v

R

C

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

v

R

CRe

rrr

*

∂

∂

+

∂

∂+

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

τ (A.39)

2

2

2

2

2

22

y

w

z

w

x

w

R

C

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

wRe

r

*

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

τ (A.40)

Notando que para una chumacera debe cumplirse que:

310−≅R

Cr , 1<*Re (A.41)



Entonces las ecuaciones (A.38), (A.39) y (A.40) toman la forma:

2

2

y

u

x

p

∂

∂=

∂

∂ (A.42)

0=∂

∂

y

p (A.43)

2

2

y

w

z

p

∂

∂=

∂

∂ (A.44)

De la segunda ecuación se puede notar que:

( ) tetanconsyp = , o bien ( )z,xpp = . Regresando a las variables adimensionales de las ecuaciones restantes, se tendrá:

2

21

y

u

x

p

∂

∂=

∂

∂

µ (A.45)

2

21

y

w

z

p

∂

∂=

∂

∂

µ (A.46)

Fig. A.2 Frontera de una chumacera hidrodinámica.

Integrando dos veces a (A.45) y usando los valores de la frontera en la chumacera (ver fig. A.2), se puede escribir:

( ) ( ) ( ) 21

2

1cycHyy

x

z,xpyu ++−

∂

∂=

µ, ( ) 10 uu = , ( ) 2uHu = (A.47)

donde:

( ) ( ) ( ) 1

12

2

1uy

H

uuHyy

x

z,xpyu +

−+−

∂

∂=

µ (A.48)



Integrando dos veces a (A.46) se tendrá:

( ) ( ) ( )Hyyz

z,xpyw −

∂

∂=

µ2

1, ( ) ( ) 00 == Hww , 021 == cc (A.49)

de la ecuación de continuidad:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u (A.50)

o bien:

z

w

x

u

y

v

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂−

Notar que:

( )z,xuu 11 =

( )z,xuu 22 =

( )z,xHH = Sustituyendo en la ecuación continuidad:

( )

( )

( )

( )

−∂

∂

∂

∂+

+−

+−∂

∂

∂

∂=

∂

∂−

44 344 21444444 3444444 21ywyu

Hyyz

p

zuy

H

uuHyy

x

p

xy

v

µµ 2

1

2

11

12 (A.51)

Integrando a (A.51) con respecto de “y”:

( )[ ]( )

( )( )

∫∫∫

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂−

z,xHz,xH

dyHyyz

p

zdyyu

xdy

y

v

00 2

1

µ (A.52)

Usando la regla de Leibnitz:

( )( ) ( ) ( )( )

( )

∫∫ ∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ αα

ααα

α

αα

α

rr r,rfdx

,xfdx,xf

00

(A.53)

O bien:

( ) ( )( )

( )( )( )

∫ ∫ ∂

∂−

∂

∂=

∂

∂α α

αααα

αα

αr r r,rfdx,xfdx

,xf

0 0

(A.54)



Identificando las variables:

( ) ( )z,x

z,xHr

yx

→→

→

αα

aplicando (A.54) al primer término del segundo miembro de (A.52):

( ) =

+

−+−

∂

∂

∂

∂∫ dyuy

H

uuHyy

x

p

x

H

112

0 2

1

µ

( )x

Hudyuydy

H

uudyHyy

x

p

x

HHH

∂

∂−

+

−+−

∂

∂

∂

∂= ∫∫∫ 2

0

1

0

12

02

1

µ (A.55)

x

HuH

uu

xx

pH

x ∂

∂−

+

∂

∂+

∂

∂⋅⋅

∂

∂−= 2

213

262

1

µ

De manera similar, aplicando (A.54) al segundo término del segundo miembro de (A.52):

( )( )

∫

∂

∂⋅

∂

∂−=

−

∂

∂

∂

∂z,xH

z

pH

zdyHyy

z

p

z0

3

62

1

2

1

µµ (A.56)

Finalmente, sustituyendo en (A.52):

( ) ( )x

Hu

x

Huuuu

xH

z

pz,xH

zx

pz,xH

xvv

∂

∂−

∂

∂++

+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂−

∂

∂⋅

∂

∂−=− 2

21213321

2212

1

12

1

µµ (A.57)

Reordenando se obtiene la ecuación de Reynolds:

( ) ( ) ( )

( )4444444444444444 34444444444444444 21

44 844 764847648476

z,xfHynoldsRedeEcuación

strech)extensión(

wedge)cuña(

squeeze)entoestrechami(

uux

Hx

Huuvv

z

pH

zx

pH

x=

+∂

∂+

∂

∂−+−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂212112

33 6612 µµµ (A.58)



Ecuación de Reynolds en coordenadas cilíndricas. En esta sección se mostrará el desarrollo completo para transformar la ecuación de Reynolds a coordenadas cilíndricas, recordar que la chumacera tiene la forma de un cilindro y esto hará que los análisis y desarrollos posteriores sean más fáciles de realizar. En la figura A.3 se muestra el espesor de la película de lubricante H en el sistema de coordenadas cartesiano, el eje x coincide con la superficie en reposo de la chumacera, por lo que ahí las velocidades son iguales a cero.

Fig. A.3 Espesor de la película de lubricante en la chumacera.

Por lo anterior, la ecuación de Reynolds (A.58) puede escribirse como:

x

uH

x

Huv

z

pH

zx

pH

x ∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ 222

33

6612µµ

(A.59)

El espesor de la película del lubricante va cambiando a lo largo de la circunferencia de la chumacera, dando como resultado que existan posiciones para las cuales toma un valor máximo y mínimo respectivamente. En la figura A.4 aparece una chumacera junto con el muñón para una posición arbitraria, en donde O representa el centro de la chumacera y J es el centro del muñón, S es un punto arbitrario en la película de lubricante y ϕ es el ángulo de equilibrio.

Fig. A.4 Posición arbitraria del muñón en una chumacera.



Es posible encontrar una expresión para el espesor del lubricante a partir de un análisis geométrico como sigue: Aplicando el teorema de cosenos al triángulo SOJ, se tendrá:

( ) ( ) ( ) ( )θπ −+−++=+ CoseCReCRHR rr20

20

22 2 (A.60)

Simplificando y notando que algunos términos son pequeños:

θθ CoseCCosReeCCRHHR rrr20

0

20

00

2

0

2 2222↓↓↓↓

++++=+ 20 (A.61)

θCoseCH r 0+= (A.62)

Haciendo:

rC

e0=ε , rC

Hh = (A.63)

En forma adimensional:

( ) θεθ Cosh 01+= (A.64)

En la figura A.5 aparece la gráfica de (A.64), en donde se aprecia la variación del espesor de la película del lubricante.

Fig. A.5 Posición arbitraria del muñón en una chumacera.

Notar que:

10 << ε , ( ) ( ) ( )0=≤≤= θθπθ maxmin hhh

Para transformar la ecuación de Reynolds, es necesario calcular cada término de (A.59), observar que aparecen las componentes de velocidad en la película del lubricante 22 v,u ; para encontrarlos partiremos de la velocidad del muñón en el punto J. En la figura A.6 aparecen los vectores unitarios en las direcciones radial y transversal del punto S para una posición arbitraria, así como los vectores en el centro del muñón (medidos desde la línea de carga).



Fig. A.6 Vectores unitarios en las direcciones radial y transversal del punto arbitrario S

de la película de lubricante, y el centro del muón J.

De la figura anterior se puede ver que la relación entre los vectores unitarios en el centro del muñón y el punto S está dada por:

43421

r

43421

rr

θθ

β

πθ

πθ

Cos

T

Sen

n SenUCosUU

−

−+

−=

22 (A.65)

−+

−−=

22

πθ

πθε CosUSenUU Tn

rrr (A.66)

o bien: θθβ CosUSenUU Tn

rrr−= (A.67)

θθε SenUCosUU Tn

rrr+−= (A.68)

Nota: 2

πβϕ =+

Por lo tanto la velocidad del punto “J” se puede escribir como:

βε βεε UCUCv rrJ

r&r&

r+= (A.69)

O bien usando (A.67) y (A.68), en las direcciones transversal y normal:

( )θβεθεθβεθε CosCSenCUSenCCosCUv rrTrrnJ&&

r&&

rr−+

+−= (A.70)

J

o

S

e0

θ

nUr

TUr

π-θ

φ

nUr

TUr

Horizontal θ

β

εUr

β

2

πθ −

2

πθ −

ε



La velocidad del punto móvil S se puede encontrar a partir de las velocidades relativas siguientes:

JSJ

S vvvrrr

−=

O bien:

JSrk

JSJS vvv

r

rrr

×↓

+=

ω

(A.71)

Observar que en (A.71) es necesario encontrar el vector JSrr

para poder realizar el producto

vectorial. En la figura A.7 se muestra este vector junto con unos trazos adicionales que permiten un análisis más sencillo.

Fig. C.6

De la figura anterior se puede ver que:

( ) ( ) t

Sen

n

Cos

OSJS USeneUCoserrr

43421

r

43421

r

−−

−−−=

+− θθ

θπθπ 00 (A.72)

O bien:

( ) ( ) tnOSJS USeneUCoserrrrr θθ 00 −+−= (A.73)

Aplicando el teorema de cosenos al triángulo SOJ:

( )θπ −−+= CosererR OSOS 020

22 2 (A.74)

( )

00

222 2↓↓

++= θεε CosCrCrR rOSrOS (A.75)

OSrR ≈ (A.76)

J

o

S

e0 θ

R nUr

tUr

π-θ



Entonces se tiene:

trnJS USenCURrrrr θε−−= (A.77)

De (A.71), el producto vectorial será:

0

00

RSenC

kji

rkv

r

JSJ/S

−−=×=

θεωω rr (A.78)

Notar que: jU n

ˆ=r

y iUTˆ=

r, después de desarrollar el determinante se tiene:

nrTJSJ/S USenCURrkvrrrr θωεωω −=×= (A.79)

Finalmente, sustituyendo (A.70) y (A.79) en (A.71) se obtiene la velocidad del punto móvil S:

( ) ( ) TrrnrrrS UCosCRSenCUSenCSenCCosCvr

&&r

&&r θβεωθεθωεθβεθε −++−+= (A.80)

De la ecuación anterior se puede reconocer:

θωεθβεθε SenCSenCCosCv Jrrr&&& −+=2 (A.81)

θβεωθε CosCRSenCu rr

&&& −+=2 (A.82) Las componentes encontradas deberán ser sustituidas en el segundo miembro de la ecuación de Reynolds que se repite a continuación:

x

uH

x

Huv

z

pH

zx

pH

x ∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ 222

33

6612µµ

(A.83)

Para continuar con la transformación a coordenadas cilíndricas, se calculará cada término por separado de la ecuación de Reynolds como sigue: Haciendo:

θθRddx

Rx

==

Y recordando que el espesor de la película de lubricante se definió como:

( )θε CosCH r += 1 De la ecuación de Reynolds, para cada término (primer miembro):



( )

∂

∂

∂

∂=⋅

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

θµ

θ

θθµθµ

ph

R

C

C

Cp

R

H

Rx

pH

x

r

r

r3

2

3

3

333 1 (A.84)

( )

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

z

ph

zC

z

pH

zr

µ

θ

µ

33

3

(A.85)

De forma similar al caso anterior, usando (A.81) y (A.82) se tiene para cada término en la ecuación de Reynolds (segundo miembro):

( )θε

θ

θSenC

RR

H

x

Hr

1−=

∂

∂=

∂

∂ (A.86)

( ) ( )θβεθεθβεωθεθ

SenCCosCR

CosCRSenCRx

urrrr

&&&&&& +=−+∂

∂=

∂

∂ 112 (A.87)

( )

−−+=

∂

∂θεθβεωθε SenC

RCosCRSenC

x

Hu rrr

12

&&& (A.88)

Simplificando la ecuación anterior y eliminando los términos pequeños:

θθβε

θεωθεε

CosSenR

CSenCSen

R

C

x

Hu r

r

r &&

0

22

2

0

2

2

↓↓

+−−=∂

∂

θεω SenCx

Hu r−=

∂

∂2

(A.89)

El último término del segundo miembro de (A.83) se puede escribir como:

( )( ) 01

0

2 ≈++−=∂

∂

↓

θβεθεθε SenCCosCCosR

C

x

uH rr

r &&& (A.90)

Sustituyendo las ecuaciones (A.84) a la (A.90) en la ecuación (A.83), y después de simplificar y agrupar se obtiene la ecuación de la lubricación de Reynolds en coordenadas cilíndricas:

( ) ( )

−+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωβεθε

µθ

θθ

θSenCCosC

C

R

z

ph

zR

ph rr

r 212

3

2323 && (A.91)

Es posible simplificar aún más a la ecuación anterior, haciendo las siguientes sustituciones en el segundo miembro:



( )2

22

2

−+=

ωβεε &&

rrS CCV (A.92)

En donde:

S

r

V

CCos

εα

&= ,

S

r

V

C

Sen

−

= 2

ωβε

α

&

, ε

ωβε

α&

&

r

r

C

C

Tan

−−

= 2 (A.93)

La ecuación de Reynolds toma la forma:

( ) ( ) ( )αθµ

θθ

θθ

+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂Cos

C

VR

z

ph

zR

ph

r

S

3

2323 12 (A.94)

En estado estacionario (posición de equilibrio) se tiene que 0=β& , y 0=ε& , lo que implica de (A.93) que: 2/πα = ; entonces la ecuación de Reynolds en estado estacionario se escribe como:

( ) ( )

−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂θ

ωε

µθ

θθ

θSen

C

R

z

ph

zR

ph

r 212

2

2323 (A.95)



Apéndice B

Transformación de coordenadas. Sea el sistema de coordenadas ( )ηξ , rotado un ángulo 0ϕ respecto al sistema radial y transversal

(R,T). Las matrices adimensionales de rigidez y amortiguamiento pueden obtenerse respecto del sistema ( )ηξ , mediante una transformación lineal de la forma:

[ ]

=

ϕεε

ηξ

d

dQ

d

d (B.1)

en donde: rC

ξξ = y

rC

ηη = . La matríz de rotación correspondiente está dada por:

[ ]

−=

00

00

ϕϕϕϕ

CosSen

SenCosQ (B.2)

De la misma forma, las fuerzas en el sistema de coordenadas ( )ηξ , pueden escribirse como:

[ ]

=

T

R

Fd

FdQ

Fd

Fd

η

ξ (B.3)

Recordar que en el sistema de coordenadas radial y transversal, las fuerzas pueden escribirse en forma diferencial como:

−

∂

∂

−

∂

∂

+

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

ω

ϕε

ω

ε

εω

ε

ε

ω

ε

ϕεε

εϕεε

εϕε&

&

&

&

d

d

ff

ff

d

d

fff

fff

Fd

Fd

TT

RR

RTT

TRR

T

R

2

2

(B.4)

o bien:

[ ] [ ]

+

=

ω

ϕε

ω

ε

ϕεε

&

&

d

d

Cd

dK

Fd

Fd

T

R (B.5)

Usando las transformaciones (B.1) y (B.3) en (B.5):



[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

43421

&

&

321

&

&

−

−

+

=

ηξ

ηξ

ω

ϕε

ω

ε

ϕεε

η

ξ

d

d

d

d

Q

Q

d

d

CQd

dKQ

Fd

Fd

1

1

(B.6)

O bien:

[ ][ ][ ] [ ][ ][ ]

+

=

−−

ηξ

ηξ

η

ξ

&

&

4342143421 d

dQCQd

dQKQ

Fd

Fd

C~

K~

11 (B.7)

Se sabe de la teoría de matrices que:

[ ] [ ] TQQ =−1 (B.8) por lo tanto, teniendo en cuenta (B.7) y (B.8) se puede escribir:

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]T

T

QCQC~

QKQK~

−=

−= (B.9)

Las ecuaciones (B.9) definen a las matrices de rigidez y amortiguamiento respecto del sistema de coordenadas ( )ηξ , .

En este trabajo, el sistema de coordenadas ( ) ( )yx,, =ηξ . Por lo tanto de (B.4), es fácil reconocer a las matrices de rigidez y amortiguamiento como:

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

εϕεε

εϕεεRTT

TRR

fff

fff

K

y

x



−

∂

∂

−

∂

∂

=

ε

ω

ε

ε

ω

ε

T

J

T

R

J

R

ff

ff

C2

2

&

&

Las matrices de rigidez y amortiguamiento en el sistema (x,y) pueden determinarse usando (B.9) como sigue:

[ ][ ] =TQK

−

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂−

∂

∂

−

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂−

∂

∂

=

−

+∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

0000

0000

00

00

ϕεϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕε

ϕϕϕϕ

εϕεε

εϕεε

Cosff

Senf

Senff

Cosf

Cosff

Senf

Senff

Cosf

CosSen

SenCos

fff

fff

RTTRTT

TRRTRR

RTT

TRR

(B.10)

Calculando ahora el producto:

[ ][ ][ ] == TQKQK~

[ ][ ]

=

=

−

yyyx

xyxxT

K~

K~

K~

K~

K~

K~

K~

K~

QKCosSen

SenCos

ηηηξ

ξηξξ

ϕϕϕϕ

00

00 (B.11)

Desarrollando a (B.11) y simplificando:

02

0

000002 ϕ

εϕεϕϕ

εϕϕ

εϕεϕ

εξξ Sen

ffSenCos

fCosSen

ffCos

fK~

K~ RTTTRR

xx

−

∂

∂+

∂

∂−

−

∂

∂−

∂

∂=−=−

00

0

02

02

00 ϕϕεϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕϕε

ηξ CosSenff

Cosf

Senff

SenCosf

K~

K~ RTTTRR

xy

+

∂

∂−

∂

∂+

−

∂

∂−

∂

∂=−=−

00

0

02

02

00 ϕϕεϕε

ϕε

ϕεϕε

ϕϕε

ξη CosSenff

Senf

Cosff

CosSenf

K~

K~ RTTTRR

yx

+

∂

∂−

∂

∂−

−

∂

∂+

∂

∂=−=− (B.12)

02

0

000002 ϕ

εϕεϕϕ

εϕϕ

εϕεϕ

εηη Cos

ffCosSen

fCosSen

ffSen

fK~

K~ RTTTRR

yy

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

−

∂

∂+

∂

∂=−=−



El sistema (B.12) puede simplificarse si se sustituye la identidad:

2

2 0

00

ϕϕϕ

SenCosSen =⋅

Sustituyendo en las expresiones de ξξK~

, ξηK~

, ηξK~

, ηηK~

:

ϕε

ϕ

ϕεεϕ

ϕεϕ

εη

ξξ SenfSenff

Senf

Cosf

K~

K~ RTTR

xx −

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−==

2

222

ϕε

ϕ

εϕεϕ

εϕ

ϕεη

ηξ CosfSenff

Senf

Cosf

K~

K~ RTTR

xy +

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−==

2

222

(B.13)

ϕε

ϕ

εϕεϕ

ϕεϕ

εξ

ξη CosfSenff

Senf

Cosf

K~

K~ RTRT

yx +

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−==

2

222

ϕε

ϕ

εϕεϕ

εϕ

ϕεξ

ηη CosfSenff

Senf

Cosf

K~

K~ TRRT

yy −

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−==

2

222

Realizando un tratamiento similar para los coeficientes de amortiguamiento, se tendrá:

ϕε

ϕ

ω

εϕ

ω

εξ

ξξ SenfSenf

Cosf

C~

C~ TR

xx

2

2

22 −

∂

∂−

∂

∂−==

&&

ϕε

ϕ

ω

εϕ

ω

εξ

ηξ CosfSenf

Senf

C~

C~ RR

xy

2

2

22 +

∂

∂−

∂

∂==

&&

(B.14)

ϕε

ϕ

ω

εϕ

ω

εξ

ηξ SenfSenf

Cosf

C~

C~ RT

yx

2

2

22 −

∂

∂+

∂

∂−==

&&

ϕε

ϕ

ω

εϕ

ω

εξ

ηη CosfSenf

Senf

C~

C~ TR

yy

2

2

22 +

∂

∂−

∂

∂−==

&&



Apéndice C

Cálculo de los coeficientes rotodinámicos de rigide z y amortiguamiento de una chumacera corta en el sistema de de coordenada s xy. Caso clásico.

Coeficientes de rigidez. Los coeficientes de rigidez en la dirección radial y transversal de una chumacera corta están dados por:

( )( )

2

32

2

1

18

−

+−=

D

LKRR

ε

εεπ (C.1)

( )2

2/32

2

1

−

−=

D

LK RT

ε

π (C.2)

( )( )

2

2/52

22

1

21

−

+=

D

LKTR

ε

επ (C.3)

( )2

221

4

−

−=

D

LKTT

ε

πε (C.4)

Recordando que el número de Sommerfeld para chumaceras cortas puede definirse como:

( )( )222

222

116

1

επεπε

ε

−+

−

=

L

DS (C.5)

Es posible suprimir el término 2)DL( de las rigideces anteriores multiplicando a cada una por el número de Sommerfeld, para obtener:

RRRR KSK = (C.6)

RTRT KSK = (C.7)

TRTR KSK = (C.8)

TTTT KSK = (C.9) entonces:

( )( ) ( )2222

2

1161

18

επεε

ε

−+−

+−=RRK (C.10)



( )222

2

116

1

επεε

επ

−+

−−=RTK (C.11)

( )

( )2222

2

1161

21

επεεε

επ

−+−

+=TRK (C.12)

( )222 116

4

επε −+

−=TTK (C.13)

En el sistema (x,y) la matriz de rigidez está definida como (ver apéndice B):

[ ][ ][ ]TQKQK −=~ (C.14)

donde [ ]Q es la matriz de rotación dada por:

[ ]

−=

ϕϕϕϕ

CosSen

SenCosQ (C.15)

Asimismo, recordar que las funciones trigonométricas que a parecen en (C.15) pueden escribirse como:

( )222

2

116

1

επεεπϕ

−+

−=Sen (C.16)

( )222 116

4

επεεϕ

−+=Cos (C.17)

Sustituyendo (C.15), (C.16) y (C.17) en (C.14) se tendrá:

[ ]

−

−−=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

CosSen

SenCos

KK

KK

CosSen

SenCosK~

TTTR

RTRR (C.18)

El producto de las primeras dos matrices (de derecha a izquierda) se puede escribir como:

[ ][ ]

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

−+−+

−−

−+

−

−+

−+

−

−+−

+

−+

−−

−+−

+−

=

4444444 34444444 214444444444 34444444444 21TQK

TQK

222222

2

222

2

222

2222222

2

222

2

2222

2

116

4

116

1

116

1

116

4

116

4

1161

21

116

1

1161

18

επε

ε

επε

επ

επε

επ

επε

ε

επεεπεεε

επ

επεε

επ

επεε

ε



O bien:

[ ][ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

−+−

−+

+

−+

−+

−+−

+

−+

−−

−+−

+−

−+

−+

−+−

+−

=

222222

22

222

2

2222

2

222

2

2222

2

222

22

2222

2

116

16

116

21

116

14

1161

214

116

14

1161

18

116

1

1161

132

επε

ε

επεε

επ

επε

επ

επεε

επ

επε

επ

επεε

επ

επεε

επ

επεε

εε

TQK

Simplificando se tendrá:

[ ][ ]

( ) ( )( )[ ]( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )( )[ ]

−+

−+

−+−

−++

−+−

−−+−

−−+

−++−

=

222

222

2222

22

2222

22

2222

22222

116

1621

1161

14214

1161

1418

1116

1132

επεε

εεπ

επεε

επεπ

επεε

επεπ

εεπεε

επεε

TQK (C.19)

Finalmente, la matríz de rigidez en el sistema (x,y) puede obtenerse sustituyendo a (C.19) en (C.18):

[ ][ ][ ] =−= TQKQK~

( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )( )[ ]( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )( )[ ]

[ ]

−+

−+

−+−

−++

−+−

−−+−

−−+

−++−

−+−+

−

−+

−−

−+−

4444444444 34444444444 214444444 34444444 21TQKQ

222

222

2222

22

2222

22

2222

22222

222222

2

222

2

222

116

1621

1161

14214

1161

1418

1116

1132

116

4

116

1

116

1

116

4

επεε

εεπ

επεε

επεπ

επεε

επεπ

εεπεε

επεε

επε

ε

επε

επ

επε

επ

επε

ε

Simplificando:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

−+

−+

−+−

−++−

−+−

−+++

−+−

−+++

=

444 3444 2144444 344444 21

444444 3444444 21444444 3444444 21

yyyx

xyxx

K~

/

K~

/

K~

/

K~

/

K~

23222

222

232222

42222

232222

42222

232222

42222

116

1624

161

162

161

16232

161

162324

επε

εππ

εππεε

επεπππ

εππεε

επεπππ

εππε

εππεπ

(C.20)



Coeficientes de amortiguamiento. Los coeficientes de amortiguamiento en la dirección radial y transversal de una chumacera corta están dados por:

( )( )

2

2/52

22

1

212

−

+−=

D

LCRR

ε

επ (C.21)

( )2

221

8

−=

D

LCRT

ε

πε (C.22)

( )2

221

8

−=

D

LCTR

ε

πε (C.23)

( )2

252

2

1

2

−

−=

D

LC

/TT

ε

π (C.24)

Como se mostró en los cálculos de los coeficientes de rigidez, es posible suprimir el término

2)DL( de los amortiguamientos anteriores multiplicando a cada uno por el número de Sommerfeld (C.5), para obtener: RRRR CSC = (C.25) RTRT CSC = (C.26) TRTR CSC = (C.27) TTTT CSC = (C.28) entonces:

( )( )2222

2

1161

212

επεεε

επ

−+−

+−=RRC (C.29)

( )222 116

8

επε −+=RTC (C.30)

( )222 116

8

επε −+=TRC (C.31)

( )222

2

116

12

επεε

επ

−+

−−=TTC (C.32)



La matriz de amortiguamiento en el sistema (x,y) está definida como (ver apéndice B):

[ ] [ ][ ][ ]TQCQC −=~ (C.33)

Procediendo de igual forma que en los coeficientes de rigidez, se puede escribir:

[ ]

−

−=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

CosSen

SenCos

CC

CC

CosSen

SenCosC~

TTTR

RTRR (C.34)

El producto de las primeras dos matrices (de derecha a izquierda) se puede escribir como:

[ ][ ]

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

−+−+

−−

−+

−

−+

−+

−−

−+

−+−+−

+−

=

4444444 34444444 214444444444 34444444444 21TQC

TQC

222222

2

222

2

222

222

2

222

2222222

2

116

4

116

1

116

1

116

4

116

12

116

8

116

8

1161

212

επε

ε

επε

επ

επε

επ

επε

ε

επεε

επ

επε

επεεπεεε

επ

Simplificando:

[ ][ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]

−+

−+

−+

+−−

−+−

+−−

=

0116

2232

116

3242

1161

81616

222

2222

222

2222

2222

22

επεε

εππε

επεε

εεππ

επεε

επεππ

TQC (C.35)

Sustituyendo (C.35) en (C.34), y después de simplificar se obtiene:

[ ] [ ][ ][ ] =−= TQCQC~

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]

−+

−+−

−+

−+

−+

−+

−+−

+−+

=

44444 344444 21444 3444 21

444 3444 2144444 344444 21

yyyx

xyxx

C~

/

/

C~

/

C~

/

C~

/

C~

23222

222212

23222

222

23222

222

232222

42222

16

8212

16

828

16

828

161

2422

εππε

εππεπ

εππ

εππ

εππ

εππ

εππεε

επεπππ

(C.36)



Apéndice D.

La sustitución de Sommerfeld.

Integrales del tipo:

( )∫ +θ

θε

θθd

Cos

CosSen

31,

( )∫ +θ

θε

θd

Cos

Sen

3

2

1,

( )∫ +θ

θε

θd

Cos

Cos

31 (D.1)

Pueden ser evaluadas usando una sustitución universal propuesta por Sommerfeld (1904), la cual se escribe como:

θε

θεγ

Cos

CosCos

+

+=

1 (D.2)

Con ayuda de la identidad: 122 =+ γγ CosSen se puede hallar a γSen , en la forma:

θε

θεγ

Cos

SenSen

+

−=

1

1 2

(D.3)

De la sustitución (D.2) se puede obtener:

1−

−=

γε

γεθ

Cos

CosCos (D.4)

Usando (D.4), el denominador de cualquier integral (D.1) se puede escribir como:

1

1

111

2

−

−=

−

−+=+

γε

ε

γε

γεεθε

CosCos

CosCos (D.5)

O bien

21

1

1

1

ε

γε

θε −

−=

+

Cos

Cos (D.6)

A partir de la sustitución de Sommerfeld se puede encontrar el θd como sigue:

θε

θεγ

Cos

CosCos

+

+=

1

( )( ) ( )( )

( )21

1

θε

θεθεθθε

θ

γγ

Cos

SenCosSenCos

d

dSen

+

−+−−+=− (D.7)



( )

( )2

2

1

1

θε

εθ

θ

γγ

Cos

Sen

d

dSen

+

−−=− (D.8)

Usando ( D.3 )

( )( )2

22

1

1

1

1

θε

εθ

θ

γ

θε

θε

Cos

Sen

d

d

Cos

Sen

+

−−=

+

−− (D.9)

o bien

γε

θεθ d

Cosd

21

1

−

+= (D.10)

Para comprender mejor la sustitución de Sommerfeld, considere la tercera integral en (D.1):

( )∫ +θ

θε

θd

Cos

Cos

31 (D.11)

Sustituyendo las expresiones de θCos , θε Cos+1 y θd , dadas por (D.4), (D.6) y (D.10) respectivamente se obtiene:

1

12

−

−

γε

ε

Cos

γε

θε

γε

ε

γε

γε

dCos

Cos

Cos

Cos

232 1

1

1

1

1

−

+

−

−

−

−

∫ (D.12)

O bien:

γε

γε

ε

γε

γε

d

Cos

Cos

Cos

222 1

1

1

1

1

−

−

−

−

−

∫ (D.13)

Simplificando:

( )( )( )( ) ( )

( )( ) γγεγεε

γεεγε

γεγεdCosCosd

Cos

CosCos

∫∫ −−−

=−

⋅−−

−−1

1

1

1

1

11

1

25

2222

2

(D.14)



Finalmente, después de integrar se puede escribir:

( ) ( )CCosSend

Cos

Cos+

−

−+

−=

+∫ γεγεεγε

θθε

θ

2

3

2

11

1

1

1

2

25

23 (D.15)

en donde se debe recordar que:

θε

θεγ

Cos

SenSen

+

−=

1

1 2

, θε

θεγ

Cos

CosCos

+

+=

1,

+

−=

θε

θεγ

Cos

SenarcTan

21 .



Apéndice E

INYECCIÓN SUPERIOR Inyección superior. (L/D)=1/4

0=prtf

Fig. E.1 Coeficientes rotodinámicos directos de rigidez y amortiguamiento para una chumacera corta no presurizada.

41=DL , 0=prtf .

Fig. E.2 Coeficientes rotodinámicos acoplados de rigidez y amortiguamiento para una chumacera corta no presurizada.

41=DL , 0=prtf .



Inyección superior. (L/D)=1/4 10=prtf

Fig. E.3 Coeficientes rotodinámicos directos de rigidez y amortiguamiento para una chumacera corta presurizada.


Fig. E.4 Coeficientes rotodinámicos acoplados de rigidez y amortiguamiento para una chumacera corta presurizada.





20=prtf








50=prtf








100=prtf








400=prtf








500=prtf







INYECCIÓN INFERIOR

Inyección inferior. (L/D)=1/4 10=prtf








50=prtf





Teoría de chumaceras presurizadas con puertos puntuales: Caso de la chumacera corta.



100=prtf







Apéndice F.

Programas de MATHEMATICA 5.0 1.- COEFICIENTES ROTODINÁMICOS -Presurización super ior/inferior- +++++++Ocvirk++++++++ Fr:=-((L/D)^2)*4*Pi*(e^2)/(1-e^2)^2 Ft:=((L/D)^2)*(Pi^2)*e/(1-e^2)^(3/2) ++++++Presurizado+++++++ **Si b:=0 (presurización inferior)++Si b:=Pi (presu rización superior)** b:=0 a:=0 Fr:=((L/D)^2)*q*(1-a^2)*(1/8)*(Cos[b-fi])/(-1+e*Cos [b-fi])^3 Ft:=((L/D)^2)*q*(1-a^2)*(1/8)*(Sin[b-fi])/(-1+e*Cos [b-fi])^3 S:=(((1-(e^2))^2)/(e*Pi*((16*e^2)+(Pi^2)*(1-e^2))^( 1/2))*(D/L)^(2)) S1:=(Pi*(1-e^2)^(1/2))/((16*e^2)+(Pi^2)*(1-e^2))^(1 /2) C1:=(4*e)/((16*e^2)+(Pi^2)*(1-e^2))^(1/2)

+++++COEFICIENTES DE RIGIDEZ ADIMENSIONALES++++ Krr:=Simplify[D[Fr,e]] Krt:=Simplify[(1/e)*(D[Fr,fi]-Ft)] Ktr:=Simplify[D[Ft,e]] Ktt:=Simplify[(1/e)*(D[Ft,fi]+Fr)]

+++COEFICIENTES DE RIGIDEZ TILDE (MULT. POR EL NÚMERO DE SOMMERFELD)+++ Krr1:=Simplify[S*Krr] Krt1:=Simplify[S*Krt] Ktr1:=Simplify[S*Ktr] Ktt1:=Simplify[S*Ktt]

+++COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO ADIMENSIONALES+++ Crr:=0 Crt:=Simplify[(-2/e)*Fr] Ctr:=0 Ctt:=Simplify[(-2/e)*Ft]

+++COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO TILDE (MULT. POR EL NÚMERO DE SOMMERFELD)++++

Crr1:=Simplify[S*Crr] Crt1:=Simplify[S*Crt]



Ctr1:=Simplify[S*Ctr] Ctt1:=Simplify[S*Ctt]

RIGIDEZ:={{Krr1,Krt1},{Ktr1,Ktt1}} AMORTIGUAMIENTO:={{Crr1,Crt1},{Ctr1,Ctt1}} Q:={{C1,-S1},{S1,C1}} QT:=Transpose[Q] Simplify[-Q.RIGIDEZ.QT] Simplify[-Q.AMORTIGUAMIENTO.QT]

2.- GRÁFICAS DE LOS COEFICIENTES ROTODINÁMICOS -Presurización superior/inferior-

fprt:=10 q:=fprt/((((1-(e^2))^2)/(e*Pi*((16*e^2)+(Pi^2)*(1-e ^2))^(1/2))*(4/1)^(2))) fi:=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5]

++++++++RIGIDECES PRESURIZADAS SUPERIOR/INFERIOR++++++++ +AQUÍ SE MUESTRAN LAS RIGIDECES DE LA PRESURIZACIÓN INFERIOR+

Kxx:=3H−1+e2L2qJ16e2 + π2−e2 π2 +H−π2+e2 H16+ π2LLCos@2fiD +8e

è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN

16e π Hπ2 −e2H−16+π2LL3ê2H−1+eCos@fiDL4

Kxy:= −

3H−1+e2L2qJ−8eè!!!!!!!!!!!1−e2 π Cos@2fiD + H−π2 +e2 H16+ π2LLSin@2fiDN

16e π Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2 H−1+eCos@fiDL4

Kyx:= −



Kyy:= −

3H−1+e2L2qJ−16e2− π2+e2 π2+ H−π2 +e2H16+ π2LLCos@2fiD +8eè!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN

16e π Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2 H−1+eCos@fiDL4 +++++++AMORTIGUAMIENTOS PRESURIZADOS SUPERIOR/INFERIOR+++++++ AQUÍ SE MUESTRAN LOS AMORTIGUAMIENTOS DE LA PRESURIZACIÓN INFERIOR

Cxx:= −

H−1+e2L2qJ−4eè!!!!!!!!!!!1−e2 Cos@fiD + H−1+e2L π Sin@fiDN

4e2Hπ2 −e2H−16+π2LL3ê2H−1+eCos@fiDL3

Cxy:= −

H−1+e2L2qJ4eCos@fiD +è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@fiDN

e π Hπ2 −e2H−16+π2LL3ê2H−1+eCos@fiDL3

Cyx:=H−1+e2L2qJH−1+e2L π Cos@fiD +4e

è!!!!!!!!!!!1−e2 Sin@fiDN

4e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2 H−1+eCos@fiDL3

Cyy:=H−1+e2L2qJè!!!!!!!!!!!

1−e2 π Cos@fiD−4eSin@fiDNe π Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H−1+eCos@fiDL3



++++++++++RIGIDECES DE OCVIRK+++++++++++++++

KxxOCVIRK:= −4Hπ2−2e4H−16+ π2L +e2H32+ π2LL

H−1+e2L Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

KxyOCVIRK:= −π H−π2+2e4H−16+π2L −e2H32+ π2LLeè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2

KyxOCVIRK:= −π3 −2e2 π3+e4 π H−16+ π2L

eè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

KyyOCVIRK:=8 π2−4e2 H−16+ π2LHπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

++++++++++++++AMORTIGUAMIENTOS DE OCVIRK++++++

CxxOCVIRK:=2Hπ3+e4 π3 −2e2 π H−24+ π2LLeè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2

CxyOCVIRK:=8Hπ2 +2e2H−8+π2LLHπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

CyxOCVIRK:=8Hπ2 +2e2H−8+π2LLHπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

CyyOCVIRK:=2è!!!!!!!!!!!1−e2 π Hπ2 +2e2 H−8+ π2LLeHπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2

+++++RIGIDECES Y AMORTIGUAMIENTOS TOTALES+++++++++ RIGIDEZTOTxx:=Kxx+KxxOCVIRK RIGIDEZTOTxy:=Kxy+KxyOCVIRK RIGIDEZTOTyx:=Kyx+KyxOCVIRK RIGIDEZTOTyy:=Kyy+KyyOCVIRK AMORTIGUAMIENTOTOTxx:=Cxx+CxxOCVIRK AMORTIGUAMIENTOTOTxy:=Cxy+CxyOCVIRK AMORTIGUAMIENTOTOTyx:=Cyx+CyxOCVIRK AMORTIGUAMIENTOTOTyy:=Cyy+CyyOCVIRK

L0xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0, 0.1},PlotRange->{-10,10}] L0xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0, 0.1},PlotRange->{-10,10}] L0yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0, 0.1},PlotRange->{-10,10}] L0yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0, 0.1},PlotRange->{-10,10}] Show[L0xx1,L0xy1,L0yx1,L0yy1]

<<Graphics`Graphics` L0xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOrig in->{0,0.1}, PlotRange->{-10,10}] L0xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOrig in->{0,0.1}, PlotRange->{-10,10}] L0yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOrig in->{0,0.1}, PlotRange->{-10,10}] L0yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOrig in->{0,0.1}, PlotRange->{-10,10}]



Show[L0xx,L0xy,L0yx,L0yy] L0AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{e, 0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L0AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{e, 0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L0AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{e, 0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L0AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{e, 0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] Show[L0AMORTIGUAMIENTOxx1,L0AMORTIGUAMIENTOxy1,L0AMORTIGUAMIENTOyx1, L0AMORTIGUAMIENTOyy1] L0AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L0AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L0AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L0AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] Show[L0AMORTIGUAMIENTOxx,L0AMORTIGUAMIENTOxy,L0AMORTIGUAMIENTOyx, L0AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L0xx,L0yy,L0AMORTIGUAMIENTOxx,L0AMORTIGUAMIEN TOyy] +++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS++++++ Show[L0xy,L0yx,L0AMORTIGUAMIENTOxy,L0AMORTIGUAMIEN TOyx] L10xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L10xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L10yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L10yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L10xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L10xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L10yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L10yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] Show[L10xx,L10xy,L10yx,L10yy] L10AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L10AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L10AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L10AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}]



L10AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L10AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L10AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L10AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] Show[L10AMORTIGUAMIENTOxx,L10AMORTIGUAMIENTOxy,L10AMORTIGUAMIENTOyx, L10AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L10xx,L10yy,L10AMORTIGUAMIENTOxx,L10AMORTIGUA MIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L10xy,L10yx,L10AMORTIGUAMIENTOxy,L10AMORTIGUAM IENTOyx] L50xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L50xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L50yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L50yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{0 ,0.1},PlotRange->{-10,10}] L50xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L50xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L50yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L50yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOri gin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] Show[L50xx,L50xy,L50yx,L50yy] L50AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L50AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L50AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L50AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{e ,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L50AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,20}] L50AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L50AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L50AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOTOTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] Show[L50AMORTIGUAMIENTOxx,L50AMORTIGUAMIENTOxy,L50AMORTIGUAMIENTOyx, L50AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L50xx,L50yy,L50AMORTIGUAMIENTOxx,L50AMORTIGUA MIENTOyy]



+++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS++++++ Show[L50xy,L50yx,L50AMORTIGUAMIENTOxy,L50AMORTIGUA MIENTOyx] L100xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,10}] L100xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,10}] L100yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,10}] L100yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,10}] L100xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L100xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L100yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] L100yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0,10}] Show[L100xx,L100xy,L100yx,L100yy] L100AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L100AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L100AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L100AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L100AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,20}] L100AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L100AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] L100AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0,20}] Show[L100AMORTIGUAMIENTOxx,L100AMORTIGUAMIENTOxy,L100AMORTIGUAMIENTOyx,L100AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L100xx,L100yy,L100AMORTIGUAMIENTOxx,L100AMORT IGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L100xy,L100yx,L100AMORTIGUAMIENTOxy,L100AMORTI GUAMIENTOyx] L400xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,50}] L400xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,50}] L400yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,50}] L400yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,50}] L400xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,50}] L400xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,50}]



L400yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,50}] L400yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,50}] Show[L400xx,L400xy,L400yx,L400yy] L400AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,50}] L400AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L400AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L400AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,20}] L400AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,50}] L400AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,50}] L400AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,50}] L400AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,50}] Show[L400AMORTIGUAMIENTOxx,L400AMORTIGUAMIENTOxy,L400AMORTIGUAMIENTOyx,L400AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L400xx,L400yy,L400AMORTIGUAMIENTOxx,L400AMORT IGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L400xy,L400yx,L400AMORTIGUAMIENTOxy,L400AMORTI GUAMIENTOyx] L500xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,80}] L500xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,80}] L500yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,80}] L500yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin->{ 0,0.1},PlotRange->{-10,80}] L500xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,80}] L500xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,80}] L500yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,80}] L500yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesOr igin->{0,0.1}, PlotRange->{0.1,80}] Show[L500xx,L500xy,L500yx,L500yy] L500AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,80}] L500AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,80}] L500AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx,{ e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,80}] L500AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy,{ e,0,0.98},



AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-20,80}] L500AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,80}] L500AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,80}] L500AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,80}] L500AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTOT OTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,80}] Show[L500AMORTIGUAMIENTOxx,L500AMORTIGUAMIENTOxy,L500AMORTIGUAMIENTOyx,L500AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L500xx,L500yy,L500AMORTIGUAMIENTOxx,L500AMORT IGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L500xy,L500yx,L500AMORTIGUAMIENTOxy,L500AMORT IGUAMIENTOyx] L1100xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-50,250}] L1100xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-50,250}] L1100yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin �{0,0.01}, PlotRange->{-50,250}] L1100yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-50,250}] L1100xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L1100xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L1100yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L1100yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] Show[L1100xx,L1100xy,L1100yx,L1100yy] L1100AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-120,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-120,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-120,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-120,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,250}] L1100AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTyy],{e,0,0.98},



AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,250}] Show[L1100AMORTIGUAMIENTOxx,L1100AMORTIGUAMIENTOxy,L1100AMORTIGUAMIENTOyx,L1100AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L1100xx,L1100yy,L1100AMORTIGUAMIENTOxx,L1100A MORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L1100xy,L1100yx,L1100AMORTIGUAMIENTOxy,L1100A MORTIGUAMIENTOyx] L2200xx1:=Plot[RIGIDEZTOTxx,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-250,250}] L2200xy1:=Plot[RIGIDEZTOTxy,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-250,250}] L2200yx1:=Plot[RIGIDEZTOTyx,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-250,250}] L2200yy1:=Plot[RIGIDEZTOTyy,{e,0,0.98},AxesOrigin-> {0,0.01}, PlotRange->{-250,250}] L2200xx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxx],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L2200xy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTxy],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L2200yx:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyx],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] L2200yy:=LogPlot[Abs[RIGIDEZTOTyy],{e,0,0.98},AxesO rigin->{0,0.01}, PlotRange->{0.01,250}] Show[L2200xx,L2200xy,L2200yx,L2200yy] L2200AMORTIGUAMIENTOxx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxx, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-250,250}] L2200AMORTIGUAMIENTOxy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTxy, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-250,250}] L2200AMORTIGUAMIENTOyx1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyx, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-250,250}] L2200AMORTIGUAMIENTOyy1:=Plot[AMORTIGUAMIENTOTOTyy, {e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{-250,250}] L2200AMORTIGUAMIENTOxx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTxx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,380}] L2200AMORTIGUAMIENTOxy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTxy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,380}] L2200AMORTIGUAMIENTOyx:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTyx],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,380}] L2200AMORTIGUAMIENTOyy:=LogPlot[Abs[AMORTIGUAMIENTO TOTyy],{e,0,0.98}, AxesOrigin->{0,0.1},PlotRange->{0.1,380}] Show[L2200AMORTIGUAMIENTOxx,L2200AMORTIGUAMIENTOxy, L2200AMORTIGUAMIENTOyx,L2200AMORTIGUAMIENTOyy] +++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS DIRECTOS+++++++ Show[L2200xx,L2200yy,L2200AMORTIGUAMIENTOxx,L2200A MORTIGUAMIENTOyy]



+++++++++++++++COEF. ROTODINÁMICOS ACOPLADOS+++++++ Show[L2200xy,L2200yx,L2200AMORTIGUAMIENTOxy,L2200A MORTIGUAMIENTOyx] ++++++++COMPARACIÓN DE RIGIDECES+++++++++++ Show[L0xx,L10xx,L50xx,L100xx] Show[L0xy,L10xy,L50xy,L100xy] Show[L0yx,L10yx,L50yx,L100yx] Show[L0yy,L10yy,L50yy,L100yy] Show[L2200xx,L1100xx,L500xx,L400xx] Show[L1100xy,L2200xy,L400xy,L500xy] Show[L1100yx,L2200yx,L400yx,L500yx] Show[L1100yy,L2200yy,L400yy,L500yy] ++++++++++++COMPARACIÓN DE AMORTIGUAMIENTOS++++++++++ Show[L0AMORTIGUAMIENTOxx,L10AMORTIGUAMIENTOxx,L50AMORTIGUAMIENTOxx, L100AMORTIGUAMIENTOxx] Show[L0AMORTIGUAMIENTOxy] Show[L100AMORTIGUAMIENTOxy] Show[L50AMORTIGUAMIENTOxy,L100AMORTIGUAMIENTOxy] Show[L0AMORTIGUAMIENTOxy,L10AMORTIGUAMIENTOxy,L50AMORTIGUAMIENTOxy, L100AMORTIGUAMIENTOxy] Show[L0AMORTIGUAMIENTOyx,L10AMORTIGUAMIENTOyx,L50AMORTIGUAMIENTOyx, L100AMORTIGUAMIENTOyx] Show[L0AMORTIGUAMIENTOyy,L10AMORTIGUAMIENTOyy,L50AMORTIGUAMIENTOyy, L100AMORTIGUAMIENTOyy] Show[L1100AMORTIGUAMIENTOxx,L2200AMORTIGUAMIENTOxx, L400AMORTIGUAMIENTOxx,L500AMORTIGUAMIENTOxx] Show[L1100AMORTIGUAMIENTOxy,L2200AMORTIGUAMIENTOxy, L400AMORTIGUAMIENTOxy,L500AMORTIGUAMIENTOxy] Show[L1100AMORTIGUAMIENTOyx,L2200AMORTIGUAMIENTOyx, L400AMORTIGUAMIENTOyx,L500AMORTIGUAMIENTOyx] Show[L1100AMORTIGUAMIENTOyy,L2200AMORTIGUAMIENTOyy, L400AMORTIGUAMIENTOyy,L500AMORTIGUAMIENTOyy]

3.- VELOCIDAD UMBRAL DE ESTABILIDAD -Presurización inferior- -Rotor rígido-

fprt:= 500

e:= 0.3599

q:= fprtêHHHH1−He^2LL^2LêHe∗Pi∗HH16∗e^2L+HPi^2L∗H1−e^2LL^H1ê2LL∗H4ê1L^H2LLLfi:= HHArcTan@HPiêH4∗eLL∗H1−e^2L^0.5DLL +Pi


è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN


Kxy:= −



Kyx:= −



Kyy:= −

3H−1+e2L2qJ−16e2− π2+e2 π2+H−π2 +e2H16+ π2LLCos@2fiD +8eè!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN




Cxx:= −



Cxy:= −




è!!!!!!!!!!!1−e2 Sin@fiDN


Cyy:=H−1+e2L2qJè!!!!!!!!!!!



H−1+e2L Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2



eè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2






M:= HCxx+CxxOCVIRKL + HCyy+CyyOCVIRKLN1:= HKxx+ KxxOCVIRKL + HKyy+KyyOCVIRKLO1:= HHCxx+CxxOCVIRKL∗HCyy+CyyOCVIRKLL − HHCyx+CyxOCVIRKL∗ HCxy+CxyOCVIRKLLP:= HHKxx+ KxxOCVIRKL∗HKyy+ KyyOCVIRKLL − HHKyx+ KyxOCVIRKL∗ HKxy+ KxyOCVIRKLLQ:= HHCxx+CxxOCVIRKL∗HKyy+ KyyOCVIRKLL + HHCyy+CyyOCVIRKL∗ HKxx+ KxxOCVIRKLL −

HHCxy+CxyOCVIRKL∗HKyx+ KyxOCVIRKLL − HHCyx+CyxOCVIRKL∗ HKxy+ KxyOCVIRKLL

PCUADRADO= HM∗O1∗QLêHHP∗ M^2L + HQ^2L− HM∗ N1∗QLL



4.- VELOCIDAD UMBRAL DE ESTABILIDAD -Presurización superior- -Rotor rígido-

fprt:= 100

e:= 0.3573

q:= fprtêHHHH1−He^2LL^2LêHe∗Pi∗HH16∗e^2L+ HPi^2L∗H1−e^2LL^H1ê2LL∗H4ê1L^H2LLLfi:= ArcTan@HPiêH4∗eLL∗H1−e^2L^0.5D


è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN

16e π Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL4

Kxy:= −


16e π Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL4

Kyx:= −



Kyy:= −


16e π Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL4

Cxx:= −


4e2Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL3

Cxy= −


e π Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL3


è!!!!!!!!!!!1−e2 Sin@fiDN

4e2 Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL3

Cyy:=H−1+e2L2qJè!!!!!!!!!!!

1−e2 π Cos@fiD−4eSin@fiDNe π Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL3


H−1+e2L Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2



eè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2





CxyOCVIRK=8Hπ2 +2e2H−8+π2LLHπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2




HHCxy+CxyOCVIRKL∗HKyx+ KyxOCVIRKLL − HHCyx+CyxOCVIRKL∗ HKxy+ KxyOCVIRKLL

Cxy+CxyOCVIRK

PCUADRADO= HM∗O1∗QLêHHP∗ M^2L + HQ^2L− HM∗ N1∗QLL

5.- VELOCIDAD UMBRAL DE ESTABILIDAD -Presurización inferior- -Rotor flexible-

fprt:= 200

e:= 0.3

gama:= 1

q:= fprtêHHHH1−He^2LL^2LêHe∗Pi∗HH16∗e^2L+ HPi^2L∗H1−e^2LL^H1ê2LL∗H4ê1L^H2LLLfi:= HArcTan@HPiêH4∗eLL∗H1−e^2L^0.5DL +Pi


è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN


Kxy:= −



Kyx:= −



Kyy:= −





Cxx:= −



Cxy:= −




è!!!!!!!!!!!1−e2 Sin@fiDN


Cyy:=H−1+e2L2qJè!!!!!!!!!!!



H−1+e2L Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2



eè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2







HHCxy+CxyOCVIRKL∗HKyx+ KyxOCVIRKLL − HHCyx+CyxOCVIRKL∗ HKxy+ KxyOCVIRKLLA:= gama∗HHQ∗P∗ML − HHQ^2L∗N1LL

PCUADRADO= HM∗O1∗QLêHA+ HP∗M^2L + HQ^2L − HM∗N1∗QLL 6.- VELOCIDAD UMBRAL DE ESTABILIDAD-Presurización s uperior-



-Rotor flexible-

fprt:= 100

e:= 0.4523

gama:= 1

q:= fprtêHHHH1−He^2LL^2LêHe∗Pi∗HH16∗e^2L+ HPi^2L∗H1−e^2LL^H1ê2LL∗H4ê1L^H2LLLfi:= ArcTan@HPiêH4∗eLL∗H1−e^2L^0.5D


è!!!!!!!!!!!1−e2 π Sin@2fiDN

16e π Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL4

Kxy:= −



Kyx:= −



Kyy:= −


16e π Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL4

Cxx:= −


4e2Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL3

Cxy:= −


e π Hπ2 −e2 H−16+ π2LL3ê2H1+eCos@fiDL3


è!!!!!!!!!!!1−e2 Sin@fiDN

4e2 Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL3

Cyy:=H−1+e2L2qJè!!!!!!!!!!!

1−e2 π Cos@fiD−4eSin@fiDNe π Hπ2−e2H−16+ π2LL3ê2 H1+eCos@fiDL3


H−1+e2L Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2



eè!!!!!!!!!!!1−e2 Hπ2−e2 H−16+ π2LL3ê2









HHCxy+CxyOCVIRKL∗HKyx+ KyxOCVIRKLL − HHCyx+CyxOCVIRKL∗ HKxy+ KxyOCVIRKLLA:= gama∗HHQ∗P∗ML − HHQ^2L∗N1LL

PCUADRADO= HM∗O1∗QLêHA+ HP∗M^2L + HQ^2L − HM∗N1∗QLL

7.- INTERPOLACIÓN DE LA TABLA 3.1 - Presurización superior- Fprt = 0 data:={{32.2356981,86.35},{15.8395922,82.7},{10.255 2619,79.06}, {7.37906829,75.43}, {5.59178482,71.80},{4.35479751,68.17},{3.438115,64. 55},{2.72736128,60.93}, {2.15943673,57.31},{1.69678403,53.68},{1.31569559,5 0.02},{1.00047416,46.32}, {0.7402962,42.55},{0.52742744,38.70},{0.3561598,34. 70},{0.22215371,30.5}, {0.12201857,25.95},{0.05303793,20.82},{0.0129856,14 .47}} A=Interpolation[data] Fprt=1 data1:={{32.4853,86.35},{15.9588,82.7},{10.329,79.0 6},{7.42886,75.43}, {5.62668,71.80}, {4.3795,68.17},{3.4557,64.55},{2.73988,60.93},{2.16 823,57.31},{1.70288,53.68}, {1.3198,50.02},{1.00324,46.32},{0.742087,42.55},{0. 528544,38.70}, {0.35682,34.7}, {0.22251,30.5},{0.122192,25.95},{0.0531045,20.82},{ 0.013,14.47}} B=Interpolation[data1] data11:={{32.4853,0.05},{15.9588,0.1},{10.329,0.15} ,{7.42886,0.2}, {5.62668,0.25}, {4.3795,0.3},{3.4557,0.35},{2.73988,0.4},{2.16823,0 .45},{1.70288,0.5}, {1.3198,0.55}, {1.00324,0.6},{0.742087,0.65},{0.528544,0.7},{0.356 82,0.75},{0.22251,0.8}, {0.122192,0.85}, {0.0531045,0.9},{0.013,0.95}} B=Interpolation[data11] Fprt=5



data2:={{33.4831,86.35},{16.4354,82.7},{10.6236,79. 06},{7.62788,75.43}, {5.76614,71.80}, {4.47869,68.17},{3.5263,64.55},{2.7899,60.93},{2.20 337,57.31},{1.7272,53.68}}, {1.33643,50.02},{1.01429,46.32},{0.74924,42.55},{0. 533002,38.7}, {0.359454,34.70}, {0.223954,30.5},{0.122887,25.95},{0.05337,20.82},{0 .0130573,14.47}} F=Interpolation[data2] data22:={{33.4831,0.05},{16.4354,0.1},{10.6236,0.15 },{7.62788,0.2}, {5.76614,0.25}, {4.47869,0.3},{3.5263,0.35},{2.7899,0.4},{2.20337,0 .45},{1.72723,0.50}, {1.33643,0.55},{1.01429,0.6},{0.74924,0.65},{0.5330 02,0.7},{0.359454,0.75}, {0.223954,0.8},{0.122887,0.85},{0.05337,0.9},{0.013 0573,0.95}} F2=Interpolation[data22] Fprt=10 data3={{34.7304,86.35},{17.0312,82.7},{10.9918,79.0 6},{7.8766,75.43}, {5.94046,71.8}, {4.60257,68.17},{3.61458,64.55},{2.85246,60.93},{2. 24729,57.31}, {1.7576,53.68},{1.35717,50.02},{1.0281,46.32},{0.75 81,42.55},{0.538575,38.7}, {0.362748,34.7},{0.225752,30.5},{0.123755,25.95},{0 .0537019,20.82}, {0.013129,14.47}} G=Interpolation[data3] data33={{34.7304,0.05},{17.0312,0.1},{10.9918,0.15} ,{7.8766,0.2}, {5.94046,0.25},{4.60257,0.3},{3.61458,0.35},{2.8524 6,0.4},{2.24729,0.45}, {1.7576,0.5},{1.35717,0.55},{1.0281,0.6},{0.7581,0. 65},{0.538575,0.7}, {0.362748,0.75},{0.225752,0.8},{0.123755,0.85},{0.0 537019,0.9}, {0.013129,0.95}} G3=Interpolation[data33] Fprt=20 data4={{37.2249,86.35},{18.2227,82.7},{11.7284,79.0 6},{8.3742,75.43}, {6.2891,71.8}, {4.8503,68.17},{3.79102,64.55},{2.9775,60.93},{2.33 5,57.31},{1.8185,53.68}, {1.398,50.02},{1.05573,46.32},{0.77607,42.55},{0.54 97,38.7},{0.36933,34.7}, {0.22935,30.5},{0.12549,25.95},{0.05436,20.82},{0.0 1327,14.47}} H=Interpolation[data4] data44={{37.2249,0.05},{18.2227,0.1},{11.7284,0.15} ,{8.3742,0.2}, {6.2891,0.25},{4.8503,0.3},{3.79102,0.35},{2.9775,0 .4},{2.3351,0.45}, {1.81855,0.5},{1.3986,0.55},{1.05573,0.6},{0.77607, 0.65},{0.5497,0.7}, {0.36933,0.75},{0.22935,0.8},{0.12549,0.85},{0.0543 6,0.9},{0.01327,0.95}} H4=Interpolation[data44] Fprt=50 data5={{44.7086,86.35},{21.7973,82.7},{13.938,79.06 },{9.8668,75.43}, {7.3350,71.80}, {5.5935,68.17},{4.32037,64.55},{3.3527,60.93},{2.59 86,57.31},{2.00118,53.68}, {1.5230,50.02},{1.1386,46.32},{0.8297,42.55},{0.583 1,38.7},{0.3890,34.7}, {0.24015,30.5},{0.13069,25.95},{0.05635,20.82},{0.0 1370,14.47}} J=Interpolation[data5] data55={{44.7086,0.05},{21.797,0.1},{13.938,0.15},{ 9.866,0.2},{7.335,0.25},



{5.5935,0.3},{4.32037,0.35},{3.3527,0.4},{2.5986,0. 45},{2.00118,0.5}, {1.5230,0.55},{1.1386,0.6},{0.8297,0.65},{0.5831,0. 7},{0.3890,0.75}, {0.24015,0.8},{0.13069,0.85},{0.05635,0.9},{0.01370 ,0.95}} J5=Interpolation[data55] Fprt=100 data6={{57.1813,86.35},{27.7549,82.7},{17.6206,79.0 6},{12.3547,75.43}, {9.0783,71.80},{6.8323,68.17},{5.2026,64.55},{3.978 2,60.93},{3.0379,57.31}, {2.30557,53.68},{1.7303,50.02},{1.2767,46.32},{0.91 9149,42.55}, {0.63888,38.70},{0.4220,34.70},{0.258156,30.5},{0.1 39378,25.95}, {0.05967,20.82},{0.014419,14.47}} K=Interpolation[data6] data66={{57.1813,0.05},{27.7549,0.1},{17.6206,0.15 },{12.3547,0.2}, {9.0783,0.25},{6.8323,0.3},{5.2026,0.35},{3.9782,0. 4},{3.0379,0.45}, {2.30557,0.5},{1.7303,0.55},{1.2767,0.6},{0.919149, 0.65},{0.63888,0.7}, {0.4220,0.75},{0.258156,0.8},{0.139378,0.85},{0.059 67,0.9},{0.014419,0.95}} K6=Interpolation[data66]

8.- POSICIÓN DE EQUILIBRIO-Sommerfeld vs excentricidad- e:=0.5 a:=0 gama:=((16*e^2)+(Pi^2)*(1-e^2))^0.5 fCERO:=0 f0:=10 f00:=50 f000:=128 fCERO1:=0 f1:=10 f11:=50 f111:=100 f2:=400 f22:=500 f222:=2200 SCEROS:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16+((fCERO*(1-^ 2)*gama^3)/ (8*(gama+4*e^2)^3)))) S0:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16+((f0*(1-a^2)*gam a^3)/(8*(gama+4*e^2)^3)))) S00:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16+((f00*(1-^2)*ga ma^3)/(8*(gama+4*e^2)^3)))) S000=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16+((f000*(1-a^2)* gama^3)/ (8*(gama+4*e^2)^3)))) SCERO1:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16-((fCERO1*(1- a^2)*gama^3)/ (8*(gama-4*e^2)^3)))) S1:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16-((f1*(1-a^2)*gam a^3)/(8*(gama-4*e^2)^3)))) S11:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16-((f11*(1-a^2)*g ama^3)/ (8*(gama-4*e^2)^3)))) S111:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(16-((f111*(1-a^2) *gama^3)/ (8*(gama-4*e^2)^3)))) S2:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(-16+((f2*(1-a^2)*ga ma^3)/(8*(gama+4*e^2)^3))))



S22:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(-16+((f22*(1-a^2)* gama^3)/ (8*(gama+4*e^2)^3)))) S222:=((((1-e^2)^2)/(Pi*e*gama))*(-16+((f222*(1-a^2 )*gama^3)/ (8*(gama+4*e^2)^3)))) <<Graphics`Graphics` +++++Inyección Superior+++++++ g1:=LogPlot[S0,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},Plo tRange->{0.1,20}] g2:=LogPlot[S00,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},Pl otRange->{0.1,20}] g3:=LogPlot[S000,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},P lotRange->{0.1,20}] g33:=LogPlot[SCEROS,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1 },PlotRange->{0.1,20}] Show[g33,g1,g2,g3,Frame->True] +++++Inyección Inferior (Fprt<128)+++ g4:=LogPlot[S1,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},Plo tRange->{0.1,20}] g5:=LogPlot[S11,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},Pl otRange->{0.1,20}] g6:=LogPlot[S111,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1},P lotRange->{0.1,20}] g66:=LogPlot[SCERO1,{e,0.01,0.9},AxesOrigin->{0,0.1 },PlotRange->{0.1,20}] Show[g66,g4,g5,g6,Frame->True] +++++Inyección Inferior (Fprt>128)++++ g7:=LogPlot[S2,{e,0.3,1},AxesOrigin->{0.3,0.1},Plot Range->{0.1,20}] g8:=LogPlot[S22,{e,0.3,1},AxesOrigin->{0.3,0.1},Plo tRange->{0.1,20}] g9:=LogPlot[S222,{e,0.3,1},AxesOrigin->{0.3,0.1},Pl otRange->{0.1,20}] Show[g7,g8,g9,Frame->True]

9.- CAMPOS DE PRESIÓN -Aproximando la función de Dirac- *****Inyección Superior*******Fprt=5********Sommerfeld=1******** S:=1 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.6024 fprt:=5 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}] *****Inyección Superior*******Fprt=10********Somme rfeld=1********



S:=1 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.6047 fprt:=10 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}] *****Inyección Superior*******Fprt=50********Sommer feld=1******** S:=1 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.6209 fprt:=50 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el-{teta,z,P}, PlotRange->{-2,5}] *****Inyección Superior*******Fprt=5********Sommer feld=4******** S:=4 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.3233 fprt:=5 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}] *****Inyección Superior*******Fprt=10********Sommer feld=4********



S:=4 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.3287 fprt:=10 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}] *****Inyección Superior*******Fprt=50********Sommer feld=4******** S:=4 n:=10 b:=Pi a:=0 e:=0.3650 fprt:=50 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-0.5,3}] *****Inyección Inferior*******Fprt=5********Sommerf eld=1******** S:=1 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.5685 fprt:=5 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-1.5,7}] *****Inyección Inferior*******Fprt=10********Sommer feld=1********



S:=1 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.5409 fprt:=10 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-1.5,13}] *****Inyección Inferior*******Fprt=50********Sommer feld=1******** S:=1 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.3711 fprt:=50 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-1.5,23}] *****Inyección Inferior*******Fprt=5********Sommerf eld=4******** S:=4 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.3055 fprt:=5 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-0.3,0.85}]



*****Inyección Inferior*******Fprt=10********Sommer feld=4******** S:=4 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.2935 fprt:=10 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-0.3,1.4}] *****Inyección Inferior*******Fprt=50********Sommer feld=4******** S:=4 n:=10 b:=0 a:=0 e:=0.2004 fprt:=50 r:=0.25 q=fprt/S fi=ArcTan[(Pi/(4*e))*(1-e^2)^0.5] G1=Plot3D[(((6*Pi*e*(r^2)*Sin[teta])/(2*(1+e*Cos[te ta])^3))* (1-z^2))+((r^2)*q*((n/(Pi)^0.5)*E^((-n^2)* ((teta-Pi-b+fi)^2))*(1-(a*z)-Abs[z-a])))/(1+e*Cos[t eta])^3,{teta,0,2Pi}, {z,-1,1},PlotPoints->40,ViewPoint->{1,-4,1},AxesLab el->{teta,z,P}, PlotRange->{-0.3,4}]

TeorÃ-a de chumaceras presurizadas con puertos puntuales caso de la chumacera corta

Documents

Transcript of TeorÃ-a de chumaceras presurizadas con puertos puntuales caso de la chumacera corta