EJERCICIOS TEMAS 8.9 Y 10

EJERCICIO 1

A) xdx ydy xy xdx ydy

Resolvemos el paréntesis

2 2xdx ydy x ydx xy dy

Juntamos las dx y las dy

2 2xdx xy dx x ydy ydy

Sacamos factor común en ambos miembros de la igualdad

2 21 1xdx y y x dy

Agrupamos la x con dx y las dy con las y

2 21 1

x ydx dy

x y

Ya es una ecuación diferencial de variables separadas y aplicamos integral en ambos lados de

la igualdad

2 2

2 2

1 1

1 1( 1) 1

2 2

x ydx dy

x y

Ln x Ln y C

Aplicamos las propiedades de los logaritmos

1 1

2 22 21 1Ln x Ln y C

Podemos aplicar el numero e en ambos lados de la igualdad para quitar logaritmos

1 1

2 2 221 1Ln x Ln y Ce e

La expresión de la derecha se puede expresar como producto de potencias

112 22 21 1

1 12 22 2

2

2

.

:

1 1 .

1

1

Ln x Ln y C

C

e e e

hacemos e K

asi

x y K

despejamos

xK

y

Siendo esta la solucion

b) 4x-3y+3y´(2y-3x)=0

despejamos y´

´ 3 4

2 3

y xy

y x

Es homogénea por lo que dividimos por x

34

´2

3

´ ´

3 4´

2 3

3 4´

2 3

y

xyy

x

cambiamos

yz

x

despejamos

y zx

derivamos

y z x z

sustituimos

zz x z

z

zz x z

z

operamos

2

2

2

6 2 4`

2 3

6 2 4

2 3

2 3

6 2 4

z zz x

z

dz z zx

dx z

zdz xdx

z z

Ya es una ecuación diferencial de variables separables

21

2 2

2

2

2

2

22

21

2 2

(6 2 4) 2

12 2 2

2

2

2 3

6 2 4

(6 2 4) ;(6 4 ) ; ;2(3 2 ) 2(2 3)

1(6 2 4)

2 2

(6 2 4)2

(6 2 4) .

( )

6 2 4 .

xC

Ln z z

xC

x

zdz xdx

z z

dt dtz z t z dz dt dz dz

z z

sustituyendo

xLn z z C

xLn z z C

e e

z z e e

deshacemos z

y ye

x x

K

Siendo esta la solución

c)

2 2

3 4

3

2 2

4

320

2( , )

3,

y xxdx dy

y y

xM x y

y

y xN x y

y

Calculamos las derivadas parciales y si coinciden se clasifica como diferencial exacta

4

4

6

6

M x

y y

N x

x y

Hacemos por lo tanto la integral de la primera parte

2

3 3

2( )

x xdx h y

y y

Derivamos a la expresión en función de y igualandola a la segunda parte

2 2 2

4 4

3 3´( )

x y xh y

y y

Juntamos términos

2 2 2

4 4 4

2

3 3(́ )

1(́ )

y x xh y

y y y

h yy

Aplicamos integrales en ambos lados de la igualdad

2

1´( )

1( )

h y dyy

h yy

Lo cual sustituimos y tenemos la solución del ejercicio

SOL:2

3

1xC

y y

d)

2 2

2 2

2 2

2´

2

2

xyy

x y

dy xy

dx x y

x y dy xy dx

hacemos

y ux

dy udx xdu

sustituimos

2 2 2

2 3 3 2 2 3 2

2

2

x u x udx xdu xuxdx

operamos

x udx x du u x dx u x dx ux dx

agrupamos

2 3 3 2 2

3 2

1 2

3 1 0

x dx u u x u du ux dx

simplificamos

dx u u x u du

La agrupamos como separable que es

2

3

2

3

1

3

int

1

3

31 1 2( ) ( ) ( 3)

24 3 9

:

31 1 2( ) ( ) ( 3)

24 93

dx udu

x u u

egramos

dx udu

x u u

Ln x Ln u Ln uu

yu

x

solucion

y yLn x Ln Ln C

yx x

x

EJERCICIO 2

a) Realizamos el cambio de nomenclatura

1-

2

1 2

4 4 0

2;

2h x

x

r r

r doble

solucion

y C C x

b)

Antes de resolver tenemos que expresar la ecuación en forma de

2

1 2 1

1

:

2

x

x x x x x x

x x x

y

asi

y y y y y y

y y y

Sustituyendo y simplificando nos queda la ecuación

2 12 3x x xy y y o

Hacemos el cambio de variable y resolvemos

2

1 2

2 3 0

3; 1

3 1xh x

x

r r

r r

solucion

y C C

c)

calculamos primero la solución general de la homogénea haciendo el cambio de variable como

los ejercicios anteriores

2

1 2

4 4 0

2,

2h x

x

r r

r doble

y C C x

Calculamos ahora la solución particular y como 5x+1 es un polinomi decimos

1

2

( 1)

( 2)

p

x

p

x

p

x

y A Bx

y A B x

y A B x

Lo sustuimos en la ecuación del enunciado

A+b(x+2)-4(A+B(x+1))+4(A+Bx)=5x+1

Obtenemos

A=11

B=5

Por lo que

11 5p

xy x

Asi a solución general será

1 22 11 5

h p

x x x

x

x

y y h

asi

y C C x x

d)

Resolvemos como siempre la ecuación general haciendo el cambio de nomenclatura

2

1 2

6 5 0

5

1

5 1h x x

x

r r

r

r

asi

y C C

Po otro lado la solución particular tendrá la forma

1

1

2

2

2 1

3

3

3

3 6.3 5.3 3

3 9 18 5 3

1

4

13

4

p x

x

x

x

x

x

x x x x

x x

p x

x

y A

continuando

y A

y A

sustituyendo

A A A

A A A

A

asi

y

Siendo la solución general

1 2

15 1 3

4

x x x

xy C C

EJERCICIO 3

APLICAMOS EL MODELO DE LA TELARAÑA

1

1

1

1

0

0

15 2

2 13

0,08( )

0,08( 2 13 15 2 )

1,36 1,2

0.2 1,36

1

,2

1,36

1,36(0,2)

1 0,2

(0,2) 1,33

6

6 (0,2) 1.33

4,67

4.6

t

t

t t

t t t t

t t t

t t

t

t

t

t

t

d P

S P

ademas

P P S D

P P P P

P P P

P P

asi

a

b o

c

P k

P k

y

asi

k

k

solucion

P

LA SOLUCION ES:

4,6(0,2) 1.33t

tP