Teor a de Distribuciones - mate.unlp.edu.ar

Teorıa de DistribucionesLic. Darıo Javier Zamora1

1Instituto de Fısica La Plata, UNLP-CONICET

30 de agosto de 2018

Indice 1

Indice

1. Introduccion 3

2. Conceptos previos 32.1. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Hahn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Topologıas debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Introduccion a distribuciones 63.1. Escalon de Heaviside y delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Espacios fundamentales de funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3. Distribuciones como funcionales lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5. Distribuciones en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6. Calculo de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7. Teorema de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Propiedades de distribuciones 154.1. Convolucion y producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Sucesiones y series de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Producto de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Analisis de Fourier 255.1. Transformada de Fourier ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Transformada de Fourier generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3. Transformadas de Fourier en E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4. Distribuciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Conceptos previos 3

1. Introduccion

En las ultimas decadas el interes en las funciones generalizadas ha estado creciendoconstantemente en varias ramas de la matematica. De hecho, ya habıan sido usadas am-pliamente por los fısicos aun antes de manera no rigurosa.Los trabajos de Hadamard en los cuales trata con integrales divergentes en solucioneselementales de ecuaciones de onda han sido importantes para el desarrollo de la teorıa dedistribuciones, ası como algunos trabajos de M. Riesz. Pero el primero en utilizar las fun-ciones generalizadas en forma explıcita fue S. L. Sobolev en 1936 durante sus estudios dela unicidad de las soluciones al problema de Cauchy para ecuaciones lineales hiperbolicas.En 1950 Laurent Schwartz sistematiza la teorıa de distribuciones, basandose en teorıas deespacios lineales topologicos y obteniendo muchos resultados importantes, lo que marca elcomienzo de la teorıa de distribuciones como un campo de estudio por sı mismo [1].El tratamiento original de Schwartz definıa una distribucion como una funcional linealcontinua en un espacio de funciones de prueba. Es decir, una distribucion es esencialmenteun elemento del dual de cierto espacio lineal topologico. Desde la aparicion de los textos deSchwartz se tratan los terminos ”funcion generalizada” y ”distribucion” como sinonimos.El presente trabajo intenta introducir el concepto y principales propiedades de distribucio-nes, presentadas como en la clasica teorıa de Schwartz como funcionales lineales continuasde ciertos espacios de funciones suaves [2].

2. Conceptos previos

Comenzaremos repasando algunos de los conceptos y teoremas vistos en el curso deAnalisis funcional que nos seran necesarios para desarrollar la teorıa de distribuciones. Nose realizaran explicaciones detalladas de dichos conceptos por ya haber sido estudiados ylos teoremas seran enunciados sin demostracion.

2.1. Espacios normados

Llamamos al cuerpo K = R o C.

Definicion 2.1.1 (Espacio vectorial topologico). Un espacio vectorial topologico (EVT)es un espacio topologico (E, τ) en el que E es un K-espacio vectorial y ademas:

1. La topologıa τ es de Hausdorff

2. Las operaciones vectoriales

E × E 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ E K× E 3 (λ, x) 7→ λx ∈ E (2.1)

son continuas, cuando en E × E y en K× E se usan las topologıas producto.

Definicion 2.1.2 (Norma). Dado un K-EV. La funcion || · || : E → R+ es una norma sii∀λ ∈ K y ∀x, y ∈ E se cumple:

1. ||λx|| = |λ|.||x||

2. ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||

3. ||x|| = 0⇐⇒ x = 0


En tal caso el par (E, || · ||) pasa a llamarse un espacio normado (EN).Si la funcion || · || cumple las dos primeras condiciones pero no necesariamente la terceradiremos que es una seminorma y la notaremos p(·).Definicion 2.1.3 (Metrica). Dados x, y, z ∈ E, la funcion d : E×E → R es una metricasii:

1. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0⇔ x = y

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Sera util tambien recordar la siguiente proposicion:

Teorema 2.1.1. Sea (E, || · ||) un EN ⇒ la funcion d(x, y) = ||x− y|| es una metrica enE.

Definicion 2.1.4 (Familia separadora). Dado E EV, una familia F de seminormas esseparadora sii ∀x, y ∈ E/x 6= y,∃p ∈ F/p(x− y) 6= 0.

Veamos ahora algunas observaciones sobre lo antes definido y algunas notaciones queutilizaremos de aquı en adelante:

1. Con la topologıa asociada a d, E resulta ser un EVT.

2. El par (E, || · ||) se llamara espacio de Banach (EB) si la metrica d hace de E unespacio completo.

3. Denotaremos por E′ = φ : E → K/µ es lineal al espacio de funcionales lineales deE, es decir, al espacio dual algebraico de E.

4. En espacios de dimension infinita puede ocurrir que una funcional lineal no seacontinua, por ello introducimos tambien la siguiente notacion.

5. Denotamos por E∗ = φ ∈ E′/µ es τ -continua al espacio dual topologico de E.

6. Llamaremos σ(E,F ) a la topologıa inicial inducida por la familia de seminormas F

7. Si la familia F de seminormas separa puntos de E, resulta que la topologıa σ(E,F )hace de E un EVT.

La utilidad de estos procesos para producir topologıas EVT es que permiten encontrarla topologıa que se adecua a una convergencia dada en E, como haremos con el espaciode distribuciones. Veamos en que sentido la topologıa σ(E,F ) se describe en termino deconvergencias.

Teorema 2.1.2. Sea E un EV y sea σ(E,F ) la topologıa inducida por la familia deseminormas F . Dada una sucesion (xi) ⊂ E =⇒ ∀p ∈ F :

xiσ(E,F )−−−−→ x⇐⇒ p(xi − x)

R−→ 0 (2.2)

La siguiente proposicion sera esencial en el tratamiento de las distribuciones al serestas funcionales continuas de cierto espacio. Esta establece que una funcional es continuasii es acotada:

Teorema 2.1.3. Sea E un EV, y sea φ ∈ E′. Dada una familia separadora F de semi-normas para E =⇒φ es σ(E,F )-continua⇐⇒ ∃M ≥ 0 y una n-upla (pk) en F/ |φ(x)| ≤M maxk pk(x),∀x ∈E


2.2. Espacios localmente convexos

Recordemos las siguientes definiciones que seran utiles para definir el espacio funda-mental de funciones de prueba:

Definicion 2.2.1 (Convexidad). Sea E un K-EV y sea A ⊆ E. A es convexo sii ∀x, y ∈ A,(1− λ)x+ λy/λ ∈ [0, 1] ⊆ A

Definicion 2.2.2 (Espacio localmente convexo). Sea (E, τ) un ETV. E es un espacio lo-calmente convexo (ELC) sii ∀x ∈ E,∃ una base de Oaτ (x) que consiste de abiertos convexos.

Donde Oaτ (x) es un filtro de entornos abiertos de (E, τ).

Definicion 2.2.3 (Espacio de Frechet). E es un espacio de Frechet sii

1. E es ELC.

2. E es EB.

3. La metrica d definida en E cumple, ademas de los habituales (definicion 2.1.3), lossiguientes axiomas:

a) d(x, y) = d(x− y, 0)

b) ∀(αn) sucesion de escalares/ lımn→∞ αn = 0 =⇒ lımn→∞ d(αnx, 0) = 0∀x ∈ Ec) ∀(xn) ⊂ E/ xn → 0 y ∀α escalar =⇒ lımn→∞ d(αxn, 0) = 0

2.3. Hahn Banach

El teorema de Hahn Banach sera esencial en el tratamiento de las distribuciones al serestas funcionales que necesitaremos extender a espacios mas grandes. Presentaremos aquıla siguiente version del teorema:

Teorema 2.3.1 (Teorema de Hahn Banach). Sea E un EV. Sean S ⊆ E un subespacio yφ ∈ S∗ =⇒ ∃Φ ∈ E∗/

1. ∀x ∈ S,Φ(x) = φ(x)

2. ||Φ||E∗ = ||φ||S∗

2.4. Topologıas debiles

Definicion 2.4.1 (Topologıa debil). Sea E un ELC y E∗ su dual topologico. Consideremosla familia de seminormas F = pφ(x) = |φ(x)| : φ ∈ E∗, x ∈ ELa topologıa inducida se denomina topologıa debil y se denota ω = σ(E,E∗)

Definicion 2.4.2 (Topologıa debil *). La topologıa ω∗ = σ(E∗, E) se denomina topologıadebil * y es la inducida por la familia de seminormas:F = px(φ) = |φ(x)| : φ ∈ E∗, x ∈ E

Las topologıas ω y ω∗ se describen por convergencias, por el teorema (2.1.2):

∀φ ∈ E∗, xiω−→ x⇐⇒ φ(xi)→ φ(x) (2.3)

∀x ∈ E, φiω∗−→ φ⇐⇒ φi(x)→ φ(x) (2.4)

3 Introduccion a distribuciones 6

3. Introduccion a distribuciones

3.1. Escalon de Heaviside y delta de Dirac

A modo ilustrativo, comenzaremos con una pequena revision de la hechos basicos con-cernientes a la funcion escalon de Heaviside H(x) y a la Delta de Dirac δ(x), lo que nosdara las herramientas necesarias para luego definir rigurosamente una distribucion. Ve-remos que la definicion de estas como funciones generalizadas dependen de la accion decierto tipo de funciones ordinarias llamadas funciones de prueba. Por ello, comenzare-mos definiendo funciones de prueba.Recordemos que el soporte de una funcion ordinaria ϕ : R→ C se define como la clausuradel conjunto x ∈ R/ϕ(x) 6= 0. Se dice que ϕ tiene soporte compacto sii fuera de algunintervalo finito [a, b] es identicamente nula.

Definicion 3.1.1 (Funciones de prueba). Una funcion ϕ puede ser utilizada como funcionde prueba sii es de soporte compacto y continua en R.

Veamos como estas funciones pueden ser utilizadas para definir la funcion escalon deHeaviside, H. Para cada c ∈ R, Hc denota la funcion definida por:

Hc =

1 si x > 0

c si x = 0

0 si x < 0

(3.1)

Luego, ∀ϕ funcion de prueba tenemos:∫ +∞

−∞ϕ(x)Hc(x)dx =

∫ +∞

0ϕ(x)dx (3.2)

Es decir, la familia Hcc∈R define una aplicacion (H) independiente de c:

H : ϕ→∫ +∞

0ϕ(x)dx (3.3)

Esto significa que H es mas que una funcion ordinaria, sino que realmente esta asociadaa una clase de equivalencia de funciones. De la misma forma, toda funcion localmenteintegrable f : R→ C puede generar una funcion generalizada F mediante el mapeo:

F : ϕ→∫ +∞

−∞ϕ(x)f(x)dx (3.4)

Supongamos ahora que ambas funciones f y ϕ son localmente integrables y continua-mente diferenciables. Si ϕ se anula fuera de [a, b], por integracion por partes obtenemos:

∫ ∞−∞

f ′(x)ϕ(x)dx =

∫ b

af ′(x)ϕ(x)dx

= [f(x)ϕ(x)]ba −∫ b

af(x)ϕ′(x)dx

=

∫ ∞−∞

f(x)[−ϕ′(x)]dx

(3.5)

Si F denota la funcion generalizada asociada a f , entonces la ecuacion anterior sugierela siguiente definicion:


Definicion 3.1.2 (Derivada generalizada). DF es la derivada de la distribucion F siiDF es la aplicacion/ DF : ϕ→

∫∞−∞ f(x)[−ϕ′(x)]dx

A partir de esta definicion podemos ver que la derivada de la funcion escalon deHeaviside es: ∫ ∞

−∞[−ϕ′(x)]Hc(x)dx =

∫ ∞0

[−ϕ′(x)]dx

= [−ϕ(x)]∞0

= ϕ(0)

(3.6)

La cual, nuevamente no depende del valor de c. Por lo tanto, la delta de Dirac, definidacomo δ ≡ DH, resulta ser la funcion generalizada relacionada al mapeo:

DH ≡ δ : ϕ→ ϕ(0) (3.7)

Tanto H como δ pueden ser descriptas como funcionales, que es la base de la teorıade distribuciones de Schwartz, que desarrollaremos a continuacion.

3.2. Espacios fundamentales de funciones de prueba

Sea p = 1, 2, 3 . . . y K @ R un compacto. Usaremos la siguiente notacion:Cp = Cp(R) el espacio lineal de las funciones complejas sobre los reales con derivadascontinuas hasta orden p.Cp0 = Cp0 (R) el subespacio lineal de Cp de funciones con soporte compacto.CpK = CpK(R) el subespacio lineal de Cp0 de funciones cuyo soporte es el mismo compacto K.

De la misma forma definimos:C∞ = C∞(R) el espacio lineal de las funciones complejas sobre los reales suaves, es decir,con derivadas continuas de todo orden.C∞0 = C∞0 (R) el subespacio lineal de C∞ de funciones con soporte compacto.C∞K = C∞K (R) el subespacio lineal de C∞0 de funciones cuyo soporte es el mismo compactoK.

El espacio fundamental de las funciones de prueba en la teorıa de Schwartz es C∞0equipado con una topologıa localmente convexa (definicion 2.2.2), usualmente denotadacomo D(R) o simplemente D.Cada espacio CpK es un EN respecto a la norma:

||ϕ||[p,K] ≡ max0≤r≤p

supx∈K|ϕ(r)(x)| (3.8)

Una sucesion (ϕn)n∈N ⊂ CpK converge a ϕ en norma sii cada sucesion (ϕ(r)n )n∈N, r =

1, 2, ..., p, de las derivadas de ϕn converge uniformemente a la correspondiente derivadaϕ(r) del lımite de la sucesion ϕ. A esta convergencia la llamaremos convergencia p-uniforme.Para simplificar la notacion entenderemos a partir de aquı en adelante que el ındice n enlas sucesiones corren sobre todos los naturales, y por lo tanto las notaremos simplementecomo (ϕn).C∞K es un subespacio lineal de CpK pero no podemos definir la norma || · ||[∞,K] en esteespacio como el lımite de las normas || · ||[p,K]. Sin embargo, el modo de convergencia quedabien definido de la siguiente manera:


Definicion 3.2.1 (Convergencia ω-uniforme). Una sucesion (ϕn) ⊂ C∞K converge ω-

uniformemente a 0 sii cada sucesion (ϕ(r)n ), r = 1, 2, . . ., de las derivadas de ϕn converge

uniformemente a 0.

Luego, definimos el espacio DK como el espacio C∞K equipado con la convergencia ω-uniforme. Los espacios DK son subespacios lineales del espacio de Schwartz D, donde Des la union de todos los posibles DK cuando K corre sobre todos los posibles compactosde R. Es decir:

D(R) = ∪∞n=1DKn (3.9)

Por lo tanto, el modo de convergencia en D es como sigue:

Definicion 3.2.2 (Convergencia en D). Una sucesion (ϕn) ⊂ C∞K converge a 0 en D sii(ϕn) converge ω-uniformemente a 0.

Observemos que en las condiciones estamos poniendo implıcitamente que ∀n ∈ N, ϕn ∈C∞K , con K fijo. Es decir, que todas las funciones de prueba ϕn deben tener como soporteel mismo compacto K. Tenemos el siguiente resultado que enunciaremos sin demostracion:

Teorema 3.2.1. Sea ϕ ∈ Cp0 , 0 ≤ p ≤ ∞, una funcion cualquiera⇒ ∃(ϕn) ⊂ C∞0 /convergep-uniformemente a ϕ. Aun mas, todas las ϕn tienen soporte contenido en el mismo inter-valo finito.

Se puede demostrar que cada espacio DK es completo y por lo tanto es un EB. Esmas, no solo es un EB sino que es un espacio de Frechet (definicion 2.2.3).

3.3. Distribuciones como funcionales lineales continuas

Ahora que hemos definido el espacio de Schwartz D estamos en condiciones de definirrigurosamente una distribucion. Cualquier elemento de D sera llamado una funcion deprueba, y una distribucion sera un elemento del espacio dual topologico de D (D∗),es decir, una funcional lineal y continua respecto a la convergencia con la que hemosequipado a D (ver la notacion introducida en 2.1). Notaremos como µ(ϕ) a la imagen deϕ ante la aplicacion de µ.

Definicion 3.3.1 (Distribucion). La aplicacion µ : D → C es una distribucion sii:

1. ∀ϕ ∈ D,µ(ϕ) ∈ C

2. Linealidad: ∀ϕ1, ϕ2 ∈ D y ∀a1, a2 ∈ C,

µ(a1ϕ1 + a2ϕ2) = a1µ(ϕ1) + a2µ(ϕ2) (3.10)

3. Continuidad: Si (ϕn) ⊂ D converge a ϕ en D =⇒ µ(ϕ) = lımn→∞ µ(ϕn)

Algunos autores utilizan una definicion alternativa (como por ejemplo, [3]) en la quese reemplaza la continuidad por acotaciones locales y que se puede demostrar que escompletamente equivalente (ver teorema 2.1.3). En particular, se dice que una distribucionµ esta localmente acotada si ∀K @ R,∃ un numero M(K) > 0 y un entero p(K) ≥ 0/∀ϕ,

|µ(ϕ)| ≤M(K)||ϕ||[p,K] (3.11)

Esto significa que la restriccion de una distribucion al subespacio DK esta acotadarespecto a la norma || · ||[p,K]. Generalmente tanto p como M dependen de K. Pero conalgunas distribuciones sucede que podemos tomar un mismo p ∀K, son las llamadas dis-tribuciones de orden finito.


Definicion 3.3.2 (Distribucion de orden finito). Una distribucion µ ∈ D∗ es de ordenfinito sii ∃p ∈ Z+/∀K @ R, ∀ϕ ∈ DK

|µ(ϕ)| ≤M(K)||ϕ||[p,K] (3.12)

Donde el numero M(K) depende de K, pero p no.

Si µ es una distribucion de orden finito y p es el entero mas pequeno para el cual secumple la desigualdad (3.12) diremos que µ es una distribucion de orden p. LlamaremosD∗fin al subespacio de D∗ de las distribuciones de orden finito.

Toda funcion localmente integrable h produce una distribucion µh definiendo la si-guiente aplicacion:

Definicion 3.3.3 (Distribucion regular). La distribucion µh es regular sii puede ser ob-tenida mediante la aplicacion:

ϕ→ µh(ϕ) =

∫ +∞

−∞ϕ(x)h(x)dx,∀ϕ ∈ C∞0 (3.13)

Si ϕ tiene soporte en el compacto K = [a, b] entonces:

|µh(ϕ)| ≤ supa≤x≤b

|ϕ(x)|.∫ b

a|h(x)|dx = M.||ϕ||[0,K] (3.14)

Por lo tanto, µh es una distribucion de orden 0. Notemos algo importante: en la ecua-cion (3.13) podrıamos reemplazar h por una funcion h1 / h1 = h a.e. (almost everywhere),sin alterar nada. Esto quiere decir, µh no esta asociada a una funcion localmente integra-ble particular, sino a una clase de equivalencia de funciones. De todas maneras, es comunasociar a µh a una funcion representativa de dicha clase h(x), llamada funcion genera-lizada. Esta es una convencion peligrosa pues el valor de una funcion generalizada en unpunto ha perdido su significado usual y por lo tanto no es una funcion usual. Este es elcaso, como vimos, de la distribucion H, que hay que distinguir de las funciones ordinariasque la generan Hc.

Definicion 3.3.4 (Distribucion singular). Toda distribucion que no puede ser definidamediante la ecuacion (3.13) sera llamada distribucion singular.

Este es el caso de la distribucion Delta de Dirac, definida en (3.7). De hecho, podemosver que δ es una distribucion de orden 0 debido al hecho de que:

|δ(ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ supx∈K|ϕ(x)| = ||ϕ||[0,K] (3.15)

3.4. Localizacion

Hasta ahora hablamos de distribuciones definidas en el espacio D(R) pero obviamentepodemos restringir esta distribucion a cualquier subconjunto abierto Ω ⊂ R.

Definicion 3.4.1 (Localizacion). Llamamos localizacion de una distribucion µ ∈ D∗(R)a su restriccion a un subconjunto abierto Ω ⊂ R y lo denotamos µ ∈ D∗(Ω).

Podemos demostrar que toda distribucion µ ∈ D∗(R) puede ser re-obtenida a partirde sus localizaciones, para demostrar esto necesitaremos el siguiente lema:


Lema 3.4.1. Sea Ω ⊂ R abierto y Ωαα∈J un recubrimiento de abiertos de Ω =⇒∃γαα∈J una familia correspondiente de funciones infinitamente diferenciables definidasen Ω llamada particion de la unidad de Ω/

1. γα es no negativa en Ω, ∀α ∈ J

2. El soporte de γα esta contenido en Ω, ∀α ∈ J

3. ∀K @ Ω compacto, solo un numero finito de funciones γα 6≡ 0 en Ω

4. En Ω se cumple la ecuacion∑

α∈J γα(x) ≡ 1

Teorema 3.4.1 (Principio de Localizacion). Sea µαα∈J una familia de distribucionesdefinidas en una familia correspondiente de abiertos Ωαα∈J y sea Ω = ∪α∈JΩα. Si∀α, β ∈ J , µα = µβ en Ωα ∩ Ωβ =⇒ ∃! distribucion µ en Ω/ sus localizaciones en los Ωα

coinciden con las dadas µα en Ωα.

Demostracion. Sea γα una particion de la unidad de Ω/ ∀α ∈ J el soporte de γα estacontenido en Ωα. Luego ∀ϕ ∈ D(Ω)

ϕ =∑α∈J

(γα.ϕ) (3.16)

Por el lema (3.4.1) la suma tiene finitos terminos distintos de cero. Podemos definir µ enD(Ω) como:

µ(ϕ) =∑α∈J

µα(γαϕ) (3.17)

Si ϕ tiene soporte contenido en Ωβ entonces γαϕ tiene soporte contenido en Ωα ∩ Ωβ. Enesta interseccion:

µα(ϕ) = µβ(ϕ) (3.18)

Y por lo tanto:

µ(ϕ) =∑α∈J

µα(γαϕ)

=∑α∈J

µβ(γαϕ)

= µβ(∑α∈J

γαϕ)

= µβ(ϕ)

(3.19)

3.5. Distribuciones en Rm

La m-upla ordenada de enteros no negativos r = (r1, r2, . . . , rm) se llama multi-ındicede dimension m, y definimos su orden como:

|r| = r1 + r2 + . . .+ rm (3.20)

Utilizaremos las siguientes notaciones:

1. xr = xr11 . . . xrmn


2. Dr = ∂|r|/∂xr11 . . . ∂xrmn

3. Y por lo tanto: Dr+qf(x) = DrDqf(x)

Con estas notaciones estamos en condiciones de generalizar la definicion de distribuciona Rm de manera muy sencilla:

Definicion 3.5.1 (Sucesion nula). La sucesion (ϕn) ⊂ D(Rm) es una sucesion nula sii:

1. ∃ una bola B(0, ε) = x ∈ Rm/||x|| < ε/ ∀n, ϕn(x) = 0 ∀x 6∈ B(0, ε)

2. ∀r multi-ındice de dimension m, lımn→∞supx∈B(0,ε) |Drϕn(x)| = 0

Definicion 3.5.2 (Convergencia en D(Rm)). La sucesion (ϕn) ⊂ D(Rm)→ ϕ en D(Rm)sii (ϕ− ϕn) es una sucesion nula.

Luego, una distribucion queda bien definida en D(Rm) simplemente reemplazando enla definicion (3.3.1) D por D(Rm) y la convergencia en D por la convergencia en D(Rm).Con esta topologıa D(Rm) es un espacio de Frechet. De igual manera podemos generalizarel concepto de localizacion en un abierto Ω ⊂ Rm y la norma || · ||[p,K] se define como:

||ϕ||[p,K] = max0≤|k|≤p

supx∈K|Dkϕ(x)| (3.21)

donde k es un multi-ındice de dimension m.

3.6. Calculo de distribuciones

Las siguientes definiciones son generales pero por simplicidad trabajeremos en terminosde distribuciones definidas en D.

Definicion 3.6.1 (Suma). Dadas µ, ν ∈ D∗ definimos µ + ν/ ∀ϕ ∈ D, (µ + ν)(ϕ) =µ(ϕ) + ν(ϕ)

Definicion 3.6.2 (Multiplicacion por escalar). Dadas µ ∈ D∗ y a ∈ C definimos aµ/∀ϕ ∈ D, (aµ)(ϕ) = aµ(ϕ)

Definicion 3.6.3 (Igualdad). Dadas µ1, µ2 ∈ D∗, µ1 = µ2 sii ∀ϕ ∈ D,µ1(ϕ) = µ2(ϕ)

Como ya notamos anteriormente tenemos el siguiente resultado inmediato:

Teorema 3.6.1. Sean µh, µg ∈ D∗ distribuciones regulares definidas por las funcioneslocalmente integrables h y g respectivamente ⇒ µh = µg sii h(x) = g(x) a.e.

Definicion 3.6.4 (Distribucion nula). La distribucion Θ es la distribucion nula sii ∀ϕ ∈D, Θ(ϕ) = 0

La distribucion nula, tiene las siguientes propiedades:

1. Θ + µ = µ+ Θ, ∀µ ∈ D

2. 0µ = Θ,∀µ ∈ D

Definicion 3.6.5 (Soporte). Un conjunto S ⊂ D es el soporte de una distribucion µ siies el complemento del conjunto abierto mas grande en el que µ(ϕ) = 0.

Definicion 3.6.6 (Punto esencial). x ∈ D es punto esencial de µ sii x ∈ S


Si el soporte S ⊂ A, diremos que µ esta concentrado en A. Por ejemplo, la delta deDirac δa esta concentrada en el conjunto a. Si µh es una distribucion regular definidapor la funcion h, el soporte de µ coincide con el soporte de h. Debemos notar, sin embargo,que un punto x puede ser un punto esencial de µh a pesar de que h(x) = 0. Por ejemplo,si h(x) = x el soporte de µh es R a pesar de que h(0) = 0.∀a ∈ R el operador traslacion τa de una funcion ordinaria ϕ esta definido como

τaϕ(x) = ϕ(x− a). Para una distribucion regular esto da:

µh(τaϕ) =

∫ ∞−∞

ϕ(x− a)h(x)dx

=

∫ ∞−∞

ϕ(y)h(y + a)dy

= µg(ϕ)

(3.22)

Donde g = τ−ah. Lo que nos impulsa a realizar la siguiente definicion:

Definicion 3.6.7 (Traslacion de una distribucion). El operador τa es una traslacion sii∀ϕ ∈ D, τaµ(ϕ) = µ(τ−aϕ)

Definicion 3.6.8 (Derivada). Dµ es la derivada de la distribucion µ sii ∀ϕ ∈ D

Dµ(ϕ) = µ(−ϕ′) (3.23)

Al ser ϕ una funcion suave resulta inmediato de la definicion anterior la siguienteproposicion:

Teorema 3.6.2. Toda distribucion es infinitamente derivable.

En el caso de una distribucion regular obtenemos ∀ϕ ∈ D:

Dµh(ϕ) = µh(−ϕ′)

= −∫ ∞−∞

ϕ′(x)h(x)dx

=

∫ ∞−∞

ϕ(x)h′(x)dx

= µh′(ϕ)

(3.24)

Es claro que la diferenciacion cumple las propiedades de linealidad:

1. D(µ+ ν) = Dµ+Dν

2. D(aµ) = aDµ

Para definir la primitiva de una distribucion µ, en analogıa con las funciones usuales,pedirıamos que sea una distribucion ν/ Dν = µ. En tal caso se deberıa satisfacer ∀ϕ ∈ D:

ν(−ϕ′) = µ(ϕ) (3.25)

Sin embargo no podemos utilizar esta ecuacion como definicion de primitiva ya quedefine un funcional en un subespacio de D, que es el subespacio ∂D de las funcionesderivadas de funciones de D. Debemos mostrar por lo tanto que se puede extender elfuncional ν a todo el espacio D. Para ello notemos que ∀ϕ ∈ D puede ser expresada como:

ϕ(x) = kϕ0(x) + ψ(x) (3.26)


Donde ψ ∈ ∂D y: ∫ ∞−∞

ϕ0(x)dx = 1 (3.27)

k =

∫ ∞−∞

ϕ(x)dx (3.28)

Notemos que ϕ0 6∈ ∂D y por lo tanto no puede ser definida por la ecuacion (3.25). Siasignamos un valor arbitrario c a D−1µ(ϕ0) podemos extender la distribucion ν = D−1µa D definiendola de la siguiente manera:

Definicion 3.6.9 (Primitiva). La distribucion ν ∈ D es la primitiva de µ ∈ D sii:

ν(ϕ) = kc+D−1µ(ψ) = µc(ϕ)− µ(θ) (3.29)

Donde θ ∈ D/θ′ = ψ = ϕ− kϕ0.

Por lo tanto una distribucion tiene infinitas primitivas que difieren entre ellas en unadistribucion constante µc. Ası, por ejemplo, las primitivas de la delta de Dirac son de laforma H + µc, donde H es el escalon de Heaviside.

3.7. Teorema de estructura

Toda funcion continua f es localmente integrable y por lo tanto genera una distribu-cion regular µf . No existe otra funcion continua que pueda producir la misma distribucion.Por lo tanto podemos considerar que C∗(R) como un subespacio lineal de D∗ Todo ele-mento µf ∈ C∗(R) es infinitamente derivable en el sentido de distribucion, y por lo tanto∀k ∈ N, Dkµf representa una distribucion (no necesariamente regular, ya que, como vimos,la derivada de una distribucion regular como el Escalon de Heaviside puede ser singularcomo la Delta de Dirac).Existe un resultado inverso importante, a saber, toda distribucion µ ∈ D∗ es, al menoslocalmente, la derivada de orden finito de una funcion continua. Para demostrarlo conside-remos primero el caso de una distribucion de orden 0 en el siguiente lema que aceptaremossin demostracion:

Lema 3.7.1. Sea µ una distribucion de orden 0 y K = [a, b] ⊂ R un compacto =⇒ ∃hcontinua/ h(x) = 0, ∀x 6∈ K/ ∀ϕ ∈ DK :

µ(ϕ) =

∫ ∞−∞

h(x)ϕ′′(x)dx = D2h(ϕ) (3.30)

Teorema 3.7.1 (Teorema de estructura). Toda distribucion µ ∈ D∗ es localmente unaderivada de orden finito de una funcion continua.

Demostracion. Sea µ una distribucion definida por lo menos en un entorno de un compactoK = [a, b] ⊂ R. Por ser localmente acotado ∃p ∈ N/ ∀ϕ ∈ DK :

|µ(ϕ)| ≤M(K) supx∈K|ϕ(p)(x)| (3.31)

Sea ∂DK el espacio de las derivadas de las funciones de DK y sea D−1µ una primitiva deµ. Por la definicion (3.6.9) y el hecho de que ∀ϕ ∈ DK :

|k| =∣∣∣∣∫ b

aϕ(x)dx

∣∣∣∣≤ (b− a) sup

a≤x≤b|ϕ(x)| = (b− a)|

∫ x

a|ϕ′(t)dt|

≤ (b− a)2 supa≤x≤b

|ϕ′(x)| ≤ . . . ≤ (b− a)p supa≤x≤b

|ϕ(p)(x)|

(3.32)


Obtenemos:

|D−1µ(ϕ)| = |D−1µ(kϕ0 + ψ)|= |ck +D−1µ(ψ)|≤ |ck|+M sup

a≤x≤b|ψ(p−1)(x)|

≤ |ck|+M supa≤x≤b

|ϕ(p−1)(x)− kϕ(p−1)0 (x)|

(3.33)

Y

|D−1µ(ϕ)| ≤ |c|(b− a)p supa≤x≤b

|ϕ(p)(x)|+M supa≤x≤b

|ϕ(p−1)(x)|

+M(b− a)p supa≤x≤b

|ϕ(p−1)(x)| supa≤x≤b

|ϕ(p−1)0 (x)|

= M1 supa≤x≤b

|ϕ(p−1)(x)|

(3.34)

En el caso en que p = 1 y por el lema (3.7.1):

µ(ϕ) = D−1µ(−ϕ′) = h′′(−ϕ′) = h′′′(ϕ) (3.35)

Donde h es una funcion continua. Luego, por induccion, se demuestra el caso general.

Corolario 3.7.1.1. Si µ ∈ D∗ tiene soporte en K =⇒ µ puede ser expresado como lasuma finita de derivadas de orden finito de funciones continuas, todas con soporte en unentorno de K.

Demostracion. Por el teorema anterior ∀µ ∈ D∗ y ∀ compacto K,∃p ∈ Z+ y una funcioncontinua f/ ∀ϕ ∈ DK :

µ(ϕ) = Dpµf (ϕ)

= (−1)pµf (ϕ(p))

= (−1)p∫ ∞−∞

f(x)ϕ(p)(x)dx

(3.36)

Supongamos K = [a, b] y denotemos I a cualquier intervalo finito abierto que contenga a[a− ε, b+ ε]. Sea λ ∈ D/ λ(x) = 1 en [a− ε, b+ ε] y λ(x) = 0 fuera de I ⇒ ∀ϕ ∈ D:

µ(ϕ) = µ(λϕ)

= Dpµf (λϕ)

= (−1)p∫ ∞−∞

f(x)Dp[λ(x)ϕ(x)]dx

(3.37)

Por la formula de diferenciacion de Leibniz tenemos:

Dp[λϕ] =

p∑q=0

(p

q

)Dp−qλDqϕ (3.38)

Y por lo tanto:

µ(ϕ) = µf ((−1)pp∑q=0

(p

q

)Dp−qλDqϕ)

= (

p∑q=0

Dq[(−1)p+q(p

q

)fDp−qλ)(ϕ)

(3.39)

4 Propiedades de distribuciones 15

Definimos fq =∑p

q=0Dq[(−1)p+q

(pq

)fDp−qλ, fq es continua y tiene soporte en I. De donde

resulta que:

µ =

p∑q=0

Dqfq (3.40)

4. Propiedades de distribuciones

4.1. Convolucion y producto directo

Utilizaremos la notacion R2x,y para referirnos al espacio R2 de los pares ordenados

(x, y). De igual manera es conveniente distinguir los espacios D(Rx) de las funciones deprueba ϕ(x) y D(Ry) cuyos elementos notaremos ψ(y). Las distribuciones de los espaciosduales las notaremos µ(x) ∈ D∗(Rx) y ν(y) ∈ D∗(Ry) respectivamente.

Si f(x) y g(x) son funciones continuas con soporte compacto definen distribucionesregulares µf y µg. Recordemos que la convolucion de f con g se define como:

h(x) ≡ (f ∗ g)(x) =

∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy =

∫ ∞−∞

f(x− y)g(y)dy (4.1)

La cual define una funcion continua y de soporte compacto, y que por lo tanto genera unadistribucion regular que podemos llamar convolucion de distribuciones regulares:

(µf ∗ µg)(ϕ) = µh(ϕ) = µ(f∗g)(ϕ) =

∫ ∞−∞

ϕ(x)

∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy

dx (4.2)

Si relajamos las condiciones y suponemos simplemente que f, g ∈ L1 entonces h(x)sigue estando bien definida. Pidiendo condiciones suficientemente fuertes en alguno delos factores podemos extender facilmente esta definicion a distribuciones singulares de lasiguiente manera:Si ϕ ∈ D(Ry) y µ(y) ∈ D∗(Ry),

h(x) = µ(y)(ϕ(x− y)) (4.3)

Lo que constituye una generalizacion de la ecuacion (4.1) para distribuciones singularespues si µ(y) fuera una distribucion regular generada por una funcion f obtendrıamos:

h(x) = µf(y)(ϕ(x− y)) =

∫ ∞−∞

f(y)ϕ(x− y)dy (4.4)

Definimos por lo tanto la convolucion µ ∗ ϕ como la distribucion regular generada por h.Veamos que esta definicion tiene sentido.Por el teorema de estructura (3.7.1) siempre podemos encontrar una funcion continua fy un entero m ∈ N/ ∀x ∈ [−a, a]:

h(x) = µ(y)(ϕ(x− y)) = Dmµf(y)(ϕ(x− y))

= (−1)mµf(y)(∂m

∂ymϕ(x− y))

= µf(y)(ϕ(m)(x− y))

=

∫ a

−af(y)ϕ(m)(x− y)dy

= (f ∗ ϕ(m))(x)

(4.5)


Si bien esta definicion es un caso especial de gran importancia no nos permite defi-nir una convolucion de distribuciones arbitrarias al no estar definido el producto entredistribuciones. De la ecuacion (4.2) obtenemos:

(µf ∗ µg)(ϕ) =

∫ ∞−∞

ϕ(x)

∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy

dx

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)ϕ(x)dydx

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)g(y)ϕ(x+ y)dxdy

(4.6)

Esto nos sugiere que una definicion satisfactoria de convolucion debe obtenerse ge-neralizando esta expresion para distribuciones arbitarias y no solo para regulares. Estageneralizacion implica la utilizacion del llamado producto directo o tensorial de dis-tribuciones.Antes de definir producto directo observemos que si ϕ(x, y) ∈ R2

x,y, ∀x ∈ Rx fijo ϕ(x, y)es infinitamente diferenciable y de soporte compacto en Ry. Por lo tanto ν(y)(ϕ(x, y)) estabien definido ∀x. Es mas, define una funcion de x de soporte compacto que cumple:

d

dxν(y)(ϕ(x, y)) = lım

h→0

1

hν(y)(ϕ(x+ h, y))− ν(y)(ϕ(x, y))

(4.7)

Por linealidad:

d

dxν(y)(ϕ(x, y)) = lım

h→0ν(y)

([ϕ(x+ h, y)− ϕ(x, y)]

h

)(4.8)

Y por continuidad:d

dxν(y)(ϕ(x, y)) = ν(y)

(d

dxϕ(x, y)

)(4.9)

Por induccion podemos mostrar que realmente es infinitamente derivable en x y porlo tanto ν(y)(ϕ(x, y)) ∈ D(Rx). Por lo tanto, podemos definir el producto directo de lasiguiente manera:

Definicion 4.1.1 (Producto directo). La distribucion (µ(x) ⊗ ν(y)) ∈ D∗(R2x,y) es el pro-

ducto directo de µ(x) ∈ D∗(Rx) y ν(y) ∈ D∗(Ry) sii ∀ϕ ∈ D(R2x,y):

(µ(x) ⊗ ν(y))(ϕ(x, y)) = µ(x)(ν(y)(ϕ(x, y))) (4.10)

A partir de aquı, a fin de simplificar la notacion, a veces sobreentenderemos que µ ∈D∗(Rx), ν ∈ D∗(Ry), ϕ ∈ D(Rx) y ψ ∈ D(Ry).

Teorema 4.1.1 (Conmutatividad). El producto directo de distribuciones es conmutativo.

Demostracion. Sean ϕ ∈ D(Rx) y ψ ∈ D(Ry) =⇒ ϕ · ψ ∈ D(R2x,y). Luego, sobre ellas

podemos aplicar el producto directo obteniendo:

(µ⊗ ν)(ϕ · ψ) = µ(ϕ · ν(ψ)) = ν(ψ) · µ(ϕ) = µ(ϕ) · ν(ψ) = (ν ⊗ µ)(ϕ · ψ) (4.11)

El conjunto de las funciones de prueba de la forma θ(x, y) =∑

k ϕk(x) · ψk(y) forma unsubespacio denso de D(R2

x,y) y por lo tanto el producto directo es conmutativo en todoD(R2

x,y).


Teorema 4.1.2 (Asociatividad). El producto directo de distribuciones es asociativo.

Demostracion. Sean µ ∈ D∗(Rx), ν ∈ D∗(Ry), ξ ∈ D∗(Rz) y ϕ(x, y, z) ∈ D(R3x,y,z). Luego:

((µ⊗ ν)⊗ ξ)(ϕ) = (µ⊗ ν)(ξ(ϕ))

= µ(ν(ξ(ϕ)))

= µ((ν ⊗ ξ)(ϕ))

= (µ⊗ (ν ⊗ ξ))(ϕ)

(4.12)

Al ser asociativa podemos notar el producto directo de tres distribuciones directamentecomo µ⊗ ν ⊗ ξ y obviamente este resultado se puede extender a n distribuciones.Volviendo a la convolucion, la ecuacion (4.6) nos sugiere definir la convolucion de dosdistribuciones aleatorias como:

(µ ∗ ν)(x)(ϕ(x)) = (µ(x) ⊗ ν(y))(ϕ(x+ y)) (4.13)

Pero si bien ϕ(x + y) es infinitamente diferenciable no es de soporte compacto enD(R2

x,y). Podemos solucionar esto de la siguiente manera:Supongamos que Ω = supp(µ⊗ν)∩supp(ϕ(x+y)) es acotado. Definimos λ(x, y) ∈ D(R2

x,y)/λ(x, y) = 1,∀(x, y) ∈ Ω. Luego λ(x, y)ϕ(x+ y) ∈ D(R2

x,y) y coincide con ϕ(x+ y) en Ω.

Definicion 4.1.2 (Convolucion). µ ∗ ν es la convolucion de µ, ν ∈ D∗ sii:

(µ ∗ ν)(ϕ) = (µ(x) ⊗ ν(y))(λ(x, y)ϕ(x+ y)) (4.14)

Observemos que la convolucion de dos distribuciones cualesquiera existe si se cumplealguna de las siguientes condiciones:

1. µ o ν tiene soporte compacto.

2. µ y ν tienen soportes acotados por izquierda.

3. µ y ν tienen soportes acotados por derecha.

Teorema 4.1.3 (Conmutatividad). Si ∃(µ ∗ ν) =⇒ es conmutativa

Demostracion. Sale como consecuencia directa del teorema (4.1.1).

A diferencia del producto directo, la convolucion de distribuciones en general no esasociativa. Dadas µ, ν, ξ; (µ ∗ ν) ∗ ξ 6= µ ∗ (ν ∗ ξ) aun si ambas existieran. Veamos elsiguiente contraejemplo:Sean µ ∈ D∗ y m ∈ Z+, por la conmutatividad de la convolucion ∀ϕ ∈ D:

(δ(m) ∗ µ)(ϕ) = (µ ∗ δ(m))(ϕ)

= µ(x)(δ(m)(y) (ϕ(x+ y)))

= µ((−1)mϕ(m))

= Dmµ(ϕ)

(4.15)

En particular: δ ∗ µ = µ y δ′ ∗ µ = Dµ. Llamemos ahora I y Θ las distribucionesregulares generadas por las funciones constantes f(x) = 1 y g(x) = 0 respectivamente.Luego:

I ∗ (δ′ ∗H) = I ∗ δ = I (4.16)


(I ∗ δ′) ∗H = Θ ∗H = Θ (4.17)

El siguiente teorema que enunciaremos sin demostracion da las condiciones para lasque la convolucion es asociativa:

Teorema 4.1.4. Dadas µ, ν, ξ ∈ D∗, (µ ∗ ν) ∗ ξ y µ ∗ (ν ∗ ξ) existen y son iguales si secumple alguna de las siguientes condiciones:

1. Los soportes de todas las distribuciones son acotados por izquierda.

2. Los soportes de todas las distribuciones son acotados por derecha.

3. Al menos dos soportes son acotados.

4.2. Sucesiones y series de distribuciones

Definicion 4.2.1 (Convergencia de sucesion de distribuciones). Una sucesion de distri-buciones (µn) ⊂ D∗ converge a µ sii:

∀ϕ ∈ D,µ(ϕ) = lımn→∞

µn(ϕ) (4.18)

Notemos que µ debe ser una distribucion µ ∈ D∗ y por lo tanto D∗ es cerrado ante laconvergencia de sucesiones.

Teorema 4.2.1. Si (hn) es una sucesion de funciones localmente integrables que convergena h a.e. y ∃g localmente integrable/ |hn(x)| ≤ g(x) =⇒ µh(ϕ) = lımn→∞ µhn(ϕ)

Demostracion. Sea (hn) una sucesion de funciones localmente integrables que convergena h a.e. Si ∃g localmente integrable/ |hn(x)| ≤ g(x) entonces el teorema de convergenciade Lebesgue nos asegura que h(x) es localmente integrable y ∀[a, b]:∫ b

ah(x)dx = lım

n→∞

∫ b

ahn(x)dx (4.19)

Sea ϕ ∈ D con soporte K, luego ϕ(x)hn(x) es tambien localmente integrable (de hechoes integrable en R) y la sucesion (ϕhn) converge puntualmente a ϕ(x)h(x). Tenemos que:

|ϕ(x)hn(x)| ≤ ||ϕ||[0,K]|hn(x)| ≤ ||ϕ||[0,K]g(x) (4.20)

Luego, por el teorema de Lebesgue:

µh(ϕ) =

∫ ∞−∞

ϕ(x)h(x)dx = lımn→∞

∫ ∞−∞

ϕ(x)hn(x)dx = lımn→∞

µhn(ϕ) (4.21)

El teorema anterior da las condiciones necesarias para que la sucesion de distribucionesregulares (µhn) generada por la sucesion de funciones (hn) converja en el sentido definidoen (4.2.1) a la distribucion regular µh generada por el lımite puntual h. Pero no necesaria-mente los lımites puntuales y distribucionales deben coincidir siempre, consideremos porejemplo el caso de las funciones dn definidas como:

dn =

n si 1/n < x < 2/n0 en otro lado

(4.22)


Donde n = 1, 2, . . ..Esta sucesion converge puntualmente a 0 en R. Sin embargo ∀ϕ ∈ D:

µdn(ϕ) =

∫ ∞−∞

ϕ(x)dn(x)dx =

∫ 2/n

1/nϕ(x)dn(x)dx = ϕ(θn) (4.23)

Donde 1/n < θn < 2/n. Como ϕ es continua en el origen tenemos:

lımn→∞

∫ ∞−∞

ϕ(x)dn(x)dx = ϕ(0) = δ(ϕ) (4.24)

Por lo tanto el lımite distribucional de (µdn) es la distribucion singular delta de Diracδ y no la distribucion nula Θ. De hecho, el lımite distribucional puede incluso estar biendefinido aun cuando no exista el lımite puntual.Si una sucesion (fn) de funciones diferenciables tiende puntualmente a f no necesariamentela sucesion (f ′n) tiende a f ′. En cambio, en el caso de la convergencia distribucional tenemosel siguiente resultado:

Teorema 4.2.2. Si la sucesion (µn) ⊂ D∗ converge distribucionalmente a µ ∈ D∗ =⇒ lasucesion (Dµn) converge a Dµ.

Demostracion. Sea la sucesion (µn) ⊂ D∗/ converge a µ ∈ D∗. Luego, ∀ϕ ∈ D:

Dµn(ϕ) = µn(−ϕ′) n→∞−−−→ µ(−ϕ′) = Dµ(ϕ) (4.25)

El concepto de convergencia de distribuciones definido en (4.2.1) nos permite definirla suma de una serie infinita de distribuciones:

Definicion 4.2.2 (Suma de serie infinita de distribuciones). µ ∈ D∗ es la suma de laserie de distribuciones (µm) sii:

µ =

∞∑k=1

µm ⇔ µ = lımm→∞

m∑k=1

µk

(4.26)

De igual manera:

µ =∞∑−∞

µm = lımm→∞

m∑−m

µk

(4.27)

Como la suma esta definida como un lımite distribucional y al ser la diferenciacioncontinua respecto a la convergencia de distribuciones, obtenemos como resultado inmediatodel teorema (4.2.2) y la definicion (4.2.2) el siguiente corolario:

Corolario 4.2.2.1. Sea (µm) ⊂ D∗ =⇒

D

∞∑−∞

µm

=

∞∑−∞

Dµm (4.28)

La sucesion (dn) discutida en la seccion (4.2) es un caso particular de sucesiones dedistribuciones regulares que convergen a la delta de Dirac llamadas sucesiones delta.Mas generalmente definamos:


Definicion 4.2.3 (Sucesion delta). La sucesion de distribuciones regulares producida porla sucesion de funciones (ρn) es una sucesion delta sii:

1. ∀M > 0 y ∀a, b/ |a|, |b| < M ∣∣∣∣∫ b

aρn(x)dx

∣∣∣∣ ≤ k(M) (4.29)

Donde el escalar k(M) es independiente de a, b y n.

2. ∀a, b 6= 0

lımn→∞

∫ b

aρn(x)dx =

0 si a < b < 0 o 0 < a < b1 si a < 0 < b

(4.30)

Veamos que esta definicion coincide con nuestro concepto intuitivo de sucesion delta.Definamos las funciones:

hn(x) =

∫ x

−1ρn(t)dt (4.31)

Luego por la ecuacion (4.30):

lımn→∞

hn(x) = H0(x) =

1 si x > 00 si x < 0

(4.32)

Luego las hn estan uniformemente acotadas para todo intervalo finito. Se sigue que∀ϕ ∈ D:

lımn→∞

∫ ∞−∞

hn(x)ϕ(x)dx =

∫ ∞−∞ lımn→∞

hn(x)ϕ(x)dx =

∫ ∞0

ϕ(x)dx = H(ϕ) (4.33)

Por lo tanto las distribuciones (µhn) convergen al escalon de Heaviside H (definicion 3.2).Por el teorema (4.2.2) la sucesion de sus derivadas convergen a δ.Notemos que si (µρn) ⊂ D∗ es una sucesion delta, por el teorema (4.2.2), ∀m ∈ N, ∀ϕ ∈ D:

δ(m)(ϕ) = lımn→∞

µρ(m)n

(ϕ) (4.34)

Si bien generalmente esto se suele expresar en funcion de redes delta, todos los resul-tados importantes son igualmente obtenibles en terminos de sucesiones delta y por ellotrabajaremos solamente con sucesiones. Existe en la literatura aspectos tanto teoricos co-mo aplicados de las sucesiones delta que dependen de algunas propiedades particularesde la sucesion que se esta utilizando y por lo tanto resulta util clasificarlas segun algu-nas propiedades extra que cumple la sucesion (ρn), que llamaremos sucesiones deltaestrictas.

Definicion 4.2.4 (Sucesiones delta estrictas). La suesion de distribuciones regulares ge-neradas por (ρn) ⊂ D es una sucesion delta estricta sii:

A ∀x ∈ R y ∀n ∈ N, ρn(x) ≥ 0

B ∀n ∈ N,∫∞−∞ ρn(x)dx = 1

C 1 Supp(ρn)→ 0 cuando n→∞

A veces la condicion C1 es reemplazada por alguna de las siguientes condiciones masfuertes:


C 2 Supp(ρn)→ 0 cuando n→∞ y ∀p ∈ N, ∃Mp > 0/ ∀n ∈ N∫∞−∞ |x|

p|ρ(p)n (x)|dx ≤Mp

C 3 Supp(ρn) ⊂ −1/n, 1/n cuando n→∞ y ∀p ∈ N, ∃Mp > 0/ ∀n ∈ N∫∞−∞ |x|

p|ρ(p)n (x)|dx ≤Mp

C 4 ∀n ∈ N, ρn(x) = nρ(nx). Donde ρ(x) ∈ D es una funcion fija/∫∞−∞ ρ(x)dx = 1

Donde si cumple la ultima condicion es conocida como sucesion delta modelo. Ober-guggenberger distingue los distintos tipos de sucesiones llamandolas Ci-sucesion delta,segun que condicion Ci cumpla.

4.3. Producto de Schwartz

Debido a que la teorıa de distribuciones es lineal no todas las operaciones de funcionesordinarias pueden extenderse a todo D∗. Algunas operaciones, como la suma o la multi-plicacion por un escalar que vimos en la seccion (3.6), pueden ser extendidas sin dificultady se llaman operaciones regulares. Otras, como la convolucion y el producto de dis-tribuciones, pueden ser definidas solo para cierto tipo de distribuciones y las llamamosoperaciones irregulares. Ya vimos que en el caso de la convolucion tuvimos que impo-ner ciertas condiciones para poder definirla y aun ası algunas propiedades basicas como laasociatividad fallan. Lo mismo ocurrira con el producto de distribuciones.Es deseable que nuestra definicion de producto de distribuciones sea consistente con elproducto de funciones ordinarias, sin embargo, dadas dos funciones localmente integrablesh1 y h2 que generan distribuciones regulares, su producto h1h2 no necesariamente es lo-calmente integrable y por lo tanto puede no generar una distribucion regular.De todas formas existe una forma natural de definir el producto si alguno de los factoreses una distribucion regular generada por una funcion θ ∈ C∞. En ese caso definimos elproducto de Schwartz o producto S como:

Definicion 4.3.1 (Producto S). Sea θ ∈ C∞, µθµ es el producto de µθ y µ ∈ D∗ sii∀ϕ ∈ D:

(µθµ)(ϕ) = µ(θϕ) (4.35)

Como θϕ ∈ D el producto S esta bien definido. En el caso en que tengamos unadistribucion regular generada por una funcion localmente integrable g obtenemos:

(µθµg)(ϕ) = µg(θϕ)

=

∫ ∞−∞

[θ(x)ϕ(x)]g(x)dx

=

∫ ∞−∞

[θ(x)g(x)]ϕ(x)dx

= µ(θg)(ϕ)

(4.36)

Teorema 4.3.1.D(µθµ) = Dµθ.µ+ µθ.Dµ (4.37)


Demostracion. ∀ϕ ∈ D:

D(µθµ)(ϕ) = (µθµ)(−ϕ′)= µ(−θϕ′)= µ(−(θϕ)′) + µ(θ′ϕ)

= Dµ(θϕ) + µ(θ′ϕ)

= (Dµθ.µ)(ϕ) + (µθ.Dµ)(ϕ)

(4.38)

El producto S se puede aplicar solo a un conjunto restringido de distribuciones. Porello aparecen aspectos no deseables en el producto de distribuciones, como que no esni asociativo ni conmutativo. Como contraejemplo de asociatividad veamos el siguientecaso. Si designamos por Pvx−1 el valor principal de Cauchy de la funcion f(x) = x−1,podemos ver que es una distribucion singular. El producto S de esta distribucion con ladistribucion regular generada por f(x) = x es la distribucion unidad I:

µxPvx−1 = Pvx−1µx = I (4.39)

Ahora, si tomamos el producto de ella con la distribucion δ obtenemos:

[Pvx−1µx]δ = Iδ = δ (4.40)

Pero,Pvx−1[µxδ] = Pvx−1Θ = Θ (4.41)

El siguiente teorema da las condiciones bajo las cuales el producto es asociativo, elcual enunciamos sin demostracion.

Teorema 4.3.2. Sean µ, ν, ξ ∈ D∗, si al menos dos de ellas son distribuciones regularesgeneradas por funciones de C∞ =⇒ (µν)ξ = µ(νξ)

Para el contraejemplo de conmutatividad primero notemos que H es una distribucionregular pero su funcion generadora Hc 6∈ C∞. Sin embargo serıa razonable intentar exten-der el producto S para este caso y, en consistencia con el hecho de que HcHc = Hc, definirel siguiente producto como:

H2 = H.H = H (4.42)

Derivando esta expresion, utilizando la propiedad (4.3.1), y aceptando la conmutividadobtenemos por un lado:

DH2 = D(H.H) = DH.H +H.DH = δH +Hδ = 2δH (4.43)

Y por el otro:DH2 = DH = δ (4.44)

Igualando obtenemos δH = 12δ. Ahora dada µx ∈ D∗ la distribucion regular generada por

f(x) = x ∈ C∞, el teorema (4.3.2) no nos puede asegurar la asociatividad del productoµx(δH). Supongamos, sin embargo, que el producto es asociativo, lo que nos darıa:

µx(δH) = (µxδ)H = ΘH = Θ (4.45)

De esto se sigue que δH = kδ con k ∈ R. Sin embargo esto significa que:

[δH]H = kδH = k2δ (4.46)


Mientras que:δ[HH] = δH = kδ (4.47)

Por lo tanto k2 = k y k solo puede valer 1 o 0. Como antes habıamos obtenido que k = 1/2existe una inconsistencia, la cual puede ser evitada de tres maneras, todas ellas con algunaimplicacion no deseada:

1. Aceptar (4.42) y la conmutividad (y por lo tanto el resultado δH = 12δ) y descartar

la asociatividad (4.45). Bajo estas condiciones tendrıamos los resultados:

[δH]H =1

2δH =

1

4δ (4.48)

δ[HH] = δH =1

2δ (4.49)

2. Podrıamos aceptar (4.42) y la asociatividad, pero descartando la conmutividad. Eneste caso tendrıamos:

δH = k1δ;Hδ = k2δ (4.50)

Y como DH2 = k1δ + k2δ = δ ⇒ k1 + k2 = 1.Por lo tanto o k1 = 0 y k2 = 1, o k1 = 1 y k2 = 0.

3. La ultima opcion es directamente descartar (4.42). En este caso se necesitarıa desa-rrollar una teorıa de la multiplicacion de modo de poder definir el producto elementalHH. El problema de producir esta teorıa ha sido objeto de una intensa investigaciondurante mas de medio siglo.

Consideremos ahora el problema de la division, es decir, dada σ ∈ D∗ y f ∈ C∞ nosproponemos encontrar µ ∈ D∗/ µfµ = σ.Si ∀x ∈ R, f(x) 6= 0 entonces g(x) = [f(x)]−1 ∈ C∞ y el problema tiene solucion unica,que es µ = gσ. La solucion en otras situaciones no es tan simple. Consideremos el casoen que f(x) = 0 solo para un conjunto de ceros de orden finito aislados. Por traslacion yparticion de la unidad solo nos hace falta considerar el caso en que f(x) = xm,m ∈ N.

Teorema 4.3.3. Si µ ∈ D∗/ µxmµ = 0 =⇒

µ =

m−1∑j=0

cjδ(j) (4.51)

Donde cj son constantes arbitrarias.

Demostracion. Sea θ ∈ D/ θ(x) = 1 en un entorno del origen ⇒ ∀r ≥ 1, θ(r)(0) = 0.∀ϕ ∈ D:

ϕ(x) = θ(x)m−1∑j=0

ϕ(j)(0)

j!xj + η(x) (4.52)

Donde η ∈ D/ ∀s = 0, . . . ,m− 1, η(s)(0) = 0.


Por lo tanto ∃ψ ∈ D/ η(x) = xmψ(x). Por el teorema de Taylor:

η(x) =

m−1∑k=0

η(k)(0)

k!xk +

1

(m− 1)!

∫ x

0(x− t)m−1η(m)(t)dt

=1

(m− 1)!

∫ x

0(x− t)m−1η(m)(t)dt

=1

(m− 1)!

∫ 1

0(x− xξ)m−1η(m)(xξ)xdξ

= xmψ(x)

(4.53)

Donde definimos:

ψ(x) =1

(m− 1)!

∫ 1

0(1− ξ)m−1η(m)(xξ)dξ (4.54)

Como η ∈ D ⇒ ψ ∈ D. Luego:

ϕ(x) = θ(x)m−1∑j=0

ϕ(j)(0)

j!xj + xmψ(x) (4.55)

Sea ahora µ ∈ D∗/ µxmµ = 0.

µ(ϕ) = µ

θ(x)

m−1∑j=0

ϕ(j)(0)

j!xj + xmψ(x)

=

m−1∑j=0

1

j!µ(xjθ(x))ϕ(j)(0)

=

m−1∑j=0

(−1)j

j!µ(xjθ(x))δ(j)

(ϕ)

=

m−1∑j=0

cjδ(j)

(ϕ)

(4.56)

Donde:

cj =(−1)j

j!µ(xjθ(x)) (4.57)

Teorema 4.3.4. ∀σ ∈ D∗, ∃µ ∈ D∗/

µxmµ = σ (4.58)

Demostracion. µxmµ = σ ⇔ ∀ψ ∈ D,σ(ψ) = (µxmµ)(ψ) = µ(xmψ)Esto define un funcional en el subespacio ψ ∈ D/xmψ ∈ D ⊂ D. Debemos, pues,mostrar que se puede extender este funcional a todo D. Por el teorema anterior ∀ϕ ∈ D:

µ(ϕ) = µ

θ(x)m−1∑j=0

ϕ(j)(0)

j!xj + xmψ(x)

=

m−1∑j=0

cjδ(j)

(ϕ) + σ(ψ) (4.59)

Lo que muestra que µ(ϕ) esta bien definido en todo D. Ademas se sigue inmediatamenteque µ es lineal y continua en D.

5 Analisis de Fourier 25

Corolario 4.3.4.1. Dado σ ∈ D∗, si µ0 es una solucion de µxmµ = σ =⇒ la soluciongeneral es:

µ = µ0 +m−1∑j=0

cjδ(j) (4.60)

Donde los cj son constantes arbitrarias.

5. Analisis de Fourier

5.1. Transformada de Fourier ordinaria

Antes de definir la transformada de Fourier de distribuciones haremos una revisionde la transformada de Fourier de funciones ordinarias (TF). Es bien sabido que no todafuncion tiene como TF otra funcion. De igual manera, ocurrira que no toda distribuciontiene como TF una distribucion.

Para toda funcion absolutamente integrable, es decir f ∈ L1, la TF viene definida porla integral:

F (f) = f(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−iωtdt (5.1)

f es una funcion acotada y uniformemente continua en R. Probaremos algunos resul-tados importantes respecto a la TF de funciones de L1:

Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Si f, g ∈ L1 =⇒∫ ∞−∞

f(x)g(x)dx =

∫ ∞−∞

f(y)g(y)dy (5.2)

Demostracion. Ambas integrales existen porque f y g son acotadas y continuas. Luego:∫ ∞−∞

f(x)g(x)dx =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)g(y)e−ixydxdy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)g(y)e−ixydydx

=

∫ ∞−∞

f(y)g(y)dy

(5.3)

Teorema 5.1.2 (Teorema de la convolucion). Si f, g ∈ L1 =⇒

F (f ∗ g)(x) = f(x)g(x) (5.4)

Demostracion.

F (f ∗ g)(x) =

∫ ∞−∞

e−ixy∫ ∞−∞

f(y − t)g(t)dtdy

=

∫ ∞−∞

g(t)

∫ ∞−∞

e−ixyf(y − t)dydt

=

∫ ∞−∞

g(t)

∫ ∞−∞

e−ix(τ+t)f(τ)dτdt

=

∫ ∞−∞

e−ixtg(t)dt

∫ ∞−∞

e−ixτf(τ)dτ

= f(x)g(x)

(5.5)


Sin embargo, con respecto a la transformada inversa ocurre que no toda funcion acotaday continua en R es la transformada de una funcion de L1. La transformada inversa deFourier (TIF) viene dada por:

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

f(y)eixydy (5.6)

Nos topamos inmediatamente con la dificultad de que puede que f no sea una funcionabsolutamente integrable y por lo tanto la TF no mapea L1 en L1. Sin embargo, tenemosel siguiente teorema de inversion:

Teorema 5.1.3 (Teorema de inversion en L1). ∀f ∈ L1/ f es de variacion acotada en unentorno de x se cumple:

1

2πlımR→∞

∫ R

−Rf(y)eixydy =

1

2[f(x+) + f(x−)] (5.7)

Donde f(x±) = lımτ→0± f(x+ τ).

La extension mas importante de la TF es a funciones de cuadrado integrable. Dadaf ∈ L2 y m ∈ N la funcion:

fm(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−iωtdt (5.8)

existe y pertenece a L2. La sucesion (fm) converge a f en el sentido de la norma en L2.Esto es, ∃f ∈ L2/

lımm→∞

∫ ∞−∞|f(ω)− fm(ω)|2dω = 0 (5.9)

Y puede mostrarse que: ∫ ∞−∞|f(ω)|2dω = 2π

∫ ∞−∞|f(t)|2dt (5.10)

Esta constituye una generalizacion de la TF en L1 en el sentido de que si f ∈ L1 luego fasi definida coincide con la TF en L1 definida en la ecuacion (5.1). Podemos resumir estoen el siguiente teorema:

Teorema 5.1.4 (Teorema de Plancherel). ∀f ∈ L2, ∃f ∈ L2:

f(ω) = lımm→∞

∫ m

−mf(t)e−iωtdt (5.11)

f(ω) = lımm→∞

1

2π

∫ m

−mf(t)eiωtdω (5.12)∫ ∞

−∞|f(ω)|2dω = 2π

∫ ∞−∞|f(t)|2dt (5.13)

Como toda f ∈ L2 puede ser expresada como la TF de otra funcion de L2 entoncesTF es una isometrıa en L2.

Definicion 5.1.1 (Funciones de rapido decrecimiento). Una funcion f es de rapido de-crecimiento sii ∀n ∈ N, lım|x|→∞ |xnf(x)| = 0.


Por ejemplo toda funcion de C∞0 es una funcion de rapido decrecimiento. Denotamospor S, al espacio lineal de todas las funciones infinitamente diferenciables tal que ella ytodas sus derivadas son de rapido decrecimiento.Diremos que una sucesion (ϕn) converge en S sii para p, r = 0, 1, 2, . . . cada una de

las sucesiones (xpϕ(r)n (x)) converge uniformemente. Este es el modo de convergencia que

corresponde a la topologıa generada en S por la familia de seminormas:

||ϕ||p,rS = supx∈R|xpϕ(r)(x)|, p, r ∈ N0 (5.14)

La convergencia en S tambien puede ser caracterizada por una condicion equivalentede acotacion. Una sucesion (ϕn) se dice que converge en S sii:

1. ∀p, r ∈ N+; |xpϕ(r)(x)| ≤ cp,rDonde ∀n ∈ N y ∀x ∈ R, cp,r independientes de x y n.

2. ∀r la sucesion (ϕ(r)n ) converge uniformemente en todo compacto de R.

Supongamos ahora que (ϕn) ⊂ C∞o ⊂ S converge a ϕ en el sentido de D. Luego, todaslas ϕn se anulan fuera de un compacto de R, digamos [−a, a]. ∀p, r y |x| ≥ a tenemos

|x|p|ϕ(r)(x)− ϕ(r)n (x)| = 0 (5.15)

Y esta por lo tanto acotado por ap sup−a≤x≤a |ϕ(r)(x) − ϕ(r)n (x)|. Como (ϕn) converge

ω-uniformemente a ϕ se sigue que ap sup−a≤x≤a |ϕ(r)(x) − ϕ(r)n (x)| converge a 0 y por lo

tanto que:lımn→∞

supx∈R|x|p|ϕ(r)(x)− ϕ(r)

n (x)| = lımn→∞

||(ϕ− ϕn)||p,rS = 0 (5.16)

Es decir, que la convergencia en D implica convergencia en S. De hecho se tiene el siguienteresultado:

Teorema 5.1.5. D es denso en S, es decir, ∀ϕ ∈ S, ∃(ϕn) ⊂ D/ converge en S a ϕ.

Si ϕ ∈ S entonces es absolutamente integrable en R y la TF queda bien definida porla integral:

ϕ(ω) = F [ϕ](ω) =

∫ ∞−∞

ϕ(t)e−iωtdt (5.17)

Teorema 5.1.6. Si ϕ ∈ S =⇒ ϕ ∈ S

Demostracion. Primero notemos que∣∣∣∣ ϕ(ω + h)− ϕ(ω)

h

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞−∞

∣∣∣∣e−iht − 1

h

∣∣∣∣ · |ϕ(t)|dt =

∫ ∞−∞|ϕ(t)| · |t+O(h)|dt (5.18)

y como tϕ(t) ∈ L1 tenemos:

ϕ′(ω) =

∫ ∞−∞

(−it)ϕ(t)e−iωtdt (5.19)

Por un argumento similar obtenemos que para k = 1, 2, 3, . . .

ϕ(k)(ω) =

∫ ∞−∞

(−it)kϕ(t)e−iωtdt (5.20)


Y por lo tanto que ϕ es derivable a cualquier orden. Integrando por partes y recordandoque |ϕ(t)| → 0 cuando |t| → ∞ obtenemos:

ϕ(ω) =

∫ ∞−∞

ϕ(t)e−iωtdt

= (iω)−1

∫ ∞−∞

ϕ′(t)e−iωtdt

= (iω)−2

∫ ∞−∞

ϕ′′(t)e−iωtdt

= . . . = (iω)−m∫ ∞−∞

ϕ(m)(t)e−iωtdt

(5.21)

Luego ∀m ∈ N ∪ 0:

|(iω)mϕ(ω)| ≤∫ ∞−∞|ϕ(m)(t)|dt <∞ (5.22)

Si lım|ω|→∞ |ϕ(ω)| 6= 0, luego |(iω)ϕ(ω)| no podrıa ser acotado cuando |ω| → ∞. Se sigueque ϕ debe ser una funcion de rapido decrecimiento y un argumento similar muestra que∀m, k ∈ N ∪ 0:

|(iω)mϕ(k)(ω)| ≤∫ ∞−∞|[tkϕ(t)](m)|dt <∞ (5.23)

Y por lo tanto ϕ(k) debe ser una funcion de rapido decrecimiento.

Teorema 5.1.7 (Formula de Poisson en S). Dado λ ∈ R+ y ϕ ∈ S, se cumple que:

∞∑m=−∞

ϕ(mλ) =1

λ

∞∑n=−∞

ϕ(2πn/λ) (5.24)

Demostracion. Sean ϕ ∈ S y λ ∈ R+ fijo. Consideremos la suma de traslaciones

Φ(t) =

∞∑m=−∞

ϕ(t+mλ) (5.25)

∀t ∈ R y ∀k entero no negativo tenemos que |(t+mλ)kϕ(t+mλ)| → 0 cuando |m| → ∞y por lo tanto, dado ε > 0:

|ϕ(t+mλ)| < ε

|t+mλ|k(5.26)

para todo m suficientemente grande. Luego, la serie converge ∀t, la suma Φ(t) es pe-riodica con perıodo λ y la convergencia es uniforme en compactos y particularmente en[−λ/2, λ/2]. Φ(t) debe ser acotada y continua en [−λ/2, λ/2] y por lo tanto en todo R.


Calculando los coeficientes de Fourier de Φ obtenemos:

cn(Φ) =1

λ

∫ λ/2

−λ/2Φ(t)e−2πint/λdt

=1

λ

∫ λ/2

−λ/2

∞∑m=−∞

ϕ(t+mλ)e−2πint/λ

dt

=1

λ

∞∑m=−∞

∫ λ/2

−λ/2ϕ(t+mλ)e−2πint/λdt

=1

λ

∞∑m=−∞

∫ (2m+1)λ/2

(2m−1)λ/2ϕ(t)e−2πint/λdt

=1

λϕ(2πn/λ)

(5.27)

Donde el intercambio entre la suma y la integracion se puede realizar por la uniformidadde la convergencia. Como ϕ ∈ S los numeros ϕ(2πn/λ) decrecen rapidamente a 0 cuando|n| → ∞. Luego la serie de Fourier 1

λ

∑∞n=−∞ ϕ(2πn/λ)e2πint/λ converge uniformemente

en [−λ/2, λ/2], y por lo tanto en todo compacto. De la teorıa de series de Fourier tenemosque:

Φ(t) =∞∑

m=−∞ϕ(t+mλ) =

1

λ

∞∑n=−∞

ϕ(2πn/λ)e2πint/λ (5.28)

Tomando t = 0 obtenemos:

∞∑m=−∞

ϕ(mλ) =1

λ

∞∑n=−∞

ϕ(2πn/λ) (5.29)

Observemos que si tendemos t a∞ en la ecuacion (5.28) el lado izquierdo tiende a ϕ(t)ya que ϕ ∈ S y todos los terminos con m 6= 0 tenderan a 0; y el lado derecho converge auna integral, por lo que tenemos:

ϕ(t) =1

2π

∫ ∞−∞

ϕ(ω)eiωtdω (5.30)

Que es la Formula de Inversion de Fourier para una funcion ϕ ∈ S. Luego se sigue quetoda funcion de S es la TF de alguna funcion de S. De hecho tenemos el siguiente teorema:

Teorema 5.1.8. La Transformada de Fourier y su inversa son aplicaciones lineales con-tinuas de S en sı misma.

Demostracion. Que F (y F−1) son mapeos uno a uno de S en sı mismo es inmediato, yla linealidad se sigue de la linealidad de la integracion. Queda mostar que F y F−1 soncontinuas. Sea (ϕn) ⊂ S/ converge en S a 0. Debemos mostrar que (ϕn) tambien convergea 0 en S. ∀r, s ∈ N0 tenemos:

(iω)rϕ(s)n (ω) =

∫ ∞−∞

[(−it)sϕn(t)](r)e−iωtdt

= (−i)sr∑

ν=0

(r

ν

)∫ ∞−∞

(ts)(ν)ϕ(r−ν)n (t)e−iωtdt

(5.31)


Y por lo tanto:

|ωrϕ(s)n (ω)| ≤

min(r,s)∑ν=0

(r

ν

)s!

(s− ν)!

∫ ∞−∞|ts−νϕ(r−ν)

n (t)|dt

=

min(r,s)∑ν=0

(r

ν

)s!

(s− ν)!

∫ ∞−∞

|(1 + t2)ts−νϕ(r−ν)n (t)|

1 + t2dt

≤ πmin(r,s)∑ν=0

(r

ν

)s!

(s− ν)!||ϕn||s−ν,r−νS + ||ϕn||s−ν+2,r−ν

S

(5.32)

Para ν = 0, 1, . . . ,min(r, s) tenemos que ||ϕn||s−ν,r−νS y ||ϕn||s−ν+2,r−νS tienden a 0 cuando

n → ∞. Por lo tanto la desigualdad anterior muestra que ||ϕn||r,sS → 0 cuando n → ∞uniformemente en compactos para todo par r, s. Esto es, que (ϕn) converge a 0 en S y porlo tanto F es continua.No desarrollaremos la demostracion de la continuidad de F−1, pero es analoga a la deF .

5.2. Transformada de Fourier generalizada

Si ϕ ∈ S por el teorema (5.1.5) ϕ puede ser expresada como lımn→∞ ϕn, donde ϕn ∈ Dy la convergencia es ω-uniforme en todo compacto K ⊂ R.

Definicion 5.2.1 (Distribucion temperada). µ ∈ D∗ es una distribucion temperada (o dis-tribucion de crecimiento lento) sii ∃ lımn→∞ µ(ϕn) ∀(ϕn) ⊂ D/ converge ω-uniformementeen compactos a ϕ ∈ S.

Por el teorema de Hanh-Banach (2.3.1) podemos extender µ a todo S definiendo ∀ϕ ∈S:

µ(ϕ) = lımn→∞

µ(ϕn) (5.33)

Cuando A ⊂ B es subespacio vectorial y denso en B y su convergencia es mas fuerte,entonces B∗ es subespacio vectorial de A∗. Por lo tanto, llegamos a que S∗ ⊂ D∗ essubespacio vectorial de D∗ y que todas las operaciones definidas en D∗ se cumplen paraS∗, pero no al reves. Es facil mostrar que las operaciones que llevan de S∗ a S∗ son laadicion, la multiplicacion por escalar, la diferenciacion y la traslacion.Notemos que toda distribucion de soporte compacto es una distribucion temperada, y porlo tanto la Delta de Dirac y todas sus derivadas lo son.

Definicion 5.2.2 (Transformada de Fourier de distribuciones temperadas). Sea µ ∈ S∗una distribucion temperada, µ es la TF de µ sii es una distribucion temperada en S/∀ϕ ∈ S

µ(ϕ) = µ(ϕ) (5.34)

Notemos que como ϕ ∈ S entonces ϕ ∈ S y la TF queda bien definida. Podemos definirfacilmente la TF inversa de la siguiente manera:

Definicion 5.2.3 (Transformada Inversa de Fourier de distribuciones temperadas). Seaσ = µ = F [µ] y ψ = ϕ = F [ϕ], luego µ = F−1[σ] y ϕ = F−1[ψ]. µ es la TIF sii es unadistribucion temperada/ ∀σ ∈ S∗ y ∀ψ ∈ S

µ(ψ) = σ(ϕ) (5.35)


Algunas propiedades de la TF usual en L1 se cumplen tambien para la TF en S∗,como:

F [(−it)kµ(t)](ω) = Dkµ(ω) (5.36)

F [Dkµ(t)](ω) = (iω)kµ(ω) (5.37)

F [µ(t− a)](ω) = e−iaωµ(ω) (5.38)

Notemos que tendremos un problema en la extension del teorema de la convolucion(5.1.2) ya que si µ, ν ∈ S∗ el producto µ · ν puede no estar definido.

5.3. Transformadas de Fourier en E∗

Denotamos por E a C∞ con el siguiente modo de convergencia: decimos que unasucesion (ϕn) ⊂ C∞ converge a 0 en el sentido de E sii ϕn converge ω-uniformemente a 0en todo compacto K ⊂ R cuando n→∞. La convergencia en este sentido corresponde ala topologıa generada en C∞ por la familia de seminormas:

||ϕ||[m,K] = max0≤r≤m

supx∈K|ϕ(r)(x)| (5.39)

Donde m ∈ N0 y K es un compacto de R. El espacio E∗ es el espacio lineal de todas lasfuncionales sobre E que son continuas en el sentido de que lımn→∞ µ(ϕn) = 0, ∀(ϕn)/converge a 0 en E .Como vimos en el teorema (2.1.3) podemos establecer una condicion equivalente de aco-tacion para definir el espacio:

Teorema 5.3.1. µ ∈ E∗ ⇐⇒ ∃K ⊂ R compacto, m ∈ Z y una constante C ≥ 0/

|µ(ϕ)| ≤ C||ϕ||[m,K] (5.40)

Notemos que si (ϕn) ⊂ D converge a 0 en D entonces converge a 0 en E . De hecho sepuede demostrar que D es un subespacio denso de E . Se sigue que la restriccion de cualquierfuncional µ ∈ E∗ en D es una distribucion en D∗. Luego, el teorema anterior muestra queµ(ϕ) = 0 para todo ϕ ∈ D/supp(ϕ) ∩ K = φ y por lo tanto µ es necesariamente unadistribucion de soporte compacto. Por otro lado, sea µ ∈ D∗/ µ tiene soporte compacto.Sea θ ∈ D/ θ(x) = 1 en el soporte de µ y extiende a esta al funcional µ1 en E de lasiguiente manera: ∀ϕ ∈ E

µ1(ϕ) = µ(θϕ) (5.41)

Se puede mostar que este funcional ası definido es unico, lineal y continuo en E∗. Por lotanto podemos identificar a E∗ como el subespacio de D∗ consistente de todas las distri-buciones de soporte compacto. El siguiente teorema de estructura que enunciaremossin demostracion fue establecido por Schwartz:

Teorema 5.3.2 (Teorema de estructura para distribuciones de soporte compacto). Seaµ ∈ E∗ de orden m y soporte K =⇒ µ es la suma de un numero finito de derivadas deorden ≤ m de medidas, cada una con soporte contenido en un entorno de K.

Definicion 5.3.1 (Funcion de banda limitada). Una funcion f es de banda limitada o deespectro compacto sii es la TIF de una distribucion de soporte compacto.


Supongamos que f ∈ L1 tiene como TF a f(ω)/f(ω) = 0 fuera del intervalo finito[−πΩ, πΩ], es decir es una funcion de banda limitada en el sentido clasico. Tenemos que∀t ∈ R:

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωtdω (5.42)

Como f es continua y acotada, obtenemos derivando ∀r ≥ 0 y ∀a ∈ R:

f (r)(a) =1

2π

∫ ∞−∞

(iω)rf(ω)eiaωdω (5.43)

Luego:

f(t) =1

2π

∫ πΩ

−πΩf(ω)eiω(t−a)eiωadω

=1

2π

∫ πΩ

−πΩf(ω)eiωa

∞∑n=0

[iω(t− a)]n

n!

dω

=1

2π

∞∑n=0

[i(t− a)]n

n!

∫ πΩ

−πΩωnf(ω)eiωadω

(5.44)

Que es el desarrollo de Taylor alrededor de t = a, por lo tanto, f(t) es analıtica sobreR. El argumento sigue siendo valido si reemplazamos t por una variable compleja z. O seaque f(t)/ f es de banda limitada extiende a una funcion f(z) que es analıtica sobre C, esdecir, es entera. Mas aun, f(z) satisface ciertas condiciones de acotacion:

|f(z)| =∣∣∣∣ 1

2π

∫ πΩ

−πΩeiωz f(ω)dω

∣∣∣∣ ≤ V

2πeπΩ|y| (5.45)

Donde y = Im(z) y :

V =

∫ πΩ

−πΩf(ω)dω (5.46)

Es de nuestro interes determinar cuales de estas propiedades siguen siendo validas parafunciones que son la TIF de una distribucion de soporte compacto. Un ejemplo importantede la diferencia entre funciones de banda limitada en sentido clasico y general es el Teoremade Muestreo.

Teorema 5.3.3 (Teorema de Muestreo de Whitaker-Kotelnikov-Shannon (WKS)). Sif : R→ R tiene la forma:

f(t) =1

2π

∫ πΩ

−πΩg(ω)eiωtdω (5.47)

Donde g(ω) ∈ L2/g(ω) = 0 a.e. fuera de [−πΩ, πΩ] =⇒ f(t) es continua y acotada en L2

y vale uniformemente en compactos:

f(t) =∞∑−∞

f(n/Ω)sen[π(Ωt− n)]

π(Ωt− n)(5.48)

La funcion f(t) puede por lo tanto ser reconstruida a partir de los valores f(n/Ω) enlos puntos discretos n/Ω.Tomemos ahora el ejemplo de la funcion f(t) = iteiat, que es la TIF de la distribucion desoporte compacto −2πδ′(ω− a), tenemos que f(n) = ineian = O(n)→∞ cuando n→∞


y por lo tanto no se cumple el teorema WKS. Vemos por lo tanto que el hecho de quef tenga como TF una distribucion de soporte compacto no es condicion suficiente paragarantizar que se cumpla el teorema WKS. Para poder generalizar esta propiedad primerodebemos definir:

Definicion 5.3.2 (Funcion de tipo exponencial). f(z) : C→ C es de tipo exponencial sii:

|f(z)| ≤ Aeτ |z| (5.49)

Donde A, τ > 0. En particular se dice que f es de tipo exponencial ≤ τ .

Llamaremos H(C) al espacio de funciones enteras y He(C) al subespacio de funcionesenteras de tipo exponencial. Estas ultimas cumplen la siguiente importante propiedad:

Teorema 5.3.4 (Teorema de Paley-Wiener). La funcion f es de tipo exponencial ≤ πΩy su restriccion al eje real pertenece a L2(R)⇐⇒ puede ser representada como:

f(z) =1

2π

∫ πΩ

−πΩf(ω)eiωzdω (5.50)

Para alguna funcion f ∈ L2(−πΩ, πΩ)

Denotaremos por B0πΩ al espacio de funciones de L2 con TF identicamente nula fuera

de [−πΩ, πΩ] y B0 = ∪ΩB0πΩ. Por el teorema de Paley-Wiener f ∈ L2 : R→ C pertenece

a B0 sii puede ser extendida al plano complejo como una funcion de tipo exponencial/

|f(z)| ≤ CeτIm(z) (5.51)

Para C, τ > 0. Luego B0 es un subespacio de He(C) y es llamado espacio de Paley-Wiener.Llamamos BπΩ al subespacio de He(C) de funciones de tipo exponencial ≤ πΩ/ sobre eleje real estan acotadas por un polinomio.

Teorema 5.3.5 (Teorema de Paley-Wiener-Schwartz (PWS)). Si f ∈ BπΩ ⇒ la TFgeneralizada de f , µ = F [f ] ∈ E∗, es decir, es una distribucion de soporte compacto.

Demostracion. Dado ε > 0 sea ϕε ∈ D con soporte contenido en [−επΩ, επΩ]. Su TIF,ϕε(t), puede ser extendida analıticamente al plano complejo como una funcion entera detipo ≤ επΩ que tiende a 0 en el eje real mas rapido que cualquier potencia de |t|−1 cuandot→∞. Lo mismo es cierto para el producto ϕε(t)f(t) y la TF de este producto es:

F [ϕf ] = ϕ ∗ µ (5.52)

Como ϕεf ∈ L2, por el teorema de Paley-Wiener, ϕ∗µ es una funcion de soporte compactocontenida en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1 + ε)]. De la familia ϕεε>0 podemos extraer una sucesionconvergente en D∗ a δ cuando ε → 0. Por la continuidad de la convolucion se sigue queϕε ∗ µ→ δ ∗ µ = µ cuando ε→ 0. Como ε puede ser tomado tan pequeno como queramosy todas las funciones ϕ ∗ µ tienen soporte contenido en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1 + ε)] el soportede µ debe estar contenido en [−πΩ, πΩ].

Teorema 5.3.6 (Teorema inverso de PWS). Si f es la TIF de una distribucion µ desoporte compacto contenido en [−πΩ, πΩ]⇒ f ∈ BπΩ


Demostracion. Si µ es de soporte compacto entonces es de orden finito y podemos escribir:

µ =

r∑j=0

D(j)µj (5.53)

Donde µj son medidas de soporte compacto contenidas en [−πΩ, πΩ]. Para cada j ∃Gjfuncion de variacion acotada en [−πΩ, πΩ]/

fj(t) =1

2πµj,(eiωt) =

1

2π

∫ πΩ

−πΩeiωtdGj(ω) (5.54)

Las funciones fj pueden ser extendidas a todo el plano complejo definiendo:

fj(z) =1

2π

∫ πΩ

−πΩeiωzdGj(ω) (5.55)

Estas funciones son enteras de tipo exponencial ≤ πΩ y son acotadas en el eje real.Tomando la TIF en ambos miembros de la ecuacion (5.53):

f(t) =

r∑j=0

(−it)jfj(t) (5.56)

La cual podemos extender al plano complejo y que cumple:

|f(z)| ≤r∑j=0

|z|j |fj(z)| ≤r∑j=0

cj |z|jeπΩIm(z) (5.57)

Lo cual muestra que f(z) es una funcion entera de tipo exponencial ≤ πΩ y que estaacotada por un polinomio en el eje real.

Vimos que el teorema de muestreo WKS no es valido en general para funciones debanda limitada cuya TF son distribuciones de orden mayor que 0. Existe sin embargo unaforma general del teorema de muestreo debido a Campbell, el cual es valido para funcionesde banda limitada cuya TF son distribuciones arbitrarias de soporte compacto.

Teorema 5.3.7 (Teorema de Muestreo de Campbell). Sea f(t) la TIF de una distribucionµ(ω)/ supp(µ) ⊂ [−πΩ(1− ε), πΩ(1− ε)], donde 0 < ε < 1⇒

f(t) =1

Ω

∞∑n=−∞

f(n/Ω)ρ(t− n/Ω) (5.58)

Donde ρ es una funcion/ ρ sea infinitamente diferenciable, ∀ω ∈ supp(µ), ρ(ω) = 1 y ∀ω/|ω| > πΩ(1 + ε), ρ(ω) = 0.

Demostracion. Sea µ una distribucion con soporte contenido en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1− ε)].Luego la convolucion µ∗

∑∞n=−∞ δ(ω−2πnΩ) existe y vale el teorema de convolucion (5.1.2).

La TIF de µ es una funcion continua f(t) = F−1[µ] y vale:

Ω∞∑

n=−∞µ(ω−2πnΩ) =

1

2π

µ ∗

∞∑n=−∞

δ(ω−2πnΩ)

= F

f(t)

∞∑n=−∞

δ(t−n/Ω)

=

∞∑n=−∞

f(n/Ω)e−inω/Ω

(5.59)


Sea ρ una funcion infinitamente diferenciable/ ∀ω ∈ supp(µ), ρ(ω) = 1 y ∀ω/ |ω| >πΩ(1 + ε), ρ(ω) = 0. Utilizando el resultado anterior:

∞∑n=−∞

µ(ω−2πnΩ)(ρ(ω)eiωt) =

(1

Ω

∞∑n=−∞

f(n/Ω)e−inω/Ω

)(ρ(ω)eiωt) (5.60)

El unico termino no nulo del lado izquierdo es cuando n = 0 y evaluado da:

µ(ω)(ρ(ω)eiωt) = 2πf(t) (5.61)

Mientras que un termino de la derecha da:

e−inω/Ω(ρ(ω)eiωt) =

∫ ∞−∞

ρ(ω)eiω(t−n/Ω)dω = 2πρ(t− n/Ω) (5.62)

Por lo tanto:

f(t) =1

2πµ(ω)(ρ(ω)eiωt)

=1

2π

(1

Ω

∞∑n=−∞

f(n/Ω)e−inω/Ω

)(ρ(ω)eiωt)

=1

Ω

∞∑n=−∞

f(n/Ω)ρ(t− n/Ω)

(5.63)

5.4. Distribuciones periodicas

Definicion 5.4.1 (Distribucion periodica). µ ∈ D∗ es una distribucion periodica sii ∃p >0 llamado perıodo de µ/ ∀ϕ ∈ D

τpµ = µ (5.64)

Definiremos Tp como el espacio de todas las distribuciones con perıodo p. Es facil verque Tp es un subespacio de D∗. Luego definimos Pp = Tp ∩ E y se muestra facilmente quePp es subespacio de E .

Definicion 5.4.2 (Operador extension periodica). Tp : D → E es el operador extensionperiodica de perıodo p sii ∀ϕ ∈ D

Tp[ϕ(ω)] =

∞∑−∞

τnpϕ(ω) =

∞∑−∞

ϕ(ω − np) (5.65)

Observemos que como ϕ es de soporte compacto la suma tendra finitos terminos nonulos.

Definicion 5.4.3 (Extension periodica). T ′p es la extension periodica de perıodo p sii∀µ ∈ E∗ y ∀ϕ ∈ D

T ′p[µ(ϕ)] = µ(Tp[ϕ]) (5.66)

Teorema 5.4.1. Sea µ ∈ E ⇒ T ′p ∈ Tp


Demostracion. Sea ϕ ∈ D, se cumple que:

Tp[τ−pϕ] = τ−pTp[ϕ] = Tp[ϕ] (5.67)

Y por lo tanto:

τpT′p[µ(ϕ)] = T ′p[µ(τ−pϕ)]

= µ(Tp[τ−pϕ])

= µ(Tp[ϕ])

= T ′p[µ(ϕ)]

(5.68)

Lema 5.4.1. Si η ∈ Tp y ϕ ∈ D ⇒ T ′p[ϕη] = (Tp[ϕ])η

Demostracion. Sea η ∈ Tp, se cumple que:

τp(ϕη) = (τpϕ)(τpη) = (τpϕ)η (5.69)

Luego:

T ′p[ϕη] =∞∑−∞

τnp(ϕη) =∞∑−∞

(τnpϕ)η

=

∞∑−∞

τnpϕ

η = (Tp[ϕ])η

(5.70)

Lema 5.4.2. Si µ ∈ E∗ y θ ∈ Pp ⇒ T ′p[θµ] = θ(T ′p[µ])

Demostracion. Sea θ ∈ Pp, se cumple que:

τp(θµ) = (τpθ)(τpµ) = θ(τpµ) (5.71)

Luego:

T ′p[θµ] =

∞∑−∞

τnp(θµ) =

∞∑−∞

θ(τnpµ)

= θ∞∑−∞

τnpµ = θ(T ′p[µ])

(5.72)

Definicion 5.4.4 (Particion de la unidad p-periodica). ξ ∈ D es una particion de launidad p-periodica sii Tp[ξ] = 1

Teorema 5.4.2. Si θ ∈ Pp ⇒ ∃ϕ ∈ D/ θ = Tp[ϕ]

Demostracion. Sea θ ∈ Pp. Para cada ξ ∈ D, particion de la unidad p-periodica, ϕ = ξθ ∈D. Por el lema (5.4.1):

Tp[ϕ] = Tp[ξθ] = (Tp[ξ])θ = θ (5.73)


Teorema 5.4.3. η ∈ Tp ⇒ ∃µ ∈ E∗/ η = T ′p[µ]

Demostracion. Sea η ∈ Tp. Para cada ξ ∈ D, particion de la unidad p-periodica, µ = ξη ∈E∗. Por el lema (5.4.1):

T ′p[µ] = Tp[ξη] = (Tp[ξ])η = η (5.74)

Denotemos por P ∗p el espacio dual de Pp. Si F ∈ P ∗p denotaremos por (F, θ) la accionde F en una funcion de prueba θ ∈ Pp.

Teorema 5.4.4. Los espacios P ∗p y Tp son algebraica y topologicamente isomorfos.

Demostracion. El mapa Tp : D → Pp transforma continuamente D en Pp. Su transpuesta,definida como T ′p : P ∗p → D∗/∀F ∈ P ∗p y ∀ϕ ∈ D,T ′p[(F,ϕ)] = (F, Tp[ϕ]), transformacontinuamente P ∗p en D∗ y vale:

τpT′p[(F,ϕ)] = T ′p[(F, τ−pϕ)]

= (F, Tp[τ−pϕ])

= (F, Tp[ϕ]) = T ′p[(F,ϕ)]

(5.75)

Y por lo tanto T ′p ∈ Tp ⊂ D∗. Luego concluimos que T ′p transforma continuamente P ∗p enTp.Sea ahora ξ una particion de la unidad p-periodica en D. El mapa Ξp : Pp → D, definidopor Ξp[θ] = ξθ, es un mapa continuo de Pp a D. Su transpuesta, Ξ′p : D∗ → P ∗p , se definecomo:

(Ξ′p[η], θ) = η(Ξp[θ]) = η(ξθ) (5.76)

y por lo tanto la restriccion de Ξp en Tp, que por simplicidad notaremos igual, transformacontinuamente Tp en P ∗p . Nos falta mostrar que T ′p y Ξ′p son una inversa de la otra. Dehecho, Tp Ξp es la identidad en Pp y por lo tanto, transponiendo, concluimos que Ξ′p T ′pes la identidad en P ∗p . Por otro lado, ∀η ∈ T ∗p y ∀ϕ ∈ D se cumple que:

T ′p Ξ′p[η(ϕ)] = (Ξ′p[η], Tp[ϕ])

= η(ξTp[ϕ]) = ξη(Tp[ϕ])

= T ′p[ξη(ϕ)] = η(ϕ)

(5.77)

Lo que muestra que T ′p Ξ′p es la identidad en Tp. Luego T ′p = [Ξ′p]−1 y ambos mapas son

continuos.

Desde ahora podemos identificar los espacios P ∗p y Tp a traves del isomorfismo Ξ′pdefinido como:

(η, θ) = η(ξθ) (5.78)

∀ξ ∈ D particion de la unidad p-periodica y ∀θ ∈ Pp. Si µ ∈ E∗/ η = T ′p[µ] luego:

(η, θ) = η(ξθ)

= T ′p[µ(ξθ)] = µ(Tp[ξθ])

= µ(θ)

(5.79)

Lo que muestra que la definicion (5.78) es independiente de ξ.


Consideremos ahora el caso de η ∈ P ∗2π, podemos escribir:

η(ω) = T2π[µ(ω)] =∑n∈Z

τ2nπµ(ω) (5.80)

Donde µ ∈ E∗/ supp(µ) ⊂ (−π, π). Luego:

η =∑m∈Z

cm(η)e−imω (5.81)

La ecuacion anterior es la Serie de Fourier de una distribucion periodica η ∈ P ∗2π. Seaξ ∈ D una particion de la unidad, los coeficientes de de Fourier cm estan definidos por:

cm(η) =1

2π(η, eimω)

=1

2πη(ξ(ω)eimω))

=1

2πµ(eimω)

(5.82)

Esta es la generalizacion a distribuciones periodicas de la serie de Fourier clasica. Unaserie trigonometrica cuyos coeficientes son los coeficientes de Fourier de alguna distribu-cion periodica siempre converge a η. Toda serie trigonometrica cuyos coeficientes son decrecimiento lento convergen en S∗, sin embargo, puede ser mostrado que si los coeficientesno son de crecimiento lento, la serie puede no converger incluso en D∗.

Teorema 5.4.5. Sea η ∈ P ∗2π y sean cm(η) definidas como en (5.82)⇒ (cm) es unasucesion de crecimiento lento y las series (5.81) convergen en S∗ a η.

Demostracion. La sucesion (cm) es de crecimiento lento si ∃M > 0 y k ∈ N0/ ∀m ∈Z, |cm| < M.|m|k De la ecuacion (5.82) y teniendo en cuenta que η es una distribucion desoporte compacto en [−π, π], existe una funcion continua f con soporte en un entorno de[−π, π] y un entero r ∈ N0/

cm(η) =1

2πµ(eimω)

=1

2π

∫ π

−πf(ω)(−1)r

[eimω

](r)dω

(5.83)

Luego

|cm| ≤ |m|r1

2π

∫ π

−π|f(ω)|dω (5.84)

Y tomando

M =1

2π

∫ π

−π|f(ω)|dω (5.85)

se sigue que (cm) es una sucesion de crecimiento lento. Finalmente, ∀ϕ ∈ S tenemos:( ∞∑m=−∞

cm(η)e−imω

)(ϕ) =

∞∑m=−∞

cn(η)ϕ(m) (5.86)

Como ϕ ∈ S implica que cm(η)ϕ(ω) = O(|m|−2) cuando |m| → ∞ y por lo tanto eltermino de la derecha es absolutamente convergente.

Referencias 39

Teorema 5.4.6 (Teorema de estructura de distribuciones periodicas). Toda distribucionperiodica de perıodo 2π es la derivada de cierto orden de una funcion continua 2π-periodicaen R y a la inversa.

Demostracion. Sea η ∈ P ∗2π/ tiene la serie de Fourier:

η =∞∑

m=−∞cme

−imω (5.87)

Donde |cm| ≤M |m|k para algun M > 0 y k ∈ N0. Luego ∀r ≥ k + 2:

η = (1−D)r∞∑

m=−∞

cm(1 + im)r

e−imω (5.88)

Y como |cm/(1+ imr)| = O(|m|−2), la serie∑∞

m=−∞cm

(1+im)r e−imω converge puntualmente

a la funcion continua f(ω) cuyo perıodo es 2π. Luego:

η(ω) = (1−D)rf(ω) (5.89)

La demostracion de la inversa es inmediata.

Referencias

[1] I. M. Gel’fand and G. E. Shilov, Generalized Functions. Volume I: Properties andOperations (English and Russian Edition). Academic Press, 1964.

[2] R. F. Hoskins and J. S. Pinto, Theories of Generalised Functions: Distributions, Ul-tradistributions and Other Generalised Functions. Woodhead Publishing, 2005.

[3] F. G. Friedlander, Introduction to the theory of distributions. Cambridge, UK NewYork: Cambridge University Press, 1998.

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