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Series de Tiempo No EstacionariasProcesos con Tendencias

Jorge Rodas

INFOPUC

Febrero 2014

Jorge Rodas (INFOPUC) Sesión 3 Febrero 2014 1 / 23

Hechos estilizados

Muchas variables macroeconómicas muestran un patrón decrecimiento a través del tiempo (tendencia) que no es replicableutilizando series estacionarias.


Estacionariedad en Tendencias y en Diferencias

Un proceso estacionario en tendencias exhibe una tendenciadeterminística y basta restar dicha tendencia (detrending) paraobtener un proceso estacionario.

ExampleEl proceso yt = c + δt + εt es estacionario en tendencias.

Un proceso estacionario en diferencias (o proceso con raíz unitaria)exhibe una tendencia estocástica y hay que tomarle primerasdiferencias (di¤erencing) para obtener un proceso estacionario.

ExampleEl proceso yt = yt�1 + εt es estacionario en diferencias.


Procesos con Tendencia

Example (Trend Stationary)

yt = c + δt + εt , donde E (yt ) = c + δt, Var (yt ) = σ2, ρj = 0,Et (yt+j ) = yt � εt + δj .

Example (Random Walk)yt = yt�1 + εt , donde la solución de la ecuación en diferencias asociada es

yt = y0 +t

∑i=1

εi . Además E (yt ) = y0, Var (yt ) = tσ2, ρj =q

t�jt ,

Et (yt+j ) = yt .

Example (Random Walk Plus Drift)

yt = c + yt�1 + εt . donde la solución es yt = y0 + ct +t

∑i=1

εi . Además

E (yt ) = y0 + ct, Var (yt ) = tσ2, Et (yt+j ) = yt + cj .



Example (Random Walk Plus Noise)

yt = yt�1 + εt + ∆ηt , donde ηt es un ruido blanco con varianza σ2η

independiente de εt . La solución es yt = y0 +t

∑i=1

εi + ηt .

ProblemDemostrar en el modelo anterior que E (yt ) = y0, Var (yt ) = tσ2 + σ2η y

ρj =(t � j) σ2r�

tσ2 + σ2η

� h(t � j) σ2 + σ2η

i



Example (Trend Plus Noise)

yt = c + yt�1 + εt + ∆ηt , donde ηt es un ruido blanco con varianza σ2η

independiente de εt . La solución es yt = y0 + ct +t

∑i=1

εi + ηt .

Example (General Trend Plus Irregular Model)

Proceso cuya solución es yt = y0 + ct +t

∑i=1

εi + A (L) ηt , donde A (L) ηt

es un proceso estacionario.


Detrending Vs Di¤erencing

Para transformar el modelo yt = c + δt + εt en un modeloestacionario debemos estimar yt y trabajar con yt � yt que será elnuevo proceso estacionario.

Tener cuidado, ¿qué sucede si aplicamos este método a un procesocon raíz unitaria como el paseo aleatorio con deriva?

Para transformar el modelo yt = c + yt�1 + εt en un modeloestacionario debemos tomar primeras diferencias.

Tener cuidado, ¿qué sucede si aplicamos este método a un procesoestacionario en tendencia?

Un proceso ARIMA(p, d , q) debe ser diferenciado d veces paraconvertirse en un ARMA(p, q) estacionario.


Pruebas de Raíz Unitaria

No es fácil distinguir visualmente o mediante correlogramas si unproceso tiene o no raíz unitaria.

Tampoco es fácil distinguir si tiene sólo tendencia determinística otendencia determínistica y estocástica al mismo tiempo.

Plantear una prueba de hipótesis sobre el parámetro φ en la regresión:

yt = φyt�1 + εt

donde t = 1, ...,T .

¿Qué necesitamos?



Sabemos que pT�φ� φ

��! N

�0, 1� φ2

�Podemos construir el estadístico t :

t =φ� φ

se�φ�

¿Qué pasa con la distribución cuando la hipótesis nula es H0 : φ = 1?



0

200

400

600

800

1,000

1,200

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Freq

uenc

y

Distribución del estadístico t bajo la hipótesis de raíz unitaria



Dependent Variable: RWMethod: Least SquaresDate: 09/12/11 Time: 04:38Sample (adjusted): 2 1000Included observations: 999 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.

RW(1) 0.995538 0.003090 322.1956 0.0000

Rsquared 0.973366 Mean dependent var 8.122966Adjusted Rsquared 0.973366 S.D. dependent var 6.062432S.E. of regression 0.989392 Akaike info criterion 2.817548Sum squared resid 976.9385 Schwarz criterion 2.822460Log likelihood 1406.365 HannanQuinn criter. 2.819415DurbinWatson stat 2.059486


Test de Dickey-Fuller

Dickey y Fuller (1979, 1981) desarrollan un test para veri�car lahipótesis H0 : φ = 1.

Generando miles de paseos aleatorios y para una muestra de tamaño100 encontraron que:

I 90% de los estimados de φ están a menos de 1.61 errores estándar dela unidad.





Otra forma de expresar la hipótesis nula es tomando primerasdiferencias al modelo yt = φyt�1 + εt :

∆yt = γyt�1 + εt

donde γ = φ� 1 y la hipótesis nula se convierte en H0 : γ = 0.

Dickey y Fuller consideran 3 modelos distintos:

∆yt = γyt�1 + εt

∆yt = c + γyt�1 + εt

∆yt = c + δt + γyt�1 + εt

Los valores críticos para γ = 0 dependen de la forma de la regresión ydel tamaño de la muestra.


Test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

Es posible usar el test de D-F en procesos de mayor orden:

yt = a0 + a1yt�1 + ...+ ap�1yt�p+1 + apyt�p + εt

Sumando y restando apyt�p+1:

yt = a0 + a1yt�1 + ...+ (ap�1 + ap) yt�p+1 � ap∆yt�p+1 + εt

Sumando y restando (ap�1 + ap) yt�p+2:

yt = a0 + a1yt�1 + ...� (ap�1 + ap)∆yt�p+2 � ap∆yt�p+1 + εt

Si continuamos con este procedimiento llegaremos a:

yt = a0 + γyt�1 +p

∑i=2

βi∆yt�i+1 + εt

donde γ = � (1�∑pi=1 ai ) y βi = �∑p

j=i aj


Test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

El hecho de que el test de D-F asume que los errores sonindependientes con varianza constante plantea los siguientesproblemas:

1 Para estimar correctamente γ y su error estándar todos los términosautorregresivos del proceso generador de datos (PGD) deben estarincluidos en la ecuación . Se debe seleccionar el número de rezagosadecuado.

2 El PGD puede contener términos MA cuyo orden desconocemos.3 El test de D-F considera una sola raíz unitaria. Para procesos con draíces unitarias debemos diferenciar la serie d veces para lograrestacionariedad.

4 Pueden haber raíces unitarias estacionales.5 Pueden haber cambios estructurales en la data que pueden dar la falsaimpresión de la existencia de una tendencia.

6 Puede no ser claro si es que un intercepto o tendencia determínisticaforman parte del PGD.


Cambio EstructuralCuando hay cambio estructural en la serie, los estadísticosDickey-Fuller se sesgan hacia el no rechazo de la hipótesis nula.Perron (1989) desarrolla una procedimiento formal para veri�car laexistencia de raíz unitaria en la presencia de cambio estructural en elperiodo t = τ + 1. Las hipótesis nula y alternativa son:

H0 : yt = a0 + yt�1 + µ1DP + εt

H1 : yt = a0 + a2t + µ2DL + εt

donde DP = 1 si t = τ + 1 y cero de otro modo y DL = 1 si t > τ ycero de otro modo.Perron (1989) desafía los resultados de Nelson y Plosser (1982)encontrando que la mayoría de series macro no tienen raíz unitariasino son estacionarias en tendencia con cambio estructural.El procedimiento de Perron asume que la fecha de quiebre esconocida. El test de Zivot y Andrews (1992) admite una fecha dequiebre desconocida.


Potencia

La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar unahipótesis nula falsa.

El test D-F tiene baja potencia para distinguir entre un random walkcon drift y un proceso estacionario en tendencias. De igual modo,cuando el coe�ciente autorregresivo es cercano a uno, el test norechazará la hipótesis nula de raíz unitaria.

La incorrecta especi�cación de la ecuación autorregresiva (inclusión ono de intercepto y tendencia determinística) afecta la potencia deltest de D-F.

Las pruebas de raíz unitaria son condicionales a la presencia deregresores determinísticos y las pruebas para la presencia de regresoresdeterminísticos son condicionales a la presencia de raíz unitaria.


Otras Pruebas de Raíz Unitaria

Phillips-Perron (1988)

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (1992). Aquí la hipótesis nulaes que la serie es estacionaria.

Elliot, Rothenberg y Stock (1996)

Ng-Perron (2001)


Descomposición de Beveridge-Nelson¿Es posible descomponer una serie en sus componentes transitorios(ciclo) y permanentes (tendencia)?Si la tendencia del PBI es estocástica, ¿cómo podemos decir si el PBIobservado se encuentra encima o debajo de su tendencia?Beveridge y Nelson (1981) usan la siguiente estrategia: sea yt unproceso integrado de orden 1 tal que

∆yt = µ+ C (L) εt

donde C (L) es un polinomio de rezagos de orden q. De�namosD (L) = C (L)� C (1) . Como C (1) es constante D (L) también seráde orden q, de donde:

D (1) = 0

entonces 1 es una raíz de D (L) lo que nos permite hacer:

D (L) = C � (L) (1� L)

donde C � (L) es un polinomio de orden q � 1.Jorge Rodas (INFOPUC) Sesión 3 Febrero 2014 20 / 23

Descomposición de Beveridge-Nelson

Igualando D (L) = C (L)� C (1) con D (L) = C � (L) (1� L) :

C (L) = C � (L) (1� L) + C (1)

y∆yt = µ+ C � (L)∆εt + C (1) εt

Integrando obtenemos:

yt = const + C � (L)∆εt + µt + C (1) zt= const + Ct + TRt

donde zt = zt�1 + εt . Ct es el componente cíclico TRt es el componentetendencial que contiene una tendencia determinística y estocástica. Notarque:

TRt = TRt�1 + µ+ C (1) εt


Descomposición de Beveridge-NelsonExampleConsidere el proceso IMA(1,1):

∆yt = εt + θεt�1, 0 < θ < 1

En este caso C (L) = 1+ θL y

C � (L) =C (L)� C (1)

1� L = �θ

De donde:yt = Ct + TRt = �θεt + (1+ θ) zt

ProblemEncuentre la descomposición Beveridge-Nelson del ARIMA(1,1,1):

∆yt = φ∆yt�1 + εt + θεt�1


Filtro de Hodrick-Prescott

El �ltro de Hodrick-Prescott (HP) calcula la tendencia de una serieminimizando la siguiente función de pérdida:

T

∑t=1(yt � TRt )2 + λ

T�1∑t=2

[(TRt+1 � TRt )� (TRt � TRt�1)]2

donde λ es un parámetro de suavizamiento. Cuando λ �! ∞tenemos una tendencia lineal. En aplicaciones prácticas se usaλ = 100 para series anuales, λ = 1600 para series trimestrales yλ = 14400 para series mensuales.

El bene�cio del �ltro HP es que usa el mismo método para todas lasvariables, que no es el caso de la descomposición B-N. Muchosmodelos de ciclos económicos reales indican que las variablescomparten la misma tendencia estocástica.

Una desventaja del �ltro es que puede introducir �uctuacionesespurias en la serie.


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